Embed Size (px)
Citation preview
Studieportalen.dk
Kapitel 1: Tal Brøker: Regel Symbolsk
skrivemåde M1. Et tal og en brøk ganges med hinanden ved at gange tælleren med tallet c
ba
c
ba
** =
M2. to brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner db
ca
d
c
b
a
*
** =
D1. En brøk divideres med et tal ved at gange nævneren med tallet
cb
ac
b
a
*/ =
D2. Man dividere et tal eller en brøk med en brøk ved at gange tallet/brøken med den omvendte brøk b
ca
c
ba
*/ =
cb
da
d
c
b
a
*
*/ =
Kvadratsætninger: (a+b)2 = a2+b2+2ab (a-b)2 = a2+b2-2ab (a+b)*(a-b) = a2-b2
Kapitel 2: Mængder Talmængder: N=Z+ = {1,2,3…} : de naturlige tal
Z={0,1,-1,2,-2…} : De hele tal
Z+=N = {1,2,3…} : De positive hele tal
Z-={-1,-2,-3…} : De negative hele tal
Q : De rationale tal (brøker)
Q+ : De positive rationale tal
Q- : De negative rationale tal
R : De reelle tal (alle tal)
R+ : De positive reelle tal
R- : De negative reelle tal
Studieportalen.dk
R\Q : De irrationale tal
Kapitel 3: Ligninger og uligheder:
Ligninger:
Omformningsregler:
Addition og subtraktion af samme tal på begge sider.
Multiplikation og division med samme tal ≠ 0 på begge sider.
Nulregelen:xy=0 ! x=0 eller y=0.
Uligheder:
Omformningsregler:
Addition og subtraktion af samme tal på begge sider.
Multiplikation og division med positive tal på begge sider: ulighedstegnet skal ikke vendes.
Multiplikation og division med negativt tal på begge sider: ulighedstegnet skal vendes
Andengradsligninger:
ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
Diskriminanten: d = b2-4ac
Andengradsligningens løsninger:
d<0 Ingen løsninger
d=0 1 løsning: x = a
b
2"
d>0 2 løsninger: x =a
db
2
±".
Kapitel 4: Rødder og potenser:
Studieportalen.dk
Regning med kvadratrødder:
baba ** = b
a
b
a= ||2 aa =
Potenser
Specielle eksponenter: a0=1 , n
n
aa
1=
"
a! = a , nn aa =
1
Rational eksponent: q
p
a = q pq p aa "
=
Regneregler: ap*aq = ap+q , qp
q
p
aa
a "=
ap*bp= (ab)p , p
p
p
b
a
b
a)(=
(ap)q = apq
Løsning af ligninger:
q
p
q
p
axax =!=
Kapitel 5: Geometri
Ensvinklede trekanter
To trekanter kaldes ensvinklede, hvis deres vinkler er parvis lige store.
Sætning 1: I ensvinklede trekanter er ensliggende sider proportionale.
Trekanter
En midtpunktstransversal er halvt så lang som den side, den er parallel med.
To trekanter kaldes kongruente, hvis deres sider og vinkler er lige store.
Sætning 2: To trekanter er kongruente, hvis:
1) Alle tre sider er parvis lige store.
Studieportalen.dk
2) At de har en vinkel og to hosliggende sider er lige store.
3) De har to vinkler og den mellemliggende side lige store.
4) De har to vinkler og en ikke mellemliggende side lige store.
Geometriske sider
En cirkel er det geometriske sted for de punkter, der har en given afstand (radius) til et givet punkt (centrum).
Midtnormalen til linjestykket AB er det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til A og B.
Det geometriske sted for de punkter hvis afstand til en ret linje l er konstant k, er to linjer, der er parallelle med l i afstanden k.
Det geometriske sted for de punkter, hvis afstande til to ikke-parallelle linjer er ens, er de to vinkelhalveringslinjer gennem linjernes skæringspunkt.
Sætning 3: (Pythagoras sætning) I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med hypotenusens kvadrat.
Sætning 4: (Pythagoras omvendte sætning) En trekant, hvor summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat er retvinklet.
Sætning 5: I en trekant går medianerne gennem samme punkt, og dette punkt deler hver median i forholdet 1:2 regnet fra fodpunktet.
Sætning 6: I en trekant går midtnormalerne gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel, der er den cirkel, der går gennem de tre vinkelspidser.
Sætning 7: I en trekant går vinkelhalveringslinjerne gennem samme punkt. Dette punkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel, der tangerer trekantens side.
Sætning 8: I trekanten går højderne gennem samme punkt.
Sætning 9: En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over.
Firkanter
Sætning 10: Egenskaber ved firkanter:
Parallelogram Modstående vinkler er lige store og diagonalerne halvere hinanden.
En firkant hvor modstående sider er lige lange, er et parallelogram.
Romphe Diagonalerne halvere rompens vinkler og diagonalerne halvere hinanden, og står vinkelret på hinanden.
Trapez Arealet af trapezen: A = !h (a+b) , hvor a og b er længderne af de parallelle sider og h er afstanden mellem dem.
Studieportalen.dk
Kapitel 6: Analytisk geometri
Andengradsformlen
Afstanden mellem punkterne A(x1,y1) og B(x2,y2) er bestemt ved
212
212 )()(|| yyxxAB "+"=
Cirklens ligning
Cirklen med centrum i (a,b) og radius r har ligningen (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Linjens ligning
En ligning for linjen, der går gennem (0,b) og som har hældningskoefficienten a, er y = ax + b
Sætning 2: Ligningen for en ret linje, der går gennem (x0,y0) og som har
hældningskoefficienten a, kan skrives på formen y-y0 = a(x-x0) Sætning 3: Hvis A(x1,y1) og B(x2,y2) er to punkter på en ret linje, der ikke er parallel med y-
aksen, er hældningskoefficienten givet ved 12
12
xx
yya
"
"=
Hældningskoefficienten for en ret linje angiver tilvæksten i y-koordinaten, når x-koordinaten får
tilvæksten 1.
Ortogonale linjer
Sætning 4: Linjerne med ligningerne y = ax + b og y = cx+d er ortogonale (indbyrdes vinkelrette), netop hvis produktet af deres hældninger er -1, dvs. a*c = -1.
Ligningernes skæring
Lige store koefficienters metode: Skaf numerisk lige store koefficienter til x eller y og læg ligningerne sammen eller træk dem fra hinanden. Substitutionsmetoden: Isolér x eller y i den ene ligning, og sæt det fundene udtryk ind i den anden ligning.
Midtpunkt af linjestykke
Sætning 6: Midtpunktet M af linjestykket AB, hvor A(x1,y1) og B(x2,y2), har
koordinaterne )2
,2
( 2121 yyxxM
++=
Studieportalen.dk
Kapitel 8: Trigonometri
Cosinus, sinus og tangens
(cosv,sinv) er koordinaterne til retningspunktet for vinklen v
tanv = sinv cosv , v ≠ 90˚ + p * 180˚. Grundrelationen
cos(-v) = cosv cos(180˚ + v) = -cosv cos(180˚ - v) = -cosv
sin(-v) = -sinv sin(180˚ + v) = -sinv sin(180˚ - v) = sinv
cos(90˚ - v) = sinv cos(90˚ + v) = sinv
sin(90˚ - v) = cosv sin(90˚ + v) = cosv
Vinkel mellem linjer Linjen y = ax + b danner en vinkel v med x-aksen, hvor tanv = a. Vinklerne mellem to linjer fås ved beregning og figurbetragtning.
Den retvinklede trekant
sin(vinkel) = modst. katete hypotenusen
cos(vinkel) = hoslig. katete hypotenuse
tan(vinkel) = modst. katete hoslig. katete
Sinusrelationerne: _a_ = _b_ = _c_ = 2R sinA sinB sinC
Trekantens areal: T = ! ab sinC = ! bc sinA = ! ac sinB
Cosinusrelationerne: cosA = b2 + c2 – a2 2bc a2 = b2 + c2 – 2bc*cosA cosB = a2 + c2 – b2 2ac b2 = a2 + c2 – 2ac*cosB cosC = a2 + b2 – c2
2ab c2 = a2 + b2 – 2ab*cosC
Studieportalen.dk
Figur Givet Metode Eksempel
De tre sider 1. Find to vinkler ved cos-relationerne. 2. Vinkelsummen er 180˚.
Eksempel 8 – side 193
To sider og en mellemliggende vinkel
1. Find sidste side ved cos-relationerne. 2. Find en vinkel ved cos-relationerne. 3. Vinkelsummen er 180˚.
Eksempel 9 – side 193
To vinkler og en mellemliggende side
1. Vinkelsummen er 180˚. 2. De to sidste sider findes ved sin-relationerne.
Eksempel 7 – side 188
To vinkler og en ikke-mellemliggende side
1. Vinkelsummen er 180˚. 2. De to sidste sider findes ved sin-relationerne.
To sider og en ikke-mellemliggende vinkel
1. Find sidste side ved cos-relationerne. Andengradsligningen har 0, 1 el. 2 løsninger. 2. En vinkel ved cos-relationerne. 3. Vinkelsummen er 180˚.
Eksempel 10 – side 194
Kapitel 9: Funktioner
Funktion
En funktion er en forskrift, der til hvert tal x i definitionsmængden Dm(f) lader svare præcis ét
tal y
Studieportalen.dk
værdimængden Vm(f).
Tallet y kaldes funktionsværdien af x og betegnes y = f(x).
Sekundærmængden har værdimængden som delmængde.
Værdimængden kaldes også billedmængden.
Monotoniforhold
f er voksende: x1 < x2 f(x1) <f(x2)
f er aftagende: x1 < x2 f(x1) > f(x2)
f kaldes monoton, hvis den enten er voksende eller aftagende i hele definitionsmængden.
Et monotoniinterval for f er et interval, hvori f er monoton eller konstant.
Lige og ulige funktioner
Funktionen f kaldes lige, hvis f(-x) = f(x) for alle x i definitionsmængden. Dens graf er
symmetrisk
om y-aksen.
Funktionen g kaldes ulige, hvis g(x) = -g(-x) for alle x i definitionsmængden. Dens graf er
symmetrisk om (0,0).
Kapitel 10: Vigtige funktioner:
Funktionstyper:
En lineær funktion har en regneforskrift af typen f(x) = ax+b.
Numerisk værdi f(x)=|x|
Den hele del f(x) = int(x)
Kvadratrodsfunktionen f(x) = x , x 0#
Reciprokfunktionen f(x) = x
1 , 0$x
Potensfunktioner f(x) = nx , Zn %
n ulige og positiv: f er voksende, graf i 1. og 3. kvadrant.
Studieportalen.dk
n ulige og negativ: f er aftagende, for x<0 og for x>0, grafen ligger i 1. og 3 kvadrant, akserne er asymptoter.
n lige og positiv eller 0: graf i 1. og 2. kvadrant
n er lige og negativ: graf i 1. og 2 kvadrant
Andengradspolynomiet:
Regneforskrift: f(x) = ax2+bx+c.
Diskriminant: d=b2-4ac.
Hvis a>0 vender grenene opad, hvis a<0 vender grenene nedad.
Toppunkt(TP): )4
,2a
b-(
a
d"
Skæringspunkter med x-aksen(rødder):
d<0: ingen rødder
d=0: en rod: a
bx
2
"=
d<0: to rødder: a
dbx
2
±"=
Faktoropløsning:
Hvis d=0 findes én rod r = ,2a
b" og f(x) = 2)( rxa "
Hvis d>0 findes to rødder r1 og r2, og f(x) = a(x-r1)(x-r2)
Andengradsuligheder:
ax2+bx+c<0 , ax2+bx+c>0 , 0cbxax 2&++ , 0cbxax 2
#++
Find eventuelle løsninger til ligningen ax2+bx+c=0.
Tegn skitse af parablen y = ax2+bx+c.
Aflæs på x-aksen de værdier, for hvilke parablen ligger under (<0), over (>0), under eller på ( 0& ), over eller på ( 0# ) x-aksen.
Kapitel 13: eksponentialfunktioner:
Studieportalen.dk
Potensregneregler:
For a, b>0 og reelle tal p og q gælder:
1. ap*aq = ap+q
2. qp
q
p
aa
a "=
3. (ap)q = ap*q
4. ap*bp =(a*b)p
5. p
p
p
b
a
b
a)(=
Eksponentialfunktioner:
Expa(x) = ax , a > 0, a $ 1
Dm(expa) = R , Vm(expa) = R+
a: grundtal, fremskrivningfaktor
a-1: vækstrate, relativ vækst, rentefod
Egenskaber:
a>1: expa er voksende
0<a<1: expa er aftagende
Expa(0) = 1 , expa(1) = a
Eksponentiel udvikling:
f(x) = b*ax (a,b>0 , a $ 1)
Dm(f) = R , Vm(f) = R+
a: grundtal, fremskrivningsfaktor
a-1: vækstrate, relativ vækst, rentefod
b: begyndelsesværdi; b = f(0): skæringspunkt med y-aksen.
Fremskrivningsfaktor pr. enhed: a Vækstrate pr. enhed: a-1
Fremskrivningsfaktor pr. x enheder: ax Væksrate pr. x enheder: ax-1
Renteformlen: Kn = K(1+r)n
K: begyndelsesværdi , Kn: slutværdi , r: rentefod , n: antal terminer
Studieportalen.dk
Forskrift for eksponentiel udvikling gennem (x1, y1) og ( x2, y2) med x1>x2 fås af:
21
1
21 )(2
1
2
1 xx
y
y
y
ya xx "
== " , 21
21
xx a
y
a
yb ==
Gennemsnitlig vækstrate r for vækstraterne r1, r2,…..,rn:
1)1)...(1)(1( 21 "+++= nnrrrr
Kapitel 14: Logaritmefunktioner
10-tals-logaritmen log Den naturlige logaritme ln
Dm(log) = R+ , Vm(log) = R Dm(ln) = R+ , Vm(ln) = R
Grundtal 10, dvs. log10 = 1 Grundtal e, dvs. lne = 1
Graf skærer x-aksen i 1 : log1 = 0 Graf skærer x-aksen i 1 : ln1 = 0
Omvendt funktion exp10(x) = 10x Omvendt funktion exp(x) = ex
log er voksende ln er voksende
Regneregler for logaritmefunktionerne
1. log(ab) = log(a) + log(b) 1. ln(ab) = ln(a) + ln(b)
2. log a 2. ln a b = log(a) – log(b) b = ln(a) –ln(b)
3. log(ax) = x * log(a) 3. ln(ax) = x*ln(a)
Ligninger og uligheder med logaritmer
log(x) = p x = 10p ln(x) = p x = ep
Eksponentielle ligninger og uligheder
ax = b log(ax) = log(b) x*log(a) = log(b) x = log(b) log(a)
ax = b ln(ax) = ln(b) x*ln(a) = ln(b) x = ln(b) ln(a)
Fordobling og halvering
Studieportalen.dk
For den eksponentielle udvikling f(x) = b*ax gælder.
a > 1 : Fordoblingskonstant T2 = log(2) ln(2) log(a) = ln(a)
Benyt evt. også aT2 = 2
0 < a < 1 : Halveringskonstant T! = log(!) ln(!) log(a) = ln(a)
Benyt evt. også aT! = !
Kapitel 15: Funktions papir
Logaritmisk skala
Tallene på en logaritmisk er anbragt på forholdsprincippet.
Der er samme afstand mellem a og b som mellem c og d hvis a c b = d
Semilogaritmisk papir
De funktioner, der på semilogaritmisk papir (lodret–logaritmisk papir) har retlinjede grafer, er
eksponentielle udviklinger med regneforskrifter af typen:
y = b * ax
Dobbeltlogaritmisk papir
De funktioner, der på dobbeltlogaritmisk papir har retlinjede grafer, har regneforskriften af
typen:
f(x) = b * xa , x > 0
b aflæses som skæringspunkt med den lodrette linje gennem 1 på x-aksen – den der normalt tegnes
som y-aksen. a aflæses som hældningskoefficienten beregnet ved måling med lineal.
Studieportalen.dk
Kapitel 16: Regression:
Lineær regression:
Den rette linje, der ’bedst’ tilnærmer et observationsmateriale, bregnes ved de mindste kvadraters metode: Summen af kvadraterne af de lodrette afstande mellem punkterne og den bedste rette linje (regressionslinjen) er minimal.
Korrelationkoefficienten r er et mål for, hvor god den lineære sammenhæng mellem punkterne er.
r=1: Punkterne ligger på en ret linje med positiv hældning.
0<r<1: Regressionslinjen har positiv hældning. Ikke alle punkter ligger på linjen.
r=0: Ingen lineær sammenhæng mellem punkterne.
-1<r<0: Regressionslinjen har negativ hældning. Ikke alle punkter ligger på linjen.
r=-1: Punkterne ligger på en ret linje med negativ hældning.
Eksponentiel regression:
Den ’bedste’ mulige eksponentielle tilnærmelse til givne punkter findes, dvs. den funktion af typen f(x)=b*ax, der bedst tilnærmer punkterne.
Potens regression:
Studieportalen.dk
Den ’bedst’ mulige tilnærmelse til givne punkter med en funktion med en regneforskrift af typen f(x)=b*xa findes.
