Universidade Federal da Integrao LatinoAmericanaDocente: Newton Solrzano

Curso: _____

Clculo IIIExerccios 3

Temas Abordados: Equaes Diferenciais de 2a, conjunto fundamental de solues, variaodos parmetros

1. Verifique que:

a) y1(t) = t2, y2(t) = t1 e y(t) = c1y1(t)+c2y2(t) so solues da equao diferencialt2y 2y = 0, para t > 0;

b) y1(t) = 1 e y2(t) = t1/2 so duas solues da equao diferencial yy + (y)2 = 0,para t > 0 mas y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) no , em geral, soluo.

c) se (t) soluo da equao diferencial y+p(t)y+q(t)y = g(t), ento y(t) = c(t) soluo da equao diferencial y + p(t)y + q(t)y = cg(t)

2. possvel que y(t) = sen(t2) seja soluo da equao y + p(t)y + q(t)y = 0, onde oscoeficientes so contnuos num intervalo contendo t = 0? Justifique sua resposta.

3. Se o Wronskiano W de f e g, W (f, g)(t) = 3e4t e f(t) = e2t, determine g(t).

4. Verifique se as funes y1 e y2 dadas, constituem um conjunto fundamental de soluesda equao diferencial dada:

a) y + 4y = 0, y1(t) = cos(2t), y2(t) = sen(2t).b) x2y x(x+ 2)y + (x+ 2)y = 0, 0 < x < pi, y1(t) = x, y2(t) = xex.

5. Calcule o Wronskiano das funes y1 e y2 sabendo que so solues da equao diferencialdada.

a) t2y t(t+ 2)y + (t+ 2y) = 0,b) ty + 2y + tety = 0, e W (y1, y2)(1) = 2

6. Resolva pelo mtodo da variao deos parametros as seguintes equaes

a) y + y = tan t, 0 < t < /2, y1(t) = cos t, y2(t) = sen(t),b) y + 4y + 4y = t2e2t, t > 0, y1(t) = e2t, y2(t) = te2t,c) t2y 2y = 3t2 1, t > 1, y1(t) = t2, y2(t) = t1,d) ty (1 + t)y y = t2e2t, t > 0, y1(t) = et, y2(t) = 1 + t

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RESPOSTAS

1. a) a combinao linear de y1 e y2 soluo pois a equao linear homogenea.b) A combinao linear de y1 e y2 no soluo em geral pois a equao no linear.c) soluo pois a equao linear.

2. No soluo pois a nica soluo da equao satisfazendo as condies iniciais, y(0) = 0e y(0) = 0 a soluo nula.

3. g(t) = 3te2t + ce2t.

4. a) Sim, um conjunto fundamentalb) Sim, um conjunto fundamental.

5. a) W (y1, y2) = ct2et

b) W (y1, y2) = c/x2, como W (y1, y2)(1) = 2 ento c = 2.

6. a) y(t) = c1 cos t+ c2 sen t (cos t) ln(tan t+ sec t),b) y(t) = c1e2t + c2te2t e2t ln t,c) y(t) = c1t2 + c2t1 + 12 + t

2 ln t,d) y(t) = c1et + c2(1 + t) + 12(t 1)e2t.

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