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Dr. Pedro Vásquez

UPRM

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Volúmenes

Para hallar el volumen de un sólido, se tiene un problema similar al dehallar áreas. Observe el ejemplo sencillo del sólido llamado "cilindro",como se observa en la siguiente figura (a). El cilindro está acotado poruna región plana B1, llamada base, y una región congruente B2 en unplano paralelo. El cilindro consiste de los puntos sobre un segmento derecta que son perpendiculares a la base y unen B1 y B2. Si el área de labase es A y la altura del cilindro es h (la distancia entre las bases B1 y B2)es h, entonces el volumen del cilindro es V = Ah.

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En general para un sólido S que no es un cilindro, se procede de lasiguiente manera:1. Se corta S en pedazos y se aproxima cada una de ellas por un cilindro.2. El volumen de S se estima sumando los volúmenes de los cilindros.3. El valor exacto del volumen de S se obtiene a través del proceso delímites en el cual el número de pedazos es muy grande.

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Dividiendo S en n "trozos" de igual ancho 4x usando planos Px1 ,Px2 , · · ·para partir S . Si se escoge el punto de referencia x"i en [xi#1, xi ] , sepuede aproximar el i-ésimo trozo Si (la parte de S que está entre losplanos Pxi#1 y Pxi ) por un cilindro cuya área es A (x

"i ) y altura 4x .

El volumen de este cilindro es A (x"i )4x , de manera que el volumen deli-ésimo trozo es:

V (Si ) =P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 19

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Sumando los vólumenes de los trozos, se puede obtener una aproximacióndel volumen total, esto es:

V $

la aproximación sera major cuando n! ∞, por lo tanto el volumen de Sse puede definir por:

Definción Sea S un sólido que está entre x = a y x = b. Si el áreade la sección transversal de S en el plano Px , a través de x y perpendicularal eje X , es A (x) , donde A es una función continua, entonces el volumende S es:

V = limn!

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Al usar la fórmula V = , debe tener presente que A (x) es el área

de la sección transversal obtenida al realizar un corte perpendicular al ejeX.Nota: Si el área de una sección transversal A (x) = A para todo x ,entonces por la definición de volumen se obtiene:

V =R ba Adx = A (b# a)

que coincide con la fórmula V = Ah

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Ejemplo1. Demuestre que el volumen de una esfera de radio r es V = 4

3πr3

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2. Halle el volumen del sólido obtenido al rotar la regióny = 1# x2, y = 0 alrededor del eje X

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3. Halle el volumen del sólido obtenido al rotar la regióny = ln x , y = 2, x = 0 alrededor del eje Y

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4. Halle el volumen del sólido obtenido al rotar la región y = x2, x = y2

alrededor de y = 1

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5. Halle el volumen del sólido obtenido al rotar la regiónxy = 1, y = 0, x = 1, x = 2 alrededor de x = #1

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5. Considere la figura:

a. Halle el volumen al rotar la región R1 alrededor de OA

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b. Halle el volumen al rotar la región R2 alrededor de AB

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6 Cada integral representa el volumen de un sólido, describaal mismo:a. π

R 1#1"1# y2

#2 dx

b. πR π/20

h(1+ cos x)2 # 12

idx

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7. Halle el volumen del siguiente sólido

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8. Halle el volumen del siguiente sólido

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9. Halle el volumen del sólido S cuya base es la región acotada pory = 1# x2 y el eje X. Las secciones transversales son perpendiculares aleje Y y son cuadrados.

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