La trasformata Z

Definizione

• La trasformata Z di una sequenza x(n) è definita come:

n

nznxzXnxZ )()())((

ove z è una variabile complessa. Si può considerare anche la trasformata monolaterale (one-sided) in cui n varia tra 0 e ∞

Se si esprime la variabile complessa z in coordinate polari: z=reiω:

n

nini ernxerX )()(

Che si può interpretare come la trasformata di Fourier di x(n) moltiplicata per un fattore esponenziale. Per r=1 è esattamente la trasformata di Fourier.

Convergenza

• La trasformata Z, come quella di Fourier non converge per tutte le sequenze o per qualsiasi valore di z.

• Grazie al fattore r-n, la trasformata Z può convergere anche quando la trasformata di Fourier non converge. Per esempio, per il gradino unitario x(n)=u(n), Fourier non converge, mentre Z converge per |r|>1, e di conseguenza per 1<|z|<∞.

Funzioni razionali

• Una classe importante di trasformate Z, è quella in cui X(z) è una funzione razionale, come un rapporto fra polinomi.

• Le radici del polinomio a numeratore sono quei valori di z per cui X(z)=0 e si dicono zeri di X(z).

• Le radici del polinomio a denominatore rendono X(z)=∞ e si chiamano poli.

• Non ci possono essere poli nella regione di convergenza.

Esempio

• Consideriamo la sequenza:

n

nn

n

n azznuazX )()()( 1

Per |z|>|a| sarà:

az

z

azzX

11

1)(

Vediamo che X(z) ha uno zero in z=0 ed un polo in z=a.

Im

ReX

Regione di convergenza

a

Proprietà

• Linearità: date Z(x(n))=X(z) e Z(y(n))=Y(z) con i rispettivi domini di convergenza, sarà: Z(ax(n)+by(n))=aX(z)+bY(z) in un dominio di convergenza che è almeno la sovrapposizione dei due. Per sequenze razionali, se i poli sono l’unione dei poli si X e Y la regione di convergenza è esattamente la sovrapposizione dei due.

• Spostamento di sequenza: data Z(x(n))=X(z), allora Z(x(n+n’))=zn’X(z).

• Moltiplicazione per una esponenziale: Z(anx(n))=X(a-1z) per |a|Rx-<|z|<|a|Rx+

• Differenziazione: Z(nx(n))= -z dx(z)/dz

Convoluzione

• Se w(n) è la convoluzione di due sequenze x(n) e y(n), allora Z(w(n))=X(z)Y(z). Infatti:

n

n k

k

zknykxzW

knykxnw

)()()(

)()()(

Invertendo l’ordine delle somme e cambiando l’indice della seconda da a m=n-k:

)()()()()( zYzXzzmykxzW k

k

m

m