Ly thuyetdodo

92

Ñònh nghóa. Cho (X, M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaøf laø moät aùnh xaï töø X vaøo . Ta noùi

f laø moät haøm ñôn (simple function) treân (X, M) neáu vaøchæ neáu coù moät hoï höõu haïn {A1, . . ., Am} trong M vaø moäthoï höõu haïn {α1, . . ., α m} trong sao cho

1( ) ( ) .

m

kk

f x x xAkα χ

=

= ∀ ∈∑

1 ,( )

0 \ .

x AxA x X A

χ⎧ ∈⎪= ⎨

∈⎪⎩trong ñoù

HAØM SOÁ ÑO ÑÖÔÏC

93

Thí duï . laø moät haøm ñôn trong khoâng gian ño ñöôïcLebesgue (, M,μ).

χ

f laø moät haøm ñôn treân (X, M) neáu vaø chæ neáu coù moäthoï höõu haïn {A1, . . ., Am} trong M vaø moät hoï höõu haïn{α1, . . ., α m} trong sao cho

1( ) ( ) .

m

kk

f x x xAkα χ

=

= ∀ ∈∑

laø moät taäp Lebesgue-ño ñöôïc. m = 1 vaø α1 = 1

94


1( ) ( ) .

m

kk

f x x xAkα χ

=

= ∀ ∈∑

Baøi taäp 15. Ta vieát = {rn}, An= [rn ,rn +2-n] vaø

Chöùng minh laø moät haøm ñôn trong khoâng gian ño

ñöôïc Lebesgue (, M,μ).

1n

n

A A∞

=

=∪Aχ

An ∈ M1

nn

A A∞

=

= ∈∪ M

95

Baøi taäp 16. Cho f(x)=x2 vôùi moïi x trong . Hoûi f coù laø

haøm ñôn trong khoâng gian ño ñöôïc Lebesgue (, M,μ)?


1( ) ( ) .

m

kk

f x x xAkα χ

=

= ∀ ∈∑Neáu f laø moät haøm ñôn ôû daïng treân taäp hôïp aûnh f () phaûi chöùa trong taäp {α1, . . . , αn}. Taäp naøy coù höõu haïnphaàn töû.Trong thí duï naøy f () = [0,∞) coù voâ haïn phaàn töû.

96

Baøi toaùn 17 . Cho u vaø v laø hai haøm ñôn trong (X,M) . Chöùng minh u+v laø moät haøm ñôn trong (X,M) .

Coù moät hoï {A1, . . ., Am}trong M vaø moät hoï {α1, . . ., α m} trong sao cho

1

m

kk

u Akα χ

=

=∑

Coù moät hoï {B1, . . ., Bn}trong M vaø moät hoï {β1, . . ., βn} trong sao cho

1

n

kk

v Bkβ χ

=

=∑

Tìm moät hoï {D1, . . ., Dr}trong M vaø moät hoï {δ1, . . ., δm} trong sao cho

1

r

kk

u v Dkδ χ

=

+ =∑

97

Coù moät hoï {A1, . . ., Am}trong M vaø moät hoï {α1, . . ., α m} trong sao cho

1

m

kk

u Akα χ

=

=∑


1

n

kk

v Bkβ χ

=

=∑

Tìm moät hoï {D1, . . ., Dr} trong M vaø moät hoï {δ1, . . ., δm} trong sao cho

1

r

kk

u v Dkδ χ

=

+ =∑

Ñaët D1 = A1, . . ., Dm = Am , Dm+1 = Bm , . . . , Dm+n = Bnvaø δ 1 = α1, . . ., δ m = α m , δ m+1 = βm , . . . , δ m+n = βn

98

Baøi toaùn 18 . Cho v laø moät haøm ñôn trong (X,M) vaø moätsoá thöïc c . Chöùng minh cv laø moät haøm ñôn trong (X,M) .


1

n

kk

v Bkβ χ

=

=∑

Tìm moät hoï {D1, . . ., Dr}trong M vaø moät hoï {δ1, . . ., δm} trong sao cho

1

r

kk

cv Dkδ χ

=

=∑

1 1

n n

k kk k

cv c cB Bk kβ χ β χ

= =

= =∑ ∑

99


1( ) ( ) .

m

kk

f x x xAkα χ

=

= ∀ ∈∑

Baøi toaùn 19. Cho f laø moät haøm ñôn treân (X,M). Chöùngminh coù moät hoï höõu haïn {A1, . . ., Am} caùc taäp rôøi nhautrong M vaø moät hoï höõu haïn {α1, . . ., αm} trong saocho

1( ) ( ) .

m

kk

f x x xAkα χ

=

= ∀ ∈∑

100

f laø moät haøm ñôn treân (X, M) neáu vaø chæ neáu coù moäthoï höõu haïn {B1, . . ., Bs} trong M vaø moät hoï höõu haïn{β1, . . ., β s} trong sao cho

1( ) ( ) .

s

kk

f x x xBkβ χ

=

= ∀ ∈∑

Baøi taäp 20. Cho f laø moät haøm ñôn treân (X, M). Chöùngminh coù moät hoï höõu haïn {A1, . . ., Am} caùc taäp rôøi nhautrong M vaø moät hoï höõu haïn {α1, . . ., α m} trong saocho

1( ) ( ) .

m

kk

f x x xAkα χ

=

= ∀ ∈∑

⇒ qui naïp theo s

101

Coù moät hoï höõu haïn {B1, . . ., Bs} trong M vaø moät hoï höõuhaïn {β1, . . ., β s} trong sao cho

1( ) ( ) .

s

kk

f x x xBkβ χ

=

= ∀ ∈∑

Tìm moät hoï höõu haïn {A1, . . ., Am} caùc taäp rôøi nhau trongM vaø moät hoï höõu haïn {α1, . . ., α m} trong sao cho

1

( ) ( ) .m

kk

f x x xAkα χ

=

= ∀ ∈∑

s = 1 Ñaët A1 = B1 vaø α1 = β1

Giaû söû baøi toaùn ñuùng vôùi m = n, ta xeùt tröôøng hôïp m = n+1

102

Giaû söû baøi toaùn ñuùng vôùi m = n, ta xeùt tröôøng hôïp m = n+11

1

n

kk

f Bkβ χ

+

=

= ∑ 11 1

n

k nk

f B Bk nβ χ β χ+

=

= ++

∑

Coù moät hoï höõu haïn {D1, . . ., Dm} caùc taäp rôøi nhau trongM vaø moät hoï höõu haïn {δ 1, . . ., δ m} trong sao cho

1 1( ) ( ) .

n m

k kk k

x x xB Dk kβ χ δ χ

= =

= ∀ ∈∑ ∑

1 1 1 2 2 1 1

1 1 1 2 2 1 2 1

2 1 11

, , , ,

\ , \ , , \ ,

\ ( )

nn n m m n

m n m n m m n

m

m n ll

A D B A D B A D B

A D B A D B A D B

A B D

+ + +

+ + + + +

+ +=

= = =

= = =

=

∩ ∩ … ∩

…

∪

103

D1 D2Dm

D1 D2Dm

Bn+1

Bn+1

A1 A2 Am

Am+1 Am+2 A2m

A1 A2 Am

Am+1 Am+2A2m

A2m+1

11 1

n

k nk

f B Bk nβ χ β χ+

=

= ++

∑1 1

β χ δ χ= =

=∑ ∑n m

k kk kB Dk k

104

1 1 1 1

1 1 2

2 1 1

, , ,, , ,

n m m n

m m m

m n

α δ β α δ βα δ α δα β

+ +

+

+ +

= + = +

= ==

……

11 1

m

l nll

f D Bnδ χ β χ+

=

= ++

∑

2 1

1

m

ll l

fA

α χ+

=

= ∑

D1 D2Dm

Bn+1 A1 A2 Am

Am+1 Am+2A2m

A2m+1

A1A2 Am

Am+1 Am+2 A2m

A2m+1

α1α2 αm

αm+1αm+2

α2m

α2m+1

105

Coù moät hoï {B1, . . ., Bs} caùc taäp rôøi nhau trong M vaø moäthoï {β1, . . ., β s} trong sao cho

1

s

kkk

f Bβ χ=

=∑

Baøi taäp 21. Cho f laø moät haøm ñôn treân (X, M). Chöùngminh coù moät hoï höõu haïn {A1, . . ., Am} caùc taäp rôøi nhautrong M vaø moät hoï höõu haïn {α1, . . ., α m} trong saocho

11

.m m

k kkkk

X A f Aα χ==

= =∑∪ vaø

1 11

\ ( ) 0s

s k sk

B X B β+ +=

= =∪Ñaët vaø

1 1

11

.s s

k kkkk

X B f Bβ χ+ +

==

= =∑∪ vaø

106

Hoûi f coù laø moät ñôn ñoái vôùi σ-ñaïi soá Lebesgue ?

[ 2 ] [ 2 ]1 1

Ñaët 3 6n nn,n n, nn n

f (x) (x) (x) x .χ χ− −

∞ ∞

+ − − += =

= + ∀ ∈∑ ∑

Tìm moät hoï {B1, . . ., Bs} caùc taäp rôøi nhau trong M vaømoät hoï {β1, . . ., β s} trong sao cho

1

s

kkk

f Bβ χ=

=∑

Ñaët β1 = 3 vaø β2 = 6 vaø

1 21 1

[ , 2 ] [ , 2 ]n n

n n

A n n A n n∞ ∞

− −

= =

= + = − − +∪ ∪vaø

1 21 2

f A Aβ χ β χ= +

107

Ñònh nghóa. Cho (X, M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaøf laø moät aùnh xaï töø X vaøo . Ta noùif laø moät haøm soá ño ñöôïc treân (X, M) neáu vaø chæ neáu

f -1((a, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc a .Baøi taäp 22. Cho f laø moät haøm soá lieân tuïc töø vaøo , vaø

M laø σ-ñaïi soá Lebesgue trong . Chöùng minh f laø moäthaøm soá ño ñöôïc Lebesgue

Vôùi moïi soá thöïc a , f -1((a, ∞)) laø moät taäp môû trong , neân f -1((a, ∞)) ∈ M..

Cho taäp môû U trong , f -1(U) laø moät taäp môû trong

Chöùng minh f -1((a, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc a .

108

Baøi taäp 23. Cho (X, M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaøf laø moät aùnh xaï ño ñöôïc treân (X, M). Chöùng minh f -1((-∞, a]), f -1((-∞, a)) , f -1((a,b]) , f -1([a,b]) , f -1((a,b)), f -1([a,b)), f -1((-∞, a)) vaø f -1((a, ∞) ñeàu thuoäc veà M .

(i) f laø moät aùnh xaï ño ñöôïc treân (X, M) neáu vaø chæ neáuf -1((a, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc a .

f -1((-∞, a]) ∈ M ?

(-∞, a] = \ (a, ∞) f -1(C \ D) = f -1(C ) \ f -1(D) ∀ C , D ⊂

f -1() ∈ M vaø f -1((a, ∞)) ∈ M f -1((-∞, a]) ∈ M

f -1((a, ∞)) ∈ M

f -1((-∞, a]) = f -1( \ f -1((a, ∞))

109

f -1((-∞, a)) ∈ M ?

∞

=

−∞ = −∞ −∪1

1( , ) ( , ]n

a an

1 1

1 1

( ) ( )i ii i

f A f A∞ ∞

− −

= =

=∪ ∪∞ ∞

− −

= =

−∞ − = −∞ −∪ ∪1 1

1 1

1 1( ( , ]) (( , ])i i

f a f an n

f -1((-∞, b]) ∈ M

f -1((-∞, a]) ∈ M f -1((-∞, b]) ∈ M

∞−

=

−∞ − ∈∪ 1

1

1(( , ])i

f an

M∞

−

=

−∞ − ∈∪1

1

1( ( , ])i

f an

M

110

f -1((a, b]) ∈ M ?

f -1((-∞, a]) ∈ M f -1((a, ∞)) ∈ M

f -1((-∞, c]) ∈ M f -1((d, ∞)) ∈ M

(a, b] = (a, ∞) ∩ (-∞, b] f -1(C∩D) = f -1(C) ∩ f -1(D)

f -1((a, ∞) ∩ (-∞, b] ) = f -1((a, ∞) ) ∩ f -1((-∞, b] )

f -1((a, b] ) = f -1((a, ∞) ) ∩ f -1((-∞, b] )

111

f -1([a, b]) ∈ M ? f -1((a, b]) ∈ M f -1((c, d]) ∈ M

1

1[ , ] ( , ]n

a b a bn

∞

=

= −∩

f -1((a, b)) ∈ M ? f -1([a, b]) ∈ M f -1([c, d]) ∈ M

1

1 1( , ) [ , ]n

a b a bn n

∞

=

= + −∪

1

1( , ) [ , ]n

a a a nn

∞

=

∞ = + +∪

112

Baøi taäp 24. Cho f laø moät haøm soá ño ñöôïc treân (X,M). Chöùng minh g =-f laø moät haøm soá ño ñöôïc treân (X,M).

g -1((b, ∞)) = {x ∈ X : g(x) < b}∈ M vôùi moïi soá thöïc b ?

Ta coù f -1((a, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc a .

Chöùng minh g -1((b, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc b .

{x ∈ X : -f(x) < b}∈ M vôùi moïi soá thöïc b ?

{x ∈ X : -b < f(x) }∈ M vôùi moïi soá thöïc b ?

f -1((- ∞, - b)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc b ?

113

Baøi taäp 25. Cho (X, M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaø f laø moät haøm ñôn. Chöùng minh f laø moät aùnh xaï ñoñöôïc treân (X, M). (i) f laø moät aùnh xaï ño ñöôïc treân (X, M) neáu vaø chæ neáuf -1((a, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc a .

Coù moät hoï höõu haïn {B1, . . ., Bn} rôøi nhau trong trong M

vaø moät hoï höõu haïn {β1, . . ., β n} trong sao cho X = B1∪ . . .∪ Bn vaø

1( ) ( ) .β χ

=

= ∀ ∈∑n

kk

f x x xBk

f -1((a, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc a ?

114

Coù moät hoï höõu haïn {B1, . . ., Bn} rôøi nhau trong trongM vaø moät hoï höõu haïn {β1, . . ., β n} trong sao choX = B1∪ . . .∪ Bn vaø

1

( ) ( ) .β χ=

= ∀ ∈∑n

kk

f x x xBk

f -1((a, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc a ?f -1((a, ∞)) = { x ∈ X : f (x) > a }

I = {k : βk > a }

−

∈

∞ = ∪1(( , )) ii I

f a B

115

Neáu A laø moät taäp con khaùc troáng vaø bò chaën treân trong, luùc ñoù coù moät soá thöïc m0 sao cho

(i) x ≤ m0 ∀ x ∈ A ,

(ii) Neáu coù moät b trong sao cho x ≤ b vôùi moïi x ∈A ,

thì m0 ≤ b

Luùc ñoù ta goïi m0 laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A vaø kyùhieäu m0 laø sup A .

SUP , INF TRONG

116

Neáu A laø moät taäp con khaùc troáng vaø bò chaën treân trong, luùc ñoù coù moät soá thöïc m0 sao cho

(i) k0 ≤ x ∀ x ∈ A ,

(ii) Neáu coù moät b trong sao cho b ≤ x vôùi moïi x ∈ A, thì b ≤ k0

Luùc ñoù ta goïi k0 laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A vaø kyùhieäu k0 laø inf A .

117

Cho A laø khoaõng (0 , 1) . Chöùng minh sup A = 1

(i) x ≤ m0 ∀ x ∈ A ,

(ii) Neáu coù moät b trong sao cho x ≤ b vôùi moïi x ∈ A , thì m0 ≤ b

Luùc ñoù ta goïi m0 laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A vaøkyù hieäu m0 laø sup A .

(i) x ≤ 1 ∀ x ∈ A ,

(ii) Neáu coù moät b trong sao cho x ≤ b vôùi moïi x ∈ A, thì 1 ≤ b

118

(ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïix œ A , thì 1 § b

fix § b " x œ (0 , 1)

1 § b

Ñaûo ñeà : “ P fi Q ” ‹ “ ~ Q fi ~ P ”

b < 1fi $ x œ (0 , 1) sao cho b < x

b < 1fi Tìm moät x œ (0 , 1) sao cho b < x

∏ b œ (0 , 1) : choïn x = 2 -1(1 + b)

∏ b œ (- ¶ , 0 ] : choïn x = 2 -1

119

Cho A laø moät taäp bò chaän treân trong — vaø M œ — . Ñeå chöùng minh sup A § M , ta coù theå laøm nhö sau

Chöùng minh x § M " x œ A .

Cho c laø moät soá thöïc döông vaø B laø moät taäp con bòchaën treân khaùc troáng cuûa —. Ñaët cB = {cy : y ∈ B } . Chöùng minh sup cB = c sup B

Ñaët A = cB vaø M = c sup B . Ta phaûi chöùng minh

∏ sup A § M

∏ M § sup A

120

Chöùng minh cy § c sup B " y œ B .

y § sup B " y œ B .


∏ sup A § M

∏ M § sup A

cB = {cy : y ∈ B} . Chöùng minh sup cB = c sup B

c y § csup B = M " y œ B.

Chöùng minh x § c sup B " x œ A = cB .

Chöùng minh sup A § M

121

Ñaët E = cB vaø d = c-1 . Ta coù B = d E

sup d E § dsup E


M § sup A

cB = {cy : y ∈ B } . Chöùng minh sup cB = c sup B

Ta phaûi chöùng minh c sup B § sup cB

Ta ñaõ chöùng minh sup cB § c sup B

122

Neáu A laø moät taäp con khaùc troáng vaø bò chaën treân trong—, luùc ñoù coù moät soá thöïc m0 sao cho

(i) x § m0 " x œ A ,

(ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A , thì m0 § b

Luùc ñoù ta goïi m0 laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A vaø kyùhieäu m0 laø sup A .

123

Neáu A laø moät taäp con khaùc troáng vaø bò chaën treân trong—, luùc ñoù coù moät soá thöïc m0 sao cho(i) k0 § x " x œ A ,

(ii) Neáu coù moät b trong — sao cho b § x vôùi moïi x œ A ,

thì b § k0

Luùc ñoù ta goïi k0 laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A vaø kyùhieäu k0 laø inf A .

124

Cho A laø khoaõng (0 , 1) . Chöùng minh sup A = 1

(i) x § m0 " x œ A ,

(ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A, thì m0 § b

Luùc ñoù ta goïi m0 laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A vaøkyù hieäu m0 laø sup A .

(i) x § 1 " x œ A ,

(ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œA , thì 1 § b

125

(ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïix œ A , thì 1 § b

fix § b " x œ (0 , 1)

1 § bÑaûo ñeà : “ P fi Q ” ‹ “ ~ Q fi ~ P ”

b < 1fi $ x œ (0 , 1) sao cho b < x

b < 1fi Tìm moät x œ (0 , 1) sao cho b < x∏ b œ (0 , 1) : choïn x = 2 -1(1 + b) ∏ b œ (- ¶ , 0 ] : choïn x = 2 -1

126

Cho A laø moät taäp bò chaän treân trong — vaø M œ — . Ñeå chöùng minh sup A § M , ta coù theå laøm nhö sau

Chöùng minh x § M " x œ A .

Cho c laø moät soá thöïc döông vaø B laø moät taäp con bòchaën treân khaùc troáng cuûa —. Ñaët cB = {cy : y ∈ B } . Chöùng minh sup cB = c sup B


∏ sup A § M

∏ M § sup A

127

Chöùng minh cy § c sup B " y œ B .

y § sup B " y œ B .


∏ sup A § M

∏ M § sup A


c y § csup B = M " y œ B.

Chöùng minh x § c sup B " x œ A = cB .Chöùng minh sup A § M

128

Ñaët E = cB vaø d = c-1 . Ta coù B = d E

sup d E § dsup E


M § sup A


Ta phaûi chöùng minh c sup B § sup cB

Ta ñaõ chöùng minh sup cB § c sup B

129

SUP , INF TRONG TÍCH PHAÂN

• A khoâng bò chaën döôùi : inf A = - ∞

• A khoâng bò chaën treân : sup A = ∞

Cho A laø moät taäp khaùc troáng trong .

• A bò chaën treân trong (- ∞,∞), ta ñaët sup A nhö phaàntröôùc.

• A bò chaën döôùi trong (- ∞,∞), ta ñaët inf A nhö phaàntröôùc.

130

Thí duï . Ta coù sup = ∞ vaø inf = - ∞ .

• - ∞ ∈ A hoaëc A ∩ khoâng bò chaën döôùi : inf A = - ∞

• ∞ ∈ A hoaëc A ∩ khoâng bò chaën treân : sup A = ∞

Thí duï . Ta coù sup Ù = ∞ vaø inf Ù = 0 .

• ∞ ∈ A hoaëc A ∩ khoâng bò chaën treân : sup A = ∞

Cho A laø moät taäp khaùc troáng bò chaën döôùi trong (- ∞,∞), ta ñaët infA nhö phaàn tröôùc.

131

Baøi taäp 26. Cho vaø{f m} laø moät daõy aùnh xaï ño ñöôïctöø moät khoâng gian ño ñöôïc (X, M) vaøo [-∞ , ∞]. Ñaët

Chöùng minh 1 1(( , )) .(( , )) mm k

g f a aa∞

− −

=

= ∞ ∀ ∈∞ ∪

( ) sup ( ) sup{ ( ) : } .m mm k

g x f x f x m k x X≥

= = ≥ ∀ ∈

g-1((a, ∞)) = { x ∈ X : g(x) > a }

( ) sup ( )≥

= mm k

g x f x

1(( , )) { : ( ) }m mm k m k

f a z X f z a∞ ∞

−

= =

∞ = ∈ >∪ ∪

132

1 1(( , )) .(( , )) mm k

g f a aa∞

− −

=

= ∞ ∀ ∈∞ ∪

( ) sup ( )≥

= mm k

g x f xg-1((a, ∞)) = { x ∈ X : g(x) > a }

1(( , )) { : ( ) }m mm k m k

f a z X f z a∞ ∞

−

= =

∞ = ∈ >∪ ∪

{ : ( ) } { : ( ) }∞

=

∈ > ⊂ ∈ >∪ mm k

x X g x a z X f z a

{ : ( ) } { : ( ) }∞

=

∈ > ⊂ ∈ >∪ mm k

z X f z a x X g x a

133

{ : ( ) } { : ( ) } ?∞

=

∈ > ⊂ ∈ >∪ mm k

z X f z a x X g x a

fn(x) ≤ g(x) ∀n ≥ k

{ : ( ) } { : ( ) } ?mm k m k

x z X f z a x z X g z a∞ ∞

= =

∈ ∈ > ⇒ ∈ ∈ >∪ ∪" sao cho ( ) " ( ) ?∃ ≥ > ⇒ >mm k f x a g x a

( ) sup ( )nn k

g x f x≥

=

fm(x) ≤ g(x) fm(x) > a g(x) > a

134( ) sup ( )≥

= mm k

g x f x

{ : ( ) } { : ( ) } ?∞

=

∈ > ⊂ ∈ >∪ mm k

x X g x a z X f z a

{ : ( ) } { : ( ) } ?mm k

x z X g x a x z X f z a∞

=

∈ ∈ > ⇒ ∈ ∈ >∪( ) sao cho { : ( ) } ?> ⇒ ∃ ≥ ∈ ∈ >mg x a m k x z X f z a

( ) sao cho ( ) ?> ⇒ ∃ ≥ >mg x a m k f x a

( ) ( )∀ ≥ ≤ ⇒ ≤mm k f x a g x a" " " ~ ~ "p q q p⇒ ⇔ ⇒

a = ∞ : g(x) ≤ aa ∈ {f m(x) : m ≥ k } bò chaën treân bôûi a

g(x) ≤ a

135

1 1(( , )) .(( , )) mm k

g f a aa∞

− −

=

= ∞ ∀ ∈∞ ∪

(i) f laø moät aùnh xaï ño ñöôïc treân (X, M) neáu vaø chæ neáuf -1((a, ∞)) ∈ M vôùi moïi soá thöïc a .

Baøi taäp 27. Cho {f m} laø moät daõy aùnh xaï ño ñöôïc töømoät khoâng gian ño ñöôïc (X, M) vaøo [-∞ , ∞]. Ñaët

Chöùng minh g ño ñöôïc treân X.

( ) sup ( ) sup{ ( ) : } .m mm k

g x f x f x m k x X≥

= = ≥ ∀ ∈

136

1 1(( , )) .(( , )) mm k

h f a aa∞

− −

=

= ∞ ∀ ∈∞ ∩

Baøi taäp 28. Cho { fm} laø moät daõy aùnh xaï ño ñöôïc töømoät khoâng gian ño ñöôïc (X, M) vaøo . Ñaët

Chöùng minh h ño ñöôïc .

( ) inf ( ) inf{ ( ) : } .m mm kh x f x f x m k x X

≥= = ≥ ∀ ∈

137

Baøi taäp 29. Cho (X, M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaø f1

vaø f2 laø hai haøm ño ñöôïc töø (X, M) vaøo . Ñaët

g(x) = sup {f1(x), f2(x)} vaø h(x) = inf {f1(x), f2(x)}

Chöùng minh g vaø h ño ñöôïc .

Ñaët f3 = f2 , f4 = f2 , f5 = f2 , . . . ., fn = f2 , . . .

1( ) sup ( ) sup{ ( ) : 1} .m m

mg x f x f x m x X

≥= = ≥ ∀ ∈

1( ) inf ( ) inf{ ( ) : 1} .m mm

h x f x f x m x X≥

= = ≥ ∀ ∈

138

Baøi taäp 30. Cho (X, M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaø f1 vaø f2 laø hai haøm ño ñöôïc töø (X, M) vaøo . Ñaëtf + (x) = sup {0, f(x)} vaø f -(x) = inf {0, -f(x)}

Chöùng minh f + vaø f - ño ñöôïc .

- f ño ñöôïc haøm haèng laø moät haøm ñôn

139

Cho moät daõy soá thöïc {an}. Ñaët

An = {am : m ≥ n }

An Õ Am Õ A1 " m , n œ Õ , n ≥ m

limsup

ª Neáu A1 khoâng bò chaën treân . Ñaët

nlimsup na

→∞= ∞

140


An = {am : m ≥ n }


ª Neáu A1 bò chaën treân . Ñaët

bm = sup Am

bn ≤ bm ≤ b1 " m , n œ Õ , n ≥ m

• Neáu {bn } khoâng bò chaën döôùi , ñaët

nlimsup na

→∞= −∞

141


An = {am : m ≥ n }


ª Neáu A1 bò chaën treân . Ñaët

bm = sup Am

bn ≤ bm ≤ b1 " m , n œ Õ , n ≥ m

• Neáu {bn } bò chaën döôùi , ñaët

n n mlimsup lim ( lim ( sup ) )n n nn n

a b a→∞ →∞→∞ ≥

= =

142

Cho an = (-1)nn vôùi moïi n ∈Õ .

An = {am : m ≥ n } = { (-1)mm : m ≥ n }

A1 khoâng bò chaën treân ⇒n

limsup na→∞

= ∞

Cho an = - n vôùi moïi n ∈Õ .

An = {am : m ≥ n } = { - m : m ≥ n }

A1 bò chaën treânbm = sup Am = sup { - m : m ≥ n } = - n{bn } khoâng bò chaën döôùi ⇒

nlimsup na

→∞= −∞

143

Cho an = (- 1)n vôùi moïi n ∈Õ .

An = {am : m ≥ n } = { (- 1)m : m ≥ n }

A1 bò chaën treânbm = sup Am = sup { (- 1)m : m ≥ n } = 1

{bn } bò chaën döôùi ⇒n

limsup lim 1n nna b

→∞→∞= =

Ta thaáy {am } khoâng hoäi tuï nhöng vaãn coù

nlimsup 1na

→∞=

144


An = {am : m ≥ n }


liminf

ª Neáu A1 khoâng bò chaën döôùi . Ñaët

nlimsup na

→∞= ∞

145


An = {am : m ≥ n }


ª Neáu A1 bò chaën döôùi . Ñaët

cm = inf Am

cn ≥ cm ≥ c1 " m , n œ Õ , n ≥ m

• Neáu {cn } khoâng bò chaën treân , ñaët

nliminf na

→∞= ∞

146


An = {am : m ≥ n }


ª Neáu A1 bò chaën döôùi . Ñaët

cm = inf Am

cn ≥ cm ≥ b1 " m , n œ Õ , n ≥ m

• Neáu {cn } bò chaën treân , ñaët

n n mliminf lim ( lim ( inf ) )n n nn n

a c a→∞ →∞ →∞ ≥

= =

147

Cho an = (-1)nn vôùi moïi n ∈Õ .

An = {am : m ≥ n } = { (-1)mm : m ≥ n }

A1 khoâng bò chaën döôùi ⇒n

liminf na→∞

= −∞

Cho an = n vôùi moïi n ∈Õ .

An = {am : m ≥ n } = { m : m ≥ n }

A1 bò chaën döôùibm = inf Am = inf { m : m ≥ n } = n{bn } khoâng bò chaën treân ⇒

nliminf na

→∞= ∞

148

Cho an = (- 1)n vôùi moïi n ∈Õ .

An = {am : m ≥ n } = { (- 1)m : m ≥ n }

A1 bò chaën döôùicm = inf Am = inf { (- 1)m : m ≥ n } = - 1

{cn } bò chaën treân ⇒n

liminf lim 1n nna c

→∞ →∞= = −

Ta thaáy {am } khoâng hoäi tuï nhöng vaãn coù

. Maët khaùcn

liminf 1na→∞

= −n

limsup 1na→∞

=

nnlimsup liminfn na a

→∞→∞≠Trong tröôøng hôïp naøy

149

Cho moät daõy soá thöïc {an}. Giaû söû vaø

ñeàu laø caùc soá thöïc . Chöùng minhn

limsup na→∞

nliminf na

→∞


→∞→∞≥

Am = {an : n ≥ m }bm = sup Am cm = inf Am

bm ≥ am ≥ cm

m mlim limm mb c→∞ →∞

≥


→∞→∞≥

150

Cho moät daõy soá thöïc {an}. Giaû söû vaø

ñeàu laø caùc soá thöïc vaø baèng nhau. Chöùng minh {an} hoäi tuï vaø

nlimsup na

→∞

nliminf na

→∞

n nlim = limsupn na a→∞ →∞

Am = {an : n ≥ m }bm = sup Am cm = inf Am

bm ≥ am ≥ cm

limsup limn mmna b

→∞→∞= l im in f l imn mn m

a c→ ∞ → ∞

=

n nnlim = limsup = liminfn n na a a→∞ →∞→∞

151

Cho moät daõy soá thöïckhoâng aâm {an}. Giaû söû. Chöùng minh

nlimsup 0na

→∞≤

nlim 0na→∞

=

Am = {an : n ≥ m } cm = inf Am ≥ 0an ≥ 0

n nliminf lim 0n na c

→∞ →∞≥ ≥


→∞→∞≥

nnlimsup 0 liminfn na a

→∞→∞≤ ≤

nnlimsup liminf 0n na a

→∞→∞= =

nlim 0na→∞

=

152

Am = {an : n ≥ m} bm = sup Am cm = inf Am limsup limn mmn

a b→∞→∞

= l im in f l imn mn ma c

→ ∞ → ∞=

Cho moät daõy soá thöïc {an} hoäi tuï veà a. Chöùng minh

nnlimsup = liminfn na a a

→∞→∞=

∀ ε > 0, ∃ N(ε)∈ Õ sao cho |an – a | ≤ ε ∀n≥ N(ε)

|an – a | ≤ ε -ε ≤ an – a ≤ ε a -ε ≤ an ≤ a+ ε∀ε > 0, ∃ N(ε) : a -ε ≤ an ≤ a+ ε ∀ n ≥ m ≥ N(ε) ∀ε > 0, ∃ N(ε) : a -ε ≤ cm ≤ bm ≤ a+ ε ∀ m ≥ N(ε) ∀ ε > 0, ∃ N(ε)∈ Õ sao cho |cm – a | ≤ ε ∀m≥ N(ε) ∀ ε > 0, ∃ N(ε)∈ Õ sao cho |bn – a | ≤ ε ∀m≥ N(ε)

153

Cho A laø moät taäp khaùc roång bò chaën treân trong . Ñaët B= {-x : x ∈ A }. Chöùng minh B bò chaën döôùi vaø

sup A = - inf B

sup A ≤ - inf B

sup A ≥ - inf B

sup A ≤ - inf Bx ≤ - inf B ∀ x ∈ A

- x ≥ inf B ∀ x ∈ A y = - x ≥ inf B ∀ x ∈ AB = {-x : x ∈ A }. y ≥ inf B ∀ y ∈ B

sup A < - inf B

∃ ε > 0 : sup A + ε < - inf B

sup A ≥ - inf B

sup A sup A +ε -inf B

154

∃ ε > 0 : sup A + ε < - inf B∃ ε > 0 : sup A < - ε - inf Bx < - ε - inf B ∀ x ∈ A

- x > ε + inf B ∀ x ∈ AB = {-x : x ∈ A }.y = - x > ε + inf B ∀ x ∈ Ay > ε + inf B ∀ y ∈ Bε + inf B laø moät chaën döôùi cuûa B

Cho A laø moät taäp khaùc roång bò chaën döôùi trong . Ñaët B= {-x : x ∈ A }. Chöùng minh B bò chaën treân vaø

inf A = - sup B

155

Cho moät daõy soá thöïc {an}. Ñaët bn = - an ∀ n ∈Õ .

Chöùng minh nn

limsup liminfn na b→∞→∞

= −

Am = {an : n ≥ m }dm = sup Am tm = inf Bm

Bm = {bn= -an : n ≥ m }

tm = -sup Am = - dm

nlimsup limn mm

a d→∞→∞

=n

liminf limn mmb t

→∞ →∞=

Cho moät daõy soá thöïc {an}. Ñaët bn = - an ∀ n ∈Õ .

Chöùng minh n n

liminf limsupn na b→∞ →∞

= −

156

Baøi taäp 31. Cho (X, M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaø{ f m } laø moät daõy aùnh xaï ño ñöôïc töø (X, M) vaøo. Ñaët

Giaû söû u(x) ∈ ∀x ∈ X. Chöùng minh u ño ñöôïc

( ) liminf ( ) .→∞

= ∀ ∈mmu x f x x X

lim inf ( ) lim(inf ( ))km m k mf x f x

→∞ →∞ ≥=

≥= = ≥( ) inf ( ) inf{ ( ) : }m k kk m

g x f x f x k m

→∞ →∞ ≥= =

1lim inf ( ) lim ( ) sup ( )m m mm m m

f x g x g x

g1(x) ≤ g2(x) ≤ g3(x) ≤ . . . ≤ gm(x) ≤ . . .

gm ño ñöôïc

u ño ñöôïc

157

Baøi taäp 32. Cho {fm} laø moät daõy haøm soá ño ñöôïctreân moät khoâng gian ño ñöôïc (X, M). Giaû söû {f m(x)} hoäituï vôùi moïi x trong X. ÑaëtChöùng minh w ño ñöôïc

( ) lim ( ) .mmw x f x x X

→∞= ∀ ∈

( ) lim ( ) liminf ( ) .→∞ →∞

= = ∀ ∈m mm mw x f x f x x X

Baøi taäp 33. Cho {um} laø moät daõy haøm soá ño ñöôïc treânmoät khoâng gian ño ñöôïc (X, M). Giaû söû

hoäi tuï vôùi moïi x trong X. Chöùng minh u ño ñöôïc1

( ) ( )nn

u x u x∞

=

=∑

1( ) ( )

m

n mm

f x u x=

= ∑Ñaët

158

Baøi taäp 34. Cho (X,M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaø flaø moät aùnh xaï ño ñöôïc töø (X, M) vaøo [0 , ∞). Chöùngminh coù moät daõy caùc haøm ñôn {sm} treân X sao cho

1 2(i) 0 ( ) ( ) ( ) .s x s x f x x X≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ∈

(ii) lim ( ) ( ) .mms x f x x X

→∞= ∀ ∈

21 1

, ,1

1

2

,1

1([ , )) , ([0, ))2 2

([ , ]) [1, 2 ] ,

12

n

n

n

n i n n in ni

nn

n

n nn i ni

i iE f E E f n

F f n i n n

is n nE Fχ χ

− −

=

−

=

−= = =

= ∞ ∀ ∈ ∈

−= + ∀ ∈∑

∩

∪

159

21 1

, ,1

1

2

,1

1([ , )) , ([0, ))2 2

([ , ]) [1, 2 ] ,

12

n

n

n

n i n n in ni

nn

n

n nn i ni

i iE f E E f n

F f n i n n

is n nE Fχ χ

− −

=

−

=

−= = =

= ∞ ∀ ∈ ∈

−= + ∀ ∈∑

∩

∪

160

161

2- n - 1

2

2

- n- n - 1

162

Caùch xaáp xócuûa Lebesgue

Caùch xaáp xócuûa Riemann

1631( ) 1 sinf xx

= +

164

Coù moät daõy caùc haøm ñôn {tm} treân X sao cho

lim ( ) ( ) .mmt x f x x X−

→∞= ∀ ∈

Coù moät daõy caùc haøm ñôn {sm} treân X sao cho

lim ( ) ( ) .mms x f x x X+

→∞= ∀ ∈

Ñaët fm = sm - tm ∀ m ∈ Ù

lim ( ) lim( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )m m mm mf x s x t x u x v x f x

→∞ →∞= − = − =

Baøi taäp 35 . Cho f laø moät haøm soá ño ñöôïc treân (X,M). Chöùng minh coù moät daõy haøm ñôn {f m} treân (X,M) saocho

lim ( ) ( ) .mmf x f x x X

→∞= ∀ ∈

165

Baøi taäp 36. Cho u vaø v laø hai haøm soá ño ñöôïc treân (X,M). Chöùng minh u+v ño ñöôïc treân (X,M).


lim ( ) ( ) .mmt x v x x X

→∞= ∀ ∈


lim ( ) ( ) .mms x u x x X

→∞= ∀ ∈

Tìm moät daõy aùnh xaï ño ñöôïc {f m} töø (X, M) vaøo .lim ( ) ( )( ) .mm

f x u v x x X→∞

= + ∀ ∈

Ñaët fm = sm + tm ∀ m ∈ Ù

lim ( ) lim( ( ) ( )) ( ) ( )m m mm mf x s x t x u x v x

→∞ →∞= + = +

166

Baøi taäp 37. Cho v laø moät haøm soá ño ñöôïc treân (X,M) vaøc laø moät soá thöïc. Chöùng minh cv ño ñöôïc treân (X,M).

Coù moät daõy caùc haøm ñôn {sm} treân X sao cholim ( ) ( ) .mm

s x v x x X→∞

= ∀ ∈

Tìm moät daõy aùnh xaï ño ñöôïc {f m} töø (X, M) vaøo .lim ( ) ( ) .mm

f x cv x x X→∞

= ∀ ∈

Ñaët fm = csm ∀ m ∈ Ù

lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )m m mm m mf x cs x c s x cv x

→∞ →∞ →∞= = =

167

Baøi taäp 38. Cho (X, M) laø moät khoâng gian ño ñöôïc vaø flaø moät haøm ño ñöôïc töø (X, M) vaøo . Chöùng minh | f |ño ñöôïc .


lim ( ) ( ) .mmt x f x x X−

→∞= ∀ ∈


lim ( ) ( ) .mms x f x x X+

→∞= ∀ ∈

Ñaët fm = sm + tm ∀ m ∈ Ù

lim ( ) lim( ( ) ( )) ( ) ( ) | | ( )m m mm mf x s x t x f x f x f x+ −

→∞ →∞= + = + =

168

Baøi taäp 39. Cho g laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moätkhoaûng [a,b]. Ñaët

Chöùng minh f laø moät haøm soá ño ñöôïc

( ) [ , ],( )

0 \ [ , ].g x x a b

f xx a b

⎧ ∈= ⎨

∈⎩

1( ) .

[ , ( 1) ]0

m b af g a j mm b a b am a j a jj m m

χ− −

= + ∀ ∈− −+ + +=

∑

a b

g( ) [ , ],

lim ( )0 \ [ , ].mm

g x x a bf x

x a b→∞

⎧ ∈= ⎨

∈⎩

169

CHÖÙNG MINH MOÄT HAØM SOÁ ÑO ÑÖÔÏCNhöõng haøm soá thöïc f sau ñaây ño ñöôïc

• f laø moät haøm ñôn

•

vôùi g laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng [a,b].

( ) [ , ],( )

0 \ [ , ].g x x a b

f xx a b

⎧ ∈= ⎨

∈⎩

Ñeå chöùng minh f ño ñöôïc, ta tìm moät daõy haøm soá ñoñöôïc {fm} sao cho moät trong caùc ñieàu sao ñaây ñuùng

lim ( ) ( ) ,

liminf ( ) ( ) ,

limsup ( ) ( ) .

mm

mm

mm

f x f x x

f x f x x

f x f x x

→∞

→∞

→∞

• = ∀ ∈

• = ∀ ∈

• = ∀ ∈

170

Ñeå chöùng minh f ño ñöôïc, ta tìm hai haøm soá ño ñöôïc uvaø w vaø moät soá thöïc c sao cho moät trong caùc ñieàu saoñaây ñuùng

( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) .

• = + ∀ ∈

• = ∀ ∈

• = ∀ ∈

f x u x w x xf x u x w x xf x cu x x

171

Baøi taäp 40. . Chöùng minh fño ñöôïc

2

1( ) .1

h x xx

= ∀ ∈+

Ñaët

2

1 | | ,( ) 1

0 | | .m

x mh x x

x m

⎧ ≤⎪= +⎨⎪ >⎩

neáuÑaët

neáu

Baøi taäp 39. Cho g laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moätkhoaûng [a,b]. Ñaët

Chöùng minh f laø moät haøm soá ño ñöôïc

( ) [ , ],( )

0 \ [ , ].g x x a b

f xx a b

⎧ ∈= ⎨

∈⎩

Cho x∈ : hm(x) = h(x) neáu m ≥ | x | .hm ño ñöôïclim ( ) ( )mm

h x h x x→∞

= ∀ ∈ h ño ñöôïc

172

Baøi taäp 41.


⎧≠⎪= ⎨

⎪ =⎩

1 0,Ñaët ( )0 0.

neáu xh x xx

1 0 | | ,( )

0 | | 0.m

x mh x x

x m x

⎧ < ≤⎪= ⎨⎪ > =⎩

neáuÑaët

neáu hoaëc

Cho x∈ : hm(x) = h(x) neáu m ≥ | x | .hm ño ñöôïc

lim ( ) ( )mmh x h x x

→∞= ∀ ∈ h ño ñöôïc

173

Baøi taäp 42.

Chöùng minh f ño ñöôïc .

2[ , 1)

1

Ñaët ( ) ( ) .n nn

h x n x xχ∞

+=

= ∀ ∈∑

2[ , 1)

1Ñaët ( ) ( ) .

m

m n nn

h x n x xχ +=

= ∀ ∈∑

Cho x∈ : hm(x) = h(x) neáu m ≥ | x | .

hm ño ñöôïc

lim ( ) ( )mmh x h x x

→∞= ∀ ∈

h ño ñöôïc

174

Baøi taäp 43.


2 ,Ñaët ( )

\ .x x

h xx x

⎧ ∀ ∈= ⎨

∀ ∈⎩

1 2 \

23 4

Ñaët ( ) ( ) , ( ) ( ) ,

( ) , ( ) .

h x x h x x

h x x h x x x

χ χ= =

= = ∀ ∈

h1.h3 , h2.h4 laø caùc haøm soá ño ñöôïc

h1 , h2 , h3 vaø h4 laø caùc haøm soá ño ñöôïc

h = h1.h3 + h2.h4 laø haøm soá ño ñöôïc

Documents

Ly thuyetdodo