Matemática Básica (Ing.) 1

Sesión 14.3

Vectores en el espacio.

Matemática Básica (Ing.) 2

Vectores en el espacioEl concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural, con ligeros cambios, en el espacio.

Los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y al igual que en el plano, el conjunto de segmentos dirigidos de rectas (o flechas) son vectores.

Matemática Básica (Ing.) 3

Vectores en el espacio

El vector v = v1; v2; v3

v1; v2; v3

x

y

z

v1

v2

v3

v

ij

k

Se definen:

Vectores unitarioscanónicos i, j, k:

Vector cero o nulo:

0 = <0; 0; 0>

v = v1; v2; v3 = v1i + v2j + v3k

i = <1; 0; 0>j = <0; 1; 0>k = <0; 0; 1>

Matemática Básica (Ing.) 4

Vectores en el espacio

x

y

z

Q1

Q2

Q3

vi

jk

Q

P

P1

P2

P3

El vector v que estárepresentado por laflecha que va de P a Qes:

v = PQ = OQ - OP

Matemática Básica (Ing.) 5

Vectores en el espacio

Un vector v se puede multiplicar por un escalar c de la de la siguiente manera:

cv = cv1; v2; v3 = cv1; cv2; cv3

v

cv0 < c < 1

cv

c > 1cv

c < -1

cv-1 < c < 0

Matemática Básica (Ing.) 6

Vectores en el espacio: Propiedades

I gualdad: v

Adición v w ;

Sustracción v w

Magnitud v

Producto punto v w

Vector unitari

1

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

2 2 22 3

1 1 2 2 3 3

sí y solo sí

: ;

: ; ;

:

:

v w , v w y v w

v w v w v w

v w v w v w

v v v

v w v w v w

w

vo u v 0

v: ,

1 2 3 1 2 3Para los vectores ; ; y ; ; ,v v v w w w v w

:tiene se

Matemática Básica (Ing.) 7

Vectores en el espacio: Propiedades

Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:

donde es el ángulo que forman los vectores u y v

u

v

u v = v u

u (v + w)= u v + u w

c(u v) = (cu) v = u (cv)

0 u = 0 2

uuu

cosvuvu

Matemática Básica (Ing.) 8

Son perpendiculares sí y solo sí u v = 0

La medida del ángulo que forman se puede calcular a partir de la ecuación:

vuvu

cos

Vectores en el espacio: Propiedades

Si u y v son vectores no nulos

u

v

Matemática Básica (Ing.) 9

Ejercicio de cálculo con vectores

a) 3-2; 1; 4

b) 6; 0; -7 + -5; 5; 8

c) 1; -3; 4 – -2; -4; 5

d) |2; 0; -6|

e) 5; 3; -1 -6; 2; 3

Resuelva según el caso

Matemática Básica (Ing.) 10

Producto vectorialDado los vectoresEl producto cruz o vectorial u v es:

u v1 2 3 1 2 3; ; ; ;u u u y v v v

i j k

u v 1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

u v i j k2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v

Para ayudarnos a recordar la fórmula, usaremos la notación de determinante:

EjemploSi u = 4; -1; 2 y v = 1; -3; 2, halle u v.

Matemática Básica (Ing.) 11

Propiedades del producto vectorialSi u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:

u v = – (v u)

c(u v) = (cu) v = u (cv) 0 u = u 0 = 0

0uu

u (v + w) = u v + u w

(v + w) u = v u + w u

Matemática Básica (Ing.) 12

Propiedades del producto vectorial

j k = i

i j = k

k i = j

Respecto a los vectores unitarios i, j, k se tiene que:

x

y

z

i

jk

Matemática Básica (Ing.) 13

Características del producto vectorialEl producto u v es ortogonal a u y v.

0 vvu

0 uvu

).(

).(u v

u

v

Si es el ángulo entre u y v (0 ), entonces:

|u v| = |u||v| sen senvh

u

v

área= b x h = |u||v|sen = |u v|

b

Matemática Básica (Ing.) 14

Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 22, 24, 26, 28,30, 32 y 34 de la página 693.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

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