Les mathématiques au Les mathématiques au collège :collège :

l'évaluation et le l'évaluation et le programme de 6ème programme de 6ème

2005-20062005-2006

Académie de ReimsAcadémie de Reims

Ce diaporama est plus particulièrement destiné Ce diaporama est plus particulièrement destiné aux enseignants ayant assisté aux journées de aux enseignants ayant assisté aux journées de regroupement 2005/2006.regroupement 2005/2006.Certaines diapositives sont issues des Certaines diapositives sont issues des conférences données à Reims par Eric Roditi et conférences données à Reims par Eric Roditi et Denis Butlen, professeurs à l’IUFM de Créteil.Denis Butlen, professeurs à l’IUFM de Créteil.

SOMMAIRESOMMAIRE

IntroductionIntroduction Ruptures et continuitésRuptures et continuités Evaluations Evaluations Problèmes ouvertsProblèmes ouverts SynthèseSynthèse

1.Introduction1.Introduction la rénovation des programmes de mathématiques, de technologie la rénovation des programmes de mathématiques, de technologie

et de sciences de la vie et de la terre;et de sciences de la vie et de la terre; la rénovation pour la rentrée 2006 du programme de langues la rénovation pour la rentrée 2006 du programme de langues

vivantes et sciences physiques;vivantes et sciences physiques; la prise en compte des évaluations « diagnostic » à l'entrée en la prise en compte des évaluations « diagnostic » à l'entrée en

sixième (les autres évaluations);sixième (les autres évaluations); l'introduction des programmes personnalisés de réussite l'introduction des programmes personnalisés de réussite

éducative; éducative; le déploiement de l'option et du module «  découverte le déploiement de l'option et du module «  découverte

professionnelle » ;professionnelle » ; la poursuite des dispositifs pédagogiques en alternance ou la poursuite des dispositifs pédagogiques en alternance ou

adaptés;adaptés; le projet du nouveau diplôme national du brevet pour la session le projet du nouveau diplôme national du brevet pour la session

2006;2006; le B2i collège;le B2i collège; Les assistants pédagogiques dans les collèges ambition réussite; Les assistants pédagogiques dans les collèges ambition réussite; Les pratiques pédagogiques en sixième et en général Les pratiques pédagogiques en sixième et en général

Ruptures et continuité Ruptures et continuité dans le programme de dans le programme de

mathématiques de l’école mathématiques de l’école au collègeau collège

Assurer la continuitéAssurer la continuité

Assumer les rupturesAssumer les ruptures

L’élève en difficulté en L’élève en difficulté en mathématiquesmathématiques

Il ne sait pas résoudre une tâche complexeIl ne sait pas résoudre une tâche complexe Il recherche une règle lorsqu’il a une tâche simple Il recherche une règle lorsqu’il a une tâche simple

à exécuter (la procédure experte)à exécuter (la procédure experte) Il reste au stade de l’actionIl reste au stade de l’action Il a du mal à s’exprimer (ne travaille pas avec ses Il a du mal à s’exprimer (ne travaille pas avec ses

copains)copains) Il a du mal à changer de point de vue (passer de Il a du mal à changer de point de vue (passer de

3x4=3+3+3+3 à 3x4 comme produit de 4 lignes 3x4=3+3+3+3 à 3x4 comme produit de 4 lignes sur 3 colonnes)sur 3 colonnes)

Il doute de ses connaissancesIl doute de ses connaissances Il n’a pas de méthodeIl n’a pas de méthode

Plan de présentationPlan de présentation

Quel point de rupture? Quel point de rupture? Quels acquis supposés?Quels acquis supposés? Comment assurer la continuité?Comment assurer la continuité? Comment assumer la rupture?Comment assumer la rupture? Pourquoi la rupture est-elle nécessaire?Pourquoi la rupture est-elle nécessaire? Quelle indication pour le professeur Quelle indication pour le professeur

d’école?d’école? Quelle indication pour le professeur de Quelle indication pour le professeur de

collège?collège?

RUPTURES ET CONTINUITERUPTURES ET CONTINUITE

Le nombre décimalLe nombre décimal La notion de fractionLa notion de fraction La multiplication des décimauxLa multiplication des décimaux Du dessin à la figureDu dessin à la figure Les procédures expertesLes procédures expertes Les traces écritesLes traces écrites

Le nombre décimalLe nombre décimal

35,2X100=35,2X100=352035203500,23500,235235235,20035,20035503550350,20350,203,5203,520

La notion de fractionLa notion de fraction

Au cycle 3, on parle de fraction partageAu cycle 3, on parle de fraction partage En sixième, on découvre la fraction En sixième, on découvre la fraction

quotientquotient Au cycle 3, un tiers fois 3 égale 1Au cycle 3, un tiers fois 3 égale 1 En sixième, un tiers est tel que:En sixième, un tiers est tel que:

13 1

3

En quatrième1 1 1 112 12 12

3 4 3 4

1 1 1 112 3 4 4 3

3 4 3 4

1 112 4 3

3 4

1 1 7

3 4 12

L’élève en difficulté et l’actionL’élève en difficulté et l’action

Français-mathématiques 52 outils pour un travail commun en mathématiques

Issu des travaux de Roland Goigoux IUFM Auvergne

La multiplication d’un nombre décimal par un La multiplication d’un nombre décimal par un nombre décimal est au programme de nombre décimal est au programme de sixième depuis 1997 ainsi que la division sixième depuis 1997 ainsi que la division décimaledécimale

Comprendre que multiplier n’est plus Comprendre que multiplier n’est plus équivalent à effectuer une addition réitéréeéquivalent à effectuer une addition réitérée

Comprendre que lorsqu’on effectue la Comprendre que lorsqu’on effectue la multiplication d’un nombre multiplication d’un nombre n n par un nombrepar un nombre m m on n’obtient pas systématiquement un on n’obtient pas systématiquement un nombre plus grand quenombre plus grand que n n

La multiplication des décimauxLa multiplication des décimaux

2004 “ La rénovation des programmes de collège ”

La multiplication de deux décimaux est à mettre en place en sixième, aussi bien du point de vue du sens que du point de vue de la technique de calcul posé. Le sens de la multiplication de deux décimaux est en rupture avec celui de la multiplication de deux entiers notamment par le fait que, dans ce cas, ''une multiplication'' n'agrandit pas toujours.

Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée.

1904 “ Sur l’enseignement de l’arithmétique à l’école primaire ”

– Le maître enseignera le mécanisme de la règle. Je ne suis nullement scandalisé à l’idée que l’enfant ne se rendra pas compte du pourquoi de ce mécanisme, et la confiance qu’il accordera à son maître ne me déplaît en aucune façon. (...) en arithmétique deux points importants : reconnaître quelles opérations on doit faire, c’est à dire au fond bien comprendre les définitions ; puis savoir faire correctement ces opérations : le premier point est affaire d’intelligence, le second de routine, ou, pour parler mieux, d’habitude.

1904 “ Manuel du Certificat d’Aptitude Pédagogique ”

– On dit souvent : peu ou point de théorie. Que restera t il donc ? La routine, le calcul machinal de chiens savants ou des automates. Nous dirons, nous : sans doute, il faut accoutumer les enfants à opérer vite ; c’est un but matériel et pratique qu’il est désirable d’atteindre. Mais qu’on ne craigne pas non plus de les accoutumer à se rendre compte de leurs opérations. (...) des enfants du cours moyen ne peuvent-ils pas savoir utilement (...) pourquoi dans un produit, on doit reculer la virgule vers la gauche d’autant de chiffres qu’il y en a dans les deux facteurs réunis ?

J'achète 3,70 m de tissus à 9,50 F le mètre. Combien dois-je payer ?

En 1980 Réussite TO: 45,5%Recours à une démarche multiplicative

: 77,5% En 1993 Réussite TO: 35,2% Recours à une démarche multiplicative

: 80,5%

A la sortie de l’école primaire, les A la sortie de l’école primaire, les élèves ne savent pas ce que élèves ne savent pas ce que

signifie 5,3x4,2signifie 5,3x4,2

Ils connaissent le sens de 5,3x4 en tant qu’addition réitérée

Donc, pour eux, multiplier c’est augmenter

Il est donc nécessaire d’expliquer le sens de

l’opération avant passer à la procédure

experte

Je veux acheter 3,500 kg de cerises à 2,40 € le kgJe veux acheter 3,500 kg de cerises à 2,40 € le kg

Cycle 3 : Cycle 3 :

Sixième (début) :Sixième (début) :

Sixième (fin) : Sixième (fin) :

Exemple de progression possible dans Exemple de progression possible dans l’acquisition de la multiplication de deux l’acquisition de la multiplication de deux

décimauxdécimaux

3kg coûtent 7,20€

500g coûtent 1,20€donc le prix est de 8,40 €

on multiplie 3,5 par 2u soit 7u

on multiplie 3,5 par 4d soit 14d

on obtient 8,40u

placer la virgule (procédure experte)

Un autre exemple de présentationPar estimation dUn autre exemple de présentationPar estimation de l’aire d’un rectanglee l’aire d’un rectangle

Du dessin à la figureDu dessin à la figure

Du dessin Du dessin à la figureà la figure

premier élèvepremier élève

Du dessin à la Du dessin à la figurefigure

deuxième élèvedeuxième élève

On installe la différence entre desOn installe la différence entre dessin et figuresin et figure

Les procédures expertesLes procédures expertes

NicolasNicolas Les maracasLes maracas

La figure ci-contre représente un cercle de centre O et deux de ses diamètres perpendiculaires. La figure ci-contre représente un cercle de centre O et deux de ses diamètres perpendiculaires. OIAJ et OKBL sont deux rectangles. OIAJ et OKBL sont deux rectangles. Quel est le plus long des deux segments [IJ] ou [KL] ?Quel est le plus long des deux segments [IJ] ou [KL] ?

Retour à figures planesRetour à figures planes

A

B

J

L

IK

m

n

pq O

Les traces écritesLes traces écrites

Les devoirs à la maisonLes devoirs à la maison La prise de notesLa prise de notes Le format et la tenue des cahiersLe format et la tenue des cahiers

Une compétence à continuerUne compétence à continuer

Le calcul mentalLe calcul mental