Maqueta Material Didactico

5/17/2018 Maqueta Material Didactico - slidepdf.com

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Utilización de maquetas como recurso didáctico para desarrollartemas de Análisis Matemático II

Ing. Jorge Almazán1, Ing. Carolina Collivadino1, Ing. Gustavo Lazarte1, Prof. Beatriz Copa1

(1) Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Salta

[email protected] , [email protected], [email protected] , [email protected]

RESUMEN: Debido a la dificultad que presentan los alumnos que cursan Análisis Matemático II en un temaque deberían tener las competencias previas, como es el de visualizar y realizar los dibujos correspondientes acurvas como intersección de superficies y sólidos encerrado por superficies, la cátedra implementa comorecurso didáctico para paliar la dificultad indicada, la construcción de maquetas por parte de los alumnos.Las maquetas se construyen y se utilizan en el trabajo práctico: Curvas y superficies. Posteriormente lasmaquetas se las vuelven a utilizar en el desarrollo de los trabajos prácticos correspondientes a los temas:integrales dobles y triples y sus aplicaciones, integrales curvilíneas y de superficie y en teoremas integrales,donde los alumnos como consecuencia del problema geométrico planteado realizan el dibujo del sólidoresultante o la curva intersección y lo comparan con el resultado que se visualiza en la correspondientemaqueta, que ya está convalidado cuando se discutió su presentación en el trabajo práctico en el cual seencomendó su construcción.Las maquetas son confeccionadas, con algunas pautas indicadas por los docentes de la cátedra, en horarioextra clase y son utilizadas durante la realización de los Trabajos Prácticos correspondientes a los temasindicados anteriormente. Los resultados obtenidos son cualitativos, que surge de la observación del uso de lasmaquetas cuando desarrollan los Trabajos Prácticos y de información recabada mediante encuestas y opinionespersonales de los alumnos, inmediatamente después de la realización de los prácticos donde utilizan lasmaquetas.

PALABRAS CLAVES: maquetas, recurso didáctico, metodología

1 INTRODUCCIÓN

Análisis Matemático II es una asignatura derégimen promocional que está ubicada en el primercuatrimestre de 2do año de las carreras IngenieríaCivil, Industrial y Química de la Facultad deIngeniería de la Universidad Nacional de Salta. Serepite su dictado en el segundo cuatrimestre de 2doaño y tiene una carga de 120 horas. Los temas queincluye la asignatura son cálculo diferencial eintegral de funciones de dos o más variables yecuaciones diferenciales. Ante la dificultad detectada en los alumnos en elplanteo de problemas geométricos, cuyosconocimientos y competencias deberían haberadquirido en asignaturas anteriores, como es el derealizar la gráfica de la curva intersección de dossuperficies o el sólido resultante encerrado porvarias de ellas, las que fueron detectadas durante eldesarrollo de los trabajos prácticos y corroboradosen su rendimiento académico en las distintasinstancias de evaluación, como son lasevaluaciones por temas y los exámenes parciales.

En el cronograma de actividades para el desarrollode los trabajos prácticos no se prevé la realizaciónde actividades académicas destinadas a paliar lasdificultades detectadas, puesto que soncompetencias que deberían tener los alumnos parapoder cursar Análisis Matemático II. Como hemosdicho anteriormente la buena comprensión de estostemas es importante para el desarrollo de algunosde los trabajos prácticos de la materia. De todasmaneras la cátedra en su interés por tratar desolucionar este problema, decidió implementarcomo recurso didáctico, la construcción por partede los alumnos de maquetas que resultaran de la

intersección de dos o más superficies, con elobjetivo de lograr una mejor visualización delproblema geométrico las que se utilizarán en eldesarrollo de trabajos prácticos posteriores demanera de potenciar su utilización y de esa maneramejorar el rendimiento académico de los alumnosen los temas vinculados con los problemas dondese puede utilizar dichas maquetas.



2 IMPLEMENTACIÓN DEL RECURSODIDÁCTICO

La forma de implementación de este recursodidáctico consistió en lo siguiente:Es en el trabajo práctico correspondiente a curvas

y superficies, donde se observa por primera vez lasdificultades planteadas, por lo que en el mismo seencomienda a los alumnos la elaboración demaquetas de manera que los distintos grupos dealumnos puedan apreciar prácticamente durante suconstrucción la forma de la curva comoconsecuencia de la intersección de dos superficies,la que durante la posterior discusión cuando serealiza el desarrollo del trabajo práctico en claseserá convalidada por todos los alumnos y losdocentes a cargo de tal actividad académica.La semana anterior al desarrollo del trabajopráctico correspondiente a Curvas y Superficies, seles da instrucciones a los distintos grupos

conformados para la elaboración de las maquetasmediante la entrega de una ficha construida paraese fin en la que se incluye, fecha de entrega ypresentación, objetivo, metodología de trabajo,actividad a realizar y sugerencia de materiales autilizar en dicha actividad. La ficha es la indicadaa continuación.

Cátedra: Análisis Matemático II – Facultad de Ingeniería – 1erCuatrimestre de 2008

Ficha Nº 1

Fechas: Comisión 1:17/04/08

Comisión 2:18/04/08Objetivo:

Lograr que el alumno utilice elementos concretos, para lavisualización de curvas resultantes de la intersección desuperficies.

Actividades

1. Formar grupos de 5 o 6 alumnos paraconfeccionar la maqueta (pueden ser o no losgrupos de los Trabajos Prácticos).

2. Realizar en grupo la maqueta correspondiente alas siguientes superficies.

3. Se sugiere el siguiente listado de materialesposibles a utilizar:

madera liviana

cartón cartulina alambre planchas de telgopor esferas de telgopor placas de radiografías o cualquier otro material que se considere

conveniente.

4. Fecha de presentación: Comisión 1: martes 22 de abrilComisión 2: miércoles 23 de abril

En el ítem Nº 2 se le asignó a cada grupo unejercicio del trabajo práctico en el que se pide laparametrización y la representación gráfica de unacurva en el espacio dada como la intersección dedos superficies. De acuerdo a las pautas indicadasen la ficha, los distintos grupos de alumnos en

horario extra clase se reúnen con el materialnecesario para la elaboración de la maqueta,obviamente en un ámbito de discusión y de trabajoen equipo por parte de los alumnos que integran elgrupo de trabajo. Son muy frecuentes las consultasa los docentes de la cátedra a fin de mostrar porparte de los alumnos la forma como vanelaborando la maqueta de manera de asegurarseque la curva que van a representar mediante laelaboración de la maqueta sea la correcta.

3 FOTOGRAFIAS

A continuación se muestran fotografías de algunasde las maquetas realizadas por los grupos dealumnos.

Foto 1. Intersección entre un cilindro desplazado yuna esfera

Foto 2. Intersección entre dos cilindros



Foto 3. Intersección entre dos planos

Foto 4. Intersección entre un plano y una chapahiperbólica

Se observa en la Foto 4 que los alumnos ademásde utilizar los materiales propuestos, realizaronesta maqueta usando chapa metálica, la misma nosmuestra el trabajo, la originalidad y dedicación delos alumnos, nos ayuda a tener una buenavisualización de la intersección de dos superficiesen tres dimensiones, pero el material utilizado haceque la maqueta no sea fácilmente manejable porlos alumnos. Se recomienda que al implementarnuevamente esta experiencia, al momento de elegirlos materiales para la construcción de las maquetaslos mismos sean más maleables.

4 EXPOSICIÓN GRUPAL

Los alumnos presentaron las maquetas al iniciar elTrabajo Práctico de Curvas y superficies, medianteuna breve exposición, cada grupo relató lorealizado utilizando tanto el pizarrón como lasmaquetas. Se presentaron dos casos: uno donde sepedía la curva intersección de dos superficies yotro donde se pedía el volumen encerrado entreellas, si bien las maquetas que representaban un

volumen encerrado por varias superficies nofueron utilizadas en este trabajo práctico, fueronutilizadas en trabajos prácticos posteriores, elcorrespondiente a integrales dobles y triples.Se pudo observar que los alumnos visualizaroncorrectamente la curva intersección de dos

superficies, con lo cual el objetivo principalmotivo de esta propuesta metodológica estabaasegurado.Como hemos planteado, la participación de losalumnos fue muy importante. Su desempeño alexponer oralmente frente a sus compañeros en laclase práctica fue satisfactorio, se destaca ésto,debido a que las materias de ingeniería del nuevoplan de estudio, son promocionales y generalmentela evaluación es en forma escrita en las asignaturas de primer año.

Foto 5. Alumnos exponiendo

Foto 6. Alumnos exponiendo.

Durante la exposición se puede observar que losalumnos explicaron el ejercicio propuestoutilizando el pizarrón, la tiza y el borrador comorecurso, y luego corroboraron lo escrito en elpizarrón con la maqueta correspondiente.Como la Ficha Nº1 tenía como objetivo principalla realización de la maqueta, a fin de recabar



información formal de los grupos de alumnos querealizaron las mismas, y además la necesidad deconocer los factores que complicaron obeneficiaron la realización de éstas, se les entregóuna segunda ficha.En esta segunda ficha se les solicita a los alumnos

una actividad que relaciona lo obtenido al realizarla maqueta, con lo pedido en el Trabajo Práctico.A la vez, como nos interesaba saber si larealización de las maquetas afectaba o no surendimiento, debido a que la actividad eraextracurricular, se añadió como actividad lapresentación de una encuesta.

Cátedra: Análisis Matemático II – Facultad de Ingeniería – 1erCuatrimestre de 2008

Ficha Nº 2

Grupo Nº: …..

Integrantes:*******Ficha Nº 2

Fechas: Comisión 1:24/04/08 Comisión 2:25/04/08

Objetivo:Lograr que el alumno identifique y grafique la curva resultantede la intersección de dos superficies.

Actividades:

1. Anexar a esta ficha una hoja A4 con el graficocorrespondiente a las superficies dadas en la FichaNº 1.

2. Escribir las ecuaciones de las superficies y de lacurva resultante en forma paramétrica y vectorial.

3. Responder a la siguiente encuesta

a) ¿Cuánto tiempo les llevó realizarla?b) ¿Cuál fue su costo?c) ¿Qué materiales utilizaron?d) Realice otro comentario que Ud. Considereconveniente con respecto a este tema.

4. Fecha de presentación: Comisión 1: martes 29 de abrilComisión 2: miércoles 30 de abril

5 RESULTADOS DE LAS ENCUESTAS

A continuación se detallan los resultados de laencuesta incluida en la ficha Nº 2

a) ¿Cuánto tiempo le llevó realizarla?

A la mayoría de los grupos le llevó entre 2 y 5horas realizarla, un solo grupo manifiesta queles llevó 2 días, uno para ponerse de acuerdo yotro para realizarla.

b) ¿Cuál fue su costo?

Los costos oscilan desde $0,00 por tener todoslos elementos hasta $10,00

c) ¿Qué materiales utilizaron?La mayoría utilizó: papel afiche, cartón,cartulina, cajas de cartón, pegamento, cintaadhesiva, fibrones y en menor cantidadutilizaron esferas de telgopor, botellas deplástico, placas radiográficas, alambre ypalitos para los ejes. También utilizaronelementos para decorar como pinturas, cintasde colores, papel crepe y plastilina.

d) Realice otro comentario que Ud considere

conveniente con respecto a este temaSe escribe textualmente algunos comentarios: Nos parece muy bueno el sistema

porque así podemos visualizar bienlas curvas

Nos ayudó a visualizar con mayorclaridad las superficies en el espacio

La maqueta nos ayudó a visualizar loque normalmente vemos en númerosy ecuaciones

Visualizando la curva se puedeentender mejor el tema

Estaba bueno y entretenido Las clases son más dinámicas y se

debería aplicar a otros temas delprograma

Nos pareció entretenido el poderdiseñar la maqueta y la búsqueda delos materiales para su realización.

Sin comentario

Del análisis de los resultados de la encuestapuede inferirse que a los alumnos les permitióvisualizar la curva intersección de dossuperficies, lo cual constituye el primerobjetivo de esta actividad.Comparando el rendimiento de los alumnos deaños anteriores, en donde no se había

solicitado la realización de las maquetas, conlos alumnos de este cuatrimestre (1ero de2008) distribuidos en dos comisiones. Sepudo observar que cuando no se utilizaba esterecurso el rendimiento fue de un 50 % alsolicitarle que encuentren la curvaintersección entre dos superficies yrepresenten gráficamente. En este año al



implementar la realización de las maquetas elporcentaje aumento de un 50% a un 65%.Entonces como conclusión podemos afirmarque este trabajo tuvo una buena retribución encuanto al rendimiento académico.Consideramos que a los alumnos no les llevó

demasiado tiempo la realización de lamaqueta, lo cual no afectaría su rendimientoen otras materias.De acuerdo a las opiniones podemos rescatarque les gustó realizar este tipo de trabajo,además que les ayudó a tener una mejorvisualización de la representación tanto decurvas en el espacio como de volúmenes.

6 VOLUMENES ENCERRADOS PORDOS O MAS SUPERFICIES

Con respecto a la visualización de volúmenes

encerrados por dos a más superficies, seobserva que una de las dificultades quepresentan los alumnos, es la de encontrar loslímites de integración, generalmente, cuandose trabaja con planos.En el trabajo práctico correspondiente aintegrales triples, se utilizaron las maquetaselaboradas para visualizar ahora el volumenencerrado por las superficies y comparar loslímites de integración obtenidos mediante eldibujo del sólido y los que puede observarse apartir de las maquetas. Obviamente no todoslos sólidos que representan la región deintegración de las integrales triples están

representados en las maquetas que elaboraronlos distintos grupos de alumnos, pero eltrabajo de observación que realizan en lasmismas, les permite realizar una mejorcomprensión de los sólidos encerrados porsuperficies y mejora su rendimientoacadémico en esta dificultad detectada.En la determinación de los límites deintegración de un volumen encerrado porplanos, curiosamente los alumnos presentanmayores dificultades en determinar lasproyecciones del sólido en los distintos planoscoordenados, en ese sentido a continuación semuestra un ejemplo donde se debe dibujar un

sólido encerrado por planos y se debedeterminar los límites de integración paracalcular tal volumen mediante una integraltriple. Entonces para trabajar con el volumenencerrado por planos se solicitó que uno de losgrupos realice una maqueta con dichovolumen, este ejercicio esta propuesto en elTrabajo Práctico Nº 9: Integrales dobles y

triples, aplicaciones, “dibujar y calcular el

volumen encerrado por las siguientessuperficies

0

00

4

4

z

y

x

y x

z x

(El volumen que queda por debajo de z=2)”.

Foto 7. Maqueta representando un volumen

Como parte del trabajo realizado por el grupoen la ficha Nº 2 se solicito la representacióngráfica del volumen resultante, el cual fuerealizado correctamente, con este trabajo seobserva que una vez visto el volumen deforma concreta, la representación en el papelse facilita.Se anexa el gráfico presentado por el grupo dealumnos que realizaron dicha maqueta.

Foto 8. Gráfico del volumen de integración



Posteriormente, al llevar la maqueta al aula, sepropone a todos los alumnos que planteen laintegral triple que permitirá calcular elvolumen encerrado por los planosmencionados anteriormente, para ello debenencontrar los límites de integración. Para

determinar dichos límites, eligieron comoprimera variable de integración a z yobservaron que en ese caso se debía dividir laregión de integración en dos volúmenes, luegoobservando la maqueta llegaron a laconclusión que no era necesario dividir dichovolumen si se elegía adecuadamente el ordende integración, entonces los alumnospropusieron el siguiente orden de integración

20

40

40

z

z x

x y

De esta manera se puede observar que elcálculo del volumen se puede realizar a travésde una sola integral, mientras que utilizandootro orden de integración se debía calcular elvolumen utilizando dos integrales triples.

7 CONCLUSIÓN

En primer lugar sería conveniente realizar unamejor coordinación vertical con lasasignaturas que deberían enseñar parte de lascompetencias donde los alumnos presentandificultades: dibujar curvas como intersecciónde superficies y distintos tipos de sólidos.Con los resultados obtenidos de estaexperiencia metodológica propuesta, a partirde las encuestas realizadas y por lo observadoen el desarrollo de los trabajos prácticos sepuede afirmar que es una experiencia valiosaque ayuda de una forma notable aconceptualizar la forma de curvas y sólidos enel espacio.Se puede establecer que el recurso didácticoutilizado (maquetas) fue útil para lograr losobjetivos propuestos, es decir una mejorvisualización de curvas, superficies,volúmenes y determinación de límites deintegración.Consideramos que este recurso didácticotambién nos sirve para encarar los TrabajosPrácticos posteriores como ser Integralescurvilíneas y de superficie y TeoremasIntegrales.Si bien se cuenta la experiencia realizada en

el año 2008, la misma se comenzó a realizardesde hace 6 cuatrimestres. En base a las

experiencias realizadas, se puede mejorar ypotenciar a futuro este recurso didáctico.

8 BIBLIOGRAFÍA:

Bacus A. & Romain C., Creatividad: comodesarrollarla. Editorial Iberia S.A., Barcelona,1994.Majaro S., Como generar ideas para generar

beneficios, Editorial Granica, Buenos Aires, 1992.Sanjurjo L. & Vera M. T., Aprendizajesignificativo y enseñanza en los niveles medio ysuperior, Editorial Homo Sapiens, Buenos Aires,2003.Purcell E. & Varberg D., Cálculo con geometría

analítica, Editorial Prentice Hall, México, 1993.Leithold L., El cálculo, Editorial OxfordUniversity, Oxford, 1998.

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