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Álgebra linear

Tópicos

• Vetores

• Transformações lineares

• Sistemas lineares

• Autovalores e autovetores

• Espaços e subespaços

• Matrizes

Teoria

Vetores

Definição: Os vetores representam

quantidades que possuem magnitude

e direção, como por exemplo as

grandezas força e velocidade. Essas

grandezas podem ser representadas

por setas que possuem comprimento

e direção, e partem de um ponto de

referência O, e assim são definidos os

vetores.

Em um espaço tridimensional ��,

onde todos os pontos são

representados por valores reais nos

eixos ordenados �,�e� com origem

no ponto O, um vetor é unicamente

determinado pelas coordenadas de

seu ponto final.

Operações com Vetores: Sejam �� , �, �� e � ��, �, �� vetores em ��. As operações definidas são:

Adição: A soma vetorial é obtida

somando os termos correspondentes

de �� e �. �� , � � �, � � ��

A soma de vetores com números

diferentes de termos não é definida.

Multiplicação por um escalar: O

produto do vetor �� por um escalar k,

ou ��, é a multiplicação de cada

componente de �� por k, resultando no

vetor:

�� , �, �� , ��, ��

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Propriedades (1): Considere agora os

vetores ��, � e �� em �� e os escalares �� e �� em �. Então:

�� 0 �� 0 �� 1��

Espaços Vetoriais

Definição: Considere o campo escalar � e um conjunto não vazio � com

duas operações:

Adição: Atribui a qualquer vetor ��, � pertencente a � a soma �� em �;

Multiplicação Escalar: Atribui a todo �� pertencente a �, � pertencente a �

um produto �� pertencente a �;

Então � é chamado Espaço Vetorial,

no campo �. Observe que o campo

escalar pode ser visualizado como um

espaço n-dimensional, com um

número real � ou complexo ℂ

relacionado a cada ponto no espaço.

Para quaisquer ��, �, �� pertencentes a � e ��, �� pertencentes a �, as

propriedades (1) dos vetores são

satisfeitas.

Notação:

� – Um dado espaço vetorial ��, �, �� – Vetores em � � – Campo escalar ��, �� – Escalares em � �� ∈ " – Elemento �� pertence

ao conjunto " ��, �� ∈ " – Elementos �� e ��

pertencem a " ∀� ∈ " – Para qualquer x em " ∃� ∈ " – Existe x pertencente

a " " ⊆ & – " é um subconjunto

de & " ∪ & – União de " e & " ∩ & – Intersecção de " e & ∅ – Conjunto vazio

Subespaços Vetoriais

Definição: Considere � um espaço

vetorial em um campo escalar �, e *

um subconjunto de �. Então, * é um

subespaço se ele próprio for um

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espaço vetorial em � com relação às

operações de adição vetorial e

multiplicação por um escalar em �.

Observações:

Todo subespaço * deve conter o

vetor nulo devido à propriedade �� 0 ��. Todo espaço vetorial � admite pelo

menos 2 subespaços, ou subespaços

triviais. São eles o conjunto formado

pelo vetor nulo +0, e o próprio espaço �.

Um exemplo de subespaço não trivial

é o subespaço - formado por todos os

vetores �� do espaço vetorial � ��

que possuem seus componentes

iguais; - +��, �, ��|� � �,

Propriedades: Se - e * são

subespaços do espaço vetorial �,

então -⋂* e - �* também são

subespaços vetoriais.

Combinação Linear

Definição: Seja � um espaço vetorial

em �. Um vetor � em � é uma

combinação linear de vetores ��, ��, … , �1�� em � se existem

escalares ��, ��, … �1 em � tal que:

� �� ⋯�1�1��,

O conjunto - de todos os vetores

formados da combinação linear de ��, … , ��1 é um subespaço vetorial. -

é chamado de subespaço gerado por ��, … , ��1 e é denotado por

- 3��, … , ��14

Exemplo

Suponha que se queira expressar � �3,7, �4� em �� como uma

combinação linear dos vetores �� 1,2,3�, �� 2,3,7�, �� 3,5,6�. Encontre os escalares �, �e� que possibilitem a

combinação linear � �� .

Solução:

; 37�4< � ;123< � � ;237< � � ;356< ou

= � � 2� � 3� 32� � 3� � 5� 73� � 7� � 6� �4

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Resolvendo o sistema, tem-se � 2, � �4, � 3. Portanto � 2�� 4�� 3��.

Dependência e Independência Linear

Definição: Seja � um espaço vetorial

em �. Os vetores ��, … , �1 em � são

linearmente dependentes se existem

escalares ��, ��, … �1 em �, sendo ao

menos um �> ? 0, tal que:

�� ⋯�1�1�� 0

Caso contrário, os vetores são

linearmente independentes.

Teorema: Um conjunto +��, … , �1, é linearmente dependente

se e somente se pelo menos um

destes vetores é combinação linear

dos outros.

Exemplo

Defina se os vetores �� 1,1,0�, �� 1,3,2� e �� 4,9,5� são

linearmente dependentes ou

independentes.

Solução:

Se � 3, � 5 e � �2,

3�� 5�� 2�� 3�1,1,0� � 5�1,3,2�� 2�4,9,5� �0,0,0� Portanto, os vetores são linearmente

dependentes.

Exemplo

Defina se os vetores �� 1,2,3�, �� 2,5,7� e �� 1,3,5� são

linearmente dependentes ou

independentes.

Solução:

� ;123< � � ;257< � � ;135< ;000< Resulta no sistema

=� � 2� � � 0� � � 02� 0

que implica em � 0, � 0 e � 0.

Portanto, os vetores são linearmente

independentes.

Base de um Espaço Vetorial

Definição: Um conjunto - +��, ��, … , �1��, é uma base de �

se - for linearmente independente, e

se - for um subespaço vetorial

gerado por ��, … , ��1 (- 3��, … , ��14).

Observações:

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Qualquer base de � tem o mesmo

número A de vetores. A é chamado de

dimensão de B, denotado por dim�.

Se dim� A, então qualquer

conjunto de A vetores LI é uma base.

Qualquer conjunto com mais de A

vetores é necessariamente LD.

Teorema: Sejam - e * subespaços de

um espaço vetorial �, então dim- F dim�, dim* F dim� e

dim�- �*� dim- � dim*� dim�- ∩*�

Produto Interno

Definição: Seja � um espaço

vetorial real. Suponha que para cada

par de vetores �, � ∈ � é atribuído

um número real, denotado por ⟨�, �⟩. Essa função é chamada de produto

interno real em � se os seguintes

axiomas são satisfeitos:

Linearidade: ⟨�� , �⟩ �⟨��, �⟩ � �⟨��, �⟩ Simetria ou Homogeneidade: ⟨�, �⟩ ⟨�, �⟩ Positividade: ⟨�, �⟩ I 0; ⟨�, �⟩ 0seesomentese� 0

Exemplo

Seja � o espaço vetorial real com

produto intrno. Pela linearidade:

⟨5�� 6�� 7��, �� 2��⟩ 5⟨��, ��⟩ � 10⟨��, ��⟩� 6⟨��, ��⟩ � 12⟨��, ��⟩� 7⟨��, ��⟩ � 14⟨��, ��⟩

Norma Vetorial

A norma vetorial é uma propriedade

definida dentro do espaço vetorial

com produto interno. Sabendo que o

produto interno ⟨�, �⟩ é não negativo

para qualquer vetor ��, sua raiz

quadrada existe. Dessa forma a

norma do vetor é definida por:

‖�‖ K⟨�, �⟩

Se ‖�‖ 1 ⟨�, �⟩, então � é

chamado de vetor unitário ou

normalizado.

Produto escalar

É um caso especial de produto

interno. No espaço Euclideano ��, o

produto escalar é definido por:

�� ⋅ � �� ⋯� ��

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onde �� >� e � ��>�.

Norma em �M

A norma ‖�‖ do vetor � ��>� no

espaço Euclideano é:

‖�‖ √� ⋅ � O�� ⋯��

Ângulo entre Vetores

Para quaisquer vetores não nulos � e � em um espaço vetorial com produto

interno �, o ângulo entre � e �, P, é tal

que 0 F P F Q e

cos P ⟨�, �⟩‖�‖‖�‖

Exemplo

Considere os vetores �� 3,4,5� e � �2,�5,4� em ��. Calcule o ângulo

entre eles.

Solução: ⟨�, �⟩ 6 � 20 � 20 6 ‖�‖ √9 � 16 � 25 √50 5√2 ‖�‖ √4 � 25 � 16 √45 3√5

�UV P 615√10 2

5√10

P �W��UV 25√10 82,73°

Note que, sendo �UV P positivo, o

ângulo é agudo.

Ângulos Ortogonais

Dois vetores ��, � ∈ �, sendo � o

espaço vetorial com produto interno,

são ortogonais se ⟨�, �⟩ 0 ou cos P 0, isto é, P Z�.

Transformações Lineares

Definição: Sejam � e - dois

espaços vetoriais no mesmo campo

escalar �. A transformação linear [ é

uma função de � em -,

[: � ⟶ -

que satisfaz as condições:

Para qualquer vetor �, � ∈ �,

[�� [�� [��;

Para qualquer escalar � e vetor � ∈ �,

[�� [��.

A transformação linear preserva as

duas operações básicas de um espaço

vetorial, a adição e a multiplicação

por um escalar, como foi mostrado

nas duas propriedades acima.

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Exemplo

A função ^��, �� 2, � � 3�, ^:�� ⟶��, adiciona o vetor �2,3� a

qualquer vetor � ��, �� em ��. Note

que ^�0� ^�0,0� �2,3�. Portanto,

o operador ^ não é linear, já que ele

não mapeia o vetor nulo em um vetor

nulo.

Autovalores e Autovetores

Definição: Seja " uma matriz

quadrada qualquer. Um escalar _ é

chamado de autovalor de " se existir

um vetor coluna � tal que:

"� _�

Qualquer vetor que satisfaça essa

relação é chamado autovetor de "

associado ao autovalor _.

Exemplo

Seja " `3 12 2a, �� ` 1�2a e �� `11a. Então,

"�� `3 12 2a ` 1�2a ` 1�2a ��

"�� `3 12 2a `1

1a `44a 4��

Portanto, os autovalores são:

_� 1 e _� 4

Polinômio Característico

Considere o sistema de equações

lineares do

Exemplo

= � � 2� � 3� 32� � 3� � 5� 73� � 7� � 6� �4

Esse sistema pode ser escrito da

seguinte forma:

"��

Sendo

" ;1 2 32 3 53 7 6<, �� b��c, � ; 37�4<

A equação "�� pode ser vista

como uma transformação linear que

mapeia um dado vetor �� em um novo

vetor �. Vetores que podem ser

transformados em múltiplos de si

mesmos, como � _��, são muito

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importantes para encontrar soluções

para a equação

"�� _�� ou �" � _d�� 0.

A equação acima possui soluções não

nulas se e somente se

∆�_� det�" � _d� 0.

O polinômio ∆�_� é chamado de

polinômio característico, sendo que

os valores de _ que satisfazem ∆�_� são os autovalores da matriz " e as

soluções não nulas para �� são os

autovetores correspondentes à _.

Diagonalização de Operadores

Definição: Considere o operador

linear [: � ⟶ �. Se [ puder ser

representado por uma matriz

diagonal, [ é diagonalizável. Neste

caso, deverá existir uma base - +��, ��, … ��, de � para a qual

[�� , [�� , … , [��

A base - de � consiste dos

autovetores de [, e os elementos da

matriz diagonal h +��, ��, … , ��, são os autovalores correspondentes.

[��>� �>�>

sendo �> um vetor não nulo.

Teorema: Os autovetores não nulos ��, ��, … �� de um operador linear [,

associados a autovalores distintos ��, ��, … ��, são linearmente

independentes.

Matrizes

Definição: Uma matriz é uma

distribuição retangular de elementos

na forma:

A ja��a��⋯al�a��a��⋯al�

⋯⋯…⋯a�Ma�M⋯alM

m

Sendo as linhas da matriz A as m

distribuições horizontais de

escalares:

�a�� a�� ⋯ a�M� até �al� al� ⋯ alM�;

e as colunas de A as n distribuições

verticais de escalares:

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ja��a��⋯al�m até ja�Ma�M⋯alM

m.

Note que o elemento ano pertence à

linha i e à coluna j.

Notação:

A panoq

Matriz de m linhas e n colunas: mr n.

Matriz linha ou vetor linha: Matriz

formada por apenas uma linha

(m 1).

Matriz coluna ou vetor coluna: Matriz

formada por apenas uma coluna n 1.

Matriz Nula: Matriz cujos elementos

são todos iguais a zero (ano 0, para

todo i e j).

Matriz Real: Matriz cujos elementos

são todos números reais; também

chamada de matriz em �.

Matriz Complexa: Matriz cujos

elementos são todos números

complexos; também chamada de

matriz em ℂ.

Matriz Transposta: A matriz

transposta, At, é obtida ao distribuir

as colunas de uma matriz A no lugar

de suas linhas, mantendo a ordem dos

elementos envolvidos. Por exemplo,

`1 2 34 5 6at b1 423 56c

Do exemplo acima, se A panoq é uma

matriz mr n, At pbnoq é uma matriz n r m onde bno aon. Matriz Quadrada: Matriz cujo número

de linhas é igual ao número de

colunas (m n); também chamada

de matriz de ordem n.

Matriz Identidade: Matriz quadrada

composta de uns na diagonal

principal (ano 1 se i j) e de zeros

nas demais posições (ano 0 se i ? j).

IM j10⋯001⋯0

⋯⋯…⋯00⋯1mM

O Delta de Kronecker, δno é uma

função definida por

δno y0sei ? j1sei j

Portanto, a Matriz Identidade pode

ser definida como I pδnoq. Matriz Diagonal: É um tipo especial

de matriz quadrada. A matriz é

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diagonal se seus elementos que não

estão na diagonal principal forem

todos iguais a zero(ano 0 se i ? j).

Matriz Triangular Superior: Outro

tipo especial de matriz quadrada

cujos elementos abaixo da diagonal

principal são todos nulos (bno 0, se i z j); como abaixo:

B jb�� b�� b��0 b��0 0 b��b��m

Matriz Triangular Inferior: Similar à

Matriz Triangular Superior, a

triangular inferior possui os

elementos acima da diagonal

principal iguais a zero (bno 0 se i |j); como abaixo:

B ; b�� 0 0b�� b��b�� b�� 0b��<

Álgebra Matricial

Adição: Supondo A panoq e B pbnoq duas matrizes de iguais dimensões mr n; a soma A � B é a matriz mr n

obtida a partir da soma dos

elementos correspondentes das

matrizes A e B:

A � B } a�� b��a�� b��⋯al� � bl�

⋯⋯…⋯a�M � b�Ma�M � b�M⋯alM � blM

~

Propriedades:

A � B B � A; A � �B � C� �A � B� � C; A � 0 0 � A A; A � ��A� ��A� � A 0.

Multiplicação por Escalar: O produto

de uma matriz AlrM por um escalar k, kA, resulta em uma matriz mr n

cujos elementos são a multiplicação

de cada elemento de A por k.

kA }ka��ka��⋯kal�ka��ka��⋯kal�

⋯⋯…⋯ka�Mka�M⋯kalM

~

Propriedades:

k�A � B� kA � kB; �k� � k��A k�A � k�A; k��k�A� �k�k��A; 1 ∙ A A.

Multiplicação: Sendo A panoqlr� e

B pbnoq�rM matrizes em que o

72


número de colunas da primeira é

igual ao número de linhas da segunda,

o produto AB é uma matriz mr n

cujos elementos ij são obtidos

multiplicando a linha i pela coluna j, elemento a elemento, e somando os

resultados; como abaixo: AB 3cno4l�M com cno ∑ an�� b�o

Propriedades:

�"&�� "�&�� – Associativa; "�& � �� "& � "� – Distributiva; �" � &�� "� � &� – Distributiva; ��"&� ��"�& "��&� – Sendo k

um escalar; "d d" " – Sendo d uma matriz

identidade; 0" "0 0 – Sendo 0 uma matriz

nula.

Exemplo

Dadas as matrizes A `1 32 �1a e

B `2 0 �43 �2 6 a, encontre:

(a)AB

(b) &"

Solução (a): Como a matriz " tem o

mesmo número de colunas que o

número de linhas da matriz &, a

multiplicação é definida, e

"�r�&�r� ��r�.

`1 32 �1a r `2 0 �43 �2 6 a `�� a

e

�� 1 ∗ 2 � 3 ∗ 3 11⋮

�� 2 ∗ ��4� � ��1� ∗ 6 �14

Portanto, � `11 �6 141 2 �14a

Solução (b): A multiplicação de &"

não é definida, já que o número de

colunas da primeira é diferente do

número de linhas da segunda.

Adição e Multiplicação de Matriz

Transposta

Propriedades:

�A � B�t At � Bt �At�t A �kA�t kAt �AB�t BtAt

Enfatiza-se no último que a

transposta do produto é o produto

das transpostas, porém na ordem

inversa.

73


Sistemas de Equações Lineares

Definição: Um sistema de equações

lineares é uma lista de m equações

lineares (L�, L�,…Ll) com as

mesmas n incógnitas x�, x�, … , xM e

podem ser escritas na forma padrão: Ax� B � a��x� � a��x� �⋯� a�MxM b�a��x� � a��x� �⋯� a�MxM b�⋮al�x� � al�x� �⋯� alMxM bl

Onde ano e bn são constantes. O

número ano é o coeficiente da

incógnita xo na equação Ln, e o

número bn é a constante da equação Ln. Características:

Se o número de equações for igual ao

número de incógnitas (m n), o

sistema é chamado quadrático.

Se todos os termos constantes forem

iguais a zero, bn 0, o sistema é

chamado homogêneo.

A relação de valores para as n

incógnitas do sistema que resolve

todas as equações desse sistema, é

chamada solução particular. Esta

relação de valores pode ser

representada por um vetor u� que

pertence à um conjunto KM de

soluções para o sistema, também

chamado solução geral.

Se o sistema de equações lineares

possuir uma ou mais soluções, ele é

chamado consistente.

Se o sistema de equações lineares não

possuir solução, ele é chamado

inconsistente.

Dois sistemas de equações lineares

que possuem as mesmas soluções,

são chamados equivalentes.

Formas Escalonadas:

Triangular: O sistema possui o

mesmo número de equações e de

incógnitas, m n, e é escrito de

forma que a primeira incógnita com

coeficiente não nulo de uma equação

esteja à direita da primeira incógnita

com coeficiente não nulo da equação

precedente, como abaixo: a��x� � a��x� � a��x� � a��x� b� a��x� � a��x� � a��x� b� a��x� � a��x� b� a��x� b�

Como a primeira incógnita da

equação L� com coeficiente não nulo é x�, da equação L� é x�, e assim por

diante, o sistema na forma triangular

é chamado quadrado.

Observação: A primeira incógnita

com coeficiente não nulo de cada

equação do sistema é chamada pivô.

No sistema na forma triangular acima,

as variáveis pivôs são x�, x�, x�ex�.

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Não Triangular: Assim como na forma

triangular, o sistema é escrito de

forma que o pivô de uma equação

esteja à direita do pivô da equação

precedente Porém, o sistema possui

menos equações do que incógnitas, m | n. Portanto, sua solução é dada

em função das n � m incógnitas que

não são pivôs.

Exemplo 10:

O sistema seguinte está na forma

escalonada não triangular: 2x� � 6x� � x� � 4x� � 2x� 15 x� � 2x� � 2x� 5 3x� � 9x� 6

As variáveis pivôs são x�, x�ex�.

A solução paramétrica do sistema é

dada atribuindo valores arbitrários à x� e x�, como a e b, respectivamente.

Fazendo as substituições:

É x� 4 � 3a � 9b x� 1 � 8b x� 2 � 3b

Assim, a solução geral é: s �4 � 3a � 9b, a, 1 � 8b, 2 � 3b, b�

Forma Matricial: O sistema Ax� B

pode ser representado de dois modos

matriciais:

Matriz de coeficientes:

A ja��a��⋯al�a��a��⋯al�


m

Matriz aumentada:

M ja��a��⋯al�a��a��⋯al�


b�b�…blm

Sendo

x� jx�x�⋯xMm, o vetor das incógnitas e

B }b�b�⋯bl~, a matriz das constantes.

Análise das soluções:

Se todos os coeficientes de uma

equação Ll do sistema linear forem

iguais a zero, al�, al�, … alM 0, o

sistema pode ser:

Possível e indeterminado: Se �1 0,

qualquer vetor em �� pode ser a

solução da equação �1, a qual pode

ser excluída do sistema sem que seu

conjunto solução seja alterado.

Impossível: Se � ? 0, o sistema não

tem solução.

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Se em todas as equações do sistema,

um ou mais coeficientes forem

diferentes de zero, o sistema é:

Possível e determinado.

Sendo um sistema linear de n

incógnitas, e sendo M 3A, B4 a

matriz aumentada do sistema:

O sistema tem solução se e apenas se

o posto de " for igual ao posto de �.

A solução é única se e apenas se o

posto de " for igual ao posto de �,

que devem ser iguais à A.

O sistema tem infinitas soluções se A | postode" postode�.

Observação: O posto da matriz A é

igual ao número de pivôs da forma

escalonada de A Como será estudado

no capítulo Dependência e

Independência Linear da Aula 4, o

posto é também o número de linhas

linearmente independentes, ou ainda,

o número de linhas não nulas de um

sistema linear escrito na forma

escalonada.

Exemplo

Verifique se os vetores são soluções

da equação x� � 4x� � 3x� � 2x� 11.

(a)u� �3,1,2,5� (b) v� �1,3,2,4�

Solução(a):

3 � 4�1� � 3�2� � 2�5� 11 �� é solução da equação.

Solução(b): 1 � 4�3� � 3�2� � 2�4� 15 � não é solução da equação.

Exemplo

Considere o sistema y x � ay 4ax � 9y b e

determine:

(a) Os valores de a para que o sistema

tenha uma única solução.

(b) Os valores �a, b� para que o

sistema tenha mais de uma solução.

Solução (a): Somando as equações

equivalentes, temos:

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y �� 4�� 9� �� 9�� 4� � �

O sistema tem uma única solução se �� 9� ? 0, ou se � ? �3.

Solução (b): O sistema tem mais de

uma solução se �� 9� 0 e 4� � � 0.

Para � 3, � 12. Para � �3, � �12.

Portanto, para os pares ��, �� 3,12� e ��, �� 3,�12�, o sistema

tem mais de uma solução.

Eliminação Gaussiana

Definição: É um método para resolver

sistemas de equações lineares. Ao

aplicar a Eliminação Gaussiana, ou

reduz-se o sistema à forma

escalonada ou triangular, levando-o à

sua forma equivalente de mais fácil

resolução, ou é encontrada uma

equação com todos os coeficientes

nulos exceto b, levando à verificação

de que o sistema não tem solução.

Etapas: As etapas da Eliminação

Gaussiana serão mostradas no

exemplo a seguir.

Exemplo

Aplique a eliminação Gaussiana para

resolver o sistema: 2x � 3y � 2z 6 �L1�2x � 4y � 3z 8 �L2��6x � 6y � 8z �9 �L3� Solução: O primeiro passo é eliminar x de L2 e L3. Para isso, usa-se o

coeficiente 2 de x em L1 como pivô e

aplica-se as substituições, L2 �L1 � L2 e L3 3L1 � L3,

obtendo 2x � 3y � 2z 6 �L1� �y � z 2 �L2� �3y � 2z 9 �L3�

O segundo passo é eliminar y de L3

do novo sistema. Para isso, usa-se o

coeficiente �1 de y em L2 como pivô

e aplica-se a substituição, L3 �3L2 � L3, obtendo 2x � 3y � 2z 6 �L1� �y � z 2 �L2� 5z 3 �L3�

E esta é a forma equivalente

simplificada do sistema, que possui 1

solução definida.

Determinantes

Determinante é uma função matricial

que associa a cada matriz quadrada

um escalar. Esta função permite saber

77


se a matriz tem ou não inversa, pois

as que não têm são precisamente

aquelas cujo determinante é igual a 0.

Propriedades:

1) O determinante também é uma

função n-linear e alternada nas

colunas da matriz;

2) O determinante de uma matriz é

igual ao determinante da sua

transposta: det(A) = det(AT);

3) Se uma fila (linha ou coluna) da

matriz é composta de zeros, então o

determinante desta matriz será zero;

4) Se escrevermos cada elemento de

uma linha ou coluna de A como soma

de duas parcelas então det(A) é a

soma de dois determinantes de

ordem n cada um considerando como

elemento daquela linha ou coluna

uma das parcelas, e repetindo as

demais linhas ou colunas;

5) Se uma matriz é triangular

(superior ou inferior) o seu

determinante é o produto dos

elementos da diagonal principal;

6) Multiplicando uma fila (linha ou

coluna) de uma matriz A por um

escalar λ ∈ K, então o determinante

da nova matriz é igual ao

determinante de A multiplicado por λ;

7) Se permutarmos duas linhas ou

colunas de A então o determinante da

nova matriz é −det(A);

8) Se A tem duas linhas (ou colunas)

iguais, então det(A) = 0;

9) Se somarmos a uma linha (ou

coluna) de A um múltiplo de outra

linha (ou coluna), o determinante da

nova matriz é igual ao de A;

10) Se A e B são matriz quadradas da

mesma ordem, então det(AB) =

det(A).det(B);

11) Se A é invertível, então

det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta

que se A é invertível então det(A) ≠ 0;

12) Se A é ortogonal, então det(A) =

±1.

Determinante de ordem 1: é o próprio

número que gera a matriz.

Determinante de ordem 2: é a

diferença entre o produto dos termos

da diagonal principal e o produto dos

termos da diagonal secundária. Esses

produtos se chamam,

respectivamente, termo principal e

termo secundário da matriz.

��

78


Determinante de ordem 3, ou regra

de Sarrus:

��

Determinante de ordem n

A fórmula de Leibniz para

determinante de uma matriz A, n por

n é

det�"� �>¡��1�>¢¡. ��"¤>,¤¡�¡��

Regra de Cramer.

A regra de Cramer é um teorema em

álgebra linear, que dá a solução de um

sistema de equações lineares em

termos de determinantes. Recebe este

nome em homenagem a Gabriel

Cramer (1704 - 1752).

��

que em forma matricial é:

`� �� a `��a `��a

x e y podem ser resultados usando a

regra de Cramer:

� ¥� �� ¦`� �� a ��

� `� �� a`� �� a ��

Caiu no Concurso!

1-(PETROBRAS - Eng. E. Jr – T. e D.)

– 2011

Sejam u� �1,2�, v� �m,�4� e w�� 3, n� vetores de ��. Se w�� 2u� � v�, então

a)m� n 0

b)m� n �4

c)m 3n

d)m. n �8

e) m. n 1

79


2-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) –

2011

Considere v��̈ �1, �1,1,0�, v�� 3,0,1,1�, v�� 2,1,0,1� vetores

no espaço �� e seja V o subespaço de �� gerado por esses 3 vetores. Nesse

caso, a dimensão de V é igual a

a)0.

b)1.

c)2.

d)3.

e) 4.

3- (PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) -

2011

Uma base para o espaço-solução do

sistema homogêneo de duas equações

lineares a 4 incógnitas é

y2x � 2y � z � w 0x � y � z � w 0

a)ª��1,1,0,0�, �� , 0, �� , 1�«

b)¬��1,1,0,0�, �� , 0, �� , 1� ,�� , 1, �� , 1�

c)+��1,1,0,0�, d)y�1,0,0,0�, �0,1,0,0�, �0,0,1,0�,�0,0,0,1� ® e) +�0,0,0,0�,

4-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) -

2011

Considere o subespaço V ¬�x, y, z, w� ∈��: �1 2 1 33 6 3 91 2 1 3�¯

xyzw° �000�.

Neste caso, a dimensão de V é igual a

a)0.

b)1.

c)2.

d)3.

e) 4.

80


5-(PETROBRAS - Eng. E. Jr – T. e D.)

- 2011

(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) –

2011

Sejam u� e v� vetores de �� cujos

módulos são, respectivamente, 3 e 1 e

que formam entre si um ângulo θ tal

que cos θ � ��. O módulo do vetor 2u� � 3v� é:

a)3.

b)√3.

c)√13.

d)√23.

e) √69.

6-(PETROBRAS - Eng. E. Jr -

Elétrica) -2011

(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) -

2011

Seja T uma transformação linear de �� em �� tal que T�u� ��1,2� e T�v� �0,3�, onde u e v são vetores

do ��. Sendo a e b reais não nulos,

tem-se que T�au � bv� é igual

a)��, 2� � 3�� b) �� 2�, 3�� c) ��, 2� � 3�� d) �� 2�, 3�� e) ��, 5��


2010

O vetor �m, 2,3� do �� é uma

combinação linear dos vetores �1,0,1� e �2,1,1�. O valor de m é

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.


2010

A imagem de uma transformação

linear [:�³ ⟶�� é o espaço gerado

pelos vetores �1,0,1�, �0,1,0� e �1, �1,1�. A dimensão do núcleo de [

é

a) 4.

b) 3.

c) 2.

d) 1.

e) 0.

81



2011

Considere a transformação linear T:�� ⟶�� tal que T�1,0� ��1,1� e T�0,1� �3,2�. Sendo λ� e λ� os

autovalores de T, λ�eλ� reais e λ�>λ�,

tem-se que

a) λ�+λ� �1

b) λ�+λ� �5

c) λ� � λ� √21

d) λ�λ� 5

e) µ¶µ· 11 � √21

10-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr)

- 2011-62C

É correto afirmar que a matriz

A ��1 0 0�2 �4 00 0 1�

a) Não é diagonalizável

b) Possui apenas um autovalor real

c) Possui 3 autovalores reais distintos

d) Possui 2 autovalores reais

distintos

e) Não possui autovalores reais


- 2011

Considere a equação matricial AX B. Se A ` 1 2�1 �1a, B `3 �21 4 a, então a matriz X é

a) `2 �42 5 a b) `�5 �64 2 a c) ` 3 �1�1 �4a d) `�5 �83 2 a e) `4 00 3a

12-(PETROBRAS - Eng. E. Jr - T. e

D.) - 2011

Dentre os métodos diretos utilizados

para a resolução de sistemas de

equações lineares, estão os de

a) Eliminação de Gauss e de Gauss-

Jordan.

b) Eliminação de Gauss e de

Gauss-Jacobi.

c) Decomposição LU e de Gauss-

Seidel.

d) Gauss-Seidel e de Gauss-Jordan.

82


13-(PETROBRAS - Eng. E. Jr -

Elétrica) - 2011

(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) -

2011

Com relação ao sistema de variáveis

xey, ymx � y 3x � y n , no qual men são

números reais, tem-se que

a) Se m �1en �3, qualquer

par ordenado �x, y�, xey reais, é

solução.

b) Não tem solução se m �1en ? �3.

c) Tem sempre solução quaisquer

que sejam men reais.

d) Tem duas soluções se m ? �1.

e) �1,1� é solução se m n.


- 2010

Considere os vetores �� , �� e

� �� , � ��. Sobre esses vetores tem-

se que

a) São ortogonais

b) São ambos unitários

c) Têm a mesma direção

d) Formam ângulo obtuso

e) Apenas o vetor �� é unitário


- 2010

Seja ¹ o subespaço vetorial de ��

formado por todos os ternos ��, �, �� que são soluções do sistema linear

y2� � � � 3� 0� � � � 2� 0

Considere as seguintes afirmativas

relativas a ¹:

I – ¹ é o espaço gerado pelos vetores �2,1,3� e �1, �1,2�; II – todos os vetores em ¹ são

ortogonais ao vetor �2,1,3�; III – ¹ tem dimensão 0.

Está correto APENAS o que afirma em

a) I.

b) II.

c) III.

d) I e II.

e) II e III.

83



- 2010

A imagem do quadrado Q,

representado acima na figura à

esquerda, por uma transformação

linear [:�� ⟶�� é o losango L

representado na figura à direita.

Dentre as matrizes abaixo, aquela que

pode representar [ com respeito à

base canônica de �� é

a) ¥ 1 �11 2⁄ 1 2⁄ ¦ b) ¥ 1 1�1 2⁄ �1 2⁄ ¦ c) ` 1 1�1 1a d) `1 10 1a e) `1 2⁄ 1 2⁄1 1 a

84


Gabarito – Caiu no Concurso!

Questão Resposta

1 D

2 C

3 A

4 C

5 E

6 A

7 E

8 A

9 C

10 C

11 B

12 A

13 B

14 D

15 B

16 A

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