M A T E M A T I K A1

FON, 2008

1

Dragan �ori�, Rade Lazovi�

13.10.2008.

2

VEKTORSKI PROSTORI I SISTEMI

• VEKTORSKI PROSTORI

• SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA

• ISPITNA PITA�A

3

VEKTORSKI PROSTORI

• Definicija vektorskog prostora

• Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

• Baza i dimenzija vektorskog prostora

4

1 Definicija vektorskog prostora

Neka je V neprazan skup, neka je K poe i neka su + : V 2 → V i

· : K × V → V binarne operacije.

Definicija 1 Algebarska struktura (V,K,+, ·) je vektorski ililinearni prostor ako je:

1. (V,+) Abelova grupa,

2. α · (x+ y) = αx+ αy,

3. (α+ β) · x = α · x+ β · x,

4. (αβ) · x = α · (β · x),

5. 1 · x = x,

za sve x, y ∈ V i sve α, β ∈ K. Elementi skupa V su vektori, aelementi skupa K su skalari.

5

Ako je K = R, vektorski prostor je realan, a ako je K = C,vektorski prostor je kompleksan.

Qesto se vektorski prostor oznaqava samo sa V , a α · x sa αx.

6

Primeri

1. V = C, K = R, a + i · su standardne operacije u C,

2. V = Rn, K = R, a + i · su definisani sa:

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . .yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn),

α(x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn),

3. V = P≤n (skup svih polinoma stepena ne ve�eg od n), K = R,

a + i · su sabira�e polinoma i mno�e�e polinoma brojem,

4. V = RR (skup svih funkcija f : R→ R), K = R, a + i · sudate sa:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x),

5. V = C[a, b] (skup svih neprekidnih funkcija na [a, b]), K = R,

a + i · kao u prethodnom primeru.

7

Pomo�u datih vektora iz V mo�e da se generixe novi vektor.

Definicija 2 Linearna kombinacija vektora x1, . . . , xn iz V jevektor x dat sa

x = α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn,

gde su α1, . . . , αn skalari iz K.

Definicija 3 Ako je X = {x1, . . . , xn}, skup svih linearnihkombinacija vektora x1, . . . , xn je linearni omotaq ili lineal nadX i oznaqava se sa L(X).

Dakle,

L(X) = {α1x1 + · · ·+ αnxn | α1, . . . , αn ∈ K}.

8

2 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

Definicija 4 Vektori x1, . . . , xn vektorskog prostora V sulinearno zavisni ako postoje skalari α1, . . . , αn iz K, od kojih jebar jedan razliqit od nule i za koje va�i

α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = 0.

U protivnom, vektori x1, . . . , xn su linearno nezavisni.

Drugim reqima, vektori x1, . . . , xn su linearno nezavisni ako iz

navedene jednakosti sledi da je α1 = · · · = αn = 0.

Oqigledno je da su vektori od kojih je jedan nula vektor

linearno zavisni. Ako su x1, . . . , xn linearno zavisni, onda su i

x1, . . . , xn, x linearno zavisni.

9

Teorema 1 Vektori x1, . . . , xn su linearno zavisni ako i samo akoje jedan od njih linearna kombinacija ostalih.

Dokaz. Ako su vektori zavisni, tada u �ihovoj linearnoj

kombinaciji je bar jedan skalar razliqit od nule. Vektor uz

taj skalar je linearna kombinacija ostalih.

Obrnuto, ako je jedan od �ih linearna kombinacija ostalih,

onda je linearna kombinacija svih jednaka nuli, a jedan skalar

je jednak 1. �

Definicija 5 Beskonaqno mnogo vektora su linearno nezavisniako je svaki njihov konaqan podskup linearno nezavisan. Uprotivnom, vektori su linearno zavisni.

10

3 Baza i dimenzija vektorskog prostora

Definicija 6 Skup linearno nezavisnih vektora je bazavektorskog prostora ako je L(B) = V .

Primeri

1. Jedna baza prostora Rn je:

{(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}.

2. Jedna baza prostora P≤n(t) je:

{1, t, t2, . . . , tn}.

11

Teorema 2 Svaki vektor vektorskog prostora mo�e se najedinstven naqin izraziti kao linearna kombinacija vektorabaze.

Dokaz. Neka je x ∈ V i neka je B = {x1, . . . .xn} baza. Kako je

L(B) = V , to je x ∈ L(B). Ako pretpostavimo da je

x = α1x1 + · · ·+ αnxn = β1x1 + · · ·+ βnxn,

tada je

(α1 − β1)x1 + · · ·( αn − βn)xn = 0,

pa zbog nezavisnosti vektora baze sledi

α1 − β1 = α2 − β2 = · · · = αn − βn = 0,

odnosno α1 = β1, α2 = β2, . . . , αn = βn. �

12

Vektorski prostor ima vixe baza, ali su sve iste

kardinalnosti.

Ako baza ima konaqan broj vektora, prostor je

konaqno-dimenzionalan.

Teorema 3 Sve baze konaqno-dimenzionalnog vektorskog prostoraimaju jednak broj vektora.

13

Definicija 7 Broj elemenata baze konaqno-dimenzionalnogvektorskog prostora V 6= {0} je dimenzija tog prostora ioznaqava se sa dimV . Za V = {0} je dimV = 0.

Primeri

1. dimRn = n,

2. dimP≤n = n+ 1.

Svaki linearno nezavisan skup vektora vektorskog prostora je

ili baza ili deo neke baze.

14

Neka je V vektorski prostor dimenzije n i neka je

B = {x1, . . . , xn} jedna baza tog prostora.

Definicija 8 Ako je za

x = α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn

za x ∈ V , skalari α1, α2, . . . , αn su koordinate vektora x u bazi B.

Koordinate svakog vektora u datoj bazi su jedinstvene.

15

SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA

• Pojam sistema linearnih jednaqina

• Kramerovo pravilo

16

4 POJAM SISTEMA LINEARNIHJEDNAQINA

4.1 Definicija sistema i rexenja

Neka je K dato poe i neka aij, bi ∈ K za i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n.

Definicija 9 Sistem S oblika

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

... =...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

17

je sistem linearnih jednaqina nad poljem K sa nepoznatimx1, x2, . . . , xn, koeficijentima aij i slobodnim qlanovima bi. Ako jeb1 = b2 = · · · = bn = 0 sistem je homogen, a u protivnom jenehomogen. Sistem S je kvadratni za m = n, a pravougaoni zam 6= n.

Kra�i zapis sistema je

n∑

j=1

aijxj = bi, i = 1, 2, . . . ,m.

18

Definicija 10 Ure�ena n-torka (α1, α2, . . . , αn) ∈ Kn je rexenjesistema S ako zamenom u sistemu xk sa αk za k = 1, . . . , n dobijamom taqnih jednakosti. Sistem je rexiv (saglasan,neprotivureqan, mogu�) ako ima bar jedno rexenje, a u protivnomje nerexiv (nesaglasan, protivureqan, nemogu�, kontradiktoran).Ako sistem ima samo jedno rexenje, onda je odre�en, a ako imavixe rexenja, onda je neodre�en.

U daem je K = R. Skup svih rexe�a sistema S oznaqavamo sa

RS.

Definicija 11 Sistemi S1 i S2 su ekvivalentni ako imaju isteskupove rexenja, odnosno ako je RS1 = RS2.

19

Definicija 12 Ekvivalentne transformacije sistema su:

1. zamena mesta jednaqinama,

2. ’mno�enje’ jednaqine brojem koji nije nula,

3. ’dodavanje’ jedne jednaqine drugoj jednaqini.

Teorema 4 Ekvivalentne transformacije ne menjaju skup rexenjasistema.

20

4.2 Matriqni zapis sistema

Ako je A = (aij)m×n, B vektor slobodnih qlanova i X vektor

nepoznatih, sistem mo�e da se zapixe u obliku

AX = B,

odnosno

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

am1 am2 · · · amn

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bm

.

Matrica A je matrica sistema S, a matrica A = (A|B) je

proxirena matrica sistema.

21

Ako kolone matrice A oznaqima sa A1, . . . , An, sistem mo�e da se

zapixe i u obliku

(

A1 A2 · · · An

)

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bm

,

odnosno

x1A1 + x2A2 + · · ·xnAn = B.

Ako je A regularna matrica, rexe�e sistema je odre�eno

vektorom X = A−1 ·B (rexe�e matriqne jednaqine).

22

Primeri

1. Za sistem

ax+ by = α, cx+ dy = β

imamo matriqni zapis AX = B, gde je

A =

a b

c d

, B =

α

β

, X =

x

y

.

Ako je ad 6= bc, matrica A je regularna, pa je

X =1

ad− bc

d −b

−c a

α

β

=1

ad− bc

αd− βb

−αc+ βa

,

23

odnosno

x =αd− βbad− bc

, y =βa− αcad− bc

.

24

2. Ako je sistem AX = B dat sa

A =

2 1 −1

1 3 −2

3 −3 1

, B =

2

−3

9

,

tada je

|A| = 2, A−1 =1

2

−1 1 1

−7 5 3

−11 7 5

,

pa je

X = A−1B =1

2

−1 1 1

−7 5 3

−11 7 5

2

−3

9

=

2

−1

1

.

25

5 KRAMEROVO PRAVILO

5.1 Kramerove formule

Neka je AX = B dati kvadratni sistem sa regularnom matricom

A i neka je |A| = D.

Iz jednakosti

X = A−1B =adjA

|A|·B =

1

D

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2...

.... . .

...

A1n A2n · · · Ann

·

b1

b2...

bn

26

sledi da je

xk =1

D

n∑

i=1

biAik

za k = 1, . . . , n. Ako je Dk determinanta koja se dobija od

determinante D tako xto se k-ta kolona zameni vektorom B,

tada je∑n

i=1 biAik razvoj te determinante po k-toj koloni. Prema

tome, va�i slede�e tvr�e�e.

Teorema 5 Ako je matrica sistema regularna, sistem imajedinstveno rexenje dato sa

xk =Dk

D, k = 1, 2, . . . , n.

Ove formule su poznate kao Kramerove formule.

27

Primer

Za sistem

x+ y + 2z = 4, x+ 2y + z = 2, 2z + y + z = 1

imamo

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 2

1 2 1

2 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −4, D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4 1 2

2 2 1

1 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3,

D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 4 2

1 2 1

2 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1, D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 4

1 2 2

2 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −9,

pa je

x =D1

D= −3

4, y =

D2

D=

1

4, z =

D3

D=

9

4.

28

5.2 Diskusija rexenja sistema

Na osnovu Kramerovih formula sledi da:

1. sistem ima jedinstveno rexe�e ako je D 6= 0,

2. sistem je nemogu� ako je D = 0 i Dk 6= 0 za neko

k ∈ {1, 2, . . . , n},

3. nema direktnog odgovora o rexivosti sistema ako je D = 0 i

Dk = 0 za svako k ∈ {1, 2, . . . , n}, ve� treba razmatrati

subdeterminante i za D i za Dk,

Specijalno, homogen sistem za D 6= 0 ima samo trivijalno

rexe�e.

29

Primeri

1. Za sistem

x+ y + az = a2, x+ ay + z = a, ax+ y + z = 1

imamo da je

D = −(a+ 2)(a− 1)2, D1 = (a+ 1)(a− 1)2,

D2 = −(a− 1)2, D3 = −(a− 1)2(a+ 1)2.

Prema tome,

- ako a 6∈ {−2, 1} sistem ima jedinstveno rexe�e

x = −a+ 1

a+ 2, y =

1

a+ 2, z =

(a+ 1)2

a+ 2,

30

- ako je a = −2, sistem nije saglasan jer je D2 6= 0,

- akoje a = 1 nema direktnog odgovora jer je

D = D1 = D2 = D3 = 0. Me�utim, sistem je tada

ekvivalentan jednaqini x+ y + z = 1, pa ima beskonaqno

mnogo rexe�a.

31

2. Homogen sistem

x+ y + 2z = 0, x+ 2y + z = 0, 2z + y + z = 0

ima samo trivijalno rexe�a (0, 0, 0) jer je D = −4 6= 0.

32

ISPITNA PITA�A

1. Vektorski prostor.

2. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora.

3. Baza i dimenzija vektorskog prostora.

4. Kramerova teorema

33