Manualul profesorului

Grafuri neorientate - Manualul profesorului Clasa a XI-a

- 2 -

Cuprins:

1. Terminologie 2. Structură generală

2.1. Obiective didactice 2.2. Conţinut 2.3. Recomandări de structurare şi predare

3. Obiecte de conţinut - detaliere

3.1. M1 – Noţiuni de bază : Definiţii 3.2. M2 – Clase speciale de grafuri : Graful bipartit 3.3. M3 – Clase speciale de grafuri : Graful complet 3.4. M4 – Clase speciale de grafuri : Test grilă pentru

evaluarea cunoştinţelor 3.5. M5 – Reprezentarea grafurilor neorientate 3.6. M6 – Reprezentarea grafurilor neorientate : Test grilă

pentru evaluarea cunoştinţelor 3.7. M7 – Parcurgerea grafurilor neorientate 3.8. M8 – Conexitate 3.9. M9 – Conexitate : Test grilă pentru evaluarea

cunoştinţelor 3.10. M10 – Grafuri hamiltoniene : Definiţie. Jocul icosian. 3.11. M11 – Grafuri hamiltoniene : Problema comis voiajorului 3.12. M12 – Grafuri hamiltoniene : Problema cavalerilor 3.13. M13 – Grafuri hamiltoniene : Test grilă pentru evaluarea

cunoştinţelor 3.14. M14 – Grafuri euleriene : Definiţie 3.15. M15 – Grafuri euleriene : Aplicaţie 3.16. M16 – Grafuri euleriene : Test grilă pentru evaluarea

cunoştinţelor 3.17. M17 – Aplicaţii : Colorarea muchiilor unui graf 3.18. M18 – Aplicaţii : Graf bipartit complet

4. Bibliografie


- 3 -

1. Terminologie Butoane instructaj – – sunt amplasate în partea din dreapta-sus a ecranului şi, atunci când sunt accesate, prezintă pas cu pas, într-o fereastră de detaliu, instrucţiuni despre folosirea unei aplicaţii. Butoane de reiniţializare a animaţiei / aplicaţiei - - Prin apăsarea lor se reiniţializează animaţia, respectiv aplicaţia. Texte de reper – – reprezintă simboluri grafice prezente intr-un text care, atunci când sunt accesate, prezintă ferestre de ajutor, in care se detaliază o anumită noţiune. Ferestre detaliu – sunt ferestre care oferă informaţii suplimentare despre o anumită noţiune. Exemplu :


- 4 -

2. Structura generală În acest capitol sunt prezentate obiectivele didactice care pot fi atinse utilizând acest material. În finalul prezentării sunt incluse câteva recomandări privind unele moduri în care ar putea fi combinate aceste momente pentru a obţine o lecţie. 2.1. Obiective didactice Obiectiv Detaliere Obiective de referinţă R1 Identificarea problemelor care pot fi rezolvate cu ajutorul

teoriei grafurilor R2 Însuşirea şi aprofundarea noţiunilor teoretice ale teoriei

grafurilor R3 Urmărirea etapelor de realizare a unei aplicaţii prin metode

caracteristice teoriei grafurilor Obiective operaţionale OP1 Însuşirea în mod corect a noţiunilor: graf neorientat,

gradul unui vârf, şir grafic; OP2 Identificarea şi construirea de grafuri parţiale şi subgrafuri

ale grafurilor neorientate; OP3 Însuşirea noţiunii de graf bipartit; OP4 Însuşirea noţiunii de graf complet; OP5 Formularea şi aplicarea corectă a proprietăţilor grafurilor

bipartite complete ; OP6 Însuşirea modalităţilor de reprezentare a grafurilor

neorientate: prin matricea de adiacenţă, prin lista vecinilor, prin tablouri unidimensionale;

OP7 Însuşirea noţiunii de parcurgere a grafurilor; OP8 Evidenţierea modalitaţilor de parcurgere a grafurilor în

adâncime şi în lăţime; OP9 Însuşirea noţiunilor legate de conexitate: lanţ, ciclu, graf

conex, componentă conexă; OP10 Exemplificarea noţiunilor de graf conex, componentă

conexă, lanţ, ciclu; OP11 Însuşirea noţiunilor de graf hamiltonian , lanţ hamiltonian

şi ciclu hamiltonian; OP12 Selectarea variantelor corecte şi argumentarea alegerii

unei anumite formule în rezolvarea aplicaţiilor; OP13 Analizarea corectă a fiecărei probleme şi dezvoltarea

gândirii algoritmice, a capacităţii de generalizare şi problematizare.

OP14 Determinarea unui ciclu hamiltonian pentru un graf


- 5 -

neorientat dat; OP15 Determinarea şi verificarea condiţiei de suficienţă pentru

ca un graf dat să fie graf hamiltonian; OP16 Formularea şi aplicarea corectă a proprietăţilor grafurilor

neorientate; OP17 Însuşirea în mod corect a noţiunilor de graf eulerian, ciclu

eulerian, lanţ eulerian ; OP18 Construirea în mod corect a grafurilor euleriene cu un

număr dat de vârfuri ;

2.2 Conţinut

Se prezintă lista obiectelor de conţinut (notate cu M) şi caracteristicile lor generale.

M1 – Noţiuni de bază : Definiţii Obiective didactice OP1, OP2, OP13 Timp de predare 30 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, studiu de caz;

• metode de acţiune: exerciţiul, învăţarea prin descoperire;

• proceedee de instruire: explicatia în etapa de comunicare; învăţarea prin descoperire dirijată, inductivă, experimentală; conversaţia de consolidare în etapa de fixare a cunoştintelor;

Descriere • descrierea prin exemple a noţiunilor de graf neorientat, gradul unui vârf, sir grafic;

• definirea şi exemplificarea grafurilor parţiale si a subgrafurilor

Cuvinte cheie • graf neorientat, gradul unui vârf, graf parţial, subgraf


- 6 -

M2 – Clase speciale de grafuri : Graful bipartit Obiective didactice OP3, OP13 Timp de predare 20 min Tip de interacţiune cu elevii



• proceedee de instruire: conversaţia de consolidare, învăţarea prin descoperire dirijată, inductivă, experimentală, exerciţiul de consolidare;

Descriere • prezentarea noţiunii de graf bipartit; • analizarea modalităţilor de acoperire a unei

table de şah prin săritura calului cu revenire in punctul de plecare.

Cuvinte cheie graf bipartit, graf bipartit complet, ciclu elementar

M3 – Clase speciale de grafuri : Graful complet Obiective didactice OP4, OP13 Timp de predare 20 min Tip de interacţiune cu elevii




Descriere • descrierea noţiunii de graf complet; • construirea unui graf complet;

Cuvinte cheie graf neorientat complet

M4 – Clase speciale de grafuri : Test grilă pentru evaluarea cunoştinţelor Obiective didactice OP3, OP4, OP12 Timp de predare 10 min Tip de interacţiune cu elevii

• evaluare în formă scrisă prin intermediul calculatorului

Descriere test grilă cu itemi de tip asociere (pereche)

Cuvinte cheie graf bipartit, graf complet


- 7 -

M5 – Reprezentarea grafurilor neorientate Obiective didactice OP6, OP13 Timp de predare 30 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie;



Descriere • descrierea noţiunilor de matricea de adiacenţă, lista vecinilor; - construirea matricei de adiacenţă, a

listei vecinilor; Cuvinte cheie matricea de adiacenţă, lista vecinilor, tablouri

asociate M6 – Reprezentarea grafurilor neorientate : Test grilă pentru evaluarea cunoştinţelor Obiective didactice OP6, OP12 Timp de predare 10 min Tip de interacţiune cu elevii



Cuvinte cheie matrice de adiacenţă, lista vecinilor

M7 – Parcurgerea grafurilor neorientate Obiective didactice OP7, OP8, OP13 Timp de predare 30 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, problematizare;


• proceedee de instruire: conversaţia de consolidare, problematizarea prin crearea de situaţii problemă, exerciţiul de consolidare;

Descriere • determinarea parcurgerii unui graf neorientat în adâncime şi apoi în lăţime;

• explicarea diferenţelor dintre cele două tipuri de parcurgere;

Cuvinte cheie parcurgerea în adâncime, parcurgerea în lăţime


- 8 -

M8 – Conexitate Obiective didactice OP9, OP10, OP13 Timp de predare 40 min Tip de interacţiune cu elevii




Descriere • descrierea noţiunilor de graf conex, componentă conexă, lanţ, lanţ elementar, ciclu, ciclu elementar;

• determinarea componentelor conexe, a lanţurilor, a ciclurilor într-un graf asociat unui colier de perle

Cuvinte cheie graf conex, componentă conexă, lanţ, ciclu.

M9 – Conexitate : Test grilă pentru evaluarea cunoştinţelor Obiective didactice OP9, Op10, OP12 Timp de predare 10 min Tip de interacţiune cu elevii



Cuvinte cheie graf conex, componentă conexă, lanţ

M10 – Grafuri hamiltoniene : Definiţie. Jocul icosian. Obiective didactice OP11, OP13 Timp de predare 20 min Tip de interacţiune cu elevii



• proceedee de instruire: explicatia în etapa de comunicare; învăţarea prin descoperire dirijată, inductivă, experimentală; conversaţia de consolidare în etapa de fixare a cunoştinţelor;

Descriere • descrierea noţiunilor de lanţ, ciclu şi graf hamiltomian;

• evidenţierea acestor noţiuni prin Jocul icosian;

Cuvinte cheie lanţ hamiltonian, ciclu hamiltonian, graf hamiltonian


- 9 -

M11 – Grafuri hamiltoniene : Problema comis voiajorului Obiective didactice OP11, OP13, OP14 Timp de predare 20 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, algoritmizarea, studiul de caz;



Descriere - descrierea ciclului hamiltonian de cost minim în graful Kn ale cãrui vârfuri sunt n oraşe

Cuvinte cheie problema comis voiajorului

M12 – Grafuri hamiltoniene : Problema cavalerilor Obiective didactice OP11, OP13, OP15 Timp de predare 20 min Tip de interacţiune cu elevii




Descriere • prezentarea problemei cavalerilor la o masã rotundã astfel încât nici unul dintre ei sã nu stea alãturi de vreun duşman al sãu.

Cuvinte cheie graf hamiltonian

M13 – Grafuri hamiltoniene : Test grilă pentru evaluarea cunoştinţelor Obiective didactice OP11, OP12, OP14 Timp de predare 10 min Tip de interacţiune cu elevii


Descriere test grilă cu itemi de tip asociere (pereche) Cuvinte cheie graf hamiltonian, ciclu hamiltonian


- 10 -

M14 – Grafuri euleriene : Definiţie Obiective didactice OP13, OP17 Timp de predare 20 min Tip de interacţiune cu elevii

• metode de comunicare orală : expunere, conversaţie, algoritmizarea, studiul de caz;



Descriere • descrierea grafului eulerian, a lanţului si ciclului eulerian;

• prezentarea problemei celor şapte poduri; Cuvinte cheie graf eulerian, lanţ eulerian, ciclu eulerian

M15 – Grafuri euleriene : Aplicaţie Obiective didactice OP13, OP 17, OP18 Timp de predare 20 min Tip de interacţiune cu elevii




Descriere • construirea grafurilor euleriene cu cinci vârfuri

Cuvinte cheie graf eulerian

M16 – Grafuri euleriene : Test grilă pentru evaluarea cunoştinţelor Obiective didactice OP12, OP17, OP18 Timp de predare 10 min Tip de interacţiune cu elevii


Descriere test grilă cu itemi de tip asociere (pereche) Cuvinte cheie graf eulerian, ciclu eulerian


- 11 -

M17 – Aplicaţii : Colorarea muchiilor unui graf Obiective didactice OP1, OP13, OP16 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii



• proceedee de instruire: conversaţia de consolidare, exerciţiul de consolidare;

Descriere • exemplificarea modalităţilor de determinare a indicelui cromatic al unui graf

Cuvinte cheie graf neorientat

M18 – Aplicaţii : Graf bipartit complet Obiective didactice OP3, OP4, OP5, OP13 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii



• proceedee de instruire: conversaţia de consolidare, exerciţiul de consolidare;

Descriere • exemplificarea modalităţilor de determinare a ciclurilor hamiltoniene în grafuri bipartite complete

Cuvinte cheie graf bipartit complet, ciclu hamiltonian


- 12 -

2.3. Recomandări de structurare şi predare

Planul uniţăţii de învăţare 1 Timp: 1 oră

Obiect de conţinut Timp (min) M1 30 M2 20


Obiect de conţinut Timp (min)

M1 30 M3 20



M2 20 M3 20 M4 10



M1 30 M7 10



M5 30 M6 10



M8 25 M9 25


- 13 -


Obiect de conţinut Timp (min) M10 20 M11 20 M13 10



M10 20 M12 20 M13 10



M14 20 M15 20 M16 10



M17 25 M18 25


- 14 -

3. Obiecte de conţinut - detaliere În continuare vom prezenta în detaliu modul de utilizare a elementelor din ferestrele lecţiei. (navigare, elemente specifice, funcţionarea aplicaţiilor, etc.). Subliniem că navigarea elementară se face cu ajutorul butoanelor descrise în Cap. 1 – Terminologie, al acestui manual. Nu ne vom referi la acestea decât spicuitiv. 3.1. Noţiuni introductive În acest obiect de conţinut sunt prezentate noţiunile de bază legate de noţiunea de graf neorientat. De asemenea, este prezentat modul în care se poate compune un graf neorientat plecând de la o serie de elemente (noduri) între care se stabilesc relaţii (muchii):

Funcţionalităţile butoanelor:

• - activează modul de lucru „Noduri”.

În acest mod se pot adăuga, şterge şi muta noduri. Adăugarea se face prin tragerea cu ajutorul mouse-ului în zona de lucru a nodului (reprezentat printr-un cerculeţ de culoare albă) din chenarul aflat în partea dreaptă-sus a zonei de lucru:

Zona de lucru

Selecţia noţiunilor

Adăugare noduri


- 15 -

Ştergerea se face prin tragerea nodului din zona de lucru în afara acesteia:

Mutarea unui nod se face prin tragerea acestuia cu mouse-ul în interiorul zonei de lucru:

• - activează modul de lucru „Arce”

În acest mod se pot adăuga şi şterge arce. Adăugarea se face prin selectarea, pe rând, a nodului iniţial şi a nodului final între care se va trasa arcul: Ştergerea se face prin apăsarea cu mouse-ul pe arcul dorit:


- 16 -

• - selectaţi cu ajutorul mouse-ului orice nod pentru a afla gradul său. Alături este arătat şirul grafic corespunzător grafului:

• - ştergeţi orice muchie a grafului pentru a obţine

un graf parţial. Pentru a şterge o muchie apăsaţi cu mouse-ul pe aceasta. Sub zona de lucru vor apărea mulţimea nodurilor şi mulţimea muchiilor noului graf obţinut din graful iniţial:

• - ştergeţi orice nod al grafului pentru a obţine un subgraf. Pentru a şterge un nod apăsaţi cu mouse-ul pe acesta. Sub zona de lucru vor apărea mulţimea nodurilor şi mulţimea muchiilor noului graf obţinut din graful iniţial:

3.2. Clase speciale de grafuri : Graful bipartit În acest obiect de conţinut este prezentată noţiunea de graf bipartit, precum şi o aplicaţie sugestivă.

Zona de

lucru Graful asociat


- 17 -

Aşezaţi mai întâi calul pe tabla de şah. Pe mãsurã ce mutaţi calul, pătrăţelele parcurse vor fi haşurate, semn că pe acolo s-a mai trecut şi că nu mai puteţi trece. Calul nu poate ajunge decât pe pătrăţelele indicate cu un chenar alb. Funcţionalităţile butoanelor:

• - stabileşte dimensiunea tablei de şah la 3x3 pătrăţele • - stabileşte dimensiunea tablei de şah la 5x5 pătrăţele • - revenire la pasul anterior (funcţie de “undo”)

3.3. Clase speciale de grafuri : Graful complet În acest obiect de conţinut este prezentată noţiunea de graf complet, precum şi o aplicaţie sugestivă.

Graful asociat

Afişarea muchiilor grafului simbolizate prin

partide de şah jucate


- 18 -

Pentru jucarea unei partide, selectaţi doi jucători prin apăsarea cu mouse-ul pe ei. Dacă cei doi jucători nu au mai jucat în acest turneu, ei vor fi aşezaţi la aceeaşi masă de şah în vederea disputării partidei. În paralel cu jucarea partidelor se completează şi graful asociat, astfel: fiecare zi are asociată o culoare. iar partidele jucate într-o anumitã zi sunt reprezentate prin muchii de culoarea corespunzãtoare zilei. Funcţionalităţile butoanelor:

• - reiniţializarea zilei curente. Cu ajutorul acestui buton puteţi anula partidele jucate în ziua curentă şi le puteţi organiza altfel.

• - trecerea la ziua următoare a turneului

3.4. Clase speciale de grafuri : Test grilă de evaluare a cunoştinţelor Acest obiect de conţinut cuprinde un test grilă cu răspunsuri de tip “complement simplu”, adică doar o variantă de răspuns corectă.

Pentru a trece de la o problemă la alta poziţionaţi mouse-ul pe numărul problemei dorite. Bifarea răspunsurilor se face prin apăsarea cu mouse-ul pe căsuţa corespunzătoare raspunsului dorit. Se poate reveni asupra răspunsului la oricare dintre întrebări, atâta timp cât nu s-a răspuns la toate întrebările.


- 19 -

După bifarea răspunsurilor pentru fiecare problemă, în dreapta butoanelor cu numărul problemelor vor apărea indicatori de validare a răspunsului:

pentru răspuns corect şi pentru răspuns greşit

3.5. Reprezentarea grafurilor neorientate În acest obiect de conţinut sunt prezentate trei metode de reprezentare a grafurilor neorientate: prin matrice de adiacenţă, prin liste de adiacenţă şi prin tablouri unidimensionale. Matrice de adiacenţă:

Liste de adiacenţă:

Tablouri unidimensionale:


- 20 -

Formarea grafului:

Funcţionalităţile butoanelor:




Zona de lucru Adăugare

noduri


- 21 -





- 22 -

3.6. Reprezentarea grafurilor neorientate : Test grilă de evaluare a cunoştinţelor Acest obiect de conţinut cuprinde un test grilă cu răspunsuri de tip “complement simplu”, adică doar o variantă de răspuns corectă.

Pentru a trece de la o problemă la alta poziţionaţi mouse-ul pe numărul problemei dorite. Bifarea răspunsurilor se face prin apăsarea cu mouse-ul pe căsuţa corespunzătoare raspunsului dorit. Se poate reveni asupra răspunsului la oricare dintre întrebări, atâta timp cât nu s-a răspuns la toate întrebările. După bifarea răspunsurilor pentru fiecare problemă, în dreapta butoanelor cu numărul problemelor vor apărea indicatori de validare a răspunsului:

pentru răspuns corect şi pentru răspuns greşit


- 23 -

3.7. Parcurgerea grafurilor neorientate În acest obiect de conţinut sunt prezentate două metode de parcurgere a grafurilor neorientate: parcurgerea în lăţime şi parcurgerea în adâncime. Funcţionalităţile butoanelor:



Zona de lucru Adăugare

noduri

Alegerea metodei de parcurgere Ordinea de parcurgere a nodurilor

Selecţia nodului iniţial


- 24 -






- 25 -

• - porneşte parcurgerea grafului în lăţime

• - porneşte parcurgerea grafului în adâncime

• - se stabileşte nodul de plecare

3.8. Conexitate În acest obiect de conţinut este prezentată noţiunea de conexitate a grafurilor orientate. Aplicaţia constă în rezolvarea a 8 teste, organizate astfel încât utilizatorul să parcurgă succesiv noţiunile. Graful pentru care s-au redactat aceste test are următoarea formă:

Selecţia unui test se face prin apăsare pe butonul corespunzător:


- 26 -

Testele numerotate de la 1 la 6 necesitã selecţia de noduri. Aceasta se face prin apăsare cu mouse-ul pe nodul dorit. Testele 7 şi 8 necesitã ştergerea de muchii. Acest lucru se face prin apãsare cu mouse-ul pe muchia doritã. Apăsaţi pe butonul pentru a testa răspunsul dat. Apăsaţi pe butonul pentru a vă întoarce cu un pas în urmă.

3.9. Conexitate : Test grilă de evaluare a cunoştinţelor Acest obiect de conţinut cuprinde un test grilă cu răspunsuri de tip “complement simplu”, adică doar o variantă de răspuns corectă.

Pentru a trece de la o problemă la alta poziţionaţi mouse-ul pe numărul problemei dorite. Bifarea răspunsurilor se face prin apăsarea cu mouse-ul pe căsuţa corespunzătoare raspunsului dorit. Se poate reveni asupra răspunsului la oricare dintre întrebări, atâta timp cât nu s-a răspuns la toate întrebările. După bifarea răspunsurilor pentru fiecare problemă, în dreapta butoanelor cu numărul problemelor vor apărea indicatori de validare a răspunsului: pentru răspuns corect şi pentru răspuns greşit


- 27 -

3.10. Grafuri hamiltoniene : Definiţie. Jocul icosian. În acest obiect de conţinut este prezentată noţiunea de graf hamiltonian, aplicată pe jocul icosian, cel inventat de Hamilton însuşi.

Jocul constă în găsirea unui ciclu hamiltonian în graful asociat unui dodecaedru, în care vârfurile sale reprezintă nodurile grafului, iar muchiile sale reprezintă muchiile grafului. Selecţia unui nod se face prin apăsare cu mouse-ul pe el. Trasarea unei muchii se face între nodul anterior şi nodul curent selectat. Ştergerea se poate face numai pentru ultima muchie trasată, prin apăsarea nodului curent. Rotirea dodecaedrului se face apăsând cu mouse-ul pe o zonă liberă din interiorul chenarului şi trăgând de acesta în direcţia dorită.

Convenţia de colorare a nodurilor:

- - nod neparcurs

- - nod parcurs

- - nod curent

- - nod iniţial


- 28 -

3.11. Grafuri hamiltoniene : Problema comis voiajorului

În acest obiect de conţinut este prezentată problema comis voiajorului.

Trasarea grafului: Adăugarea nodurilor se face prin tragerea cu ajutorul mouse-ului în zona de lucru a nodului (reprezentat printr-un cerculeţ de culoare albă) din chenarul aflat în partea dreaptă-sus a zonei de lucru:

Zona de lucru

Traseul parcurs de comis voiajor

Costul întregului drum parcurs


- 29 -

Ştergerea unui nod se face prin tragerea nodului din zona de lucru în afara acesteia:


Stabilirea nodului de plecare se face după apasarea butonului

prin selecţia nodului dorit. Pentru parcurgerea drumului de cost

minim apăsaţi pe butonul .


- 30 -

3.12. Grafuri hamiltoniene : Problema cavalerilor În acest obiect de conţinut este prezentată problema cavalerilor.

Cavalerii sunt identificaţi prin scuturile lor. Pentru a aşeza un cavaler la masă, poziţionaţi cu ajutorul mouse-ului scutul corespunzător pe scaunul pe care doriţi sã îl aşezaţi. Dacã aşezaţi doi cavaleri duşmani unul lângă altul, între ei va apărea simbolul: semn că cei doi cavaleri se duşmănesc. Pentru a vizualiza graful asociat aplicaţiei, apăsaţi butonul .

Stabilirea numărului de cavaleri

Scuturile cavalerilor


- 31 -

3.13. Grafuri hamiltoniene : Test grilă de evaluare a cunoştinţelor Acest obiect de conţinut cuprinde un test grilă cu răspunsuri de tip “complement simplu”, adică doar o variantă de răspuns corectă.



- 32 -

3.14. Grafuri euleriene : Definiţie În acest obiect de conţinut este prezentată noţiunea de graf eulerian, aplicată pe problema celor şapte poduri, pe care chiar Euler a încercat să o rezolve.

Selecţia unuia dintre cele trei cazuri se face prin apăsarea pe butonul corespunzător fiecăruia. În toate cele trei cazuri, trebuie selectat nodul de plecare. Casele simbolizează aici nodurile, iar selecţia casei de plecare se face cu ajutorul steagului: . Cazul al doilea necesită elminarea uneia dintre muchii. Podurile simbolizează aici muchiile, iar selecţia podului pe care doriţi sã îl eliminaţi se face cu ajutorul: . Selecţia podurilor pe care se face plimbarea se face apăsând pe acestea, simbolizat cu ajutorul: .

Podurile parcurse

Selecţia şi datele celor trei cazuri propuse


- 33 -

3.15. Grafuri euleriene : Aplicaţie În acest obiect de conţinut este prezentată o aplicaţie de găsire a tuturor grafurilor euleriene de 5 noduri.

Stupul şi florile simbolizează nodurile grafului pe care trebuie să le atingă albina în zborul ei. Pentru a determina albina să se deplaseze apăsaţi pe unul din aceste noduri. Apăsaţi pe butonul pentru a verifica soluţia. Apăsaţi pe butonul pentru a salva soluţia. Zona din partea dreaptă a aplicaţiei este zona de salvare a soluţiilor. Pentru a putea vedea toate soluţiile, în caz că acestea ocupă mai mult din suprafaţa vizibilă, folosiţi butoanele: şi . .

Stupul – primul nod Zona de salvare a soluţiilor


- 34 -

3.16. Grafuri euleriene : Test grilă de evaluare a cunoştinţelor Acest obiect de conţinut cuprinde un test grilă cu răspunsuri de tip “complement simplu”, adică doar o variantă de răspuns corectă.



- 35 -

3.17. Aplicaţii : Colorarea muchiilor unui graf În acest obiect de conţinut este prezentată noţiunea de indice cromatic a unui graf neorientat.

Pentru a trasa graful se folosesc cele două moduri de desenare: noduri şi muchii. Primul permite poziţionarea nodurilor, iar cel de-al doilea trasarea arcelor între noduri. Comutarea între cele două moduri se face cu ajutorul butoanelor: şi . Poziţionarea unui nod se face trăgând un telefon din partea dreaptă în zona de lucru, iar desenarea unui arc prin selectarea nodurilor pe care aceasta le uneşte. Pentru colorarea grafului apăsaţi mai întâi butonul ,apoi selectaţi antena de culoarea dorită şi muchia pe care doriţi să o coloraţi.

Zona de lucru

Zona de telefoane

Zona de colorare

Zona de indicare a număruli de culori folosite şi a

indicelui cromatic


- 36 -

3.18. Aplicaţii : Graf bipartit complet În acest obiect de conţinut este prezentată noţiunea de graf bipartit complet.

Nodurile grafului sunt simbolizate prin casele situate de-o parte şi de alta. Poştaşul trebuie să ajungă la fiecare casă, o singură dată, ca să lase scrisorile. Apăsaţi pe casa dorită pentru ca poştaşul să se deplaseze spre ea, numai dacă acea casă nu a mai fost vizitată şi se este una din casele alfate pe celălalt rând faţă de casa curentă.


- 37 -

4. Bibliografie

• Atanasiu A.; Bazele informaticii, Universitatea din Bucureşti, 1989

• Livovschi L., Georgescu H.; Sinteza şi analiza

algoritmilor, Editura Ştiinţifică si Enciclopedică, Bucureşti, 1986

• Tomescu I.; Probleme de combinatorică şi teoria

grafurilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

• Tomescu I.; Ce este teoria grafurilor?, Editura Ştiinţifică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

• Ivaşc Cornelia, Prună Mona; Bazele informaticii- Manual

pentru clasa a X-a, Editura Petrion, Bucureşti

• Knuth D. E; Tratat de programarea calculatoarelor. Algoritmi fundamentali, Editura Tehnică, 1974

Documents

Manualul profesorului