CátedraMatemática I - 20141

Trabajo Práctico nro. 1

Números Complejos

1) Representar grá�camente los siguientes números complejos:

a)z1 = 3+ i2 b)z2 = −3+ i2 c)z3 = 3− i2 d) z4 = −3− i2 e) z5 = i4

f) z6 = −i5 g) z7 = −6 h) z8 = 8 i) z9 = i j) z10 = −i

2) Calcula las siguientes operaciones (sumas y restas). Posteriormente, gra�ca cada uno

de los sumandos(restandos) y el resultado obtenido:

a) (5− i6)+(3+ i2) b) (5− i6)−(3+ i2) c) 5+8 d) i4− i2 e) i4− i6

f) 5 + (i2) g) −i− (−i8) h) −i3− (7) i) −i3 + (7)

3) Calcula los siguientes productos:

a) (2 + i5)(4− i) b) (2 + i5)(−4+ i) c) 3(2+ i) d) i(−4+ i2) e) −i(−i2)

4) Calcula los siguientes cocientes:

a) 2+i31+i4

b) 2+i31−i4

c) 42−i3

d) 2−i34

e) ii3

f) i3i

5) Demuestre las siguientes propiedades de los números complejos (sugerencia: escribir

z = a+ ib y w = c+ id ):

a) z + w = z + w b) z.w = z.w

6) Expresar en forma polar los siguientes números complejos (teniendo en cuenta argu-

mentos comprendidos entre 0 y 2π):

a) z1 = −3 + i3 b) z2 = 1− i√3 c) z3 = 3 + i4 d) z4 = i8 e) z5 = 9

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7) Expresar los números complejos del ejericicio anterior, en su forma exponencial.

8) Calcular las siguientes potencias empleando el teorema de De Moivre:

a) (1 + i)20 b) (1− i√3)5 c) (2

√3 + i2)5 d) (1− i)8

9) Encontrar y gra�car las siguientes raíces:

a) las raíces octavas de 1 b) las raíces quintas de 32

c) las raíces cúbicas de i d) las raíces cúbicas de 1+i

10) ¾Y para qué sirven los números complejos?

Los números complejos se emplean en numerosas ramas de la ciencia y la tecnología. Un

ejemplo de ello se observa en el diseño de un ala de avión. En este caso es de vital im-

portancia contar con una sección cuya forma permita que el aire �uya sin turbulencias.

Esto solamente se logra si se utilizan las formas aerodinámicas de Jouwkoski; más pre-

cisamente, una transformación de Joukowsky la cual nos permite transformar un círculo

en el per�l de un ala. Esta transformación es una función de variable compleja, en la

cual, dado un número complejo z = x + iy, al aplicarle la transformación de Joukowsky

lo transforma (valga la redundancia) en otro número w = u+ iv. La transformación es la

siguiente: w = z + 1z, es decir, se tiene que

J(z) = J(x+ iy) = z +1

z= w = u+ iv

y el resultado grá�co es:

Utilizando la transformada de Joukowsky, realiza algunas cuentas con el objetivo de com-probar cómo efecftivamente el círculo se �mapea� en el per�l de ala.

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