matematicko modeliranje fenomena

7/28/2019 matematicko modeliranje fenomena

1/12

Ma{instvo 2(3), 93 104, (1999) E.Ekinovi},...: MATEMATI^KO MODELIRANJE...

MATEMATI^KO MODELIRANJE FENOMENATEORIJSKE MEHANIKEEkinovi} dr. Sabahudin, docent, Ma{inski fakultet u Zenici, Fakultetska 1., Zenica,Hadìkaduni} Fuad, dipl.in`., asistent, Ma{inski fakultet u Zenici,Vukojevi} Nedeljko, dipl.in`.,BH Steel Co. "Zenica"

IZVORNI NAU^NI RADEZIMEU ovom radu je prikazan postupak matemati~kog modeliranja fenomena teo ijske mehanike

kori{tenjem dvofaktornog eksperimentalnog plana (prvog i drugog reda) sa ponavljanjem u svim

eksperimenta nim ta~kama. Disperzionom i regresionom analizom dobiveni su izrazi koji adekvatno

opisuju navedene fenomene (centralni udar i kosi uda u realnim uslovima. Analiza podataka

pokazala je zna~ajnije odstupanje teorijskih od eksperimentalnih rezultata za slu~aj kosog udara.

r

l

r)

f r

t

Klju~ne rije~i: planiranje eksperimenta, teorijska mehanika.

MATHEMATICAL MODELLING OF THEORETICALMECHANICS PHENOMENAEkinovi} Sabahudin, PhD., Assistant Professor, Faculty of Mechanical Engineeringin Zenica, Fakultetska 1., Zenica,Hadìkaduni} Fuad, B.Sc., Assistant, Faculty of Mechanical Engineeringin Zenica,Vukojevi} Nedeljko, B.Sc., Iron and Steel Works "Zenica".SUMMARY ORIGINAL SCIENTIFIC PAPERA method of mathematical modelling o theoretical mechanics phenomena using two-facto

experimental plan (first and second order) with replica ion in all experimental points is presented in

this paper. According to dispersion and regression analysis the regression models obtained here

adequate described above-mentioned phenomena (central and oblique collision) under the real

conditions. The analysis of results was showed significant deviation between theoretical and

experimental results in case of oblique collision.

Key words: experimental design, theoretical mechanic.

1. UVODFenomeni teorijske mehanike koji se susre}u usvakodnevnoj inènjerskoj praksi se rje{avajukori{tenjem obrazaca koji tu pojavu (fenomen)tretiraju sa unaprijed utvr|enim uslovima. Naime,radi lak{eg rje{avanja postavljenog problema koristese odre|ena pojednostavljenja i aproksimacije kakobi se {to brè i jednostavnije do{lo do rje{enja. Ta

pojednostavljenja i aproksimacije u principuudaljavaju od ta~nog rje{enja s jedne strane, a sdruge strane, olak{avaju rje{enje datog problema.

1. INTRODUCTIONPhenomena of theoretical mechanics, which arepresented in engineer practice, are solved by usingforms, which these phenomena treat with prejudicedconditions. For easier solution of problems that areinduced, the definite simplifications andapproximations were used. These simplifications andapproximations remove from correctly solutions on

the one hand, but make easier solving of inducedproblems on the other hand.

- 93 -


2/12


Kolika su ta odstupanja i da li se mogu prihvatitiprikazuje ovaj rad u kojem se analizira jedan odfenomena teorijske mehanike udar ili sudar, i to:vertikalni udar tijela o nepokretnu podlogu i kosiudar tijela o nepokretnu podlogu.Pojava pri kojoj u beskona~no malom intervalu

vremena, uslijed trenutnog dejstva sila, brzineta~aka tijela dobivaju kona~ne promjene, naziva seudar, odnosno sudar, ako su u pitanju dvamaterijalna tijela. Udar je vrlo sloèna pojava inemogu}e ga je definisati u potpunosti bezuvo|enja odre|enih hipoteza o strukturi tijela.Trenutne sile koje dejstvuju u toku udara, djeluju uvrlo kratkim vremenskim intervalima i dostiù vrlovelike vrijednosti. Ove sile se nazivaju udarnim ilitrenutnim silama. U samom procesu udara, udarnasila raste od nule do neke maksimalne vrijednosti,a zatim opada i postaje jednaka nuli u trenutku

prestanka kontakta. Zato je pojava udaraneposredno vezana sa deformacijama tijela u okolinita~ke dodira, tako da se ovdje moraju uvaìti ielasti~na svojstva tijela, {to odudara od osnovnepostavke da su tijela koja se posmatraju kruta.

The magnitude of this digression and itsacceptance are presented in this work, in whichone of the theoretical mechanics phenomenon blow or collision is analyzed (central and obliquecollision of the bead to fixed basis).The phenomenon because of immediately strength

activity, in infinitely small interval of time, velocitiesof two material bodies get definite changes iscalled collision. The collision is very composedphenomenon and it is impossible to completedefine without using hypothesis of body structure.The immediately forces which work upon throughoutthe collision in small interval of time have verylarge values. These forces are called strike orimmediate forces. In strike process, strike forcesgrows from zero to some maximal value, and at themoment when the contact is finished decreases tozero. The collision phenomenon is connected to

body deformation in the area of contact point, sothe elasticity properties of the body has to betaken into consideration. It means that bodies arenot rigid.

2. VERTIKALNI CENTRALNI UDARDVA TIJELA2.1. Opis problemaProblem koji se èli ovdje prezentirati sastoji se utome, da je potrebno izmjeriti odskok koji kuglicaodgovaraju~eg promjera, pu{tena slobodnim padomsa odgovaraju}e visine, postiè na odgovaraju}emmaterijalu. Ovdje se radi o tzv. centralnom(upravnom) udaru, s obzirom da se teì{ta tijelanalaze na vertikalnoj osi, a tako|er ulazna brzina ibrzina nakon udara su kolinearne, ali ne i jednake.Upravo odnos intenziteta brzine tijela na kraju udarai intenziteta njegove brzine neposredno prije udara,pri pravom udaru o nepomi~nu podlogu naziva se

koeficijentom restitucije pri udaru, a koji se moèpredstaviti obrascem:

v

vk

= .... (1)

Na osnovu zakona o promjeni kineti~ke energijemoè se na}i brzina kojom kuglica udari opodlogu, kao i brzina kuglice nakon udara:

1gh2v = , 2gh2v = , ... (2)

gdje je: v- brzina kuglice pri udaru o podloguv - brzina kuglice poslije udara o podlogu

2. VERTICAL (CENTRAL) COLLISIONOF TWO BODIES2.1 Problem descriptionIn the problem that is presented, it is essential tomeasure the bounce of the bead withcorresponding diameter, after free fail fromcorresponding height, to corresponding material.The position of gravity center of bodies is on thevertical axis, input and output velocities arecollinear but not equal. This phenomenon is calledcentral (vertical) collision. The ratio of velocityintensities before and after the vertical collision ofbodies to the fixed basis is called the collisionrestitution coefficient, and it would be denoted as:

v

vk

= ...(1)

The velocities of bead, before and after collision,are deduced from the act of kinetic energyvariation:

1gh2v = . 2gh2v = ...(2)

Where are: v velocity of bead during collision tobasis

v - velocity of bead after collision tobasis

- 94 -


3/12


g ubrzanje zemljine teèh1 visina sa koje se pu{ta kuglicah2 visina odskoka kuglice

Dakle, odnos ovih brzina predstavlja koeficijentrestitucije:

1

2

h

h

v

vk =

= . ... (3)

Vrijednost koeficijenta restitucije kre}e se izme|u 0i 1 koji zapravo predstavljaju grani~ne situacijepotpuno plasti~nog udara (k=0) i potpunoelasti~nog udara (k=1). Upravo ovaj koeficijentrestitucije, koji je poznat za odnos materijala koji sekoristi u ovom eksperimentu, olak{ava uspostavljanjeodnosa izme|u ulaznih i izlaznih veli~ina ovog

eksperimenta. Taj odnos moè se definisati kakoslijedi:

.... (4)12

2 hkh =

Problem se dakle sastoji u definisanju matemati~kogmodela (jedna~ine) kojim }e se adekvatno opisatiuticaj visine sa koje pada kuglica i promjerakuglice (kao izabranih ulaznih veli~ina), na visinuodskoka kuglice nakon udara o podlogu (izlaznaveli~ina).

g gravity accelerationh1 releasing height of beadh2 rebounce height of bead

So, the ratio of these velocities is coefficient ofrestitution:

1

2

h

h

v

vk =

=

...(3)

The magnitude of coefficient of restitution isbetween 0 and 1 which are extreme situations oftotal elastic collision (k=0) and plastic collision(k=1). Exactly this coefficient of restitution, which isknown for used materials ratio in this experiment,relieves establishing of relation between input andoutput values of this experiment. This ratio is

defined as follows:

h ...(4)12

2 hk =

The problem consists of adequate mathematicalmodel definition (equation) as adequate descriptionof influence releasing height of bead and beaddiameter (as chosen input values) relation torebound height of bead after blow to basis (outputvalue).

2.2. Planiranje eksperimentaKorak koji analogijom prethodi procesu izvo|enjaeksperimenta jeste izbor eksperimentalnog modelapo kojem }e se eksperiment izvesti i rezultatimatematski obraditi. Eksperimentom se variraju dvafaktora:h1 visina sa koje se pu{ta kuglica idpromjer kuglice. Ostali uticajni parametri kao {to sunpr. materijali kuglica i podloge drè se nakonstantnom nivou. U definisanju funkcije oblikah2= f(d,h1) polazi se od dvofaktornog potpunog

ortogonalnog plana prvog reda tipa N = 2k saponavljanjem eksperimenta u svakoj ta~ki modela. Utabeli 1 prikazane su odabrane prirodne ikorespondentne kodirane vrijednosti faktora.

2.2 Experimental designAnalogous step before the experiment performsprocess is choosing of experimental model forexperiment performing and mathematical treating.Two factors are varied in this experiment:: h1 releasing height of bead, and d bead diameter.Other influence parameters as materials of beadsand basis are constants. Two-factor completeorthogonal first order plan N=2k with replication inall experimental points is used for function form

h2=f(d,h1) defining. The natural and corespondentcoded values of factors are shown in Table 1.

Tabela 1. Nivoi faktora modelaTable 1. Level of the factors

FAKTORFACTOR

Donji nivoLow level

Gornji nivoHigh level

Interval varijacijeInterval of variation

d, mm 6 16Promjer kugliceBead diameter x1 -1 +1

5

h1, mm 300 900Visina slobodnog padaFall height x2 -1 +1

300

- 95 -


4/12


2.3. Izvo|enje eksperimentaNa slici 1 prikazan je {ematski postupak izvo|enjaeksperimenta sa karakteristi~nim veli~inama.

2.3 Experimental workThe schematic method of experiment perform withcharacteristic values is shown at Figure 1.

d(x)

900vo = 0

800

700

600

h1(x2)500

400

h2(y)300

V'200

V

Slika 1. Vertikalni udar tijela o nepokretnu podloguFigure 1. Vertical collision of the body to fixed basis

Materijal svih kuglica je ~elik, a raspolo`ivi pre~nicikuglica su 6 i16. Materijal podloge je tako|er~elik. Prema plan-matrici eksperimenta, odabere sekuglica odgovaraju}eg pre~nika i pusti da slobodnopadne sa njoj pripadaju}e visine na ~eli~nupodlogu. Kuglica nakon udara o podlogu odsko~ina odgovaraju}u visinu, a vrijednosti dobivenenakon dva ponovljena eksperimenta u svakoj ta~kiplana predstavljaju rezultate mjerenja. Za slu~ajdvofaktornog eksperimenta sa dva ponavljanja usvakoj ta~ki eksperimenta polazni regresioni modelje:

, ... (5)22110 xbxbby ++=

pri ~emu su jedna~ine transformacije:

i

i0ii

w

XXx

= , ... (6)

gdje je: xi kodirana vrijednost faktora,Xi prirodna vrijednost faktora,Xoi osnovni nivo iwi interval varijacije.

U tabeli 2 prikazana je plan-matrica eksperimentakao i rezultati mjerenja.

Materials of beads are steel material, and availablebead diameters are 6 and 16. The basismaterial is steel too. According to the plan-matrix,chosen bead with adequate diameter relieves fromadequate height to steel basis. The bead reboundsto the appropriate height from basis, and after tworeplications of an experiment in all experimentalplan-matrix points obtained as experimental values.For the case of two-factor experiment with tworeplications in all experiment points the initialregression model is:

, ...(5)22110 xbxbby ++=where the transformation equation is:

i

i0ii

w

XXx

= , ...(6)

where are: xi coded value of factor,Xi natural value of factor,Xoi fundamental level, andwi interval of variation.

The plan matrix of an experiment and measuremetresults are shown in Table 2.

- 96 -


5/12


Tabela 2. Plan matrica eksperimenta i rezultati mjerenjaTable 2. Plan-matrix and results of investigation

Plan-matricaPlan-matrix

Rezultati mjerenjaExperimental results

Modelska vrijednostModels valueRedni broj

No. exp.x0 x1 x2 y1 y2 y y

1 1 -1 -1 95 100 97,5 952 1 +1 -1 90 95 92,5 953 1 -1 +1 275 280 277,5 2754 1 +1 +1 270 275 272,5 275

2.4. Analiza rezultataVe} je re~eno da je teoretska postavka problemaiskazana jedna~inom (4) iz koje se vidi linearnaveza izme|u vrijednosti odskokah2 i po~etne visinepada h1. Zna~i, na veli~inu odskoka kuglice uti~upo~etna visina pada kuglice, koeficijent restitucijek

(koji je za ~elik po ~elikuk=5/9), odnosno materijalkuglice i podloge, dok veli~ina tijela nema uticaja.To je upravo i razlog {to je za izvo|enjeeksperimenta upotrijebljen regresioni model prvogreda. Analiza signifikantnosti parametara modela (5)je pokazala gore navedenu tvrdnju, tj. veli~ina,odnosno masa kuglice, bar u odabranom intervaluvariranja, ne uti~e zna~ajno na veli~inu odskokakuglice, tako da se dobije regresioni model:

, .... (7)1x90185y +=

odnosno prelaskom na prirodne koordinate:

, .... (8)12 h3,05h +=

Analiza adekvatnosti modela (7) je pokazala da jeisti adekvatan, tj. da se modelom (7) odnosno (8)mo`e adekvatno opisati zavisnost veli~ine odskokakuglice od vrijednosti po~etne visine pada kuglice.Osim toga, dobivena je vrlo velika vrijednostkoeficijenta korelacije R=0,99, a isto tako i vrlomala vrijednost standardne gre{ke procjene za

veli~inu odskoka kuglice =3,5 mm. Uporedbateoretskih vrijednosti i modelskih rezultata za trivrijednosti po~etne visine h

2hs

1=300, 600 i 900 mm,prikazana je u tabeli 3.

2.4. Analysis of the resultsAs it is mentioned the theoretical assumption isdeclared by equation (4) which shows linearrelation between rebound value h2 and releaseheighth1. It means to the bead rebound magnituderelease height, coefficient of restitutionk (which is

for steel/steelk=5/9) influence, respectively thematerial of bead and basis, since the magnitude ofthe body has no influence. It is the reason of firstorder regression model using for experimentperforming. Significance analysis of model (5)parameters confirms aforesaid contention, it meansthe bead mass, at chosen interval of variation, hasno significance influence on bead reboundmagnitude, so the regression model is:

, ...(7)1x90185y +=

respectively teasing to the natural co-ordinates:

, ...(8)12 h3,05h +=

Model adequacy analysis (7) showed that themodel is adequate, it means the relationshipbetween the magnitude of bead rebound and thismodel can adequately illustrate release height ofthe bead. Furthermore, the great value ofcorrelation coefficient (R=0,99), so as very smallvalue standard error for the bead rebound estimate

( =3,5 mm) are obtained. Comparison oftheoretical values and model results for three valuesof release heighth

2hs

1=300, 600 and 900 mm, areshown in Table 3.

Tabela 3. Uporedba teoretskih vrijednosti i modelskih rezultataTable 3. Comparison of theoretical and experimental results

Odskok, Rebound,h2, mmPo~etna visina pada,Release height,

h1, mm

Teorijska vrijednost,Theoretical value,

Izraz, Expression (4)

Modelska vrijednost,Models value,

Izraz, Expression (8)

Odstupanje,Deviation,

%

300 92,59 95 2,54600 185,185 185 0,1900 277,778 275 1,0

- 97 -


6/12


3. KOSI UDAR DVA TIJELA3.1. Opis problemaPotrebno je ispitati domet ~eli~ne kuglice koja vr{ikosi udar o ~eli~nu podlogu i odska~e na duìnuD, slika 2. Matemati~ki zakon kretanja kuglice jepoznat, teoretski izvedena to je funkcija drugogreda - parabola. Ovaj zakon kretanja odre|ujeglavne faktore (nezavisno promjenljive): po~etnabrzina v0 i ugao odskoka .

Matemati~ki zakon kretanja kuglice nakon odskoka upravcu horizontalne ose glasi:

g

2sinvD

20

= , .... (9)

Po~etna brzina vo je brzina kuglice poslije udara onepokretnu podlogu, pod uglom u odnosu nanormalu. Ova brzina odre|uje se pomo}u brzine v1koja predstavlja brzinu kojom kuglica udara opodlogu pod uglom u odnosu na normalu.Odnos tangensa navedenih uglova predstavljakoeficijent udara,k=tg.

Brzina nakon udara vopo intenzitetu iznosi:

222

10 cosksinvv += .... (10)

Brzina v1kojom kuglica udara o podlogu odre|ujese iz sljede}e jedna~ine:

... (11)

RFI

cosGNym

FsinGxm

trc

tr

=

=

=

&&

&&

&&

gdje je :m- masa kuglice,

yx &&&& , - ubrzanje u pravcu x i y ose,

&&

- ugaono ubrzanje,Ftr - sila trenja klizanja,G teìna kuglice,

g- ubrzanje zemljine teè,N- normalna sila,R pre~nik kuglice i

IC=2

5

2Rm - moment inercije za kuglicu

Za pretpostavku da se kuglica kotrlja bez klizanjaje:

, ... (12)

&&&&

&&&

=

==

Rx

Rxv

c

c1

3. TWO BODIES OBLIQUE COLLISION3.1. Problem descriptionIt is necessary to ascertain carry of steel beadprofessing the oblique collision over steel basis andrebounding to the length D, Figure 2. Themathematical law of bead motion is known, it istheoreticaly the second order function parable.This law of this motion defines main factors(independent factors): the elementary velocity v0and the rebound angle .The mathematical act of bead movement after itsrebounding in horizontal axis direct is:

g

2sinvD

20

= , ...(9)

The initial velocityvo is the velocity after impact tofixed basis, with angle in relation to normal axis.This velocity is defined with velocity v1, which isimpact velocity of bead with angle in relation tonormal axis. The ratio of tangent values of theseangles is called coefficient of restitution,k= tg .

The velocity after the impact vo as values is:

222

10 cosksinv +=v ...(10)

The velocity v1 of the bead before its impact tofixed basis is:

...(11)

RFI

cosGNym

FsinGxm

trc

tr

=

=

=

&&

&&

&&

where are:m bead mass

- the velocity in direction of x i yyx &&&& ,

axis

&&

- angle accelerationFtr friction slide forceG bead weight

g- gravity accelerationN normal forceR bead diameter

IC =2

5

2Rm - moment of inertia

For the assumption of bead bowling without sliding:

, ...(12)

&&&&

&&&

=

==

Rx

Rxv

c

c1

- 98 -


7/12


Iz jedna~ina (11) i (12) i uvr{tavajui vrijednost zaIc slijedi:

ctr xm5

2F &&= , .... (13)

Uvr{tavaju}i prvu jedna~inu iz jedna~ina (11) slijedejedna~ine za ubrzanje, brzinu i putanju kuglice upravcu xc ose:

2c

c

c

tsing14

5x

tsing7

5x

sing7

5x

=

=

=

&

&&

... (14)

uz uslove za t=0 slijedi da je =0 , ixcx& c= 0.

Poznavaju}i du`inu trasexc = 0,3 m i za uglove=15 do 60 iz jedna~ina (14) odre|uje sevrijeme t i brzina kojom kuglica udara o podlogu

= vcx& 1. Na osnovu gore navedenih jedna~ina i iz

njih dobijenih podataka slijede ra~unske vrijednostidoskoka kuglice za razli~ite uglove nagiba strmeravni, koje su prikazane u tabeli 4.

From equations (11) and (12) and the equation forIc follows:

ctr xm5

2F &&= , ...(13)

After the first equation of (11) follows equations foracceleration, velocity and the bead path in directionof xc axis:

2c

c

c

tsing14

5x

tsing7

5x

sing7

5x

=

=

=

&

&&

...(14)

with conditions for t =0 follows =0 , and xcx& c =

0.For the length of the path xc = 0,3 m and forangels = 15 to 60 from equations (14), the

time tand the impact velocity = vcx& 1 are known.

After precedent equations and its data, differentvalues of carries for different values of precipitateflat angels , are shown in Table 4.

Tabela 4. Vrijednosti doskoka Du zavisnosti od ugla nagiba strme ravniTable 4. Values of carries Dsubordinates of precipitate flat angles

, , , , v1, m/s v0, m/s D, mm

30 60 72,21 17,78 1,44 1,31 10345 45 60,94 29,05 1,72 1,39 16852,5 37,5 54,09 39,9 1,82 1,37 18860 30 46,1 43,89 1,9 1,32 17875 15 25,75 64,25 2,01 1,19 114

Teorijski matemati~ki model va`i u odgovaraju}imidealiziranim uslovima na primjer za kosi djelimi~noelasti~ni udar tijela (0


8/12


3.2. Planiranje eksperimentaPolazi se od modela drugog reda:

,... (15)2iiijiijii0 xbxxbxbby +++=

pri ~emu su kao faktori modela uzeti promjerkuglice di ugao nagiba strme ravni.Odabran je centralni kompozicioni ortogonalni plan,a nivoi faktora u prirodnim i kodiranim vrijednostimaprikazani su u tabeli 5.

3.2. Experimental designPreliminary model is second order model:

...(15)2iiijiijii0 xbxxbxbby +++=

There are as factors modeled the diameter of beadd and angle of precipitate flat . Chosen centralcomposition orthogonal plan, and levels of factorsin natural and coded values are reported in Table5.

Tabela 5. Nivoi faktora modelaTable 5. Level of the factors

FAKTORFACTOR

Donji nivoLow level

Osnovni nivoBasic level

Gornji nivoHigh level

Interval varijacijeInterval of variation

d, mm 6 11 16Promjer kugliceBead diameter x1 -1 0 +1

5

, 30 52,5 75Ugao nagiba strme ravniPrecitipate flat angle x2 -1 0 +1

22,5

Ostali uticajni faktori se drè na istom nivou naprimjer, duìna strme ravni, povr{ina po kojoj sekotrlja kuglica i sl. Prema tome, uslovi u kojima jeizveden eksperiment odredjuju granice validnostieksperimentalnih rezultata, tj. rezultati vrijede samoza odre|enu duìnu strme ravni, odre|enuhrapavost povr{ine, osobine podloge o koju kuglicaudara.

The other instance factors are held on the samelevel for example: length of the precipitate flat,bowling surface etc. Accordingly, conditions inwhich the experiment is performed designate limitsof significance of experimental results; it is validonly for definite length of precipitate flat anddefinite roughness and properties of impact basis.

3.3. Izvo|enje eksperimentaKako je ve} navedeno, za eksperiment je potrebnastrma ravan kojoj se mijenja ugao nagiba pri~emu duìna trase po kojoj se kuglica kotrlja ostajeista, slika 2. Uvode se pretpostavke: kuglice sesmatraju homogenim sferama, u po~etnom trenutkukuglice miruju, kuglice se kotrljaju bez klizanja, aotpor kotrljanja se zanemaruje.Eksperiment se izvodi tako {to se kuglice razli~itogpromjera pu{taju niz strmu ravan pri ~emu se ugaonagiba strme ravni tako|er mijenja prema planueksperimenta prikazanog u tabeli 6. Kuglica udara opodlogu i odska~e, te na odre|enoj udaljenostiDponovo udara o podlogu. Da bi se mogao mjeritidomet kuglice na podlogu je postavljen indigo-papirkoji ostavlja trag na podlozi nakon udara kuglice. Sciljem prora~una gre{ke eksperimenta vr{ena suponovljena mjerenja u svakoj ta~ki eksperimentalnogplana. Broj eksperimentalnih ta~aka je N=2k+2k+n0= 22+22+1=9.

3.3. Experimental workAs was already quoted for experiment isnecessaries the precipitate flat with changeableincline angle where the length of bowling pathremains unchangeable. The suppositions areintroduced; beads are homogeneous spheres, instarting moment the beads conciliate, then bowlswithout sliding, and bowling resistance is ignored.The experiment is performed so that the differentdiameter of beads are set free downhill and theincline angle is changed according to experimentalplan which is shown in Table 6. The bead blow tothe basis and bounds then on the definite distanceD blows to the basis again. The range of the beadon the basis is measured using the indigo-paperthat makes the trail on the basis after the collision.The measurements were performed with severalreplications in every point of experimental plan withintention to estimate experimental errors. Thenumber of experimental points is: N=2K+2K+n0 =22+22+1=9.

x

- 100 -


9/12


Slika 2. Kosi udar dva tijelaFigure 2. Two bodies oblique collision

Tabela 6. Plan matrica eksperimenta i rezultati mjerenjaTable 6. Plan-matrix and results of investigation

Plan matrica,Plan-matrix

Eksperimantalni rezultatiExperimantal results

Modelskirezultati,Modelsresults

Red.broj,No.exp

x0 x1 x2 x12 x22 x1x2 x1 x2 y1 y2 y y

1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1/3 1/3 168 172 170 173,72 +1 -1 +1 +1 +1 -1 1/3 1/3 117 127 122 127,23 +1 +1 -1 +1 +1 -1 1/3 1/3 106 114 110 106,88

4 +1 -1 -1 +1 +1 +1 1/3 1/3 90 102 96 94,385 +1 +1 0 +1 0 0 1/3 -2/3 188 200 194 194,56 +1 -1 0 +1 0 0 1/3 -2/3 165 170 167,5 146,047 +1 0 +1 0 +1 0 -2/3 1/3 160 164 162 153,28 +1 0 -1 0 +1 0 -2/3 1/3 102 95 98,5 103,389 +1 0 0 0 0 0 -2/3 -2/3 170 185 177,5 181,5

3.4. Analiza rezultataRegresionom obradom podataka dobijen je modeldrugog reda:

3.4. Analysis resultsThe second order model is obtained by regressionanalysis:

2122

2121 XX075,0X105,0X11,0X32,11X403,1682,168y +++= , ...(16)

gdje suX1 iX2prirodne vrijednosti faktora modela.

Analiza signifikantnosti je pokazala da su obafaktora signifikantna, tj da zna~ajno uti~u na veli~inudoskoka. Tako|er i analiza adekvatnosti je pokazalada model (16) adekvatno opisuje ispitivani proces,

a koeficijent korelacije ima vrlo visoku vrijednostR=0,99.

where are: X1 andX2 natural values of modelfactors, the bead diameter and the incline angle.

Significance analysis was shown that booths factorsare significant, significaty instance to greatness ofrange. Also and adequacy analysis was showen

that model (16) corectly describe researcedprocess, and coefficient of correlation (multipleregression) has a very high value R=0,99.

- 101 -


10/12


S druge strane, vrijednost standardne gre{ke procjeneza doskok kuglice je vrlo mala sD=7,8 mm.

U tabeli 7 prikazani su rezultati dobijeni ra~unskimputem prema teorijskim izrazima (9) do (14) i onidobijeni iz regresionog modela (16) za razli~ite

promjere kuglice i uglove nagiba strme ravni.

Iz odnosa se vidi da vrijednosti dobivene

preko regresionog modela i vrijednosti dobijenera~unskim putem odstupaju u granicama od oko10%. Ova odstupanja se mogu objasniti gre{komeksperimenta s jedne strane i uticaja drugih,eksperimentom neobuhva}enih faktora (trenje i sl.),s druge strane. Tako|er se s razlogom moèposumnjati na veliki broj pojednostavljenja iidealizacija koje su uzete pri teoretskim postavkamau izrazima (9) do (14), {to moè rezultirati

navedenom razlikom rezultata.

Dy /

On the oder hand, the value of standard error isvery smallsD= 7,8 mm.

Estimated results according to theoretical forms (9)to (14) and results got from regression model (16)for different beads and different angles are shown

in Table 7.

Relation demonstrates that values from

regression model and estimate values hasdeviations at limits 10%. These deviations havebeen able to explain through the experimentalerrors on the one hand and by other not includedfactors on the second hand. Also one of reasonscan be great numbers of approximation andidealization took in theoretical forms (9) to (14), thatcan generate named deviations of results.

Dy /

Tabela 7. Uporedba teoretskih vrijednosti i modelskih rezultataTable 7. Comparison of theoretical and experimental values

Promjer,Diameter,d, mm

, y, mm y, mm D, mm Dy /

75 122 127,2 114 1,11552,5 167,5 164,046 188 0,876

30 96 84,38 103 0,9175 162 153,21 114 1,3452,5 177,5 181,5 188 0,96511

30 98,5 103,38 103 1,00375 170 173,7 114 1,5252,5 194 193,54 188 1,02916

30 110 106,88 103 1,037

U tabeli 7 se tako|er uo~avaju dvije vrijednosti koje

ekstremno odstupaju odnosom i to za

kuglice 11 i 16 a za ugao =75. Ovoodstupanje se moè objasniti time {to se uteorijskoj mehanici pretpostavlja kotrljanje bez

klizanja. Ako se pretpostavi da kuglica kliè nizstrmu ravan slijedi:

Dy /

m ... (17) FsinGxc = &&

cosGF = ... (18)

Uz = 0,15 za ~elik/~elik dobije se:

... (19)

( )

( )

( ) 2/tcossingx

tcossingx

cossingx

2c

c

c

=

=

=

&

&&

uz uslove t=0, , x0=cx& c=0.

Two values deviates with extremely ratio

(beads 11 and 16 for the angle =75) areshown in table 7. These deviations can beexplained with supposition that bead rolls withoutsliding. If the assumption is that the bead slides

downhill, results are:

Dy /

...(17) FsinGxm c = &&

...(18) cosGF =

For=0,15 and steel/steel:

...(19)

( )

( )

( ) 2/tcossingx

tcossingx

cossingx

2c

c

c

=

=

=

&

&&

and conditions t=0, , x0=cx& c=0 and 1vxc =&

- 102 -


11/12


Iz jedna~ine (19) slijede vrijednosti za t, xc=v1, pavrijednost izra~unatog doskoka iznosiD=153 mm, tj.

za =75 i 11 =153,21 , D=153 i

=1,001 a za =75 i 16 =173,7 ,

D=153 i =1,13.

y

Dy / y

Dy /

Zna~i sada se dobije zadovoljavaju}i odnos ,te se moè re}i da se za uglove ve}e od 60, zaslu~aj kotrljanja ~elik/~elik, ta~niji rezultati dobiju akose uzme da kuglica kliè po podlozi, a za ugloveispod 60 slu~aj kotrljanja bez klizanja.

Dy /

Values for t follows from form (19), xc=v1, socalculated value for range is D=153 mm, it means

for =75 and 11, =153,21, D=153, and

=1,001. Also, for =75, and 16,

=173,7, D=153 and =1,13.

y

D/

Dy /

y y

The ratio is satisfactory. It means for anglesover 60 (rolling steel/steel) the bead slides alongthe slope plan and the result is correctly. In caseof angles under 60 the bead rolls without sliding.

Dy /

4. ZAKLJU^NA RAZMATRANJANa osnovu provedenih eksperimentalnih ispitivanja,te na osnovu analize rezultata mogu se donijeti

sljede}i osnovni zaklju~ci:

Primjenom planiranog eksperimenta se moguadekvatno opisati i fenomeni teorijske mehanike.U ovom slu~aju to su fenomeni vertikalnog ikosog udara tijela o nepokretnu podlogu,

U slu~aju vertikalnog udara vrijednosti odskokadobivene na osnovu eksperimentalnog modela:

h2 = 5+0,3h1 se vrlo malo razlikuju odteoretskih. Grafi~ka interpretacija ovih rezultataprikazana je na slici 3.

4. CONCLUSIONSBased on presented experimental research and

results ana ysis, following can be concluded:l

Theoretical mechanics phenomena can be

adequately presented by application ofexperiment design.

In the case of vertical blow the differencebetween theoretical and experimental values isvery small. The experimental model ispresented with the form as follows:h2=5+0,3h1. The graphic interpretation ispresented in Figure 3.

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

250 350 450 550 650 750 850 950h1, m m

h2,mm

Teorijska

vrijednost,h2,mm

Modelska

vrijednost,h2,mm

Slika 3. Uporedba teoretskih i eksperimentalnih rezultata za vertkalni odskokFigure 3. Comparison of theoretical and experimental results for vertical collision

U slu~aju kosog udara vrijednosti odskoka dobivenena osnovu eksperimentalnog modela: D= -168,682+ 1,403 d+ 11,32 0,11 d2 0,105 2+0,075 d se zna~ajnije razlikuju od teoretskih. Tose moè objasniti gre{kom eksperimenta ali i

evidentnim aproksimacijama kod teoretskih izraza,kojima se ne uzimaju u obzir razli~iti otpori, zatimu~e{}e trenja klizanja i kotrljanja itd.

In the case of oblique collision the differencebetween theoretical and experimental values issignificantly. The experimental model is presentedthrough the form: D=-168,682+ 1,403X1+11,32X20,11X1

20,105X22+0,075X1X2.That can be explained

with experimental errors and approximations bytheoretical forms.

- 103 -


12/12


100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

30 40 50 60 70 80 ,o

D,mm

Teorijska

vrijednost,D,mm

Modelska

vrijednost,D,mm

Slika 4. Uporedba teoretskih i eksperimentalnih rezultata za kosi doskokFigure 4. Comparison of theoretical and eksperimantal results for oblique collision

Ovo je naro~ito izraèno pri uglovima nagibastrme ravni>60, gdje o~igledno postoji trenjeklizanja, a ne trenje kotrljanja. Na slici 4prikazana je uporedba teoretskih i modelskihvrijednosti doskoka u zavisnosti od ugla nagibastrme ravni, a za tri razli~ita promjera kuglica.

Navedeno ispitivanje pokazuje da je za

konkretne tehni~ke probleme koji se modelirajuproblemima teorijske mehanike potrebno izvr{iti iadekvatno eksperimentalno ispitivanje u kojusvrhu moè efikasno posluìti metodologijaplaniranog eksperimenta.

Different resistance and frictions (sliding and rolling)are nit included in theoretical forms. This is thespecial expressive by incline angles over 60where, obviously, exists sliding friction. Thecomparison of theoretical and model valuesdepends of incline angle of slope plane for threedifferent bead diameters. Comparison of theoreticaland experimental results is showed in Figure 4.

Aforesaid experimental research showed that forconcrete technical problems, which aremodeled by theoretical mechanics phenomena,are necessary to realize adequacy experimentalresearch. Methods of an experimental designcan be used for effective experimentalresearch.

5. LITERATURA REFERENCES[1] J. Stani}: Metod inènjerskih mjerenja, Ma{inskifakultet u Beogradu, Beograd, 1990.

[2] M.I. Batj, G.J. D@andzelize, A.S. Kelzon: Re{enizadaci iz Teorijske mehanike sa izvodima iz teorije Dinamika II, Ma{inski fakultet u Beogradu,Beograd, 1990.

[3] D. Vukojevi}: Dinamika, Ma{inski fakultet uZenici, Zenica, 1990.

[4] S. Ekinovi}: Metode statisti~ke analize uMICROSOFT-EXCELU, Ma{inski fakultet u Zenici,Zenica,1997.

[5] M.R. Spiegel: Theory and Problems ofTheoretical Mechanics, McGraw-Hill Book Co., NewYork, 1967.

- 104 -

Documents

matematicko modeliranje fenomena