运筹学 Operations Research

2023年4月19日运筹学Operations Research

Chapter 1 线性规划Linear Programming

1.LP的数学模型 Mathematical Model of LP2. 图解法 Graphical Method3. 标准型 Normalized Form of LP

4. 基本概念 Basic Concepts5. 单纯形法 Simplex Method6. 人工变量法 Artificial Variable Method7. 计算公式 Calculate Formula 8. 附录：软件求解操作及 LP 常用词汇

§1.1 §1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

Linear Programming 2023年4月19日 Page 2 of 21

LP问题

基本概念数学模型可行解、最优解

实际问题 LP问题解的概念基本解、基可行解

提出基本最优解

基本方法

图解法

原始单纯形法

单纯形法大M法

人工变量法

对偶单纯形法两阶段法

对偶理论

进一步讨论

─ ─灵敏度分析参数规划*

在经济管理领域内应用

运输问题（转运问题）

特殊的LP问题整数规划多目标LP问题*



线性规划线性规划（（ Linear ProgrammingLinear Programming 缩写为缩写为 LPLP ））是运是运筹学的重要分支之一筹学的重要分支之一。自 1947 年美国数学家丹捷格（ G.B.Dantzig ）提出了求解线性规划问题的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋于成熟，在实际中的应用日益广泛与深入。特别是在能用计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题之后，它的适用领域更广泛了。从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划与管理、决策等各个领域均可发挥作用；从范围来看，小到一个小组的日常工作和计划安排，大至整个部门以致国民经济计划的最优方案的提出，都有用武之地。它具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点，是现代管理科学的重要基础和手段之一。



线性规划主要解决两个方面的问题：

（ 1 ）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完成？

（ 2 ）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务最多？



产品产品设备设备

甲乙丙甲乙丙设备能力设备能力（小时）（小时）

AA 3 1 23 1 2 2020

BB 2 2 42 2 4 1515

CC 4 0 14 0 1 1616

DD 0 3 50 3 5 1212

利润（元利润（元 //件）件）

4 3 5 4 3 5

【【例例 1.11.1 】某企业计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分】某企业计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别要在别要在 AA 、、 BB 、、 CC 、、 DD 、四种不同的设备上加工。按工艺、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表1-11-1 所示，已知各设备在计划期内的能力分别为所示，已知各设备在计划期内的能力分别为 2020 、、 1515 、、1616 、、 1212 小时；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获小时；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为得利润分别为 44 、、 33 、、 55 元。企业决策者应如何安排生产计元。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？划，使企业在计划期内总的利润收入最大？



321 534max xxxZ

【解】设【解】设 xx11 、、 xx22 、、 xx33 分别为甲、乙、丙三种产品的分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：产量数学模型为：



线性规划的数学模型由线性规划的数学模型由决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function及约束条件 Constraints构成。称为三个要素称为三个要素。。

其特征是：其特征是：11 ．解决问题的目标函数是多个决策变量的．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；线性函数，通常是求最大值或最小值；22 ．解决问题的约束条件是一组多个决策变量．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。的线性不等式或等式。

怎样辨别一个模型是线性规划模型？



20

0 万万mm

33

500500 万万mm33

11000

2

500

21

1 xx－

6.18.01000

2

200500

)4.1(28.021

21

xx

xx）－（工厂 2 ：

【例 1.2 】河流 1 ：每天流量 500 万 m3 ；河流 2 ：每天流量 200 万 m3 ,水质要求：污水含量≤ 0.2%

22 万万 mm331.41.4 万万 mm33

污水从工厂 1流向工厂 2 有 20% 可以净化处理污水成本：工厂 1 1000 元 / 万 m3 ；工厂 2 800 元 / 万 m3

问两个工厂每天各处理多少污水总成本最少？

工厂 1 ：

【解】设 x1 、 x2 分别为工厂 1 、 2 每天处理的污水量（万 m3 ），则



0,

4.1

2

6.18.0

1

8001000min

21

2

1

21

1

21

xx

x

x

xx

x

xxZ

数学模型为：



【例 1.3 】下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9 ， 2.1,1.5（ m ），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为 7.4m 。现在要制造 100 台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴？【解】第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的解】第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为根数分别为 yy11,y,y22,y,y33,,则切割方式可用不等式则切割方式可用不等式 2.92.9yy11+2.1+2.1yy22++

1.5y1.5y33≤7.4≤7.4 表示，求这个不等式关于表示，求这个不等式关于 yy11 ，， yy22 ，， yy33 的非负的非负

整数解。例如整数解。例如 yy11=2,y=2,y22=0=0则则 yy33 只能为只能为 11 ，余料为，余料为 0.10.1 。。

象这样的非负整数解共有象这样的非负整数解共有 88 组，也就是有组，也就是有 88 种下料方式，种下料方式，如表如表 1-21-2 所示。所示。第二步：建立线性规划数学模型。设第二步：建立线性规划数学模型。设 xxjj(j=1,2…,8)(j=1,2…,8)

为第为第 jj 种下料方案所用圆钢的根数。则数学模型为种下料方案所用圆钢的根数。则数学模型为



方案方案

规格规格11 22 33 44 55 66 77 88 需求量需求量

yy1(2.9m) 22 11 11 11 00 00 00 00 100100

yy2(2.1m) 00 22 11 00 33 22 11 00 100100

yy3(1.5m) 11 00 11 33 00 22 33 44 100100

0.10.1 0.30.3 0.90.9 00 1.11.1 0.20.2 0.80.8 1.41.487654321min xxxxxxxxZ ＋

82,1,0

1004323

100232

1002

876431

76532

4321

，jx

xxxxxx

xxxxx

xxxx

j

2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表 1－ 2



8765321 4.18.02.01.19.03.01.0min xxxxxxxZ ＋

82,1,0

1004323

100232

1002

876431

76532

4321

，jx

xxxxxx

xxxxx

xxxx

j

最优下料方案为：第一种方案用料 10根，第二种方案 50根，第四种方案 30根，总余料为 16m 。

用 §1.5 的单纯形法求得最优解为 x1=10,x2=50,x4=30 ，其余 x 为零，即第一种方案用料 10根，第二种方案用 50根，第四种方案用 30根，共计用料 90根。

如果要求余料最少，则目标函数及约束条件为：如果要求余料最少，则目标函数及约束条件为：



注意： 1 .余料不能超过最短毛坯的长度； 2. 最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的；不能遗漏了方案。 3. 在实际中，如果毛坯规格较多，毛坯的长度又很短的方案可能很多，甚至有几千个方案，这时用人工计算几乎是不可能的，使用计算机来确定下料方式。



一般地，假设线性规划数学模型中，有 m 个约束，有 n 个决策变量 xj, j=1,2…,n ，目标函数的变量系数用 cj 表示 , cj 称为价值系数。约束条件的变量系数用 aij 表示， aij 称为工艺系数。约束条件右端的常数用 bi 表示 , bi 称为资源限量。



nn xcxcxcZ 2211max(min)

njx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

j

mnmnmm

nn

nn

,,2,1,0

),(

,(

),(

2211

22222121

11212111

或

或或

则线性规划数学模型的一般表达式可写成：则线性规划数学模型的一般表达式可写成：



n

jjj xcZ

1

max(min)

minjx

bixa

j

n

jjij ,,2,1

,,2,1,0

),(1

或

在实际中一般在实际中一般 xxjj≥0,≥0,但有时但有时 xxjj≤0≤0 或或 xxjj 无符号限制。无符号限制。

为了书写方便，上式也可写成为了书写方便，上式也可写成


Linear Programming

Page 17 of 212023年4月19日

1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子2. 线性规划数学模型的组成及其特征3. 线性规划数学模型的一般表达式。

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