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compresnion de la derivada como tasa de variacion
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LA COMPRENSIN DELATASA DE VARIACIN PARA UNA
APROXIMACIN AL CONCEPTO DE DERIVADA. UN ANLISIS
DESDE LA TEORA DE PIRIE Y KIEREN
JHONY ALEXANDER VILLA OCHOA
Estudiante
Dr. CARLOS MARIO JARAMILLO LPEZ
Dr. PEDRO VICENTE ESTEBAN DUARTE
Asesores
Tesis para optar al ttulo de Doctor en Educacin
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE EDUCACIN
DEPARTAMENTO DE EDUCACIN AVANZADA
MEDELLN
ii
Reconocimientos
Esta tesis doctoral, si bien ha requerido de esfuerzo y entrega de mi parte y de mis asesores,
no hubiese sido posible su finalizacin sin la colaboracin productiva y desinteresada de
todas y cada una de las personas que durante el proceso de realizacin aportaron con su
paciencia y comprensin.
Primero y antes que todo agradecer a Dios por dejarme sentir su presencia en este proceso
formativo y disponer de todos los espacios y personas que contribuyeron significativamente
a lograr las metas propuestas al inicio de mi doctorado, incluso a generarme metas cada vez
ms ambiciosas por la calidad de saberes y experiencias que podan ofrecerme. De esta
manera, quiero agradecer a los integrantes de los grupos de investigacin en los que
particip. Entre ellos, al grupo de Investigacin en Educacin Matemtica e Historia
(UdeA-Eafit) a sus coordinadores Carlos Mario y Pedro Vicente por las continuas crticas
en mis aciertos y desaciertos, as mismo por permitirme dialogar y de esa manera fortalecer
mi mirada y postura frente a la Educacin Matemtica. De igual forma, agradezco a
Marcelo de C. Borba, coordinador del Grupo de Pesquisa em Informtica, outras mdias e
Educao Matemtica GPIMEM de la Universidad Estadual Paulista, en Rio Claro-SP,
Brasil, quien puso su saber y experiencia a mi disposicin de manera gratificante en lo
personal y acadmico.
Un agradecimiento especial a mis amigos y en particular a todos los miembros de mi
familia, a mi madre Genny, y a Alexandra, Mauricio, Liliana, Juan Jos, Julin, Santiago,
Yadira y Giovani por su infinita comprensin, continuo apoyo y su voz de aliento en los
momentos de desazn.
Un reconocimiento para el Instituto Colombiano de Ciencia, Tecnologa e Innovacin-
COLCIENCIAS y al ICETEX por el apoyo financiero bridado para adelantar mis estudios
doctorales a travs de la Beca: Crditos Condonables en la convocatoria de 2007.
iii
Resumen
Esta investigacin se desarrolla en el marco del programa de Doctorado en Educacin en la
lnea de Educacin Matemtica de la Universidad de Antioquia. La investigacin comienza
con una amplia revisin de la literatura a luz del pensamiento variacional y de la enseanza
y el aprendizaje de algunos tpicos del clculo. Basado en dicha revisin y en mi
experiencia previa como investigador me permito presentar el problema de investigacin el
cual se formula a travs de la siguiente pregunta: Cmo se desarrolla el proceso de
comprensin de la tasa de variacin como una manera de ofrecer una interpretacin
variacional de la derivada en estudiantes participantes de un curso de pre-clculo?
Tener como propsito indagar por el proceso de comprensin de un concepto matemtico
me implic establecer algunas aproximaciones a lo que significa la comprensin
matemtica; para ello realizo una breve revisin de algunos marcos tericos y justifico el
por qu la Teora para la evaluacin de la comprensin matemtica de Pirie y Kieren se
muestra propicia para estudiar el objeto de estudio de esta tesis.
En la convergencia entre el marco terico y la formulacin de la pregunta de investigacin
se encuentra evidencia para justificar el estudio de casos como un mtodo que permite
abordar el estudio de la comprensin matemtica en el tpico sealado. Es as como a
travs de observaciones, registros escritos, documentos, entrevistas, mdulos de enseanza,
se obtiene la informacin que permite el estudio de la comprensin de la tasa de variacin
de cuatro estudiantes de un curso de preclculo.
Los resultados del estudio muestran que en el proceso de comprensin se presentan ciertas
imgenes arraigas las cuales se convierten en un factor desencadenador de folding back
con lo cual se genera un aporte sobre la naturaleza de esta caracterstica de la comprensin
matemtica descrita por la Teora de Pirie y Kieren. Otros factores que intervienen en la
comprensin matemtica son la interaccin con diferentes medios, en el caso particular de
este estudio, se muestra como a travs de la interaccin con software como el GeoGebra y
iv
el Modellus las estudiantes participantes mostraron cierta evolucin su comprensin
matemtica.
Desde los resultados de esta investigacin se resalta aspectos como: la interaccin entre las
estudiantes, entre ellas y los medios, y con el investigador como factores que promueven la
comprensin matemtica. Otros aspectos sobre el papel de la representacin matemtica
tambin son valorados en las conclusiones del este estudio.
v
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIN ......................................................................................................................... 1
1. REVISIN DE LA LITERATURA........................................................................................ 3
1.1 Algunos estudios asociados al clculo diferencial ............................................................ 3
1.2 Investigaciones acerca del concepto de derivada ............................................................. 8
1.2.1 Sobre las dificultades en el estudio del concepto de derivada ................................... 9
1.2.2 Algunos abordajes de la investigacin en el concepto de derivada ......................... 11
1.2.3 La derivada desde una perspectiva variacional ....................................................... 13
1.3 Algunos elementos asociados a una perspectiva variacional. ......................................... 23
1.3.1 El estudio de la variacin desde el punto de vista cognitivo ................................... 23
1.3.2 El estudio de la variacin desde el punto de vista socioepistemolgico .................. 26
2. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIN ............................................................................. 30
2.1 El estudio de la variacin en Colombia ......................................................................... 30
2.2 Antecedentes investigativos .......................................................................................... 33
2.3 Planteamiento del problema .......................................................................................... 36
2.4 Objetivos ...................................................................................................................... 38
3. LA TEORA DE PIRIE Y KIEREN COMO MARCO TERICOPARA ANALIZAR LA
EVOLUCIN DE LA COMPRENSIN DE LOS CONCEPTOS MATEMTICOS ................... 39
3.1 Marcos tericos para describir e interpretar la comprensin matemtica ........................ 39
3.2 La teora para la evolucin de la comprensin matemtica de Pirie y Kieren ................. 44
3.2.1 Los estratos del modelo ......................................................................................... 44
3.2.2 Caractersticas del Modelo .................................................................................... 49
3.2.3 El campo de aplicacin de la teora de Pirie y Kieren............................................. 56
3.2.4 Extensiones de la teora de Pirie y Kieren .............................................................. 62
4. METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN ..................................................................... 68
4.1 El camino metodolgico ............................................................................................... 68
4.2 El mtodo ..................................................................................................................... 71
4.3 El diseo ...................................................................................................................... 73
4.3.1 La pregunta y las proposiciones............................................................................. 73
vi
4.3.2 El contexto ............................................................................................................ 74
4.3.3 Las fuentes y los procedimientos ........................................................................... 75
4.3.4 Las fases del desarrollo del trabajo de campo ........................................................ 78
4.3.5 Anlisis de la informacin ..................................................................................... 83
4.4 Validez y Limitaciones del estudio................................................................................ 85
5. LA COMPRESIN DE LA TASA DE VARIACIN. UNANLISIS DESDE LA TEORA
DE PIRIE Y KIEREN .................................................................................................................. 87
5.1 El conocimiento primitivo asociado a la comprensin de la tasa de variacin ................ 87
5.1.1 Una comprensin cualitativa de la variacin .......................................................... 88
5.1.2 Nocin de razn y tasa de variacin promedio ....................................................... 93
5.2 La comprensin de la tasa de variacin. Unos primeros pasos en su evolucin .............. 99
5.3 La tasa de variacin media como razn aritmtica ........................................................107
5.4 Refinamiento de una imagen ........................................................................................111
5.5 Hacia la nocin de tasa de variacin instantnea...........................................................112
5.6 Nociones arraigadas de la proporcionalidad directa. Un factor desencadenador de
folding backs ...........................................................................................................................119
5.7 Los estadios Property Noticing (PK) y Formalising (F) en la comprensin de la tasa de
variacin .................................................................................................................................126
5.8 La comprensin de la funcin tasa de variacin............................................................133
5.9 Imgenes asociadas al cambio de la tasa de variacin ...................................................149
6. LA COMPRENSIN DE LA TASA DE VARIACIN. ALGUNOS ANLISIS
ADICIONALES .........................................................................................................................156
6.1 El papel de los software: GeoGebra y Modellus en la evolucin de la comprensin de la
tasa de variacin......................................................................................................................156
6.1.1 La representacin simultnea ofrecida por el software GeoGebra .........................157
6.1.2 GeoGebra y Modellus en la comprensin de la tasa de variacin Instantnea ........159
6.1.3 GeoGebra y Modellus en la comprensin de las funciones derivada y tasa de
variacin 161
6.2 La comprensin de la tasa de variacin. Una mirada desde la literatura ........................164
6.2.1 Momentos conceptuales en la comprensin de la tasa de variacin .......................164
6.2.2 Algunas dificultades en la comprensin de la nocin de tasa de variacin .............167
7. CONCLUSIONES ..............................................................................................................170
Bibliografa.................................................................................................................................178
vii
ANEXO N 1 ..............................................................................................................................187
Cuestionario de la Investigacin ..................................................................................................187
ANEXO N 2 ..............................................................................................................................191
Artculo presentado en la XIII Conferencia Interamericana de Educacin Matemtica. Villa-Ochoa,
Jaramillo, Esteban (2011) ............................................................................................................191
ANEXO N 3 ..............................................................................................................................204
Artculo publicado en Revista: Educao Matemtica Pesquisa. Villa-Ochoa y Ruiz (2010) .......204
viii
TABLA DE ILUSTRACIONES
ILUSTRACIN 1. MECANISMO PARA EL ANLISIS DISCRETO DE LA VARIACIN.................................................. 35
ILUSTRACIN 2. VISIN DE ESQUEMAS Y SU CONSTRUCCIN. TOMADA DE MEEL (2003, P. 244) ...................... 42 ILUSTRACIN 3. DIAGRAMA QUE REPRESENTA EL MODELO PARA LA EVOLUCIN DE LA COMPRENSIN DE PIRIE
YKIEREN. .................................................................................................................................................. 44
ILUSTRACIN 4. DIAGRAMA DE LA CARACTERSTICA FRACTAL DEL MODELO DE PIRIE KIEREN........................ 50
ILUSTRACIN 5. CARACTERSTICA DE LOS LMITES DE FALTA DE NECESIDAD DEL MODELO DE PIRIEYKIEREN. 52
ILUSTRACIN 6. LOS ELEMENTOS COMPLEMENTARIOS DE NIVEL INTERNO. TOMADO DE MEEL (2003, P. 241) . 53
ILUSTRACIN 7. ANILLOS CON COMPLEMENTOS DE ACCIN Y EXPRESIN TOMADA DE MEEL (2003, 242) ....... 54 ILUSTRACIN 8 DOMINIOS DEL CONOCIMIENTO PRIMITIVO DURANTE LPS (CAVEY & BERENSON, 2005, P. 176)
................................................................................................................................................................. 58
ILUSTRACIN 9. EL MARCO TERICO DE MARTIN (2008, P. 72). ........................................................................ 64
ILUSTRACIN 10. AMBIENTE DE LA SITUACIN DESARROLLADA EN LA SESIN 1 .............................................. 80
ILUSTRACIN 11. SIMULACIN DE UN MOVIMIENTO CON EL SOFTWARE MODELLUS. ........................................ 81
ILUSTRACIN 12. AMBIENTE DE LA HERRAMIENTA PARA ESTUDIAR LA FUNCIN TASA DE VARIACIN............. 81
ILUSTRACIN 13. AMBIENTE DE LA SITUACIN, DESCARGA DE UN ARCHIVO .................................................... 82 ILUSTRACIN 14. GRFICO DE LA RELACIN ENTRE VOLUMEN Y RADIO DE UN CILINDRO POR ALEXANDRA Y
ESTEFANA ............................................................................................................................................... 90
ILUSTRACIN 15. COMPARACIN ENTRE LA VARIACIN LINEAL Y NO LINEAL .................................................. 99
ILUSTRACIN 16. PROCEDIMIENTO PARA DESCRIBIR LA TASA DE VARIACIN EN FUNCIONES NO LINEALES .... 100
ILUSTRACIN 17. MOMENTO 1 DE LA SITUACIN RECTNGULO INSCRITO .................................................. 102
ILUSTRACIN 18. EVOLUCIN INICIAL DE LA COMPRENSIN EN LOS ESTUDIANTES......................................... 104
ILUSTRACIN 19. TRANSFERENCIA DE MEDIDAS A LOS EJES EN LA SITUACIN 1 ............................................. 105
ILUSTRACIN 20. SEGUNDO MOMENTO DE LA SITUACIN RECTNGULO INSCRITO ...................................... 107
ILUSTRACIN 21. NO COORDINACIN ENTRE LOS SEGMENTOS DEL TRINGULO Y EL REGISTRO NUMRICO. .. 109
ILUSTRACIN 22. CONSTRUCCIN DE CRISTINA Y MARCELA EN LA SITUACIN RECTNGULO INSCRITO........ 110
ILUSTRACIN 23. REFINAMIENTO DE LA IMAGEN RAZN ARITMTICA DE LA TASA DE VARIACIN ................ 111 ILUSTRACIN 24. ESTRATEGIA PARA EL CLCULO DE LA TASA DE VARIACIN INSTANTNEA REALIZADA POR
MARCELA ............................................................................................................................................... 113
ILUSTRACIN 25. MANERA COMO ESTEFANA CALCULA LA TASA DE VARIACIN INSTANTNEA .................... 116
ILUSTRACIN 26. FOLDING BACK HACIA LAS NOCIONES DE VARIABLE, FUNCIN Y LMITE ............................ 119
ILUSTRACIN 27. SECUENCIA DE MOVIMIENTOS REALIZADOS POR ESTEFANA Y ALEXANDRA ....................... 120
ILUSTRACIN 28. MOVIMIENTO DE UN VEHCULO USANDO EL SOFTWARE MODELLUS. ................................... 122
ILUSTRACIN 29. TASA DE VARIACIN EN EL SOFTWARE MODELLUS ............................................................. 129
ILUSTRACIN 30. TABLA DE LA TASA DE VARIACIN EN EL SOFTWARE MODELLUS. ....................................... 130
ILUSTRACIN 31. REPRESENTACIN DIAGRAMTICA DE LA COMPRENSIN DE LAS ESTUDIANTES .................. 133
ILUSTRACIN 32. FUNCIN TASA DE VARIACIN EN MODELLUS...................................................................... 134
ILUSTRACIN 33. HERRAMIENTA: TASA DE VARIACIN EN FUNCIONES .......................................................... 137 ILUSTRACIN 34. AMBIENTE DE LA HERRAMIENTA TASA DE VARIACIN EN FUNCIONES DISEADA EN
GEOGEBRA ............................................................................................................................................. 138
ILUSTRACIN 35. ANLISIS DE LA TASA DE VARIACIN MEDIA ....................................................................... 139
ILUSTRACIN 36. GRFICA DE ALGUNOS VALORES DE LA FUNCIN: TASA DE VARIACIN .............................. 140
ILUSTRACIN 37. SECUENCIA DE GRFICOS PARA ESTUDIAR EL CAMBIO DE LA TASA DE VARIACIN ............. 141
ILUSTRACIN 38. ANLISIS DE LA TASA DE VARIACIN DE F(X)=SEN(X) ......................................................... 144
ix
ILUSTRACIN 39. GRFICA CONSTRUIDA POR MARCELA Y CRISTINA DE F(X)=SEN (X), G(X)=COS(X) Y DE LA
TASA DE VARIACIN DE F(X) ................................................................................................................... 145 ILUSTRACIN 40. MARCELA OBSERVA QUE LOS PUNTOS DE LA TASA DE VARIACIN NO COINCIDEN CON LA
FUNCIN DERIVADA ................................................................................................................................ 146 ILUSTRACIN 41. PROCEDIMIENTO PARA OBSERVAR LA RELACIN ENTRE LAS FUNCIONES: TASA DE VARIACIN
Y DERIVADA ........................................................................................................................................... 147
ILUSTRACIN 42. RELACIN ENTRE LA FUNCIN TASA DE VARIACIN Y LA FUNCIN DERIVADA ................... 148 ILUSTRACIN 43. REGISTRO NUMRICO Y GRFICO DE LA TASA DE VARIACIN ELABORADO POR CRISTINA Y
MARCELA ............................................................................................................................................... 150
ILUSTRACIN 44.GRFICA CONSTRUIDA POR ALEXANDRA ............................................................................. 150
ILUSTRACIN 45. SECUENCIA DE ACCIONES FSICAS MOSTRADAS POR ESTEFANA ......................................... 151
ILUSTRACIN 46. AMBIENTE DEL SEGUNDO MOMENTO DE LA SITUACIN DESCARGA DE UN ARCHIVO ........ 151 ILUSTRACIN 47. SECUENCIA DE MOVIMIENTOS REALIZADOS POR CRISTINA Y MARCELA EN EL DESARROLLO
DE LA SITUACIN .................................................................................................................................... 152
ILUSTRACIN 48. REPRESENTACIN DE ALEXANDRA DEL CAMBIO DE TRAMO DE LA FUNCIN. ...................... 153 ILUSTRACIN 49. GRFICA CONSTRUIDA POR ALEXANDRA EN EL SEGUNDO MOMENTO DE LA SITUACIN
DESCARGA DE UN ARCHIVO ................................................................................................................. 154
ILUSTRACIN 50. COORDINACIN DE LAS REPRESENTACIONES CINEMTICAS Y GRFICA .............................. 158
ILUSTRACIN 51. COORDINACIN ENTRE LAS REPRESENTACIONES PROPORCIONADAS POR GEOGEBRA ......... 159
ILUSTRACIN 52. AMBIENTE DE LA SITUACIN RECTNGULO INSCRITO....................................................... 160
ILUSTRACIN 53. FUNCIN TASA DE VARIACIN Y FUNCIN DERIVADA DE F(X)=SEN(X) ................................ 162
ILUSTRACIN 54. EVOLUCIN DE LA COMPRENSIN DE CRISTINA .................................................................. 174
INTRODUCCIN
En este documento reporto el proceso de una investigacin desarrollada en el marco del
programa de Doctorado en Educacin, en la lnea de Educacin Matemtica orientada por
el Grupo de investigacin en Educacin Matemtica e Historia (UdeA-Eafit) en la cual se
aborda el proceso de comprensin de la nocin de tasa de variacin como una manera de
aproximacin al concepto de derivada.
La investigacin comienza con una revisin de la literatura la cual desarrollo en el primer
captulo. A partir de dicha revisin pude observar la importancia de una comprensin de la
tasa de variacin como una componente trascendental en la interpretacin de la derivada.
De la misma manera, a pesar de existir una amplia gama de investigaciones y perspectivas
en torno a la enseanza y aprendizaje de conceptos del clculo, desde la literatura muestro
que todos estos esfuerzos son insuficientes para dar cuenta de la complejidad del fenmeno
de comprensin de tales conceptos.
Basado en las consideraciones emanadas de la literatura y en los trabajos que como
investigador haba desarrollado previamente, en el segundo captulo fundamento y formulo
el problema de investigacin el cual se resume en la siguiente pregunta: Cmo se
desarrolla el proceso de comprensin de la tasa de variacin como una manera de
aproximarse al concepto de derivada en estudiantes participantes de un curso de pre-
clculo?
El captulo tres es dedicado a una presentacin de la Teora para la evolucin de la
comprensin matemtica de Pirie y Kieren. En dicho captulo describo las caractersticas
de tal Teora as como los principales campos de investigacin en los cuales ha sido usada y
algunas de las extensiones que han sido propuestas.
Los trabajos de Borba y Arajo (2006) y Yin (2009) se convirtieron en el fundamento de la
Metodologa de la Investigacin. Dichos fundamentos son descritos en el captulo cuatro de
2
este documento, en el que describo cmo el estudio de casos se muestra como un
abordaje apropiado para responder a la pregunta que atae a esta investigacin.
En el captulo cinco presento un anlisis de los resultados de la investigacin a la luz de
marco terico y en el captulo seis realizo una triangulacin con otros elementos tericos.
Particularmente es este captulo muestro como la comprensin de la tasa de variacin
parece estar mediada por la interaccin entre las estudiantes, los software GeoGebra y
Modellus y el profesor.
Finalmente el captulo siete presento las conclusiones de este trabajo. All muestro una serie
de implicaciones que surgen tanto para el aula de clase como para el marco terico usado
en la investigacin. As mismo surgen algunas recomendaciones que podran orientar
futuras investigaciones.
3
Captulo 1
1. REVISIN DE LA LITERATURA
La tasa de variacin o razn de cambio ha sido un concepto que ha llamado la atencin de
diversos investigadores; en parte, porque se encuentra en relacin con otros conceptos
fundamentales del anlisis matemtico como la derivada (Dall'anese, 2006; Tall, 2009;
Dolores C. , 2007) y el concepto de funcin (Posada y Villa, 2006a). En este captulo, me
dedicar a presentar una revisin de la literatura producida en el campo de la Educacin
Matemtica asociada a Clculo diferencial, centrando la atencin en las investigaciones que
dan cuenta de la tasa de variacin como una manera de aproximarse a la comprensin de la
derivada.
1.1 Algunos estudios asociados al clculo diferencial
En las ltimas dos dcadas la preocupacin por el aprendizaje de conceptos, asociados al
clculo diferencial, ha venido consolidndose como un dominio de investigacin con alto
grado de aceptacin. Como prueba de ello, puede revisarse las actas de eventos acadmicos
y nmeros especiales de algunos peridicos y revistas en temas asociados al llamado
Pensamiento Matemtico Avanzado. Segn Azcrate y Camacho (2003) es en 1985, en el
seno del congreso del PME (Psychology of Mathematics Education), cuando se forma un
grupo de trabajo con los objetivos de estudiar la naturaleza del llamado Pensamiento
Matemtico Avanzado y, en particular, profundizar en las investigaciones cognitivas
acerca de los procesos de enseanza y aprendizaje de temas relacionados con el clculo
infinitesimal.
En la literatura se encuentran muchas dificultades reportadas en relacin con la enseanza y
aprendizaje de conceptos del clculo. Particularmente Azcrate y Camacho (2003) sealan
como dificultades esenciales:
[] el concepto de lmite y los procesos infinitos que intervienen en los
conceptos bsicos de derivada e integral; se indican adems otro tipo de
4
dificultades que tienen que ver con el estudio de las funciones, la notacin de
Leibniz, el concepto de infinito, el uso y seleccin de las distintas
representaciones, etc (p. 142).
Este tipo de dificultades ponen en evidencia la complejidad inherente al estudio de la
enseanza y el aprendizaje de los conceptos de clculo diferencial, lo cual llama la atencin
de diversas comunidades investigativas. De manera particular, en este apartado ofrezco una
visin ms profunda de la produccin acadmica de dos grupos de investigacin, en los
cuales he participado en mi formacin doctoral. Ellos son el Grupo de Investigacin en
Educacin Matemtica e Historia (UdeA Eafit) EDUMATH y el Grupo de Pesquisa
em Informtica, outras mdias e Educao Matemtica GPIMEM de la Universidad
Estadual Paulista, en Rio Claro-SP, Brasil.
Los principales aportes del GPIMEM a la enseanza y el aprendizaje del clculo estn
enlazadas con el constructo terico desarrollado por algunos de sus miembros: Humans-
with-Media (Borba y Villarreal, 2005). Por otro lado, para algunos miembros del
EDUMATHel inters se ha centrado en el razonamiento involucrado en los procesos de
comprensin matemtica y, para ello, han asumido como referente terico al modelo de van
Hiele, as como las ventajas que ofrece la entrevista de carcter socrtico como fuente
generadora de conocimiento (Navarro y Prez, 2006; Navarro y Prez, 2010; Esteban y
Prez, 2003; Esteban, 2003; Esteban y Llorens, 2003; Jaramillo, 2003; De la Torre, 2000,
2003a; 2003b).
En el constructo terico Humans-with-media del GPIMEM, Borba y Villarrealasumen
como premisa fundamental el hecho de que las herramientas informticas no son slo
asistentes de los seres humanos para producir conocimiento, sino que al mismo tiempo,
modifican su naturaleza, tanto del ser humano como del conocimiento producido. Esta
premisa ha sido ampliamente validada desde la investigacin, abordando el estudio de
diversos conceptos del clculo, por ejemplo: el concepto de derivada (Olimpo, 2006;
Villarreal, 1999), ecuaciones diferenciales (Javaroni, 2007), funciones, lmites y
continuidad (Olimpo, 2006), la funcin compuesta y la regla de la cadena (Barbosa, 2009)
y el teorema fundamental del clculo (Scucuglia, 2006).
5
Uno de los aspectos ms sobresalientes en cada una de las investigaciones del GPIMEM
acerca de la naturaleza del conocimiento matemtico, est relacionado con los procesos de
visualizacin que se encuentran inmersos en la interaccin con los medios. Dichos medios
promueven un estudio de los elementos dinmicos que caracterizan algunos conceptos
matemticos; en este sentido, las investigaciones anteriormente citadas, sustentan que el
proceso de visualizacin es potencializado por las tecnologas de la informacin y la
comunicacin (TIC) que transforman el modo en que el conocimiento es producido,
reorganizando la forma de interactuar y de pensar.
Particularmente, Barbosa (2009) afirma que el conocimiento es producido tanto, a travs de
las discusiones entre los estudiantes, como de un proceso de interpretacin individual
expresado en la forma oral, escrita y en la interaccin con el computador. Para Barbosa, ese
proceso individual no significa un estudiante aislado, sino en interaccin con un colectivo
que piensa con l.
En el caso de Javaroni (2007), el estudio del concepto de ecuaciones diferenciales se hace a
travs de un abordaje cualitativo de modelos matemticos auxiliados por las TIC. La tesis
de esta autora ofrece argumentos sobre la importancia de la visualizacin, ya que a travs
de los grficos, los estudiantes pueden obtener informaciones desapercibidas.
El estudio de la recta tangente como una aproximacin al concepto de derivada fue el foco
de pesquisa de Villarreal (1999); en su investigacin, caracteriza los procesos de
pensamiento de los estudiantes en un ambiente computacional. Segn la autora, dicho
ambiente promovi la implementacin de procesos de visualizacin de grficos,
articulndolos con la oralidad. A travs de la interaccin entre los estudiantes (seres
humanos) y los computadores (medios) la autora afirma que el pensamiento matemtico es
permeado y reorganizado por los medios usados.
Olimpio (2006) investiga las compresiones producidas por estudiantes de primer ao de
matemticas, que emergen de la integracin oralidad, escrita (lenguaje natural) e
informtica (representada por medio de CAS MAPLE) sobre conceptos como: funcin,
lmite, continuidad y derivada, asumidos como bsicos en el estudio del clculo. Este autor
sugiere que los conflictos emergentes en la transicin de la matemtica en la interfase
6
Bachillerato-Universidad tienen su gnesis en una limitada comprensin del concepto de
funcin. Tambin sugiere una mayor e intensiva exploracin de la naturaleza dinmica de
los conceptos de clculo.
Barbosa (2009), por su parte, cuestiona el excesivo nfasis que se hace en los libros de
texto al trabajo algebraico de conceptos como funcin compuesta y la regla de la cadena.
De esa manera, esta autora sugiere que los procesos de visualizacin posibilitan a los
alumnos identificar y conjeturar propiedades de los conceptos matemticos. Despus de una
amplia revisin de la literatura, Barbosa propone su propia interpretacin de la
visualizacin como un proceso que asocia la comprensin de los estudiantes, entre s, y un
medio externo. Basada en esta premisa, la autora propone un trabajo que involucra los
procesos de visualizacin y las representaciones mltiples de los conceptos matemticos.
Al igual que Villarreal (1999) y Borba y Scheffer (2004), Barbosa (2009) resalta la
importancia de trabajar con las representaciones mltiples tanto en la produccin de
conocimiento como en la atribucin de nuevos significados a los contenidos por medio de
las interacciones con el computador. Barbosa muestra cmo la produccin de
conocimientos asociados a la funcin compuesta y la regla de la cadena surge a travs de
conjeturas formuladas durante el proceso de visualizacin potencializado por las TIC. Tales
conjeturas fueron confirmadas o refutadas teniendo en cuenta entrelazamientos de las
representaciones mltiples (que permean todas las actividades) y por un colectivo pensante
seres-humanos-con-medios, en el cual el ser humano transforma y es transformado por los
medios en un proceso interactivo. Estas conclusiones confirman una vez ms la necesidad
que Villarreal (1999) haba sealado sobre la coordinacin entre representaciones a travs
de ambientes computacionales superando la dicotoma entre algunas de ellas.
Con respecto al EDUMATH pueden encontrarse aportes al enseanza del clculo
diferencial, en particular con concepto de aproximacin local (Esteban, 2003; Esteban y
Prez, 2003; 2002; Esteban y Llorens, 2003).
Esteban y Llorens (2003) presentan un estudio comparativo de dos colecciones de
descriptores para el concepto de aproximacin local en su manifestacin de recta tangente.
Las colecciones de descriptores fueron establecidas a partir del modelo de van Hiele a
travs de dos mecanismos, el de zoom y el de haz de secantes. El estudio comparativo de
7
estos investigadores arroj algunas conclusiones acerca de la edad, las materias que los
estudiantes estaban cursando, con las explicaciones previas del concepto de tangente, con el
concepto de derivada y su interpretacin geomtrica, con el uso de programas de clculo
simblico. De su comparacin, estos investigadores concluyen que no existen diferencias
entre las dos formas de abordar la fase de visualizacin del concepto y, por tanto, el nivel
de razonamiento de los estudiantes es independiente de la forma de abordar el concepto.
En Esteban y Prez (2003) se expone una metodologa para abordar la enseanza del
concepto de aproximacin local a travs de su manifestacin de recta tangente a una curva
plana en un punto. La propuesta estuvo fundamentada en la visualizacin a travs del
software Derive (manipulacin algebraica). Los elementos bsicos que se resaltan en el
estudio de la recta tangente son: punto-recta, punto-curva, recta-curva; a partir de ello, los
autores retoman los planteamientos de Vinner (1991) en cuanto al concepto imagen para
discutir los elementos particulares de la recta tangente. En ese sentido, estos investigadores
sealan que para establecer la relacin entre un haz de secante y la tangente, los estudiantes
deben: (i) percibir que el concepto de recta tangente a una curva es ms amplio que el de
tangente a una circunferencia, (ii) entender la necesidad de un proceso de aproximacin
local para asegurarse cundo una recta es tangente o no a una curva en un punto dado; y
(iii) verbalizar una definicin adecuada de tangente partiendo del mecanismo haz de
secantes. En su propuesta, estos investigadores plantean que la asimilacin de un concepto
matemtico pasa por dos fases: la de visualizacin y la de formalizacin. La propuesta de
Esteban y Prez se centra en la primera fase pues es en ella donde surgen muchas
creaciones y a travs del mecanismo de haz de secantes se deja a los estudiantes a la puesta
de la formalizacin.
Por su parte, en la investigacin de Jaramillo (2003) se propuso dotar de una componente
visual geomtrica al concepto de convergencia de una serie. A travs de dicha componente
se espera en el alumno mejorar su comprensin, centrndose en el aspecto fundamental del
lmite de una sucesin de acumulaciones parciales y no en lo que la palabra convergencia
semnticamente parece sugerir. Para lograrlo determin unos descriptores de niveles de
razonamiento de la nocin de serie convergente, en el marco del modelo de van Hiele. La
visualizacin a travs de la imagen de longitud de curvas planas, permitieron la
8
caracterizacin del proceso de razonamiento infinito. En su propuesta Jaramillo us la
entrevista socrtica, como el mtodo adecuado para observar la evolucin del razonamiento
asociado a la comprensin de un concepto matemtico y validarlo a la luz de los
descriptores establecidos. Es importante resaltar que la investigacin de Jaramillo (2003)
tiene una fuerte relacin con la nocin de lmite y que los zig-zags, elementos trabajados
para abordar el concepto de convergencia, son figuras que podran posibilitar la descripcin
de los niveles de razonamiento existentes en la elaboracin y estudio de este concepto por
parte del alumno.
Las investigaciones aqu presentadas han abordado cuestiones acerca de la enseanza y el
aprendizaje de algunos conceptos del clculo usando las TIC; de igual manera, muestran la
importancia de usar mltiples representaciones, colocando especial atencin a las
interacciones, producciones orales y escritas de los estudiantes como una herramienta para
observar la naturaleza del aprendizaje construido. Ms all de sto, tambin sugieren la
necesidad de continuar investigando en aspectos dinmicos, asociados a los conceptos de
clculo, los cuales son potencializados a travs de la visualizacin proporcionada por las
TIC.
Desde la tradicin de los grupos EDUMATH y GPIMEM es posible observar algunas
aproximaciones significativas a la enseanza de conceptos del clculo a travs del uso de la
tecnologa. Particularmente, se evidencia cmo a travs de la visualizacin, el concepto de
derivada puede ser introducido a travs del concepto de aproximacin local y del concepto
de tangente a una curva mediante el mecanismo del Zoom y el Haz de secantes
(Esteban y Llorens, 2003, Villarreal, 1999).
1.2 Investigaciones acerca del concepto de derivada
El concepto de derivada es uno de los conceptos clave del anlisis matemtico, y por lo
tanto, se aborda en los cursos de clculo diferencial, precedido, tradicionalmente, del
estudio de conceptos como el de lmite y funcin. Las dificultades relativas a su enseanza
y aprendizaje han sido reportadas por diversos investigadores en los ltimos aos, entre
ellos, Dolores (2007) quien afirma que:
9
La enseanza del clculo diferencial (CD) en el nivel medio superior, en
muchos pases enfrenta un problema generalizado: los estudiantes
escasamente comprenden sus ideas bsicas, especialmente las relacionadas
con la derivada. Las evidencias mostradas [] son coincidentes al terminar sus cursos de CD cantidades significativas de estudiantes logran un dominio
aceptable de los algoritmos algebraicos para calcular lmites y derivadas pero
difcilmente comprenden el significado de esos procedimientos. Incluso,
difcilmente logran reconocer las ideas asociadas al concepto de derivada en
la resolucin de problemas elementales de variacin y cambio a pesar de que
en los problemas de este tipo se encuentra la esencia de este concepto (p.I)1
Al revisarla literatura internacional puede evidenciarse la derivada como un concepto que
tiene mltiples elementos, los cuales deben ser considerados dentro de su enseanza, de tal
manera que se posibilite su adecuada comprensin y de all que se observe un significativo
nmero de investigaciones que han abordado, como objeto de estudio,la comprensin de la
derivada. Particularmente, el artculo de Snchez-Matamoros, Garca, y Llinares (2008)
presentan una revisin bibliogrfica de este tema. En dicho documento, estos autores
asumen como punto de partida la siguiente premisa: la comprensin de la nocin de
derivada presenta dificultades para los estudiantes en el bachillerato (Educacin Media en
el contexto colombiano) y primeros aos de universidad. A partir de dicha premisa, los
autores realizan una revisin de las investigaciones que abordan la comprensin del
concepto de derivada y la organizan en tres tpicos, as: (1) lo que se conoce sobre la
comprensin de la derivada de una funcin en un punto; (2) el papel que desempean los
sistemas de representacin, y (3) las caractersticas del desarrollo de esquema de la
derivada.
1.2.1 Sobre las dificultades en el estudio del concepto de derivada
Artigue (1995, citada por Snchez-Matamoros et al., 2008) afirma que aunque se puede
ensear a los alumnos a realizar de manera ms o menos mecnica algunos clculos de la
derivada y a resolver algunos problemas estndar, hay dificultades para que los jvenes de
estas edades logren una comprensin satisfactoria de los conceptos y mtodos de
pensamiento que conforman el centro de anlisis matemtico. Dichas dificultades se
manifiestan en el significado de la nocin de derivada como lmite de un cociente
1 En esta cita, el subrayado no es original del texto. Se presenta en este documento para llamar la atencin en
las dificultades relativas a la comprensin del concepto de Derivada y en particular de su carcter variacional
10
incremental (representacin analtica;
) o en su
interpretacin geomtrica como pendiente de la recta tangente.
Desde su investigacin,Da Costa Andr (2008)comenta que algunas de las dificultades por
las que atraviesan los estudiantes al abordar la derivada desde la perspectiva geomtrica
(sucesin de rectas secantes que se aproximan a tangentes) estn enraizadas,tanto en la
comprensin del concepto de lmite como en las experiencias que los estudiantes tienen de
la tangente antes de comenzar elestudio del clculo, pues generalmente la nocin de
tangente est asociada a crculos y arcos, lo cual puede llevar a la idea que la tangente slo
puede cortar a la curva en un solo punto, y por tanto, no la puede atravesar en dicho punto.
Otra de las dificultades relativas a la comprensin de la derivada radica en la coordinacin
de los significados evidenciados entre las diferentes formas de representacin de este
concepto. En este sentido Habre y Abboud (2006) establecieron, a partir de una
investigacin con estudiantes de un curso de clculo,diversas comprensiones de la derivada
en la representacin analtica que divergieron de las comprensiones en la representacin
grfica. As mismo,agregan que, en muchos estudiantes prevalece la representacin
algebraica (analtica), lo cual, en ocasiones, puede presentarse como un obstculo en las
mentes de los estudiantes cuando no se integra con las dems formas de representacin.
Para Snchez-Matamoros et al. (2008), la construccin de un significado parcial de la
derivada puede conducir a dificultades para sudesempeo en los cursos de clculo. Ello
genera la necesidad de conocer los procesos mediante los cuales, los estudiantes dotan de
significado al concepto de derivada. Por tanto, la investigacin en este campo se hace
bastante pertinente.
Otras de las dificultades, en lo relativo a la comprensin de la derivada, est asociada con la
representacin de algunos de los aspectos variacionales que emergen en situaciones, en la
cuales, conceptos como la velocidad o la rapidez tienen lugar. En este aspecto, Dolores,
Chi, Canul, Cant, y Pastor (2009) presentan los resultados de una investigacin que
explora las representaciones grficas que hacen los estudiantes sobre la rapidez. Estos
autores afirman que, convencionalmente, la rapidez est asociada a la razn de dos
magnitudes y vinculada, grficamente, a la pendiente de la recta tangente a una curva que
11
representa la funcin de dichas magnitudes; sin embargo, en esta investigacin, los autores
pudieron encontrar otro tipo de representaciones que son usadas por los estudiantes, en las
cuales se presentaron caractersticas de cinco tipos: rectas, columnas, puntos, pictricas y
curvas. En la mayora de este tipo de elaboraciones de los estudiantes, la rapidez y la
comparacin entre ellas, se asoci con caractersticas visuales de las grficas, por ejemplo:
el tamao o longitud (una rapidez mayor que otra se asocia a una barra ms larga que otra o
a un punto ms alto que el otro). Dolores et al. (2009) concluyen que la mayora de los
estudiantes dan representaciones grficas de la rapidez asocindola con su magnitud, y no
con la pendiente o cociente de magnitudes de los cambios como se prev en el curriculum
matemtico escolar (p. 53). Estas concepciones errneas las presentan los estudiantes,
pese a que, desde la literatura, se evidencia la capacidad de los nios para tratar de manera
informal la idea de rapidez o velocidad. Para Dolores y sus colaboradores, aunque la idea
de rapidez se supone tradicionalmente en las clases de matemticas, a travs del estudio de
la proporcionalidad y de la razn, adentrndose a su carcter funcional; muchos trabajos
investigativos muestran que, en los estudiantes, persisten concepciones alternativas
(errneas) que no corresponde con las convencionales matemticamente.
1.2.2 Algunos abordajes de la investigacin en el concepto de derivada
El papel de las representaciones en la comprensin de la derivada, tambin ha sido objeto
de estudio de mltiples investigaciones, Snchez-Matamoros et al. (2008) resalta aquellas
que estudian la conexin entre lo grfico y lo analtico, la relacin entre la grfica de una
funcin fy de su derivada f. As mismo, retoma el trabajode Badillo (2003) para llamar la
atencin sobre algunas inconsistencias que existen entre los significados de la derivada a
nivel local y global. De esta manera afirma que:
Los resultados del trabajo de Badillo sealaron que comprender la idea de
funcin derivada en un punto, , no implicaba comprender la idea de funcin derivada . Sin embargo, aquellos sujetos que comprendan la idea de funcin derivada f(x), pareca que entendan la derivada de la
funcin en un punto f(a) (Snchez-Matamoros et al., 2008, p. 283).
Ante este panorama, se abre una perspectiva de trabajo, ya que,como puntualizan Snchez-
Matamoros y sus colaboradores, el vnculo entre lo local y lo global, en el caso de la
derivada, ha sido un tema poco investigado en Educacin Matemtica.
12
En su revisin bibliogrfica, Snchez-Matamoros et al. (2008) presentan un anlisis del
desarrollo de la comprensin del esquema de la derivada. Para ello,estos autores recurren a
diversas investigaciones que han desarrollado el concepto de esquema introducido por
Piaget (Trigueros, 2004; Baker et al. 2000; Snchez-Matamoros, 2004, entre otros); de esto
se puede decir que un esquema, a travs de sus fases intra, inter y trans, se define como:
La estructura matemtica formada por las relaciones lgicas que se establecen entre los
elementos matemticos que constituyen una nocin matemtica y que puede ser evocado
para la resolucin de un problema (Piaget y Garca, 1983, 1989 citados por Snchez-
Matamoros et al., 2008, p.284). Entre los resultados que Snchez-Matamoros y sus colegas
resaltan en este aspecto, se tienen:
El esquema grfico del clculo, vara de una persona a otra y puede evolucionar por
caminos diferentes. En el caso de la derivada, es necesario comprender la primera
derivada en s misma como una funcin para poder entender la importancia de la
segunda derivada (Baker et al., 2000).
El desarrollo del esquema de derivada no es algo que est necesariamente vinculado
a conocer muchos elementos constitutivos del concepto, sino ser capaces de
coordinarlos al resolver problemas (Snchez-Matamoros, 2004).
Hay una construccin progresiva del esquema y los modos de representacin
influyen en la constitucin de los mecanismos de transicin de un nivel al siguiente
(Snchez-Matamoros et al., 2006; Baker et al., 2000).
Despus de una amplia revisin bibliogrfica, Snchez-Matamoros et al. (2008) logran
concluir que los trabajos revisados en conjunto, permiten ahondar en dos mbitos; a saber:
(1) las caractersticas de los significados del concepto de derivada que elaboran los
estudiantes, y (2), el desarrollo de tales significados. En relacin con sto, Snchez-
Matamoros y colegas afirman, entre otras cosas, que: la instruccin que se basa en las
traslaciones entre distintos modos de representacin y potencia el estudio de la variacin
desde contextos numricos parece ayudar a la construccin del significado dela derivada
(p. 290).
13
Los dos mbitos identificados en la comprensin de la derivada, las caractersticas del
significado construido y el desarrollo del esquema de derivada, le permiten a Snchez-
Matamoros et al. (2008) compartir con otros investigadores:
[] la idea que una de las formas de empezar a conocer un concepto es a travs de conexiones con otros conceptos (lmites o funciones para el caso de
la derivada); a travs de diversos modos de representacin (el grfico y el
analtico en la derivada) y a travs de conocer sus diferentes propiedades y
procesos (pp. 291-292).
Otros elementos que influyen en la compresin de la derivada, estn asociados al contexto
en el cual se desarrolla el estudio de tal concepto, por ejemplo Bingolbali, Monaghan, y
Roper (2007) exploran la concepciones de un grupo de estudiantes de clculo en un
programa de ingeniera mecnica y realiza una comparacin con algunos datos arrojados
por estudiantes de pregrado en Matemticas. Los datos en esta investigacin fueron
recogidos mediante pre-post test, entrevistas, y su anlisis sugiri que los estudiantes de
ingeniera mecnica conciben la derivada como una razn de cambio y ven las
matemticas como una herramienta, por tanto, prefieren los aspectos de aplicacin de
conceptos como la derivada; en contraste con sto, el estudio estableci que los estudiantes
de Matemticas se muestran proclives a la interpretacin de la derivada como tangentes.
Segn los autores, estas consideraciones estn enraizadas en los diseos de los cursos de
clculo, ya que mientras en los cursos de Ingeniera se presta mayor tiempo al estudio de la
razn de cambio, en los cursos de Matemticas se dedica dicho tiempo al estudio de la
pendiente de la tangente.
1.2.3 La derivada desde una perspectiva variacional
Son muchos los investigadores que defienden el sentido variacional de la derivada(Buenda
y Ordez, 2009; Cantoral, Molina, y Snchez, 2005; Dolores, 2007; Snchez-Matamoros
et al., 2008; Zandieh, 2000; Da Costa Andr, 2008; Herbert y Pierce, 2008).Buenda y
Ordez (2009) sealan que estudiar qu es lo que vara y cmo- en fenmenos
cambiantes permite dotar a la derivada de significados que se alejan del manejo de
frmulas de derivacin, hecho al cual se suele limitar su enseanza (p. 8).
14
Uno de los argumentos que se tiene para abordar la derivada desde la variacin, radica en
las dificultades que los estudiantes poseen para establecer conexiones entre los conceptos
cinemticos, sus representaciones grficas y el movimiento real de los objetos; en este
sentido y a partir de mi experiencia como profesor, he podido confirmar que en muchos de
mis estudiantes, prevalecen interpretaciones icnicas de las grficas cartesianas, por
ejemplo: la interpretacin de una parbola cncava hacia abajo como el recorrido de un
mvil que sube y luego baja en una montaa.
Muchas de las dificultades reportadas en la comprensin de la derivada estn enraizadas en
el poco significado que en sta tienen los elementos variacionales. En ese sentido, Herbert y
Pierce (2008) mencionan que en las ltimas tres dcadas en la literatura se han reportado
muchas de las dificultades que estudiantes de cursos introductorios al clculo tienen con la
comprensin de la tasa de variacin.
Muchos de los significados asociados a la variacin como la rapidez, velocidad,
aceleracin, entre otros; se han construido en una estrecha relacin con el concepto de
derivada. En coherencia con esta posicin, Dolores (2007) afirma que la derivada es un
concepto dinmico;
[] en el sentido que cuantifica el cambio, y lo cuantifica de una manera muy especial, proporcionando un ndice o razn de cambio, bien en un punto
o en todo un intervalo. En la cuantificacin del cambio encuentra su razn de
ser los conceptos bsicos del clculo, por eso muchos matemticos suelen
caracterizar al clculo y al anlisis matemtico en general, como la
matemtica del cambio (p. 26).
Y agrega:
Hace falta pues disear nuevos materiales que coloquen a las ideas de la
variacin y el significado fsico de los conceptos del clculo, en especial de la
derivada, como los elementos centrales de este curso y que a partir de las
necesidades determinadas a partir de la explicacin, modelacin y prediccin
de los fenmenos de la variacin se simplifiquen y determine el contenido
pertinente (p. 27).
Por su parte, Cantoral, Molina, y Snchez (2005) rescatan el papel de las prcticas sociales
en el estudio de la derivada ya que, mediante este tipo de prcticas, la derivada se dota de
significado. A partir de esta premisa, estos autores proponen la prediccin como una
15
prctica social que requiere profundizarse en el estudio de la derivada, entendiendo por
prediccin como la actividad racional que permite determinar un estado futuro a partir de
un estudio sistemtico de las causas y efectos que lo producen. En este sentido, Snchez-
Matamoros et al. (2008) retoman algunos de los trabajos de la socioepistemologa (Cantoral
y Farfn, 1998; Montiel, 2005) para afirmar que, desde esta perspectiva, se hace necesario
iniciar la comprensin de la derivada como una organizacin de las variaciones sucesivas.
As,estos investigadores abandonan la visin de lmite del cociente incremental y la recta
secante que deviene de la tangente como aproximaciones iniciales a este concepto.
Otro de los enfoques relativos al estudio de la derivada, es la comprensin de la tasa de
variacin ya que, segn Snchez-Matamoros et al (2008),
Si se considera que la derivada en un punto indica la velocidad de cambio, la
comprensin de tal idea se apoya en el saber previo de la nocin de la razn
entre el incremento de x en relacin al de y (p. 272).
Snchez-Matamoros y sus colaboradores observaron, en los trabajos de Orton (1983) y Hart
(1981), cmo la comprensin de la razn de cambio dependa del tipo de funcin utilizada.
As mismo, afirmaron que Orton indic que las dificultades con la idea de razn de cambio
y su vinculacin al tipo de funcin, sea sta lineal o cuadrtica, podan tener su origen en
una comprensin dbil del concepto de funcin. Tambin indican quelas causas por las
cuales los estudiantes no alcanzan a comprender los aspectos variacionales asociados a la
derivada son de diversa ndole. Por ejemplo, etin (2009) seala que en los cursos de
clculo, con frecuencia se favorece la manipulacin de representaciones algebraicas para
ensear reglas que permitan esbozar la grfica de una funcin; en ese sentido para este
autor, mientras los estudiantes calculan la derivada de una funcin por medio de una
expresin algebraica con la ayuda de las reglas de derivacin, no alcanzan a hacerse
conscientes del hecho importante que constituye la interpretacin de la derivada como la
razn de cambio instntanea de la funcin.
Por otro lado, Snchez-Matamoros et al. (2008) destacan la importancia de los trabajos que
abordan la relacin entre la razn de cambio y el cociente incremental en la comprensin de
la derivada. En consecuencia,estos investigadores resaltan el estudio de Azcrate (1990) en
el cual se abord la comprensin del concepto de derivada a nivel local y se
16
caracterizaronlas dificultades, errores y esquemas conceptuales asociados a los conceptos
de: pendiente de una recta, velocidad instntanea de un movimiento variado, y la tasa de
variacin instntanea de una funcin. Como consecuencia de este trabajo, se lograron
identificar dos errores en los estudiantes;el primero, radica en la confusin que presentan
los estudiantes entre la pendiene de una recta con su ordenada en el origen, y el segundo, en
la asignacin del valor de la ordenada en el origen como el valor de la pendiente de la recta
(Snchez-Matamoros et al., 2008).
Los trabajos de Tall (1989) sirvieron como base para que Da Costa Andr (2008)
desarrollara una secuencia didctica para la enseanza de la derivada a travs de la tasa de
variacin. La secuencia de esta autora presenta cuatro etapas, a saber: (i) la exploracin de
la idea de variacin de una funcin a partir de ejemplos que permitan el desencadenamiento
de tales ideas, (ii) conceptualizar la tasa de variacin media en un intervalo del dominio
como el coeficiente angular de la recta secante que pasa por los extremos de la funcin en
los extremos del intervalo, (iii) introducir el concepto de tasa de variacin instantnea; y
(iv) conceptualizar la derivada de una funcin en un punto y la funcin derivada.
Algunos de los elementos desarrollados por Da Costa Andr (2008) haban sido sugeridos
en el marco terico desarrollado por Zandieh (2000) para explorar la comprensin de la
derivada que tienen los estudiantes. Con dicho marco, Zandieh espera discutir y analizar
sistemticamente las preguntas relativas a la comprensin individual, su comparacin con
otras comprensiones, las estrategias de enseanza, la efectividad de las prcticas
pedaggicas y la evaluacin de los materiales curriculares.
El marco terico de Zandieh tiene dos componentes principales, a saber: las
representaciones o contextos mltiples, y los niveles o pares de Proceso-Objeto2. En el
primer caso afirma que el concepto de derivada puede representarse: (a) grficamente como
la pendiente de una recta tangentea una curva en un punto, (b) verbalmente como una razn
de cambio instntanea, (c) fsicamente como la rapidez o velocidad, y (d) simblicamente
como el lmite del cociente de diferencias.
2 El trmino, Proceso-Objeto es tomado de Zandieh en el contexto de las concepciones operacional y
estructural de un concepto matemtico presentados por Sfard (1991).
17
En esta investigacin, asumo que una aproximacin variacional a la derivada debe ir ms
all del hecho de concebir la tasa de variacin instantnea como una representacin de la
derivada de manera verbal; y al ser la tasa de variacin una nocin que est en el corazn
de la derivada, debe cobrar sentido en las diferentes formas de representacin.
Zandieh se pregunta por los elementos que cada una de las descripciones (verbal, grfica y
simblica) tienen en comn, por lo que se puedan llamar con el mismo trmino (derivada),
y por las relaciones entre las diferentes representaciones o contextos. En su marco terico,
esta autora describe la estructura similar del concepto de derivada en cada contexto y
prefiere, en algunas oportunidades, hablar de contexto en lugar de representacin para
indicar una manera ms amplia desdela cual pensar la derivada. La siguiente tablamuestra
los elementos que resumeel marco terico propuesto por Zandieh (2000):
Nivel
Procesos-
Objeto
Grfica Verbal Paradigmtica
fsica
Simblica Otros
Pendiente Razn Velocidad Cociente
de
diferencia
Proporcin
(razn)
Lmite
Funcin
Tabla 1. Contorno del marco terico del concepto de derivada (Zandieh, 2000).
Los trminos proporcin, lmite y funcin son asumidos por Zandieh como niveles
(Proceso-Objeto) en su marco terico, puesto que son trminos claves en la definicin de
derivada (f es una funcin cuyo valor en un punto se define como el lmite de una razn).
En la comparacin con otros marcos tericos, Zandieh llama la atencin sobre los
elementos variacionales que han de estar presentes en la comprensin de la derivada;de esta
manera, retomando los trabajos de Thompson (1995b) Zandieh afirma que en la dualidad
proceso-objeto, la visin de covariacin de la derivada depende de la comprensin de la
funcin como un proceso. Esta componente de covariacin es enfatizada en el tercer nivel
(funcin) presente en el marco terico del propuesto por Zandieh, el cual puede observarse
18
a travs de un process of covariation, i.e. imagining running through a continuum of
domain values while noting each corresponding range value, paired with an object that is
the function itself, the set of orderes pairs (p. 110).
En una introduccin a su marco terico, Zandieh (2000, p. 110) describe los niveles de
proceso-objeto para la razn de cambio usando la notacin de Leibniz en los
siguientestrminos:
Una de las interpretaciones clsicas de la derivada se da al analizar los procesos de cambio
de una funcin posicin con resprecto al tiempo (velocidad),o al analizar los cambios de la
funcin velocidad con respecto al tiempo (aceleracin). En estos contextos cinemticos,
Zandieh (2000, p. 112) ejemplifica cmo la tasa de variacin atraviesa por los tres niveles,
as:
Considerar que un cociente de diferencia puede usarse para medir la razn de cambio
promedio de la variable dependiente con respecto al cambio en la variable
independiente. El clculo de esta razn de diferencias es un proceso que se puede
representar segn la notacin de Leibniz como
.
En el proceso consolidado, la razn promedio, puede usarse como un objeto en el
segundo proceso, el proceso de clculo de lmite, el cual consiste en el anlisis de una
secuencia de razones de cambio promedio, de tal manera que la diferencia en el
denominador tiende a cero. En la notacin de Leibniz sera
, lo cual se
consolida en una razn de cambio instntanea representada por
.
Este proceso consolidado, la razn de cambio instantnea en cada valor de entrada, se
usa como un objeto en la construccin de la funcin derivada. El valor de la funcin
en cada punto ya ha sido descrito en el clculo de lmite. El proceso de funcin
enfatizado aqu es la covariacin de los valores de entrada con los de salida o los
valores de la razn de cambio instantnea.
19
El proceso en el primer nivel es la razn de cambio en la distancia (desplazamiento)
en relacin con el tiempo; el objeto es considerado en el primer nivel como la
velocidad promedio;en el segundo nivel, el proceso consiste en observar la
velocidad promedio en intervalos cada vez ms cortos de tiempo y este proceso del
clculo del lmite termina en una velocidad instantnea. En el tercernivel, el proceso
consiste en imaginar el clculo de lmite consolidado ocurrido para cada momento
en el tiempo, para que el resultado final sea una funcin a la cual se le asocia con
cada momento en el tiempo, una velocidad instantnea. En este contexto, es
propicio para ofrecer una interpretacin de la derivada como velocmetro.
Se observa entonces, en el trabajo de Zandieh, cmo la interpretacin variacional de la
derivada atraviesa, acorde con sus niveles, por tres momentos as:
En el paso 1, de la razn de cambio promedio a la raznde cambio instantnea, se
observa una fuerte influencia de los incrementos cada vez ms pequeos en el
denominador del cociente incremental, lo cual se asocia con la nocin de lmite. No
es claro en la literatura cmo se efecta el paso2, de la razn instantnea a la funcin
derivada, es decir, de la derivada a nivel local o puntual a la derivada global. Sin
embargo, se observa, tanto en Zandieh (2000) como en Snchez-Matamoros et al.
(2008), que dicho traslado no se hace de manera inmediata. Snchez-Matamoros et
al. (2008), retomando los trabajos de Badillo (2003), afirma que en el paso 2,
descrito en el diagrama anterior, se presentan dificultades como:
- La confusin entre la derivada en un punto , , y la funcin derivada .
- La reduccin de la expresin simblica de a la ecuacin de la recta tangente, y la grfica de a la de la recta tangente.
- La falta de justificaciones sobre el uso de las tcnicas de derivacin directas e indirectas, definicin en trmino de lmite y las reglas de
derivacin. (Snchez-Matamoros et al., 2008, p. 283).
En la bsqueda de proporcionar una comprensin de la derivada, con fuertes vnculos
asociados a la nocin de variacin, se han desarrollado algunas propuestas con gran xito
Razn promedio Razn instantnea Funcin derivada
1 2
20
en la interdisciplinariedad entre el clculo y la fsica. Una de estas propuestas la presenta
Doorman y Gravemeijer (2009), quienes plantearon una secuencia basada en conceptos del
clculo y la cinemtica para los cuales emergen situaciones de modelacin que buscan
apoyar a los estudiantes en el aprendizaje de los principios bsicos de la razn de cambio y
la velocidad.
En su investigacin, Doorman y Gravemeijer usaron los elementos tericos proporcionados
por la Educacin Matemtica Realstica para dar respuesta a la pregunta: Cmo pueden
desarrollar los estudiantes principios bsicos del clculo y la cinemtica en un proceso que
implica un razonamiento en una situacin especfica hacia un razonamiento con conceptos
generales? Estos investigadores usan algunos argumentos del desarrollo histrico del
clculo y de sus trabajos experimentales previos para rescatar la importancia de iniciar el
estudio de las grficas desde lo discreto. Estos autores presentan los resultados del diseo
de una secuencia de instruccin, en la cual se valora la importancia de estudiar y describir
el cambio, de tal manera que, se puedan discenir patrones y desarrollar la capacidad para
elaborar predicciones. En el trabajo en mencin, estos autores se focalizan en cmo las
grficas discretas pueden apoyar el desarrollo de los principios bsicos del clculo y de la
cinemtica.
A travs de su trabajo, Doorman y Gravemeijer (2009) establecen que en el proceso de
aprendizaje, los estudiantes inicialmente hacen uso de un lenguaje tentativo e inscripciones
que no obedecen a las nociones matemticas formales. Para los autores, este proceso de
aprendizaje es similar al descrito por Goldin (2003) mediante tres estadios; a saber:
1. Estadio inventivo y semitico,
2. De desarrollo estructural y establecimiento de relaciones y,
3. Estadio autnomo.
En el primer estadio los estudiantes, tentativamente, usan inscripciones y el lenguaje para
comunicar las ideas desarrolladas. En el estadio autnomo el sistema puede funcionar de
manera flexible en nuevos contextos. En este proceso el profesor juega un papel importante
en el sentido en que direcciona las discusiones al interior de la clase y simultneamente
estimula a los estudiantes para presentar sus soluciones y focalizarse en las matemticas
21
necesarias para el estudio de futuros conceptos. Con base en este trabajo, los autores logran
establecer que, una perspectiva de la Educacin Matemtica Realstica permite que las
elaboraciones y el lenguaje inicial de los estudiantes se desarrollen progresivamente desde
lo local o situacional hacia lo general, a travs de las situaciones implementadas en su
secuencia de instruccin.
El diseo heurstico de modelacin emergente asigna un papel a la modelacin que difiere
del papel didctico tradicional de los modelos en Educacin Matemtica. En lugar de
intentar concretizar el conocimiento matemtico abstracto, el objetivo es intentar ayudar a
los estudiantes a modelar su propia actividad matemtica informal. Lo emergente se refiere
tanto a las caractersticas de los procesos mediante los modelos que emergen con la
Educacin Matemticas Realstica como a los procesos, por medio de los cuales, estos
modelos apoyan la emergencia (surgimiento) de maneras matemticas formales del saber.
La modelacin sirve, no slo como una meta de instruccin, sino que tambin media en el
apoyo a la reconstruccin de las matemticas. A partir de su investigacin Doorman y
Gravemeijer (2009) indican que los problemas conceptuales de los estudiantes en las
nociones de las matemticas aplicadas en otros tpicos, pueden prevenirse mediante los
procesos de enseanza y de aprendizaje en el contexto de las aplicaciones. Sin embargo,
creen que no todos los tpicos matemticos pueden desarrollarse a travs de una
aproximacin integrada, ya que algunos tpicos son esencialmente el resultado de un
proceso de reorganizacin con o entre las estructuras matemticas.
Uno de los trabajos ms recientes que aborda el estudio de la derivada en relacin con la
comprensin de la tasa de variacin se presenta en Navarro y Prez (2010). En su artculo,
estos investigadores reportan una experiencia educativa sobre el estudio de la tasa de
variacin en la cual, a travs de un dilogo socrtico y la manipulacin de una herramienta
de visualizacin generada por computador, proporciona una introduccin al concepto de
derivada de una funcin en un punto. Para estos autores el concepto moderno de tasa de
variacin instantnea (concepto local) requiere no slo de las operaciones algebraicas
habituales(resta y divisin), sino tambin una operacin algebraica esencialmente
diferentes, cuyo objetivo se soporta en un proceso dinmico y exige en su formulacin
cierta madurez lgico-algebraico que no siempre est disponible en nuestros estudiantes. Es
22
en ese sentido que Navarro y Prez se proponen describir una serie de acciones que deben
aplicarse, antes de la instruccin matemtica formal en el aula, con el propsito de
promover la construccin de un concepto-imagen adecuado que no altere el concepto-
definicin deseando y que permita una transicin fcil a la misma; as mismo, con dicha
serie de acciones se proponen provocarla necesidad de un concepto-definicin.
Basados tericamente en el modelo de van Hiele, Navarro y Prez (2010) comienzan la
exploracin de las nociones que el estudiante tiene sobre infinito en el campo numrico; por
ejemplo, si el estudiante acepta que entre dos nmeros existen infinitos nmeros. La
comprensin de nociones como la de variable y su abstraccin en fenmenos reales, el
reconocimiento de la dependencia que puede darse entre dos variables presentadas en un
fenmenos fsico y su modelacin a travs de funciones, son algunos de los conocimientos
que marcan que el estudiante se encuentre en el nivel cero, abonando el terreno para su
posterior avance en el razonamiento.
Para Navarro y Prez (2010), el proceso de construccin de imgenes y el reconocimiento
de las caractersticas visuales del cambio, determinan que un estudiante accede al primer
nivel de razonamiento segn el modelo de van Hiele; de este modo se espera que el
estudiante pueda reconocer la dependencia entre variables y describir cualitativamente las
correlaciones directa e inversa entre ellas; as mismo, debe ser capaz de abstraer clases de
curvas de acuerdo a sus concavidades.
En el segundo nivel de razonamiento, el estudiante evidencia la capacidad para deducir
propiedades de las funciones tomando como base las caractersticas visuales de las mismas.
De manera particular, en este nivel se observa que el estudiante reconoce que el cambio de
una variable se matematiza con la operacin diferencia, as mismo que la covariacin entre
dos variables se representa por la razn entre las diferencias de las dos variables. En este
nivel el estudiante tambin ha de ser capaz de usar valores numricos para cuantificar los
cambios y las tasas de variacin mismas (Navarro y Prez, 2010).
Aunque el modelo de van Hiele posee en total cinco niveles, Navarro y Prez slo se
interesaron por describir los cuatro primeros. De ese modo, el ltimo nivel que los autores
describieron en la comprensin de la tasa de variacin estuvo orientado al uso de las
23
propiedades deducidas en el nivel anterior para obtener conclusiones acerca de la derivada
de una funcin. Dicho nivel se materializa cuando reconoce la necesidad de usar
herramientas algebraicas para el estudio de la tasa de variacin; de igual manera, traduce
sus conclusiones a la creacin visual en trminos de concavidades e interpreta los puntos
mximos, mnimos y de inflexin.
Con base en los elementos presentados hasta aqu, se puede observar la importancia de una
comprensin de la tasa de variacin como una componente trascendental en la
interpretacin de la derivada.
En el siguiente apartado, me ocupo de rastrear en la literatura los elementos en los cuales se
fundamenta una perspectiva variacional en Educacin Matemtica.
1.3 Algunos elementos asociados a una perspectiva variacional.
En la literatura nacional e internacional, frecuentemente se establece que el desarrollo del
pensamiento matemtico involucra el desarrollo de otros de sus componentes, entre ellos el
pensamiento variacional. Este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento,
la percepcin, la identificacin y la caracterizacin de la variacin y el cambio en diferentes
contextos, as como con su descripcin, modelacin y representacin en distintos sistemas o
registros simblicos, ya sean verbales, icnicos, grficos o algebraicos.
El estudio de la variacin ha llamado la atencin de varios investigadores (Carlson, Jacobs,
Coe, Larsen, y Hsu, 2003; Dolores y Cuevas, 2007; Posada y Villa-Ochoa, 2006a;Villa-
Ochoa y Mesa, 2009) desde diferentes enfoques y aproximaciones.Algunas de ellas se
presentan a continuacin.
1.3.1 El estudio de la variacin desde el punto de vista cognitivo
Se reconocen en esta categora los trabajos de Carlson, et al. (2003); quienes desarrollan un
marco conceptual que tiene sus fundamentos en las teoras de Piaget. El marco conceptual
en mencin ha sido usadoen algunos de mis trabajos previos, como puede observarse en
Villa-Ochoa y Mesa (2009) yVilla-Ochoa (2011).
24
Carlson et al. (2003, pp. 122-123) afirman que los estudiantes ingresan a la universidad con
una comprensin deficiente sobre las funciones; as mismo, recogen resultados de algunas
investigaciones previas que demostraron que, estudiantes acadmicamente talentosos tienen
dificultad para modelar relaciones funcionales de situaciones que involucran la razn de
cambio de una variable cuando sta vara continuamente en una relacin dependiente con
otra variable. En su trabajo, Carlson et al. (2003, p. 123) retoma las investigaciones de
Kaput (1994), Rasmussen (2000), Zandieh (2000) entre otras, para llamar principalmente la
atencin sobre la importancia de modelacin de relaciones funcionales para la
interpretacin de modelos de eventos dinmicos y para la comprensin de los conceptos
principales del clculo. En su estudio, Carlson y sus colegas definen al razonamiento
covariacional como las actividades cognitivas implicadas en la coordinacin de dos
cantidades que varan mientras se atiende a las formas en que cada una de ellas cambia
con respecto a la otra (p. 124). Con base en esta definicin, proponen un marco
conceptual en el que establecen un conjunto de cinco acciones mentales y cinco niveles de
razonamiento, las que se consolidan como un medio para clasificar los comportamientos de
los estudiantes cuando se ven enfrentados a tareas de covariacin. Las acciones mentales se
muestran en la Tabla 2y los niveles de razonamiento pueden ser observados en la Tabla 3.
Accin
mental
Descripcin de la accin
mental
Comportamiento
AM1
Coordinacin del valor de
una variable con los
cambios en la otra.
Designacin de los ejes con indicaciones verbales de
coordinacin de las dos variables (e.g., y cambia con
cambios en x)
AM2
Coordinacin de la
direccin del cambio de una
variable con los cambios en
la otra variable.
Construccin de una lnea recta creciente.
Verbalizacin de la consciencia de la direccin del
cambio del valor de salida mientras se consideran los
cambios en el valor de entrada.
AM3
Coordinacin de la cantidad
de cambio de una variable
con los cambios de la otra.
Localizacin de puntos/construccin de rectas secantes.
Verbalizacin de la consciencia de la cantidad de cambio
del valor de salida mientras se consideran los cambios en
el valor de entrada.
AM4
Coordinacin de la razn de
cambio promedio de la
funcin con los incrementos
uniformes del cambio en la
variable de entrada.
Construccin de rectas secantes contiguas para el
dominio.
Verbalizacin de la consciencia de la razn de cambio del
valor de salida (con respecto al valor de entrada) mientras
se consideran los incrementos uniformes del valor de
entrada.
25
AM5
Coordinacin de la razn de
cambio instantnea de la
funcin con los cambios
continuos en la variable
independiente para todo el
dominio de la funcin.
Construccin de una curva suave con indicaciones claras
de los cambios de concavidad.
Verbalizacin de la consciencia de los cambios
instantneos en la razn de cambio para todo el dominio
de la funcin (los puntos de inflexin y la direccin de
las concavidades son correctos.
Tabla 2. Acciones mentales del Marco conceptual para la covariacin. Tomado de Carlson
et al. (2003, p.128 ).
Con base en estas acciones mentales Carlson et al. (2003, p.128) clasifican a los estudiantes
en niveles (ver Tabla 3) de acuerdo con la imagen global que parece sustentar a las varias
acciones mentales que esa persona exhibe en el contexto de un problema o tarea.
Niveles Caractersticas
Nivel 1 (N1).
Coordinacin
En el nivel de coordinacin, las imgenes de covariacin pueden sustentar a la
accin mental de coordinar el cambio de una variable con cambios en la otra
variable (AM1).
Nivel 2 (N2)
Direccin
En el nivel de direccin, las imgenes de la covariacin pueden sustentar a las
acciones mentales de coordinar la direccin del cambio de una de las variables
con cambios en la otra. Las acciones mentales identificadas como AM1 y
AM2 ambas son sustentadas por imgenes de N2.
Nivel 3 (N3)
Coordinacin
Cuantitativa
En el nivel de la coordinacin cuantitativa, las imgenes de la covariacin
pueden sustentar a las acciones mentales de coordinar la cantidad de cambio
en una variable con cambios en la otra. Las acciones mentales identificadas
como AM1, AM2 y AM3 son sustentadas por las imgenes N3.
Nivel 4 (N4)
Razn promedio
En el nivel de la razn promedio, las imgenes de covariacin pueden
sustentar a las acciones mentales de coordinar la razn de cambio promedio
de una funcin con cambios uniformes en los valores de entrada de la
variable. La razn de cambio promedio se puede descomponer para coordinar
la cantidad de cambio de la variable resultante con los cambios en la variable
de entrada. Las acciones mentales identificadas como AM1 hasta AM4 son
sustentadas por imgenes N4.
Nivel 5 (N5) Razn de cambio
instantnea
En el nivel de la razn instantnea, las imgenes de covariacin pueden
sustentar a las acciones mentales de coordinar la razn de cambio instantnea
de una funcin con cambios continuos en la variable entrada. Este nivel
incluye una consciencia de que la razn de cambio instantnea resulta de
refinamientos ms y ms pequeos en la razn de cambio promedio. Tambin
incluye la consciencia de que el punto de inflexin es aquel en el que la razn de cambio pasa de ser creciente a decreciente o al contrario. Las acciones
mentales identificadas como AM1 a AM5 son sustentadas por las imgenes de
N5.
Tabla 3. Marco conceptual para los niveles de la covariacin. Tomado de Carlson et al. (2003, p.
129).
En el diseo de este marco conceptual pueden identificarse caractersticas como la
jerarquizacin, recursividad y el desarrollo del razonamiento como un proceso creciente,
26
puesto que la ubicacin de un estudiante en un nivel determinado, supone el desarrollo de
las acciones mentales previas al nivel. En palabras de Carlson et al. (2003, p. 130) a
medida que la imagen de covariacin que tiene un individuo se desarrolla, ella sustenta un
razonamiento covariacional ms sofisticado.
Como una aplicacin a su marco conceptual, Carlson y sus colaboradores realizan un
estudio con veinte estudiantes que haban terminado recientemente un curso de clculo con
desempeo sobresaliente. Para el estudio, estos investigadores disearon un instrumento
con cinco tems correspondientes a tareas de covariacin y posteriormente realizaron una
entrevista a seis estudiantes. Los resultados del estudio muestran que estos estudiantes
tuvieron dificultades para construir imgenes de una razn que cambia de manera
continua y en particular, dificultades para representar e interpretar imgenes de una razn
decreciente o creciente para una situacin fsica (p. 147) y aunque los estudiantes
tuvieron un desempeo favorable asociado a los niveles 1, 2 y 3 del marco conceptual,
pareci persistir su dificultad para ver una razn instantnea imaginando refinamientos
ms y ms pequeos de la razn de cambio promedio (p.148) Esta investigacin pone en
evidencia que en estudiantes que han completado un curso de clculo con desempeo
sobresaliente, persisten dificultades para una comprensin de la tasa de variacin
instantnea en lo cual se encuentran los cimientos para una compresin de la derivada. Por
tanto, una compresin de concepto de derivada puede verse como un proceso complejo, no
inmediato y su comprensin involucra un avance en la comprensin de la tasa de variacin
mediaa la tasa de variacin instantnea.
1.3.2 El estudio de la variacin desde el punto de vista socioepistemolgico
Uno de los programas para el estudio de la variacin que ha ganado fuerza en
Latinoamrica es el Pensamiento y Lenguaje Variacional establecido por el CLAME
(Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa). En este programa se aborda el
concepto de variacin, y en general, a la Matemtica Educativa desde un enfoque
socioepistemolgico. Cantoral (2004, p. 1) sostiene que el conocimiento matemtico,
an aquel que consideramos avanzado, tiene un origen y una funcin social asociados a un
conjunto de prcticas humanas socialmente establecidas, y con base en esta premisa
puntualiza que:
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La socioepistemologa, o epistemologa de las prcticas sociales relativas al
saber, es una aproximacin terica de naturaleza sistmica que permite
tratar con los fenmenos de produccin y difusin del saber desde una
perspectiva mltiple, pues articula en una misma unidad de anlisis a las
interacciones entre la epistemologa del conocimiento, su dimensin
sociocultural, los procesos cognitivos que le son asociados y los mecanismos
de su institucionalizacin va la enseanza (p. 1).
De esta manera, el programa Pensamiento y Lenguaje Variacionales entendido como una
lnea de investigacin que, ubicada en el seno del acercamiento socioepistemolgico,
permite tratar la articulacin entre la investigacin y las prcticas sociales que dan vida a la
matemtica de la variacin y el cambio en los sistemas didcticos (Cantoral yFarfn, 1998).
Desde este misma perspectiva, Buenda y Ordez (2009)afirman que desde la
Socioepistemologa se ha dado evidencia de que el desarrollo de estrategias propias de
un pensamiento y lenguaje variacional genera bases de significacin para diferentes
conceptos del clculo y preclculo, entre ellos, la derivada (p. 8).
Algunos de los trabajos desarrollados desde la perspectiva Socioepistemolgica se
presentan en Resndiz (2006), Diaz (2005), Dolores y Cuevas (2007), Farfn (1997),
Cantoral (2004), Buenda y Ordez (2009).
El trabajo de Diaz(2005) analiza modos de pensar que los estudiantes ponen en juego a la
hora de enfrentar el estudio de la variacin. Como propsito, Daz abord la pregunta por
aquellas facetas tanto congruentes como contradictorias de las representaciones
cotidianas de variacin y aquellas de las matemticas, que favorecen u obstaculizan los
aprendizajes tendientes a la formacin de un pensamiento variacional en los estudiantes y
las estudiantes (p. 147). Su trabajo coloca en evidencia las complejidades de las epistemes
de las que somos portadores tanto los estudiantes, como los profesores y especialistas
mostrando lo desafiante que es la construccin de ideas variacionales que dialoguen con las
epistemes asociadas y que generen redes de significados entre ellas. Entre las epistemes
asociadas a la variacin, Daz (2005) describe: visual de variacin; representaciones del
tiempo; y, una metfora didctica para lo inverso.
28
Por otro lado, Resndiz (2006) presenta una investigacin en la cual, el papel lo ocupa el
discurso de los profesores en la clase de matemticas cuando se pretende ensear
conceptos y procesos matemticos ligados a la nocin de variacin en los primeros cursos
de clculo diferencial en ingeniera, en particular, centra la atencin en los conceptos de
funcin y derivada como modelos para el estudio de la variacin. El discurso constituye el
espacio donde se construyen, negocian e interpretan los significados en la interaccin
social que se realiza en la escuela, por lo tanto construir conocimiento en interaccin
requiere del lenguaje usado socialmente(p. 435).
Por su parte, Dolores y Cuevas (2007, pp. 75-76) establecen la importancia del estudio de la
variacin en la interpretacin de grficas y afirman que las grficas cartesianas [] son
una herramienta til porque posibilita la deteccin de tendencias, facilita las
comparaciones y se constituye en un medio idneo para analizar el comportamiento de
fenmenos de variacin. A partir de esta idea establecen cinco acciones para el anlisis de
funciones, las cuales se expresan mediante las siguientes preguntas: Qu cambia?,
Cunto cambia?, Cmo cambia?, Qu tan rpido cambia? y Cmo se comporta
globalmente la grfica?
El estudio de la relacin entre una funcin y sus derivadas para el caso de funciones
peridicas fue centro de la investigacin de Buenda y Ordez (2009). En su investigacin
estos autores asumieron la perspectiva de prcticas sociales para proponer elementos que
resignifiquen tal relacin en un contexto de variacin. Desde la investi
