Lab2_ControlOptimo (1)

7/25/2019 Lab2_ControlOptimo (1)

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Los efectos del roce o viscosidad son despreciables.

Teniendo todo lo anterior en cuenta, se pide identificar el vector X, considerando que laparte derecha del modelo (1) viene dado por

F(t, X) =A(t) X+ G( X),

con

A(t) =

0 1 0 0

0 m(t)m(t) 0 0

0 0 0 1

0 0 0 m(t)m(t)

y G( X) =

0G1(x1,x3)

m(t)

0G2(x2,x4)

m(t)

.

El vector X se puede identificar como

X=

x1x2x3x4

= x

x

y

y

.En efecto, a partir de la segunda ley de Newton, se ve que

d P

dt = Fext= G(x, y),

donde P(t) = m(t)V(t) es el momentum del barco, y la ltima igualdad est dada porel hecho que las corrientes marinas son la nica fuerza externa descrita en el ejercicio.

Considerando la igualdad anterior, se obtiene el siguiente desarrollo

m(t)V(t) + m(t)V(t) = G(x, y)

= m(t)x(t) + m(t)x(t) =G1(x, y)

m(t)y(t) + m(t)y(t) =G2(x, y)

= x= m

mx +

G1

m

y= m

my+

G2

m

Las ltimas ecuaciones para x, y son las que aseguran que el vector Xque se propone esel correcto.

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Ejercicio 2

(a) Se solicita reescribir el modelo (1) de forma que el lado derecho sea una funcinlineal no autnomaF(t, X) = A(t) X.

Como la funcin G(x, y) = (G1(x, y), G2(x, y))t es lineal, se puede reescribir de laforma

G(x, y) = (ax + by , cx + dy)

para ciertos valores a,b, c, d. Considerando esto, la matriz G del ejercicio anteriorse transforma en

G( X) =

0ax+bym(t)

0cx+dym(t)

.

As, la matriz A buscada corresponde a

A=

0 0 0 0a

m(t) m(t)m(t)

bm(t) 0

0 0 0 0c

m(t) 0 d

m(t) m(t)m(t)

.

(b) Para maniobrar el barco se introduce un motor que produce cambios de aceleracinhorizontales y verticales, dados por u y v respectivamente. Considerando esto,se pide describir el movimiento del barco como un sistema lineal (no autnomo)controlado.

El sistema corresponde a

X(t) = A X(t) + B U(t),

donde U(t) = (u(t), v(t))t es el control y

B=

0 01 00 00 1

.

Parte B. Controlabilidad, observabilidad y

estabilidad

En adelante, se supondr que la masa es constante, es decir, m(t) = m > 0 para todot > 0 (por simplicidad, m = 1). Adems se considerarn las siguientes configuracionesde parmetros:

(i) (a,b,c,d) = (1,2, 4,5).

(ii) (a,b,c,d) = (1, 0, 4,1).

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Ejercicio 3

Se calculan las matrices de controlabilidad para ambas configuraciones de parmetros, atravs de la definicin matricial y del comando ctrb del toolbox de control de Matlab.

Para ambos mtodos se obtienen los mismos resultados, los cuales se presentan a contin-uacin:

C(i)=

0 0 1 0 0 0 1 01 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 4 10 1 0 0 4 1 0 0

, C(ii)=

0 0 1 0 0 0 1 21 0 0 0 1 2 0 00 0 0 1 0 0 4 50 1 0 0 4 5 0 0

Ejercicio 4

Se supone que se puede observar la evolucin del sistema segn el modelo Y =CX+D U,

con C y D matrices de la forma

C=

1 0 0 00 0 1 0

, D=

0 00 0

.

Con lo anterior, el sistema queda de la forma

X = A X+ B U (2)

Y =CX+ D U (3)

Se calculan las matrices de observabilidad para ambas configuraciones de parmetros, a

travs de la definicin matricial y del comando obsv del toolbox de control de Matlab.

Para ambos mtodos se obtienen los mismos resultados, los cuales se presentan a contin-uacin:

O(i)=

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 11 0 0 04 0 1 00 1 0 0

0 4 0

1

, O(ii)=

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 11 0 2 04 0 5 00 1 0 2

0 4 0

5

.

Ejercicio 5

En este ejercicio se solicita obtener el grammiano para los sistemas asociados a ambasconfiguraciones de parmetros.

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En una primera instancia, se intentan obtener los grammianos asociados a la controla-bilidad y observabilidad (Wc y Wo, respectivamente) de forma directa tras definir cadasistema. Sin embargo, esto genera errores ya que ninguno de los sistemas asociados esestable.

Para solucionar este problema, se usa el comando stabsep, que permite rescatar laspartes estable e inestable del sistema. As, se obtienen los grammianos de las partesestables de ambos sistemas.

Primera configuracin:W(i)c = ( ); W

(i)o = ( ).

Segunda configuracin:

W(ii)c =

0.2387 0.024630.0246 0.1125

, W(ii)o =

0.6721 0.15670.1567 0.8910

Ejercicio 7

Considerando U = KXpara una matriz Kapropiada (es decir, un regulador feedbacklineal), el sistema(2) se puede escribir

X = (ABK) X. (4)

Se busca obtener una matriz de ganancia Ktal que ABKsea asintticamente estable,a travs de dos mtodos: el comando place y el comando lqr.

K = place(A,B,P):Recibe como inputs las matrices A, B y el vector P, entregando una matriz Ktal que A BK tiene como valores propios los valores en el vector P. Con-siderando esto, para asegurarse que la matriz A BK se entrega el vector P =(1,2,3,4)T para ambas configuraciones de parmetros, obteniendo

K(i)=

2.0038 4.0017 0.1583 0.06354.1211 0.0520 6.9961 5.9983

,

K(ii)=

2.0038 4.0017 1.8417 0.06354.1211 0.0520 2.9962 5.9983

.

[K,Sol,E] = lqr(S,Q,R,N):Recibe como inputs el sistema S(que para el caso corresponde a ss=(A,B,C,D)) ylas matrices Q, R y N. Entrega como resultado una matriz de ganancia ptima Ktal que el control U= KXminimiza la funcin de costo

J=

XTQ X+ UTR U+ 2 XTNU dt

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sujeta a la dinmica X = A X+ B U. Adems, entrega la solucin de la ecuacinalgebraica de Riccati asociada en la matriz Sol y los valores propios de (ABK)en el vector E.

Considerando esto, se le entregan a lqr las siguientes matrices

Q= CT C, R= I , N = 0.

La justificacin de esto est en que...

As, se obtienen la siguiente matriz K para ambas configuraciones de parmetros:

K=

1.9601 1.8961 2.4784 0.57000.9606 0.5700 0.4563 0.7666

, Re (E) =

0.58540.58540.74570.7457


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Con este objetivo, es til notar que

X(t) =A X(t) + B U(t)

X(t) =AX(t) + B U(t) + L(Y(t) C

X)= ( X X)(t) = (ALC)(X X)(t), ()

por lo que el problema se reduce a encontrar L tal que la matriz (A LC)sea asintti-camente estable.

L= place(A,C,P):Ntese que los valores propios de la matriz (A LC) coindicen con los de (A LC)T = (ATCTLT), donde esta ltima tiene la forma del problema que resuelve

place. Luego, al comando se le entrega como inputs At, Ct yP = (1,3,1,2).Tras trasponer la matriz devuelta por place, se obtienen para cada configuracinde parmetros

L(i)=

3.8000 0.3999

1.8000 0.39990.3999 3.19994.3999 1.1999

; L(ii)= 3.800 0.3999

1.8000 1.60000.3999 3.19994.3999 2.8000

.

lqr:Lo primero importante a destacar es la definicin del sistema. Para poder utilizareste comando, se supondr que el sistema es completamente observable, es decir,hay un observador

Y =I4X= X.

Dado esto y por una justificacin anloga a la de place, a lqr se le entrega como

input(A

t

, C

t

, I4, I2, 0), obteniendo para cada configuracin:

L(i) =

1.2185 0.47560.3555 0.40320.4756 2.53942.1907 2.8375

; Re E(i) =

0.79980.79981.07911.0791

,

L(ii) =

1.6818 0.71971.1733 0.86990.7197 1.84093.4053 1.4534

; Re E(ii) =

0.84490.84490.91650.9165

.

Ejercicio 9

Ntese que de la definicin del error e(t) := X(t) X(t) y lo obtenido en () se tiene

e(t) = (A LC)e(t).

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Considrese el siguiente desarrollo:

X(t) =AX(t) + B U(t) + L(Y(t)C

X)

=AXBKX+ LC( X

X)

=A XBK (e + X)+ LC e

= (ABK)X+ (LCBK)e

De los dos resultados obtenidos para e y Xse puede deducir la ecuacin

X

e

= A(A , B , C , K, L)

X

e

,

donde

A= A BK LC BK0 A LC

Se sabe que en general, dadas matrices H, P, Q de dimensiones n n, n m y m mrespectivamente, se tiene que

det

H P

0 Q

= det(H) det(Q)

As, calculandoK, Lde manera queABKy ALCtuvieran valores propios negativos,dada la propiedad anterior y la forma de la matriz A, tenemos que los valores propiosde A son los valores propios de ABKy ALC. En particular se tendr que A es estable.

Considerando todo lo anterior, se pueden tomar las matricesK, Lobtenidas a travs delmtodo place en los Ejercicios 7 y 8.

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