Embed Size (px)
Citation preview
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————————————–
NGUYỄN VĂN ĐIỂN
BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI BAO HÀM THỨCTIẾN HÓA BẬC CAO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————
NGUYỄN VĂN ĐIỂN
BÀI TOÁN CÔ-SIVỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO
Chuyên ngành: Toán Giải tíchMã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Kế
Hà Nội, 2012
Lời cảm ơn
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. TrầnĐình Kế đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quátrình làm luận văn.
Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầycô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hànội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt2, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tậpvà làm luận văn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Văn Điển
1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫnvà giúp đỡ tận tình của TS. Trần Đình Kế. Tôi xin cam đoan sốliệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và khôngtrùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn, các tài liệutham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưađược công bố trên bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào.
Hà Nội, tháng 9 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Văn Điển
2
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 81.1 Họ giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Không gian pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén . . . . . . . 14
2 Bài toán tổng quát 19
3 Ứng dụng giải thức suy rộng cho phương trình tiến hóacấp hai dạng đầy đủ 29
3
Các kí hiệu
N tập hợp số tự nhiên
N∗ tập hợp số tự nhiên khác 0
R tập hợp số thực
R+ tập hợp số thực không âm
C tập hợp số phức
i đơn vị ảo trong tập số phức
∆ toán tử Laplace
MNC độ đo không compact
(u.s.c) nửa liên tục trên
4
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Lý thuyết nửa nhóm là một công cụ mạnh cho việc nghiên cứu tínhđặt đúng của các lớp bài toán liên quan đến phương trình vi tích phân.Cụ thể, tính đặt đúng của bài toán Cô-si đối với phương trình vi phâncấp một
(CP1)
u′(t) = Au(t), t > 0
u(0) = ξ
liên quan chặt chẽ với việc A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, ởđây hàm trạng thái u lấy giá trị trong một không gian Banach X nàođó. Để nghiên cứu tính đặt đúng của các bài toán với phương trình viphân bậc cao, ví dụ
(CP2)
u′′(t) + Au′(t) +Bu(t) = 0, t > 0
u(0) = ξ, u′(0) = η,
người ta tìm cách đưa nó về hệ phương trình bậc nhất để có thể ápdụng các kết quả của lý thuyết nửa nhóm. Tuy nhiên công việc nàykhông phải bao giờ cũng thực hiện được bởi sau khi chuyển về hệbậc nhất, toán tử ma trận không có các tính chất đủ tốt để sinh ranửa nhóm. Do vậy người ta đặt vấn đề xây dựng một giải thức suyrộng cho các phương trình bậc cao, tương tự như nửa nhóm đối vớiphương trình bậc nhất để nghiên cứu tính giải được của các bài toánliên quan. Các kết quả đối với bài toán tuyến tính tổng quát có thểtìm thấy trong các tài liệu [38].
Cho đến nay, vì lý do kỹ thuật, các kết quả đối với bài toán nửatuyến tính còn ít được biết đến, nhất là đối với bài toán Cô-si với baohàm thức vi phân bậc cao. Với kỳ vọng tiếp cận một vấn đề nghiêncứu của toán học hiện đại, tôi chọn đề tài:
"Bài toán Cô-si đối với bao hàm thức tiến hóa bậc cao"
Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si tổng quátvới bao hàm thức vi phân bậc cao có trễ vô hạn dựa trên các kết quảvề giải thức suy rộng đã được thiết lập cho phương trình tuyến tính.
5
Mục đích nghiên cứu
Áp dụng lý thuyết giải thức suy rộng để tìm điều kiện tồn tại nghiệmcho các bài toán Cô-si với bao hàm thức vi phân bậc cao. Trong đóchú trọng đến lớp bài toán (CP2).
Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý thuyết giải thức suy rộng cho phương trình vi phântuyến tính bậc cao.
2. Nghiên cứu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị.
3. Tìm điều kiện giải được cho các bài toán Cô-si nửa tuyến tính.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình và bao hàm thức vi phânbậc cao.
• Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, cấu trúc tập hợp nghiệmcủa bài toán Cô-si đối với phương trình và bao hàm thức vi phânbậc cao.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, lý thuyết nửanhóm, giải thức suy rộng và độ đo không compact (MNC).
Dự kiến đóng góp mới và hướng nghiên cứu tiếp theo
Xác lập các điều kiện đủ cho tính giải được của một lớp bài toán đốivới bao hàm thức vi phân bậc cao. Một số vấn đề đặt ra cho nhữngnghiên cứu tiếp theo:
1. Sự tồn nghiệm tuần hoàn của bài toán: nghiệm có tính chấtu(0) = u(T );
2. Sự tồn tại nghiệm ràng buộc của bài toán: nghiệm có tính chấtu(t) ∈ K, ∀t ∈ [0, T ], trong đó K là một tập đóng trong khônggian pha;
6
3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t→ +∞.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Bài toán tổng quátXét bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc cao:
u(N)(t) +N−1∑i=0
Aiu(i)(t) ∈ F (t, u(t), ut), t ∈ [0, T ], (1.1)
u(i)(0) = ui, i = 1, ..., N − 1, (1.2)
u(s) = ϕ(s), s ∈ (−∞, 0], (1.3)
trong đó N > 1, Ai, i=0,...,N-1, là các toán tử tuyến tính trên khônggian Banach (X, ‖.‖) và F là một ánh xạ đa trị, sẽ được mô tả chi tiết
ở phần sau. Ở đây ut mô tả trạng thái lịch sử của hàm u tính đến thờiđiểm t, nghĩa là ut(s) = u(t+ s) với s ∈ (−∞, 0].
Có thể thấy phương trình vi phân bậc cao dạng (1.1) xuất hiệntrong nhiều mô hình thực tế của cơ học, vật lý, công nghệ cũng nhưđiều khiển, trong đó Ai là các toán tử vi phân đạo hàm riêng. Mộtcách tiếp cận phổ biến là đưa phương trình (1.1) về hệ phương trìnhbậc nhất trong không gian hàm thích hợp và nghiên cứu hệ này bằngcông cụ lý thuyết nửa nhóm. Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các tàiliệu [13, 34, 38], phương pháp này khó thực hiện khi mà không giannghiệm không thể xây dựng được một cách tường minh hoặc là khônggian nghiệm được xây dựng rất khó ứng dụng trong thực tế. Ngoài ra,như đã đề cập trong các công trình [13, 39], việc nghiên cứu trực tiếpphương trình bậc cao có thể nhận được các kết quả tổng quát hơn.
Bài toán Cô-si trong trường hợp N = 1 đã được nghiên cứu rộngrãi bằng cách tiếp cận nửa nhóm. Phương pháp này được trình bàychi tiết trong các tài liệu [12, 25, 34, 37]. Tiếp theo, người ra tổng
8
quát hóa khái niệm nửa nhóm liên tục bằng cách xây dựng khái niệmnửa nhóm tích phân (xem [2, 3, 6, 23, 30, 36]) và nửa nhóm chínhquy hóa (xem [8, 38]), để nghiên cứu nhiều lớp bài toán tổng quát liênquan đến phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai, trong đó các toántử Ai không nhất thiết phải xác định trù mật (như trường hợp nửanhóm liên tục). Chúng tôi xin giới thiệu các công trình có liên quanđến luận văn bao gồm [8, 9, 18, 21, 27, 32, 33, 39]. Sau đó, một kháiniệm tổng quát hóa của nửa nhóm tích phân và nửa nhóm chính quyhóa được giới thiệu trong [10, 11] được gọi là họ giải thức và khái niệmmở rộng của nó được xây dựng trong [40]. Trong [10], tác giả đưa ramột ví dụ để minh chứng sự hạn chế của cả hai khái niệm nửa nhómtích phân và nửa nhóm chính quy hóa. Cụ thể, với một số lớp phươngtrình, toán tử Ai không sinh ra nửa nhóm tích phân cũng như nửanhóm chính quy hóa, đặc biệt trong trường hợp Ai có dạng ma trậncác toán tử. Lý do là nửa nhóm tích phân đòi hỏi toán tử sinh phảicó tập giải khác rỗng, trong khi nửa nhóm chính quy hóa đòi hỏi mộtsố tính chất giao hoán mà toán tử dạng ma trận không thể đáp ứng.
Sử dụng khái niệm họ giải thức trong [40], ta sẽ chứng minh tínhgiải được của bài toán (1.1)-(1.3) với các điều kiện thích hợp áp đặtlên hàm phi tuyến F thông qua độ đo không compact (MNC). Cáchtiếp cận của chúng tôi là sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánhxạ đa trị nén. Kỹ thuật này được phát triển trong [22]. Ngoài ra, ứngdụng của giải tích đa trị cho việc nghiên cứu các bao hàm thức viphân có thể tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 16, 20, 24].
Có thể nói rằng bài toán với phương trình vi phân có trễ vô hạnnhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học (xem[19, 26, 14, 15, 28, 29, 32] và các tài liệu liên quan). Thông thường,trạng thái lịch sử của hệ được xem xét trong không gian pha, xác địnhbởi hệ tiên đề đề xuất bởi Hale và Kato (xem [17]).
1.1 Họ giải thức
Cho toán tử tuyến tính A trên không gian Banach (X, ‖ · ‖). Ta kýhiệu D(A) và R(A), là miền xác định và, tương ứng, miền giá trị củaA. Ký hiệu [D(A)] là không gian định chuẩn D(A) xác định bởi chuẩn
9
đồ thị‖x‖[D(A)] = ‖x‖+ ‖Ax‖, x ∈ D(A).
Ký hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X.Với B ∈ L(X), ta ký hiệu [R(B)] là không gian Banach R(B) vớichuẩn
‖x‖[R(B)] = inf‖y‖ : By = x.Với hằng số dương ω, ta nói G ∈ LTω−L(X) nếu G : (ω,∞)→ L(X)và tồn tại hàm liên tục H : [0,∞) → L(X), ‖H(t)‖ = O(eωt) sao chovới mọi λ > ω, ta có
G(λ)x =
∫ ∞0
e−λtH(t)xdt, với mọi x ∈ X.
Những tính chất đặc tả của không gian LTω −L(X) có thể tìm trong[2, 38]. Với λ ∈ R, đặt
Pλ = λN +N−1∑i=0
λiAi, Rλ = P−1λ
nếu toán tử ngược tồn tại.Giả sử E0 ∈ L(X) là một đơn ánh. Ta nhắc lại khái niệm E0-họ
giải thức đã trình bày trong [40].
Định nghĩa 1.1. Một họ các toán tử tuyến tính liên tục E(t)t>0 ⊂L(X) được gọi là một E0-họ giải thức đối với tập các toán tử (Ai)
N−1i=0
nếu với mọi x ∈ X, t > 0, ta có E(·)x ∈ CN−1((0,∞);X), E(i−1)(t)x ∈D(Ai), AiE
(i−1)(·)x ∈ C((0,∞);X), i = 0, .., N − 1, và
E(t)x+N−1∑i=0
Ai
∫ t
0
(t− s)n−i−1
(n− i− 1)!E(s)xds =
tN−1
(N − 1)!E0x,
trong đó
E(j)(t)x =dj
dtj(E(t)x), j ∈ N,
E(−j)(t)x =
∫ t
0
(t− s)j−1
(j − 1)!E(s)xds, j ∈ N\0.
10
Ví dụ về họ giải thức có thể xem trong [40]. Ở đây, ta nhắc lạimối liên quan giữa họ giải thức với nửa nhóm tích phân và nửa nhómchính quy hóa trong trường hợp N = 1 (xem [10]).
Giả sử C ∈ L(X) là một đơn ánh, A là toán tử tuyến tính đóngtrên X sao cho CA ⊂ AC. Khi đó ta định nghĩa C-tập giải của A nhưsau
ρC(A) = λ ∈ C : (λI − A) là đơn ánh,
R(C) ⊂ R(λI − A) và (λI − A)−1C ∈ L(X).
Định nghĩa 1.2. Cho ω, r ∈ R, r > 0. Nếu (ω,+∞) ⊂ ρC(A) vàtồn tại Sr(·) : R+ → L(X) thỏa mãn t 7→ Sr(t)u ∈ C(R+;X) với mỗiu ∈ X sao cho
‖Sr(t)‖L(X) 6Meωt, t > 0, M > 0,
và
(λI − A)−1Cu = λr∫ +∞
0
e−λtSr(t)dt, λ > ω, u ∈ X.
thì ta nói A là phần tử sinh của nửa nhóm tích phân bậc r, C-chínhquy hóa Sr(t)t>0. Nếu r = 0 (tương ứng, C = I), thì Sr(t)t>0 đượcgọi là nửa nhóm C-chính quy hóa (tương ứng, nửa nhóm tích phân bậcr) và A được gọi là phần tử sinh của Sr(t)t>0.
Các tính chất của nửa nhóm tích phân bậc r, C-chính quy hóa cóthể xem trong [10, 38]. Chú ý rằng, nếu r ∈ N, λ0 ∈ ρI(A), thì A làphần tử sinh của nửa nhóm tích phân bậc r nếu và chỉ nếu A là phầntử sinh của nửa nhóm (λ0I −A)−r-chính quy hóa (xem [38, Theorem1.6.7]). Khẳng định sau đây cho ta mối liên hệ giữa họ giải thức vànửa nhóm chính quy hóa.
Định lý 1.1 ([10]). Giả sử W (t)t>0 là một nửa nhóm C-chínhquy hóa, sinh bởi A. Nếu
∫ t0 W (s)xds ∈ D(A) với t > 0, x ∈ X thì
W (t)t>0 là một C-họ giải thức của A.
Điều kiện đảm bảo sự tồn tại của E0-họ giải thức đối với tập toántử (Ai)
N−1i=0 được trình bày trong định lý sau.
11
Định lý 1.2 ([40]). Giả sử các toán tử Ai, i = 0, ..., N − 1, là đóngvà Pλ là đơn ánh với λ > ω. Khi đó tập các toán tử (Ai)
N−1i=0 có một
E0-họ giải thức E(t)t>0 ⊂ L(X) thỏa mãn
‖E(N−1)(t)‖, ‖AiE(i−1)(s)‖ 6Meωt, i = 0, ..., N − 1,
nếu và chỉ nếu R(E0) ⊂ R(Pλ) và
λN−1RλE0, λi−1AiRλE0 ∈ LTω − L(X), i = 1, ..., N − 1. (1.4)
Với 0 6 k 6 N − 1, ta kí hiệu
Dk = x ∈k⋂j=0
D(Aj) : Ajx ∈ R(E0) for all 0 6 j 6 k. (1.5)
Xét bài toán thuần nhất tương ứng với (1.1) - (1.3)
u(N)(t) +N−1∑i=0
Aiu(i)(t) = 0, t > 0, (1.6)
u(i)(0) = ui, i = 1, ..., N − 1, u(0) = u0 = ϕ(0) (1.7)
ta có kết quả sau về tính giải được của nghiệm cổ điển, tức là hàmu(·) ∈ CN((0,∞);X) sao cho u(i)(t) ∈ D(Ai), t > 0, 0 6 i 6 N − 1,thỏa mãn (1.6)-(1.7).
Định lý 1.3 ([40]). Giả sử tồn tại một E0-họ giải thức E(t)t>0 đốivới tập toán tử (Ai)
N−1i=0 , khi đó với u0 ∈ D0, ..., uN−1 ∈ DN−1, bài toán
(1.6)-(1.7) có một nghiệm cho bởi
u(t) =N−1∑i=0
[ti
i!ui −
i∑j=0
∫ t
0
(t− s)i−j
(i− j)!E(s)vijds
], t > 0,
trong đó vij ∈ X là các phần tử sao cho
Ajui = E0vij, 0 6 j 6 i, 0 6 i 6 N − 1.
Nghiệm cho bởi công thức trên thỏa mãn các ước lượng, với hàm bịchặn cục bộ R(t):
‖uN(t)‖, ‖u(k)(t)‖[D(Ak)] 6 R(t)N−1∑i=0
(‖ui‖+
i∑j=0
‖Ajui‖[R(E0)]
)(1.8)
với mọi t > 0 và 0 6 k 6 N − 1.
12
1.2 Không gian pha
Cho B là một không gian tuyến tính, với nửa chuẩn | · |B, bao gồmcác hàm số từ (−∞, 0] vào E - không gian Banach. Khái niệm khônggian pha B cho các phương trình với trễ, được đưa ra bởi Hale vàKato (xem [19]), bao gồm các tiên đề: Nếu v : (−∞, T ] → E sao chov|[0,T ] ∈ C([0, T ];E) và v0 ∈ B, thì(B1) vt ∈ B với mọi t ∈ [0, T ];
(B2) hàm t 7→ vt liên tục trên [0, T ];
(B3) |vt|B 6 K(t) sup‖v(s)‖E : 0 6 s 6 t + M(t)|v0|B, trong đóK,M : [0, T ]→ [0,∞), K là hàm liên tục, M là hàm bị chặn, cảhai hàm này không phụ thuộc v.
Sau đây là các ví dụ về không gian pha thỏa mãn các tiên đề nêutrên.
(1) Với η > 0, ký hiệu B = Cη là không gian các hàm liên tụcψ : (−∞; 0]→ E thỏa mãn lim
θ→−∞eηθψ(θ) với
|ψ|B = sup−∞<θ≤0
eηθ‖ψ(θ)‖.
(2) (Không gian "giảm nhớ"). Giả sử 1 6 p < +∞, 0 6 r < +∞ vàg : (−∞,−r]→ R là hàm không âm, đo được xác định trên (−∞,−r).Ký hiệu CLpg là họ các hàm số ϕ : (−∞, 0] → Xsao cho ϕ liên tục
trên [−r, 0] và g(θ)‖ϕ(θ)‖pX ∈ L1(−∞,−r). Nửa chuẩn trong CLpg cho
bởi
|ϕ|CLpg
= sup−r6θ60
‖ϕ(θ)‖X+[ ∫ −r−∞
g(θ)‖ϕ(θ)‖pXdθ] 1
p
. (1.9)
Giả thiết thêm rằng∫ −rs
g(θ)dθ < +∞, với mọi s ∈ (−∞,−r) và (1.10)
g(s+ θ) 6 G(s)g(θ) với s 6 0 và θ ∈ (−∞,−r), (1.11)
trong đó G : (−∞, 0]→ R+ bị chặn địa phương. Theo [19], nếu (1.10)-(1.11) được thỏa mãn thì CLpg thỏa mãn (B1)-(B3).
Có thể tìm hiểu thêm về không gian pha trong [19].
13
1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén
Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả của giải tíchđa trị sẽ sử dụng. Có thể xem chi tiết trong các công trình [4, 5, 7,16, 20, 22, 24].
Giả sử Y là một không gian Banach. Ký hiệu
• P(Y ) = A ⊂ Y : A 6= ∅,
• Pv(Y ) = A ∈ P(Y ) : A là lồi,
• K(Y ) = A ∈ P(Y ) : A là compact,
• Kv(Y ) = K(Y ) ∩ Pv(Y ),
• C(Y ) = A ∈ P(Y ) : A là đóng,
• Pb(Y ) = A ∈ P(Y ) : A bị chặn.
Ta sử dụng định nghĩa sau đây về độ đo không compact (xem [22]).
Định nghĩa 1.3. Cho (A,>) là một tập sắp thứ tự bộ phân. Hàmβ : P(E)→ A được gọi là độ đo không compact (MNC) trong E nếu
β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ P(E),
trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Một MNC β được gọi là
i) đơn điệu, nếu Ω0,Ω1 ∈ P(E), Ω0 ⊂ Ω1 kéo theo β(Ω0) 6 β(Ω1);
ii) không kỳ dị, nếu β(a∪Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E,Ω ∈ P(E);
iii) bất biến đối với nhiễu compact, nếu β(K∪Ω) = β(Ω) với mọitập compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ PE);
Nếu A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói rằng β là
iv) nửa cộng tính đại số, nếu β(Ω0 + Ω1) 6 β(Ω0) + β(Ω1) vớimỗi Ω0,Ω1 ∈ P(E);
v) chính quy, nếu β(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là tập compact tuơngđối.
14
Một ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorff,thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trên:
χ(Ω) = infε : Ω có lưới ε hữu hạn.
Độ đo không compact Hausdorff thỏa mãn tất cả các tính chất trongđịnh nghĩa nêu trên, đồng thời, nó có thêm các tính chất sau:
• nếu L là một toán tử tuyến tính bị chặn trong E, thì χ(LΩ) 6‖L‖χ(Ω);
• trong không gian tách được E, χ(Ω) = limm→∞
supx∈Ω
d(x, Em), trong
đó Em là họ các không gian con hữu hạn chiều của E sao cho
Em ⊂ Em+1,m = 1, 2, ... và∞⋃m=1
Em = E.
Giả sử X là một không gian metric.
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ đa trị F : X → P(E) được gọi là:
i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F−1(V ) = x ∈ X : F(x) ⊂ V là tập mở của X với mọi tập mở V ⊂ E;
ii) đóng nếu đồ thị của nó ΓF = (x, y) : y ∈ F(x) là tập conđóng của X × E;
(iii) compact nếu tập ảnh F(X) là compact tương đối trong E;
(iv) tựa compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact A ⊂ X
là compact.
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ đa trị F : X ⊂ E → K(E) được gọi lànén ứng với MNC β (β-nén) nếu với mọi tập bị chặn Ω ⊂ X khôngcompact, ta có
β(F(Ω)) 6= β(Ω).
Giả sử D ⊂ E là một tập con lồi, đóng của E và UD là một tậpkhác rỗng, mở trong D. Ta định nghĩa UD và ∂UD là bao đóng và biêncủa UD theo tô-pô trong D.
Cho β là một MNC đơn điệu, không kỳ dị trong E. Ứng dụng củakhái niệm bậc tô-pô cho ánh xạ nén (xem [22]) cho ta các định lý điểmbất động sau đây.
15
Định lý 1.4 ([22, Corollary 3.3.1]). Giả sửM là một tập lồi, đóng,bị chặn trong E và F :M→ Kv(M) là ánh xạ đa trị u.s.c. và β-nén.Khi đó tập các điểm bất động của F , FixF := x : x ∈ F(x) là khácrỗng và compact.
Định lý sau đây là một phiên bản của định lý Leray-Schauder cổđiển.
Định lý 1.5 ([22, Corollary 3.3.3]). Giả sử UD là một lân cận mở, bịchặn của điểm a ∈ D và F : UD → Kv(D) là ánh xạ u.s.c và β-nén,thỏa mãn điều kiện biên
x− a 6∈ λ(F(x)− a)
với mọi x ∈ ∂UD và 0 < λ 6 1. Khi đó FixF là tập khác rỗng vàcompact.
Định nghĩa 1.6. Giả sử G : [0, T ]→ K(E) là hàm đa trị và p > 1.Khi đó G được gọi là
• Lp-khả tích, nếu nó có hàm chọn khả tích bậc p theo nghĩa Bochner.Nghĩa là có hàm g : [0, T ] → E, g(t) ∈ G(t) với hầu khắp
t ∈ [0, T ] sao cho
∫ T
0
‖g(s)‖pEds <∞;
• Lp-bị chặn, nếu có hàm ξ ∈ Lp([0, T ]) sao cho
‖G(t)‖ := sup‖g‖E : g ∈ G(t) 6 ξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ].
Tập các hàm chọn khả tích bậc p của G được ký hiệu là SpG.Hàm đa trị G gọi là đo được nếu G−1(V ) đo được (ứng với độ
đo Lebesgue trên J := [0, T ]) với mỗi tập mở V của E. Ta nói Glà đo được mạnh nếu có một dãy các hàm bậc thang Gn : [0, T ] →K(E), n = 1, 2, ... sao cho
limn→∞H(Gn(t), G(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, T ],
trong đó H là khoảng cách Hausdorff trên K(E).Ta biết rằng, khi E là không gian tách được, ta có các khẳng định
sau tương đương (xem [22]):
1. G là đo được;
16
2. với tập đếm được trù mật xn của E, hàm ϕn : [0, T ]→ R, địnhnghĩa bởi
ϕn(t) = d(xn, G(t)),
là đo được;
3. G có biểu diễn Castaing: tồn tại họ gn các hàm chọn đo đượccủa G sao cho
∞⋃n=1
gn(t) = G(t)
với hầu khắp t ∈ [0, T ];
4. G là đo được mạnh.
Ngoài ra, nếu G đo được và Lp-bị chặn, thì nó Lp-khả tích. Nếu Glà Lp-khả tích trên [0, d] với p ≥ 1, thì G cũng L1-khả tích. Khi đó, tacó hàm t 7→
∫ t0 G(s) ds xác định bởi∫ t
0
G(s) ds :=
∫ t
0
g(s) dx : g ∈ S1G
, ∀t ∈ [0, d].
Định nghĩa 1.7. Ta nói rằng hàm đa trị G : [0, T ]×X×B → K(X)thỏa mãn điều kiện Carathéodory nếu
1. hàm G(., η, ζ) : [0, T ]→ K(X) là đo được mạnh với mỗi (η, ζ) ∈X × B,
2. hàm G(t, ., .) : X × B → K(X) là nửa liên tục trên với hầu khắpt ∈ [0, T ].
Hàm đa trị G được gọi là bị chặn tích phân cục bộ nếu với mỗi r > 0,tồn tại một hàm ωr ∈ L1([0, T ]) sao cho
‖G(t, η, ζ)‖ = sup‖z‖X : z ∈ G(t, η, ζ) 6 ωr(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ]
với mọi (η, ζ) ∈ X × B thỏa mãn ‖η‖X + |ζ|B 6 r.
Giả sử hàm G : [0, T ] × X × B → K(X) thỏa mãn điều kiệnCarathéodory và bị chặn tích phân cục bộ, khi đó với u : (−∞, T ]→ Xsao cho u|[0,T ] ∈ C([0, T ];X) và u0 ∈ B, xét hàm hợp
Φ : [0, T ]→ K(X), Φ(t) = G(t, u(t), ut).
17
Theo định nghĩa không gian pha, ta có t 7→ ut ∈ B là một hàm liêntục. Do đó Φ là khả tích. Phần chứng minh có thể xem trong [22, Địnhlí 1.3.5].
Vậy, với τ ∈ (0, T ], ta có thể định nghĩa hàm hợp
PG(u) := S1Φ = φ ∈ L1(0, τ ;X) : φ(t) ∈ G(t, u(t), ut) for a.e. t ∈ [0, τ ].
Ký hiệu
CX(−∞, τ) = u : (−∞, τ ]→ X | u0 ∈ B và u|[0,τ ] ∈ C([0, τ ];X),
là không gian tuyến tính tô-pô với nửa chuẩn
‖u‖CX(−∞,τ) = |u0|B + ‖u‖C([0,τ ];X).
Ta có tính chất đóng yếu của hàm PG, sinh bởi G. Chứng minh tínhchất này có trong [22, Bổ đề 5.1.1].
Bổ đề 1.1. Giả sử G : [0, τ ] × X × B → Kv(X) bị chặn tích phâncục bộ, thỏa mãn điều kiện Carathéodory và un là một dãy trongCX(−∞, τ) hội tụ về u∗ ∈ CX(−∞, τ). Giả sử dãy φn ⊂ L1(0, τ ;X),φn ∈ PG(un) hội tụ yếu về φ∗, khi đó φ∗ ∈ PG(u∗).
18
Chương 2
Bài toán tổng quát
Ký hiệu X0 = [R(E0)] ⊂ X. Xét hàm đa trị F : [0, T ] × X × B →Kv(X0) cho trong bài toán (1.1)-(1.3). Do E0 là đơn ánh, ta có thểđịnh nghĩa hàm đa trị F0 : [0, T ]×X × B → Kv(X) như sau
F0 = E−10 F. (2.1)
Giả sử F0 thỏa mãn các điều kiện:
(F1) F0 : [0, T ]×X × B → Kv(X) là hàm Carathéodory;
(F2) F0 bị chặn tích phân cục bộ;
(F3) với mọi tập bị chặn Q ⊂ B và Ω ⊂ X, ta có
χ(F0(t,Ω,Q)) 6 h(t)χ(Ω) + k(t)ψ(Q) với hầu khắp t ∈ [0, T ],
trong đó h, k ∈ L1(0, T ;X) và
ψ(Q) = supθ60
χ(Q(θ)) (2.2)
là mô-đun không compact theo phân thớ của Q.
Nhận xét 2.1. Trong trường hợp X = Rm, điều kiện (F3) suy ra từ(F2). Thật vậy, điều kiện bị chặn tích phân suy ra tập F0(t,Ω,Q) bịchặn trong Rm với hầu khắp t ∈ [0, T ] và do đó nó là tiền compact.
Nếu dim(X) = +∞, thì một trường hợp riêng đảm bảo cho (F3)được thỏa mãn là:
F0(t, ., .) : X × B → Kv(X)
liên tục tuyệt đối với hầu khắp t ∈ [0, T ], tức là, F0(t, ., .) biến các tậpbị chặn trong X × B thành tập compact tương đối trong X.
19
Nhận xét 2.2. Nếu E−10 bị chặn, các tính chất (F1) − (F3) cho F0
có thể thay thế bởi các tính chất tương tự cho F .
Ta có định nghĩa nghiệm tích phân của (1.1)-(1.3):
Định nghĩa 2.1. Giả sử ui ∈ Di, i = 0, ..., N − 1 với u0 = ϕ(0).Cho τ ∈ (0, T ], một hàm u ∈ CX(−∞, τ) được gọi là nghiệm tích phâncủa bài toán (1.1)-(1.3) trên khoảng (−∞, τ ] nếu nó thỏa mãn phươngtrình tích phân
u(t) =
ϕ(t), với t 6 0,
w(t) +
∫ t
0
E(t− s)φ(s)ds với t ∈ [0, τ ],
trong đó φ ∈ PF0(u) và w là nghiệm của bài toán thuần nhất (1.6)-(1.7)
trên khoảng [0, τ ].
Xét toán tử S : L1(0, τ ;X)→ C([0, τ ];X) xác định bởi
S(f)(t) =
∫ t
0
E(t− s)f(s)ds. (2.3)
Ta có khẳng định sau (xem chứng minh trong [22, Bổ đề 4.2.1]).
Mệnh đề 2.1. Toán tử S có các tính chất:
(S1) Tồn tại hằng số C0 > 0 sao cho
‖S(f)(t)− S(g)(t)‖X 6 C0
∫ t
0
‖f(s)− g(s)‖Xds
với mọi f, g ∈ L1(0, τ ;X), t ∈ [0, τ ];
(S2) với mỗi tập compact K ⊂ X và dãy fn ⊂ L1(0, τ ;X) sao chofn(t) ⊂ K với hầu khắp t ∈ [0, τ ], nếu fn f (hội tụ yếu) thìS(fn)→ S(f) (hội tụ mạnh).
Từ Mệnh đề 2.1 ta có kết quả sau (xem [22, Bổ đề 4.2.4]).
Mệnh đề 2.2. Giả sử ξn ⊂ L1(0, τ ;X) bị chặn tích phân, tức là,
‖ξn(t)‖ 6 ν(t), với hầu khắp t ∈ [0, τ ],
20
trong đó ν ∈ L1([0, τ ]). Giả sử tồn tại hàm q ∈ L1([0, τ ]) sao cho
χ(ξn(t)) 6 q(t), với hầu khắp t ∈ [0, τ ].
Khi đó
χ(S(ξn)(t)) 6 2C0
∫ t
0
q(s)ds
với mỗi t ∈ [0, τ ].
Định nghĩa 2.2. Dãy ξn ⊂ L1(0, τ ;X) được gọi là nửa compactnếu nó bị chặn tích phân và tập ξn(t) là compact tương đối trong Xvới hầu khắp t ∈ [0, τ ].
Theo [22, Định lý 4.2.1 và 5.1.1], ta có
Mệnh đề 2.3. Nếu dãy ξn ⊂ L1(0, τ ;X) là nửa compact, thì ξnlà compact yếu trong L1(0, τ ;X) và S(ξn) compact tương đối trongC([0, τ ];X). Ngoài ra, Nếu ξn ξ0 thì S(ξn)→ S(ξ0).
Với mỗi hàm v ∈ C([0, τ ];X) thuộc một tập lồi đóng, tập hợp
D0 = v ∈ C([0, τ ];X) : v(0) = ϕ(0), (2.4)
trong đó ϕ là hàm giá trị ban đầu, ta định nghĩa hàm v[ϕ] ∈ CX(−∞, τ)như sau
v[ϕ](t) =
ϕ(t), nếu t 6 0,
v(t), nếu t ∈ [0, τ ].(2.5)
Khi đó ta thấy rằng hàm u ∈ CX(−∞, τ) là nghiệm tích phân của bàitoán (1.1)-(1.3) nếu nó có dạng
u = v[ϕ],
với v ∈ D0 là điểm bất động của toán tử
G : D0 → D0
xác định bởiG(v) = w + S PF0
(v[ϕ]),
trong đó w là nghiệm của bài toán thuần nhất (1.6)-(1.7).
Bổ đề 2.1. Giả sử F0 thỏa mãn (F1)-(F3). Khi đó G là toán tử đóngnhận giá trị compact.
21
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh khẳng định của định lý cho G :D0 → C([0, τ ];X),
G(v) = S PF0(v[ϕ]).
Giả sử vn ⊂ D0 hội tụ đến v∗ trong D0 và zn ∈ G(vn) sao chozn → z∗ trong C([0, τ ];X). Ta sẽ chứng tỏ rằng z∗ ∈ G(v∗)). Vớiξn ∈ PF0
(vn[ϕ]) sao cho zn = S(ξn), ta có
ξn(t) ∈ F0(t, vn(t), vn[ϕ]t) với hầu khắp t ∈ [0, τ ],
và sử dụng (F2), ta có ξn bị chặn tích phân. Hơn nữa, giả thiết (F3)cho ta
χ(ξn(t)) 6 h(t)χ(vn(t)) + k(t)ψ(vn[ϕ]t) với hầu khắp t ∈ [0, τ ].(2.6)
Sự hội tụ của vn trong C([0, τ ];X) suy ra rằng χ(vn(t)) = 0 vớimọi t ∈ [0, τ ]. Mặt khác,
ψ(vn[ϕ]t) = supθ60
χ(vn[ϕ](t+ θ)) = sups∈[0,t]
χ(vn(s)) = 0. (2.7)
Do đó, kết hợp với (2.6), ta được
χ(ξn(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, τ ]
và do vậy ξn là dãy nửa compact. Từ Mệnh đề 2.3 ta có ξn làcompact yếu trong L1(0, τ ;X) và S(ξn) là compact tương đối trongC([0, τ ];X), do vậy ta có thể giả thiết rằng ξn ξ∗ trong L1(0, τ ;X)
và zn = S(ξn)→ S(ξ∗) = z∗ trong C([0, τ ];X). Áp dụng Bổ đề 1.1, tacó ξ∗ ∈ PF0
(v∗[ϕ]) và do vậy z∗ = S(ξ∗) ∈ S PF0(v∗[ϕ]) = G(v∗).
Ta còn phải chứng minh G nhận giá trị compact. Giả sử zn ⊂ G(v)với mọi v ∈ D0. Khi đó tồn tại ξn ∈ PF0
(v[ϕ]) sao cho zn = S(ξn).Sử dụng giả thiết (F2)-(F3), ta có dãy ξn là nửa compact, và do đóS(ξn) compact tương đối trong C([0, τ ];X) theo Mệnh đề 2.3. Dễthấy giá trị của G là tập lồi.
Bổ đề 2.2. Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.1 được thỏa mãn. Khi đóG là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho G. Từ Định lý 1.3 và Bổđề 2.1, ta sẽ chứng tỏ rằng G là ánh xạ tựa compact. Giả sử A ⊂
22
C([0, τ ];X) là tập compact và zn ⊂ G(A). Khi đó zn = S(ξn) vớiξn ∈ PF0
(vn[ϕ]) và vn ⊂ A. Ta có thể giả thiết vn hội tụ. Sử dụngđánh giá như trong (2.6)-(2.7), ta có ξn là dãy nửa compact. Do vậyS(ξn) là compac tương đối trong C([0, τ ];X) theo Mệnh đề 2.3.
Bây giờ ta sẽ chứng tỏ G là một ánh xạ nén. Ta sẽ xây dựng mộtđộ đo phù hợp cho bài toán. Xét mô-đun không compact theo phân thớxác định bởi
γ : P(C([0, τ ];X))→ R+,
γ(Ω) = supt∈[0,τ ]
e−Ltχ(Ω(t)), (2.8)
trong đó hằng số L được chọn sao cho
` := supt∈[0,τ ]
(2C0
∫ t
0
e−L(t−s)[h(s) + k(s)]ds)< 1 (2.9)
và
modC : P(C([0, τ ];X))→ R+,
modC(Ω) = limδ→0
supv∈Ω
max|t1−t2|<δ
‖v(t1)− v(t2)‖, (2.10)
được gọi là mô-đun đồng liên tục của Ω trong C([0, τ ];X).Xét độ đo
ν : P(C([0, τ ];X))→ R2+,
ν(Ω) = maxD∈∆(Ω)
(γ(D),modC(D)), (2.11)
trong đó ∆(Ω) họ các tập con đếm được của Ω và max được xét theothứ tự trong nón R2
+. Lý luận tương tự như trong [22], ta có ν hoàntoàn xác định. Tức là, giá trị lớn nhất đạt được trong ∆(Ω) vàν làmột độ đo không compact trong C([0, τ ];E), thỏa mãn tất cả các tínhchất nêu trong Định nghĩa 1.3 (xem [22, Ví dụ 2.1.3]).
Bổ đề 2.3. Nếu các điều kiện của Bổ đề 2.1 được thỏa mãn, thì ánhxạ đa trị G : D0 → Kv(D0) là ν-nén.
Chứng minh. Giả sử Ω ⊂ D0 sao cho
ν(G(Ω)) > ν(Ω). (2.12)
23
Do ν(G(Ω) = ν(G(Ω)), ta có
ν(G(Ω)) > ν(Ω). (2.13)
Ta sẽ chứng tỏ rằng Ω là tập compact tương đối trong C([0, τ ];X).Thật vậy, theo định nghĩa của độ đo ν, tồn tại dãy zn ⊂ G(Ω) saocho
ν(G(Ω)) = (γ(zn),modC(zn)).Chọn hai dãy vn ∈ Ω, ξn ∈ PF0
(vn[ϕ]) sao cho zn = S(ξn). Từ (2.13)ta thấy rằng
γ(zn) > γ(vn). (2.14)
Sử dụng (F3), ta có
χ(ξn(s)) 6 h(s)χ(vn(s)) + k(s)ψ((vn[ϕ])s) (2.15)
với hầu khắp s ∈ [0, τ ]. Từ định nghĩa (2.2), ta có
ψ((vn[ϕ])s) = supθ60
χ(vn[ϕ](s+ θ)) = supσ∈[0,s]
χ(vn(σ)).
Từ (2.15) suy ra
χ(ξn(s)) 6 h(s)eLse−Lsχ(vn(s)) + k(s)eLs supσ∈[0,s]
e−Lσχ(vn(σ))
6 eLs[h(s) + k(s)]γ(vn) (2.16)
với hầu khắp s ∈ [0, τ ]. Do đó, từ Mệnh đề 2.2 ta có
χ(S(ξn)(t)) 6 2C0
∫ t
0
eLs[h(s) + k(s)]ds · γ(vn).
Vậy
e−Ltχ(zn(t)) 6 2C0
∫ t
0
e−L(t−s)[h(s) + k(s)]ds · γ(vn). (2.17)
Kết hợp (2.14) và (2.17), ta được
γ(vn) 6 γ(zn) = supt∈[0,τ ]
e−Ltχ(zn(t)) 6 `γ(vn),
với ` xác định bởi (2.9). Bất đẳng thức cuối cho ta γ(vn) = 0. Từ(2.16), ta thấy rằng ξn là dãy nửa compact và áp dụng Mệnh đề 2.3
24
một lần nữa, ta có S(ξn) là compact tương đối trong C([0, τ ];X).Do đó, modC(zn) = 0 và
ν(Ω) = (0, 0).
Do tính chính quy của ν ta suy ra Ω là tập compact tương đối trongC([0, τ ];X). Ta có điều phải chứng minh.
Ta sẽ phát biểu kết quả chính: tính giải được cục bộ của bài toán(1.1)-(1.3).
Định lý 2.1. Cho ui ∈ Di, i = 0, ..., N −1 với u0 = ϕ(0). Giả sử cácđiều kiện (F1)-(F3) được thỏa mãn và tồn tại E0-họ giải thức của tậptoán tử (Ai)
N−1i=0 . Khi đó tồn tại τ ∈ (0, T ] sao cho bài toán (1.1)-(1.3)
có ít nhất một nghiệm tích phân trong khoảng (−∞, τ ].
Chứng minh. Chọn số dương ρ sao cho
ρ > R
N−1∑i=0
(‖ui‖+
i∑j=0
‖Ajui‖[R(E0)]
)
với R = supt∈[0,T ]R(t), R(t) là hàm số xác định trong (1.8). Ta có
ρ > ‖w‖C([0,T ];X), ở đó w là nghiệm của bài toán thuần nhất (1.6)-(1.7).
Ký hiệu
ρ0 = (K + 1)ρ+M |ϕ|B, K = maxt∈[0,T ]
K(t),M = supt∈[0,T ]
M(t),
CTE = sup
t∈[0,T ]
‖E(t)‖L(X).
Do cách chọn ρ, tồn tại τ ∈ (0, T ] sao cho
‖w‖C([0,T ];X) + CTE
∫ t
0
ωρ0(s)ds 6 ρ, (2.18)
với mọi t ∈ [0, τ ], trong đó ωρ0 ∈ L1(0, T ;X) xác định bởi Định nghĩa1.7.
Giả sử Bρ là hình cầu đóng trong C([0, τ ];X) có tâm tại gốc tọađộ và bán kính ρ. Do w(0) = ϕ(0) và (2.18) ta suy ra
Dρ := D0 ∩Bρ 6= ∅.
25
Với v ∈ Dρ và z ∈ G(v) = w + S PF0(v[ϕ]), ta có ước lượng
‖z(t)‖X 6 ‖w‖C([0,T ];X) +
∫ t
0
‖E(t− s)F0(s, v(s), v[ϕ]s)‖Xds
6 ‖w‖C([0,T ];X) + CTE
∫ t
0
ωρ0(s)ds 6 ρ, (2.19)
với mọi t ∈ [0, τ ]. Ở đây ta đã sử dụng (F2), và ước lượng
‖v(s)‖X + |v[ϕ]s|B 6 ‖v‖C([0,τ ];X) +K(s)‖v‖C([0,s];X) +M(s)|ϕ|B6 (K + 1)‖v‖C([0,τ ];X) +M |ϕ|B = ρ0,
với s ∈ (0, τ ].Vậy, (2.19) suy ra
‖z‖C([0,τ ];X) 6 ρ
và G biến Dρ vào chính nó. Áp dụng Định lý 1.4, ta kết luận rằng Gcó một điểm bất động v∗ ∈ Dρ, từ đó ta có nghiệm u∗ = v∗[ϕ] của bàitoán.
Để chứng minh tính giải được toàn cục của bài toán, ta sẽ thay thếđiều kiện (F2) bằng một điều kiện mạnh hơn. Cụ thể
(F2′) Tồn tại hàm κ ∈ L1([0, T ]) sao cho
‖F0(t, η, ζ)‖ := sup‖f‖X : f ∈ F0(t, η, ζ) 6 κ(t)(‖η‖X + |ζ|B),
với mọi η ∈ X và ζ ∈ B.Hơn nữa, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Gronwall-Bellman sau đây
(xem [35]).
Bổ đề 2.4. Giả sử f(·), g(·) và y(·) là các hàm khả tích không âmtrên [0, T ], thỏa mãn bất đẳng thức tích phân
y(t) 6 g(t) +
∫ t
0
f(s)y(s)ds, t ∈ [0, T ].
Khi đó
y(t) 6 g(t) +
∫ t
0
exp∫ t
s
f(θ)dθf(s)g(s)ds, t ∈ [0, T ].
26
Định lý 2.2. Cho ui ∈ Di, i = 0, ..., N − 1 với u0 = ϕ(0). Giả sửtồn tại E0-họ giải thức cho tập toán tử (Ai)
N−1i=0 . Nếu các điều kiện
(F1), (F2′) và (F3) thỏa mãn, thì tập nghiệm của bài toán (1.1)-(1.3)là khác rỗng và compact.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 1.5 và các Bổ đề 2.1, 2.2 và 2.3, ta phảichứng minh nếu v ∈ C([0, T ];X) thỏa mãn
v ∈ λG(v) = λw + λS PF0(v[ϕ])
với λ ∈ (0, 1] thì nó phải thuộc một tập bị chặn.Sử dụng điều kiện (F2′), ta có
‖v(t)‖X 6 λ‖w(t)‖X + λ supt∈[0,T ]
‖E(t)‖L(X)
∫ t
0
‖F0(s, v(s), v[ϕ]s)‖Xds
6 ‖w‖C([0,T ];X) + CTE
∫ t
0
κ(s)(‖v(s)‖X + |v[ϕ]s|B)ds, (2.20)
với CTE = supt∈[0,T ] ‖E(t)‖L(X). Do (B3), ta có ước lượng sau
‖v(s)‖X + |v[ϕ]s|B 6 (K + 1)‖v(s)‖X +M |ϕ|B, (2.21)
với s ∈ [0, t], 0 < t 6 T , K = maxt∈[0,T ]K(t),M = supt∈[0,T ]M(t).
Từ (2.20)-(2.21) suy ra
‖v(t)‖X 6 ‖w‖C([0,T ];X) + CTEM |ϕ|B
∫ T
0
κ(s)ds
+ CTE(K + 1)
∫ t
0
κ(s)‖v(s)‖Xds,
với mọi t ∈ [0, T ]. Áp dụng Bổ đề 2.4 với
g(t) = g0 := ‖w‖C([0,T ];X) + CTEM |ϕ|B
∫ T
0
κ(s)ds,
f(t) = CTEκ(t), y(t) = ‖v(t)‖X ,
khi t ∈ [0, T ], ta được
‖v‖C([0,T ];X) 6 R0,
27
trong đó
R0 = g0
[1 + CT
E expCTE
∫ T
0
κ(t)dt∫ T
0
κ(t)dt].
Cuối cùng, chọn U = B(0, R) trong C([0, T ];X) với R > R0, xét toántử G đi từ UD0
6= ∅ vào Kv(D0), ở đó D0 được xác định trong (2.4)với τ = T. Nó thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.5 và do đó Fix(G)là tập khác rỗng, compact. Ta có điều phải chứng minh.
28
Chương 3
Ứng dụng giải thức suy rộng chophương trình tiến hóa cấp haidạng đầy đủ
Cho α = (α1, ..., αm) ∈ Nm, m > 1 là một đa chỉ số. Ký hiệu
|α| =m∑i=1
αi, Dα =
( ∂
∂x1
)α1
...( ∂
∂xm
)αm
.
Với đa thức với hệ số phức bậc k trong Rm
P (x) =∑|α|6k
aα(ix)α, (3.1)
ta định nghĩaP (D) =
∑|α|6k
aαDα.
Trong chương này, với X = Lp(Rm), 1 < p <∞, và
D(P (D)) = f ∈ Lp(Rm) : P (D)f ∈ Lp(Rm),
xét bài toán Cô-si trong Lp(Rm)
∂2u(t, x)
∂t2+ P (D)
∂u(t, x)
∂t+Q(D)u(t, x)
=
∫ t
−∞
∫Rm
K(x, y)ξ(s− t, y)f(t, u(t, y), u(s− t, y))dyds, (3.2)
x ∈ Rm, t ∈ [0, T ],
u(0, x) = u0(x), ut(0, x) = u1(x), (3.3)
u(s, x) = ϕ(s, x), s ∈ (−∞, 0], (3.4)
29
trong đó P (x) và Q(x) là các đa thức xác định như trong (3.1) vớibậc tương ứng k và `. Giả sử
K : Rm × Rm → R,
là hàm trơn và
ξ : (−∞, 0]× Rm → R,
là hàm liên tục thỏa mãn
|ξ(θ, y)| 6 Cξeh0θ với mọi (θ, y) ∈ (−∞, 0]× Rm, (3.5)
trong đó Cξ và h0 là các hằng số dương. Hơn nữa, giả thiết rằng hàmsố
f : [0, T ]× R2 → R
có tính chất f(·, u, v) đo được và f(t, ·, ·) thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
|f(t, u1, v1)− f(t, u2, v2)| 6 ζ(t)|u1 − u2|+ µ(t)|v1 − v2| (3.6)
với mọi t ∈ [0, T ] và uj, vj ∈ R, j = 1, 2, trong đó ζ, µ ∈ L1(0, T ).Chú ý rằng dạng thuần nhất của bài toán (3.2)-(3.4) đã được nghiên
cứu trong [39]. Với bài toán nêu trên, ta sử dụng không gian phaB = CLpg xác định bởi (1.9) với g(θ) = ehθ, h ∈ (0, h0]. Rõ ràng g thỏa
mãn các điều kiện (1.10)-(1.11).Trước tiên ta chứng minh rằng, với các giả thiết phù hợp, tồn tại
họ giải thức cho các cặp toán tử (P (D), Q(D)). Để thực hiện điều này,ta cần các khái niệm và kết quả đã có trong [39].
Giả sử C ∈ L(X) là một đơn ánh, A0 và A1 là các toán tử đóngtrên X.
Định nghĩa 3.1. Họ S0(t), S1(t)t>0 các toán tử bị chặn, liên tụcmạnh trên X được gọi là họ C-lan truyền đối với (A0, A1) nếu
(i) C giao hoán với S0(t), S1(t) với mọi t > 0;
(ii) với mọi x ∈ X, S1(·)x ∈ C1([0,∞);X), S1(t)X ⊂ D(A1), (t >0) và A1S1(·)x ∈ C([0,∞);X);
30
(iii) với mọi x ∈ X và t > 0,∫ t
0 S1(s)xds ∈ D(A0) và
A0
∫ t
0
S1(s)xds = Cx− S ′1(t)x− A1S1(t)x, S1(0) = 0,
trong đó
S ′1(t)x =d
dtS1(t)x;
(iv) tồn tại các hằng số M,ω > 0 sao cho
‖S0(t)‖, ‖A1S1(t)‖, ‖S ′1(t)‖ 6Meωt, t > 0;
(v) mọi nghiệm u(·) của bài toán
u′′ + A1u′ + A0u = 0, (3.7)
u(0) = u0, u′(0) = u1, (3.8)
với dữ kiện ban đầu u0, u1 ∈ R(C) có thể biểu diễn dưới dạng
u(t) = S0(t)C−1u0 + S1(t)C
−1u1, t > 0.
Bài toán Cô-si (3.7)-(3.8) được gọi là C-đặt đúng nếu tồn tại họC-lan truyền cho (A0, A1).
Mệnh đề 3.1 ([39, Mệnh đề 1.6]). Nếu bài toán Cô-si (3.7)-(3.8) làC-đặt đúng thì
λRλCx, A1RλCx ∈ LTw − L(X), x ∈ X.
Áp dụng Định lý 1.2 và Mệnh đề 3.1, ta thấy nếu bài toán (3.7)-(3.8) là C-đặt đúng, thì tồn tại C-họ giải thức cho cặp (A0, A1). Khẳngđịnh sau đây cung cấp điều kiện đủ đảm bảo tính C-đặt đúng cho bàitoán (3.7)-(3.8).
Định lý 3.1 ([39]). Cho P (x), Q(x) là các đa thức phức với bậc lầnlượt là k, `. Giả sử
supx∈Rm
Re(− P (x) +
√P 2(x)− 4Q(x)
)<∞. (3.9)
Với A1 = P (D), A0 = Q(D), bài toán Cô-si (3.7)-(3.8) là (I −∆)−γ-đặt đúng với
γ >1
4(np + 1)dM (3.10)
31
trong đó np = n|12 −1p | và dM = max2k, `. Thêm nữa, nếu tồn tại
r ∈ (0, dM ] sao cho
|P 2(x)− 4Q(x)| > C0|x|r, |x| > L0 (3.11)
với C0, L0 > 0 thì γ có thể chọn
γ >1
4(npdM + dM − r). (3.12)
Xét trong không gian Sobolev W κ,p(Rm), ta có kết quả về tính giảiđược của bài toán (3.2)-(3.4) như sau.
Định lý 3.2. Giả sử các điều kiện của Định lý 3.1 được thỏa mãn.Nếu ta có
(I −∆x)γK(x, y) ∈ Lp(Rm;Lp
′(Rm)),
với p′ là số mũ liên hợp của p, và điều kiện (3.5)-(3.6) được thực hiện,thì bài toán (3.2)-(3.4) có ít nhất một nghiệm tích phân ứng với giátrị ban đầu
u0 ∈ W 2γ+`,p(Rm), u1 ∈ W 2γ+maxk,`,p(Rm).
Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.1, ta thấy cặp toán tử (P (D), Q(D))có (I −∆)−γ-họ giải thức trong Lp(Rm). Đối với bài toán (3.2)-(3.4),ta đặt
F (t, u, ut)(x) =
∫ t
−∞
∫Rm
K(x, y)ξ(s− t, y)f(t, u(t), u(s− t, y))dyds.
Khi đó F là ánh xạ thỏa mãn
F : [0, T ]× Lp(Rm)× B → Lp(Rm),
F (t, η, φ)(x) =
∫ 0
−∞
∫Rm
K(x, y)ξ(θ, y)f(t, η(y), φ(θ, y))dydθ.
Vậy,
F0(t, η, φ)(x) =
∫ 0
−∞
∫Rm
K0(x, y)ξ(θ, y)f(t, η(y), φ(θ, y))dydθ
32
với K0(x, y) = (I−∆x)γK(x, y). Ta có các ước lượng sau nhờ vào (3.5),
(3.6) và bất đẳng thức Holder:
|F0(t, η1, φ1)(x)− F0(t, η2, φ2)(x)|
6∫ 0
−∞
∫Rm
Cξ|K0(x, y)|eh0θ[ζ(t)|η1(y)− η2(y)|+ µ(t)|φ1(θ, y)− φ2(θ, y)|
]dydθ
6 Cξζ(t)
∫ 0
−∞eh0θdθ
∫Rm
|K0(x, y)||η1(y)− η2(y)|dy
+ Cξµ(t)
∫ 0
−∞eh0θ
∫Rm
|K0(x, y)||φ1(θ, y)− φ2(θ, y)|dydθ
61
h0Cξζ(t)‖η1 − η2‖p
(∫Rm
|K0(x, y)|p′dy) 1
p′
+ Cξµ(t)(∫ 0
−∞eh0θ‖φ1(θ)− φ2(θ)‖pdθ
)(∫Rm
|K0(x, y)|p′dy) 1
p′,
trong đó ‖ · ‖p := ‖ · ‖Lp(Rm). Vậy
‖F0(t, η1, φ1)− F0(t, η2, φ2)‖p
6 CξCK
[ 1
h0ζ(t)‖η1 − η2‖p + µ(t)
∫ 0
−∞eh0θ‖φ1(θ)− φ2(θ)‖pdθ
],
(3.13)
với
CK =[ ∫
Rm
(∫Rm
|K0(x, y)|p′dy)p/p′
dx] 1
p
.
Chú ý rằng, nhờ bất đẳng thức Holder, ta nhận được∫ 0
−∞eh0θ‖φ1(θ)− φ2(θ)‖pdθ 6
[ p− 1
ph0 − h
]p−1p(∫ 0
−∞ehθ‖φ1(θ)− φ2(θ)‖pp
) 1p
6[ p− 1
ph0 − h
]p−1p |φ1 − φ2|B,
với 0 < h 6 h0. Cùng với (3.13), ta có
‖F0(t, η1, φ1)(x)− F0(t, η2, φ2)‖p 6 ζ0(t)‖η1 − η2‖p + µ0(t)|φ1 − φ2|B,(3.14)
trong đó
ζ0(t) =1
h0CξCKζ(t), µ0(t) = CξCK
[ p− 1
ph0 − h
]p−1p
µ(t).
33
Có thể kiểm tra từ (3.14), các điều kiện (F1), (F2′) và (F3) được thỏamãn. Cuối cùng, ta có
R((I −∆)−γ) = W 2γ,p(Rm),
và
D0 = W 2γ+`,p(Rm),
D1 = W 2γ+maxk,`,p(Rm)
do có (1.5). Định lý được chứng minh.
Ta xét một số ví dụ cụ thể thỏa mãn giả thiết Định lý 3.1. Với
P (D) = 0, Q(D) = −∆,
thì (3.2) chuyển thành phương trình truyền sóng nửa tuyến tính. Khiđó ta có Q(x) = |x|2 và
−P (x) +√P 2(x)− 4Q(x) = 2i|x|.
Do vậy điều kiện (3.9) rõ ràng được thỏa mãn. Ngoài ra, (3.11) cũngđược thỏa mãn với r = 2, do đó theo (3.12) ta có thể chọn γ > 1
2np.Nếu p = 2 thì ta có thể chọn γ = 0 và ta có I-họ giải thức cho cặptoán tử (P (D), Q(D)).
Ví dụ tiếp theo, ta chọn
P (D) = i∆, Q(D) = I −∆,
thì khi đó
−P (x) +√P 2(x)− 4Q(x) = 2i(|x|2 + 1).
Rõ ràng (3.9) được thỏa mãn. Hơn nữa, (3.11) cũng được thỏa mãnvới r = 2 và do đó cặp toán tử (P (D), Q(D)) có một (I − ∆)−γ-họgiải thức với γ > np.
34
KẾT LUẬN
Luận văn nghiên cứu tính đặt đúng một lớp bài toán Cô-si tổngquát với bao hàm thức vi phân bậc cao có trễ vô hạn dựa trên các kếtquả về giải thức suy rộng đã được thiết lập cho phương trình tuyếntính.
Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian, luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận được sự chỉ bảo, góp ýcủa quý thầy cô và các bạn đọc để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
35
Tài liệu tham khảo
[1] T.D.Ke, V. Obukhovskii, N.-C. Wong, J.-C. Yao, An abstractCauchy problem for higher order differential inclusions with in-finite delay, Discussiones Mathematicae: Differential Inclusions,Control and Optimization 31:2 (2011 ) 199–229.
[2] W. Arendt, (1987). Vector-valued Laplace transforms and Cauchyproblems. Israel J. Math., 59 (3), 327-352.
[3] W. Arendt, C.J.K. Batty, M. Hieber, and F. Neubrander, (2001).Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems. Mono-graphs in Mathematics, 96. Birkhauser Verlag, Basel.
[4] J.-P. Aubin, H. Frankowska, (2009). Set-Valued Analysis. Reprintof the 1990 edition. Modern Birkhauser Classics. BirkhauserBoston, Inc., Boston, MA, 2009.
[5] Yu. G. Borisovich, B.D. Gelman, A.D. Myshkis, and V.V.Obukhovskii, (2011). Introduction to the Theory of MultivaluedMaps and Differential Inclusions, 2nd edition, Librokom, Moscow,(in Russian).
[6] G. Da Prato, E. Sinestrari, (1987).Differential operators with non-dense domain. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 14 (2),285–344.
[7] K. Deimling, (1992). Multivalued Differential Equations. deGruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 1. Wal-ter de Gruyter, Berlin.
[8] R. deLaubenfels, (1990). Integrated semigroups, C-semigroupsand the abstract Cauchy problem. Semigroup Forum 41 (1), 83–95.
36
[9] R. deLaubenfels, (1991). Entire solutions of the abstract Cauchyproblem. Semigroup Forum 42 (1), 83–105.
[10] R. deLaubenfels, (1991). Existence and uniqueness families forthe abstract Cauchy problem. J. London Math. Soc. (2) 44 (2),310–338.
[11] R. deLaubenfels, (1994) Existence families, functional calculiand evolution equations. Lecture Notes in Mathematics, 1570.Springer-Verlag, Berlin.
[12] K-J. Engel, R. Nagel,(2000) One-Parameter Semigroups for Lin-ear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics, 194.Springer-Verlag, New York.
[13] H.O. Fattorini, H. O. (1985). Second Order Linear DifferentialEquations in Banach Spaces. North-Holland Mathematics Stud-ies, 108. Notas de Matematica [Mathematical Notes], 99. North-Holland Publishing Co., Amsterdam.
[14] E. P. Gatsori, L. Gorniewicz, S. K. Ntouyas, G. Y. Sficas, (2005).Existence results for semilinear functional differential inclusionswith infinite delay. Fixed Point Theory, 6 (1) , 47-58.
[15] C.Gori, V. Obukhovskii, M. Ragni, P. Rubbioni, (2002) Existenceand continuous dependence results for semilinear functional dif-ferential inclusions with infinite delay. Nonlinear Anal. 51 (5),Ser. A: Theory Methods, 765–782.
[16] L. Górniewicz,(2006). Topological Fixed Point Theory of Multival-ued Mappings. 2nd edition. Topological Fixed Point Theory andIts Applications, 4. Springer, Dordrecht.
[17] J.K.Hale, J.Kato, (1978). Phase space for retarded equations withinfinite delay. Funkcial. Ekvac. bf 21 (1), 11-41.
[18] M. Hieber, (1991). Integrated semigroups and differential opera-tors on Lp spaces. Math. Ann. 291 (1), 1–16.
[19] Y. Hino, S. Murakami, T. Naito, (1991). Functional DifferentialEquations with Infinite Delay. Lecture Notes in Mathematics, Vol.1473, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York.
37
[20] S. Hu, N.S. Papageorgiou, (1997). Handbook of multivalued analy-sis. Vol. I. Theory. Mathematics and its Applications, 419. KluwerAcademic Publishers, Dordrecht.
[21] C. Kaiser, (2004). Integrated semigroups and linear partial differ-ential equations with delay. J. Math. Anal. Appl. 292 (2), 328–339.
[22] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P.Zecca, (2001). CondensingMultivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Ba-nach Spaces. de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Appli-cations, 7. Walter de Gruyter, Berlin - New York.
[23] H. Kellerman, M. Hieber, (1989). Integrated semigroups. J. Funct.Anal. 84 (1), 160–180.
[24] M. Kisielewicz, (1991). Differential Inclusions and Optimal Con-trol. Mathematics and its Applications (East European Series),44. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht; PWN—PolishScientific Publishers, Warsaw.
[25] S.G. Krein, (1971). Linear Differential Equations in BanachSpace. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 29. Amer-ican Mathematical Society, Providence, R.I.
[26] V. Lakshmikantham, L.Z. Wen, B.G. Zhang, (1994). Theory ofDifferential Equations With Unbounded Delay. Mathematics andits Applications, 298. Kluwer Academic Publishers Group, Dor-drecht.
[27] J. Liang and T. J. Xiao, (1998). Wellposedness results for certainclasses of higher order abstract Cauchy problems connected withintegrated semigroups. Semigroup Forum 56 (1), 84–103.
[28] Y.C.Liou, V. Obukhovskii, and J.C. Yao, (2008). Controllabilityfor a class of degenerate functional differential inclusions in aBanach space, Taiwanese Journal of Math. 12 (8), 2179-2200.
[29] B. Liu, (2005). Controllability of impulsive neutral functional dif-ferential inclusions with infinite delay, Nonlinear Anal. 60 (8),1533–1552.
38
[30] I.V. Mel’nikova, A.I. Filinkov, (1994).Integrated semigroups andC-semigroups. Well-posedness and regularization of operator-differential problems. (Russian) Uspekhi Mat. Nauk 49 (6) (1994),111–150; English translation in Russian Math. Surveys 49 (6) ,115–155.
[31] F. Neubrander, (1986). Well-posedness of higher order abstractCauchy problems. Trans. Amer. Math. Soc. 295 (1) , 257–290.
[32] V. Obukhovskii, J.-C. Yao, (2010). On impulsive functional dif-ferential inclusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces.Nonlinear Anal. 73 (6) , 1715-1728.
[33] V. Obukhovskii, P. Zecca, On semilinear differential inclusions inBanach spaces with nondensely defined operators. J. Fixed PointTheory Appl. 9 (1) (2011), 85-100.
[34] A. Pazy, (1993). Semigroups of Linear Operators and Applicationsto Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences,44. Springer-Verlag, New York.
[35] Y. Qin, (2008). Nonlinear Parabolic-Hyperbolic Coupled Systemsand Their Attractors. Operator Theory: Advances and Applica-tions, 184. Advances in Partial Differential Equations (Basel).Birkhauser Verlag, Basel.
[36] H.R. Thieme, “Integrated semigroups” and integrated solutions toabstract Cauchy problems. J. Math. Anal. Appl. 152 (2) (1990),416–447.
[37] V.V. Vasil’ev, S.G. Krein, S.I. Piskarev, (1991). Operator semi-groups, cosine operator functions, and linear differential equa-tions. J. Soviet Math. 54 (4), 1042-1129.
[38] T.-J. Xiao, J. Liang, (1998). The Cauchy Problem for Higher-Order Abstract Differential Equations. Lecture Notes in Mathe-matics, 1701. Springer-Verlag, Berlin.
[39] T. Xiao, J. Liang, (1998). Differential operators and C-wellposedness of complete second order abstract Cauchy problems.Pacific J. Math. 186 (1), 167–200.
39
[40] T.-J. Xiao, J. Liang, (2003). Higher order abstract Cauchy prob-lems: their existence and uniqueness families. J. London Math.Soc. (2) 67 (1), 149–164.
40
