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Dimensionamento de Perfis

Formados a Frio conforme

NBR 14762 e NBR 6355

DIMENSIONAMENTO DE PERFIS FORMADOS A FRIO CONFORME

NBR 14762 e NBR 6355

Série “Manual de Construção em Aço”

• Galpões para Usos Gerais • Ligações em Estruturas Metálicas • Edifícios de Pequeno Porte Estruturados em Aço • Alvenarias • Painéis de Vedação • Resistência ao Fogo das Estruturas de Aço • Tratamento de Superfície e Pintura • Transporte e Montagem • Steel Framing: Arquitetura • Interfaces Aço­Concreto • Steel Framing: Engenharia • Pontes • Steel Joist • Viabilidade Econômica • Dimensionamento de Perfis formados a Frio conforme NBR 14762 e NBR 6355

EDSON LUBAS SILVA VALDIR PIGNATTA E SILVA

DIMENSIONAMENTO DE PERFIS FORMADOS A FRIO CONFORME

NBR 14762 e NBR 6355

INSTITUTO BRASILEIRO DE SIDERURGIA CENTRO BRASILEIRO DA CONSTRUÇÃO EM AÇO

RIO DE JANEIRO 2008

2008 INSTITUTO BRASILEIRO DE SIDERURGIA/CENTRO BRASILEIRO DA CONSTRUÇÃO EM AÇO

Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por quaisquer meio, sem a prévia autorização desta Entidade.

Ficha catalográfica preparada pelo Centro de Informações do IBS/CBCA

Instituto Brasileiro de Siderurgia / Centro Brasileiro da Construção em Aço Av. Rio Branco, 181 / 28 o Andar 20040­007 ­ Rio de Janeiro ­ RJ

e­mail: cbca@ibs.org.br site: www.cbca­ibs.org.br

Valdir Pignatta e Silva Professor Doutor da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Edson Lubas Silva Mestre em Eng. de Estrut. pela Escola Politécnica da Univers. de SP

S586d Silva, Edson Lubas Dimensionamento de perfis formados a frio conforme NBR 14762 e NBR 6355 /

Edson Lubas Silva, Valdir Pignatta e Silva.­ Dados eletrônico. ­ Rio de Janeiro: IBS/ CBCA, 2008. 119p. – ( Série Manual de Construção em Aço)

Sistema Requerido: Adobe Acrobat Reader Modo de acesso: World Wide Web: <HTTP://www.cbca ­ ibs.org.br/nsite/site/ acervo_item_lista_manuais_construcao.asp> Bibliografia ISBN 978­85­89819­16­9

1. Perfis formados a frio 2. Dimensionamento de perfis I. Títulos (série) II. Silva, Valdir Pignatta e.

CDU 624.014.2 (035)

SUMÁRIO

Capítulo 1 Introdução 09

Capítulo 2 Fabricação e padronização de perfis formados a frio 13 2.1 Processo de fabricação 14 2.2 Tipos de aços 14 2.3 Efeito do dobramento na resistência do perfil 14 2.4 Padronização dos perfis formados a frio (NBR 6355:2003) 15

Capítulo 3 Comportamento estrutural de perfis de seção aberta 19

Capítulo 4 Flambagem local e o método das larguras efetivas 23 4.1 Fatores que influenciam no cálculo da largura efetiva 25 4.1.1 Condição de contorno 25 4.1.2 Distribuição de tensões 26 4.2 Cálculo das larguras efetivas 27 4.3 Elementos comprimidos com enrijecedor de borda 32

Capítulo 5 Flambagem por distorção da seção transversal 45 5.1 Seção do tipo U enrijecido submetida à compressão uniforme 47 5.2 Seções do tipo U enrijecido e Z enrijecido submetido à flexão em ao

eixo perpendicular à alma 49

Capítulo 6 Dimensionamento à tração 55

Capítulo 7 Dimensionamento à compressão 61 7.1 Força normal resistente de cálculo pela flambagem da barra por

flexão, por torção ou por flexo­torção 63 7.1.1 Cálculo de NE em perfis com dupla simetria ou simétricos em

relação a um ponto 64 7.1.2 Cálculo de NE em perfis monossimétricos 64 7.1.3 Cálculo de NE em perfis assimétricos 64 7.2 Força normal resistente de cálculo pela flambagem por distorção

da seção Transversal 71

Capítulo 8 Dimensionamento à flexão 75 8.1 Início de escoamento da seção efetiva 76 8.2 Flambagem lateral com torção 76 8.3 Flambagem por distorção da seção transversal 77 8.4 Força cortante 83 8.5 Momento fletor e força cortante combinados 83

Capítulo 9 Dimensionamento à flexão composta 87 9.1 Flexo­compressão 88 9.2 Flexo­tração 89 9.3 Fluxogramas 94

Referências Bibliográficas 103

Anexo Anexo A ­Torção em perfis de seção aberta 107 Anexo B – Forças transversais não paralelas a um dos eixos principais 117

Apresentação

OCBCA – Centro Brasileiro da Construção em Aço tem a satisfação de oferecer aos profis­ sionais envolvidos com o emprego do aço na construção civil o décimo quinto manual de uma série cujo objetivo é a disseminação de informações técnicas e melhores práticas.

Neste manual apresenta­se de forma didática os fundamentos teóricos e explicações práticas para a utilização da norma brasileira ABNT NBR 14762 ­ Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio, juntamente com a norma ABNT NBR 6355 – Perfis estruturais de aço formados a frio – Padronização.

O manual inclui o programa Dimperfil concebido com foco nas normas NBR 14762 e 6355 que calcula os esforços resistentes em barras isoladas, bem como as propriedades geométricas da se­ ção bruta e efetiva que serão usadas no cálculo de deslocamentos.

Os perfis de aço formados a frio podem ser projetados para cada aplicação específica, com dimensões adequadas às necessidades de projeto de elementos estruturais leves, tais como terças, montantes, diagonais de treliças, travamentos, etc.

São eficientemente utilizados em galpões de pequeno e médio porte, coberturas, mezaninos, engradamentos metálicos, moradias de interesse social, edifícios de pequeno e médio porte, entre outras aplicações.

Centro dinâmico de serviços, capacitado para conduzir e fomentar uma política de promoção do uso do aço na construção com foco exclusivamente técnico, o CBCA está seguro de que este manual enquadra­se no objetivo de contribuir para a difusão de competência técnica e empresarial no País.

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Capítulo 1 Introdução

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Introdução

Este manual trata do dimensionamento de perfis estruturais de aço fabricados a partir do dobramento de chapas com espessura máxima igual a 8 mm, denominados perfis formados a frio. Tem por base as normas brasileiras ABNT NBR 14762:2001 ­ “Dimensionamento de es­ truturas de aço constituídas por perfis formados a frio” e ABNT NBR 6355:2003 ­ “Perfis estrutu­ rais de aço formados a frio – Padronização”.

Os perfis de aço formados a frio são cada vez mais viáveis para uso na construção civil, em vista da rapidez e economia exigidas pelo mercado. Esse elemento estrutural pode ser efi­ cientemente utilizado em galpões de pequeno e médio porte, coberturas, mezaninos, em ca­ sas populares e edifícios de pequeno porte. Podem ser projetados para cada aplicação es­ pecífica, com dimensões adequadas às neces­ sidades do projeto de elementos estruturais le­ ves, pouco solicitados, tais como terças, mon­ tantes e diagonais de treliças, travamentos, etc. A maleabilidade das chapas finas de aço per­ mite a fabricação de grande variedade de se­ ções transversais, desde a mais simples cantoneira (seção em forma de L), eficiente para trabalhar à tração, até os perfis formados a frio duplos, em seção unicelular, também conheci­ dos como seção­caixão, que devido à boa rigi­ dez à torção (eliminando travamentos), menor área exposta, (reduzindo a área de pintura) e menor área de estagnação de líquidos ou detri­ tos (reduzindo a probabilidade de corrosão) ofe­ recem soluções econômicas.

Como toda estrutura feita de aço, a cons­ trução pré­fabricada com perfis formados a frio possui um tempo reduzido de execução. Sendo compostos por chapas finas, possui leveza, fa­ cilidade de fabricação, de manuseio e de trans­ porte, facilitando e diminuindo o custo de sua montagem – menor gasto com transporte, além de não necessitar maquinários pesados para içamento.

Entretanto, para o correto dimensio­ namento desse elemento, é necessário conhe­ cer com detalhes o seu comportamento estrutu­ ral, pois possui algumas particularidades em relação às demais estruturas, tais como as de concreto ou mesmo as compostas por perfis soldados ou laminados de aço. Por serem cons­ tituídas de perfis com seções abertas e de pe­ quena espessura, as barras, que possuem bai­ xa rigidez à torção, podem ter problemas de ins­ tabilidade, deformações excessivas ou atingir os limites da resistência do aço devido a esfor­ ços de torção. Essa susceptibilidade à torção ocorre até mesmo em carregamentos aplicados no centro geométrico da seção transversal de vigas e de pilares, podendo tornar­se crítico caso a estrutura não seja projetada com peque­ nas soluções técnicas que minimizam este efei­ to. Os conhecimentos dos esforços internos clássicos, ensinados nos cursos de resistência de materiais, momento fletores em torno dos eixos x e y, momento de torção e esforços cor­ tantes paralelos aos eixos x e y, não são sufici­ entes para compreender o comportamento das estruturas de seção aberta formadas por cha­ pas finas. É necessário entender também um outro tipo de fenômeno que ocorre nessas es­ truturas: o empenamento. A restrição ao empenamento causa esforços internos e o en­ tendimento desses esforços é muito importante e nem sempre é trivial. Para uma simples ilus­ tração podemos citar o caso de um possível ti­ rante constituído de um perfil Z, com o carrega­ mento (força de tração) aplicado no centro geo­ métrico da seção transversal que produz ten­ sões de compressão nas mesas desse perfil. Outro fenômeno comum nos perfis de seção aberta é a distorção da seção transversal, que consiste num modo de instabilidade estrutural onde a seção transversal perde sua forma inici­ al quando submetida a tensões de compressão, causando perda significante na sua capacida­ de de resistir esforços.

Neste manual, procura­se apresentar de forma didática e prática os fundamentos teóri­

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cos e explicar a utilização prática da norma bra­ sileira para o dimensionamento de perfis de aço formados a frio: NBR 14762:2001. O objetivo é que este texto seja utilizado juntamente com a norma de perfis formados a frio, pois ele não abrange todos os aspectos de dimensio­ namentos descritos na norma, mas ajuda no en­ tendimento das questões conceituais mais im­ portantes.

Certamente esse conhecimento proporci­ onará aos engenheiros melhor avaliar a viabili­ dade econômica de uma edificação incluindo uma opção a mais a ser considerada na con­ cepção estrutural do projeto: o emprego de per­ fis formado a frio de aço.

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Capítulo 2 Fabricação e padronização

de perfis formados a frio

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Fabricação e padronização de perfis formados a frio

2.1 – Processo de Fabricação

Dois são os processos de fabricação dos perfis formados a frio: contínuo e descontínuo.

O processo contínuo, adequado à fabrica­ ção em série, é realizado a partir do desloca­ mento longitudinal de uma chapa de aço, sobre os roletes de uma linha de perfilação. Os roletes vão conferindo gradativamente à chapa, a for­ ma definitiva do perfil. Quando o perfil deixa a linha de perfilação, ele é cortado no comprimento indicado no projeto.

O processo descontínuo, adequado a pe­ quenas quantidades de perfis, é realizado me­ diante o emprego de uma prensa dobradeira. A matriz da dobradeira é prensada contra a cha­ pa de aço, obrigando­a a formar uma dobra. Várias operações similares a essa, sobre a mesma chapa, fornecem à seção do perfil a geometria exigida no projeto. O comprimento do perfil está limitado à largura da prensa.

O processo contínuo é utilizado por fabri­ cantes especializados em perfis formados a frio e o processo descontínuo é geralmente utiliza­ do pelos fabricantes de estruturas metálicas.

2.2 – Tipos de aços

A NBR 14762:2001 “Dimensiona­ mento de estruturas de aço constituídas por per­ fis formados a frio – Procedimento” recomenda o uso de aços com qualificação estrutural e que possuam propriedades mecânicas adequadas para receber o trabalho a frio. Devem apresen­ tar a relação entre a resistência à ruptura e a resistência ao escoamento f u /f y maior ou igual a 1,08, e o alongamento após ruptura não deve ser menor que 10% para base de medida igual a 50mm ou 7% para base de medida igual a 200mm, tomando­se como referência os ensai­ os de tração conforme ASTM A370.

A utilização de aços sem qualificação es­ trutural para perfis é tolerada se o aço possuir propriedades mecânicas adequadas para rece­ ber o trabalho a frio. Não devem ser adotados no projeto valores superiores a 180MPa e

300MPa para a resistência ao escoamento f y e a resistência à ruptura f u , respectivamente.

2.3 ­ Efeito do dobramento na resistência do perfil

O dobramento de uma chapa, seja por perfilação ou utilizando­se dobradeira, provoca, devido ao fenômeno conhecido como envelhe­ cimento (carregamento até a zona plástica, des­ carregamento, e posterior, porém não­ imedia­ to, carregamento), um aumento da resistência ao escoamento (f y ) e da resistência à ruptura (f u ), conforme demonstram os gráficos apresen­ tados na figuras 2.1 e2.2, com conseqüente re­ dução de ductilidade, isto é, o diagrama tensão­ deformação sofre uma elevação na direção das resistências limites, mas acompanhado de um estreitamento no patamar de escoamento. A re­ dução de ductilidade significa uma menor ca­ pacidade de o material se deformar; por essa razão, a chapa deve ser conformada com raio de dobramento adequado ao material e a sua espessura, a fim de se evitar o aparecimento de fissuras.

Figura 2.1 ­ Aumento da resistência ao escoamento e da resistência à ruptura, num perfil formado a frio por perfiladeira (fonte: Revista Portuguesa de Estruturas)

Figura 2.2 ­ Aumento da resistência ao escoamento e da resistência à ruptura, num perfil formado a frio por prensa dobradeira. (fonte: Revista Portuguesa de Estruturas)

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O aumento das resistências ao escoamen­ to e à ruptura se concentra na região das curvas quando o processo é descontínuo, pois apenas a região da curva está sob carregamento. No processo contínuo esse acréscimo atinge outras regiões do perfil, pois na linha de perfilação toda a parte do perfil entre roletes está sob tensão.

O aumento da resistência ao escoamento pode ser utilizado no dimensionamento de bar­ ras submetidas à compressão ou à flexão, que não estejam sujeitas à redução de capacidade devido à flambagem local, conforme a equação 2.1.

sendo:

∆f y ­ acréscimo permitido à f y f y ­ resistência ao escoamento do aço virgem f yc ­ resistência ao escoamento na região da curva f u ­ resistência à ruptura do aço virgem r ­ raio interno de dobramento; t ­ espessura. C ­ relação entre a área total das dobras e a área total da seção para barras submetidas à compressão; ou a relação entre a área das do­ bras da mesa comprimida e a área total da mesa comprimida para barras submetidas à flexão

Apresentam­se na tabela 2.1 alguns valo­ res de ∆f y , em função de C, para aço com f y = 250MPa (f u = 360 MPa), f y = 300 MPa (f u = 400 MPa ) e f y = 355 MPa (f u = 490 MPa ).

(2.1)

Tabela 2.1 ­ Valores de ∆f y

C MPa MPa MPa

0,01 2 2 2

0,02 4 4 5

0,05 10 10 12

0,10 21 20 24

0,15 31 30 37

∆f y (1) ∆f y

(2) ∆f y (3)

(1) f y = 250 MPa, f u = 360 MPa, r = t (2) f y = 300 MPa, f u = 400 MPa, r = t (3) f y = 355 MPa, f u = 490 MPa, r = 1,5 t

Atenção especial deve ser dada ao cálcu­ lo das características geométricas dos perfis formados a frio. A existência da curva, no lugar do “ângulo reto”, faz com que os valores das características geométricas (área, momento de inércia, módulo resistente, etc.) possam ser, dependendo das dimensões da seção, sensi­ velmente reduzidos.

A variação nas dimensões da seção devi­ da à estricção ocorrida na chapa quando do­ brada, pode, por outro lado, ser desconsiderada para efeito de dimensionamento.

2.4 – Padronização dos Perfis Formados a Frio (NBR 6355:2003)

A Norma NBR 6355:2003 – “Perfis Estru­ turais de Aço Formados a Frio”, padroniza uma série de perfis formados com chapas de espes­ suras entre 1,50 mm a 4,75 mm, indicando suas características geométricas, pesos e tolerânci­ as de fabricação.

A nomenclatura dos perfis também foi pa­ dronizada. A designação dos nomes é feita da seguinte forma: tipo do perfil x dimensões dos lados x espessura, todas as dimensões são dadas em mm. A tabela 2.2 mostra os tipos de perfis padronizados e forma de nomenclatura dos elementos.

No anexo A da NBR 6355:2003 apresentam­se as seções transversais dos perfis formados a frio.

16

Fabricação e padronização de perfis formados a frio

2.2

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19

Capítulo 3 Comportamento estrutural de perfis de seção aberta

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Comportamento estrutural de perfis de seção aberta

Os estados limites últimos das barras de seção transversal aberta, formadas por chapas finas de aço, a serem considerados no dimensionamento, freqüentemente estão asso­ ciados à instabilidade local, distorcional ou glo­ bal.

Cabe aqui uma consideração sobre no­ menclatura que, por vezes, afeta o entendimen­ to conceitual do fenômeno da flambagem. Tome­ se um pilar ideal, absolutamente reto, sem im­ perfeições de fabricação e submetido a um car­ regamento perfeitamente centrado. Incremente­ se esse carregamento gradativamente até atin­ gir a chamada carga crítica, o pilar pode se manter na posição reta indeformada, de equilí­ brio instável, ou, se houver uma perturbação, por menor que seja, procurar uma posição deforma­ da estável. Há, portanto duas soluções teóricas de equilíbrio.

Tome­se, agora, um pilar real, com imper­ feições geométricas. Novamente, aplica­se uma força perfeitamente axial. Ao se incrementar o carregamento, a presença de imperfeições cau­ sará flexão. Assim, desde o início, o pilar real estará submetido à flexão­composta e o estado limite último poderá ser alcançado para valores inferiores ao da força normal crítica.

Em termos mais simples, há uma diferen­ ça conceitual entre a resposta estrutural de um pilar ideal e a de um pilar real, imperfeito, mes­ mo que ambos estejam sujeitos apenas à força axial.

Para que não haja conflito entre o entendi­ mento dos dois comportamentos distintos, as principais escolas brasileiras definem flambagem como a ocorrência de um ponto de bifurcação no diagrama força x deslocamento de um ponto de uma barra ou chapa comprimi­ da. Em elementos estruturais reais, na presen­ ça de imperfeições, não ocorre ponto de bifur­ cação e, portanto, segundo a definição não ocor­ re flambagem. Em outras palavras distingue­se a flambagem da flexão composta. Como, geral­ mente, as imperfeições das estruturas de aço são de pequeno valor, os modos de deforma­ ção das barras de aço lembram os modos de

flambagem. Neste manual, à semelhança da norma bra­

sileira NBR 14762:2001, por simplicidade, os modos reais de deformação que podem levar à instabilidade são associados aos modos teóri­ cos de flambagem e o termo “flambagem” é usa­ do indistintamente para estruturas teóricas ou reais.

No capítulo 4, discorre­se de forma deta­ lhada, sobre o fenômeno da instabilidade local e sobre o método das larguras efetivas, proce­ dimento simplificado para considerar­se a ins­ tabilidade no dimensionamento do perfil. No capítulo 5, apresentam­se considerações sobre a instabilidade distorcional. No capítulo 7, dis­ corre­se sobre os fenômenos de instabilidade global, quais sejam a instabilidade lateral com torção das vigas e a instabilidade por flexão, torção ou flexo­torção de pilares.

A capacidade resistente das barras con­ siderando as instabilidades globais relaciona­ das com a torção está diretamente associada à rigidez à flexão EI y , e à rigidez à torção da se­ ção. A parcela da torção, em especial, depende não apenas do termo correspondente à chama­ da torção de Saint Venant, GI t , mas igualmente da rigidez ao empenamento da seção, EC w . Quanto mais finas as paredes da seção do per­ fil, menores os valores das propriedades I t e C w . Essas parcelas são proporcionais ao cubo da espessura t das paredes, sofrendo grandes variações para pequenas alterações no valor da espessura.

Além dos fenômenos de instabilidade, a barra pode estar sujeita à torção.

Nas vigas em que os carregamentos não são aplicados no centro de torção da seção, ocorre torção. As teorias de barras de Euler e de Timoshenko, comumente ensinadas nos cur­ sos de Resistência dos Materiais, não abran­ gem esse comportamento das barras com se­ ção aberta.

Para um entendimento geral do compor­ tamento de um perfil de seção aberta, mostram­ se no Anexo A de forma simples e intuitiva, as­

21

pectos relacionados à torção e no Anexo B o efeito de forças aplicadas em direções não­pa­ ralelas aos eixos principais da seção transver­ sal.

23

Capítulo 4 Flambagem local e o

método das larguras efetivas

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Flambagem local e o método das larguras efetivas

No dimensionamento de perfis de chapa dobrada, cuja seção transversal é constituída por elementos de chapas finas com elevada rela­ ção largura/espessura, é necessário verificar os elementos quanto à flambagem local. No cálcu­ lo convencional de estruturas de aço compos­ tas de perfis laminados ou soldados a flambagem local pode ser evitada pelo uso de uma classe desses perfis, que tem uma relação largura/espessura reduzida.

Os elementos planos que constituem a seção do perfil nas estruturas de chapa dobra­ das podem deformar­se (flambar) localmente quando solicitados à compressão axial, à com­ pressão com flexão, ao cisalhamento, etc (figu­ ra 4.1). Diferentemente da flambagem de barra, a flambagem local não implica necessariamen­ te no fim da capacidade portante do perfil, mas, apenas uma redução de sua rigidez global à deformação.

As chapas de aço ainda possuem consi­ derável capacidade resistente após a ocorrên­ cia da flambagem local. Sua capacidade resis­ tente chegará ao limite somente quando as fi­ bras mais comprimidas atingirem a resistência ao escoamento do aço. Isso significa que o cor­ reto dimensionamento desses elementos de­ pende de uma análise não­linear. Costuma­se substituí­la por expressões diretas, deduzidas a partir de teorias simplificadas e calibradas empiricamente. Atualmente, na norma brasilei­ ra para o dimensionamento de perfis formados a frio, NBR 14762:2001, é recomendado o mé­ todo das larguras efetivas.

Para exemplificar o comportamento após a ocorrência da flambagem local de uma cha­ pa, considere uma placa quadrada simplesmen­ te apoiada nas quatro bordas, sujeito a um es­ forço de compressão normal em dois lados opostos, como mostrado na figura 4.2.

Admitindo­se faixas como um sistema de grelha, nota­se que, as faixas horizontais contri­ buem para aumentar a rigidez à deformação das barras verticais comprimidas. Nesse modelo, as faixas horizontais se comportam como se fos­ sem apoios elásticos distribuídos ao longo do comprimento das barras comprimidas. Quanto maior for a amplitude da deformação da barra comprimida, maior será contribuição das “mo­ las” para trazê­la à posição vertical novamente. Essa condição estável após a deformação per­ pendicular ao seu plano é considerada no dimensionamento dos perfis formados a frio.

Figura 4.2 ­ Comportamento pós­flambagem

Figura 4.3 ­ Comportamento associado a grelha

Figura 4.1 ­ Flambagem local Flexão Compressão

25

(eq. 4.1)

4.1 ­ Fatores que influenciam no cálculo da largura efetiva

4.1.1 ­ Condição de contorno

A condição de contorno dos elemen­ tos de chapa, tal qual nas barras, influi na capa­ cidade resistente.

A NBR 14762 designa dois tipos de condição de contorno para os elementos de cha­ pa, AA e AL, conforme exemplificado na figura 4.5.

Figura 4.5 ­ Condições de contorno (extraída da NBR14762:2001)

Os enrijecedores e as mesas não­ enrijecidas dos perfis de aço, figura 4.6, são ele­ mentos com um dos lados constituídos de bor­ da livre, AL indicados da figura 4.5. Essa condi­ ção reduz significativamente a capacidade re­ sistente, pois, não ocorrem na configuração de­ formada (figura 4.6), as diversas semi­ondas que aproximam seu comportamento ao de uma cha­ pa quadrada e nem há colaboração de “barras horizontais” como um modelo de grelha. Em ele­ mentos muito esbeltos, ou seja, com altos valo­ res da relação largura/espessura, a largura efe­ tiva calculada é muito pequena.

O coeficiente de flambagem, k, é o fator inserido nas expressões para o cálculo das lar­ guras efetivas que quantifica as diversas condi­ ções de contorno e de carregamento das cha­ pas, sendo obtido por meio da Teoria da Esta­ bilidade Elástica. A tabela 4.1 mostra alguns va­ lores clássicos para o coeficiente k.

Esse conceito de grelha pode ser extrapolado para uma chapa retangular com a dimensão longitudinal muito maior do que a transversal, figura 4.3, e esse é o caso dos per­ fis formados a frio. Nesse caso, a chapa apre­ sentará comportamento equivalente a uma su­ cessão de chapas aproximadamente quadra­ das, sendo válido estender a conclusão sobre o comportamento das chapas quadradas às cha­ pas longas.

A rigidez à deformação da chapa é maior junto aos apoios “atraindo” maiores tensões atu­ antes. O máximo esforço suportado pela chapa ocorre quando a tensão junto ao apoio atinge a resistência ao escoamento, f y .

A figura 4.4 mostra a distribuição das ten­ sões na chapa com o aumento gradual do car­ regamento aplicado. De início, a distribuição das tensões é uniforme com valor inferior ao da tensão crítica de flambagem, figura 4.4a. Aumen­ tando o carregamento a chapa se deforma e há uma redistribuição das tensões internas (figura 4.4b) até atingir a resistência ao escoamento, f y, figura 4.4c.

O conceito de larguras efetivas consiste em substituir o diagrama da distribuição das tensões, que não é uniforme, por um diagrama uniforme de tensões. Assume­se que a distri­ buição de tensões seja uniforme ao longo da largura efetiva “b ef ” fictícia com valor igual às ten­ sões das bordas, figura 4.4d. A largura “b ef ” é obtida de modo que a área sob a curva da dis­ tribuição não­uniforme de tensões seja igual à soma de duas partes da área retangular equi­ valente de largura total “b ef ” e com intensidade “f máx ”, conforme a equação 4.1.

Figura 4.4 ­ Distribuição de tensões

26

Flambagem local e o método das larguras efetivas

Tabela 4.1 – Valores de k para algumas condi­ ções de contorno e carregamento

Os elementos com enrijecedores de bor­ da não podem ser incondicionalmente conside­ rados como biapoiados. Como se pode notar no modelo adotado para representar o enrijecedor de borda na figura 4.7, um enrijecedor pode não ser suficientemente rígido para se comportar como um apoio adequado e assim, comprometer a estabilidade da mesa enrijecida. A capacidade adequada de um enrijecedor depende essencialmente do seu momento de inércia, I x , portanto, os valores da largura efetiva das mesas enrijecidas dos per­ fis dependem da dimensão D do enrijecedor. Por outro lado, o enrijecedor não deve ser muito esbelto, ou seja, ter a dimensão D elevada, por­ que ele próprio pode se instabilizar. O valor mais adequado para a largura do enrijecedor está entre 12% a 40% da mesa do perfil a ser enrijecida, conforme mostra a figura 4.8, que foi construída por meio de uma análise paramétrica a partir das expressões da norma brasileira, para alguns casos de perfis tipo Ue.

4.1.2 – Distribuição de tensões

A forma da distribuição de tensões aplica­ da (figura 4.9) no elemento de chapa também influência o cálculo da largura efetiva.

Figura 4.6 ­ Elementos com bordas livres

Figura 4.8 ­ Largura efetiva em função de D/b f

Figura 4.9 ­ Distribuição de tensões

Figura 4.7 ­ Enrijecedor de borda

(fig. 4.9a)

(fig. 4.6)

(fig. 4.9e)

(por ex. mesas de perfis Ue ­ Fig. 4.7)

27

Quando o carregamento na chapa não é uniforme, há uma diminuição dos esforços de compressão ao longo da borda carregada, consequentemente aumentando a largura efeti­ va calculada.

O valor da tensão, obviamente, é funda­ mental na determinação da largura efetiva. Al­ tos valores de tensões atuantes conduzem a menores larguras efetivas.

4.2 Cálculo das larguras efetivas

Calcula­se a largura efetiva de uma chapa comprimida (NBR 14762 item 7.2) por meio da eq. 4.2.

(eq. 4.2)

(eq. 4.3)

Sendo b – largura do elemento λp ­ índice de esbeltez reduzido do elemento t – espessura do elemento E – módulo de elasticidade do aço = 20 500 kN/ cm 2

σ ­ tensão normal de compressão definida por: σ = ρ.f y , sendo ρ o fator de redução associado à compressão centrada e σ = ρ FLT T .f y , sendo ρ FLT o fator de redução associado à flexão simples. k – coeficiente de flambagem local

Os valores do coeficiente de flambagem k, para elementos classificados como AA e AL (figura 4.5) são dados nas tabelas 4 e 5.

Nota­se que para valores de b ef < 0,673 a equação 4.2 resulta em b ef = b

Nos casos onde há tensões de tração e compressão no elemento, somente para ele­ mentos com borda livre, calcula­se as largu­ ras efetivas, substituindo na equação, a largura total do elemento pela largura comprimida, b c , conforme a eq. 4.4 e figura 4.10.

Figura 4.10 – largura efetiva para elementos sob compres­ são e tração

(eq.4.4)

onde b c é o comprimento da parte compri­ mida do elemento AL.

As tabelas 4.2 e 4.3 mostram as equações para o cálculo do coeficiente de flambagem k. Como era de ser esperar o coeficiente k depen­ de das condições de contorno e carregamen­ tos dos elementos. A condição de carregamen­ to é avaliada em função da relação entre a má­ xima e mínima tensão atuante no elemento ψ.

Para o cálculo dos deslocamentos, deve­ se considerar também, a redução de rigidez à flexão da seção devido à flambagem local. Para isso, utilizam­se as mesmas expressões do cál­ culo das larguras efetivas (equações 4.2 e 4.3) substituindo­se a máxima tensão permitida no elemento, σ , pela tensão de utilização, n σ .

n σ ­ é a máxima tensão de compressão calculada para seção efetiva (portanto é neces­ sário fazer interação), na qual se consideram as combinações de ações para os estados limites de serviço.

0, 22 1 p

ef p

b b b

λ

λ

−

= ≤

0,95 p

b t kE

λ

σ

=

0, 22 1 c p

ef p

b b b

λ

λ

− = ≤

28

Flambagem local e o método das larguras efetivas

4.2

Tabela 4.3

1

< 0

29

Exemplos de cálculos de larguras efetivas em elementos comprimidos AL:

Exemplo 01 ­ Cálculo da largura efetiva da alma e mesas do perfil padronizado U250x100x2,65 mm submetido ao esforço de momento fletor em relação ao eixo x, sob uma tensão de 21,32 kN/cm 2 :

Perfil U: b w = 25 cm b f = 10 cm t= 0,265 cm aço: f y = 25 kN/cm

2 E= 20500 kN/cm 2

1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas σ = 21,32 kN/cm2

admitindo distribuição linear de tensões, com o valor máximo na fibra mais distante do centro geométrico igual a σ = 21,32 kN/cm2 e zero no centro geométrico pode­se calcular as tensões em qualquer coordenada y da seção.

1.1 ­ Largura efetiva do elemento [1] Elemento AL

A largura, b, é o comprimento da parte reta do elemento, descontados os trechos curvos: b= 10,0 – 2.t = 10,0 – 2 . 0,265 b= 9,47 cm

­ pode­se tomar, neste caso, a tensão na fibra média da mesa. Nos exemplos deste manual, por simplificação e a favor da segurança, admi­ te­se que a tensão na fibra média é a tensão

máxima no perfil: σ 1 = 21,32 kN/cm2 σ 2 = 21,32 kN/cm2 Somente tração no elemento!

1.2 ­ Largura efetiva elemento[3] Elemento AL b= 9,47 cm σ 1 = ­21,32 kN/cm2 σ 2 = ­21,32 kN/cm2 ψ = 1

1.2.1 ­ NBR14762 ­ Tab05.caso a (Tabela 4.3) k= 0,43

λ p =1,85 [λ p > 0,673]

b ef = 4,51 cm b ef,1 = 4,51 cm

1.3 ­ Largura efetiva do elemento [2] Elemento AA σ 1 = ­20,64 kN/cm

2

σ 2 = 20,64 kN/cm 2

ψ = ­1

1.3.1 ­ NBR14762 ­ Tab04.caso d (Tabela 4.2) b= 25 – 4.t = 25 – 4 . 0,265 b= 23,94 cm k= 24 b= 23,94 cm b c = 11,97 cm b t = 11,97 cm

9, 47 0,335

0,43.20500 0,95 0,95 21,32

p

b t kE

λ

σ

= =

0, 22 0, 22 1 9,47 1 1,85

1,85 p

ef p

b b b

λ

λ

− − = = ≤

30

Flambagem local e o método das larguras efetivas

λ p =0,616 [λ p < 0,673] b ef = b

Propriedades geométricas: I x da seção bruta= 1120,17cm

4

I x da seção efetiva= 893,70cm 4

Para se calcular o momento de inércia da seção efetiva é necessário calcular o novo cen­ tro geométrico (CG) da seção transversal, des­ contando a parte “não­efetiva” dos elementos com larguras efetivas reduzidas. Calcula­se en­ tão, o momento de inércia em relação aos no­ vos eixos de referência. Pode­se utilizar proces­ sos automatizados para calcular essas proprie­ dades geométricas como, por exemplo, o Excel ou um programa específico para esse fim. O Programa DimPerfil realiza esses cálculos e exibe os resultados.

Exemplo 02 ­ Cálculo da largura efetiva da alma e mesas do perfil padronizado U250x100x2.65 mm submetida ao esforço de momento fletor em relação ao eixo de menor

inércia, y, para uma resistência ao escoamento da fibra mais solicitada igual a 25,0 kN/cm 2 :

Perfil U: b w = 25 cm b f = 10 cm t= 0,265 cm Aço: f y = 25 kN/cm2 E= 20500 kN/cm 2

Seção submetida a esforço de momento fletor em relação ao eixo Y

1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas σ = 25 kN/cm2

Admite­se variação linear de tensões, sendo o valor máximo igual a 25 kN/cm 2

1.1 ­ Largura efetiva do elemento [1] = elemento [3]

Elemento AL A largura, b, é o comprimento da parte reta do elemento, descontados os trechos curvos: b= 9,47 cm tensão na extremidade livre da mesa:

posição da fibra em relação ao CG.: x 1 = 7,66 cm σ 1 = ­25 kN/cm2 tensão na extremidade conectada à alma: posição do CG: xg = 2,34 cm posição da fibra:

x = 2,34 – 2*t = 1,812 cm

σ 2 = 25 1 81 7 66

, ,

× =

σ 2 = 5,905 kN/cm 2

23,94 0, 265

24.20500 0,95 0,95 20,64

p

b t kE

λ

σ

= =

(Tração)

(Compressão)

31

1.2 ­ Largura efetiva do elemento [2] Elemento AA xg = 2,34 cm

σ 1 = σ 2 = 7,20 kN/cm2 (tensão na fibra média da alma) Somente tração no elemento! b ef = b = 23,94 cm

Propriedades geométricas: I y da seção bruta= 112,82 cm

4

I y da seção efetiva= 20,76 cm 4

Exemplo 03 ­ Cálculo da largura efetiva das abas do perfil padronizado L80x80x3.35 mm submetida ao esforço de compressão, sob uma tensão de 8,6 kN/cm 2 :

Perfil L: b= 8,0 cm t= 0,335 cm fy= 25 kN/cm 2 E= 20500 kN/cm 2

1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas σ = 8,6 kN/cm2

1.1­ Largura efetiva do elemento [1] = elemento [2]Elemento AL b= 8,0 – 2.t = 8,0 – 2 . 0,335 b= 7,33 cm σ 1 = ­8,6 kN/cm2 σ 2 = ­8,6 kN/cm2 ψ = 1

1.1.1 ­ NBR14762 ­ Tab.05 caso a (Tabela 4.3) k= 0,43

λp=1,66 [λp > 0,673]

0, 22 0, 22 1 9, 47 1 1,66

1,66 p

ef p

b b b

λ

λ

− − = = ≤

bef= 4,94 cm à bef,1= 4,94 cm

σ1= σ2= ( ) 0 265 2 34 2 25

7 66

, ,

,

− ×

7,33 0,335

0,43.20500 0,95 0,95 8,6

p

b t kE

λ

σ

= =

λp=0,72 [λp > 0,673]

ψ = 5,905 / (­25,0) ψ = ­0,236

1.1.1 ­ NBR14762 ­ Tab.05 caso d k= 0,624 (Tabela 4.3)

32

Flambagem local e o método das larguras efetivas

b ef = 7,07 cm b ef,1 = 7,07 cm

Propriedades geométricas: A da seção bruta= 5,18 cm 2 A da seção efetiva= 5,00 cm 2

4.3 ­ Elementos comprimidos com enrijecedor de borda

Para calcular a largura efetiva de um ele­ mento com enrijecedor de borda é necessário considerar as dimensões do elemento (b) e as do enrijecedor de borda (D) (figura 4.11). Se o elemento b for pouco esbelto (valor de b/t pe­ queno ­ até cerca de 12) não haverá necessida­

de de enrijecedor para aumentar sua capacida­ de resistente de compressão e sua largura efe­ tiva será igual à largura bruta. Para elementos esbeltos o enrijecedor de borda deverá servir como um apoio “fixo” na extremidade do elemen­ to. Nesse caso a largura efetiva calculada de­ penderá da esbeltez do elemento (b/t), da es­ beltez do enrijecedor de borda (D/t) e da inércia do enrijecedor de borda (I s ­ momento de inér­ cia do enrijecedor em relação ao seu centro geométrico, figura 4.11).

Além de servir como apoio, o enrijecedor, também, se comporta como um elemento de borda livre (AL) sujeito à flambagem local. A ocor­ rência da flambagem local do enrijecedor indu­ zirá a flambagem local na mesa enrijecida. Um enrijecedor de borda adequado é aquele que tem condições de se comportar como um apoio à mesa. Para isso, ele precisa ter uma rigidez mínima, ou seja, um momento de inércia míni­ mo, denominada de I a . Se o enrijecedor for ina­ dequado, ou seja I s <I a , o comportamento da cha­ pa da mesa, será mais próximo a uma chapa com borda livre, portanto o valor do coeficiente de flambem local para mesa, k, será pequeno aproximando­se ao da chapa livre. Quando as dimensões do enrijecedor não respeitam os li­ mites de adequação, será necessário, também, reduzir a largura efetiva do enrijecedor de bor­ da, d s da figura 4.12, a fim de se reduzir as ten­ sões nele aplicadas.

O procedimento para o cálculo das largu­ ras efetivas para elementos com enrijecedores de borda, na norma brasileira é feito da seguin­ te forma:

Figura 4.11 ­ elemento enrijecido

0, 22 0, 22 1 7,33 1 0,72

0,72 p

ef p

b b b

λ

λ

− − = = ≤

33

Figura 4.12 ­ Enrijecedor de borda

Primeiramente se calcula 0 p λ , que é o va­ lor da esbeltez reduzida da mesa como se ela fosse um elemento de borda livre (AL):

(eq. 4.5)

Caso I – 0 p λ < 0,673 ­ Elemento pouco esbelto. Mesmo que a mesa fosse de borda livre (AL) sua largura efetiva seria igual a largura bru­ ta. Nesse caso então, não seria necessária a ajuda do enrijecedor de borda.

b ef = b à para a mesa comprimida

Caso II – 0,673 < 0 p λ < 2,03 – Elemento medianamente esbelto, precisa ser apoiado pelo enrijecedor para aumentar sua capacida­ de resistente.

O cálculo da largura efetiva é feito por meio da equação 4.2, onde o coeficiente de flambagem k, é calculado conforme a equação 4.6.

O momento de inércia de referência (ade­ quado) para o enrijecedor é determinado con­ forme a equação 4.7.

O momento de inércia da seção bruta do enrijecedor em relação ao seu centro geométri­ co em torno do eixo paralelo ao elemento enrijecido é determinado conforme a equação 4.8.

O valor de k a é calculado pela equação 4.9 ou 4.10, conforme o caso.

1 ­ para enrijecedor de borda simples com

40 140 o o θ ≤ ≤ e 0,8 D b

≤ , onde θ é mostrado na

figura 3.9a:

(eq. 4.6)

(eq. 4.7)

(eq. 4.8)

(eq. 4.9)

0 0, 43 0,95 0,623 p

y

b b t t

E E f

λ

σ

= =

( ) 0,43 ,043 s a a

a

I k k k I

= − + ≤

( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t λ = −

3 2 . 12 s

d t sen I θ =

5, 25 5 4,0 a D k b

= − ≤

(a)

(b)

34

Flambagem local e o método das larguras efetivas

2 ­ para outros tipos de enrijecedor: k a = 4,0 (eq. 4.10)

Com o valor de k obtido da equação 4.6 obtém­se a largura efetiva por meio da equa­ ção 4.2 já apresentada, que aqui se repete.

Sendo

(equação 4.2)

(equação 4.3)

A largura efetiva do elemento é divido em dois trechos próximos às extremidades do ele­ mento, o primeiro trecho de comprimento b ef,1 no lado da alma do perfil e o segundo trecho b ef,2 no lado do enrijecedor de borda, esses va­ lores são obtidos por meio das equações 4.11 e 4.12.

Caso a inércia (I s ) do enrijecedor de bor­ da não seja adequada para servir como um apoio para a mesa enrijecida, este deve ter sua área efetiva reduzida, afim de que se diminuam as tensões nele atuantes, conforme equações 4.13 e 4.14.

­ Para enrijecedor de borda simples (figu­ ra 4.12a):

A largura efetiva do enrijecedor de borda deve ser previamente calculada tratando­o como um elemento de borda livre, AL e as proprieda­ des geométricas da seção efetiva do perfil me­

(eq. 4.11)

(eq. 4.12) b ef,1 = b ef – b ef,2

(eq. 4.13)

tálico, A ef , I xef , I yef são calculadas considerando a largura d s do enrijecedor de borda.

­ Para demais enrijecedores de borda (figura 4.12b):

Caso III – 0 p λ > 2,03 – Elemento muito esbelto. O enrijecedor precisa ter alta rigidez para apoi­ ar a mesa adequadamente. O cálculo da largura efetiva é feito por meio da equação 4.2, onde o coeficiente de flambagem k, é calculado conforme a equação 4.15.

Sendo

b ef , b ef,1 , b ef,2 , d s , k a e A s são calculados da mes­ ma forma que no caso II.

Exemplos de cálculos de larguras efetivas em perfis com mesas enrijecidas:

Exemplo 04 – Cálculo da largura efetiva da alma e mesas do perfil padronizado Ue 250x100x2,65 mm submetido ao esforço nor­ mal de compressão, sob uma tensão de 25,00 kN/cm 2 :

Aço: f y = 25 kN/cm 2 E= 20500 kN/cm 2

G= 7884,615 kN/cm 2 Seção submetida a esforço normal

1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas σ = 25 kN/cm 2

(eq. 4.14)

(eq. 4.15)

(eq. 4.16)

0, 22 1 p

ef p

b b

λ

λ

− =

0,95 p

b t kE

λ

σ

=

,2 2 2 ef ef s

ef a

b b I b I

= ≤

s s ef ef

a

I d d d I

= ≤

( ) s s ef ef ef

a

I A A A A área efetiva do enrijecedor I

= ≤ − −

( ) 3 0, 43 0,43 s a a

a

I k k k I

= − + ≤

( ) 4 0 56 5 a p I t λ = +

35

1.1 ­ Largura efetiva dos enrijecedores de bor­ da Elemento AL b= 1,97 cm σ 1 = ­25 kN/cm

2 σ 2 = ­25 kN/cm 2

ψ = σ 1 /σ 2 = 1,0

1.1.1 ­ NBR14762 ­ Tab.05 caso a (tabela 4.3) k= 0,43

0,417

como λ p < 0,673, então: b ef = b b ef = 1,97 cm

1.2 ­ Largura efetiva das mesas enrijecidas 1.2.1 ­ NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda:

σ 1 = ­25 kN/cm2 σ 2 = ­25 kN/cm2 b=8,94 cm D=2,5 cm t= 0,265 cm d ef =1,97 cm d=1,97 cm σ=25 kN/cm 2

θ=90 º

k a = 3,85 < 4,0

Como 0.673 < λ p0 < 2,03, então:

Caso II:

λ p =0,769

como λ p > 0,673 – então:

b ef =8,301 cm

(eq. 4.2)

1.97 0,265

. 0, 43.20500 0,95 0,95 25

p

y

b t k Ef

λ = = =

0

8,94 0, 265 20500 0,623 0,623 25

p

y

b t E f

λ = = = 1,891

3 2 3 2 . 1,97 .0,265. (90) 12 12 s

d t sen sen I θ = =

Is= 0,1689 cm 4

2,5 5,25 5 5,25 5 4,0 8,94 a

D k b

= − = − ≤

( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t λ = −

Ia = ( ) 3 4 400 0,265 0,49 1,891 0,33 × × −

Ia=0,419 cm 4

( ) 0, 43 ,043 s a a

a

I k k k I

= − + ≤

Is/Ia=0,403

( ) 0,403 3,85 0,43 0, 43 k = − +

k=2,602

8,94 0,265

2,62.20500 0,95 0,95 25

p

b t kE

λ

σ

= = (eq. 4.3)

0, 22 0, 22 1 8,94 1 0,769

0,769 p

ef p

b b

λ

λ

− − = =

36

Flambagem local e o método das larguras efetivas

b ef,2 = 1,672 cm b ef,1 = b ef – b ef,2 = 8,301 – 1,672 b ef,1 = 6,629 cm

como I s < I a , então:

d s = 1,97 . 0,43= 0,794 cm

1.3 ­ Largura efetiva da alma Elemento AA b= 23,94 cm σ 1 = ­25 kN/cm

2

σ 2 = ­25 kN/cm 2

ψ = 1

1.3.1 ­ NBR14762 ­ Tab.04 caso a (tabela 4.2) k= 4

b ef = 12,508 cm b ef,1 = b ef,2 = b ef /2 b ef,1 = 6,254 cm b ef,2 = 6,254 cm

Propriedades geométricas: A da seção bruta= 12,79 cm 2 A da seção efetiva= 8,80 cm 2

Exemplo 05 ­ Cálculo da largura efetiva da alma e mesas do perfi l padronizado Z 45 100x50x17x1,2 mm submetido ao esforço nor­ mal de compressão, sob uma tensão de 25,00 kN/cm 2 :

Aço: fy= 25 kN/cm2 E= 20500 kN/cm2 G= 7884,615 kN/cm2

Seção submetida a esforço normal

1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas σ = 25 kN/cm 2

1.1 ­ Largura efetiva dos enrijecedores Elemento AL b= 1,565 cm σ 1 = ­25 kN/cm

2

σ 2 = ­25 kN/cm 2

ψ = 1

1.1.1 ­ NBR14762 ­ Tab.05 caso a (tabela 4.3) k= 0,43

,2 2 2 ef ef s

ef a

b b I b I

= ≤

,2 8,301 0, 403 2 ef b =

s s ef ef

a

I d d d I

= ≤

23,94 0, 265 4.20500 0,95

25

p λ =

λp=1,66 [λp > 0,673]

0, 22 23,94 1 1,66

1,66 ef b

− = (eq. 3.2)

1,565 0,12

0, 43.20500 0,95 25

p λ = = 0,731

[λp > 0,673]

(eq. 4.2)

37

3 2 3 2 . 1,565 .0,12. (45) 12 12 s

d t sen sen I θ = =

Is= 0,0192 cm 4

1,7 5, 25 5 5, 25 5 4,0 4,625 a

D k b

= − = − ≤

ka= 3,40

( ) 4 0 56 5 a p I t λ = + = ( ) 4 56 2,161 5 0,12 × +

Ia= 0,026 cm 4

( ) 3 0,43 0,43 s a a

a

I k k k I

= − + ≤

Is/Ia= 0,734

( ) 3 0,734 3,41 0,43 0, 43 k = − +

k=3,10

4,625 0,12

3,10.20500 0,95 25

p λ =

b ef,1 = 1,497 cm

1.2 ­ Largura efetiva das mesas 1.2.1 ­ NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda (com inclinação de 45º): σ 1 = ­25 kN/cm

2

σ 2 = ­25 kN/cm 2

b=4,625 cm D=1,70 cm t=0,12 cm d ef =1,497 cm d=1,565 cm σ=25 kN/cm 2

θ=45 º

Como λ p0 =2,161 > 2,03, então:

1.3 ­ Largura efetiva da alma Elemento AA b= 9,52 cm σ 1 = ­25 kN/cm

2

σ 2 = ­25 kN/cm 2

ψ = 1

1.3.1 – Tabela 4.2 – caso a (NBR14762 ­ Tab04) k= 4

0,22 1,565 1 0,731

0,731 ef b

− = = 1,497 cm

0

4,625 0,12 20500 0,623 0,623 25

p

y

b t E f

λ = = = 2,161

λp=0,805 [λp > 0,673]

0,22 4,625 1 0,805

0,805 ef b

− =

bef=4,175 cm

,2 2 2 ef ef s

ef a

b b I b I

= ≤

,2

4.175 0,734 2 ef b =

bef,2= 1,532 cm

bef,1 = bef – bef,2= 4,175 – 1,532

bef,1= 2,642 cm

como Is < Ia, então:

s s ef ef

a

I d d d I

= ≤

ds= 0,734 . 1,497 = 1,099 cm

38

9,52 0,12 4.20500 0,95

25

p λ =

λp=1,458 [λp > 0,673]

0, 22 9,52 1 1,458

1, 458 ef b

− =

bef= 5,544 cm

bef,1= 2,772 cm

bef,2= 2,772 cm

Flambagem local e o método das larguras efetivas

Propriedades geométricas: A da seção bruta= 2,8 cm 2 A da seção efetiva= 2,10 cm 2

Exemplo 06 ­ Cálculo da largura efetiva da alma e mesas do perfil Ue com enrijecedor de borda adicional, Uee 200x100x25x10x2,65 mm sub­ metido a momento fletor em relação ao eixo de maior inércia, X, sob uma tensão máxima de 25,00 kN/cm 2 :

Aço: f y = 25 kN/cm2 E= 20500 kN/cm 2 G= 7884,615 kN/cm 2 Uee: b w = 20,0 b f = 10,0 D= 2,5 D e = 1,0 t= 0,265 α=0 β=90 θ=90

Seção submetida a esforço de momento fletor em relação ao eixo X

1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas σ máx = 25 kN/cm

2

O cálculo das tensões nas extremidades de cada elemento é feito considerando diagrama linear de tensões ao longo da altura do elemento com a linha neutra passando pelo centro geométrico e perpendicular ao plano de aplicação do mo­ mento e o máximo valor de tensão igual a 25 kN/cm 2 (tração ou compressão) na fibra mais distante da linha neutra:

1.1 – Largura efetiva do enrijecedor de borda e do enrijecedor de borda adicional:

O valor de b/t máximo em elementos com borda livre (AL) submetidos a uma tensão de 25 kN/ cm 2 para ter a largura efetiva igual a largura bru­ ta (b ef = b) é dado pela equação 4.3 ao igualar­ se a esbelteza reduzida, λ p , a 0,673:

0,673 .20500 0,95

p

b t k

λ

σ

= = è

0, 43.20500 0,95 0,673 25

b t =

39

b/t max = 12 – (máximo valor de b/t no qual não será necessário reduzir a largura do elemento de borda livre, para uma tensão de 25kN/cm 2 )

Como neste exemplo as relações largura/espes­ sura dos enrijecedores de borda e enrijecedores adicionais do perfil são bem pequenas, respec­ tivamente 5,4 e 1,8, então as larguras efetivas desses elementos são iguais suas larguras bru­ tas. b/t = 1,44 / 0,265= 5,4 – enrijecedor de borda b/t = 0,47 / 0,265= 1,8 – enrijecedor adicional

1.2 ­ Largura efetiva da mesa enrijecida ­ NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda e enrijecedor de borda adicional:

­ Por simplificação e a favor da segurança, será admitido que a máxima tensão dada ocorre na fibra média do elemento : σ 1 = ­25 kN/cm2 σ 2 = ­25 kN/cm2 b=8,94 cmt=0,265 cm I s = 0,247 cm4 σ=25 kN/cm2

Como 0,673 < λ p < 2,03 – então:

Caso II

Ia=0,419 cm 4

I s /I a =0,591

k a = 4,0 – para enrijecedores de borda que não sejam os simples

k=3,175

λ p =0,696 como λ p > 0,673 – então:

b ef = 8,785 cm

b ef,2 = 2,596 cm

0

8,94 0, 265 20500 0,623 25

p λ = = 1,891

( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t λ = − =

( ) 3 4 400 0,265 0,49 1,891 0,33 × × −

( ) 0,43 ,043 s a a

a

I k k k I

= − + ≤

( ) 0,591 4 0, 43 0, 43 k = − +

8,94 0, 265

3,175.20500 0,95 25

p λ =

0, 22 0, 22 1 8,94 1 0,696

0,696 p

ef p

b b

λ

λ

− − = =

,2 2 2 ef ef s

ef a

b b I b I

= ≤

,2 8,785 0,591 2 ef b =

40

Flambagem local e o método das larguras efetivas

b ef,1 = b ef – b ef,2 = 8,785 – 2,596 b ef,1 = 6,188 cm

como I s < I a , então a área efetiva do enrijecedor de borda a ser considerada nas propriedades geométricas de deve ser reduzida na propor­ ção I s /I a

Isso pode ser obtido diminuindo a espessura efetiva do enrijecedor de borda:

t ef = 59.1% . 0,265 = 0,157 cm

1.3 ­ Largura efetiva da Alma: Elemento AA b= 18,94 cm σ 1 = ­23,993 kN/cm2 σ 2 = 23,993 kN/cm2 ψ = ­1

1.3.1 ­ NBR14762 ­ Tab04.caso d (tabela 4.2) k= 24 b= 18,94 cm b c = 9,47 cm b t = 9,47 cm

como λ p =0,525 < 0,673 então, b ef = 18,94 cm bef = b

Propriedades geométricas: I x da seção bruta= 767,09 cm

4

I x da seção efetiva= 743,88 cm 4

Exemplo 07 ­ Cálculo da largura efetiva da alma e mesas do perfi l padronizado Cr 100x50x20x2,0 mm submetido a momento fletor em relação ao eixo X, sob uma tensão máxima de 25,00 kN/cm 2 com os enrijecedores voltados para o lado das tensões de compressão : Aço: f y = 25 kN/cm2 E= 20500 kN/cm 2 G= 7884,615 kN/cm 2 Perfil: Cr: bw=10 bf=5 D=2 t=0,2

Nota: Mesas enrijecidas sob tensões de compressão não uniformes, como é o caso des­ te exemplo (momento fletor aplicado no eixo perpendicular às mesas), não possuem nas nor­ mas em vigor um procedimento de cálculo es­ pecífico. É necessário, portanto, a favor da se­ gurança, considerar que estes elementos estão uniformemente comprimidos.

s s ef

a

I A A I

=

0,591 = s

a

I I

18,94 0, 265

24.20500 0,95 0,95 25

p

b t kE

λ

σ

= = = 0,525

41

Seção submetida a esforço de momento fletor em relação ao eixo X 1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas σ máx = 25 kN/cm2

1.1 ­ Largura efetiva dos enrijecedores Elemento AL b= 1,6 cm σ 1 = ­25 kN/cm

2

σ 2 = ­25 kN/cm 2

ψ = σ 1/ σ 2 = 1,0

1.1.1 ­ NBR14762 ­ Tab05.caso a (tabela 4.3) k= 0,43

λ p =0,448462

como λ p < 0,673, então b ef = 1,6 cm b ef = b

1.2 ­ Largura efetiva das mesas enrijecidas ­ NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda: y 1 = 4,78 (posição da extremidade junto ao enrijecedor) y 2 = ­4,42 (posição da extremidade junto a alma do perfil) y máx = 5,08 y mín = ­4,72

(obs. para o divisor dessa equação use sempre a coordenada mais distante do CG do perfil, em módulo). b=9,2 cm D=2 cm t=0,2 cm d ef =1,6 cm d=1,6 cm σ=23,52 kN/cm 2

θ=90 º

b ef = 7,283 cm

1.6 0,2

0, 43.20500 0,95 25

p λ = =

σ1= 4 78 25 5 08 , ,

× − = ­23,523 kN/cm 2

σ2= 4 42 25 5 08 , ,

× = 21,78 kN/cm 2

0

9,2 0, 2 20500 0,623 0,623 25

p

y

b t E f

λ = =

λp0=2,50

Como λp0 > 2,03, então:

Caso III:3 2 3 2 . 1,6 .0, 2. (90) 12 12 s

d t sen sen I θ = =

Is= 0,068 cm 4

2 5, 25 5 5,25 5 4,0 9, 2 a

D k b

= − = − ≤

ka=4

( ) 4 0 56 5 a p I t λ = + = ( ) 4 56 2,50 5 0,2 × +

Ia=0,232 cm 4

( ) 3 0,43 0,43 s a a

a

I k k k I

= − + ≤

Is/Ia=0,294

( ) 3 0,294 4 0,43 0,43 k = − +

k=2,80 9, 2

0, 2 2.8.20500 0,95

25

p λ =

λp= 0,98 [λp > 0,673]

0, 22 9, 2 1 0,98

0,98 ef b

− =

bef= 7,283 cm

42

Flambagem local e o método das larguras efetivas

b ef,2 =1,071cm b ef,1 = b ef – b ef,2 = 9,2 – 1,071 b ef,1 = 6,212 cm

como I s < I a , então:

d s = 1,6 . 0,294= 0,471 cm d s = 0,471 cm

1.3 ­ Largura efetiva da mesa Elemento AA b= 4,2 cm σ 1 = 23,257 kN/cm

2

σ 2 = 23,257 kN/cm 2

Elemento somente sob tensões de tração!

Propriedades geométricas: I x da seção bruta= 69,98 cm

4

I x da seção efetiva= 47,78 cm 4

,2 2 2 ef ef s

ef a

b b I b I

= ≤

,2 7, 283 0, 294 2 ef b =

s s ef ef

a

I d d d I

= ≤

43

45

Capítulo 5 Flambagem por distorção da

seção transversal

46

Flambagem por distorção da seção transversal

A flambagem por distorção é caracteriza­ da pela alteração da forma inicial da seção transversal ocorrendo uma rotação dos elemen­ tos submetidos à compressão.

Esse fenômeno torna­se mais evidente em: ­ aços de alta resistência ­ em elementos com maior

relação largura da mesa largura da alma ,

­ elementos com menor largura do enrijecedor de borda,

­ seção cujos elementos são poucos es­ beltos (menor b/t). Nesse caso, a carga crítica de flambagem distorcional pode ser menor do que a da flambagem local.

Uma característica que diferencia a flambagem local da distorcional é a deformada pós­crítica. Na flambagem por distorção a se­ ção perde sua forma inicial (figuras 5.1 e 5.2), o que não ocorre na flambagem local.

Figura 5.1 ­ Flambagem local e distorcional

a) compressão centrada b) momento fletor

Figura 5.2 – Distorção da seção transversal

Figura 5.3 ­ Modelo simplificado proposto por Hancock & Lau

A NBR 14762:2001 utiliza o método sim­ plificado proposto por Hancock, para calcular a força crítica de flambagem por distorção dos perfis formados a frio. Esse modelo simplifica­ do dispensa a solução numérica que demanda­ ria programas de computador.

Hancock idealizou um modelo de viga composto apenas pela mesa do perfil e do seu enrijecedor, submetido à compressão. A ligação da mesa com a alma é representada por dois apoios de molas, um para restringir à rotação e outro para restringir o deslocamento horizontal, conforme esquematizado na figura 5.3. Esse modelo procura considerar, de forma aproxima­ da, a influência da alma sobre a mesa compri­ mida, por meio de coeficientes de mola k φ e x k , respectivamente, à rotação e translação. É fácil notar que quanto mais esbelta for a alma (maior b w /t), menor serão os valores de e k φ e x k .

A partir desse modelo matemático, com algumas simplificações, é possível determinar­ se a tensão crítica de distorção do perfil e, con­ seqüentemente, a força normal e o momento fletor críticos. Esses esforços podem ser deter­ minados conforme os itens 7.7.3 e 7.8.1.3 da NBR 14762.

47

(eq. 5.5)

O coeficiente de mola à rotação (equação 5.4) depende do valor da tensão no qual a alma está solicitada. Quanto maior for essa tensão, menor será a restrição que ela poderá oferecer para a mesa. No caso da compressão uniforme admite­se que o perfil está sob tensão unifor­ me, o que significa que a alma estará solicitada a, no máximo, à tensão σ dist . Sendo assim, é necessário fazer uma iteração para a obtenção da tensão crítica da flambagem por distorção. Admite­se, inicialmente, que k φ = 0 ao substituir a equação 5.2 pela equação 5.5 para a obten­ ção do primeiro valor de σ dist da iteração . A se­ guir, com o valor da primeira tensão crítica en­ contrada calcula­se o (equação 5.4) e, em fim, calcula­se σ dist .

Sendo assim, é necessário fazer esta pe­ quena interação na obtenção da tensão crítica da flambagem por distorção. Admiti­se inicial­ mente que a rigidez k φ = 0 ao substituir a equação 5.2 pela equação 5.5 na obtenção do primeiro σ dist . Depois com a primeira tensão crítica encontrada calcula­se o k φ (equação 5.4) e, em fim, calcula­se σ dist definitivo admitindo, desta vez, a contribuição da rigidez a rotação que a alma exerce sobre a mesa.

As propriedades geométricas do modelo estudado, A d ; I x ; I y ; I xy ; I t ; h x e h y devem ser calcu­ ladas para a seção transversal constituída ape­ nas pela mesa e do enrijecedor de borda (figu­ ra 5.4), cujas expressões são apresentadas a seguir:

Figura 5.4 – Propriedades geométrica da mesa e o enrijecedor de borda

+ σ

− +

= φ

2

2 d

2 w

d 2

w 2 dist

d w

3

L b L b

Et 11 , 1 1

) L 06 , 0 b ( 46 , 5 Et k

α1 = (η/β1)(β2 + 0,039It Ld 2 ) As expressões para o cálculo da tensão crítica de distorção,σ dist , encontram­se no anexo D da NBR 14762 e são apresentada a seguir.

5.1 Seção do tipo U enrijecido submetida à compressão uniforme

Para as seções transversais com relação b f / b w compreendida entre 0,4 e 2,0 a tensão crítica à distorção pode se determinada por meio da equação 5.1.

σ dist = (0,5E/A d )α 1 + α 2 – [(α 1 + α 2 ) 2 ­ 4 3 ]

0,5

(eq. 5.1)

Onde: α 1 = (η/β 1 )(β 2 + 0,039I t L d

2 ) + k φ /(β 1 ηE)

(eq. 5.2)

α 2 = η(I y ­ 2 y o β 3 /β 1 )

α 3 = η(α 1 I y ­ ηβ 3 2 /β 1 )

β 1 = h x 2 + (I x + I y )/A d

β 2 = I x b f 2

β 3 = I xy b f β 4 = β 2 = I x b f

2

η = (π/L d ) 2

L d = 4,8(β 4 b w /t 3 ) 0,25 (eq.5.3)

Sendo L d o comprimento teórico da semi­ onda na configuração deformada.

(eq. 5.4)

dist pode ser calculada, em primeira apro­ ximação, pela equação 5.1 comα 1 conforme in­ dicado na equação 5.5.

σ

48

Flambagem por distorção da seção transversal

A d = (b f + D)t

I x = b f t 3 /12 + tD 3 /12 + b f t h y

2 + Dt(0,5D +

h y ) 2

I y = tb f 3 /12 + Dt 3 /12 + Dt(b f + h x )

2 + b f t(h x

+ 0,5b f ) 2

I xy = b f t h y (0,5b f + h x ) + Dt(0,5D + h y )(b f +

h)

I t = t 3 (b f + D)/3

h x = ­ 0,5(b f 2 + 2b f D)/(b f + D)

h y = ­ 0,5D 2 /(b f + D)

b f ; b w ; D ; t são indicados na figura 5.2.

Outro fator que deve ser observado na aná­ lise da flambagem por distorção é o limite de validade das expressões normatizadas, ou seja, 0,4 < b f / b w < 2,0. Essa limitação se deve à calibaração da equação 5.4 para o cálculo de k φ . Para perfis fora dessa faixa é necessário empregar métodos mais precisos.

A tabela 5.1 indica as dimensões mínimas que deve ter o enrijecedor de borda (em rela­ ção a dimensão da alma, D/b w ) de perfis Ue de forma a dispensar maiores verificações à flambagem por distorção. Essa tabela, retirada do anexo D da NBR 14762, foi construída com base nas tensões críticas de flambagem, em regime elástico, pelo método das faixas finitas. Para cada modo de flambagem, global, local ou distorcional, há uma tensão crítica diferente (veja a figura 7.2).

As dimensões recomendadas pelas tabela 5.1 garantem que o modo distorcional não será o modo crítico de flambagem .

A tabela 5.1 é válida para barras em que L x , L y e L t são iguais. As barras em que os com­ primentos de flambagem mencionados são di­ ferentes, por exemplo, barras com travamentos intermediários, devem ser verificados à distorção pela equação 5.1

Exemplo 08: (exemplo de utilização da tabela 5.1) Qual deve ser o comprimento mínimo do enrijecedor do perfil Ue 200x100xDx3 mm de uma barra submetida à compressão centrada para não ser necessário a verificação da flambagem por distorção?

Da tabela 5.1, por interpolação linear, tem­se:

b w / t

b f / b w 100 67 50

0,4 0,04 0,0664 0,08

0,5 0,0929

0,6 0,06 0,1194 0,15

100 0,5 200

f

w

b b = = 200 67

3 w b t = =

0,0929 w

D b = è D= 0,0929 . 200= 18,58 mm

Tabela 5.1 – Valores mínimos da relação D/b w de seções do tipo U enrijecido submetida à compressão centrada para dispensar a verifi­ cação da flambagem por distorção.

49

Para uma barra onde os comprimentos de flambagem são iguais, L x =L y =L t , o menor valor de enrijecedor de borda para dispensar a verifi­ cação da flambagem por distorção é D= 19mm.

5.2 Seções do tipo U enrijecido e Z enrijecido submetidas à flexão em relação ao eixo perpendicular à alma

A tensão crítica de flambagem elástica por distorção σ dist para seções do tipo U enrijecido e do tipo Z enrijecido submetidas à flexão em relação ao eixo perpendicular à alma pode ser determinada conforme a equação 5.1 substitu­ indo­se apenas as equações de L d (eq. 5.3) e k φ (eq. 5.4) pelas equações 5.6 e 5.7 respectivamente.

L d = 4,8(0,5I x b f 2 b w /t

3 ) 0,25 (eq. 5.6)

(eq. 5.7)

De mesma forma que no caso da compres­ são uniforme, σ dist deve ser calculada, em pri­ meira aproximação utilizando­se a equação 5.1, mas substituindo a equação de 5.2 pela equa­ ção 5.5.

Se o valor de k φ . resultar negativo, k φ . deve ser novamente calculado com σ dist =0.

Se o comprimento livre à flambagem por distorção (L dist ­ distância entre seções com res­ trição total à distorção da mesa comprimida) for inferior a L d teórico, calculado conforme equa­ ção 5.6, então L d pode ser substituído pelo com­ primento livre à flambagem por distorção.

A tabela 5.2 indica as dimensões mínimas que deve ter o enrijecedor de borda (em rela­ ção a dimensão da alma, D/b w ) de perfis Ue e Ze de forma a dispensar maiores verificações à flambagem por distorção . Essa tabela foi re­ tirada do anexo D da NBR 14762.

Tabela 5.2 – Valores mínimos da relação D/b w de seções do tipo U enrijecido e Z enrijecidos submetida à flexão para dispensar a verificação da flambagem por distorção.

Exemplos para o cálculo da tensão de distorção no perfil:

Exemplo 09 ­ Cálculo da tensão crítica de flambagem elástica à distorção do perfil padro­ nizado Ue 250x100x25x2.65 mm submetido ao esforço normal de compressão:

1 ­ Cálculo de σ dist [NBR 14762­Anexo D] NBR 14762 ­ Anexo D3: Seções Ue submeti­ dos a compressão uniforme t=0,265 cm b w =25 cm b f =10 cm D=2,5 cm E=20500 kN/cm 2

Propriedades geométricas da mesa e enrijecedor (ver item 5.1 e figura 5.4): A d = 3,05661 cm

2 I x = 1,00392 cm 4

I y = 28,20113 cm 4

I xy = 2,83349 cm 4 I t = 0,07145 cm

4

C w = 0,00079 cm 6

h x = ­5,556 cm h y = ­0,2454 cm x 0 = 3,73896 cm y 0 =­0,24098 cm

Equação da tensão crítica de flambagem elástica por distorção é dada por (eq. 5.1):

+ + σ

− +

= φ 2 w

2 d

4 w

4 d

2 d

4 w

2 dist

d w

3

b L 39 , 13 b 192 , 2 L 56 , 12 L b

Et 11 , 1 1

) L 06 , 0 b ( 73 , 2 Et k

σdist = (0,5E/Ad)α1 + α2 – [(α1 + α2) 2 ­ 4α3] 0,5

50

Flambagem por distorção da seção transversal

β 4 = β 2 = I x b f 2 = 1,004 . 10 2

β 4 =100,392

β 2 =100,392

comprimento teórico da semi­onda na configu­ ração deformada:

L d = 4,8(β 4 b w /t 3 ) 0,25

L d = 4,8(100,392 . 25 /0,265 3 ) 0,25

L d =91,985 cm

η = (π/L d ) 2 = (π/91,985) 2

η=0,0011664511

β 1 = h x 2 + (I x + I y )/A d

β 1 = (­5,556) 2 + (1,004 + 28,201)/3,057

β 1 =40,4193

β 3 = I xy b f = 2,83349 . 10

β 3 = 28,3349

σ dist deve ser calculada em primeira

aproximação com,

α 1 = (η/β 1 )(β 2 + 0,039I t L d 2 )

α 1 = (0,001166 / 40,419)(100,392 + 0,039

. 0,07145.(91,985) 2

α 1,1ªaprox = 0,0035776

α 2 = η(I y ­ 2 y o β 3 /β 1 ) = 0,001166 (28,201 –

2(­0,24098).28,33349 / 40,4193)

α 2 =0,033289

α 3 = η(α 1 I y ­ ηβ 3 2 /β 1 ) = 0,001166

(0,0035776 . 28,20113 ­ 0,001166

(28,3349) 2 / (40,4193))

α 3 =0,00009066

Para o primeiro cálculo de σ dist

(considerando k φ = 0 ):

σ dist = (0,5 . 20500 / 3,0566).0,00358+

0,03329– [(0,00358+0,03329) 2 – 4,0 .

0,0000907] 0,5

σ dist,1ªaprox =17,70 kN/cm 2

então o coeficiente à rotação da mola para a tensão calculada será:

k φ =1,0336

α 1 = (η/β 1 )(β 2 + 0,039I t L d 2 ) + k φ /(β 1 ηE)

α 1 = 0,0035776 + 1,0336 / (40,419 .

0,001167 . 20500 )

α 1 =0,0046470723

α 3 = η(α 1 I y ­ ηβ 3 2 /β 1 ) = 0,00117 (0,004647

. 28,201 ­ 0,00117 (28,335) 2 / (40,419))

α 3 =0,0001258402

finalmente o valor da tensão crítica, σ dist :

+ σ −

+ = φ

2

2 d

2 w

d 2

w 2 dist

d w

3

L b L b

Et 11 , 1 1

) L 06 , 0 b ( 46 , 5 Et k

( ) ( ) ( )

2 3 2

2 2 2

20500. 0, 265 1,11 17,70 25 91,985 1­

20500 0, 265 25 91,985 5,46 25 0,06. 91,985 k φ

× × = × + +

σdist = (0,5E/Ad)α1 + α2 – [(α1 + α2) 2 ­ 4α3] 0,5

( ) 0,5 2 dist

0,5 20500 = 0,00465+ 0,03329­ 0,00465 + 0,03329 ­ 4 0,0001258 3,057

σ × × ×

51

σ dist = 24,63 kN/cm 2

Exemplo 10 ­ Cálculo da tensão crítica de flambagem elástica à distorção do perfil Ue 150x60x20x2 mm submetido ao esforço de momento fletor no plano perpendicular a alma: Ue: b w =15 cm b f =6 cm D=2 cm t=0,2 cm E= 20500 kN/cm2

1 ­ Cálculo de σ dist [NBR 14762­Anexo D] NBR 14762 ­ Anexo D4: Seções Ue e Ze sub­ metidos a flexão em relação ao eixo perpendi­ cular à alma

Propriedades geométricas da mesa e enri­ jecedor: A d = 1,454 cm

2 I x = 0,370 cm 4 I y = 4,7879 cm

4

I xy = 0,757 cm 4 I t = 0,01936 cm

4 C w = 0,00014 cm 6 h x = =­3,4177 cm h y = ­0,2504 cm x 0 = 2,05286 cm y 0 = ­0,24568 cm

Equação da tensão crítica de flambagem elástica por distorção é dada por (eq. 5.1):

β 4 = β 2 = I x b f 2 = 0,370 . 6 2

β 4 =13,32612

β 2 =13,32612

comprimento teórico da semi­onda

na configuração deformada:

L d = 4,8(0,5I x b f 2 b w /t 3 ) 0,25

L d = 4,8(0,5 . 0,370 . 6 2 15 / 0,2 3 ) 0,25

L d =50,7469 cm

η = (π/L d ) 2 = (π/50,7469) 2

η= 0,0038324789

β 1 = h x 2 + (I x + I y )/A d

β 1 = (­3,4177) 2 + (0,370 + 4,7879) / 1,454

β 1 =15,22775

β 3 = I xy b f = 0,757 . 6

β 3 = 4,54386

σ dist deve ser calculada em primeira aproxima­ ção com,

σ 1 = (h/b 1 )(b 2 + 0,039I t L d 2 )

α 1 = (0,0038324789/15,22775)( 13,32612+ 0,039 . 0,01936.( 50,7469) 2

α 1,1ªaprox = 0,0038432481

α 2 = h(I y ­ 2 y o b 3 /b 1 ) = 0,0038324789 (4,7879 – 2(­0,24568). 4,54386 / 15,227749)

α 2 = 0,018911515

α 3 = h(a 1 I y ­ hb 3 2 /b 1 ) = 0,003832479

(0,003843248 . 4,7879 ­ 0,0038325 (4,5439) 2 / (15,228))

α 3 = 0,0000506074

Para o primeiro cálculo de σ dist (considerando k φ = 0 ):

σ dist = (0,5 . 20500/ 1,454). 0,003843+0,01891– [(0,003843+0,01891) 2 –4,0 . 0,00005061 ] 0,5

α dist,1ªaprox = 35,22 kN/cm 2

coeficiente de mola à rotação:

k φ =3,10215 > 0 (ok!)

σdist = (0,5E/Ad)α1 + α2 – [(α1 + α2) 2 ­ 4α3] 0,5

+ σ

− +

= φ

2

2 d

2 w

d 2

w 2 dist

d w

3

L b L b

Et 11 , 1 1

) L 06 , 0 b ( 46 , 5 Et k

( ) ( ) ( )

2 3 2

2 2 2

20500. 0, 2 1,11 35, 218 15 50,749 1­

20500 0, 2 15 50,749 5, 46 15 0,06. 50,749 k φ

× × = × + +

52

Flambagem por distorção da seção transversal

α 1 = (η/β 1 )(β 2 + 0,039I t L d 2 ) + k φ /(β 1 ηE)

α 1 = 0,0038432481+ 3,10215 /

(15,2277496434. 0,0038324789.20500)

α 1 = 0,0064361959

α 3 = η(α 1 I y ­ ηβ 3 2 /β 1 ) = 0,0038432

(0,00384325 . 4,7879 ­ 0,003843

(4,54386) 2 / (15,22775))

α 3 = 0,0000981869

σ dist = 67,27 kN/cm 2

σdist = (0,5E/Ad)α1 + α2 – [(α1 + α2) 2 ­ 4α3] 0,5

( ) 0,5 2 dist

0,5 20500 = 0,006436+ 0,01891­ 0,006436+ 0,01891 ­ 4 0,000098187 1,454

σ × × ×

53

55

Capítulo 6 Dimensionamento à tração

56

Dimensionamento à tração

Antes de adotar os valores das dimensões dos perfis a serem utilizadas no projeto é ne­ cessário estar atento aos limites geométricos imposto pela norma em especial as relações largura/espessuras máximas que consta no item 7.1 da NBR 14762:2001.

É apresentada na tabela 6.1 alguns dos limites impostos pela norma quanto aos valores máximos da relação largura­espessura:

Tabela 6.1 ­ Valores máximos da relação largura­espessura para elementos comprimidos

No dimensionamento a tração dos perfis metálicos são necessários fazer dois tipos de verificações: a primeira, denominada verifica­ ção ao escoamento da seção bruta, corresponde verificar se, ao longo da barra, as tensões são menores que o limite de escoamen­

to do aço. A segunda verificação, denominada de verificação da capacidade última da seção efetiva, é feita na região das ligações, onde exis­ te a interferência dos furos para passagem dos parafusos, que reduzem a área tracionada em determinadas seções. A excentricidade da en­ trada de carga de tração no perfil também é considerada no dimensionamento. Na região da ligação, onde o esforço normal é transmitido de um elemento para outro, as tensões não são, no caso geral, uniformes na seção. Sendo neces­ sário introduzir um coeficiente na expressão do esforço resistente que represente este efeito, C t . O valor do coeficiente C t é obtido empiricamente e a NBR 14762:2001 apresenta tabelas para sua obtenção. A verificação da capacidade últi­ ma da seção efetiva é feita com a tensão última de ruptura a tração do aço, f u , pois permite­se plastificação na seção para a distribuição das tensões.

As peças tracionadas não devem ter índice de esbeltez superior a 300:

r – raio de giração L – comprimento da barra k – coeficiente para comprimento de flambagem

A força normal de tração resistente de cál­ culo N t,Rd deve ser tomada como o menor valor entre as equações 6.1 e 6.2:

N t,Rd = Af y / γ com γ = 1,1 (eq. 6.1)

N t,Rd = C t A n f u / γ com γ = 1,35 (eq. 6.2)

A ­ área bruta da seção transversal da barra; A n ­ área líquida da seção transversal da barra.

Para ligações soldadas, considerar An = A. Nos casos em que houver apenas soldas transversais (soldas de topo), A n deve ser con­

300 kL r

λ = ≤

( ) 2 0,9 / 4 n f f A A n d t ts g = − + Σ (eq. 6.3)

57

siderada igual à área bruta da(s) parte(s) conectada(s) apenas.

d f ­ dimensão do furo, n f ­ quantidade de furos contidos na linha de rup­ tura analisada, figura 6.1; s ­ é o espaçamento dos furos na direção da solicitação, figura 6.1; g ­ espaçamento dos furos na direção perpen­ dicular à solicitação, figura 6.1; t ­ espessura da parte conectada analisada C t ­ coeficiente de redução de área líquida con­ forme item 7.6.1 da NBR 14762:2001 mostra­ dos nas tabelas 6.2 a 6.4.

Tabela 6.2 ­ Chapas com ligações parafusadas Figura 6.1 – Linha de ruptura

d ­ diâmetro nominal do parafuso;

Em casos de espaçamentos diferentes, tomar sempre o maior valor de g para cálculo de C t ;

Nos casos em que o espaçamento entre furos g for inferior à soma das distâncias entre os centros dos furos de extremidade às respec­ tivas bordas, na direção perpendicular à solici­ tação (e 1 + e 2 ), C t deve ser calculado substituin­ do g por e 1 + e 2 .

Havendo um único parafuso na seção ana­ lisada, C t deve ser calculado tomando­se g como a própria largura bruta da chapa.

Nos casos de furos com disposição em zig­ zag, com g inferior a 3d, C t deve ser calculado tomando­se g igual ao maior valor entre 3d e a soma e 1 + e 2 .

Tabela 6.3 ­ Chapas com ligações soldadas

Figura 6.2 – Ligações parafusadas

Figura 6.3 – Ligações soldadas

58

Dimensionamento à tração

Tabela 6.5 – Perfis com ligações parafusadas

b ­ largura da chapa; L ­ comprimento da ligação parafusada (figura 6.2) ou o comprimento da solda (figura 6.3); x ­ excentricidade da ligação, tomada como a distância entre o plano da ligação e o centróide da seção transversal do perfil (figuras 6.2 e 6.3).

Exemplos de tirantes:

Exemplo 11 ­ Cálculo da capacidade resisten­ te à tração de um tirante de 3,5 m de compri­ mento em perfil padronizado L 100x40x2 mm, com a ligação feita por meio de 4 parafusos com diâmetro de 12,5 mm na alma conforme dispos­ tos na figura abaixo: Adotar aço f y = 25 kN/cm

2 e f u = 40 kN/cm

2

1) Verificação ao escoamento da seção bruta:

N t,Rd = Af y / γ

A= 3,468 cm 2

f y = 25,0 kN/cm 2

γ = 1,1 N t,Rd = 3,468 . 25,0 / 1,1 = 78,83 kN

2) Verificação da ruptura da seção efetiva: N t,Rd = C t A n f u / γ

γ = 1,35

( ) 2 0,9 / 4 n f f A A n d t ts g = − + Σ

n f = 2 d f = 1,25+0,15 cm s = 3 cm g = 4 cm

C t – tabela 6.2 – perfis com ligações parafusa­ das:

Perfis U com dois ou mais parafusos na dire­ ção da solicitação C t = 1 – 0,36(x/L) < 0,9 (porém, não inferior a 0,5) L = 3+3+3 = 9 cm x = 0,98 cm (coordenada do centro geométrico) Ct = 1 – 0,36 (0,98 / 9) = 0,96

N t,Rd = 0,96 . 2,72 . 40 / 1,35 = 77,36 kN

N t,Rd é o menor valor calculado: N t,Rd = 77,36 kN

Verificação da esbeltez da barra: r min = r y = 1,23

2 0, 2.3 0,9 3,468 2.(1, 25 0,15).0, 2 4.4

= − + +

n A =2,72 cm 2

300 kL r

λ = ≤ à 1 350 300 1, 23

λ ⋅

= ≤ à 285 300 λ = ≤ ­ ok!

2

2

dois ou mais parafusos

dois ou mais parafusos

59

Exemplo 12 ­ Cálculo da capacidade resisten­ te à tração de um tirante de 5,0 m de compri­ mento em perfil padronizado L 100x4,75 mm, com a ligação feita com 2 parafusos com diâ­ metro de 16 mm conforme dispostos na figura abaixo: Adotar aço f y = 25 kN/cm

2 e f u = 40 kN/ cm 2 (r min = 1,95 cm)

1) Verificação ao escoamento da seção bruta:

N t,Rd = Af y / γ A= 9,129cm 2 f y = 25,0 kN/cm

2

γ = 1,1

N t,Rd = 9,129 . 25,0 / 1,1

N t,Rd = 207,47 kN

2) Verificação da ruptura da seção efetiva: N t,Rd = C t A n f u / γ γ = 1,35

( ) 2 0,9 / 4 n f f A A n d t ts g = − + Σ

n f = 1 d f = 1,6+0,15 cm s = 0; neste caso a linha de ruptura abrange apenas um furo (figura 6.1 linha de ruptura 2)

( ) 0,9 9,129 1.(1,6 0,15).0, 475 0 = − + + n A = 7,47 cm 2

C t – tabela 6.2 – perfis com ligações parafusa­ das:

Perfis L com dois ou mais parafusos na direção da solicitação

C t = 1 – 1,2(x/L) < 0,9 (porém, não inferior a 0,4)

L = 4 cm x = 2,48 cm (coordenada do centro geométrico)

C t = 1 – 1,2 (2,48 / 4) = 0,25 à C t = 0,4

N t,Rd = 0,4 . 7,47 . 40 / 1,35 = 88,53 kN

N t,Rd é o menor valor calculado: N t,Rd = 88,53 kN

Verificação da esbeltez da barra: r min = 1,95

300 kL r

λ = ≤ à 1 500

300 1,95

λ ⋅

= ≤ à 256 300 λ = ≤ ­ ok!

61

Capítulo 7 Dimensionamento à

compressão

62

Dimensionamento à compressão

Barras comprimidas estão sujeitas à flambagem por flexão (ou flambagem de Euler), à flambagem por torção ou à flambagem por flexo­torção. Essas denominações devem­se às formas da deformação pós­critíca, como se pode ver na figura 7.1

O aumento da esbeltez da barra diminui sua capacidade para resistir aos esforços solicitantes. Isso significa que a máxima tensão que poderá atuar num elemento de chapa será a tensão crítica de flambagem global e não mais a tensão de escoamento do aço, máx σ = crít σ . As As larguras efetivas dos elementos da seção são, portanto, calculadas para esse valor de tensão.

Em peças excessivamente esbeltas a ten­ são crítica de flambagem global é muito peque­ na, menor que da flambagem local (figura 7.1a), não havendo redução das larguras efetivas, a seção efetiva é a própria seção bruta. Nesses casos é a flambagem global que determina a capacidade resistente do perfil.

Em peças curtas as cargas críticas da flambagem global são altíssimas e a capacida­ de resistente do perfil é determinada pela resis­ tência do material (o aço) somado aos efeitos da flambagem local.

a) flambagem por torção b) flambagem por flexo­torção Figura 7.1

Figura 7.3­ Perfil que não ocorre a flambagem distorcional

Figura 7.2­ Perfil que ocorre a flambagem distorcional

Para uma faixa de esbeltez intermediária da barra, não excessivamente esbelta ou curta, pode ocorrer um fenômeno que é desacoplado da flambagem local e global: a flambagem por distorção. A ocorrência desse fenômeno depen­ de da geometria da seção transversal e do com­ primento longitudinal da barra comprimida ou fletida (L x , L y e L t ). Existem perfis em que a flambagem por distorção não ocorre. Isso acon­ tece quando o comprimento crítico para a flambagem distorcional (L dist crítico) é elevado o suficiente para ocasionar flambagem global an­ tes de atingir esse comprimento, (figura 7.3).

As figuras 7.2 e 7.3 mostram exem­ plos de curvas da capacidade resistente e com­ primento de barras submetidas à compressão centrada. Os modos de flambagens que ocor­ rem para cada comprimento da barra são iden­ tificados. O perfil representado na figura 7.2 terá ocorrência de flambagem por distorção quando seu comprimento estiver dentro de uma peque­ na faixa próximo ao comprimento de distorção crítico, L d . Os valores apresentados nas tabelas das relações mínimas b w /D para se dispensar a verificação da flambagem por distorção, foram extraídas de análises desse tipo, utilizando um

63

programa de faixas finitas para encontrar os esforços críticos e identificar os casos onde N dist < N 0 , conforme a figura 7.3.

Cálculo da capacidade resistente de bar­ ras submetidas à compressão centrada confor­ me a norma brasileira NBR 14762:2001:

A força normal de compressão resistente de cálculo N c,Rd deve ser tomada como o menor valor calculado entre:

1 – Força normal resistente de cálculo pela flambagem da barra por flexão, por torção ou por flexo­torção.

2 ­ Força normal resistente de cálculo pela flambagem por distorção da seção transversal.

A primeira verificação engloba a interação dos modos de flambagem global e local do per­ fil. A flambagem por distorção ocorre de modo independente das demais e de forma súbita, sendo sua verificação realizada em separado na segunda verificação.

7.1 – Força normal resistente de cálculo pela flambagem da barra por flexão, por torção ou por flexo­torção.

Processo de cálculo ­ NBR 14762:2001:

1­ Cálculo das propriedades geométricas da seção bruta (A, I x , I y , C w , r x , r y )

2­ Cálculo da força normal de compressão elás­ tica, N e (sempre considerando a seção bruta)

3­Cálculo de λ 0 = y

e

f N bruta A

aproximado – (equa­

ção 7.3)

4­ Cálculo de ρ usando λ 0 aproximado – (equa­ ção 7.2)

5­ Cálculo de A ef com σ = ρ*f y

( ) 0 5 2 2 0

1 1 0 , , ρ β β λ

= ≤ + −

(eq. 7.4)

( ) 2 0 0 0 5 1 0 2 , , β α λ λ = + − +

0 ef y

e

A f N

λ = (eq. 7.5)

6­ Cálculo de λ 0 = y

e

f N ef A

(2º cálculo de λ 0 ).

7­ Cálculo de ρ usando o segundo valor de λ 0 (2º

cálculo de ρ).

8­Cálculo da força resistente , y ef

c Rd

f A N

ρ γ

= (eq.

7.3)

A força normal de compressão resistente de cálculo N c,Rd deve ser calculada por:

N c,Rd = ρA ef f y / γ ,com γ = 1,1 (eq. 7.1)

ρ ­ fator de redução associado à flambagem calculado pela equação 7.2 ou por meio das tabelas 7.2 a 7.4.

(eq. 7.2)

α é o fator de imperfeição inicial. Nos ca­

sos de flambagem por flexão, os valores de α variam de acordo com o tipo de seção e o eixo da seção em torno do qual a barra sofrerá flexão na ocorrência da flambagem global. Os valores de α são obtidos, conforme tabela 7.1 (Tabela 7 da NBR 14762), sendo:

curva a:α = 0,21

curva b:α = 0,34

curva c: α = 0,49

­ Nos casos de flambagem por torção ou por flexo­torção, deve­se tomar a curva b.

­ λ 0 é o índice de esbeltez reduzido para barras comprimidas, dado por:

(eq. 7.3)

64

Dimensionamento à compressão

A ef é a área efetiva da seção transversal da barra, calculada com base nas larguras efe­ tivas dos elementos, adotando σ = ρf y . Para o primeiro cálculo de ρ pode ser adotado de for­ ma aproximada, A ef = A para o cálculo de λ 0 .

N e é a força normal de flambagem elásti­ ca da barra, calculado conforme item 7.7.2 da NBR 14762, conforme mostra­se a seguir:

7.1.1 ­ Cálculo de Ne em perfis com dupla simetria ou simétricos em relação a um ponto

A força normal de flambagem elástica N e é o menor valor entre:

C w ­ constante de empenamento da seção; E ­ módulo de elasticidade; G ­ módulo de elasticidade transversal; I t ­ momento de inércia à torção uniforme; K x L x ­ comprimento efetivo de flambagem por flexão em relação ao eixo x; K y L y ­ comprimento efetivo de flambagem por flexão em relação ao eixo y; K t L t ­ comprimento efetivo de flambagem por torção. Quando não houver garantia de impedi­ mento ao empenamento, deve­se tomar K t igual a 1,0. r 0 é o raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de torção, dado por:

r 0 = [r x 2 + r y

2 + x 0 2 + y 0

2 ] 0,5 (eq. 7.7)

r x ; r y ­ raios de giração da seção bruta em relação aos eixos principais de inércia x e y, respectivamente;

x 0 ; y 0 ­ coordenadas do centro de torção na direção dos eixos principais x e y, respecti­ vamente, em relação ao centróide da seção.

7.1.2 ­ Cálculo de Ne em perfis monossimétricos

A força normal de flambagem elástica N e de um perfil com seção monossimétrica, cujo eixo x é o eixo de simetria, é o menor valor en­ tre:

Caso o eixo y seja o eixo de simetria, bas­ ta substituir y por x e x 0 por y 0

7.1.3 ­ Cálculo de Ne em perfis assimétricos

A força normal de flambagem elástica N e de um perfil com seção assimétrica é dada pela menor das raízes da seguinte equação cúbica:

r 0 2 (N e ­ N ex )(N e ­ N ey )(N e ­ N et ) ­ N e

2 (N e ­ N ey )x 0 2 ­

N e 2 (N e ­ N ex )y 0

2 = 0 (eq.7.10)

N ex ; N ey ; N et ; x 0 ; y 0 ; r 0 conforme definidos pelas equações 7.4 a 7.6.

2

2

) ( x x

x ex

L K EI N

π = (eq. 7.6)

2

2

) ( y y

y ey

L K

EI N

π = (eq. 7.7)

+ = t

t t

w et GI

L K EC

r N

2

2

20 ) ( 1 π

(eq. 7.8)

2

2

) ( y y

y ey

L K

EI N

π = (eq. 7.10)

+

− − −

−

+ =

2

2 0 0

2 0 0 ) (

] ) / ( 1 [ 4 1 1

] ) / ( 1 [ 2 et ex

et ex et ex ext

N N r x N N

r x N N N (eq. 7.11)

(eq. 7.4)

(eq. 7.5)

(eq. 7.6)

(eq. 7.8)

(eq. 7.9)

65

.11)

66

Dimensionamento à compressão

67

Exemplos de cálculo de pilares submeti­ do à compressão:

Exemplo 13 ­ Cálculo da capacidade resisten­ te a esforços de compressão do montante de uma treliça de seção do tipo U 100x50x2,0 mm e comprimento de 1,5m. Sem travamentos in­ termediários, apenas as ligações nas extremi­ dades (k x =k y =k t =1,0):

f y = 25 kN/cm 2 E= 20500 kN/cm 2

G= 7884,615 kN/cm 2

Barras submetidas à compressão centrada [NBR 14762­7.7] 1 ­ Flambagem da barra por flexão, por torção ou por flexo­torção [NBR 14762­7.7.2]

1.1 ­ Cálculo Ne L x = 150 cm L y = 150 cm L t = 150 cm r 0 = 5,298 cm x 0 = ­3,108 cm I x =61,491 cm

4 I y =9,726 cm 4 I t =0,052 cm

4

C w =159,068 cm 6 A=3,87cm 2

N ex = 552,95 kN

N ey = 87,46 kN

N et = 65,43 kN

Perfil monosimétrico: em relação ao eixo X [NBR14762 ­ 7.7.2.2]

2

2

) ( x x

x ex

L K EI N

π = =

2

2

20500 61 491 150

, ( )

π ⋅

2

2

) ( y y

y ey

L K

EI N

π = =

2

2

20500 9 726 150

, ( )

π ⋅

+ = t

t t

w et GI

L K EC

r N

2

2

2 0 ) ( 1 π =

2

2 2

1 20500 159 068 7884 61 0 052 5 298 150

, , , , ( )

π ⋅ + ⋅

+

− − −

−

+ =

2

2 0 0

2 0 0 ) (

] ) / ( 1 [ 4 1 1

] ) / ( 1 [ 2 et ex

et ex et ex ext

N N r x N N

r x N N N

68

0 ef y

e

A f N

λ = = 3 87 25 62 67 , , ⋅

λ0= 1,242

( ) 2 0 5 1 0 34 1 242 0 2 1 242 , , , , , β = + − +

β = 1,448

Dimensionamento à compressão

N ext = 62,67 kN N e é o menor valor entre N ey e N ext : N e = 62,67 kN modo de flambagem global: flexo­torção

­ Nos casos de flambagem por torção ou por flexo­torção, deve­se tomar a curva b – 0 34 , α = .

Cálculo do λ 0 aproximado (calculado com a área efetiva igual a área da seção bruta): A ef = A b = 3,87cm

2

ρ = 0,456 (aproximado, calculado com A ef = A)

σ = ρ .f y = 11,39 kN/cm 2 (comρ aproximado)

Cálculo da área efetiva com a tensão = 11,39 kN/cm 2 :

Largura efetiva das mesas Elemento AL b= 4,4 cm σ 1 = ­11,39 kN/cm2 σ 2 = ­11,39 kN/cm2 ψ = 1

­ Tabela 4.3 caso a: k= 0,43 (NBR14762 ­ Tab05) λ p (b=4,6 t=0,2 k=0,43 =11,39 ):

λ p =0,870 [λ p > 0,673] b ef = 3,949 cm

Largura efetiva da alma Elemento AA b= 9,2 cm σ 1 = ­11,39 kN/cm2 σ 2 = ­11,39 kN/cm2 ψ = 1

­ Tabela 4.2 caso a: k= 4 (NBR14762 ­ Tab04) λ p (b=9,2 t=0,2 k=4 σ=11,39 ):

λ p =0,571 [λ p < 0,673] b ef = 9,2 cm b ef = b

Portanto, A ef = 3,61 cm

2

Cálculo de λ 0 final

2

2 2

552 95 65 43 4 552 95 65 43 1 3 108 5 298 1 1 2 1 3 108 5 298 552 95 65 43

, , , , [ ( , / , ) ] [ ( , / , ) ] ( , , ) ext N

+ ⋅ ⋅ − − = − −

− − +

( ) 0 5 2 2 0

1 1 0 , , ρ β β λ

= ≤ + −

( ) 0 5 2 2

1 1 0 1 448 1 448 1 242

, , , , ,

ρ = ≤ + −

0 ef y

e

A f N

λ = = 3 61 25 62 67 , , ⋅

λ0= 1,20

( ) 2 0 5 1 0 34 1 2 0 2 1 2 , , , , , β = + − +

β = 1,39

( ) 0 5 2 2 0

1 1 0 , , ρ β β λ

= ≤ + −

( ) 0 5 2 2

1 1 0 1 39 1 39 1 2

, , , , ,

ρ = ≤ + −

ρ = 0,478

γ = 1,1

, y ef

c Rd

f A N

ρ γ

=

, 0,478 25 3,61

1,1 ⋅ ⋅

= c Rd N

Nc,rd= 39,22 kN

69

+ = t

t t

w et GI

L K EC

r N 2

2

20 ) ( 1 π

= 2

2 2

1 20500 12951 32 7884 61 0 268 11 868 150

, , , , ( )

π ⋅ + ⋅

Exemplo14 ­ Cálculo da capacidade resisten­ te de flambagem por flexão de um pilar com seção do tipo Ue 200x100x25x2,65 mm e com­ primento de 3,0m com um travamento no meio do vão na direção de menor inércia (k x = 1,0 k y = k t =0,5):

f y = 25 kN/cm 2 E= 20500 kN/cm 2

G= 7884,615 kN/cm 2

1 ­ Flambagem da barra por flexão, por torção ou por flexo­torção [NBR 14762­7.7.2]

1.1 ­ Cálculo N e L x = 300 cm L y = 150 cm L t = 150 cm r 0 = 11,868 cm x c = ­7,858 cm y c = 0 cm I x =749,504 cm

4 I y =157,365 cm 4

I t =0,268 cm 4

C w =12951,323 cm 6 A=11,463 cm 2

N ex = 1684,942 kN

N ey = 1415,074 kN

N et = 841,839 kN

Perfil monosimétrico: em relação ao eixo X [NBR14762 ­ 7.7.2.2]

N ext = 657,444 kN

Para perfis monossimétricos N e é o menor valor entre N ey e N ext : N e = 657,44 kN modo de flambagem global: flexo­torção

­ Nos casos de flambagem por torção ou por flexo­torção, deve­se tomar a curva b à 0 34 , α = .

Cálculo do λ 0 aproximado (calculado com a área efetiva igual a área da seção bruta): A ef = A b = 11,463 cm

2

ρ = 0,806 (aproximado, calculado com A ef = A)

σ= ρ.f y = 20,14 kN/cm 2 (com ρ aproximado)

Cálculo da área efetiva com a tensão ó= 20,14 kN/cm 2 : ­ Largura efetiva dos enrijecedores de borda: Elemento AL b= 1,97 cm σ 1 = ­20,14 kN/cm 2

σ 2 = ­20,14 kN/cm 2

2

2

) ( x x

x ex

L K EI N

π = =

2

2

20500 749 50 300

, ( )

π ⋅

2

2

) ( y y

y ey

L K

EI N

π = =

2

2

20500 157 36 150

, ( )

π ⋅

+ −

− − −

+ = 2

et ex

2 0 0 et ex

2 0 0

et ex ext ) N N (

] ) r / x ( 1 [ N N 4 1 1 ] ) r / x ( 1 [ 2

N N N

2

2 2

1684 94 841 83 4 1684 94 841 83 1 7 85 11 86 1 1 2 1 7 85 11 86 1684 94 841 83

, , , , [ ( , / , ) ] [ ( , / , ) ] ( , , ) ext N

+ ⋅ ⋅ − − = − −

− − +

0 ef y

e

A f N

λ = = 11 46 25 657 44 , , ⋅

λ0= 0,66

( ) 2 0 5 1 0 34 0 66 0 2 0 66 , , , , , β = + − +

β = 0,796

( ) 0 5 2 2 0

1 1 0 , , ρ β β λ

= ≤ + −

( ) 0 5 2 2

1 1 0 0 796 0 796 0 66

, , , , ,

ρ = ≤ + −

70

ψ = 1 à Tabela 4.3 caso a (NBR14762 ­ Tabela05) k= 0,43

λ p = 0,37 [λ p > 0,673] b ef = 1,97 cm b ef = b

­ Largura efetiva das mesas

­ NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda: σ 1 = ­20,14 kN/cm2 σ 2 = ­20,14 kN/cm2 b=8,94 cmD=2,5 cm t=0,265 cm d ef =1,97 cm d=1,97 cm σ=20,14 kN/cm 2 I s = 0,1688 cm4

λ p0 =1,69

Como 0,673 < λ p0 < 2,03, então: Caso II:

( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t λ = − =

( ) 3 4 400 0, 265 0, 49 1,69 0,33 × × −

I a =0,2492 cm 4

Dimensionamento à compressão

k=3,24 λ p (b=8,94 t=0,265 k=3,24 σ=20,14 ):

λ p =0,617 [λ p < 0,673] b ef =8,94 cm b ef = b

como I s < I a , então:

d s = 0,677 . 1,97 = 1,33 cm d s =1,33 cm

­ Largura efetiva elemento da alma Elemento AA b= 18,94 cm σ 1 = ­20,14 kN/cm2 σ 2 = ­20,14 kN/cm2 ψ = 1

– Tabela 4.2 – caso a à k= 4 λ p (b=18,94 t=0,265 k=4 σ=20,14 ):

b ef,1 = 6,53 cm b ef,2 = 6,53 cm

Área da seção efetiva: A ef = 9,57 cm 2

Cálculo de λ 0 final

1,97 0, 265

0, 43 20500 0,95 0,95 20,14

λ = = ⋅ p

y

b t kE f

0

8,94 0, 265 20500 0,623 0,623 25

λ = = p

y

b t E f

2,8 5,25 5 5, 25 5 4,0 8,94

= − = − ≤ a

D k b

s s ef ef

a

I d d d I

= ≤

18,94 0, 265 4.20500 0,95

25

λ = p =1,179 [λp > 0,673]

0, 22 18,94 1 1,179

1,179

− = ef b = 13,06 cm

0 ef y

e

A f N

λ = = 9 57 25 657 44 ,

, ⋅

71

ρ= 0,835

γ = 1,1

, y ef

c Rd

f A N

ρ γ

=

, 0,835 25 9,57

1,1 ⋅ ⋅

= c Rd N

Nc,rd= 181,70 kN

λ0= 0,603

( ) 2 0 5 1 0 34 0 603 0 2 0 603 , , , , , β = + − +

β = 0,75

7.2 – Força normal resistente de cálculo pela flambagem por distorção da seção transversal

Para as barras com seção transversal aberta sujeitas à flambagem por distorção, a força normal de compressão resistente de cál­ culo N c,Rd deve ser calculada pelas expressões seguintes:

A é área bruta da seção transversal da barra;

l dist é o índice de esbeltez reduzido referen­ te à flambagem por distorção, dado por:

para λ dist < 1,414

N c,Rd = Af y 0,055[λ dist – 3,6] 2 + 0,237/ γ

σ dist é a tensão convencional de flambagem elástica por distorção, calculada pela teoria da estabilidade elástica ou conforme anexo D da NBR 14762.

Exemplo15 ­ Cálculo da capacidade re­ sistente de flambagem por distorção de um pi­ lar com seção do tipo Ue 200x100x25x2,65 mm e comprimento de 3,0m:

f y = 25 kN/cm 2 E= 20500 kN/cm 2

G= 7884,615 kN/cm 2

Flambagem por distorção da seção transversal [NBR 14762­7.7.3]:

1.1­ Cálculo da tensão crítica de flambagem por distorção, σ dist (Capítulo 4.2)

­ NBR 14762 ­ Anexo D3: Seções Ue submeti­ dos a compressão uniforme t=0,265 cm b w =20 cm b f =10 cm D=2,5 cm E=20500 kN/cm 2

Propriedades geométricas da mesa e enrijecedor: A d =3,05 cm

2 I x =1,003 cm 4 I y =28,201 cm

4

I xy =2,833 cm 4

I t =0,0714 cm 4 C w =0,000 cm

6 h x =­5,555 cm h y =­0,245 cm x 0 =3,74 cm y 0 =­0,2409 cm

( ) 0 5 2 2 0

1 1 0 , , ρ β β λ

= ≤ + −

( ) 0 5 2 2

1 1 0 0 75 0 75 0 603

, , , , ,

ρ = ≤ + −

Nc,Rd = Afy (1 – 0,25λdist 2 ) / γ

para 1,414 ≤ λdist ≤ 3,6

onde, γ =1,1

λ dist = (f y /σ dist ) 0,5

72

Dimensionamento à compressão

Equação da tensão crítica de flambagem elástica por distorção é dada por (eq. 4.1):

comprimento teórico da semi­onda na con­ figuração deformada:

λ dist deve ser calculada em primeira aproximação com,

então o coeficiente à rotação da mola para a tensão calculada será:

1.2 – Cálculo da força resistente:

σdist = (0,5E/Ad)α1 + α2 – [(α1 + α2) 2 ­ 4α3] 0,5

β4 = β2 = Ixbf 2 = 1,004 . 10 2

β4=100,392 β2= β4= 100,392

Ld = 4,8(β4 bw /t 3 ) 0,25

Ld = 4,8(100,392 . 20 /0,265 3 ) 0,25

Ld=86,99 cm

η = (π/Ld) 2 = (π/86,99) 2

η=0,001304

β1 = hx 2 + (Ix + Iy)/Ad

β1 = (­5,556) 2 + (1,004 + 28,201)/3,057

β1=40,4193

β3 = Ixybf = 2,83349 . 10

β3= 28,3349

α1 = (η/β1)(β2 + 0,039It Ld 2 )

α1 = (0,001304 / 40,419)(100,392 +

0,039 . 0,07145.(86,99) 2

α1,1ªaprox= 0,003919

α2 = η(Iy ­ 2 yoβ3/β1) = 0,001304 (28,201 –

2(­0,2409).28,33349 / 40,4193)

α2=0,037218

α3 = η(α1Iy ­ ηβ3 2 /β1) =

0,001304 (0,003919 . 28,3349 –

0,001304 (28,3349) 2 / (40,4193))

α3=0,0001103

Para o primeiro cálculo de σdist

(considerando kφ = 0 ):

σdist = (0,5 . 20500 / 3,0566).0,003919+

0,037218– [(0,003919+0,037218) 2 –

4,0 . 0,0001103 ] 0,5

σdist,1ªaprox=19,35 kN/cm 2

+

σ −

+ = φ

2

2 d

2 w

d 2

w 2 dist

d w

3

L b

L b

Et

11 , 1 1

) L 06 , 0 b ( 46 , 5 Et k

( ) ( ) ( )

2 3 2

2 2 2

20500. 0,265 1,11 19,35 20 86,99 1­

20500 0,265 20 86,99 5, 46 20 0,06. 86,99 φ

× × = × + +

k

kφ =1,98

α1 = (η/β1)(β2 + 0,039It Ld 2 ) + kφ /(β1ηE)

α1 = 0,001304 / 40,419)(100,392 +

0,039 . 0,07145.(86,99) 2 +1,98/

(40,4193 . 0,001304 . 20500) = 0,005753

α3 = η(α1Iy ­ ηβ3 2 /β1) = 0,001304 (0,005753 .

28,201 ­ 0, 001304 (28,335) 2 /

(40,419)) = 0,0001778

finalmente o valor da tensão crítica, σdist:

σdist = (0,5E/Ad)α1 + α2 – [(α1 + α2) 2 ­ 4α3] 0,5

( ) 0,5 2 dist

0,5 20500 = 0,005753+ 0,03721­ 0,005753 + 0,03721 ­ 4 0,0001778 3,057

σ × × ×

γ= 1,1

λdist = (fy/σdist) 0,5 = (25/31,11) 0,5

λdist= 0,896

73

.

Como λdist < 1.414, então,

Nc,Rd = Afy (1 – 0,25λdist 2 ) / γ

A= 11,463 cm 2

fy= 25 kN/cm 2

Nc,Rd = 11,463 . 25 (1 – 0,25 . 0,896 2 ) / 1,1

Nc,Rd = 208,194 kN

75

Capítulo 8 Dimensionamento à

flexão

76

Dimensionamento à flexão

O momento fletor resistente de cálculo M Rd deve ser tomado como o menor valor calculado entre: 1 –Momento de cálculo que causa escoamento na seção na fibra mais solicitada. 2 – Momento de cálculo referente à flambagem lateral com torção. 3 – Momento de cálculo referente à flambagem por distorção da seção transversal.

8.1 Início de escoamento da seção efetiva

W ef ­ módulo de resistência elástico da seção efetiva calculado com base nas larguras efetivas dos elementos, com σ calculada para o estado limite último de escoamento da seção, σ = f y.

Deve­se observar nessa verificação que o centro geométrico da seção efetiva não coin­ cide com da seção bruta, essa diferença modi­ fica a coordenada da fibra mais solicitada, para o cálculo de W ef .

8.2 Flambagem lateral com torção

A flambagem lateral com torção ocorre em vigas fletidas. Este modo de flambagem é re­ sultado da instabilidade longitudinal da viga. É possível entender a origem desse fenômeno observando uma viga fletida e isolando esquematicamente a parte comprimida da tracionada, figura 8.1. A região comprimida ao longo do comprimento da barra pode ser anali­ sada como um “pilar” submetido a esforços de compressão e com apoios elásticos ao longo de um de seus lados (que é formado pela re­ gião tracionada). Este pilar também está sujei­ to flambagem a flexão de Euler, porém sua dire­ ção de menor inércia, nesse caso é a do eixo y. Como a “barra” comprimida está apoiada num de seus lados, quando ocorrer a perda de esta­ bilidade à flexão, o perfil tenderá a torcer. Des­

sa forma a rigidez envolvida nesse modo de flambagem é a rigidez a flexão em torno do eixo y e também a rigidez a torção.

O momento fletor resistente de cálculo re­ ferente à flambagem lateral com torção, toman­ do­se um trecho compreendido entre seções contidas lateralmente, deve ser calculado por:

W c,ef ­ módulo de resistência elástico da seção efetiva em relação à fibra comprimida, calculado com base nas larguras efetivas dos elementos, adotando σ = ρ FLT .f y ;

ρ FLT ­ fator de redução associado à flambagem lateral com torção, calculado por:

­ para λ 0 < 0,6: ρ FLT = 1,0

­ para 0,6 < λ 0 < 1,336:ρ FLT = 1,11(1 – 0,278λ 0 2 )

­ para λ 0 ³ 1,336: ρ FLT = 1/λ 0 2

λ 0 = (W c f y /M e ) 0,5

W c ­ módulo de resistência elástico da seção bruta em relação à fibra comprimida; M e ­ momento fletor de flambagem lateral com torção, em regime elástico. As equações para o cálculo de M e para os casos mais comuns encontram­se no item 8.8.1.2 da norma, conforme a seguir:

As expressões apresentadas para o cálculo de M e foram deduzidas para carregamento aplicado na posição do centro de torção. A favor da segurança, também podem ser empregadas nos casos de carregamento

Figura 8.1 – Tensões em viga sob flexão

MRd = Wef fy / γ (γ = 1,1)

MRd = [ρFLT Wc,ef fy] / γ (γ = 1,1)

77

M e = C b r 0 (N ey N et ) 0,5

Em barras com seção monossimétrica, sujeitas à flexão em torno do eixo perpendicular ao eixo de simetria, consultar bibliografia espe­ cializada.

­ barras com seção Z ponto­simétrica (si­ métricas em relação a um ponto), com carrega­ mento no plano da alma: M e = 0,5C b r 0 (N ey N et )

0,5

­ barras com seção fechada (caixão), su­ jeitas à flexão em torno do eixo x: M e = C b (N ey GI t )

0,5

N ey ; N et ; r 0 conforme definidos no capítulo 7.

Os valores de K y L y e K t L t podem ser to­ mados com valor inferiores a L y e L t , respecti­ vamente, desde que justificados com base em bibliografia especializada. Para os balanços com a extremidade livre sem contenção lateral, K y L y e K t L t podem resultar maiores que L y e L t , respectivamente, em função das condições de vínculo, por exemplo, em barras contínuas conectadas apenas pela mesa tracionada, por­ tanto com deslocamentos laterais, rotação em torno do eixo longitudinal e empenamento par­ cialmente impedidos no apoio. Nesse caso deve­se consultar bibliografia especializada.

C b é o coeficiente de equivalência de mo­ mento na flexão, que a favor da segurança pode ser tomado igual a 1,0 ou calculado pela seguinte expressão:

Para balanços com a extremidade livre sem contenção lateral e para barras submeti­ das à flexão composta, C b deve ser tomado igual a 1,0.

M max é o máximo valor do momento fletor solicitante de cálculo, em módulo, no trecho ana­ lisado;

M A é o valor do momento fletor solicitante de cálculo, em módulo, no 1 o . quarto do trecho analisado;

M B é o valor do momento fletor solicitante de cálculo, em módulo, no centro do trecho ana­ lisado;

M C é o valor do momento fletor solicitante de cálculo, em módulo, no 3 o . quarto do trecho analisado;

8.3 Flambagem por distorção da seção transversal

Para as barras com seção transversal aberta sujeitas à flambagem por distorção, o momento fletor resistente de cálculo deve ser calculado pela seguinte expressão:

Onde: M dist é o momento fletor de flambagem por distorção, dado por: ­ para λ dist < 1,414: M dist = W c f y (1 – 0,25λ dist 2 )

­ para λ dist ≥ 1,414: M dist = W c f y /λ dist 2

W c ­ módulo de resistência elástico da seção bruta em relacão a fibra comprimida;

λ dist é o índice de esbeltez reduzido refe­ rente à flambagem por distorção, dado por:

σ dist é a tensão convencional de flambagem elástica por distorção, calculada pela teoria da estabilidade elástica ou conforme anexo D da norma (capítulo 5 deste manual).

Exemplo para as três verificações ao mo­ mento fletor:

C B A max

max b M 3 M 4 M 3 M 5 , 2

M 5 , 12 C + + +

=

MRd = Mdist / γ (γ = 1,1)

λdist = (fy/σdist) 0,5

aplicado em posição estabilizante, isto é, que tende a restaurar a posição original da barra (por exemplo, carregamento gravitacional aplicado na parte inferior da barra). Em casos de carregamento aplicado em posição desestabi l izante, consultar bibliografia especializada.

­ barras com seção duplamente simétrica ou monossimétrica sujeitas à flexão em torno do eixo de simetria (eixo x):

78

Dimensionamento à flexão

Exemplo 16 ­ Cálculo do momento fletor resistente em torno do eixo X do perfil padroni­ zado U250x100x2,65 mm. O comprimento da viga é de 320 cm, sem travamentos intermediá­ rios, submetido a um carregamento distribuído, tensão de escoamento de 25,0 kN/cm 2 :

1­ Início de escoamento da seção efe­ tiva [NBR 14762­7.8.1.1]

Cálculo da seção efetiva é realizado para uma tensão de σ =25 kN/cm 2 : Seção submetida a esforço de momento fletor em relação ao eixo X Cálculo das Larguras Efetivas ­ Largura efetiva da mesa inferior: Somente Tração no elemento! b ef = b ­ Largura efetiva da mesa superior: Elemento AL b= 9,47 cm σ 1 = ­25 kN/cm

2

σ 2 = ­25 kN/cm 2

ψ = 1

Tabela 4.3 caso a (NBR14762 ­ Tabela05) ­ k= 0,43

λ p =2,00 [λ p > 0,673] b ef = 4,208 cm b ef,1 = 4,208 cm

­ Largura efetiva da alma Elemento AA b= 23,94 cm σ 1 = ­24,19 kN/cm

2

σ 2 = 24,19 kN/cm 2

ψ= ­1

Tabela 4.2 caso d (NBR14762 ­ Tabela04) b c = 9,47 cm b t = 9,47 cm b= 18,94 cm k= 24

λ p =0,667 [λ p < 0,673] b ef = b b ef,1 = 5,98 cm b ef,2 = 11,97 cm b ef,1 + b ef,2 > b c b ef = b

Propriedade geométrica da seção efetiva:

Para calcular o módulo resistente efetivo (W ef ) é necessário encontrar o novo CG da se­ ção efetiva e calcular o momento de inércia em relação aos novos eixos de referência. O módulo resistente é definido como sendo o momento de inércia da seção dividido pela distância da fibra mais distante (y máx ).

Pode­se utilizar processos automatizados para calcular essas propriedades geométricas

MRd = Wef fy / γ (γ = 1,1)

9, 47 0, 265

0,43.20500 0,95 0,95 25

λ

σ

= = p

b t kE

18,94 0,265

24 20500 0,95 0,95 23,99

λ

σ

= = ⋅ p

b t kE

79

momento máximo: 2

8 máx qL M =

momento em B: 2

8 B qL M =

momento em A e C: 2 3

32 c A qL M M = =

como, por exemplo, o Excel ou um programa específico para este fim. O Programa DimPerfil realiza esses cálculos e exibe os resultados.

I x_ef = 878,00 cm 4

W x_ef = 878,00/14,04 = 64,58 cm 3

2 ­ Flambagem lateral com torção [NBR 14762­7.8.1.2]

2.1 ­ Cálculo Me

Cálculo de C b :

Para uma viga biapoiada submetida a car­ regamento distribuído uniforme:

C b = 1,13 (não depende do valor do carregamento)

Cálculo de M e : Perfil monossimétrico L x = 320 cm L y = 320 cm

L t = 320 cm r 0 = 11,756 cm

x c = 5,723 cm y c = 0 cm

C w = 12013,76 cm2

Cálculo de W c – módulo resistente do per­ fil em relação à fibra comprimida (seção bruta):

máxima coordenada Y= 12,367 cm (fibra com­ primida)

I x = 1120,17 cm 4

W c = 90,574 cm 3

Cálculo de λ 0 :

λ 0 = (W c f y /M e ) 0,5

λ 0 = 0,913

como 0,6 < λ 0 < 1,336,

ρ FLT = 1,11(1 – 0,278λ 0 2 )

ρ FLT = 0,8526

MRd = Wef fy / γ

MRd = 62,58 . 25 / 1,1

MRd = 1421,08 kN.cm

MRd = [ρFLT Wc,ef fy] / γ

C B A max

max b M 3 M 4 M 3 M 5 , 2

M 5 , 12 C + + +

=

2

2 2 ( ) qL q M x x x = ⋅ − ⋅

2

2

) ( x x

x ex

L K EI N

π = = 2213,286 kN

2

2

) ( y y

y ey

L K

EI N

π = = 222,911 kN

+ = t

t t

w et GI

L K EC

r N 2

2

2 0 ) ( 1 π

= 187,375 kN

Me= Cbr0(NeyNet) 0,5 = 2714,847 kN.cm

80

Dimensionamento à flexão

O valor da tensão a ser tomada no cálculo das larguras efetivas é dado por:

σ = ρ FLT f y = 0,8526 . 25= 21,32 kN/cm 2

O cálculo das larguras efetivas foi realizado no exemplo 01.

máxima coordenada da fibra comprimida Y= 13,933 cm

­ módulo resistente em relação as fibras comprimidas da seção efetiva

M Rd = [r FLT W c,ef f y ] / g = 0,8526 . 64,14 . 25 / 1,1

M Rd = 1242,9 kN.cm

3– Flambagem por distorção da seção transversal [NBR 14762­7.8.1.3]

Perfis com mesa sem enrijecedor de bor­ da não estão sujeitos a flambagem por distorção

da seção transversal, nesses perfis fenômeno da flambagem local (verificado pelo método das larguras efetivas) será sempre crítico compara­ do com cálculo de distorção da seção pelo mo­ delo de Hancok mostrados no capítulo 04.

O momento resistente do perfil será o me­ nor valor calculado em 1 e 2:

M Rd = 1242,9 kN.cm

Exemplo 17 ­ Cálculo da capacidade re­ sistente ao momento fletor em relação ao eixo X de uma viga de 4,0m de comprimento, perfil Ue 150x60x20x2, submetida a uma carga con­ centrada no meio do vão. Aço f y = 30 kN/cm 2 ; E= 20500 kN/cm 2 .

1­ Início de escoamento da seção efe­ tiva [NBR 14762­7.8.1.1]

1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas para se­ ção submetida a esforço de momento fletor em relação ao eixo X:

σ = 30 kN/cm 2

­ Largura efetiva do enrijecedor de borda inferi­ or e da mesa inferior do perfil: Elementos tracionados! – b ef = b

­ Largura efetiva do enrijecedor de borda supe­ rior Elemento AL

γ = 1,1

Ixef= 893,693 cm 4

Wcef= 893 693 13 933

, ,

= 64,14 cm 3

MRd = Wef fy / γ (γ = 1,1)

b= 1,6 cm

σ1= ­28,784 kN/cm 2

σ2= ­22,297 kN/cm 2 ψ= 0,775

­ NBR14762 ­ Tab05.caso b

0 ≤ ψ = σ2 / σ1 < 1,0 à

k = 0,578 / (ψ + 0,34)

k= 0,519

(tabela 4.3)

81

­ Largura efetiva da mesa superior

­ NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda: σ 1 = ­30 kN/cm

2

σ 2 = ­30 kN/cm 2

b=5,2 cm D=2 cm t=0,2 cm d ef =1,6 cm d=1,6 cm σ=30 kN/cm 2

θ=90 º

Como 0.673 < λ p0 < 2,03, então:

Caso II:

W x da seção efetiva é igual ao W x da seção bruta!

W xef = W x = 28,002 cm 3

M Rd = 28 . 30 / 1,1

M Rd = 763,6 kN.cm

2 – Flambagem lateral com torção [NBR 14762­7.8.1.2]

[λ p < 0,673]

1,61 0, 2

0,519 20500 0,95 30

λ = ⋅ p = 0,438

[λp ? 0,673]

bef= 1,6 cm bef = b

0

5, 2 0, 2 20500 0,623 30

λ = p =1,597

3 2 3 2 . 1,6 .0,2. (90) 12 12

θ = = s d t sen sen I = 0,068267 cm 4

2 5,25 5 5,25 5 4,0 5,2

= − = − ≤ a D k b

ka=3,327

( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t λ = − =

( ) 3 4 400 0,2 0, 49 1,597 0,33 × × −

=0,059 cm 4

Is/Ia=1,152

( ) 0,43 ,043 s a a

a

I k k k I

= − + ≤

è k=3,327

5, 2 0,2

3,327 20500 0,95 0,95 30

λ

σ

= = ⋅ p

b t kE

= 0,574

[λp ? 0,673]

bef=5,2 (bef = b)

como Is/Ia=1,152 > 1,0, então

ds = def

‐ Largura efetiva da alma:

Elemento AA

b= 14,2 cm

σ1= ‐28,78 kN/cm 2 σ2= 28,78 kN/cm 2 è ψ= ‐1

‐ NBR14762 ‐ Tab04.caso d

bc= 7,1 cm bt= 7,1 cm

k = 4 + 2(1­ψ) + 2(1­ψ) 3 à k= 24

14, 4 0,2

24.20500 0,95 0,95 28,78

λ

σ

= = p

b t kE

= 0,572

bef= 14,2 cm (bef = b)

(tabela 4.2)

< <

82

+ = t

t t

w et GI

L K EC

r N 2

2

20 ) ( 1 π

= 39,726 kN

2

2

) ( y y

y ey

L K

EI N

π = = 37,999 kN

momento máximo: 4 máx PL M =

momento em B: 4 B PL M =

momento em A e C: 8 c A PL M M = =

Dimensionamento à flexão

­ Cálculo M e Cálculo de C b :

Para uma viga biapoiada submetida a uma força concentrada no meio do vão:

C b = 1,31 (não depende da carga P)

Perfil monossimétrico L x = 400 cm L y = 400 cm L t = 400 cm r 0 = 7,845 cm x c = 4,645 cm C w =1440,47 cm

2

I x = 207,21 cm 4 I y = 30,05 cm

4 I t = 0,079 cm 4

M e = C b r 0 (N ey N et ) 0,5 = 399,27 kN.cm

máxima coordenada Y= 7,4 cm (fibra comprimi­ da) I x = 207,211 cm

4

W x = 28,002 cm 3

λ 0 = (W c f y /M e ) 0,5 = 1,45

0,6 < λ 0 < 1,336

ρ FLT = 1,11(1 – 0,278λ 0 2 )

ρ FLT = 0,475

O valor da tensão a ser tomada no cálculo das larguras efetivas é dado por: σ = ρ FLT f y = 0,475 . 30= 14,25 kN/cm

2

No item anterior foi calculado as larguras efeti­ vas do perfil para uma tensão de 30,0 kN/cm 2 e o resultado foi que a seção efetiva é igual a se­ ção bruta. Como nesse caso que a tensão é menor, pode­se concluir a seção efetiva será igual a seção bruta, σ =14,25 kN/cm 2 .

máxima coordenada Y= 7,4 cm (fibra comprimi­ da)

3 – Flambagem por distorção da seção transversal [NBR 14762­7.8.1.3]

­ O cálculo de σ dist foi realizado no exemplo 10: σ dist =67,27 kN/cm

2

λ dist = (f y /s dist ) 0,5 = (30/67,27) 0,5

λ dist = 0,668

­ para λ dist < 1,414:

MRd = [ρFLT Wc,ef fy] / γ

C B A max

max b M 3 M 4 M 3 M 5 , 2

M 5 , 12 C + + +

=

2

2

) ( x x

x ex

L K EI N

π = = 262,028 kN

γ = 1,1

Ixef= Ix = 207,211 cm 4

Wcef= 207 211 7 4 , ,

=28,002 cm 3

MRd = [ρFLT Wc,ef fy] / γ

MRd= 362,9 kN.cm

MRd = Mdist / γ (γ = 1,1)

83

M dist = W c f y (1 – 0,25λ dist 2 ) M dist = 28,002 . 30 . (1 – 0,25 . 0,668 2 ) M dist = 746,34 kN.cm M Rd = M dist / γ M Rd = 746,34 / 1,1 M Rd = 678,5 kN.cm

O momento resistente do perfil é o menor valor calculado nos itens 1, 2 e 3:

M Rd = 362,9 kN.cm

8.4 ­ Força cortante

No dimensionamento das peças submeti­ das ao esforço cortante, como nas demais es­ truturas de aço, as tensões de cisalhamento na alma do perfil devem ser verificadas. Uma cha­ pa de aço (alma) sob esforços cisalhantes tam­ bém está sujeita ao fenômeno da flambagem local. Sendo necessário, portanto, limitar as ten­ sões atuantes quando a chapa for esbelta. A norma brasileira apresenta expressões para capacidade resistente ao esforço cortante para três intervalos de esbelteza da alma (h/t).

A força cortante resistente de cálculo V Rd deve ser calculada por:

t ­ espessura da alma;

h ­ largura da alma (altura da parte plana da alma);

k v ­ coeficiente de flambagem local por cisalhamento, dado por:

­ para alma sem enrijecedores transver­ sais:

k v = 5,34

­ para alma com enrijecedores transversais dimensionado conforme as exigências do item 7.5 da NBR 14762:2001.

a é a distância entre enrijecedores trans­ versais de alma.

Para seções com duas ou mais almas, cada alma deve ser analisada como um elemen­ to separado resistindo à sua parcela de força cortante.

8.5 Momento fletor e força cortante combinados

Em peças onde existem esforços de mo­ mento fletor e esforço cortante (em todas as barras com carregamento transversal aplicado) o efeito associado das tensões normais devido ao momento fletor com as tensões cisalhantes deve ser verificado.

Para barras sem enrijecedores transver­ sais de alma, o momento fletor solicitante de cálculo e a força cortante solicitante de cálculo na mesma seção, devem satisfazer à seguinte expressão de interação:

(M Sd / M 0,Rd ) 2 + (V Sd / V Rd )

2 < 1,0

M Sd ­ momento fletor solicitante de cálculo;

­ para h/t ≤ 1,08(Ekv/fy) 0,5

VRd = 0,6fyht / γ (γ = 1,1)

­ para 1,08(Ekv/fy) 0,5 < h/t ≤ 1,4(Ekv/fy) 0,5

VRd = 0,65t 2 (kvfyE) 0,5 / γ (γ = 1,1)

­ para h/t > 1,4(Ekv/fy) 0,5

VRd = [0,905Ekvt 3 /h] / γ (γ = 1,1)

1,0 a/h para ) / (

34 , 5 0 , 4 2 ≤ + =

h a k v

1,0 a/h para ) / ( 0 , 4 34 , 5 2

> + = h a

k v

84

M 0,Rd ­ momento fletor resistente de cálcu­ lo pelo escoamento da seção efetiva, conforme o item 8.1;

V Sd ­ força cortante solicitante de cálculo;

V Rd ­ força cortante resistente de cálculo conforme o item 8.4.

Para barras com enrijecedores transver­ sais de alma, além de serem atendidas as exi­ gências do item 8.1 e 8.4 deste manual, quando M Sd /M 0,Rd > 0,5 e V Sd /V Rd > 0,7 deve ser satisfei­ ta a seguinte expressão de interação:

Exemplo 18 – Verificação quanto ao cisalhamento do perfil do exemplo 17 para uma carga de cálculo concentrada no meio do vão da viga biapoiada no valor de 4 kN (Ue 150x60x20x2; L= 400 cm) .

Solicitações na barra: M sd = P.L/4 = 4 . 400 / 4 = 400 kN.cm V sd = P/2 = 2 kN M 0,Rd = 763,6 kN.cm – Momento resistente pelo escoamento das fibras mais solicitadas (exemplo 17 item 1).

Dimensionamento à flexão

­ Cálculo do esforço cortante resistente: h = 14,20 (altura da parte plana da alma) h= 14,2 cm kv= 5,34 h/t= 71 1,08(E.k v /f y )

0,5 = 65,3 1,4(E.k v /f y )

0,5 = 84,6

como, 1,08(E.k v /f y )

0,5 < h/t <= 1,4.(E.k v /f y ) 0,5 , então,

V Rd = 0,65t 2 (k v f y E)

0,5 / g V Rd = 0,65 . 0,2

2 (5,34 . 30 . 20500) 0,5 / 1,1 V Rd = 42,8 kN

Verificação do efeito combinado momento fletor e esforço cortante:

(M Sd / M 0,Rd ) 2 + (V Sd / V Rd )

2 < 1,0

(400 / 763,6) 2 + ( 2 / 42,8) 2 0,274 + 0,002 = 0,276 < 1,0 – Verificado!

0,6(MSd / M0,Rd) + (VSd / VRd) ≤ 1,3

85

87

Capítulo 9 Dimensionamento à

flexão composta

88

Dimensionamento à flexão composta

A força normal solicitante de cálculo e os momentos fletores solicitantes de cálculo devem satisfazer as equações de interação apresen­ tadas neste capítulo.

9.1 Flexo­compressão

Em perfis submetidos a flexo­com­ pressão é necessário verificar a combinação de esforços por meio de duas equações, 9.1 e 9.2. A equação 9.1 considera os efeitos de segun­ da ordem na barra, a equação 9.2 apenas quan­ to a resistência do material. No entanto, quando o esforço normal da barra for relativamente pe­ queno, (N c,Sd < 0,15 . N c,Rd ) pode­se utilizar ape­ nas a equação 9.3 para a verificação á flexo­ compressão.

Quando N c,Sd / N c,Rd < 0,15 as duas expres­ sões anteriores podem ser substituídas por:

Onde: N c,Sd ­ força normal de compressão

solicitante de cálculo, considerada constante na barra;

M x,Sd ; M y,Sd ­ momentos fletores solicitantes de cálculo, na seção considerada, em relação aos eixos x e y, respectivamente;

(eq. 9.1)

e

(eq. 9.2)

(eq. 9.3)

N c,Rd ­ força normal de compressão resis­ tente de cálculo, conforme os itens 7.1 e 7.2;

N 0,Rd ­ força normal de compressão resis­ tente de cálculo, calculada conforme 7.1, nesse caso tomando­se para o cálculo o valor de ρ = 1,0 e calcula­se a aréa efetiva do perfil com a tensão σ = f y ;

M x,Rd ; M y,Rd ­ momentos fletores resisten­ tes de cálculo, em relação aos eixos x e y, res­ pectivamente, calculados conforme 8.1, 8.2 e 8.3 (no cálculo do momento resistente pela flambagem lateral com torção, conforme 8.2 o valor de C b deve ser igual a 1,0).

N ex ; N ey ­ forças normais de flambagem elástica, em relação aos eixos x e y, respectiva­ mente, calculadas por:

I x ; I y ­ momentos de inércia da seção bruta em relação aos eixos x e y, respectivamente;

(K x L x ) ; (K y L y ) ­ comprimentos efetivos de flambagem em relação aos eixos x e y, respec­ tivamente;

C mx ; C my ­ coeficientes de equivalência de momento na flexão composta, em relação aos eixos x e y, respectivamente, determinados con­ forme a), b) ou c) seguintes:

a) barras de estruturas indeslocáveis, sem ações transversais entre as extremidades:

C m = 0,6 ­ 0,4(M 1 /M 2 )

M 1 é o menor e M 2 o maior dos dois mo­ mentos fletores solicitantes de cálculo nas ex­ tremidades do trecho sem travamento lateral. A relação M 1 /M 2 é positiva quando esses momen­ tos provocarem curvatura reversa e negativa em caso de curvatura simples.

1 0 1 1

, , ,

, , , , ,

, my y Sd c Sd mx x Sd

c Sd c Rd c Sd x Rd y Rd

ex ey

C M N C M N N N M M N N

+ + ≤

− −

0

1 0 , , ,

, , ,

, y Sd c Sd x Sd

Rd x Rd y Rd

M N M N M M

+ + ≤

1 0 , , ,

, , ,

, y Sd c Sd x Sd

c Rd x Rd y Rd

M N M N M M

+ + ≤

Nex = π 2 EIx / (KxLx) 2 Ney = π 2 EIy / (KyLy) 2

89

b) barras de estruturas indeslocáveis, su­ jeitas à ações transversais entre as extremida­ des:

Caso não sejam determinados de manei­ ra mais precisa, os seguintes valores de C m podem ser adotados:

1) para ambas as extremidades da barra engastadas: C m = 0,85

2) para os demais casos: C m = 1,0

c) barras de estruturas deslocáveis: C m = 1,0

9.2 ­ Flexo­tração

e

N t,Sd ­ força normal de tração solicitante de cálculo, considerada constante na barra;

M x,Sd ; M y,Sd ­ momentos fletores solicitantes de cálculo, na seção considerada, em relação aos eixos x e y, respectivamente;

N t,Rd ­ força normal de tração resistente de cálculo, conforme o capítulo 7;

M xt,Rd ; M yt,Rd ­ momentos fletores resisten­ tes de cálculo, na seção considerada, em rela­ ção aos eixos x e y, respectivamente, calcula­ dos com base no escoamento da fibra tracionada da seção bruta, dados por

M xt,Rd = W xt f y /γ e

M yt,Rd = W yt f y /γ com γ = 1,1;

W xt ; W yt ­ módulos de resistência elásti­ cos da seção bruta em relação aos eixos x e y, respectivamente, referentes à fibra tracionada;

M x,Rd ; M y,Rd ­ momentos fletores resisten­ tes de cálculo, em relação aos eixos x e y, res­ pectivamente, conforme 8.1, 8.2 e 8.3.

Exemplo 19 – Verificação da viga abaixo quanto à flexo­compressão:

Perfil Ue 150x60x20x2 mm. Aço f y = 30 kN/cm 2 ; E= 20500 kN/cm 2 . Esforços solicitantes: M xSd = 1 .4

2 /8 = 2 kN.m = 200,0 kN.cm N c,Sd = 5,0 kN Esforços resistentes: N c,Rd = 29,09 – cálculo é demonstrado a seguir. N c,Rd / N c,Sd = 5,0/29,09 = 0,17 > 0,15, portanto na verificação da combinação dos esforços de­ vem ser satisfeitas as equações 9.1 e 9.2.

M x,Rd = 277,08 kN.cm N ex = 262,03 kN N ey = 38,00 kN N 0,Rd = 130,31 kN

Os cálculos dos esforços acima relaciona­ dos são demonstrados adiante.

Coeficientes: C b = 1,0 – para o cálculo do momento re­

sistente pela flambagem lateral com torção para momentos em torno dos eixos X e Y.

C mx = 1,0 – critério b) para determinação de C m : estruturas indeslocáveis sujeitas à ações transversais entre as extremidades

1ª verificação: equação 9.1 considerando os efeitos de 2ª ordem.

*os carregamentos apresentados são valores de cálculo, já considerados os devidos coeficientes de majoração.

1 0 , , ,

, , ,

, y Sd x Sd t Sd

xt Rd yt Rd t Rd

M M N M M N

+ + ≤

1 0 , , ,

, , ,

, y Sd x Sd t Sd

x Rd y Rd t Rd

M M N M M N

+ − ≤

1 0 1 1

, , ,

, , , , ,

, my y Sd c Sd mx x Sd

c Sd c Rd c Sd x Rd y Rd

ex ey

C M N C M N N N M M N N

+ + ≤

− −

90

Dimensionamento à flexão composta

2ª verificação: equação 9.2 verificando a resistência do material.

Conclusão: o perfil adotado resiste o car­ regamento solicitado

Cálculo dos esforços resistentes no perfil: M x,Rd ; N ex ; N ey ; N 0,Rd ; N c,RD

Cálculo de M xRd Barras submetidas à Flexão Simples [NBR 14762­7.8]

1 ­ Início de escoamento da seção efetiva [NBR 14762­7.8.1] ­ calculado no exemplo 17 (item 1) M Rd = 763,6 kN.cm

2 ­ Flambagem por distorção da seção trans­ versal [NBR 14762­7.8.1.3] ­ calculado no exemplo 17 (item 3)

M Rd = 678,5 kN.cm ( flambagem por distorção)

3 ­ Flambagem lateral com torção [NBR 14762­ 7.8.1.2]

Cálculo M e ­ semelhante ao realizado no exemplo 17 (item 2), porém neste caso o valor de C b adotado deverá ser igual a 1,0. C b = 1 Perfil monossimétrico L x = 400 cm L y = 400 cm L t = 400 cm r 0 = 7,845 cm x c = 4,645 cm C w = 1440,47 cm

2

I x = 207,21 cm 4 I y = 30,05 cm

4

I t = 0,079 cm 4

M e = C b r 0 (N ey N et ) 0,5 = 304,78 kN.cm

máxima coordenada Y= 7,4 cm (fibra comprimi­ da) I x = 207,211 cm

4

W x = 28,002 cm 3

λ 0 = (W c f y /M e ) 0,5 = 1,66

0,6 < λ 0 < 1,336

ρ FLT = 1,11(1 – 0,278λ 0 2 )

ρ FLT = 0,363

O valor da tensão a ser tomada no cálculo das larguras efetivas é dado por:

σ = ρ FLT f y = 0,363 . 30= 10,89 kN/cm 2

No exemplo 17 foi calculado as larguras efetivas desse perfil para uma tensão de 30,0 kN/cm 2 e o resultado foi que a seção efetiva é igual a seção bruta. Nesse caso que a tensão é menor pode­se concluir a seção efetiva é igual a seção bruta, σ =10,89 kN/cm 2 . máxima coordenada Y= 7,4 cm (fibra comprimi­ da) γ = 1,1 I xef = 207,211 cm

4

W cef = 28,002 cm 3

M Rd = [ρ FLT W c,ef f y ] / γ M Rd = 277,08 kN.cm

O momento fletor resistente de cálculo M Rd deve ser o menor valor calculado:

5 0 1 0 200 0 908 1 0 29 09 5 0 1 277 08

262 03

, , , , , , ,

,

⋅ + = ≤

−

0

1 0 , , ,

, , ,

, y Sd c Sd x Sd

Rd x Rd y Rd

M N M N M M

+ + ≤

5 0 200 0 76 1 0 130 31 277 08

, , , , ,

+ = ≤

2

2

) ( x x

x ex

L K EI N

π = = 262,028 kN

2

2

) ( y y

y ey

L K

EI N

π = = 37,999 kN

+ = t

t t

w et GI

L K EC

r N 2

2

20 ) ( 1 π

= 39,726 kN

91

M Rd = 763,679 kN.cm (escoamento da seção)

M Rd = 277,08 kN.cm (flambagem lateral com tor­ ção)

M Rd = 678,534 kN.cm (distorção da seção trans­ versal)

M x,Rd = 277,08 kN.cm

Cálculo de N 0,Rd Para calcular N 0,Rd , utiliza­se mesmo

procedimento do cálculo de N Rd porém e tomado o valor de ρ = 1 (este é o valor máximo de N Rd para pilares curtos onde não ocorre flambagem global)

1 ­ Cálculo das Larguras Efetivas para seção submetida a esforço de compressão centrada: σ= 30 kN/cm 2

­ Largura efetiva dos enrijecedores de borda Elemento AL b= 1,6 cm σ 1 = ­30 kN/cm2 σ 2 = ­30 kN/cm2 ψ= 1

– Tabela 4.3 caso a (NBR14762 ­ Tab05) k= 0,43

bef= 1,6 cm bef = b

30 20500 43 , 0 95 , 0

2 , 0 6 , 1

⋅ = p λ = 0,491 [λp = 0,673]

­Largura efetiva das mesas [NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda] σ 1 = ­30 kN/cm2 σ 2 = ­30 kN/cm2 b=5,2 cm D=2 cm t=0,2 cm d ef =1,6 cm d=1,6 cm σ=30 kN/cm2 θ=90 º

0

5,2 0,2 20500 0,623 30

λ = p =1,597

Como 0.673 < λp0 < 2,03, então:

Caso II:

3 2 3 2 . 1,6 .0,2. (90) 12 12

θ = = s d t sen sen I = 0,068267 cm 4

2 5, 25 5 5,25 5 4,0 5,2

= − = − ≤

a D k b

ka=3,327

( ) 3 4 0 400 0,49 0,33 a p I t λ = − =

( ) 3 4 400 0,2 0,49 1,597 0,33 × × − =0,059 cm 4

Is/Ia=1,152

( ) 0, 43 ,043 s a a

a

I k k k I

= − + ≤ è k=3,327

5, 2 0,2

3,327 20500 0,95 0,95 30

λ

σ

= = ⋅ p

b t kE

= 0,574

[λp = 0,673]

bef=5,2 (bef = b)

como Is/Ia=1,152 > 1,0, então ds = def

­ Largura efetiva da alma [NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda]

92

Dimensionamento à flexão composta

Cálculo de N c,Rd ­ Barras submetidas à com­ pressão centrada [NBR 14762­7.7]

1 ­ Flambagem por distorção da seção trans­ versal [NBR 14762­7.7.3]

1.1 ­ Cálculo de σ dist [NBR 14762­Anexo D4] NBR 14762 ­ Anexo D3: Seções Ue submeti­ dos a compressão uniforme

Propriedades geométricas da seção composta da mesa e enrijecedor (ver ítem 5.1 e figura 5.4)

t=0,2 cm b w =15 cm b f =6 cm D=2 cm A d =1,45425 cm

2

E=20500 kN/cm 2 I x =0,37017 cm

4 I y =4,78792 cm 4

I xy =0,75731 cm 4 I t =0,01936 cm

4 C w =0,00014 cm 6

h x =­3,4177 cm h y =­0,2504 cm x 0 =2,05286 cm y 0 =­0,24568 cm

Cálculo dos coeficientes

α 1,1ªaprox =0,0028609

α 2 =0,013372 α 3 =0,0000271634

β 1 =15,227749 β 2 =13,32612

β 3 =4,54386 β 4 =13,32612 L d =60,348 cm σ=0,00270997 k =0,8941 α dist,1ªaprox =26,70 kN/cm

2

α 1 =0,0039178194 α 3 =0,0000408769 σ dist = (0,5E/A d )a 1 + a 2 – [(a 1 + a 2 )

2 ­ 4a 3 ] 0,5

σ dist =39,84 kN/cm 2

Cálculo da forma normal resistente devido a distorção da seção transversal λ dist = (f y /σ dist )

0,5

λ dist = (30/39,84) 0,5

λ dist = 0,868

σ 1 = ­30 kN/cm2

σ 2 = ­30 kN/cm2

b= 14,2 cm

Tabela 4.2 caso a [NBR14762 ­ Tab04]

k = 4 14, 2

0,2 4.20500 0,95 0,95 28,78

λ

σ

= = p

b t kE

= 1,43

[λp > 0,673]

0,22 0, 22 1 14,2 1 1, 43

1,85

λ

λ

− − = = ≤ p

ef p

b b b

bef= 8,4 cm

bef,1= bef,2= 4,20 cm

0, 22 0, 22 1 14,2 1 1, 43

1,85

λ

λ

− − = = ≤ p

ef p

b b b

bef= 8,4 cm

bef,1= bef,2= 4,20 cm

Aef= 4,78 cm 2

N0Rd = Aef . fy /γ (ρ = 1)

γ = 1,1

N0Rd= 130,307 kN

93

Como, λ dist < 1,414 então,

N c,Rd = Af y (1 – 0,25λ dist 2 ) / γ

γ = 1,1 A= 5,937 cm 2 f y = 30 kN/cm

2

N dist = 131,435 kN

2 ­ Flambagem da barra por flexão, por torção ou por flexo­torção [NBR 14762­7.7.2]

N ex = 262,028 kN (demonstrado no cálculo de M xRd deste exemplo) N ey = 37,999 kN (demonstrado no cálculo de M xRd deste exemplo) N et = 39,726 kN (demonstrado no cálculo de M xRd deste exemplo)

Perfil monosimétrico: em relação ao eixo X [NBR14762 ­ 7.7.2.2]

N ext = 37,527 kN

N e = 37,527 kN (menor valor entre N ex , N ey , N et e N ext )

modo de flambagem: flambagem por flexo­tor­ ção ­ α= 0,34 (curva b) (sempre que o modo crítico de flambagem for por flexo­torção toma­se a curva b de resistên­ cia)

( Aef = A para esse primeiro cálculo de λ 0 )

Cálculo da área efetiva: Resumo do cálculo das larguras efetivas:

σ = 5,39 kN/cm 2

1 ­ Largura efetiva dos enrijecedores Elemento AL b= 1,6 cm σ 1 = ­5,39 kN/cm

2 σ 2 = ­5,39 kN/cm 2 ψ= 1

­ NBR14762 ­ Tab05.caso a ­ k= 0,43 λ p (b=1,6 t=0,2 k=0,43 σ=5,39 ) à λ p =0,208

[λ p < 0,673] b ef = b

2 ­ Largura efetiva das mesas enrijecidas

­ NBR14762. 7.2.2.2 ­ Elemento com enrijecedor de borda:

σ 1 = ­5,39 kN/cm 2 σ 2 = ­5,39 kN/cm

2

b=5,2 cm D=2 cm t=0,2 cm d ef =1,6 cm d=1,6 cm σ=5,39 kN/cm 2 θ=90 º

λ p0 =0,677 I s = 0,068267 cm4 k a =3,327

+

− − −

−

+ =

2

2 0 0

2 0 0 ) (

] ) / ( 1 [ 4 1 1 ] ) / ( 1 [ 2 et ex

et ex et ex ext

N N r x N N

r x N N N

+

− − −

−

+ =

2

2 0 0

2 0 0 ) (

] ) / ( 1 [ 4 1 1

] ) / ( 1 [ 2 et ex

et ex et ex ext

N N r x N N

r x N N N

0 ef y

e

A f N

λ = = 5 937 30 37 527 , ,

⋅ = 2,179

( ) 2 0 5 1 0 34 2 179 0 2 2 179 , , , , , β = + − +

β= 3,209

( ) 0 5 2 2 0

1 1 0 , , ρ β β λ

= ≤ + −

ρ= 0,18 (aproximado)

σ= 5,39 kN/cm 2 (com ρ aproximado)

94

Dimensionamento à flexão composta

[λ p < 0,673]

Conclusão: para essa tensão, a área da seção efetiva é igual a da seção bruta.

A ef = 5,937 cm2 λ 0 = 2,179 (usando a área efetiva calculada)

β = 3,209

ρ = 0,18 (novo valor de usando λ 0 calculado com A ef ) γ = 1,1 N c,Rd = 29,09 kN

A força normal de compressão de cálculo deve ser o menor valor calculado: [NBR 14762­7.7.1] N c,Rd = 29,089 kN (flambagem por flexo­torção) N c,Rd = 131,435 kN (flambagem por distorção)

N c,Rd = 29,089 kN

Ia=0,0001 cm 4 k=3,327

Is/Ia= 68267

λp(b=5,2 t=0,2 k=3,327 σ=5,39 ) à λp=0,243

[λp ? 0,673] à bef = b

3 ­ Largura efetiva da alma

Elemento AA

b= 14,2 cm

σ1= ­5,39 kN/cm 2

σ2= ­5,39 kN/cm 2 à ψ= 1

­ NBR14762 ­ Tab04.caso a à k= 4

λp(b=14,2 t=0,2 k=4 σ=5,39 ) à λp=0,606

0,673 < λ p0 < 2,03 ­ Caso II 9.3 ­ Fluxogramas

A seguir apresentam­se fluxogramas orientativos para o dimensionamento de perfis formados a frio.

95

96

Dimensionamento à flexão composta

97

98

Dimensionamento à flexão composta

99

100

Dimensionamento à flexão composta

101

103

Referências Bibliográficas

104

Referências Bibliográficas

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NOR­ MAS TÉCNICAS (2001). NBR 14762: Dimensionamento de estruturas de aço cons­ tituídas por perfis formados a frio. Rio de Janei­ ro: ABNT

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NOR­ MAS TÉCNICAS (2003). NBR 6355: Perfis es­ truturais de aço formados a frio ­ Padronização. Rio de Janeiro: ABNT

BATISTA, E. M.; MALITE, M.; RODRIGUES, F. C. (2001). Perfis formados a frio: Comportamento e dimensionamento. IV Seminário Internacional O Uso de Estruturas Metálicas na Construção Civil/ I Congresso In­ ternacional da Construção Metálica (ICICOM).

FRUCHTENGARTEN, J.. Notas de aula da disciplina PEF 5734­ Estruturas Metálicas II, do curso de pós graduação – Escola Politéc­ nica da Universidade de São Paulo, São Paulo.

CARVALHO, P. R. at al (2006). Curso bá­ sico de perfis de aço formados a frio. 2ª ed. Porto Alegre.

SILVA, E. L. (2006). Sobre o dimensionamento de perfis formados a frio. Dissertação de Mestrado – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo.

105

107

Anexo A Torção em Perfis de Seção Aberta

108

Anexo A ­ Torção em perfis de seção aberta

A.1 – Carregamentos transversais fora do centro de torção

Figura A.1 – Seção aberta com força cortante fora do CT

A figura A.1 mostra uma seção Ue, monossimétrica, submetida a um esforço cor­ tante V cuja linha de ação não passa pelo cen­ tro de torção. As forças v 1 , v 2 ,...v 5 representam as resultantes das tensões de cisalhamento atu­ antes nos elementos de chapa da seção. No­ tam­se pela figura dois pontos importantes:

1. fazendo o equilíbrio das forças verticais, nota­se que o esforço cortante na alma do per­ fil, (v 3 ), é maior que o esforço cortante atuante na seção (V):

Como na verificação ao esforço cortante nos perfis formados a frio admite­se que todo o esforço cortante é absorvido pela alma é impor­ tante notar que esforço a ser resistido pela alma deve ser maior que a cortante atuante na se­ ção: V Rd > v 3 (onde V Rd é o esforço cortante re­ sistente da alma do perfil).

2. fazendo o equilíbrio do momento das forças no plano da seção, constata­se a exis­ tência de um momento de torção (M t ) agindo na seção transversal. É possível notar pela figura

A.1 que, em relação a um ponto arbitrário, o momento de torção resultante é diferente de

zero: . t M F d = ∑ = v 1 .d 1 + ... + v 5 .d 5 + V.d = 0, em que “d i ” são as distâncias entre a linha de aplicação das cortantes “v i ” e o ponto conside­ rado.

Porém, é intuitivo pensar que existe um ponto no plano da seção, em que, se as forças transversais externas forem nele aplicadas não ocorrerá torção na seção, pois o momento de torção resultante das forças de cisalhamento (V 1 .d 1 , ...V 5 .d 5 ) será igual em módulo mas com sentido contrário ao momento de torção causa­ do pelo carregamento externo. Esse ponto exis­ te e é definido, na teoria de flexão, como o cen­ tro de torção. Isso ocorre quando o carregamento é aplicado numa linha que passa pelo CT da seção (distante x c do centro geométrico), q v da figura A.1.

Se o carregamento aplicado em uma viga não passar pelo centro de torção da seção transversal, a viga estará submetida à torção.

Observação: CT, centro de torção, é o cen­ tro de rotação da seção quando está submeti­ da somente à torção. Nos perfis de seção aber­ ta de paredes esbeltas, o centro de torção (CT) coincide com o centro de cisalhamento da se­ ção. No caso particular de seção com um eixo de simetria, o CT encontra­se sobre esse eixo. Nas seções duplamente simétricas o centro de torção coincide com o centro geométrico da seção, como são os casos dos perfis tipo I si­ métricos.

A.2 ­ Torção

O empenamento de uma seção corresponde a deslocamentos que ocorrem fora do seu plano ao ser submetida à torção (fig. A.4). Ocorre apenas torção uniforme, quando não há qualquer restrição ao livre empenamento na di­ reção longitudinal. A torção uniforme é caracte­

­ V + v3 – v5 – v1 = 0 è v3 = V + v1 + v5

109

rizada por causar na seção transversal um esta­ do de tensões de cisalhamento puro. Quando há restrição ao livre empenamento, ocorre a tor­ ção não­uniforme. A torção não­uniforme causa na seção transversal tensões normais de tração e compressão (que podem ser vistas como momentos fletores aplicados em determinadas regiões da seção) e tensões de cisalhamento.

O efeito do momento de torção (M t ) apli­ cado numa barra, portanto, deve ser considera­ do em duas parcelas: a primeira se refere à tor­ ção de Saint Venant M z , ou simplesmente tor­ ção uniforme, e a segunda ao efeito da restri­ ção ao empenamento, sendo denominada de torção com flexão T ù , ou simplesmente torção não­uniforme. Assim, temos a equação A.1.

M t = M z + T ω (A.1)

A.2.1 ­ Torção Uniforme

Figura A.2 – Tensões de cisalhamento na torção uniforme

As tensões de cisalhamento de um perfil de seção aberta submetido à torção uniforme (sem restrição ao empenamento) têm distribui­ ção linear ao longo da espessura do perfil, como mostra o detalhe da figura A.2. O valor da máxi­ ma tensão de cisalhamento, máx τ , numa seção submetida ao esforço de torção uniforme, M z , pela teoria da torção uniforme (teoria de Saint­ Venant) é dado pela equação A.2.

onde, I t é o momento de inércia à torção da seção transversal. Para perfis de seção aber­ ta e paredes finas, o momento de inércia à tor­ ção é obtido pela equação A.3.

onde, b i são os comprimentos dos lados da seção e t é a espessura.

O valor da rigidez a torção é dado por G.I t , onde G é o módulo de elasticidade transversal do material que a barra é formada. Para o aço, tem­se G = 7.884 kN/cm 2 .

A.2.2 Torção não­uniforme

Figura A.4 – Empenamento na torção uniforme

O empenamento de uma seção corresponde a deslocamentos que ocorrem fora do seu plano. A presença do empenamento em uma barra invalida as simplificações adotadas na resistência dos materiais, dentre as quais a hipótese das seções permanecerem planas na configuração deformada da barra. A restrição ao empenamento, ou seja, impedir que ocor­ ram deslocamentos fora do plano de uma se­ ção, implica no surgimento de tensões normais

t I M

t

z máx = τ (eq. A.2)

∑ = 3

3 t b I i t (eq. A.3)

110

e de cisalhamento na seção transversal. Os efei­ tos da restrição ao empenamento devem ser considerados tanto na análise de tensões quan­ to na avaliação da instabilidade da barra.

A figura A.4 mostra um perfil Ue sob efeito de torção uni forme (sem restrição ao empenamento) provocada pela aplicação dire­ ta de um momento de torção. Não há restrições a deslocamentos nas extremidades dessa bar­ ra, podendo se deformar livremente. Nesse caso, percebe­se na configuração deformada da bar­ ra, deslocamentos fora do plano das seções, configurando o empenamento da seção.

Na figura A.5a, no entanto, a barra está com uma das extremidades engastada. Nesse caso, o impedimento ao empenamento em uma extremidade induz à flexão das mesas em seu próprio plano, o que conduzirá a tensões nor­ mais e de cisalhamento nas mesas. Esse tipo de solicitação origina na barra uma configura­ ção de esforços internos que não podem ser representados pelos esforços internos clássicos (esforço normal, momento fletor, cortante e tor­ ção).

Figura A.5 – Torção não­uniforme (a) e bimomento (b)

A figura A.5b apresenta o mesmo perfil da figura A.5a separado em duas partes, substitu­ indo­se a solicitação externa original, M t , por um par de momentos, M, aplicados nos planos das

Anexo A ­ Torção em perfis de seção aberta

mesas do perfil. Esse par de momentos repro­ duz a configuração original gerada pelo momen­ to M t .

As tensões normais e de cisalhamento existentes na seção transversal, decorrentes da restrição ao empenamento, são similares às tensões oriundas do par de momentos fletores M, aplicados nos planos das mesas do perfil. Esse par de momentos fletores multiplicado pela distância entre eles é denominado de bimomento, M ω = M.h. Ao bimomento estão as­ sociadas tensões de cisalhamento agindo nos elementos de chapa do perfil. A somatória dos momentos, no plano da seção, devido às resul­ tantes das tensões de cisalhamento, τ 1 , τ 2 , τ 3 ... τ n (figura A.6) resulta em um momento de torção, T ω , denominado de torção com flexão, que corresponde exatamente à parcela do esforço de torção aplicado, M t , que é resistido pela res­ trição ao empenamento da seção. O esforço de torção com flexão ao longo da barra (também chamado de torção não­uniforme), T ω , tem o va­ lor da derivada do bimomento ao longo da bar­ ra, M ω , com o sinal oposto, equação A.4.

Figura A.6 – Tensões na torção não­uniforme A distribuição das tensões normais da se­

ção transversal devido à restr ição ao empenamento assemelha­se ao mostrado na

(a) (b)

' ω ω M T − = (eq. A.4)

111

figura A.6. Nota­se que as tensões de tração e compressão na seção, realmente comportam­ se como se houvesse momentos fletores de sentido opostos agindo nas mesas do perfil e as tensões de cisalhamento são corresponden­ tes a essas tensões normais. Os deslocamen­ tos normais ao plano da seção transversal acom­ panham a distribuição de tensões da figura A.6. A resultante das tensões normais, nesse caso é nula, e por isso não acarreta nenhum esforço normal adicional na seção transversal. A resul­ tante das tensões de cisalhamento é o momen­ to de torção T ω .

Figura A.7 – Empenamento na tração

O empenamento na seção transversal não ocorre somente quando submetida a momento de torção, mas também, quando a seção é sub­ metida a forças fora do seu plano. A figura A.7 procura mostrar de forma intuit iva o empenamento na seção Ue quando submetida a uma força de tração (T) localizada próximo ao vértice do perfil.

Parte das tensões provocadas pela força T será distribuída na mesa superior e parte irá para a alma do perfil. As excentricidades da for­ ça em relação a ambas conduzem à ocorrência de momentos fletores nos planos da mesa e

alma da seção, similares ao caso da torção aplicada ao perfil, configurando o empenamento da seção. Note que, algo similar ocorre, com sinal trocado, quando a força for de compres­ são, nesse caso, acoplando­se aos fenômenos de flambagem.

O valor do bimomento, (M ω ), causado pela aplicação de uma força na direção longitudinal (figura A.7), na seção onde a força é aplicada, é obtido pela equação A.5.

onde, ) (P ω é o valor da área setorial da seção no ponto de aplicação da força T, figura A.7 (nessa ilustração mostra­se uma força de tração, mas ocorre o mesmo, com o sinal troca­ do, com uma força de compressão). Uma expli­ cação geral sobre a área setorial pode ser vista no item A.3.

Também neste caso, de aplicação de for­ ça longitudinal excêntrica, há esforços internos de torção induzidos pelas tensões cisalhantes resultante da restrição ao empenamento (τ 1 , τ 2 ,

τ 3 dafigura 2.6). O valor desse momento de tor­ ção não­uniforme, T, é determinado pela equa­ ção A.4. Em vista de o momento externo ser nulo, o momento de torção não­uniforme é equilibra­ do por um momento de torção uniforme na se­ ção, M ω , como mostram as equações A.6 e A.7.

Para calcular os efeitos do empenamento na seção transversal necessita­se das chama­ das propriedades setoriais da seção, ω, S ω e I ω . Uma explanação geral de como obter essas pro­ priedades é mostrada no item A.3 .

As expressões completas das tensões que atuam numa seção transversal, levando­se em conta os efeitos do empenamento, são mostra­ das nas equações A.8 e A.9.

Mω= T. ) (P ω (eq. A.5)

Mt = z M T ω + = 0 (eq. A.6)

z M T ω = − (eq. A.7)

112

Anexo A ­ Torção em perfis de seção aberta

(eq. A.8)

(eq. A.9)

Como pode ser visto na equação A.8, há uma parcela adicional àquelas da teoria da Re­ sistência dos Materiais, correspondente ao efei­ to da restrição ao empenamento. A distribuição dessa parcela das tensões normais, na seção transversal, portanto, é análoga à da área setorial ω(s) (figuraA.7).

Da mesma forma, nota­se na equação A.9, também, uma parecela adicional, em relação aos da teoria da Resistência dos Materiais. A distribuição dessa parecela das tensões de cisalhamento, na seção transversal, é análoga à do momento estático setorial, S ω ( cuja a defi­ nição é mostrada mais adiante). As tensões de cisalhamento da equação A.9 são constantes na espessura do perfil, ou seja, não consta nes­ sa equação a parcela de tensões oriundas da torção uniforme. A tensão de cisalhamento total é determinada adicionando­se o valor obtido da equação A.9 , ao da equação A.2.

A3 ­ Propriedades setoriais

Para calcular os efeitos do empenamento na seção transversal necessita­se das chama­ das propriedades setoriais da seção. São pro­ priedades geométricas definidas por Vlasov na teoria de torção não­uniforme. Pode ser feita uma analogia entre as propriedades setoriais (área setorial, ω, momento estático setorial, S ω e momento de inércia setorial, T ω ) e as proprie­ dades das figuras planas (área, A, momento es­ tático, S e momento de inércia à flexão, I). Não

é objetivo deste texto detalhar o cálculo das pro­ priedades setoriais, mas, para um entendimen­ to geral, serão apresentadas as equações que as definem e as equações das propriedades setoriais das principais seções transversais.

CT s) ( ω da equação A.10 é chamada de área

setorial do ponto s em relação ao pólo CT e a origem O, onde s e r n são vetores com sentido e direção conforme mostrados na figura A.8. É usual representar ) (s ω por um diagrama traçado sobre a linha média da seção transversal, com o valor de ω indicado na direção normal ao con­ torno, como mostrado nas figuras A.8 e A.9.

Figura A.8 – Propriedades setoriais

O momento estático setorial no ponto s, definido na equação A.12, é a área sob o dia­ grama da área setorial no intervalo entre o pon­ to s e a origems 0 multiplicada pela espessura t, conforme mostra a figura A.8. A origem s 0 deve ser um ponto em que S ù é igual a zero, pode­se tomar as extremidades do perfil onde o momento estático setorial é sempre zero.

2 2 x y xy x y x xy y

x y xy x y xy

I M I M I M I M N x y A I I I I I I

σ M I

ω

ω

ω − −

= − + + − −

2 2

1 ( ) ( ) y xy x x x xy y y v y x

x y xy x y xy

V I V I V I V I S s S s

t I I I I I I ( ) T S s

I t ω

ω ω

τ + +

= − + − −

∫ − = s

n CT s ds r

0 ) ( ω (eq. A.10)

113

O momento de inércia setorial, I ω , é defini­ do pela equação A.13 e é também chamado de constante de empenamento da seção transver­ sal, C ω . A rigidez da seção transversal ao empenamento é definida pelo produto EC w .

A seguir mostram­se os valores da área setorial, ω, dos principais perfis formados a frio:

Figura A.9 – Área setorial de seções Ue e U

Seção Ue e U:

Figura A.10 – Área setorial de seções Z e Z90

Seção L: Nos perfis tipo L não existe empenamento.

Nesse caso há apenas torção uniforme quando submetido a esforços de torção (figura A.11).

Figura A.11 – Seção L

0 = w (eq. A.23)

Para os perfis U, Ue, Cr, Z 90 e Z 45 , os valo­ res de I ω (ou C ω ) podem ser encontrados nas tabelas da NBR 6355:2003 para os perfis pa­ dronizados ou utilizando­se das equações apre­ sentadas na mesma norma para os perfis não padronizados.

No caso de perfi l Z simples (não enrijecido) o valor de I ω pode ser calculado utili­ zando­se as equações A.18 e A.19 introduzin­

∫ = s

s tds s S

0

. ) ( ω ω (eq. A.12)

2 1 w c b e w = (eq. A.14)

2 1 2 f w b b

w w − = (eq. A.15)

( )D b e w w f c + − = 2 3 (eq. A.16)

g c c x x e − = (eq. A.17)

Seção Z:

A t b b

w f w

2

2

1 = (eq. A.18)

2 1 2 f w b b

w w − = (eq. A.19)

Seção Z90:

+ + = 2

1 2 D D b

b b A t b

w w f w f

(eq. A.20)

2 1 2 w f b b

w w − = (eq. A.21)

D b w w f − = 2 3 (eq. A.22)

114

Anexo A ­ Torção em perfis de seção aberta

do­as na equação de definição, A.13, como mostra­se a seguir:

onde A 1 representa o trecho positivo e A 2 o trecho negativo da área setorial nas mesas, figura A.12.

Figura A.12 – Áreas setoriais

1 2 e ω ω são dados nas equações A.18 e A.19 respectivamente.

Exemplo A.1 ­ Determinar as máximas tensões de tração e de compressão, na seção onde é aplicado a carga, de um tirante constitu­ ído de perfil tipo Z, submetido a uma força con­ centrada de tração, no centro geométrico, no valor de 100 kN.

Perfil Z 200x50x3

Resolução:

∫ = A

dA I 2 ω ω = 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2

alma mesa mesa dA dA dA ω ω ω + + ∫ ∫ ∫

2 2 1 1 w alma dA b t ω ω = ∫

( ) 2 3 1 2 2 1 1

1 1 1 0 1 3

b

mesa

b dA k x tdx t b ω ω

= =

∫ ∫

2 3 2 2 2

2 2 2 3 mesa

b dA t b ω ω

=

∫

então, 2 2 3 3

2 1 1 2 2 1

1 2

2 2 3 3 w b b I b t

b b ω ω ω ω

= + +

(eq. A.24)

onde,

1 1

1 2

b bf ω

ω ω =

+ (fig. A.12)

2 2

1 2

b bf ω

ω ω =

+ (fig. A.12)

M N A I

ω

ω

σ ω = +

Mω= T. ) (P ω

2

( ) 2 w f

P

b b tA

ω = (Anexo A­ eq. A.18)

) (P ω = 8,33

Mω= 100 × 8,33 = 833 kN.cm 2

Iω= 1875cm 6

(Anexo A­ eq. A.24)

M I

ω ω

ω

σ ω = 833 1875

ω =

100 11,1 9 n

N A

σ = = = kN/cm 2

115

Tensão no CG do perfil (máxima tensão de tração)

Tensão na extremidade do perfil (máxima ten­ são de compressão)

Pode­se visualizar as distribuições de ten­ sões na seção transversal no exemplo acima, onde um tirante constituído de perfil tipo Z apre­ senta tensões de compressão consideráveis em alguns pontos da seção pela figura A.13. Essas tensões ocorrem na extremidade das mesas do perfil, quando a parcela das tensões de tração,

A N , for menor que a parcela das tensões devido

ao empenamento, que são negativas (ou seja, de compressão).

100 833 8,33 9 1875

σ = + = 11,1+3,7 =

+14,8 kN/cm 2

100 833 41,66 9 1875

σ = − = 11,1­18,5 =

­7,4 kN/cm 2

117

Anexo B Forças transversais não­paralelas a um

dos eixos principais

118

Anexo B ­ Forças transversais não­paralelas a um dos eixos principais

Nos casos em que os eixos principais não coincidem com as direções das forças aplica­ das, a seção transversal do perfil ficará subme­ tida a momentos fletores em torno dos dois ei­ xos principais e não apenas a momento no pla­ no do carregamento. Se o carregamento apli­ cado não passar pelo centro de torção (CT) a seção estará sujeita, também, a esforços de torção (vide Anexo A). No caso dos perfis tipo Z e Z com enrijecedor de borda, o centro de tor­ ção (CT) coincide com o centro geométrico (CG), não ocorrendo torção quando submetidos a forças que passem pelo CG.

Uma força transversal vertical aplicada na alma do perfil Z, não produzirá esforços de tor­ ção, porém, as resultantes das tensões de cisalhamento, V 1 e V 3 , nas mesas de um perfil Z submetido a uma força transversal vertical apli­ cada na sua alma (passando pelo CG), resul­ tam em uma força agindo na direção x. Essa força provoca um momento fletor em torno do eixo y, como é mostrado na figura B.1b. Então, o resultado da força vertical q v , aplicado no CG de um perfil Z é, além do momento fletor em tor­ no de x, deslocamento horizontal da seção ( x na figura B.1c) e momento fletor em torno do eixo y, conforme a ilustração da barra deforma­ da mostrada na figura B.1.C.

Os efeitos das tensões de cisalhamento horizontais, responsáveis pelo momento fletor em torno do eixo y, podem ser analisados e quantificados projetando­se a força vertical, q v , nas direções principais de inércia do perfil e estudando o comportamento do perfil (distribui­ ção das tensões na seção e os deslocamentos na barra), a partir dos eixos principais de inér­ cia da seção (x’ e y’).

(a)

(b)

(c)

Figura B.1 – Efeitos de forças transversais não­paralelas a um dos eixos principais

Δ

119

Fenômeno análogo ocorre na seção tipo cantoneira. No entanto, como o centro de tor­ ção não coincide com centro geométrico, um carregamento transversal que passe pelo CG da cantoneira produzirá, também, esforços de torção na seção, por isso, esse perfil não é indi­ cado quando há ocorrência de carregamentos transversais, apenas para trabalhar à tração ou à compressão.

As tensões e deslocamentos decorrentes do momento fletor aplicado no perfil podem ser calculados utilizando­se as equações comple­ tas da Resistência dos Materiais, válidas para eixos de referências diferentes dos eixos prin­ cipais de inércia, conforme mostrado nas equa­ ções B.1 a B.4.

(tensões normais) (eq. B.1)

(tensões de cisalhamento) (eq. B.2)

(deslocamento na direção y) (eq. B.3)

(deslocamento na direção x) (eq. B.4)

y I I I M I M I

x I I I M I M I

2 xy y x

y xy x y 2 xy y x

x xy y x

− −

+ −

− − = σ

x 2 xy y x

y y xy x y 2

xy y x

x x xy y S I I I I V I V

S I I I I V I V

t . − +

− − +

= τ

2 xy y x

xy y y x

I I I I M I M

" Ev − + −

=

2 xy y x

xy x x y

I I I I M I M

" Eu −

− =

12

-08

Dimensionamento de Perfis

Formados a Frio conforme

NBR 14762 e NBR 6355