Lakatos, poliedros y otros monstruos

José Ivanhoe Vélez Herrera

ProgramaDatos biográficosEmpirismo y matemáticas

Ciencia e historiaDemarcación y otros conflictos

Datos biográficosImre Lipsitz nació en Debrecen,

Hungría en 1922. Se graduó en matemáticas, física

y filosofía en 1944 en la Universidad de Debrecen.

Tuvo que huir durante la segunda guerra mundial, su madre y parte de su familia fue asesinada en Auschwitz. Por esto se cambió de nombre dos veces.

Datos biográficosFue comunista activista, de 1950

a 1953 Lakatos fue aprisionado por la policía de seguridad estatal.

En 1957 obtuvo una Membrecía Rockefeller para estudiar en el Kings College, en Cambridge. Nunca obtuvo nacionalidad.

Murió el 2 de febrero de 1974 a los 51 años de un ataque cardiaco.

Obras importantes

Su serie de artículos más famosa es Proofs and Refutations, sobre filosofía de las matemáticas.

Su obra clave anti-popperiana es Falsification and the Methodology of Scientific Research Programmes.

No terminó con Feyerabend el proyecto de For and Against Method.

Se publicaron de manera póstuma dos volúmenes de Philosophical Papers sobre sus programas de investigación, matemáticas, ciencia y epistemología.

Influencias

Entre sus influencias están Hegel o el filósofo marxista György Lukács. También el matemático húngaro György Pólya.

En un principio fue seguidor de Popper, aplicando parcialmente su metodología a las matemáticas.

Se hizo amigo y rival intelectual de Feyerabend.

RECONSTRUCCIÓN HISTRIÓNICA DEL EMPIRISMO EN LAS MATEMÁTICAS

Una conjetura, pruebas y refutaciones matemáticas.

Empirismo y MatemáticasLakatos hace un paralelismo

entre la ciencia y las matemáticas, y así como en la ciencia ataca el inductivismo como sustento, en las matemáticas ataca lo que llama euclidianismo.

Desde su perspectiva, las matemáticas son falibles.

Hechos en polígonos

Poliedro Vértices

Aristas

Cuadrado 4 4

Rectángulo 4 4

Triángulo 3 3

Pentágono 5 5

Hexaedro 6 6

Trapecio 4 4

Rombo 4 4

Romboide 4 4

Hechos en poliedros

Poliedro Caras Vértices

Aristas

Cubo 6 8 12

Prisma triangular 5 6 9

Prisma pentagonal 7 10 15

Pirámide cuadrangular

5 5 8

Pirámide triangular 4 4 6

Pirámide pentagonal

6 6 10

Octaedro 8 6 12

Torre 9 9 16

Cubo truncado 7 10 15

Una conjeturaPara todos los poliedros, la suma

de los vértices y las caras, menos sus aristas, es dos (V – A + C = 2).

Una prueba1. Imaginemos un poliedro hueco, con

una superficie de goma. Recortamos una cara y la ponemos sobre un plano sin romperlo, dejando V – A + C = 1.

2. Triangulamos nuestro mapa con diagonales. Con esto V – A + C no variará.

3. Eliminamos los triángulos de uno a uno. Al final, queda un triángulo

V – A + C = 1.

Una prueba

Cuestionando la prueba

¿Rechazamos la prueba?

Quitándo una cara de en medio, no se pierden V ni A, por lo queV – A + C = 0

¡NO! Mejorémosla

Una prueba1. Imaginemos un poliedro hueco, con una

superficie de goma. Recortamos una cara y la ponemos sobre un plano sin romperlo, dejando V – A + C = 1.

2. Triangulamos nuestro mapa con diagonales. Con esto V – A + C no variará.

3. Eliminamos los triángulos fronterizos de uno a uno. Al final, queda un triángulo

V – A + C = 1.

Contraejemplos locales

¿Rechazamos la prueba?

¿Rechazamos la conjetura?

Pero ¿qué es una prueba?Propuesta de Lakatos (al menos

temporal):

Un experimento mental (o “cuasiexperimento”) que sugiera una

descomposición de la conjetura original en subconjeturas o lemas, incorporándola así a un cuerpo de conocimiento tal vez muy lejano.

Contraejemplos locales y globales

V – A + C = 16 – 24 + 12 = 4 V – A + C = 16 – 32 + 16 = 0¿Rechazamos la conjetura?

Método de rendición

¡Me niego! ¡Esos no son poliedros!

¿Qué es un poliedro?

Pues obvio, son esas cosas como los cubos, y demás figuras que

hacemos con papel.

¿Qué es un poliedro?

Un sólido cuya superficie consta de caras poligonales.

Definición 1:

¿Qué es un poliedro?

Una superficie que consta de un sistema de polígonos.

Definición 2:

(Nada qué ver con sólidos)

Contraejemplos locales y globales

V – A + C = 6 – 11 + 8 = 3 V – A + C = 7 – 12 + 8 = 3

Método de exclusión de monstruos.

¿Qué es un poliedro?

Es un sistema de polígonos dispuestos de tal modo que (1) en

cada arista se encontrasen exactamente dos polígonos y (2) fuese posible ir del interior de un

polígono al interior de otro siguiendo un camino que no cruce

una arista por un vértice.

Definición 3:

Contraejemplos locales y globales

V – A + C = 6 – 11 + 8 = 3 V – A + C = 7 – 12 + 8 = 3

¿Son peligrosos los monstruos? ¿Será todo cosa de lenguaje?

Método de exclusión de monstruos.

Método de exclusión de “excepciones” (porque “monstruos” suena feo)

Recordando el método de quitar triángulos de manera que se mantenga la conjetura…◦Para todos los poliedros que no presentan

cavidades (como el par de cubos encajados) y túneles (como el marco del cuadro, V-A+C=2.

◦Quise decir: Para todos los poliedros que no tengan cavidades, túneles o estructura múltiple,

V-A+C=2.◦Bueno pues, que: Todos los poliedros

convexos son eulerianos.

Poliedro convexoAl unir dos puntos cualesquiera

del poliedro, la unión estará dentro o en la superficie del poliedro.

O sea, no estrellitas ni poliedros pegados o con agujeros.

Método de exclusión de “excepciones”La prueba demuestra el teorema,

aunque deja en pie el problema de cuál es el dominio de validez del teorema. Podemos determinar este dominio enunciando y excluyendo cuidadosamente las “excepciones”.

Esas excepciones son luego escritas en la formulación del teorema.

¿Y esto?

¡Hemos excluido poliedros que no son monstruos!

Quizá fuimos demasiado estrictos en nuestra redefinición.

No es convexo…Sí es euleriano

¿Qué tienen en común todos los monstruos anteriores?

V – A + C = 12 – 30 + 20 = 2 V – A + C = 16 – 24 + 10 = 2

Necesitamos contraejemplos globales…

Pero que NO sean locales

Contraejemplos globales

¿Rechazamos el contraejemplo?

Método de ajuste de monstruos.

V – A + C = 12 – 30 + 12 = 6

V – A + C = 32 – 90 + 60 = 2

¡EJEMPLO!

Método de incorporación de lemasTomemos el ejemplo del marco. Mejoremos la prueba para que

sea excluido este monstruo localmente.

V – A + C = 16 – 32 + 16 = 0

Método de incorporación de lemas.Conjetura mejorada por marco de

cuadro:◦Para todo poliedro simple, V – A + C

= 2 (donde poliedro simple es aquel que se puede estirar sobre un plano después de eliminar una cara).

Contraejemplo

V – A + C = 16 – 24 + 11 = 3

Método de incorporación de lemasQuise decir:

◦Para un poliedro simple con todas sus caras simplemente convexas, V – A + C = 2 (donde caras simplemente convexas significa que cualquier cara bisecada por una arista diagonal se separa en dos trozos).

Contraejemplo global

¡UN CILINDRO!

¿Es contraejemplo local?

V – A + C = ¿? – ¿? + 3 = ¿?

¿ ?

Esteee… olvidémoslo por lo pronto… es un chiste… jajaja

Tipos de contraejemploLocal (Prueba) Global (Teorema) Implicaciones

No es contraejemplo

X Se debe mejorar la prueba. Encontrar su límite de aplicación.

X X Utilizar los métodos de exclusión o inclusión de monstruos.

X Probablemente el más peligroso. Buscar cláusulas ocultas que permitan identificar qué tiene de especial el contraejemplo lógico.

Implicaciones

No es contraejemplo

Se debe mejorar la prueba. Encontrar su límite de aplicación.

Utilizar los métodos de exclusión o inclusión de monstruos.

Probablemente el más peligroso. Buscar cláusulas ocultas que permitan identificar qué tiene de especial el contraejemplo lógico.

MÉTODO DE PRUEBAS Y REFUTACIONES

Le paramos con ejemplos y contraejemplos. Esta es la metodología que propone Lakatos

Patrón del descubrimiento matemático1. Conjetura primitiva2. Prueba (experimento mental o

argumento aproximado, que descompone la conjetura primitava en subconjeturas o lemas)

3. Surgen contraejemplos “globales” (contraejemplos de la conjetura primitiva)

Patrón del descubrimiento matemático4. Se reexamina la prueba: el “lema

culpable”, respecto al que el contraejemplo global es un contraejemplo “local”, queda identificado.

Ahora se explicita y se incorpora como condición a la conjetura primitiva. El teorema (la conjetura mejorada) supera a la conjetura primitiva con el nuevo concepto generado por la prueba.

Adiciones al patrón del descubrimiento matemático5. Se examinan pruebas de otros

teoremas por si el lema recientemente descubierto o el nuevo generado por la prueba apareciese en ellos.

Puede que se descubra que este concepto se encuentra en las encrucijadas de diversas pruebas, emergiendo así su importancia básica.

Adiciones al patrón del descubrimiento matemático6. Se comprueban las

consecuencias aceptadas hasta el momento de la conjetura original ya refutada.

7. Los contraejemplos se convierten en ejemplos nuevos, se abren nuevos campos de investigación.

Temas tratados desde donde nos quedamosPrueba puramente deductiva, desde

el vértice, pasando por polígonos hasta poliedros.

Condiciones suficientes y necesarias.Contraejemplos lógicos vs

heurísticos.Traducción de la conjetura a

“términos perfectamente conocidos”.

Casos fuera del ámbito de los poliedros.

Algunos detalles a resaltarLos lemas triviales sólo se

vuelven así cuando pasa mucho tiempo sin contraejemplos… como le pasó a Newton.

Enfoque heurístico (inductivo) vs deductivo (euclídeo).

Algunos detalles a resaltarCrítica a que se muestre la

historia de las matemáticas como avances infalibles, por encima de las ciencias inductivas.

En otras palabras, propone un cuasiempirismo matemático.

¿CÓMO ANDAMOS DE TIEMPO?

¿Sigo hablando de la obra de Lakatos?¿Quieren conversar sobre lo que hemos visto?¿Huimos?

OTROS ASUNTOS

Demarcación, evaluación de teorías científicas, y cómo quemar personas.

Evaluación de teorías científicas

EscepticismoDemarcacionismoElitismo

◦Psicologismo y/o sociologismo◦Autoritarismo e historicismo◦Pragmatismo

DemarcaciónEl problema de la demarcación es

muy importante por la institucionalidad crítica.

Un programa en estado degenerativo o reemplazado es pseudocientífico, pero tiene derecho a tener seguidores y a ejercer la crítica.

Reconocer el estado de un programa cuando hay rivales vigentes es difícil.

Falsacionismo metodológico

Los historiadores popperianos buscan teorías falsables y experimentos cruciales negativos.

Esta perspectiva también contradice la de los descubridores, que veían a los experimentos como formas para verificar creencias más que para falsarlas.

Caso paradigmático: experimento Eddington

Experimento Eddington:

α

α’

α < α’

Programas de investigación científicaLa unidad básica de evaluación

no debe ser una o un conjunto de teorías, sino un “programa de investigación”, con un núcleo firme, que provisionalmente será irrefutable.

Se hacen una serie de hipótesis para ajustar la teoría a las observaciones, estas hipótesis forman el “cinturón de protección”.

Programas de investigación científicaNo existen los experimentos cruciales.Evalúa programas como regresivos y

progresivos.Permite explicar la forma en que los

científicos se portaban con respecto a sus propios experimentos y progresos.

Los programas de investigación científica ofrecen heurísticas negativas y positivas que guían la metodología de los científicos.

Experimento Eddington:

Predicción de otra teoría que es confirmada al mismo tiempo que refuta la rival.

Conclusiones (o algo así)Lakatos vs

◦Karl Popper0

◦Popper1

◦Popper2

◦Thomas Kuhn◦Paul Feyerabend◦Hoy

Bibliografía (2002). In G. Kampis, L. Kvasz, & M. Stoltzner (Eds.),

Appraising Lakatos : mathematics, methodology, and the man. Boston: Kluwer Academic.

Feyerabend, P. (1975). Against Method. Londres: Verso. Gillies, D. (2002). Lakatos' Criticisms of Popper. In G.

Kampis, L. Kvasz, & M. Stöltzner (Eds.), Appraising Lakatos (pp. 13-22). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Kuhn, T. S. (1970). Notes on Lakatos. PSA: Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association. VIII, pp. 137-146. The University of Chicago Press on behalf of the Philosophy of Science Association.

Lakatos, I. (1981). In I. Lakatos, Matemáticas, ciencia y epistemología (D. Ribes Nicolás, Trans., pp. 147-164). Madrid: Alianza Universidad.

BibliografíaLakatos, I. (1976). A Renaissance of

Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics. The British Journal for the Philosophy of Science , 27 (3), 201-223.

Lakatos, I. (1970). History of Science and its Rational Reconstrutions. PSA: Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association , VIII, 91-136.

Lakatos, I. (1978). Pruebas y refutaciones: la lógica del descubrimiento matemático. (J. Worral, E. Zahar, Eds., & C. Salís, Trans.) Madrid: Alianza, 1978.

BibliografíaLakatos, I. (1973, Junio 30). Science and

Pseudoscience (transcript). Retrieved Abril 20, 2010, from The London School of Economics and Political Science: http://www.lse.ac.uk/collections/lakatos/scienceAndPseudoscienceTranscript.htm

Lakatos, I., & Feyerabend, P. (1999). For and against method : including Lakatos's lectures on scientific method and the Lakatos-Feyerabend correspondence / Imre Lakatos and Paul Feyerabend. (M. Motterlini, Ed.) Chicago: University of Chicago Press.

Watkins, J. (2002). The Propositional Content of the Popper-Lakatos Rift. In G. Kampis, L. Kvasz, & M. Stöltzner (Eds.), Appraising Lakatos (pp. 3-12). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Y ASÍ