Ly thuyettruong

NGUYỄN CHÁNH TÚKhoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế

Giáo trình điện tử

LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀGALOIS

Huế 12-2006

DA˙C TÍNH KY THUA

˙T

• Có the’ tra cu’u den tu’ng phan cu’ a giáo trình bang cách click vào Bookmarksbên le trái cu’ a Acrobat Reader.

• Có siêu kiên ket tham kha’ o chéo và tham chieu den các tài lie˙u tham kha’ o

(305).

• Có siêu liên ket de’ tra cu’u các thua˙t ngu’ hoa

˙c no

˙i dung cu

˙the’ bang Chı’ mu

˙c

(307) o’’ cuoi giáo trình.

• Có the’ liên ket vo’i trang web chı’ ra.

• Có siêu liên ket de’ tham kha’ o nhanh hu’o’ng dan gia’ i cu’ a tu’ng bài ta˙p (250).

• Có the’ do˙c trên ma

˙ng, download hoa

˙c nhanh chóng in thành giáo trình do

˙c.

• Có the’ dùng de’ trình chieu vo’i chu’c nang View|Full Screen.

ii

MU˙C LU

˙C

LO’I NÓI DAU ix

HU’O’NG DAN SU’’ DU˙NG xiii

VÀI NÉT VE LI˙CH SU’’ 1

a) Li˙ch su’’ gia’ i phu’o’ng trình da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

b) Cuo˙c do’i cu’ a Evariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chu’o’ng 0 KIEN THU’C CHUA’ N BI˙

210.1 Tru’o’ng. Da

˙c so cu’ a tru’o’ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

0.2 Vành da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

iii

0.3 Mo˙t so nhóm hu’u ha

˙n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

0.4 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chu’o’ng 1 MO’’ RO˙

NG TRU’O’NG 45

§ 1 Mo’’ ro˙ng tru’o’ng. Ba

˙c cu’ a mo’’ ro

˙ng tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . 45

1.1 Mo’’ ro˙ng tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.2 Ba˙c cu’ a mo’’ ro

˙ng tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§ 2 Mo’’ ro˙ng do’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1 Vành con và tru’o’ng con sinh ra bo’’i mo˙t ta

˙p . . . . . . . . . 53

2.2 Cau trúc cu’ a mo’’ ro˙ng do’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 3 Mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n và mo’’ ro

˙ng da

˙i so . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1 Tính chat cu’ a mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n và mo’’ ro

˙ng da

˙i so . . . . . 69

iv

3.2 Tru’o’ng con các phan tu’’ da˙i so. Tru’o’ng dóng da

˙i so. Bao dóng

da˙i so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 4 Du˙’ng hình bang thu’o’c ke’ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1 Ba bài toán du˙’ng hình co’ die’n . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Dieu kie˙n can de’ da giác deu p ca

˙nh du

˙’ng du’o’c bang thu’o’c

ke’ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

§ 5 Tru’o’ng phân rã cu’ a mo˙t da thu’c. Da thu’c tách du’o’c . . . . . . . 91

5.1 Tru’o’ng phân rã cu’ a mo˙t da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Da thu’c tách du’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Chu’o’ng 2 LÍ THUYET GALOIS 109§ 6 Tu

˙’da’ ng cau và tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro

˙ng tru’o’ng . . . . . . 109

6.1 Nhóm các tu˙’

da’ ng cau cu’ a mo’’ ro˙ng tru’o’ng . . . . . . . . . 110

v

6.2 Tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro˙ng tru’o’ng . . . . . . . . . . . 114

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

§ 7 Mo’’ ro˙ng tách du’o’c, chua’n tac và Galois . . . . . . . . . . . . . . 124

7.1 Mo’’ ro˙ng tách du’o’c và di

˙nh lí phan tu’’ nguyên thu’ y . . . . . 124

7.2 Tiêu chua’n cu’ a mo’’ ro˙ng Galois và chua’n tac . . . . . . . . 127

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

§ 8 Di˙nh lí co’ ba’ n cu’ a Lí thuyet Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

§ 9 Mo˙t so u’ng du

˙ng cu’ a Lí thuyet Galois . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.1 Tru’o’ng hu’u ha˙n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.2 Tru’o’ng và da thu’c chia du’o’ng tròn . . . . . . . . . . . . . . 1609.3 Da giác deu du

˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và compa . . . . . . . 169

9.4 Di˙nh lí co’ ba’ n cu’ a da

˙i so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

§ 10 Nhóm Galois cu’ a da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.1 Bie

˙t thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

vi

10.2 Nhóm Galois cu’ a da thu’c ba˙c 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.3 Da thu’c ba˙c 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10.4 Da thu’c to’ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Bài ta

˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

§ 11 Tiêu chua’n gia’ i du’o’c bang can thu’c cu’ a da thu’c . . . . . . . . . 20111.1 Mo’’ ro

˙ng can và tiêu chua’n gia’ i du’o’c . . . . . . . . . . . . . 201

11.2 Tính không gia’ i du’o’c cu’ a da thu’c có ba˙c lo’n ho’n bon . . . . 211

11.3 Nghie˙m can thu’c cu’ a các da thu’c to’ng quát có ba

˙c không quá 4213

Bài ta˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

PHU˙

LU˙

C 223A Nhóm gia’ i du’o’c và nhóm do’n . . . . . . . . . . . . . . . . . 223B Di

˙nh lí Sylow và Di

˙nh lí Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 239

C Bao dóng da˙i so cu’ a mo

˙t tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . 242

D So’ lu’o’c ve Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

HU’O’NG DAN GIA’ I BÀI TA˙P 250

vii

BA’ NG KÍ HIE˙U VÀ QUY U’O’C 302

TÀI LIE˙U THAM KHA’ O 305

CHI’ MU˙C 307

viii

LO’I NÓI DAU

Lí thuyet Galois là mo˙t trong nhu’ng lí thuyet de

˙p de nhat cu’ a da

˙i so, ta

˙p ho’p

nhieu kien thu’c và phu’o’ng pháp cu’ a các lınh vu˙’c toán ho

˙c khác nhau, nham gia’ i

quyet các bài toán co’ die’n và nhu’ng van de quan tro˙ng khác cu’ a da

˙i so hie

˙n da

˙i.

Mo˙t trong nhu’ng u’ng du

˙ng chu’ yeu cu’ a Lí thuyet Galois là gia’ i quyet bài toán

tìm nghie˙m can thu’c cu’ a phu’o’ng trình da thu’c, da

˙c bie

˙t chı’ ra rang phu’o’ng trình

ba˙c lo’n ho’n bon không the’ gia’ i du’o’c bang can thu’c. Ma

˙t khác, Lí thuyet Galois cho

phép xác di˙nh da giác deu n ca

˙nh du

˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và compa. Bên ca

˙nh

dó, chúng ta nha˙n du’o’c tu’ Lí thuyet Galois lo’i gia’ i cho ba bài toán du

˙’ng hình co’

die’n, dó là không the’ (bang thu’o’c ke’ và compa) chia ba mo˙t góc, gap dôi hình la

˙p

phu’o’ng hoa˙c cau phu’o’ng du’o’ng tròn.

Do tam quan tro˙ng cu’ a Lí thuyet Tru’o’ng và Galois mà tu’ nam 1986, môn ho

˙c

này dã du’o’c Bo˙

Giáo du˙c và dào ta

˙o du’a vào trong chu’o’ng trình chính thu’c cu’ a

khoa Toán các tru’o’ng Da˙i ho

˙c và Cao da’ ng, da

˙c bie

˙t là cho khoa Toán các Tru’o’ng

Su’ pha˙m. Ho’n the, Lí thuyet Galois cung du’o’c gia’ ng da

˙y cho các lo’p Cao Ho

˙c, xem

nhu’ kien thu’c co’ ba’ n de’ tu’ dó mo’’ ro˙ng cho nhu’ng nghiên cu’u lí thuyet và u’ng

du˙ng sâu sac ho’n. ix

Giáo trình này ra do’i trên co’ so’’ bài gia’ ng cu’ a tác gia’ cho sinh viên Khoa Toán,Tru’o’ng Da

˙i ho

˙c su’ pha

˙m Hue suot ho’n 10 nam tru

˙’c tiep gia’ ng da

˙y môn ho

˙c này.

Trong quá trình dó, ba’ n tha’ o du’o’c chı’nh su’’a và bo’ sung sao cho vu’a phù ho’p vo’ichu’o’ng trình cu’ a Bo

˙Giáo du

˙c và Dào ta

˙o, vu’a dáp u’ng nhu cau su’’ du

˙ng các công

cu˙

mo’i cu’ a da˙i so tính toán, vu’a bo’ sung nhu’ng kien thu’c liên quan khó có the’

tìm du’ trong mo˙t vài quye’n sách tham kha’ o. Vì the, giáo trình ra do’i, tru’o’c het,

nham dáp u’ng nhu cau su’’ du˙ng cu’ a sinh viên da

˙i ho

˙c, cao da’ ng và ho

˙c viên cao

ho˙c ngành toán. Bên ca

˙nh dó, giáo trình có the’ là mo

˙t tài lie

˙u tham kha’ o bo’ ích cho

giáo viên pho’ thông trung ho˙c và ho

˙c sinh gio’ i. Ho

˙có the’ tìm thay trong giáo trình

này co’ so’’ toán ho˙c cha

˙t che cho vie

˙c tìm nghie

˙m can thu’c cu’ a phu’o’ng trình da

thu’c, cu’ a các bài toán du˙’ng hình bang thu’o’c ke’ và compa, nhu’ng kien thu’c ve li

˙ch

su’’ toán ho˙c liên quan. Ngoài ra, giáo trình so’ lu’o’c gio’i thie

˙u ve Maple, mo

˙t trong

nhu’ng he˙

thong tính toán da˙i so ma

˙nh me và pho’ bien nhat hie

˙n nay. Thông qua

nhu’ng ví du˙

minh ho˙a, giáo trình chı’ ra kha’ nang tính toán ma

˙nh me cu’ a Maple

cung nhu’ vie˙c ho tro’ dac lu

˙’c cu’ a phan mem này cho các giáo viên pho’ thông, cho

sinh viên và ho˙c sinh trong hoa

˙t do

˙ng gia’ ng da

˙y, nghiên cu’u và ho

˙c ta

˙p toán.

x

Giáo trình du’o’c biên soa˙n trên nguyên tac da’ m ba’ o day du’ và cha

˙t che cu’ a kien

thu’c. De’ làm vie˙c vo’i giáo trình này, do

˙c gia’ chı’ can mo

˙t so kien thu’c co’ so’’ cu’ a da

˙i

so tuyen tính, lôgic, da˙i so da

˙i cu’o’ng nhu’ dã ho

˙c trong nam thu’ nhat và thu’ hai

cu’ a Da˙i ho

˙c hoa

˙c Cao da’ ng. Ngoài nhu’ng kien thu’c dó, nhu’ng khái nie

˙m mo’i du’o’c

di˙nh nghıa và nhu’ng ket qua’ mo’i deu du’o’c chu’ng minh day du’ . Phan kien thu’c

bo’ sung, neu chu’a du’o’c ho˙c trong nhu’ng nam dau tiên cu’ a chu’o’ng trình Da

˙i ho

˙c,

Cao da’ ng, se du’o’c gio’i thie˙u chi tiet trong Phu

˙lu˙c. Cuoi moi tiet (§), giáo trình

cung cap mo˙t he

˙thong phong phú các bài ta

˙p tu’ de den khó, bat dau tu’ bài trac

nghie˙m lí thuyet nham giúp do

˙c gia’ nam mo

˙t cách chac chan nhu’ng khái nie

˙m và

ket qua’ chu’ yeu. Gan 150 bài ta˙p trong giáo trình deu có phan hu’o’ng dan gia’ i day

du’ trong no lu˙’c giúp do

˙c gia’ có the’ tu

˙’ho

˙c. Qua thu

˙’c te gia’ ng da

˙y, tác gia’ cho rang

vie˙c da

˙y-ho

˙c toán hie

˙n nay nói chung, o’’ da

˙i ho

˙c nói riêng, ngu’o’i da

˙y và ngu’o’i ho

˙c

can khai thác su˙’

ho tro’ hie˙u qua’ cu’ a các phan mem toán ho

˙c. Có su

˙’ho tro’ này,

vie˙c da

˙y-ho

˙c có nhu’ng thay do’i tích cu

˙’c và chat lu’o’ng giáo du

˙c du’o’c ca’ i thie

˙n rõ

re˙t. Cùng vo’i vie

˙c nam vu’ng kien thu’c lí thuyet, có kha’ nang gia’ i quyet các bài

toán u’ng du˙ng, ngu’o’i ho

˙c can biet su’’ du

˙ng các phan mem ho tro’ cho các mu

˙c dích

xi

tính toán cu˙

the’. Có nhieu tính toán rat khó và phu’c ta˙p tru’o’c dây nay tro’’ nên

vô cùng do’n gia’ n vo’i su˙’

tro’ giúp cu’ a các phan mem toán ho˙c. Trên tinh than dó,

o’’ nhu’ng vi˙

trí thích ho’p, tác gia’ bo’ sung các le˙nh và ví du

˙minh ho

˙a cho vie

˙c su’’

du˙ng Maple.De’ hoàn thành giáo trình này, tác gia’ dã nha

˙n du’o’c su

˙’ho tro’ cu’ a nhieu the he

˙sinh viên và ho

˙c viên cao ho

˙c trong vie

˙c phát hie

˙n, su’’a chu’a sai sót trong giáo

trình. Nhieu thay cô, dong nghie˙p và ba

˙n bè cung dã dóng góp nhieu ý kien quý

báu trong quá trình biên soa˙n. Nhân di

˙p giáo trình này ra do’i, tác gia’ , mo

˙t lan

nu’a, go’’i lo’i ca’ m o’n sâu sac den các thay cô, dong nghie˙p, ba

˙n bè và sinh viên ve

nhu’ng giúp do’ vô giá trên.Ma

˙c dù dã co gang, giáo trình này không the’ tránh kho’ i nhu’ng thieu sót. Tác

gia’ vô cùng biet o’n neu nha˙n du’o’c nhu’ng ý kien dóng góp, bình lua

˙n và nhu’ng

phát hie˙n loi trong giáo trình này cu’ a do

˙c gia’ gan xa. Mo

˙i ý kien dóng góp, trao do’i

xin gu’’i ve di˙a chı’ : TS. Nguyen Chánh Tú, Khoa Toán, Tru’o’ng Da

˙i ho

˙c su’ pha

˙m

Hue, 32 Lê Lo’i, Thành pho Hue, email: [email protected].

Hue ngày 25 tháng 4 nam 2007.

xii

HU’O’NG DAN SU’’ DU˙NG

Lí thuyet Galois có nhieu cách tiep ca˙n khác nhau. Mo

˙t cách tiep ca

˙n có nhieu

u’u die’m là trình bày Lí thuyet Galois trên co’ so’’ Lí thuyet mo’’ ro˙ng tru’o’ng. Quan

die’m dó cu’ a Bo˙

Giáo du˙c và dào ta

˙o du’o’c chúng tôi thong nhat trong vie

˙c biên

soa˙n giáo trình này. Giáo trình có 2 chu’o’ng, u’ng vo’i Lí thuyet mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và

Lí thuyet Galois. Moi chu’o’ng du’o’c chia ra thành các tiet (§) tu’o’ng u’ng vo’i 4-5 gio’ho

˙c ta

˙p trên lo’p. Ngoài ra, giáo trình có bo’ sung phan Kien thu’c chua’n bi

˙(Chu’o’ng

0), nham nhac la˙i nhu’ng kien thu’c cu chu’ yeu có liên quan sau này. Giáo trình co

gang trình bày theo thu’ tu˙’

ho’p lí nhat cu’ a vie˙c gia’ ng da

˙y-ho

˙c ta

˙p môn ho

˙c. Tuy

nhiên tùy theo mu˙c dích mà do

˙c gia’ có the’ su’’ du

˙ng theo mo

˙t thu’ tu

˙’phù ho’p khác.

Sau khi do˙c xong phan lí thuyet cu’ a tiet, do

˙c gia’ can tu

˙’mình gia’ i quyet các bài

ta˙p cuoi tiet và tra’ lo’i bài ta

˙p trac nghie

˙m (có the’ tham kha’ o phan hu’o’ng dan, neu

can). Các bài ta˙p du’o’c sap xep tu’ de den khó ; nhu’ng bài ta

˙p (*) dòi ho’i su

˙’tu’ duy

cao ho’n. Nhu’ dã trình bày, neu có dieu kie˙n, do

˙c gia’ nên khai thác su’’ du

˙ng Maple

thông qua các ví du˙

và no˙i dung cu

˙the’ trong giáo trình.

Tu’ (§ 8), giáo trình su’’ du˙ng thêm các kien thu’c sâu sac ho’n cu’ a da

˙i so da

˙i cu’o’ng.

xiii

Nhu’ng kien thu’c này du’o’c trình bày chi tiet trong Phu˙

lu˙c.

Các di˙nh lí, me

˙nh de, he

˙qua’ , bo’ de du’o’c dánh so theo tu’ng tiet, ví du

˙“Me

˙nh de

2.3” nam trong § 2 và du’o’c trích dan là “Me˙nh de 2.3” hoa

˙c go

˙n ho’n là “2.3”. Các

công thu’c hoa˙c phu’o’ng trình du’o’c dánh so tu’ dau den cuoi giáo trình ve bên pha’ i,

ví du˙

Df = −4p3 − 27q2 (1)

du’o’c trích dan là “(1)”. Riêng phan Phu˙

lu˙c, mo

˙i di

˙nh lí, me

˙nh de,...du’o’c dánh so

vo’i mo˙t chu’ cái du’ng tru’o’c, ví du

˙“Me

˙nh de A.2.” du’o’c trích dan là “Me

˙nh de A.2.”

hay do’n gia’ n là “A.2.”. Giáo trình có ba’ ng các kí hie˙u su’’ du

˙ng trong giáo trình và

phan Chı’ Mu˙c (307) (Index) nham giúp do

˙c gia’ de dàng tra cu’u du’o’c no

˙i dung khái

nie˙m hoa

˙c kien thu’c can thiet.

xiv

VÀI NÉT VE LI˙CH SU’’ 1

A) LI˙CH SU’’ GIA’ I PHU’O’NG TRÌNH DA THU’C

Ngày nay, ngu’o’i ta tin rang, vie˙c gia’ i phu’o’ng trình da thu’c ba

˙c hai dã du’o’c các

nhà toán ho˙c co’ da

˙i Babilon quan tâm cách dây gan 4000 nam. Nhu’ng tam dat sét

có niên da˙i 1600 BC du’o’c tìm thay cu’ a nen van minh Babilon còn ghi la

˙i vie

˙c tìm

nghie˙m cu’ a nhu’ng phu’o’ng trình ba

˙c hai cu

˙the’. Tuy nhiên, nhu’ng lo’i gia’ i trên

du’o’c mô ta’ bang phu’o’ng pháp hình ho˙c và do dó chı’ liên quan den nhu’ng phu’o’ng

trình ba˙c hai có he

˙so lo’n ho’n 0.

Nhu’ng phu’o’ng pháp hình ho˙c de’ gia’ i phu’o’ng trình ba

˙c hai tiep tu

˙c du’o’c nhà

toán ho˙c vı da

˙i Hy La

˙p Euclid (325 BC-265 BC) de ca

˙p den. Mãi den the kı’ thu’ 7,

nhà toán ho˙c An Do

˙Brahmagupta (598-665), mo’i trình bày mo

˙t cách gia’ i phu’o’ng

trình ba˙c hai có su’’ du

˙ng so âm và các kí hie

˙u, dánh dau su

˙’phát trie’n cu’ a da

˙i so.

Vie˙c xét mo

˙t cách day du’ nghie

˙m cu’ a phu’o’ng trình ba

˙c hai bang phu’o’ng pháp

da˙i so chı’ du’o’c thu

˙’c hie

˙n bo’’i các nhà toán ho

˙c Arab, tiêu bie’u là al-Khwarizmi

1Thông tin trong phan này du’o’c tham kha’ o chu’ yeu tu’ [5] và [7].

2 Vài nét ve li˙ch su’’

(780-880). Tuy nhiên, các nhà toán ho˙c Arab la

˙i chu’a biet den so âm, do dó trong

cuon sách cu’ a mình có tên “Hisabal-jabrw’al-muqaba”, al-Khwarizmi dã phânthành 6 loa

˙i phu’o’ng trình ba

˙c hai, u’ng vo’i 6 chu’o’ng trong cuon sách và trình

bày cách gia’ i cho tu’ng loa˙i. Dây duo’c xem là cuon sách dau tiên ve da

˙i so và tu’

“Algebra” (da˙i so) ra do’i tu’ tên cu’ a cuon sách này. Den nam 1145, cuon sách no’i

tieng cu’ a nhà toán ho˙c Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136)

du’o’c xuat ba’ n o’’ châu Âu có tên Latinh là “Liber ambadorum” cung trình bày daydu’ nghie

˙m cu’ a các phu’o’ng trình ba

˙c hai.

Tru’o’ng phái toán ho˙c Italy kho’’i dau khoa’ ng nam 1500 vo’i cuon sách cu’ a Luca

Pacioli (1445-1517) xuat ba’ n nam 1494, du’o’c biet den vo’i tên viet tat là “Suma”,trong dó lo’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình ba

˙c hai du’o’c trình bày chi tiet bang ngôn ngu’ da

˙i

so hie˙n da

˙i. Pacioli không de ca

˙p den vie

˙c gia’ i phu’o’ng trình da thu’c ba

˙c ba nhu’ng

ông la˙i nhac den vie

˙c gia’ i phu’o’ng trình da thu’c ba

˙c bon. Ông viet, theo ngôn ngu’

cu’ a da˙i so ngày nay, “phu’o’ng trình ba

˙c bon x4 = a + bx2 gia’ i du’o˙’

c bang phu’o’ngpháp nhu’ doi vo’i phu’o’ng trình ba

˙c hai, nhu’ng các phu’o’ng trình x4 + ax2 = b và

x4 + a = bx2 thì không the’ gia’ i du’o˙’c”.

Nguyen Chánh Tú

Vài nét ve li˙ch su’’ 3

Ngu’o’i dau tiên tìm du’o’c nghie˙m cu’ a phu’o’ng trình da thu’c ba

˙c ba là Scipione

del Ferro (1465-1526), mo˙t giáo su’ no’i tieng cu’ a Da

˙i ho

˙c Bologna, Italy. Ferro tìm

du’o’c nghie˙m can thu’c cu’ a phu’o’ng trình x3 + mx = n. Tat nhiên, neu biet su’’

du˙ng khái nie

˙m so âm cu’ a các nhà toán ho

˙c An Do

˙, thì công thu’c nghie

˙m dó là

du’ de’ gia’ i tat ca’ các da˙ng cu’ a phu’o’ng trình ba

˙c ba. Tuy nhiên, lúc bay gio’, Ferro

không biet dieu dó. Ferro gia’ i du’o’c phu’o’ng trình ba˙c ba nêu trên vào nam 1515,

nhu’ng giu’ bí ma˙t cho den tru’o’c lúc qua do’i nam 1526 mo’i tiet lo

˙cho mo

˙t ngu’o’i ho

˙c

trò cu’ a mình là Antonio Fior. Fior là mo˙t ngu’o’i ho

˙c toán bình thu’o’ng và ngay la

˙p

tu’c làm rò rı’ lo’i gia’ i cu’ a thay mình ra ngoài. Tin don ve lo’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trìnhba

˙c ba lan ro

˙ng khap Bologna và các vùng lân ca

˙n, kích thích nhà toán ho

˙c nghie

˙p

du’ Niccolo Fontana(1499-1557) tìm ra lo’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình x3 + mx2 = n

không lâu sau dó. N. Fontana (du’o’c biet den vo’i tên Tartaglia) quyet di˙nh công

bo thành công cu’ a mình. Mo˙t cuo

˙c thách do khoa ho

˙c no’ ra giu’a Tartaglia và Fior

nam 1535. Lua˙t cu’ a cuo

˙c thi do’n gia’ n là moi ngu’o’i se du’a ra 30 phu’o’ng trình ba

˙c

ba cho doi thu’ , he˙n trong 50 ngày, ai gia’ i du’o’c nhieu ho’n thì thang. Tat ca’ các

phu’o’ng trình mà Fior du’a ra cho Tartaglia deu có da˙ng x3 + mx = b và Fior tin

Nguyen Chánh Tú


Hình 1: Chân dung Tartaglia

chac là Tartaglia không the’ gia’ i du’o’c. Tru’o’c tho’i ha˙n cuoi cùng 8 ngày, Tatarlia

dã tìm du’o’c phu’o’ng pháp to’ng quát gia’ i tat ca’ phu’o’ng trình ba˙c ba. Tru’o’c công

chúng, Tartaglia du’a ra lo’i gia’ i cu’ a 30 bài toán trong vòng 2 gio’ và du’o’c công nha˙n

là ngu’o’i thang cuo˙c. Tuy nhiên, ông không công bo lo’i gia’ i chi tiet.

Chien thang cu’ a Tartaglia lan den Milan, kích thích mo˙t nhà toán ho

˙c nghie

˙p

du’ khác, bác sı Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano la˙p tu’c mo’i Tartaglia

Nguyen Chánh Tú


den tham Milan vào nam 1539 và tìm cách thuyet phu˙c Tartaglia tiet lo

˙lo’i gia’ i

phu’o’ng trình ba˙c ba cho mình. Tartaglia dong ý vo’i giao u’o’c Cardano pha’ i giu’

bí ma˙t ve lo’i gia’ i cho den khi Tartaglia tu

˙’mình xuat ba’ n công trình dó. Nhu’ng

Cardano không giu’ giao u’o’c, lo’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình ba˙c ba và ba

˙c bon dã du’o’c

xuat hie˙n chi tiet trong quye’n sách “Ars Magna” no’i tieng cu’ a Cardano, xuat ba’ n

nam 1545. Tartaglia vô cùng tu’c gia˙n và trong mo

˙t bài báo cu’ a mình xuat ba’ n sau

dó, Tartaglia kha’ ng di˙nh la

˙i công lao cu’ a mình và lên án su

˙’pha’ n bo

˙i cu’ a Cardano.

Trong “Ars Magna”, cuon sách tieng Latinh dau tiên trên the gio’i ve da˙i so,

Cardano có de ca˙p den công lao cu’ a Tartaglia chính là tác gia’ cu’ a công thu’c

nghie˙m cu’ a phu’o’ng trình ba

˙c ba, nhu’ng ông cung gia’ i thích thêm rang vie

˙c chu’ng

minh công thu’c cung nhu’ trình bày lo’i gia’ i chi tiet là cu’ a ông cùng các ho˙c trò cu’ a

mình. Da˙c bie

˙t, cuon sách cu’ a Cardano lan dau tiên trình bày lo’i gia’ i cho 20 loa

˙i

phu’o’ng trình da thu’c ba˙c bon. Các lo’i gia’ i này deu có chung phu’o’ng pháp là tìm

nghie˙m cu’ a mo

˙t phu’o’ng trình phu

˙ba

˙c ba (ngày nay ta go

˙i là gia’ i thu’c ba

˙c ba),

roi su’’ du˙ng nó de’ gia’ i phu’o’ng trình ba

˙c bon dã cho. Tác gia’ cu’ a ket qua’ này là

Nguyen Chánh Tú


Hình 2: Chân dung G. Cardano

Lodovico Ferari (1522-1565), mo˙t trong nhu’ng ho

˙c trò xuat sac nhat cu’ a Cardano.

Mo˙t lí do nu’a de’ gia’ i thích cho quyet di

˙nh cu’ a Cardano là ông phát hie

˙n ra rang

Ferro là ngu’o’i dã gia’ i du’o’c các phu’o’ng trình ba˙c ba tru’o’c dó 30 nam.

Su˙’

ra do’i cu’ a Ars Magna truyen ca’ m hu’ng cho nhieu nhà toán ho˙c trên the

gio’i tiep tu˙c nghiên cu’u ve phu’o’ng trình da thu’c nhu’ Bombelli (1526-1572, Italy),

Viéte (1540-1603, Pháp), Descartes (1596-1650, Pháp), Harriot (1560-1621, Anh),

Nguyen Chánh Tú


Hình 3: Chân dung N. Abel

Tschirnhaus (1651-1708, Du’c), Euler (1707-1783, Thu˙y Sı), Bezout (1730-1783,

Pháp). Sau khi gia’ i du’o’c phu’o’ng trình da thu’c ba˙c ba và bon, van de tìm nghie

˙m

can thu’c cho phu’o’ng trình da thu’c ba˙c nam du’o’c da

˙t ra mo

˙t cách tu

˙’nhiên và thu

hút su˙’

quan tâm cu’ a nhieu nhà toán ho˙c trong mo

˙t tho’i gian dài. Euler that ba

˙i

trong no lu˙’c cu’ a mình nhu’ng da

˙t du’o’c mo

˙t phu’o’ng pháp mo’i gia’ i phu’o’ng trình

ba˙c bon. Lagrange (1736-1813), mo

˙t nhà toán ho

˙c Italy-Pháp, dã da

˙t du’o’c bu’o’c

Nguyen Chánh Tú


tien quan tro˙ng trong vie

˙c nghiên cu’u ba’ n chat quá trình tìm nghie

˙m cu’ a phu’o’ng

trình ba˙c nho’ ho’n nam ; quá trình dó phu

˙thuo

˙c vào vie

˙c xác di

˙nh các hàm nghie

˙m

mà chúng không do’i du’o’i tác do˙ng cu’ a các hoán vi

˙da

˙c bie

˙t trên ta

˙p nghie

˙m cu’ a

da thu’c ; ông cung dã chı’ ra rang quá trình dó không the’ thu˙’c hie

˙n du’o’c doi vo’i da

thu’c ba˙c nam. Tu’ dó, gia’ thuyet ve vie

˙c không the’ gia’ i du’o’c phu’o’ng trình ba

˙c nam

bang can thu’c tro’’ thành mo˙t thách thu’c cho các nhà toán ho

˙c. Nam 1813, Ruffini

(1765-1822, Italy) dã co gang du’a ra mo˙t chu’ng minh cho gia’ thuyet trên, rat tiec

chu’ng minh cu’ a ông còn nhieu die’m không chính xác. Van de chı’ du’o’c gia’ i quyettro

˙n ve

˙n bo’’i than dong toán ho

˙c ngu’o’i Na Uy, Niels Henrik Abel (1802-1829) vào

nam 1824. Abel chu’a ki˙p gia’ i quyet bài toán to’ng quát ho’n là “khi nào mo

˙t phu’o’ng

trình da thu’c ba˙

c n có the’ gia’ i du’o˙’c bang can thu’c” thì ông qua do’i lúc chu’a tròn

27 tuo’i. Công trình cu’ a Abel chı’ du’o’c công nha˙n và xuat ba’ n sau dó, nam 1830.

Ba nam sau, mo˙t bi ki

˙ch tu’o’ng tu

˙’cung xa’ y ra vo’i Evariste Galois (1811-1832),

mo˙t than dong toán ho

˙c khác. Su

˙’ra di do

˙t ngo

˙t cu’ a ông dã không ki

˙p cho the gio’i

toán ho˙c nha

˙n ra mo

˙t trong nhu’ng lí thuyet de

˙p de nhat cu’ a da

˙i so, mà tu’ dó de

dàng có câu tra’ lo’i cho bài toán to’ng quát trên. Pha’ i do’i den nam 1843, mu’o’i mo˙t

Nguyen Chánh Tú


Hình 4: Chân dung Galois lúc 15 tuo’i

nam sau ngày ông qua do’i, nhu’ng tuyên bo sau cu’ a nhà toán ho˙c Pháp Joseph

Liouville (1809-1882) trong bu’c thu’ gu’’i cho Vie˙n Hàn Lâm Khoa Ho

˙c Pháp mo’i

dánh dau su˙’

thu’a nha˙n chính thu’c cu’ a co

˙ng dong toán ho

˙c dành cho E. Galois.

Liouville viet :

Hy vo˙ng tôi se mang den cho Vie

˙n Hàn Lâm mo

˙t su

˙’quan tâm da

˙c bie

˙t bang

vie˙c công bo rang tôi dã phát hie

˙n du’o˙’

c trong các công trình cu’ a Evariste

Nguyen Chánh Tú


Galois lo’i gia’ i hoàn ha’ o và sâu sac cho bài toán no’i tieng: khi nào thìphu’o’ng trình da thu’c gia’ i du’o˙’

c bang can thu’c.

Abel và Galois, hai so pha˙n bat ha

˙nh vo’i nhieu die’m tu’o’ng dong kì la

˙, xuat hie

˙n

và bien mat nhu’ hai ve˙t sao bang sáng chói trên bau tro’i toán ho

˙c. Su

˙’ton ta

˙i ngan

ngu’ i cu’ a ho˙

dã de’ la˙i nhu’ng di sa’ n vı da

˙i cho van hóa nhân loa

˙i. Công trình cu’ a

Abel và Galois khép la˙i mo

˙t chu’o’ng cu’ a li

˙ch su’’ gia’ i phu’o’ng trình da thu’c và mo’’

ra nhieu chu’o’ng mo’i cu’ a da˙i so hie

˙n da

˙i, kho’’i nguon cho nhu’ng lí thuyet de

˙p de

cùng nhieu u’ng du˙ng quan tro

˙ng khác.

B) CUO˙

C DO’I CU’ A EVARISTE GALOIS

Evariste Galois sinh ngày 25 tháng 10 nam 1811 ta˙i Bourg-la-Reine, mo

˙t vùng

ngoa˙i ô cu’ athu’ dô Paris nu’o’c Pháp, trong mo

˙t gia dình trí thu’c. Bo Galois là mo

˙t

ngu’o’i no’i tieng, nhieu nam là thi˙

tru’o’’ng cu’ a Bourg-la-Reine. Me˙

ông am hie’unhieu lınh vu

˙’c nhu’ triet ho

˙c, ngôn ngu’, than ho

˙c. Galois du’o’c me

˙da

˙y tieng Hy

la˙p, Latinh, than ho

˙c cho den nam 12 tuo’i.

Tháng 10 nam 1823, Galois bat dau den tru’o’ng và vào ho˙c lo’p 4, Tru’o’ng Louis-

Nguyen Chánh Tú


le-Grand. Ta˙i dây, Galois so’m chu’ng kien su

˙’no’i da

˙y cu’ a ho

˙c sinh hu’o’’ng u’ng cuo

˙c

cách ma˙ng chong la

˙i vua Louis XVIII và sau dó là vua Charles X. Gan 40 ho

˙c sinh

cu’ a tru’o’ng bi˙

duo’i ho˙c trong nam ho

˙c dau tiên cu’ a Galois. Vie

˙c ho

˙c cu’ a Galois

trong nam ho˙c dau tiên dien ra thua

˙n lo’i. Galois da

˙t die’m so tot và nha

˙n du’o’c ho

˙c

bo’ng. Tuy nhiên, vie˙c ho

˙c trên lo’p ngày càng tro’’ nên kém hap dan và Galois pha’ i

lu’u ban vào nam 1826 do thieu die’m môn tu tu’ ho˙c.

Nam 1827, Galois tham gia khóa ho˙c toán dau tiên vo’i giáo su’ M. Vernier, và

so’m say mê môn ho˙c này. Nam 1828, Galois thi vào tru’o’ng École Polytechnique,

tru’o’ng da˙i ho

˙c danh giá hàng dau cu’ a Pháp nhu’ng không do. Quay tro’’ ve Louis-

le-Grand, anh tham gia khóa ho˙c toán vo’i giáo su’ Louis Richard (1795-1849) và

bat dau nghiên cu’u nhu’ng de tài riêng bie˙t cu’ a mình. Galois tìm do

˙c các giáo trình

toán cao cap nhu’ Hình ho˙c cu’ a Legendre, lí thuyet Langrange...Richard viet ve

Galois “Sinh viên này chı’ quan tâm den nhu’ng lınh vu˙’

c khó nhat cu’ a toán ho˙c”.

Su’c hút cu’ a toán ho˙c làm anh che’nh ma’ ng ho’n vo’i vie

˙c ho

˙c trên lo’p. Phieu nha

˙n

xét ve Galois nhu’ng nam dó deu mô ta’ anh là mo˙t ho

˙c sinh “khác thu’o’ng, la

˙p

di˙, do

˙c dáo và khép kín”. Tháng 4 nam 1829, Galois có công trình toán dau tiên

Nguyen Chánh Tú


Hình 5: Chân dung Galois du’o’c anh trai ve la˙i nam 1848

xuat ba’ n trên ta˙p chí Annales de Mathématiques ve liên phân so. Cuoi tháng 5 và

dau tháng 6, Galois gu’’i cho Vie˙n hàn lâm khoa ho

˙c Pháp các ket qua’ nghiên cu’u

ve nghie˙m cu’ a phu’o’ng trình da

˙i so. Cauchy (1789-1857) là ngu’o’i du’o’c phân công

pha’ n bie˙n và ông dã bác bo’ các ket qua’ này.

Tha’ m ki˙ch bat dau xa’ y ra vo’i Galois khi cha anh tu

˙’tu’’ tu’ mo

˙t su

˙’vu cáo ác hie’m

cu’ a vi˙

thay te vùng Bourg-la-Reine. Cha cu’ a Galois là mo˙t chính khách theo phái

Nguyen Chánh Tú


co˙ng hòa. Nhu’ng xung do

˙t chính tri

˙phu’c ta

˙p tho’i bay gio’ giu’a phái co

˙ng hòa và

ba’ o hoàng dã lôi cuon và góp phan da’y den nhu’ng bi ki˙ch liên tiep cho Galois

và gia dình anh. Cái chet cu’ a cha gây soc ma˙nh me và tác do

˙ng lo’n den cuo

˙c do’i

Galois sau này.Chı’ vài tuan sau cái chet cu’ a cha, Galois pha’ i tra’ i qua lan thi thu’ hai vào Tru’o’ng

École Polytechnique. Và Galois la˙i ro’t ! Không na’ n chí, tháng 12 nam 1829, Galois

thi và do vào tru’o’ng École Normal. Trong kì thi dó, vi˙

giám kha’ o môn toán dã cónha

˙n xét ve Galois nhu’ sau :

Ho˙c sinh này nhieu khi dien ta’ mo

˙t cách roi ram ý tu’o’’ng cu’ a mình nhu’ng

là mo˙t ho

˙c sinh thông minh và có kha’ nang da

˙c bie

˙t trong nghiên cu’u.

Còn nhu’ng nha˙n xét cu’ a vi

˙giám kha’ o môn van ho

˙c là :

Dây là ho˙c sinh duy nhat tra’ lo’i rat toi câu ho’ i cu’ a tôi và to’ ra không biet

gì ca’ . Tru’o’c dây, nhieu ngu’o’i nói vo’i tôi rang ho˙c sinh này có nang khieu

da˙

c bie˙t ve toán ho

˙c. Tôi tha

˙t su

˙’nga

˙c nhiên ve dánh giá dó vì sau kì thi

này, tôi cho rang anh ta không thông minh lam.

Nguyen Chánh Tú


Cuoi nam 1829, Galois la˙i gu’’i mo

˙t công trình khác ve lí thuyet phu’o’ng trình cho

Cauchy. Mo˙t lan nu’a Cauchy không thu’a nha

˙n ket qua’ cu’ a Galois. Tháng 2 nam

1830, Galois gu’’i công trình “Ve dieu kie˙n mo

˙t phu’o’ng trình gia’ i du’o˙’

c bang canthu’c” cho Vie

˙n hàn lâm khoa ho

˙c Pháp de’ tham du

˙’gia’ i thu’o’’ng toán ho

˙c cu’ a Vie

˙n.

Thu’ kí Vie˙n, giáo su’ no’i tieng J. Fourier (1768-1830), là ngu’o’i pha’ n bie

˙n công

trình cu’ a Galois. Nhu’ng Fourier qua do’i do˙t ngo

˙t vào tháng 4 nam 1830. Và công

trình cu’ a Galois không bao gio’ du’o’c tìm thay nu’a. Khoa’ ng tho’i gian này, Galoisbiet rang mo

˙t bài báo cu’ a nhà toán ho

˙c quá co Abel du’o’c xuat ba’ n trên Bulletin

de Férussac có mo˙t phan ket qua’ giong cu’ a mình. Sau khi tìm do

˙c các bài báo cu’ a

Abel và Jacobi (1804-1851, Du’c), Galois dã hoàn thành các nghiên cu’u ve các hàmelliptic và tích phân aben. Galois dã dang 3 công trình trên Bulletin de Férussactrong tháng 4 nam 1830. Trong tháng 6, Galois biet tin gia’ i thu’o’’ng toán ho

˙c cu’ a

Vie˙n hàn lâm dã du’o’c trao dong tho’i cho Abel và Jacobi.

Tháng 6 nam 1830, nu’o’c Pháp su˙c sôi vo’i nhu’ng xung do

˙t giu’a phe co

˙ng hòa

và ba’ o hoàng. Vua Charles X bi˙

tru˙c xuat kho’ i Pháp, nhu’o’ng ngai vàng cho vua

Louis-Phillipe. Các cuo˙c bie’u tình, ba

˙o loa

˙n, dàn áp tiep tu

˙c xa’ y ra thu’o’ng xuyên

Nguyen Chánh Tú


trên các du’o’ng pho Paris. Hie˙u tru’o’’ng tru’o’ng École Normal, GS. M. Guigniault,

nhot ho˙c sinh trong tru’o’ng de’ tránh không cho ho

˙c sinh tham gia xuong du’o’ng.

Trèo tu’o’ng ra ngoài không thành, Galois viet mo˙t bài báo dang trên Gazette des

Écoles de’ pha’ n doi vie˙c khóa cu’’a nhot ho

˙c sinh trong tru’o’ng cu’ a hie

˙u tru’o’’ng.

Galois bi˙

duo’i ho˙c và tham gia vào pháo binh, mo

˙t binh chu’ ng trong quân do

˙i

hoàng gia. Tuy nhiên, den tháng 12 nam 1830, pháo binh bi˙

gia’ i tán bo’’i sac le˙nh

cu’ a nhà vua do lo so’ binh chu’ ng này là moi de do˙a cho ngai vàng.

Galois co gang quay tro’’ la˙i làm toán. Anh mo’’ mo

˙t lo’p ho

˙c ve da

˙i so cao cap thu

hút khoa’ ng 40 sinh viên. Nhu’ng sau buo’i ho˙c dau tiên, so sinh viên gia’ m mo

˙t cách

nhanh chóng và cuoi cùng lo’p ho˙c tan rã. Nhu’ng công trình cuoi cùng trong do’i

Galois là 2 bài báo nho’ dang trên Annales de Gergonne (tháng 12 nam 1830) vàtrên Gazette des Écoles (tháng 1 nam 1831).

Tháng 1 nam 1831, theo go’i ý cu’ a vie˙n sı Vie

˙n hàm lâm khoa ho

˙c Pháp Poisson

(1781-1840), lan thu’ ba, Galois gu’’i công trình nghiên cu’u ve phu’o’ng trình cu’ amình cho Vie

˙n hàn lâm.

Chính su˙’

nu’o’c Pháp la˙i lôi cuon Galois, ngu’o’i dang mang tâm tra

˙ng na

˙ng ne

Nguyen Chánh Tú


khi pha’ i doi ma˙t vo’i nhu’ng bat ha

˙nh don da

˙p. Ngu’o’i thanh niên này liên tiep ro’i

vào vòng xoáy cu’ a nhu’ng ý nghı và hành do˙ng tiêu cu

˙’c. Cuoi nam 1830, mu’o’i chín

sı quan pháo binh bi˙

bat ve to˙i âm lu’u la

˙t do’ ngai vàng, nhu’ng du’o’c tha bo’ng sau

dó. Ngày 9 tháng 5 nam 1831, nhu’ng ngu’o’i co˙ng hòa to’ chu’c mo

˙t bu’a tie

˙c chào

mu’ng su˙’

kie˙n này và phô tru’o’ng thanh the. Phan khích tu’ không khí cu’ a bu’a

tie˙c, Galois deo kính, tay cam dao gam kêu go

˙i mo

˙i ngu’o’i chong la

˙i nhà vua. Sau

bu’a tie˙c, Galois bi

˙bat giam o’’ nhà tù Sainte-Pélagie. Ra tòa, Galois du’o’c tha bo’ng

vào ngày 15 tháng 6 nam 1831. Ngày 14 tháng 7, kı’ nie˙m su

˙’kie

˙n ngu

˙c Bastille,

Galois la˙i xuat hie

˙n o’’ hàng dau trong cuo

˙c bie’u tình ram ro

˙cu’ a nhu’ng ngu’o’i co

˙ng

hòa, vo’i trang phu˙c pháo binh, tay cam súng và kiem. Galois la

˙i bi

˙tong giam vào

Sainte-Pélagie. Lan này Galois bi˙

ket án 6 tháng tù giam. Trong tù, Galois nha˙n

du’o’c tin ve so pha˙n ha’m hiu cu’ a công trình khoa ho

˙c mà anh gu’’i lan thu’ 3 cho

Vie˙n hàn lâm khoa ho

˙c Pháp. Poisson nha

˙n xét ve công trình cu’ a Galois :

Chúng tôi dã co gang de’ hie’u chu’ng minh cu’ a Galois. Rat tiec, la˙

p lua˙

ncu’ a tác gia’ không rõ ràng và nhu’ng ket qua’ da

˙t du’o˙’

c chu’a du’ de’ chúng tôikha’ng di

˙nh du’o˙’

c tính dúng dan cu’ a công trình...Tôi cho rang tác gia’ nên

Nguyen Chánh Tú


biên soa˙

n la˙

i toàn bo˙

ket qua’ cu’ a mình trong mo˙t công trình thong nhat de’

có tính thuyet phu˙

c lo’n ho’n.

Tháng 3 nam 1832, di˙ch ta’ hoành hành o’’ Paris. Galois cùng các tù nhân du’o’c

chuye’n den nhà an du’o’ng Sieur Faultrier. Ta˙i dây, mo

˙t co’n gió mát tu’o’’ng chu’ng

có the’ làm di˙u di nhu’ng dau buon vô ta

˙n trong lòng ngu’o’i tù tre’ . Galois dem lòng

yêu Stephanie-Felice du Motel, con gái cu’ a mo˙t nhà va

˙t lí trong vùng. Bat ha

˙nh

thay, day là mo˙t moi tình do’n phu’o’ng và la

˙i là kho’’i dau cho bi ki

˙ch lo’n nhat cu’ a

Galois. Sau khi du’o’c tu˙’

do vào ngày 29 tháng 4 nam 1832, Galois tiep tu˙c theo

duo’i cô gái no˙, nhu’ng cô luôn tìm cách tu’ choi tình ca’ m cu’ a anh.

Trong tho’i gian này, nghe theo lo’i khuyên cu’ a Poisson, Galois la˙ng le xâu chuoi

la˙i nhu’ng phát minh cu’ a mình bang nhu’ng trang viet vo

˙i vàng (Hình 6).

The roi, Galois bi˙

lôi vào cuo˙c dau súng di

˙nh me

˙nh vào ngày 30 tháng 5 nam

1832 vo’i Perscheux d’Herbinville. Nguyên nhân cu’ a cuo˙c dau súng van chu’a thu

˙’c

su˙’

rõ ràng nhu’ng chac chan là có liên quan tru˙’c tiep den Stephanie-Felice du

Motel. Nhu’ tiên doán du’o’c ket cu˙c, dêm 29 tháng 5, Galois thu’c tro

˙n de’ viet bu’c

thu’ cuoi cùng cho ngu’o’i ba˙n Auguste Chevalier, tóm tat la

˙i toàn bo

˙phát minh

Nguyen Chánh Tú


Hình 6: Mo˙t trang ba’ n tha’ o cu’ a Galois

cu’ a mình. Rat nhieu doa˙n trong bu’c thu’ bi

˙bôi xóa nhieu lan vo’i chú thích “tôi

không có du’ tho’i gian”. Sáng hôm sau, Galois bu’o’c chân den dau tru’o’ng và ket cu˙c

tiên lie˙u dã xa’ y ra. Cuoi ngày, mo

˙t ngu’o’i nông dân trong vùng phát hie

˙n Galois

bi˙

tro˙ng thu’o’ng nam trên cánh dong và du’a anh vào be

˙nh vie

˙n. Ngày 31 tháng 5

nam 1832, Galois trút ho’i tho’’ cuoi cùng ta˙i be

˙nh vie

˙n Cochin và du’o’c an táng ta

˙i

Nguyen Chánh Tú


Montparnasse 2 ngày sau dó.Anh cu’ a Galois và Chavalier gu’’i bu’c thu’ cùng toàn bo

˙nhu’ng ba’ n tha’ o dang

do’’ cu’ a Galois cho Gauss (1777-1855, Du’c) và Jacobi nhu’ di chúc cu’ a anh. Khônghie’u vì lí do gì, không có mo

˙t pha’ n u’ng hoa

˙c ý kien nào tu’ Gauss và Jacobi. May

man là sau dó, công trình cu’ a Galois den du’o’c tay Liouville. Mu’o’i mo˙t nam sau,

Liouville dã viet thu’ thông báo cho Vie˙n hàn lâm Pháp ve su

˙’dúng dan và sâu sac

trong ket qua’ cu’ a Galois ; ông dã cho xuat ba’ n nhu’ng phát minh cu’ a Galois trênta˙p chí Revue Encyclopédia cu’ a mình vào nam 1846.Galois ket thúc bu’c thu’ di

˙nh me

˙nh cu’ a mình bang nhu’ng dòng :

Xin gu’’i cho Gauss và Jacobi de’ ho˙

dánh giá công khai, không pha’ i ve tínhdúng dan mà là tam quan tro

˙ng cu’ a nhu’ng di

˙nh lí này. Tôi hi vo

˙ng ha

˙u

the se có ngu’o’i thay du’o˙’c su

˙’sâu sac cu’ a chúng cung nhu’ gia’ i mã du’o˙’

c tatca’ nhu’ng bí a’n hie

˙n tho’i.

Phát minh mà Galois dem la˙i cho khoa ho

˙c de’ tu’ dó ha

˙u the dã, dang và se tiep

tu˙c “gia’ i mã” là lí thuyet mang tên ông : Lí thuyet Galois.

Nguyen Chánh Tú

20 Chu’o’ng 0. KIEN THU’C CHUA’N BI˙

Nguyen Chánh Tú

Chu’o’ng 0

KIEN THU’C CHUA’ N BI˙

Trong phan Kien thu’c chua’n bi˙, ta nhac la

˙i các kien thu’c co’ ba’ n nhat cu’ a da

˙i

so da˙i cu’o’ng se du’o’c su’’ du

˙ng trong cuon sách này. Chu’ng minh cu’ a các ket qua’

này de dàng tìm thay trong các giáo trình da˙i so o’’ Cao da’ ng và Da

˙i ho

˙c. Các kien

thu’c sâu sac ho’n ve Lí thuyet nhóm can thiet se du’o’c trình bày chi tiet trong PhanPhu

˙lu˙c. Da

˙c bie

˙t, vie

˙c gia’ i quyet các bài ta

˙p cuoi tiet này ta

˙o dieu kie

˙n cho do

˙c gia’

nam tot ho’n các tính chat và phu’o’ng pháp co’ ba’ n su’’ du˙ng trong Lí thuyet tru’o’ng

và vành da thu’c.

21


0.1 TRU’O’NG. DA˙C SO CU’ A TRU’O’NG.

Di˙nh nghıa. Tru’o’ng là mo

˙t vành giao hoán có do’n vi

˙khác 0 và mo

˙i phan tu’’

khác 0 deu kha’ nghi˙ch.

Nha˙n xét 0.1. Tru’o’ng là mo

˙t mien nguyên, da

˙c bie

˙t tru’o’ng không có u’o’c cu’ a 0.

Ví du˙

1. Q là tru’o’ng các so hu’u tı’ vo’i các phép toán co˙ng và nhân thông thu’o’ng.

Tu’o’ng tu˙’, ta có tru’o’ng R các so thu

˙’c và tru’o’ng các so phu’c C.

Ví du˙

2. Vành thu’o’ng Zn = Z/nZ là mo˙t tru’o’ng khi và chı’ khi n nguyên to.

Tru’o’ng Zp vo’i p nguyên to là tru’o’ng hu’u ha˙n có p phan tu’’.

Di˙nh nghıa.

Mo˙t dong cau tru’o’ng là mo

˙t dong cau vành bien do’n vi

˙thành do’n

vi˙. Tu’o’ng tu

˙’nhu’ vành, ta có khái nie

˙m do’n cau, toàn cau và da’ ng

cau tru’o’ng.

Cho F là mo˙t tru’o’ng. Mo

˙t dong cau (da’ ng cau) tru’o’ng tu’ F vào F go

˙i là mo

˙t tu

˙’dong cau (tu

˙’da’ng cau) tru’o’ng. Ta

˙p tat ca’ các tu

˙’da’ ng cau tru’o’ng vo’i phép toán

tích các ánh xa˙

ta˙o thành mo

˙t nhóm, ký hie

˙u Aut(F ).

Nha˙n xét 0.2. Mo

˙i dong cau tru’o’ng deu là do’n cau.

Nguyen Chánh Tú

Chu’o’ng 0. KIEN THU’C CHUA’N BI˙

23

Di˙nh nghıa. Mo

˙t vành con A chu’a phan tu’’ 1 cu’ a tru’o’ng F du’o’c go

˙i là tru’o’ng

con neu A o’n di˙nh vo’i phép lay phan tu’’ nghi

˙ch da’ o.

Nha˙n xét 0.3.

(i) Mo˙t tru’o’ng con cu’ a F là mo

˙t tru’o’ng vo’i các phép toán ca’ m sinh.

(ii) Giao cu’ a mo˙t ho

˙khác rong các tru’o’ng con là mo

˙t tru’o’ng con.

Cho F là mo˙t tru’o’ng. Xét ánh xa

˙ϕ : Z −→ F

m 7→ m 1F .

De dàng chu’ng minh rang ϕ là mo˙t dong cau vành. Xét Ker(ϕ), ta có các tru’o’ng

ho’p sau:

• Ker(ϕ) 6= 0. Do Z là mien nguyên chính, ta có Ker(ϕ) = (p) vo’i p > 0 là songuyên du’o’ng nho’ nhat tho’ a p 1F = 0. Rõ ràng p là mo

˙t so nguyên to. Suy ra

ϕ ca’ m sinh mo˙t do’n cau tu’ Zp vào F , do dó F chu’a mo

˙t tru’o’ng con da’ ng cau

vo’i Zp. Tru’o’ng con này chu’a trong tat ca’ các tru’o’ng con cu’ a F . So nguyên top du’o’c go

˙i là da

˙c so cu’ a tru’o’ng F .

Nguyen Chánh Tú


• Ker(ϕ) = 0, tu’c là 0 là so nguyên duy nhat de’ m 1F = 0. Khi dó ϕ mo’’ ro˙ng duy

nhat thành mo˙t dong cau tru’o’ng tu’ Q vào F di

˙nh bo’’i

m/n 7→ ϕ(m)ϕ(n)−1. Do dó F chu’a mo˙t tru’o’ng con da’ ng cau vo’i Q và

tru’o’ng con này chu’a trong tat ca’ các tru’o’ng con cu’ a F . Khi dó ta nói F làtru’o’ng có da

˙c so 0.

Di˙nh nghıa. Cho F là mo

˙t tru’o’ng. Giao cu’ a tat ca’ các tru’o’ng con cu’ a F go

˙i là

tru’o’ng con nguyên to cu’ a F .

Tu’ ket qua’ trên, ta có:

Me˙nh de 0.4. Mo

˙t tru’o’ng da

˙c so p có tru’o’ng con nguyên to da’ng cau vo’i Zp xác

di˙nh bo’’i m 7→ m1F . Mo

˙t tru’o’ng da

˙c so 0 có tru’o’ng con nguyên to da’ng cau vo’i Q

xác di˙nh bo’’i m

n7→ (m1F )(n1F )−1.

Nha˙n xét 0.5. Chú ý rang chı’ có duy nhat mo

˙t dong cau tu’ Q hay Zp vào mo

˙t

tru’o’ng cho tru’o’c F và dong cau dó xác di˙nh nhu’ trong me

˙nh de trên. Tha

˙t va

˙y, gia’

su’’ F có da˙c so 0 và φ : Q −→ F là mo

˙t dong cau tru’o’ng. Khi dó ∀m ∈ N,

φ(m) = φ(1 + · · · + 1) = mφ(1) = m1F .

Nguyen Chánh Tú


25

Ho’n nu’a, φ(−m) = −φ(m) = −(m1F ) = (−m)1F . Hay

φ(m) = m1F , ∀m ∈ Z.

Do dóφ(m/n) = (m1F )(n1F )−1 vo’i mo

˙i m/n ∈ Q.

Tu’o’ng tu˙’

vo’i tru’o’ng ho’p F có da˙c so p và φ : Zp −→ F là mo

˙t dong cau, ta luôn

có φ(m) = m1F .

0.2 VÀNH DA THU’C

Cho A là mo˙t vành giao hoán có do’n vi

˙1 6= 0. Ký hie

˙u A[x] là vành các da thu’c

bien x siêu vie˙t có he

˙tu’’ trong A. Mo

˙t da thu’c

f = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ A[x], an 6= 0

go˙i là có ba

˙c n, kí hie

˙u deg(f). Khi dó vành A chu’a trong A[x] nhu’ mo

˙t vành con.

Me˙nh de 0.6 (Tính pho’ du

˙ng cu’ a vành da thu’c). Cho vành da thu’c A[x] và

R là mo˙t vành giao hoán và α ∈ R. Khi dó mo

˙i dong cau vành τ : A −→ R mo’’

Nguyen Chánh Tú


ro˙ng duy nhat thành dong cau vành ϕ tu’ A[x] vào R tho’a

ϕ(x) = α và ϕ(a) = τ (a), ∀ a ∈ A.

Me˙nh de 0.7. Cho f, g ∈ A[x] và g 6= 0 có he

˙tu’’ dan dau kha’ nghi

˙ch. Khi dó, ton

ta˙

i duy nhat q, r ∈ D[x] sao cho f = gq + r vo’i r = 0 hay deg(r) < deg(g). Dathu’c q (tu’o’ng u’ng r) go

˙i là thu’o’ng (tu’o’ng u’ng du’) cu’ a phép chia (Euclide) f cho g.

Vành da thu’c trên tru’o’ng dóng mo˙t vai trò da

˙c bie

˙t quan tro

˙ng trong Lí thuyet

mo’’ ro˙ng tru’o’ng và Galois. Suot trong cuon sách này, ta kí hie

˙u F là mo

˙t tru’o’ng

neu không có gia’ i thích khác.

He˙

qua’ 0.8. Mo˙i idêan cu’ a F [x] deu là idêan chính. Ho’n the idêan (f) ⊂ F [x] là

toi da˙

i khi và chı’ khi f bat kha’ quy.

Thua˙t toán Euclide cho phép ta tìm u’o’c chung lo’n nhat cu’ a 2 da thu’c cho tru’o’c

và ho’n the, cho phép ta tìm các da thu’c s, t trong he˙

qua’ sau:

He˙

qua’ 0.9. Cho f, g ∈ F [x]. Ký hie˙u d = (f, g). Khi dó ton ta

˙i các da thu’c

s, t ∈ F [x] sao cho sf + tg = d.

Nguyen Chánh Tú


27

Vo’i Maple, các thua˙t toán trên trong Q[x] du’o’c cho bo’’i các le

˙nh the’ hie

˙n trong

ví du˙

sau:

Su’’ du˙

ng Maple 1. De’ tính du’ và thu’o’ng cu’ a phép chia da thu’c

f = x5 + 2 x4 + x3 + x − 1

cho g = x3 − x + 3, ta có the’ dùng le˙nh rem hoa

˙c quo :

> rem(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,’q’);

−7 − 3 x − x2

> q;

x2 + 2 x + 2

Nhu’ the khi chia f cho g ta du’o’c thu’o’ng là x2 + 2x + 2 và du’ là−7 − 3x − x2.

De’ tính u’o’c chung lo’n nhat trong Q[x], ta dùng le˙nh

> gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x);

1

Nguyen Chánh Tú


Le˙nh trên cung cho ta tính du’o’c da thu’c s, t sao cho sf + tg = d nhu’ ví du

˙sau

dây.

> gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,’s’,’t’);

1

> s,t;

− 64

511+

24

511x − 1

511x2,

149

511+

18

511x2 +

79

511x − 22

511x3 +

1

511x4

Tính toán trong vành Zp[x], ta dùng le˙nh Remvà Gcdex tu’o’ng u’ng.

Me˙nh de 0.10. Cho f ∈ Z[x] bat kha’ quy trên Z. Khi dó f bat kha’ quy trên Q.

Di˙nh nghıa. Cho D là mo

˙t mien nguyên Gauss. Mo

˙t da thu’c thuo

˙c vành D[x]

go˙i là chua’n tac neu he

˙tu’’ dan dau cu’ a f bang 1.

Me˙nh de 0.11. Cho f ∈ Z[x] là mo

˙t da thu’c chua’n tac. Neu g ∈ Q[x] là mo

˙t u’o’c

chua’n tac cu’ a f trong Q[x] thì g ∈ Z[x].

Chu’ng minh. Xem BT 0. 14.

Nguyen Chánh Tú


29

Me˙nh de 0.12 (Tiêu chua’n bat kha’ quy cu’ a Eisenstein).

Cho f = anxn + · · · + a0 ∈ Z[x]. Neu ton ta˙

i mo˙t so nguyên to p sao cho:

p - an, p|ai, ∀ i = 0, . . . , n − 1 và p2 - a0 thì f bat kha’ quy trong Q[x].

Me˙nh de 0.13. Cho f = a0 + · · · + anxn ∈ Q[x]. Neu phan tu’’

r

s∈ Q, vo’i

(r, s) = 1, là nghie˙m cu’ a f thì r | a0 và s | an.

Su’’ du˙

ng Maple 2. Maple có the’ tìm da˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a mo

˙t da thu’c khác 0

bat ky trong Q[x] hay Zp[x] bang le˙nh factor hay Factor .

> factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5);

(2 x2 + 1) (x2 + 2 x + 5)

> Factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5) mod 13;

2 (x + 4) (x2 + 7) (x + 11)

Xét vành thu’o’ng Zm. Toàn cau chính tac Z −→ Zm mo’’ ro˙ng tam thu’o’ng thành

toàn cau vànhZ[x] −→ Zm[x] bien f = anxn+· · ·+a0 thành f := anxn+· · ·+a0.

Nguyen Chánh Tú


Me˙nh de 0.14. Cho f ∈ Z[x]. Neu ton ta

˙i mo

˙t so nguyên to p không chia het he

˙tu’’

cao nhat cu’ a f và f bat kha’ quy trong Zp[x] thì f bat kha’ quy trong Q[x].

Chu’ng minh. Xem Bài ta˙p 0. 8.

Chú ý rang, me˙nh de trên chı’ cho mo

˙t dieu kie

˙n du’ . Có nhu’ng da thu’c bat kha’

quy trong Q[x] nhu’ng a’ nh cu’ a nó trong Zp[x] là kha’ quy vo’i mo˙i so nguyên to p,

xem Bài ta˙p 0. 6.

0.3 MO˙

T SO NHÓM HU’U HA˙N

Cap cu’ a mo˙t nhóm (nhân) hu’u ha

˙n G là so phan tu’’ cu’ a nhóm, kí hie

˙u (G : 1) hay

|G|. Cap cu’ a mo˙t phan tu’’ a ∈ G là cap cu’ a nhóm con cyclic sinh ra bo’’i a. Ta gio’i

thie˙u mo

˙t so nhóm hu’u ha

˙n quan tro

˙ng se ga

˙p trong no

˙i dung cu’ a cuon sách này.

a) Nhóm dihedral D2n

Nhóm dihedral D2n còn go˙i là nhóm các phép doi xu’ng cu’ a da giác deu n ca

˙nh

Pn, tu’c là nhóm các phép bien do’i da’ ng cu˙’

cu’ a ma˙t pha’ ng bien Pn thành chính nó.

Go˙i σ là phép quay có tâm là tâm cu’ a Pn và góc quay là 2π/n (góc di

˙nh hu’o’ng).

Nguyen Chánh Tú


31

Rõ ràng σ có cap n. Go˙i τ là phép doi xu’ng tru

˙c vo’i tru

˙c doi xu’ng di qua mo

˙t dı’nh

cho˙n tru’o’c cu’ a Pn. Cap cu’ a τ bang 2. Khi dó

D2n = τ iσj | i = 0, 1 ; j = 1, . . . , ncó cap bang 2n.

De dàng chı’ ra rang

D2n =< σ, τ | σn = τ 2 = 1, στ = τσ−1 > .

b) Nhóm doi xu’ng Sn

Nhóm doi xu’ng Sn là nhóm các phép hoán vi˙

n phan tu’’ cu’ a ta˙p

Ω = 1, . . . , n, có cap bang n!. Moi phan tu’’ cu’ a Sn go˙i là mo

˙t phép the. Nhóm

doi xu’ng Sn vo’i n ≥ 3 là mo˙t nhóm không giao hoán.

Mo˙t vòng xích σ = (a1 a2 . . . am) gom các so tu

˙’nhiên phân bie

˙t cu’ a Ω bie’u dien

mo˙t phép the cu’ a Sn di

˙nh bo’’i σ(ai) = ai+1 vo’i 1 ≤ i ≤ m − 1, σ(am) = a1 và

giu’ nguyên các phan tu’’ còn la˙i cu’ a Ω.

Vòng xích σ go˙i là có do

˙dài m neu nó chu’a m phan tu’’. Hai vòng xích go

˙i là do

˙c

la˙p neu chúng không có phan tu’’ chung. Tích cu’ a 2 vòng xích do

˙c la

˙p có tính giao

Nguyen Chánh Tú


hoán. Có the’ chu’ng minh de dàng ket qua’ sau.

Me˙nh de 0.15. Mo

˙i phép the deu có the’ bie’u dien mo

˙t cách duy nhat (sai khác thu’

tu˙’

) du’o’i da˙

ng tích cu’ a các vòng xích do˙c la

˙p. Bie’u dien này du’o˙’

c go˙i là bie’u dien

vòng xích cu’ a phép the.

Ví du˙

3. Trong S12, cho phép the σ di˙nh bo’’i:

σ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1212 2 3 1 11 9 5 10 6 4 7 8

Ta có σ = (1 12 8 10 4)(5 11 7)(6 9).

Khi du’o’c bie’u dien bang tích cu’ a các vòng xích do˙c la

˙p, nghi

˙ch da’ o cu’ a phép the

du’o’c xác di˙nh mo

˙t cách de dàng bang cách viet da’ o ngu’o’c các phan tu’’ trong các vòng

xích do˙c la

˙p cu’ a nó. Ví du

˙, vo’i phép the σ o’’ trên, ta có

σ−1 = (4 10 8 12 1)(7 11 5)(6 9).Ta cung de dàng chu’ng minh du’o’c ket qua’ sau.

Me˙nh de 0.16. Cap cu’ a phép the σ bang bo

˙i chung nho’ nhat cu’ a do

˙dài cu’ a các

vòng xích trong bie’u dien vòng xích cu’ a σ.

Nguyen Chánh Tú


33


Mo˙t vòng xích có do

˙dài bang 2 go

˙i là mo

˙t phép chuye’n trí. Mo

˙i vòng xích deu

du’o’c bie’u dien (không duy nhat) bang tích cu’ a các phép chuye’n trí, cha’ ng ha˙n :

σ = (a1 a2 . . . am) = (a1 am) · · · (a1 a3)(a1 a2). (1)

Tu’ dó suy ra :

Me˙nh de 0.17. Mo

˙i phép the deu bie’u dien du’o˙’

c du’o’i da˙

ng tích cu’ a các phépchuye’n trí.

Nhu’ the ta˙p ho’p T tat ca’ các phép chuye’n trí cu’ a Sn sinh ra Sn. Ket qua’ sau

cung du’o’c su’’ du˙ng sau này.

Me˙nh de 0.18. Nhóm doi xu’ng Sn du’o˙’

c sinh bo’’i vòng xích (1 2 . . . n) và phépchuye’n trí (1 2).

Chu’ng minh. Cho c = (1 2 . . . n) và t = (1 2). Go˙i G là nhóm con sinh bo’’i t và

c. Khi dó G chu’a phan tu’’ c tc−1 = (2 3), nên chu’a

c(2 3)c−1 = (3 4), . . .

Nguyen Chánh Tú


và do dó chu’a các phép chuye’n trí da˙ng (m m + 1). Suy ra G chu’a các phan tu’’

(1 2)(2 3)(1 2) = (1 3) ; (1 3)(3 4)(1 3) = (1 4) ; ...

nhu’ the G chu’a các phép chuye’n trí da˙ng (1 m). Do dó G chu’a các phan tu’’ da

˙ng

(1 m)(1 r)(1 m) = (m r) vo’i mo˙i m, r ∈ 1, . . . , n. Tat ca’ các phép chuye’n trí

sinh ra Sn nhu’ dã thay o’’ me˙nh de trên. Do dó G = Sn.

Ta nhac la˙i khái nie

˙m dau cu’ a phép the và gio’i thie

˙u nhóm thay phiên An.

Da˙t

∆n =∏

1≤i<j≤n

(xi − xj).

Vo’i σ ∈ Sn, tác do˙ng cu’ a σ trên ∆n di

˙nh bo’’i:

σ(∆n) =∏

1≤i<j≤n

(xσ(i) − xσ(j)

).

Do σ là mo˙t song ánh, moi nhân tu’’ (xi − xj) cu’ a ∆n xuat hie

˙n dúng mo

˙t lan vo’i

dau + hay − trong σ(∆n). Nhu’ the, ta có σ(∆n) = ±∆n.

Nguyen Chánh Tú


35

Da˙t

sign(σ) =σ(∆n)

∆n

∈ ±1

go˙i là dau cu’ a phép the σ.

Di˙nh nghıa.

Phép the σ go˙i là phép the chan neu sign(σ) = 1, là phép the le’

neu sign(σ) = −1.

Me˙nh de 0.19. Ánh xa

˙sign : Sn −→ ±1 là mo

˙t toàn cau nhóm.

Chu’ng minh. Ta có

sign(τσ) =

∏1≤i<j≤n

(xτσ(i) − xτσ(j)

)

∏1≤i<j≤n

(xσ(i)−σ(j)

)

∏1≤i<j≤n

(xσ(i) − xσ(j)

)

∏1≤i<j≤n

(xi − xi)

= sign(τ ) sign(σ).

De thay rang sign là mo˙t toàn ánh vì a’ nh cu’ a phép chuye’n trí (1 2) bang −1. Nhu’

the sign là mo˙t toàn cau nhóm.

He˙

qua’ 0.20. Ta˙

p ho˙’p tat ca’ các phép the chan trong Sn là mo

˙t nhóm con chua’n

tac cu’ a Sn có chı’ so bang 2, go˙i là nhóm thay phiên (trên n phan tu’’), kí hie

˙u An.

Nguyen Chánh Tú


Ví du˙

4. Ta tính dau cu’ a phép chuye’n trí tùy ý (i j). Ta dã biet phép chuye’n trí(1 2) là mo

˙t phép the le’ . Go

˙i τ = (1 i)(2 j) là phép the hoán vi

˙1 cho i và 2 cho j.

Khi dó ta có (i j) = τ (1 2)τ . Vì sign là dong cau nhóm, ta có

sign(i j) = (−1) sign(τ )2 = −1.

Va˙y phép chuye’n trí là phép the’ le’ .

Me˙nh de 0.21. Mo

˙t vòng xích do

˙dài m là phép the le’ khi và chı’ khi m là so chan.

Suy ra, mo˙t phép the σ là le’ khi và chı’ khi so các vòng xích do

˙dài chan trong bie’u

dien vòng xích cu’ a σ là mo˙t so le’.

Chu’ng minh. Mo˙t vòng xích do

˙dài m có the’ bie’u dien nhu’ tích cu’ a m − 1 phép

chuye’n trí (xem (1)). Do moi phép chuye’n trí là le’ , suy ra dieu pha’ i chu’ng minh.

c) Nhóm quaternionNhóm quaternion Q8 là nhóm có 8 phan tu’’, xác di

˙nh nhu’ sau. Cho

Q8 = 1, −1, i, −i, j, −j, k, −k,

vo’i phép nhân di˙nh bo’’i:

Nguyen Chánh Tú


37

• 1a = a1 = a vo’i mo˙i a ∈ Q8 ;

• (−1)(−1) = 1 ; (−1)a = a(−1) = −a vo’i mo˙i a ∈ Q8 ;

• ii = jj = kk = −1 ;

• ij = k ; ji = −k ;

• jk = i ; kj = −i ;

• ki = j ; ik = −j.

De dàng kie’m tra tat ca’ các tiên de cu’ a nhóm deu tho’ a mãn.

0.4 HÀM EULER

Ta nhac la˙i khái nie

˙m hàm Euler và mo

˙t so tính chat quan tro

˙ng cu’ a nó. Phan

chu’ng minh các tính chat này du’o’c thu˙’c hie

˙n trong phan Bài ta

˙p.

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh nghıa.

Hàm Euler ϕ là mo˙t ánh xa

˙tu’ N∗ vào N∗ di

˙nh bo’’i

ϕ(n) = #m ∈ N | m ≤ n, (m, n) = 1.

Nghıa là ϕ(n) là so các so tu˙’

nhiên không lo’n ho’n n và nguyênto cùng nhau vo’i n.

Mo˙t so tính chat cu’ a hàm Euler du’o’c phát bie’u trong me

˙nh de sau.

Me˙nh de 0.22. Kí hie

˙u ϕ là hàm Euler. Khi dó:

(i) ϕ(p) = p − 1 vo’i p là so nguyên to ;

(ii) ϕ(pm) = (p − 1)pm−1 ;

(iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) vo’i mo˙i (a, b) = 1 ;

(iv) Neu a = pm11 · · · pmr

r thì

ϕ(a) = a(1 − 1

p1

) · · · (1 − 1

pr

) ;

(v)∑d|n

ϕ(d) = n.

Nguyen Chánh Tú


39


Bài ta˙p

0. 1 . Cho˙n dúng (D), sai (S) cho các me

˙nh de sau:

a) Hai da thu’c bat ky cu’ a F [x] deu ton ta˙i u’o’c chung lo’n nhat.

b) Tu’o’ng u’ng tu’ F [x] vào Z cho bo’’i f 7→ deg(f) là mo˙t dong cau vành.

c) Mo˙i tru’o’ng deu da’ ng cau vo’i tru’o’ng các thu’o’ng cu’ a nó.

d) Vành Zn là mo˙t mien nguyên khi và chı’ khi nó là mo

˙t tru’o’ng.

e) Mo˙i da thu’c trên tru’o’ng F deu có mo

˙t nghie

˙m trong F .

f) Mo˙i da thu’c bat kha’ quy trên Q deu bat kha’ quy trên Z.

g) Mo˙i da thu’c bat kha’ quy trên Q thì bat kha’ quy trên R.

h) Có vô ha˙n các da thu’c bat kha’ quy ba

˙c n trên Q (trên R, trên C).

i) Nhu’ng da thu’c nguyên to cùng nhau thì có ba˙c khác nhau. (Xem HD 250)

Nguyen Chánh Tú


0. 2 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so p > 0. Xét ánh xa

˙ϕ : F −→ F

a 7→ ap.

go˙i là ánh xa

˙Frobenius. Chu’ng minh rang ϕ là mo

˙t dong cau tru’o’ng. Suy ra

neu F là tru’o’ng hu’u ha˙n thì ϕ là mo

˙t tu

˙’da’ ng cau. (Xem HD 250)

0. 3 . Cho D là mien nguyên và FD là tru’o’ng các thu’o’ng cu’ a nó. Cho K là mo˙t

tru’o’ng và τ : D −→ K là mo˙t do’n cau vành. Chu’ng minh rang ton ta

˙i duy

nhat mo˙t dong cau tru’o’ng ϕ : FD −→ K sao cho ϕ(a) = τ (a), ∀a ∈ D. Suy

ra tính duy nhat cu’ a tru’o’ng các thu’o’ng cu’ a D. (Xem HD 250)

0. 4 . Xác di˙nh các tu

˙’dong cau cu’ a tru’o’ng các so hu’u ty’. Tu’o’ng tu

˙’, xác di

˙nh các tu

˙’dong cau cu’ a Zp; suy ra công thu’c Fermat ap ≡ a mod p vói mo

˙i a ∈ Z. (Xem

HD 251)

0. 5 . Chu’ng minh rang mo˙t tru’o’ng F có da

˙c so 0 (tu’o’ng u’ng p nguyên to) khi và

chı’ khi ton ta˙i mo

˙t dong cau (do’n cau) tru’o’ng tu’ Q (tu’o’ng u’ng Zp) vào F . Ho’n

nu’a, dong cau tru’o’ng dó là duy nhat.

Nguyen Chánh Tú


41

(Xem HD 252)

0. 6 . Cho f = x4 − 10x2 +1 ∈ Z[x]. Chu’ng minh rang f bat kha’ quy trên Z nhu’ngkha’ quy khi xét nhu’ mo

˙t da thu’c trong Zp[x] vo’i mo

˙i p nguyên to.

(Xem HD 252)

0. 7 . Chu’ng minh He˙

qua’ 0.8. (Xem HD 252)

0. 8 . Chu’ng minh Me˙nh de 0.14. (Xem HD 253)

0. 9 . Tìm d = (f, g) vo’i f, g ∈ Z11[x] cho bo’’i f = x5+2x4+3x3+3x2−5x+2, g =

2x3 +7x2 +5x−2. Tìm s, t ∈ Z11[x] sao cho sf + tg = d. Nên su’’ du˙ng Maple.

(Xem HD 253)

0. 10 . Chu’ng minh da˙ng to’ng quát cu’ a MD. 0.10: cho D là mien nguyên Gauss và

FD là tru’o’ng các thu’o’ng cu’ a D. Neu f ∈ D[x] bat kha’ quy trên D thì bat kha’quy trên FD. (Xem HD 253)

0. 11 . Xác di˙nh tính bat kha’ quy cu’ a các da thu’c sau dây. Trong tru’o’ng ho’p kha’ quy,

tìm da˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a da thu’c trên tru’o’ng chı’ ra.

Nguyen Chánh Tú


a) x4 + 1 trên Q.

b) x4 + 1 trên R.

c) x7 + 11x3 − 33x + 22 trên Q.

d) x4 + x3 + x2 + x + 1 trên Q.

e) x3 − 7x2 + 3x + 3 trên Q.

f) x4 + 15x3 + 7 trên Q.

g) x4 + 7 trên Z17.

h) x3 − 5 trên Z11. (Xem HD 253)

0. 12 . Tìm nghie˙m cu’ a các da thu’c sau dây (tru’o’c tiên trong Q sau dó trong R,C).

a) x3 + 1.

b) x3 − 6x2 + 11x − 6.

c) x5 + x + 1.

d) x2 + 1.

e) x4 + x3 + x2 + x + 1.

f) x4 − 6x2 + 11.

(Xem HD 254)

0. 13 . Tìm tat ca’ các da thu’c chua’n tac x2 + bx + c ∈ Z5[x]. Da thu’c nào bat kha’

quy ? Trong moi tru’o’ng ho’p, tính ∆ := b2 − 4c. Du˙’

doán và chu’ng minh tiêuchua’n bat kha’ quy theo ∆. (Xem HD 254)

0. 14 . Chu’ng minh Me˙nh de 0.11. (Xem HD 254)

Nguyen Chánh Tú


43

0. 15 . Cho p là mo˙t so nguyên to. Chu’ng minh rang trong Zp[x] có dúng

p2 − p

2da

thu’c chua’n tac bat kha’ quy ba˙c 2. (Xem HD 255)

0. 16 . Chu’ng minh Me˙nh de 0.16 bang cách chu’ng minh các kha’ ng di

˙nh sau.

• Neu σ = (a1 a2 . . . am) thì vo’i mo˙i i ∈ 1, 2, . . . , m, ta có σi(ak) = ak+i

vo’i k + i du’o’c lay tha˙ng du’ theo modulo m.

• Trong mo˙t nhóm nhân G, cho a, b là 2 phan tu’’ giao hoán du’o’c, khi dó

(ab)n = anbn vo’i mo˙i n ∈ Z.

0. 17 . Cho ϕ là hàm Euler. Chu’ng minh rang

a) neu q | n thì ϕ(qn) = qϕ(n) ;

b) neu (p, n) = 1 và p nguyên to thì ϕ(pn) = (p − 1)ϕ(n) ;

c) suy ra neu p nguyên to và (p, n) = 1 thì

ϕ(pmn) = (p − 1)pm−1ϕ(n) ;

d) suy ra ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀(a, b) = 1 ;

Nguyen Chánh Tú


e)∑d|n

ϕ(d) = n. (Xem HD 255)

* 0. 18 . Cho F là mo˙t tru’o’ng. Chu’ng minh rang mo

˙i nhóm con hu’u ha

˙n cu’ a nhóm

nhân F ∗ = F − 0 là mo˙t nhóm cyclic. Suy ra neu F là tru’o’ng hu’u ha

˙n thì

F ∗ là nhóm cyclic. (Xem HD 256)

* 0. 19 . Xác di˙nh ta

˙p các tu

˙’dong cau cu’ a tru’o’ng R. (Xem HD 257)

Nguyen Chánh Tú

Chu’o’ng 1

MO’’ RO˙

NG TRU’O’NG

§ 1 MO’’ RO˙

NG TRU’O’NG. BA˙C CU’ A MO’’ RO

˙NG TRU’O’NG

1.1 MO’’ RO˙

NG TRU’O’NG

Di˙nh nghıa.

Cho tru’o’ng K và F là mo˙t tru’o’ng con cu’ a K. Khi dó F ⊂ K go

˙i

là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và K du’o’c go

˙i là mo

˙t mo’’ ro

˙ng (tru’o’ng) cu’ a

F . Mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng F ⊂ K còn du’o’c kí hie

˙u là K : F hay

K/F .45

46 Chu’o’ng 1. MO’’ RO˙NG TRU’O’NG

Nha˙n xét 1.1. (i) Mo

˙i tru’o’ng deu là mo’’ ro

˙ng cu’ a tru’o’ng con nguyên to cu’ a nó.

(ii) Cho K : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng. Khi dó tru’o’ng con nguyên to cu’ a chúng

trùng nhau.

Ví du˙

5. Q ⊂ R, Q ⊂ C, R ⊂ C là các mo’’ ro˙ng tru’o’ng.

Ví du˙

6. Cho F là mo˙t tru’o’ng và F (x) là tru’o’ng các phân thu’c hu’u ty’ bien x siêu

vie˙t trên F . Dong nhat F vo’i các phân thu’c hang, ta có F ⊂ F (x) là mo

˙t mo’’ ro

˙ng

tru’o’ng.

Di˙nh nghıa.

Cho K : F và L : F là các mo’’ ro˙ng tru’o’ng cu’ a F . Mo

˙t dong cau

(da’ ng cau) tru’o’ng ϕ : K −→ L tho’ a ϕ(a) = a, ∀ a ∈ F go˙i là

F -dong cau (F -da’ ng cau). Mo’’ ro˙ng K : F du’o’c go

˙i là F -da’ ng cau

vo’i mo’’ ro˙ng L : F neu ton ta

˙i mo

˙t F -da’ ng cau tu’ K vào L, kí

hie˙u K ∼=F L. Neu K = L thì các F -dong cau (F -da’ ng cau) go

˙i

là F -tu˙’

dong cau (F -tu˙’

da’ ng cau).

To’ng quát ho’n, ta có:

Nguyen Chánh Tú

§ 1. Mo’’ ro˙ng tru’o’ng. Ba


˙ng tru’o’ng 47

Di˙nh nghıa.

Cho F ⊂ K và E ⊂ L là các mo’’ ro˙ng tru’o’ng, cho

τ : F −→ E là mo˙t dong cau (da’ ng cau) tru’o’ng. Dong cau

(da’ ng cau) ϕ : K −→ L go˙i là mo

˙t mo’’ ro

˙ng cu’ a τ neu

ϕ(a) = τ (a), ∀a ∈ F .

Di˙nh nghıa.

Mo’’ ro˙ng F ⊂ K go

˙i là da’ ng cau vo’i mo’’ ro

˙ng E ⊂ L neu ton ta

˙i

các da’ ng cau i : F −→ E và mo˙t mo’’ ro

˙ng cu’ a nó j : K −→ L,

nghıa là j(a) = i(a), ∀a ∈ F.

Nha˙n xét 1.2. Quan he

˙da’ ng cau cu’ a các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng là mo

˙t quan he

˙tu’o’ng

du’o’ng. Da˙c bie

˙t, quan he

˙“∼=F ” là mo

˙t quan he

˙tu’o’ng du’o’ng.

Me˙nh de 1.3. Cho K : F và L : F là các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng, cho ϕ : K −→ L là mo

˙t

F -dong cau. Cho α ∈ K là mo˙t nghie

˙m cu’ a f ∈ F [x]. Khi dó ϕ(α) ∈ L là mo

˙t

nghie˙m cu’ a f .

Chu’ng minh. Go˙i f = anxn + · · · + a0. Ta có

f(α) = anαn + · · · + a0 = 0.

Nguyen Chánh Tú


Suy ra0 = ϕ(f(α)) = anϕ(α)n + · · · + a0 = f(ϕ(α)).

Nghıa là ϕ(α) là mo˙t nghie

˙m cu’ a f .

Ta có da˙ng to’ng quát cu’ a me

˙nh de trên, xem Bài ta

˙p 1. 8.

1.2 BA˙C CU’ A MO’’ RO

˙NG TRU’O’NG

Cho K : F là mo˙t mo’’ ro

˙ngtru’o’ng. Khi dó K có cau trúc cu’ a mo

˙t không gian véc

to’ trên F vo’i phép nhân vô hu’o’ng là phép nhân trên K. Mo˙t co’ so’’ cu’ a F−không

gian véc to’ K cung du’o’c go˙i là co’ so’’ cu’ a mo’’ ro

˙ng tru’o’ng K : F .

Di˙nh nghıa.

Ba˙c cu’ a mo’’ ro

˙ng tru’o’ng K : F là chieu cu’ a F−không gian véc to’

K, kí hie˙u [K : F ]. Neu [K : F ] hu’u ha

˙n thì ta go

˙i K : F là mo

˙t

mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n. Neu mo’’ ro

˙ng K : F không hu’u ha

˙n thì go

˙i là

mo’’ ro˙ng vô ha

˙n.

Ví du˙

7. Xét mo’’ ro˙ng tru’o’ng C : R. Ta biet mo

˙i phan tu’’ cu’ a C du’o’c viet mo

˙t cách

duy nhat du’o’i da˙ng a + bi vo’i a, b ∈ R. Do dó 1, i là mo

˙t co’ so’’ cu’ a C : R. Suy

ra [C : R] = 2.

Nguyen Chánh Tú




Ví du˙

8. Các mo’’ ro˙ng tru’o’ng R/Q, C/Q, K(x)/K là các mo’’ ro

˙ng vô ha

˙n.

Nha˙n xét 1.4. Ba


˙ng F ⊂ K bang 1 khi và chı’ khi F = K. Nói cách

khác ba˙c cu’ a mo’’ ro

˙ng tru’o’ng bang 1 khi và chı’ khi mo’’ ro

˙ng là tam thu’o’ng. Tha

˙t

va˙y, neu K = F.α thì 1 = aα, kéo theo α = a−1 ∈ F . Do dó F = K.

Di˙nh lí 1.5. Cho K : F và L : K là các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng. Khi dó L : F là mo

˙t mo’’

ro˙ng tru’o’ng và

[L : F ] = [L : K][K : F ].

Ho’n the neu eii∈I và fjj∈J lan lu’o˙’t là co’ so’’ cu’ a K : F và L : K thì

eifji∈I,j∈J là mo˙t co’ so’’ cu’ a L : F .

Chu’ng minh.Kí hie

˙u E = eii∈I, S = fjj∈J và ES = eifji∈I,j∈J . Cho u ∈ L. Khi dó

u =∑

ajfj vo’i aj ∈ K. Do aj bie’u thi˙

tuyen tính qua E nên thay aj trong bie’udien cu’ a u bo’’i các to’ ho’p tuyen tính cu’ a S , ta có bie’u dien tuyen tính cu’ a u quaES. Do dó ES là he

˙sinh cu’ a không gian véc to’ L trên F .

Ta chu’ng minh rang ES do˙c la

˙p tuyen tính. Xét mo

˙t to’ ho’p tuyen tính trong L

cho bo’’i∑

i,j aijeifj = 0 vo’i aij ∈ F . Ta viet∑

j(∑

i aijei)fj = 0 nhu’ mo˙t quan he

˙ Nguyen Chánh Tú


tuyen tính tam thu’o’ng cu’ a S. Do S do˙c la

˙p tuyen tính, ta có

∑i aijei = 0 vo’i mo

˙i

j. Ma˙t khác, do E do

˙c la

˙p tuyen tính, ta có aij = 0 vo’i mo

˙i i, j. Va

˙y ES do

˙c la

˙p

tuyen tính.

Nha˙n xét 1.6. Di

˙nh lý trên cho thay rang L : F là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n khi và chı’

khi L : K và K : F là các mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n.

Bài ta˙p

1. 1 . Trong các tru’o’ng ho’p sau, dâu là mo’’ ro˙ng tru’o’ng ?

a) Q ⊂ A := a + b√

2 | a, b ∈ Q ;

b) Q ⊂ B := a + b√

α | a, b ∈ Q vo’i α ∈ N ;

c) Q ⊂ C := a + b 3√2 | a, b ∈ Q ;

d) Q ⊂ D := a + bi | a, b ∈ Q ? (Xem HD 257)

1. 2 . Xác di˙nh ba

˙c cu’ a các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng tìm du’o’c trong bài ta

˙p trên. (Xem HD

257)

Nguyen Chánh Tú




1. 3 . Chu’ng minh rang Q[√

3] := a + b√

3 | a, b ∈ Q vàQ[

√5] := a + b

√5 | a, b ∈ Q deu là các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng ba

˙c 2 cu’ a Q

nhu’ng không da’ ng cau vo’i nhau. (Xem HD 257)

1. 4 . Chu’ng minh rang mo’’ ro˙ng R : Q là vô ha

˙n. (Xem HD 258)

1. 5 . Chu’ng minh rang mo˙i tu

˙’dong cau tru’o’ng ϕ : K −→ K deu là P−tu

˙’dong

cau vo’i P là tru’o’ng con nguyên to cu’ a K. (Xem HD 258)

1. 6 . Chu’ng minh rang quan he˙

da’ ng cau cu’ a các mo’’ ro˙ng tru’o’ng là mo

˙t quan he


1. 7 . Cho F ⊂ K là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng. Mo

˙t tru’o’ng E tho’ a F ⊂ E ⊂ K du’o’c

go˙i là tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro

˙ng F ⊂ K. Chu’ng minh rang mo

˙i mo’’ ro

˙ng

tru’o’ng ba˙c nguyên to không có tru’o’ng trung gian nào khác F và K. (Xem HD

258)

1. 8 . a) Cho τ : F −→ E là mo˙t dong cau tru’o’ng. Khi dó τ mo’’ ro

˙ng thành mo

˙t do’n

Nguyen Chánh Tú


cau vành τ∗ : F [x] −→ E[x] di˙nh bo’’i:

τ∗(a0 + · · · + anxn) = τ (a0) + · · · + τ (an)xn.

Da˙c bie

˙t, chı’ ra rang neu τ là da’ ng cau tru’o’ng thì τ∗ là da’ ng cau vành và

khi dó, neu f ∈ F [x] bat kha’ quy trên F thì τ∗(f) bat kha’ quy trên E. De’

do’n gia’ n, ta thu’o’ng viet τ∗f thay cho τ∗(f).

b) Cho F ⊂ K và E ⊂ L là các mo’’ ro˙ng tru’o’ng; cho τ : F −→ E là mo

˙t dong

cau tru’o’ng và ϕ : K −→ L là mo˙t mo’’ ro

˙ng cu’ a τ . Chu’ng minh rang neu

α ∈ K là nghie˙m cu’ a f ∈ F [x] thì ϕ(α) ∈ L là nghie

˙m cu’ a τ∗f.

(Xem HD 258)

Nguyen Chánh Tú

§ 2. Mo’’ ro˙ng do’n 53

§ 2 MO’’ RO˙

NG DO’N

2.1 VÀNH CON VÀ TRU’O’NG CON SINH RA BO’’I MO˙

T TA˙P

Di˙nh nghıa.

Cho K là mo˙t tru’o’ng và S là mo

˙t ta

˙p con cu’ a K. Giao cu’ a tat ca’

các vành con (tru’o’ng con) cu’ a K chu’a S là mo˙t vành con (tru’o’ng

con) cu’ a K, go˙i là vành con (tru’o’ng con) sinh ra bo’’i S. Vành con

(tru’o’ng con) sinh ra bo’’i S là vành con (tru’o’ng con) nho’ nhat cu’ aK chu’a S.

Di˙nh nghıa.

Cho F ⊂ K là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng, cho S là mo

˙t ta

˙p con cu’ a K.

Vành con (tru’o’ng con) sinh ra bo’’i F ∪S trong K du’o’c go˙i là vành

con (tru’o’ng con) sinh ra bo’’i S trên F , kí hie˙u F [S]

(tu’o’ng u’ng

F (S)).

Neu S = s1, . . . , sn thì ta kí hie˙u F [s1, . . . , sn] cho F [S]. Tu’o’ng tu

˙’kí hie

˙u

F (s1, . . . , sn) cho F (S).

Nha˙n xét 2.1.

(i) Ta có F (s1, . . . , sn) = F (s1, . . . , sn−1)(sn), ∀ n ≥ 2.

Nguyen Chánh Tú


(ii) Neu S ⊂ F , da˙c bie

˙t khi S = ∅ thì F [S] = F (S) = F . Trong tru’o’ng ho’p

S 6= ∅ ta có ket qua’ sau:

Me˙nh de 2.2. Cho mo’’ ro

˙ng tru’o’ng F ⊂ K và ∅ 6= S là mo

˙t ta

˙p con cu’ a K. Khi dó

(i) F [S] = ∑

hu’u ha˙

nai1···insi1

1 · · · sinn | ai1···in ∈ F, sj ∈ S, n ∈ N

vo’i quy u’o’c

s0 = 1, ∀ s ∈ S ;

(ii) F (S) =f

g:= fg−1 | f, g ∈ F [S], g 6= 0

. Nói cách khác, ta

˙p F (S) là

tru’o’ng các thu’o’ng cu’ a F [S].

Chu’ng minh. (i) Da˙t

E = ∑

hu’u ha˙n

ai1···insi11 · · · sin

n | ai1···in ∈ F, sj ∈ S, n ∈ N

.

Ta chu’ng minh rang E là vành con nho’ nhat chu’a F ∪ S. Rõ ràng F ⊂ E doquy u’o’c trên. Ta

˙p E là mo

˙t vành con vì nó là mo

˙t nhóm con và dóng kín vo’i

phép nhân. Cuoi cùng mo˙i vành con cu’ a K chu’a F ∪ S deu chu’a các phan tu’’

cu’ a E.

Nguyen Chánh Tú

§ 2. Mo’’ ro˙ng do’n 55

(ii) Hie’n nhiên do tính nho’ nhat cu’ a tru’o’ng các thu’o’ng.

Ví du˙

9. C = R[i] = R(i). Tu’o’ng tu˙’, ta có Q[

√2] = Q(

√2).

2.2 CAU TRÚC CU’ A MO’’ RO˙

NG DO’N

Di˙nh nghıa.

Mo’’ ro˙ng tru’o’ng F ⊂ K go

˙i là mo’’ ro

˙ng do’n neu ton ta

˙i α ∈ K

sao cho K = F (α). Phan tu’’ α go˙i là phan tu’’ nguyên thu’ y cu’ a

mo’’ ro˙ng do’n. Chú ý rang mo

˙t mo’’ ro

˙ng do’n có the’ có nhieu phan

tu’’ nguyên thu’ y khác nhau.

Ví du˙

10. Các mo’’ ro˙ng R ⊂ C, Q ⊂ Q(π), Q ⊂ Q(i), F ⊂ F (x) là các mo’’ ro

˙ng

do’n.

Di˙nh nghıa.

Cho K : F là mo’’ ro˙ng tru’o’ng. Phan tu’’ u ∈ K du’o’c go

˙i là da

˙i so

trên F neu nó là nghie˙m cu’ a mo

˙t da thu’c f khác 0 trong F [x].

Mo˙t phan tu’’ u ∈ K không da

˙i so trên F du’o’c go

˙i là siêu vie

˙t trên

F .

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh nghıa. Mo’’ ro

˙ng K : F du’o’c go

˙i là mo’’ ro

˙ng da

˙i so neu mo

˙i phan tu’’ cu’ a

K deu da˙i so trên F .

Ví du˙

11. Các phan tu’’ i,√

2,√

2 + 3√5 deu da˙i so trên Q.

Nha˙n xét 2.3. Nam 1844, Liouville (1809-1882, Pháp) chu’ng minh su

˙’ton ta

˙i cu’ a

so siêu vie˙t (trên Q). Nam 1873, Hermite (1822-1901, Pháp) chu’ng minh so e siêu

vie˙t. Sau dó, so π siêu vie

˙t du’o’c Lindemann (1852-1939, Du’c) chu’ng minh nam

1882. Nam 1874, Cantor (1845-1918, Pháp) chu’ng minh rang ta˙p các so da

˙i so

trên Q là dem du’o’c và ta˙p các so thu

˙’c R là không dem du’o’c. Nhu’ the, so các so

thu˙’c siêu vie

˙t là “nhieu ho’n” so các so thu

˙’c da

˙i so. Tuy nhiên, nói chung, rat khó

de’ chu’ng minh mo˙t so thu

˙’c cu

˙the’ là siêu vie

˙t.

Nam 1934, Gel’fond (1906-1968, Nga) và Schneider do˙c la

˙p chu’ng minh bài toán

thu’ 7 no’i tieng cu’ a Hilbert (1862-1943), rang các so αβ là siêu vie˙t, trong dó α, β

da˙i so trên Q, α 6= 0, 1 và β /∈ Q.

Bây gio’, chúng ta se phân tích sâu ho’n ve cau trúc cu’ a các mo’’ ro˙ng do’n F (u)

u’ng vo’i các tru’o’ng ho’p u da˙i so hoa

˙c siêu vie

˙t trên F .

Nguyen Chánh Tú

§ 2. Mo’’ ro˙ng do’n 57

Cho K : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và u ∈ K. Xét dong cau vành :

ϕ : F [x] −→ F [u]

f 7→ f(u).

Rõ ràng ϕ là mo˙t toàn cau. Xét Ker(ϕ), có 2 tru’o’ng ho’p nhu’ sau :

• Ker(ϕ) = 0. Nghıa là u siêu vie˙t trên F . Khi dó ϕ là mo

˙t da’ ng cau, do dó

F (x) ∼= F (u).

• Ker(ϕ) 6= 0. Nghıa là u da˙i so trên F . Do F [x] là mien nguyên chính nên

Ker(ϕ) = (f), vo’i 0 6= f ∈ F [x]. Khi dó f chính là da thu’c có ba˙c nho’

nhat nha˙n u làm nghie

˙m. Suy ra f bat kha’ quy và do dó Ker(ϕ) là idêan toi

da˙i (xem 0.8). Theo di

˙nh lý dong cau vành, ta có F [x]/Ker(ϕ) ∼= F [u]. Do

F [x]/Ker(ϕ) là mo˙t tru’o’ng nên F [u] = F (u).

Nhu’ the, ta dã chu’ng minh ket qua’ sau dây :

Me˙nh de 2.4. Cho K : F là mo

˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và u ∈ K.

(i) Neu u siêu vie˙t trên F thì F (u) ∼=F F (x), tru’o’ng các phân thu’c hu’u ty’ trên F .

Nguyen Chánh Tú


(ii) Neu u da˙

i so trên F thì

F (u) = F [u] ∼=F F [x]/(f)

vo’i f 6= 0 là mo˙t da thu’c có ba

˙c nho’ nhat nha

˙n u làm nghie

˙m.

Nha˙n xét 2.5. Cho K : F là mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và u ∈ K da

˙i so trên F . Khi dó :

(i) Da thu’c 0 6= f ∈ F [x] có ba˙c nho’ nhat nha

˙n u làm nghie

˙m khi và chı’ khi f

bat kha’ quy nha˙n u làm nghie

˙m. Dieu dó tu’o’ng du’o’ng vo’i f(u) = 0 và f chia

het mo˙i da thu’c nha

˙n u làm nghie

˙m.

(ii) Neu f và g là 2 da thu’c cu’ a F [x] có ba˙c nho’ nhat nha

˙n u làm nghie

˙m thì

deg(f) = deg(g) và ho’n the f ∼ g. Trong các da thu’c có ba˙c nho’ nhat nha

˙n

u làm nghie˙m, ton ta

˙i duy nhat mo

˙t da thu’c có he

˙tu’’ dan dau bang 1, da thu’c

dó du’o’c go˙i là da thu’c toi tie’u cu’ a u. Ba

˙c cu’ a f du’o’c go

˙i là ba

˙c cu’ a u (trên F ).

He˙

qua’ 2.6. Cho K : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và u ∈ K da

˙i so trên F có ba

˙c n.

Khi dó mo˙i phan tu’’ cu’ a F (u) du’o˙’

c viet duy nhat du’o’i da˙

ng

a0 + a1u + · · · + an−1un−1, ai ∈ F

Nguyen Chánh Tú

§ 2. Mo’’ ro˙ng do’n 59

vo’i mo˙i i = 0, . . . , n − 1. Nói cách khác ta

˙p 1, u, · · · , un−1 là mo

˙t co’ so’’ cu’ a

F (u) : F . Suy ra mo’’ ro˙ng do’n F (u) : F là mo

˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n.

Chu’ng minh. Go˙i f là da thu’c toi tie’u cu’ a u. Cho α ∈ F (u). Go

˙i

α = b0 + b1u + · · · + bmum. Xét g = b0 + b1x + · · · + bmxm. Ton ta˙i q, r ∈ F [x]

sao cho g = fq + r vo’i r = a0 + a1x + · · · + atxt, vo’i t < n. Rõ ràng

α = g(u) = r(u) = a0 + a1u + · · · + atut.

Ho’n nu’a, neu có 2 bie’u dien

α = a0 + a1u + · · · + an−1un−1 = c0 + c1u + · · · + cn−1u

n−1,

thì chúng trùng nhau, nghıa là ai = ci, ∀ i = 0, . . . , n − 1. Tha˙t va

˙y, neu không

thì 0 = (a0 − c0) + · · · + (an−1 − cn−1)un−1 trái vo’i gia’ thiet u có ba

˙c n.

Mo˙i mo’’ ro

˙ng do’n da

˙i so deu là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n. Dieu ngu’o’c la

˙i nói chung không

dúng. Sau này, ta se xác di˙nh dieu kie

˙n de’ mo

˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n là mo’’ ro

˙ng do’n

da˙i so.

Nguyen Chánh Tú


He˙

qua’ 2.7. Cho K : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và u, v ∈ K da

˙i so trên F . Neu

u và v có cùng mo˙t da thu’c toi tie’u thì ton ta

˙i duy nhat mo

˙t F -da’ng cau tru’o’ng

ϕ : F (u) −→ F (v) sao cho ϕ(u) = v.

Chu’ng minh. Tha˙t va

˙y các mo’’ ro

˙ng do’n F (u) và F (v) deu da’ ng cau vo’i F [x]/(f)

vo’i f là da thu’c toi tie’u cu’ a u và v.

Ta thay rang, u’ng vo’i mo˙t mo’’ ro

˙ng do’n da

˙i so trên F có mo

˙t lo’p các da thu’c bat

kha’ quy liên ket vo’i nhau trên F nha˙n u làm nghie

˙m. Ngu’o’c la

˙i, ta chu’ng minh

rang :

Me˙nh de 2.8. Cho F là mo

˙t tru’o’ng và f ∈ F [x] là mo

˙t da thu’c bat kha’ quy. Khi

dó ton ta˙

i mo˙t mo’’ ro

˙ng do’n da

˙i so F (α) : F sao cho α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f .

Chu’ng minh. Da˙t K := F [x]/(f). Theo (0.8), nhat a ∈ F vo’i a ∈ K, ta có K : F


˙ng tru’o’ng. Da

˙t α = x. Rõ ràng f(α) = f = 0 và K = F (α).

Nguyen Chánh Tú

§ 2. Mo’’ ro˙ng do’n 61

Bài ta˙p

2. 1 . Xác di˙nh tính dúng, sai cho các me

˙nh de sau :

a) Mo˙i tru’o’ng deu có mo

˙t mo’’ ro

˙ng không tam thu’o’ng.

b) Mo˙i tru’o’ng deu có mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so không tam thu’o’ng.

c) Mo˙i mo’’ ro

˙ng do’n deu là mo’’ ro

˙ng da

˙i so.

d) Mo˙i mo’’ ro

˙ng tru’o’ng deu là mo’’ ro

˙ng do’n.

e) Mo˙i mo’’ ro

˙ng do’n da

˙i so deu da’ ng cau.

f) Mo˙i mo’’ ro

˙ng do’n siêu vie

˙t cu’ a mo

˙t tru’o’ng cho tru’o’c deu da’ ng cau.

g) Mo˙i da thu’c toi tie’u deu bat kha’ quy.

h) Mo˙i da thu’c bat kha’ quy thuo

˙c F [x] nha

˙n u ∈ K ⊃ F làm nghie

˙m deu có

cùng ba˙c.

i) Mo˙i da thu’c bat kha’ quy thuo

˙c F [x] nha


˙m deu là

da thu’c toi tie’u cu’ a u.

Nguyen Chánh Tú


j) Ba˙c cu’ a da thu’c bat kha’ quy thuo

˙c F [x] nha


˙m go

˙i

là ba˙c cu’ a u. (Xem HD 258)

2. 2 . Cho K = Q[α] vo’i α ∈ C là nghie˙m cu’ a da thu’c x3 − x2 + x + 2. Bie’u dien

các phan tu’’ (α2 + α + 1)(α2 − α) và (α − 1)−1 cu’ a K nhu’ các da thu’c theoα có ba

˙c không quá 2. (Xem HD 258)

2. 3 . Mô ta’ các mo’’ ro˙ng do’n F (α) vo’i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a các da thu’c sau trên

tru’o’ng chı’ ra :

a) x2 − 5 ∈ Q[x] ;

b) x4 + x3 + x2 + x + 1 ∈ Q[x] ;

c) x2 + x + 1 ∈ Z2[x] ;

d) x3 + 2 ∈ Q[x]. (Xem HD 259)

2. 4 . Cho K : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n và f ∈ F [x] là mo

˙t da thu’c bat kha’ quy

có deg(f) > 1. Chu’ng minh rang neu [K : F ] và deg(f) nguyên to cùng nhauthì f không có nghie

˙m trong K. (Xem HD 259)

Nguyen Chánh Tú

§ 2. Mo’’ ro˙ng do’n 63


˙ng tru’o’ng và [K : F ] = n. Cho f ∈ F [x] là da thu’c

bat kha’ quy ba˙c m tho’ a (m, n) = 1. Chu’ng minh rang f bat kha’ quy trên K.

(Xem HD 259)

2. 6 . Xác di˙nh ba

˙c và chı’ ra mo

˙t co’ so’’ cu’ a các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng :

a) Q ⊂ Q(√

2, i) ; b) Q ⊂ Q( 3√5,√−2) ;

c) Q ⊂ Q(√

18, 3√2) ; d) Q ⊂ Q(√

27, 3 +√

12) ;

e) Q ⊂ Q(√

18, 4√2) ; f) Q ⊂ Q(u, 3√2) vo’i u lànghie

˙m cu’ a x4 + 6x2 + 3.

(Xem HD 260)

2. 7 . Xác di˙nh tat ca’ tu

˙’dong cau cu’ a các tru’o’ng Q(i), Q( 3√2). (Xem HD 260)

2. 8 . Chu’ng minh rang Q(√

a,√

b) = Q(√

a +√

b), ∀ a, b ∈ N. (Xem HD 260)

2. 9 . Bie’u dien các tru’o’ng con sau cu’ a Z2(x) :

a) Z2(x2) ;

b) Z2(x + 1). (Xem HD 260)

Nguyen Chánh Tú


2. 10 . Tìm da thu’c toi tie’u cu’ a các phan tu’’ sau dây trên tru’o’ng chı’ ra :

a)√

5 + 1

2trên Q ;

b)i√

3 − 1

2trên Q ;

c) α ∈ Z3(t)(α) vo’i α tho’ a α2 = t + 1 trên Z3(t) ;

d) 4√5 +√

5 trên Q ;

e) 3√2 + 3√4 trên Q ;

f) u2 + u vo’i u là nghie˙m cu’ a x3 + 3x2 − 3 ;

g) ξ + ξ6 vo’i ξ = e2πi/7 trên Q ;

h) ξ + ξ2 + ξ4 vo’i ξ = e2πi/7 trên Q ;

i) ξ2 + ξ5 vo’i ξ = e2πi/7 trên Q. (Xem HD 260)

2. 11 . Cho α và β lan lu’o’t là nghie˙m cu’ a x2 − 2 và x2 − 4x + 2 thuo

˙c Q[x]. Chu’ng

minh rang Q(α) ∼=Q Q(β). (Xem HD 261)

2. 12 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so khác 2 và f là mo

˙t da thu’c ba

˙c 2 có he

˙tu’’ trong

Nguyen Chánh Tú

§ 2. Mo’’ ro˙ng do’n 65

F . Chu’ng minh rang ca’ 2 nghie˙m cu’ a f deu thuo

˙c mo

˙t mo’’ ro

˙ng do’n F (u) vo’i

u2 ∈ F . Suy ra tính chat “mo˙i da thu’c ba

˙c 2 deu gia’ i du’o’c trên mo’’ ro

˙ng tru’o’ng

cu’ a F nha˙n du’o’c bang cách ghép vào các can ba

˙c 2 cu’ a các phan tu’’ cu’ a F ”.

Chu’ng to’ rang tính chat dó không dúng vo’i tru’o’ng có da˙c so 2. (Xem HD 261)

2. 13 . a) Chu’ng minh rang mo˙i mo’’ ro

˙ng ba

˙c 2 trên Q deu da’ ng cau vo’i Q(

√d) vo’i

d ∈ Z là mo˙t so không chính phu’o’ng.

b) Chu’ng minh rang mo˙i mo’’ ro

˙ng ba

˙c 2 trên R deu da’ ng cau vo’i C.

(Xem HD 262)


˙ng tru’o’ng và [K : F ] = n. Chu’ng minh rang ba

˙c cu’ a

phan tu’’ u ∈ K là mo˙t u’o’c cu’ a n. Suy ra neu n nguyên to thì K = F (u) vo’i

mo˙i u ∈ K \ F . (Xem HD 262)

2. 15 . Tìm tat ca’ các da thu’c bat kha’ quy ba˙c 2 trên Z3. Mô ta’ các mo’’ ro

˙ng do’n ba

˙c 2

trên Z3. Chu’ng minh tat ca’ các mo’’ ro˙ng do’n dó là da’ ng cau vo’i nhau.

(Xem HD 262)

Nguyen Chánh Tú


2. 16 . Cho E = F (α) là mo˙t mo’’ ro

˙ng thu

˙’c su

˙’cu’ a F vo’i α là nghie

˙m chung cu’ a x3−1

và x4 + x2 + 1. Xác di˙nh da thu’c toi tie’u cu’ a α. (Xem HD 262)

2. 17 . Cho i : F −→ E là mo˙t da’ ng cau tru’o’ng. Go

˙i α là nghie

˙m cu’ a mo

˙t da thu’c

f = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ F [x] bat kha’ quy. Go˙i β là mo

˙t nghie

˙m cu’ a da

thu’ci∗f := i(a0) + i(a1)x + · · · + i(an)x

n ∈ E[x].

Chu’ng minh ton ta˙i mo

˙t mo’’ ro

˙ng j : F (α) −→ E(β) cu’ a i sao cho j(α) = β.

Ket qua’ trên mo’’ ro˙ng cho He

˙qua’ 2.7. (Xem HD 262)

2. 18 . Cho mo’’ ro˙ng do’n da

˙i so F (α) vo’i f ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a α. Cho K : F


˙ng tru’o’ng. Chu’ng minh rang

a) Neu ϕ : F (α) −→ K là mo˙t F -dong cau thì ϕ(α) là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f .

b) Ánh xa˙

ϕ 7→ ϕ(α) xác di˙nh mo

˙t song ánh giu’a ta

˙p các F -dong cau tu’ F (α)

vào K và ta˙p các nghie

˙m cu’ a f trong K. Suy ra so các F -dong cau bang so

nghie˙m phân bie

˙t cu’ a f trong K. (Xem HD 262)

2. 19 . Cho mo’’ ro˙ng do’n da

˙i so F (α) vo’i f ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a α. Cho

Nguyen Chánh Tú

§ 2. Mo’’ ro˙ng do’n 67

τ : F −→ K là mo˙t dong cau tru’o’ng. Chu’ng minh:

a) Neu ϕ : F (α) −→ K là mo˙t mo’’ ro

˙ng cu’ a τ thì ϕ(α) là mo

˙t nghie

˙m cu’ a

τ∗f trong K. Xem Bài ta˙p 1. 8 ve di

˙nh nghıa cu’ a τ∗f .

b) Ánh xa˙

ϕ 7→ ϕ(α) là mo˙t song ánh giu’a ta

˙p các mo’’ ro

˙ng cu’ a τ vo’i ta

˙p các

nghie˙m phân bie

˙t cu’ a τ∗f trong K.

Bài ta˙p này là da

˙ng to’ng quát cu’ a bài ta

˙p trên. (Xem HD 263)

* 2. 20 . Chu’ng minh các mo’’ ro˙ng Q ⊂ R và Q ⊂ C deu không pha’ i là các mo’’ ro

˙ng do’n.

(Xem HD 263)

* 2. 21 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so khác 2 và cho E : F là mo

˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng có ba

˙c

bang 2. Da˙t

S(E) = a ∈ F ∗ | a = b2, vo’i b ∈ E.

Chu’ng minh rang:

a) S(E) là mo˙t nhóm con cu’ a F ∗ chu’a (F ∗)2;

Nguyen Chánh Tú


b) Hai mo’’ ro˙ng ba

˙c hai E, E′ cu’ a F là F -da’ ng cau khi và chı’ khi S(E) =

S(E′);

c) Ton ta˙i vô ha

˙n các mo’’ ro

˙ng ba

˙c hai E1, E2 . . . cu’ a Q sao cho

Ei Ej, ∀ i 6= j.

d) Ton ta˙i duy nhat (sai khác da’ ng cau) mo

˙t tru’o’ng có dúng p2 phan tu’’.

(Xem HD 264)

Nguyen Chánh Tú

§ 3. Mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n và mo’’ ro

˙ng da

˙i so 69

§ 3 MO’’ RO˙

NG HU’U HA˙N VÀ MO’’ RO

˙NG DA

˙I SO

3.1 TÍNH CHAT CU’ A MO’’ RO˙

NG HU’U HA˙N VÀ MO’’ RO

˙NG DA

˙I SO

Ta biet rang mo˙t mo’’ ro

˙ng do’n da

˙i so là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n. Ta có ket qua’ to’ng quát

ho’n sau dây :


˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và u1, . . . , un ∈ K sao cho u1 da

˙i

so trên F và uj da˙

i so trên F (u1, . . . , uj−1), ∀ j = 2, . . . , n. Khi dó F (u1, . . . , un)

là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n trên F .

Chu’ng minh. Ta chu’ng minh bang quy na˙p trên n. Vo’i n = 1 ta có mo’’ ro

˙ng do’n

da˙i so nên là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n. Gia’ thiet ket qua’ dúng cho k. Da

˙t

E = F (u1, . . . , uk). Ta có

[F (u1, . . . , uk+1) : F ] = [F (u1, . . . , uk+1) : E][E : F ].

Theo gia’ thiet quy na˙p, ta có [E : F ] hu’u ha

˙n. Ma

˙t khác, ta có mo’’ ro

˙ng

F (u1, . . . , uk+1) : E = E(uk+1) : E có uk+1 da˙i so trên E nên là mo’’ ro

˙ng

hu’u ha˙n. Suy ra F (u1, . . . , uk+1) : F là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n.

Nguyen Chánh Tú


Me˙nh de 3.2. Mo

˙i phan tu’’ cu’ a mo

˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n ba

˙c n deu da

˙i so và có ba

˙c

là mo˙t u’o’c cu’ a n.

Chu’ng minh. Cho K : F là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n và da

˙t n = [K : F ]. Xét u ∈ K.

Ta˙p ho’p 1, u, . . . , un là mo

˙t ta

˙p gom n+1 phan tu’’ trong K nên phu

˙thuo

˙c tuyen

tính. Do dó ton ta˙i quan he

˙tuyen tính không tam thu’o’ng a0+a1u+· · ·+anun = 0.

Nói cách khác u là nghie˙m cu’ a da thu’c f = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ F [x] khác

0. Do dó u da˙i so trên F . Ma

˙t khác, ta có

[K : F ] = [K : F (u)][F (u) : F ] = n.

Do dó [F (u) : F ] | n. Va˙y ba

˙c cu’ a u là u’o’c cu’ a n.

Sau này (xem 3.6) ta se chı’ ra rang ton ta˙i các mo’’ ro

˙ng da

˙i so không hu’u ha

˙n.

He˙

qua’ 3.3. Mo˙t mo’’ ro

˙ng K : F là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n khi và chı’ khi ton ta

˙i

u1, . . . , un ∈ K da˙

i so trên F sao cho K = F (u1, . . . , un).

Chu’ng minh. Gia’ su’’ [K : F ] = n. Go˙i u1, . . . , un là mo

˙t co’ so’’ cu’ a mo’’ ro

˙ng

K : F . Theo me˙nh de trên u1, . . . , un da

˙i so trên F . Rõ ràng K = F (u1, . . . , un).

Dieu kie˙n du’ có du’o’c do Me

˙nh de 3.1.

Nguyen Chánh Tú


˙n và mo’’ ro

˙ng da

˙i so 71

Me˙nh de 3.4. Cho F ⊂ K ⊂ L là các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng. Khi dó L : F là mo’’ ro

˙ng

da˙

i so khi và chı’ khi L : K và K : F là các mo’’ ro˙ng da

˙i so.

Chu’ng minh. Neu L : F da˙i so thì rõ ràng các mo’’ ro

˙ng L : K và K : F da

˙i so.

Ngu’o’c la˙i, gia’ su’’ L : K và K : F da

˙i so. Xét u ∈ L. Do u da

˙i so trên K nên ta

có b0 + b1u + · · · + bnun = 0 vo’i bi ∈ K không dong tho’i bang 0. Xét mo’’ ro˙ng

F (b0, . . . , bn, u) : F , theo Me˙nh de 3.1, dó là mo

˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n. Do dó u da

˙i

so trên F .

3.2 TRU’O’NG CON CÁC PHAN TU’’ DA˙I SO. TRU’O’NG DÓNG DA

˙I SO. BAO

DÓNG DA˙I SO.


˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng. Ta

˙p ho

˙’p

E = u ∈ K | u da˙

i so trên Flà mo

˙t tru’o’ng con cu’ a K chu’a F , go

˙i là tru’o’ng con các phan tu’’ da

˙i so cu’ a K trên

F . Suy ra E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so.

Chu’ng minh. Vì mo˙i phan tu’’ thuo

˙c F deu da

˙i so trên F nên F ⊂ E. Cho

Nguyen Chánh Tú


u, v ∈ E. Xét mo’’ ro˙ng F (u, v) : F . Theo (3.1) và (3.2), ta có F (u, v) là da

˙i so trên

F . Suy ra F (u, v) ⊂ E. Suy ra u − v, uv ∈ F (u, v) ⊂ E và neu u 6= 0 ta cóu−1 ∈ F (u, v) ⊂ E. Va

˙y E là tru’o’ng.

Nha˙n xét 3.6. Tru’o’ng con E các phan tu’’ da

˙i so cu’ a R trên Q là mo

˙t mo’’ ro

˙ng vô

ha˙n trên Q. Tha

˙t va

˙y, neu [E : Q] = n thì de dàng chı’ ra mo

˙t phan tu’’ da

˙i so thuo

˙c

R có ba˙c lo’n ho’n n. Dieu này mâu thua’n vo’i Me

˙nh de 3.2.

Di˙nh nghıa. Mo

˙t tru’o’ng K du’o’c go

˙i là dóng da

˙i so neu mo

˙i da thu’c ba

˙c lo’n

ho’n 0 deu có ít nhat mo˙t nghie

˙m trong K.

Ví du˙

12. Tru’o’ng các so phu’c C là mo˙t tru’o’ng dóng da

˙i so. Dây là mo

˙t ket qua’ co’

die’n thu’o’ng du’o’c go˙i là Di

˙nh lí co’ ba’ n cu’ a da

˙i so. Ta se du’a ra mo

˙t chu’ng minh

cu’ a di˙nh lí này trong § 9.

Nha˙n xét 3.7. Cho K là mo

˙t tru’o’ng. Các me

˙nh de sau là tu’o’ng du’o’ng :

(i) K dóng da˙i so ;

(ii) mo˙i da thu’c thuo

˙c K[x] có ba

˙c lo’n ho’n không deu phân tích thành tích các

nhân tu’’ ba˙c nhat ;

Nguyen Chánh Tú


˙n và mo’’ ro

˙ng da

˙i so 73

(iii) mo˙i da thu’c bat kha’ quy trong K[x] deu là da thu’c ba

˙c nhat ;

(iv) mo˙i mo’’ ro

˙ng da

˙i so cu’ a K deu trùng vo’i K.

Di˙nh nghıa.

Cho mo’’ ro˙ng tru’o’ng K : F . Tru’o’ng K du’o’c go

˙i là bao dóng da

˙i

so cu’ a F neu K dóng da˙i so và K : F là mo’’ ro

˙ng da

˙i so.

Ví du˙

13. Tru’o’ng C là bao dóng da˙i so cu’ a R nhu’ng không pha’ i là bao dóng da

˙i so

cu’ a Q.

Me˙nh de 3.8. Cho K : F là mo’’ ro

˙ng tru’o’ng, trong dó K dóng da

˙i so. Kí hie

˙u E là

tru’o’ng con các phan tu’’ da˙

i so cu’ a K : F . Khi dó E là mo˙t bao dóng da

˙i so cu’ a F .

Chu’ng minh. Ta dã biet F ⊂ E là mo’’ ro˙ng da

˙i so. Cho

f = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ E[x]

là mo˙t da thu’c ba

˙c lo’n ho’n 0. Do K dóng da

˙i so, da thu’c f có nghie

˙m u ∈ K. Rõ

ràng F (a0, . . . , an, u) : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so (Me

˙nh de 3.1) nên u da

˙i so trên

F . Suy ra u ∈ E. Va˙y E dóng da

˙i so.

Nha˙n xét 3.9. Mo

˙i tru’o’ng con cu’ a C deu ton ta

˙i mo

˙t bao dóng da

˙i so.Sau này ta se

chı’ ra rang mo˙i tru’o’ng deu ton ta

˙i mo

˙t bao dóng da

˙i so, xem (C.1) trong Phu

˙lu˙c.

Nguyen Chánh Tú


Bài ta˙p

3. 1 . Cho˙n dúng, sai cho các me

˙nh de sau :

a) Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n cùng ba

˙c deu da’ ng cau.

b) Các mo’’ ro˙ng trên cùng mo

˙t tru’o’ng F và F -da’ ng cau vo’i nhau thì có cùng

ba˙c.


˙ng da

˙i so deu là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n.


˙ng siêu vie

˙t deu là mo’’ ro

˙ng vô ha

˙n.

e) Mo˙i phan tu’’ cu’ a C deu da

˙i so trên R.


˙ng cu’ a R deu là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n.

g) Mo˙i mo’’ ro

˙ng da

˙i so cu’ a Q deu là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n.

h) Tru’o’ng con A các phan tu’’ da˙i so cu’ a C trên Q là tru’o’ng con lo’n nhat cu’ a C

sao cho nó là mo’’ ro˙ng da

˙i so cu’ a Q. (Xem HD 264)

3. 2 . Chu’ng minh rang mo˙i mo’’ ro

˙ng da

˙i so cu’ a R deu da’ ng cau vo’i R hoa

˙c vo’i C.

(Xem HD 265)

Nguyen Chánh Tú


˙n và mo’’ ro

˙ng da

˙i so 75

3. 3 . Xét mo’’ ro˙ng tru’o’ng F ⊂ F (x) vo’i bien x siêu vie

˙t trên F . Cho mo’’ ro

˙ng

M ⊂ F (x) vo’i M chu’a F nhu’ mo˙t tru’o’ng con thu

˙’c su

˙’. Chu’ng minh rang

M ⊂ F (x) là mo˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so. (Xem HD 265)

3. 4 . Xét tính bat kha’ quy các da thu’c sau trên tru’o’ng du’o’c chı’ ra :

a) x3 + 4 trên Q(√

11) ;

b) x2 + 1 trên Q(√−2) ;

c) x5 + 5x2 − 25x − 5 trên Q(√

2,√

3, 1 − i). (Xem HD 265)

3. 5 . Trong moi tru’o’ng ho’p sau, xét xem u có sinh ra mo’’ ro˙ng du’o’c chı’ ra cu’ a tru’o’ng

Q hay không ?

a) u =√

2 +√

5 trong Q(√

2,√

5) ;

b) u =2

3+ 3√3 trong Q( 3√3) ;

c) u =

√2 − 1

1 +√

2trong Q(

√2) ;

d) u = v2 + v + 1 trong Q(v), vo’i v là nghie˙m cu’ a f = x3 + 5x − 5.

(Xem HD 265)

Nguyen Chánh Tú


3. 6 . Cho F ⊂ K là mo’’ ro˙ng da

˙i so và f ∈ K[x] là mo

˙t da thu’c khác 0. Chu’ng minh

rang ton ta˙i g ∈ F [x] khác 0 sao cho f là u’o’c cu’ a g.

(Xem HD 265)

3. 7 . Cho E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so. Chu’ng minh rang E là bao dóng da

˙i so cu’ a

F neu mo˙i da thu’c f ∈ F [x] có ba

˙c lo’n ho’n 0 deu phân rã trong E.

(Xem HD 266)

* 3. 8 . Cho K : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n vo’i F là tru’o’ng vô ha

˙n. Chu’ng minh rang

K : F là mo’’ ro˙ng do’n khi và chı’ khi K chı’ có hu’u ha

˙n các tru’o’ng con chu’a F .

(Xem HD 266)

Nguyen Chánh Tú

§ 4. Du˙’ng hình bang thu’o’c ke’ và compa 77

§ 4 DU˙’NG HÌNH BANG THU’O’C KE’ VÀ COMPA

Ta se u’ng du˙ng lí thuyet ve mo’’ ro

˙ng tru’o’ng de’ tìm câu tra’ lo’i cho 3 bài toán

du˙’ng hình xuat hie

˙n tho’i Hy La

˙p co’ da

˙i và xét bài toán du

˙’ngda giác deu n-ca

˙nh

bang thu’o’c ke’ và compa.

4.1 BA BÀI TOÁN DU˙’NG HÌNH CO’ DIE’ N

Ba bài toán du˙’ng hình co’ die’n là: dùng thu’o’c ke’ và compa de’

• “chia 3 mo˙t góc” cho tru’o’c ;

• “gap dôi mo˙t hình la

˙p phu’o’ng”, tu’c là du

˙’ng mo

˙t hình la

˙p phu’o’ng có the’ tích

gap dôi the’ tích mo˙t hình la

˙p phu’o’ng cho tru’o’c ;

• “cau phu’o’ng du’o’ng tròn”, tu’c là du˙’ng mo

˙t hình vuông có die

˙n tích bang die

˙n

tích cu’ a mo˙t hình tròn cho tru’o’c.

Ta xây du˙’ng các khái nie

˙m co’ ba’ n ve die’m và so du

˙’ng du’o’c.

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh nghıa.

Trong ma˙t pha’ ng R2, cho 2 die’m P0 = (0, 0),

P1 = (1, 0). Mo˙t die’m P ∈ R2 du’o’c go

˙i là du

˙’ng du’o’c

(bang thu’o’c ke’ và compa) neu ton ta˙i dãy hu’u ha

˙n P0, P1, . . . , Pn

sao cho P = Pn và vo’i mo˙i j ≥ 2, die’m Pj xác di

˙nh tu’

Sj−1 := P0, P1, . . . , Pj−1 bo’’i mo˙t trong 3 “phép du

˙’ng” sau :

• giao cu’ a 2 du’o’ng tha’ ng phân bie˙t, trong dó moi du’o’ng tha’ ng

di qua 2 die’m bat ky cu’ a Sj−1 ;

• giao cu’ a mo˙t du’o’ng tha’ ng qua 2 die’m cu’ a Sj−1 và mo

˙t du’o’ng

tròn có tâm ta˙i mo

˙t die’m cu’ a Sj−1 và có bán kính bang khoa’ ng

cách giu’a 2 die’m trong Sj−1 ;

• giao cu’ a 2 du’o’ng tròn phân bie˙t, trong dó moi du’o’ng tròn có

tâm ta˙i mo

˙t die’m cu’ a Sj−1 và có bán kính bang khoa’ ng cách

giu’a 2 die’m trong Sj−1.

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh nghıa.

Mo˙t du’o’ng tha’ ng go

˙i là du

˙’ng du’o’c neu nó di qua 2 die’m du

˙’ng

du’o’c. Mo˙t doa

˙n tha’ ng go

˙i là du

˙’ng du’o’c neu 2 die’m mút du

˙’ng

du’o’c. Mo˙t du’o’ng tròn go

˙i là du

˙’ng du’o’c neu có tâm là mo

˙t die’m

du˙’ng du’o’c và có bán kính bang khoa’ ng cách giu’a 2 die’m du

˙’ng

du’o’c.

Di˙nh nghıa.

Mo˙t so thu

˙’c x du’o’c go

˙i là du

˙’ng du’o’c (bang thu’o’c ke’ và compa)

neu die’m (x, 0) ∈ R2 du˙’ng du’o’c. Rõ ràng, do

˙dài cu’ a mo

˙t doa

˙n

tha’ ng du˙’ng du’o’c là mo

˙t so thu

˙’c du

˙’ng du’o’c.

Di˙nh nghıa. Mo

˙t góc β go

˙i là du

˙’ng du’o’c neu cos β (tu’o’ng du’o’ng sin β) là so

thu˙’c du

˙’ng du’o’c.

Di˙nh lí 4.1. Cho P = (α, β) ∈ R2 là mo

˙t die’m du

˙’ng du’o˙’

c. Khi dó[Q(α, β) : Q] = 2r vo’i r ∈ N.

Chu’ng minh. Cho P0, P1, . . . , Pn = P là mo˙t dãy hu’u ha

˙n nhu’ trong di

˙nh nghıa

cu’ a die’m du˙’ng du’o’c . Da

˙t K0 = K1 = Q và Kj = Kj−1(αj, βj) vo’i 2 ≤ j ≤ n

và Pj = (αj, βj). De dàng thay rang các so thu˙’c αj, βj là nghie

˙m cu’ a mo

˙t da thu’c

Nguyen Chánh Tú


ba˙c 1 hoa

˙c ba

˙c 2 có he

˙tu’’ trong Kj−1. Do dó [Kj : Kj−1] = 2t vo’i t ∈ N. Suy ra

[Kn : Q] = [Kn : Q(α, β)][Q(α, β) : Q] = 2m

vo’i m ∈ N. Do dó [Q(α, β) : Q] = 2r vo’i r ∈ N.

He˙

qua’ 4.2. Không the’ chia ba góc π/3 bang thu’o’c ke’ và compa.

Chu’ng minh. Die’m (−1/2,√

3/2) =(cos(π/3), sin(π/3)

)là du

˙’ng du’o’c. Da

˙t

u = cos(π/9), v = sin(π/9). Chia ba góc π/3 tu’o’ng du’o’ng vo’i vie˙c die’m (u, v)

du˙’ng du’o’c. Ta có

cos(π/3) = cos(3.π/9) = 4 cos3(π/9) − 3 cos(π/9).

Hay 1/2 = 4u3 − 3u. Suy ra 8u3 − 6u − 1 = 0. Da thu’c 8x3 − 6x − 1 bat kha’

quy trên Q nên [Q(u) : Q] = 3. Tu’ Di˙nh lí 4.1, suy ra (u, v) không du

˙’ng du’o’c. Nói

cách khác không the’ chia ba góc π/3 bang thu’o’c ke’ và compa.

Dùng phu’o’ng pháp tu’o’ng tu˙’, ta có các ket qua’ sau dây :

He˙

qua’ 4.3. Không the’ du˙’

ng du’o˙’c die’m ( 3√2, 0). Nói cách khác không the’ gap dôi

hình la˙

p phu’o’ng có ca˙

nh bang 1.

Nguyen Chánh Tú



He˙

qua’ 4.4. Không the’ du˙’

ng du’o˙’c die’m (

√π, 0). Nói cách khác không the’ du

˙’ng

du’o˙’c hình vuông có die

˙n tích bang die

˙n tích hình tròn bán kính 1.


4.2 DIEU KIE˙N CAN DE’ DA GIÁC DEU P CA

˙NH DU

˙’NG DU’O

˙’C BANG

THU’O’C KE’ VÀ COMPA

Ta nhac la˙i các ket qua’ so’ cap quen thuo

˙c trong du

˙’ng hình.

Bo’ de 4.5.

(i) Trung die’m cu’ a doa˙

n tha’ng du˙’

ng du’o˙’c là du

˙’ng du’o˙’

c.

(ii) Neu 3 dı’nh cu’ a mo˙t hình bình hành du

˙’ng du’o˙’

c thì dı’nh còn la˙

i du˙’

ng du’o˙’c

(tu’o’ng du’o’ng vo’i phép du˙’

ng du’o’ng tha’ng song song vo’i mo˙t du’o’ng tha’ng cho

tru’o’c qua mo˙t die’m cho tru’o’c).

Chu’ng minh. Xem Bài ta˙p 4. 6

Nguyen Chánh Tú


Bo’ de 4.6. Neu (a, 0) là die’m du˙’

ng du’o˙’c thì (0, a) và (−a, 0) là die’m du

˙’ng du’o˙’

c.

Chu’ng minh. Tru’o’c tiên ta du˙’ng tru

˙c tung. Die’m (−1, 0) du

˙’ng du’o’c vì nó là giao

cu’ a tru˙c hoành vo’i du’o’ng tròn tâm (0, 0) và di qua (1, 0). Tru

˙c tung là du’o’ng

tha’ ng di qua giao die’m cu’ a 2 du’o’ng tròn lan lu’o’t có tâm (1, 0) và (−1, 0) bán kínhbang 2.

Die’m (0, a) du˙’ng du’o’c vì nó là mo

˙t trong 2 giao die’m cu’ a tru

˙c tung vo’i du’o’ng

tròn tâm (0, 0) di qua (a, 0). Ngoài ra du’o’ng tròn này cat tru˙c hoành ta

˙i die’m

(−a, 0) nên die’m (−a, 0) du˙’ng du’o’c.

Me˙nh de 4.7. Die’m (a, b) du

˙’ng du’o˙’

c khi và chı’ khi a và b du˙’

ng du’o˙’c.

Chu’ng minh. Neu a và b du˙’ng du’o’c, tu’c là các die’m (a, 0) và (b, 0) du

˙’ng du’o’c.

Suy ra die’m (0, b) du˙’ng du’o’c. Die’m (a, b) du

˙’ng du’o’c vì nó là die’m thu’ tu’ cu’ a hình

bình hành có 3 die’m (0, 0), (a, 0) và (0, b) du˙’ng du’o’c.

Ngu’o’c la˙i, neu (a, b) là die’m du

˙’ng du’o’c. Xét 2 du’o’ng tròn tâm (0, 0) và (1, 0) di

qua (a, b). Giao die’m cu’ a chúng là (a, b) và (a, −b). Du’o’ng tha’ ng di qua 2 die’mnày cat tru

˙c hoành ta

˙i (a, 0) nên (a, 0) du

˙’ng du’o’c. Die’m (0, b) du

˙’ng du’o’c vì nó

Nguyen Chánh Tú


là die’m thu’ tu’ cu’ a hình bình hành có 3 die’m (0, 0), (a, 0) và (a, b) du˙’ng du’o’c.

Den lu’o’t die’m (b, 0) du˙’ng du’o’c vì nó là mo

˙t trong các giao die’m cu’ a tru

˙c hoành

và du’o’ng tròn tâm (0, 0) di qua (b, 0).

Di˙nh lí 4.8. Ta

˙p tat ca’ các so du

˙’ng du’o˙’

c là mo˙t tru’o’ng con cu’ a R. Ho’n nu’a, neu c

du˙’

ng du’o˙’c và c > 0 thì

√c du

˙’ng du’o˙’

c.

Chu’ng minh. Go˙i E là ta

˙p tat ca’ các so du

˙’ng du’o’c. Cho a, b ∈ E. Ta dã chu’ng

minh −a ∈ E. Do (a, 0) và (b, 0) du˙’ng du’o’c, die’m giu’a Q =

(a+b2

, 0)

du˙’ng du’o’c.

Giao die’m cu’ a tru˙c hoành và du’o’ng tròn tâm Q qua (0, 0) là (a + b, 0). Do dó

a + b du˙’ng du’o’c.

De’ chu’ng minh ab ∈ E, ta chı’ can xét tru’o’ng ho’p ab 6= 0 và b 6= 1. Do (b − 1)

du˙’ng du’o’c nên die’m (0, b − 1) du

˙’ng du’o’c. Theo Bo’ de 4.5, die’m (a, b − 1) du

˙’ng

du’o’c. Giao die’m cu’ a du’o’ng tha’ ng qua (0, b) và (a, b − 1) vo’i tru˙c hoành là die’m

(ab, 0). Va˙y ab du

˙’ng du’o’c.

Ta chu’ng minh rang a−1 ∈ E neu a 6= 0. Do a ∈ E, ta có 1 − a ∈ E, hay die’m(0, 1−a) du

˙’ng du’o’c. Theo Bo’ de 4.5, die’m (1, 1−a) du

˙’ng du’o’c. Du’o’ng tha’ ng qua

(0, 1) và (1, 1 − a) cat tru˙c hoành ta

˙i (a−1, 0). Va

˙y a−1 ∈ E.

Nguyen Chánh Tú


Cho c ∈ E và c > 0. Do 12(1 − c) du

˙’ng du’o’c, die’m Q = (0, 1−c

2) du

˙’ng du’o’c.

Du’o’ng tròn tâm Q qua die’m (0, 1) cat tru˙c hoành ta

˙i 2 die’m có to

˙a do

˙(u, 0) và

(−u, 0) vo’i u > 0. Theo Di˙nh lí Pythagore, ta có u2 + 1

4(1 − c)2 = 1

4(1 + c)2. Suy

ra u2 = c, do dó u =√

c. Va˙y

√c du

˙’ng du’o’c.

Ta xét bài toán du˙’ng da giác deu n ca

˙nh. Rõ ràng da giác deu n ca

˙nh du

˙’ng du’o’c

nghıa là die’m(cos(2π

n), sin(2π

n))

du˙’ng du’o’c. Dieu dó tu’o’ng du’o’ng vo’i cos(2π

n) là

mo˙t so du

˙’ng du’o’c. Trong phan này ta chı’ du’a ra dieu kie

˙n can cu’ a bài toán cho

tru’o’ng ho’p n = p nguyên to. Ket qua’ day du’ se du’o’c xét trong phan sau (xem § 9).Ta biet rang vo’i p nguyên to, da thu’c xp−1 + · · · + x + 1 bat kha’ quy trên Q. Do

dó nó là da thu’c toi tie’u cu’ a e2πi/p = cos(2πp) + i sin(2π

p). Xét các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng

Q ⊂ Q(cos(2π

p)) ⊂ Q(e2πi/p). Ta có

[Q(e2πi/p) : Q(cos(2π/p)

)].[Q

(cos(2π/p)

): Q] = [Q(e2πi/p) : Q]

= p − 1.

Do cos(2πp) = 1

2(e2πi/p + e−2πi/p), ta có

2 cos(2π/p)e2πi/p = (e2πi/p)2 + 1.

Nguyen Chánh Tú


Nghıa là ba˙c cu’ a e2πi/p trên Q

(cos(2π

p))

bang 2. Do dó

[Q(e2πip ) : Q

(cos(2π/p)

)] = 2.

Suy ra [Q(cos(2π

p))

: Q] = p−12

. Do cos(2πp) du

˙’ng du’o’c, ta có p = 2t + 1. Ho’n the,

neu t có mo˙t u’o’c le’ r > 1 thì

p = 2t + 1 = 2rt1 + 1 = (2t1 + 1)(2t1(r−1) − 2t1(r−2) + · · · + 1).

Do dó t có da˙ng 2m. Va

˙y p = 22m

+ 1 vo’i m ∈ N. So nguyên to có da˙ng này go

˙i là

so nguyên to Fermat1.Nhu’ the ta dã chu’ng minh ket qua’ sau:

Me˙nh de 4.9. Neu da giác deu p ca

˙nh (p nguyên to) du

˙’ng du’o˙’

c thì p là so nguyênto Fermat.

Nha˙n xét 4.10. Nam 19 tuo’i, Gauss (1777-1855) chu’ng minh rang da giác deu 17

1Nam 1640, Fermat (1601-1665) cho rang tat ca’ nhu’ng so có da˙ng Fm := 22m

+ 1 vo’i m ∈ N deu nguyên to. Tuy nhiên ho’n 100 nam sau,Euler (1707-1783) chı’ ra rang F5 = 232 + 1 = 641.6700417. Có the’ de dàng kie’m tra ket qua’ dó vo’i Maple. Thu

˙’c ra tat ca’ nhu’ng so Fm vo’i

5 ≤ m ≤ 16 deu là ho’p so. Các so F20, F22, F24 cung là các ho’p so (F24 là ho’p so du’o’c chu’ng minh bo’’i Crandall nam 1999). Cho den nay,chúng ta van chu’a biet nhu’ng so nguyên to Fermat nào u’ng vo’i m > 4.

Nguyen Chánh Tú


ca˙nh du

˙’ng du’o’c bang cách chı’ ra công thu’c:

cos(2π

17

)= − 1

16+

1

16

√17 +

1

16

√34 − 2

√17 +

1

8

√17 + 3

√17 −

√34 − 2

√17 − 2

√34 + 2

√17.

Bài ta˙p


˙nh de sau :

a) So π không the’ du˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và compa;

b) Góc π không the’ chia 3 bang thu’o’c ke’ và compa;

c) Không the’ gap 3 mo˙t hình la

˙p phu’o’ng bang thu’o’c ke’ và compa.

d) Neu die’m (0, α) ∈ R2 không the’ du˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và compa thì α

siêu vie˙t trên Q.

e) To˙a do

˙cu’ a mo

˙t die’m du

˙’ng du’o’c nam trong tru’o’ng con cu’ a R và có ba

˙c trên

Q là mo˙t luy thu’a cu’ a 2.

Nguyen Chánh Tú


f) Mo˙t doa

˙n tha’ ng do

˙dài π không the’ du

˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và compa.

g) Neu da giác deu n ca˙nh du

˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và compa thì n là so

nguyên to.

h) Neu da giác deu p (nguyên to) ca˙nh du

˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và compa thì

p là so nguyên to Fermat.

i) Da giác deu 65537 ca˙nh du


(Xem HD 267)

4. 2 . Chu’ng to’ rang trong chu’ng minh Di˙nh lý 4.1, ta có [Kj : Kj−1] ≤ 2. Suy

ra neu (α, β) là die’m du˙’ng du’o’c thì α, β ∈ Q(

√γ1, . . . ,

√γn−1) vo’i γj ∈

Q(√

γ1, . . . ,√

γj−1), ∀ j = 1, . . . , n − 1. (Xem HD 267)

4. 3 . Dùng Di˙nh lý 4.8 de’ chu’ng minh chieu ngu’o’c la

˙i cu’ a phát bie’u trên: neu α, β ∈

Q(√

γ1, . . . ,√

γn−1) trong dó γj ∈ Q(√

γ1, . . . ,√

γj−1), vo’i mo˙i 1 ≤ j ≤ n−1

thì (α, β) là die’m du˙’

ng du’o˙’c. (Xem HD 269)

4. 4 . Chu’ng minh Bo’ de 4.3. (Xem HD 269)

Nguyen Chánh Tú




4. 7 . Chu’ng minh rang tru’o’ng các so du˙’ng du’o’c là mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so trên Q nhu’ng

không pha’ i là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n. (Xem HD 269)

4. 8 . Chu’ng minh rang da giác deu nam ca˙nh du


(Xem HD 270)

4. 9 . Chu’ng minh rang có the’ chia 3 góc2π

5bang thu’o’c ke’ và compa.

(Xem HD 270)

4. 10 . Chu’ng minh rang không the’ du˙’ng da giác deu 18 ca

˙nh bang thu’o’c ke’ và compa.

4. 11 . Chu’ng minh rang không the’ du˙’ng da giác deu 9 ca

˙nh bang thu’o’c ke’ và compa.

4. 12 . Cho β là mo˙t góc du

˙’ng du’o’c. Chu’ng minh rang góc β có the’ chia 3 bang thu’o’c

ke’ và compa khi và chı’ khi da thu’c 4x3 − 3x − cos β kha’ quy trên tru’o’ngQ(cos β). (Xem HD 270)

Nguyen Chánh Tú


4. 13 . Chu’ng minh rang ta có the’ chia 3 mo˙t góc cho tru’o’c bang compa và mo

˙t thu’o’c

dánh dau nhu’ sau (xem Hình 1).

O

ββ/3

ªB

A

M

N

D

Hình 1: Chia 3 mo˙t góc bang compa và thu’o’c dánh dau

Gia’ su’’ trên thu’o’c, ta dánh dau 2 die’m N, D có do˙

dài bang r.

• Du˙’ng góc AOB bang β.

• Du˙’ng du’o’ng tròn tâm O bán kính bang r, cat OA ta

˙i M .

Nguyen Chánh Tú


• Da˙t thu’o’c ke’ di qua M , sao cho 1 die’m dánh dau D nam trên BO, die’m

dánh dau còn la˙i N nam trên du’o’ng tròn. Góc ODN chính là góc can du

˙’ng.

(Xem HD 271)

Nguyen Chánh Tú

§ 5. Tru’o’ng phân rã cu’ a mo˙t da thu’c. Da thu’c tách du’o

˙’c 91

§ 5 TRU’O’NG PHÂN RÃ CU’ A MO˙T DA THU’C. DA THU’C TÁCH DU’O

˙’C

5.1 TRU’O’NG PHÂN RÃ CU’ A MO˙

T DA THU’C

Di˙nh nghıa.

Cho f ∈ F [x] và K là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng cu’ a F . Ta nói

f phân rã trong K hay K phân rã f neu f có the’ vietdu’o’c du’o’i da

˙ng f = a(x − u1) · · · (x − un) vo’i a, ui ∈ K,

∀i = 1, . . . , n.

Ví du˙

14. Neu K là mo˙t bao dóng da

˙i so cu’ a F thì K phân rã mo

˙i da thu’c cu’ a

F [x].

Ví du˙

15. Cho f = x3 − 2 ∈ Q[x]. Ba nghie˙m cu’ a f trong C là 3√2, ξ 3√2 và ξ2 3√2

vo’i ξ = e2π3 = −1

2+ i

√3

2(chú ý rang ξ3 = 1). Rõ ràng tat ca’ các tru’o’ng con cu’ a C

chu’a 3 nghie˙m cu’ a f deu phân rã f . Da

˙c bie

˙t Q( 3√2, ξ 3√2, ξ2 3√2) = Q( 3√2, ξ) là

tru’o’ng nho’ nhat phân rã f . Ta có di˙nh nghıa :

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh nghıa.

Cho 0 6= f ∈ F [x]. Mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng K cu’ a F du’o’c go

˙i là

tru’o’ng phân rã (hay tru’o’ng nghie˙m) cu’ a f trên F neu K phân

rã f và f không phân rã trong bat ky tru’o’ng con thu˙’c su

˙’nào cu’ a

K.Nha

˙n xét 5.1.

(i) Cho f = a(x − u1) · · · (x − un) vo’i a, ui ∈ K. Khi dó K là tru’o’ng phân rãcu’ a f neu K = F (u1, . . . , un).

(ii) Tru’o’ng phân rã Ef cu’ a da thu’c f trên F là mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n cu’ a F . Nói

riêng, mo˙i phan tu’’ cu’ a Ef deu da

˙i so trên F .

Ví du˙

16. Ta xây du˙’ng tru’o’ng phân rã cu’ a f = x2+x+1 trênZ2. Trong tru’o’ng ho’p

này ta không the’ dùng nghie˙m trong C nhu’ trong Ví du

˙15. Rõ ràng f bat kha’ quy

trên Z2. Go˙i Z2(α) là mo’’ ro

˙ng do’n sao cho α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Khi dó Z2(α) có 4

phan tu’’ 0, 1, α và 1+α. Ta có α2 +α+1 = 0. Rõ ràng (1+α)2 +(1+α)+1 = 0,nên f có 2 nghie

˙m trong Z2(α), do dó f phân rã trong Z2(α). Suy ra Z2(α) là

tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Z2.

Nguyen Chánh Tú


˙’c 93

Ví du˙

17. Nhieu da thu’c khác nhau có the’ có cùng mo˙t tru’o’ng phân rã. Cho

f = (x2 − 3)(x3 + 1) ∈ Q[x]. Ta˙p nghie

˙m cu’ a f trong C là −1, ±√

3, ξ, ξ2, vo’iξ = (1 +

√3i)/2. Do dó mo

˙t tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Q là Q(

√3, i). De dàng

thay rang Q(√

3, i) cung là tru’o’ng phân rã cu’ a g = (x2 − 2x − 2)(x2 +1) trên Q.

Me˙nh de 5.2. Cho da thu’c f ∈ F [x] ba

˙c n. Ton ta

˙i mo

˙t tru’o’ng phân rã Ef cu’ a f

trên F sao cho [Ef : F ] là u’o’c cu’ a n!.

Chu’ng minh. Ta chu’ng minh bang quy na˙p theo n. Vo’i n = 1, ket qua’ là hie’n

nhiên. Gia’ su’’ ket qua’ dúng vo’i mo˙i da thu’c có ba

˙c nho’ ho’n n.

Neu f không bat kha’ quy, ta viet f = gh vo’i deg(g) = m < n vàdeg(h) = n − m. Theo gia’ thiet quy na

˙p, ta có [Eg : F ]|m!, vo’i Eg là tru’o’ng

phân rã cu’ a g trên F . Go˙i Eh là tru’o’ng phân rã cu’ a h trên Eg và có [Eh :

Eg]|(n − m)!. Khi dó Eh cung là tru’o’ng phân rã cu’ a f = gh trên F . Ho’n the[Eh : F ] = [Eg : F ][Eh : Eg] là u’o’c cu’ a m!(n − m)!, do dó [Eh : F ] là u’o’c cu’ a n!.

Xét tru’o’ng ho’p f bat kha’ quy. Go˙i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Da

˙t F1 = F (α). Ta

viet f = (x − α)f1 vo’i f1 ∈ F1[x]. Do deg(f1) = n − 1 nên theo gia’ thiet quyna

˙p, ton ta

˙i tru’o’ng phân rã Ef1 cu’ a f1 trên F1 và [Ef1 : F1]|(n − 1)!. Rõ ràng Ef1

Nguyen Chánh Tú


là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F . Ho’n nu’a,

[Ef1 : F ] = [Ef1 : F1][F1 : F ]|(n − 1)!n = n!.

Su’’ du˙

ng Maple 3. Maple cho phép phân tích mo˙t da thu’c trên mo

˙t mo’’ ro

˙ng hu’u

ha˙n cu’ a Q hay Zp. Do dó, có the’ tìm du’o’c tru’o’ng phân rã cu’ a mo

˙t da thu’c trên Q

hay Zp.

Ví du˙

18. Cho da thu’c f = x3 + 3x2 + 3x + 4 ∈ Q[x].

> f:=x^3+3*x^2+3*x+4;

f := x3 + 3 x2 + 3 x + 4

Ta xác di˙nh da

˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a f trên Q.

> factor(f);

x3 + 3 x2 + 3 x + 4

Nhu’ the f bat kha’ quy. Go˙i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Phân tích f trong vành

Q(α)[x] nhu’ trong chu’ng minh cu’ a me˙nh de trên.

> alias(alpha=RootOf(f,x)):

Nguyen Chánh Tú


˙’c 95

> factor(f,alpha);

(x − α) (x2 + 3 x + x α + 3 + 3 α + α2)

Dó là da˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a f trong Q(α)[x], tiep tu

˙c go

˙i β là mo

˙t nghie

˙m cu’ a

nhân tu’’ thu’ hai trong bie’u dien trên. Sau dó phân tích f trong Q(α, β)[x].

> g:=factor(f/(x-alpha));

g := x2 + 3 x + x α + 3 + 3 α + α2

> alias(beta=RootOf(g,x)):

> factor(f,alpha,beta);

(x − β) (x + 3 + α + β) (x − α)

Ví du˙

19. Xét da thu’c h = x4 + x2 + 2 ∈ Z3[x].

> h:=x^4+x^2+2;

h := x4 + x2 + 2

Ta xác di˙nh da

˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a h trong Z3[x].

> Factor(h) mod 3;

x4 + x2 + 2

Nguyen Chánh Tú


Nhu’ the h bat kha’ quy trên Z3. Go˙i γ là mo

˙t nghie

˙m cu’ a h và tìm da

˙ng nhân

tu’’ hóa cu’ a h trog Z3(γ)[x]

> alias(gamma=RootOf(h,x) mod 3):

> Factor(h,gamma)mod 3;

(x + 2 γ) (x + γ) (x + γ3) (x + 2 γ3)

Va˙y h phân rã trong Z3(γ), nên tru’o’ng phân rã cu’ a h trên Z3 là Z3(γ).

Tru’o’ng phân rã cu’ a mo˙t da thu’c trên mo

˙t tru’o’ng là duy nhat, sai khác da’ ng

cau, nhu’ du’o’c the’ hie˙n sau dây.

Me˙nh de 5.3. Cho τ : F1 −→ F2 là mo

˙t da’ng cau tru’o’ng và f ∈ F1[x]. Go

˙i K1 và

K2 tu’o’ng u’ng là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F1 và cu’ aτ∗f = τ (an)x

n + · · · + τ (a0) ∈ F2[x] trên F2. Khi dó τ mo’’ ro˙ng thành mo

˙t

da’ng cau ϕ : K1 −→ K2, nghıa là ϕ(a) = τ (a), ∀ a ∈ F1.

Chu’ng minh. Ta chu’ng minh quy na˙p theo ba

˙c cu’ a f . Ket qua’ là hie’n nhiên neu

deg(f) = 1. Gia’ thiet deg(f) = n và me˙nh de dúng vo’i da thu’c có ba

˙c nho’ ho’n n.

Go˙i α ∈ K1 là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f và kí hie

˙u m ∈ F1[x] là da thu’c toi tie’u cu’ a α.

Nguyen Chánh Tú


˙’c 97

Rõ ràng τ∗m bat kha’ quy trên F2[x]. Go˙i β ∈ K2 là mo

˙t nghie

˙m cu’ a τ∗m. Da’ ng

cau F1[x] −→ F2[x], theo di˙nh lí phân tích dong cau, mo’’ ro

˙ng thành da’ ng cau

ψ : F1(α) = F1[x]/(m) −→ F2[x]/(τ∗m) = F2(β)

tho’ a ψ(a) = τ (a), ∀ a ∈ F1. Go˙i f = (x − α1)f1 vo’i f1 ∈ F1(α)[x] có ba

˙c n − 1.

Ta có K1, K2 lan lu’o’t là tru’o’ng phân rã cu’ a f1 và τ∗f1 trên các tru’o’ng tu’o’ng u’ngF1(α) và F2(β). Theo gia’ thiet quy na

˙p, ton ta

˙i da’ ng cau ϕ : K1 −→ K2 tho’ a

ϕ(b) = ψ(b), ∀ b ∈ F1(α). Da˙c bie

˙t ϕ(a) = ψ(a) = τ (a), ∀ a ∈ F1.

Nha˙n xét 5.4. Neu F1 = F2 và τ là phép dong nhat thì me

˙nh de trên có nghıa là

tru’o’ng phân rã cu’ a mo˙t da thu’c trên F1 là duy nhat sai khác bo’’i F1-da’ ng cau.

He˙

qua’ 5.5. Cho f ∈ F [x] và K là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F . Cho α, β ∈ K.Ton ta

˙i mo

˙t F -tu

˙’da’ng cau cu’ a K bien α thành β khi và chı’ khi α và β có cùng

mo˙t da thu’c toi tie’u trên F .

Chu’ng minh. Neu có ϕ : K −→ K là F -tu˙’

da’ ng cau. Go˙i g ∈ F [x] là da thu’c toi

tie’u cu’ a α. Khi dó ϕ(α) = β cung là nghie˙m cu’ a g nên g cung chính là da thu’c

Nguyen Chánh Tú


toi tie’u cu’ a β. Ngu’o’c la˙i neu α và β deu có chung da thu’c toi tie’u g ∈ F [x]. Khi

dó ton ta˙i F -da’ ng cau ψ tu’ F (α) vào F (β) tho’ a ψ(α) = ψ(β). Khi dó K chính

là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F (α) và F (β). Theo me˙nh de trên, da’ ng cau ψ mo’’

ro˙ng thành F -tu

˙’da’ ng cau cu’ a K, bien α thành β.

5.2 DA THU’C TÁCH DU’O˙’C

Bo’ de 5.6. Cho F ⊂ K là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và f, g ∈ F [x]. Go

˙i d1 = (f, g)

trong F [x] và d2 = (f, g) trong K[x]. Khi dód1 ∼ d2 trong K[x], tu’c là d1 = ad2

vo’i a ∈ K. Suy ra neu f và g nguyên to cùng nhau trong F [x] thì chúng không cónghie

˙m chung trong bat cu’ mo

˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng nào cu’ a F .

Chu’ng minh. Rõ ràng d1|d2 trong K[x]. Ma˙t khác, ton ta

˙i k, h ∈ F [x] sao cho

fh + gk = d1. Suy ra d2|d1 trong K[x].

Nguyen Chánh Tú


˙’c 99

Di˙nh nghıa.

Cho f ∈ F [x] và f = aΠni=1(x − ui)

mi vo’i ui 6= uj, mi ≥ 1

trong mo˙t tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F . Do các tru’o’ng phân rã

cu’ a f trên F là da’ ng cau, ta˙p các so mu m1, . . . , mn không

phu˙

thuo˙c vào tru’o’ng phân rã. So mu mi du’o’c go

˙i là so bo

˙i cu’ a

nghie˙m ui.

Di˙nh nghıa.

Da thu’c f go˙i là có nghie

˙m bo

˙i neu ton ta

˙i mi > 1. Nghie

˙m ui

u’ng vo’i mi > 1 go˙i là nghie

˙m bo

˙i cu’ a f . Nghie

˙m u’ng vo’i mi = 1

go˙i là nghie

˙m do’n.

Ví du˙

20. Cho F là tru’o’ng có da˙c so p và a ∈ F tho’ a dieu kie

˙n không có can ba

˙c

p trong F (ví du˙

a = t trong tru’o’ng các phân thu’c hu’u tı’ Zp(t)). Ta có da thu’cf = xp − a bat kha’ quy (Bài ta

˙p 5. 10) trong F [x]. Go

˙i b là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f .

Khi dó,

xp − a = xp − bp = (x − b)p

trong tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F . Nhu’ the mo˙t da thu’c bat kha’ quy có the’ có

nghie˙m bo

˙i.

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh nghıa.

Cho f = anxn + · · · + a1x + a0 ∈ F [x]. Da˙o hàm hình thu’c cu’ a

f , kí hie˙u f ′, là da thu’c di

˙nh bo’’i

f = nanxn−1 + · · · + a1 ∈ F [x].

Chú ý rang tu’ di˙nh nghıa trên, de dàng suy ra các công thu’c tính da

˙o hàm cu’ a

da thu’c to’ng và tích quen thuo˙c

(f + g)′ = f ′ + g′ ; (fg)′ = f ′g + fg′.

Bo’ de 5.7. Da thu’c f có nghie˙m bo

˙i khi và chı’ khi (f, f ′) 6= 1.

Chu’ng minh. Neu f có nghie˙m bo

˙i α trong tru’o’ng phân rã K cu’ a nó, thì de dàng

thay rang α cung là nghie˙m cu’ a f ′. Do dó (f, f ′) 6= 1 (xem 5.6). Ngu’o’c la

˙i, neu

(f, f ′) 6= 1 thì f và f ′ có nghie˙m chung α trong tru’o’ng phân rã cu’ a f . Neu α

là nghie˙m do’n thì de dàng chu’ng minh rang α không pha’ i là nghie

˙m cu’ a f ′. Vô

lí.

Nguyen Chánh Tú


˙’c 101

Me˙nh de 5.8. Cho f ∈ F [x] là mo

˙t da thu’c bat kha’ quy. Các phát bie’u sau là

tu’o’ng du’o’ng :

(i) f có nghie˙m bo

˙i ;

(ii) (f, f ′) 6= 1 ;

(iii) F có da˙

c so p > 0 và f là mo˙t da thu’c cu’ a xp ;

(iv) mo˙i nghie

˙m cu’ a f deu là nghie

˙m bo

˙i.

Chu’ng minh. (i) =⇒ (ii) Xem (5.7).

(ii) =⇒ (iii) Vì f bat kha’ quy và (f, f ′) 6= 1 ta có f ′ = 0. Do dó F có da˙c so

p > 0 và f là mo˙t da thu’c cu’ a xp.

(iii) =⇒ (iv) Ta có f(x) = g(xp) vo’i g(x) ∈ F [x]. Da˙t

g(x) = Π(x − ui)mi, mi ≥ 1.

Khi dóf(x) = g(xp) = Π(xp − ui)

mi = Π(x − αi)pmi,

Nguyen Chánh Tú


vo’i αpi = ui. Do pmi > 1 nên tat ca’ các nghie

˙m cu’ a f deu là nghie

˙m bo

˙i.

(iv) =⇒ (i) Hie’n nhiên.

Di˙nh nghıa.

Mo˙t da thu’c f ∈ F [x] go

˙i là tách du’o’c trên F neu mo

˙i nhân tu’’

bat kha’ quy cu’ a f deu không có nghie˙m bo

˙i. Mo

˙t tru’o’ng F go

˙i là

hoàn chı’nh neu mo˙i da thu’c có he

˙tu’’ trong F deu tách du’o’c.

Me˙nh de 5.9. Mo

˙t tru’o’ng có da

˙c so 0 là hoàn chı’nh. Mo

˙t tru’o’ng có da

˙c so p là

hoàn chı’nh khi và chı’ khi mo˙i phan tu’’ cu’ a F deu có can ba

˙c p trong F .

Chu’ng minh. Ket qua’ hie’n nhiên cho tru’o’ng có da˙c so 0 (xem 5.8). Xét tru’o’ng

ho’p F có da˙c so p. Neu ton ta

˙i mo

˙t phan tu’’ a ∈ F không có can ba

˙c p trong F . Khi

dó da thu’c xp − a không tách du’o’c. Ngu’o’c la˙i, gia’ thiet mo

˙i phan tu’’ cu’ a F deu có

can ba˙c p. Neu ton ta

˙i mo

˙t da thu’c bat kha’ quy f không tách du’o’c thì

f =∑

ai(xp)i =

∑bp

i (xp)i = (

∑bix

i)p.

Nhu’ va˙y f không bat kha’ quy. Mâu thuan này kéo theo F hoàn chı’nh.

Nguyen Chánh Tú


˙’c 103

Ví du˙

21. Mo˙i tru’o’ng hu’u ha

˙n deu là tru’o’ng hoàn chı’nh. Tha

˙t va

˙y, tu

˙’dong cau

Frobenius:ϕ : F −→ F

a 7→ ap

là mo˙t da’ ng cau vì nó là mo

˙t do’n cau. Do dó mo

˙i phan tu’’ cu’ a F deu có can ba

˙c p

trong F .

Ví du˙

22. Mo˙i tru’o’ng dóng da

˙i so deu hoàn chı’nh.

Bài ta˙p


˙nh de sau :

a) Mo˙i da thu’c deu phân rã trong mo

˙t mo’’ ro

˙ng nào dó.

b) Mo˙i da thu’c có he

˙tu’’ thuo

˙c mo

˙t trong các tru’o’ng Q, R, C deu tách du’o’c.

c) Mo˙i da thu’c có he

˙tu’’ thuo

˙c Zp deu tách du’o’c.

d) Mo˙t da thu’c có nghie

˙m bo

˙i thì không tách du’o’c.

Nguyen Chánh Tú


e) Mo˙i da thu’c trên tru’o’ng có da

˙c so p deu không tách du’o’c.

f) Mo˙i da thu’c bat kha’ quy deu tách du’o’c.

g) Mo˙t da thu’c bat kha’ quy f ∈ F [x] không tách du’o’c thì F có da

˙c so p.

h) Mo˙t da thu’c bat kha’ quy f ∈ F [x] không tách du’o’c khi và chı’ khi F có da

˙c

so p và f là mo˙t da thu’c cu’ a xp.

i) Mo˙i nghie

˙m cu’ a mo

˙t da thu’c trên mo

˙t tru’o’ng cho tru’o’c deu có cùng so bo

˙i.

j) Mo˙i nghie

˙m cu’ a mo

˙t da thu’c bat kha’ quy trên mo

˙t tru’o’ng cho tru’o’c deu có

cùng so bo˙i.

k) Da thu’c (x3 + 5)2 tách du’o’c trên Z7.

l) Tru’o’ng phân rã xác di˙nh duy nhat sai khác da’ ng cau.

(Xem HD 271)

5. 2 . Cho f ∈ F [x] có deg(f) = n > 0 và E = F (α1, . . . , αr) vo’i α1, . . . , αr lànghie

˙m cu’ a f vo’i r ≤ n. Cho K là mo

˙t tru’o’ng phân rã f . Chu’ng minh rang :

a) Ton ta˙i mo

˙t F -dong cau tu’ E vào K.

Nguyen Chánh Tú


˙’c 105

b) So các F -dong cau tu’ E vào K không vu’o’t quá [E : F ] và bang vo’i [E : F ]

neu f có n nghie˙m phân bie

˙t trong K.

c) Suy ra tính duy nhat cu’ a tru’o’ng phân rã cu’ a f ∈ F [x] trên F .(Xem HD 271)

5. 3 . Chu’ng minh rang neu mo˙t tru’o’ng viet du’o’c nhu’ ho’p cu’ a các tru’o’ng hoàn chı’nh

là mo˙t tru’o’ng hoàn chı’nh. Suy ra mo

˙i mo’’ ro

˙ng da

˙i so trên Zp là mo

˙t tru’o’ng

hoàn chı’nh. (Xem HD 272)

5. 4 . Xây du˙’ng tru’o’ng phân rã cu’ a các da thu’c

x3 − 1, x4 + 5x2 + 6, x6 − 8, x5 − 2

trên Q và tính ba˙c cu’ a các mo’’ ro

˙ng tu’o’ng u’ng trên Q.

5. 5 . Xây du˙’ng tru’o’ng phân rã cu’ a các da thu’c x3 + 2x + 1 và x3 + x2 + x + 2 trên

Z3. Chúng có da’ ng cau vo’i nhau không ? (Xem HD 272)

5. 6 . Cho F ⊂ K ⊂ L trong dó L là tru’o’ng phân rã cu’ a f ∈ F [x] trên F . Chu’ngminh rang L cung là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên K.

Nguyen Chánh Tú


5. 7 . a) Cho F là tru’o’ng có da˙c so p và a ∈ F . Chu’ng minh rang neu da thu’c

xp − x − a kha’ quy trong F [x] thì phân rã trong F .

b) Vo’i mo˙i so nguyên to p, chu’ng minh rang da thu’c xp − x − 1 bat kha’ quy

trên Q. (Xem HD 272)

5. 8 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so 0, cho f, g ∈ F [x] và d = (f, g). Chu’ng minh rang

ta˙p nghie

˙m cu’ a f và h = f/d là trùng nhau. (Xem HD 273)

5. 9 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so p và f ∈ F [x] bat kha’ quy. Chu’ng minh rang

f = g(xpe) vo’i e ≥ 0 và g ∈ F [x] là da thu’c bat kha’ quy, tách du’o’c. Suy ra,

mo˙i nghie

˙m cu’ a f deu có chung so bo

˙i trong tru’o’ng phân rã cu’ a f .

(Xem HD 273)

5. 10 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so p và a ∈ F không có can ba

˙c p trong F . Chu’ng minh

rang f = xp − a bat kha’ quy trên F . (Xem HD 274)

* 5. 11 . (To’ng quát cu’ a Bài ta˙p 5. 2) Cho τ : F −→ K là mo

˙t dong cau tru’o’ng. Cho

E = F (α1, . . . , αr) vo’i α1, . . . , αr là các nghie˙m cu’ a f ∈ F [x] có ba

˙c n ≥ r.

Nguyen Chánh Tú


˙’c 107

Chu’ng minh rang :

]ϕ : E −→ K | ϕ là F -dong cau, ϕ|F = τ ≤ [E : F ]

và da’ ng thu’c xa’ y ra khi K chu’a n nghie˙m phân bie

˙t cu’ aτ∗f .

(Xem HD 274)

Nguyen Chánh Tú


Nguyen Chánh Tú

Chu’o’ng 2

LÍ THUYET GALOIS

§ 6 TU˙’ DA’ NG CAU VÀ TRU’O’NG TRUNG GIAN CU’ A MO’’ RO

˙NG TRU’O’NG

Trong bài này, ta nghiên cu’u nhóm Aut(E/F ) các tu˙’

da’ ng cau cu’ a mo’’ ro˙ng

tru’o’ng E : F , da˙c bie

˙t vo’i tru’o’ng ho’p cu’ a tru’o’ng phân rã cu’ a mo

˙t da thu’c trên F .

Dong tho’i, ta nghiên cu’u tu’o’ng u’ng giu’a ta˙p các nhóm con cu’ a Aut(E/F ) và ta

˙p

các tru’o’ng con cu’ a E chu’a F , go˙i là các tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro

˙ng E : F .

109

110 Chu’o’ng 2. LÍ THUYET GALOIS

6.1 NHÓM CÁC TU˙’ DA’ NG CAU CU’ A MO’’ RO

˙NG TRU’O’NG

Ta bat dau bang mo˙t so bo’ de do’n gia’ n sau dây :

Bo’ de 6.1. Cho E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng. Ta

˙p tat ca’ các F -tu

˙’da’ng cau cu’ a E

là nhóm con cu’ a nhóm Aut(E), go˙i là nhóm các F -tu

˙’da’ng cau cu’ a E : F , kí hie

˙u

Aut(E/F ).

Chu’ng minh. Ta˙p Aut(E/F ) 6= ∅ do chu’a phép dong nhat. Tích cu’ a hai F -da’ ng

cau và nghi˙ch da’ o cu’ a F -da’ ng cau là F -da’ ng cau. Do dó Aut(E/F ) là nhóm con

cu’ a Aut(E).


˙ng tru’o’ng và u ∈ E da

˙i so trên F . Go

˙i m ∈ F [x]

là da thu’c toi tie’u cu’ a u. Cho ϕ : E −→ E là mo˙t F−dong cau. Khi dó ϕ(u) cung

là nghie˙m cu’ a m.

Chu’ng minh. Dây chı’ là tru’o’ng ho’p da˙c bie

˙t cu’ a Me

˙nh de 1.3.

Bo’ de 6.3. Cho f ∈ F [x] có deg(f) = n > 0 và E = F (α1, . . . , αr) vo’i α1, . . . , αr

là các nghie˙m cu’ a f . Cho K là mo

˙t tru’o’ng phân rã f . Khi dó ton ta

˙i mo

˙t F -dong

Nguyen Chánh Tú

§ 6. Tu˙’ da’ ng cau và tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro


cau tu’ E vào K ; so các F -dong cau tu’ E vào K không vu’o˙’t quá [E : F ] và bang

vo’i [E : F ] neu f có n nghie˙m phân bie

˙t trong K.


Ta mo’’ ro˙ng ket qua’ trên bang bo’ de sau dây.

Bo’ de 6.4. Cho τ : F −→ K là mo˙t dong cau tru’o’ng. Cho E = F (α1, . . . , αr) vo’i

α1, . . . , αr là các nghie˙m cu’ a f ∈ F [x] có ba

˙c n ≥ r. Khi dó

]ϕ : E −→ K | ϕ là F -dong cau, ϕ|F = τ ≤ [E : F ]

và da’ng thu’c xa’ y ra khi K chu’a n nghie˙m phân bie

˙t cu’ a τ∗f .


Ví du˙

23. Cho G = Aut(Q(√

2)/Q). Neu ϕ ∈ G thì ϕ(√

2) =√

2 hay ϕ(√

2) =

−√2. Tru’o’ng ho’p thu’ nhat kéo theo ϕ(a + b

√2) = a + b

√2 hay ϕ = id. Tru’o’ng

ho’p thu’ 2 ton ta˙i do ±√

2 deu có cùng mo˙t da thu’c toi tie’u và các mo’’ ro

˙ng do’n cu’ a

chúng trên Q chính là Q(√

2).

Nguyen Chánh Tú


Ví du˙

24. Cho G = Aut(Q( 3√2)/Q). Da thu’c toi tie’u cu’ a 3√2 là f = x3 − 2. Cácnghie

˙m còn la

˙i cu’ a f là ξ 3√2 và ξ2 3√2, vo’i ξ = e

2πi3 , deu không thuo

˙c Q( 3√2). Do

dó G = 1.

Nha˙n xét 6.5.

(i) Cho E = F (u1, . . . , ur) vo’i ui da˙i so trên F . Khi dó moi F -tu

˙’dong cau ϕ bien

ui thành mo˙t nghie

˙m cu’ a da thu’c toi tie’u cu’ a ui. Da

˙c bie

˙t, Aut(E/F ) là mo

˙t

nhóm hu’u ha˙n. Ho’n the, mo

˙t F -tu

˙’dong cau ϕ hoàn toàn xác di

˙nh khi biet ta

˙p

a’ nh cu’ a u1, . . . , ur.

(ii) Da˙c bie

˙t, khi E là tru’o’ng phân rã cu’ a mo

˙t da thu’c f ∈ F [x] có deg(f) = n

thì moi F -tu˙’

dong cau ϕ se ca’ m sinh mo˙t hoán vi

˙cu’ a các nghie

˙m cu’ a f . Do dó

Aut(E/F ) là mo˙t nhóm con cu’ a nhóm doi xu’ng Sn.

Me˙nh de 6.6. Cho Ef là tru’o’ng phân rã cu’ a f ∈ F [x]. Khi dó

(Aut(Ef/F ) : 1) ≤ [Ef : F ].

Dau “=” xa’ y ra khi f tách du’o˙’c.

Chú ý, ta kí hie˙u (G : 1) hay |G| cho cap cu’ a mo

˙t nhóm nhân hu’u ha

˙n G.

Nguyen Chánh Tú

§ 6. Tu˙’ Da’ ng cau và trU’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro

˙ng trU’o’ng 113

Chu’ng minh. Chú ý rang moi F -tu˙’

dong cau ϕ cu’ a Ef cung là F -tu˙’

da’ ng cau vìϕ hoán vi

˙các nghie

˙m cu’ a f trong K nên ϕ bien co’ so’’ cu’ a Ef : F thành co’ so’’. Ma

˙t

khác, neu f = fm11 · · · fmr

r là da˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a f thì tru’o’ng phân rã cu’ a f

trên F cung chính là tru’o’ng phân rã cu’ a g := f1 · · · fr trên F . Do dó, tu’ Bo’ de6.3, ta có (Aut(Ef/F ) : 1) ≤ [Ef : F ] và dau “=” xa’ y ra khi f tách du’o’c.

Me˙nh de 6.7. Cho E : F và L : F là các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng vo’i E hu’u ha

˙n trên F .

Khi dó

(i) So F -dong cau tu’ E vào L không vu’o˙’t quá [E : F ]. Da

˙c bie

˙t

(Aut(E/F ) : 1) ≤ [E : F ].

(ii) Ton ta˙

i mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n K trên L và mo

˙t F -dong cau tu’ E vào K.

Chu’ng minh. Go˙i E = F (u1, . . . , un) vo’i u1, . . . , un da

˙i so trên F . Go

˙i

m1, . . . , mn ∈ F [x] tu’o’ng u’ng là các da thu’c toi tie’u cu’ a u1, . . . , un. Da˙t

f = m1 · · · mn và go˙i K là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên L. Theo Bo’ de 6.3, ton

ta˙i mo

˙t F -dong cau tu’ E vào K và so F -dong cau tu’ E vào K không quá [E : F ].

Da˙c bie

˙t, so các F -dong cau tu’ E vào L ⊂ K không quá [E : F ].

Nguyen Chánh Tú


6.2 TRU’O’NG TRUNG GIAN CU’ A MO’’ RO˙

NG TRU’O’NG

Di˙nh nghıa.

Cho E : F là mo’’ ro˙ng tru’o’ng. Các tru’o’ng con cu’ a E chu’a F go

˙i

là các tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro˙ng E : F . Kí hie

˙u F là ta

˙p tat

ca’ các tru’o’ng trung gian cu’ a E : F .

Bo’ de 6.8. Cho ∅ 6= H ⊂ Aut(E/F ). Ta˙

p

T (H) = b ∈ E| ϕ(b) = b, ∀ ϕ ∈ Hlà mo

˙t tru’o’ng trung gian cu’ a E : F , go

˙i là tru’o’ng trung gian co di

˙nh bo’’i H.

Chu’ng minh. Rõ ràng F ⊂ T (H). Neu a, b ∈ T (H) và ∀ ϕ ∈ H, ta cóϕ(a + b) = a + b, ϕ(ab) = ab. Ma

˙t khác, neu 0 6= a ∈ T (H) thì ϕ(a−1) = a−1.

Do dó T (H) là mo˙t tru’o’ng trung gian cu’ a E : F .

Bo’ de 6.9. Cho K là tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro˙ng E : F . Khi dó Aut(E/K) là

mo˙t nhóm con cu’ a Aut(E/F ), go

˙i là nhóm con co di

˙nh K, kí hie

˙u N (K).

Chu’ng minh. Su’’ du˙ng Bo’ de 6.1 và Aut(E/K) ⊂ Aut(E/F ).

Kí hie˙u H là ta

˙p tat ca’ các nhóm con cu’ a Aut(E/F ). Hai ánh xa

˙sau :

Nguyen Chánh Tú



N : F −→ HK 7→ N (K)

vàT : H −→ F

H 7→ T (H)

go˙i là các tu’o’ng u’ng Galois cu’ a mo’’ ro

˙ng E : F .

Nha˙n xét 6.10. Ta de dàng kie’m tra các tính chat sau dây :

(i) N (F ) = Aut(E/F ), N (E) = 1 và T (1) = E.

(ii) Các ánh xa˙

N và T da’ o ngu’o’c thu’ tu˙’

bao hàm. Nghıa là:

• Neu F ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ E thì N (K1) ⊃ N (K2).

• Neu H1 ⊂ H2 là 2 nhóm con cu’ a Aut(E/F ) thì T (H1) ⊃ T (H2).

(iii) H ⊂ N (T (H)), ∀ H ∈ H ; tu’o’ng tu˙’

K ⊂ T (N (K)),∀ K ∈ F .

Ví du˙

25. Trong mo’’ ro˙ng Q ⊂ Q( 3√2), ta biet rang Aut(Q( 3√2)/Q) = 1. Suy ra

T (N (Q)) = Q( 3√2). Do dó Q ( T (N (Q)).

Tuy nhiên, ta se thay rang H = N (T (H)), vo’i mo˙i H hu’u ha

˙n.

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh lí 6.11 (Artin). Cho E : F là mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và H ⊂ Aut(E/F ) là mo

˙t

nhóm con hu’u ha˙

n. Khi dó :

[E : T (H)] ≤ (H : 1).

Chu’ng minh. Go˙i H = ϕ1, . . . , ϕm vo’i ϕ1 = 1. Cho α1, . . . , αn vo’i n > m là

n phan tu’’ tùy ý cu’ a E. Ta chu’ng minh rang α1, . . . , αn phu˙

thuo˙c tuyen tính trên

T (H). Xét he˙

phu’o’ng trình tuyen tính thuan nhat:

ϕ1(α1)x1 + · · · + ϕ1(αn)xn = 0...ϕm(α1)x1 + · · · + ϕm(αn)xn = 0.

(2)

Do n > m, he˙

phu’o’ng trình trên có nghie˙m không tam thu’o’ng trong E. Go

˙i

v = (c1, . . . , cn) là mo˙t nghie

˙m cu’ a (2) có so phan tu’’ khác 0 nho’ nhat. Sau khi

hoán vi˙các ci neu can, ta có the’ gia’ thiet c1 6= 0. Ta có the’ gia’ thiet c1 = 1 ∈ T (H)

bang cách nhân v vo’i mo˙t vô hu’o’ng thích ho’p. Chú ý rang do ϕ1 = 1, nên phu’o’ng

trình dau cu’ a (2) cho ta c1α1 + · · · + cnαn = 0. Ta can chu’ng minh rang tat ca’

thành phan cj cu’ a v thuo˙c T (H).

Nguyen Chánh Tú



Neu ton ta˙i ci /∈ T (H) thì có ϕk ∈ H sao cho ϕk(ci) 6= ci. Tác do

˙ng ϕk vào tat

ca’ các phu’o’ng trình cu’ a he˙

(2) vo’i chú ý rang

ϕkϕ1, . . . , ϕkϕm = ϕ1, . . . , ϕm,

ta có v′ := (c1, ϕk(c2), . . . , ϕk(cn)) cung là nghie˙m cu’ a (2). Suy ra

v − v′ = (0, . . . , ci − ϕk(ci), . . . , cn − ϕk(cn))

cung là nghie˙m cu’ a (2). Rõ ràng nghie

˙m v−v′ không tam thu’o’ng do ci−ϕk(ci) 6= 0

và có so phan tu’’ khác 0 ít ho’n so phan tu’’ khác 0 cu’ a v. Vô lí ! Nhu’ the tat ca’ cácci thuo

˙c T (H), ta có dieu pha’ i chu’ng minh.

He˙

qua’ 6.12. Cho H ⊂ Aut(E/F ) là mo˙t nhóm con hu’u ha

˙n. Khi dó

[E : T (H)] = (H : 1) và H = N (T (H)).

Chu’ng minh. Ta có [E : T (H)] ≤ (H : 1) do di˙nh lí Artin. Ma

˙t khác

(N (T (H)) : 1) ≤ [E : T (H)] do Me˙nh de 6.7. Suy ra

[E : T (H)] ≤ (H : 1) ≤ (N (T (H)) : 1) ≤ [E : T (H)].

Do dó [E : T (H)] = (H : 1) và H = N (T (H)).

Nguyen Chánh Tú


Tu’ ket qua’ trên, ta suy ra, neu E : F hu’u ha˙n thì T là do’n ánh và N là toàn

ánh. Ta se xét mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng trong dó các ánh xa

˙T và N deu là song ánh

và do dó là nghi˙ch da’ o cu’ a nhau.

Ví du˙

26. Xét Q(√

2,√

3), là tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c f = (x2 − 2)(x2 − 3).Cho ϕ ∈ G = Aut(Q(

√2,

√3)/Q) thì ta có ϕ(

√2) = ±√

2, ϕ(√

3) = ±√3.

Nhu’ the có 4 tru’o’ng ho’p nhu’ sau : √2 7→ √

2√3 7→ √

3;

√2 7→ −√

2√3 7→ √

3;

√2 7→ √

2√3 7→ −√

3;

√2 7→ −√

2√3 7→ −√

3.

Theo Me˙nh de 6.6, ta có

(Aut(Q(√

2,√

3)/Q) : 1) = [Q(√

2,√

3) : Q] = 4.

Nhu’ the 4 phan tu’’ cu’ a G tu’o’ng u’ng vo’i 4 tru’o’ng ho’p nêu trên. Da˙t

σ :

√2 7→ −√

2√3 7→ √

3; τ

√2 7→ √

2√3 7→ −√

3.

Nguyen Chánh Tú



Ta có σ2 = τ 2 = 1 và G =< σ, τ >. Suy ra G ∼= Z2 × Z2 (go˙i là nhóm Klein). Ta

lie˙t kê các nhóm con và tru’o’ng trung gian tu’o’ng u’ng cùng so’ do bao hàm cu’ a chúng

nhu’ trong Hình 7. Ngoài ra, bang cách chu’ng minh rang neu mo˙t tru’o’ng trung

G

1

< τ >< στ >< σ >

3 6

o 6 µ

-¾ Q(√

2)Q(√

6)Q(√

3)

Q(√

2,√

3)

= s?

?R =

Q

Hình 7: Tu’o’ng u’ng Galois cu’ a mo’’ ro˙ng Q(

√2,

√3).

gian K có ba˙c 2 trên Q, thì K là mo

˙t trong các tru’o’ng Q(

√2),Q(

√3), Q(

√6). Do

dó các ánh xa˙

N và T là song ánh và là nghi˙ch da’ o cu’ a nhau.

Nguyen Chánh Tú


Bài ta˙p

6. 1 . Xác di˙nh tính dúng, sai cu’ a các me

˙nh de sau :

a) Mo˙i F -tu

˙’da’ ng cau cu’ a mo’’ ro

˙ng E : F deu là mo

˙t tu

˙’da’ ng cau cu’ a E.

b) Mo˙i tu

˙’da’ ng cau cu’ a E deu là F -tu

˙’da’ ng cau cu’ a mo’’ ro

˙ng E : F .

c) Mo˙i F -tu

˙’da’ ng cau cu’ a F deu là ánh xa

˙dong nhat.

d) Nhóm Aut(E/F ) luôn là nhóm aben.

e) Nhóm Aut(C/R) là nhóm cyclic.

f) Các tu’o’ng u’ng Galois luôn là song ánh.

g) Các tu’o’ng u’ng Galois ba’ o toàn thu’ tu˙’

bao hàm.

h) Neu Aut(E/F ) = 1 thì E = F .

i) Neu E = F thì Aut(E/F ) = 1.

j) Tru’o’ng K(x) chı’ có mo˙t K-tu

˙’da’ ng cau.

k) Nhóm Aut(K(x)/K(x2)), vo’i K có da˙c so khác 2, da’ ng cau vo’i Aut(C/R).

Nguyen Chánh Tú



l) H = N (T (H)) vo’i mo˙i nhóm con hu’u ha

˙n H cu’ a Aut(E/F ).

m) Cho mo’’ ro˙ng tru’o’ng E : F thì T (N (F )) = F .

n) Cho mo’’ ro˙ng tru’o’ng E : F thì T (N (E)) = E. (Xem HD 276)

6. 2 . Ve so’ do bao hàm các nhóm tu˙’

da’ ng cau cu’ a các mo’’ ro˙ng tru’o’ng sau dây và

xét xem các tu’o’ng u’ng Galois N và T có pha’ i là các song ánh không.

a) C : R ;

b) Q(ω) : Q vo’i ω = e2πi/5 ;

c) Ef : Q vo’i Ef là tru’o’ng phân rã cu’ a f = x4 − 2 ;

d) Ef : Q(θ) vo’i θ = e2πi3 và Ef là tru’o’ng phân rã cu’ a

f = x3 − 2 trên Q(θ) ;

e) Q(√

2,√

3,√

5) : Q ;

f) Tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c (x3 − 5)(x3 − 7) trên Q ;

g) Tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c (x6 − 5) trên Q và trên R. (Xem HD 276)

6. 3 . Cho G là nhóm Galois cu’ a da thu’c x5 − 2 trên Q. Xác di˙nh cap cu’ a G và xét

xem G có pha’ i là nhóm aben hay không ? (Xem HD 280)

Nguyen Chánh Tú


6. 4 . Xác di˙nh cap cu’ a nhóm Galois cu’ a da thu’c (x3 − 5)(x3 − 2) trên Q và R.

(Xem HD 281)

6. 5 . Chu’ng minh rang Aut(Q(ξ)/Q) là nhóm aben vo’i ξ = e2πin và n ∈ N.

(Xem HD 281)

6. 6 . Cho f = xp − a ∈ F [x] và go˙i Ef là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F . Xác di

˙nh

tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F trong các tru’o’ng ho’p :

a) F = Q ; b) F = Zp . (Xem HD 281)

6. 7 . Chu’ng minh hoa˙c bác bo’ các me

˙nh de sau dây :

a) Neu E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng ba

˙c 2 thì ton ta

˙i σ ∈ Aut(E) sao cho

σ(a) = a, ∀ a ∈ F .

b) Giong nhu’ trên vo’i gia’ thuyet thêm là tru’o’ng E hu’u ha˙n.

(Xem HD 281)

6. 8 . Cho K là tru’o’ng phân rã cu’ a x5 − 1 trên Q. Mô ta’ nhóm Aut(K/Q) và chı’ rarang K : Q chı’ có mo

˙t tru’o’ng trung gian thu

˙’c su

˙’là Q(ξ + ξ4) vo’i ξ = e2πi/5.

Nguyen Chánh Tú



Xác di˙nh da thu’c toi tie’u cu’ a ξ + ξ4. Xác di

˙nh các tru’o’ng phân rã cu’ a các da

thu’c sau trên Q :

a) (x2 − 5)(x5 − 1) ;

b) (x2 + 3)(x5 − 1). (Xem HD 281)

6. 9 . Cho K là tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c x3 − 5 trên Q(√

7). Chu’ng minh rangAut(K/Q(

√7)) ∼= S3. (Xem HD 282)

Nguyen Chánh Tú


§ 7 MO’’ RO˙

NG TÁCH DU’O˙’C, CHUA’N TAC VÀ GALOIS

Trong bài này, ta xét các mo’’ ro˙ng tru’o’ng da

˙c bie

˙t ho’n nham tìm dieu kie

˙n de’

các tu’o’ng u’ng Galois là các song ánh.

7.1 MO’’ RO˙

NG TÁCH DU’O˙’C VÀ DI

˙NH LÍ PHAN TU’’ NGUYÊN THU’ Y

Di˙nh nghıa. Mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so E : F go

˙i là tách du’o’c neu da thu’c toi tie’u

cu’ a mo˙i phan tu’’ thuo

˙c E deu tách du’o’c.

Nhu’ the, mo’’ ro˙ng E : F là không tách du’o’c neu các tru’o’ng có da

˙c so p và da

thu’c toi tie’u cu’ a mo˙t phan tu’’ nào dó cu’ a E có da

˙ng g(xp) vo’i g ∈ F [x].

Ví du˙

27. Mo’’ ro˙ng Z2(t

2) ⊂ Z2(t) là không tách du’o’c vì da thu’c toi tie’u x2 − t2

cu’ a t là không tách du’o’c.

Me˙nh de 7.1. Cho F ⊂ M ⊂ E là các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng. Neu F ⊂ E là mo’’ ro

˙ng

tách du’o˙’c thì F ⊂ M và M ⊂ E là các mo’’ ro

˙ng tách du’o˙’

c.

Chu’ng minh. Rõ ràng F ⊂ M là mo’’ ro˙ng tách du’o’c. Cho α ∈ E. Go

˙i f ∈ F [x]

Nguyen Chánh Tú

§ 7. Mo’’ ro˙ng tách du’o

˙’c, chua’n tac và Galois 125

và g ∈ M [x] tu’o’ng u’ng là các da thu’c toi tie’u cu’ a α trên F và M . Rõ ràng g | f .Do F ⊂ E tách du’o’c, da thu’c f là tách du’o’c. Suy ra g là tách du’o’c.

Mo’’ ro˙ng tách du’o’c có mo

˙t tính chat rat da

˙c bie

˙t du’o’c the’ hie

˙n sau dây.

Di˙nh lí 7.2 (Phan tu’’ nguyên thu’ y). Cho E = F (α1, · · · , αn) là mo

˙t mo’’ ro

˙ng

hu’u ha˙

n cu’ a F sao cho α2, · · · , αn tách du’o˙’c trên F . Khi dó ton ta

˙i γ ∈ E sao cho

E = F (γ).

Chu’ng minh. Neu F là tru’o’ng hu’u ha˙n thì E hu’u ha

˙n và do dó nhóm nhân E∗

các phan tu’’ khác 0 là nhóm cyclic (xem Bài ta˙p 0. 18). Go

˙i u là mo

˙t phan tu’’ sinh

cu’ a E∗. Rõ ràng E = F (u).Ta chı’ can xét tru’o’ng ho’p F vô ha

˙n. Ta chu’ng minh quy na

˙p trên n. Neu n = 1,

ket qua’ là hie’n nhiên. Neu ket qua’ dúng vo’i n = 2 thì tu’ gia’ thiet quy na˙p, ta có

F (α1, . . . αn) = F (α1, . . . αn−1)(αn) = F (t, αn)

và suy ra dieu pha’ i chu’ng minh. Do dó bài toán quy ve vie˙c chu’ng minh ket qua’

cho n = 2.

Nguyen Chánh Tú


Xét E = F (v, w) vo’i w tách du’o’c trên F . Go˙i f, g ∈ F [x] lan lu’o’t là da thu’c toi

tie’u cu’ a v, w. Go˙i K là tru’o’ng phân rã cu’ a fg. Khi dó f có các nghie

˙m trong K là

v, v1, . . . , vr ; da thu’c g có các nghie˙m phân bie

˙t trong K là w, w1, . . . , ws. Do F

vô ha˙n, ton ta

˙i c ∈ F sao cho

c 6= vi − v

w − wj

, ∀ i = 1, . . . , r, ∀j = 1, . . . , s.

Da˙t u = v + cw. Ta se chı’ ra rang v, w ∈ F (u), do dó F (v, w) = F (u).

Da˙t h = f(u − cx) ∈ F (u)[x]. Ta có

h(w) = f(u − cw) = f(v) = 0.

Neu có wj vo’i 1 ≤ j ≤ s nào dó là nghie˙m cu’ a h thì

h(wj) = f(u − cwj) = 0.

Nhu’ the ton ta˙i i tho’ a 1 ≤ i ≤ r sao cho u − cwj = vi. Hay c(w − wj) = vi − v.

Vô lý do cách cho˙n c. Va

˙y h chı’ có w là nghie

˙m duy nhat trong ta

˙p w, w1, . . . , ws.

Suy ra (h, g) = x − w trong K[x]. Suy ra x − w ∈ F (u)[x] (xem Bo’ de 5.6), da˙c

bie˙t w ∈ F (u). Ta có dieu pha’ i chu’ng minh.

Nguyen Chánh Tú



He˙

qua’ 7.3. Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n, tách du’o˙’

c là mo’’ ro˙ng do’n. Da

˙c bie

˙t mo

˙i mo’’

ro˙ng hu’u ha

˙n trên tru’o’ng có da

˙c so 0 hoa

˙c tru’o’ng hu’u ha

˙n deu là mo’’ ro

˙ng do’n.

7.2 TIÊU CHUA’ N CU’ A MO’’ RO˙

NG GALOIS VÀ CHUA’ N TAC

Di˙nh nghıa. Mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so E : F go

˙i là chua’n tac neu da thu’c toi tie’u

cu’ a mo˙i phan tu’’ thuo

˙c E phân rã trong E.

Nha˙n xét 7.4. Cho E : F là mo

˙t mo’’ ro

˙ng chua’n tac và tách du’o’c. Cho f ∈ F [x]

là mo˙t da thu’c bat kha’ quy ba

˙c m. Neu f có nghie

˙m trong E thì f có dúng m

nghie˙m phân bie

˙t trong E.

Ta dã biet rang vo’i mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng E : F thì nói chung

F ( T (N (F )) = T (Aut(E/F )).

Ta xét nhu’ng mo’’ ro˙ng tru’o’ng mà dau da’ ng thu’c xa’ y ra.

Di˙nh nghıa.

Mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n E : F du’o’c go

˙i là mo’’ ro

˙ng Galois neu

F = T (N (F )). Khi dó Aut(E/F ) go˙i là nhóm Galois cu’ a mo’’

ro˙ng tru’o’ng và du’o’c kí hie

˙u là Gal(E/F ).

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh lí 7.5 (Tiêu chua’n cu’ a mo’’ ro

˙ng Galois). Cho mo’’ ro

˙ng tru’o’ng E : F . Các

me˙nh de sau là tu’o’ng du’o’ng :

(i) E là tru’o’ng phân rã cu’ a mo˙t da thu’c tách du’o˙’

c trên F ;

(ii) [E : F ] = (Aut(E/F ) : 1) < ∞ ;

(iii) E : F là mo’’ ro˙ng Galois ;

(iv) F = T (G) vo’i G là mo˙t nhóm con hu’u ha

˙n cu’ a Aut(E/F ) ;

(v) E : F là mo’’ ro˙ng chua’n tac, tách du’o˙’

c và hu’u ha˙

n trên F .

Chu’ng minh.

(i) =⇒ (ii) Xem Me˙nh de 6.6.

(ii) =⇒ (iii) Theo Di˙nh lí Artin, ta có

[E : T (N (F ))] = (N (F ) : 1) = |Aut(E/F )|.Suy ra [E : T (N (F ))] = [E : F ]. Do dó F = T (N (F )), hay E : F là mo’’ ro

˙ng

Galois.

Nguyen Chánh Tú



(iii) =⇒ (iv) Lay G = Aut(E/F ).

(iv) =⇒ (v) Theo Di˙nh lí Artin (6.11), ta có [E : F ] ≤ [G : 1]. Suy ra E : F hu’u

ha˙n. Lay α ∈ E. Go

˙i f ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a α. Ta chu’ng minh rang

f phân rã trong E thành các nhân tu’’ phân bie˙t.

Da˙t N = σα | σ ∈ G = α1, . . . , αm. Xét da thu’c

g =m∏

i=1

(x − αi) = xm + a1xm−1 + · · · + am ∈ E[x].

Vo’i mo˙i τ ∈ G, ánh xa

˙τ hoán vi

˙các phan tu’’ trong N . Do các he

˙tu’’ ai cu’ a g

deu là các da thu’c doi xu’ng cu’ a α1, . . . , αm, ta có τ (ai) = ai, ∀ i = 1, . . . , m.Suy ra ai ∈ F hay g ∈ F [x]. Vì f là da thu’c toi tie’u cu’ a α, ta có f | g. Ma

˙t

khác, các phan tu’’ αi deu là nghie˙m cu’ a f nên g| f . Va

˙y g = f , do dó f phân

rã thành các nhân tu’’ phân bie˙t.

(v) =⇒ (i) Vì E : F là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n, ta có E = F (α1, . . . , αn) vo’i αi da

˙i so

trên F . Go˙i mi là da thu’c toi tie’u cu’ a αi vo’i mo

˙i i = 1, . . . , n. Do E : F chua’n

tac, các da thu’c mi phân rã trong E, do dó E là tru’o’ng phân rã cu’ a f =∏

mi

Nguyen Chánh Tú


trên F . Ho’n the, do mo’’ ro˙ng E : F là tách du’o’c, da thu’c f là tách du’o’c.

Di˙nh nghıa.

Nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c tách du’o’c f ∈ F [x] là nhóm Galois

cu’ a tru’o’ng phân rã cu’ a f .

He˙

qua’ 7.6. Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n, tách du’o˙’

c deu chu’a trong mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois.

Chu’ng minh. Cho F ⊂ E là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n và tách du’o’c, ta có

E = F (α1, . . . , αn) vo’i αi da˙i so trên F . Go

˙i mi là da thu’c toi tie’u cu’ a αi

vo’i mo˙i i = 1, . . . , n. Do mi tách du’o’c, da thu’c f =

∏mi là tách du’o’c. Tru’o’ng E

chu’a trong tru’o’ng phân rã cu’ a f ∈ F [x].

He˙

qua’ 7.7. Cho F ⊂ M ⊂ E là các mo’’ ro˙ng tru’o’ng. Neu F ⊂ E là mo’’ ro

˙ng

Galois thì M ⊂ E là mo’’ ro˙ng Galois.

Chu’ng minh. E là tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c f ∈ F [x]. Rõ ràng E cung làtru’o’ng phân rã cu’ a f trên M . Ho’n the M ⊂ E là mo’’ ro

˙ng tách du’o’c (xem Me

˙nh

de 7.1). Do dó M ⊂ E là mo’’ ro˙ng Galois.

Nguyen Chánh Tú



Di˙nh lí 7.5 cho ta tiêu chua’n cu’ a mo

˙t mo’’ ro

˙ng Galois. Ket qua’ sau cho ta tiêu

chua’n cu’ a mo’’ ro˙ng chua’n tac.

Me˙nh de 7.8. Mo

˙t mo’’ ro

˙ng E : F là hu’u ha

˙n và chua’n tac khi và chı’ khi E là

tru’o’ng phân rã cu’ a mo˙t da thu’c trên F .

Chu’ng minh. Dieu kie˙n can cu’ a me

˙nh de du’o’c chu’ng minh tu’o’ng tu

˙’nhu’ trong

Di˙nh lí 7.5. Ta chu’ng minh dieu kie

˙n du’ . Cho E là tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c

f ∈ F [x] trên F . Go˙i g ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a α ∈ E. Ta chu’ng minh rang

mo˙i nghie

˙m cu’ a g deu thuo

˙c E.

Go˙i K là tru’o’ng phân rã cu’ a g trên E và β là mo

˙t nghie

˙m cu’ a g trong K. Xét

so’ do nhu’ trong Hình 8.

Ta se chı’ ra rang [E(α) : E] = [E(β) : E] và do [E(α) : E] = 1, ta có[E(β) : E] = 1, nên β ∈ E. Do α và β deu là nghie

˙m cu’ a g bat kha’ quy trên

F nên ton ta˙i F−da’ ng cau F (α) −→ F (β). Rõ ràng E(α) và E(β) lan lu’o’t là

tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F (α) và F (β) nên ϕ mo’’ ro˙ng thành F−da’ ng cau

Nguyen Chánh Tú


6

6

Y 3

66

> k

F

E

3

F (α) F (β)

E(α)E(β)

K

Hình 8: So’ do chı’ ra E(α) da’ ng cau vo’i E(β).

ϕ′ : E(α) −→ E(β). Nhu’ the [E(α) : F ] = [E(β) : F ]. Suy ra

[E(α) : E] = [E(β) : E].

Ta có dieu can chu’ng minh.

Nguyen Chánh Tú



Bài ta˙p


˙nh de sau :

a) Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha


˙ng chua’n tac.

b) Mo˙i mo’’ ro

˙ng chua’n tac deu là mo’’ ro

˙ng Galois.


˙ng tách du’o’c deu là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n.


˙ng Galois deu là mo’’ ro

˙ng chua’n tac và tách du’o’c.

e) Mo˙i mo’’ ro

˙ng tách du’o’c deu là mo’’ ro

˙ng chua’n tac.


˙ng chua’n tac và hu’u ha


˙ng Galois.

g) Mo˙i mo’’ ro

˙ng chua’n tac deu là tru’o’ng phân rã cu’ a mo

˙t da thu’c.

h) Mo˙i mo’’ ro

˙ng Galois deu là tru’o’ng phân rã cu’ a mo

˙t da thu’c.

i) Mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n là Galois khi và chı’ khi nó là tru’o’ng phân rã cu’ a mo

˙t

da thu’c tách du’o’c.

j) Mo˙i mo’’ ro

˙ng Galois deu là mo’’ ro

˙ng do’n.

k) Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha


˙ng do’n.

Nguyen Chánh Tú


l) Neu F ⊂ M ⊂ E có F ⊂ E là mo’’ ro˙ng tách du’o’c thì F ⊂ M và M ⊂ E

tách du’o’c.

m) Neu F ⊂ M ⊂ E có F ⊂ E là mo’’ ro˙ng chua’n tac thì F ⊂ M và M ⊂ E

chua’n tac.

n) Neu F ⊂ M ⊂ E có F ⊂ E là mo’’ ro˙ng Galois thì F ⊂ M và M ⊂ E

Galois. (Xem HD 283)

7. 2 . Cho F ⊂ E ⊂ K là các mo’’ ro˙ng tru’o’ng. Neu F ⊂ E và E ⊂ K là các mo’’

ro˙ng Galois thì F ⊂ K có pha’ i là mo’’ ro

˙ng Galois không ?

(Xem HD 283)

7. 3 . Chu’ng to’ rang mo˙i mo’’ ro

˙ng ba

˙c 2 trên tru’o’ng có da

˙c so khác 2 deu là các mo’’

ro˙ng Galois. Kha’ ng di

˙nh trên có dúng cho tru’o’ng có da

˙c so 2 không ?

(Xem HD 283)

7. 4 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so p và f = xp − x − a ∈ F [x]. Xác di

˙nh tru’o’ng phân

rã Ef cu’ a f trên F và xét xem nó có pha’ i là mo’’ ro˙ng Galois trên F không ?

Xác di˙nh các phan tu’’ cu’ a nhóm Aut(Ef/F ). (Xem HD 283)

Nguyen Chánh Tú



7. 5 . Cho f = xpn − x ∈ Zp[x] và Ef là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Zp. Xác di˙nh

nhóm Aut(Ef/Zp) và ve so’ do bao hàm cu’ a các nhóm con cu’ a nó.

(Xem HD 283)

7. 6 . Tìm các mo’’ ro˙ng tru’o’ng Q ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ F3 vo’i F1, F3 Galois trên Q nhu’ng F2

không Galois trên Q. (Xem HD 284)

7. 7 . Chu’ng minh rang Q ⊂ Q(√

2 +√

2) là mo’’ ro˙ng Galois và xác di

˙nh nhóm

Galois cu’ a mo’’ ro˙ng dó. (Xem HD 284)

7. 8 . Trong các mo’’ ro˙ng o’’ Bài ta

˙p 6. 2, mo’’ ro

˙ng nào là mo’’ ro

˙ng Galois, chua’n tac ?

7. 9 . Mô ta’ nhóm Galois cu’ a các da thu’c sau trên Q.

a) f = (x2 − 2)(x2 − 3)(x2 − 5) ;

b) g == xp − 2 vo’i p nguyên to ;

c) h = x4 − 14x2 + 9. (Xem HD 284)

7. 10 . Chu’ng minh rang nhóm Galois cu’ a xp − 2 trên Q da’ ng cau vo’i nhóm nhân các

Nguyen Chánh Tú


ma tra˙n

(a b

0 1

)vo’i a, b ∈ Zp và a 6= 0. (Xem HD 285)

7. 11 . Chu’ng minh rang neu nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c 3 là mo

˙t nhóm cyclic

cap 3 thì tat ca’ các nghie˙m cu’ a f deu là nghie

˙m thu

˙’c. (Xem HD 285)

Nguyen Chánh Tú

§ 8. Di˙nh lí co’ ba’ n cu’ a Lí thuyet Galois 137

§ 8 DI˙NH LÍ CO’ BA’ N CU’ A LÍ THUYET GALOIS

Nhac la˙i, vo’i mo

˙t mo’’ ro

˙ng F ⊂ E cho tru’o’c, kí hie

˙u F là ta

˙p các tru’o’ng trung

gian cu’ a mo’’ ro˙ng và H là ta

˙pcác nhóm con cu’ a Aut(E/F ). Giu’a F và H có các

ánh xa˙

N và T , go˙i là các tu’o’ng u’ng Galois.

Di˙nh lí 8.1. Cho F ⊂ E là mo’’ ro

˙ng Galois vo’i G = Gal(E/F ). Khi dó các tu’o’ng

u’ng Galois N : F−→H và T : H−→F là các song ánh và là nghi˙ch da’ o cu’ a

nhau. Ho’n the :

(i) H1 ⊂ H2 ⇐⇒ T (H1) ⊃ T (H2), ∀ H1, H2 ∈ H ;

(ii) chı’ so cu’ a nhóm bang ba˙

c cu’ a mo’’ ro˙ng tru’o’ng, nghıa là vo’i mo

˙i H1, H2 ∈ H,

H1 ⊂ H2 =⇒ (H2 : H1) = [T (H1) : T (H2)] ;

(iii) T (σHσ−1) = σ T (H) và

N (σM) = σ N (M)σ−1, ∀ σ ∈ G, ∀ H ∈ H, ∀ M ∈ F ;

Nguyen Chánh Tú


(iv) H C G khi và chı’ khi T (H) : F là mo’’ ro˙ng chua’n tac (do dó Galois) và

Gal(T (H)/F ) ∼= G/H.

Chu’ng minh. Do E : F là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n nên G hu’u ha

˙n. Khi dó ∀ H ∈ H,

ta có N (T (H)) = H. Ma˙t khác ∀ M ∈ F , ta có E : M là mo’’ ro

˙ng Galois, do dó

T (N (M)) = M . Suy ra N và T là các song ánh và là nghi˙ch da’ o cu’ a nhau.

(i) Ta có

T (H1) ⊃ T (H2) =⇒ H1 = N (T (H1)) ⊂ N (T (H2)) = H2.

(ii) Vo’i H ∈ H, ta có E : T (H) là mo’’ ro˙ng Galois. Do dó

[E : T (H)] = (H : 1).

Cho H1 ⊂ H2 là các nhóm con cu’ a G. Suy ra

F ⊂ T (H2) ⊂ T (H1) ⊂ E.

Ta có(H2 : 1) = (H2 : H1)(H1 : 1). Suy ra

[E : T (H2)] = (H2 : H1)[E : T (H1)]

= [E : T (H1)][T (H1) : T (H2)].

Nguyen Chánh Tú


Do dó (H2 : H1) = [T (H1) : T (H2)].

(iii) Cho y = σx ∈ σ T (H). Vo’i mo˙i σϕσ−1 ∈ σHσ−1, ta có

σϕσ−1(y) = σϕ(x) = σx = y.

Suy ra y ∈ T (σHσ−1). Do dó σ T (H) ⊂ T (σHσ−1).

Ngu’o’c la˙i, cho y ∈ T (σHσ−1). Khi dó, vo’i mo

˙i ϕ ∈ H, ta có (σϕσ−1)(y) = y.

Da˙t x = σ−1(y), ta có

(σϕσ−1)(y) = σϕ(x) = y = σx.

Nhu’ the ϕ(x) = x, ∀ ϕ ∈ H. Suy ra x ∈ T (H), do dó y = σx ∈ σ T (H).

Va˙y T (σHσ−1) = σ T (H).

Ta chu’ng minh σ N (M)σ−1 = N (σM). Vo’i mo˙i σϕσ−1 ∈ σ N (M)σ−1,

cho y = σx ∈ σM , ta có

σϕσ−1(y) = σϕσ−1(σx) = σϕ(x) = σx = y.

Suy ra σϕσ−1 ∈ N (σM).

Nguyen Chánh Tú


Ngu’o’c la˙i, vo’i mo

˙i ψ ∈ N (σM), da

˙t ϕ = σ−1ψσ. Ta chu’ng minh ϕ ∈ N (M).

Tha˙t va

˙y, vo’i mo

˙i x ∈ M , ta có

ϕ(x) = σ−1ψσ(x) = σ−1ψ(σx) = σ−1σ(x) = x.

Do dó ϕ ∈ N (M). Va˙y ψ = σϕσ−1 ∈ σ N (M)σ−1.

(iv) Gia’ thiet F ⊂ T (H) là mo’’ ro˙ng chua’n tac. Go

˙i T (H) = F (α1, . . . , αm).

Vo’i mo˙i σ ∈ G, ta có σ(αi) cung là nghie

˙m cu’ a da thu’c toi tie’u cu’ a αj,

nên σ(αi) ∈ T (H). Do dó σ T (H) ⊂ T (H). Do σ là da’ ng cau, ta cóσ T (H) = T (H). Suy ra

σ N (T (H))σ−1 = N (σ T (H)) = N (T (H)) = H.

Hay σHσ−1 = H, nghıa là H C G.

Ngu’o’c la˙i, gia’ thiet H C G. Do σHσ−1 = H, ∀ σ ∈ G, suy ra

σ T (H) = T (σHσ−1) = T (H).

Nguyen Chánh Tú


Ta có dong cau nhóm :

g : G −→ Aut(T (H)/F )

σ 7→ σ|T (H).

Ta cóKer(g) = σ ∈ G | σ|T (H)

= id = N (T (H)) = H.

Da˙t H ′ = Im(g) ⊂ Aut(T (H)/F ). Kí hie

˙u T ′ và N ′ là các tu’o’ng u’ng Galois

cu’ a mo’’ ro˙ng F ⊂ T (H). Ta có T ′(H ′) = T (G) = F do g : G −→ H ′ là toàn

cau. Vì H ′ hu’u ha˙n, theo tiêu chua’n cu’ a mo’’ ro

˙ng Galois, ta có T (H) : F là

mo’’ ro˙ng Galois. Ma

˙t khác, tu’o’ng u’ng Galois u’ng vo’i mo’’ ro

˙ng Galois T (H) : F

cho taH ′ 7→ F 7→ Gal(T (H)/F ) = H ′.

Nhu’ the, Gal(T (H)/F ) ∼= G/H.

Ví du˙

28. Xét nhóm Galois cu’ a da thu’c f = x4 − 2 ∈ Q[x]. Các nghie˙m cu’ a f là

4√2, − 4√2, i 4√2 và −i 4√2. Tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Q là Q(i, 4√2).

Nguyen Chánh Tú


1) De dàng kie’m tra [Q(i, 4√2) : Q] = 8.

2) Da˙t G = Gal(Q(i, 4√2)/Q). Ta có (G : 1) = 8.

3) Ton ta˙i các phan tu’’ σ, τ trong G xác di

˙nh bo’’i

σ : 4√2 7→ i 4√2

i 7→ ivà τ :

4√2 7→ 4√2

i 7→ −i.

De dàng thay rang σ4 = τ 2 = 1. Ngoài phan tu’’ do’n vi˙

1 và σ, τ , các phan tu’’còn la

˙i cu’ a G là :

σ2 : 4√2 7→ − 4√2

i 7→ i; σ3 :

4√2 7→ −i 4√2

i 7→ i;

στ : 4√2 7→ i 4√2

i 7→ −i; σ2τ :

4√2 7→ − 4√2

i 7→ −i;

và

σ3τ : 4√2 7→ −i 4√2

i 7→ −i.

Nguyen Chánh Tú


4) So’ do bao hàm các nhóm con cu’ a G nhu’ trong Hình 9.

6

6

6

Á 3

66

1

(σ2)

G

(σ)

oÁ

(τ )

]

(σ3τ )(στ )

(σ2τ )

7 o] 7

(σ2, τ ) (σ2, στ )

Hình 9: So’ do các nhóm con cu’ a Aut(Q( 4√

2, i)/Q).

5) Do các tu’o’ng u’ng Galois là song ánh, ta có so’ do tat ca’ các tru’o’ng trung giancu’ a mo’’ ro

˙ng nhu’ trong Hình 10.

6) Trong so’ do bao hàm các tru’o’ng trung gian, de thay rang các mo’’ ro˙ng ba

˙c 2

Nguyen Chánh Tú


?

?+~j )

? ?ª R = ~

ª s

Q(i 4√

2) Q( 4√

2) Q(i,√

2) Q((1 + i) 4√

2) Q((1 − i) 4√

2)

Q(√

2) Q(i) Q(i√

2)

Q

Q(i, 4√

2)

Hình 10: So’ do các tru’o’ng trung gian tu’o’ng u’ng.

cu’ a Q là các mo’’ ro˙ng Galois. Các nhóm con cap 4 tu’o’ng u’ng (σ2, τ ), (σ) và

(σ2, στ ) là các nhóm con chua’n tac. Ma˙t khác, mo’’ ro

˙ng Q ⊂ Q(i,

√2) là mo’’

ro˙ng Galois nên nhóm con tu’o’ng u’ng (σ2) cung là mo

˙t nhóm con chua’n tac

cu’ a G. Các mo’’ ro˙ng còn la

˙i deu không pha’ i là mo’’ ro

˙ng Galois do các nhóm con

Nguyen Chánh Tú


tu’o’ng u’ng cu’ a nó không pha’ i là nhóm con chua’n tac.

Di˙nh nghıa.

Cho M1, . . . , Mr là các tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro˙ng

tru’o’ng E : F . Tru’o’ng ho’p thành cu’ a M1, . . . , Mr, kí hie˙u

M1 · · · Mr hay∏r

1 Mi, là tru’o’ng con nho’ nhat cu’ a E chu’aM1, . . . , Mr (nói cách khác nó là tru’o’ng con cu’ a E sinh ra bo’’i∪r

1Mi).

Nha˙n xét 8.2. Các tu’o’ng u’ng Galois cu’ a mo

˙t mo’’ ro

˙ng Galois E : F cho ta các tính

chat sau :

(i) Cho M1, . . . , Mr là các tru’o’ng trung gian. Khi dó tru’o’ng ho’p thành M1 · · · Mr

u’ng vo’i nhóm con lo’n nhat chu’a trong các N (Mi), tu’c là u’ng vo’i nhóm∩r

1 N (Mi).

(ii) Cho H là mo˙t nhóm con cu’ a G = Gal(E/F ). Go

˙i M = T (H). Khi dó nhóm

con chua’n tac lo’n nhat cu’ a G chu’a trong H là N = ∩σ∈G

σHσ−1. Tru’o’ng trung

gian tu’o’ng u’ng vo’i N là mo’’ ro˙ng Galois nho’ nhat cu’ a F chu’a tat ca’ σM , vo’i

σ ∈ G, tu’c là∏

σ∈G

σM . Sau này, (xem Di˙nh nghıa 11.1) ta thay rang

∏σ∈G

σM

Nguyen Chánh Tú


chính là bao dóng chua’n tac cu’ a M .

Các ket qua’ sau cho ta tính chat cu’ a các tru’o’ng ho’p thành.

Me˙nh de 8.3. Cho M, N là các tru’o’ng trung gian cu’ a E : F . Neu M : F là mo’’

ro˙ng Galois thì các mo’’ ro

˙ng MN : N và M : (M ∩ N) cung Galois. Ho’n the, ánh

xa˙

Gal(MN/N) −→ Gal(M/M ∩ N)

σ 7→ σ|M

là mo˙t da’ng cau nhóm.

Chu’ng minh. Xét so’ do nhu’ Hình 11. Vì M : F là mo’’ ro˙ng Galois, ta có M là

tru’o’ng phân rã cu’ a mo˙t da thu’c f tách du’o’c trên F . Do dó MN là tru’o’ng phân

rã cu’ a da thu’c f trên N . Tu’o’ng tu˙’

M là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên M ∩ N . Vìthe, MN : N và M : M ∩ N là các mo’’ ro

˙ng Galois.

Mo˙i dong cau σ ∈ Gal(MN/N) bien nghie

˙m cu’ a f thành nghie

˙m cu’ a f , vì the

Nguyen Chánh Tú


M N

M ∩ N

MN

F

=

=

Hình 11:

σM = M . Do dó, ta có dong cau nhóm :

ψ : Gal(MN/N) −→ Gal(M/F )

σ 7→ σ|M .

Xét σ ∈ Gal(MN/N) tho’ a σ|M = 1. Khi dó σ co di˙nh mo

˙i phan tu’’ cu’ a M và N

nên co di˙nh mo

˙i phan tu’’ cu’ a MN . Do dó dong cau ψ là mo

˙t do’n cau.

Kí hie˙u H ′ là a’ nh cu’ a ψ. Go

˙i MH′ là tru’o’ng con cu’ a M co di

˙nh bo’’i H ′. Rõ ràng

M ∩ N ⊂ MH′. Theo tu’o’ng u’ng Galois, tru’o’ng ho’p thành MH′N u’ng vo’i nhóm

Nguyen Chánh Tú


Galois Gal(MN/N). Do dó MH′N = N . Hay MH′ ⊂ N . Do dó MH′ = M ∩ N .Tu’o’ng u’ng Galois trong M : F cho ta H ′ = Gal(M/M ∩ N). Ta có dieu pha’ ichu’ng minh.

He˙

qua’ 8.4. Vo’i gia’ thiet nhu’ me˙nh de trên và N : F là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n. Khi dó :

[MN : F ] =[M : F ][N : F ]

[(M ∩ N) : F ].

Chu’ng minh. Ta có

[MN : F ] = [MN : N ][N : F ] = [M : (M ∩ N)][N : F ].

Thay [M : (M ∩ N)] =[M : F ]

[M ∩ N : F ], ta có dieu pha’ i chu’ng minh.

Me˙nh de 8.5. Cho M, N là các tru’o’ng trung gian cu’ a mo’’ ro

˙ng tru’o’ng trên F tho’a

M : F và N : F là các mo’’ ro˙ng Galois. Khi dó MN và M ∩ N là các mo’’ ro

˙ng

Galois cu’ a F . Ho’n the :

Gal(MN/F ) −→ Gal(M/F ) × Gal(N/F )

σ 7→ (σ |M , σ|N)

Nguyen Chánh Tú


là mo˙t da’ng cau tu’ Gal(MN/F ) vào nhóm con

H = (σ1, σ2) | σ1 |M∩N= σ2 |M∩Ncu’ a nhóm Gal(M/F ) × Gal(N/F ).

Chu’ng minh. Cho α ∈ M ∩ N , go˙i f ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a α. Go

˙i

n = deg(f). Vì M và N Galois trên F , da thu’c f có dúng n nghie˙m phân bie

˙t

trong M và N . Trong tru’o’ng ho’p thành MN , da thu’c f có toi da n nghie˙m, do

dó f có dúng n nghie˙m phân bie

˙t trong M ∩ N . Nhu’ the M ∩ N Galois trên F .

Ma˙t khác, tru’o’ng M (tu’o’ng u’ng N ) là tru’o’ng phân rã cu’ a mo

˙t da thu’c g (tu’o’ng

u’ng h) tách du’o’c trên F . Khi dó MN là tru’o’ng phân rã cu’ a gh trên F . Do dóMN Galois trên F .

Xét dong cau

φ : Gal(MN/F ) −→ Gal(M/F ) × Gal(N/F )

σ 7→ (σ |M , σ|N).

Neu σ ∈ Gal(MN/F ) co di˙nh mo

˙i phan tu’’ cu’ a M và N thì co di

˙nh mo

˙i phan tu’’

cu’ a MN . Do dó φ là do’n ánh.

Nguyen Chánh Tú


Rõ ràng Im(φ) ⊂ H, vo’i H = (σ1, σ2) | σ1 |M∩N= σ2 |M∩N. Ta chu’ng minhchúng trùng nhau bang cách chı’ ra rang so phan tu’’ cu’ a chúng bang nhau. Ta cótheo di

˙nh lí co’ ba’ n:

Gal(N/F )

Gal(N/(M ∩ N))∼= Gal(M ∩ N/F ).

Suy ra, vo’i mo˙t dong cau σ ∈ Gal(M/F ) cho tru’o’c, dong cau ha

˙n che σ |M∩N có

dúng [N : (M ∩ N)] mo’’ ro˙ng trong Gal(N/F ). Do dó

(H : 1) = [M : F ][N : (M ∩ N)].

Ma˙t khác, theo he

˙qua’ trên, ta có

[M : F ][N : (M ∩ N)] =[M : F ][N : F ]

[M ∩ N : F ]= [MN : F ]

= |Gal(MN/F )|.

He˙

qua’ 8.6. (i) Cho M, N nhu’ trong he˙

qua’ trên. Neu M ∩ N = F thì

Gal(MN/F ) ∼= Gal(M/F ) × Gal(N/F.

Nguyen Chánh Tú


(ii) Ngu’o˙’c la

˙i, cho mo

˙t mo’’ ro

˙ng E : F có Gal(E/F ) = G1 × G2 vo’i G1, G2 là

2 nhóm con cu’ a Gal(E/F ). Khi dó ton ta˙

i các tru’o’ng trung gian M, N cu’ aE : F sao cho M, N là các mo’’ ro

˙ng Galois trên F và E = MN .

Chu’ng minh. Phan thu’ nhat suy ra ngay tu’ he˙

qua’ trên. Go˙i M và N tu’o’ng

u’ng là các tru’o’ng trung gian co di˙nh bo’’i G1 và G2. Khi dó tru’o’ng trung gian

M ∩ N u’ng vo’i nhóm con nho’ nhat chu’a G1 và G2. Nhóm dó chính là G. Do dóM ∩ N = F . Theo he

˙qua’ trên, ta có MN Galois trên F và có nhóm Galois da’ ng

cau vo’i G1 × G2 = Gal(E/F ). Suy ra MN = E.

Bài ta˙p


˙nh de sau :

a) Neu mo’’ ro˙ng là Galois thì các tu’o’ng u’ng Galois là các song ánh, ba’ o toàn

quan he˙

bao hàm.

b) Mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n là Galois khi và chı’ khi các tu’o’ng u’ng Galois là song

ánh.

Nguyen Chánh Tú


c) Trong mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois F ⊂ E, tru’o’ng co di

˙nh bo’’i mo

˙t nhóm con cu’ a

nhóm Galois là mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois trên F .

d) Trong mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois F ⊂ E, tru’o’ng co di

˙nh bo’’i mo

˙t nhóm con chua’n

tac cu’ a nhóm Galois là mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois trên F .

e) Trong mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois F ⊂ E có nhóm Galois G, tru’o’ng trung gian M

u’ng vo’i nhóm con H cu’ a G có ba˙c trên F là (H : 1).

f) Trong mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois F ⊂ E có nhóm Galois G, tru’o’ng trung gian M

u’ng vo’i nhóm con H cu’ a G có ba˙c trên F là (G : H).

g) Trong mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois F ⊂ E có nhóm Galois G, go

˙i M là tru’o’ng trung

gian u’ng vo’i nhóm con H cu’ a G. Khi dó [E : M ] = (H : 1).

h) Nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c 3 luôn là nhóm aben.

i) Nhóm Galois cu’ a mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois ba

˙c 4 luôn là nhóm aben.

j) Tru’o’ng ho’p thành cu’ a 2 tru’o’ng trung gian là tru’o’ng con nho’ nhat chu’achúng. (Xem HD 285)

8. 2 . Chı’ ra các tu’o’ng u’ng Galois cu’ a mo’’ ro˙ng tru’o’ng Q(ξ) : Q vo’i ξ = e2πi/7. Chı’

Nguyen Chánh Tú


ra các tru’o’ng trung gian nào là Galois trên Q. Trong tru’o’ng ho’p tru’o’ng trunggian M là Galois trên Q, tìm da thu’c tu’o’ng u’ng g ∈ Q[x] sao cho M là tru’o’ngphân rã cu’ a g trên Q (Xem HD 285)

8. 3 . Chu’ng minh các ket lua˙n o’’ Nha

˙n xét 8.2. (Xem HD 286)

8. 4 . Phân tích các tu’o’ng u’ng Galois cu’ a tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c x3 − 2 trên Qvà chı’ ra các tru’o’ng trung gian là mo’’ ro

˙ng Galois trên Q. (Xem HD 287)

8. 5 . Phân tích tu’o’ng u’ng Galois cu’ a mo’’ ro˙ng o’’ các Bài ta

˙p 6. 2, 7. 7 và 7. 9.

(Xem HD 287)

8. 6 . Cho K là tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c x3 − 5 trên Q(√

7). Chu’ng minh rangton ta

˙i tru’o’ng con M cu’ a K chu’a Q(

√7), sao cho Gal(K/M) ∼= Z3. (xem bài

ta˙p 6. 9 ) (Xem HD 288)

8. 7 . Xác di˙nh nhóm Galois cu’ a da thu’c f = x5 − 6x4 + 3 trên F vo’i

a) F = Q ;

b) F = Z2.

Nguyen Chánh Tú


Trong moi tru’o’ng ho’p, go˙i K là tru’o’ng phân rã cu’ a f , xác di

˙nh có bao nhiêu

tru’o’ng trung gian M cu’ a F ⊂ K sao cho [M : F ] = 2. (Xem HD 288)

8. 8 . Cho K = Q(√

5,√

7) và L là tru’o’ng phân rã cu’ a f = x3 − 2.

a) Xác di˙nh nhóm Galois cu’ a K : Q và L : Q.

b) Tru’o’ng K có chu’a nghie˙m nào cu’ a f hay không ?

c) Xác di˙nh ba


˙ng Q ⊂ K ∩ L. (Xem HD 288)

8. 9 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so khác 2.

a) Cho a, b ∈ F sao cho a, b và ab không có can ba˙c 2 trong F . Chu’ng minh

rang tru’o’ng F (√

a,√

b) là mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois trên F và Gal(K/F ) ∼=

Z2 × Z2.

b) Da’ o la˙i, cho F ⊂ K là mo

˙t mo’’ ro

˙ng ba

˙c 4 có Aut(K/F ) ∼= Z2 × Z2. Chu’ng

minh rang K = F (√

a,√

b) vo’i a, b và ab không có can ba˙c 2 trong F .

(Xem HD 289)

Nguyen Chánh Tú


8. 10 . Cho E = Q( 8√2, i), M1 = Q(i), M2 = Q(√

2), M3 = Q(√−2). Xác di

˙nh các

nhóm Aut(E/Mi) vo’i 1 ≤ i ≤ 3. (Xem HD 289)

8. 11 . Cho f = x4 − 2x2 − 2 ∈ Q[x].

a) Chu’ng to’ f bat kha’ quy trên Q.

b) Da˙t α =

√1 +

√3 và β =

√1 − √

3. Chu’ng to’ α và β deu là nghie˙m cu’ a

f . Tìm các nghie˙m còn la

˙i cu’ a f .

c) Da˙t K1 = Q(α), K2 = Q(β). Chu’ng to’ K1 6= K2 và

K1 ∩ K2 = Q(√

3) = F.

d) Chu’ng minh rang K1, K2 và K1K2 là các mo’’ ro˙ng Galois trên F . Mô ta’

nhóm Galois Gal(K1K2/F ), ve so’ do bao hàm các nhóm con và các tru’o’ngtrung gian tu’o’ng u’ng.

e) Chu’ng minh rang nhóm Galois cu’ a f da’ ng cau vo’i nhóm các phép doi xu’ngcu’ a hình vuông. (Xem HD 290)

Nguyen Chánh Tú


§ 9 MO˙T SO U’NG DU

˙NG CU’ A LÍ THUYET GALOIS

9.1 TRU’O’NG HU’U HA˙N

Di˙nh nghıa. Mo

˙t tru’o’ng có hu’u ha

˙n phan tu’’ thì go

˙i là tru’o’ng hu’u ha

˙n.

Nha˙n xét 9.1.

(i) Tru’o’ng hu’u ha˙n E có da

˙c so p nguyên to. Do dó tru’o’ng con nguyên to cu’ a E,

kí hie˙u Fp, da’ ng cau vo’i Zp.

(ii) Tru’o’ng hu’u ha˙n E có da

˙c so p thì có q = pn phan tu’’, vo’i n = [E : Fp].

Me˙nh de 9.2. Mo

˙i tru’o’ng hu’u ha


˙ng do’n trên tru’o’ng con nguyên to

cu’ a nó.

Chu’ng minh. Cho E là mo˙t tru’o’ng hu’u ha

˙n có tru’o’ng con nguyên to Fp. Ta biet

rang nhóm nhân E∗ = E\0 là mo˙t nhóm cyclic. Go

˙i α là phan tu’’ sinh. Rõ ràng

E = Fp(α).

Me˙nh de 9.3. Mo

˙t tru’o’ng hu’u ha

˙n E có pn phan tu’’ (p nguyên to) da’ng cau vo’i

tru’o’ng phân rã cu’ a xpn − x trên Fp, có nhóm Galois là nhóm cyclic cap n sinh bo’’i

Nguyen Chánh Tú

§ 9. Mo˙t so u’ng du

˙ng cu’ a Lí thuyet Galois 157

ánh xa˙

Frobenius σ : a 7→ ap. Suy ra vo’i mo˙i n ∈ N, ton ta

˙i duy nhat (sai khác

da’ng cau) mo˙t tru’o’ng hu’u ha

˙n có pn phan tu’’, kí hie

˙u Fpn.

Chu’ng minh. Do E∗ = E\0 là nhóm nhân cap pn − 1 nên apn−1 = 1, vo’imo

˙i a ∈ E∗. Suy ra, mo

˙i phan tu’’ cu’ a E deu là nghie

˙m cu’ a da thu’c xpn − x. Ho’n

nu’a, da thu’c xpn − x không the’ có quá pn nghie˙m, do dó E là tru’o’ng phân rã cua’

xpn − x trên Fp.Vì da thu’c xpn − x tách du’o’c trên Fp nên E là mo’’ ro˙ng Galois trên

Fp và nhóm Galois G cu’ a nó có cap n. Go˙i α ∈ E∗ là phan tu’’ có cap pn − 1 trong

nhóm cyclic E∗. Do σi(α) = αpi 6= α ∀ i < n và σn(α) = α nên σ có cap là n. Dodó G là nhóm cyclic sinh ra bo’’i σ.

He˙

qua’ 9.4. Cho Fpn là tru’o’ng có pn phan tu’’. Mo˙i tru’o’ng trung gian cu’ a Fpn : Fp

deu là mo’’ ro˙ng Galois cu’ a Fp và tu’o’ng u’ng 1-1 vo’i ta

˙p các u’o’c cu’ a n.

Chu’ng minh. Vì mo’’ ro˙ng là Galois, các tru’o’ng trung gian cu’ a Fpn : Fp tu’o’ng u’ng

1-1 vo’i các nhóm con cu’ a nhóm cyclic (σ) cap n. Do dó chúng tu’o’ng u’ng 1-1 vo’icác u’o’c cu’ a n. Vo’i d | n, tru’o’ng trung gian duy nhat ba

˙c d trên Fp (da’ ng cau vo’i

Fpd) là tru’o’ng co di˙nh bo’’i nhóm cyclic (σd).

Nguyen Chánh Tú


He˙

qua’ 9.5. Cho f ∈ Fp[x] bat kha’ quy ba˙

c d ≤ n. Khi dó f là mo˙t nhân tu’’ cu’ a

xpn − x khi và chı’ khi d | n.

Chu’ng minh. Go˙i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Vì f là nhân tu’’ cu’ a xpn − x nên α

nam trong tru’o’ng phân rã cu’ a xpn − x. Do dó d = [Fp(α) : Fp] là mo˙t u’o’c cu’ a n.

Ngu’o’c la˙i, ta có Fp(α) da’ ng cau vo’i Fpd là tru’o’ng phân rã cu’ a xpd − x trên

Fp. Suy ra α là nghie˙m cu’ a xpd − x. Do dó f là u’o’c cu’ a xpd − x nên là u’o’c cu’ a

xpn − x.

Su’’ du˙

ng Maple 4. He˙

qua’ trên cho ta xác di˙nh tat ca’ các da thu’c chua’n tac, bat

kha’ quy ba˙c d (và ba

˙c d′ | d) trên Zp bang cách tìm da

˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a xpd − x.

Vo’i Maple, ta de dàng thu˙’c hie

˙n dieu dó.

Ví du˙

sau tìm tat ca’ các da thu’c bat kha’ quy chua’n tac ba˙c 1, ba

˙c 2 và 4 trên

tru’o’ng Z3.

> Factor(x^(3^4)-x)mod 3 ;

Nguyen Chánh Tú



(x4 + x2 + x + 1) x (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x + 1) (x2 + 1)

(x4 + 2 x3 + x2 + 1) (x4 + 2 x + 2) (x4 + 2 x3 + x2 + x + 2)

(x4 + 2 x3 + 2) (x4 + x3 + 2 x + 1) (x4 + 2 x2 + 2)

(x4 + 2 x3 + x + 1) (x4 + x2 + 2) (x4 + x3 + x2 + 2 x + 2)

(x4 + 2 x3 + 2 x2 + x + 2) (x2 + x + 2) (x4 + x3 + 2) (x + 2)

(x4 + x2 + 2 x + 1) (x4 + x + 2) (x4 + x3 + 2 x2 + 2 x + 2)

(x2 + 2 x + 2) (x4 + x3 + x2 + 1) (x4 + 2 x3 + x2 + 2 x + 1)

He˙

qua’ 9.6. Mo˙i da thu’c bat kha’ quy f trên tru’o’ng hu’u ha

˙n E deu phân rã trong

mo’’ ro˙ng E(α) vo’i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f .

Chu’ng minh. Tru’o’ng E(α) là mo’’ ro˙ng Galois trên Fp nên là mo’’ ro

˙ng Galois trên

E. Suy ra da thu’c toi tie’u cu’ a α (do dó f ) phân rã trong E(α).

Me˙nh de 9.7. Cho E là mo


˙n. Ton ta

˙i bao dóng da

˙i so cu’ a E.

Chu’ng minh. Go˙i p là da

˙c so cu’ a E. Khi dó E da’ ng cau vo’i Fpn. Da

˙t

Fp =⋃

r≥1

Fpr. Khi dó Fp là mo˙t tru’o’ng. De thay rang nó là mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so

cu’ a Fp, và do dó là mo’’ ro˙ng da

˙i so cu’ a E. Cuoi cùng nó là mo

˙t tru’o’ng dóng da

˙i so

Nguyen Chánh Tú


vì vo’i mo˙i f ∈ Fp[x], ton ta

˙i l de’ f ∈ Fpl[x]. Tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Fpl là mo’’

ro˙ng hu’u ha

˙n cu’ a Fp do dó có da

˙ng Fpm nên chu’a trong Fp.

Vie˙c ton ta

˙i bao dóng da

˙i so cu’ a mo

˙t tru’o’ng bat kì, xem Di

˙nh lí C.1 trong Phu

˙lu˙c.

9.2 TRU’O’NG VÀ DA THU’C CHIA DU’O’NG TRÒN

Di˙nh nghıa.

Cho F là mo˙t tru’o’ng và n ∈ N∗ không chia het cho da

˙c so cu’ a

F . Tru’o’ng phân rã En cu’ a xn − 1 trên F du’o’c go˙i là tru’o’ng chia

du’o’ng tròn ba˙c n (trên F ).

Nha˙n xét 9.8. Mo

˙t nghie

˙m cu’ a xn − 1 go

˙i là can ba

˙c n cu’ a do’n vi

˙. Ta

˙p tat ca’ các

can ba˙c n cu’ a do’n vi

˙ta˙o thành mo

˙t nhóm nhân Cn trong tru’o’ng chia du’o’ng tròn

ba˙c En. Nhóm Cn có n phan tu’’ do xn − 1 tách du’o’c. Nhu’ the nhóm Cn là nhóm

cyclic (xem Bài ta˙p 0. 18). Mo

˙t phan tu’’ sinh cu’ a Cn go

˙i là can nguyên thu’ y ba

˙c

n cu’ a do’n vi˙. So các can nguyên thu’ y ba


˙bang ϕ(n) vo’i ϕ là hàm

Euler.

Me˙nh de 9.9. Tru’o’ng chia du’o’ng tròn En là mo’’ ro

˙ng do’n Galois trên F .

Nguyen Chánh Tú



Chu’ng minh. Go˙i ξn là mo

˙t can nguyên thu’ y ba


˙. Khi dó

En = F (ξn). Da thu’c xn − 1 tách du’o’c trên F nên En Galois trên F .

Cho σ ∈ Gal(En/F ). Khi dó σ ca’ m sinh mo˙t tu

˙’da’ ng cau cu’ a nhóm Cn. Do dó

σ(ξn) cung là mo˙t phan tu’’ sinh cu’ a Cn. Suy ra, ton ta

˙i duy nhat i ∈ 1, . . . , n−1,

tho’ a (i, n) = 1 de’ σ(ξn) = ξin. Nhu’ the, ta có mo

˙t ánh xa

˙tu’ Gal(F (ξn)/F ) vào

Z×n , nhóm nhân các phan tu’’ kha’ nghi

˙ch cu’ a Zn, xác di

˙nh bo’’i σ 7−→ i. De dàng

thay rang ánh xa˙

này là mo˙t do’n cau nhóm. Do dó ta có ket qua’ sau.

Me˙nh de 9.10. Ánh xa

˙tu’ Gal(F (ξn)/F ) vào Z×

n xác di˙nh bo’’i σ 7−→ i là mo

˙t do’n

cau nhóm. Suy ra nhóm Galois Gal(F (ξn)/F ) da’ng cau vo’i mo˙t nhóm con cu’ a

Z×n .

Nha˙n xét 9.11. Do’n cau nhóm Gal(F (ξn)/F ) −→ Z×

n nêu trên không nhat thietpha’ i là mo

˙t toàn cau. Ví du

˙neu F = R, nhóm Gal(R(ξn)/R) hoa

˙c là nhóm tam

thu’o’ng hoa˙c chı’ có 2 phan tu’’. Ma

˙t khác, neu F = Q và n = p, nhóm Gal(Q(ξp)/F )

có p − 1 phan tu’’, bang vo’i cap cu’ a Z×p , nên do’n cau trên là mo

˙t da’ ng cau. Ta se

thay rang dieu dó dúng vo’i mo˙i n khi F = Q.

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh nghıa.

Cho ξ1, . . . , ξϕ(n) là ϕ(n) can nguyên thu’ y ba˙c n cu’ a do’n vi

˙trong

tru’o’ng chia du’o’ng tròn ba˙c n trên F . Da thu’c chia du’o’ng tròn

thu’ n là da thu’c di˙nh bo’’i

Φn(x) =

ϕ(n)∏

i=1

(x − ξi).

Ta có các tính chat do’n gia’ n sau dây liên quan den Φ(n) :

Me˙nh de 9.12.

(i) xn − 1 =∏d|n

Φd(x).

(ii) Neu F có da˙

c so 0 và dong nhat Z vo’i a’ nh cu’ a nó trong F qua do’n cau di˙nh

bo’’i n 7→ n.1F thì Φn(x) ∈ Z[x].

(iii) Neu F có da˙

c so p và dong nhat Zp vo’i tru’o’ng con nguyên to cu’ a F thìΦn(x) ∈ Zp[x], bang vo’i da thu’c nha

˙n du’o˙’

c o’’ (ii) modulo p.

Chu’ng minh. (i) Hie’n nhiên.

Nguyen Chánh Tú



(ii) Ta chu’ng minh bang quy na˙p theo n. Neu n = 1 ket qua’ là hie’n nhiên. Ta có

xn − 1 =∏

d|nΦd(x) = Φn(x)

∏

d‖n

Φd(x).

Theo gia’ thiet quy na˙p Φd(x) ∈ Z[x], ∀ d‖n (nghıa là d là u’o’c cu’ a n và d < n).

Da˙t

G =∏

d‖n

Φd(x) ∈ Z[x].

Ta cóΦn(x) =

xn − 1

G

là thu’o’ng cu’ a hai da thu’c có he˙

tu’’ thuo˙c Z nên Φn(x) ∈ Z[x].

(iii) Hie’n nhiên tu’ chu’ng minh cu’ a (ii).

Ví du˙

29. (i) Vo’i mo˙i p nguyên to, ta có

Φp(x) = xp−1 + · · · + x + 1.

Nguyen Chánh Tú


(ii) Tu’ me˙nh de trên, ta de dàng tính du’o’c Φ(n), cha’ ng ha

˙n :

• Φ1(x) = x − 1 ;

• Φ2(x) =x2 − 1

x − 1= x + 1 ;

• Φ3(x) =x3 − 1

x − 1= x2 + x + 1 ;

• Φ4(x) =x4 − 1

(x − 1)(x + 1)= x2 + 1 ;

• Φ6(x) =x6 − 1

(x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)= x2 − x + 1 ;

• Φ8(x) =x8 − 1

(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)= x4 + 1 ;

• Φ9(x) =x9 − 1

(x − 1)(x2 + x + 1)= x6 + x3 + 1 ;

• Φ10(x) =x10 − 1

(x − 1)(x + 1)Φ5(n)= x4 − x3 + x2 − x + 1 ;

Nguyen Chánh Tú



• Φ12(x) =x12 − 1

Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ4(x)Φ6(x)= x4 − x2 + 1 ;

Nha˙n xét 9.13. De’ tính da thu’c chia du’o’ng tròn, ta có the’ dùng công thu’c da’ o

ngu’o’c Mobius sau dây. Go˙i µ : N∗ −→ N là hàm Mobius di

˙nh bo’’i :

µ(n) =

1 neu n = 1,

0 neu n chu’a mo˙t u’o’c chính phu’o’ng,

(−1)r neu n = p1 · · · pr, pi 6= pj nguyên to.

Da˙t f là hàm xác di

˙nh trên N và lay giá tri

˙trong 1 nhóm nhân aben. Cho

F (n) =∏d|n

f(d). Khi dó công thu’c da’ o ngu’o’c Mobius cho bo’’i :

f(n) =∏

d|nF (d)µ(n

d ).

Áp du˙ng cho hàm f(n) = Φn(x) có giá tri

˙trong nhóm nhân F (x)∗ và

F (n) = xn − 1. Ta có Φn(x) =∏d|n

(xd − 1)µ(nd ).

Su’’ du˙

ng Maple 5. Maple cung cap cho ta le˙nh de’ tính da thu’c chia du’o’ng tròn

nhu’ sau :

Nguyen Chánh Tú


> with(numtheory):

> cyclotomic(n,x); vo’i n là mo˙t so tu

˙’nhiên xác di

˙nh.

Ví du˙, Maple cho la

˙i ta các da thu’c chia du’o’ng tròn dã biet:

> for i to 12 do Phi[i]:=cyclotomic(i,x) od;

Φ1 := x − 1

Φ2 := x + 1

Φ3 := x2 + x + 1

Φ4 := x2 + 1

Φ5 := x4 + x3 + x2 + x + 1

Φ6 := x2 − x + 1

Φ7 := x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Φ8 := x4 + 1

Φ9 := x6 + x3 + 1

Φ10 := x4 − x3 + x2 − x + 1

Φ11 := x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Nguyen Chánh Tú



Φ12 := x4 − x2 + 1

Ta có ket qua’ do’n gia’ n sau dây :

Me˙nh de 9.14. Cho F là tru’o’ng có da

˙c so 0 hoa

˙c không chia het n. Go

˙i F (ξn) là

tru’o’ng chia du’o’ng tròn ba˙

c n trên F , vo’i ξn là mo˙t can nguyên thu’ y ba

˙c n cu’ a do’n

vi˙. Các me

˙nh de sau là tu’o’ng du’o’ng :

(i) da thu’c chia du’o’ng tròn Φn(x) bat kha’ quy trên F ;

(ii) [F (ξn) : F ] = ϕ(n) ;

(iii) do’n cau Gal(F (ξn)/F ) −→ Z×n xác di

˙nh nhu’ trong (9.10) là mo

˙t da’ng cau.

Chu’ng minh. Da thu’c toi tie’u cu’ a ξn trên F là u’o’c cu’ a Φn(x), và Φn(x) có ba˙c

là ϕ(n). Do dó Φn(x) bat kha’ quy khi và chı’ khi [F (ξn) : F ] = ϕ(n). Chú ý rangcap cu’ a Gal(F (ξn)/F ) bang vo’i [F (ξn) : F ], nên [F (ξn) : F ] = ϕ(n) khi và chı’

khi do’n cau Gal(F (ξn)/F ) −→ Z×n là da’ ng cau.

Di˙nh lí 9.15. Da thu’c chia du’o’ng tròn Φn(x) bat kha’ quy trên Q.

Nguyen Chánh Tú


Chu’ng minh. Go˙i f ∈ Z[x] là mo

˙t u’o’c bat kha’ quy cu’ a Φn(x). Ta có

Φn(x) = fg, vo’i g ∈ Z[x]. Go˙i ξn là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Rõ ràng ξn là mo

˙t

can nguyên thu’ y ba˙c n cu’ a do’n vi

˙. Ta chu’ng minh Φn(x) = f bang cách chı’ ra

rang vo’i mo˙i m nguyên to cùng nhau vo’i n thì ξm

n cung là mo˙t nghie

˙m cu’ a f . Thu

˙’c

ra, ta chı’ can chı’ ra rang vo’i mo˙i p nguyên to không chia het n, phan tu’’ ξp

n cunglà mo

˙t nghie

˙m cu’ a f .

Gia’ su’’ có p nguyên to không chia het n sao cho ξpn không pha’ i là nghie

˙m cu’ a

f . Suy ra ξpn là nghie

˙m cu’ a g. Nói cách khác ξn là nghie

˙m cu’ a g(xp). Nhu’ va

˙y ξn

là nghie˙m chung cu’ a f và g(xp). Nhu’ the (f, g(xp)) 6= 1 trong Q[x]. Go

˙i f, g(xp)

là a’ nh cu’ a f và g(xp) trong vành Zp[x]. Suy ra (f, g(xp)) 6= 1 trong Zp[x]. TrongZp[x], ta có g(xp) = g(x)

p. Nhu’ the (f, g) 6= 1 trong Zp[x]. Nói cách khác, Φn(x)

có nghie˙m bo

˙i trong tru’o’ng phân rã cu’ a nó trên Zp. Dieu này vô lí.

Nha˙n xét 9.16. Trên tru’o’ng có da

˙c so lo’n ho’n 0, da thu’c Φn(x) không nhat thiet

bat kha’ quy. Ví du˙

Φ12(x) = x4 − x2 + 1 = (x2 + 6x + 1)(x2 + 5x + 1)

Nguyen Chánh Tú



trong Z11[x].

9.3 DA GIÁC DEU DU˙’NG DU’O

˙’C BANG THU’O’C KE’ VÀ COMPA

Trong Bài 4, ta dã chu’ng minh rang neu α ∈ R du˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và compa

thì [Q(α) : Q] = 2r vo’i r ∈ N. Ngu’o’c la˙i, ta có :

Bo’ de 9.17. Cho α ∈ E ⊂ R vo’i E là mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois cu’ a Q. Neu

[E : Q] = 2r thì α du˙’

ng du’o˙’c bang thu’o’c ke’ và compa.

Chu’ng minh. Gia’ su’’ ta có [E : Q] = 2r. Go˙i G = Gal(E/Q). Ta có (G : 1) = 2r.

Ton ta˙i dây chuyen các nhóm con (A.17)

1 = G0 ⊂ G1 · · · ⊂ Gr = G

tho’ a (Gi : Gi−1) = 2, vo’i mo˙i i = 1, . . . , r. Ta có dây chuyen các tru’o’ng trung

gian tu’o’ng u’ng:E = T (G0) ⊃ T (G1) · · · ⊃ T (Gr) = Q

vo’i [T (Gi−1) : T (Gi)] = 2, vo’i mo˙i i = 1, . . . , r. Suy ra

T (Gi−1) = T (Gi)(√

d),

Nguyen Chánh Tú


vo’i d ∈ T (Gi). Do dó neu mo˙i phan tu’’ cu’ a T (Gi) du

˙’ng du’o’c thì mo

˙i phan tu’’ cu’ a

T (Gi−1) cung du˙’ng du’o’c, vo’i mo

˙i i = 1, . . . , r. Suy ra α du

˙’ng du’o’c.

Di˙nh lí 9.18. Da giác deu n ca

˙nh du

˙’ng du’o˙’

c khi và chı’ khi n = 2rp1 · · · ps vo’ip1, · · · , ps là các so nguyên to Fermat khác nhau.

Chu’ng minh. Da giác deu du˙’ng du’o’c khi và chı’ khi

ξn = e2πi/n ∈ C = R2

là mo˙t die’m du

˙’ng du’o’c. Tu’o’ng du’o’ng vo’i so α = cos(2π

n) du

˙’ng du’o’c. Ta có

α = (ξn + ξ−1n )/2. Suy ra ξ2

n − 2αξn + 1 = 0. Do dó [Q(ξn) : Q(α)] = 2.Ma

˙t khác ta biet rang Q(ξn) : Q là mo’’ ro

˙ng Galois có nhóm Galois G da’ ng cau

vo’i Z×n . Tru’o’ng trung gian Q(α) cung là mo

˙t mo’’ ro

˙ng Galois trên Q. Do dó α du

˙’ng

du’o’c khi và chı’ khi [Q(α) : Q] = ϕ(n)2

là mo˙t luy thu’a cu’ a 2. Tu’o’ng du’o’ng ϕ(n)

là mo˙t luy thu’a cu’ a 2. Dieu dó xa’ y ra khi và chı’ khi n có da

˙ng nhu’ dã chı’ ra (xem

Me˙nh de 0.22).

Nguyen Chánh Tú



9.4 DI˙NH LÍ CO’ BA’ N CU’ A DA

˙I SO

Ta se áp du˙ng Lí thuyet Galois de’ du’a ra mo

˙t chu’ng minh cho Di

˙nh lí co’ ba’ n cu’ a

da˙i so.

Di˙nh lí 9.19 (Di

˙nh lí co’ ba’ n cu’ a da

˙i so). Mo

˙i da thu’c ba

˙c lo’n ho’n 0 trên tru’o’ng

so phu’c C có mo˙t nghie

˙m trong C.

Chu’ng minh. Ta dùng 2 tính chat co’ ba’ n sau ve tru’o’ng so thu˙’c và phu’c.

Tính chat 1. Mo˙i da thu’c he

˙so thu

˙’c có ba

˙c le’ deu có mo

˙t nghie

˙m thu

˙’c. Suy ra R

không có mo˙t mo’’ ro

˙ng thu

˙’c su

˙’ba

˙c le’. Tính chat này suy ra de dàng tu’ Di

˙nh lí giá

tri˙

trung bình. Mo˙t da thu’c f(x) trên R chua’n tac ba

˙c le’ thì có giá tri

˙âm vo’i x

du’ bé và có giá tri˙

du’o’ng vo’i x du’ lo’n. Vì the f có ít nhat mo˙t nghie

˙m thu

˙’c. Vo’i

mo˙t mo’’ ro

˙ng E : R ba

˙c le’ , do E là mo’’ ro

˙ng do’n cu’ a R nên E = R(α). Go

˙i f là da

thu’c toi tie’u cu’ a α thì f bat kha’ quy và có nghie˙m trong R, nên f có ba

˙c 1. Suy ra

E = R.Tính chat 2. Mo

˙i da thu’c ba

˙c 2 trên C có nghie

˙m trong C. Tính chat này du’o’c suy

ra neu ta chı’ ra rang mo˙i so phu’c deu có mo

˙t can ba

˙c 2. Tha

˙t va

˙y, neu z = reα vo’i

Nguyen Chánh Tú


0 ≤ r ∈ R. Khi dó so phu’c a =√

reα/2 tho’ a a2 = z.

Bây gio’ ta chu’ng minh di˙nh lí. Go

˙i τ ∈ Aut(C) là phép lay liên ho’p. Cho

f ∈ C[x] có ba˙c n lo’n ho’n 0. Go

˙i f là da thu’c nha

˙n du’o’c bang tác do

˙ng τ lên các

he˙

so cu’ a f . Da thu’c ff có các he˙

so bat bien bo’’i τ nên thuo˙c vào R[x]. Do dó, de’

chu’ng minh f có nghie˙m phu’c, ta chı’ can chu’ng minh cho f ∈ R[x]. Xét n = 2mk

vo’i k le’ và m ≥ 0. Ta chu’ng minh bang quy na˙p trên m. Neu m = 0 thì n le’ ,

nên di˙nh lí du’o’c chu’ng minh. Xét m > 0. Go

˙i α1, . . . , αn là các nghie

˙m cu’ a f và

da˙t K = R(α1, . . . , αn, i). Khi dó K là mo’’ ro

˙ng Galois cu’ a R và C ⊂ K. Vo’i mo

˙i

t ∈ R, xét da thu’c :

Lt =∏

1≤i<j≤n

[x − (αi + αj + tαiαj)].

Rõ ràng, vo’i mo˙i σ ∈ Gal(K/R), khi tác do

˙ng σ∗ lên f , các nhân tu’’ cu’ a L hoán vi

˙cho nhau nên σ∗(Lt) = Lt. Nói cách khác Lt ∈ R[x]. Ba

˙c cu’ a Lt là

n(n − 1)

2= 2m−1k(2mk − 1) = 2m−1k′

vo’i k′ le’ . Do so mu cu’ a 2 nho’ ho’n m nên theo gia’ thuyet quy na˙p, da thu’c Lt có

Nguyen Chánh Tú



nghie˙m phu’c. Nhu’ the vo’i moi t ∈ R, ton ta

˙i i, j tho’ a 0 ≤ i < j ≤ n sao cho

αi + αj + tαiαj ∈ C. Do t có the’ lay vô ha˙n trong khi so ca

˙p (i, j) hu’u ha

˙n, nên

ton ta˙i s 6= r trong R và ca

˙p i, j de’

αi + αj + tαiαj, αi + αj + sαiαj ∈ C.

Suy ra (s − t)αiαj ∈ C. Nên αiαj và do dó ca’ αi + αj thuo˙c C. Nhu’ the αi và

αj là 2 nghie˙m cu’ a cùng mo

˙t da thu’c ba

˙c 2 trên C do dó thuo

˙c C. Ta có dieu pha’ i

chu’ng minh.

Bài ta˙p


˙nh de sau :

a) Mo˙i tru’o’ng hu’u ha


˙ng Galois trên tru’o’ng nguyên to cu’ a nó.

b) Có duy nhat (sai khác da’ ng cau) mo˙t tru’o’ng hu’u ha

˙n có n phan tu’’.

c) Có duy nhat (sai khác da’ ng cau) mo˙t tru’o’ng hu’u ha

˙n có pn phan tu’’ vo’i p

Nguyen Chánh Tú


nguyên to.

d) Mo˙i da thu’c bat kha’ quy ba

˙c d trên Zp deu là u’o’c cu’ a xpn − x.

e) Có hu’u ha˙n da thu’c bat kha’ quy ba

˙c n trên mo


˙n cho tru’o’c.

f) Có tru’o’ng hu’u ha˙n gom 124 phan tu’’.

g) Có tru’o’ng hu’u ha˙n mà nhóm nhân các phan tu’’ khác 0 gom 124 phan tu’’.

h) Mo˙i tru’o’ng có 121 phan tu’’ deu da’ ng cau.

i) Mo˙i tu

˙’dong cau cu’ a tru’o’ng hu’u ha

˙n deu là tu

˙’da’ ng cau.

j) Nhóm co˙ng các phan tu’’ trong tru’o’ng hu’u ha

˙n là nhóm cyclic.

k) Nhóm con hu’u ha˙n cu’ a nhóm nhân các phan tu’’ khác 0 cu’ a mo

˙t tru’o’ng hu’u

ha˙n là mo

˙t nhóm cyclic.

l) Mo˙i tru’o’ng chia du’o’ng tròn deu là mo’’ ro

˙ng Galois.

m) Nhóm Galois cu’ a tru’o’ng chia du’o’ng tròn là nhóm cyclic.

n) Nhóm Galois cu’ a tru’o’ng chia du’o’ng tròn là nhóm aben.

o) Có dúng ϕ(n) can nguyên thu’ y ba˙c n > 0 cu’ a do’n vi

˙trên tru’o’ng F có da

˙c

so không chia het n.

Nguyen Chánh Tú



p) Da thu’c chia du’o’ng tròn luôn luôn bat kha’ quy trên tru’o’ng nguyên to cu’ anó.

q) Da thu’c chia du’o’ng tròn luôn tách du’o’c.

r) Da giác deu có 22006.3.5.17.257.65537 ca˙nh du

˙’ng du’o’c bang thu’o’c ke’ và

compa.

s) Da giác deu có 30 ca˙nh du


t) Da giác deu có 18 ca˙nh du


u) Da giác deu có 14 ca˙nh du


(Xem HD 291)

9. 2 . Tìm tat ca’ da thu’c bat kha’ quy ba˙c 2, 3, 4, 5 trên tru’o’ng Z2,Z3,Z5 (có the’ su’’

du˙ng Maple). (Xem HD 291)

9. 3 . Cho f, g là 2 da thu’c bat kha’ quy cùng ba˙c trên tru’o’ng hu’u ha

˙n E. Go

˙i α, β

lan lu’o’t là nghie˙m cu’ a f và g. Chu’ng minh rang các tru’o’ng E(α) và E(β)

da’ ng cau vo’i nhau. (Xem HD 291)

Nguyen Chánh Tú


9. 4 . Chu’ng minh rang vo’i mo˙i so nguyên du’o’ng n, ton ta

˙i mo

˙t da thu’c bat kha’ quy

ba˙c n trên Fp. (Xem HD 292)

9. 5 . Chu’ng minh rang da thu’c x4 + 1 là kha’ quy trên Zp vo’i mo˙i p nguyên to.

(Xem HD 292)

9. 6 . Xác di˙nh các tu’o’ng u’ng Galois cu’ a tru’o’ng chia du’o’ng tròn Q(ξ12) trên Q.

(Xem HD 292)

9. 7 . Làm tu’o’ng tu˙’

cho Q(ξ13). (Xem HD 293)

9. 8 . Cho E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n. Chu’ng minh rang E = F (γ) khi và chı’

khi E : F chı’ có hu’u ha˙n các tru’o’ng trung gian. Suy ra mo

˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n

và tách du’o’c deu là mo’’ ro˙ng do’n. (xem Bài ta

˙p 3. 8) (Xem HD 293)

9. 9 . Ký hie˙u Fp là bao dóng da

˙i so cu’ a Fp. Chu’ng minh rang mo’’ ro

˙ng Fp(x, y) không

pha’ i là mo’’ ro˙ng do’n cu’ a Fp(x

p, yp) bang cách chı’ ra rang có vô ha˙n tru’o’ng

trung gian, (xem bài ta˙p 9. 8). (Xem HD 293)

Nguyen Chánh Tú



9. 10 . Cho F là tru’o’ng có 16 phan tu’’. Xác di˙nh so nghie

˙m trong F cu’ a các da thu’c

sau dây :

a) x3 − 1 ;

b) x4 − 1 ;

c) x15 − 1 ;

d) x17 − 1. (Xem HD 294)

9. 11 . Cho F là tru’o’ng có da˙c so khác 2. Chu’ng minh rang phu’o’ng trình x2 = −1 có

nghie˙m trong F khi và chı’ khi |F | = 4k + 1 vo’i k ∈ N. (Xem HD 294)

9. 12 . Go˙i ζ là mo


˙c 12 cu’ a do’n vi

˙trên Q. Có bao nhiêu tru’o’ng

trung gian thu˙’c su

˙’cu’ a mo’’ ro

˙ng Q(ζ3) ⊂ Q(ζ) ? (Xem HD 294)

9. 13 . Cho F là tru’o’ng có 81 phan tu’’. Xác di˙nh so nghie

˙m trong F cu’ a các da thu’c

sau :

a) x80 − 1 ;

b) x81 − 1 ;

Nguyen Chánh Tú


c) x88 − 1. (Xem HD 294)

9. 14 . Tìm da˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a da thu’c f = x4 + 1 trên F5, F25 và F125. Xác di

˙nh

tru’o’ng phân rã cu’ a f trong các tru’o’ng ho’p trên.(Xem HD 294)

Nguyen Chánh Tú

§ 10. Nhóm Galois cu’ a da thu’c 179

§ 10 NHÓM GALOIS CU’ A DA THU’C

Trong bài này, ta se tính toán nhóm Galois cu’ a mo˙t so lo’p da thu’c da

˙c bie

˙t trên

mo˙t tru’o’ng F tùy ý.

10.1 BIE˙T THU’C

Cho f = xn + a1xn−1 + · · · + a0 ∈ F [x] là mo

˙t da thu’c tách du’o’c. Go

˙i α1, . . . , αn

là tat ca’ các nghie˙m cu’ a f . Da

˙t :

Df =∏

1≤i<j≤n

(αi − αj)2

go˙i là bie

˙t thu’c cu’ a f . Kí hie

˙u

√Df =

∏

1≤i<j≤n

(αi − αj).

Chú ý rang Df 6= 0 khi và chı’ khi f không có nghie˙m bo

˙i. Go

˙i Gf là nhóm Galois

cu’ a f trên F và xem Gf là nhóm con cu’ a nhóm doi xu’ng Sn.

Bo’ de 10.1. Cho f xác di˙nh nhu’ trên và không có nghie

˙m bo

˙i. Vo’i mo

˙i σ ∈ Gf ,

Nguyen Chánh Tú


(i) σ(√

Df) = sign(σ)√

Df ;

(ii) σ(Df) = Df .

Chu’ng minh. Suy ra tru˙’c tiep tu’ di

˙nh nghıa cu’ a dong cau sign.

Me˙nh de 10.2. Cho f nhu’ trong bo’ de trên. Go

˙i Ef là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên

F . Khi dó :

(i) Bie˙t thu’c Df là mo

˙t phan tu’’ cu’ a F ;

(ii) Tru’o’ng con cu’ a Ef co di˙nh bo’’i Gf ∩An là F (

√Df), trong dó An là nhóm thay

phiên. Suy ra

Gf ⊂ An ⇐⇒√

Df ∈ F ⇐⇒ Df chính phu’o’ng trong F.

Chu’ng minh. (i) Do Df co di˙nh bo’’i mo

˙i phan tu’’ cu’ a Gf và Ef : F Galois nên

Df ∈ F .

(ii) Do f chı’ có nghie˙m do’n nên

√Df 6= 0. Tu’ bo’ de trên, ta có σ ∈ Gf co di

˙nh√

Df khi và chı’ khi σ ∈ An. Do dó Gf ∩ An chính là nhóm co di˙nh F (

√Df).

Nguyen Chánh Tú


Ví du˙

30. Cho da thu’c ba˙c hai f = x2 + bx + c ∈ F [x] tách du’o’c. Go

˙i α1, α2 là 2

nghie˙m cu’ a f . Ta có

Df = (α1 − α2)2 = (α1 − α2)

2 − 4α1α2 = b2 − 4c.

Bie˙t thu’c Df = 0 khi và chı’ khi f có nghie

˙m kép. Nhóm Galois Gf da’ ng cau vo’i

nhóm con cu’ a S2. Neu Df chính phu’o’ng trong F thì Gf = 1 = A2 và Gf = S2

neu Df không chính phu’o’ng trong F .

10.2 NHÓM GALOIS CU’ A DA THU’C BA˙C 3

Trong mu˙c này và mu

˙c (10.3) sau, de’ do’n gia’ n trong bie

˙n lua

˙n, ta gia’ thiet F có

da˙c so khác 2, 3. Khi dó mo

˙i da thu’c ba

˙c 2, 3, 4 trên F deu tách du’o’c.

Cho f = x3 + ax2 + bx + c ∈ F [x]. Thay x = y − a/3, ta có da thu’c theo y

g = y3 + py + q ∈ F [y] (3)

vo’i

p =1

3(3b − a2), q =

1

27(2a3 − 9ab + 27c).

Nguyen Chánh Tú


Rõ ràng tru’o’ng phân rã cu’ a f và g trên F là nhu’ nhau và bie˙t thu’c cu’ a chúng

cung trùng nhau. Go˙i α1, α2, α3 là 3 nghie

˙m cu’ a g. Ta có

g = (y − α1)(y − α2)(y − α3).

Da˙o hàm hình thu’c cu’ a g là :

g′ = (y − α1)(y − α2) + (y − α2)(y − α3) + (y − α1)(y − α3).

Do dó

g′(α1) = (α1 − α2)(α1 − α3)

g′(α2) = (α2 − α1)(α2 − α3)

g′(α3) = (α3 − α1)(α3 − α2).

Nhu’ the

Dg = [(α1 − α2)(α1 − α3)(α2 − α3]2 = −g′(α1)g

′(α2)g′(α3).

Nguyen Chánh Tú


Ma˙t khác, tu’ (3), ta có g′ = 3y2 + p. Do dó

−Dg = (3α21 + p)(3α2

2 + p)(3α23 + p)

= 27α21α

22α

23 + 9p(α2

1α22 + α2

1α23 + α2

2α23)

+3p2(α21 + α2

2 + α23) + p3.

Bie’u dien Dg qua các da thu’c doi xu’ng so’ cap s1, s2, s3 cu’ a α1, α2, α3 vo’i chú ýrang s1 = 0, s2 = p, s3 = −q, ta có

Dg = −4p3 − 27q2.

Do Dg cung là bie˙t thu’c cu’ a f , bie’u dien Dg theo các he

˙tu’’ cu’ a f , ta có

Df = a2b2 − 4b3 − 4a3c − 27c2 + 18abc. (4)

Neu f kha’ quy trên F thì nhóm Galois Gf cu’ a nó trùng vo’i nhóm Galois cu’ amo

˙t da thu’c ba

˙c 2 trên F . Ta chı’ can xét khi f bat kha’ quy trên F . Khi dó

(Gf : 1) ≥ 3 do dó Gf da’ ng cau vo’i A3 hoa˙c vo’i S3. Neu Df chính phu’o’ng

trong F thì do Gf ⊂ A3, suy ra Gf = A3. Khi dó tru’o’ng phân rã Eg = F (αi) vo’ii ∈ 1, 2, 3. Neu Df không chính phu’o’ng trong F thì Gf = S3 vàEf = F (αi,

√Df) vo’i i ∈ 1, 2, 3.

Nguyen Chánh Tú


Ví du˙

31. Cho da thu’c g = x3 − 4x + 2 ∈ Q[x]. Rõ ràng g bat kha’ quy và bie˙t

thu’c Dg = 4.43 − 27.22 = 4.37 không chính phu’o’ng trong Q. Do dó nhóm Galoiscu’ a g là S3. Tru’o’ng phân rã cu’ a g trên Q là Q(

√37, α) vo’i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a g.

Ví du˙

32. Cho f = x3 − 6x2 + 9x − 1 ∈ Q[x]. De dàng kie’m tra f bat kha’ quytrên Q. Bie

˙t thu’c Df = 81 = 92. Do dó nhóm Galois cu’ a f là A3. Tru’o’ng phân

rã cu’ a f là Q(α) vo’i α là mo˙t nghie

˙m cu’ a f . Su’’ du

˙ng Maple, ta de dàng tìm du’o’c

da˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a f trong Q(α) là

f = (x − 4 + 4α − α2)(x − 2 − 3α + α2)(x − α).

10.3 DA THU’C BA˙C 4

Cho da thu’c f = x4 + ax3 + bx2 + cx + d ∈ F [x]. Bang cách thay x = y − a/4,ta có da thu’c theo y

g = y4 + py2 + qy + r ∈ F [y],

Nguyen Chánh Tú


vo’i

p =1

8(−3a2 + 8b) ;

q =1

8(a3 − 4ab + 8c) ;

r =1

256(−3a4 + 16a2b − 64ac + 256d).

Go˙i các nghie

˙m cu’ a g là α1, α2, α3 và α4. Go

˙i G là nhóm Galois cu’ a g (cung là cu’ a

f ). Neu g là tích cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c 1 và ba

˙c 3 trên F thì nhóm G da’ ng cau vo’i

nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c 3 dã xác di

˙nh o’’ trên. Neu g là tích cu’ a 2 da thu’c

bat kha’ quy ba˙c 2 trên F thì tru’o’ng phân rã Eg cu’ a g trên F là F (

√d1,

√d2) vo’i

d1, d2 ∈ F ∗. Neu d1 = a2d2 vo’i a ∈ F thì Eg là mo’’ ro˙ng ba

˙c 2 trên F và G ∼= Z2.

Neu không thì G ∼= Z2 × Z2.

Bây gio’, ta xét tru’o’ng ho’p g bat kha’ quy trên F . Khi dó, ta biet rang, vo’i 2nghie

˙m tùy ý αi, αj cho tru’o’c cu’ a g, ton ta

˙i mo

˙t phan tu’’ σ ∈ G bien αi thành αj

Nguyen Chánh Tú


(xem 5.5). Nhu’ng nhóm con cu’ a S4 tho’ a mãn tính chat dó là :

S4 ;

A4 ;

D8 = 1, (1324), (12)(34), (1423), (13)(24), (14)(23), (12), (34)và các nhóm con liên ho’p σ−1D8σ cu’ a D8 (xem Phu

˙lu˙c A) ;

V = 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) ;

C4 = 1, (1234), (13)(24), (1432) và các nhóm con liên ho’pσ−1C4σ cu’ a C4.

Nhóm Galois G se da’ ng cau vo’i mo˙t trong các nhóm trên. Da

˙t

θ1 = (α1 + α2)(α3 + α4)

θ2 = (α1 + α3)(α2 + α4)

θ3 = (α1 + α4)(α2 + α3).

Ta cóθ1 + θ2 + θ3 = 2p

θ1θ2 + θ1θ3 + θ2θ3 = p2 − 4r

θ1θ2θ3 = −q2.

Nguyen Chánh Tú


Suy ra θ1, θ2 và θ3 là 3 nghie˙m cu’ a

h(X) = X3 − 2pX2 + (p2 − 4r)X + q2. (5)

Da thu’c (5) go˙i là gia’ i thu’c ba

˙c 3 cu’ a g. Chú ý rang

θ1 − θ2 = α1α3 + α2α4 − α1α2 − α3α4

= −(α1 − α4)(α2 − α3).

Tu’o’ng tu˙’

ta có :θ1 − θ3 = −(α1 − α3)(α2 − α4)

θ2 − θ3 = −(α1 − α2)(α3 − α4).

Suy ra bie˙t thu’c cu’ a gia’ i thu’c (5) trùng vo’i bie

˙t thu’c cu’ a g (do dó trùng vo’i bie

˙t

thu’c cu’ a f ). Tu’ công thu’c tính bie˙t thu’c (4), ta có bie

˙t thu’c cu’ a gia’ i thu’c (5) là :

Dh = 16p4r − 128p2r2 + 256r3 − 4p3q2 − 27q4 + 144pq2r. (6)

Thay các giá tri˙

cu’ a p, q, r trong (6), ta có

Df = −6a2c2d + b2a2c2 + 144a2bd2 − 4a2b3d + 144bdc2

+18abc3 − 192acd2 + 16b4d − 128b2d2 − 80b2acd

+18a3bcd − 27a4d2 + 256d3 − 4a3c3 − 4b3c2 − 27c4.

Nguyen Chánh Tú


Su’’ du˙

ng Maple 6. Trong Maple, ta de dàng tính du’o’c bie˙t thu’c cu’ a mo

˙t da thu’c

tùy ý vo’i le˙nh :

>discrim(f,x);

Ví du˙, bie

˙t thu’c cu’ a f = x4 + ax3 + bx2 + cx + d có the’ tính tru

˙’c tiep bang le

˙nh :

>discrim(x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d,x);

−6a2c2d + b2a2c2 + 144a2bd2 − 4a2b3d + 144bdc2

+18abc3 − 192acd2 + 16b4d − 128b2d2 − 80b2acd

+18a3bcd − 27a4d2 + 256d3 − 4a3c3 − 4b3c2 − 27c4

Tru’o’ng phân rã cu’ a gia’ i thu’c h(X) chu’a trong tru’o’ng phân rã cu’ a f . Do dónhóm Galois cu’ a h là nhóm thu’o’ng cu’ a G. Ta có các tru’o’ng ho’p nhu’ sau :

• Neu h bat kha’ quy và Df không chính phu’o’ng trong F . Khi dó G không chu’atrong A4 và nhóm Galois cu’ a h da’ ng cau vo’i S3. Do dó cap cu’ a G chia het cho6. Suy ra G = S4.

• Neu h bat kha’ quy và Df chính phu’o’ng trong F . Khi dó G ⊂ A4 và nhómGalois cu’ a h da’ ng cau vo’i A3. Suy ra G có cap chia het cho 3. Suy ra G = A4.

Nguyen Chánh Tú


• Neu h kha’ quy và phân rã thành 3 nhân tu’’ tuyen tính trong F [X]. Khi dóθ1, θ2 và θ3 thuo

˙c F . Do dó mo

˙i phan tu’’ G pha’ i co di

˙nh chúng. Suy ra G ⊂ V .

Vì g bat kha’ quy nên G = V .

• Neu h phân tích thành 1 da thu’c ba˙c 2 và mo

˙t da thu’c ba

˙c nhat trong F [X].

Khi dó có dúng 1 phan tu’’ trong θ1, θ2, θ3 thuo˙c F . Ta có the’ gia’ thiet θ1 ∈ F .

Nhu’ the mo˙i phan tu’’ cu’ a G co di

˙nh θ1 nhu’ng không co di

˙nh θ2 và θ3. Suy ra

G ⊂ D8 và G * V . Nhu’ the G = D8 hay G = C4. Chú ý rang F (√

Df) làtru’o’ng co di

˙nh bo’’i G ∩ A4. Ta có D8 ∩ A4 = V và C4 ∩ A4 = 1, (13)(24).

Chú ý rang G ∩ A4 là nhóm Galois cu’ a g trên F (√

Df). Do dó neu g bat kha’

quy trên F (√

Df) thì G ∩ A4 có cap không nho’ ho’n 4, do dó G = D8. Ngu’o’cla˙i, neu g kha’ quy trên F (

√Df) thì G = C4.

Ví du˙

33. Cho da thu’c f = x4 +5x2 +5x − 5. Rõ ràng f bat kha’ quy trên Q. Gia’ ithu’c cu’ a f là h = x3 − 10x2 + 45x + 25 bat kha’ quy trên Q. Ho’n the bie

˙t thu’c

cu’ a f là −281375 không chính phu’o’ng. Do dó nhóm Galois cu’ a f là S4.

Ví du˙

34. Cho da thu’c f = x4 − 5x2 − 4 ∈ Q[x]. Kie’m tra f bat kha’ quy trên Q.

Nguyen Chánh Tú

190 ChU’O’ng 2. LÍ THUYET GALOIS

Gia’ i thu’c cu’ a f là

h(x) = x3 + 10x2 + 41x = x(x2 + 10x + 41)

kha’ quy trên Q. Ma˙t khác bie

˙t thu’c cu’ a f là −107584 = −3282 không chính

phu’o’ng. Có the’ tính tru˙’c tiep nghie

˙m cu’ a f và thay rang f không kha’ quy trên

Q(i). Do dó nhóm Galois cu’ a f da’ ng cau vo’i D8.

Su’’ du˙

ng Maple 7. Trong Maple, ta có the’ tính tru˙’c tiep nhóm Galois cu’ a mo

˙t da

thu’c bat kha’ quy có ba˙c không quá 9 trên Q. Cú pháp nhu’ ví du

˙sau dây :

> restart;

> f:=x^4-5*x^2-4;

f := x4 − 5 x2 − 4

> galois(f);

“4T3”, “D(4)”, “-”, 8, “(1 3)”, “(1 2 3 4)”Ket qua’ tính toán cu’ a Maple cho thay nhóm Galois cu’ a x4 − 5x2 − 4 da’ ng cau

vo’i nhóm D8, có 8 phan tu’’ và sinh bo’’i các phép the (1 3) và (1 2 3 4) nhu’ nhómcon cu’ a nhóm S4 (trong Maple kí hie

˙u D(n) cho nhóm doi xu’ng cu’ a n−giác deu).

Nguyen Chánh Tú


10.4 DA THU’C TO’ NG QUÁT

Trong mu˙c này, ta se xét lo’p da

˙c bie

˙t các da thu’c go

˙i là da thu’c to’ng quát và chu’ng

minh rang nhóm Galois cu’ a chúng da’ ng cau vo’i nhóm doi xu’ng.

Di˙nh nghıa.

Mo˙t mo’’ ro

˙ng E cu’ a F go

˙i là hu’u ha

˙n sinh neu

E = F (α1, . . . , αn).

Di˙nh nghıa.

Cho E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng tru’o’ng và t1, . . . , tn ∈ E. Các phan tu’’

t1, . . . , tn go˙i là do

˙c la

˙p da

˙i so trên F neu không ton ta

˙i da thu’c

f ∈ F [x1, . . . , xn] khác 0 sao cho f(t1, . . . , tn) = 0. Chú ý rang,khi dó các phan tu’’ t1, . . . , tn là siêu vie

˙t trên F .

Ví du˙

35. Trong mo’’ ro˙ng Q(x, y) : Q các phan tu’’ siêu vie

˙t x, y là do

˙c la

˙p da

˙i so

trên Q, trong khi x và x2 không do˙c la

˙p da

˙i so.


˙ng hu’u ha

˙n sinh. Khi dó ton ta

˙i mo

˙t tru’o’ng

trung gian M sao cho :

(i) M = F (α1, . . . , αr) vo’i α1, . . . , αr do˙c la

˙p da

˙i so trên F ,

(ii) E : M là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n.

Nguyen Chánh Tú


Chu’ng minh. Go˙i E = F (β1, . . . , βn). Neu tat ca’ β1, . . . , βn da

˙i so trên F thì

lay M = F . Neu ton ta˙i βi siêu vie

˙t trên F thì ký hie

˙u nó là α1. Neu E : F (α1)

không hu’u ha˙n thì ton ta

˙i βj siêu vie

˙t trên F (α1). Da

˙t α2 = βj. Tiep tu

˙c nhu’

va˙y cho den khi tìm du’o’c F (α1, . . . , αr) ⊂ E là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n. Khi dó da

˙t

M = F (α1, . . . , αr).

Bo’ de 10.4 (Stienitz). Vo’i các kí hie˙u nhu’ trong bo’ de trên, neu ton ta

˙i mo

˙t tru’o’ng

trung gian N = F (γ1, . . . , γs) khác sao cho γ1, . . . , γs do˙c la

˙p da

˙i so trên F và

E : N hu’u ha˙

n thì r = s. So r xác di˙nh nhu’ the du’o˙’

c go˙i là ba

˙c siêu vie

˙t cu’ a mo’’

ro˙ng tru’o’ng.

Chu’ng minh. Do E : M là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n, ta có γ1 da

˙i so trên

M = F (α1, . . . , αr). Do dó ton ta˙i da thu’c f ∈ F [x0, . . . , xr] khác 0 sao cho

f(γ1, α1, . . . , αr) = 0. (7)

Không mat tính to’ng quát, gia’ su’’ α1 xuat hie˙n trong bie’u dien (7). Nhu’ the α1 da

˙i

so trên F (γ1, α2, . . . , αr) và E : F (γ1, α2, . . . , αr) là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n. Neu s > r

thì tiep tu˙c quá trình trên, các αi du’o’c thay bo’’i γi và mo’’ ro

˙ng E : F (γ1, . . . , γr)

Nguyen Chánh Tú


hu’u ha˙n. Tuy nhiên dieu dó kéo theo γr+1 da

˙i so trên F (γ1, . . . , γr), vô lí. Va

˙y

s ≤ r. Tu’o’ng tu˙’, thay do’i vai trò cu’ a s và r, ta có r ≤ s. Va

˙y r = s.

Nha˙n xét 10.5. Bang qui na

˙p ta de dàng chu’ng minh rang neu t1, . . . , tn do

˙c la

˙p

da˙i so trên F thì F (t1, . . . , tn) da’ ng cau vo’i tru’o’ng các phân thu’c hu’u ty’ r bien

F (x1, . . . , xn).

Cho F là mo˙t tru’o’ng và t1, . . . , tn là các phan tu’’ do

˙c la

˙p da

˙i so trên F . Xét

E := F (t1, . . . , tn)

=

P (t1,...,tn)Q(t1,...,tn)

| P, Q ∈ F [t1, . . . , tn], Q 6= 0

.

Moi σ ∈ Sr xác di˙nh mo

˙t F -tu

˙’da’ ng cau cu’ a E di

˙nh bo’’i :

P (t1, . . . , tn)

Q(t1, . . . , tn)7→ P

(σ(t1), . . . , σ(tn)

)

Q(σ(t1), . . . , σ(tn)

).

Tu’o’ng u’ng trên là mo˙t do’n cau tu’ Sn vào Aut(E/F ). Xem Sn nhu’ mo

˙t nhóm

con cu’ a Aut(E/F ). Ký hie˙u N là tru’o’ng con co di

˙nh bo’’i Sn. Rõ ràng N chu’a các

da thu’c doi xu’ng, da˙c bie

˙t chu’a các da thu’c doi xu’ng so’ cap s1, . . . , sn. Nhac la

˙i,

Nguyen Chánh Tú


các da thu’c doi xu’ng so’ cap du’o’c di˙nh nghıa nhu’ sau :

s1 = t1 + · · · + tn ;

s2 =∑

1≤i<j≤n

titj = t1t2 + · · · + tn−1tn ;

s3 =∑

1≤i<j<k≤n

titjtk ;

· · ·sn = t1 · · · tn.

Ta có ket qua’ sau :

Di˙nh lí 10.6. N = F (s1, . . . , sn).

Chu’ng minh. Ta có [F (t1, · · · , tn) : N ] = (Sn : 1) = n! theo Di˙nh lí Artin. Ta

chu’ng minh rang[F (t1, · · · , tn) : F (s1, · · · , sn)] ≤ n!

và tu’ nha˙n xét F (s1, · · · , sn) ⊂ N , suy ra dieu pha’ i chu’ng minh.

Xét các mo’’ ro˙ng:

F (s1, · · · , sn) ⊂ F (s1, · · · , sn, tn) ⊂ F (t1, · · · , tn).

Nguyen Chánh Tú


Ta có tn là nghie˙m cu’ a

Xn − s1Xn−1 + · · · + (−1)nsn ∈ F (s1, · · · , sn)[X].

Do dó [F (s1, · · · , sn, tn) : F (s1, · · · , sn)] ≤ n.Go

˙i s′

1, . . . , s′n−1 là các da thu’c doi xu’ng so’ cap cu’ a các bien t1, . . . , tn−1. Rõ ràng

sj = s′j−1tn + s′

j vo’i mo˙i 1 ≤ j ≤ n. Do dó

F (s1, . . . , sn, tn) = F (s′1, . . . , s′

n−1, tn).

Bang quy na˙p, ta có

[F (t1, . . . , tn) : F (s1, . . . , sn, tn)]

= [F (tn)(t1, . . . , tn−1) : F (tn)(s′1, . . . , s′

n−1)] ≤ (n − 1)!

và suy ra dieu pha’ i chu’ng minh.

Me˙nh de 10.7. Vo’i các kí hie

˙u nhu’ trên, các phan tu’’ s1, . . . , sn là do

˙c la

˙p da

˙i so

trên F .

Chu’ng minh. Do [F (t1, . . . , tn) : F (s1, . . . , sn)] = n! nên ba˙c siêu vie

˙t cu’ a

chúng trên F là nhu’ nhau. Do dó s1, . . . , sn do˙c la

˙p da

˙i so trên F .

Nguyen Chánh Tú


Di˙nh nghıa.

Cho F là mo˙t tru’o’ng và s1, . . . , sn là các phan tu’’ do

˙c la

˙p da

˙i so

trên F . Da thu’c

g = tn − s1tn−1 + · · · + (−1)nsn ∈ F (s1, . . . , sn)[t] (8)

go˙i là da thu’c to’ng quát ba

˙c n trên F .

Di˙nh lí 10.8. Cho F là mo

˙t tru’o’ng và g là da thu’c to’ng quát (8) trên F . Go

˙i Eg là

tru’o’ng phân rã cu’ a g trên F (s1, . . . , sn). Khi dó các nghie˙m t1, . . . , tn cu’ a g do

˙c

la˙

p da˙

i so trên F và nhóm Galois cu’ a Eg : F (s1, . . . , sn) là Sn.

Chu’ng minh. Ta có Eg = F (t1, . . . , tn). Do Eg : F (s1, . . . , sn) là mo’’ ro˙ng hu’u

ha˙n nên ba

˙c siêu vie

˙t cu’ a Eg trên F bang vo’i ba

˙c siêu vie

˙t cu’ a F (s1, . . . , sn) trên

F , tu’c bang n. Suy ra da thu’c (8) tách du’o’c nên mo’’ ro˙ng Eg : F (s1, . . . , sn) là mo’’

ro˙ng Galois. Ma

˙t khác, các phan tu’’ t1, . . . , tn là do

˙c la

˙p da

˙i so và s1, . . . , sn là các

da thu’c doi xu’ng so’ cap cu’ a chúng. Theo Di˙nh lí 10.6 và tu’o’ng u’ng Galois, nhóm

Galois cu’ a mo’’ ro˙ng Eg : F (s1, . . . , sn) chính là Sn.

Nguyen Chánh Tú


Bài ta˙p


˙nh de sau :

a) Bie˙t thu’c cu’ a mo

˙t da thu’c f ∈ F [x] là mo

˙t phan tu’’ cu’ a F .

b) Nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c n > 0 là mo

˙t nhóm con cu’ a Sn.

c) Nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c 2 tách du’o’c trên F là mo

˙t nhóm cyclic.

d) Nhóm Galois cu’ a da thu’c ba˙c 3 kha’ quy, tách du’o’c trên F là mo

˙t nhóm

cyclic.

e) Nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c 3 tách du’o’c có bie

˙t thu’c chính phu’o’ng là

mo˙t nhóm cyclic.

f) Nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c 3 tách du’o’c có bie

˙t thu’c không chính

phu’o’ng da’ ng cau vo’i S3.

g) Nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c ba

˙c 3 bat kha’ quy, tách du’o’c có bie

˙t thu’c

không chính phu’o’ng da’ ng cau vo’i S3.

Nguyen Chánh Tú


h) Ton ta˙i da thu’c ba

˙c 4 trên Q có nhóm Galois da’ ng cau vo’i mo

˙t nhóm con

cu’ a S4.

i) Ton ta˙i mo

˙t da thu’c ba

˙c 3 bat kha’ quy trên Q có 3 nghie

˙m thu

˙’c.

j) Mo˙t da thu’c ba

˙c 3 trên Q có nhóm Galois da’ ng cau vo’i A3 thì có 3 nghie

˙m

thu˙’c.

k) Bie˙t thu’c cu’ a da thu’c ba

˙c 4 và cu’ a gia’ i thu’c ba

˙c 3 cu’ a nó là nhu’ nhau.

l) Da thu’c to’ng quát ba˙c n trên F có các he

˙tu’’ thuo

˙c F .

m) Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n sinh deu là mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n.

n) Mo˙i mo’’ ro

˙ng da

˙i so, hu’u ha


˙ng hu’u ha

˙n.

o) Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha


˙ng da

˙i so.

p) Các phan tu’’ do˙c la

˙p da

˙i so trên F thì siêu vie

˙t trên F .

q) Các phan tu’’ siêu vie˙t trên F thì do

˙c la

˙p da

˙i so. (Xem HD 295)

10. 2 . Hãy tìm da˙ng nhân tu’’ hóa cu’ a da thu’c f = x3 − 4x + 2 ∈ Q[x] (xem Ví du

˙31) trong Q(α,

√37) bang Maple, vo’i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . (Xem HD 295)

Nguyen Chánh Tú


10. 3 . Xác di˙nh nhóm Galois cu’ a các da thu’c sau dây trên tru’o’ng Q :

a) −x3 − 3x2 + 4x − 1 ; b) x3 + 2x2 − 2x − 2 ;c) 7x3 + 10x2 + 5x + 1 ; d) x3 + x − 1 ;e) x3 − 2x − 2 ; f) 3x3 − 3x + 1 ;g) x3 − 3x + 1 ; h) x3 + 2x2 − 2x − 2 . (Xem HD 295)

10. 4 . Xác di˙nh nhóm Galois cu’ a các da thu’c sau dây trên tru’o’ng Q.

a) x4 − x2 + 4x + 5 ; b) x4 + x2 + 3x + 5 ;c) x4 + 3x + 1 ; d) x4 − 4x2 − 4x − 2 ;e) x4 − 4x − 2 ; f) x4 + 2x2 − 4 ;g) x4 − x3 − 3x + 4 ; h) x4 + 2x3 + 2x2 − 4x + 2 ;i) x4 − 4x3 + 5x2 − 2x + 1 ; j) x4 + 2x2 + 4. (Xem HD 296)

10. 5 . Có the’ nói gì ve nhóm Galois cu’ a da thu’c f = x4 + ax2 + b ∈ F [x] bat kha’

quy và F có da˙c so khác 2, 3 ? (Xem HD 298)

10. 6 . Cho f ∈ F [x] bat kha’ quy và F là tru’o’ng có da˙c so khác 2,3. Go

˙i h là gia’ i thu’c

ba˙c 3 cu’ a f và M là tru’o’ng phân rã cu’ a h trên F . Kí hie

˙u Df là bie

˙t thu’c cu’ a

Nguyen Chánh Tú


f và Gf là nhóm Galois cu’ a f . Chu’ng minh rang :

a) Gf = S4 khi và chı’ khi h bat kha’ quy trên F và Df không chính phu’o’ngtrong F ;

b) Gf = A4 khi và chı’ khi h bat kha’ quy trên F và Df chính phu’o’ng trongF ;

c) Gf = D8 khi và chı’ khi h kha’ quy trên F, Df không chính phu’o’ng trongF và f bat kha’ quy trên M ;

d) Gf = V khi và chı’ khi h kha’ quy và Df chính phu’o’ng trong F ;

e) Gf = C4 khi và chı’ khi h kha’ quy trên F, Df không chính phu’o’ng trongF và f kha’ quy trên M . (Xem HD 298)

10. 7 . Cho F là tru’o’ng hu’u ha˙n và f = x3 + ax + b ∈ F [x]. Chu’ng minh rang neu

f bat kha’ quy trên F thì −4a3 − 27b2 chính phu’o’ng trong F . (Xem HD 298)

Nguyen Chánh Tú

§ 11. Tiêu chua’n gia’ i du’o˙’c bang can thu’c cu’ a da thu’c 201

§ 11 TIÊU CHUA’N GIA’ I DU’O˙’C BANG CAN THU’C CU’ A DA THU’C

11.1 MO’’ RO˙

NG CAN VÀ TIÊU CHUA’ N GIA’ I DU’O˙’C

Ta biet rang các nghie˙m cu’ a da thu’c f = x2 + px + q ∈ Q[x] là

−p ±√

p2 − 4q

2nam trong mo’’ ro

˙ng tru’o’ng Q(

√∆) vo’i ∆ = p2 − 4q.

Cho da thu’c ba˙c ba g = x3 + px + q ∈ Q[x]. Nghie

˙m cu’ a g cho bo’’i công thu’c

Cardano. (Ta se kie’m chu’ng công thu’c Cardano o’’ phan cuoi cu’ a tiet này).

α =3

√−q

2+

√(q

2

)2

+(p

3

)3

+3

√−q

2−

√(q

2

)2

+(p

3

)3

.

Xét các mo’’ ro˙ng Q = E0 ⊂ E1 ⊂ E2 ⊂ E3, trong dó:

• E1 := E0(α1) vo’i α21 =

(q

2

)2

+(p

3

)3

∈ E0 ;

• E2 := E1(α2) vo’i α32 = −q

2+ α1 ∈ E1 ;

• E3 := E2(α3) = E(α1, α2, α3) vo’i α33 = −α3

2 − q ∈ K2.

Nguyen Chánh Tú


Khi dó α = α2 + α3 ∈ E3. Ta nói rang E3 : Q là mo˙t mo’’ ro

˙ng can. Ta có di

˙nh

nghıa sau dây :

Di˙nh nghıa.

Mo˙t mo’’ ro

˙ng F ⊂ E go

˙i là mo

˙t mo’’ ro

˙ng can neu

E = F (α1, . . . , αm) sao cho vo’i mo˙i i = 1, . . . , m ton ta

˙i ni

tho’ a αnii ∈ F (α1, . . . , αi−1). Khi dó ta cung nói E là mo

˙t mo’’

ro˙ng can cu’ a F . Ta nói các phan tu’’ αi ta

˙o ra mo

˙t chuoi can cho

mo’’ ro˙ng F ⊂ E.

Di˙nh nghıa. Mo

˙t phan tu’’ α thuo

˙c vào mo

˙t mo’’ ro

˙ng can E : F thì go

˙i là bie’u

dien du’o’c bang can thu’c (trên F ).

Di˙nh nghıa. Mo

˙t da thu’c f trên F du’o’c go

˙i là gia’ i du’o’c bang can thu’c (trên

F ) neu tru’o’ng phân rã cu’ a f nam trong mo˙t mo’’ ro

˙ng can cu’ a F .

Nhu’ the, mo˙t da thu’c gia’ i du’o’c bang can thu’c trên F neu mo

˙i nghie

˙m cu’ a nó

du’o’c bie’u dien qua hu’u ha˙n các phép toán co

˙ng, tru’, nhân, chia và lay can các

phan tu’’ cu’ a F . Khi dó ta cung nói các nghie˙m cu’ a f là nghie

˙m can thu’c trên F .

Ta nhac la˙i ket qua’ dã biet trong § 9.

Nguyen Chánh Tú


Bo’ de 11.1. Cho f = xn −1 ∈ F [x] vo’i n không chia het cho da˙

c so cu’ a F . Go˙i Ef

là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F . Khi dó Ef : F là mo’’ ro˙ng Galois và Gal(Ef/F )

là mo˙t nhóm aben.

Chu’ng minh. Xem Me˙nh de 9.10

Di˙nh nghıa.

Mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois E : F go

˙i là mo’’ ro

˙ng aben (cyclic) neu nhóm

Gal(E/F ) là nhóm aben (cyclic).

Ket qua’ trên cho thay rang mo˙i tru’o’ng chia du’o’ng tròn là mo

˙t mo’’ ro

˙ng aben.

Bo’ de 11.2. Cho 0 6= n ∈ N, cho F là tru’o’ng có da˙

c so không chia het n và F chu’amo



˙. Cho a ∈ F và E là tru’o’ng phân rã cu’ a da

thu’c xn − a trên F . Khi dó nhóm Galois cu’ a E : F là mo˙t nhóm cyclic có cap là

u’o’c cu’ a n.

Chu’ng minh. Go˙i ξn ∈ F là mo



˙. Go

˙i α là mo

˙t

nghie˙m cu’ a xn − a. Khi dó tat ca’ các nghie

˙m cu’ a xn − a là ξi

nα vo’i i = 1, . . . , n.Nhu’ the tru’o’ng phân rã cu’ a xn − a trên F là E = F (α). Go

˙i Cn ⊂ E là nhóm

Nguyen Chánh Tú


cyclic các can ba˙c n cu’ a do’n vi

˙. Xét dong cau

ψ : Gal(F (α)/F ) −→ Cn

σ 7→ σ(α)

α.

De dàng thay rang ψ là do’n cau, do dó Gal(E/F ) là nhóm cyclic có cap là u’o’c cu’ an.

Di˙nh nghıa.

Cho E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so. Mo

˙t bao dóng chua’n tac cu’ a

E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng N cu’ a E sao cho :

• N : F là mo’’ ro˙ng chua’n tac;

• Neu E ⊂ M ⊂ N và M : F chua’n tac thì M = N .

Có the’ nói bao dóng chua’n tac N chính là mo’’ ro˙ng chua’n tac nho’ nhat cu’ a F

chu’a E.

Bo’ de 11.3. Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n deu ton ta

˙i duy nhat (sai khác da’ng cau) mo

˙t

bao dóng chua’n tac.

Nguyen Chánh Tú


Chu’ng minh. Go˙i α1, . . . , αr là mo

˙t co’ so’’ cu’ a E : F . Lay N là tru’o’ng phân rã

cu’ a∏r

1 mi trên F vo’i mi là da thu’c toi tie’u cu’ a αi vo’i i = 1, . . . , r. Rõ ràng N : F

là mo’’ ro˙ng chua’n tac và E ⊂ N . Neu có E ⊂ M sao cho M : F chua’n tac, khi dó∏r

1 mi phân rã trong M nên N ⊂ M . Suy ra neu M là mo˙t bao dóng chua’n tac

cu’ a E : F thì M ∼= N .

Ví du˙

36. Bao dóng chua’n tac cu’ a mo˙t mo’’ ro

˙ng hu’u ha

˙n, tách du’o’c là mo

˙t mo’’ ro

˙ng

Galois.

Ví du˙

37. Cho E : F là mo˙t mo’’ ro

˙ng Galois và M là mo

˙t tru’o’ng trung gian cu’ a

mo’’ ro˙ng. Khi dó bao dóng chua’n tac cu’ a M là tru’o’ng ho’p thành cu’ a σM , vo’i mo

˙i

σ ∈ G, tu’c là∏

σ∈G

σM (xem Nha˙n xét 8.2).

Di˙nh lí 11.4. Neu da thu’c f gia’ i du’o˙’

c bang can thu’c trên tru’o’ng F có da˙

c so 0 thìnhóm Galois cu’ a f là nhóm gia’ i du’o˙’

c.

Chu’ng minh. Do f gia’ i du’o’c bang can thu’c trên F nên ton ta˙i chuoi các mo’’ ro

˙ng

F = E0 ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ Em

Nguyen Chánh Tú


sao cho Ei = Ei−1(αi) tho’ a αnii ∈ Ei−1, ∀i = 1, . . . , m và Em chu’a tru’o’ng phân

rã cu’ a f . Da˙t n = n1 · · · nm. Go

˙i Ω là mo

˙t mo’’ ro

˙ng Galois cu’ a F chu’a Em và chu’a

mo˙t can nguyên thu’ y ξn cu’ a do’n vi

˙. (Mo

˙t mo’’ ro

˙ng Ω nhu’ the ton ta

˙i. Cha’ ng ha

˙n,

bie’u dien Em = F (γ), go˙i g ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a γ. Lay Ω là tru’o’ng

phân rã cu’ a g(xn − 1) trên F ).Go

˙i G = σ1, . . . , σr là nhóm Galois cu’ a Ω : F và K ⊂ Ω là bao dóng chua’n

tac cu’ a Em(ξn) : F . Khi dó (xem Ví du˙

37), ta có K là tru’o’ng ho’p thành cu’ aσiEm(ξn) vo’i mo

˙i σi ∈ G. Nhu’ the K là tru’o’ng sinh bo’’i

ξn, α1, . . . , αm, σ1α1, . . . , σ2α1, . . . , σrα1, . . .

trên F . Ghép thêm các phan tu’’ cu’ a dãy trên vào F theo thu’ tu˙’, ta có chuoi các mo’’

ro˙ng tru’o’ng

F ⊂ F (ξn) ⊂ F (ξn, α1) ⊂ . . . ⊂ L ⊂ L′ ⊂ · · · ⊂ K.

Ta nha˙n thay rang moi mo’’ ro

˙ng L ⊂ L′ cu’ a chuoi trên tho’ a mãn L′ du’o’c sinh ra

trên L bo’’i mo˙t phan tu’’ βi tho’ a βr

i ∈ L, vo’ir ∈ n1, . . . , nm, n. Do dó theo (11.1)và (11.2), chúng là các mo’’ ro

˙ng aben. Theo tu’o’ng u’ng Galois, chuoi các mo’’ ro

˙ng

Nguyen Chánh Tú


trên u’ng vo’i chuoi các nhóm con cu’ a nhóm Galois G′ = Gal(K/F )

1 = G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gt = G′

sao cho Gi C Gi+1 và Gi+1/Gi aben. Do dó G′ là nhóm gia’ i du’o’c. Xét các mo’’ ro˙ng

F ⊂ Ef ⊂ K vo’i Ef là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F . Vì nhóm Galois cu’ a f lànhóm thu’o’ng cu’ a G′, theo tính chat cu’ a nhóm gia’ i du’o’c (A.4), nhóm Gf cung gia’ idu’o’c.

De’ chu’ng minh dieu ngu’o’c la˙i cu’ a di

˙nh lí trên, ta can mo

˙t so bo’ de nhu’ sau :

Bo’ de 11.5. Cho f ∈ F tách du’o˙’c và F ⊂ E là mo’’ ro

˙ng tru’o’ng. Khi dó nhóm

Galois cu’ a f trên E là nhóm con cu’ a nhóm Galois cu’ a f trên F .

Chu’ng minh. Go˙i R = α1, . . . , αn là ta

˙p các nghie

˙m cu’ a f . Kí hie

˙u

K = F (α1, . . . , αn) và L = E(α1, . . . , αn) lan lu’o’t là tru’o’ng phân rã cu’ a f

trên F và trên E. Rõ ràng K ⊂ L. Moi σ ∈ Gal(L/E) hoán vi˙

các phan tu’’ trongR, do dó bien K thành K. Nói cách khác, phép ha

˙n che σ 7→ σ|K là mo

˙t dong

cau tu’ Gal(L/E) vào Gal(K/F ). Rõ ràng phép ha˙n che dó là mo

˙t do’n cau nên

Gal(L/E) là mo˙t nhóm con cu’ a Gal(K/F ).

Nguyen Chánh Tú


Bo’ de sau chı’ ra mo˙t phan tính da’ o ngu’o’c cu’ a (11.2) :

Bo’ de 11.6. Cho p là mo˙t so nguyên to, cho F là tru’o’ng có da

˙c so khác p và F

chu’a mo˙t can nguyên thu’ y ba

˙c p cu’ a do’n vi

˙. Neu E : F là mo’’ ro

˙ng cyclic ba

˙c p thì

E = F (α) vo’i αp ∈ F .

Chu’ng minh. Go˙i z1, . . . , zp ∈ F là các can ba

˙c p phân bie

˙t cu’ a do’n vi

˙. Lay

β ∈ E\F , ta có E = F (β). Go˙i σ là phan tu’’ sinh cu’ a nhóm cyclic G = Gal(E/F ).

Da˙t βi = σi−1(β), vo’i i = 1, . . . , p. Ta có βi 6= βj vo’i mo

˙i i 6= j. Khi dó β1 = β,

βi+1 = σ(βi) neu i = 1, . . . , p − 1 và σ(βp) = β1. Da˙t

di(β) = β1 + ziβ2 + · · · + zp−1i βp, i = 1, . . . , p.

go˙i là gia’ i thu’c Lagrange. Khi dó

σ(di) = β2 + ziβ3 + · · · + zp−1i β1 = z−1

i di.

Do dó σ(dpi ) = σ(di)

p = dpi . Suy ra dp

i ∈ F .Ma

˙t khác, xét he

˙phu’o’ng trình tuyen tính

di = x1 + zix2 + · · · + zp−1i xp, i = 1, . . . , p.

Nguyen Chánh Tú


Ma tra˙n he

˙so

1 z1 · · · zp−1

1... ... · · · ...1 zp · · · zp−1

p

có di˙nh thu’c

∏0<i<j≤p

(zj − zi) 6= 0, do dó βi, vo’i 1 ≤ i ≤ p, là mo˙t to’ ho’p tuyen

tính cu’ a d1, . . . , dp vo’i he˙

tu’’ trong F (chú ý rang F chu’a z1, . . . , zp ). Suy raE = F (β) = F (d1, . . . , dp). Rõ ràng ton ta

˙i di ∈ E\F . Khi dó E = F (di) và

dpi ∈ F .

Bây gio’ ta chu’ng minh ket qua’ ngu’o’c la˙i cu’ a (11.4).

Di˙nh lí 11.7. Neu nhóm Galois cu’ a da thu’c f trên tru’o’ng có da

˙c so 0 gia’ i du’o˙’

c thìf gia’ i du’o˙’

c bang can thu’c trên F .

Chu’ng minh. Go˙i Gf là nhóm Galois cu’ a f trên F . Go

˙i n = deg(f) và kí hie

˙u

E = F (ξn) vo’i ξn là mo˙t can nguyên thu’ y ba


˙. Theo (11.5), nhóm

Galois G cu’ a f trên E là nhóm con cu’ a Gf , do dó G gia’ i du’o’c.

Nguyen Chánh Tú


Theo (A.7), ton ta˙i chuoi các nhóm con

G = Gm ⊃ . . . ⊃ G0 = 1 (9)

sao cho Gi CGi+1 và Gi+1/Gi cyclic có cap nguyên to pi, vo’i mo˙i i = 0, . . . , m−1.

Go˙i K là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên E. Khi dó K chu’a tru’o’ng phân rã cu’ a f trên

F .Chuoi các nhóm con (9) cho ta chuoi các mo’’ ro

˙ng

F ⊂ F (ξn) = E = E0 ⊂ E1 ⊂ . . . ⊂ Em = K

vo’i Ei : Ei−1 cyclic ba˙c pi, vo’i mo

˙i i = 0, . . . , m. Theo Bo’ de 11.6, ta có

Ei = Ei−1(αi) vo’i αpii ∈ Ei−1, vo’i mo

˙i i = 0, . . . , m. Nhu’ the K : F là mo

˙t

mo’’ ro˙ng can chu’a tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F , nên f gia’ i du’o’c bang can thu’c

trên F .

He˙

qua’ 11.8. Cho F là tru’o’ng có da˙

c so 0. Mo˙t da thu’c trên F gia’ i du’o˙’

c bang canthu’c khi và chı’ khi nhóm Galois cu’ a nó là gia’ i du’o˙’

c.

He˙

qua’ 11.9. Cho F là tru’o’ng có da˙

c so 0. Da thu’c to’ng quát (8) không gia’ i du’o˙’c

bang can thu’c trên F (s1, . . . , sn) khi và chı’ khi n ≥ 5.

Nguyen Chánh Tú


11.2 TÍNH KHÔNG GIA’ I DU’O˙’C CU’ A DA THU’C CÓ BA

˙C LO’N HO’N BON

Ta can mo˙t ket qua’ cu’ a nhóm doi xu’ng, tu’o’ng tu

˙’nhu’ (0.18).

Bo’ de 11.10. Neu mo˙t nhóm con cu’ a nhóm doi xu’ng Sp vo’i p nguyên to chu’a mo

˙t

vòng xích do˙

dài p và mo˙t phép chuye’n trí thì trùng vo’i Sp.

Chu’ng minh. Go˙i G là nhóm con cu’ a Sp sinh bo’’i σ = (a1 · · · ap) là mo

˙t vòng

xích có do˙

dài p và τ = (i j) là mo˙t phép chuye’n trí. Bang cách dánh so la

˙i neu

can thiet, ta có the’ gia’ thiet τ = (1 2). Viet la˙i σ du’o’i da

˙ng σ = (1 a2 . . . ap). Lay

luy thu’a thích ho’p cu’ a σ, ta có du’o’c ket qua’ là (1 2 b3 · · · bp), dó cung là mo˙t vòng

xích do˙

dài p do p nguyên to. Giu’ nguyên 1 và 2, dánh so la˙i các phan tu’’ cu’ a ta

˙p

3, 4, . . . , p, suy ra nhóm con G chu’a τ = (1 2) và vòng xích (1 2 · · · p). Theo(0.18), ta có G = Sp.

Me˙nh de 11.11. Cho mo

˙t da thu’c f ∈ Q[x] bat kha’ quy có ba

˙c p nguyên to. Neu f

có dúng 2 nghie˙m không thu

˙’c trong C thì nhóm Galois cu’ a f là nhóm doi xu’ng Sp.

Chu’ng minh. Go˙i Ef là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Q và G = Gal(Ef : Q) xem

nhu’ nhóm con cu’ a Sp. Go˙i α ∈ Ef là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Do Q ⊂ Q(α) ⊂ Ef và

Nguyen Chánh Tú


[Q(α) : Q] = p, ta có p là u’o’c cu’ a [Ef : Q] = (G : 1). Suy ra G chu’a mo˙t phan tu’’

cap p, xem (B.2). Trong Sp chı’ có các vòng xích do˙

dài p có cap p, (xem 0.16). Nhu’the G chu’a mo

˙t vòng xích do

˙dài p. Ma

˙t khác Ef là mo

˙t tru’o’ng con cu’ a C. Trong

Aut(C/Q), xét phép liên ho’p a + bi 7→ a − bi. Vì f có dúng 2 nghie˙m không thu

˙’c

r1, r2, chúng là các so phu’c liên ho’p. Khi dó phép liên ho’p hoán vi˙

2 nghie˙m r1, r2

và co di˙nh các nghie

˙m còn la

˙i cu’ a f . Do dó ha

˙n che cu’ a phép liên ho’p trên Ef xác

di˙nh mo

˙t phép chuye’n trí cu’ a G. Theo (11.10), ta có G = Sp.

He˙

qua’ 11.12. Da thu’c f = x5 − 4x2 + 2 ∈ Q[x] không gia’ i du’o˙’c bang can thu’c.

Chu’ng minh. Da thu’c f bat kha’ quy trên Q do tiêu chua’n Eisenstein cho p = 2.Ta có

f(−1) = −3 ; f(0) = 2 ; f(1) = −1 ; f(2) = 18.

Do dó f có ít nhat 3 nghie˙m thu

˙’c nam trong (−1, 0),(0, 1) và (1, 2). Ma

˙t khác, do

f ′ = 5x4 − 8x = x(5x3 − 8), có dúng 2 nghie˙m thu

˙’c là x = 0 và x = 3

√8/5. Do

dó f có dúng 3 nghie˙m thu

˙’c. Theo (11.11), da thu’c f có nhóm Galois da’ ng cau vo’i

S5 là mo˙t nhóm không gia’ i du’o’c (A.9). Do dó f không gia’ i du’o’c bang can thu’c trên

Q.

Nguyen Chánh Tú


11.3 NGHIE˙M CAN THU’C CU’ A CÁC DA THU’C TO’ NG QUÁT CÓ BA

˙C

KHÔNG QUÁ 4

Trong phan này, ta trình bày nghie˙m can thu’c cu’ a da thu’c to’ng quát (8) (xem

trang 196) vo’i n ≤ 4. Hie’n nhiên, khi s1, . . . , sn lay giá tri˙

trong F thì ta se cónghie

˙m can thu’c cu’ a các da thu’c trên F . De’ do’n gia’ n, ta gia’ thiet F có da

˙c so 0.

Da thu’c to’ng quát ba˙c 2

Cho g = t2 − s1t + s2 có nhóm Galois trên F (s1, s2) là S2 = 1, (12). Phantu’’ (1, 2) hoán vi

˙t1, t2 nên co di

˙nh (t1 − t2)

2. Do dó (t1 − t2)2 ∈ F (s1, s2). Cu

˙the’

(t1 − t2)2 = s2

1 − 4s2. Kí hie˙u

√s2

1 − 4s2 là mo˙t nghie

˙m cu’ a x2 − (s2

1 − 4s2), ta cót1 − t2 =

√s2

1 − 4s2 và t1 + t2 = s1. Suy ra công thu’c nghie˙m quen thuo

˙c:

t1 = 1

2

(s1 +

√s2

1 − 4s2)

t2 = 12

(s1 −

√s2

1 − 4s2).


Cho g = t3 − s1t2 + s2t − s3 có nhóm Galois trên F (s1, s2, s3) là S3. Ta có dãy

các nhóm con chua’n tac 1 C A3 C S3 có thu’o’ng là các nhóm cyclic. Da˙t ω = e2πi/3

Nguyen Chánh Tú


và y = t1 + ωt2 + ω2t3, vo’i t1, t2, t3 là các nghie˙m cu’ a g. Vo’i mo

˙i σ ∈ A3, ton ta

˙i

0 ≤ i ≤ 2 sao cho σ(y) = ωiy. Nên σ(y3) = y3. Tu’o’ng tu˙’, da

˙t z = t1+ω2t2+ωt3

thì ta có σ(z3) = z3, ∀σ ∈ A3. Ma˙t khác, vo’i σ là mo

˙t phép the le’ thì σ(y3) = z3.

Nói cách khác các phan tu’’ y3 + z3 và y3z3 bat bien vo’i S3. Do dó y3 + z3 và y3z3

thuo˙c F (s1, s2, s3). Nhu’ the y3 và z3 là nghie

˙m cu’ a cùng mo

˙t da thu’c ba

˙c 2 trên

F (s1, s2, s3). Ma˙t khác, de dàng thay rang:

t1 = 13(s1 + y + z)

t2 = 13(s1 + ω2y + ωz)

t3 = 13(s1 + ωy + ω2z).

Do dó, khi dã gia’ i du’o’c y3 và z3, ta có nghie˙m cu’ a g. Thu

˙’c ra, ta có the’ tính toán

tru˙’c tiep yz = s2

1 − 3s2 và y3 + z3 = 2s31 − 9s1s2 + 27s3.

Trong thu˙’c hành, ta thu’o’ng gia’ i bang cách da

˙t u = t− 1

3s1. Khi dó ta có da thu’c

ba˙c 3 theo u là f = u3 + pu + q vo’i

p = s2 − 1

3s2

1, q = − 2

27s3

1 +1

3s1s2 − s3 ∈ F (s1, s2, s3).

Do dó y3 + z3 = −27q và y3z3 = −27p3. Khi dó y3 và z3 là 2 nghie˙m cu’ a

Nguyen Chánh Tú


X2 + 27qX − 27p3 = 0. Tu’ dó,

y = 33

√−q

2+

√(q

2

)2

+(p

3

)3

, z = 33

√−q

2−

√(q

2

)2

+(p

3

)3

sao cho yz = −3p. Ta nha˙n la

˙i công thu’c nghie

˙m Cardano

u =3

√−q

2+

√(q

2

)2

+(p

3

)3

+3

√−q

2−

√(q

2

)2

+(p

3

)3

(10)

và 3 nghie˙m cu’ a f cho bo’’i

u1 = 13(y + z)

u2 = 13(ω2y + ωz)

u3 = 13(ωy + ω2z).

Nha˙n xét 11.13. Trong công thu’c (10), thay D = −4p3 − 27q2 là bie

˙t thu’c cu’ a

f = u3 + pu + q, ta có công thu’c nghie˙m cho bo’’i

u =3

√−q

2+

√−D

27+

3

√−q

2−

√−D

27. (11)

Nguyen Chánh Tú


Ví du˙

38. Tìm nghie˙m can thu’c cu’ a f = x3 − x + 1 ∈ Q[x]. Ta có D = −23. Do

dó mo˙t nghie

˙m cu’ a f là

3

√−1

2+

1

18

√69 +

3

√−1

2− 1

18

√69.

Hai nghie˙m còn la

˙i là 2 so phu’c liên ho’p.

Ví du˙

39. Cho da thu’c f = x3 − 6x2 +9x − 1. Thay x = u +2, ta có da thu’c theou là g = u3 − 3u + 1. Bie

˙t thu’c cu’ a nó là D = 81. Mo

˙t nghie

˙m bie’u dien bang

can thu’c cu’ a g là3

√−1

2+

1

2

√−3 +3

√−1

2− 1

2

√−3.

Chú ý rang trong tru’o’ng ho’p này, da thu’c g cung nhu’ f deu có 3 nghie˙m thu

˙’c.

Tuy nhiên de’ bie’u dien bang can thu’c, các bie’u dien nghie˙m can pha’ i dùng den

các can cu’ a so phu’c.

Su’’ du˙

ng Maple 8. Maple cho chúng ta nghie˙m can thu’c cu’ a mo

˙t da thu’c ba

˙c 3 tùy

ý bang le˙nh >solve(f) ; vo’i f là mo

˙t da thu’c ba

˙c 3.

Nguyen Chánh Tú



Cho g = t4 − s1t3 + s2t

2 − s3t + s4. Nhóm Galois S4 cu’ a g có dãy các nhóm conchua’n tac

1 C V C A4 C S4 vo’i V = 1, (12)(34), (13)(24, (14)(23).

Da˙t

y1 = (t1 + t2)(t3 + t4),

y2 = (t1 + t3)(t2 + t4),

y3 = (t1 + t4)(t2 + t3).

Vì các da thu’c doi xu’ng so’ cap cu’ a y1, y2, y3 thuo˙c F (s1, s2, s3, s4) nên y1, y2, y3

là nghie˙m cu’ a mo

˙t da thu’c ba

˙c 3 trên F (s1, s2, s3, s4), go

˙i là gia’ i thu’c ba

˙c 3 cu’ a g.

Khi dã gia’ i du’o’c y1, y2, y3, cùng vo’i t1 + t2 + t3 + t4 = s1, suy ra các ca˙p

(t1 + t2, t3 + t4); (t1 + t3, t2 + t4); (t1 + t4, t2 + t3) là nghie˙m cu’ a các da thu’c

ba˙c 2 có he

˙tu’’ trong F (s1, s2, s3, s4, y1, y2, y3). Tu’ dó gia’ i du’o’c t1, t2, t3, t4.

Trong thu˙’c hành, ta da

˙t u = t − 1

4s1 thì ta có mo

˙t da thu’c ba

˙c 4 theo u :

Nguyen Chánh Tú


Tu’ dó tính du’o’c :y1 + y2 + y3 = 2p ;

y1y2 + y1y3 + y2y3 = p2 − 4r ;

y1y2y3 = −q2.

Suy ra gia’ i thu’c cu’ a f(u) là

X3 − 2pX2 + (p2 − 4r)X + q2.

Các nghie˙m cu’ a f cho bo’’i :

u1 = 12(√−y1 +

√−y2 +√−y3)

u2 = 12(√−y1 − √−y2 − √−y3)

u3 = 12(−√−y1 +

√−y2 − √−y3)

u4 = 12(−√−y1 − √−y2 − √−y3)

vo’i các can thu’c du’o’c cho˙n sao cho

√−y1.√−y2.

√−y3 = −q.

Su’’ du˙

ng Maple 9. Trong Maple, nghie˙m can thu’c cu’ a mo

˙t da thu’c ba

˙c 4, theo

ngam di˙nh, không du’o’c hie’n thi

˙trên màn hình, do tính phu’c ta

˙p cu’ a công thu’c

nghie˙m.

Nguyen Chánh Tú


> restart;

> solve(x^4+x^3-9);

Maple hie’n thi˙

nghie˙m du’o’i da

˙ng RootOf và de dàng nha

˙n du’o’c nghie

˙m gan

dúng.

> evalf(%);

1.527117219, −.2396103081 + 1.679403718 I,

−2.047896603, −.2396103081 − 1.679403718 I

Nhu’ the da thu’c x4 +x3 − 9 có 2 nghie˙m thu

˙’c và 2 nghie

˙m phu’c liên ho’p. Muon

hie’n thi˙

nghie˙m can thu’c cu’ a da thu’c ba

˙c 4, can dùng nhu’ sau :

> _EnvExplicit:=true:

> solve(x^4+x^3-9);

Sau khi nhan Enter de’ thu˙’c hie

˙n le

˙nh cuoi cùng, 4 nghie

˙m can thu’c cu’ a f se

du’o’c hie’n thi˙.

Nguyen Chánh Tú


Bài ta˙p

11. 1 . Xác di˙nh tính dúng, sai cho các me

˙nh de sau :

a) Nhóm Galois cu’ a da thu’c to’ng quát ba˙c n là gia’ i du’o’c.

b) Nhóm S3 chı’ có hai nhóm con thu˙’c su

˙’là 1 và A3.

c) Da thu’c to’ng quát ba˙c n trên F là mo

˙t da thu’c có mo

˙t bien siêu vie

˙t trên F .

d) Ba˙c siêu vie

˙t cu’ a tru’o’ng phân thu’c Q(t) trên Q bang 1.

e) Mo˙t da thu’c ba

˙c nho’ ho’n 5 trên Q luôn luôn gia’ i du’o’c bang can thu’c trên

Q.

f) Ton ta˙i da thu’c ba

˙c lo’n ho’n 4 trên R không gia’ i du’o’c bang can thu’c trên R.

g) Mo˙i da thu’c ba

˙c 2 trên tru’o’ng da

˙c so 0 gia’ i du’o’c bang can thu’c.

h) Mo˙i mo’’ ro

˙ng can thu’c deu hu’u ha

˙n.

i) Mo˙i mo’’ ro

˙ng hu’u ha


˙ng can thu’c.

j) Cap cu’ a nhóm Galois cu’ a mo˙t da thu’c cap n chia het n!.

k) Ton ta˙i mo

˙t da thu’c ba

˙c 4 có nhóm Galois là S4.

Nguyen Chánh Tú


l) Mo˙t da thu’c bat kha’ qui trên Q ba

˙c 11 có dúng 2 nghie

˙m không thu

˙’c thì

không gia’ i du’o’c bang can thu’c.

m) Nhóm A5 có 60 phan tu’’. (Xem HD 299)

11. 2 . Tìm nghie˙m can thu’c cu’ a các da thu’c sau :

a) t3 − 3t + 5 ;

b) t3 − 7t + 6 ;

c) x3 + x2 − 2. Suy ra 3√

26 + 15√

3 +3√

26 − 15√

3 = 4.

d) x3 − 5x2 + 4x + 5 ;

e) t4 − t3 − 2t − 1 ;

f) t4 + 4t + 2 ;

g) t6 + 2t5 − 5t4 + 9t3 − 5t2 + 2t + 1. (Xem HD 299)

11. 3 . Chu’ng minh rang C : Q và R : Q không pha’ i là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n sinh.

(Xem HD 300)

11. 4 . Tính ba˙c siêu vie

˙t cu’ a các mo’’ ro

˙ng sau :

Nguyen Chánh Tú


a) Q(t, u, v, w) : Q vo’i t2 = 2, u siêu vie˙t trên Q(t) ; v3 = t +5 và w siêu vie

˙t

trên Q(t, u, w).

b) Q(t, u, v) : Q vo’i t2 = u3 = v4 = 7. (Xem HD 300)

11. 5 . Cho f = x3 − 3x + 1 ∈ F [x]. Chu’ng minh rang f hoa˙c là bat kha’ qui hoa

˙c

phân rã trong F . (Xem HD 300)

11. 6 . Chu’ng minh các da thu’c sau không gia’ i du’o’c bang can thu’c trên Q :

a) t5 − 4t + 2 ;

b) t5 − 6t + 3 ;

c) t5 − 6t2 + 3 ;

d) t7 − 10t5 + 15t + 5. (Xem HD 301)

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 223

PHU˙

LU˙C

A NHÓM GIA’ I DU’O˙’C VÀ NHÓM DO’N

Mu˙c này trình bày các kien thu’c co’ ba’ n ve nhóm gia’ i du’o’c và nhóm do’n. Các ket

qua’ chính trong phan này là A.4, A.7, A.9 và A.17.

1. Nhóm gia’ i du’o˙’c

Di˙nh nghıa.

Cho G là mo˙t nhóm nhân. Chuoi chua’n tac cu’ a G là mo

˙t chuoi

hu’u ha˙n các nhóm con phân bie

˙t

1 = G0 C G1 C · · · C Gn = G, (12)

nghıa là Gi là nhóm con chua’n tac cu’ a Gi+1 vo’i mo˙i

i = 0, . . . , n− 1. Các nhóm thu’o’ng Gi+1/Gi, vo’i i = 0, . . . , n−1,go

˙i là các thành phan cu’ a chuoi chua’n tac (12).

Nguyen Chánh Tú

224 PHU˙

LU˙C

Di˙nh nghıa.

Chuoi (12) go˙i là chuoi ho’p thành cu’ a G neu Gi là nhóm con

chua’n tac toi da˙i cu’ a Gi+1, nghıa là neu có N C Gi+1 và N chu’a

Gi thì Gi = N hay N = Gi+1, vo’i mo˙i i = 0, . . . , n − 1.

Nha˙n xét A.1. Chú ý rang, trong chuoi chua’n tac (12), không kéo theo Gi C G

ngoa˙i tru’ i = n − 1.

Di˙nh nghıa. Mo

˙t nhóm G go

˙i là gia’ i du’o’c neu ton ta

˙i chuoi chua’n tac (12) sao

cho Gi+1/Gi là nhóm aben, vo’i mo˙i i = 0, . . . , n − 1.

Ví du˙

A.2. (i) Mo˙i nhóm aben deu gia’ i du’o’c.

(ii) Nhóm doi xu’ng S3 gia’ i du’o’c vì có chuoi 1CA3 CS3, trong dó A3 là nhóm cyclicvà S3/A3 là nhóm cyclic cap 2.

(iii) Nhóm doi xu’ng S4 gia’ i du’o’c vì có chuoi chua’n tac

1 C V C A4 C S4,

trong dó V = 1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3).

Ta nhac la˙i ket qua’ do’n gia’ n sau cu’ a lí thuyet nhóm.

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 225

Bo’ de A.3. Cho G là mo˙t nhóm nhân.

(i) Neu H C G và A là nhóm con cu’ a G thì H ∩ A C A và

A

H ∩ A∼= HA

H.

(ii) Neu H C G và H ⊂ A C G thì H C A, A/H C G/H và

G/H

A/H∼= G

A.

Các ket qua’ trong bo’ de trên tu’o’ng u’ng go˙i là di

˙nh lí da’ ng cau thu’ nhat và di

˙nh

lí da’ ng cau thu’ hai.Ta có ket qua’ quan tro

˙ng dau tiên ve nhóm gia’ i du’o’c.

Me˙nh de A.4. Cho G là mo

˙t nhóm.

(i) Neu G gia’ i du’o˙’c thì mo

˙i nhóm con H cu’ a G gia’ i du’o˙’

c.

(ii) Neu N C G và G gia’ i du’o˙’c thì G/N gia’ i du’o˙’

c.

Nguyen Chánh Tú

226 PHU˙

LU˙C

(iii) Neu ton ta˙

i nhóm con chua’n tac N C G sao cho N và G/N gia’ i du’o˙’c thì G

gia’ i du’o˙’c.

Chu’ng minh.

(i) Cho chuoi chua’n tac

1 = G0 C G1 C · · · C Gn = G

sao cho Gi+1/Gi aben, vo’i mo˙i i = 0, . . . , n − 1. Da

˙t Hi = Gi ∩ H. Khi dó ta

có chuoi chua’n tac :

1 = H0 C H1 C · · · C Hn = H.

Ta chu’ng minh các thành phan Hi+1/Hi là aben. Ta có

Hi+1

Hi

=Gi+1 ∩ H

Gi ∩ H=

Gi+1 ∩ H

Gi ∩ (Gi+1 ∩ H)∼= Gi(Gi+1 ∩ H)

Gi

.

Nhóm cuoi cùng là nhóm aben vì nó là nhóm con cu’ a nhóm aben Gi+1/Gi. Vìthe H là nhóm gia’ i du’o’c.

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 227

(ii) Tu’ chuoi ho’p thành cu’ a G nhu’ trên, nhóm thu’o’ng G/N có chuoi các nhómcon sau

1 = G0N/N ⊂ G1N/N ⊂ · · · ⊂ GnN/N = G/N.

Ta cóGi+1N/N

GiN/N∼= Gi+1N

GiNtheo di

˙nh lí da’ ng cau thu’ hai. Ma

˙t khác

Gi+1N

GiN∼= Gi+1(GiN)

GiN∼= Gi+1

Gi+1 ∩ (GiN)

∼= Gi+1/Gi

(Gi+1 ∩ (GiN))/Gi

.

Nhóm cuoi cùng là nhóm thu’o’ng cu’ a Gi+1/Gi nên là nhóm aben. Va˙y G/N

gia’ i du’o’c.

(iii) Ton ta˙i 2 chuoi chua’n tac

1 = N0 C N1 C · · · C Nr = N

1 = G0/N C G1/N C · · · C Gs/N = G/N

vo’i các thành phan aben. Xét chuoi

1 = N0 C N1 C · · · C Nr = N = G0 C G1 C · · · C Gs = G/N

Nguyen Chánh Tú

228 PHU˙

LU˙C

có các thành phan da’ ng cau vo’i Ni+1/Ni hay da’ ng cau vo’i

Gi+1/Gi∼= (Gi+1/N)/(Gi/N),

chúng deu là nhóm aben. Va˙y G gia’ i du’o’c.

2. Nhóm do’n

Di˙nh nghıa. Mo

˙t nhóm G 6= 1 go

˙i là nhóm do’n neu G không có nhóm con

chua’n tac nào khác 1 và chính nó.Nhu’ the chuoi (12) là chuoi ho’p thành cu’ a G khi và chı’ khi mo

˙i thành phan

Gi+1/Gi là các nhóm do’n.

Nha˙n xét A.5. Neu G là nhóm hu’u ha

˙n thì trong G = G1 có nhóm con chua’n tac

toi da˙i G2, nhóm G2 chu’a mo

˙t nhóm con chua’n tac toi da

˙i G3,...Tiep tu

˙c quá trình

này, ta thay rang mo˙i nhóm hu’u ha

˙n deu có mo

˙t chuoi ho’p thành.

Me˙nh de A.6. Mo

˙i nhóm do’n gia’ i du’o˙’

c deu là nhóm cyclic có cap nguyên to.

Chu’ng minh. Go˙i G là nhóm do’n gia’ i du’o’c. Khi dó có chuoi chua’n tac

1 = G0 C · · · C Gr = G

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 229

vo’i các thành phan aben. Vì G do’n nên r = 1 và G = G/G0 aben. Trong nhómaben, mo

˙i nhóm con deu là nhóm con chua’n tac, do dó de’ G do’n, nó trùng vo’i nhóm

con cyclic sinh ra bo’’i mo˙t phan tu’’ bat kì khác 1 cu’ a G. Do dó G là nhóm cyclic có

cap nguyên to.

He˙

qua’ A.7. Mo˙t nhóm hu’u ha

˙n G là gia’ i du’o˙’

c khi và chı’ khi ton ta˙

i chuoi ho˙’p

thành 1 = G0 C G1 C · · · C Gn = G sao cho vo’i mo˙i 1 ≤ i ≤ n, ta có Gi/Gi−1

cyclic có cap nguyên to.

Chu’ng minh. Go˙i 1 = G0 C G1 C · · · C Gn = G là chuoi ho’p thành cu’ a nhóm

gia’ i du’o’c G. Khi dó nhóm con Gi+1 gia’ i du’o’c nên nhóm thu’o’ng Gi+1/Gi gia’ i du’o’c,vo’i mo

˙i i = 0, . . . , n − 1. Do chuoi trên là chuoi ho’p thành nên Gi+1/Gi là nhóm

do’n.Tu’ (A.6), ta có các thành phan Gi+1/Gi là các nhóm cyclic cap nguyên to.Chieu ngu’o’c la

˙i là hie’n nhiên vì mo

˙i nhóm cyclic deu aben.

Bo’ de A.8. Cho G là nhóm nhân và H C G sao cho G/H aben. Khi dó ∀a, b ∈ G,ta có a−1b−1ab ∈ H.

Nguyen Chánh Tú

230 PHU˙

LU˙C

Chu’ng minh. Vo’i mo˙i a, b ∈ G, ta có

ab = ab = ba = ba.

Suy ra (ba)−1(ab) = a−1b−1ab ∈ H.

Di˙nh lí A.9. Nhóm doi xu’ng Sn vo’i n ≥ 5 không gia’ i du’o˙’

c.

Chu’ng minh. Gia’ su’’ ngu’o’c la˙i, nhóm Sn vo’i n ≥ 5 gia’ i du’o’c. Khi dó ton ta

˙i chuoi

chua’n tac1 = G0 C G1 C · · · C Gr = Sn,

sao cho Gi/Gi−1 aben vo’i mo˙i i = 1, . . . , r. Go

˙i (a b c) là mo

˙t vòng xích ba

˙c 3 bat

kì cu’ a Sn. Layu, v ∈ 1, . . . , n\a, b, c

sao cho u 6= v (chú ý u, v ton ta˙i do n ≥ 5). Bo’ de trên kéo theo:

(u b a)−1(v c a)−1(u b a)(v c a) = (a b c) ∈ Gr−1,

do Sn/Gr−1 aben. Va˙y Gr−1 chu’a tat ca’ các vòng xích do

˙dài 3. Tiep tu

˙c lí lua

˙n

nhu’ trên, do Gi−1/Gi−2 aben, nhóm Gr−2 chu’a tat ca’ các vòng xích do˙

dài 3. Bang

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 231

quy na˙p, nhóm G0 chu’a tat ca’ các vòng xích do

˙dài 3. Vô lí ! Va

˙y Sn không gia’ i

du’o’c.

Me˙nh de A.10. Vo’i mo

˙i n ≥ 5, nhóm thay phiên An là nhóm do’n.

Chu’ng minh. Gia’ su’’ có 1 6= N C An. Ta can chı’ ra N = An. Tru’o’c het ta chu’ngto’ rang neu N chu’a mo

˙t vòng xích do

˙dài 3 thì N = An. Ta có the’ gia’ thiet N

chu’a vòng xích (1 2 3). Khi dó vo’i mo˙i k > 3, ta có (3 2 k) ∈ An. Do dó

(3 2 k)(1 2 3)(3 2 k)−1 = (1 k 2) ∈ N.

Nhu’ the N chu’a các phan tu’’ (1 k 2)2 = (1 2 k) vo’i mo˙i k ≥ 3.

Chú ý rang (m r) = (1 m)(1 r)(1 m) vo’i mo˙i m, r. Do dó Sn du’o’c sinh bo’’i các

chuye’n trí (1 i) vo’i i = 2 . . . , n. Suy ra, mo˙i phép the chan deu là tích cu’ a mo

˙t so

chan các chuye’n trí loa˙i này. Nên An du’o’c sinh bo’’i các phan tu’’ (1 j)(1 i) = (1 i j),

vo’i i, j = 2, . . . , n. Ta có

(1 i j) = (1 2 j)−1(1 2 i)(1 2, j),

vo’i i, j 6= 2. Nhu’ the An du’o’c sinh bo’’i các phan tu’’ (1 2 k). Do dó N = An.

Nguyen Chánh Tú

232 PHU˙

LU˙C

Ta còn pha’ i chu’ng minh N chu’a mo˙t vòng xích ba

˙c 3. Ta chia ra các tru’o’ng ho’p

nhu’ sau :

• Nhóm con N chu’a mo˙t phan tu’’ x = a b c ... vo’i a, b, c, . . . là các vòng xích do

˙c

la˙p và

a = (a1a2 . . . am) vo’i m ≥ 4.

Da˙t t = (a1a2a3). Khi dó N chu’a phan tu’’ z := t−1xt. Chú ý rang t giao hoán

vo’i các vòng xích a, b, . . ., nên

z = t−1xt = (t−1at)bc . . . .

Cuoi cùng, ta thay rang N chu’a phan tu’’ zx−1 = t−1ata−1 = (a1a2a4).

• Xét N chu’a 1 phan tu’’ có phân tích vòng xích do˙c la

˙p chu’a 2 vòng xích do

˙dài

3. Không mat tính to’ng quát, gia’ su’’ N chu’a

x = (123)(456)y.

Da˙t t = (234). Khi dó N chu’a

x−1(txt−1) = (12436).

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 233

Tu’ tru’o’ng ho’p dau tiên, ta suy ra N chu’a mo˙t vòng xích do

˙dài 3.

• Neu N chu’a mo˙t phan tu’’ x có da

˙ng phân tích vòng xích là (ijk)σ vo’i σ là tích

cu’ a các phép chuye’n trí do˙c la

˙p. Khi dó N chu’a x2 = (ijk).

• Tru’o’ng ho’p còn la˙i là mo

˙i phan tu’’ cu’ a N deu là tích cu’ a các phép chuye’n trí

do˙c la

˙p. Vì n ≥ 5, ta có the’ gia’ thiet N chu’a phan tu’’ x vo’i phân tích vòng xích

x = (12)(34)σ

trong dó σ là tích các phép chuye’n trí do˙c la

˙p. Da

˙t t = (234). Khi dó N chu’a

phan tu’’x−1(txt−1) = (23)(14).

Lay u = (145), khi dó N chu’a

ux−1(txt−1)u−1 = (23)(45).

Nhu’ the N chu’a(23)(14)(23)(45) = (145).

Mâu thuan !

Nguyen Chánh Tú

234 PHU˙

LU˙C

Va˙y An là nhóm do’n vo’i mo

˙i n ≥ 5.

Ket qua’ này cung kéo theo Di˙nh lí A.9. Tha

˙t va

˙y, neu Sn gia’ i du’o’c thì An gia’ i

du’o’c. Ho’n nu’a, tu’ di˙nh lí trên, ta có An là nhóm do’n. Tu’ Me

˙nh de A.6, suy ra An

có cap nguyên to. Vô lí vì cap cu’ a An là n!2

, không nguyên to khi n ≥ 5.

3. Các p−nhómTrong mu

˙c này, ta xét lo’p các nhóm gia’ i du’o’c da

˙c bie

˙t go

˙i là p−nhóm. Bên ca

˙nh

dó, ta chu’ng minh mo˙t so ket qua’ sâu sac cu’ a lí thuyet nhóm, da

˙c bie

˙t là tính chat

cu’ a p−nhóm thông qua chuoi chua’n tac cu’ a nó (A.17).

Di˙nh nghıa.

Cho G là mo˙t nhóm nhân. Phan tu’’ a ∈ G go

˙i là liên ho’p vo’i

b ∈ G neu ton ta˙i g ∈ G sao cho a = g−1bg. Quan he

˙liên ho’p là

mo˙t quan he

˙tu’o’ng du’o’ng trên G. Các lo’p tu’o’ng du’o’ng theo quan

he˙

liên ho’p go˙i là các lo’p liên ho’p.

Neu G hu’u ha˙n, go

˙i các lo’p liên ho’p là C1, C2, . . . , Cr vo’i C1 = 1. Kí hie

˙u

|S| là so phan tu’’ cu’ a mo˙t ta

˙p hu’u ha

˙n S. Ta có da’ ng thu’c :

|G| = 1 + |C2| + · · · + |Cr|, (13)

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 235

go˙i là phu’o’ng trình lo’p cu’ a G.Ta có mo

˙t quan he

˙tu’o’ng du’o’ng tu’o’ng tu

˙’trên ta

˙p các nhóm con cu’ a G.

Di˙nh nghıa.

Hai nhóm con H, K cu’ a nhóm nhân G go˙i là liên ho’p vo’i nhau

neu ton ta˙i g ∈ G sao cho K = g−1Hg. De dàng kie’m tra dây là

mo˙t quan he


Di˙nh nghıa.

Cho G là nhóm nhân và x ∈ G. Kí hie˙u

CG(x) = g ∈ G | gx = xg.

Khi dó CG(x) là mo˙t nhóm con cu’ a G go

˙i là nhóm con trung tâm

cu’ a x trong G.

Bo’ de A.11. Cho G là nhóm hu’u ha˙

n. So phan tu’’ trong lo’p liên ho˙’p cu’ a x ∈ G

bang vo’i chı’ so cu’ a CG(x) trong G.

Chu’ng minh. Lay 2 phan tu’’ g−1xg và h−1xh bat kì trong lo’p tu’o’ng du’o’ng cu’ ax. Ta có

g−1xg = h−1xh ⇐⇒ hg−1x = xhg−1 ⇐⇒ hg−1 ∈ CG(x).

Nguyen Chánh Tú

236 PHU˙

LU˙C

Nhu’ the h và g nam trong cùng lo’p ghép cu’ a CG(x). Suy ra so phan tu’’ trong lo’pliên ho’p cu’ a x bang vo’i chı’ so cu’ a CG(x) trong G.

Bo’ de kéo theo :

He˙

qua’ A.12. So phan tu’’ trong mo˙t lo’p liên ho

˙’p tùy ý chia het cap cu’ a nhóm G.

Di˙nh nghıa. Mo

˙t nhóm hu’u ha

˙n G go

˙i là mo

˙t p−nhóm neu cap cu’ a G là luy

thu’a cu’ a mo˙t so nguyên to p.

Ví du˙

A.13. Nhóm dihedral D8 (xem tr. 30) là 2−nhóm. Nhóm Sn vo’i n ≥ 3 khôngpha’ i là p−nhóm vo’i mo

˙i p nguyên to.

Di˙nh nghıa.

Tâm cu’ a nhóm G là ta˙p

Z(G) = x ∈ G | gx = xg, ∀g ∈ G.

De dàng kie’m tra Z(G) là mo˙t nhóm con chua’n tac cu’ a G.

Ví du˙

A.14. a) Tâm cu’ a nhóm aben là chính nó.

b) Tâm cu’ a nhóm S3 là nhóm tam thu’o’ng.

c) Z(D8) = 1, σ2 vo’i σ ∈ D8 là phan tu’’ có cap 4 trong D8.

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 237

Ta có ket qua’ to’ng quát sau dây :

Di˙nh lí A.15. Mo

˙i p−nhóm khác 1 deu có tâm không tam thu’o’ng.

Chu’ng minh. Tu’ phu’o’ng trình lo’p, ta có

pn = |G| = 1 + |C2| + · · · + |Cr|.

Vì so phan tu’’ cu’ a mo˙i lo’p liên ho’p chia het pn, ta go

˙i |Ci| = pni vo’i ni ≥ 0. Vì ve

pha’ i chia het cho p, so lo’p có 1 phan tu’’ pha’ i là mo˙t bo

˙i so cu’ a p. Ma

˙t khác, neu x

thuo˙c vào lo’p có 1 phan tu’’ thì ta có g−1xg = x vo’i mo

˙i g ∈ G. Nghıa là x ∈ Z(G).

Nhu’ the Z(G) có nhieu ho’n 1 phan tu’’.

Bo’ de A.16. Neu A là mo˙t nhóm aben hu’u ha

˙n có cap chia het cho mo

˙t so nguyên

to p thì chu’a mo˙t phan tu’’ cap p.

Chu’ng minh. Ta chu’ng minh bang quy na˙p trên |A|. Neu |A| = p, thì ket qua’

là hie’n nhiên.Go

˙i M là mo

˙t nhóm con thu

˙’c su

˙’có cap toi da

˙i trong A. Neu p chia het |M | thì

bo’ de du’o’c chu’ng minh theo nguyên lí quy na˙p. Xét tru’o’ng ho’p p không chia het

Nguyen Chánh Tú

238 PHU˙

LU˙C

|M |. Go˙i b ∈ A\M , xét B =< b > là nhóm cyclic sinh ra bo’’i b. Khi dó MB là

mo˙t nhóm con (chú ý G aben) chu’a M thu

˙’c su

˙’nên MB = A. Ta có da’ ng cau

nhóm (A.3)M/(M ∩ B) ∼= MB/B.

Suy ra

|MB| =|M ||B||M ∩ B|.

Do dó p chia het cap r cu’ a B =< b >. Khi dó phan tu’’ br/p có cap p.

Ta có mo˙t tính chat da

˙c bie

˙t cu’ a p−nhóm.

Me˙nh de A.17. Cho G là mo

˙t p−nhóm có cap pn. Khi dó G có chuoi các nhóm con

chua’n tac1 = G0 C G1 C · · · C Gn = G

sao cho (Gi : 1) = pi vo’i mo˙i i = 0, . . . , n.

Chu’ng minh. Ta chu’ng minh bang quy na˙p trên n. Neu n = 0 thì ket qua’ là

hie’n nhiên. Xét n > 0. Do Z(G) là mo˙t nhóm aben khác 1 có cap chia het cho p

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 239

nên theo (A.16), ton ta˙i mo

˙t phan tu’’ x ∈ Z(G) có cap p. Nhóm cyclic K =< x >

là nhóm con chua’n tac cu’ a G vì x ∈ Z(G). Nhóm thu’o’ng G/K có cap pn−1, theogia’ thuyet quy na

˙p, ton ta

˙i chuoi các nhóm con chua’n tac cu’ a G/K tho’ a

K/K = G1/K C G2/K C · · · C Gn/K = G/K

vo’i |Gi/K| = pi−1 và Gi C G vo’i mo˙i i = 1, . . . , n. Nhu’ the |Gi| = pi. Da

˙t

G0 = 1, ta có dieu pha’ i chu’ng minh.

He˙

qua’ A.18. Mo˙i p−nhóm deu gia’ i du’o˙’

c.

Chu’ng minh. Tu’ chuoi các nhóm con chua’n tac cu’ a G cho trong me˙nh de trên, ta

có các thành phan Gi/Gi−1 có cap là p nên là nhóm cyclic. Suy ra G gia’ i du’o’c.

B DI˙NH LÍ SYLOW VÀ DI

˙NH LÍ CAUCHY

Ta gio’i thie˙u khái nie

˙m nhóm con Sylow và chu’ng minh mo

˙t phan ket qua’ cu’ a

Di˙nh lí Sylow, ket qua’ dó du’ de’ chu’ng minh Di

˙nh lí Cauchy.

Di˙nh lí B.1 (Sylow). Cho G là mo

˙t nhóm nhân hu’u ha

˙n có pαm phan tu’’, trong

dó p nguyên to không chia het m. Khi dó

Nguyen Chánh Tú

240 PHU˙

LU˙C

(i) G chu’a mo˙t nhóm con có cap pα ;

(ii) mo˙i nhóm con cap pα deu liên ho

˙’p vo’i nhau ;

(iii) mo˙i p−nhóm con cu’ a G deu chu’a trong mo

˙t nhóm con cap pα ;

(iv) so các nhóm con cap pα bang 1 + kp vo’i k ∈ N.

Mo˙t nhóm con có cap pα go

˙i là p−nhóm Sylow cu’ a G.

Chu’ng minh. Ta chı’ chu’ng minh phan i) cu’ a di˙nh lí trên. Ba

˙n do

˙c có the’ tham

kha’ o chu’ng minh day du’ cu’ a di˙nh lí trong các sách ve Da

˙i so, ví du

˙[1], tr. 141.

Ta chu’ng minh bang quy na˙p trên |G|. Ket qua’ hie’n nhiên neu |G| = 1, 2. Go

˙i

C1, . . . , Cr là các lo’p liên ho’p cu’ a G và go˙i ci = |Ci|. Khi dó, phu’o’ng trình lo’p cho

tapαm = c1 + · · · + cr. (14)

Go˙i Zi là nhóm con trung tâm cu’ a mo

˙t phan tu’’ xi ∈ Ci và ni = |Zi| vo’i

i = 1, . . . , r. Tu’ (A.11), ta có

ni =pαm

ci

. (15)

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 241

Gia’ su’’ ton ta˙i ci lo’n ho’n 1 và không chia het cho p. Khi dó, tu’ (15), ta có ni < pαm

và ni chia het cho pα. Theo gia’ thuyet quy na˙p, ton ta

˙i mo

˙t nhóm con cap pα trong

Zi. Ta có dieu can chu’ng minh.Xét tru’o’ng ho’p vo’i mo

˙i i = 1, . . . , r, ta có ci = 1 hay ci không chia het cho p.

Go˙i z = |Z(G)|. Nhu’ trong chu’ng minh cu’ a (A.15), so các ci = 1 bang vo’i z. Nhu’

the ta có

pαm = z + kp

vo’i k ∈ N. Suy ra p chia het z = |Z(G)|. Theo (A.16), ton ta˙i mo

˙t phan tu’’

x ∈ Z(G) có cap p. Go˙i P =< x > là nhóm cyclic sinh ra bo’’i x. Do P ⊂ Z(G),

ta có P C G. Nhóm thu’o’ng G/P có pα−1m phan tu’’ nên theo gia’ thuyet quy na˙p

chu’a mo˙t nhóm con S/P cap pα−1, vo’i S là mo

˙t nhóm con cu’ a G. Khi dó S có cap

pα. Ta có dieu pha’ i chu’ng minh.

Tu’ di˙nh lí trên, ta có ket qua’ cu’ a Cauchy.

Di˙nh lí B.2 (Cauchy). Neu mo

˙t nhóm hu’u ha

˙n G có cap chia het cho so nguyên

to p thì G có mo˙t phan tu’’ cap p.

Nguyen Chánh Tú

242 PHU˙

LU˙C

Chu’ng minh. Go˙i S là p−nhóm con Sylow cu’ a G, khi dó S 6= 1. Theo (A.17), ton

ta˙i mo

˙t nhóm con chua’n tac cap p trong S. Ta có dieu pha’ i chu’ng minh.

C BAO DÓNG DA˙I SO CU’ A MO

˙T TRU’O’NG

Mu˙c này trình bày hai chu’ng minh ve vie

˙c ton ta

˙i cu’ a bao dóng da

˙i so cu’ a mo

˙t

tru’o’ng tùy ý.

Di˙nh lí C.1. Mo

˙i tru’o’ng F deu ton ta

˙i mo

˙t bao dóng da

˙i so.

Chu’ng minh. Tru’o’c tiên ta chú ý rang, tu’o’ng tu˙’

nhu’ vành da thu’c hu’u ha˙n bien

do˙c la

˙p da

˙i so, ta có the’ xây du

˙’ng vành da thu’c F [xj] vo’i ta

˙p tùy ý các bien xj,

trong dó moi da thu’c là to’ng hu’u ha˙n các do’n thu’c axi1 · · · xim, vo’i xit ∈ xj.

Go˙i F [. . . , yf , . . .] là vành da thu’c mà moi bien yf u’ng vo’i mo

˙t da thu’c chua’n tac

f ∈ F [x]. Go˙i I là idêan cu’ a F [. . . , yf , . . .] sinh bo’’i tat ca’ da thu’c f(yf). Neu

I = (1) thì ton ta˙i g1, . . . , gn ∈ F [. . . , yf , . . .], sao cho

g1f(yf1) + · · · + gnf(yfn) = 1. (16)

Go˙i F ′ là mo

˙t mo’’ ro

˙ng cu’ a F chu’a mo

˙t nghie

˙m αi cu’ a fi vo’i mo

˙i i = 1, . . . , n.

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 243

Xét dong cau vành tu’ F [. . . , yf , . . .] vào F ′ bien yfithành αi, ∀ i = 1, . . . , n và

bien yf = 0 vo’i f /∈ f1, . . . , fn. Khi dó bie’u dien (16) cho 0 = 1. Vô lí ! Cho nênI 6= (1).

Do dó, theo Bo’ de Zorn, ton ta˙i mo

˙t idêan toi da

˙i M cu’ a F [. . . , yf , . . .] chu’a I.

Da˙t E1 = F [. . . , yf , . . .]/M , khi dó E1 là mo

˙t tru’o’ng chu’a F . Mo

˙i da thu’c trong

F [x] deu có ít nhat mo˙t nghie

˙m trong E1. La

˙p la

˙i quá trình trên khi thay F bo’’i

E1, ta có mo’’ ro˙ng E2 cu’ a E1. Tiep tu

˙c nhu’ the, ta có chuoi các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng

F = E0 ⊂ E1 ⊂ · · · , và da˙t E = ∪Ei. Khi dó E là mo

˙t tru’o’ng dóng da

˙i so vì

vo’i mo˙i da thu’c f ∈ E[x], ton ta

˙i i sao cho f ∈ Ei[x]. Nhu’ the f có ít nhat mo

˙t

nghie˙m trong Ei+1 ⊂ E. Lay tru’o’ng con F các phan tu’’ da

˙i so trên F trong E. Khi

dó F là bao dóng da˙i so cu’ a F .

Mo˙t chu’ng minh khác su’’ du

˙ng nhu’ng tính chat ve lu

˙’c lu’o’ng. Ta can bo’ de sau :

Bo’ de C.2. Cho F là mo˙t tru’o’ng vô ha

˙n và K là mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so cu’ a F . Khi

dó K có cùng lu˙’

c lu’o˙’ng vo’i F .

Chu’ng minh. K bang ho’p ro’i ra˙c cu’ a các ta

˙p hu’u ha

˙n, moi ta

˙p chu’a tat ca’ các

Nguyen Chánh Tú

244 PHU˙

LU˙C

nghie˙m trong K cu’ a mo

˙t da thu’c chua’n tac bat kha’ quy trong F [x]. Do dó lu

˙’c

lu’o’ng cu’ a K bang vo’i lu˙’c lu’o’ng các da thu’c chua’n tac, bat kha’ quy trong F [x]. Ta

biet rang ta˙p các da thu’c chua’n tac có ba

˙c bang n cho tru’o’c trong F [x] có cùng lu

˙’c

lu’o’ng vo’i F , do dó lu˙’c lu’o’ng cu’ a ta

˙p tat ca’ các da thu’c chua’n tac cung bang lu

˙’c

lu’o’ng cu’ a F , suy ra K và F có cùng lu˙’c lu’o’ng.

Chu’ng minh. (Di˙nh lí C.1) Ta chı’ can chu’ng minh cho tru’o’ng ho’p F là tru’o’ng vô

ha˙n. Nhúng F vào trong mo

˙t ta

˙p S có lu

˙’c lu’o’ng lo’n ho’n lu

˙’c lu’o’ng cu’ a F . Go

˙i Λ là

ta˙p các bo

˙(E, + , ·), trong dó E ⊂ S là mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so cu’ a F và + , · là các phép

toán trên tru’o’ng E. Trên Λ xét quan he˙

thu’ tu˙’, di

˙nh bo’’i (E, + , ·) > (E′, + , ·)

neu E là mo’’ ro˙ng tru’o’ng cu’ a E′. Bo’ de Zorn chı’ ra rang ton ta

˙i mo

˙t phan tu’’ toi

da˙i (K, + , ·) trong Λ. Khi dó K là mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so cu’ a F . Ta chu’ng minh K

dóng da˙i so. Gia’ su’’ ngu’o’c la

˙i K không dóng da

˙i so. Khi dó ton ta

˙i mo

˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i

so thu˙’c su

˙’L = K(α) cu’ a K. Vì |L| < |S|, nhúng L vào S bang mo

˙t do’n ánh sao

cho dong nhat trên K. Khi dó ton ta˙i mo

˙t phan tu’’ cu’ a Λ lo’n ho’n (K, + , ·), vô lí

do tính toi da˙i cu’ a (K, + , ·).

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 245

D SO’ LU’O˙’C VE MAPLE

Maple là mo˙t he

˙thong tính toán trên các bie’u thu’c da

˙i so và minh ho

˙a toán ho

˙c

ma˙nh me cu’ a công ty Warterloo Maple Inc., ra do’i nam 1991, den nay (2006) dã

phát trie’n den phiên ba’ n 10. Maple có cách cài da˙t do’n gia’ n, cha

˙y trên tat ca’ các

he˙

dieu hành, có cau trúc linh hoa˙t de’ su’’ du

˙ng toi u’u cau hình máy và da

˙c bie

˙t có

trình tro’ giúp (Help) rat de su’’ du˙ng. Tu’ phiên ba’ n 7 tro’’ di, Maple cung cap ngày

càng nhieu các công cu˙

tru˙’c quan, các gói le

˙nh tu

˙’ho

˙c gan lien vo’i toán pho’ thông

và da˙i ho

˙c. U’u die’m dó làm cho nhieu nu’o’c trên the gio’i lu

˙’a cho

˙n su’’ du

˙ng Maple

cùng các phan mem toán ho˙c khác trong da

˙y ho

˙c toán. Vie

˙c su’’ du

˙ng Maple cung

nhu’ công nghe˙

thông tin trong da˙y và ho

˙c toán là mo

˙t xu hu’o’ng ngày càng pho’

bien trên the gio’i và to’ ra là mo˙t phu’o’ng tie

˙n ho tro’ dac lu

˙’c nham làm cho vie

˙c

da˙y-ho

˙c toán tro’’ nên thu

˙’c tien ho’n, dáp u’ng nhu cau phát trie’n cu’ a giáo du

˙c hie

˙n

da˙i. Phan này cung cap nhu’ng kien thu’c co’ ba’ n ve Maple de’ ngu’o’i do

˙c có the’ khai

thác su’’ du˙ng nó trong vie

˙c ho

˙c ta

˙p và gia’ ng da

˙y toán ho

˙c, trong dó có Lí thuyet

Tru’o’ng và Galois. Do˙c gia’ có the’ tìm hie’u thêm ve Maple trong các tài lie

˙u tham

kha’ o [8] và [10].

Nguyen Chánh Tú

http://www.maplesoft.com

246 PHU˙

LU˙C

Các tính nang co’ ba’ n cu’ a Maple.Có the’ nêu van tat các chu’c nang co’ ba’ n cu’ a Maple nhu’ sau.

- là mo˙t he

˙thong tính toán trên các bie’u thu’c so ho

˙c và da

˙i so ;

- có the’ thu˙’c hie

˙c du’o’c hau het các phép toán co’ ba’ n trong chu’o’ng trình toán

da˙i ho

˙c và pho’ thông ;

- cung cap các công cu˙

minh ho˙a hình ho

˙c thua

˙n tie

˙n gom: ve do thi

˙tınh và do

˙ng

cu’ a các du’o’ng và ma˙t du’o’c cho bo’’i các hàm tùy ý trong nhieu he

˙to˙a do

˙khác

nhau ;

- mo˙t ngôn ngu’ la

˙p trình do’n gia’ n và ma

˙nh me, có kha’ nang tu’o’ng tác vo’i các

ngôn ngu’ la˙p trình khác ;

- cho phép trích xuat du’ lie˙u ra các di

˙nh da

˙ng khác nhau nhu’ LaTex, Word,

HTML,...

- Mo˙t công cu

˙biên soa

˙n giáo án và bài gia’ ng die

˙n tu’’ ;

- cung cap mo˙t môi tru’o’ng da

˙y-ho

˙c tu’o’ng tác tru

˙’c tiep.

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 247

Giao die˙n và le

˙nh trong Maple.

Giao die˙n cu’ a Maple du’o’c the’ hie

˙n nhu’ trong Hình 12.

Hình 12: Giao die˙n cu’ a Maple

Le˙nh cu’ a Maple du’o’c gõ vào trang làm vie

˙c (worksheet) ta

˙i dau nhac le

˙nh ">" và

theo ngam di˙nh du’o’c hie’n thi

˙bang font Courier màu do’ . Mo

˙t le

˙nh du

˙’o’c ket thúc

Nguyen Chánh Tú

248 PHU˙

LU˙C

bo’’i dau ":" hoa˙c dau ";" và du’o’c ra le

˙nh thu

˙’c hie

˙n bang vie

˙c nhan Enter khi con tro’

dang o’’ trên dòng le˙nh. Ket qua’ cu’ a le

˙nh du’o’c hie’n thi

˙ngay bên du’o’i dòng le

˙nh

neu dùng dau ";".

Maple có di˙ch vu

˙tro’ giúp khá day du’ và thua

˙n lo’i bao gom cú pháp, gia’ i thích

cách dùng và các ví du˙

di kèm. De’ nha˙n du’o’c tro’ giúp, có the’ dùng mo

˙t trong các

cách sau. Neu dã biet tên le˙nh thì tu’ dau nhac gõ vào, ví du

˙:

> ?factor

Neu dùng mo˙t gói le

˙nh thì khi na

˙p gói le

˙nh bang le

˙nh “with”, Maple se hie’n thi

˙toàn bo

˙le˙nh trong gói dó. Mo

˙t cách thông du

˙ng nu’a là dùng trình Help|Topic

Search roi gõ vào tu’ khóa can tìm.

Các môi tru’o’ng làm vie˙c.

Maple có 2 môi tru’o’ng làm vie˙c là toán và van ba’ n. Ngu’o’i dùng có the’ chuye’n

do’i mo˙t cách de dàng giu’a 2 môi tru’o’ng này de’ ta

˙o ra mo

˙t môi tru’o’ng tu’o’ng tác

khi da˙y-ho

˙c qua he

˙thong e-learning hoa

˙c trích xuat ra bài gia’ ng hoàn chı’nh sau

này. Khi kích ho˙at Maple, trang làm vie

˙c mo’’ ra vo’i môi tru’o’ng toán. Con tro’ nam

o’’ dau nhac “>” màu do’ . Muon chuye’n sang môi tru’o’ng van ba’ n, chı’ can kích chuo˙t

Nguyen Chánh Tú

PHU˙

LU˙C 249

vào bie’u tu’o’ng T trên thanh công cu˙

hoa˙c vào Insert | Text, hay dùng to’ ho’p phím

Ctrl+T. Trong môi tru’o’ng van ba’ n, Maple cho phép biên soa˙n tài lie

˙u theo cau

trúc, cho phép hie’n thi˙

theo nhieu tang lo’p, rat phù ho’p vo’i vie˙c gio’i thie

˙u to’ng

quan hoa˙c to’ng ket ôn ta

˙p. Giong nhu’ mo

˙t he

˙soa

˙n tha’ o van ba’ n, Maple cho phép

thay do’i các font chu’, màu sac và da˙c bie

˙t có the’ ta

˙o ra các bookmark de’ truy xuat

nhanh chóng den các vi˙

trí tùy ý trong trang làm vie˙c hie

˙n hành hay các trang

làm vie˙c khác ; ta

˙o ra các siêu liên ket de’ noi vo’i trang web hay phan tro’ giúp cu’ a

Maple.

Lu’u giu’ và trích xuat du’ lie˙u.

Trang làm vie˙c cu’ a Maple se du’o’c lu’u giu’ bang file có duôi ".mws". File du’o’c lu’u

giu’ bang trình File|Save. Mo˙t file dã có du’o’c mo’’ bang File|Open. Ngoài vie

˙c lu’u

giu’ bang di˙nh da

˙ng cu’ a Maple nhu’ trên, du’ lie

˙u có the’ du’o’c trích xuat thành các

di˙nh da

˙ng khác nhu’ Word, LaTex hay HTML. Trích xuat bang File|Export.

Nguyen Chánh Tú

250 Hu’o’ng dan gia’ i bài ta˙p

HU’O’NG DAN GIA’ I BÀI TA˙P

Chu’o’ng 00. 1. a) D

b) S

c) D

d) D

e) S

f) S

g) S

h) D (S, S)

i) S

0. 2. Kie’m tra tru˙’c tiep ϕ(ab) = (ab)p = apbp = ϕ(a)ϕ(b). Tu’o’ng tu

˙’

ϕ(a + b) = (a + b)p = ap + bp

do p là u’o’c cu’ ap !

(p − k)!k!và p a = 0, ∀a ∈ F . Neu F là hu’u ha

˙n, ánh xa

˙ϕ

là do’n cau nên cung là da’ ng cau.

0. 3. Xét tu’o’ng u’ng ϕ(m/n) := τ (m)τ (n)−1. De dàng chı’ ra ϕ là mo˙t ánh xa

˙và là dong cau tru’o’ng. Ho’n nu’a, neu ton ta

˙i dong cau φ : FD −→ K tho’ a

Nguyen Chánh Tú

Hu’o’ng dan gia’ i bài ta˙p 251

φ(a) = τ (a), ∀a ∈ D thì

φ(m/n) = φ(m)φ(n)−1 = τ (m)τ (n)−1 = ϕ(m/n).

Va˙y ϕ xác di

˙nh duy nhat.

0. 4. Go˙i ϕ : Q −→ Q là mo

˙t dong cau tru’o’ng. Ta có ϕ(1) = 1. Vo’i mo

˙i n ∈ N, de

thay rang ϕ(n) = ϕ(n 1) = nϕ(1) = 1. Ma˙t khác] ϕ(−n) = −ϕ(n) = −n.

Va˙y ϕ(m) = m, ∀m ∈ Z. Ho’n nu’a

ϕ(1) = ϕ(n1

n) = nϕ(

1

n) = 1.

Do dó ϕ(1

n) =

1

n. Cuoi cùng

ϕ(m

n) = ϕ(m

1

n) = ϕ(m)ϕ(

1

n) = n

1

m=

m

n,

vo’i mo˙im

n∈ Q. Nhu’ the ánh xa

˙dong nhat là tu

˙’dong cau tru’o’ng duy nhat cu’ a

Q. Tu’o’ng tu˙’

vo’i ta˙p các tu

˙’dong cau cu’ a tru’o’ng Zp. Cuoi cùng theo 0. 2, ánh xa

˙Frobenius là phép dong nhat, suy ra dieu pha’ i chu’ng minh.

Nguyen Chánh Tú


0. 5. Neu có dong cau ψ : Q −→ F thì F chu’a mo˙t tru’o’ng con da’ ng cau vo’iQ. Do dó

0 là da˙c so cu’ a F . Tu’o’ng tu

˙’cho tru’o’ng ho’p Zp. Ngu’o’c la

˙i neu F là tru’o’ng có da

˙c

so 0 thì ton ta˙i dong cau tru’o’ng ϕ : Q −→ F sao cho ϕ(m

n) = (m1F )(n1F )−1

(xem trang 23). Ho’n nu’a, neu có ψ : Q −→ F là mo˙t dong cau tru’o’ng thì chı’

ra rang ϕ(mn) = (m1F )(n1F )−1. Do dó ϕ là duy nhat. Chu’ng minh tu’o’ng tu

˙’cho Zp.

0. 6. Neu ∃a ∈ Zp sao cho 2 = a2 thì

f = x4 − 10x2 + 1 = (x2 − 1)2 − a6x2 = (x2 + a3x − 1)(x2 − a3x − 1).

Neu ∃b ∈ Zp sao cho b2 = 3 thì f = (x2 + 1)2 − (2bx)2. Cuoi cùng neu 2 và 3

deu không chính phu’o’ng trong Zp thì 6 chính phu’o’ng trong Zp. Dieu này suyra tu’ tính chat do’n gia’ n rang trong mo

˙t nhóm xyclic, tích cu’ a 2 phan tu’’ không

chính phu’o’ng là chính phu’o’ng. Theo 0. 18, nhóm Z×p cyclic. Trong tru’o’ng ho’p

này f = (x2 − 5)2 − 24 kha’ quy.

0. 7. Do F [x] là mien nguyên Euclide nên là mien nguyên chính. Thu˙’c ra, ta có the’

chu’ng minh tru˙’c tiep rang, vo’i mo

˙i idêan thu

˙’c su

˙’I ⊂ F [x], go

˙i f ∈ I là da

Nguyen Chánh Tú


thu’c có ba˙c nho’ nhat trong các da thu’c thuo

˙c I. De dàng chı’ ra I = (f).

Neu f không bat kha’ quy, go˙i h là mo

˙t u’o’c thu

˙’c su

˙’cu’ a f . Khi dó

(f) ⊂ (h) 6= F [x]. Nghıa là f không toi da˙i. Ngu’o’c la

˙i neu (f) không toi

da˙i thì (f) ⊂ m 6= F [x] vo’i m là mo

˙t idêan thu

˙’c su

˙’cu’ a F [x]. Go

˙i m = (h)

thì h là mo˙t u’o’c thu

˙’c su

˙’cu’ a f . Va

˙y f không bat kha’ quy.

0. 8. Gia’ su’’ f = gh vo’i g là mo˙t u’o’c bat kha’ quy thu

˙’c su

˙’cu’ a f . Khi dó f = gh. Vì

he˙

so cao nhat cu’ a f không chia het cho p nên g là mo˙t u’o’c bat kha’ quy thu

˙’c

su˙’

cu’ a f . Vô lí !

0. 9. d = x + 2, s = 2 và t = 2x2 + 8x + 6.

0. 10. Chu’ng minh tu’o’ng tu˙’

nhu’ doi vo’i tru’o’ng ho’p Z và Q.

0. 11. a) f = x4 + 1 bat kha’ quy trên Q, dùng tiêu chua’n Eisentein vo’i f(x − 1).

b) x4 + 1 = (x2 − √2x + 1)(x2 +

√2x + 1) là da

˙ng nhân tu’’ hóa trong R[x].

c) x7 + 11x3 − 33x + 22 bat kha’ quy theo Eisentein cho p = 11.

d) g = x4+x3+x2+x+1 bat kha’ quy, dùng tiêu chua’n Eisenstein vo’i g(x+5).

Nguyen Chánh Tú


e) Chú ý x3 − 7x2 + 3x + 3 có nghie˙m 1.

f) Bat kha’ quy, có the’ chu’ng minh bang cách ha˙n che x4 + 15x3 + 7 trên Z2.

g) Bat kha’ quy trên Z17.

h) x3 − 5 = (x + 8)(x2 + 3x + 9) trong Z11[x].

0. 12. Chú ý rang

c) x5 + x + 1 = (x2 + x + 1)(x3 − x2 + 1).d) x4 − 6x2 + 11 bat kha’ quy trên Q.

0. 13. x2 + bx + c ∈ Z5 bat kha’ quy khi và chı’ khi ∆ = b2 − 4c không chínhphu’o’ng trong Z5. Các da thu’c chua’n tac, bat kha’ quy ba

˙c 2 là

x2 + x + 2, x2 + 4x + 2, x2 + 3x + 4, x2 + 2x + 4,

x2 + 2x + 3, x2 + 4x + 1, x2 + x + 1, x2 + 2

x2 + 3, x2 + 3x + 3.

0. 14. Go˙i f = gh vo’i h ∈ Q[x] chua’n tac. Go

˙i m, n ∈ N có so thu’a so nguyên to ít

nhat sao cho mg, nh ∈ Z[x]. Khi dó ta có mnf = (mg)(nh). Ga’ i su’’ mn 6= 1.

Nguyen Chánh Tú


Go˙i p | mn. Khi dó p | (mg) hay p | nh. Suy ra p chia het tat ca’ các he

˙so cu’ a

g hay cu’ a h. Khi dó mpg ∈ Z[x] hay n

ph ∈ Z[x]. Vô lí vo’i cách cho

˙n m, n.

0. 15. Trong Zp[x] có dúng p2 da thu’c chua’n tac ba˙c 2. Trong dó có p da thu’c da

˙ng

(x − a)2 và (p2 − p)/2 da thu’c da˙ng (x − a)(x − b) vo’i a 6= b. Suy ra so da

thu’c bat kha’ quy.

0. 17. Vo’i mo˙i x ∈ N, x ≤ qn, ta có x = nt+y vo’i 0 ≤ t ≤ q−1 và 0 ≤ y ≤ n−1.

Do (x, n) = (y, n), moi giá tri˙y ≤ n tho’ a (y, n) = 1 có dúng q giá tri

˙x ≤ qn

sao cho (x, n) = 1. Nhu’ the so các giá tri˙

x ≤ qn sao cho (x, n) = 1 bangqϕ(n).

a) Neu q | n thì (x, n) = (x, qn). Do dó ϕ(qn) = qϕ(n).

b) Neu p nguyên to và (n, p) = 1 thì (x, pn) = 1 khi và chı’ khi (x, n) =

(x, p) = 1. Nhu’ the ϕ(pn) bang vo’i so giá tri˙x ≤ pn tho’ a (x, n) = 1 tru’

di cho các giá tri˙

cu’ a x tho’ a (x, p) 6= 1. Do (p, n) = 1, các giá tri˙x nhu’ the

có da˙ng x = pt vo’i t ≤ n và (t, n) = 1. Suy ra ϕ(pn) = pϕ(n) − ϕ(n).

c) Su’’ du˙ng 2 ket qua’ trên và chu’ng minh bang quy na

˙p theo m.

Nguyen Chánh Tú


d) Tu’ câu c), ta có ϕ(pm) = (p − 1)pm−1 vo’i mo˙i so nguyên to p. Cho

a = pm11 · · · pmr

r . Dùng quy na˙p theo r.

e) Tu’ d), suy ra

ϕ(pm11 · · · pmr

r ) = (p1 − 1)pm1−11 · · · (pr − 1)pmr−1

r .

Bien do’i ve công thu’c chı’ ra. Chu’ng minh∑m

i=0 ϕ(pi) = pm, bang cách khaitrie’n ve trái. Phân tích n = pm1

1 · · · pmrr roi chu’ng minh dúng cho n.

0. 18. Nhac la˙i công thu’c Euler :

∑d|n ϕ(d) = n vo’i ϕ(d) là so các so nguyên du’o’ng

không vu’o’t quá d và nguyên to cùng nhau vo’i d. Go˙i n = (G : 1) vo’i G là

nhóm con cu’ a F ∗. Vo’i d|n, go˙i ψ(d) là so các phan tu’’ cu’ a G có ba

˙c d. Nhu’ the∑

d|n ψ(d) = n.

Chú ý rang các phan tu’’ có cap d deu là nghie˙m cu’ a da thu’c xd − 1, do dó

neu có a ∈ G là mo˙t phan tu’’ cap d thì mo

˙i phan tu’’ cap d deu thuo

˙c vào

nhóm cyclic (a) = 1, a, . . . , ad−1. Do dó so các phan tu’’ cap d dúng bangϕ(d). Nói cách khác, neu ton ta

˙i mo

˙t phan tu’’ cap d thì ψ(d) = ϕ(d). Suy

ra ψ(d) ≤ ϕ(d), ∀ d|n. Ma˙t khác, do

∑d|n ψ(d) =

∑d|n ϕ(d) = n, ta có

Nguyen Chánh Tú


ψ(d) = ϕ(d), ∀ d|n. Nói cách khác ψ(n) 6= ∅ nên ton ta˙i mo

˙t phan tu’’ cap n

trong G.

0. 19. Cho ϕ là mo˙t tu

˙’dong cau cu’ a R. Chı’ ra ϕ(a) = a, ∀a ∈ Q. Ma

˙t khác, chı’

ra ϕ(r) > 0 neu r > 0, r ∈ R. Suy ra ϕ(a) < ϕ(b) neu a < b.

Neu có r ∈ R sao cho ϕ(r) 6= r. Gia’ su’’ ϕ(r) < r. Lay a ∈ Q sao choϕ(r) < a < r. Suy ra a < ϕ(r). Vô lý. Vô lý cung xa’ y ra khi ϕ(r) > r. Va

˙y

ϕ(r) = r, ∀r ∈ R.

§ 11. 1. Các tru’o’ng ho’p a), b) và d) là các mo’’ ro

˙ng tru’o’ng.

1. 2. Deu là các mo’’ ro˙ng ba

˙c 2.

1. 3. Go˙i ϕ : Q[

√3] −→ Q[

√5] là mo

˙t da’ ng cau tru’o’ng. Go

˙i ϕ(

√3) = a+ b

√5. Ta

có 3 = (a+b√

5)2 = (a2 +5b2)+2ab√

5. Suy ra 2ab√

5 = 0 và a2 +5b2 = 3.Chı’ ra rang không ton ta

˙i a, b ∈ Q nhu’ the.

Nguyen Chánh Tú


1. 4. Neu [R : Q] hu’u ha˙n thì R dem du’o’c do Q dem du’o’c. Vô lý. Hoa

˙c chı’ ra trong

R có mo˙t ta

˙p vô ha

˙n do

˙c la

˙p tuyen tính.

1. 5. Xét tru’o’ng ho’p P ∼= Q. Khi dó mo˙i phan tu’’ cu’ a a ∈ P deu viet du’o’c du’o’i

da˙ng (m1K)(n1K)−1 vo’i m, n ∈ Q. Do dó ϕ(a) = a, ∀a ∈ K. Làm tu’o’ng tu

˙’cho tru’o’ng ho’p P ∼= Zp.

1. 7. Go˙i E là mo

˙t tru’o’ng trung gian cu’ a F ⊂ K. Xét [K : F ] = [K : E][E : F ].

1. 8. a) De dàng chı’ ra τ∗ là dong cau vành. Ho’n nu’a τ∗ là do’n cau do τ là do’n cau.Cuoi cùng, neu τ toàn cau thì chı’ ra τ∗ cung là toàn cau.

b) Chu’ng minh tu’o’ng tu˙’

nhu’ trong Me˙nh de 1.3.

§ 22. 1.a) D b) D c) S d) S e) S

f) D g) D h) D i) S j) D

Nguyen Chánh Tú


2. 2. Tru’o’c het chı’ ra da thu’c f = x3 − x2 + x + 2 bat kha’ quy. Da˙t

g = (x2 + x + 1)(x2 − x).

Tìm du’ cu’ a phép chia g cho f (có the’ dùng Maple). Ta có g = fq + (−4x − 2).Suy ra u = (α2 + α + 1)(α2 − α) = g(α) = −4α − 2.

Tu’o’ng tu˙’, da

˙t h = x − 1. Do (h, f) = 1 (chu’ng minh), ton ta

˙i s, t ∈ Q[x] sao

cho hs + ft = 1. Khi dó s(α) = h(α)−1 = (α − 1)−1. Tìm du’o’c (có the’ dùngMaple), −1/3 − α2/3 = (α − 1)−1.

2. 3. Su’’ du˙ng He

˙qua’ 2.6.

2. 4. Neu u ∈ K là mo˙t nghie

˙m cu’ a f . Xét

[K : F ] = [K : F (u)][F (u) : F ].

Suy ra dieu vô lý.

2. 5. Go˙i u là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Ta có

[K(u) : F ] = [K(u) : K][K : F ] = [K(u) : F (u)][F (u) : F ].

Nguyen Chánh Tú


Chı’ ra [K(u) : K] = m. Suy ra f bat kha’ quy trên K.

2. 6. a) ba˙c 4.

b) ba˙c 6, c) ba

˙c 6 và f) ba

˙c 12, su’’ du

˙ng bài ta

˙p 2. 5.

d) ba˙c 3 vo’i chú ý Q(

√27, 3 +

√12) = Q(

√3).

e) ba˙c 4 vo’i chú ý Q(

√18, 4√2) = Q( 4√2).

2. 7. Su’’ du˙ng He

˙qua’ 2.7.

2. 8. Chú ý rang√

a − √b =

a − b√

a +√

b∈ Q(

√a +

√b). Suy ra

√a và

√b deu

thuo˙c Q(

√a +

√b).

2. 9. a) gom các da thu’c chı’ chu’a các do’n thu’c vo’i so mu chan.

2. 10. Các da thu’c toi tie’u lan lu’o’t là :

a) x2 − x − 1 ∈ Q[x].

b) x2 + x + 1 ∈ Q[x].

c) x2 − (t + 1) ∈ Z3(t)[x].

Nguyen Chánh Tú


d) u = 4√5 +√

5. Suy ra 4√5 = u − √5. Do dó

√5 = u2 − 2u

√5 + 5. Hay√

5(1 + 2u) = u2 + 5. Suy ra u4 − 10u2 − 20u + 20 = 0.

e) u = 3√2 + 3√4. Suy ra u3 = 6 + 6( 3√2 + 3√4) = 6 + 6u.

f) v = u2+u. Do u3+3u2 −3 = 0, ta có v2 = 4u2+3u−3 = 4v−u−3. Ma˙t

khác v3 = 15u2+9u−15 = 15v−6u−15. Khu’’u, ta có v3−6v2+9v−3 = 0.

g) u = ξ + ξ6. Ta có u2 = 1 − u − (ξ3 + ξ4). Do dó u3 = 3u + (ξ3 + ξ4). Suyra u2 + u3 = 1 + 2u. Chı’ ra x3 + x2 − 2x − 1 chính là da thu’c toi tie’u cu’ au.

h) ξ + ξ2 + ξ4 có da thu’c toi tie’u là x2 + x + 2.

i) ξ2 + ξ5 có da thu’c toi tie’u là x3 + x2 − 2x − 1.

2. 11. Xét dong cau vành ϕ : Q[x] −→ Q[x]/(x2 − 4x + 2) = Q(β) xác dinh bo’’ix 7→ β và a 7→ a, ∀a ∈ Q. Chı’ ra Ker(ϕ) = (x2 − 2). Suy ra dieu pha’ i chu’ngminh.

2. 12. Cho f = ax2 + bx + c ∈ F [x]. Hai nghie˙m cu’ a f thuo

˙c vào F (u) vo’i

u2 = b2 − 4ac. Ket qua’ không dúng vo’i tru’o’ng có da˙c so 2, ví du

˙trong Z2 do

Nguyen Chánh Tú


mo˙i phan tu’’ deu chính phu’o’ng.

2. 13. a) Cho K : Q là mo˙t mo’’ ro

˙ng ba

˙c 2. Khi dó K = Q(u) vo’i u có ba

˙c 2 trên Q.

Go˙i f = ax2 + bx + c ∈ Z[x] là da thu’c bat kha’ quy nha

˙n u làm nghie

˙m.

Rõ ràng Q(u) = Q(√

d) vo’i d = b2 − 4ac ∈ Z không chính phu’o’ng.

b) Go˙i K : R là mo’’ ro

˙ng ba

˙c 2. Khi dó K = R(u) vo’i u có ba

˙c 2 trên R. Go

˙i

f = x2 + bx + c ∈ R[x] là da thu’c toi tie’u cu’ a u. Tu’o’ng tu˙’R(u) ∼= R(

√d)

vo’i d = b2 − 4c < 0. Do R(√

d) ⊂ C và [C : R] = 2 nên C = R(√

d).

2. 14. Xét F ⊂ F (u) ⊂ K.

2. 15. Trong Z3 chı’ có 3 da thu’c bat kha’ quy ba˙c 2 là x2+1, x2+x+2 và x2+2x+2.

Su’’ du˙ng phu’o’ng pháp nhu’ trong Bài ta

˙p 2. 11.

2. 16. Vì x4 + x2 + 1 = x(x3 − 1) + (x2 + x + 1) nên α là nghie˙m cu’ a x2 + x + 1.

Suy ra x2 + x + 1 chính là da thu’c toi tie’u cu’ a α.

2. 17. Tu’o’ng tu˙’

nhu’ trong chu’ng minh He˙

qua’ 2.7.

2. 18. a) Rõ ràng.

Nguyen Chánh Tú


b) Neu β ∈ K là mo˙t nghie

˙m cu’ a f thì ton ta

˙i F -da’ ng cau tu’ F (α) vào F (β)

bien α thành β. Do dó ánh α 7→ ϕ(α) là toàn cau.

Ma˙t khác, neu ϕ(α) = ψ(α) thì ϕ = ψ vì 1, α, . . . , αn−1, vo’i n là ba

˙c

cu’ a α, là mo˙t co’ so’’ cu’ a F (α).

2. 19. a) Rõ ràng.

b) Cho β ∈ K là mo˙t nghie

˙m cu’ a τ∗(f). Chú ý rang τ∗ : F [x] −→ τ (F )[x]

là mo˙t da’ ng cau vành và τ∗(f) bat kha’ quy trong τ (F )[x]. Do dó τ∗(f) là

da thu’c toi tie’u cu’ a β. Ho’n nu’a, da’ ng cau vành τ∗ ca’ m sinh mo˙t da’ ng cau

tru’o’ng

ϕ : F (α) ∼= F [x]/(f) −→ τ (F )[x]/(τ∗(f)) ∼= τ (F )(β)

tho’ a ϕ(α) = β và ϕ(a) = τ (a), ∀a ∈ F . Xem ϕ nhu’ mo˙t dong cau tu’ F

vào K. Suy ra ánh xa˙

ϕ 7→ ϕ(α) là mo˙t toàn ánh. Tính do’n ánh du’o’c chu’ng

minh nhu’ trong bài ta˙p trên.

2. 20. Dùng tính chat mo˙i mo’’ ro

˙ng do’n cu’ a mo

˙t tru’o’ng dem du’o’c là dem du’o’c.

Nguyen Chánh Tú


2. 21. a) Rõ ràng.

b) “khi” là hie’n nhiên. Neu có S(E) = S(E′). Khi dó E = F (α) vo’i α2 = d ∈S(E) = S(E′) và d ∈ F không chính phu’o’ng. Do dó ton ta

˙i β ∈ E′ sao cho

α2 = β2. Rõ ràng β /∈ F và do dó E′ = F (β). Các tru’o’ng E và E′ deu da’ ngcau vo’i F [x]/(x2 − d).

c) Lay các mo’’ ro˙ng Ep := Q(

√p) cu’ a Q vo’i p nguyên to. Khi dó S(Ep) chı’

chu’a mo˙t so nguyên to là p. Thu

˙’c va

˙y xét (a + b

√p)2.

d) Mo˙t tru’o’ng có p2 phan tu’’ có tru’o’ng con nguyên to da’ ng cau vo’i Zp. Xét các

mo’’ ro˙ng ba

˙c 2 cu’ a Zp. Xét dong cau nhóm φ : Z×

p −→ Z×p cho bo’’i φ(a) = a2.

Rõ ràng Ker(φ) = ±1. Chı’ ra a’ nh cu’ a φ là nhóm con có chı’ so 2 cu’ a Z×p .

Nhu’ the S(E) bang Z×p . Cho nên chı’ có 1 mo’’ ro

˙ng ba

˙c 2 cu’ a Zp, da’ ng cau

vo’i Zp[x]/(x2 − d) vo’i d /∈ Z2p.

§ 33. 1.a) S b) D c) S d) D

Nguyen Chánh Tú


e) D f) S g) S h) D

3. 2. Go˙i K : R là mo’’ ro

˙ng da

˙i so. Xét [K : R] > 1. Lay u ∈ K \R. Chı’ ra u có ba

˙c

2 trên R. Nhu’ the C ∼= R(u) ⊂ K. Mo˙i phan tu’’ thuo

˙c K da

˙i so trên R(u) ∼= C.

Suy ra K = R(u) ∼= C.

3. 3. Vì F ( M nên ton ta˙i

f(x)

g(x)∈ M vo’i deg(f) > 0 hay deg(g) > 0. Khi dó x

là nghie˙m cu’ a da thu’c

f(t) − f(x)

g(x)g(t) ∈ M [t].

Do dó x da˙i so trên M .

3. 4. Tat ca’ deu bat kha’ quy, su’’ du˙ng Bài ta

˙p 2. 5.

3. 5. Câu tra’ lo’i kha’ ng di˙nh cho a), b) và c) là rõ ràng. Vo’i d) chú ý rang

u2 = −2v2 − 3v +11. Ket ho’p vo’i 2u = 2v2 +2v +2, ta có v = 13− u2 − 2u.Do dó Q(u) = Q(v).

Nguyen Chánh Tú


3. 6. Go˙i f = anxn+· · ·+a0 ∈ K[x]. Go

˙i u là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Xét F (a0, . . . , an, u)


˙ng da

˙i so cu’ a F . Do dó u da

˙i so trên F . Khi dó f chia het da thu’c

toi tie’u g ∈ F [x] cu’ a u.

3. 7. Cho g = a0 + · · · + anxn ∈ E[x] có ba˙c lo’n ho’n 0. Go

˙i u là mo

˙t nghie

˙m cu’ a g.

Xét F (a0, . . . , an, u) là mo˙t mo’’ ro

˙ng da

˙i so cu’ a F . Do dó u da

˙i so trên F . Go

˙i

m ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a u. Vì m phân rã trong E nên u ∈ E. Suy radieu pha’ i chu’ng minh.

3. 8. Sau này, ta thay rang ket qua’ này cung dúng khi F là tru’o’ng hu’u ha˙n. Khi

F vô ha˙n, chu’ng minh theo các go’i ý sau :

• Neu K = F (u1, u2) thì xét các tru’o’ng con

Jc = F (u1 + cu2)

vo’i c ∈ F . Do K chı’ có hu’u ha˙n các tru’o’ng con chu’a F , ton ta

˙i c 6= c′ sao

cho Fc = F ′c. Tu’ u1+cu2, u1+c′u2 ∈ F (u1+cu2), ta có u2 ∈ F (u1+cu2).

Suy ra u1 ∈ F (u1 + cu2). Hay

K = F (u1, u2) ⊂ F (u1 + cu2).

Nguyen Chánh Tú


Dùng quy na˙p, chu’ng minh cho tru’o’ng ho’p to’ng quát.

• Ngu’o’c la˙i cho F ⊂ M ⊂ F (u) = K. Go

˙i f và f1 lan lu’o’t là da thu’c toi

tie’u cu’ a u trên F và M Rõ ràng f1 | f . Ta có F (a1, . . . , am) ⊂ M vo’i ai

là he˙

tu’’ cu’ a f1. Ma˙t khác,

[F (u) : F (a1, . . . , am)] = [F (u) : M ] = deg(f1).

Do dó M = F (a1, . . . , am). Nhu’ the chı’ có hu’u ha˙n các tru’o’ng trung gian

M .

§ 44. 1. a) D b) S c) D d) S e) D

f) D g) S h) D i) D

4. 2. De dàng thay rang neu (αj, βj) là giao die’m cu’ a 2 du’o’ng tha’ ng mà phu’o’ngtrình cu’ a chúng có he

˙tu’’ trong Kj−1 thì [Kj : Kj−1] = 1. Neu (αj, βj) là giao

die’m cu’ a mo˙t du’o’ng tha’ ng d và mo

˙t du’o’ng tròn C mà phu’o’ng trình cu’ a chúng

Nguyen Chánh Tú


lan lu’o’t là :

d : ax + by + c = 0

C : (x − a1)2 + (y − b1)

2 − r2 = 0

vo’i các he˙

so trong Kj−1. Rút x hoa˙c y tu’ phu’o’ng trình cu’ a d roi thay vào

phu’o’ng trình cu’ a C, ta suy ra

[Kj−1(αj, βj) : Kj−1] ≤ 2.

Cuoi cùng xét neu (αj, βj) là giao die’m cu’ a hai du’o’ng tròn C1, C2 mà phu’o’ngtrình cu’ a chúng lan lu’o’t là:

C1 : (x − a1)2 + (y − b1)

2 − r21 = 0

C2 : (x − a2)2 + (y − b2)

2 − r22 = 0

vo’i các he˙

so trong Kj−1. Suy ra

2(a2−a1)(x−a2)+(a2−a1)2+2(b2−b1)(y−b2)+(b2−b1)

2+(r21 −r2

2) = 0.

Tu’o’ng tu˙’

nhu’ tru’o’ng ho’p trên, ta có [Kj : Kj−1] ≤ 2.

Nguyen Chánh Tú


Nhu’ the Kj = Kj−1(√

γj) vo’i aj ∈ Kj−1. Va˙y sau hu’u ha

˙n bu’o’c, ta có dieu

pha’ i chu’ng minh.

4. 3. Tu’ chu’ng minh cu’ a Di˙nh lý 4.8, ta thay rang các phan tu’’ cu’ a

Q(√

γ1, . . . ,√

γn−1) du˙’ng du’o’c, nên α, β du

˙’ng du’o’c. Suy ra (α, β) du

˙’ng du’o’c.

4. 4. Do [Q( 3√2) : Q] = 3 nên die’m ( 3√2, 0) không du˙’ng du’o’c.

4. 5. Chú ý rang [Q(√

π) : Q] = ∞ do√

π siêu vie˙t trên Q.

4. 6. a) Cho doa˙n tha’ ng AB có 2 die’m mút A, B du

˙’ng du’o’c. Du

˙’ng du’o’ng tròn tâm

A qua B và du’o’ng tròn tâm B qua A. Du’o’ng tha’ ng qua 2 giao die’m cu’ a 2du’o’ng tròn này cat AB ta

˙i trung die’m cu’ a AB.

b) Cho hình bình hành ABCD có 3 dı’nh A, B, C du˙’ng du’o’c. Du

˙’ng trung

die’m O cu’ a doa˙n tha’ ng AC. Du’o’ng tha’ ng BO cat du’o’ng tròn tâm O qua

B ta˙i dı’nh thu’ tu’ D.

4. 7. Go˙i L là tru’o’ng các so du

˙’ng du’o’c. Cho α ∈ L. Vì [Q(α) : Q] = 2m nên α da

˙i

so trên Q. Va˙y L : Q da

˙i so. Neu [L : Q] = n thì de dàng chı’ ra so 2n√

2 du˙’ng

Nguyen Chánh Tú


du’o’c nhu’ng ba˙c cu’ a nó bang 2n > n. Vô lý !

4. 8. Chı’ ra rang cos(π5) − cos(2π

5) = 1

2. Tha

˙t va

˙y

cos(π5) − cos(2π

5) = 2 sin( π

10) sin(3π

10)

=sin(2π

10) sin(6π

10)

2 cos( π10

) cos(3π10

)= 1

2.

Tu’ dó suy ra cos(π5) =

√5

4+ 1

4và cos(2π

5) =

√5

4− 1

4.

4. 9. Chú ý rang cos(2π15

) = cos(π3

− π5).

4. 12. Neu cos(β) chia 3 du’o’c, tu’c là cos(β3) du

˙’ng du’o’c. Mà cos(β

3) là nghie

˙m cu’ a

4x3 − 3x − cos β ∈ Q(cos β). Rõ ràng

[Q(cos β, cos(β/3)) : Q(cos β)] = 2r ≤ 3.

Suy ra [Q(cos β, cos(β3)) : Q(cos(β))] bang 1 hay 2. Do dó 4x3 − 3x − cos(β)

kha’ quy trên Q(cos(β)).

Ngu’o’c la˙i, neu 4x3 − 2x − cos(β) kha’ quy trên Q(cos β) thì cos(β

3) có ba

˙c 1

hoa˙c 2 trên Q(cos β). Do cos β du

˙’ng du’o’c, góc β

3du

˙’ng du’o’c.

Nguyen Chánh Tú


4. 13. Chú ý rang NOD = NDO

§ 55. 1. a) D b) D c) S d) S e) S k) D

f) S g) D h) D i) S j) D l) D

5. 2. Chu’ng minh bang qui na˙p theo r. Neu r = 1, dây chính là ket qua’ cu’ a Bài

ta˙p 2. 18. Ta viet

F (α1, . . . , αr) = F (α1, . . . , αr−1)(αr).

Khi dó, ton ta˙i F -dong cau tu’ Er−1 = F (α1, . . . , αr−1) vào K; so dong cau

không quá [Er−1 : F ] và da˙t toi da khi K chu’a n nghie

˙m phân bie

˙t cu’ a f .

Vo’i moi dong cau tu’ Er−1 vào K, ton ta˙i mo’’ ro

˙ng F -dong cau tu’ Er−1(αr)

vào K vì K chu’a nghie˙m cu’ a f . So các mo’’ ro

˙ng nhu’ the không vu’o’t quá

[Er−1(αr) : Er−1] và bang [Er−1(αr) : Er−1] khi K chu’a n nghie˙m phân bie

˙t

Nguyen Chánh Tú


cu’ a f (xem Bài ta˙p 2. 19). Nhu’ the so F -dong cau tu’ E vào K không vu’o’t quá

[Er−1(αr) : Er−1].[Er−1 : F ] = [E : F ].

So dong cau da˙t toi da khi K chu’a n nghie

˙m phân bie

˙t cu’ a f .

5. 3. Neu K = ∪Fj vo’i Fj là các tru’o’ng hoàn chı’nh. Go˙i p > 0 là da

˙c so cu’ a K.

Vo’i mo˙i a ∈ K, ton ta

˙i j sao cho a ∈ Fj. Do Fj hoàn chı’nh, phan tu’’ a có can

ba˙c p trong Fj. Neu K là mo’’ ro

˙ng da

˙i so cu’ a Zp, ta có K = ∪

αZp(α), vo’i Zp(α)

là các tru’o’ng hoàn chı’nh.

5. 5. Kie’m tra các da thu’c dó deu bat kha’ quy. Go˙i α là nghie

˙m cu’ a

f = x3 + 2x + 1. Khi dó các nghie˙m còn la

˙i cu’ a f là α + 1 và α + 2. Do

dó tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Z3 là Z3(α). Tu’o’ng tu˙’, go

˙i β là nghie

˙m cu’ a

g = x3 + x2 + x + 2. Khi dó các nghie˙m còn la

˙i cu’ a g là β2 + 1 và β2 + β + 1.

Do dó tru’o’ng phân rã cu’ a g là Z3(β).

Chú ý rang α2 là mo˙t nghie

˙m cu’ a g nên ton ta

˙i mo

˙t Z3-dong cau tu’ Z3(β) vào

Z3(α) bien β thành α2.

Nguyen Chánh Tú


5. 7. a) Go˙i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f = xp − x − a trong mo

˙t tru’o’ng phân rã cu’ a f

trên F . Khi dó α + 1, . . . , α + (p − 1) là các nghie˙m còn la

˙i cu’ a f . Gia’ su’’

f = (xm + a1xm−1 + · · · + am)(xn + · · · + bn)

vo’i m > 0, n > 0 là mo˙t phân tích cu’ a f trong F [x]. Khi dó −a1 là to’ng

cu’ a m nghie˙m cu’ a f . Do dó −a1 = mα + d vo’i m, d ∈ Zp ⊂ F . Suy ra

α ∈ F . Va˙y f phân rã trong F .

b) Xét f = xp − x − 1 trong Zp[x]. De thay rang f không có nghie˙m trong Zp

nên bat kha’ quy trên Zp.

5. 8. Viet f = a∏r

1(x − αi)mi. Khi dó

f ′ =∑ mif

x − αi

.

Do dó d =∏r

1(x − αi)mi−1. Suy ra h =

∏r1(x − αi).

5. 9. Neu f tách du’o’c thì ket lua˙n là hie’n nhiên. Neu f không tách du’o’c thì

f = f1(xp) vo’i f1 ∈ F [x] bat kha’ quy. Neu f1 không tách du’o’c, ta có

Nguyen Chánh Tú


f1 = f2(xp). Khi dó f = f2(x

p2). Tiep tu

˙c nhu’ the. Do deg(fi) > deg(fi+1),

quá trình trên se du’ng sau e bu’o’c, ta có dieu can chu’ng minh.

Cuoi cùng, da˙t g = a

∏(x − αi), vo’i αi 6= αj. Ta có

f = a∏

(xpe − αi) = a∏

(x − αi)pe

.

5. 10. Gia’ su’’ f kha’ quy. Khi dó f = gh vo’i

g = xm + a1xm−1 + · · · + a0

sao cho 0 < m < p. Trong tru’o’ng phân rã Ef cu’ a f trên F , do tính duy nhatcu’ a da

˙ng nhân tu’’ hóa, ta có

g = (x − b)m = xm + (−1)mmb xm + · · · + (−1)mbm,

xem Ví du˙

20. Suy ra a1 = (−1)mmb. Do m 6= 0 trong F , ta có b ∈ F . Vô lý !

5. 11. Ta chu’ng minh bang quy na˙p trên r. Neu r = 1, ta có

]ϕ : F (α) −→ K | ϕ|F = τ = ]β ∈ K | τ∗g(β) = 0 Nguyen Chánh Tú


vo’i g ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a α (xem Bài ta˙p 2. 19). Rõ ràng

]ϕ : F (α) −→ K | ϕ là F -dong cau, ϕ|F = τ

không vu’o’t quá [F (α) : F ] = deg(g). Neu τ∗f có n nghie˙m phân bie

˙t trong

K thì τ∗g có deg(g) nghie˙m phân bie

˙t trong K nên

]ϕ : F (α) −→ K | ϕ|F = τ = [F (α) : F ].

Ket qua’ dúng vo’i r = 1.

Ta có E = F (α1, . . . , αr) = F (α1, . . . , αr−1)(αr). Da˙t F ′ = F (α1, . . . , αr−1).

Theo gia’ thuyet quy na˙p

]ψ : F ′ −→ K | ϕ|F = τ ≤ [F ′ : F ]

và da’ ng thu’c xa’ y ra neu τ∗f có n nghie˙m phân bie

˙t trong K. Vo’i

ψ : F ′ −→ K là dong cau tho’ a ψ|F = τ có αr là nghie˙m cu’ a f tho’ a ψ∗f = τ∗f ,

do dó

]ψ : F ′(αr) −→ K | ϕ|F ′ = ψ ≤ [F ′(αr) : F ′]

Nguyen Chánh Tú


và da’ ng thu’c xa’ y ra khi τ∗f có n nghie˙m phân bie

˙t trong K. Chú ý rang

ϕ|F = ψ|F = τ . Suy ra

]ψ : E −→ K | ϕ|F = τ ≤ [E : F ′][F ′ : F ] = [E : F ]

và da’ ng thu’c xa’ y ra khi K chu’a n nghie˙m phân bie

˙t cu’ a τ∗f .

§66. 1. a) D b) S c) D d) S e) D f) S g) S

h) S i) D j) S k) D l) D m) S n) D

6. 2. a) Aut(C/R) ∼= Z2.

b) Q(ω) là tru’o’ng phân rã cu’ a f = x4 + x3 + x2 + x + 1 trên Q. Do dó(Aut(Q(ω)/A) : 1) = [Q(ω)/A) : Q] = 4.Go

˙i σ : ω 7→ ω2, khi dó

Aut(Q(ω)/A) = (σ) là nhóm cyclic cap 4. Do dó nó chı’ có mo˙t nhóm con

cap 2 là (σ2) u’ng vo’i tru’o’ng trung gian là Q(ω2 + ω3). Nó cung chính làtru’o’ng trung gian duy nhat.

Nguyen Chánh Tú


c) De dàng tìm du’o’c tru’o’ng phân rã cu’ a f = x4 − 2 là Ef = Q( 4√2, i). NhómG = Aut(Ef) (da’ ng cau vo’i nhóm doi xu’ng cu’ a hình vuông), sinh bo’’i:

σ :

i 7→ i4√2 7→ i 4√2

; τ

i 7→ −i4√2 7→ 4√2

.

Tu’ dó suy ra so’ do bao hàm các nhóm con cu’ a G nhu’ trong Hình 1.

6

6

6

Á 3

66

1

(σ2)

G

(σ)

oÁ

(τ )

](σ3τ )(στ )

(σ2τ )

7 o] 7

(σ2, τ ) (σ2, στ )

Hình 1: So’ do các nhóm con cu’ a Aut(Q( 4√

2, i)/Q).

Tính lan lu’o’t các tru’o’ng trung gian tu’o’ng u’ng, ta có so’ do các tru’o’ng trunggian nhu’ trong Hình 2.

Nguyen Chánh Tú


?

?

?+~j )

? ?ª R = ~

ª s

Q(i 4√

2) Q( 4√

2) Q(i,√

2) Q((1 + i) 4√

2) Q((1 − i) 4√

2)

Q(√

2) Q(i) Q(i√

2)

Q

Q(i, 4√

2)

Hình 2: So’ do các tru’o’ng trung gian tu’o’ng u’ng.

d) Ef = Q(θ, 3√2). Nhóm Aut(Ef)/Q(θ) ∼= Z3 sinh bo’’i σ : 3√2 7→ i 3√2. Dodó nó không có tru’o’ng trung gian nào.

e) Nhóm G = Aut(Q(√

2,√

3,√

5)/Q) là tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’cf = (x2−2)(x2−3)(x2−5) trênQ. Vì the nhóm G da’ ng cau vo’i Z2×Z2×Z2

Nguyen Chánh Tú


sinh ra bo’’i các phan tu’’ cap 2:

σ :

√2 7→ −√

2√3 7→ √

3√5 7→ √

5

; τ

√2 7→ √

2√3 7→ −√

3√5 7→ √

5

;

θ

√2 7→ √

2√3 7→ √

3√5 7→ −√

5

.

f) Tru’o’ng phân rã Ef cu’ a f = (x3 − 5)(x3 − 7) trên Q là Q( 3√5, 3√7, ξ) vo’iξ = ei2π/3. Do dó nhómAut(Q( 3√5, 3√7, ξ)/Q) có cap 18, sinh bo’’i các phantu’’

σ :

ξ 7→ ξ3√5 7→ ξ 3√53√7 7→ 3√7

; τ

ξ 7→ ξ3√5 7→ 3√53√7 7→ ξ 3√7

;

Nguyen Chánh Tú


và

θ

ξ 7→ ξ2

3√5 7→ 3√53√7 7→ 3√7

.

g) Tru’o’ng phân rã Ef cu’ a f = x6 − 5 trên Q là Q( 6√5,√−3). Do dó nhóm

Aut(Q( 6√5, i√

3)/Q) có cap 12 (da’ ng cau vo’i nhóm doi xu’ng cu’ a lu˙c giác

deu) sinh bo’’i

σ :

i√

3 7→ −i√

36√5 7→ 6√5

; τ

i√

3 7→ i√

36√5 7→ ξ 6√5

;

vo’i ξ = eπi/3 = 12+

√3

2i.

6. 3. Tru’o’ng phân rã cu’ a x5 − 2 là Q( 5√2, ξ) vo’i ξ = e2πi/5. Nhóm G có cap bang[Q( 5√2, ξ) : Q] = 20. Nhóm G không giao hoán. Go

˙i

σ :

ξ 7→ ξ5√2 7→ ξ 5√2

; τ

ξ 7→ ξ2

5√2 7→ 5√2.

Rõ ràng στ 6= τσ.

Nguyen Chánh Tú


6. 4. Tru’o’ng phân rã cu’ a f = (x3−2)(x3−5) trênQ làQ( 3√2, 3√5, ξ) vo’i ξ = e2πi/3.Nhóm Galois G có cap 18. Nhóm Galois cu’ a f trên R có cap 2.

6. 5. Chú ý rang Q(ξ) là tru’o’ng phân rã cu’ a da thu’c xn − 1 trên Q. Moi phan tu’’ ϕthuo

˙c Aut(Q(ξ)/Q) xác di

˙nh bo’’i ϕ(ξ) = ξr. De dàng kie’m tra tính giao hoán

cu’ a nhóm Aut(Q(ξ)/Q).

6. 6. Go˙i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a xp − a. Khi dó tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Q là

Q(α, ξ) vo’i ξ = e2πi/p ; trên Zp là Zp(α) vì xp − a = (x − a)p.

6. 7. a) Không dúng, cha’ ng ha˙n xét F = Z2(t

2) ⊂ Z2(t). Khi dó [E : F ] = 2 vàAut(E/F ) = 1.

b) Me˙nh de dúng vì tru’o’ng hu’u ha

˙n là tru’o’ng hoàn chı’nh nên

Aut(E/F ) ∼= Z2.

6. 8. Các nghie˙m cu’ a x5 − 1 là ξi vo’i i = 0, . . . , 4. Suy ra K = Q(ξ). Do dó nhóm

G = Aut(K/Q) có cap bang 4 và là nhóm cyclic sinh ra bo’’i σ : ξ 7→ ξ2. Vì the,G chı’ có mo

˙t nhóm con thu

˙’c su

˙’duy nhat là < σ2 >. Tru’o’ng trung gian u’ng

Nguyen Chánh Tú


vo’i nhóm con này là Q(ξ + ξ4). De dàng tìm du’o’c da thu’c toi tie’u cu’ a ξ + ξ4

là x2 + x − 1.

a) Chú ý rang

cos(2π

5) =

√5 − 1

4=

1

2(ξ + ξ4).

Suy ra tru’o’ng phân rã cu’ a (x2 − 5)(x5 − 1) chính là K.

b) Tru’o’ng phân rã cu’ a (x2 + 3)(x5 − 1) là Q(ξ, i√

3).

6. 9. Chú ý rang x3−5 bat kha’ quy trênQ(√

7). Ta có K = Q( 3√5, ξ) vo’i ξ = e2πi/3.Rõ ràng [K : Q(

√7)] = 6 và do dó G = Aut(K/Q) có cap 6. Nhóm G sinh

bo’’i các phan tu’’

σ :

ξ 7→ ξ3√5 7→ ξ 3√5

cap 3 ; τ

ξ 7→ ξ2

3√5 7→ 3√5cap 2 .

Nhóm này không giao hoán nên G ∼= S3.

Nguyen Chánh Tú


§ 77. 1. a) S b) S c) S d) D e) S f) S g) S

h) D i) D j) D k) S l) D m) S n) S

7. 2. Không dúng, cha’ ng ha˙n Q ⊂ Q(

√2) ⊂ Q( 4√2).

7. 3. Mo˙i da thu’c bat kha’ quy ba

˙c 2 trên tru’o’ng có da

˙c so khác 2 deu tách du’o’c. Trên

tru’o’ng có da˙c so 2 kha’ ng di

˙nh không dúng, ví du

˙mo’’ ro

˙ng ba

˙c hai Z2(x

2) ⊂Z2(x) không Galois vì da thu’c t2 − x2 ∈ Z2(x

2)[t] không tách du’o’c.

7. 4. Neu f bat kha’ quy trên F , go˙i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Khi dó tru’o’ng phân rã

là F (α) (xem Bài ta˙p 5. 7), và nhóm Galois cu’ a f da’ ng cau vo’i nhóm cyclic có

p phan tu’’.

7. 5. Go˙i K là tru’o’ng phân rã cu’ a f = xpn − x. Do f là da thu’c tách du’o’c, f có

dúng pn nghie˙m trong K. Ma

˙t khác neu α, β ∈ K là 2 nghie

˙m cu’ a f thì ta có

(α+β)pn= αpn

+βpn= α+β. Tu’o’ng tu

˙’(αβ)pn

= αβ. Cuoi cùng neu α 6= 0

Nguyen Chánh Tú


thì (α−1)pn= α−1. Nhu’ the ta

˙p tat ca’ các nghie

˙m cu’ a f chính là tru’o’ng phân

rã cu’ a f (sau này ta se kí hie˙u tru’o’ng có pn phan tu’’ là Fpn).

Nhóm Galois cu’ a f có n phan tu’’. Go˙i ϕ : K −→ K là ánh xa

˙Frobenius. Rõ

ràng ϕ ∈ Gal(K/F ). Chu’ng to’ rang Gal(E/F ) là nhóm cyclic sinh bo’’i ϕ.

7. 6. Ví du˙Q ⊂ Q(

√2) ⊂ Q( 4√2) ⊂ Q( 4√2, i). Gia’ i thích Q ⊂ Q(

√2) và

Q ⊂ Q( 4√2, i) là các mo’’ ro˙ng Galois nhu’ng Q ⊂ Q(

√2) không pha’ i là mo’’

ro˙ng Galois.

7. 7. Chu’ng to’ rang α =√

2 +√

2 là nghie˙m cu’ a da thu’c bat kha’ quy

f = x4 − 4x2 + 2. Chu’ng to’ rang Q(α) chu’a 4 nghie˙m cu’ a f và do dó nó

là tru’o’ng phân rã cu’ a f trên Q. Nhóm Galois cu’ a mo’’ ro˙ng da’ ng cau vo’i nhóm

cyclic có 4 phan tu’’.

7. 9. a) Nhóm Galois da’ ng cau vo’i Z2 × Z2 × Z2.

b) Nhóm Galois G =< σ, τ > vo’i σ có cap p và τ có cap p − 1. Mo˙i phan tu’’

cu’ a G có da˙ng σmτn vo’i 1 ≤ m ≤ p, 1 ≤ n ≤ p − 1.

c) Nhóm Galois da’ ng cau vo’i Z2 × Z2.

Nguyen Chánh Tú


7. 10. Xét ánh xa˙

ϕ di˙nh bo’’i σ 7→

(1 1

0 1

)và τ 7→

(−1 0

0 1

). Chu’ng minh ánh xa

˙

dó là da’ ng cau.

7. 11. Neu f có 2 nghie˙m phu’c liên ho’p thì nhóm Galois se có 1 phép chuye’n trí,

hoán vi˙

2 nghie˙m phu’c. Vô lí !

§ 88. 1. a) S b) D c) S d) D e) S

f) D g) D h) S i) D j) D

8. 2. Q(ξ) là tru’o’ng phân rã cu’ a x7 − 1 nên là mo’’ ro˙ng Galois trên Q. Phan tu’’ ξ có

da thu’c toi tie’u làx6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1.

Nhóm Galois G = Gal(Q(ξ)/Q) là nhóm cyclic cap 6 sinh bo’’i σ : ξ 7→ ξ3. Dodó các nhóm con thu

˙’c su

˙’cu’ a G là < σ2 > và < σ3 >. Do G cyclic, các tru’o’ng

Nguyen Chánh Tú


trung gian cu’ a Q(ξ) : Q deu là các mo’’ ro˙ng Galois cu’ a Q.

Tru’o’ng trung gian u’ng vo’i < σ2 > (cap 3) là M1 := Q(ξ + ξ2 + ξ4). NhómGalois cu’ a M1/M có cap bang 2. De dàng chı’ ra da thu’c toi tie’u cu’ a ξ+ξ2 +ξ4

là x2 + x + 2.

Tru’o’ng trung gian u’ng vo’i < σ3 > là Q(ξ + ξ5) có ba˙c mo’’ ro

˙ng bang 3 và da

thu’c toi tie’u cu’ a ξ + ξ5 là x3 + x2 − 2x − 1.

8. 3. (i) rõ ràng do các tu’o’ng u’ng Galois là song ánh, dong tho’i do di˙nh nghıa

M1 · · · Mr là tru’o’ng con nho’ nhat chu’a M1, . . . , Mr.

(ii) Ta chı’ can kie’m tra ∩σ∈G(σ−1Hσ) là nhóm con chua’n tac lo’n nhat chu’atrong H là du’ . Tha

˙t va

˙y, do H là mo

˙t thành phan cu’ a ∩σ∈G(σ−1Hσ) nên

chu’a ∩σ∈G(σ−1Hσ). Ho’n nu’a ∀ σ ∈ G, de dàng kie’m tra ta˙p σ−1Hσ

là mo˙t nhóm con chua’n tac, nên giao cu’ a chúng cung là mo

˙t nhóm con

chua’n tac. Cuoi cùng, gia’ su’’ N C G và N ⊂ H. Vo’i mo˙i σ ∈ G, vo’i mo

˙i

n ∈ N , ta có σnσ−1 ∈ N ⊂ H. Suy ra σnσ−1 = h, vo’i h ∈ H. Khi dón = σ−1hσ ∈ σ−1Hσ. Nhu’ the N ⊂ σ−1Hσ vo’i mo

˙i σ ∈ G. Suy ra dieu

Nguyen Chánh Tú


pha’ i chu’ng minh.

8. 4. Tru’o’ng phân rã cu’ a x3 −2 làQ( 3√2, ξ) vo’i ξ = e2πi/3. Nhóm Galois cu’ a x3 −2

là G có 6 phan tu’’ sinh bo’’i

σ :

ξ 7→ ξ3√2 7→ ξ 3√2

cap 3 ; τ

ξ 7→ ξ2

3√2 7→ 3√2cap 2 .

Nhóm G ∼= S3 và có các nhóm con thu˙’c su

˙’nhu’ sau :

• Nhóm con cap 3 duy nhat là A =< σ >. Tru’o’ng trung gian u’ng vo’i A làQ(ξ). Tru’o’ng trung gian này là mo’’ ro

˙ng Galois.

• Nhóm con cap hai B1 =< τ > u’ng vo’i tru’o’ng trung gian là Q( 3√2).

• Nhóm con cap hai B2 =< στ > u’ng vo’i tru’o’ng trung gian là Q( 3√4 ξ2).

• Nhóm con cap hai B3 =< σ2τ > u’ng vo’i tru’o’ng trung gian là Q( 3√2 ξ2).

Chú ý rang các tru’o’ng trung gian u’ng vo’i các nhóm con cap 2 deu không pha’ ilà mo’’ ro

˙ng Galois trên Q.

Nguyen Chánh Tú


8. 5. Ta phân tích tu’o’ng u’ng Galois cu’ a Bài ta˙p 7. 7. Khi dó nhóm Galois

G ∼= Z4 nên chı’ có 1 nhóm con thu˙’c su

˙’là nhóm cap 2. Go

˙i

σ :√

2 +√

2 7→√

2 − √2 là phan tu’’ sinh cu’ a nhóm Galois. Khi dó

σ2 :√

2 +√

2 = −√

2 +√

2. Nhóm con cap 2 < σ2 > u’ng vo’i tru’o’ngtrung gian Q(

√2).

8. 6. Nhóm G = Gal(K/Q(√

7)) ∼= S3. Go˙i M là tru’o’ng trung gian u’ng vo’i nhóm

thay phiên A3. Khi dó [K : M ] = 3.

8. 7. a) Khi F = Q, chu’ng minh f có dúng 3 nghie˙m thu

˙’c nên nhóm Galois da’ ng

cau vo’i S5. Có dúng 1 tru’o’ng trung gian u’ng vo’i nhóm thay phiên A5.

b) Khi F = Z2, ta có

x5 − 6x4 + 3 = (x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1).

Do dó tru’o’ng phân rã cu’ a f là mo’’ ro˙ng ba

˙c 4 cu’ a Z2, có nhóm Galois da’ ng

cau vo’i Z4. Vì va˙y có duy nhat 1 tru’o’ng trung gian nhu’ yêu cau de bài.

8. 8. a) Gal(K/Q) ∼= Z2 × Z2 và Gal(L/Q) ∼= S3.

Nguyen Chánh Tú


b) K không chu’a nghie˙m nào cu’ a f .

c) Chú ý neu K ∩ L 6= Q thì [K ∩ L : Q] = 2. Chu’ng minh dieu dó không the’

xa’ y ra. Suy ra [K ∩ L : Q] = 1.

8. 9. a) Xét F ⊂ F (√

a) ⊂ F (√

a,√

b) = K. Rõ ràng [F (√

a) : F ] = 2. Do gia’

thiet ve a, b, ta có√

b /∈ F (√

a) nên [K : F (√

a)] = 2. Suy ra [K : F ] = 4.Tru’o’ng F (

√a,

√b) là tru’o’ng phân rã cu’ a (x2 −a)(x2 − b) không tách du’o’c

nên là mo’’ ro˙ng Galois. Nhóm Galois Gal(K/F ) gom các phan tu’’ 1, σ, τ và

στ vo’i:

σ :

√a 7→ −√

a√b 7→ √

b ;τ

√a 7→ √

a√b 7→ −√

b.

Suy ra G ∼= Z2 × Z2.

b) Ngu’o’c la˙i, neu G = Aut(K/F ) ∼= Z2×Z2. Go

˙i H1 ⊂ G là mo

˙t nhóm con cap

2. Xét T (H1). Chı’ ra F ⊂ T (H1) và F 6= T (H1). Do dó [T (H1) : F ] = 2

nên T (H1) = F (√

a) vo’i a ∈ F . Tu’o’ng tu˙’, go

˙i H2 là nhóm cap 2 khác H1

cu’ a G. Ta có T (H2) = F (√

b) vo’i b ∈ F . Chı’ ra K = (√

a,√

b).

Nguyen Chánh Tú


8. 10. Nhúng Q( 8√2, i) trong mo’’ ro˙ng Galois Q( 8√2,

√i). Khi dó

[Q( 8√2,√

i) : Q( 8√2, i)] = 2 nên [Q( 8√2, i) : Q] = 16. Chı’ ra

[Q(8√2, i) : Q(i)] ∼= Z8, [Q(

8√2, i) : Q(

√2)] ∼= D8

và [Q( 8√2, i) : Q(√−2)] ∼= Q8.

8. 11. a) Rõ ràng.

b) Các nghie˙m còn la

˙i là γ = −

√1 +

√3 và δ = −

√1 − √

3.

c) VìQ(√

1 +√

3) ⊂ R còn√

1 − √3 /∈ R nên K1 6= K2. Ta có

√3 ∈ K1∩K2.

Ma˙t khác

Q ⊂ Q(√

3) ⊂ K1 ∩ K2 ⊂ K1

kéo theo [K1 : Q(√

3)] = [K1 : K1 ∩ K2)] = 2. Va˙y K1 ∩ K2 = Q(

√3).

d) Do K1 và K2 deu là các mo’’ ro˙ng ba

˙c 2 trên F nên Galois trên F . Suy ra

K1K2 Galois (xem Me˙nh de 8.5). Nhóm

Gal(K1K2/F ) ∼= Z2 × Z2.

Nguyen Chánh Tú


e) Do K1K2 chu’a tat ca’ các nghie˙m cu’ a f nên K1K2 chính là tru’o’ng phân rã

cu’ a f trên Q. Suy ra dieu pha’ i chu’ng minh.

§ 99. 1. a) D b) S c) D d) S e) D f) S g) D

h) D i) D j) S k) D l) D m) S n) Do) D p) S q) D r) D s) D t) S u) S

9. 2. Các da thu’c ba˙c 5 chua’n tac, bat kha’ quy trên Z2 là

x5 + x4 + x3 + x + 1, x5 + x4 + x2 + x + 1,

x5 + x3 + 1, x5 + x2 + 1, x5 + x4 + x3 + x2 + 1,

x5 + x3 + x2 + x + 1.

Su’’ du˙ng Maple, ta tìm du’o’c có 624 da thu’c chua’n tac, bat kha’ quy ba

˙c 5 trên

Z5. Còn trên Z3, con so tu’o’ng u’ng là 48.

Nguyen Chánh Tú


9. 3. Ta có E ∼= Fpn vo’i p nguyên to. Go˙i ba

˙c cu’ a f và g là r. Khi dó

E(α) ∼= Fprn ∼= E(β).

9. 4. Tru’o’ng Fpn là mo˙t mo’’ ro

˙ng do’n cu’ a Fp. Ton ta

˙i α ∈ Fpn sao cho

Fpn = Fp(α). Go˙i f ∈ F [x] là da thu’c toi tie’u cu’ a α. Khi dó f bat kha’

quy có ba˙c n.

9. 5. Neu p = 2, ta có x4 + 1 = (x + 1)4 ∈ Z2[x]. Neu p là so nguyên to le’ thì8|(p2 − 1). Suy ra

(x4 + 1)|(x8 − 1)|(xp2−1 − 1)|(xp2 − x).

Do dó x4 + 1 phân rã trong tru’o’ng phân rã Fp2 cu’ a xp2 − x trên Zp. Vì[Fp2 : Zp] = 2, suy ra x4 + 1 kha’ quy trên Zp.

9. 6. Q(ξ12) là tru’o’ng phân rã cu’ a x12 − 1 trên Q. Phan tu’’ ξ12 có da thu’c toi tie’ulà Φ12 = x4 − x2 + 1. Do dó nhóm G = Gal(Q(ξ12)/Q) có cap 4 và da’ ng cauvo’i Z×

12. Nhóm G sinh bo’’i

σ : ξ 7→ ξ5 = ξ3 − ξ ; τ : ξ 7→ ξ7 = −ξ.

Nguyen Chánh Tú


Khi dó các nhóm con thu˙’c su

˙’cu’ a G là 3 nhóm con cap 2 nhu’ sau :

• Nhóm H1 =< σ > có tru’o’ng trung gian tu’o’ng u’ng là Q(ξ312).

• Nhóm H2 =< τ > có tru’o’ng trung gian tu’o’ng u’ng là Q(ξ212).

• Nhóm H2 =< τσ > có tru’o’ng trung gian tu’o’ng u’ng là Q(2ξ12 − ξ312).

9. 7. Nhóm Galois G = Gal(Q(ξ13)/Q) là nhóm cyclic da’ ng cau vo’i Z12. Nhóm G

sinh bo’’i σ : ξ13 7→ ξ213.

9. 8. Neu F hu’u ha˙n thì E hu’u ha

˙n. Khi dó ket qua’ là hie’n nhiên. Neu F vô ha

˙n,

xem Bài ta˙p 3. 8.

9. 9. De dàng tính du’o’c [Fp(x, y) : Fp(xp, yp)] = p2. Go

˙i F = Fp(x

p, yp). Nhu’trong chu’ng minh cu’ a Bài ta

˙p 3. 8, xét các tru’o’ng con F (x + cy) vo’i c ∈ Fp.

Neu có F (x + cy) = F (x + c′y) vo’i c 6= c′ thì F (x + cy) = Fp(x, y). Tuynhiên, do

(x + cy)p = xp + cpyp ∈ F,

ta có [F (x + cy) : F ] ≤ p. Vô lí, va˙y các tru’o’ng con F (x + cy) vo’i c ∈ Fp là

Nguyen Chánh Tú


phân bie˙t. Suy ra dieu pha’ i chu’ng minh.

9. 10. Trong nhóm cyclic F ∗ có cap 15 có hai phan tu’’ cap 3. Suy ra x3 − 1 có dúng3 nghie

˙m trong F . Tu’o’ng tu

˙’, da thu’c x4 − 1 có mo

˙t nghie

˙m trong F ; da thu’c

x15 − 1 có 15 nghie˙m trong F và da thu’c x17 − 1 có 1 nghie

˙m trong F .

9. 11. Nghie˙m ξ cu’ a x2 = −1 là mo


˙c 4 cu’ a do’n vi

˙. Phan tu’’ ξ

thuo˙c F khi và chı’ khi F ∗ có mo

˙t phan tu’’ cap 4. Tu’o’ng du’o’ng vo’i cap cu’ a F ∗

chia het cho 4.

9. 12. Vì [Q(ζ) : Q] = 4 nên de dàng chı’ ra rang [Q(ζ) : Q(ζ3)] = 2. Suy ra khôngcó tru’o’ng con thu

˙’c su

˙’nào.

9. 13. Nhóm cyclic F ∗ có 80 phan tu’’. So nghie˙m lan lu’o’t là 80, 1, 8.

9. 14. Trên F5, da thu’c f = (x + 2)(x + 3). Do [F25 : F5] = 2 nên f phân rã trongF25. Tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F125 da’ ng cau vo’i F56.

Nguyen Chánh Tú


§ 1010. 1. a) D b) D c) D d) D e) D f) S g) D h) D i) D

j) D k) D l) S m) S n) D o) S p) D q) S


˙t nghie

˙m cu’ a f , roi phân tích f = (x − α)h trong Q(α). Trong

Maple, su’’ du˙ng le

˙nh alias và factor de’ xác di

˙nh h. Tiep tu

˙c, tìm da

˙ng nhân

tu’’ hóa cu’ a h trong Q(√

37). Ket qua’ khó có the’ viet ra trên giay !

10. 3. a) Da thu’c −x3 − 3x2 + 4x − 1 bat kha’ quy có bie˙t thu’c bang 49 nên nhóm

Galois da’ ng cau vo’i A3.

b) Da thu’c x3 + 2x2 − 2x − 2 bat kha’ quy có bie˙t thu’c bang 148, nên nhóm

Galois da’ ng cau vo’i S3.

c) Da thu’c 7x3 + 10x2 + 5x + 1 bat kha’ quy có bie˙t thu’c bang -23, nên nhóm


d) Da thu’c x3 + x − 1 bat kha’ quy có bie˙t thu’c bang −31, nên nhóm Galois

da’ ng cau vo’i S3.

Nguyen Chánh Tú


e) Da thu’c x3 − 2x − 2 bat kha’ quy có bie˙t thu’c bang −76, nên nhóm Galois

da’ ng cau vo’i S3.

f) Da thu’c x3 − x + 1/3 bat kha’ quy có bie˙t thu’c bang 1, nên nhóm Galois

da’ ng cau vo’i A3.

g) Da thu’c x3 − 3x + 1 bat kha’ quy có bie˙t thu’c bang 81, nên nhóm Galois

da’ ng cau vo’i A3.

h) Da thu’c x3 + 2x2 − 2x − 2 bat kha’ quy có bie˙t thu’c bang 148, nên nhóm


10. 4. a) Da thu’c f = x4 − x2 + 4x + 5 bat kha’ quy trên Q (có the’ dùng Maple de’

kie’m tra). Gia’ i thu’c ba˙c 3 cu’ a f là

h = x3 + 2x2 − 19x + 16 = (x − 1)(x2 + 3x − 16)

có bie˙t thu’c bang 10512 = 24.32.73. Vì f bat kha’ quy trên Q(

√73) nên

nhóm Galois là D8.

b) Da thu’c x4 + x2 + 3x + 5 bat kha’ quy trên Q, có gia’ i thu’c làh = x3 − 2x2 − 19x + 9 bat kha’ quy trên Q. Ngoài ra, bie

˙t thu’c cu’ a

Nguyen Chánh Tú


chúng là 33137 không chính phu’o’ng. Nên nhóm Galois cu’ a da thu’c là S4.

c) Da thu’c x4 + 3x + 1 bat kha’ quy trên Q (có the’ ha˙n che trên Z2[x]), có gia’ i

thu’c là x3 + 9 − 4x bat kha’ quy và bie˙t thu’c là −1931. Do dó nhóm Galois

là S4.

d) Da thu’c x4 − 4x2 − 4x − 2 có nhóm Galois là S4.

e) Da thu’c x4 − 4x − 2 có nhóm Galois là S4.

f) Da thu’c x4 +2x2 −4 có gia’ i thu’c là h = x3 −4x2 +20x. Nhóm Galois da’ ngcau vo’i D8.

g) Da thu’c x4 − x3 − 3x + 4 bat kha’ quy, có gia’ i thu’c làx3 + 3

4x2 − 205

16x + 625

64bat kha’ quy, có bie

˙t thu’c 4225 = 52.132 nên nhóm

Galois da’ ng cau vo’i A4.

h) Da thu’c x4 + 2x3 + 2x2 − 4x + 2 bat kha’ quy, có gia’ i thu’c làh = x3 − x2 − 17x + 25 bat kha’ quy và bie

˙t thu’c bang 10816 = 26.132 nên

có nhóm Galois da’ ng cau vo’i A4.

Nguyen Chánh Tú


i) Da thu’c f = x4 − 4x3 + 5x2 − 2x + 1 có gia’ i thu’c là

h = x3 + 2x2 − 3x = x(x + 3)(x − 1)

nên nhóm Galois da’ ng cau vo’i V . Chú ý rang neu da˙t x = u + 1 thì có da

thu’c theo u là g = u4 − u2 + 1 nên de dàng suy ra g bat kha’ quy. Chú ýrang tru’o’ng phân rã cu’ a f là Q(α) vo’i α là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f . Dùng Maple

de’ tìm các nghie˙m còn la

˙i cu’ a f theo α.

j) Giong nhu’ tru’o’ng ho’p trên, da thu’c x4 + 2x2 + 4 có nhóm Galois da’ ng cauvo’i V .

10. 5. Gia’ i thu’c cu’ a da thu’c x4+ax2+b kha’ quy nên nhóm Galois cu’ a nó không the’

có quá 8 phan tu’’. Neu b chính phu’o’ng thì nhóm Galois là nhóm V ∼= Z2 × Z2.

10. 6. Suy ra tru˙’c tiep tu’ tiêu chua’n trong mu

˙c 10.3.


˙t nghie

˙m cu’ a f thì tru’o’ng phân rã cu’ a f trên F là F (α). Do dó

cap cu’ a nhóm Galois Gf là 3. Nhu’ the Gf = A3, suy ra dieu pha’ i chu’ng minh.

Nguyen Chánh Tú


§ 1111. 1. a) S b) S c) S d) D e) D f) S g) D

h) D i) S j) D k) D l) D m) D

11. 2. a) Bie˙t thu’c cu’ a f là D = −567 = −34.7. Mo

˙t nghie

˙m cu’ a f cho bo’’i

3

√−5

2+

1

2

√21 +

3

√−5

2− 1

2

√21.

b) Ta có t3 − 7t + 6 = (t − 1)(t − 2)(t + 3).

c) Ta có t3 + t2 − 2 = (t − 1)(t2 + 2t + 2). Tu’ công thu’c nghie˙m Cardano, suy

ra3√

26 + 15√

3 = 2 +√

3,3√

26 − 15√

3 = 2 −√

3.

d) Thay t = u + 5/3 , ta có da thu’c g = u3 − 133u + 65

27. Ta có bie

˙t thu’c cu’ a

g là (13)2, nên có 3 nghie˙m thu

˙’c. Bie’u dien can thu’c cu’ a 1 nghie

˙m cu’ a da

thu’c ban dau là3

√−65

54+

13

18

√−3 +3

√−65

54− 13

18

√−3 + 5/3.

Nguyen Chánh Tú


e) Gia’ i thu’c cu’ a f là x3 + 3/4x2 + 99/16x + 289/64. Thay x = u − 1/4, tacó da thu’c theo u là h = u3 + 6u + 3.

f) Da thu’c f = t4 +4t +2 bat kha’ quy, có gia’ i thu’c là x3 − 8x +16. Bie˙t thu’c

cu’ a chúng là −4864 = −28.19

g) Da thu’c f dã cho có da˙ng nhân tu’’ hóa

f = (t2 − t + 1)(t4 + 3t3 − 3t2 + 3t + 1).

Da˙t g = t4 + 3t3 − 3t2 + 3t + 1. Khi dó g có gia’ i thu’c là

h = x3 +51

4x2 +

899

16x +

7569

64

=1

64(4x + 29)(16x2 + 88x + 261).

11. 3. Chı’ ra rang neu tru’o’ng K là mo’’ ro˙ng hu’u ha

˙n sinh cu’ a mo

˙t tru’o’ng dem

du’o’c F thì K dem du’o’c.

11. 4. a) bang 2 ; b) bang 0.

11. 5. Neu F có da˙c so 3 thì f = (x + 1)3. Xét F có da

˙c so khác 3. Khi dó f tách

du’o’c trên F . Bie˙t thu’c cu’ a f là 81, chính phu’o’ng trong F nên có nhóm Galois

Nguyen Chánh Tú


chu’a trong A3. Neu f không bat kha’ quy và f phân tích thành mo˙t da thu’c

ba˙c nhat và 1 da thu’c ba

˙c 2 bat kha’ quy thì nhóm Galois chu’a mo

˙t chuye’n trí.

Vô lí ! Do dó f phân rã trong F .

Ta có the’ chı’ ra tru˙’c tiep, neu β là mo

˙t nghie

˙m cu’ a f thì các nghie

˙m còn la

˙i là

2 − β − β2, β2 − 2.

11. 6. Chu’ng minh các da thu’c dó bat kha’ quy và có dúng 2 nghie˙m không thu

˙’c.

a) Có dúng 3 nghie˙m thu

˙’c trong các khoa’ ng (−2, −1) ; (0, 1) và (1, 2).

b) Tu’o’ng tu˙’.

c) Tu’o’ng tu˙’.

d) Chu’ng minh da thu’c có dúng 5 nghie˙m thu

˙’c trong khoa’ ng (−4, 4).

Nguyen Chánh Tú

BA’ NG KÍ HIE˙U VÀ QUY U’O’C

Kí hie˙u Ý nghıa

N Ta˙p các so tu

˙’nhiên

N∗ Ta˙p các so tu

˙’nhiên khác 0

Z Vành các so nguyên

Zn Vành các lo’p modulo n

Zp Tru’o’ng các lo’p modulo p nguyên to

Fpn Tru’o’ng hu’u ha˙n có pn phan tu’’

Q Tru’o’ng các so hu’u tı’

R Tru’o’ng các so thu˙’c

C Tru’o’ng các so phu’c

Sn Nhóm doi xu’ng trên n phan tu’’

An Nhóm thay phiên trên n phan tu’’

302


sign Hàm dau cu’ a phép the

D2n Nhóm dihedral

D× Nhóm nhân các phan tu’’ kha’ nghi˙ch cu’ a vành có do’n vi

˙D∗ Ta

˙p các phan tu’’ khác 0 cu’ a mo

˙t vành D

F [x] Vành da thu’c 1 bien trên tru’o’ng F

F (x) Tru’o’ng phân thu’c hu’u tı’ trên tru’o’ng F

deg(f) Ba˙c cu’ a da thu’c f

Df Bie˙t thu’c cu’ a da thu’c f

F ⊂ E, E : F Mo’’ ro˙ng tru’o’ng

[E : F ] Ba˙c cu’ a mo’’ ro

˙ng tru’o’ng

|S| Lu˙’c lu’o’ng cu’ a ta

˙p S

(G : 1) Cap cu’ a nhóm G

303


(G : H) Chı’ so cu’ a nhóm con H trong nhóm G

Φn Da thu’c chia du’o’ng tròn

F (α) Mo’’ ro˙ng do’n sinh ra bo’’i α trên tru’o’ng F

Aut(F ) Nhóm các tu˙’

da’ ng cau cu’ a tru’o’ng F

Aut(E/F ) Nhóm các F−tu˙’

da’ ng cau cu’ a E : F

Gal(E/F ) Nhóm Galois cu’ a mo’’ ro˙ng Galois E : F

T (H) Tru’o’ng trung gian co di˙nh bo’’i H ⊂ Aut(E/F )

N (M) Nhóm con co di˙nh tru’o’ng trung gian M cu’ a E : F

304

TÀI LIE˙U THAM KHA’ O

[1] Dummit D., Foote R., Abstract Algebra, Prentice Hall (1991).

[2] Hungerford T., Abstract Algebra, Saunders College Publishing (1990).

[3] Jacobson N., Basic Algebra I, Freeman and Company (1974).

[4] Milne J.S., Fields and Galois Theory, preprint (2002).

[5] Stewart I., Galois Theory, Second edition, Chapman & Hall (1989).

[6] Weisstein E., Concise Encyclopedia of Mathematics, Second edition, WolframResearch, Inc. (2002).

[7] The MacTutor History of Mathematics archive

[8] Nguyen Chánh Tú, Su’’ du˙ng Maple trong ho

˙c ta

˙p, gia’ ng da

˙y và nghiên cu’u

toán ho˙c, Bài gia’ ng cho sinh viên nam thu’ 3, Khoa Toán, DHSP Hue (2004).

[9] Nguyen Chánh Tú, Mo’’ ro˙ng tru’o’ng và Lí thuyet Galois, NXB Giáo Du

˙c (2006),

196 tr.

305

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

[10] Tran Vui (chu’ biên), Lu’o’ng Hà, Lê Van Liêm, Hoàng Tròn, Nguyen ChánhTú, Mo

˙t so xu hu’o’ng do’i mo’i trong da

˙y ho

˙c toán o’’ tru’o’ng trung ho

˙c pho’ thông,

Giáo trình boi du’o’ng thu’o’ng xuyên giáo viên THPT chu kì III, NXB Giáo Du˙c

(2005), 224 tr.

306

Chı’ mu˙c

Kí hie˙u

F -dong causo lu’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 272

F (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53F (α) . . . . . . . . . . . . . . . .Xem mo’’ ro

˙ng do’n

F (s1, . . . , sn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53F [S] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53F [s1, . . . , sn] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53F × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44K/F . . . . . . . . . . . . .Xem mo’’ ro

˙ng tru’o’ng

K : F . . . . . . . . . . . .Xem mo’’ ro˙ng tru’o’ng

Aut(F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

AArs Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115ánh xa

˙Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Bbat kha’ quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Tiêu chua’n Eisenstein . . . . . . . . . . . 29ba

˙ccu’ a mo’’ ro

˙ng. . .Xem mo’’ ro

˙ng tru’o’ng

siêu vie˙t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

307

308 Chı’ mu˙c

bao dóngchua’n tac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146, 204

bao dóng da˙i so . . . . . . . . . . . . . . . . 73, 242

cu’ a tru’o’ng hu’u ha˙n . . . . . . . . . . . . 159

ton ta˙i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

bie˙t thu’c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

bie’u dien vòng xích . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Ccau phu’o’ng hình tròn .Xem du

˙’ng hình

không the’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81can

chuoi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202can nguyên thu’ y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160can thu’c

bie’u dien du’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202công thu’c

Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Cardano

công thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201, 215chia 3 mo

˙t góc . . . . . . . . Xem du

˙’ng hình

không the’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80chua’n tac

bao dóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204chuoi

chua’n tac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223ho’p thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

chuye’n trí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Ddau cu’ a phép the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35du

˙’ng du’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77du’o’ng tha’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Nguyen Chánh Tú

Chı’ mu˙c 309

du’o’ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79da giác deu . . . . . . . . . . . . . . 81, 85, 169die’m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78doa

˙n tha’ ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79so thu

˙’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

ta˙p các so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

du˙’ng hình3 bài toán co’ die’n . . . . . . . . . . . . . . . . 77thu’o’c ke’ và compa . . . . . . . . . . . 77, 86

Ddóng da

˙i so . . . . . . . . . . . . . . . Xem tru’o’ng

dong cau tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22F - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46tu˙’

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22da

˙c so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

do˙c la

˙p da

˙i so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

da’ ng caucu’ a các mo’’ ro

˙ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

tu˙’

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110da’ ng cau tru’o’ng

tu˙’

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22da

˙i sodo

˙c la

˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

bao dóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242mo’’ ro

˙ng. . . . . . . . . . . . . . .Xem mo’’ ro

˙ng

phan tu’’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55da

˙o hàm hình thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . 100

di˙nh lída’ ng cau

thu’ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225thu’ nhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

Nguyen Chánh Tú

310 Chı’ mu˙c

co’ ba’ n cu’ a da˙i so . . . . . . . . . . . . . . . 171

co’ ba’ n cu’ a LT Galois . . . . . . . . . . . 137Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239, 241phan tu’’ nguyên thu’ y . . . . . . . . . . . 125Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

da giác deu du˙’ng du’o’c. . . . . . . . . . . . .169

da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25doi xu’ng

so’ cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194bat kha’ quy. . . . . . .Xem bat kha’ quy

nghie˙m bo

˙i cu’ a . . . . . . . . . . . . . . . . 101

chia du’o’ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . .162bat kha’ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

chua’n tac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28nghie

˙m bo

˙i cu’ a . . . . Xem nghie

˙m bo

˙i

tách du’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98, 102

toi tie’u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58to’ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

EEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

FFermat

công thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40so nguyên to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Frobeniusánh xa

˙. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Ggap dôi hình la

˙p phu’o’ng . . . Xem du

˙’ng

hình

Nguyen Chánh Tú

Chı’ mu˙c 311

không the’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Galois

tu’o’ng u’ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85Gel’fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56gia’ i du’o’c

bang can thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202nhóm không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

gia’ i thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

gia’ i thu’c ba˙c 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

Hhàm

Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

hoàn chı’nh . . . . . . . . . . . . . . . Xem tru’o’ng

LLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208liên ho’p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

lo’p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Lindemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

MMobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

công thu’c da’ o ngu’o’c . . . . . . . . . . . . 165mo’’ ro

˙ng

do’n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55cau trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 59ph.t. nguyên thu’ y . . . . . . . . . . . . . . 55so dong cau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

da˙i so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56, 71

Nguyen Chánh Tú

312 Chı’ mu˙c

aben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203cu’ a dong cau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47can. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202cyclic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

tiêu chua’n cu’ a . . . . . . . . . . . . . . . . 128hu’u ha

˙n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

là mo’’ ro˙ng do’n . . . . . . . . . . . . . . . . 156

tiêu chua’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70hu’u ha

˙n sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

tách du’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45vô ha

˙n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

mo’’ ro˙ng tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ba˙c cu’ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

co’ so’’ cu’ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 216, 218su’’ du

˙ng . . . . . . . . . . . . . . . 158, 165, 188

Nnghie

˙m do’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

nghie˙m bo

˙i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

có . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99nghie

˙m can thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

nhómdoi xu’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31do’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228con

co di˙nh tru’o’ng trung gian . . . . . 114

dihedral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

cu’ a da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179cu’ a mo

˙t da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . 130

Nguyen Chánh Tú

Chı’ mu˙c 313

gia’ i du’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119liên ho’p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36tâm cu’ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236tu˙’

da’ ng cau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110thay phiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

nhóm conSylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239, 240trung tâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235

Pp-nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236phép chia Euclid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26phép chuye’n trí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33phép the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

chan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

phan tu’’ nguyên thu’ ydi

˙nh lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

phu’o’ng trình lo’p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Sso bo

˙i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

so nguyên to Fermat . . . . . Xem FermatSchneider. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56siêu vie

˙t

phan tu’’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55trên Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Ttách du’o’c

da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . Xem da thu’cmo’’ ro

˙ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

Nguyen Chánh Tú

314 Chı’ mu˙c

Tâm cu’ a nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236tu’o’ng u’ng Galois . . . . . . . . . .Xem Galoistru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

dóng da˙i so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

chia du’o’ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . .160con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

các phan tu’’ da˙i so . . . . . . . . . . . . . . 71

sinh bo’’i mo˙t ta

˙p . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ho’p thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145hu’u ha

˙n . . . . . . . . . . . . . 22, 40, 44, 156

hoàn chı’nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

ba˙c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

duy nhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96so da’ ng cau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112ton ta

˙i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 114co di

˙nh bo’’i nhóm con . . . . . . . . . . 114

tru’o’ng con nguyên to . . . . . . . . . . . . . . . 24

Vvành

da thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . Xem da thu’ccon sinh bo’’i mo

˙t ta

˙p . . . . . . . . . . . . . 53

vòng xích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31do

˙dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

do˙c la

˙p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Nguyen Chánh Tú

Documents

Ly thuyettruong