Matematika 2 - vutbr.cz

Matematika 2

Prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc.RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

RNDr. Michal Novák, Ph.D.

ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 2 1

Obsah

1 Funkce více proměnných 31.1 Definice a základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Bodové množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Limita, spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Parciální derivace, derivace ve směru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Diferenciál funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Některé aplikace pro řešení rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Obyčejné diferenciální rovnice 192.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Lineární diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice skonstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Nalezení obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice 252.3 Systémy diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Poznámka o stabilitě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Diferenční rovnice 333.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . 35

4 Funkce komplexní proměnné 374.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Limita, spojitost a derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Elementární funkce komplexní proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Integrál funkce komplexní proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Řady v komplexním oboru a jejich využití při integrování . . . . . . . . . . 47

5 Integrální transformace 515.1 Matematický aparát pro signály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.1 Diracova zobecněná funkce δ(t), zobecněná derivace . . . . . . . . . 515.1.2 Periodické a harmonické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.3 Fourierovy trigonometrické řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.4 Fourierův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Fourierova transfomace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.1 Užití Fourierovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.2 Slovník Fourierovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.1 Zpětná Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.2 Užití Laplaceovy transformace k řešení rovnic . . . . . . . . . . . . 805.3.3 Slovník Laplaceovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

5.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Z transformace 896.1 Souvislost Z a Laplaceovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2 Zpětná Z transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1 Předmět k racionální funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Řešení diferenčních a rekurentních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3.1 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7 Signály 997.1 Pojem signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1.1 Zavedení pojmu a klasifikace signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2 Signály se spojitým časem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.3 Periodické signály, harmonické signály a jejich spektra . . . . . . . . . . . . 1037.4 Aperiodické signály, spektrum signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.5 Diskretní signály. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8 Systémy 1198.1 Zavedení pojmu a klasifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.2 Matematický model systému se spojitým časem . . . . . . . . . . . . . . . 1268.3 Řešení vstupně-výstupní rovnice Laplaceovou transformací . . . . . . . . . 1268.4 Impulsní a frekvenční charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.5 Vazby mezi systémy — sériové, paralelní spojení systémů, zpětná vazba . . 131

8.5.1 Sériové spojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.5.2 Paralelní spojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.5.3 Zpětnovazební (antiparalelní) spojení . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.6 Matematický model systému se spojitým časem . . . . . . . . . . . . . . . 1368.7 Stabilita spojitých systémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.7.1 Hodnocení stability systému podle vnějšího projevu . . . . . . . . . 1458.7.2 Stabilita ve smyslu Ljapunova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Kapitola 1

Funkce více proměnných

V této kapitole se stručně seznámíme se základními pojmy, které se týkají funkcí víceproměnných a jsou nezbytné pro výklad dalších tematických celků probíraných v rámcipředmětu AMA 2. To znamená, že i náplň kapitoly je tak poznamenána a neobsahujeproto i některé standardně probírané pasáže a řešení některých typických příkladů. Dalšímomezením je zaměření se zejména při geometrických interpretacích na funkce pouze dvouproměnných. Toto je motivováno zachováním názornosti, neboť při tomto omezení budounaše úvahy probíhat v trojrozměrném Euklidovském prostoru.

1.1 Definice a základní pojmy

Definice 1 Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení f množiny D(f)na množinu H(f), tj. f : D(f) → H(f), kde D(f) ⊆ Rn nazýváme definičním obo-rem a H(f) ⊂ R oborem hodnot funkce f . Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y =f(x1, x2, ..., xn) nebo zkráceně f(x1, ..., xn). V případě funkce dvou proměnných resp. tříproměnných obvykle preferujeme zápis z = f(x, y) resp. u = f(x, y, z).

Příklady takovýchto funkcí mohou být známé jednoduché vzorce. Objem V rotačníhoválce je funkcí poloměru R podstavy a výšky v, což zapíšeme

V = V (R, v) = π ·R2 · v.

Analogicky objem V komolého rotačního kužele je funkcí tří proměnných výšky v a polo-měrů R, r jeho spodní a horní podstavy, což zapíšeme

V = V (R, v, r) =π · v

3

(R2 +Rr + r2

).

Funkci dvou proměnných z = f(x, y) obvykle znázorňujeme pomocí grafu jako množinubodů [x, y, f(x, y)] v Euklidovském prostoru dimenze 3 (E3). Pro grafické znázornění vyu-žíváme často tzv. metodu rovinných řezů. Speciálním případem těchto křivek jsou vrstev-nice, což jsou průsečnice grafu funkce s rovinami typu z = z0. Interpretujeme-li zemskýpovrch lokálně jako funkci dvou proměnných, kdy dvojici čísel, chápaných jako zeměpisná

3


šířka a délka bodu zemského povrchu, přiřadíme jeho nadmořskou výšku, je takto zave-dená křivka vrstevnicí na mapě. Pro funkce n proměnných definujeme hladinu funkce y =f(x1, x2, ..., xn) na úrovni c ∈ R jako množinu bodů [x1, ..., xn] ∈ D(f)|f(x1, ..., xn) = c.V následujících obrazcích je pro výše uvedenou funkci objemu rotačního válce v závislostina poloměru podstavy R ∈ [0, 2] a výšky tělesa v ∈ [0, 2] znázorněn graf a vrstevnice:

Obr. 1.1.1: :Graf a vrstevnice funkce objemu rotačního válce v závislosti na poloměru avýšce.

Poznamenejme, že volba intervalů R ∈ [0, 2], v ∈ [0, 2] nezávisle proměnných byladána rozhodnutím autorů. Pokud není součástí zadání funkce stanovení definičního oboruD(f), např. u zmíněného příkladu je vhodné požadovat D(f) = [0,∞)× [0,∞) ve shoděs geometrickým významem proměnných R, v, má se za to, že jím je maximálně přípustnámnožina. Nalezení D(f) a vymezení oboru hodnot je H(f) a vrstevnic je typickým pří-kladem.

Dalším důležitým pojmem je zobrazení z Rn do Rm

Definice 2 Nechť je definnována m-tice fi funkcí n reálných proměnnýchyi = fi(x1, . . . , xn) pro i = 1, . . . ,m s definičním oborem D(F ) ⊆ Rn. Tuto m-tici nazveme zobrazením z Rn do Rm a funkce fi(X) nazveme jeho složkami a zapisujemeje

Y = (y1, . . . , ym) = F (X) = (f1(X), . . . , fm(X)) (1.1.1)

Množinu všech bodů Y ∈ Rm takových, že existuje bod X ∈ D(F ), pro který platí Y =F (X) nazveme oborem hodnot zobrazení F a zapisujeme jej H(F ) = Y ∈ Rm|∃X ∈D(F ) takové, že Y = F (X)

Je-li k = m, můžeme si takové zobrazení představit jako přemísťování bodů v k-rozměrném prostoru neboli jeho transformaci.

Matematika 2 5

Příklad 1 V matematice se často používá transformace do polárních souřadnic, která jedefinována vztahy:

x = ρ cosϕ

y = ρ sinϕ.

Pro bod (x, y) ∈ R2 roviny, veličina ρ =√x2 + y2 značí vzdálenost bodu (x, y) od počátku

- pólu a ϕ značí úhel - azimut, který svírá vektor s počátečním bodem v pólu a koncovýmbodem (x, y) (polohový vektor), který můžeme určit ze vztahu tgϕ = y/x.

Příklad 2 V třídimenzionálním prostoru se používají souřadnice

• cylindrické - válcové

x = ρ cosϕ

y = ρ sinϕ

z = z,

které se takto nazývají, neboť kvádru v proměnných ρ, ϕ, z odpovídá válec nebo jehočást v proměnných x, y , z.

• sférické - kulové

x = ρ cosϕ sinψ

y = ρ sinϕ sinψ

z = ρ cosψ,

které se takto nazývají, neboť kvádru v proměnných ρ, ϕ, ψ odpovídá koule nebo jejívýseč v proměnných x, y , z. Geometrický význam veličin je:

– ρ je vzdálenost bodu (x, y, z) od počátku

– ϕ je úhel, který svírá průmět polohového vektoru do půdorysny (rovina obsa-hující osy x, y) s kladným směrem osy x.

– ψ je úhel, který svírá polohový vektor s kladným směrem osy z

Pro funkce resp. zobrazení, které mají neprázdný průnik definičních oborů, zavádímeanalogicky jako u funkce jedné reálné proměnné algebraické operace, což jsou funkce de-finované na tomto průniku vztahy:

(f ± g)(X) = f(X)± g(X)), α f(X) = α · f(X), α ∈ R

(fg(X)) = f(X) · g(X),f

g(X) =

f(X)g(X)

, je-li g(X) 6= 0,

Při operaci skládání funkcí více proměnných resp. zobrazení je situace složitější. Situacipopíšeme pro zobrazení neboť funkce více proměnných je speciální případ.

Uvažujme dvě zobrazení Y = F (Z), Z = G(x) takové, že platí H(G) ⊆ D(f) potomzobrazení přiřazující každému X ∈ D(G) bod Y ∈ H(F ) předpisem Y = F (G(X))nazveme složeným zobrazením. Poznamenejme, že bod Z musí ležet současně v oboruhodnot zobrazení G, které nazýváme vnitřním, a v definičním oboru zobrazení F , kterénazýváme vnějším, to znamená, že počet složek vnitřního zobrazení musí být stejný jakodimenze definičního oboru vnějšího zobrazení.


1.2 Bodové množiny

Při studiu „lokálních“ vlastností funkcí více proměnných je vhodné zavést některé pojmypopisující vlastnosti podmnožin v Rn. Základním pojmem jevzdálenost dvou bodů :

v(X, Y ) = v([x1, ..., xn], [y1, ..., yn]) =√

(x1 − y1)2 + ..+ (xn − yn)2.

δ−okolím bodu X0 nazýváme množinu U(X0, δ) = X ∈ Rn|v(X,X0) < δ, případněredukovanýmδ-okolím bodu X0 nazýváme množinu U∗(X0, δ) = X ∈ Rn|0 < v(X,X0) <δ. Dále řekneme, že bod X0 je vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje δtakové,žeU(X0, δ) ⊂ A , dále jej nazveme hromadným bodem množiny A, jestliže v každém redu-kovaném δ-okolím bodu X0, existuje bod X1 takový, že X1 ∈ A, nazveme jej hraničnímbodem množiny A, jestliže v každém δ-okolím bodu X0, existují body X1, X2 takové,že X1 ∈ A a současně X2 /∈ A a konečně X0 nazveme bodem uzávěru A množiny A,jestliže pro každé δ-okolí bodu X0 platí, že U(X0, δ)∩A 6= ∅. Množinu A nazveme otevře-nou množinou, jestliže každý její bod je vnitřním bodem množiny, nazveme uzavřenou,jestliže A ⊆ A. Hranicí ∂A množiny A nazveme množinu všech jejích hraničních bodů.

1.3 Limita, spojitost

Při zavádění pojmů limity a spojitosti postupujeme analogicky jako u funkce jedné pro-měnné. Řekneme, že funkce f(X)má v bodě A, který je hromadným bodem D(f), limituL, jestliže

∀U(L) ∃U∗(A) : ( f(U∗(A)) ⊂ U(L) ),

tj. ke každému ε > 0, existuje δ > 0 takové, že pro každý bod X ∈ U∗(A, δ) platíf(X) ∈ U(L, ε), což zapisujeme lim

X→Af(X) = L.

Je vhodné si uvědomit, pro funkci více proměnných je limitou číslo a pro zobrazeníz Rn do Rm je limitou m-tice čísel. jako u funkce jedné proměnné, lze z definice limitypřímo dokázat mnohá tvrzení. Například f(X) má v bodě A nejvýše jednu limitu.

Pro algebraické operace funkcí platí následující rovnosti, přičemž z existence výrazůvpravo plyne existence výrazů vlevo:

limX→A

(f(X) + g(X)) = limX→A

f(X) + limX→A

g(X), (1.3.1)

limX→A

αf(X) = α limX→A

f(X), α ∈ R (1.3.2)

limX→A

(f(X) g(X)) = limX→A

f(X) limX→A

g(X), (1.3.3)

limX→A

f(X)g(X)

=limX→A

f(X)

limX→A

g(X), je-li lim

X→Ag(X) 6= 0 (1.3.4)

Řekneme, že funkce f(X) resp. zobrazení je spojité v bodě A, pro který A ∈ D(f), jestližemá v tomto bodě limitu a platí

limX→A

f(X) = f(A).

Matematika 2 7

Poznamenejme, že vzhledem existenci limit funkcí, které jsou výsledky s algebraickýmioperacemi s funkcemi majících limitu, platí také, že výsledekem algebraické operace sespojitými funkcemi je spojitá funkce. Pro složenou funkci resp. zobrazení platí:

Existuje-li kompozice F (G(X)), limX→A

G(X) = B a navíc je zobrazení F spojité v bodě

b, potom takélimX→A

F (G(X)) = F (B).

Tato věta spolu s předcházející poznámkou umožňuje tvrdit: elementární funkce jsouspojité tam kde jsou definované, přičemž za elementární funkce považujeme mocninoufunkci, funkce goniometrické, exponenciální, hyperbolické dále funkce k nim inverzní afunkce, které vznikly konečným počtem algebraických operací a operací skládání z těchtofunkcí. Podobně řekneme, že zobrazení je elementární, jsou-li elementární všechny jehosložky. Tato skutečnost je podstatná při stanovení postupu při výpočtu limity, kdynejdříve u „školních příkladů“ zkusíme vypočíst hodnotu zobrazení v bodě, v němžzjišťujeme limitu, a existuje-li tato funkční hodnota potom existuje i limita a jsou sirovny.

Příklad 3 Vypočtěte limitu zobrazení z R3 do R2:

lim(x,y,z)→(2,−3,1)

(√x3 + y2 − zx+ y ln z

, x+ y + z

)= (√

23 + (−3)2 − 12− 3 ln 1

, 2− 3 + 1

)= (2, 0)

Zobrazení má limitu mám limitu (je spojité), právě když mají limitu (jsou spojité)všechny složky tohoto zobrazení. Proto se v další zaměříme pouze na existenci limit funkcevíce proměnných.

V úvahách o existenci limit funkce více proměnných je vhodné užívat speciálníhopojmu limity funkce f(x) vzhledem k množině.

Definice 3 Řekneme, že funkce f(X)má v bodě A, který je hromadným bodem D(f),limitu L vzhledem k množině M , pro níž M ⊆ D(f) a navíc je bod A jejím hromadnýmbodem, jestliže

∀U(b) ∃U∗(A) : ( f(U∗(A) ∩M) ⊂ U(b) ),

tj. ke každému ε > 0, existuje δ > 0 tak, že pro každý bod X ∈ U∗(A, δ) ∩ M platíf(X) ∈ U(L, ε), což zapisujeme lim

X→AX∈M

f(X) = L.

Z existence limX→A

f(X) = L, plyne pro každou podmnožinu M ⊂ D(f), jejímž hromadným

bodem je bod A také existence

limX→AX∈M

f(X) = limX→A

f(X).

Speciální volbou množiny M = (x1(t), ..., xn(t))|t ∈ I, kde xi(t) jsou spojité funkce aexistuje t0 ∈ I tak, že platí A = (x1(t0), ..., xn(t0)]), je možné při výpočtu limity funkce


více proměnných vzhledem k množině M využít postupů výpočtu limit neurčitých výrazůpro funkci jedné proměnné. Platí:

limX→AX∈M

f(X) = limt→a

f(x1(t), ..., xn(t)).

Tato skutečnost se s výhodou použije při dokazování neexistence limity. Viz. následujícíukázka.

Příklad 4 Vypočtěte limitu lim(x,y)→(0,0)

2xyx2+y2 .

Vyšetříme všechny limity vzhledem k přímkám pk procházejícím počátkem y = kx.Potom platí

lim(x,y)→(0,0)

2xyx2 + y2

= lim(x,y)→[0,0](x,y)∈pk

2xyx2 + y2

= limx→0

xkx

x2 + k2x2=

2k1 + k2

. Protože hodnota limity v bodě [0, 0] vzhledem k přímce pk závisí na volbě k, tedy je prorůzná k odlišná, vyšetřovaná limita neexistuje.

Viz. následující obrázek

Obr. 1.3.2: :Graf uvedené funkce s průsečniceni s rovinami y = kx.

V uvedené ukázce je poměrně snadno ukázáno, že limita neexistuje. Pro opačný výsle-dek, že limita existuje, je třeba ukázat, že po všech křivkách má limita vzhledem k tétokřivce stejnou hodnotu. Ověřit tuto skutečnost pouze pro určitou třídu křivek (např.přímek) nestačí.

Obecně při výpočtu limity je nutné vycházet z definice limity a pracovat s okolími. Vpřípadě funkce dvou proměnných je možné okolí bodu [x0, y0] vhodně popsat pomocí tzv.polárních souřadnic ve tvaru

x = x0 + ρ cos ϕ, y = y0 + ρ sin ϕ,

Matematika 2 9

kdy bod [x0, y0] nazýváme pólem. Výhodou tohoto popisu je, že potom limitní přechod[x, y]→ [x0, y0] lze nahradit limitním přechodem ρ→ 0. Uvedený postup ilustruje násle-dující ukázka.

Příklad 5 Vypočtěte limitu lim(x,y)→(0,0)

1−cos2(x2+y2)(x2+y2)2 .

Protože v tomto případě funkční hodnota neexistuje (po dosazení je ve jmenovateli 0),použijeme transformaci do polárních souřadnic. Po nahrazení proměnných x, y má funkcetvar:

1− cos2(x2 + y2)

(x2 + y2)2 =1− cos2(ρ2)

ρ4,

proto výpočet uvedené limity nahradíme výpočtem limity funkce jedné proměnné a přivýpočtu můžeme použít aparát funkce jedné proměnné, v tomto případě L’Hospitalovopravidlo.

lim(x,y)→(0,0)

1−cos2(x2+y2)(x2+y2)2 = lim

ρ→0

1−cos2(ρ2)ρ4 = lim

ρ→0

4ρ sin(ρ2) cos(ρ2)4ρ3

= limρ→0

sin(ρ2)ρ2 · lim

ρ→0cos(ρ2) = 1

.

Poznamenejme, že v případě kdy výsledek závisí na ϕ limita neexistuje viz. ukázka 2.2.Dále je nutné uvědomit si, že limitní přechod pro ρ→ 0 musí obecně zohlednit i možnouzávislost ϕ(ρ), viz ukázka 2.3. Analogicky lze postupovat i u limity funkce 3 proměnnýchs využitím sférických souřadnic.

1.4 Parciální derivace, derivace ve směru

Pro funkce více proměnných se zavádí pojem parciální derivace, který využívá pojemderivace funkce jedné proměnné.

Definice 4 Parciální derivací funkce y = f(x1, x2, ..., xn) v bodě A = (a1, ..., an) podleproměnné xi rozumíme derivací funkce jedné proměnné y(x) = f(a1, .., ai−1, x, ai+1, ..., an)v bodě ai. Tuto derivaci zapisujeme dvěma možnými způsoby:

f ′xi(A) nebo∂f

∂xi(A).

Tedy všechny proměnné kromě proměnné xi „zafixujeme“,tj. nazíráme na ně při derivováníjako na konstanty a derivujeme pouze podle proměnné xi. Pro grafické vyjádření pojmuparciální derivace se omezíme pouze na funkce dvou proměnných v bodě [x0, y0]. V tomtopřípadě „zafixování“ proměnné x, resp. y značí omezit se na rovinu x = x0, resp. y = y0.Potom ve shodě s geometrickým významem derivace funkce jedné proměnné je derivacef ′x(x0, y0) rovna směrnici tečny v bodě [x0, y0] k průsečnici funkce f(x, y) s rovinou x = x0.Analogické úvahy platí i pro f ′y(x0, y0). Situace je znázorněna na následujícím obrázku

Jestliže funkce y = f(X) má definovanou parciální derivaci podle proměnné xi v kaž-dém bodě množiny M,je funkce přiřazující každému bodu této množiny hodnotu tétoparciální derivace nazývána parciální derivací funkce y = f(X) podle proměnné xi, což



Matematika 2 11

zapisujeme f ′xi(X) nebo ∂f∂xi

(X). Jedná se o funkci n proměnných, pro niž jsou studoványdalší vlastnosti např. spojitost.

Zobecněním pojmu parciální derivace je derivace ve směru vektoru ~s.

Definice 5 Derivací funkce y = f(X) v bodě A = [a1, ..., an] ve směru ~s = (s1, ..., sn)rozumíme derivaci funkce jedné proměnné

y(t) =f(a1 + ts1, ..., an + tsn)

|(s1, ..., sn)|pro t =, 0

což zapisujeme f ′~s(A).

Volíme-li vektor ~s = (0, .., 1, .., 0) tvořený nulami s výjimkou i-té pozice (kde je 1), derivacefunkce y = f(X) v bodě A ve směru ~s = (0, .., 1, .., 0) je rovna parciální derivaci funkcey = f(X) v bodě A podle proměnné xi. Abychom uvedli i souvislost parciálních derivacís derivací ve směru, je vhodné zavést pojem gradientu funkce y = f(X).

Definice 6 Jestliže má funkce y = f(X) parciální derivace v bodě A podle všech pro-měnných xi, řekneme, že funkce y = f(X) má v bodě A gradient grad f , který je rovenvektoru parciálních derivací v tomto bodě podle jednotlivých proměnných:

grad f(A) =

(∂ f

∂ x1(A), ...,

∂ f

∂ xn(A)

).

Existuje-li nějaké okolí bodu A, v němž má funkce y = f(X) spojité parciální derivacepodle všech proměnných xi, potom pro libovolný vektor ~s = (s1, ..., sn) existuje derivacefunkce y = f(X)ve směru ~s a platí:

f ′~s(A) =grad f(A) · ~s

|~s|=

∂ f

∂ x1(A)

s1

|~s|+ ...+

∂ f

∂ xn(A)

sn|~s|,

kde výraz grad f(A) · ~s označuje skalární součin těchto vektorů. Poznamenejme, že provektor ~ss opačnou orientací dostáváme výraz s opačným znaménkem a hodnota směrovéderivace f ′~s(A) nezávisí na velikosti |~s| vektoru ~s. Z vlastností skalárního součinu plynefakt, že největší hodnoty nabývá f ′~s(A) pro vektor grad f . Gradient funkce f je tedysměrem největšího růstu funkce f . Jak jsme již výše uvedli, lze parciální derivace chápatjako funkci více proměnných na množiněM . Jestliže funkce f má na této množině parciálníderivaci ∂f

∂xj(X), která má v bodě A ∈ Mparciální derivaci podle proměnné xi, nazveme

tuto parciální derivaci parciální derivací druhého řádu funkce f podle xj, xi:

f ′′xjxi(A) =∂2f

∂xj∂xi(a1, a2, ..., an) =

∂f(∂f∂xj

)∂xi

(a1, a2, ..., an).

Opakováním uvedeného postupu definujeme rekurentně i parciální derivace vyšších řádů.Pro parciální derivace vyšších řádů platí tzv. Schwarzova věta o záměně pořadí derivování.

Nechť v nějakém okolí U(A)bodu Aexistují parciální derivace f ′x, f′y a f ′′xy je spojitá

v bodě A. Potom existuje i smíšená parciální derivace f ′′yxa platí:

f ′′yx = f ′′xy.


Závěrem uvedeme důležité diferenciální operátory. Pro jednoduchý zápis gra-

dientu se používá symbolického vektoru nabla ~∇ =(

∂∂x1, ..., ∂

∂xn

), který nej-

častěji používáme pro dimenzi 3 proměnných tj. ~∇ =(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

). Gradient

grad fzapisujeme potom jako součin symbolického vektoru ~∇ =(

∂∂x1, ..., ∂

∂xn

)a skaláru

f : gradf(A) =(

∂∂ x1

, ..., ∂∂ xn

)f(A).Dalším důležitým operátorem Laplaceův operátor,

který můžeme symbolicky vyjádřit:

∆ = ~∇2 =∂2

∂x21

+ ...+∂2

∂x2n

,

který je nejčastěji používán pro dimenze 2 ,3 tj. ∆ = ~∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 nebo ∆ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 +∂2

∂z2 .

1.5 Diferenciál funkce

Diferenciál funkce jedné proměnné vnímáme jako nahrazení funkce tečnou a jeho existenceje rovnocenná existenci derivace. Situace v případě funkcí více proměnných je kompliko-vanější, i když budeme postupovat formálně stejně.

Nechť je funkce y = f(X) definována v nějakém okolí bodu A. Nechť pro každéH = (h1, . . . , hn) ∈ U(0) existují konstanty D1, ..., Dn ∈ R a funkce τ(H), pro kterouplatí lim

H→0τ(H) = 0 a okolí U(A) bodu A tak, že v něm platí:

f(A+H)− f(A) =n∑i=1

Dihi + τ(H)√h2

1 + ...+ h2n,

kde A + H označuje bod, který má souřadnice ve tvaru součtu odpovídajících souřadnicbodů A a H. Potom řekneme, že funkce y = f(x1, x2, ..., xn)je bodě A = [a1, ..., an]diferencovatelná nebo, že v tomto bodě má totální diferenciál.

Platí, že diferencovatelnost funkce y = f(X) zaručuje spojitost této funkce a takéexistenci všech parciální derivací prvního řádu spolu se splněním rovnosti

∂f∂xi

(A) = Di pro i=1,. . . ,n.Proto zavádíme pojem diferenciálu. Nechť je funkce y = f(X) diferencovatelná v bodě

A. Potom totálním diferenciálem funkce f v bodě A s diferencemi hi nazýváme výraz

df(A) =∂f

∂x1(A)h1 + .. . +

∂f

∂xn(A)hn .

Výrazy ∂f∂xi

(A)hi, pro i = 1, ..., n nazývámeparciálními diferenciály.Při geometrické interpretaci se opět omezíme pouze na funkci dvou proměnných.

V tomto případě diferenciál funkce z = f(x,y) v bodě [x0, y0]obvykle zapisujeme ve zkrá-cené podobě

dz =∂f

∂x(x0, y0)h1 + .. . +

∂f

∂y(x0, y0)h2 = f ′x(x0, y0)dx+ f ′y(x0, y0)dy .

Matematika 2 13

Vyjádříme-li diferenciály dx = x − x0, dy = y − y0, dz = z − z0 a dosadíme do výšeuvedené rovnice vznikne nám pro proměnné x, y, z lineární rovnice, která popisuje tečnourovinu k funkci z = f(x,y) v bodě [x0, y0].

Ukázka 2.4:Napište rovnici tečné roviny a normálové (kolmé k tečné rovině) přímkyk funkci z = arctg y

xv bodě T = [1, 1, ?].

Nejdříve vypočteme třetí souřadnici tečného bodu arctg 11 = π

4 . Tedy T = [1, 1, π4 ]. Dálevypočteme parciální derivace prvního řádu.

∂ arctg yx

∂x=

− yx2

1 +(yx

)2 =−y

x2 + y2

∂ arctg yx

∂y=

1x

1 +(yx

)2 =x

x2 + y2

Nyní dosadíme do výše uvedeného vztahu:

z − π

4=−1

12 + 12(x− 1) +

112 + 12

(y − 1) ⇔ x− y + 2z − π

2= 0.

Normálový vektor tečné roviny ~n = (1,−1, 2)je směrovým vektorem normálové přímky cožspolu se znalostí jednoho bodu normály (T) umožňuje napsat např. kanonickou rovnicinormálové přímky

x− 11

=y + 1−1

=y − π

4

2.

Kromě popisu tečné roviny můžeme využít totálního diferenciálu k symbolickémuodvozování „vzorců“ pro parciální derivování složených funkcí.Uvažujme funkcif(U) = f(u1, ..., um) m proměnných jako vnější složku složeného zobrazení s m-ticívnitřních složek (..., ui = ui(x1, ..., xn), ...) = U(X) funkcí n proměnných. Potéf(U(X)) = f(u1, ..., um)(x1, ..., xn) = f(u1(x1, ..., xn), ..., um(x1, ..., xn)) označujesloženou funkci více proměnných. Při zavedení symbolického vyjádření parciální derivace∂f∂xi

= dfdxi

, které je analogické s funkcí jedné proměnné, dostáváme:

∂f(U(X))∂xi

=df(U)dxi

=...+ ∂f

∂ujduj + ..

dxi= ...+

∂f

∂uj

dujdxi

+ ... =m∑j=1

∂f

∂uj

∂uj∂xi

.

Podobně lze postupovat i u parciálních derivací vyšších řádů.Ukázka 2.5:Transformujte Laplaceův operátor ∆z = ~∇2z = ∂2z

∂x2 + ∂2z∂y2 do polárních

souřadnic.Uvažujme neznámou funkci z=z(x,y) a polární souřadnice ve tvaru dvojice funkcí dvou

proměnných x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ. Inverzní závislost proměnných x,y,ρ, ϕje popsánavztahy: ρ =

√x2 + y2, ϕ = arctg x

y. Začneme pomocným výpočtem, který je přímým pou-

žitím vzorce uvedeného výše dostáváme:

z′x = z′ρρ′x + z′ϕϕ

′x = z′ρ

x√x2 + y2

+ z′ϕ−y

x2 + y2

z′y = z′ρρ′y + z′ϕϕ

′y = z′ρ

y√x2 + y2

+ z′ϕx

x2 + y2.

Při výpočtu vyšší derivace postupujeme podle definice vyšší derivace:


∂2z

∂x2=

∂

∂x

(z′ρ

x√x2 + y2

+ z′ϕ−y

x2 + y2

)=∂z′ρ∂x

x√x2 + y2

+

z′ρ

∂ x√x2+y2

∂x+∂z′ϕ∂x

−yx2 + y2

+ z′ϕ∂ −yx2+y2

∂x= z′′ρρ

x2

x2 + y2+ z′′ρϕ

−xy√(x2 + y2)2

+

z′ρy2√

(x2 + y2)3+ z′′ϕρ

−xy√(x2 + y2)3

+ z′′ϕϕy2

(x2 + y2)2+ z′ϕ

2xy

(x2 + y2)2 =

z′′ρρx2

x2 + y2− z′′ρϕ

2xy√(x2 + y2)3

+ z′′ϕϕy2

(x2 + y2)2 +

z′ρy2√

(x2 + y2)3+ z′ϕ

2xy

(x2 + y2)2

Analogicky dostáváme i parciální derivaci:

∂2z

∂y2= z′′ρρ

y2

x2 + y2+ z′′ρϕ

2xy√(x2 + y2)3

+ z′′ϕϕx2

(x2 + y2)2 +

z′ρx2√

(x2 + y2)3− z′ϕ

2xy

(x2 + y2)2 .

Po dosazení do Laplaciánu a úpravě (ρ =√x2 + y2) dostaneme:

z′′xx + z′′yy = z′′ρρ + z′′ϕϕ1

x2 + y2+ z′ρ

1√x2 + y2

= z′′ρρ +1ρ2z′′ϕϕ +

1ρz′ρ

Dalším možným užitím diferenciálu je přibližný výpočet funkční hodnoty funkce víceproměnných.

1.6 Některé aplikace pro řešení rovnic

Uvažme jednoduchou rovnici x2 = y2. Řešení této rovnice můžeme popsat pomocí funkcíjedné proměnné, a to dvěma způsoby y = ±x nebo y = ±|x|. Uvážíme-li toto řešenípouze v okolí nějakého bodu, který je řešením dané rovnice je tato funkce lokálně určenajednoznačně. Toto platí s výjimkou jediného bodu (0, 0). Obecně platí:

Nechť má funkce y = f(x1, x2, ..., xn) v okolí bodu A = [a1, ..., an], pro který platíf(A) = 0, spojité parciální derivace prvního řádu (je diferencovatelná⇒ je spojitá v tomtobodě). Jestliže ∂f

∂xi(A) 6= 0potom existuje funkce xi = g(x1, .., xi−1, xi+1, .., xn) taková , že

ai = g(a1, .., ai−1, ai+1, .., an)a graf této funkce je řešením dané rovnice, tj.

f(x1, .., xi−1, g(x1, .., xi−1, xi+1, .., xn), xi+1, .., xn) = 0.

Matematika 2 15

Navíc má funkce xi = g(x1, .., xi−1, xi+1, .., xn) spojité parciální derivace prvního řádu vnějakém okolí bodu [a1, .., ai−1, ai+1, .., an] (je spojitá) a platí

∂g

∂xj= −

∂f∂xj

∂f∂xi

pro j = 1, . . ., i− 1, i+ 1, . . ., n.

Poznamenejme, že rovnice f(x, y) = x2 + y2 = 0 má jediný bod řešení, kdy v jeho okolínelze řešení popsat jako graf funkce jedné proměnné, je jím [0, 0]. Platí tu

f ′x(0, 0) = 0 = f ′y(0, 0). To potvrzuje z obrázku patrný fakt, že toto řešení nelze popsatjako y = g(x) nebo x = g(y).


Nejjednodušším příkladem užití je případ jedné rovnice o dvou proměnných, kterýv následující kapitole je v některých případech „výsledkem“ příkladu, kdy řešení diferen-ciální rovnice je dáno v tzv. implicitním tvaru, tj. je zadáno rovnicí. Geometrická inter-


pretace tohoto řešení je křivka ležící v rovině. Jestliže navíc je funkce f(x, y)levé stranyrovnice f(x, y) = 0 má spojité parciální derivace až do řádu n má i funkce y(x)danáimplicitně touto rovnicí má derivace až do řádu n. Tyto derivace můžeme určit z rovnic,které vzniknou postupným derivováním dané rovnice s tím, že její levou stranu chápemejako složenou funkci f(x, y(x)).

Geometrickou interpretací řešení rovnice f(x, y, z) = 0 je plocha v prostoru. Existují-li parciální derivace prvního řádu potom existence nenulového vektoru (f ′x, f

′y, fz)je do-

statečnou podmínkou existence tečné roviny v bodě řešení této rovnice a vektor −→n =(f ′x, f

′y, fz)je normálovým vektorem tj. je kolmý k tečné rovině. Uvažme množinu řešení

popsané dvěmi rovnicemi o třech neznámých f1(x, y, z) = 0, f2(x, y, z) = 0. Jestliže oběrovnice mají za řešení plochy, ke kterým existují tečné roviny popsané nenulovými normá-lovými vektory ~n1, ~n2, které jsou lineárně nezávislé, mají tyto plochy průsečnici, která jekřivkou v prostoru a existuje je k ní tečna. Tečný vektor ~t k této křivce je kolmý k oběmanormálovým vektorům ~n1, ~n2 a je možné jej určit jako vektorový součin ~t = ~n1 × ~n2.

1.7 Cvičení

Cvičení 1 Určete definiční obor funkce z =

√1− ln(|x|+ |y|)√x2 + y2 − 1

.

Cvičení 2 Určete vrstevnici funkce z =√x2 + y2 + 2x− 2y + 2 procházející bodem X =

[2, 5] a tuto načrtněte.Vypočtěte gradient dané funkce v bodě a rozhodněte o jejich vzá-jemné relaci.

Cvičení 3 Ukažte, že funkce z = ϕ(x2 + y2), kde ϕ je diferencovatelná funkce, vyhovujerovnici

y∂ z

∂x− x∂ z

∂y= 0.

Cvičení 4 Ukažte, že funkce zadaná implicitně rovnicí 4x4 − 4x2 + y2 = 0 a bodem[1/√

2, 1] má v tomto bodě lokální maximum.

Výsledky

1Definiční obor Df = [x, y]|x2 + y2 > 1,−e ≤ x ≤ e, |x| − e ≤ y ≤ e− |x|

Matematika 2 17

2Vrstevnice je dána rovnicí z(2, 5) = 5 =√x2 + y2 + 2x− 2y + 2 nebo–li (x + 1)2 +

(y − 1)2 = 5 což je rovnice kružnice se středem S = [−1, 1] o poloměru 5. Gradientgrad f(2, 5) = (3/5, 4/5) je kolmý na vrstevnici.

3 Dosazením parciálních derivací z′x = 2xϕ′(x2 + y2), z′y = 2yϕ′(x2 + y2) ověříme platnostrovnice.4 Pro funkci F (x, y) = 4x4 − 4x2 + y2 platí vztahy F (2, 5) = 0, F ′y(2, 5) = 10 6= 0,které zaručí existenci funkce dané implicitně. Formálním derivováním rovnice podle x, zapředpokladu, že y je funkce proměnné x dostaneme rovnici 16x3− 8x+ 2yy′ = 0, ze kterévypočteme derivaci

y′ =8x− 16x3

2y, tj. y′(2, 5) = 0.

Opakovaným derivováním analogicky dostáváme rovnici 48x2 − 8 + 2(y′)2 + 2yy′′ = 0 atedy

y′′ =8− 48x2 − 2(y′)2

2y, tj. y′′(2, 5) = −8

5.


Kapitola 2

Obyčejné diferenciální rovnice

2.1 Základní pojmy

Ze střední školy znáte pojem rovnice. Rovnicí jste rozuměli algebraickou rovnici, tj. rov-nici, jejímiž koeficienty i řešením byla čísla, a o jiných typech rovnic jste nehovořili. Nakomplexní popis fyzikálních jevů však pojem algebraické rovnice nestačí.

Definice 2.1.1 Obyčejnou diferenciální rovnicí nazýváme rovnici, v níž se vyskytuje ne-známá funkce jedné proměnné, a to včetně svých derivací. Nejčastěji ji zapisujeme vetvaru

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)), (2.1.1)

kde f(x, z0, z1, . . . , zn−1) je funkce n + 1 proměnných definovaná na otevřené množiněΩ ⊂ Rn+1 a n ∈ N.1 Řádem obyčejné diferenciální rovnice nazýváme nejvyšší řád derivaceneznámé funkce, která se v dané rovnici vyskytuje.

Příklad 2.1.1 Příklady obyčejných diferenciálních rovnic různých řádů:

1. y′ + 2y = cosx je obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu,

2. y′′ + y4y′ + 3y = x je obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu,

3. 3y(8) + sinxy′′′+ 5 ln xy′′− y10y′ = 0 je obyčejnou diferenciální rovnicí osmého řádu.

Pojem řešení diferenciální rovnice má na rozdíl od algebraických rovnic několik významů.

Příklad 2.1.2 Různé typy řešení diferenciální rovnice:Mějme dánu rovnici y′ = y. Je zřejmé, že funkcí, která se rovná své první derivaci, jefunkce y = ex. Není však jediná, tutéž vlastnost má funkce y = 2ex, y = 3ex, resp.libovolná funkce y = cex, kde c ∈ R.

1Tento tvar zápisu nazýváme explicitní. Je-li rovnice ve tvaru F (x, y, y′, . . . y(n)) = 0, kdeF (x, z0, z1, . . . , zn) je funkce n + 2 proměnných definovaná na otevřené množině Ω ⊂ Rn+2 a n ∈ N,hovoříme o rovnici v implicitním tvaru.

19


Definice 2.1.2 Řešením obyčejné diferenciální rovnice řádu n na intervalu I nazývámekaždou n−krát diferencovatelnou funkci na intervalu I, která vyhovuje dané rovnici. Par-tikulárním řešením obyčejné diferenciální rovnice nazveme libovolné řešení dané rovnice.Obecným řešením obyčejné diferenciální rovnice nazveme pomocí různých konstant obecnězadaný předpis, z něhož lze vhodnou volbou konstant získat všechna partikulární řešenídané rovnice.2

Příklad 2.1.3 Ukázka praktického problému vedoucího na řešení diferenciální rovnice:Je dán elektrický RL obvod s cívkou o samoindukčnosti L, ohmickým odporem R a napětímE. Popište průběh proudu i v závislosti na čase t.

Řešení: Podle prvního Kirhoffova zákona je algebraický součet všech elektromotorickýchsil v uzavřeném obvodu roven nule, tj. hledaná závislost je řešením obyčejné diferen-ciální rovnice prvního řádu:

i′ +R

Li =

E

L

Výsledná závislost (získaná postupem, který uvedeme v další kapitole) je i = ceRLt+E

R,

kde i je funkcí času t. Tato závislost představuje obecné řešení zadané diferenciálnírovnice.

V příkladě 2.1.3 jsme získali obecné řešení zadané diferenciální rovnice, tedy popisobecné situace. Počáteční velikost proudu může být známá – v čase t = 0 může být proudnulový nebo naopak mít nějakou nenulovou hodnotu.

Příklad 2.1.4 Pokračování příkladu 2.1.3:Popište průběh proudu v situaci příkladu 2.1.3, víte-li, že v čase t = 0 byl proud nulový.

Řešení: Závislost získaná v příkladu 2.1.3 je i = ceRLt+E

R, kde i je funkcí času t, podmínka

ze zadání říká, že máme najít funkci proudu i v situaci, kdy t = 0. Dosazenímzjistíme, že v tom případě c = −E

R, tj. hledaná závislost je:

i =E

R(1− e−

RLt)

Tato závislost představuje partikulární řešení zadané diferenciální rovnice.

V případě, že na funkci získanou jako obecné řešení nějaké obyčejné diferenciální rov-nice klademe další dodatečné podmínky, pak se (za splnění určitých předpokladů, kteréuvedeme v následující kapitole) kombinace zadané diferenciální rovnice a těchto podmíneknazývá podle situace počáteční úloha, Cauchyho úloha nebo okrajová úloha. 3

Úloha „Najděte řešení diferenciální rovnice (resp. počáteční úlohy, Cauchyho úlohynebo okrajové úlohy)ÿ není obecně řešitelná. V teorii obyčejných diferenciálních rovnicse proto zavádí poměrně podrobná klasifikace typů diferenciálních rovnic. Postup hledání

2Kromě pojmů obecné řešení a partikulární řešení diferenciální rovnice existuje ještě pojem singulárnířešení diferenciální rovnice.3Místo slova úloha se často používá termín problém.

Matematika 2 21

řešení dané rovnice pak závisí na tom, jakého konkrétního typu daná rovnice je. Řešitpřitom umíme jen rovnice některých typů, např. diferenciální rovnice se separovanýmiproměnnými (např. y′ + xy = 0), lineární diferenciální rovnice (např. 2y′ + cosxy =

e4x), diferenciální rovnice typu y′ = f(a1x+b1y+c1a2+b2+c2

), Riccatiovu diferenciální rovnici (např.

y′−y2 = −x2 +1), exaktní diferenciální rovnice (např. (x3 +3xy2)dx+(y3 +3x2y)dy = 0)a další.

V případě, že je nalezení řešení nějaké počáteční (resp. Cauchyho nebo okrajové) úlohyobtížné nebo nemožné, můžeme přibližné řešení nalézt pomocí numerických metod.4 Tímtopostupem však nenalezneme funkci, která splňuje danou rovnici, ale její přibližné funkčníhodnoty v určitých předem zadaných bodech.

2.2 Lineární diferenciální rovnice

Velmi důležitým typem obyčejných diferenciálních rovnic jsou lineární diferenciální rov-nice.5

Definice 2.2.1 Lineární diferenciální rovnicí n−tého řádu nazýváme rovnici tvaru6

y(n) + An−1(x)y(n−1) + . . .+ A1(x)y′ + A0(x)y = f(x), (2.2.1)

kde Ai(x), i = 0, 1, . . . n−1 a f(x) jsou funkce. Pokud je f(x) ≡ 0, nazýváme tuto rovnicihomogenní, pokud je f(x) 6≡ 0, nazýváme tuto rovnici nehomogenní.

Definice 2.2.2 Nechť je dána diferenciální rovnice ve tvaru (2.1.1) a dále (n + 1)-tice(x0, y0, y1, . . . , yn − 1) ∈ Ω ⊂ R(n+1). Pak úloha najděte řešení rovnice (2.1.1) definovanéna nějakém intervalu I takovém, že x0 ∈ I a

y(x0) = y0, y′(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = yn−1, (2.2.2)

se nazývá Cauchyho počáteční úloha.7

Příklad 2.2.1 Příklad zadání Cauchyho počáteční úlohy:Najděte řešení rovnice y′′′ + 2y′′ + y′ = −2xe−2x, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = 0.

Poznamenejme, že řešením Cauchyho počáteční úlohy je partikulární řešení zadanédiferenciální rovnice. Je ovšem otázkou, zda vůbec existuje, resp. pokud ano, zda je jed-noznačné.

4Budou náplní předmětu Matematika 3 ; budete využívat program Matlab.5Z příkladů 2.1.1 a ?? vyplývá, že se jedná o velmi úzkou skupinu obyčejných diferenciálních rovnic.6Samozřejmě není nutné, aby funkce u členu y(n) byla identicky rovna 1. Pokud není, získáme

tvar (2.2.1) vydělením rovnice touto funkcí.7V Definici 2.2.2 se odkazujeme obecně na obyčejnou diferenciální rovnici, z čehož je patrné, že pojem

Cauchyho počáteční úloha se neomezuje jen na lineární diferenciální rovnice.


Věta 2.2.1 Nechť je dána lineární diferenciální rovnice (2.2.1), interval I a libovolnáčísla x0 ∈ I, y0, y1, . . . , yn−1 ∈ R. Jestliže jsou funkce Ai(x), i = 0, 1, . . . , n − 1, naintervalu I spojité, pak rovnice (2.2.1) má právě jedno řešení y(x) splňující podmínkyy(x0) = y0, y′(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = yn−1. Toto řešení existuje na celém intervalu I.

O obecném řešení lineární diferenciální rovnice platí následující tvrzení.

Věta 2.2.2 Nechť je dána nehomogenní lineární diferenciální rovnice (zkráceně„NLDRÿ), tj. nechť ve vyjádření (2.2.1) je f(x) 6≡ 0. Dále nechť je k zadané nehomogennírovnici dána homogenní lineární diferenciální rovnice (zkráceně „HLDRÿ), tj. nechť vevyjádření (2.2.1) je f(x) ≡ 0. Označme yohldr(x) její obecné řešení a ypnldr(x) jedno jejípartikulární řešení. Pak obecné řešení NLDR yohldr(x) má tvar

yonldr(x) = yohldr(x) + ypnldr(x). (2.2.3)

Nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice může být problema-tické. Platí sice následující věta:

Věta 2.2.3 Nechť je dána homogenní lineární diferenciální rovnice, tj. nechť ve vyjá-dření (2.2.1) je f(x) ≡ 0. Množina všech řešení této rovnice tvoří vektorový prostornad tělesem reálných čísel (vzhledem k operacím sčítání funkcí a násobení funkcí číslem).Proto, jsou-li y1(x) a y2(x) dvě řešení dané homogenní lineární diferenciální rovnice, paktaké y1(x) + y2(x) a c1y1(x), kde c1 ∈ R, jsou řešení zadané rovnice. Je-li dáno n lineárněnezávislých řešení nějaké homogenní lineární diferenciální rovnice řádu n – označme jey1(x), y2(x), . . . yn(x) – pak každé řešení této rovnice má tvar

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cnyn(x), (2.2.4)

kde c1, c2, . . . cn ∈ R.

Ovšem požadavek lineární nezávislosti jednotlivých řešení představuje problém.Proto se v následujícím omezíme pouze na jednodušší situaci, kdy koeficientyai(x), i = 0, 1, . . . , n− 1 ve vyjádření (2.2.1) jsou konstantní funkce, tj. ve skutečnosti sena jejich místě vyskytují reálná čísla ai ∈ R, i = 0, 1, . . . , n− 1.

Definice 2.2.3 Lineární diferenciální rovnici tvaru

y(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y

′ + a0y = f(x), (2.2.5)

kde ai ∈ R, i = 0, 1, . . . , n − 1, nazýváme lineární diferenciální rovnici s konstatnímikoeficienty.

Příkladem lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je např. rovnice zpříkladu 2.2.1.

Matematika 2 23

2.2.1 Nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciálnírovnice s konstantními koeficienty

Nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koefi-cienty je na první pohled relativně jednoduché.

Definice 2.2.4 Nechť je dána homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantnímikoeficienty, tj. rovnice tvaru

y(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y

′ + a0y = 0 (2.2.6)

kde ai ∈ R, i = 0, 1, . . . , n− 1. Algebraickou rovnici

λn + an−1λn−1 + . . .+ a1λ+ a0 = 0 (2.2.7)

nazýváme charakteristickou rovnicí diferenciální rovnice (2.2.6).

Příklad 2.2.2 Příklady charakteristických rovnic diferenciálních rovnic:

Diferenciální rovnice Charakteristická rovnice

y(5) + 3y′′′ − 6y′ + 7y = 0 λ5 + 3λ3 − 6λ+ 7 = 0y′′ + 5y′ = 0 λ2 + 5 = 0

y′′′ − 10y′′ + 12y = 0 λ3 − 10λ2 + 12 = 0

Věta 2.2.4 Mějme homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficientytvaru (2.2.6) a její charakteristickou rovnici (2.2.7). Pak platí:

1. Je-li λ ∈ R k−násobný kořen charakteristické rovnice, k ≥ 1, pak funkce

y1(x) = eλx, y2(x) = xeλx, . . . yk(x) = xk−1eλx

jsou řešením zadané diferenciální rovnice.

2. Je-li α ± βj ∈ C dvojice komplexně sdružených k−násobných komplexních kořenůcharakteristické rovnice, k ≥ 1, α, β ∈ R, β 6= 0, pak funkce

y1(x) = eαx cos βx, y3 = xeαx cos βx, . . . y2k−1 = xk−1eαx cos βx

y2(x) = eαx sin βx, y4 = xeαx sin βx, . . . y2k = xk−1eαx sin βx

jsou řešením zadané diferenciální rovnice.

Příklad 2.2.3 Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koefici-enty:Pomocí věty 2.2.4 najděte řešení rovnice y(7) − 4y(6) + 14y(5) − 20y(4) + 25y′′′ = 0.


Řešení: Charakteristická rovnice zadané diferenciální rovnice je λ7−4λ6 +14λ5−20λ4 +25λ3 = 0. Je zřejmé, že jejím trojnásobným kořenem je λ1,2,3 = 0. Zbývající kořenyurčíme jako řešení rovnice λ4−4λ3+14λ2−20λ+25 = 0. Jedná se o rovnici 4. stupně,jejímž řešeními (lze je nalézt algebraicky, viz střední škola) je λ4,5,6,7 = 1±2j. Protopodle věty 2.2.4 získáváme následující řešení zadané diferenciální rovnice:y1(x) = 1, y2(x) = x, y3(x) = x2, y4(x) = ex cos 2x, y5(x) = xex cos 2x,y6(x) = ex sin 2x, y7(x) = xex sin 2x.

Z takto získaných řešení lze velice jednoduchým postupem získat obecné řešení zadanéhomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.

Věta 2.2.5 Lineární kombinace všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnices konstantními koeficienty tvaru (2.2.6), získaných postupem uvedeným ve větě (2.2.4),představuje obecné řešení této rovnice.

Lze ukázat, že množina všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-téhořádu s konstantními koeficienty tvoří vektorový prostor, jehož dimenze je n. Jako každývektorový prostor má tedy i množina všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnicen-tého řádu s konstantními koeficienty bázi. Lze ukázat, že touto bází jsou právě všechnařešení získaná podle návodu věty (2.2.4).

Definice 2.2.5 Bázi vektorového prostoru všech řešení homogenní lineární diferenciálnírovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty nazýváme fundamentální systém homo-genní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty.

Poznámka 2.2.1 Množina všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-téhořádu (tedy nikoliv pouze s konstantními koeficienty) také tvoří vektorový prostor. Má tedytaké bázi. V definici 2.2.5 není nutné se omezovat pouze na rovnice s konstantními ko-eficienty; pojem fundamentální systém je v literatuře běžně definován pro jakoukoliv ho-mogenní lineární diferenciální rovnici. Problémem je jeho nalezení – jednoduché je pouzepro rovnice s konstantními koeficienty.

Příklad 2.2.4 Obecné řešení homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty:Obecné řešení diferenciální rovnice z příkladu 2.2.3 je

y(x) = c1 + c2x+ c3x2 + c4ex cos 2x+ c5xex cos 2x+ c6ex sin 2x+ c7xex sin 2x,

kde ci ∈ R, i = 1, 2, . . . , 7.

Při hledání řešení charakteristické rovnice v příkladu 2.2.3 je možné použít postup,který je vyučován i na mnoha středních školách. V žádném případě se však nejedná opostup jednoduchý. Právě v tom tkví problém při hledání obecného řešení homogenní li-neární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty: zatímco řešení diferenciální rovnicedruhého řádu je jednoduché – řešíme kvadratickou rovnici, je řešení rovnic vyšších řádůkomplikovanější. Mezi diferenciálními rovnicemi pátého a vyšších řádů již nutně existujírovnice, které řešitelné nejsou, protože algebraciké rovnice jsou obecně řešitelné pouze dočtvrtého stupně.

Matematika 2 25

2.2.2 Nalezení obecného řešení nehomogenní lineární diferenci-ální rovnice

K nalezení obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice je možno použítvětu 2.2.2. Je však otázka, jak najít partikulární řešení zadané nehomogenní lineární dife-renciální rovnice. Tomuto problému se můžeme vyhnout, pokud použijeme tzv. metodouvariace konstant.

Příklad 2.2.5 Metoda variace konstantNajděte obecné řešení rovnice y′′ + y′ − 2y = ex.

Řešení: Podle vět 2.2.4 a 2.2.5 je obecné řešení příslušné homogenní rovnice, tj. rovnicey′′ + y′ − 2y = 0, rovno yh = c1e−2x + c2ex.

Lze ukázat, že tímto obecným řešením je dán i tvar obecného řešení nehomogennílineární diferenciální rovnice. Místo konstant c1, c2 budeme uvažovat neznámé funkcec1(x), c2(x) – hledané obecné řešení tedy bude tvaru

yo = c1(x)e−2x + c2(x)ex.

Po zderivování dostaneme

y′o = c′1(x)e−2x − 2c1(x)e−2x + c′2(x)ex + c2(x)ex.

Lze ukázat, že součet členů s prvními derivacemi neznámých funkcí c1(x), c2(x) (jsoupodtrženy) bude roven nule. Proto jej roven nule položíme a zderivujeme y′o. Dosta-neme

y′′o = −2c′1(x)e−2x + 4c1(x)e−2x + c′2(x)ex + c2(x)ex.

Protože vycházíme z toho, že yo je řešení zadané rovnice, musí této rovnici vyhovo-vat. Proto dosadíme yo, y

′o a y′′o do zadané rovnice 2y′′ + y′ − y = 2ex. Po úpravě

dostáváme−2c′1(x)e−x + c′2(x)ex = ex,

což je rovnice, v níž se vyskytují derivace hledaných (dvou) neznámých funkcí. Pro-tože jsme však předpokládali, že c′1(x)e−2x + c′2(x)ex = 0, získáváme soustavu dvourovnic, v níž se vyskytují první derivace dvou neznámých funkcí

c′1(x)e−2x + c′2(x)ex = 0

−2c′1(x)e−2x + c′2(x)ex = ex

Jednoduchými úpravami zjistíme, že c′1(x) = −13e3x a po integraci c1(x) = −1

9e3x +k1. Podobně c′2(x) = 1

3 a po integraci c2(x) = 13x+k2. Po dosazení a úpravě je vidět,

že hledané obecné řešení rovnice y′′+y′−2y = ex je yo = k1e−2x+(k2+19)ex+1

3xex, cožpo označení k3 = k2 + 1

9 (které není na újmu obecnosti) dá yo = k1e−2x+k3ex+ 13xex.

Snadno se lze přesvědčit, že toto řešení koresponduje s větou 2.2.2.

V průběhu řešení příkladu jsme využili několik myšlenek, které je třeba podrobnědokázat. Výsledek lze shrnout do následující věty (všimněte si předpokladu týkajícího sekoeficientu u členu y(n)).


Věta 2.2.6 Nechť je dána taková nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstant-ními koeficienty tvaru

y(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y

′ + a0y = f(x),

pro niž platí, že obecné řešení příslušné homogenní rovnice je tvaru yh = c1y1 + . . . cnyn,kde c1, . . . , cn jsou konstanty a y1, . . . , yn jsou řešení získaná pomocí věty 2.2.4. Pakobecné řešení zadané nehomogenní lineární rovnice je tvaru yo = c1(x)y1 + . . . cn(x)yn,kde c1(x), . . . , cn(x) jsou funkce, které jsou řešením soustavy rovnic

c1(x)y1 + . . . c1(x)yn = 0 (2.2.8)

c′1(x)y(i)1 + . . . c′1(x)y(i)

n = 0 i = 1, . . . , n− 2 (2.2.9)

c′1(x)y(n−1)1 + . . . c′1(x)y(n−1)

n = f(x). (2.2.10)

Metoda variace konstant není jediný způsob, jak nalézt obecné řešení nehomogennílineární rovnice. Lze použít např. metodou neurčitých koeficientů. Tato metoda je sice„uživatelsky přívětivějšíÿ, avšak je použitelná pouze pro rovnice, jejichž pravá strana, tj.f(x) ve vyjádření (2.2.1), je určitého speciálního tvaru.8 Při řešení využíváme větu 2.2.2,protože jsme schopni (ve speciálních případech f(x)) odhadnout tvar hledaného partiku-lárního řešení.

Příklad 2.2.6 Řešení počáteční úlohyZnáme obecné řešení y = c1e−2x+c2ex+1

3xex lineární diferenciální rovnice y′′+y′−2y = ex.Určete konstanty c1 a c2, aby byly splněny počáteční podmínky y(0) = 1, y′(0) = 2.

Řešení: Má-li platit y(0) = 1, musí být

c1e−2.0 + c2e0 +13.0.e0 = 1.

Má-li platit y′(0) = 2, je třeba obecné řešení y nejprve zderivovat a poté dosaditpříslušné hodnoty. Dostáváme

−2c1e−2.0 − c2e0 +13

e0 +13

0.e0 = 2.

Hledané konstanty c1, c2 jsou řešením soustavy rovnic

c1 + c2 = 1

−2c1 − c2 = 2

Řešení zadané počáteční úlohy je tedy y = −3e−2x + 4ex + 13xex.

Pokud hledáme řešení Cauchyho úlohy (tj. spolu s rovnicemi jsou zadány také počá-teční podmínky), nemusíme obecně postupovat ve dvou krocích naznačených v příkla-dech 2.2.5 a 2.2.6, ale můžeme postupovat i přímo. K výpočtu bychom např. mohli použíttzv. váhovou funkci, s níž se setkáte později.

8Pro rovnici v příkladu 2.2.5 by metodu neurčitých koeficientů bylo možné použít.

Matematika 2 27

2.3 Systémy diferenciálních rovnic

Ze střední školy znáte celou řadu úloh, které vedou na řešení soustavy lineárních (al-gebraických) rovnic. Podobně mnohé příklady z elektrotechnické praxe vedou na řešenínikoliv jedné ale více diferenciálních rovnic. Přitom mohou nebo nemusejí být známy po-čáteční podmínky. V této části se podobně jako v kapitole o jedné diferenciální rovniciomezíme pouze na některé jednoduché případy. Poznamenejme, že úvahy v této části setýkají soustav n diferenciálních rovnic o n neznámých, kde n ≥ 1 – lze je tedy vztáhnouti na případ jedné rovnice.

Definice 2.3.1 Nechť je dáno n funkcí f1(x, y1, . . . yn), f2(x, y1, . . . yn), . . . fn(x, y1, . . . yn),které jsou definované na otevřené množině Ω ⊂ Rn+1. Systémem n diferenciálních rovnicprvního řádu o n neznámých funkcích y1(x), y2(x), . . . yn(x) nazýváme soustavu tvaru

y′1 = f1(x, y1, . . . yn)

y′2 = f2(x, y1, . . . yn) (2.3.1)...

y′n = fn(x, y1, . . . yn).

Řešením systému (2.3.1) nazýváme takovou n-tici funkcí (h1(x), h2(x), . . . , hn(x)) defino-vaných na otevřeném intervalu J , že každá funkce hi(x), i = 1, . . . , n má na J derivaci,pro každé x ∈ J je splněno (x, h1(x), . . . , hn(x)) ∈ Ω a platí

h′1(x) = f1[x, h1(x), . . . hn(x)]

h′2(x) = f1[x, h1(x), . . . hn(x)]...

h′n(x) = fn[x, h1(x), . . . hn(x)].

Nechť je dána (n + 1)-tice (x0, c1, . . . , cn) ∈ Ω. Cauchyho počáteční úlohou pro sys-tém (2.3.1) nazýváme úlohu najít řešení (y1(x), . . . , yn(x)) systému (2.3.1), které je defi-nované na nějakém intervalu J obsahujícím x0, takové, že

y1(x0) = c1, y2(x0) = c2, . . . yn(x0) = cn. (2.3.2)

Výše uvedená označení jsou sice názorná avšak poněkud komplikovaná. Zavedemeproto jejich zkrácené verze. Označíme-li y′ = (y1, . . . , yn)T , y = (x, y1 . . . , yn) a f =(f1, . . . , fn)T , můžeme místo zápisu (2.3.1) používat zkrácené označení

y′ = f(x,y). (2.3.3)

Podobně, jestliže c = (c1, c2, . . . , cn), lze místo vyjádření podmínek (2.3.2) psát

y(x0) = c, (2.3.4)


Definice 2.3.2 Systém tvaru

y′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + . . .+ a1n(x)yn + b1(x)

y′2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + . . .+ a2n(x)yn + b2(x) (2.3.5)...

y′n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + . . .+ ann(x)yn + bn(x)

se nazývá lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Jsou-li všechnyfunkce bi(x) ≡ 0, nazýváme systém homogenním; v opačném případě hovoříme o ne-homogenním systému. Jsou-li všechny koeficienty aij, i, j = 1, . . . , n konstantní funkce,hovoříme o lineárním systému s konstantními koeficienty.

Lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu můžeme maticově za-psat jako

y′ = A(x)y + B(x), (2.3.6)

kde prvky matice A jsou tvořeny koeficienty aij, i, j = 1, . . . , n a matice B(x) je sloupcovámatice obsahující koeficienty bi, i = 1, . . . , n. V případě lineárního systému s konstantnímikoeficienty můžeme psát

y′ = Ay + B(x). (2.3.7)

Podobně jako v případě jedné diferenciální rovnice musíme nejprve ukázat, kdy má sys-tém diferenciálních rovnic (právě jedno)9 řešení. V dalším textu a zadávaných příkladechbudeme předpokládat, že předpoklady následující věty jsou splněny.

Věta 2.3.1 Nechť je dán lineární systém (2.3.6). Jestliže jsou maticové funkce A(x) aB(x) spojité na otevřeném intervalu I, pak pro každé x0 ∈ I a c ∈ Rn má počáteční úloha

y′ = A(x)y + B(x), y(x0) = c,

právě jedno řešení, které je definováno na celém intervalu I.

Při hledání obecného řešení jedné nehomogenní lineární diferenciální rovnice jsme po-stupovali ve dvou krocích: nejprve jsme našli obecné řešení příslušné homogenní rovnice apoté jsme ho sečetli s jedním partikulárním řešením zadané rovnice. Protože však nalezeníobecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice obecného řádu je problematické,omezili jsme se pouze na hledání řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními ko-eficienty.

Situace pro systémy diferenciálních rovnic je analogická. Pro lineární systémy lzeanalogicky definovat pojem fundamentální systém homogenního systému (analogie de-finice 2.2.5) a lze dokázat obdobné věty jako 2.2.2 a 2.2.3. Problémem je ovšem nalezeníobecného řešení lineárního systému. V dalším textu se proto omezíme pouze na lineárnísystémy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty, kterémají velký význam v technické praxi.9Pojem právě jedno řešení bychom ve skutečnosti měli definovat. Podobně bychom měli rozlišovat po-

jmy řešení a úplné řešení a zavést pojem prodloužení řešení. Nečiníme tak z důvodu omezeného prostoruv tomto textu.

Matematika 2 29

Příklad 2.3.1 Lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu s kon-stantními koeficienty

y′1 = 7y1 + 9y2 + 2y3

y′2 = 2y1 − 3y2 + 4y3

y′3 = 5y1 + 6y2 − 8y3

Řešení zmiňovaných typů systémů diferenciálních rovnic lze hledat několika způsoby,z nichž každý má svá úskalí a omezení. Pro ilustraci ukážeme, jak lze při řešení systémůdiferenciálních rovnic využít pojmů vlastní čísla a vlastní vektory matice, s nimiž se běžněpracuje v různých oblastech matematiky.10 Budeme se přitom odvolávat na zkrácené ozna-čování y′ = Ay, jehož význam je vysvětlen za definicí 2.3.2.

Definice 2.3.3 Nechť A je čtvercová matice řádu n a nechť En značí jednotkovou ma-tici řádu n. Determinant matice |A − λEn| nazýváme charakteristický polynom maticeA. Kořeny charakteristického polynomu matice A nazýváme vlastní čísla matice A. Vek-tory tvořící fundamentální systém řešení soustavy homogenních lineárních (algebraických)rovnic11 y = (A− λiEn)x nazýváme vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λi.12

Věta 2.3.2 Vlastní vektory příslušné navzájem různým vlastním číslům matice A jsoulineárně nezávislé.

Věta 2.3.3 Nechť je dán systém diferenciálních rovnic tvaru y′ = Ay, kde A je čtvercovámatice řádu n. Dále nechť λ1, λ2, . . . , λn jsou vlastní čísla matice A a z1, z2 . . . , zn jsouk nim příslušné vlastní vektory. Za předpokladu, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé,tvoří sloupce

y1 = z1eλ1x,y2 = z2eλ2x, . . . ,yn = zneλnx

fundamentální systém řešení systému y′ = Ay, tj. jejich lineární kombinace je obecnýmřešením tohoto systému.

Příklad 2.3.2 Hledání obecného řešení systému diferenciálních rovnic y′ = Ay pomocívlastních čísel a vlastních vektorů matice ANalezněte obecné řešení systému

y′1 = y2 + y3

y′2 = y1 + y3

y′3 = y1 + y2

10Tyto pojmy využijete např. u některých numerických metod.11Tento pojem byl definován v předmětu Matematika 1 ; jedná se o bázi podprostoru řešení homogenní

soustavy lineárních rovnic.12Místo označení vlastní čísla, resp. vektory, se můžete setkat také s termínem charakteristická čísla,

resp. vektory.


Řešení: Maticově lze systém zapsat jako y′ = Ay, resp.

y′ =

0 1 11 0 11 1 0

y.

Charakteristický polynom matice A je determinant

|A− λE3| =

∣∣∣∣∣∣−λ 1 11 −λ 11 1 −λ

∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 3λ2 + 2 = 0.

Kořeny charakteristického polynomu, a tedy vlastními čísly matice A, jsou číslaλ1,2 = −1 a λ3 = 2. Ve větě 2.3.3 nevyžadujeme, aby vlastní čísla byla navzá-jem různá; můžeme proto určit příslušné vlastní vektory. Vlastní vektory příslušnévlastnímu číslu λ1,2 = −1 najdeme jako fundamentální systém řešení lineárních al-gebraických rovnic, který lze maticově zapsat jako (A+E)z = o, kde z = (z1, z2, z3)T

a o = (0, 0, 0)T , tj.

z1 + z2 + z3 = 0

z1 + z2 + z3 = 0

z1 + z2 + z3 = 0

Obecným řešením této soustavy rovnic je z1 = −t − s, z2 = s, z3 = t. Bází podpro-storu řešení této soustavy homogenních rovnic, a tedy vlastními vektory příslušnýmičíslu λ1,2 = −1 jsou vektory z1 = (1,−1, 0)T a z2 = (1, 0,−1)T .13 Vlastní vek-tory příslušné vlastnímu číslu λ3 = 2 získáme analogicky, nyní jako řešení soustavyrovnic

−2z1 + z2 + z3 = 0

z1 − 2z2 + z3 = 0

z1 + z2 − 2z3 = 0

Výpočtem zjistíme, že obecné řešení této soustavy je tvaru z1 = t, z2 = t, z3 = t.Hledaný vlastní vektor je tedy z3 = (1, 1, 1)T . Vektory z1, z2, z3 jsou podle věty 2.3.2lineárně nezávislé (ověřte si sami!) a podle věty 2.3.3 je tedy obecné řešení zadanéhosystému diferenciálních rovnic

y = c1z1e−x + c2z1e−x + c3z1e2x,

tj.y1 = c1e−x + c2e−x + c3e2x

y2 = −c1e−x + c3e2x

y3 = + −c2e−x + c3e2x.

13Označení (a, b, c)T značí transponovanou matici – zde sloupcový vektor.

Matematika 2 31

Při podrobnějším studiu postupu řešení tohoto příkladu a věty 2.3.3 jsou patrné pro-blémy, které mohou nastat při tomto postupu řešení. Vlastní čísla předně mohou býtkomplexní, což bude komplikovat nalezení příslušných vlastních vektorů. Dalším omeze-ním je fakt, že věta 2.3.3 předpokládá, že počet lineárně nezávislých vlastních vektorůje stejný jako hodnost matice A. To ovšem obecně nemusí nastat. Pokud např. uvážímesystém

y′1 = 17y1 + 9y2

y′2 = −25y1 − 13y2,

bude mít matice A jedno vlastní číslo λ1,2 = 2, kterému bude příslušný jediný vlastnívektor z = (−3

5 , 1)T . Větu 2.3.3 tedy nemůžeme použít.Pokud budou všechna vlastní čísla matice A reálná různá, pak z věty 2.3.2 naopak

vyplývá, že žádné problémy při hledání obecného řešení systému y′ = Ay nenastanou.Podrobná diskuse těchto případů stejně jako uvádění dalších možností řešení systémůdiferenciálních rovnic však přesahuje rámec tohoto textu. Více se o řešení systémů di-ferenciálních rovnic dozvíte v předmětu Vybrané partie z matematiky a v odbornýchpředmětech.

2.4 Poznámka o stabilitě


Kapitola 3

Diferenční rovnice


Při hledání numerického řešení diferenciálních rovnic, při práci s funkcemi komplexní pro-měnné nebo v mnoha různých aplikacích, které nepracují s funkcemi ale s posloupnostmi,tj. při popisu diskrétních jevů, hraje důležitou roli tzv. diferenční počet. V této kapitoleuvedeme základní pojmy z teorie diferenčních rovnic, které lze chápat jako jistou analo-gii rovnic diferenciálních, o nichž jsme mluvili v kapitole 2. Postup řešení těchto rovnicuvedeme v kapitole ?? poté, co se seznámíme s integrálními transformacemi.

Definice 3.1.1 Nechť je funkce y = f(x) definována v bodech x0, x1, . . . , xn.Diferencí prvního řádu nebo také první diferencí funkce f(x) v bodě xk nazýváme přírustek

∆f(xk) = f(xk+1)− f(xk).

Diferencí druhého řádu nebo také druhou diferencí funkce f(x) v bodě xk nazýváme výraz

∆2f(xk) = ∆f(xk+1)−∆f(xk).

Diferencí řádu n nebo také n–tou diferencí funkce f(x) v bodě xk nazýváme výraz

∆nf(xk) = ∆n−1f(xk+1)−∆n−1f(xk).

Body x0, x1, . . . , xn přitom mohou být libovolné. Ve speciálním případě, kdy jsouvšechny rozdíly ∆xk = xk+1−xk stejně velké a rovnají se číslu h, platí, že xi+1 = xi+h =x0 + (i+ 1)h, i = 0, 1, . . . , k. Je-li speciálně h = 1, dostáváme, že xi+1 = x0 + i+ 1, tedy∆f(xk) = f(x0 + k + 1)− f(x0 + k).1

V dalším textu budeme místo označování f(x+k) = y(x+k) používat stručnější zápisyx+k.

1Volba h = 1 přitom není na újmu obecnosti, protože je-li h 6= 1, položíme x = ht a dostávámexk = x0 + hk = t0h + hk = h(t0 + k), tedy je f(xk) = f(h(t0 + k)) = ϕ(t0 + k).

33


Definice 3.1.2 Diferenční rovnicí nazýváme rovnici, v níž se kromě neznámé funkce vy-skytuje také její diference. Nejčastěji ji zapisujeme ve tvaru

yx+n = F (x, yx, yx+1, . . . , yx+n−1) = 0. (3.1.1)

Řádem diferenční rovnice (3.1.1), která obsahuje členy yx a yx+n, nazýváme číslor = n. Obsahuje-li však rovnice (3.1.1) členy yx+n a yx+k, ale neobsahuje členyyx, yx+1, . . . , yx+k−1, nazýváme jejím řádem číslo r = n− k.

Ve vyjádření 3.1.1 se vyskytují členy yx+k, kde k = 0, 1, . . . , n, avšak diference funkcey = f(x) byla definována pomocí výrazů ∆if(xk), kde i = 0, 1, . . . n.

Věta 3.1.1 Nechť funkce yx = f(x) je definována v bodech x, x+ 1, . . . , x+ k, . . . , x+ n.Pro její diferenci řádu n platí

∆nyx =

(n

0

)yx+n −

(n

1

)yx+n−1 + . . .+ (−1n)

(n

n

)yx =

n∑k=0

(−1)k(n

k

)yx+n−k.

Při porovnání pojmů řád obyčejné diferenciální rovnice a řád diferenční rovnice jevidět podstatný rozdíl. Řádem obyčejné diferenciální rovnice se rozumí nejvyšší řád de-rivace neznámé funkce, která se v rovnici vyskytuje, avšak řád diferenční rovnice nenídefinován jako nejvyšší řád diference neznámé funkce.2

Příklad 3.1.1 Určení řádu diferenční rovniceUrčete řád diferenční rovnice ∆3yx + ∆2yx = 0.

Řešení: Použitím věty 3.1.1 převedeme rovnici do tvaru

yx+3 − 3yx+ 2 + 3yx+1 − yx + yx+2 − 2yx+1 + yx = 0

yx+3 − 2yx+2 + yx+1 = 0,

z něhož je ihned vidět, že řád zadané rovnice je r = 3− 1 = 2.

Podobně jako u diferenciálních rovnic, má i u diferenčních rovnic pojem řešení několikvýznamů.

Definice 3.1.3 Řešením diferenční rovnice nazýváme každou funkci, která vyhovuje danérovnici. Obecným řešením diferenční rovnice řádu n nazýváme takové její řešení, které ob-sahuje n takových libovolných konstant, že každé řešení zadané rovnice se z něho dostanevhodnou volbou těchto konstant. Partikulárním řešením diferenční rovnice nazýváme ta-kové její řešení, které dostaneme z obecného řešení dosazením určitých čísel za jednotlivékonstanty.

2Důvodem je fakt, že takto definovaný řád by se vhodnými substitucemi argumentu mohl měnit.

Matematika 2 35

Poznámka 3.1.1 Všimněme si jednoho podstatného faktu: řešením diferenciální rovniceje funkce, která musí být definována pouze v určitých bodech – viz definice (3.1.1) a(3.1.2). Nemusí se tedy vůbec jednat o funkci, jejímž definičním oborem je množina (všech)reálných čísel, ale např. o funkci jejímž definičním oborem je množina (všech) přirozenýchčísel. V diferenčních rovnicích tedy můžeme mj. pracovat s posloupnostmi.

Při studiu diferenciálních rovnic jsme ukázali, že jsou-li vhodným způsobem zadányk rovnici nějaké další dodatečné podmínky, získáme místo obecného řešení diferenciálnírovnice jedno konkrétní partikulární řešení dané rovnice. Podobná situace nastává i přiřešení diferenčních rovnic.

Definice 3.1.4 Mějme dánu diferenční rovnici řádu k. Podmínky tvaru

y(x0) = f0, y(x0 + 1) = f1, . . . , y(x0 + n− 1) = fn−1, (3.1.2)

kde fi ∈ C, i = 0, 1, . . . , n−1, nazýváme počátečními podmínkami diferenční rovnice řádun.

Příklad 3.1.2 Příklad zadání počátečních podmínek diferenční rovniceNajděte řešení diferenční rovnice 3yx+2 + 2yx+1 − yx = x2 + 5 za počátečních podmíneky(0) = 0, y(1) = 2.

3.2 Lineární diferenční rovnice s konstantními koefi-cienty

Typů diferenčních rovnic existuje celá řada – podobně jako u diferenciálních rovnic sebude zabývat pouze jedním z jednodušších typů.

Definice 3.2.1 Lineární diferenční rovnicí řádu n nazýváme rovnici tvaru

yx+n + A1yx+n−1 + . . .+ Anyx = B(x), (3.2.1)

kde Ai, i = 0, 1, . . . , n jsou funkcemi argumentu x, přičemž An 6≡ 0. Jestliže B(x) ≡ 0,nazýváme tuto rovnici zkrácenou, je-li B(x) 6≡ 0 nazýváme tuto rovnici nezkrácenou.

U diferenciálních rovnic jsme definovali lineární rovnici také. Ukázalo se, že v případě,že funkce Ai, i = 0, 1, . . . , n−1, vyskytující se ve vyjádření (2.2.1) jsou konstantní, je řešenítakových rovnic mnohem jednodušší. Analogická situace nastává i u diferenčních rovnic;v dalším textu se proto budeme zabývat jen speciálním typem lineárních diferenčníchrovnic.

Definice 3.2.2 Jsou-li všechny funkce Ai(x), i = 0, 1, . . . , n ve vyjádření (3.2.1) kon-stantní, přičemž An 6= 0, nazýváme lineární diferenční rovnici (3.2.1) lineární diferenčnírovnicí s konstantními koeficienty a píšeme ji ve tvaru

yx+n + a1yx+n−1 + . . .+ anyx = B(x), (3.2.2)


Vidíme, že zkrácená lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty je jistouanalogií homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koefieinty. To bude platiti pro její řešení, které budeme hledat podobným způsobem.

Definice 3.2.3 Nechť je dána zkrácená lineární diferenční rovnice řádu n ve tvaru

a0yx+n + a1yx+n−1 + . . .+ anyx = 0, (3.2.3)

kde ai, i = 0, 1, . . . , n jsou konstanty takové, že a0 6= 0 a an 6= 0.3 Algebraickou rovnici

a0rn + a1r

n−1 + . . .+ an = 0 (3.2.4)

nazýváme její charakteristickou rovnicí.

Věta 3.2.1 Mějme dánu zkrácenou lineární diferenční rovnici s konstantními koeficientytvaru (3.2.3) a její charakteristickou rovnici (3.2.4). Pak platí:

1. Je-li r ∈ R k−násobný kořen charakteristické rovnice, k ≥ 1, pak funkce

y1(x) = rx, y2(x) = xrx, . . . yk(x) = xk−1rx

jsou řešením zadané diferenční rovnice.

2. Je-li r1,2 dvojice komplexních k−násobných, k ≥ 1, kořenů charakteristické rovnicevyjádřených v goniometrickém tvaru jako r1,2 = ρ(cosϕ± sinϕ), pak

y1(x) = ρx cos (ϕx), y3(x) = xρx cos (ϕx), . . . y2k−1(x) = xk−1ρx cos (ϕx)

y2(x) = ρx sin (ϕx), y4(x) = xρx sin (ϕx), . . . y2k(x) = xk−1ρx sin (ϕx)

jsou řešením zadané diferenční rovnice.

Poznámka 3.2.1 Pokud považujeme x za spojitý argument – viz poznámka 3.1.1, převá-díme na goniometrický tvar také záporné reálné kořeny charakteristické rovnice.

Věta 3.2.2 Lineární kombinace všech řešení zkrácené lineární diferenční rovnice s kon-stantními koeficienty tvaru (3.2.3), získaných postupem uvedeným ve větě (3.2.1), před-stavuje obecné řešení této rovnice.

Příklad 3.2.1 Řešení zkrácené lineární diferenční rovnice s konstantními koeficientyNalezněte obecné řešení diferenční rovnice yx+2 + 6yx+1 + 9yx = 0.

Řešení: Nejprve sestavíme charakteristickou rovnici. Podle vyjádření (3.2.4) dostávámer2 + 6r + 9 = 0. Tato rovnice má jeden dvojnásobný kořen r1,2 = −3. Proto podlevěty 3.2.1 jsou řešením zadané rovnice funkce y1(x) = (−3)x a y2(x) = x(−3)x.Obecným řešením zadané diferenční rovnice je podle věty 3.2.2 funkce y(x) =c1(−3)x + c2x(−3)x. Pokud uvažujeme spojitý argument x, převedeme podle po-známky 3.2.1 číslo −3 na goniometrický tvar. Řešením tedy bude funkce y(x) =(c1 + c2x)3x[cos (πx) + sin (πx)].

Jinými diferenčními rovnicemi se nebudeme zabývat. V kapitole ?? si ukážeme je-den způsob řešení diferenčních rovnic, jejichž argument není spojitý ale diskrétní. Tímtozpůsobem budeme řešit lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty, a to jakzkrácené tak nezkrácené.3Všimněte si rozdílných požadavků na koeficienty ai v tomto vyjádření a ve vyjádření 3.2.2. Rozdíl je

ve skutečnosti pouze formální, protože ve vyjádření 3.2.2 je koeficient u členu yx+n roven jedné.

Kapitola 4

Funkce komplexní proměnné


V této kapitole rozšíříte své znalosti o funkcích. Na střední škole se automaticky předpo-kládaly reálné funkce reálných proměnných, které měly z didaktického hlediska tu výhodu,že bylo možné jednoduše sestrojit jejich grafy. V prvním ročníku jste si rozšířili znalosti ovlastnostech funkcí do té míry, že nyní umíte ze znalosti funkčního předpisu sami sestro-jit graf dané funkce. V aplikacích a technické praxi však reálné funkce reálné proměnnénepostačují. Musíme proto rozšířit pojem funkce do komplexního oboru.

Definice 4.1.1 Proměnná z, která může nabývat libovolných komplexních hodnot, se na-zývá komplexní proměnná. Komplexní číslo z přitom obvykle vyjadřujeme v algebraickémtvaru1

z = x+ jy

pro libovolná x, y ∈ R. Je-li dále ke každému komplexnímu číslu z ∈ G ⊆ C přiřazenonějakým předpisem f alespoň jedno komplexní číslo w = u + jv, kde u, v ∈ R, řekneme,že na množině G je definována komplexní funkce komplexní proměnné z, a píšeme

w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y).

Kvůli stručnosti tuto funkci také nazýváme komplexní funkce f(z) nebo jen funkce f(z).Množinu G nazýváme definiční obor funkce f(z). Funkci u(x, y) nazýváme reálná částfunkce f(z) a značíme ji Re w nebo Re f(z), funkci v(x, y) nazýváme imaginární částfunkce f(z) a značíme ji Im w nebo Im f(z).2

V dalším textu si ukážeme, že na komplexní funkci f(z) se můžeme při mnoha příle-žitostech dívat jako na dvojici reálných funkcí dvou proměnných u(x, y) a v(x, y). Z tohovyplývá nutnost umět najít reálnou a imaginární složku dané funkce. Z důvodu stručnostibudeme v dalším místo označování u(x, y) a v(x, y) často používat zkrácené označováníu a v.1V matematice bývá zvykem označovat komplexní jednotku písmenem i; v technické praxi se často

používá označování písmenem j.2Jestliže je G ⊆ R, řekneme, že na množině G je definována komplexní funkce reálné proměnné z.

Podobně můžeme definovat reálnou funkci komplexní proměnné.

37


Příklad 4.1.1 Určení reálné a imaginární části funkce f(z)Je dána komplexní funkce w = z2 + jz. Najděte její reálnou a imaginární část.

Řešení: Komplexní číslo z v předpisu w = z2 + jz uvažujeme podle definice 4.1.1 valgebraickém tvaru. Je proto

w = z2 + jz = (x+ jy)2 + j(x+ jy) = x2 + 2jxy + j2y2 + jx+ j2y =

= x2 + 2jxy − y2 + jx− y = x2 − y2 − y + j(2xy + x)

Reálná část hledané funkce je proto u = Re w = x2 − y2 − y a imaginární částje v = Im w = 2xy + x. Zbývá otázka definičního oboru zadané funkce – v zadánítotiž není uveden. Protože však funkce u i v jsou zřejmě definovány pro libovolnáx, y ∈ R, může být definičním oborem zadané funkce celá množina C, resp. libovolnájejí podmnožina.

Funkce f(z) v definici 4.1.1 přiřazuje každému číslu z definičního oboru alespoň jednokomplexní číslo. To je rozdíl oproti definici reálné funkce reálné proměnné definované vpředmětu Matematika 1, která každému číslu z definičního oboru přiřazovala právě jednuhodnotu. Má proto smysl následující rozlišení.

Definice 4.1.2 Jestliže funkce f : G → C, kde G ⊆ C přiřazuje každému číslu z ∈ Gprávě jedno číslo w ∈ C, říkáme, že funkce f(z) je jednoznačná. Jestliže funkce f(z) neníjednoznačná, říkáme, že je mnohoznačná.

V dalším textu uvidíme, že komplexní funkce mají některé neočekávané vlastnosti –např. bude vidět, že připustíme-li za definiční obor funkce w = ln z nějakou podmnožinumnožiny komplexních čísel, získáme mnohoznačnou funkci.

4.2 Limita, spojitost a derivace

V tomto odstavci si ukážeme, jak lze na komplexní funkce přenést některé pojmy, s nimižjste se seznámili v předmětu Matematika 1 : limita, spojitost a derivace. Všimněte si,že ve všech případech budou příslušné pojmy zobecněním pojmů známých z předmětuMatematika 1.

Definice 4.2.1 Nechť z0 je hromadným bodem množiny G ⊆ C a nechť f(z) je jed-noznačná funkce definovaná na definičním oboru G. Dále nechť U(z0) je okolí bodu z0.Řekneme, že bod z = x+ jy, patřící do okolí U(z0), se se blíží k bodu z0 a píšeme z → z0,jestliže [x, y] → [x0, y0]. Jestliže se pro z → z0 hodnoty funkce f(z) blíží k hodnotě w0,řekneme, že funkce f(z) má v bodě z0 limitu w0, a píšeme lim

z→z0f(z) = w0.

Definice 4.2.2 Nechť w = f(z) je komplexní funkce, jejímž definičním oborem je mno-žina G, a dále buď z0 ∈ G. Jestliže existuje limita lim

z→z0f(z) a platí, že

limz→z0

f(z) = f(z0),

řekneme, že funkce w = f(z) je spojitá v bodě z0.

Matematika 2 39

O spojitosti funkce f(z) v bodě lze rozhodnout podle chování její reálné a imaginárníčásti.

Věta 4.2.1 Funkce w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) je spojitá v bodě z0 = x0 + jy0 právětehdy, když její složky u(x, y) a v(x, y) jsou spojité v bodě [x0, y0].

Pojem derivace funkce komplexní proměnné se opět zavádí podobně jako v reálnémoboru. Musíme ovšem mít na paměti, že celá řada komplexních funkcí – např. funkcew = Re z+ Im z – nemá v reálném oboru analogii, nebo má jiné vlastnosti – viz např. jižzmiňovaná mnohoznačnost funkce w = ln z. Jak potom vypadá derivace takových funkcí?

Definice 4.2.3 Nechť z0 je vnitřní bod množiny G ⊂ C, na němž je definována jedno-značná funkce f(z). Derivací funkce f(z) v bodě z0 nazveme limitu

limz→z0

f(z)− f(z0)z − z0

. (4.2.1)

Derivaci funkce f(z) v bodě z0 značíme f ′(z0). Existuje-li derivace f ′(z) v každém okolíU(z0), pak se funkce nazývá holomorfní3 v bodě f(z0). Existuje-li derivace f ′(z) v každémbodě definičního oboru G, pak řekneme, že funkce f(z) je holomorfní na G.

Pro praktické ověřování, zda funkce má nebo nemá derivaci, slouží následující věta:

Věta 4.2.2 Nechť je dán bod z0 = x0 + jy0. Označme P = [x0, y0]. Dále nechť je dánafunkce w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y), taková, že parciální derivace u′x(P0), u′y(P0), v′x(P0)a v′y(P0) existují a jsou spojité. Pak derivace funkce f(z) v bodě z0 existuje právě tehdy,když současně platí

u′x(P0) = v′y(P0) u′y(P0) = −v′x(P0). (4.2.2)

Jestliže má funkce f(z) derivaci v bodě z0, pak pro tuto derivaci platí

f ′(z0) = u′x(P0) + jv′x(P0) = v′y(P0)− ju′y(P0). (4.2.3)

Příklad 4.2.1 Nalezení derivace komplexní funkce f(z)

1. Najděte derivaci funkce w = z, kde z značí číslo komplexně sdružené k číslu z =x+ jy.

Řešení: Nejprve je třeba nalézt reálnou a imaginární část zadané funkce. Zřejměje w = z = x − jy, tj. u = Re w = x a v = Im w = −y. Jak reálná takimaginární část jsou definovány pro libovolné reálné hodnoty, proto definičnímoborem funkce w = z je množina všech komplexních čísel.

Určíme příslušné parciální derivace požadované ve větě 4.2.2. Dostáváme: u′x =1, u′y = 0, v′x = 0, v′y = −1. Vidíme, že podmínky (4.2.2) nejsou splněny prožádný bod z0 = x0 + jy0, resp. P0 = [x0, y0]. Derivace funkce w = z tedyneexistuje v žádném bodě definičního oboru.

3Často se také používá označení analytická nebo regulární.


2. Najděte derivaci funkce w = z2 + 2z.

Řešení: Protože w = z2 + 2z = (x+ jy2) + 2(x+ jy) = x2 + 2jxy− y2 + 2x+ 2jy,máme u = Re w = x2 + 2x − y2 a v = Im w = 2xy + 2y. Jak reálná takimaginární část jsou definovány pro libovolné reálné hodnoty, proto definičnímoborem funkce w = z2 + 2z je množina všech komplexních čísel.

Určíme příslušné parciální derivace požadované ve větě 4.2.2. Dostáváme: u′x =2x + 2, u′y = −2y, v′x = 2y, v′y = 2x + 2. Vidíme, že podmínky (4.2.2) jsousplněny pro libovolný bod z0 = x0 + jy0, resp. P0 = [x0, y0]. Pro derivaci funkcew = z2 + 2z tedy v celém definičním oboru platí w′ = 2x + 2 + j2y. Totovyjádření lze upravit do tvaru w′ = 2(x+ jy) + 2 = 2z + 2.

Vidíme tedy, že derivace některých nikterak komplikovaných funkcí neexistují. Naopakpro jiné funkce platí, že jejich derivace v komplexním oboru je stejná, jako bychom sepohybovali v reálném oboru. Rovnost výsledků není náhodná, platí totiž, že pro derivováníkomplexních funkcí platí obdobná pravidla jako u příslušných funkcí reálné proměnné .4

4.3 Elementární funkce komplexní proměnné

Nyní si ukážeme několik elementárních funkcí komplexní proměnné a vzorce pro jejichvyjadřování.

Definice 4.3.1 Komplexním polynomem P komplexní funkce z nazýváme funkci tvaru

P (z) = α0 + α1z + α2z2 + . . .+ αnz

n, (4.3.1)

kde αi ∈ C, i = 0, 1, . . . , n. Číslo n nazveme stupeň komplexního polynomu P (z); pí-šeme st P (z). Komplexní racionální funkcí R nazýváme podíl dvou komplexních polynomůP (z), Q(z), takže

R(z) =P (z)Q(z)

. (4.3.2)

Rozepsáním je vidět, že komplexní polynom P (z) je spojitou funkcí pro všechna kom-plexní čísla z. Podobně je vidět, že komplexní racionální funkce R(z) je spojitá ve všechbodech svého definičního oboru, tj. ve všech bodech, kde je Q(z) 6= 0.

Definice 4.3.2 Následující vyjádření uvažujeme pro libovolné z ∈ C.Komplexní exponenciální funkcí ez nazýváme funkci

ez = 1 +z

1!+z2

2!+ . . . =

∞∑n=0

zn

n!(4.3.3)

4Hovoříme o tzv. zákonu permanence pravidel pro derivování funkcí komplexní proměnné. Protožederivování funkcí kompelxní proměnné je pouze na okraji našeho zájmu, nebudeme jej uvádět ve forměmatematické věty.

Matematika 2 41

Komplexní funkcí kosinus nazýváme funkci

cos z = 1− z2

2!+z4

4!− z6

6!+ . . . =

∞∑n=0

(−1)nz2n

(2n)!(4.3.4)

Komplexní funkcí sinus nazýváme funkci

sin z =z

1!− z3

3!+z5

5!+ . . . =

∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!(4.3.5)

Pro výše uvedené funkce platí následující důležité vztahy:

cos z = 12(ejz + e−jz) (4.3.6)

sin z = 12j (e

jz − e−jz) (4.3.7)

Z těchto vztahů získáme mj. další možnost vyjádření komplexních čísel. Pokud je totižporovnáme s goniometrickým tvarem komplexního čísla z = |z|(cosϕ+j sinϕ), dostávámevyjádření z = |z|ejϕ. Toto vyjádření nazýváme exponenciální tvar komplexního čísla z.

Pro hodnoty funkcí sin z a cos z samozřejmě neplatí, že nabývají hodnot pouze zintervalu 〈−1, 1〉 (jako v reálném oboru) – zejména proto, že v oboru komplexních číselnemá vůbec smysl mluvit o intervalech.5

Pomocí funkcí definovaných v definici 4.3.2 můžeme definovat další funkce, které jsouznámé již z reálného oboru.

Definice 4.3.3 Komplexní funkcí tangens nazýváme funkci

tgz =sin zcos z

, kde cos z 6= 0. (4.3.8)

Komplexní funkcí kotangens nazýváme funkci

cotgz =cos zsin z

, kde sin z 6= 0. (4.3.9)

Komplexní funkcí hyperbolický sinus nazýváme funkci

sinh z =12

(ez − e−z) (4.3.10)

Komplexní funkcí hyperbolický kosinus nazýváme funkci

cosh z =12

(ez + e−z) (4.3.11)

5Zkuste si např. do vztahu pro cos z ve vzorci 4.3.6 dosadit libovolné ryze imaginární číslo, tj. číslotvaru z = kj, kde k ∈ R. Poté dosaďte libovolné komplexní číslo.


I když mají výše uvedené funkce stejné názvy jako tytéž funkce v reálném oboru, resp.i když jsou rozšířením známých reálných funkcí, neznamená to, že se do komplexníhooboru beze zbytku přenášejí jejich vlastnosti známé z reálného oboru. Čemu se např.rovná hodnota ez+2kπj, kde k ∈ Z libovolné?

ez+2kπj = ez.e2kπj = ez[cos 2kπ + j sin 2kπ] = ez

Vidíme tedy, že komplexní exponenciální funkce ez je periodická!

Věta 4.3.1 Komplexní exponenciální funkce ez, komplexní funkce hyperbolický sinus akompexní funkce hyperbolický kosinus jsou periodické a mají nejmenší periodou 2πj.Komplexní funkce sinus a komplexní funkce kosinus jsou periodické a mají nejmenší pe-riodu 2π.

Z periodičnosti funkce ez vyplývá další důležitý poznatek. V reálném oboru je inverznífunkcí k funkci y = ex funkce y = lnx. Inverzní funkce k periodické funkci však nemůžebýt jednoznačná funkce (ve smyslu definice 4.1.2). Definování logaritmu v komplexnímoboru je proto poněkud složitější.6

Definice 4.3.4 Inverzní funkci k exponenciální funkci ez nazýváme (přirozená) logarit-mická funkce Ln z.

Věta 4.3.2 Jestliže z = |z|(cosϕ+j sinϕ), pak platí Lnz = ln |z|+j(ϕ+2kπ), kde k ∈ Z.

Definice 4.3.5 Pokud ve větě 4.3.2 položíme k = 0, píšeme ln z místo Lnz a tuto funkcinazýváme hlavní větev logaritmické funkce, resp. hlavní větev logaritmu.

Pokud nebude hrozit nedorozumění, budeme místo o hlavní větvi logaritmu mluvitpřímo o logaritmu. Je však třeba mít na paměti výše uvedené rozlišování. Přirozená lo-garitmická funkce definovaná v definici 4.3.4 totiž nemusí být na svém definičním oboruholomorfní (protože na C není jednoznačná). Hlavní větev logaritmu naopak holomorfníje.

Podobná situace nastává při definování tzv. obecné mocniny αz s komplexním zákla-dem α. Podobně jako u logaritmu bychom mohli obecnou mocninu definovat nejprve jakofunkci, o níž by se ukázalo, že je mnohoznačná, a pak se omezit pouze na její hlavní větev.Pro naše účely však postačuje následující definice.

Definice 4.3.6 Obecnou mocninou αz s komplexním základem α, kde α 6= 0, α 6= 1nazýváme funkci definovanou vztahem

αz = ez lnα, (4.3.12)

kde lnα je hlavní větev logaritmu Lnα.

6Následující definice není zcela korektní; pro účely tohoto textu však postačuje. Přesnou definici lzenalézt např. v [?].

Matematika 2 43

Příklad 4.3.1 Určete hodnoty následujících výrazů (uvažujte pouze hlavní větve loga-ritmu).

1. ln (−1)

Řešení: Protože −1 = (cos π + j sin π) = ejπ, máme ln (−1) = ln 1 + jπ = jπ.

2. jj

Řešení: Podle (4.3.12) je jj = ej ln j. Protože j = cos π2 +j sin π

2 , je ln j = ln 1+j π2 ,tedy po dosazení jj = ej

2 π2 = e−

π2 .

4.4 Integrál funkce komplexní proměnné

Situace při integrování funkcí v komplexním oboru bude poněkud složitější než v reálnémoboru. Prozatím jste rozlišovali integrály dvojího druhu – neurčitý s jeho vztahem k pojmuprimitivní funkce a určitý s jeho geometrickým významem jako obsah jisté plochy. Nynízačneme pracovat s integrálem, kde bude důležitou roli hrát křivka, po níž bude integraceprobíhat.

Definice 4.4.1 Nechť jsou dány dvě reálné funkce f : 〈α, β〉 → R a g : 〈α, β〉 → R danépředpisy f = x(t) a g = y(t) pro každé t ∈ 〈α, β〉. Nechť jsou f, g spojité a jejich derivacenechť jsou po částech spojité. Nechť je dále dána funkce Γ definovaná na intervalu 〈α, β〉,tj. Γ : 〈α, β〉 → C, taková, že

Γ : z(t) = x(t) + jy(t) (4.4.1)

pro každé t ∈ 〈α, β〉. Říkáme, že funkce Γ je po částech hladká orientovaná křivka vkomplexní rovině. Bod z(α) nazýváme jejím počátečním bodem; bod z(β) nazýváme jejímkoncovým bodem. Vyjádření (4.4.1) nazýváme parametrickým vyjádřením nebo paramet-rickou rovnicí křivky Γ.

Všimněte si, že v definici 4.4.1 pracujeme s komplexní funkcí reálné proměnné, tj. tnabývá reálných hodnot. Jinak bychom nemohli mluvit o intervalu 〈α, β〉. V definici jepoužit výraz orientovaná křivka. JAK MOC SE TOMU VĚNOVAT?

Příklad 4.4.1 Parametrická vyjádření některých často užívaných křivek

1. Úsečka s krajními body z1, z2:

z(t) = z1 + (z2 − z1)t, t ∈ 〈0, 1〉. (4.4.2)

2. Kladně orientovaná kružnice se středem v bodě z0 a poloměrem r:

z(t) = z0 + r.ejt, t ∈ 〈0, 2π〉. (4.4.3)


Definice 4.4.2 Nechť f(z) = u(x, y) + jv(x, y) je spojitá a jednoznačná funkce na počástech hladké orientované křivce Γ : z(t) = x(t) + jy(t), t ∈ 〈α, β〉. Pak integrálemfunkce f po křivce Γ nazýváme výraz

∫Γ

f(z)dz =

β∫α

f(z(t))z′(t) dt. (4.4.4)

Křivku Γ nazýváme integrační cesta.

Pro takto definované integrály platí analogie vět známých z reálného oboru.

Věta 4.4.1 Buďte f(z), f1(z), f2(z) funkce komplexní proměnné, Γ,Γ1,Γ2 po částechhladké orientované křivky a k ∈ C. Pak platí:∫

Γ

(f1(z) + f2(z))dz =∫Γ

f1(z)dz +∫Γ

f2(z)dz (4.4.5)∫Γ

kf(z)dz = k∫Γ

f(z)dz (4.4.6)

Jestliže Γ = Γ1 ∪ Γ2 a Γ1 a Γ2 mají jediný společný bod, pak∫Γ

f(z)dz =∫Γ1

f(z)dz +∫Γ2

f(z)dz, (4.4.7)

Jestliže Γ2 je opačně orientovaná křivka Γ1, pak∫Γ1

f(z)dz = −∫Γ2

f(z)dz (4.4.8)

Z definice 4.4.2 vyplývá, že výpočet integrálu funkce komplexní proměnné po křivce Γpřevedeme na výpočet určitého integrálu reálné funkce reálné proměnné. Ze vzorce 4.4.4vyplývá provázanost integrálu s integrační cestou. Je zřejmé, že integrál ze stejné funkcepo různých křivkách je různý.

Příklad 4.4.2 Výpočet integrálu komplexní funkce po křivceVypočtěte následující integrály

∫Γ

f(z)dz, je-li dáno:

1. f(z) = Re z, Γ je úsečka s počátečním bodem z1 = 0 a koncovým bodem z2 = 1 + j.

Řešení: Podle vztahu 4.4.2 je parametrické vyjádření Γ : z(t) = (1 + j)t, kdet ∈ 〈0, 1〉. Pro výpočet integrálu potřebujeme následující údaje:

Γ : z(t) = (1 + j)tα, β : α = 0, β = 1

z′(t)dt : dz = (1 + j)dtf(z(t)) : Re z = t

Celkem tedy získáváme, že∫Γ

Re zdz =1∫0t(1 + j)dt = (1 + j)[ t

2

2 ]10 = 12 + 1

2j.

Matematika 2 45

2. f(z) = Re z, Γ je lomená čára spojující body z1 = 0, z2 = 1, z3 = 1 + j.

Řešení: Zadaná funkce je sice stejná jako v předcházejícím případě, ale integračnícesta je jiná (i když počáteční a koncový bod jsou stejné). Lomená čára zcelajistě splňuje předpoklady pro použití vztahu (4.4.7). Za Γ1 budeme považovatúsečku spojující body z1 = 0 a z2 = 1 a za Γ2 úsečku spojující body z2 = 1 az3 = 1 + j. Pro výpočet integrálu potřebujeme následující údaje:

Γ1 : z(t) = t Γ2 : z(t) = 1 + jtα1, β1 : α1 = 0, β1 = 1 α2, β2 : α2 = 0, β2 = 1z′(t)dt : dz = dt z′(t)dt : dz = jdtf(z(t)) : Re z = t f(z(t)) : Re z = 1

Celkem tedy ∫Γ

Re zdz =

1∫0

tdt+

1∫0

jdt = [t2

2]10 + j[t]10 =

12

+ j,

přičemž pro druhý integrál jsme použili vzorec (4.4.6).

Provázanost integrálu s integrační cestou je nepříjemná, protože vpodstatě znemožňujemluvit o integrálu ve smyslu určitého integrálu známého z předmětu Matematika 1. Vespeciálních případech to však možné je, jak je patrné z níže uvedených příkladů 4.4.3 a4.4.4.

Definice 4.4.3 Uzavřenou křivkou nazýváme takovou křivku Γ, jejíž počáteční bodsplývá s jejím koncovým bodem. Rovinnou oblast7 Ω nazýváme jednoduše souvislouoblastí, jestliže splňuje následující podmínku: zvolíme-li v Ω libovolnou uzavřenou křivkuΓ, pak do Ω patří všechny části roviny ohraničené křivkou Γ.

Definice 4.4.4 Buď Ω rovinná oblast a f(z) funkce komplexní proměnné. Jestliže existujefunkce F (z) s vlastností, že F ′(z) = f(z) pro každé z ∈ Ω, pak píšeme, že∫

f(z)dz = F (z) + C

a říkáme, že F (z) je primitivní funkcí k funkci f(z).

Věta 4.4.2 Nechť funkce f(z) je spojitá a má primitivní funkci F (z) v jednoduše souvisléoblasti Ω. Nechť dále Γ je libovolná po částech hladká orientovaná křivka s počátečnímbodem z1 a koncovým bodem z2 ležící Ω. Pak hodnota integrálu

∫Γ

f(z)dz nezávisí na tvaru

křivky Γ ale pouze na jejích krajních bodech a platí∫Γ

f(z)dz = F (z2)− F (z1). (4.4.9)

7Pojem oblast byl definován v předmětu Matematika 1.


Věta 4.4.3 Nechť je dána funkce f(z), která je holomorfní v jednoduše souvislé oblastiΩ. Pak pro její integrál po každé uzavřené křivce Γ, která leží v Ω platí∫

Γ

f(z)dz = 0. (4.4.10)

Příklad 4.4.3 Výpočet integrálu komplexní funkceVypočtěte následující integrály

∫Γ

f(z)dz, je-li dáno:

1. f(z) = sin z, Γ je úsečka spojující body z0 = 0 a z1 = πj

Řešení: Úsečka je zcela jistě po částech hladká orientovaná křivka. Vzhledem ktomu, že funkce f(z) = sin jz je na celém oboru C spojitá a holomorfní a vzhle-dem k zákonu permanence pravidel pro derivování funkcí komplexní proměnné(viz str. 40) je primitivní funkcí k funkci f(z) = sin jz funkce F (z) = cos jz.Můžeme proto použít větu 4.4.2. Dostáváme, že∫

Γ

sin jzdz = −1j

[cos jz]πj0 = −2j.

2. f(z) = ez, Γ je obvod kladně orientovaného obdélníka s vrcholy z1 = −1, z2 = 1,z3 = 1 + j, z4 = −1 + j

Řešení: Protože funkce f(z) = ez je holomorfní na celé množině C a Γ je uzavřenákřivka, můžeme použít větu 4.4.3. Hledaný integrál je tedy roven nule.

Věta 4.4.4 Nechť funkce f(z) je holomorfní uvnitř a na křivce Γ, která je uzavřená, počástech hladká a kladně orientovaná.8 Pak platí:∫

Γ

f(z)z−z0 dz = 2πjf(z0), jestliže z0 leží uvnitř Γ,∫

Γ

f(z)z−z0 dz = 0, jestliže z0 leží vně Γ.

Vzorec uvedený v této větě se často nazývá Cauchyho vzorec. Všimněte si, že větanepopisuje případ, kdy z0 ∈ Γ.

Vzhledem k tomu, že v komplexením oboru lze každý polynom rozložit na součin li-neárních polynomů, lze i každou komplexní racionální funkci R(z) = P (z)

Q(z) takovou, žest P (z) < st Q(z) rozložit (rozkladem na parciální zlomky, tj. postupem známým z před-mětu Matematika 1 ) na součet funkcí stejného typu jako je uvedeno ve větě 4.4.4.

Příklad 4.4.4 Výpočet integrálu komplexní funkce pomocí Cauchyho vzorceVypočtěte

∫Γ

dzz(z2+1)2 , je-li Γ kružnice se středem z0 = 0 a poloměrem r = 1

2 .

8V tomto textu budeme kladnou orientaci vždy předpokládat.

Matematika 2 47

Řešení: Kružnice je uzavřená křivka. Pokud výraz 1z(z2+1)2 rozložíme na parciální zlomky,

bude čitatel každého zlomku komplexní číslo, resp. konstantní funkce, tj. funkce, kteráje na celém oboru C holomorfní. Budou tedy splněny předpoklady věty 4.4.4. Platí:

1z(z2 + 1)2

=A

z+

B

(z + j)2+

C

z + j+

D

(z − j)2+

E

z − jDříve než začneme hledat konstanty A,B,C,D,E je vhodné si všimnout jmenovatelůparciálních zlomků a porovnat je se zlomky ve větě 4.4.4. Body z0 = j a z0 = −jleží vně Γ, proto ať budou čísla B,C,D,E jakákoliv, budou příslušné zlomky rovnynule. Stačí tedy určit pouze konstantu A. Lehce se ukáže, že A = 1. Proto:∫

Γ

dzz(z2 + 1)2

=∫Γ

dzz

= 2πj.

4.5 Řady v komplexním oboru a jejich využití přiintegrování

Z předmětu Matematika 1 si vzpomínáte, že funkce je možné v okolí jistých bodů nahraditnekonečnou řadou. Podobně lze postupovat i v komplexního oboru. Jisté členy takovýchřad pak budou hrát důležitou roli při integraci komplexních funkcí. Nejprve však mu-síme zavést několik dalších pojmů, které jsou ovšem pouze analogiemi pojmů známých zreálného oboru.

Definice 4.5.1 Nechť cn∞n=1 je posloupnost komplexních čísel cn = an + jbn, kde an, bnjsou reálná čísla, n = 1, 2, . . . ,∞. Řadu

c1 + c2 + c3 + . . . =∞∑n=1

cn (4.5.1)

nazýváme komplexní řadou. Řadu

c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + . . . =∞∑n=0

(z − z0)n (4.5.2)

nazýváme komplexní mocninnou řadou se středem v bodě z0. Výraz sn =n∑i=1

ci nazýváme

n−tý částečný součet. Posloupnost sn∞n=1 se nazývá posloupnost částečných součtů.

Existuje-li vlastní limita limn→∞

sn = s, říkáme, že řada∞∑c=1

konverguje a číslo s nazýváme

jejím součtem. Jestliže řada nekonverguje, říkáme, že diverguje.

Věta 4.5.1 Komplexní řada∞∑n=1

cn =∞∑n=1

(an + jbn), kde an, bn ∈ R konverguje a jejím

součtem je číslo s = a + jb právě tehdy, když konvergují obě reálné řady∞∑n=1

an a∞∑n=1

bn,

přičemž platí, že∞∑n=1

an = a a∞∑n=1

bn = b.


Rozhodování o konvergenci a divergenci komplexních řad je podobné jako u reálnýchřad. Podobně je tomu i u mocninných řad, kde stejně jako v reálném oboru pracujeme spojmem poloměr konvergence.

V předmětu Matematika 1 jste zaváděli pojem Taylorova řada. Jejím zobecněním jenásledující konstrukce. Uvědomte si, že množina bodů z ∈ C taková, že |z − z0| < r jekružnice se středem z0 a poloměrem r.

Věta 4.5.2 Nechť je dána funkce f(z), která je holomorfní na mezikruží 0 < r1 < |z −z0| < r2. Pak pro každé z ležící v tomto mezikruží, lze funkci f(z) rozvinout do řady

f(z) =∞∑

n=−∞

an(z − z0)n, (4.5.3)

pro jejíž koeficienty platí n ∈ Z a

an =1

2πj

∫Γ

f(z)dz(z − z0)n+1

, (4.5.4)

kde Γ je libovolná kružnice se středem v bodě z0 a poloměrem r takovým, že r1 < r < r2.

Věta 4.5.3 Nechť je dána funkce f(z). Je-li možné ji v mezikruží 0 < r1 < |z − z0| < r2

rozvést do řady (4.5.3), pak pro její koeficienty platí (4.5.4).

Definice 4.5.2 Řada konstruovaná ve větě 4.5.2 se nazývá Laurentova řada. Její částpro −∞ < n ≤ −1 se nazývá hlavní část Laurentovy řady; její část pro 0 ≤ 0 < n senazývá regulární část Laurentovy řady. Bod z0 nazýváme středem Laurentovy řady.

Častým případem komplexních funkcí jsou komplexní racionální funkce. Tyto funkcejsou holomorfní v celém oboru C, ovšem s výjimkou kořenů jmenovatele. Tuto představumůžeme zobecnit a takové body klasifikovat. Pojmy, které nyní zavedeme, mohou výraz-ným způsobem ulehčit výpočet integrálů komplexních funkcí.

Definice 4.5.3 Buď f(z) jednoznačná funkce. Bod z0 ∈ C nazýváme izolovaným singu-lárním bodem funkce f(z), jestliže f(z) není v bodě z0 holomorfní, avšak existuje r > 0takové, že v oblasti 0 < |z − z0| < r funkce f(z) holomorfní je.

Jinými slovy, bod z0 je izolovaným singulárním bodem, jestliže v je funkce holomorfnína nějakém jeho okolí, ale není holomorfní přímo v něm. Následující věta a definice mj.vysvětlují, proč bylo nutné definovat pojem Laurentovy řady.

Věta 4.5.4 Existuje r > 0 takové, že lze zkonstruovat Laurentovu řadu funkce f(z) sestředem z0, která v oblasti 0 < |z − z0| < r konverguje .

Definice 4.5.4 Izolovaný singulární bod z0 nazveme pólem9funkce f(z), jestliže hlavníčást Laurentovy řady této funkce se středem z0 má konečný počet členů. Index posledníhočlenu hlavní části této řady se nazývá řád pólu.

9Typů izolovaných singulárních bodů existuje více; pro naše účely však stačí definovat pouze póly.

Matematika 2 49

Věta 4.5.5 Jestliže je f(z) = P (z)Q(z) racionální lomená funkce, pak nemá jiné izolované

singulární body než kořeny jmenovatele Q(z). Každý izolovaný singulární bod funce f(z)je navíc pólem. Pro každý pól komplexní racionální funkce navíc platí, že jeho řád je rovennásobnosti kořene rovnice Q(z) = 0.

Příklad 4.5.1 Určení izolovaných singulárních bodů komplexní racionální funkceJe dána funkce f(z) = z

z4+16 . Popište její izolované singulární body.

Řešení: Funkce f(z) je komplexní racionální funkce. Má tedy pouze póly, které lze určitjako řešení rovnice z4 − 16 = 0. Řád těchto pólů je násobnost příslušných kořenů.Protože

z4 − 16 = (z2 − 4)(z2 + 4) = (z − 2)(z + 2)(z − 2j)(z + 2j),

jsou póly funkce f(z) právě body z1 = 2, z2 = −2, z3 = 2j, z4 = −2j. Řád každéhopólu je 1.

Pokud budeme chtít integrovat komplexní funkce jistého speciálního tvaru (zejménaracionální komplexní funkce), sehrají izolované singulární body (zejména póly) význam-nou roli.

Definice 4.5.5 Nechť je dána funkce f(z) a její rozvoj do Laurentovy řady se středem

z0 ve tvaru f(z) =∞∑

n=−∞an(z − z0)n. Koeficient an−1 v tomto rozvoji nazýváme reziduum

funkce f(z) v bodě z0 a píšeme rezz=z0

f(z).

Věta 4.5.6 Nechť komplexní funkce f(z) je holomorfní uvnitř a na jednoduché uzavřené,kladně orientované křivce Γ s výjimkou pólů z1, z2, . . . , zn uvnitř Γ. Pak platí:∫

Γ

f(z)dz = 2πjn∑k=1

rezz=zk

f(z). (4.5.5)

Podmínky předcházející věty splňuje např. každá racionální komplexní funkce. Vidímetedy, že pokud chceme určit integrál z takové funkce přes libovolnou jednoduchou uza-vřenou a kladně orientovanou křivku, stačí pouze sečíst rezidua v pólech této racionálnílomené funkce. Uvedený postup je tedy v tomto případě alternativou k rozkladu na par-ciální zlomky a užití věty 4.4.4 – viz příklad 4.4.4.

Z definice pojmu reziduum a ze srovnání definice 4.5.5 a vzorců 4.5.4 pro koeficientyLaurentovy řady ovšem vyplývá, že takový postup nejspíš bude velmi pracný. Následujícívěta tyto překážky odstraní – podává návod na řešení konkrétních příkladů.

Věta 4.5.7 Nechť je dána funkce f(z), která má v bodě z0 pól. Jedná-li se o pól prvníhořádu, pak platí:

rezz=z0

f(z) = limz→z0

(z − z0)f(z), (4.5.6)

jedná-li se obecně o pól řádu m, platí:

rezz=z0

f(z) =1

(m− 1)!limz→z0

∂m−1

∂zm−1[(z − z0)mf(z)]. (4.5.7)


Příklad 4.5.2 Výpočet integrálu pomocí reziduíVypočtěte

∫Γ

z2

(z2+1)2 , je-li křivka Γ dána rovnicí |z + j| = 1.

Řešení: Křivka Γ je kružnicí o středu z = −j a poloměru 1, zadaná funkce je kom-plexní racionální funkcí. Mohli bychom ji tedy rozložit na parciální zlomky a použítvětu 4.4.4. Stejně tak ovšem můžeme použít i větu 4.5.6 (zdůvodněte si sami). Nej-prve najdeme póly zadané funkce. Je vidět, že funkce má dva póly, a sice bodyz1 = −j, z2 = j. Oba jsou druhého řádu, ale pouze z1 leží uvnitř Γ. Bude proto∫

Γ

z2

(z2 + 1)2= 2πj rez

z=−j

z2

(z2 + 1)2.

Protože z1 je pól druhého řádu, budeme muset použít vzorec 4.5.7. Připomeňme, že∂m−1∂zm−1 značí derivaci řádu m− 1 podle proměnné z. Máme

rezz=−j

z2

(z2 + 1)2= lim

z→−j[(z + j)2 z2

(z + 1)2]′ = lim

z→j[

z2

(z − j)2]′ = lim

z→−j

−2jz(z − j)3

=j

4.

Pro hledaný integrál tedy platí∫Γ

z2

(z2+1)2 = 2πj j4 = −π2 .

Výpočet reziduí v pólech funkcí (a tedy podle věty 4.5.6 také integrálů) máme usnad-něn také v případě, že integrovaná funkce je podílem dvou holomorfních funkcí.

Věta 4.5.8 Nechť f(z) = ϕ(z)ψ(z) , kde funkce ϕ(z) a ψ(z) jsou holomorfní v bodě z0 a

ϕ(z0) 6= 0, ψ(z0) 6= 0, ψ(z0)′ 6= 0. Pak má funkce f(z) v bodě z0 pól prvního řádu a platí

rezz=z0

f(z) =ϕ(z0)ψ(z0)′

. (4.5.8)

Příklad 4.5.3 Výpočet rezidua v pólech funkce – podílu dvou holomorfních funkcíVypočtěte rezidua ve všech pólech funkce f(z) = 1

sin z .

Řešení: Zadaná funkce splňuje předpoklady věty 4.5.8 – funkce ϕ(z) = 1 a ψ(z) = sin zjsou holomorfní v celém oboru C. Řešením rovnice sin z = 0 jsou body zk = kπ, kdek ∈ Z. Dále platí, že [sin z]′ = cos z a cos kπ 6= 0. Funkce f(z) má tedy v bodechzk = kπ, k ∈ Z, póly prvního řádu. Platí

rezz=zk

1[sin kπ]′

=1

cos kπ=

1(−1)k

= (−1)k.

Kapitola 5

Integrální transformace

5.1 Matematický aparát pro signály

5.1.1 Diracova zobecněná funkce δ(t), zobecněná derivace

Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou nulové vně ma-lého intervalu, jejichž integrál je nenulový. Takový charakter má veliká síla působící povelmi krátkou dobu (náraz) velké elektrické proudy působící jen velice krátkou dobu (elek-trický impuls) aj. Z věty o střední hodnotě integrálu vyplývá, že funkční hodnoty takovétofunkce musí velké a pro délku intervalu blížící se nule musí funkční hodnoty růst nadevšechny meze. Provedením obvyklého limitního přechodu, bychom získali funkci nulovous výjimkou jednoho bodu s neohraničenou funkční hodnotou. Integrál z takovéto funkce jeovšem nulový a tedy výše naznačený postup je nevyhovující. Budeme postupovat podobnějako jako u reálných čísel, kdy iracionální čísla chápeme jako posloupnost čísel racionál-ních blížících se k danému iracionálnímu číslu. Budeme se zabývat posloupností funkcímajících výše popsanou vlastnost, rostoucích funkčních hodnot na zužujícím se inter-

valu. Prototypem je posloupnost obdélníkových kmitů fn(t) =n

2

(η(t− 1

n)− η(t+

1n

)

).

51


Jako zobecnění tohoto pojmu zavedeme pojem jehlové funkce

Definice 7 Spojitou příp. po částech spojitou funkci δ(t, λ) argumentu t závislou na pa-rametru λ se nazveme jehlovou jestliže platí:

1. δ(t, λ) = 0 pro |t| > λ;

2. δ(t, λ) ≥ 0 pro |t| < λ;

3.∫ ∞−∞

δ(t, λ)dt =∫ λ

−λδ(t, λ)dt = 1

Uvažme limitní chování jehlové funkce δ(t, λ) pro λ→ 0. Současně platí

• δ(t, λ) = 0 pro t 6= 0 a λ→ 0.

• δ(0, λ) =∞ pro λ→ 0, což plyne užitím věty o střední hodnotě určitého integrálu.

To znamená, že limita jehlové funkce v klasickém slova smyslu neexistuje. Uvažujme

proto limitní chování∫ b

a

f(t)δ(t, λ)dt pro λ→ 0 a spojitou funkci f(t). I v tomto případě

nastanou dva případy.

• Pro ab < 0 (a < b) platí∫ b

a

f(t)δ(t, λ)dt =∫ λ

−λf(t)δ(t, λ)dt = f(τ)

∫ λ

−λδ(t, λ)dt = f(τ),

• Pro ab > 0 (a < b) platí∫ b

a

f(t)δ(t, λ)dt = 0

Protože hodnota limλ→0

∫ b

a

f(t)δ(t, λ)dt nezávisí na volbě konkrétní jehlové funkce δ(t, λ)

můžeme použít stručnější zápis

Definice 8 Zaveďme označení

limλ→0

∫ b

a

f(t)δ(t, λ)dt =∫ b

a

f(t)δ(t)dt. (5.1.1)

Zde užitý symbol δ(t) nazýváme Diracovou distribucí, Diracovým impulsem. Je tzv. zo-becněnou funkcí, charakterizující limitní chování jehlové funkce δ(t, λ) pro λ→ 0 a užíváse při výpočtu integrálů.

Pro Diracovu distribuci δ(t) a spojitou funkci f(t) platí∫ ∞−∞

f(t)δ(t− t0)dt =∫ ∞−∞

f(t)δ(t0 − t)dt = f(t0) (5.1.2)

Matematika 2 53

Pro monotónní funkci, která má prostý nulový bod v 0 ϕ(0) = 0 ∧ ϕ′(0) 6= 0 platí∫ ∞−∞

f(t)δ(ϕ(t))dt =f(0)|ϕ′(0)|

(5.1.3)

Vztah mezi Diracovým impulsem a Heavisideovou funkcí η(t) je dán skutečností:

∫ t

−∞δ(θ)dθ = η(t) =

1 pro t > 0

0 pro t < 0.

Heavisideovou funkci jednotkového skoku tak můžeme chápat jako zobecněnou primitivnífunkci Diracova impulsu. Tento vztah je podobný vztahu mezi Heavisideovou funkcí η(t)a identickou funkcí ψ(t)

∫ t

−∞η(θ)dθ = ψ(t) =

t pro t > 0

0 pro t < 0.

Využitím vztahu mezi integrálem a derivací můžeme tak chápat Diracovu distribuci jakoderivaci Heavisideovy funkce jednotkového skoku, kterou můžeme dále chápat jako deri-vaci identické funkce ψ(t). Tj.

ψ′′(t) = η′(t) = δ(t).

Situaci ilustruje následující obrázek

Tato ukázka ilustruje obecnější situaci zavedení zobecněné derivace funkcí, které jsoupo částech spojité spolu s derivací.

Definice 9 Nechť je funkce f(t) nespojitá v t0, potom ji vyjádříme ve tvaru součtu

f(t) = ψ(t) + ( limt→t0+

f(t)− limt→t0−

f(t))η(t− t0),

kde funkce ψ(t) má v t0 odstranitelnou nespojitost a je možno ji v bodě t0 dodefinovat tak,že bude spojitá. Zobecněnou derivaci f ′o(t) lze lze potom vyjádřit ve tvaru distribuce

f ′o(t) = ψ′(t) + ( limt→t0+

f(t)− limt→t0−

f(t))δ(t− t0), (5.1.4)

kde ψ′(t) je derivací klasickou.


Uvedený postup koresponduje také se zavedením derivace zobecněné δ(t) funkce, tj. sta-novení limity pro h→ 0 z integrálu∫ b

a

f(t)δ(t+ h)− δ(t)

hdt =

f(−h)− f(0)h

Má–li funkce f(t) derivaci f ′(0) dostáváme

limh→0

∫ b

a

f(t)δ(t+ h)− δ(t)

hdt =

−f ′(0) pro 0 ∈ (a, b)

0 pro 0 6∈ (a, b)

Definice 10 Nechť funkce f(t) má f ′(t0) potom zavedeme označení

limh→0

∫ b

a

f(t)δ(t0 + h)− δ(t0)

hdt =

∫ b

a

f(t)δ′(t− t0)dt. (5.1.5)

Zde užitý symbol δ′(t) nazýváme derivací Diracovy distribuce. Analogicky zavádíme n–touderivaci Diracovy distribuce.

limh→0

∫ b

a

f(t)δ(n−1)(t0 + h)− δ(n−1)(t0)

hdt =∫ b

a

f(t)δ(n)(t− t0)dt =

(−1)nf (n)(t0) pro 0 ∈ (a, b)

0 pro 0 6∈ (a, b). (5.1.6)

Poznámka 1 Je-li navíc jehlová funkce sudá v proměnné t je možné vyjádřit i integrál zfunkce nespojité v bodě 0:∫ b

a

f(t)δ(t)dt =12

(limt→0+

f(t) + limt→0−

f(t)

)V následující ukázce budou výše uvedené vlastnosti demonstrovány na příkladech.

Příklad 6 1. Zjednodušte výraz (t3 + 1)δ(t− 2)Protože je funkce t3 + 1 spojitá lze daný výraz podle (5.1.2) nahradit (23 + 1)δ(t − 2) =9δ(t− 2).

Vypočtěte integrál∫ ∞

0e−ptδ(t− 3)dt

S využitím (5.1.2) a skutečnosti∫ 0

−∞e−ptδ(t− 3)dt = 0 dostáváme∫ ∞

0e−ptδ(t− 3)dt =

∫ i

−∞nftye−ptδ(t− 3)dt = e−3p

2. Vypočtěte integrál∫ ∞−∞

(t2 + 2)δ(5− 5t)dt

Postupně využijeme vlastnosti (5.1.2), (5.1.3) a dostáváme:∫ ∞−∞

(t2 + 2)δ(5− 5t)dt =15

∫ ∞−∞

(t2 + 2)δ(1− t)dt = 12 + 2 = 3

3. Následující funkce zapište jediným analytickým zápisem a určete její první a druhouzobecněnou derivaci.

Matematika 2 55

1.

f(t) =

2t pro −∞ < t < 0

3 pro 0 < t < 2

t2 pro 2 < t <∞

K požadovanému zápisu využijeme funkci jednotkového skoku. Uvažme funkci g(t) =2t + (3 − 2t)η(t). Pro t < 0 platí g(t) = 2t, neboť součin (3 − 2t)η(t) je nulový apro t > 0 platí g(t) = 2t + 3 − 2t = 3, neboť η(t)(3 − 2t) = 3 − 2t. Tedy platíg(t) = f(t) pro t < 2. V dalším zopakujeme daný postup, tj. k funkci g(t) přičtemesoučin η(t−2) se vhodnou funkci ve tvaru rozdílu analytického vyjádření funkce f(t)pro t > 3 minus analytického vyjádření funkce f(t) pro t < 3 tj.

f(t) = 2t+ (3− 2t)η(t) + (t2 − 3)η(t− 2).

Pro funkce vyjádřené „složitějiÿ postupujeme analogicky vždy „zleva dopravaÿ.

f ′o(t) =2− 2η(t) + (3− 2t)δ(t) + 2tη(t− 2) + (t2 − 3)δ(t− 2) =

2− 2η(t) + 3δ(t) + 2tη(t− 2) + δ(t− 2)

f ′′o (t) =− 2δ(t) + 3δ′(t) + 2η(t− 2) + 2tδ(t− 2) + δ′(t− 2) =

− 2δ(t) + 3δ′(t) + 2η(t− 2) + 4δ(t− 2) + δ′(t− 2)

Poznamenejme, že třetí zobecněná derivace bude pouze lineární kombinací funkcejednotkového skoku a jejich derivací.

2. Další funkcí je tzv. obecný trojúhelníkový impuls zadaný grafem, který je mimo in-terval [t1, t3] nulový a vrchol trojúhelníka má pro t = t2 (t1 < t2 < t3) hodnotuv.

K požadovanému zápisu využijeme funkci jednotkového skoku. Uvažme funkci

g1(t) =vt

t2 − t1η(t − t1). Tato funkce odpovídá danému signálu pro t < t2, neboť

pro t < t1 je nulová a pro t1 < t < t2 je to přímka procházející body [t1, 0], [t2, v].V dalším kroku přičteme násobek funkce η(t − t2), který „odečteÿ starou přímku

a „přičteÿ novou přímku tj. g2(t) = g1(t) −(

vt

t2 − t− 1+−vtt3 − t2

)η(t − t2).

analogicky „přičtemeÿ vhodný násobek funkce η(t− t3).

f(t) =vt

t2 − t1η(t− t1)− (

vt

t2 − t1+−vtt3 − t2

)η(t− t2)− −vt

t3 − t2η(t− t3),


což po úpravě dává

f(t) =

vt ((t3 − t2)η(t− t1) + (t1 − t3)η(t− t2) + (t2 − t1)η(t− t3))(t2 − t1)(t3 − t2)

Zobecněnou derivaci určíme snadno ze skutečnosti ψ′′(t) = η′(t) = δ(t).

f ′o(t) =

v ((t3 − t2)η(t− t1) + (t1 − t3)η(t− t2) + (t2 − t1)η(t− t3))(t2 − t1)(t3 − t2)

f ′′o (t) =

v ((t3 − t2)δ(t− t1) + (t1 − t3)δ(t− t2) + (t2 − t1)δ(t− t3))(t2 − t1)(t3 − t2)

(5.1.7)

5.1.2 Periodické a harmonické funkce

Při vyšetřování periodických dějů, jako jsou např. elektrické, mechanické a akustickékmity, kruhové pohyby apod. a při řešení diferenciálních či integrálních rovnic používámeperiodické funkce. Mějme dán interval I = < a, b > a označme T = b− a. Řekneme, žefunkce f(x) je periodická s periodou T , jestliže platí f(x+T ) = f(x) ∀x ∈ R. Zabývejme

Obr. 5.1.1: Periodická funkce

se nejdříve speciálními periodickými funkcemi.

Definice 11 Reálnou harmonickou funkcí nazýváme každou reálnou funkci, kterou jemožné zapsat v tzv. fázovém tvaru

f(t) = F cos(ωt+ ϕ), kde −∞ < t <∞. (5.1.8)

Je zřejmé, že harmonická funkce f(t) je jednoznačně určena trojicí parametrů F , zvanýmamplituda, ϕ, zvaným počáteční fáze a ω, zvaným frekvencí.

Udává-li funkce f(t) závislost nějaké fyzikální veličiny na čase, pak se hovoří o harmonic-kém kmitání. Poznamenejme navíc, že každé nenulové řešení diferenciální rovnice

f ′′ + ω2f = 0, kde ω > 0.

Matematika 2 57

Platí také, že harmonická funkce (5.1.8) je pro F 6= 0 periodická s periodou T = 2π/ω.Za předpokladu, že hodnota frekvence ω je pevně zvolena lze funkci (5.1.8) jedno-

značně určit dvojicí F , ϕ nebo jedním komplexním parametrem F nazývaným komplexníamplituda:

F = F ejϕ (= F (cosϕ+ j sinϕ)) , (5.1.9)

tj. |F | = F , arg F = ϕ. Pro harmonické funkce se stejnou frekvencí ω

f1(t) = F1 cos(ωt+ ϕ1) f2(t) = F2 cos(ωt+ ϕ2),

za předpokladu, žeF1 + F2 = F1ejϕ1 + F2ejϕ2 6= 0

je i součet harmonická funkce se stejnou frekvencí ω tj.

f(t) = F1 cos(ωt+ ϕ1) + F2 cos(ωt+ ϕ2) = F cos(ωt+ ϕ).

Navíc komplexní amplituda součtu je součtem komplexních amplitud tj.

F = F1 + F2.

Poznamenejme, že i funkce f(t) = F sin(ωt + ϕ) je také harmonická funkce, neboť platísin(ωt+ ϕ) = cos(ωt+ ϕ− π/2. Další možností zápisu harmonické funkce je

F cos(ωt+ ϕ) = a cosωt+ b sinωt,

přičemž a = F cosϕ, b = F sinϕ.

5.1.3 Fourierovy trigonometrické řady

Dále se budeme zabývat možností vyjádřit periodickou funkci f(t) s periodou T jako„součetÿ harmonických funkcí, které jsou T periodické. To jest

f(t) =a0

2+∞∑n=1

an cosnωt+ bn sinnωt, kde ωT = 2π. (5.1.10)

Tuto řadu nazýváme Fourierovou trigonometrickou řadou. Upozorněme, že Fourierovyřady se v technické praxi často používají velice formálně, bez ověření přípustnosti jejichpoužití, což může vést k naprosto nesprávným výsledkům. Pokud tedy provádíme různéoperace formálně, je nutné se zpětně přesvědčit, že použití všech operací bylo oprávněné.

O Fourierově řadě hovoříme, jestliže sčítané funkce tvoří tzv. ortogonální systém. Sys-tém funkcí v řadě (5.1.10)

1, cosωt, cos 2ωt, . . . , sinωt, sin 2ωt, . . .

je ortogonální, je-li zaveden skalární součin jako určitý integrál přes interval délky T zesoučinu dvou různých prvků tohoto systému, tj. pro m 6= n platí:∫ θ+T

θ

cosnωtdt =∫ θ+T

θ

sinnωtdt =∫ θ+T

θ

cosnωt cosmωtdt =∫ θ+T

θ

cosnωt sinmωtdt =∫ θ+T

θ

sinnωt sinmωtdt = 0 (5.1.11)


Tato vlastnost je podstatná pro určení tzv. Fourierových koeficientů an, bn tak, žezvolený koeficient získáme z lineární rovnice, která formálně vznikne vynásobenímrovnosti (5.1.10) funkcí, která násobí zvolený koeficient, a následnou integrací přesinterval délky T . Na pravé straně rovnice zůstane pouze jediný nenulový integrál, což jepatrné vzhledem ke vztahům (5.1.11):

an =2T

∫ θ+T

θ

f(t) cosnωtdt bn =2T

∫ θ+T

θ

f(t) sinnωtdt (5.1.12)

V některých aplikacích se dává přednost exponenciálnímu tvaru této řady, tj. tvaru

f(t) =∞∑

n=−∞

cnejnωt, kde ω =2πT. (5.1.13)

V tomto případě pro koeficienty cn lze odvodit vztahy:

cn =1T

∫ θ+T

θ

f(t)e−jnωtdt cn =an − jbn

2c−n =

an + jbn2

(5.1.14)

Navíc pro reálnou funkci f(t) platí, že c0 je reálné číslo a cn = Fneiϕn a c−n = Fne−iϕn

jsou čísla komplexně sdružená.Dalším v technické praxi užívaným tvarem Fourierova trigonometrického rozvoje je

fázový tvar:

f(t) =a0

2+∞∑n=1

Fn cos(jnωt+ ϕn), (5.1.15)

kde 2cn = Fnejϕn (Fn je modul a ϕn je argument komplexního čísla 2cn, nebo-li Fn cosϕn =an, Fn sinϕn = −bn.

Poznamenejme, že podmínkou pro stanovení koeficientů an, bn, případně cn nebo Fn,ϕn je možnost určit integrál z této funkce na intervalu délky T . Tato podmínka není ovšemdostatečná pro platnost vztahu (5.1.10) případně (5.1.13) nebo (5.1.15). V literatuře jeudáván často jako příklad takovéto funkce součet řady

s(t) =∞∑n=2

sinntlnn

,

která není Fourierovou řadou žádné integrovatelné funkce na intervalu [0, 2π].

Definice 12 Řekneme, že je funkce po částech spojitá na uzavřeném intervalu, jestližeje možné tento interval rozdělit konečným počtem bodů t1, t2, . . . , tk tak, že na každémz těchto intervalů je spojitá a existují konečné jednostranné limity v bodech ti pro i =1, . . . , k.Dále řekneme, že je funkce po částech monotónní na uzavřeném intervalu, jestliže je možnétento interval rozdělit konečným počtem tak, že na každém z těchto intervalů je monotónní.Řekneme, že funkce splňuje na uzavřeném intervalu Dirichletovy podmínky, jestliže jetomto intervalu počástech spojitá a počástech monotónní.

Matematika 2 59

Věta 1 Nechť funkce f(t) je periodická a splňuje Dirichletovy podmínky, potom řada napravé straně vztahu (5.1.10) resp. (5.1.13) resp. (5.1.15) (kde Fourierovy koeficienty jsoudefinovány vztahy (5.1.12) resp. (5.1.14)) konverguje pro každé t a její součet je roven

1. f(t0) v každém bodě spojitosti t0 funkce f(t)

2.12

(f(t0−) + f(t0+)) =12

(limt→t0−

f(t) + limt→t0+

f(t)

)v každém bodě nespojitosti t0

funkce f(t).

Příklad 7 Sestrojme Fourierovu řadu funkce f(t) = t pro t ∈ [−π, π], která má perioduT = 2π. V tomto případě je ω = 2π

2π = 1. Dále zvolíme θ = −π, neboť ze skutečnosti, žefunkce je lichá určíme koeficienty an = 0, protože je určující integrály jsou z liché funkcea tedy jsou nulové. Pomocí integrace per partes spočítáme

bn =2

2π

∫ π

−πt sinnt dt =

2π

[−t cosnt

n+

sinntn2

]π0

=(−1)n+1

n

Při výpočtu integrálu jsme také využili možnosti vyjádřit integrál ze sudé funkce na inter-valu symetrickém okolo počátku jako dvojnásobek integrálu z této funkce na kladné polovinětohoto intervalu. Protože funkce f(t) splňuje Dirichletovy podmínky podle (1)řada

∞∑n=1

2(−1)n+1 sinntn

konverguje pro všechna t ∈ R a pro t ∈ (−π, π) je rovna t, pro t = nπ je rovna 0.Následující obrázek ukazuje částečné součty postupně až po 8 členů.

Obr. 5.1.2: Aproximace funkce f(t) = t

V další ukázce rozvineme sudou funkci, která popisuje periodicky se opakující obdélníkovéimpulsy, do komplexního tvaru Fourierova rozvoje.

Příklad 8 Uvažujme obdélníkový signál, který má šířku 2ε, výšku h a délka periody jeT (T > 2ε). Funkci f(t),která vyhovuje zadaným požadavkům, tak aby byla sudá, tj. v


intervalu [−T/2, T/2] bude signál umístěn v intervalu [−ε, ε]. Potom platí ω = 2π/T :

cn =1T

∫ T/2

−T/2f(t)e−jnωt dt =

1T

∫ ε

−εhe−jnωt dt =

h

−jnωT[e−jnωt

]ε−ε =

h

T

sinnωεnω

Skutečnost, že funkce f(t) je sudá nám neumožnila určit část koeficientů cn, ale projevilase díky vzorcům (5.1.14) v tom, že cn jsou reálné (neboť bn = 0).

Příklad 9 Rozviňme tzv. dvoucestné a jednocestné usměrnění ve Fourierovu řadu.Dvoucestné usměrnění je definované relací fd(t) = | sin t| nebo též podrobněji f(t) =

sin t pro t ∈ [0, π] a funkce fd(t) je periodická s periodou π, tj. f(t + π) = f(t) . Funkceje zřejmě sudá a proto pro všechna n bn = 0. Stačí tedy určit jen koeficienty an. Nejdřívevypočteme koeficient a0:

a0 =2

2π

∫ π

−π| sin t| dt =

2π

∫ π

0| sin t| dt =

2π

[− cos t]π0 =4π.

Využitím známé trigonometrické relace

sinα cos β =12

(sin(α + β) + sin(α− β))

postupně vypočteme

an =2π

∫ π

0sin t cosnt dt =

1π

∫ π

0(sin(n+ 1)t− sin(n− 1)t) dt =

1π

[−cos(n+ 1)t

n+ 1+

cos(n− 1)tn− 1

]π0

=1π

(−cos(n+ 1)π − 1

n+ 1+

cos(n− 1)π − 1n− 1

)=

1π

(−(−1)n+1 − 1

n+ 1+

(−1)n−1 − 1n− 1

)=

2π

(−1)n+1 − 1(n+ 1)(n− 1)

=

−4

π(n2−) pro n sudé,

0 pro n liché.

Protože funkce fd(t) je spojitá dostáváme její Fourierův rozvoj ve tvaru

fd(t) =2π− 4π

∞∑m=1

cos 2mt4m2 − 1

Jednocestné usměrnění je definováno vztahem fj(t) = 12(| sin t| + sin t). S využitím

linearity integrálu je zřejmé, že součet funkcí má rozvoj ve tvaru součtu rozvojů. Využijemeznalosti rozvoje dvoucestného usměrnění a bezprostředně dostáváme:

fj(t) =12

sin t+1π− 2π

∞∑m=1

cos 2mt4m2 − 1

Matematika 2 61

Obr. 5.1.3: Dvoucestné a jednocestné usměrnění

Předcházející ukázky nás mohou motivovat k úvaze, za jakých předpokladů je možnéfunkci rozvinou v řadu sinů nebo cosinů. Z předcházejících ukázek je patrné, že lichoufunkci (f(-t)=-f(t)) rozložíme ve Forierovu řadu pouze lichých funkcí tj. v řadu sinů asudou funkci (f(-t)=f(t)) rozložíme ve Forierovu řadu pouze sudých funkcí tj. v řaducosinů.

Poznámka 2 Jestliže funkce f(t) splňuje Dirichletovy podmínky (viz. Definice 12)potomlze také získat integrál z funkce f(t) jako řadu, která vznikne z původní integrací jejichčlenů. Analogické tvrzení pro derivaci platí, jestliže řada vzniklá derivováním jednotlivýchčlenů konverguje, což nemusí být vždy splněno.

Chceme-li rozvinout ve Fourierovu řadu funkci f(t) = cos t pro t ∈ (0, π) s periodou π,tj. f(t + π) = f(t) Tuto funkci můžeme s výjimkou bodů nπ chápat jako derivaci funkce| sin t|. Navíc splňuje Dirichletovy podmínky a její Fourierův rozvoj exstuje a můžeme jejbezprostředně získat derivací člen po členu rozvoje funkce | sin t|, neboť ten konverguje tj.

f(t) =8π

∞∑m=1

m sin 2mt4m2 − 1

Naopak derivací člen po členu rozvoje v ukázce 7 vznikne řada, která nesplňuje nutnoupodmínku konvergence a tedy uvedený postup nelze použít.

Grafické znázornění Fourierova rozvoje - Spektrum

Graficky Fourierův rozvoj reprezentujeme pomocí spektra,kdy jednu číselnou osu užívámek vynášení frekvencí nω = nT

2π a v rovině kolmé na osu frekvencí koeficienty an = Fn cosϕn,bn = Fn sinϕn jsou souřadnicemi bodu přiřazeného n-té harmonické složce Fourierovarozvoje. Tato grafická interpretace je ovšem trojrozměrné, proto se používá zobrazenípomocí dvou rovinných zobrazení, kdy se na jednu osu vynáší frekvence nω = nT

2π ana druhou koeficient an resp. bn, které znázorníme úsečkou začínající na ose frekvencí akončící v bodě jehož druhá souřadnice je an resp. bn. Druhou možností je vynášet místodvojice an, bn dvojici Fn, ϕn, hovoříme tak o spektru modulů a spektru argumentů.

Další možností je vyjádření spektra pro Fourierův rozvoj v komplexním tvaru. Analo-gicky s reálným oborem můžeme vytvořit dvojici zobrazující zvlášť reálnou a imaginárníčást koeficientu cn nebo obvykle postupujeme tak, že zobrazujeme komplexní koeficientcn dvojicí jeho amplitudy a argumentu.

Analogicky s harmonickými funkcemi platí pro spektra funkcí:


1. spektrum součtu je rovno součtu spekter

2. spektrum α násobku funkce je rovno α násobku tohoto spektra

3. posunutá funkce fτ (t) = f(t − τ) má spektrum modulů stejné jako funkce f(t) aspektrum argumentů je o nωτ menší tj.

ϕϕn = ϕn − nωτ

4. spektrum funkce se změněným měřítkem f(mt) má periodu T/m a frekvence har-monických složek jsou násobkem mω, ale koeficienty an, bn a tedy moduly Fn aargumenty ϕn jsou stejné.

Závěrem uveďme vztah pro střední hodnotu součinu dvou funkcí se stejnou periodou,pro které existuje Fourierův rozvoj, tj. :

f(t) =a0

2+∞∑n=1

an cosnωt+ bn sinnωt =12

∞∑n=−∞

cne−jnωt

g(t) =α0

2+∞∑n=1

αn cosnωt+ βn sinnωt =12

∞∑n=−∞

γne−jnωt

S využitím ortogonality trigonometrického systému funkcí na intervalu délky periody T =2πω

je možné získat

1T

∫ T

0f(t)g(t) dt =

a0

2α0

2+

12

∞∑n=1

(anαn + bnβn) =14

∞∑n=−∞

cnγ−n

Pomocí tohoto vztahu můžeme určit střední výkon

1T

∫ T

0u(t)i(t) dt

ustálené elektromagnetické soustavy, které je napájená ze zdroje, jehož napětí u(t) jeperiodická funkce u(t), a v ustáleném stavu je proud i(t) rovněž periodická funkce.

Pro f(t) = g(t) dostáváme tzv. Parsevalovu rovnost tj.

1T

∫ T

0f(t)62 dt =

(a0

2

)2+

12

∞∑n=1

(anan + bnbn) =14

∞∑n=−∞

cnc−n

5.1.4 Fourierův integrál

V této sekci se budeme zabývat přenesením aparátu Fourierova rozvoje periodickýchfunkcí na funkce, které nejsou periodické. Uvažujme na intervalu [−T

2 ,T2 ] funkci f(t),

splňující zda Dirichletovy podmínky viz. definice 12. S využitím věty 1 dostáváme:

f(t) =∞∑

n=−∞

1T

∫ T2

−T2

f(x)e−jnωx dx e−jnωt =∞∑

n=−∞

1T

T2∫

−T2

f(x)e−jnω(x−t) dx.

Matematika 2 63

Dále označme zn = nω = n2πT

pro ∆zm = zm+1 − zm = 2πT

navíc platí ∆zm → 0 proT →∞. Navíc je při tomto označení vyjádření funkční hodnoty f(t) možné interpretovattuto

f(t) =1

2π

∞∑n=−∞

∆zm−1

T2∫

−T2

f(x)e−jnzn(x−t) dx,

jako integrální součet funkce

12π

T2∫

−T2

f(x)e−jnz(x−t) dx

proměnné z na intervalu −∞,∞. Formálním provedením limitního přechodu pro perioduT →∞ obdržíme Fourierův integrální vzorec:

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x)e−jnz(x−t) dx dz (5.1.16)

Před stanovením podmínek za jejichž splnění uvedený vztah platí uveďme definici

Definice 13 Řekneme, že funkce f(t) je absolutně integrovatelná, jestliže platí∫ ∞−∞|f(t)| dt <∞

Věta 2 Nechť je funkce f(t) absolutně integrovatelná a f(t), f ′(t) jsou po částech spojitéviz. definice 12, potom pravé straně vztahu (5.1.16) je roven

1. f(t0) v každém bodě spojitosti t0 funkce f(t)

2.12

(f(t0−) + f(t0+)) =12

(limt→t0−

f(t) + limt→t0+

f(t)

)v každém bodě nespojitosti t0

funkce f(t).

Různými aspekty Fourierova integrálního vzorce se budeme zabývat v následujícím textu,neboť složením Fourierovy transformace přímé a zpětné je právě Fourierův integrálnívzorec.

5.2 Fourierova transfomace

Definice 14 Nechť f(t) je funkce reálné proměnné t (reálná nebo komplexní), která jeabsolutně konvergentní. Potom vztah

F (jω) =∫ ∞−∞

f(t)e−jωt dt (5.2.1)


nazýváme přímou Fourierorvou transformací, funkce f(t) se nazývá předmětem a funkceF (ω) obrazem Fourierovy transformace. Druhý vztah, který můžeme vysvětlovat tak, že zeznámé funkce F (ω) určíme funkci f(t):

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (jω)ejωt dω (5.2.2)

nazýváme zpětnou Fourierovou transfomací. transformací. Vztah mezi funkcemi f(t) aF (jω) stručně zapisujeme F (f(t)) = F (jω) a F−1(F (jω)) = f(t)

Poznámka 3 Zápis F (jω) je třeba interpretovat jako složenou funkci, kdy vnější složkouje integrál obsahující komplexní proměnnou za kterou dosadíme vnitřní složku jω. Tatoforma zápisu se vyskytuje v literatuře a je zvykem.

Obecně platí, že v případě sudé funkce f(−t) = f(t) se výše uvedené integrály zjed-noduší na tzv. Fourierovu cosinovou transformaci:

F (ω) =∫ ∞−∞

f(t) cosnωt dt f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (ω) cosnωt dω

a v případě liché funkce f(−t) = −f(t) na tzv. Fourierovu sinovou transformaci:

F (ω) =∫ ∞−∞

f(t) sinnωt dt f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (ω) sinnωt dω

Fourierovu transformaci není možné „použít na libovolné funkceÿ, neboť užívané integrálynemusí obecně konvergovat. Situaci popisuje následující věta

Věta 3 Nechť je funkce f(t) absolutně integrovatelná, potom obraz Fourierovy transfor-mace F (jω) existuje a je spojitá funkce, pro kterou platí lim

ω→±∞= 0.

Dále platí tzv. Parsevalova rovnost.

Věta 4 Nechť∫ ∞−∞|f(t)|2 dt < 0. Potom platí

∫ ∞−∞|f(t)|2 dt =

12π

∫ ∞−∞|F (jω)|2 dω

Další vlastnosti uspořádáme pro větší přehlednost do tabulky. Před uvedením věty, kteráshrne základní vlastnosti Fourierovy transformace připomeňme pojem konvoluce dvouabsolutně integrovatelných funkcí. Konvolucí funkcí f(t), g(t) nazýváme funkci f ∗ g(t)definovanou vztahem:

f ∗ g(t) =∫ ∞−∞

f(t− s)g(s) ds. (5.2.3)

Věta 5 O předmětech Fourierovy transformace (funkce v tabulce vlevo) předpokládáme, žejsou absolutně integrovatelné. Navíc označme Ff(t) = F (jω), případně Fg(t) = G(jω).

Matematika 2 65

Věta o předmět obraz

linearitě af(t) + bg(t) aF (t) + bG(t)

podobnosti f(rt)1rF

(t

r

)posunutí předmětu f(t− r) exp(−jrω)F (jω)

posunutí obrazu exp(jrt)f(t) F (ω − r)

derivaci předmětu f (n)(t) (jω)nF (jω)

derivaci obrazu tnf(t) jndnF (jω)d ωn

integraci předmětu∫ t

0f(τ) dτ

F (jω)jω

konvoluci předmětu f(t) ∗ g(t) F (jω)G(jω)

konvoluci obrazu f(t)g(t) F (jω) ∗G(jω)

Při zavádění Fourierovy transformace pro funkce nesplňující výše uvedené podmínky nebopro zobecněné funkce postupujeme tak, že uvedenou funkci případně zobecněnou funkcichápeme jako „limituÿ posloupnosti funkcí, které uvedené předpoklady splňují a Fourierůvobraz potom chápeme jako limitu obrazů funkcí dané posloupnosti. Takto můžeme naléztobraz Fourierovy transformace Diracovy distribuce nebo funkce jednotkového skoku, ale vtěchto konkrétních případech můžeme formálně postupovat i tak,že u Diracovy distribucevyužijeme tzv. filtrační vlastnost (5.1.2):

F δ(t− t0) =∫ ∞−∞

δ(t− t0)e−jωt dt = e−jωt0 . (5.2.4)

Pro derivaci Diracovy delta funkce lze odvodit:

F δ(n)(t− t0) =∫ ∞−∞

δ(t− t0)e−jωt dt = (jω)ne−jωt0 . (5.2.5)

Analogicky můžeme přímým výpočtem získat:

Fη(t) =∫ ∞−∞

η(t)e−jωt dt =∫ ∞

0e−jωt dt =

[e−jωt

jω

]∞0

=−jω

(5.2.6)

5.2.1 Užití Fourierovy transformace

Užití některých z uvedených vlastností budeme demonstrovat při výpočtu Fourierovaobrazu některých speciálních signálů a při řešení diferenciálních rovnic.


Fourierova transformace některých signálů

Příklad 10 Uvažujme obdélníkový signál, který má šířku 2ε, výšku h. Daný signál budenavíc umístěn tak, aby funkce f(t),která jej popisuje byla sudá, tj. signál bude umístěn vintervalu [−ε, ε].

Ff(t) = F (jω) =∫ ∞−∞

f(t)e−jωt dt =∫ ε

−εhe−jωt dt =

h

−jnω[e−jnωt

]ε−ε = 2h

sinnωεnω

Poznámka 4 Na dané ukázce a ukázce 8 je možné demonstrovat limitní přechod spek-tra Fourierova rozvoje periodického obdélníkového signálu (s periodou T ) viz. ukázka 8v obraz Fourierovy transformace jednoho obdélníkového signálu. Uvažme, že koeficientycn Fourierova rozvoje jsou integrály (5.1.14) násobené převrácenou hodnotou periody T ,která se v limitním přechodu „použijeÿ k vytvoření dělení vnějšího integrálu ve Fourie-rově integrálním vzorci. Proto si také zobrazíme modifikované spektrum kdy koeficienty cnvynásobíme periodou T . V následující tabulce jsou zobrazena pouze spektra modulů, pro-tože argumenty koeficientů cn jsou nulové. Úhlový kmitočet základní harmonické složky jeω = 2π/T .

T modifikované spektrum spektrum

4

16

64Z uvedených spekter je patrné, že pro zvětšující se T roste hustota spekter a pro hodnotu

T = 64 při zvoleném grafickém znázornění (tloušťka čar) modifikovaného spektra obrazspektra je stejný jako integrál vyjadřující Fourierovu transformaci.

Poznámka 5 Další možností užití obrazu sudého obdélníkového impulsu je od-vodit Fourierův obraz Diracova impulsu δ(t), který chápeme jako limitní chování

Matematika 2 67

jehlové funkce viz. definice 7. Za tuto jehlovou funkci můžeme volit obdélníky

δ(t, ε) =12ε

(η(t− ε)− η(t+ ε)). Využijeme-li výsledek předchozí ukázky dostaneme

obraz δ(t) jako limitu obrazů jednotlivých obdélníkových impulsů:

F δ(t) = limε→0

F δ(t, ε) = limε→0

22ε

sinnωεnω

= 1

Příklad 11 Nalezněte Fourierův obraz tzv. obecného trojúhelníkového impulsu f(t) za-daného grafem, který je mimo interval [t1, t3] nulový a vrchol trojúhelníka má pro t = t2(t1 < t2 < t3) hodnotu v.

K jeho určení využijeme znalosti druhé zobecněné derivace (??) a užijeme také větu oderivaci předmětu a pro obraz F (jω) dostáváme rovnici

− ω2F (jω) =

v ((t3 − t2)e−jωt1 + (t1 − t3)δ(t− t2) + (t2 − t1)δ(t− t3))(t2 − t1)(t3 − t2)

.

Co po úpravě dává:

F (jω) = −v ((t3 − t2)e−jωt1 + (t1 − t3)e−jωt2 + (t2 − t1)e−jωt3)ω2(t2 − t1)(t3 − t2)

.

Poznamenejme, že pro sudý trojúhelníkový impuls tj, t1 = −T , t2 = 0, t3 = T lze obrazzapsat jednoduše:

F (jω) = vT ejωT − 2T + T e−jωT

T 2ω2= v

2(cosωT − 1Tω2

= vT

(sin ωT

2ωT2

)2

Příklad 12 Nalezněte Fourierův obraz funkce f(t) = e−a2t2. Nejdříve poznamenejme, že

funkce má obraz Fourierovy transformace, neboť existuje integrál∫ ∞−∞

e−a2t2 dt = 2

∫ ∞0

e−a2t2 dt =

√π

a

Výpočet tohoto integrálu lze nalézt v literatuře viz [?]. Pro funkci f(t) platí diferenciálnírovnice

f ′(t) = −a22te−a2t2 = 2a2tf(t)

Pro Fourierův obraz této rovnice dostáváme

jωF (jω) = Ff ′(t) = −2a2F tf ′(t) = −2a2jd F (jω)dω

.


Což je diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, jak vidíme v následující úpravě,jež řeší danou rovnici:

− ω

2a2dω =

dF (jω)F (jω)∫

− ω

2a2dω =

∫dF

F

− ω2

4a2+ ln |C| = ln |F | ⇒

F (jω) = Ce−ω2

4a2 , kde C ∈ R

Integrační konstantu C určíme dosazením ω = 0:

C = F (0) =∫ ∞−∞

e−a2t2 dt =

√π

a

Celkově tak dostáváme F e−a2t2 =

√π

ae−

ω2

4a2

Diferenciální rovnice

V literatuře známým užitím Fourierovy transformace je řešení diferenciální rovnice vedenítepla v nekonečně dlouhé a tenké tyči, kterou ztotožníme s osou x a popisujeme ji pomocífunkce u(x, t), jejíž hodnota udává teplotu v bodě o souřadnici x a v čase t. Tato funkcevyhovuje tzv. počáteční diferenciální úloze:

au′′xx = u′t, u(x, 0) = g(x), l ≥ 0, −∞ < x <∞

Použitím Fourierovy transformace (vzhledem k proměnné x) dostaneme pro obrazFu(x, t) = U(jω, t) rovnici (diferenciální vzhledem k proměnné t), kterou řešíme:

a(jω)2U =dU

d t⇒ dU

U= −aω2d t⇒ U(jω, t) = G(jω) exp(−aω2t),

kde G(jω) = Fg(x) je obraz počátečního rozložení g(x). Při hledání předmětu využijeme,že obraz konvoluce je součinem obrazů. Nejdříve stanovíme předmět k obrazu exp(−aω2t)s využitím ukázky 12(proměnná obrazu je x, t je parametr):

F−1 exp(−aω2t) =1

2√πat

exp(− x

2at

).

Rovnice vedení tepla má řešení (tzv. elementární) ve tvaru konvolučního integrálu:

u(x, t) =

∞∫−∞

exp(− (x−ξ)2

4t

)2√πt

g(ξ) dξ.

Poznámka 6 Při použití Fourierovy transformace k řešení rovnic se může stát, že uvede-ným postupem není možné nalézt všechna řešení (aniž bychom se dopustili chyby), neboťpoužití Fourierovy transformace omezuje prostor funkcí viz. definice 13, které je možnotakto získat. Konkrétní příklad je možné nalézt v [?] (ukázka 7.2).

Matematika 2 69

5.2.2 Slovník Fourierovy transformace

Předmět Obraz

tne−at, a > 0, n > 0Γ(n+ 1)

(a+ jω)n+1

1t2 + a2

π

aexp(−a|ω|)a > 0

e−a|t|, a > 02a

a2 + ω2

|t|e−a|t|, a > 02(a2 − ω2

(a2 + ω2)2

e−a|t|√|t|, a > 0

√2π

√ω2 + a2 + a

a2 + ω2

exp(−a/√|t|)√

|t|, a > 0

√2(cos

√2π|ω| − sin

√2π|ω|)

|ω|

e−at2, a > 0

√π

ae−

ω2

4a

te−at2, a > 0 −j

√πω

2a√a

e−ω2

4a

sin at√|t|

j

√π

2

( 1√|ω − a|

− 1√|ω + a|

)cos at√|t|

√π

2

( 1√|ω − a|

+1√|ω + a|

)1√|t|

√2π|ω|

sin at2√π

acos(ω2

2a+π

4

)cos at2

√π

acos(ω2

2a− π

4

)


5.3 Laplaceova transformace

V mnoha technických aplikacích jsou studovány děje, které „začínajíÿ od nějakého oka-mžiku, např. připojíme elektrický obvod k napětí, spustíme stroj atd. O takových proce-sech můžeme předpokládat, že jejich studium začne v čase „0ÿ. Pro studium dějů tohototypu, které jsou popsány rovnicemi, jež kromě neznámé funkce obsahují i její derivace pří-padně integrál (integrodiferenciální rovnice) je s výhodou používáno tzv. operátorovéhopočtu. Kdy k dané rovnici vytvoříme její obraz, který je obvykle snadněji řešitelný, protonajdeme řešení této rovnice a zpětným procesem nalezneme řešení původního problému.

Celý postup můžeme přirovnat k použití logaritmů k násobení čísel v dobách, kdyneexistovaly kalkulačky. Protože při ručním počítání je sečtení čísel výrazně jednoduššínež násobení čísel, lidé určovali součin tak, že pomocí logaritmických tabulek našli loga-ritmy jednotlivý činitelů, jejich součet a po zpětném použití logaritmických tabulek (tzv.delogaritmování) hledaný součin.

Hojně v elektrotechnice užívanou integrální transformaci je transformace Laplaceova,která reálné funkci přiřazuje funkci komplexní. Vymezme si nejdříve třídu funkcí pro,kterou je tato transformace definována

Definice 15 Funkci f(t) nazveme předmětem neboli originálem Laplaceovy transformace,jestliže splňuje následující podmínky

1. f(t), f ′(t) jsou po částech spojité na R,

2. f(t) = 0 pro t < 0,

3. existují kladné konstanty M , s tak, že platí |f(t)| ≤ M exp(st) na R. Říkáme, žef(t) je funkcí ohraničeného růstu s indexem s.

Definice 16 Jestliže pro t ∈ R a některá p ∈ C konverguje nevlastní integrál

F (p) =∫ ∞

0f(t) exp(−pt) dt (5.3.1)

nazýváme jím definovanou funkci F (p) Laplaceovou transformací nebo Laplacevým obra-zem funkce f(t). Toto budeme zapisovat f(t)↔ F (p) nebo F (p) = L f(t).

Často budeme zobrazovat elementární funkce, které nesplňují předpoklad ii) definice 15.Tento „problémÿ lze snadno eliminovat tak, že danou funkci násobíme Hevisideovou funkcíjednotkového skoku η(t). Tuto skutečnost často mlčky předpokládáme a nezapisujeme.

Příklad 13 Nalezneme Laplaceův obraz funkce jednotkového skoku η(t). Před každýmnalezením obrazu je vhodné ověřit, že integrál definující obraz konverguje. Stačí ověřit,že je originálem Laplaceovy transformace viz.definice 15. U Heavisideovy funkce snadnoověříme i platnost předpokladu 3) dané definice např. volbou konstant s = 0, M = 2.Přímým výpočtem získáme:

L η(t) =

∞∫0

exp(−pt) dt = limu→∞

[−exp(−pt)

p

]u0

=1p− lim

u→∞

exp(−ptu)p

=1p

Matematika 2 71

V následující ukázce odvodíme obecnější vztah pro L tnη(t)

Příklad 14 Nalezneme Laplaceův obraz funkce tnη(t), kde n je celé nezáporné číslo. Utéto funkce snadno ověříme i platnost předpokladu 3) dané definice např. volbou konstants = 1, M = 1. Nejdříve odvodíme rekurentní vztah:

L tnη(t) =

∞∫0

tn exp(−pt) dt = limu→∞

[−t

n exp(−pt)p

]u0

+

n

p

∞∫0

tn−1 exp(−pt) = − limu→∞

exp(−pu)p

+n

pL tn−1η(t) =

n

pL tn−1η(t)

Využijeme předchozí ukázku jako L t0η(t) = 1/p a užitím rekurentního vztahu celkovědostaneme:

L tnη(t) =n!pn+1

Příklad 15 Nalezneme Laplaceův obraz funkce exp(−ωt)η(t). Pro ověření předpokladu3) definice 15 stačí volit konstanty s = 1, M = 1.

L exp(ωt)η(t) =

∞∫0

exp(ωt) exp(−pt) dt =

limu→∞

[−exp(−(p− ω)t)

p− ω

]u0

=1

p+ a− lim

u→∞

exp(−(p− ω)u)p− ω

=1

p− ω

Poznamenejme, že v poslední ukázce je možné za číslo ω použít libovolnou konstantu ikomplexní.

Před uvedením věty, která bude shrnovat základní vlastnosti Laplaceovy transformace,je vhodné se vrátit k pojmu konvoluce. Pro originály Laplaceovy transformace rozumímekonvolucí funkcí f(t), g(t) funkci f ∗ g(t) definovanou vztahem:

f ∗ g(t) =∫ t

0f(t− s)g(s) ds, (5.3.2)

který je užitím výše definované konvoluce na originály Laplaceovy transformace.

Věta 6 Předpokládejme, že všechny vzory jsou originály Laplaceovy transformace, dáler > 0, ω ∈ C jsou konstanty.



Poznámka

linearitě af(t) + bg(t) aF (p) + bG(p)

funkce f , g mají index růstu ≤ <p

podobnosti f(rt)1rF

(t

r

)posunutí předmětuvpravo

f(t− r)η(t− r) exp(−rp)F (p)

posunutí předmětuvlevo

f(t+ r)η(t) erpF (p)−r∫

0

e−ptf(t) dt

posunutí obrazu exp(ωt)f(t) F (p− ω)

derivaci předmětu f ′(t) pF (p)− f(0+)

f(0+) = limt→0+

f(t)

n-té derivacipředmětu

f (n)(t) pnF (p)−n−1∑i=0

f (i)pn−1−i

derivaci obrazu tf(t) −F ′(p)

derivaci podleparametru α

f ′α(t, α) F ′α(p, α)

integraci předmětu∫ t

0f(τ) dτ

F (p)p

integraci obrazuf(t)t

∫ ∞p

F (z) dz

konvoluci předmětu f(t) ∗ g(t) F (p)G(p)

Duhamelův vzorec f(0+)g(t) + f ′ ∗ g(t) pF (p)G(p)

Některá tvrzení plynou bezprostředně z vlastností integrálu. V dalším se proto zaměřímena užití některých vět.

Příklad 16 Ukážeme jiný způsob získání výsledku z ukázek 14 15.Funkci f(t) = tn je možné určit vlastnostmi f (n)(t) = n!, f (i)(0) = 0 pro i = 0, . . . , n−

1. Užitím věty o n-té derivaci předmětu dostáváme

n!p

= L (tn)(n) = pnL tn − 0⇒ L tn =n!pn+1

Matematika 2 73

Analogicky lze užitím užitím věty o posunutí v obraze z Laplaceovy transformace funkcejednotkového skoku η(t) odvodit obraz funkce eωt:

L eωtη(t) = L η(t− ω) =1

p− ωPříklad 17 Laplaceův obraz funkce sin at můžeme získat užitím Eulerova vzorce a linea-rity Laplaceovy transformace z předchozího výsledku:

L sin at = Lejat − e−jat

2j=

L ejat −L e−jat

2j=

12j

1p− jat

− 1p+ jat

=12jp+ jat− (p− jat)

p2 + a2=

a

p2 + a2

Laplaceův obraz funkce cos at bychom mohli získat obdobně,jestliže využijeme předcho-zího výsledku a věty o derivaci předmětu dostáváme:

aL cos at = L (sin at)′ = pa

p2 + a2− sin 0⇒ L cos at =

p

p2 + a2

Derivací podle parametrů a odvodíme Laplaceův obraz funkce t cos at:

L t cos at = L∂ sin at∂a

=∂ ap2+a2

∂a=

p2 − a2

(p2 + a2)2

Uvedený výsledek lze také získat jako −d pp2+a2

d p, užitím věty o derivaci obrazu.

Poznámka 7 Z některých ukázek je patrné, že gramatika Laplaceovy transformace umož-ňuje nalézt i předmět k danému obrazu (inverzní Laplaceova transformace). Situaci de-tailněji popisuje Lerchova věta 9.

Nyní se zabývejme podrobněji obrazy dvou typů předmětů. Prvním typem jsou peri-odické předměty.

Řekneme, že funkce f(t), je T periodická, jestliže platí f(t + T ) = f(t) pro t > 0.Označme fT (t) = f(t) − f(t)η(t − T ) funkci tvořenou jednou periodou v intervalu [0, T ]a mimo tento interval nulovou. Dále označme L f(t) = F (p), L fT (t) = FT (p)

f(t)η(t) = fT (t) + f(t− T )η(t− T ).

Situaci ilustruje následující obrázek.


Po aplikaci Laplaceovy transformace na tuto rovnost s využitím věty o posunutí vpředmětu odvodíme:

F (p) =∫ T

0f(t) exp(−tp) dt+

∫ ∞T

f(t) exp(−tp) dt = FT (p) + exp(−Tp)F (p).

Po úpravě tohoto vztahu dostáváme tzv. větu o obrazu periodické funkce.

Věta 7 Nechť je funkce f(t) originálem a je navíc T periodická, potom platí

F (p) =FT (p)

1− exp(−Tp). (5.3.3)

Příklad 18 Nalezněte Laúlaceovy obrazy tzv. jednocestného a dvoucestného usměrněníf1(t) = max(sin t, 0) = η(t) sin t− η(t− π), f2(t) = | sin t|.

1. Funkce f1 má periodu 2π a obraz základní periody je:

L f1 2π =∫ π

0sin te−pt dt =

[−e−pt(cos t+ p sin t)

p2 + 1

]π0

=1 + e−pπ

(p2 + 1).

Užitím předchozí věty dostáváme

L f1 =1+exp(−pπ)

(p2+1)

1− exp(−2πp)=

1(p2 + 1)(1− exp(−πp))

2.Funkce f2 má periodu π a stejný obraz základní periody. Užitím předchozí věty do-stáváme

L f2 =−1+exp(−pπ)

(p2+1)

1− exp(−πp)=

1(p2 + 1)

cothp

2

Druhým typem je zobrazení funkcí, které nejsou originálem Laplceovy transformacejako je např.Diracova distribuce. Při hledání obrazu , postupujeme podobně jako u trans-formace Fourierovy. To jest obraz takového předmětu, který je limitou předmětů jež jsouoriginálem, hledáme jako limitu obrazů těchto předmětů, které mají za limitu. Podobnějako u Fourierovy transformace můžeme u hledání obrazu Diracova impulsu a jeho derivacívyužít tzv. filtrační vlastnost.

L δ(t− t0) = e−pt0 L δ(n)(t− t0) = pne−pt0 (5.3.4)

Jako motivaci si v následující ukázce užitím Laplaceovy transformace vyřešíme typic-kou úlohu z elektrotechniky.

Příklad 19 Vypočtěme proud i1(t) v primárním obvodu dvou induktivně vázaných ob-vodů, přičemž první je tvořen pouze cívkou o indukci L a druhý je tvořen cívkou o stejnéindukci L a kondenzátorem o kapacitě C. Induktivní vazba mezi cívkami je M < L. Dálepředpokládáme, že jsou počáteční podmínky nulové, to znamená, že v čase t = 0 je energiemagnetického pole cívek nulová stejně jako energie elektrického pole kondenzátoru. V časet = 0 připojíme k primárnímu obvodu napětí mající průběh jednotkového skoku η(t) .

Matematika 2 75

Se znalostí Ohmova a Kirchhoffových zákonů sestavíme pro proudy i1(t), i2(t) v pri-márním a sekundárním obvodu soustavu integrodiferenciálních rovnic:

Li′1(t) +Mi′2(t) = η(t)

Mi′1(t) + Li′2(t) +1C

∫ t

0i2(s) ds = 0,

spolu s počátečními podmínkami i1(0) = i2(0) = 0. Z Laplaceova obrazu této soustavy

LpI1(p) +MpI2(p) =1p

MpI1(p) +

(Lp+

1Cp

)I2(p) = 0

můžeme snadno určit funkci I1(p) (například užitím Cramerova pravidla):

I1(p) =

1p

(Lp+ 1

Cp

)Lp(Lp+ 1

Cp

)−M2p2

=CLp2 + 1

C(L2 −M2)p2(p2 + L

C(L2−M2)

)K nalezení proudu i1(t) využijeme poznámky 9 a gramatiky Laplaceovy transformace.Rozložíme-li totiž I1(p) na součet parciálních zlomků potom ke každému najdeme vzor:

I1(p) =1L

1p2

+M2

L

√C

L(L2 −M2

a

p2 + a2, kde a =

√L

C(L2 −M2)

S funkcemi, které mají obraz roven jednotlivým parciálním zlomkům, jsme se seznámili vukázkách, které ilustrovaly pravidla gramatiky. Odtud dostáváme

i1(t) =t

L+M2

L

√C

L(L2 −M2)sin at.

Protože v obvodu nebyly vzaty ohmické odpory není systém stabilní a proud s časemvzrůstá.

Tato ukázka dokládá důležitost zabývat se procesem najít předmět k danému obrazu,inverzní Laplaceovou transformací. Poznamenejme, že často provedení inverzní transfor-mace je nejobtížnější částí řešení příkladů tohoto typu. Uvedeme proto několik vět, kterévymezí nutné podmínky, které splňují funkce komplexní proměnné, jež jsou obrazem ori-ginálu Laplaceovy transformace.

Věta 8 Nechť je funkce F (p) obrazem originálu Laplaceovy transformace, potom platí:

1. Existuje číslo ξ1 tak, že F (p) je regulární funkcí komplexní proměnné v poloroviněξ > ξ1.

2. V polorovině ξ ≥ ξ2, kde ξ2 > ξ1, platí: limp→∞

F (p) = 0.

3. V oblasti ξ > kp, kde k ∈ (0, 1), existuje konečná limita limp→∞

pF (p).

Podmínky uvedené ve větě jsou pouze nutné ne však postačující, což si může čtenář ověřit

na funkci F (p) =e−p√p

.


5.3.1 Zpětná Laplaceova transformace

Východiskem úvah o zpětné Laplaceově transformaci je Lerchova věta:

Věta 9 Nechť dva originály (definice 15) f1(t), f2(t) mají stejný Laplaceův obrazL f1(t) = L f2(t). Potom se tyto předměty mohou lišit pouze hodnotami v izolovanýchbodech, ve kterých aspoň jeden z nich není spojitý.

Odstraněním této nejednoznačnosti, tím že se dále omezíme na originály, která mají vbodě nespojitosti funkční hodnotu rovnu aritmetickému průměru limit zleva a zprava,můžeme definovat inverzní Laplaceovu transformaci.

Definice 17 Na množině funkcí komplexní proměnné, ke kterým existuje originál Lapla-ceovy transformace, který se na tuto funkci zobrazí. Přiřadíme takový originál, který má vbodě nespojitosti funkční hodnotu rovnu aritmetickému průměru limit zleva a zprava. Totopřiřazení nazýváme inverzní Laplaceovu transformaci. Což zapisujeme L −1F (p) = f(t).

Obdobně postupujeme i u inverzní Laplaceovy transformace Diracovy distribuce a jejíderivace.

Zpětná transformace racionální lomené funkce

Základní myšlenka je velmi jednoduchá. Vychází z možnosti rozkladu racionálně lomenéfunkce (musí být ryzí a vykrácená) na součet tzv. parciálních zlomků. To je postup, kterýby měl každý čtenář znát z integrálního počtu. Tato myšlenka je někdy zastřena složitě vy-padajícími vzorci, které postup zjednodušují ve speciálních případech. Obvykle využívámerozklad v komplexním oboru. To jest nepracujeme se zlomky, které mají ve jmenovatelimocninu kvadratického trojčlenu v reálném oboru nerozložitelném, tj. se zlomky typu:

Ap+ b

(x2 + 2ax+ aa + b2)k=

Ap+ b

((x+ a)2 + b2)k

V případě k = 1 je vhodné tento zlomek upravit na součet obrazů funkcí sin a cos:

Ap+ b

(x+ a)2 + b2=

A(p+ a)(x+ a)2 + b2

+B − Aa

(x+ a)2 + b2=

AL e−at cos bt− (B − Aa)L e−at sin bt

Místo uvádění vzorců, které mohou za určitých předpokladů urychlit výpočet (např. po-lynom ve jmenovateli má jednoduché kořeny), uvedeme odkaz na literaturu, v níž jsouuvedeny slovníky. Postup budeme ilustrovat v následující ukázce.

Příklad 20 Vypočtěte L −1 2(p2 + 1)(p+ 1)2

. Vzhledem k tomu, že kvadratický trojčlen je

ve jmenovateli je ve jmenovateli v první mocnině bude vhodné provést rozklad na sou-čet parciálních zlomků v reálném oboru. Z ilustrativních důvodů rozklad provedeme pojednotlivých krocích:

Matematika 2 77

1) Předpovíme tvar rozkladu

2(p2 + 1)(p+ 1)2

=A

(p+ 1)+

B

(p+ 1)2+Cp+D

(p2 + 1).

Po formálním součtu na pravé straně porovnáváme čitatele obou zlomků:

2(p2 + 1)(p+ 1)2

=A(p+ 1)(p2 + 1) +B(p2 + 1) + (Cp+D)(p+ 1)2

(p2 + 1)(p+ 1)2

Rovnice, ze kterých určíme hledané konstanty A, B, C, D, můžeme získat buď porovnánímfunkčních hodnot nebo porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné p. První dvěrovnice získáme porovnáním funkčních hodnot pro p = −1, p = 0, další dvě rovniceporovnáním koeficientů u mocnin p3, p.

2 = B

2 = A+B +D

0 = A+ C

0 = A+ C + 2D

Tento systém má řešení A = 1 = B,C = −1 ,D = 0. Jestliže máme k dispozici rozkladje další výpočet jednoduchý; obvykle využijeme vzorců pro nalezení předmětů. V tomtopřípadě můžeme využít výsledků ukázek ilustrujících pravidla gramatiky Laplaceovy trans-formace:

L2

(p2 + 1)(p+ 1)2= L

1(p+ 1)

+ L1

(p+ 1)2−

Lp

(p2 + 1)= η(t)(e−t + te−t − cos t)

Integrální tvar inverzní transformace

Při odvození integrálního tvaru Laplaceovy transformace využijeme vlastností Fourierovaintegrálu. Nechť funkce f(t) je originálem Laplaceovy transformace s indexem růstu s0.Potom pro s > s0 integrál ∫ ∞

0f(t)|e−st| dt

konverguje a tedy pro funkci f(t)e−st platí věta 2, jejíž tvrzení lze v bodě spojitostifunkce f(t) podobně jako u Fourierovy transformace napsat ve tvaru dvou rovnic

F (jω) =∫ ∞

0e−sτf(τ)e−jωτ dτ

e−stf(t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (jω)ejωt dω.


Tyto výrazy můžeme přepsat ve tvaru:

F (jω) =∫ ∞

0f(τ)e−(s+jω)τ dτ

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (jω)e(s+jω)t dω.

Položíme-li substituci s + jω = p, dω = dp/j a uvážíme, že proměnná p se pohybuje popřímce p = s+ jω, kde −∞ < ω <∞ přepíšeme tyto výrazy na tvar:

F (p) =∫ ∞

0f(τ)e−(s+jω)τ dτ

f(t) =1

2πj

∫ s+j∞

s−j∞F (p)ept dp = přesněji =

12πj

limω→∞

∫ s+jω

s−jωF (p)ept dp (5.3.5)

Uvedený nevlastní integrál po přímce p = s + jω, kde −∞ < ω < ∞ s vzhledem ktechnické náročností nepočítá přímo, ale pomocí reziduí. V následující větě jsou

Věta 10 Nechť je funkce F (p) holomorfní všude vyjma izolovaných singularit p1, . . . , pnležících v polorovině <p < s. Nechť funkce F (p) konverguje stejnoměrně k nule nalibovolné posloupnosti kružnic |p| = Rn , lim

n→∞Rn = ∞. Potom pro konvergentní∣∣∣∣∫ s+j∞

s−j∞F (p)ept dp

∣∣∣∣ platí

f(t) =1

2πj

∫ s+j∞

s−j∞F (p)ept dp =

n∑k=1

rezp=pk

(F (p) exp pt) pro t > 0

0 pro t > 0

(5.3.6)

Užití této věty je v následující ukázce.Pro srovnání určíme pomocí residuí předmět kfunkci z ukázky 20.

Příklad 21 Určete předmět Laplaceovy transformace k funkci

L −1F (p) = L −1 2(p2 + 1)(p+ 1)2

.

Tato funkce splňuje předpoklady věty. Má tři residua, jeden pól p1 = −1 druhéhořádu a dvojici komplexně sdružených pólů p2,3 = ±j. Vypočteme jednotlivá residua funkceF (p)ept

rezp=−1

2(p2 + 1)(p+ 1)2

ept = limp→−1

(2ept

(p2 + 1)

)′=

limp→−1

2tept

(p2 + 1)− 4pept

(p2 + 1)2= e−t(1 + t)

Matematika 2 79

rezp=±j

2(p2 + 1)(p+ 1)2

ept = limp=±j

2ept

(p± j)(p+ 1)2=

2e±jt

(±2j)(±2j)= −e±jt

2

a dostáváme funkci f(t):

L −1 2(p2 + 1)(p+ 1)2

= e−t(1 + t)− ejt + e−jt

2= e−t(1 + t)− cos t

Poznámka 8 Uvedenou větu lze lze formulovat i v podstatně silnějším znění [12]. Napří-klad může být residuí nekonečně mnoho a jejich suma je nahrazena nekonečnou řadou kderesidua jsou sčítána podle velikosti jejich modulu. Tamtéž je použití této věty při hledánípředmětu, který je T periodický; to jest funkce F (p) je součinem a jeden činitel je zlomek

11 + epT

. Tento zlomek má nekonečně mnoho jednoduchých pólů.

Dále je třeba poznamenat, že předpoklady této věty nejsou splněny ani u jednoduchýchfunkcí. Je-li obraz zlomkem, jehož jmenovatelem je polynom a čitatel je celistvá transcen-dentní funkce, která není polynomem. Například u funkce R(p)eat, kde R(p) je racionálnílomená funkce, postupujeme tak, že nalezneme předmět racionální lomené funkce R(p) apoužijeme větu o translaci. Další možností je využít vyjádření předmětu ve tvaru konvo-luce. Dalším „speciálnímÿ případem je obraz, který je nulový a holomorfní v nekonečnu.

Věta 11 1. Heavivideova věta o rozkladu Nechť je možné funkci F (p) pro |p| > R vyjádřitve tvaru konvergentní řady:

F (p) =∞∑n=1

anpn.

Potom platí:

L∞∑n=1

antn−1

(n− 1)!=∞∑n=1

anpn.

Souvislost Fourierova a Laplacevy transformace

Při odvozování integrálního vyjádření inverzní Laplaceovy transformace jsme ukázali, La-placeův obraz funkce f(t) je ekvivalentní souboru Fourierových obrazů funkcí f(t)e−st,kde s > s0. Z toho plynou důsledky.

Fourierovy obrazy lze někdy počítat pomocí Laplaceových obrazů, které se snáze po-čítají, neboť to jsou holomorfní funkce. Rozlišme dva případy:

1. Funkce f(t) je nulová pro t < 0 a obraz Fourierovy transformace existuje (je origi-nálem Laplaceovy transformace), potom Fourierův obraz dostaneme tak, že v La-placeovu obrazu za p dosadíme p = jω:

Ff(t) = F (jω) = L f(t)|p=jω


2. Funkce f(t) má obraz Fourierovy transformace a pro t < 0 je nenulová. Označmef+(t) zúžení funkce f(t) na [0,∞) a f−(t) = f(−t) pro t ∈ [0,∞). Předpokládejme,že jejich Laplaceovy obrazy F1(p) = L f+(t), F2(p) = L f−(t) existují. Potom platí

F (jω) =∫ ∞−∞

f(t)e−jωt dt =∫ ∞0

f(t)e−jωt dt+∫ ∞

0f(−t)ejωt dt = F1(jω) + F2(−jω),

5.3.2 Užití Laplaceovy transformace k řešení rovnic

Jak jsme již uvedli v úvodu je Laplaceova transformace s výhodou používána k řešenídiferenciální, integro-diferenciálních rovnic a jejich soustav. Předností tohoto postupu je,že při užití tohoto postupu u rovnic s konstantními koeficienty jsou transformované rovnicealgebraickými, další výhodou je, že při řešení Cauchyho počáteční úlohy není třeba hledatobecné řešení a posléze určovat partikulární řešení na základě počátečních podmínek. Je-licílem řešení nalezení obecného řešení integro diferenciální rovnice, dosadíme za počátečnípodmínky obecné konstanty a výše popsaným postupem získáme obecné řešení.

V následujících ukázkách budeme postupovat od jednodušších příkladů ke složitějším,navíc budeme při hledání předmětu budeme užívat různé možnosti jeho nalezení.

Příklad 22 Nalezněte řešení diferenciální rovnice x′′− 2x′ = et(t2 + t− 3), určené počá-tečními podmínkami x(0) = 2, x′(0) = 2.

Nejdříve nalezneme obraz rovnice:

L x′′ − 2L x′ = L ett2 + L ett− 3L et

p2X(p)− 2p− 2− 2pX(p) + 4 =2

(p− 1)3+

1(p− 1)2

− 3p− 1

X(p)(p2 − 2p) =−3p2 + 7p− 2

(p− 1)3+ 2p− 2

Rovnici vyřešíme vzhledem k X(p) a k získané racionální lomené funkci nalezneme jejípředmět pomocí residuí funkce X(p) exp(pt): Funkce

X(p) =p(2p3 − 8p2 + 9p− 1)

(p− 1)3(p2 − 2p)=

2p3 − 8p2 + 9p− 1(p− 1)3(p− 2)

Dále použijeme vzorec pro obraz funkce tn spolu s větou o posunutí obrazu.

x(t) = L −1

1

p− 2+

1p− 1

− 1(p− 1)2

− 2(p− 1)3

= e2t + et(1− t− t2)

Příklad 23 Nalezněte řešení systému diferenciálních rovnic

3y′1 − y′′2 + y′2 − y1 = 2t2 + f(t)

y′2 − y′1 = 0,

Matematika 2 81

určené počátečními podmínkami y1(0) = 0, y′2(0) = y2(0) = 0, kde f(t) je libovolná spojitáfunkce.

Budeme postupovat analogicky s předcházející ukázkou. Nejdříve určíme obraz systémurovnic (f(t)↔ F (p)):

3pY1 − p2Y2 + pY2 − Y1 =4p3

+ F (p)

−3Y1 + pY2 = 0

Vzhledem k proměnným Y1, Y2 jsme získali systém dvou lineárních rovnic

(3p− 1)Y1 + Y2(p− p2) =4p3

+ F (p)

−3Y1 + pY2 = 0,

jehož řešení můžeme získat pomocí Cramerova pravidla:

Y1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣4p3

+ F (p) p(1− p)

0 p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3p− 1 p(1− p)

−3 p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=4p2 + pF (p)

3p2 − p+ 3p− 3p2=

2p3

+ F (p)

Y2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3p− 1

4p3

+ F (p)

−3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2p

=6p4

+32F (p)p

Dále použijeme vzorec pro obraz funkce tn spolu s větou o integrálu předmětu dostáváme:

y1(t) = L

2p3

+ F (p)

= t2+f(t)

y2(t) = L

6p4

+32F (p)p

=t3+

∫ t

o

f(τ) dτ

Předmět k obrazu F (p)/p v němž je blíže neurčená funkce jsme získali podle věty ointegraci předmětu. Stejný výsledek bychom získali podle věty o konvoluci předmětů.Funkce 1/p má předmět Heavisideovu funkci jednotkového skoku a F (p) funkci f(t).Vyjádření předmětu ve tvaru konvolučního integrálu je postup mnohem využitelnější. Vdalší ukázce tohoto obratu využijeme při řešení diferenciální rovnice s periodickou pravoustranou.


Příklad 24 Řešte diferenciální rovnici y′ + y = f(t) = max(sin t, 0) spolu s nulovýmipočátečními podmínkami y(0) = 0.

S využitím ukázky 18 získáme snadno Laplaceův obraz rovnice

pY (p) + Y (p) =1

(p2 + 1)(1− exp(−πp)),

ze které snadno nalezneme obraz řešení,

Y (p) =1

(p+ 1)(p2 + 1)(1− exp(−πp))

Funkci Y (p) je možné chápat jako součin dvou funkcí

1p+ 1

· 1(p2 + 1)(1− exp(−πp))

se známými předměty a užitím věty o konvoluci předmětů můžeme řešení formálně vyjádřitve tvaru konvolučního integrálu:

y(t) =∫ t

0e−(t−τ) max(sin τ, 0) dτ.

Velice často, např. při studiu asymptotického chování řešení, je vhodnější jiný zápis řešeníjako součtu periodické g(t) ↔ G(p) a neperiodické složky. Předpokládejme, že takovýtotvar je možný:

Y (p) =1

(p+ 1)(p2 + 1)(1− exp(−πp))=

A

p+ 1+

1+exp(−pπ)(p2+1)

1− exp(−2πp)

Tvar obrazu periodické složky je dán skutečností, že perioda je 2π a podle věty o obrazuperiodické funkce je jím zlomek ve jmenovateli obsahující rozdíl 1−exp(−2πp) a čitatel jetvořen obrazem jediného impulsu G2π(p). Po vynásobení rovnice výrazem 1− exp(−2πp)

1p+ 1

· 1 + exp(−pπ)(p2 + 1)

=A(1− exp(−2πp))

(p+ 1)+G2π(p)

nalezneme předmět této rovnice s tím, že druhý činitel součinu vlevo je předmětem jednohoimpulsu f2π(t) = η(t) sin t− η(t− π) sin t a využijeme větu o konvoluci předmětů∫ t

0e−(t−τ)f2π(τ) dτ = A

(e−tη(t)− e−(t−2π)η(t− 2π)

)+ g2π(t)

Protože předměty f2π, g2π jsou pro 2π < t nulové dostaneme vztah z něhož určíme A:

e−teπ + 1

2= e−t

∫ π

0eτ sin τ dτ = Ae−t(1− e2π)

Matematika 2 83

Dostáváme A =1

2(exp(−π)− 1). Dále určíme g2π(t) v pro 0 < t < π:

g2π(t) =∫ t

0e−(t−τ) sin τ dτ +

12

e−t

(exp(−π)− 1)=

12

e−t(sin t− cos t+ 1) +12

e−t

(exp(−π)− 1)=

e−t

2

(sin t− cos t+

11 + eπ

)Analogicky dostáváme pro π < t2π:

g2π(t) =∫ π

0e−(t−τ) sin τ dτ +

12

e−t

(exp(−π)− 1)=

e−t

2(eπ + 1) +

e−t

2eπ

1− eπ=

e−t

21 + eπ − e2π

1− eπ

Řešení y(t) nalezneme ve tvaru součtu

y(t) =1

2(exp(−π)− 1)e−t + gper(t),

kde gper(t) je periodická složka řešení dostatečně popsaná průběhem v základním intervalu

[0, 2π]. Vzhledem k tomu, že neperiodická složka A =1

2(exp(−π)− 1)e−t nabývá velmi

malých hodnot, lze pro dostatečně velká t řešení ztotožnit s periodickou složkou. Toto mái praktický význam. Daná rovnice popisuje tok elektrického proudu v obvodu tvořenémcívkou o indukci L = 1 a ohmickým odporem R = 1, který byl v čase 0 připojen kjednocestnému usměrněnému napětí. Nalezená periodická složka řešení popisuje potomustálený stav.

Poznámka 9 V předcházející ukázce byl realizován postup nalezení periodické složky ře-šení. Podrobněji je tento postup popsán v [?]


5.3.3 Slovník Laplaceovy transformace

Předmět Obraz Předmět Obraz

AA

pe−at

1p+ a

tn, n > −1Γ(n+ 1)pn+1

e−attnΓ(n+ 1)p+ a

n+1

cos bt, b 6= 0p

p2 + b2e−at cos bt

p+ a

(p+ a)2 + b2

sin bt, b 6= 0b

p2 + b2e−at sin bt

b

(p+ a)2 + b2

cosh bt, b 6= 0p

p2 − b2e−at cosh bt

b

(p+ a)2 − b2

sinh bt, b 6= 0b

p2 − b2e−at sinh bt

b

(p+ a)2 − b2

t cos bt, b 6= 0p2 − b2

(p2 + b2)2e−att cos bt

(p+ a)2 − b2

((p+ a)2 + b2)2

t sin bt, b 6= 02pb

(p2 + b2)2eatt sin bt

2(p+ a)b(p+ a)2 + b2

eat − ebt

a− b, b 6= a

1(p− a)(p− b)

eat − cos bt− ab

sin bt

a2 + b2

1(p− a)(p2 − b2)

aeat − bebt

a− b, b 6= a

p

(p− a)(p− b)aeat − a cos bt− b sin bt

a2 + b2

1(p− a)(p2 − b2)

(1 + at)eatp

(p− a)2

a2eat + b2 cos bt+ ab sin bta2 + b2

p

(p− a)(p2 − b2)

(1 +at2

2)eat

p

(p− a)3

sin bt− bt cos bt2b3

1(p2 + b2)2

5.4 Cvičení

Cvičení 5 Načrtněte graf periodického signálu f(t) definovaného v intervalu [0, T ] a ur-čete jeho Fourierův rozklad do sinů a cosinů a načrtněte jeho součet v intervalu [−T, T ].

Matematika 2 85

Dále určete Fourierův rozklad tak, aby měl periodu T :

a) T = 4

f(t) =

2 pro 0 < t < 1

1 pro 1 ≤ t < 2

2 pro 2 ≤ t < 4

b) T = 4

f(t) =

t pro 0 < t < 2

4− t pro 2 < t < 4

Cvičení 6 Určete Laplaceův obraz funkce f(t)η(t)

a) f(t) = 1− 2 cos 3t b) f(t) = te−2t

c) f(t) =√te−t d) f(t) = tet cos 2t

Cvičení 7 Načrtněte graf signálu f(t) a určete jeho Laplaceův obraz:

a)f(t) =

0 pro t < 0

t2 pro 0 ≤ t < 1

1 pro 1 < t

b)f(t) =

2t− t2 pro 0 < t < 2

0 pro t < 0, 2 < t

c)f(t) =

0 pro t < 0

sin t pro 0 ≤ t <π

21 pro

π

2< t

d)f(t) =

2t− 4 pro 2 < t < 4

8− t pro 2 ≤ t < 8

0 pro t < 2, 8 < t

Cvičení 8 Načrtněte graf periodického signálu f(t) s periodou T a určete jeho Laplaceůvobraz:

a) T = 6

f(t) =

0 pro 0 < t < 1

4t− 4 pro 1 ≤ t < 2

6− t pro 2 ≤ t < 6

b) T = 4

f(t) =

2t pro 0 < t < 2

0 pro 2 < t < 4

Cvičení 9 Určete předmět k Laplaceovu obrazu F (p)

a) F (p) =p+ 1p(p+ 2)

b) F (p) =1

p2(p+ 1)2

c) F (p) =(p− 3)2

p(p2 + 9)d) F (p) =

p2 + 1p3 + 4p2 + 13p

Cvičení 10 Nalezněte řešení diferenciálních rovnic určených počátečními podmínkami:a) y′′ + 5y′ + 6y = 12et, y(0+) = y′(0+) = 1


b) y′′ + 4y = cos t, y(0+) = 0, y′(0+) = 0c) y′′′ + y′ = e2t, y(0+) = 1, y′(0+) = −1, y′′(0+) = 2d) y′′ + 3y′ + 2y = t+ e−t, y(0+) = y′(0+) = 0

Cvičení 11 Nalezněte řešení integrálních a integrodiferenciálních rovnic případně urče-ných počátečními podmínkami:

a) y′ + 6y + 9∫ t

0y(τ)dτ = 0, y(0+) = 0

b) y′ − y − 2∫ t

0y(τ)dτ = sin t, y(0+) = 0

c) y(t) = cos 3t+∫ t

0e−(t−τ)x(τ)dτ

d) y′′ + y′ + y +∫ t

0y(τ)dτ = 2, y(0+) = 2, y′(0+) = −2

Cvičení 12 Nalezněte řešení systému diferenciálních a integrodiferenciálních rovnic ur-čených počátečními podmínkami:

a)y′1 = y1 −2y2

y′2 = 5y1 +3y2

, y1(0+) = 1, y2(0+) = 1

b)y′1 = 7y1 −18y2 +12e−t

y′2 = 3y1 +5y2 +5e−t, y1(0+) = 2, y2(0+) = 1

b)y′′1 +7y′2 +8y1 = 0

y′′2 −y′1 +2y2 = 0

, y1(0+) = 1, y′1(0+) = 0, y2(0+) = 0 y2(0+) = 0,

b)

y′1 = −2y1+ y′2

y′2 = 2y1− 3y′2 +y3

y′3 = 2y′2 −3y3

, y1(0+) = 1, y1(0+) = 0, y2(0+) = 1 y3(0+) = 0,

Výsledky

6a) F (p) =p2 − 6p+ 9p3 + p

6b) F (p) =1

(p+ 2)3

6c) F (p) =

√π

2(p+ 1)2/36d) F (p) =

p2 − 2p− 3(p2 − 2p+ 5)2

7a) F (p) =e−p

p

[1− 1

2e−p(3− e−2p)

]

Matematika 2 87

7b) F (p) =2p2

(1− e−2p)− 2p3

(1 + e−2p)

7c) F (p) =p+ e−p

π2

p(p2 + 1)7d) F (p) =

1p2

(2e2p − 3e−3p + e−8p)

8a) F (p) =2e−p − 3e−2p+ e−4p

p2(1 + e−6p)8b) F (p) =

2− 4pe−2p

p(1 + e−4p)3

9a) f(t) =12

(1 + e−2t

)9b) f(t) = t− 2 = e−t(t+ 2)

9c) f(t) = 1− 2 sin 3t

9d) f(t) =113

[1 + e−2t(12 cos 3t− 28

3sin 3t)

]

10a) f(t) = et 10b) f(t) =13

(cos t− cos 2t)

10c) f(t) =36 cos t− 12 sin t− et − 15

10

10d) f(t) =34

(e−2t − 1) = te−t +t

2

11a) f(t) = e−3t(1− 3t) 11b) f(t) =12

(sin t− te−t)

11c) f(t) = cos 3t− 13

sin 3t 11d) f(t) = 2e−t

12a) y1(t) = e2t(cos 3t− sin 3t) y2(t) = e2t(cos 3t+ 2 sin 3t)

12b) y1(t) = −4e−2t + 3e−t + 3et y2(t) = −2e−2t + 2et + et

12c) y1(t) =715

cos 4t− 815

cos t y2(t) =215

sin 4t− 815

sin t

12d)y1 =15

(1− e−5t) y2 =15

(2 + 3e−5t) y3 =25

(1− e−5t)


Kapitola 6

Z transformace

Obsahem předchozí kapitoly bylo seznámit čtenáře se základním matematickým apará-tem pro popis systémů s spojitým časem. Velice často se zabýváme systémy kdy se studo-vaná veličina vytváří případně je měřena jen v diskrétních časových okamžicích, zpravidlastejně od sebe vzdálených. Takovým příkladem jsou impulsní soustavy. Situaci popisu-jeme pomocí posloupností, jejíž členy představují hodnoty jisté fyzikální veličiny v danýchčasových okamžicích. Rovnice popisující vlastnosti těchto diferenčních systémů můžemeanalogicky se spojitým případem řešit pomocí transformace. Touto transformací je Ztransformace.

Definice 18 Nechť je dána posloupnost čísel fn. Jestliže existuje alespoň jedno kom-plexní číslo 0 6= z0 6=∞ takové,že funkční řada

∞∑n=0

fnzn

(6.0.1)

konverguje, Řekneme, že posloupnost fn je Z transformovatelná nebo přípustná. Jejísoučet F (z) je regulární funkce v okolí bodu ∞ a nazýváme ji obrazem posloupnostifn. Tuto skutečnost zapisujeme F (z) ↔ fn. Toto přiřazení je jediné nazýváme jeZ-transformací.

Abychom vymezili množinu přípustných posloupností zavedeme pojem index růstu po-sloupnosti.

Definice 19 Řekneme, že posloupnost fn je ohraničeného růstu s indexem s, jestližeexistují konstanty M , s takové, že

|fn| ≤Mesn pro všechna n.

Věta 12 Platí, že posloupnost je Z transformovatelná právě když je ohraničeného růstus indexem s, kde s je vhodné číslo.

Příklad 25 Konstantní posloupnost 1 (posloupnost 1 nazýváme diskrétní jednotkovýimpuls) je ohraničeného růstu s indexem 0. Její obraz nalezneme pomocí součtu geomet-rické řady.

F (z) =∞∑n=0

1zn

=1

1− z−1=

z

z − 1

89


Příklad 26 Snadno vidíme, že posloupnost eαn je ohraničeného růstu s indexem |α|,pro libovolné komplexní α. Její obraz nalezneme opět pomocí součtu geometrické řady.

F (z) =∞∑n=0

eαn

zn=∞∑n=0

(eα

z

)n=

11− eαz−1

=z

z − eα

Pokud bychom tuto posloupnost zapsali ve tvaru αn obdrželi bychom výsledek ve tvaru

Z αn =z

z − α.

Než uvedeme větu, která přehledně shrne základní vlastnosti Z transformace zavedemeněkteré důležité pojmy analogické s pojmy vyskytujícími se ve formulaci podobných větpro transformace integrální. Důležitým pojmem je konvoluce.

Definice 20 Konvolucí posloupností fn, gn nazýváme posloupnost, kterou značímefn ∗ gn pro jejíž členy platí vztah

fn ∗ gn =n∑i=0

fn−igi

Příklad 27 Spočtěme konvoluci několika jednoduchých posloupností

fn gn fn ∗ gn

1 1 n+ 1

1 n n2

(n+ 1)

1 fn sn = n∑i=0

fi

n fn n∑i=0

(n− i)fi

Poznamenejme, že konvoluce posloupností je komutativní, distributivní a asociativní.Navíc jsou=li obě posloupnosti přípustné je i jejich konvoluce přípustná posloupnost.

Definice 21 Nechť k je přirozené číslo. O posloupnosti gn = fn+k řekneme, ževznikla z posloupnosti fn posunutím o k míst vlevo, jestliže pro její členy gn platí

gn = fn+k pro n = 0, 1, 2, . . . .

O posloupnosti hn = fn−k řekneme, že vznikla z posloupnosti fn posunutím o kmíst vpravo, jestliže pro její členy hn platí

gn =

0, pro n=0,1,. . . ,k-1;

fn−k, pro n=k-1,k,. . . .

Matematika 2 91

Věta 13 Předpokládejme, že posloupnosti fn, gn jsou ohraničeného růstu. OznačmeF (z) = Z fn a G(z) = Z gn, dále n ∈ N, a, b ∈ C jsou konstanty.


poznámka

linearitě afn+ bgn aF (z) + bG(z)

podobnosti anfn F(za

)posunutí vpravo fn−k z−kF (z)

posunutí fn+k zk

[F (z)−

k−1∑n=0

fnzn

]

derivaci obrazu nfn −zF ′(z)

integraci obrazu

fnn

∫ ∞z

F (ζ)ζ

dζ

musí platit f0 = 0, tj. fn/n = 0, f1, f2/2, . . .

konvoluci předmětu fn ∗ gn F (z)G(z)

diferenci ∆kfn (z − 1)kF (z)− zk−1∑i=0

(z − 1)k−1−i ·∆if0

posloupnost ∆k je také přípustná, ∆0fn = fn

částečnémsoučtu

sn =

n∑i=0

fi

z

z − 1F (z)

posloupnost sn je také přípustná

Na místo provádění důkazů procvičíme použití jednotlivých vět při hledání obrazů pří-pustných posloupností.

Příklad 28 Pomocí výsledku v ukázce 26 a věty o linearitě můžeme odvodit následujícívýsledky.

Z sinαn =Z ejαn −Z ejαn

2j=

12j

(z

z − ejα− z

z − e−jα

)=

12j

z(ejα − ejα)z2 − z(ejα + e−jα) + 1

=z sinα

z2 − 2z cosα + 1

Označme an = 1, bn = (−1)n, cn = jn, an = (−j)n, potom platí


posloupnost kombinace obraz

en = 1, 0, 1, 0, . . . 12

(an+ bn)z2

z2 − 1

fn = 0, 1, 0, 1, . . . 12

(an − bn)z

z2 − 1

gn = 1, 0,−1, 0, 1, . . . 12

(cn+ dn)z2

z2 + 1

hn = 0, 1, 0,−1, 0, 1, . . . 12

(cn − dn)z

z2 + 1

1, 0, 0, 0, 1, 0 . . . 14

(an+ bn+ cn+ dn)z4

z4 + 1

Příklad 29 Na výsledcích předchozí ukázky je možné demonstrovat použití vět o posunutí.Platí vztahy mezi posloupnostmi en−1 = fn = en+1, proto platí

z−1E(z) =1z

z2

z2 − 1= F (z) = z

(z2

z2 − 1− 1

)= z(E(z)− 1)

V následující ukázce nalezneme obraz jedné posloupnosti s využitím tří různých vět.

Příklad 30 Nalezněte obraz posloupnosti

(n+ 2

2

)1. Využijeme větu o derivaci obrazu:

Z n = −z (Z 1)′ = −z(

z

z − 1

)′= −z −1

(z − 1)2=

z

(z − 1)2.

analogicky dostaneme obraz posloupnosti n2:

Z n2 = −z (Z n)′ = −z(

z

(z − 1)2

)′= −z −z − 1

(z − 1)3=

z2 + z

(z − 1)3.

Součtem obrazů obou posloupností a jeho dělením 2 dostáváme:

Z

(n+ 2

2

)=

12

(z

(z − 1)2+

z2 + z

(z − 1)3

)=

z2 + z

(z − 1)3=

2z2

(z − 1)3

2. Využijeme skutečnosti

(n+ 2

2

)= 1 ∗ n a věty o obrazu konvoluce:

Z

(n+ 2

2

)= Z 1 ·Z n =

z

z − 1z

(z − 1)2=

z2

(z − 1)3

Matematika 2 93

3. Třetí možností je využít skutečnosti

(n+ 2

2

)=

n∑i=1

i a věty částečných součtech:

Z

(n+ 2

2

)=

z

z − 1Z n =

z

z − 1z

(z − 1)2=

z2

(z − 1)3

V následující ukázce použijeme větu o integraci obrazu.

Příklad 31 Nalezněte obraz posloupnosti

0, 1,−1

2, . . . ,

(−1)n+1

n

. Tuto posloupnost

můžeme také zapsat jako posloupnost fn/n, kde je posloupnost fn = 0, 1, 1, . . . . Vevětě o integrálu obrazu položíme fn = 0, 1,−1, 1, . . . její obraz můžeme získat jakosoučet geometrické řady:

Z 0, 1,−1, 1, . . . =1z− 1z2

+ · · ·+ (−1)n+1

zn=

1z

1 + 1z

=1

z − 1

Integraci racionálně lomené funkce F (ζ)/ζ provedeme pomocí rozkladu na parciálnízlomky:

Z

(−1)n+1

n

=∫ ∞z

dζ

ζ(ζ + 1)=∫ ∞z

(1ζ− 1ζ + 1

)dζ = lim

ζ0→∞[ln ζ−

ln(ζ + 1)]ζ0z = limζ0

(ln

ζ0

ζ0 + 1− ln

ζ

ζ + 1

)= − ln

z

z + 1= ln

(1 +

1z

),

protože

limζ0

lnζ0

ζ0 + 1= ln lim

ζ0

ζ0

ζ0 + 1= ln 1 = 0.

Věta 14 Nechť fn je přípustná tj. Z fn = F (z). Jestliže níže uvedené limity existují,potom platí:

limz→∞

F (z) = f0 počáteční hodnota (6.0.2)

limz→1

F (z) =∞∑n=0

fn (6.0.3)

limz→0

(z − 1)F (z) = limn→∞

fn koncová hodnota (6.0.4)

Užitečnost těchto limitních vztahů je mimo jiné dána u vztahu 6.0.2 možností nahraditpředpoklad f0 = 0 předpokladem na funkci F (∞) = 0. Vztah 6.0.3 nám umožní využítpředchozí ukázky k určení součtu

∞∑n=1

(−1)n+1

n= lim

z→1ln

(1 +

1z

)= ln 2.


6.1 Souvislost Z a Laplaceovy transformace

Pedpokládejme, že posloupnost fn je přípustná. Uvažujme zobecněnou funkci

f(t) =∞∑n=0

fnδ(t− n)

Vypočteme Laplaceův obraz této zobecněné funkce:

L∞∑n=0

fnδ(t− n) =∞∑n=0

L fnδ(t− n) =∞∑n=0

e−pn.

Tento vztah se nazývá diskrétní Laplaceova transformace a substitucí ep = z dostávámeobraz Z transformace posloupnosti fn.

6.2 Zpětná Z transformace

Každá funkce komplexní proměnné F (z), která je v bodě ∞ je obrazem vhodné posloup-nosti fn to jest Z fn = F (z), což také zapisujeme:

Z −1 F (z) = fn (6.2.1)

Navíc lze členy této posloupnosti jsou koeficienty Laurentova rozvoje a platí pro ně inte-grální vzorce:

fn =1

2πj

∫Cρ

F (z)zn−1, n = 0, 1, 2, . . . . (6.2.2)

Tento postup je poměrně náročný.

Poznámka 10 Vyjdeme-li ze vztahu 6.0.1, je možné získat člen fn také tak, že danývztah vynásobíme zn−1 a n-krát derivujeme. Získáme tak řadu, která začíná výrazem(−1)nfnn!z−n−1 neboť z na nezáporné celé mocnitele derivováním zmizely. Vynásobíme-linyní řadu zn a provedeme limitní přechod z →∞ dostaneme vzorec

fn = (−1)n limz→∞

dn

dzn[zn−1F (z)].

6.2.1 Předmět k racionální funkci

Je-li obrazem Z transformace racionálně lomená funkce, lze předmět nalézt poměrnějednoduše rozkladem na parciální zlomky:

1(z − z0)k

, kde k ∈ N

a z0 je konečné komplexní číslo. Přesněji řečeno pro racionální funkci, která není ryzí, jevyjádření ve tvaru součtu konstanty a parciálních zlomků. Pro parciální zlomek kde k = 1snadno získáme

1z − z0

=1z0

1− 1z0

=1z

+z0

z2+z2

0

z3+ +

z30

z4+ . . . (6.2.3)

Matematika 2 95

Rozvoj parciálních zlomků (z − z0)−k, kde 2 ≤ k ∈ N můžeme odvodit z rozvoje 6.2.3,jestliže jej k − 1 krát derivujeme. Situaci přesně popisuje následující věta

Věta 15 Je-li z0 6= 0 platí

1(z − z0)k

↔ 1zk

+

(k

k − 1

)z0

zk+1+ · · ·+

(k − 1 + n

k − 1

)zn0zk+n

+ . . . (6.2.4)

Poznamenejme, že uvedená věta platí i pro k = 1 a pravá strana rovnice 6.2.4 je jenomsložitěji zapsaná pravá strana 6.2.3. Podobně předpoklad z0 6= 0 není nutný, ale pro z0 = 0je parciální zlomek přímo Laurentovým rozvojem.

Celkově můžeme postup hledání předmětu Z transformace k racionální funkci shr-nou do jediné věty. Racionálně lomenou funkci vyjádříme ve tvaru součtu konstanty aparciálních zlomků a z linearity Z transformace získáme předmět jako součet předmětůjednotlivých parciálních zlomků podle známých vzorců. Uvedený postup předvedeme naukázkách.

Příklad 32 Nalezněte předmět Z transformace k funkci

z2 + 4z − 1(z + 1)2(z − 1)

Rozklad racionální funkce má tvar

z2 + 4z − 1(z + 1)2(z − 1)

=1

z − 1+

2(z + 1)2

Podle vztahu 6.2.3 dostáváme

1z − 1

↔ 1z

+1z2

+ · · ·+ 1zn

a podle vztahu 6.2.4

2(z + 1)2

↔ 2z2

+2(2

1

)(−1)

z3+ · · ·+

2(nn−1

)(−1)n−2

zn

a předmět původní racionální funkce je ve tvaru součtu jednotlivých předmětů

z2 + 4z − 1(z + 1)2(z − 1)

↔ 1z

+2 + 1z2

+ · · ·+ 1 + 2(n− 1)(−1)n

zn

Zápis předmětu Z transformace k dané funkci lze realizovat i takto

z2 + 4z − 1(z + 1)2(z − 1)

↔ δ0n + 1 + 2(n− 1)(−1)n ,

kde δ0n je tzv. Kroneckerův symbol.

Další určování předmětů Z transformace bude dílčí úlohou při využití Z transformacek řešení diferenční a rekurentních rovnic.


6.3 Řešení diferenčních a rekurentních rovnic

Analogicky s řešením lineární integro diferenciální rovnic užitím Laplaceovy transformacemůžeme řešit lineární diferenční rovnice. Za lineární diferenční rovnici s konstantnímikoeficienty považujeme:

ar ∆ryn+ · · ·+ a2

∆2yn

+ a0yn = fn,

kde a 6= 0, r ∈ N, n ∈ N0 a navíc

• ai jsou konečné komplexní konstanty pro i = 0, . . . , r, které se nazývají koeficientyrovnice.

• fn je zadaná posloupnost komplexních čísel, která se nazývá pravá strana rovnice.

• yn je hledaná posloupnost, kde prvních r členů y0, y1, . . . , yr−1 jsou obvykle zadányjako počáteční hodnoty.

Při hledání řešení postupujeme obvykle následujícím způsobem:

1. Nalezneme obraz diferenční rovnice, který je v případě lineární diferenční rovnice skonstantními koeficienty rovnice algebraická

2. Dosazením počátečních podmínek do této algebraické získáme rovnici, která jednořešení a nalezneme tak obraz řešení diferenční rovnice.

3. Hledané řešení yn, potom určíme zpětnou transformací

Příklad 33 Řešte diferenční rovnici

∆2yn− yn = 1 s počátečními podmínkami

y0 = 0, ∆y0 = −1.Určíme obraz diferenční rovnice Z

∆2yn

−Z yn = Z 1 označíme-li Z yn =

Y (z) :

(z − 1)2Y (z)− z(z − 1)y0 − z∆y0 − Y (z) =z

z − 1.

Dosazením počátečních podmínek a vyřešením rovnice získáme obraz řešení:

(z − 1)2Y (z) + z − Y (z) =z

z − 1

Y (z)(z2 − 2z) =z

z − 1− z =

2z − z2

z − 1

Y (z) =1

1− z

K tomuto obrazu řešení nalezneme snadno předmět užitím 6.2.3:

Z −1

−1z − 1

= −1.

Matematika 2 97

Každou diferenční rovnici rovnici můžeme přepsat dosadíme-li za všechny diferencečleny posloupnosti je určující vztahem:

∆ryn =r∑i=0

(−1)r−i(r

i

)fn+i.

Získaná rovnice z lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty má potom tvar:

Aryn+r+ · · ·+ A2yn+2+ A1yn+1+ A0yn = fn, (6.3.1)

kde Ar 6= 0 6= A0 a Ai jsou komplexní konstanty. Vzhledem k tomu, že ze známýchpočátečních podmínek lze opakovaným použitím tohoto vztahu určit libovolné yn je tentotvar rovnice nazýván rekurentní rovnicí. Při hledání řešení postupujeme stejně jako urovnic diferenčních.

Příklad 34 Nalezněte hodnoty tzv. Fibonacciovy posloupnosti určené rekurentním vzta-hem fn+2 = fn+1 + fn a počátečními hodnotami f0 = f1 = 1.

Nejdříve nalezneme obraz a následně vyřešíme:

z2(F (z)− 1− 1/z) = z(F (z)− 1) + F (z)

F (z) =z2

z2 − z − 1

Rozkladem na součet parciálních zlomků dostaneme Fibonacciovu posloupnost:

F (z) =z2

z2 − z − 1=

1z1 − z2

(z1z

z − z1− z2z

z − z2

)kde z1,2 =

1±√

52

fn =z1z

n1 − z2z

n2

z1 − z2=

1√5

(1 +√

52

)n+1

−

(1−√

52

)n+1

Uvedený výsledek není v příliš praktickém tvaru. Rozvineme proto n + 1 mocniny podlebinomické věty a v rozdílu obou závorek se odečtou sudé mocniny

√5:

fn =1√

52n+1

[n+1∑i=0

(n+ 1i

)√5i −

n+1∑i=0

(−1)i(n+ 1i

)√5i

]=

12n

[n2 ]∑k=0

(n+ 12k + 1

)5k.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610


Poznámka 11 Při řešení diferenčních resp. rekurentních rovnic jsme mlčky předpoklá-dali, že hledaná řešení mají obraz v Z transformaci tj. jsou přípustné. Obecně to neplatí,ale pokud se jedná o rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ve tvaru konečnélineární kombinace funkcí tvaru P (n)qn cosαn resp. P (n)qn cosαn, kde P (n) je polynom,je každé řešení této rovnice přípustné.

6.3.1 Cvičení

Pomoci transformace Z najděte obraz nasledujici posloupnosti

a) 0, 12, 0,

18, 0,

132, 0,

1128

, . . .

b) 0, 0, 13, 0, 0,

19, 0, 0,

127, 0, 0, . . . .

Nalezněte předmět Z transformace k funkci

a) F (z) =7z2 + 2z + 1z(z2 − 1)

Kapitola 7

Signály

7.1 Pojem signálu

Problematika modelování má hluboký metodologický a gnoseologický význam a zvládnutíjejích základů je nezbytností v oblasti rozvíjení přírodních i společenských věd včetně znich čerpajících disciplín. Jeden z fundamentálních pojmů této problematiky — pojemsystému v pojetí Ludwiga von Bertalanffyho a rozličné modifikace konceptu systému jejeden z nejrozšířenějších pojmů používaných nejen v různých vědních disciplínách, alei v běžném životě v rámci popisu rozličných situací. Základní idea, že za systém lzepovažovat soubor prvků propojených nejrůznějšími vztahy vedla ke vzniku integrujícívědní disciplíny nazývané obecná teorie systémů. Vazby mezi jednotlivými prvky systému,stejně jako vstupy výstupy systému označujeme jako signály. Signály tedy můžeme zhlediska popisu činnosti systému dělit na vnitřní signály daného systému, dále signályvstupní a signály výstupní. Obecnější pojem než signál je pak pojem procesu. procesemrozumíme děj probíhající v určitém prostředí v kontinuálním (spojitém) nebo v diskrétnímčase, který může být popsán signálními funkcemi nebo posloupnostmi. Teorie systémůprochází prudkým rozvojem, její podstatné části jsou postupně zařazovány do studia navysokých školách technického zaměření a zejména do obsahu vědecké výchovy studentůdoktorských studijních programů.

7.1.1 Zavedení pojmu a klasifikace signálu

Právě uvedené vymezení pojmu signál je velmi obecné. Připusťme, že různí lidé majírůznou představu o významu slova signál. Dokonce ani inženýři elektrotechnici nejsou vevýkladu obsahu pojmu signál moc jednotní. Pohled na slovo signál je závislý na jejichzaměření. Názory se mohou lišit zejména v hodnocení vzájemné vázanosti či nezávislostisignálu a systému. Pro obvodáře či odborníka na automatické řízení je signál nástrojempro popis systému, jeho stavu a chování vůči okolí. Naopak pro odborníka na zpracovánísignálů je systém, ve kterém signál vzniká mnohdy vzdálený a neznámý nebo nezajímavý,případně nepopsatelný. Tento odborník se zabývá především hledáním efektivních a rea-lizovatelných algoritmů zpracování signálu, např. s cílem zjistit některé informaci nesoucíparametry užitečné složky signálu. Teprve sekundárně, v případě potřeby, navrhuje sys-

99


témy algoritmus realizující.Má se za to, že používání slova signál v dnešním obvyklém slova smyslu začalo v roce

1588, kdy byl použit řetězec výstražných ohňových znamení oznamujících anglickémuloďstvu, že se blíží španělské loďstvo.

My budeme pojmem signál chápat, že je to veličina, zpravidla fyzikální, nesoucí in-formaci. Pojem informace bude chápán velmi obecně jako každá zpráva, sdělení neboúdaj.

S případem, kdy signálem bude elektrické napětí nebo elektrický proud, se budemesetkávat nejčastěji. To souvisí se skutečností, že jsou k dispozici technické prostředky, kteréumožňují elektrické signály zpracovávat rychle a levně. Jak již bylo zmíněno, nejčastějise také budeme zabývat signály, u kterých se bude informaci nesoucí veličina měnit vzávislosti na čase.

Matematické modely signálů jsou vynikajícím a efektivním nástrojem pro studium sig-nálů a hledání nástrojů jejich analýzy a algoritmů jejich zpracování. Umožní nám snadnozavést užitečné veličiny a pojmy. Student přitom najde bezprostřední uplatnění části svýchznalostí středoškolské a vysokoškolské matematiky.

Příklad 1. Typickým signálem je například elektrické napětí na svorkách reproduktoruradiopřijímače. Napětí se mění v čase, o čemž je možné se přesvědčit pomocí osciloskopu.Signál je fyzikální veličinou a je také zřejmé, že průběh napětí zobrazuje nějakou informaci.

Příklad 2. (Signál EKG). Signál EKG (Electrocardiography signal, ECG) poskytujelékaři důležité informace o činnosti a stavu lidského srdce. Signál zdravého člověka jepřibližně periodický s periodou asi 1s. Nápadným prvkem v časovém průběhu EKG jezpravidla úzký impulz charakteristického tvaru známý pod označením QRS komplex.

V moderních přístrojích se signál EKG vzorkuje, aby pak mohl být vyjádřen po-sloupností čísel. Standardní rychlosti vzorkování jsou 250 vzorků (samples) za sekundu a500 vzorků za sekundu (Sa/s).

K vlastnímu signálu EKG se připojují různé rušivé složky. Patří k nim například napětís kmitočtem 50 Hz naindukované ze síťových rozvodů kapacitními vazbami a magnetickouindukcí. Další rušivé signály, které jsou součástí snímaného napětí, jsou vyvolány svalo-vými stahy. Přítomnost rušivých signálů může být nepříjemná, protože užitečná složkasignálu má rozkmit jen asi 1 mV.

Příklad 3. (Signál EEG). Signály EEG (Encephalogram Signal) jsou snímány z několikamíst povrchu hlavy. Jedná se o součtová napětí vyvolaná činností milionů neuronů vmozku. Typický rozkmit napětí se pohybuje v rozmezí od 2 do 100 mV. Výkon signálůje převážně rozložen v kmitočtovém pásmu od 0,5 Hz do 100 Hz. Signály EEG umožňujízjišťovat epilepsii, poruchy spánku aj.

Příklad 4. (Řečový signál). Řečový signál je akustickým signálem. Má celou řadu spe-cifických vlastností a nese rozličné informace. Především má nějaký obecný věcný obsah,sdělení, které by bylo možné vyjádřit písmem. Z řečového signálu jsme zpravidla schopnirozpoznat, zda mluví muž, žena nebo dítě, jakým jazykem mluvčí mluví, jakou má náladua pod. Také jsme schopni na základě hlasového projevu rozpoznat nám známou osobu,což je využíváno v bezpečnostních systémech.

Matematika 2 101

Při přenosu řečí na velkou vzdálenost můžeme klást různé nároky na kvalitu přenosupodle toho, jaké informace chceme z přijatého signálu získat. Jakost řečového signáluje dána především kmitočtovým pásmem propustnosti sdělovacího systému. V praxi seustálila telefonní kvalita (telephone speech) s pásmem 300 Hz až 3 400 Hz, v USA 200 Hzaž 3 200 Hz, rozhlasová kvalita (wideband speech) s pásmem 50 Hz až 7 kHz a konečněCD kvalita (wideband audio) s pásmem 10 Hz až 20kHz stereo.

Časový průběh napětí získaného z mikrofonu odpovídající části hlásky ”s” je znázorněnv horní polovině obr. 1-2, v jeho dolní polovině je nakreslen časový průběh hlásky ”i”.Časový průběh vyjadřující hlásku ”s” je výrazně nepravidelný, zatímco signál hlásky ”i”je skoro periodický.

Ukazuje se, že při řešení řady úloh v elektrotechnice lze pominout náhodnost v cho-vání signálu. Proto často skutečné, v podstatě náhodné, stochastické signály nahrazujemepravidelnými signály s jednoznačně definovanými hodnotami v jejich definičním oboru.Někam mezi náhodné signály a pravidelné signály můžeme zařadit tzv. chaotické signály.

Příklad 5. (Datový signál). V počítačových sítích, v moderních rozhlasových a televizníchsystémech, v systémech mobilních telefonů, v soustavách dálkového měření a ovládání jsoupřenášeny z jednoho místa na druhé sdělovacími soustavami signálové prvky vyjadřující,přímo nebo zprostředkovaně, nuly a jedničky. Příklad signálových prvků datového signáluje nakreslen na obr. 1-4. Jedná se o signál nazývaný NRZ (nonreturn-to-zero) dvojí po-larity [42]. Nula je vyjadřována záporným impulzem šířky T a výšky D, jednička je vždyvyjádřena kladným impulzem šířky T a výšky D. Při přenosu jsou nejčastěji signálovéprvky řazeny jeden za druhým, takže se přenáší 1/T signálových prvků za sekundu (obr.1-5). Počet signálových prvků přenášených za sekundu se nazývá modulační rychlost.Počet dvojkových číslic přenášených za sekundu se nazývá přenosová rychlost. V našempřípadě obě veličiny nabývají stejných číselných hodnot.

Signál má obvykle v místě příjmu malý výkon. Je přinejmenším lineárně zkreslen.To se projevuje změnou tvaru signálových prvků. Přitom nám nejvíce vadí zvětšení dobytrvání signálových prvků. Signálové prvky po sob+ jdoucí se překrývají a vzájemně se ruší.Navíc se ve sdělovacím systému zpravidla k užitečnému signálu přidružují rozličné signályrušivé. Hledání algoritmů pro správné vyhodnocení přijatého signálu spolu s hledánímvhodných tvarů vysílaných signálových prvků a jejich efektivních kombinací představujepříležitost pro uplatnění mnoha odborníků na číslicové zpracování signálu.

Je vhodné připomenout, že při řešení některých úloh náhodný charakter signálu po-minout nelze.

Obecnějším termínem, než pojem signál, je termín proces — nezaměňujte prosím snáhodným procesem. Procesem je každý fyzikální, společenský, biologický nebo jiný jevči děj, probíhající v určitém prostředí, zpravidla relativně uzavřeném. Proces může býtvíce či méně dokonale popsán několika signály.

Příklad 6. Příkladem procesu v uvažovaném slova smyslu může být činnost nebo chovánímotoru při rozjezdu automobilu. Tento proces může být popsán celou řadou signálů, např.závislostí otáček na čase, závislostí kroutícího momentu na čase, závislostí teploty chladicíkapaliny na čase, závislostí úhlu otevření škrticí klapky na čase, atd. V automobilu Felicias řidicí jednotkou Siemens je uvedený proces sledování osmi čidly.


Abychom mohli úspěšně řešit technické problémy, nutně potřebujeme skutečné signálymatematicky popsat, vyjádřit. Vytváříme proto matematické modely signálů.

Signály můžeme členit podle různých hledisek. Uvedeme několik z nich a současněvymezíme typy signálů, které nás budou v dalších kapitolách zajímat.

A. Členění podle počtu nezávisle proměnných.

1) Jednorozměrné signály (někdy označované krátce 1D signály); příkladem můžebýt průběh napětí u(t), s jedinou nezávisle proměnnou t (časem).

2) Dvourozměrné signály (2D signály); např. průběh úrovně šedi (šedotónového)obrazu p(x, y), kde jsou nezávisle proměnnými prostorové souřadnice x a y.

3) Vícerozměrné signály (např. 3D objekty).

Dále se omezíme pouze na jednorozměrné signály, které jsou funkcemi času, resp. časovýmiposloupnostmi.

B. Nezávisle proměnná může být spojitá (souvislá) nebo diskretní. Je-li nezávisle pro-měnnou čas, můžeme signály dělit na:

1) signály se spojitým časem (nazývané též jako signály se souvislým časem nebozjednodušeně spojité signály), které jsou (po částech) spojité funkce spojitě pro-měnného času; spojité signály nabývající reálných hodnot bývají nazývány jakoanalogové.

2) signály s diskretním časem (zjednodušeně diskretní signály), které jsou uspořá-danými posloupnostmi hodnot; tyto jsou např. výsledkem rovnoměrného vzorkováníspojitého signálu v okamžicích tn = nT , kde n je celé číslo a T vzorkovací perioda;takové signály budeme označovat jako posloupnosti s(nT ), nebo zjednodušeně jakos(n), popř. sn. Zvláštním případem diskretních signálů jsou číslicové signály, kteréjsou diskretizovány nejen v čase, ale i v úrovni — jejich vzorky jsou vyjádřeny somezenou přesností, vymezenou obvykle počtem bitů, které máme k dispozici projejich reprezentaci.

C. Členění podle matematických modelů signálů.

1) Deterministické signály (někdy označované jako regulární signály nebo také de-terminované signály) jsou signály, které jsou reprezentovány konkrétními (známými)analytickými funkcemi nebo posloupnostmi. Díky tomu umíme určit jejich hodnotuv kterémkoliv, tedy i budoucím čase. V realitě se s (idealizovanými) čistě deter-ministickými signály prakticky nesetkáme, ale velmi důležité je jejich uplatnění přianalýze vlastností systémů.

2) Náhodné procesy (zjednodušeně náhodné nebo stochastické signály) jsou na rozdílod deterministických signálů nepředvídatelné. K jejich popisu slouží stochastickémodely. I zde existují idealizované modely, např. bílý šum, se kterými se v praxi včisté podobě nesetkáme, ale můžeme je využít např. při návrhu některých speciálníchsystémů.

Matematika 2 103

V této publikaci se zaměříme na spojité a diskretní deterministické signály, důležité přianalýze lineárních spojitých a číslicových systémů. U stochastických signálů se omezímepouze na úvod do teorie diskretních náhodných procesů.

Poznamenejme ještě, že signály s(t), pro které platí s(t) 6= 0 pro libovolné t < 0,nazýváme nekauzálními. Naopak signály, pro které platí s(t) = 0 pro libovolné t < 0jsou kauzální.

7.2 Signály se spojitým časem

Signály se spojitým časem nazýváme také spojitými (jednorozměrnými) signály nebo sig-nály se souvislým časem obvykle představují (po částech) spojité reálné nebo komplexnífunkce u = f(x) jedné reálné proměnné, u je nejčastěji čas probíhající časovou množinu(časovou osu), což je interval 〈t0,∞) ⊂ R nebo jeho vhodný podinterval 〈t0, t1〉 ⊂ 〈t0,∞).Zde R – jakožto i dříve – označuje množinu všech reálných čísel, kterou můžeme takéoznačit jako interval (−∞,∞). Připomeňme, že intervalem reálných čísel se rozumí každáalespoň dvouprvková lineárně uspořádaná množina I ⊂ R s touto vlastností: Jestližex, y ∈ I, x < y a z ∈ R je číslo s vlastností x < z < y, pak z ∈ I.

Obecněji lze spojitým (jednorozměrným) signálem nazývat funkci u = f(x), kde x jeprostorová vzdálenost nebo jiná veličina. Dále, počet nezávisle proměnných není principi-álně omezen; pak hovoříme o dvojrozměrných nebo vícerozměrných signálech (např. obrazje jasový signál závislý na dvou prostorových souřadnicích). Signály spojité v uvedenémsmyslu se také označují jako analogové, neboť bývají reprezentovány průběhy fyzikálníchanalogových veličin.

7.3 Periodické signály, harmonické signály a jejichspektra

V technické praxi se často setkáváme se signály, jejichž průběh se periodicky opakuje.Příkladem takového signálu může být datový signál vyjádřený periodickou posloupnostíčísel 0, 1, tj. ku příkladu posloupností 01010101 . . . . Také signál vyjádřený posloupností0011001100110011 . . . atd. je signálem periodickým, ale s dvojnásobnou periodou.

Funkce y = s(t) je periodická, existuje-li kladné číslo Tp takové, že pro všechna reálnáčísla t platí:

s(t+ Ts) = s(t) .

Nejmenší hodnota Ts s výše uvedenou vlastností se nazývá základní perioda.Při řešení některých fyzikálních problémů, ve kterých se vyskytují periodické děje, je

výhodné vyjádřit příslušné funkce pomocí nekonečných Fourierových (trigonometrických)řad. Jako příklady uveďme elektrické, akustické či mechanické kmity nebo teorii pružnosti.

Periodická funkce modelující spojitý signál s periodou Ts, s(t) = s(t + mTs), m celé,která splňuje Dirichletovy podmínky (funkce musí být absolutně integrovatelná, musí mítv periodě konečný počet nespojitostí a konečný počet extrémů – lze říci, že každý „ro-zumnýÿ signál uvedené podmínky splňuje), může být reprezentována součtem komplex-


ních harmonických funkcí o kmitočtech kΩ (když Ω = 2π/Ts je základní úhlový kmitočetsignálu a k je celé číslo),

s(t) =∞∑

k=−∞

ckejkΩt , (2.1)

kde ck jsou komplexní koeficienty Fourierovy řady, které lze vypočítat jako

ck =1Ts

∫ Ts

0s(t)e−jkΩtdt . (2.2)

Důkaz platnosti obou vzorců je jednoduchý. Dosaďme do (2.2) za s(t) z (2.1) a získáme

cm =1Ts

∫ [ ∞∑k=−∞

ckejkΩt]e−jmΩtdt =

1Ts

∞∑k=−∞

ck

∫ Ts

0ej(k−m)Ωtdt

∣∣∣k=m

=1TscmTs .

Koeficienty Fourierovy řady ck = |ck| · ej·arg(ck) lze považovat za komplexní amplitudykomplexních harmonických signálů ejkΩt, které tvoří analyzovaný periodický signál. Situ-ace se na pohled zjednoduší pro reálný signál s(t), kdy musí být koeficienty Fourierovyřady v komplexně sdružených párech ck = c∗−k. Vztah (2.1) lze pak přepsat do podoby

s(t) = c0 +∞∑k=1

[|ck|e−j arg c+ke−jkΩt + |ck|ej arg ckejkΩt

]=

= c0 + 2∞∑k=1

|ck| cos(kΩt+ arg ck) ,

(2.3)

tedy vyjádřit signál jako lineární kombinaci stejnosměrné složky c0 a reálných harmonic-kých signálů o amplitudách 2|ck| a počátečních fázích arg(ck).

Tzv. dvoustranná spektra jsou velmi užitečná. Jedná se reprezentaci spojitého periodic-kého signálu s(t) lineární kombinací komplexních (vzájemně nezávislých) harmonickýchsignálů. Využitím vztahu (2.2) je zřejmě spektrální analýza spojitého periodického sig-nálu; komplexní koeficienty Fourierovy řady představují diskrétní spektrum. Interpretacekoeficientu ck je při spektrální analýze reálného signálu jednoduchá: jeho modul |ck| jepolovinou amplitudy a argument arg ck fázovým posunutím (počáteční fází) k-té reálnéharmonické složky, která je v analyzovaném signálu obsažena; k-tou harmonickou složkoumíníme harmonický signál o frekvenci kΩ, Ω je základní úhlová frekvence signálu.

Příklad 2.1. Realizujme harmonickou analýzu periodického obdélníkového signálu zobra-zeného v horní části obr. 2.1. Výška obdélníků je A, šířka Ti, perioda signálu Ts, základníúhlová frekvence Ω = 2π/Ts. Dosazením do (2.2) získáme stejnosměrnou složku

c0 =1Ts

∫ Ts/2

−Ts/2Adt =

A

Ts[t]Tj/2−Ti/2 = A

TiTs

a obecně k-tou složku

ck =1Ts

∫ Ts/2

−Ts/2Ae−jk

2πTstdt =

A

Ts

[e−jk

2πTst

−jk 2πTs

]Ti/2−Ti/2

= ATiTs

sin(kπ Ti

Ts

)kπ Ti

Ts

.

Matematika 2 105

Na obr. 2.1 je Ti = 0, 1s a Ts = 0, 2s. Jednotlivé spektrální čáry jsou od sebe vzdálenyo 1/Ts = 5Hz, každá druhá (tj. pro sudé k) je nulová. Koncové body jsou funkčnímihodnotami funkce sin(x)/x (její modul je naznačen čárkovanou kresbou) s průchody nulouv násobcích kmitočtu 1/Ti = 10Hz. Spektrum uvedeného signálu, který se symetrickýkolem t = 0, je reálné. Pro sin(x)/x > 0 je ck = |ck| a pro sin(x)/x < 0 je ck = −|ck| =|ck|e±iπ – ve druhém případě je zřejmě arg ck = π nebo −π.

Zdůrazněme nejdůležitější vlastnosti spekter periodických signálů.

Spektrum spojitého periodického signálu je vždy diskretní (čarové).

Spektrum reálného signálu obsahuje kromě stejnosměrné složky c0 komplexní har-monické složky v komplexně sdružených párech: |ck| = |c−k|, arg ck = − arg c−k. Je-lisignál sudý (symetrický kolem nuly), je jeho spektrum reálné.

Vypočteme integrál

I(x) =∫ b

−bexp(±jxy) dy . (3− 3)

Pro x = 0 jeI(0) = 2b . (3− 4)

Pro případ x 6= 0 dostáváme

I(x) =[exp(±jxy)±jx

]b−b

=exp(jxb)− exp(−jxb)

jx=

− 2x

exp(jxb)− exp(−jxb)2j

= 2bsin bxbx

. (3-5)

Dílčí výsledky (3-4) a (3-5) lze společně zapsat vztahem∫ b

−bexp(±jxy) dy = 2b sin c(bx) . (3− 6)

Tím je odvození vzorce skončeno.Nyní již přikročíme k výpočtu spektra periodického sledu obdélníkových impulzů.Analyzovaný signál je nakreslen na obr. 3-2. Záměrně byl zvolen tak, aby představoval

sudou funkci. Ze vztahu (2-19) lze vyvodit, že v tomto případě koeficienty ck budou ryzereálné. Výsledek výpočtu to potvrdí. Impulzy mají šířku ϑ = 1, výšku D = 10 a opakujíse s periodou T1 = 3. Koeficienty ck Fourierovy řady (2-16) vypočteme pomocí vztahu(2-19):

ck =1T1

∫ T1/2

−T1/2s(t) exp(−jkω1t) dt =

1T1

∫ ϑ2

−ϑ2

D exp(−jkω1t) dt =

=D

T1

∫ ϑ2

−ϑ2

exp(−jkω1t) dt . (3-7)

Pro výpočet integrálu využijeme dříve odvozený vztah (3-6), kde bude t = y, b = ϑ/2 ax = kω1. Díky tomu můžeme pro koeficient ck Fourierovy řady psát:

ck =D

T12ϑ

2sin c

(ϑ2kω1

)= D

ϑ

T1sin c

(ϑ2kω1

). (3− 8)


Spektrum signálu z obr. 3-2 je nakresleno na obr. 3-3. Vzhledem k tomu, že koeficientyck by obecně mohly být komplexní, je spektrum rozděleno na modulové a argumentové.

Pro načrtnutí spektra stačí spočítat úhlový kmitočet ω1 základní harmonické složky,úhlový kmitočet ωa určující kmitočtovou souřadnici prvního průchodu funkce sin c(·) nuloua hodnotu výrazu Dϑ/T1. Úhlový kmitočet ωa vypočteme z rovnice

ωa =2πϑ. (3− 9)

V našem případě je ω1 = 2π/3, ωa = 2π a Dϑ/T1 = 3, 3. Pro úhlový kmitočet ω = ωaje funkce sin c(·) ve vztahu (3-8) rovna nule. Pokud je úhlový kmitočet ωa celistvým ná-sobkem úhlového kmitočtu ω1, není ve spektru obsažena harmonická složka s úhlovýmkmitočtem rovným tomuto celistvému násobku. V našem případě, kdy T1 = 3ϑ, neob-sahuje signál 3. harmonickou složku. Neobsahuje také 6., 9. a 12. harmonickou složku avůbec všechny harmonické složky s úhlovými kmitočty rovnými celistvému násobku úh-lového kmitočtu 3ω1. Amplitudy harmonických složek jsou úměrné dvojnásobku délekúseček vyjadřujících moduly koeficientů ck — obr. 3-3a. Absolutní hodnota stejnosměrnésložky je úměrná délce úsečky na kmitočtu ω = 0, tedy ne jejímu dvojnásobku! Zna-ménko od nuly různé stejnosměrné složky je určeno hodnotou argumentu koeficientu c0.V našem případě je arg(c0) = 0, stejnosměrná složka je tedy kladná. Pokud by byl ar-gument koeficientu c0 roven π nebo −π, byla by stejnosměrná složka záporná. Počátečnífáze jednotlivých harmonických složek jsou dány příslušnými hodnotami argumentů ckvynesenými na obr. 3-3b.

Poučky o spektrech mohou usnadnit výpočet koeficientů Fourierovy řady. Nám všakjde spíše o to zjistit, jak se změny časového průběhu signálu projeví ve spektru signálu.Poučky zde uvedeme bez odvození, které ostatně není příliš obtížné. U všech signálůbudeme předpokládat, že jsou periodické s periodou T1 a že modelují signály s konečnoustřední hodnotou výkonu.

Spektrum součtu signálůNechť je signál s(t) tvořen součtem signálů sa(t) a sb(t):

s(t) = sa(t) + sb(t) . (3− 10)

Koeficienty Fourierovy řady signálů s(t) označíme ck, koeficienty signálu sa(t) označímecak a koeficienty signálu sb(t) označíme cbk. Pak pro všechna k ∈ Z platí:

ck = cak + cbk . (3− 11)

Spektrum signálu násobeného konstantouNechť jsou koeficienty Fourierovy řady signálu s(t) označeny ck a nechť a je libovolná

konstanta. Pak platí, že koeficienty Fourierovy řady signálu as(t) jsou dány hodnotamivýraz’ ack.

Spektrum signálu posunutého v čase Pro posunutý signál zavedeme označení

sτ (t) = s(t− τ) , (3− 12)

Matematika 2 107

τ je reálná konstanta.

Nyní se budeme zabývat harmonickým signálem.Harmonický signál je zvláštním případem periodického signálu, pro který platí

s(t) = s(t+ iTs), , kde Ts je perioda signálu, i . . . celé.

Spojitý harmonický signál lze vyjádřit pomocí této spojité funkce:

s(t) = As cos(ωst+ ϕs) = As cos(2πfst+ ϕs) = As cos(

2π1Ts

(t+ iTs) + ϕs

).

Je jednoznačně určen třemi parametry: amplitudou As, úhlovou frekvencí ωs [rad/s] a po-čáteční fází ϕs [rad]. Tento signál může být reprezentován ve frekvenční oblasti frekvenč-ním amplitudovým spektrem (spektrální čarou o velikosti As na frekvenci ωs) a fázovýmfrekvenčním spektrem (čarou o velikosti ϕs na frekvenci ωs). Aditivní směs harmonickýchsignálů různých kmitočtů a počáteční fází pak může být poměrně přehledně reprezen-tována příslušnými spektrálními čarami. Jedná se o reprezentaci harmonických signálůtzv. jednostrannými frekvenčními spektry. Běžná je však reprezentace frekvenčními spek-try dvoustrannými. Důvodem je „nepříjemnáÿ goniometrická funkce, se kterou se „špatněpočítáÿ, protože se při analýze signálů i systémů objevuje uvnitř integrálu nebo sumy.

Z hlediska analýzy je vhodnější reprezentace harmonického signálu (po aplikaci Eule-rova vzorce)

s(t) = Asej(ωst+ϕs) + e−j(ωst+ϕs)

2=As2

ej(ωst+ϕs) +As2

e−j(ωst+ϕs) ,

odkud vyplývá následující popis ve frekvenční oblasti: frekvenční modulové spektrumv podobě dvojice spektrálních čar o velikosti As/2 na frekvencích ωs a −ωs a frekvenčníargumentové spektrum v podobě čar ϕs na frekvenci ωs a −ϕs na frekvenci −ωs.Ukázka dvoustranného spektra je na obr. 1.1. Reprezentaci harmonického signálu dvojicíkomplexních (komplexně sdružených) signálů o kmitočtech ωs a −ωs je nutno chápatabstraktně, jako matematický model.

Spektrum harmonického signálu

s(t) = a cos(ωst+ ϕs) =A

2e−jωsejωst +

A

2ejωse−jωst

je součtem spekter jeho komplexních složek, protože Fourierova transformace je lineární.

7.4 Aperiodické signály, spektrum signálu

Naznačíme možnost zobecnění Fourierových řad pro neperiodické signály. Předpoklá-dejme, že funkce u = x(t) představuje časově omezený signál, pro který platí x(t) = 0pro každou hodnotu t /∈ (−T1, T1), tedy t < −T1 a T1 < t. Vytvořme z uvedeného signálusignál periodický s periodou Λ rozšířením xΛ(t+ nΛ) = x(t), Λ > 2T1. Potom

x(t) = limΛ→∞

xΛ(t) .


Periodický signál xΛ(t) můžeme vyjádřit pomocí Fourierovy řady s(t) =∞∑

k=−∞

ckejkΩt jako

xΛ(t) =∞∑

n=−∞

ckejnΩt ,

kde

ck =1Λ

∫ Λ2

−Λ2

x(t)e−jnΩt dt , Ω =2πΛ, n celé.

Protože x(t) ≡ 0 vně intervalu⟨− Λ

2,Λ2

⟩, můžeme upravit meze předcházejícího integrálu

a psát

ck =1Λ

∫ ∞−∞

x(t)e−jnΩtdt .

Nyní definujeme Fourierovu transformaci

X(ω) =∫ ∞−∞

x(t)e−jωtdt , (2.6)

takže pro ω = nΩ dostaneme

X(nΩ) =∫ ∞−∞

x(t)e−jnΩtdt a ck =1ΛX(nΩ) .

Pak můžeme upravit výše uvedenou Fourierovu řadu do tvaru

xΛ(t) =∞∑

n=−∞

1ΛX(nΩ)ejnΩt =

12π

∞∑n=−∞

ΩX(nΩ)ejnΩt .

Předpokládejme Λ → ∞, odtud nΩ → ω (ω je spojitě proměnná frekvence) a Ω → dω(frekvenční krok Ω přejde na dω). Předchozí suma vede v tomto limitním případě naintegrál, a protože pro Λ → ∞ je xΛ(t) → x(t), můžeme konečně napsat finální vzorecpro zpětnou Fourierovu transformaci

x(t) =1Λ

∫ ∞−∞

X(ω)ejωtdω . (2.7)

Fourierovu transformaci S(ω) signálu s(t) budeme dále stručně označovat jako

S(ω) = Fs(t) .

Fourierovu transformaci lze použít ke zkoumání spektrálních vlastností neperiodickýchsignálů, ale i signálů periodických (a to spojitých i diskretních). Výsledkem Fourierovytransformace je spektrum (spíše ale spektrální hustota, viz níže) jako funkce spojitéhokmitočtu.

Matematika 2 109

Příklad 2.2. Spočítejme spektrum S(ω) jednorázového obdélníkového signálu s(t) zobra-zeného v horní části obr. 2.2. Výška obdélníku je A, šířka Ti. Dosazením do (2.6) získáme

s(ω) =∫ Ti/2

−Ti/2Ae−jωtdt = A

[e−jωt

−jω

]t=Ti/2t=ti/2

=−Ajω

(e−j

ωTi2 − ej

ωTi2

)=

=−Ajω

(− 2j sin

ωTi2

)= ATi

sin ωTi2

ωTi2 .

Spektrum je reálné, protože se jedná o transformaci signálu symetrického kolem nuly(sudého). Modul spektra je zobrazen v dolní části obr. 2.2. Podobně jako u Příkladu 2.1je argumentové spektrum argS(ω) = 0 pro sin(x)/x > 0 a argS(ω) = π nebo −π prosin(x)/x < 0 (viz též Příklad 2.1).

Na rozdíl od koeficientů Fourierovy řady reprezentujících spektrum periodického sig-nálu (viz obr. 2.1 k Příkladu 2.1), nepředstavuje v Příkladu 2.2 hodnota S(0) = ATistejnosměrnou složku, stejně jako S(ω1) nepředstavuje hodnotu amplitudy komplexníharmonické složky (o úhlové frekvenci ω1), která je v signálu obsažena. Proto je výstiž-nější označení funkce S(ω) jako spektrální hustota (vzpomeňme např. na interpretacihustoty pravděpodobnosti). Je-li analyzovaným neperiodickým signálem elektrické napětíproměnné v čase u(t), je rozměrem modulu spektrální hustoty [V s], popř. [V/Hz]. Přifrekvenční reprezentaci periodického u(t) je rozměrem |ck| [V ].

Spektrum Diracova impulsu je s ohledem na filtrační vlastnost Diracova impulzu(1.4)

Fδ(ω) =∫ ∞−∞

δ(ω)e−jωtdω = 1 . (2.8)

Ze spektra vyplývá zajímavost Diracova impulsu z hlediska vlastností lineárních systémů:v Diracově impulsu jsou totiž zastoupeny rovnoměrně všechny harmonické složky s nu-lovým fázovým posunem. S termínem souhlasím. Odezva lineárního systému na Diracůvimpuls se nazývá impulsní charakteristika systému. Jestliže spektrum vstupu, kterýmje jednotkový impuls, je konstanta, pak spektrum výstupu nás bude informovat o frekvenč-ních vlastnostech systému — jeho spektrem je frekvenční charakteristika lineárníhosystému, která nás informuje, s jakou korekcí amplitudy a fáze „propustilÿ systém tukterou (ve vstupu obsaženou) harmonickou složku na výstup.

Spektrum stejnosměrného signálu (konstanty) s(t) = A, pro t ∈ (−∞,∞), zřejměnebude obsahovat frekvenční složky o kmitočtech ω 6= 0. Jeho přímý výpočet je ovšemproblematický, neboť taková funkce s(t) není absolutně integrovatelná. Zkusme jít nařešení z druhé strany, přes zpětnou transformaci Diracova impulsu

F−1δ(ω) =1

2π

∫ ∞−∞

δ(ω)ejωtdω =1

2π.

Odtud zřejmě

F 1

2π

= δ(ω)


a

FA = FA2π

12π

= 2πAδ(ω) . (2.9)

Spektrem stejnosměrného signálu s(t) = A je Diracův impuls s mohutností 2πA.

Jak již bylo uvedeno, spektrum harmonického signálu

s(t) = A cos(ωst+ ϕs) =A

2e−jϕsejωst +

A

2ejϕse−jωst

je součtem spekter jeho komplexních složek, protože je Fourierova transformace lineární(neboť vyhovuje principu superpozice). Také při výpočtu Fourierova obrazu komplexnísložky harmonického signálu si pomůžeme zpětnou transformací Diracova implusu, aleposunutého,

F−1δ(ω − ωs) =1

2π

∫ ∞−∞

δ(ω − ωs)ejωtdω =1

2πe−jωst

⇒ Fe−jωst = 2πδ(ω − ωs) ,

podobně

F−1δ(ω + ωs) =1

2π

∫ ∞−∞

δ(ω + ωs)ejωtdω =

12π

ejωst

⇒ Fejωst = 2πδ(ω + ωs) .

Výsledné spektrum harmonického signálu je

S(ω) = FA cos(ωst+ ϕs) = 2πA

2δ(ω − ωs)e−jϕs + 2π

A

2δ(ω + ωs)e

jϕs . (2.10)

Modulové spektrum je v podobě dvou symetrických Diracových impulsů na kmitočtechωs a −ωs o mohutnostech πA, argumentové spektrum tvoří antisymetrické spektrální čáryϕs na ωs a −ϕs na −ωs.Vlastnosti Fourierovy transformaceSpektrum aperiodického signálu je spojité. Dokonce i Fourierův obraz periodic-kého signálu můžeme považovat za spojitý v tom smyslu, že s jednotlivými komplexnímispektrálními čarami (koeficienty Fourierovy řady) koresponduje sled spojitých Diracovýchimpulsů s komplexními vahami podle (2.9).

Spektrum reálného signálu. Modul spektra reálného signálu je vždy symetrický kolemnuly, argumentové spektrum je antisymetrické (liché). Je-li navíc signál sudý (symetrickýkolem nuly), je jeho spektrum reálné.

Fourierova transformace je lineární. Bez důkazu (který je zřejmý a spočívá v ověřeníplatnosti principu superpozice) uveďme, že platí

Asa(t) +Bsb(t)↔ FAsa(t) +Bsb(t) = ASa(ω) +BSb(ω) .

Spektrum signálu se změněným časovým měřítkem. Zamysleme se ještě krátcenad spektrem obdélníkového impulsu v Příkladu 2.2, resp. na obr. 2.2. Ze spektra S(ω)

Matematika 2 111

vyplývá, že jeho první průchod nulou je při ωTi/2 = π, tj. na úhlové frekvenci ω = 2π/Ti.Čím širší bude impuls, tím nižší bude frekvence, na které bude průchod spektra nulou avyšší maximum (ATi) spektrální funkce a naopak. Vliv změny časového měřítka lze krátcevyjádřit jako

s(t)F↔ S(ω)⇒ s(mt)

F↔ 1mS( ωm

)(2.11)

(kde m je kladná konstanta), tzn. že roztažením časového měřítka („roztažením signáluÿdojde ke stlačení frekvenčního měřítka („stlačení spektraÿ) a naopak.

Spektrum posunutého signálu. Předpokládejme pár s(t) ↔ S(ω) a nechť sτ (t) =s(t− τ)↔ Sτ (ω). posunutí se projeví (stejně jako u Fourierových řad, důkaz je obdobný)zřejmě pouze na argumentovém spektru. Stručně můžeme psát

s(t)F↔ S(ω)⇒ s(t− τ)

Fe−jωτ

S(ω) . (21.12)

Konvoluční vlastnost Fourierovy transformace. Fourierova transformace konvolucesignálů s1(t) a s2(t) je

Fs1(t) ∗ s2(t) =∫ ∞−∞

[ ∫ ∞−∞

s1(τ)s2(t− τ) dτ]e−jωτdt =

=∫ ∞−∞

s1(τ)[ ∫−∞∞s2(t− τ)e−jωtdt

]dτ =

=∫ ∞−∞

s1(τ)[ ∫−∞∞s2(t− τ)e−jω(t−τ)dt

]e−jωτdτ =

= S2(ω)∫ ∞−∞

s1(τ)e−jωτdτ = S1(ω)S2(ω) ,

krátce

s1(t) ∗ s2(t)F↔ S1(ω)S2(ω) . (2.13)

Konvoluční vlastnost, kterou můžeme slovně interpretovat tak, že konvoluci signálů (včasové oblasti) odpovídá (ve frekvenční oblasti) součin jejich spekter, je velmi důležitápro analýzu lineárních systémů. Jestliže je jedním ze signálů impulsní charakteristika li-neárního systému (tj. odezva systému na Diracův impuls), jehož spektrem je frekvenčnícharakteristika systému, pak konvoluce vstupního signálu s impulsní charakteristikou ko-responduje se součinem spektra vstupu s frekvenční charakteristikou systému.

Fourierova transformace součinu signálů je zajímavá tím, že je duální operací k(2.13),

s1(t)s2(t)F↔ 1

2πS1(ω) ∗ S2(ω . (2.14)


Důkaz.

F−1S − 1(ω) ∗ S2(ω) =1

2π

∫ ∞−∞

[ ∫ ∞−∞

S1(ξ)S2(ω − ξ) dξ]ejωtdω =

=1

2π

∫ ∞−∞

S1(ξ)[ ∫ ∞−∞

S2(ω − ξ)ejωtdω]dξ =

=1

2π

∫ ∞−∞

S1(ξ)[ ∫ ∞−∞

S2(ω − ξ)ej(ω−ξ)tdω]ejξtdξ =

= s2(t)∫ ∞−∞

S1(ξ)e−jξtdξ = s1(t)s2(t) .

Na závěr tohoto paragrafu uvedeme ještě Laplaceovy obrazy některých signálů. Při-poměňme, že počítáme jednostrannou Laplaceovu transformaci, tzv. že předpokládámekauzální signály.

Obraz Diracova impulsu je

L δ(t) =∫ ∞

0δ(t)e−ptdt = 1 . (2.20)

Obraz jednotkového skoku

L l(t) =∫ ∞

0le−ptdt =

[e−pt

p

]t=∞t=0

=1p. 2.21

Obraz harmonického signálu spočítáme díky linearitě transformace jako součet obrazůjeho komplexních složek,

L ejωit =∫ ∞

0e−(p−jωi)tdt =

1p− jωi

[e−(p−jωi)t]t=∞t=0 =1

p− jωi, (2.22a)

L ejωit =∫ ∞

0e−(p+jωi)tdt =

1p+ jωi

, (2.22b)

cos(ωit)F↔ 1

2

( 1p− jωi

+1

p+ jωi

)=

p

p2 + ω2i

. (2.22c)

Poznamenejme, že při ωi = 0 přejde kterýkoliv z obrazů (2.22a, b, c) na obraz jednotko-vého skoku 2.21, který je vlastně „kauzálníÿ stejnosměrnou složkou.

Obraz derivace signálu. Integrací po částech, při v = e−pt a u = s(t), s použitím

(uv)′ = u′v + uv′ a schématu∫uv′ = uv −

∫u′v dostaneme

∫ ∞0

ds(t)dt

e−pt =[s(t)e−pt

]t=∞t=0−∫ ∞

0−pe−pts(t) dt

a odtudds(t)dt

L↔ pS(p)− s(0+) . (2.23)

Matematika 2 113

Pro transformaci diferenciální rovnice popisující spojitý systém budeme potřebovat i obrazn-té derivace signálu,

ds(n)(t)dt

L↔ pnS(p)−∑i=1

npn−is(i−1)(0+) . (2.24)

Pro lepší pochopení sumu rozepišme

ds(n)(t)dt

L↔ pnS(p)− s(n−1)(0+) − ps(n− 2)(0+)− p2s(n−3)(0+)− · · · − pn−1s(0+) .

Důkaz lze provést úplnou indukcí. Pro n = 1 jsme důkaz uvedli, platí-li uvedený vzorecpro obecné n > 1, musí platit i pro n+ 1. Nechť

L g(t) = Ls(n)(t)

⇒ L g′(t) = L

s(n+1)(t)

, g(0+) = s(n)(0+) .

Potom

Ls(n+1) = p(n+1)S(p)−

n∑i=1

pn+1−is(i−1)(0+)− s(n)(0+) =

= p(n+1)S(p)−n+1∑i=1

p(n+1)−is(i−1)(0+) .

Z možností využití Laplaceovy transformace uveďme heslovitě následující:

• obecně: pro analýzu a popis spojitých systémů — Laplaceova transformace umožňujepřevedení diferenciální rovnice na rovnici algebraickou, se kterou se snáze pracuje;

• pro odvození přenosové funkce H(p) lineárního systému z diferenciální rovnice nebojako Laplaceovy transformace jeho impulsové charakteristiky, H(p) = L h(t);

• pro odvození kmitočtové charakteristiky H(ω) lineárního systému z přenosovéfunkce H(p) dosazením p = jω;

• díky konvoluční vlastnosti lze Laplaceovu transformaci použít pro výpočet odezvyy(t) lineárního spojitého systému na vstupní signál x(t), y(t) = L −1H(p)X(p),kde H(p) = L h(t) a X(p) = L x(t).

7.5 Diskretní signály.

Diskretní signál je uspořádaná posloupnost hodnot fi = f(i), která je funkcí celočísel-ného indexu i. Z teoretického hlediska je lhostejné, jak posloupnost vznikla; nejčastěji jdeo sérii hodnot nějakých postupných měření nebo vzorků signálu se spojitým časem; pak


index odpovídá nějakým způsobem konkrétním hodnotám času a lze užít názvu signál sdiskretním časem.

Poznámka o vzorkování: Velmi často jde v případě diskretního signálu o hodnoty nějakéfunkce f(t) spojitě proměnné v čase, kterou vzorkujeme v časových okamžicích ti, i =0, 1, . . . , n . . . , přičemž nejčastěji je vzorkování rovnoměrné, tedy s vzorkovací periodouT , takže fn = f(tn) = f(nT ). V tom případě hovoříme o vzorkovacím kmitočtu fv nebo fsresp. o odpovídajícím úhlovém vzorkovacím kmitočtu ωv, ωs. Je často užitečné vztahovatskutečný úhlový kmitočet ω složek signálu ke vzorkovacímu kmitočtu; příslušný bezměrnýpodíl v rozsahu 〈0, 2π〉 se pak označuje jako normovaný kmitočet.

Číslicový signál je diskretní signál, jehož hodnoty jsou vyjádřeny pomocí čísel z nějakékonečné číselné množiny (např. z množiny čísel −32767 · · · + 32767 při šestnáctibitovémbinárním vyjádření). Poznamenejme, že diskretizace nejen co do času, ale také co dohodnot je podstatnou vlastností číslicových signálů, která v některých situacích významněovlivňuje výsledky zpracování.

Poznámka o přesnosti vyjádření vzorků: Je zřejmé, že číslicový signál může vyjádřit vzorkyspojitého signálu obecně jen přibližně; odchylky mezi přesnými hodnotami vzorků a (nej-bližšími) hodnotami, vyjádřitelnými čísly z dané množiny, tvoří posloupnost, nazývanoukvantovací šum. V současné době lze díky rozvoji číslicové techniky zpravidla již použítvyjádření čísel s tak vysokou přesností, aby kvantovací šum byl v dané aplikaci zanedba-telný; proto se problémy týkající se kvantovacího šumu nebudeme v tomto úvodním kursuzabývat. Hodnoty diskretního signálu mohou ovšem být reprezentovány i jinak než čísly,např. šířkou nebo výškou impulsů elektrického napětí nebo velikostí elektrického náboje.V tom případě je (odhlédneme-li od kvantového charakteru elektřiny) množina hodnotspojitá, přesnost vzorků je však omezena jinými vlivy (např. termickým šumem) a zadnešního stavu techniky je zpravidla nižší než u číslicového vyjádření.

Diskretní zpracování signálů lze charakterizovat jako přepočet vstupní posloupnostihodnot na posloupnosti výstupní. Soustavy, které takový výpočet realizují, jsou dynamickédiskretní systémy; matematicky jsou popsány diferenčními rovnicemi, jejichž analýzou lzeobdržet informace o vlastnostech soustavy vzhledem ke zpracování signálů. Výpočet můžebýt realizován analogově (např. obvody se spínanými kapacitory) nebo (dnes převážně)číslicově pomocí vhodně programovaného počítače.

Pokud zpracováváme diskretně spojitý signál x(t) se záměrem získat opět spojitý vý-stupní signál y(t), je prvým článkem zpracování vzorkovač, který v zadaných časovýchokamžicích tn získává vzorky vstupu xn, tvořící vstupní posloupnost diskretního systému.Na základě diskretní posloupnosti y(n), kterou poskytuje diskretní systém, je pak nutnovytvořit spojitou funkci y(t) pomocí rekonstrukčního interpolátoru (viz obr. 5-1, v němž jediskretní systém ohraničen čárkovaným rámečkem). Jak už bylo uvedeno, diskretní systémmůže být realizován také číslicově; má-li akceptovat vstup tvořený vzorky analogového sig-nálu, resp. poskytovat obdobný výstup, musí vlastnímu číslicovému systému předcházetanalogově-číslicový (-digitální) převodník a následovat převodník číslicově-analogový.

Vlastní číslicový systém je počítač, který, pokud jde o zpracování časových posloup-ností, musí pracovat v režimu tzv. reálného času a mít takovou výkonnost, aby v obdobímezi dvěma vzorky zvládl celý algoritmus výpočtu jednoho výstupního vzorku. Může býtrealizován pomocí univerzálního počítače, řízeného vhodným programem, nebo speciali-

Matematika 2 115

zovanými počítačovými strukturami (např. signálovými procesory), optimalizovanými protypy operací, které při zpracování signálů převažují.

Příklad 5.1. Diskretní harmonický signál může být vyjádřen jako obecná posloupnost

s(n) = As cos(ωNsn+ ϕs) = As cos(

2πn

N+ ϕs

)= As cos

(2π

(n+ kN)N

+ ϕs

),

kde: k je celé, N je počet vzorků v periodě, ωNs [rad] je relativní (či normovaná) úhlováfrekvence,která může být v případě časové posloupnosti vzorků signálu vzdálených o vzor-kovací periodu T = 1/fvy vyjádřena jako ωNs = 2πfsT = 2πfs/fvz. Časová posloupnosttvořící diskretní harmonický signál o kmitočtu fs [Hz] (resp. ωs [rad/s]) je

s(nT ) = As cos(ωsnT + ϕs) = As cos(

2πnfsfvz

+ ϕs

)= As cos

(2πn

(fs) + kfvzfvz

+ ϕs

).

Představme si, že je posloupnost s(nT ) získána diskretizací spojitého harmonickéhosignálu s(t) o kmitočtu fs při použití vzorkovací frekvence fvz = 1/T , když T je vzdálenostmezi jednotlivými vzorky signálu. Z posledního výrazu na pravé straně je zřejmé je zřejmé,že posloupnost s(nT ) bude stejná pro kmitočty původního spojitého signálu fs + kfvzpro libovolné celé k. Co z toho vyplývá? Shodné posloupnosti mají samozřejmě shodnáspektra, spektrum diskretního signálu musí být tedy periodické s periodou fvz. (Podrobněse teorií vzorkování budeme zabývat později.)

Ukázka části periodického spektra diskretního harmonického signálu je na obr. 1.2.Všimněme si ještě spektra jedné ze dvou komplexně sdružených složek reálného dis-

kretního harmonického signálu,

ej(2 fnT+ϕ) = cos(2πfnT + ϕ) + j sin(2πfnT + ϕ) ,

jejíž reálná a imaginární část jsou zobrazeny ve dvou horních kresbách na obr. 1.3. V dolnípolovině obr. 1.3 je zobrazeno komplexní frekvenční spektrum, resp. jeho modulová a ar-gumentová část. Obdobně bychom mohli zobrazit i spektrum složky komplexně sdružené.Sloučením obou spekter dostaneme výsledek na obr. 1.2.

Dále se budeme krátce věnovat vzorkování (sampling) spojitého signálu. Vzorkováníslouží k vyjádření spojitého signálu f(t) jeho diskretními vzorky fn = f(tn) pro určitéhodnoty tn nezávisle proměnné t. Zpravidla jsou tyto vzorky ekvidistantní, tj. tn = nT ,kde T je vhodná reálná konstanta, označovaná jako perioda vzorkování, takže

fn = f(nT ) .

Ukážeme, že diskretní reprezentace, tvořená teoreticky nekonečnou posloupností fnmůže za jistých předpokladů nést úplnou informaci o spojitém signálu a zjistíme, jakéjsou tyto předpoklady, které následně umožní přesně rekonstruovat spojitý signál z jehovzorků. Nejprve zopakujeme definici následující užitečného signálu.

Diracova distribuce: Velmi užitečným signálem pro teoretické úvahy je Diracova distribuce(označovaná také jako jednotkový impuls)

δ(t)→∞ pro t = 0, δ(t) = 0 pro t 6= 0, přičemž∫ ∞−∞

δ(t) dt = 1 .


jedná se zřejmě o signál se spojitou proměnnou, nikoli však v našem smyslu spojitý.Můžeme jej však interpretovat jako limitní případ spojitého signálu d(t),

d(t) = h pro t ∈ 〈0, 1/h〉 , d(t) = 0 pro t /∈ 〈0, 1/h〉 ,

(který podmínku jednotkového integrálu splňuje), pro h → ∞. Interpretace Diracovaimpulsu jako limitního případu uvedené funkce jej umožňuje chápat jako „kvazispojitýÿsignál a přesně s ním pracovat v dalších vztazích, např. definovat jako limitu jeho Fourie-rovu transformaci, která v obvyklém smyslu bezprostředně definována není.

Vlastnosti Diracovy distribuce jsou:

1. Posunutí impulsu: δ(x − ξ) je nenulová právě pro x = ξ, kde ξ je libovolné reálnéčíslo.

2. Filtrační vlastnost:

∞∫−∞

f(t)δ(t− τ) dt = f(τ).

3. Spektrum jednotkového impulsu (vzhledem k filtrační vlastnosti) je

Λ(ω) =∫ ∞−∞

δ(t− τ)e−jωtdt = e−jωτ ,

4. specielně pro ξ = 0 je Λ(ω) = 1.

5. Energie impulsu: Eδ =

∞∫−∞

δ2(t) dt = limh→∞

h2 · 1h

= limh→∞

=∞.

Poznamenejme ještě, že Diracův impuls může jako nezávisle proměnnou mít jakoukolifyzikální veličinu, zejména také frekvenci.

Pomocí Diracovy distribuce můžeme vyjádřit ideálně vzorkovaný signál jako kvazispo-jitý. Zaveďme vzorkovací

v(t) =∞∑

i=−∞

δ(t− iT ) (5.1)

s periodou vzorkování T a tedy úhlovým vzorkovacím kmitočtem ωv =2πT

(obr. 5-1a).

Pak můžeme vyjádřit vzorkovaný signál jako součin spojitého (analogového) signálu asignálu vzorkovacího

fv(t) = f(t) · v(t) =∞∑

i=−∞

f(iT )δ(t− iT ) . (5.2)

V tomto signálu je zřejmě obsažena veškerá informace o jeho vzorcích při danémvzorkování a je v tomto smyslu ekvivalentní diskretnímu signálu fn = f(nT ). Nadruhé straně jde o signál kvazispojitý — závislý na spojitém čase, který lze interpretovat

Matematika 2 117

jako limitní případ impulsního výškově modulovaného signálu s konstantní šířkou impulsů,která v limitě směřuje k nule, přičemž váhy impulsů zůstávají nezměněny. Tak je třebachápat obr. 5-1b, v němž šipky naznačují, že hodnoty jdou nade všechny meze a výškašipek udává váhu příslušných impulsů, která je zřejmě rovna hodnotě vzorku.

Cílem vzorkování je ovšem získat takovou diskretní reprezentaci původního spojitéhosignálu, aby ze vzorků bylo možno tento signál úplně obnovit. Ukážeme, že to je za jistýchpředpokladů možné. Odvození těchto podmínek vyžaduje prozkoumat s využitím znalostío spektrech spojitých signálů, k jakým změnám dochází ve spektrální reprezentaci signálujeho vzorkováním. Zdůrazněme, že v následujících odstavcích budeme hovořit o spektrechve smyslu integrální Fourierovy transformace, zatímco následující oddíl 5.3 o spektrálníreprezentaci diskretních signálů je založen na diskretní verzi Fourierovy transformace.

Spektrum vzorkovaného signálu v kvazispojité reprezentaci (ve smyslu spojité Fou-rierovy transformace F(·)) vyjádříme pomocí spektra původního analogového signálu.Využijeme přitom poznatků z teorie spojitého signálu, zejména konvolučního teorému

Fv(ω) = Ff(t) · v(t) =1

2πF (ω) ∗ V (ω) =

12π

∫ ∞−∞

F (ω − u)V (u) du , (5.3)

kde F (ω) a V (ω) jsou spektra spojitého signálu, resp. vzorkovacího signálu, např.

F (ω) = Ff(t) =∫ ∞−∞

f(t)e−jωt dt . (5.4)

Spektrum V (ω) není možno určit přímo z definičního vztahu Fourierovy transformace,neboť v(t) není absolutně integrabilní funkce a musíme proto použít postupů, kterýmije v teorii signálu umožněno vyjadřovat spektrum periodických funkcí. Konstatujemepředevším, že vzorkovací funkce v(t) je periodická (s periodou T ), vzniklá opakovánímjednotkového impulsu umístěného v počátku. Lze ji proto vyjádřit Fourierovou řadou

v(t) =∞∑

k=−∞

ckejk 2π

Tt =

∞∑k=−∞

ckejkωvt, kde ck =

1T

Λ(k

2πT

)=

1T

(5.5)

podle poučky o vztahu mezi koeficienty Fourierovy řady a spektrální hustotou původníhojednotlivého implusu. Spektrum (ve smyslu zobecněné integrální transformace) funkce,vyjádřené Fourierovou řadou je dále dáno součtem vážených impulsů

F∑

k

ckejkωvt

= 2π

∑k

ckδ(ω − kωv) ,

(což lze snadno dokázat zpětnou transformací s využitím filtrační vlastnosti impulsu),takže

V (ω) = Fv(t) = F∑

k

1T

ejkωvt

=2πT

∞∑k=−∞

δ(ω − kωv) . (5.6)

Je tedy spektrum vzorkovacího signálu tvořeno nekonečnou posloupností reálných impulsůo váze 2π/T (Obr. 5-2).


Dosadíme-li (5.6) do vztahu (5.3), dostaneme po záměně pořadí integrace a součtu

Fv(ω) =1T

∫ ∞−∞

F (ω − u)∑k

δ(u− kωv) du =1T

∑k

∫ ∞−∞

F (ω − u)δ(u− kωv) du

a s využitím filtrační vlastnosti

Fv(ω) =1T

∞∑k=−∞

F (ω − kωv) . (5.7)

Obdrželi jsme čistý výsledek, že spektrum ideálně a ekvidistantně vzorkovaného sig-nálu je tvořeno součtem nekonečného počtu replik spektra původního analogového signálu,které jsou vzájemně posunuty o celistvé násobky úhlového vzorkovacího kmitočtu (Obr.5-4). nemá-li dojít ke ztrátě informace, musí zřejmě každá jednotlivá replika nést úplnouinformaci o původním signálu, což je ovšem možné jen potud, nedojde-li k překrývání atím k narušení dílčích spekter. Odtud vyplývají podmínky rekonstruovatelnosti spojitéhosignálu ze vzorků:

• analogový signál musí mít omezené spektrum, tj.

F (ω) = 0 vně intervalu 〈−ωmax, ωmax〉 , (5.8)

• vzorkovací kmitočet musí splňovat vztah

ωv > 2ωmax . (5.9)

Prvá podmínka závisí na charakteru zpracovávaného signálu. Pokud signál vzniká vsetrvačné fyzikální soustavě jako některá z fyzikálních veličin (např. elektrické napětí),nebo se takovou soustavou šíří, lze tedy očekávat, že složky vysokých kmitočtů jsou, počí-naje od určité meze natolik malé, že prvou podmínku znatelně nenarušují. Není-li možnotakový předpoklad učinit, nebo je sice signál kmitočtově omezen, ale jeho mezní kmitočetωmax je natolik vysoký, že technické předpoklady neumožňují splnit druhou podmínku, jenutno spektrum analogového signálu před vzorkováním omezit dolnofrekvenční propustí(tzv. antialiasingovým filtrem). To se ovšem týká i případu, kdy se volí nižší vzorkovacíkmitočet vzhledem k tomu, že z hlediska zpracování signálu jsou jeho složky s vyššímifrekvencemi nezajímavé.

Druhá podmínka, tzv. vzorkovací theorém (nazývaná také podle autorů Nyquistův,Kotělnikovův nebo Shannonův) určuje, jak vysokého vzorkovacího kmitočtu je pro danýtyp signálu třeba použít. V praxi je, s ohledem na nedokonalé možnosti rekonstrukcesignálu ze vzorků, zpravidla třeba splnit podmínku (5.8) se značnou rezervou.

Kapitola 8

Systémy

8.1 Zavedení pojmu a klasifikace

Slovo systém je jedním z nejčastěji používaných pojmů ve všech odvětvích vědy. Používáse pro označení jevů abstraktních i konkrétních. Teorie systémů, která zaznamenala ne-bývalý rozvoj zejména v posledních padesáti léech, zkoumá objekty a jevy ve vzájemnýchsouvislostech ať vnitřních či vnějších. Pro tento kurz jsou zejména podstatné dynamickévlastnosti systémů, čili jejich chování vzhledem k času. Podle toho se mění i vlastnostisignálu, který Z uvedeného je zřejmé, že nelze od sebe odlišit systém a signál. Je jen možnose zaměřit více na sledování vlastností toho či onoho. Různé typy systémů, o kterých zdebudeme mluvit, se vyskytují jak ve sdělovací technice, tak v automatizaci i v pohonářskétechnice či enegŕgetice. Rozdíly jsou jistě v pásmu a rozsahu používaných frekvencí a vtom, zda jde spíše o signály periodické či jednorázové, spojité či diskréní. Pochopit vzá-jemné souvislosti v celé jejich šíři je hlavním cílem této publikace a současně základnímznakem tzv. systémového přístupu či řešení.

Pojem systém je skutečně používán v nejrůznějších souvislostech a proto existuje takécelá řada různých definic. Uveďme některé z nich.

1. Systém je daná množina veličin uvažovaných na určité (dané) rozlišovací úrovni.

2. Systém je soubor variací daných veličin uvažovaných v čase.

3. Systém je daná množina stavů, spojených množinou přechodů mezi nimi.

4. Systém tvoří množina prvků a množina vazeb mezi prvky navzájem i sokolím.

5. Systém je určitý časově neměnný vztah nmezi okamžitými a/nebo bu-doucími hodnotami daných veličin.

Zejména dvě posledně uvedené definice jsou s ohledem na náš zájem o dynamickésystémy důležité. Pro jasnější orientaci v celém spektru použití pojmu systém, bude účelnése zmínit o hlavních skupinách, do kterých se systémy dělí. Omezíme-li se převážně natechnické systémy, jsou to zejména tato oddělení:

• Podle typu veličin, definovaných na systému

119


– fyzikální systémy, jejichž veličiny jsou měřitelné, nebo alespoň reálně existují

– abstraktní systémy.

• Podle počtu veličin systému

– ohraničené, na kterých je definován konečný počet veličin

– neohraničené s nekonečným počtem veličin.

• Vzhledem na vazby s okolím

– uzavřené, které nemají žádné spojení s okolím

– otevřené, které jsou s okolím nějakým způsobem spojeny.

• Podle typu definovaných veličin v čase

– spojité systémy, u kterých veličiny existují v každém okamžiku a mohou nabý-vat všech hodnot

– diskrétní (nespojité), přičemž nespojitost může být buď časová nebo amplitu-dová

– hybridní systémy, ve kterých se vyskytují veličiny obou typů.

• Podle typu signálů, působících na systém

– deterministické, kdy signály i hodnoty všech parametrů systému jsou jedno-značně určeny

— stochastické, u kterých buď parametry nebo signály jsou určeny jen s určitoupravděpodobností.

• Podle přítomnosti setrvačnosti dělíme systémy na:

– proporcionální, u kterých výstupní veličiny reagují na současné vstupní signály

– dynamické, u nichž ve výstupním signálu je vazba na minulé vstupy či stavysystému.

• Podle reakce na současné, minulé i budoucí signály

– systémy anticipativní, které reagují i na budoucí signály (zřejmě neralizova-telné systémy)

– neanticipativní, t.j. takové, které vyjadřují reakce na současné a minulé bu-dící signály.

• Podle časové závislosti vlastností systému rozlilšujeme

– časově neměnné systémy (t-invariantní)

– systémy, jejichž struktura nebo parametry se s časem mění

Matematika 2 121

• Podle funkčních závislostí mezi veličinami dělíme systémy na

– lineární, mezi všemi veličinami systému platí lineární vztahy

– nelineární, kde rovnice, popisující vzájemné vztahy jednotlivých veličin jsounelineární.

Podrobněji se seznámíme s pojmem obecného časového systému v pojetí monografieMesaroviče–Takahary [ ]. Uvedeme nejprve zákaldní pojmy jako jsou globální stavy aglobální reakce systému.

Obecným systémem se nazývá relace na neprázdných abstraktních množinách, přesněji— podmnožina S jejich kartézského součinu ×

k∈KVk, tj. S ⊂ ×

k∈KVk, kde K je neprázdná

množina indexů a Vk je neprázdná (abstraktní) množina pro každý index k ∈ K, která senazývá objektem systému. Je-li množina indexů K konečná, pak výše uvedenou inkluzilze zapsat ve tvaru

S ⊂ V1 × V2 × · · · × Vn .

Nechť dvouprvková soustava množin Kx, Ky je rozkladem inexové množiny K, cožznamená, že ∅ 6= Kx ⊂ K, ∅ 6= Ky ⊂ K, Kx∩Ky = ∅ a Kx∪Ky = K. Množina X = ×

k∈KVk

se pak nazývá vstupním objektem a množina Y = ×k∈K

Vk se nazývá výstupním objektem

systému (X, Y, S), kde S ⊂ X × Y (tedy S je binární relace ze vstupního objektu dovýstupního objektu — nazývaná relací přechodu případně přenosu, tedy také tranzitnírelací). Systém (X, Y, S) se také nazývá systémem typu „vstup – výstupÿ. Poznamenejme,že v případě, že S : X → Y je funkce tedy relace S ⊂ X × Y , která kromě vlastnostidomS = X má také vlastnost [x, y1] ∈ S, [x, y2] ∈ S (x ∈ X, y1, y2 ∈ Y ) implikujey1 = y2, systém (X, Y, S) se nazývá funkcionální.

Následující definicí zavedeme pojem globální reakce systému.

Definice. Nechť (X, Y, S) je obecný systém „vstup – výstupÿ, C je libovolná neprázdnámnožina a R : C ×X → Y je funkce, pro kterou platí:

[x, y] ∈ S právě tehdy, když existuje prvek c ∈ C s vlastností R(c, x) = y.

Potom množina C se nazývá množinou nebo objektem globálních stavů daného systému(prvky množiny C se nazývají globálními stavy systému) a funkce R se nazývá globálníreakcí systému (X < Y, S).

Příklad. Rychlost rozpadu radia v každém časovém okamžiku je úměrná jeho množství.Odvoďme zákon rozpadu radia, jestliže jeho počáteční množství je M0 > 0 a jestliže jeznámo, že po 1600 letech by zbyla jenom polovina tohoto množství.

popíšeme stručně řešení zformulovaného problému:Nechť M(t) je množství radia v okamžiku t > 0; rychlost rozpadu tohoto prvku je

rovna derivacidM(t)dt

. Podle podmínky vyslovené v úloze platí

dM(t)dt

= kM(t)


kde k je součinitel úměrnosti a z charakteru úlohy vy-lývá (t) > 0. Výše uvedená dife-

renciální rovnice je rovnicí se separovatelnými proměnnými, takžedM(t)M(t)

= k dt, odkud

lnM(t) = kt+ln c, c > 0, takže jednoparametrický systém funkcí M(t) = c ekt je obecnýmřešením uvedené diferenciální rovnice. Z počátečních podmínek vyplývá

M0 = M(0) = c e0 = c

a dále M(1600) =12M0 = M0e1600k = 2−

t1600 , takže

M(t) = M02−t

1600 .

Označíme-li nyní X = 〈0,∞) ⊂ R, Y =M02−

t1600 ; t ∈ X

pak S =

[t,M02−

t1600]⊂

X × Y je přechodová relace vstup–výstup. Za množinu C globálních stavů lze považovatsoubor různých počátečních množství M0 uvažovaného radia. Globální reakce systému(X, Y, S) (s výše uvedenými specifikacemi) je tvaru

R(M0, t) = M02−t

1600 .

Ukážeme, že ke každému obecnému systému (X, Y, S) přísluší globální relace R : C×X →Y , tedy, že ke každému obecnému systému (X, Y, S) existuje objekt C globálních stavů afunkce R s výše uvedenou vlastností: oOznačme F množinu všech zobrazení množiny Xdo množiny Y , tj.

F = Y X = f ; f : X → Y .Označme G podmnožinu množiny F tvořenou těmi funkcemi f ∈ F jejichž grafy jsoučástí relace S, tedy f ⊆ S, což znamená, že pro každou dvojici prvků [x, y] ∈ X × Ys vlastností y = f(x), platí [x, y] ∈ S. Nechť C je indexová množina funkcí tvořícíchmnožinu G; G = fc; c ∈ C. (Formálně lze za množinu C vzít ku příkladu množinuG× 0.) Definujme nyní funkci R : C ×X → Y předpisem

R(c, x) = fc(x) , [c, x] ∈ C ×X .

Nyní ukážeme, že platí

S =

[x, y];∃c ∈ C : y = R(c, x),

neboť bude-li transitní relace S systému (X, Y, S) tvořena přesně dvojicemi [x, y] ∈ X×Ys právě uvedenou vlastností, bude funkce R globální reakcí systému (X, Y, S). Nechť tedy

S ′ =

[x, y];∃c ∈ C : y = R(c, x)

a nechť [x, y] ∈ S ′ je libovolná dvojice prvků v relaci S ′. Pak y = R(c, x) = fc(x) púrovhodný prvek c ∈ C, odkud vyplývá, že [x, y] ∈ S, neboť fc ⊆ S. Tím jsme obdrželiinkluzi S ′ ⊆ S. K ověření platnosti opačné inkluze uvažujme libovolnou dvojici [x, y] ∈ SJelikož domS = X a x ∈ X je S 6= ∅. Vyberme některou funkci fc ∈ G a označme

f =(fc r [x, fc(x)]

)∪

[x, y].

Matematika 2 123

Platí f ∈ F a f ⊆ S. Proto existuje prvek c′ ∈ C s vlastností f = fc, tedy [x, y] ∈ S ′,takže S ⊆ S ′. Tato inkluze s výše dokázanou opačnou inkluzí nám dává rovnost S = S ′.Právě provedenou úvahou jsme dokázali tuto větu:

Věta. Každý obecný systém S = (X, Y, S) má globální reakci R : C × X → Y .Poznamenejme, že ve výše dokázané větě se na objekt globálních stavů C ani na globální

reakci R nekladou žádné doplňující podmínky. Kdybychom požadovali, aby funkce Rměla nějaké další speciální vlastnosti, může se stát, že funkci R nelze definovat na celémkartézském součinu C × R, ale pouze na jisté podmnožině tohoto součinu — funkce Rse tedy stává funkcí parciální z C ×X. Do podobné situace se dostáváme, když vstupníobjekt X, výstupní objekt Y a objekt C globálních stavů nějakou strukturou, např.metrického nebo obecněji topologického prostoru, a po reakci R požadujeme určitý druhkompatibility (slučitelnosti) s danými strukturami (např. spojitost, uzavřenost, spojitosta další požadavky). Existence globální reakce je ekvivalentní s tzv. parametrizací systémunebo tranzitní relace „vstup — výstupÿ, což si ve skutečnosti přiblížíme:

Nechť (X, Y, S) je obecný systém „vstup — výstupÿ, C je objekt globálních stavůsystému a R : C × X → Y globální reakce systému. Jestliže ke každému stavu c ∈ Cdefinujeme funkci fc : X → Y předpisem fc(x) = R(c, x), pak množina fc; c ∈ C jesouborem funkcí s touto vlastností: Uspořádaná dvojjice [x, y] ∈ X × Y patří do relace S(tj. [x, y] ∈ S) právě tehdy, když existuje stav c ∈ C s vlastností y = fc(x). Tuto vlastnostlze vyjádřit ekvivalentní podmínkou S =

⋃c∈C

fc, kde symboly fc funkcí na pravé straně

rovnosti chápeme současně jako označení jejich grafů, tj. fc =

[x, y]; y = fc(x)

— zdůvodu zjednodušení příslušného zápisu. Vyjádření tranzitní relace S ⊂ X × Y ve tvarusjednocení grafů funkcí se nazývá funkcionální parametrizace relace S (nebo funkcionálníparametrizace systému (X < Y, S) a v případě obecné relace mezi abstraktními množi-nami existence funkcionální parametrizace pro každou trojici (X < Y < S), S ⊆ X × Y(s neprázdnými uvažovanými objekty) vyjadřuje relační formu axiomu výběru.

I když v různých odvětvích se používá pojem systém v mnoha významech, dynamickésystémy, které nás v tomto kurzu budou především zajímat, jsou definovány dvěma oběcněznámými definicemi

1. definice dynamického systému (podle V. V .Němyckého):Dynamický systém je grupa transformací R na separabilním metrickém prostoru R s

těmito vlastnostmi:

a) Rt je definováno pro libovolné t, −∞ < t <∞

b) nechť obraz bodu p v prostoru R při transformaci Rt je dán rovnicí

Q = F (p, t) ,

pak F má vlastnost smíšené asociativity

F (p, t0 + t) = F(F (p, t0), t

)


c) grupa Rt je spojitá tak, že pro všechna t0 a p0 a pro všechny posloupnosti tn apn, které konvergují k t0 a p0, platí

limn→∞

F (pn, tn) = F (p0, t0) .

Bod p ∈ R nazveme zastupujícím (representujícím) bodem stavu dynamického systému.Pak Q = F (p, t) představuje stav systému v čase t, byl-li tento systém v čase t = t0 vestavu p.

Tato definice nezavádí žádný pojem vstupu a výstupu systému. Proto lze takto defi-novaný systém označit jako neorientovaný.

2. definice dynamického systému (R. E. Kalman)Dynamický systém je matematická struktura, definovaná těmito axiomy:

1. Je dán topologický prostor S a množina T hodnot času, na nichž je definovánochování systému; S je stavový prostor systému, T je uspořádaný topologický prostor,který je podmnožinou reálných čísel.

2. Je dán topologický prostor Q funkcí času, definovaných na T , které jsou přípustnýmivstupy systému; říkáme, že Q je přípustný vstupní prostor systému.

3. Pro jakýkoliv počáteční čas t0, t0 ∈ T , libovolný počáteční čas X0, X0 ∈ S alibovolný vstup U , U ∈ Q definovaný pro t ≥ t0, jsou v čase t ≥ t0 stavy systémuurčeny funkcí f definovanou na kartézském součinu Q× T × T × S s hodnotami vS, tj.

f : Q× T × T × S → S

vyjádřené ve tvaru fu(t, t0, X0) = Xt , t ≥ t0. Funkci f nazýváme přechodovoufunkcí systému.

4. Pro lilbovolné prvky t0, t1, t2 množiny T , pro které platí t0 ≤ T1 ≤ t2, libovolné X0,kde X0 ∈ S a libovloný daný vstup U , U ∈ Q definované na průniku (t0, t1) ∩ T ,platí vztahy:

fu(t0, t0, X0) = X0 , fu(t2, t0, X0) = fu(t0, t1, fu(t1, t0, X0)) .

5. Každý vstup systému je reálnou funkcí g definovanou na kartézském součinu T ×S.

6. Funkce f a g jsou spojité na oborech, na nichž jsou definovány.

Tato druhá definice zavádí pojmy vstup a výstup, takže takto definovaný systém lzeoznačit jako orientovaný.

Obě definice zde uvádíme spíše pro ilustraci toho, jak obecně a s jakou úrovní abs-trakce musí být pojem dynamický systém definován, aby mohl zahrnout co nejširšíoblast výskytu těchto systémů. Dodejme dále, že podle toho, zda množina časů T je mno-žinou spojitých časů, či zda jde o množinu diskretních časových okamžiků, jde o systémyspojité nebo diskretní. Více o tom bude řečeno v kapitole o diskretních či diskretizovanýchsystémech.

Matematika 2 125

Ke klasifikaci systémů ještě uveďme, že podle části objektivní reality, kterou zkou-máme, můžeme rozlišovat nejrůznější typy systémů, např. ekonomické, ekologické, po-litické, biologické, fyzikální, atd. Cílem tohoto textu není „všeobjímajícíÿ obecná (abs-traktní) teorie systémů, ale pouze vybrané kapitoly, které čtenáři umožní orientaci vproblematice analýzy (v menší míře i syntézy) některých technických (elektrických, fy-zikálních) systémů. Uvedeme některá hlediska, podle kterých můžeme systémy třídit asoučasně vybereme typy systémů, kterým se budeme podrobněji věnovat.

• Podle interakce systému s okolím rozlišujemea) uzavřené systémy, u kterých nedochází k interakci s okolím;b) otevřenéy, u kterých k interakci s okolím dochází.Nás budou dále zajímat otevřené systémy jednorozměrné, tj. s jednou vstupní a jednou

výstupní veličinou. Přitom se omezíme na případy vstupních a výstupních signálů, jejichžnezávisle proměnnou je čas.

• Členění podle typu signálů v čase

a) Systémy se spojitým časem (nazývané také jako systémy se souvislým časemnebo zjednodušeně spojité systémy) — jejich veličiny jsou signály se spojitým časem.Veličinami analogových systémů jsou analogové signály.

b) Systémy s diskretním časem (zjednodušeně diskretní systémy) — jejich veličinyjsou signály s diskretním časem. Zvláštním případem jsou číslicové systémy, jejichžveličinami jsou číslicové signály.

c) Hybridní systémy — jejich některé veličiny jsou spojité, jiné diskretní.

V dalším textu nás budou zajímat spojité (analogové) systémy.

• Podle setvŕvačnosti (přítomnosti paměti) rozlišujeme:

a) systémy nesetrvačné (statické) jsou systémy bez paměti, tj. bez setrvačnýchprvků — chovají se jako funkční měniče, jejich výstup v určitém okamžiku závisípouze na hodnotě vstupu v daném okamžiku;

b) systémy setrvačné (dynamické) jsou systémy s pamětí, obsahují setrvačné (pamě-ťové) prvky. U takových systémů musíme počítat s přechodovými ději. Matematickémodely setrvačných systémů jsou diferenciální rovnice (pro spojité systémy) nebodiferenciální rovnice (pro diskretní systémy).

• Podle časové stálosti vlastnosti systému rozlišujeme:

a) časově proměnné systémy (též nestacionární či variantní), jejichž vlastnosti nebostruktura se s časem mění;

b) časově neměnné systémy (též stacionární či invariantní) se stálou strukturou avlastnostmi.

Matematickými modely setrvačných časově invariantních systémů jsou diferenciální(nebo diferenční) rovnice, jejichž konstanty jsou časově neměnné.

• Členění systémů z hlediska kauzality:


a) kauzální systémy (neanticipativní, bez předvídání) reagují jen na přítomné a mi-nulé podněty (hodnoty vstupu). Reálné fyzikální systémy samozřejmě zachovávajíprincip kauzality, příčina nemůže přijít dříve než podnět;

b) nekauzální systémy (anticipativní, s předvídáním) reagují i na budoucí podněty.

Členění systémů z hlediska platnosti superpozice je toto:

a) Lineární systémy, pro které platí princip superpozice vyjádřený rovností

H(∑

i

Kisi(t))

=∑i

KiH(si(t)

),

kde H je operátor realizovaný systémem a si(t) je množina signálů násobenýchkonstantami K − i. Uvedený vztah lze slovně stručně formulovat tak, že odezvalineárního systému na součet příčin je rovna součtu odezev na jednotlivě samostatněpůsobící příčiny. Vzhledem k platnosti principu superpozice lze lineární systémypoměrně snadno modelovat a analyzovat.

b) Nelineární systémy, což jsou všechny systémy, pro které princip superpozice neplatí.Dodejme, že každý typ konkrétního nelineárního systému vyžaduje specifický pří-stup.

8.2 Matematický model systému se spojitým časem

8.3 Řešení vstupně-výstupní rovnice Laplaceovoutransformací

Vraťme se k článku RC na obr. 3.1 v Příkladu 3.2, který je popsán diferenciální rovnicí(3.7),

RC =duC(t)dt

+ uC(t) = u(t) .

Po Laplaceově transformaci obdržíme

RC[pUC(p)− uC(0)

]+ UC(p) =

U

p,

kde: uC(0) je počáteční stav (napětí na kapacitoru v čase t = 0), U je napětí stejnosměr-ného zdroje připojeného k článku v čase t = 0 — vstup je tedy v podobě jednotkovéhoskoku (s vahou U), jehož Laplaceův obraz je U/p. Obraz výstupu, který je zřejmě

UC(p) =1RC

p+ 1RC

U

p+

uC(0)p+ 1

RC

,

může být interpretován jako:

Matematika 2 127

obraz úplné odezvy = obraz vynucené odezvy + obraz přirozené odezvy.

Přenosová funkce systému je

H(p) =1RC

p+ 1RC

. (3.14)

V kapitole o Laplaceově transformaci jsme odvozovali obraz komplexního harmonickéhosignálu. Uveďme, již bez odvození, obraz obecného exponencielního výrazu

L Keat =K

p− a. (3.15)

Odvození vynucené odezvy. Abychom se vyhnuli výpočtům zpětných Laplaceovýchtransformací, využijeme znalosti obrazu exponenciální funkce (3.15). proto rozdělíme ob-raz vynucené odezvy na parciální zlomky

k1

p− p1+

k2

p = p2=

k1

p−(− 1

RC

) +k2

p− 0.

Nyní vypočítejme konstanty k1 a k2. Výpočet provedeme pro každý pól zvlášť tak, žeobraz vynucené odezvy vynásobíme příslušným kořenovým činidlem.

a) Pro p = p+ = −1/RC:

1RC

p+ 1RC

U

p

(p−

(− 1RC

))=

k1

p− p1(p− p1) +

k2

p− p2(p− p1)

∣∣∣p=p1

= k1 ,

odtud

k1 =1RC

U

− 1RC

= −U .

b) Pro p = p2 = 0:

1RC

p+ 1RC

U

p(p− 0) =

k1

p− p1(p− p2) +

k2

p− p2(p− p2)

∣∣p=p2

= k2

odtud

k2 =1RC

0 + 1RC

U = U .

Vynucená odezva je

uCvynuc(t) = L −1

−U

p+ 1RC

+U

p

= −Ue−

1Rct + Ue0t = U

(1− e−

1RC

t).

Jedná se o odezvu vynucenou skokovou změnou vstupního napětí z hodnoty 0 na U v časet = 0. Je-li u = 1, pak mluvíme o přechodné charakteristice systému.

Odvození přirozené odezvy je velmi snadné, protože je její obraz jednodušší,

uCpř(t) = L −1

uC(0)p+ 1

RC

= uC(0)e−

1RC

t .


8.4 Impulsní a frekvenční charakteristika

Impulsní charakteristika je odezva systému na vstupní signál tvaru Diracova impulsupři nulových počátečních podmínkách. Budeme ji označovat g(t). Diracův impuls δ(t) jenerealizovatelná . . . , definovaná následujícími vztahy:

δ(t) = 0; pro t 6= 0;∫ ∞−∞

δ(t) dt = 1 .

Je to impuls o šířce h, výšce 1/h a h→ 0 (Obr. 2.4). Laplaceův obraz tohoto impulsuje roven 1. Přesná realizace takového impulsu je nemožná; můžeme však realizovat velmikrátké impulsy, jejichž délka je vůči časovým konstantám systému zanedbatelná. Pak lzetakový impuls považovat za dostatečně přesnou aproximaci Diracova impulsu.

Počáteční a konečné hodnoty impulsní charakteristiky jsou v úzkém vztahu k některýmkoeficientům a řádu diferenciální rovnice systému. Pro výpočet těchto hodnot použijemevěty o konečné a počáteční hodnotě funkce při znalosti jejího obrazu. Nechť diferenciálnírovnice systému je ve tvaru (2-1), pak pro počáteční hodnotu impulsní charakteristikyplatí

∞ pro n = m

g(0+) = limp→∞

pF (p) =bn−1

anpro m = n− 1

0 pro m < n− 1

Podobně pro konečnou hodnotu g(t) platí

0 při a0 6= 0

g(∞) limp→0

pF (p) =b0

a1při a0 = 0; a1 6= 0

∞ při a0 = a1 = 0

Impulsní charakteristiku systému lze použít i k výpočtu odezvy systému na libovolnývstupní signál. Pro obraz výstupní veličiny Y (p) platí

Y (p) = F (p) · U(p) ,

a protožeL−1F (p) = g(t)

je výstupní veličina dána konvolutorním integrálem

y(t) =∫ t

0g(t− τ)u(τ) dτ .

Pro systémy s dopravním zpožděním Td platí

g(t) = 0 pro 0 ≤ t ≤ Td .

Matematika 2 129

Příklad 2-6. Impulsní charakteristika systému je nakreslena na obr. 2-5. je to funkce

daná vztahemg(t) = 3e−

tT .

Její obraz je

G(p) =3T

Tp+ +,

což je současně přenos systému F (p) = G(p).

Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosu systému. Někdybývá též definována jako geometrické místo koncových bodů vektoru přenosu pro frekvence−∞ < ω < ∞. Ve většině praktických příkladů vystačíme pouze s větví charakteristikypro kladné frekvence 0 < ω < ∞. vektor frekvenčního přenosu můžeme vyjádřit dvěmazpůsoby:

a) F (jω) = Re[F (jω)] + jIm[F (ω)]; v tomto případě je obvyklé kreslit frekvenčnícharakteristiku v komplexní rovině s osami, které vynášíme reálnou a imaginární částpřenosu. Frekvenční vlastnosti (tj. i dynamické vlastnosti) systému vyjadřuje křivka vkomplexní rovině, jejímž parametrem je kruhová frekvence ω.

b) F (jω) = |F (jω)|ejϕ(ω); vlastnosti systému nyní určují dvě funkce a jim odpovídajítéž dvě křivky. První z nich je závislost absolutní hodnoty přenosu na frekvenci a druhávyjadřuje průběh fáze. pro práci a amplitudovými charakteristikami je vhodné zvolit lo-garitmické měřítko. Amplitudu pak vyjadřujeme v decibelech

|F (jω)|dB = 20 log |F (jω)|

Tento způsob je zvláště výhodný v těch případech, kdy přenos systému je dán součinemjednodušších přenosových funkcí

F (jω) = F1(jω) · F2(jω) . . . Fn(jω) .

Pak platí|F (jω)|ejω = |F1(jω)| · |F2(jω)| . . . |Fn(jω)|ej(ϕ1+ϕ2+···+ϕn ,

odkud

|F (jω)|dB = 20 log |F (jω)| = |F1(jω)|dB + |F2(jω)|dB + · · ·+ |Fn(jω)|dBϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2(ω) + · · ·+ ϕn(ω) .

Frekvenční charakteristiku lze nakreslit buď ze známého frekvenčního přenosu, nebopomocí hodnot, změřených na skutečném systému (viz obr. 2-3). Tento způsob, který seu systémů s malými časovými konstantami ještě stále používá (zejména ve sdělovací atelekomunikační technice), není pro systémy z oblasti technické kybernetiky příliš vhodnýa nahradily jej méně pracné postupy.

Uveďme konkrétní příklady.Vraťme se k obrazu výstupu obecného systému (3.12), ve kterém jako vstupní signál

použijeme jednotkový impuls, jehož Laplaceova transformace je Lδ(t) = 1. Obraz (vy-nucené) odezvy na jednotkový impuls bude zřejmě totožný s přenosovou funkcí. Z tohovyplývá velmi důležitý závěr:


• přenosová funkce je Laplaceovou transformací impulsní charakteristiky.

Příklad 3.6. Navažme na Příklad 3.5 a vypočítejme vynucenou odezvu na jednotkovýimpuls, tj. impulsní charakteristiku h(t) našeho jednoduchého „integračníhoÿ článku RC.Z přenosové funkce (3.14) vyplývá, že

h(t) = L −1

1RC

p+ 1RC

=

1RC

e−1RC

t .

Připomeňme souvislost mezi Laplaceovou transformaci (2.20) z kap. 1.3,

H(p) = L h(t) =∫ ∞

0h(t)e−pt dt

p=jω−−−−→ H(jω)Fh(t) =∫ ∞−∞

h(t)e−jωt dt .

Omezíme-li se pouze na reálné systémy, tj. kauzální systémy, jejichž impulsní charakte-ristika h(t) = 0 pro t < 0, a na systémy stabilní, jejichž póly pi musí splňovat podmínkuRepi < 0 (ke stabilitě se dostaneme později), bude Fourierův integrál vždy konvertovat.Pak můžeme vyslovit velmi důležité závěry:

• frekvenční charakteristiku získáme z přenosové funkce, dosadíme-li zakomplexní proměnnou v přenosové funkci výraz jω, kde ω je úhlová frek-vence;

• frekvenční charakteristiku získáme Fourierovou transformací impulsnícharakteristiky

Příklad 3.7. Opět navažme na Příklad 3.5 a vypočítejme vynucenou odezvu yvynuc(t) =UC vynuc(t) na vstupní komplexní harmonický signál s(t) = u(t) o kmitočtu ω, který za-číná od t = 0. Vstupní signál můžeme interpretovat jako součin jednotkového impulsu sahrmonickým signálem. Zopakujme, že obraz takového vstupního signálu je podle 2.22a

X(p) = L ejω0t =1

p− jω0,

obraz vynucené odezvy je

Yvynuc(p) = H(p)X(p) =1RC

p+ 1RC

1p− jω0

=k1

p+ 1RC

+k2

p− jω0

a odtud

k1 = Yvynuc(p)(p−

(− 1RC

))∣∣∣∣∣p=− 1

RC

=1RC

− 1RC− jω0

,

k2 = Yvynuc(p)(p− jω0)∣∣p=jω0

=1RC

1RC

+ jω0.

Matematika 2 131

Výsledna vynucená odezva je

yvynuc(t) = k1e−1RC

t + k2ejω0t ,

kde první člen na pravé straně je přechodnou složkou, která odezní (pro t → ∞), druhýčlen představuje ustálený stav,

yvynuc(t)∣∣t=∞ =

1RC

1RC

+ jω0.ejω0t = H(p)

∣∣p=jω0

ejω0t .

8.5 Vazby mezi systémy — sériové, paralelní spojenísystémů, zpětná vazba

V technické praxi se setkáváme většinou se složitějšími systémy vyšších tříd. Jak při ana-lýze tak při syntéze systémů se snažíme z jednodušších podsystémů, nejčastěji z typovýchčlenů, které jsme poznali v minulé kapitole. Spojení mezi systémy je většinou trojíhotypu: sériové (kaskádní), paralelní a antiparalelní — (zpětnovazební). Popis takto slo-ženého systému, ať už vnější nebo vnotřní, vypočteme z dílčích popisů podle určitýchpravidel, platných pro jednotlivé typy spojení. Tato pravidla nazýváme algebrou bloko-vých schémat. Pro použití algebry blokových schémat musí být spněny dvě podmínky:

— všechny členy systému jsou lineární. Pak platí komutativní zákon a pořadí jednot-livých členů v kaskádním spojení můžeme libovolně měnit

— předpokládáme, že signál se v jednotlivých členech šíří pouze jedním směrem, cožznamená, že připojení libovolného počtu členů na výstup uvažovaného článku nemění jehodynamické vlastnosti. V elektrických systémech to znamená, že vstupní impedance členunásledujícího ve směru šíření signálu musí být mnohem vyšší (nejméně o dva až tři řády)než výstupní impedance předcházejícího článku (není-li tato podmínka splněna, je třebato vyjádřit zavedením příslušné zpětné vazby).

8.5.1 Sériové spojení

Předpokládejme, že dva systémy s přenosovými funkcemi f1(p) a F2(p) jsou zapojenyv sékrii (kaskádně), jak ukazuje Obr. 4-1. Hledáme celkový přenos tohoto nového systému.Podle Obr. 4-1 platí

F1(p) =X(p)U(p)

, F2(p) =Y (p)X(p)

, F (p) =Y (p)U(p)

.

Rozšířením přenosu F (p) a úpravou dostaneme následující rovnici

F (p) =Y (p)U(p)

· X(p)X(p)

=X(p)U(p)

· Y (p)X(p)

= F1(p) · F2(p) (4− 1)

Tento postup lze uplatnit na libovolný počet členů kaskádního spojení. Platí tedynásledující pravidlo:


celkový přenos systému, který je tvořen sériovým spojením k podsystémůs dílčími přenosy Fi(p), je roven součinu těchto dílčích přenosů

F (p) =k∏i=1

Fi(p) .

Jsou-li dynamické vlastnosti podsystémů s jedním vstupem a jedním výstupem po-psány stavovými rovnicemi

X1(t) = A1X1(t) +B1u1(t)

y1(t) = C1X1(t) + d1u1(t)

X2(t) = A2X2(t) +B2u2(t)

y2(t) = C2X2(t) + d2u2(t)

a tyto systémy jsou spojeny kaskádně, musí platit

u2(t) = y1(t) , y(t) = y2(t) , u(t) = u1(t) .

Stavove rovnice výsledného systému získáme tak, že vytvoříme složený stavový vektor

X(t) =

x1(t)

x2(t)

a dosadíme matice původních podsystémů do stavové rovnice

X(t) =

A1 0

B2C1 A2

·X(t) +

B1

d1B2

· u(t) (4-2)

y(t) =[d2 C1 C2

]·X(t) + d1d2 u(t) (4-3)

Stejným postupem lze odvodit tvar matic výsledného systému i pro spojení více neždvou podsystémů.

8.5.2 Paralelní spojení

Paralení spojení dvou systémů je na Obr. 4-2. Vstup, případně vstupy, systémů jsoutotožné a výstupy se sčítají. Jednotlivé přenosy jsou definovány takto:

F1(p) =Y1(p)U(p)

, F2(p) =Y2(p)U(p)

, F (p) =Y (p)U(p)

.

Matematika 2 133

Protože pro výstup platí y = y1 + y2, bude celkkový přenos

F (p) =Y (p)U(p)

=Y1(p) + Y2(p)

U(p)= F1(p) + F2(p) .

Protože tento postup lze opět rozšířit na libovolný počet podsystémů, zní obecnépravidlo pro paralelní spojení takto:

celkový přenos k systémů spojených paralelně je dán součtem dílčích pře-nosů

F (p) =k∑i=1

Fi(p) . (4− 4)

Jsou-li podsystémy popsány stavovými rovnicemi

X1(t) = A1X1(t) +B1U1(t)

Y1(t) = C1X1(t) +D1U1(t)

X2(t) = A2X2(t) +B2U2(t)

Y2(t) = C2X2(t) +D2U2(t)

a jsou-li rozměry vstupů a rozměrů výstupů stejné, tzn. dimU1 = dimU2 a dimY1 =dimY2, můžeme opět vytvořit složený stavový vektor

X(t) =

X1(t)

X2(t)

Po dosazení matic podsystémů dostaneme stavové rovnice výsledného systému

X(t) =

A1 0

0 A− 2

·X(t) +

B1

B2

· U(t) (4-5)

Y (t) =[C1 C2

]·X(t) +

[D1 +D2

]· U(t) (4-6)

Je zřejmé, že tvorba matic výsledného systému je u paralelního spojení jednoduchá.

8.5.3 Zpětnovazební (antiparalelní) spojení

Blokovéschéma takového spojení dvou subsystémů je naznačeno na Obr. 4-3. V přímévětvi je zapojen subsystém s přenosem F1(p) a ve zpětné vazbě, která může být buďzáporná (−) nebo kladná (+), je subsystém s přenosem F2(p). V systémech z oblasti


technické kybernetiky je zpětná vazba obvykle záporná, a proto ji uvádíme na prvnímmístě. Jednotlivé přenosy definují rovnice

F1(p) =Y (p)X(p)

, F2(p) =V (p)Y (p)

, F (p) =Y (p)U(p)

X = U − V

Vzájemným dosazením a úpravou dostaneme přenos celého systému

F (p) =Y (p)U(p)

=F1(p)

1(±)F1(p)F2(p). [4− 7]

Je-li v pbou větvích zapojeno více systémů, platí pro celkový přenos výpočetní algoritmus,který formuluje následující schéma:

Jsou-li oba podsystémy vyjádřeny stavovými rovnicemi v obvyklém tvaru, musí platit

dimU1(t) = dimU(t) = dimY2(t) , dimU2(t) = dimY1(t) .

Pro výstupní vektor platí

Y (t) = Y1(t) = C1X1(t) +D1U1(t) = C1X1(t) +D1

[U(t)(±)C2X2(t)±D2Y (t)

]odkud po úpravě dostaneme rovnici

Z(t) =[I(±)D1D2

]−1[C1X1(t) +D1C2X2(t) +D1U(t)

].

Zavedeme opět stavový vektor celého systému

X(t) =

X1(t)

X2(t)

Matematika 2 135

pro který platí následující rovnice

X(t) =

X1(t)

X2(t)

=

=

A− 1 +B1D2(I −D1D2)−1C1 B1C2 +B1D2(I −D1D2)−1D1C

B2(I −D1D2)−1 A2 +B2(I −D1D2)−1D1C2

X(t)+

+

B1 +B1D2(I −D1D2)−1

B2(I −D1D2)−1D1

U(t) (4-8)

Z této rovnice plyne další podmínka

det(I(±)D1D2

)6= 0 (4− 9)

Jinak stav systému není jednoznačně určen na základě počátečních podmínek a vstupníhovektoru U(t).

Oba podsystémy lze vyjádřit též jejich přenosovými maticemi G1(p) a G2(p). Propřenos celého systému platí

G(p) =(I(±)G1(p)G2(p)

)−1G1(p) .

I zde musí být splněna podmínka

det(I(±)G1(p)G(p)

)6= 0 (4− 10) .

Pokud tato podmínka není splněna, nelze vyjádřit přenosovou matici celého systému.Podmínky (4-9) a (4-10) nejsou totožné v tom smyslu, že z podmínky (4-9) neplyne (4-10), naopak ale ano. Zpětnovazební systém tedy může mít přenosovou matici, aniž byexistoval jeho stavový popis. Takový systém je však nekauzální, což znamená, že výstupnení jednoznačně určen počátečním stavem a průběhem vstupu.

Příklad 4-1. Jednovstupový a jednovýstupový zpětnovazební systém je blokově nakreslenna obr. 4-4. Platí

G1(p) =p

p+ 1, G2(p) = 1

a vzhledem ke kladné zpětné vazbě

det[I −G1(p)G2(p)

]6= 0 .


Pro přímé vazby podsystémů platí D1 = 1, d2 = 1, a proto

det[1− d1d2] = 0 .

Protože G1(p) ·G2(p) 6= 1 existuje sice přenos celého systému

G(p) =pp+1

1− pp+1

= p ,

ale systém není kauzální. Stavový diagram tohoto systému je na obr. 4-5. Popisuje jejstavová rovnice

X(t) = −X(t) +X(t) + U(t) ,

ve které se zruší derivace stavové proměnné a stav systému tedy neexistuje.

Příklad 4-2 Ve zpětnovazebném zapojení se zápornou zpětnou vazbou jsou dva podsys-témy

G1(p) =

−p+ 4p+ 2

−1p+ 2

−6p+ 3

−p− 2p+ 3

G2(p) =

1 0

0 1

Protože zde platí det

(I +G1(p)G2(p)

)= 0 neexistuje přenosová matice celého systému.

8.6 Matematický model systému se spojitým časem

Mnohé pojmy teorie systémů lze definovat na základě koncepce obecného systému, přestov konkrétních aplikacích je zapotřebí uvažovat vstupní a výstupní objekty opatřené ně-kterou speciálnější strukturou např. strukturou vektorového prostoru. Následně pak pře-chodová relace systému by měla být kompatibilnější s těmito strukturovanými objekty.Tak přicházíme k pojetí (abstraktního) úplného lineárního systému. Konkrétně, nechť Cje těleso komlexních čísel X = U , Y = V vektorové prostory nad C a S ⊆ U × V ne-prázdná binární relace mezi prostory U , V . Zde U×V označuje přímý součin vektorovýchprostorů U , V , tedy opět množinu uspořádaných dvojic vektorů [~u,~v], [~u ∈ U ], ~v ∈ V naníž je definována operace sčítání a násobení skaláry α ∈ C předpisem

[~u,~v] + [~u′, ~v′] = [~u+ ~u′, ~v + ~v′] ,

α[~u,~v] = [α~u, α~v] ,

Matematika 2 137

pro každí dvě dvojice [~u,~v], [~u′, ~v′] ∈ U × V . Snadno se ověří, že množina U × V stakto definovaným sčítáním a násobením skaláry splňuje axiomy vektorového prostorus nulovým vektorem [~ou, ~ov] ∈ U × V , kde ~ou, ~ov jsou nulové vektory prostorů U , V (vdaném pořadí).

Nyní uvedeme definici lineárního systému: Definice. Nechť U , V jsou vektorové pro-

story nad tělesem komplexních čísel C a S ⊆ U × V neprázdná binární relace s těmitovlastnostmi: 1 Pro každě dvojice vektorů [~u,~v ∈ S], [~u′, ~v′] ∈ S platí [~u,~v] + [~u′, ~v′] =[~u+ ~u′, ~v + ~v′] ∈ S,

2 pro každou dvojici [~u,~v] ∈ S a každé komplexní číslo y ∈ C platí z[~u,~v] = [y~u, z~v] ∈S. Obecný systém (U, V, S) se nazývá úplný linearní systém.

Následující věta hraje fundamentální úlohu v teorii linearních systémů. Uvedeme ji bezdůkazu (důkaz je obsažen např. v monografii [ ], kap. II, § 1 a využívá některé speciálnímatematické prostředky jako je Zornovo lemma).

Věta. Nechť U , V jsou vektorové prostory nad tělesem komplexních čísel C a S ⊆ U ×Vje neprázdná relace. Systém (U, V, S) je linearní právě tehdy, když existuje globální reakceR : C × U → V s těmito vlastnostmi:

1 Objekt C je vektorový prostor nad C,2 existuje dvojice linearních zobrazení (tedy homomorfismů vektorových prostorů)

R1 : C → V , R2 : U → V takových, že pro každou dvojici [~c, ~u] ∈ C × U platí

R(~c, ~u) = R1(~c) +R2(~u) .

Poznamenejme, že globální reakce R : C × U → V z výše uvedené věty se obyvklenazývá linearní globální reakcí, prostor C se nazývá linearním objektem globálních stavůa funkce R1 : C → V , R2 : U → V (pro které platí R(~c, ~u) = R1(~c) + R2(~u)) se nazývajíglobální reakcí na stavy, globální reakcí na vstupy (v daném pořadí).

Příklady linearních systémů vytvářejí některé časové (diskrétní i kontinuální) systémy.Za účelem definice obecného časového systému, jehož vstupní a výstupné objekty jsoutvořeny vstupními a výstupními signály zavedeme pojem časové stupnice.

Připomeňme, že linearně uspořádanou množinou nebo-li řetězcem rozumíme neprázd-nou množinu M , na níž je definována binární relace 5 (5 ⊆M×M) s těmito vlastnostmi.Relace 5 je reflexivní (x 5 x pro každý prvek x ∈ M), antisymetrická (x, y ∈ M , x 5 y,y 5 x implikuje x = y), transitivní (x, y, z ∈ M , x 5 y, y 5 z implikuje x 5 y) aúplná (pro libovolnou dvojici prvků x, y ∈ M buďto x 5 y nebo y < x). Zde y < xznamená y 5 x a y 6= x. Prvek x0 ∈ M se nazývá nejmenší prvek uspořádané množiny(M,5), jestliže platí x0 5 x pro každý prvek x ∈M . Dále, intervalem I uspořádané mno-žině — nebo v uspořádané množině (M,5) se rozumí každá její, alespoň dvouprvková,podmnožina I s touto vlastností:

Pro každou dvojici prvků x, y ∈ I, pro níž x < y a pro každý prvek z ∈ M takový,že x 5 z 5 y, platí z ∈ I. Je zřejmé, že toto zavedení pojmu interval zobecňuje (a tedyzahrnuje) všechny speciální případy intervalů v kurzu základů matematické analýzy vI. semestru v předmětu BMAI. Nyní časovou množinou — nebo lépe — časovou stupnicíT (v obecném pojetí) nazýváme každou linearně uspořádanou množinu s nejmenším prv-kem t0 ∈ T . V uvažovaných případech tento pojem poněkud zúžíme a budeme za časovou


stupnici považovat interval T buďto v řetězci R+0 všech nezáporných reálných čísel (konti-

nuální časová stupnice) s nejmenším prvkem t0 = 0 nebo v řetězci N0 všech nezápornýchcelých čísel (diskrétní časová stupnice) s nejmenším prvkem t0 = 0 v (N0,5). Zde N0

označuje množinu všech přirozených čísel rozšířenou o číslo 0 — tuto množinu — rovněžjako množinu reálných čísel uvažujeme s přirozeným uspořádáním čísel.

Nyní přistoupíme k definici obecného časového systému.

Definice. Nechť A, B jsou libovolné (neprázdné) množiny, T je časová stupnice a AT ,BT jsou množinu všech zobrazení časové stupnice T do A a do B nazývané množinamisignálů. Nechť X ⊆ AT , Y ⊆ BT . Pak systém (X, Y, S), kde S ⊆ X×Y je transitní relacese nazývá obecný časový systém s abecedou vstupů A, abecedou výstupů B. Množina Xse nazývá časovým objektem vstupních signálů x : T → A, množina Y se nazývá časovýmobjektem výstupních signálů y : T → B.

Příklad. Přechodová relace vstup – výstup může být zadána diferenciální rovnicí vstup –

výstup tvarudy(t)dt

= u(t), kde t ∈ T = (−∞,∞) a funkce u patří do množiny spojitých

časových funkcí definovaných na intervalu T = (−∞,∞). V tomto případě přechodovárelace vstup výstup r〈t0, t1〉 tvořená dvojicemi vstup – výstup, kde uvažované funkcejsou restrigovány na interval 〈t0, t1〉 je tvořena dvojicemi časových funkcí tvaru

[u(t), α+

t∫t0

u(τ) dτ], t0 5 t 5 t1, kde α je libovolná reálná konstanta. Konkrétními dvojicemi

mohou být dvojice [1, t], [1, 1 + t], [t,t2

2+ 1], t0 5 t 5 t1 a další. Jestliže v uvedeném

příkladě rovnici vstup výstup zaměníme na rovnici

dy(t)dt

+ y(t) = u(t) ,

pak dvojice vstup – výstup tvořící přechodovou relaci daného systému jsou tvaru[u(t), αe−(t−t0) +

∫ t

t0

e−(t−τ)u(τ) dτ], (∗∗)

t0 5 t 5 t1, kde časová funkce u náleží do množiny časových funkcí, pro které integrált∫

t0

e−(t−τ)u(τ) dτ je definován pro všechny hodnoty proměnné t ∈ 〈t0, t1〉 a α je libovolné

reálné číslo. Poznamenejme, že každému vstupu u(t), t ∈ 〈t0, t1〉 je přiřazena množinavýstupů y(t), t ∈ 〈t0, t1〉, které jsou druhými složkami dvojic (**), tedy řešeními dife-remnciální rovnice (*) s konstantou α, která má úlohu parametru.

Nyní přistoupíme k vnějšímu popisu.Vnější popis používá pro vyjádření dynamických vlastností systémů vztahy mezi vý-

stupními a vstupními veličinami. Systém zde chápeme jako tzv. černou skříňku, kteroulze zkoumat pouze pomocí reakcí výstupů na vstupní signály. Pro tuto analýzu není pod-statné, jaké děje probíhají uvnitř systému, a podstatná není ani fyzikální realizace sys-tému. Tento přístup je proto výhodný z hlediska analogie mezi systémy z různých oblastí,

Matematika 2 139

neboť umožňuje sledovat chování zkoumaného systému na analogickém modelu, na kterémlze vstupy i výstupy snadno měřit. Metody analýzy a syntézy systémů, založené na vněj-ším popisu, byly podrobně rozpracovány a hojně používány až do šedesátých let tohotostoletí a jsou někdy označovány za klasické. Různé formy vnějšího popisu dynamickýchvlastností systému spolu těsně souvisejí. V této kapitole popíšeme nejužívanější formy aukážeme též vazby mezi nimi. Vztah k vnitřnímu — stavovému — popisu probereme dále.

Vztah mezi vstupy a výstupy systému můžeme vyjádřit analyticky, pomocí časovýchodezev na předem definované tvary vstupních signálů nebo frekvenčními vlastnostmi. Projednoduchost budeme jednotlivé způsoby demonstrovat na systému s jedním vstupem ajedním výstupem. Popis vícerozměrných systémů ukážeme později. Vstup systému ozna-číme u(t) a výstup y(t). Dynamické vlastnosti lze popsat některým z následujících sedmizpůsobů:

1. diferenciální rovnicí,2. operátorovým přenosem (obvykle v Laplaceově transformaci),3. frekvenčním přenosem,4. frekvenční charakteristikou,5. impulsní charakteristikou (časová odezva na Diracův impuls),6. přechodovou charakteristikou (odezva na jednotkový skok vstupu),7. rozložením nul a pólů přenosu.

Uveďme příklad elektromechanického systému.

Příklad tohoto systému může být stejnosměrný motorek, např. takový, jaký se používáv hračkách. Stator motorku je tvořen permanentním magnetem, v jehož magnetickém polise otáčí rotor. Rotor je tvořen vinutím o odporu R [Ω] (indukčnost vinutí prozatím za-nedbejme), do kterého je proud i(t) přiváděn přes kartáče. Situace je znázorněna na obr.1-5. Za vstup do systému budeme považovat napětí u(t) [V] a výstup budou otáčky hří-dele ω(t) [rad/sec]. Označme J [k.m2] moment setrvačnosti rotoru a Mz [N.m] zatěžovacímoment na hřídeli motoru. Pohybem rotoru v magnetickém poli v něm vzniká induko-vané elektromotorické napětí, které je úměrné otáčkám motoru, tj. ue(t) = ke · ω(t), kdekonstanta ke [V.sec/rad] je dána konstrukcí motoru. Pro elektrickou část systému platítedy rovnice:

u(t) = R · i(t) + ke · ω(t) .

Motor na své hřídeli vyvozuje moment Mm [N.m], který je úměrný produ, který pro-chází rotorem, tj. Mm = km · i(t). Konstanta km [N.m/A] je opět dána konstrukcí motoru.Na hřídeli dále působí moment setrvačných sil, který je úměrný zrychlení, tj. J · dω(t) adále moment zatěžovací Mz. Pro hřídel platí rovnováha momentů, tj.:

km · i(t) = J · dωdt

+Mz .

Budeme-li předpokládat, že motor není zatížen (Mz = 0) a že na počátku děje je rotorv klidu (ω(0) = 0), potom dosazením za proud i(t) do této rovnice z rovnice předchozíobdržíme diferenciální rovnici

J ·Rkm· dωdt

+ ke · ωt = u(t)


s počáteční podmínkou ω(0) = 0. Uvažovaný elektromechanický systém obsahuje jedenakumulátor energie (kinetická energie rotoru) a počáteční podmínka definuje stav tohotoakumulátoru na počátku děje. A mohli bychom najít celou řadu dalších příkladů z různýchfyzikálních oblastí.

V našich úvahách o elektromotoru jsme zanedbali indukčnost vinutí rotoru L [H].Vezměme ji nyní v úvahu tak, jak ukazuje obr. 1-11. Pro elektrickou a mechanickou částsystému platí nyní rovnice

u(t) = R · i(t) + kec · ω(t) + L · di(t)dt

kM · i(t) = J · dω(t)dt

+Mz

Za předpokladu nulového zatěžovacího momentu a vyloučením proudu i(t) z těchto rovnicobdržíme jednu lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty

J · Lkm· d

0ω(t)dt2

+J ·Rkm· dω(t)

dt+ ke · ω(t) = u(t) ,

s počátečními podmínkami ω(0) a ω(1)(0). První počáteční podmínka představuje počá-teční otáčky, tj. počáteční kinetickou energii rotujících hmot. Druhá počáteční podmínkaurčuje počáteční proud rotorovým vinutím, tj. počáteční magnetickou energii v indukč-nosti vinutí rotoru, neboť z druhé diferenciální rovnice vyplývá (Mz = 0):

i(0) =J

km· ω(1)(0) .

Lze učinit následující závěry:1. Uvedené příklady obsahují dva akumulátory energie a chování systému je popsáno

formálně stejnou diferenciální rovnicí tvaru:

a2 ·d2y(t)dt2

+ a1 ·dy(t)dt

+ a0 · y(t) = b0 · u(t) ,

kde u(t) je vstup systému a y(t) je jeho výstup. Řád spojitého systému, tj. řád dife-renciální rovnice je určen počtem akumulátorů energie v systému.

2. Počáteční podmínky příslušné k diferenciální rovnici definují počáteční stavy těchtoakumulátorů.

3. Výše uvedený způsob popisu chování spojitého dynamického systému, kdy je propozorovatele přístupný pouze vstup a výstup systému se nazývá vnější popis systému.

Lineární, hladký, stacionární a spojitý systém se vstupem u(t) a výstupem y(t) popi-suje lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

any(n)(t)+an−1y

(n−1)(t)+ · · ·+a1y(t)+a0y(t) = bmu(m)(t)+ · · ·+b1u(t)+b0u(t) , (2− 1)

kde ai, bi jsou reálné konstantní koefiecienty.

Matematika 2 141

Rovnici (2-1) můžeme napsat ve tvaru

n∑i=0

aiy(i)(t) =

∑j

= 0mbju(j)(t) . (2− 2)

V odstavci 3.4 ukážeme, že prakticky nelze realizovat takové systémy, jejichž výstupnísignál by byl přesně úměrný derivaci vstupního signálu. Totéž platí tím spíše pro vyššíderivace. Proto v rovnicích (2-1) a (2-2) musí vždy platit

m ≤ n .

Chceme-li popisující diferenciální rovnici řešit na časovém intervalu t0 ≤ t ≤ t1, mu-síme znát průběh vstupního signálu u(t) v tomto časovém intervalu a počáteční podmínkyy(0), y(0), . . . , y(n−1)(0). Plnou informaci o systému v každém okamžiku dává soubor nhodnot. Číslo n udává řád (dimenzi) systému.

U některých praktických realizací systémů dochází k časovému posunutí signálu bezezměny jeho tvaru. Říkáme, že systém obsahuj dopravní zpoždění. V technologickýchprocesech se tento jev vyskytuje ta, kde jsou dopravníkové pásy, linky kontinuální výroby(follie, plechy, dráty, vývalky). Dopravním zpožděním též aproximujeme šíření signáluv rozlehlých soustavách s rozloženými parametry (např. dlouhá vedení, průtok mediadlouhým potrubím apod.). Posunutí na časové ose vyjadřuje vztah

y(t) = u(t− Td) . (2− 3)

Pokud kromě posunutí dojde i ke změně tvaru procházejícího signálu, znamená to, žesystém obsahuje ještě další dynamické členy, a popisující diferenciální rovnice má paktvar

n∑i=0

aiy(i)(t) =

∑j=0

bju(j)(t− Td) . (2− 4)

Řád systému určuje nejen číslo n, ale též přítomnost dynamického zpoždění. Jak budeukázáno dále, vlastnosti systému s dopravním zpožděním lze vyjádřit diferenciální rovnicío nekonečném počtu členů, čili nejde už o systém konečného řádu. Proto můžeme, jakuž bylo řečeno, nahrazovat dopravním zpožděním systémy s rozloženými parametry. Vpřípadě systémů s popisující rovnicí ve tvaru (2-4) říkáme, že jde o systém n-tého řádu sdopravním zpožděním.

Příklad 2-1. Do nádrže, jejíž plocha je S, přitéká q1 litrů kapaliny za 1s a odtéká q2 l.s−1.pro změnu výšky hladiny h platí rovnice

dh

dt= (q1 − q2)

1S.

Pokud jsou plocha S i odtok q2 nezávislé na výšce hladiny, a za vstup označíme rozdíl

u(t) = q1 − q2


a výstupem bude výška h, dostaneme jjiž standardní tvar diferenciální rovnice

a1y(t) = u(t) , a1 = S .

Je však třeba mít na paměti, že předpoklad nezávislosti odtoku na výšce hladiny platí(alespoň přibližně) jen pokud hladina neklesne na nulu. Pak už výše uvedená popisujícírovnice neplatí. Pokud bychom chtěli tuto skutečnost zachytit, dostaneme nelineární sys-tém. Předpokladem konstantního odtoku jsme provedli linearizaci systému a při řešenínesmíme zapomenout na omezující podmínku její platnosti.

Příklad 2-2. stejnosměrné dynamo s cizím buzením, jehož vstupem je napětí budicíhovinutí a výstupem napětí na kotvě, je schematicky znázorněno na obr. 2-1. Předpoklá-dáme, že otáčky dynama jsou konstantní, hysteréze magnetického obvodu je zanedbatelnáa závislost magnetického toku na proudu v budicím vinutí je lineární. Pak platí rovnice

u2(t) = k1 · n0 · Φ(t)

Φ(t) = k2 · i1

u1(t) = Rb · i1(t) +di1(t)dt

Lb

Úpravou získáme rovnici

Tdu2(t)dt

+ u2(t) = K · u1(t)

T =LbRb

= a1 , a0 = 1 , K = k1 · n0 · k2 ·1R

= b0

Forma popisu dynamických vlastností lineárních systémů je používána nejčastěji. Ope-rátorový přenos je definován takto:

Operátorový přenos je dán poměrem obrazu výstupní veličiny k obrazu veličiny bvestejné transformaci, za předpokladu nulových počátečních podmínek.

V případě spojitých systémů je používána Laplaceova transformace.Systém, popsaný dfierenciální rovnicí (2-1) má přenos ve tvaru racionální funkce lo-

mené

F (p) =Y (p)U(p)

=bmp

m + bm−1pm−1 + · · ·+ b1p+ b0

anpn + an−1pn−1 + · · ·+ a1p+ a0(2− 5)

kde p je Laplaceův operátor. Z ucvedené podmínky fyzikální realizovatelnosti plyne, žestupeň polynomu v čitateli musí být nižší, nebo nejvýše roven stupni polynomu ve jme-novateli přenosu F (p). Oba polynomy lze vyjádřit ve tvaru součinu ěkořenových činitelů

A(p) = an(p− p1)(p− p2) . . . (p− pn)

B(p) = bm(p− n1)(p− n2) . . . (p− nm)

Obecně komplexní čísla pi, i = 1 . . . n nazýváme póly přenosu, neboť splňují rovniciA(pi) = 0. Rovněž obecně komplexní čísla nj, j = 1 . . .m jsou nuly přenosu, pro kteréplatí B(nj) = 0. Pomocí těchto tvarů lze přenos psát ve formě podílu kořenových činitelů

F (p) =bm(p− n1)(p− n2) . . . (p− nm)an(p− p1)(p− p2) . . . (p− pn)

. (2− 6)

Matematika 2 143

Pokud jsou kořeny polynomů reálné, můžeme použít značení časových konstant, které serovnají záporně vzatým převráceným hodnotám pólů a nul. Časové konstanty jmenovateleoznačíme

Ti = − 1pi, i = 1 . . . n

a časové konstanty čitatele

τi = − 1nj, j = 1 . . .m .

Přenos pak má tvar

F (p) =b0

a0

(τ1p+ 1)(τ2p+ 1) + · · ·+ (τmp+ 1)(T1p+ 1)(T2p+ 1) + · · ·+ (Tnp+ 1)

(2− 7) .

Jsou-li některé póly či nuly komplexní, nelze odpovídající členy vyjádřir časovými kon-stantami a je nutné zavést do rovnice (2-7) dvojčleny. Obecný tvar přenosu pak je

F (p) =b0

a0

(τ1p+ 1)(τ2p+ 1) . . . (τ 2kp

2 + 2τkbkp+ 1) . . .(T1p+ 1)(T2p+ 1) . . . (T 2

r p2 + 2Trarp+ 1) . . .

.

Význam koeficientů bk, ar vysvitne z rozboru základních dynamických členů v kapitole3.

Jestliže se v systému vyskytuje dopravní zpoždění, získáme přenos použitím věty oposunutí v originále. Platí: jestliže funkce f(t) má obtaz F (t), pak pro obraz funkcef1(t) = f(t− Td) platí

F1(p) = Lf1(t) = Lf(t)e−Tdp = F (p)e−Tdp

opět za předpokladu nulových počátečních podmínek. Přenos systému, popsaného rovniicí(2-4), bude:

F (p) =B(p)A(p)

e−Tdp .

Hlavní význam přenosových funkcí spočívá ve zjednodušení výpočtu odezvy systémuna vstupní signál, jehož obraz je U(p). Z definice přenosu vyplývá, že pro obraz výstupníveličiny platí

Y (p) = F (p) · U(p)

a protoy(t) = L−1F (p) · U(p) .

Pomocí transformace jsme tak převedli obtížný výpočet konvolutorního integrále naoperaci násobení dvou racionálních funkcí lomených a nalezení originálu ke vzniklé funkci.Z definice přenosu také plyne, že tento postup je správný pouze při nulových počátečníchpodmínkách v systému. Pokud tomu tak není, platí pro obraz výstupní veličiny rovnice

Y (p) = F (p) · U(p) + Y0(p)


kde Y0(p) je část výstupu, závislá na počátečních podmínkách. S použitím věty o obrazuderivace

Lf (i)(t) = p(i)F (p)−i−1∑j=0

pjf (i−j−1)(0+) ,

dostaneme pro Y0(p) vztah

Y0(p) =M0(p)A(p)

.

Polynom A(p) je totožný s polynomem ve jmenovateli přenosu F (p) a pro polynom M0(p)platí:

M0(p) =[any(0)− bnu(0)

]pn−1 +

[any(0)− bnu(0) + an−1y(0)− bn−1u(0)

]· pn−2 + . . .

+[any

(n−2)(0) + · · ·+ a2y(0)− bnu(n−2)(0)− · · · − b2u(0)]· p

+[any

(n−1)(0) + · · ·+ a1y(0)− bnu(n−1)(0)− · · · − b1y(0)]

Příklad 2-3. Na obr. 2-3 je nakresleno schéma ideálního operačního zesilovače s kapacitnízpětnou vazbou. Jde-li o ideální zesilovač, je jeho vstupní odpor nekonečný, a proto proudi3 = 0. Vzhledem k nekonečně velkému zesílení zesilovače je napětí vstupu nulové. Pakplatí

I1(p) = −U1(p)R

,

I2(p) =U2(p)

1pC

= U2(p) · pC ,

I2 = I1(p) .

Dosazením a úpravou získáme přenos (vstupem je napětí u1, výstupem u2):

F (p) =U2(p)U1(p)

= − 1pRC

.

Příklad 2-4. Vypočteme přenos pasívního nezatíženého obvodu podle obr. 1-7. S použi-tím symbolických impedancí vypočteme

I1(p) = U1(p) ·[R + Lp+

1pC

]−1, U2(p) = R · I1(p) , i2 = 0 .

Odtud

F (p) =U2(p)U1(p)

=R

(R + Lp+ 1pC

)=

RCp

LCp2 +RCp+ 1.

Matematika 2 145

8.7 Stabilita spojitých systémů

Stabilita je jedním z nejdůležitějších pojmů v teorii dynamických systémů. V oblasti line-árních systémů je otázka stability poměrně snadno řešitelná, naproti tomu u nelineárníchsystémů představuje složitý komplex problémů. Již samotná definice stabilního a nestabil-ního systému je závislá na druhu popisu, který je v systému použit. Jednodušší je rozborstability u vnějšího popisu, a proto jím začneme.

8.7.1 Hodnocení stability systému podle vnějšího projevu

Stabilita lineárního systému, hodnocená podle vnějšího projevu systému (na základěvnějšího popisu) bývá definována dvojím způsobem. Obě definice vyjadřují v podstatětotéž, používají k tomu však rozdílné vstupní signály.

Definice 1. Lineární systém je stabilní tehdy, jestliže po skončení vstupního (budicího)signálu a po skončení přechodného děje se výstup vrátí na původní hodnotu, kterou mělpřed začátkem působení vstupu.

Definice 2. Lineární systém je stabilní tehdy, jestliže na omezený vstupní signál odpovírovněž omezeným výstupem.

Poněkud dokonalejší je první definice, neboť umožňuje dále rozlišit systémy, kterénesplňují podmínky stability. Není-li systém ve smyslu této definice stabilní, mohou nastatdva případy:

– výstup systému se neustálí na žádné konstantní hodnotě, nýbrž jeho amplituda buďmonotónně, nebo periodicky narůstá nade všechny meze. Takový systém je nestabilní;

– po skončení budicího signálu a doznění přechodného děje zaujme výstup systémunovou ustálenou hodnotu, různou od původní. Tyto systémy se nazývají neutrální a běžnějsou počítány mezi nestabilní. Někdy se označují též jako systémy na mezi stability, kekterým dále patří systémy, jejichž výstup kmitá harmonickými kmity s konstantní ampli-tudou. Podrobnější třídění nabízí stavová teorie.

Z uvedeného je zřejmé, že stabilita, definovaná tímto způsobem, je vnitřní vlastnostísystému, nezávislou na budicím signálu (platí pouze u lineárních systémů). Proto k vyšet-ření stability systému můžeme pro jednoduchost využít Diracův impuls. Průběh výstupníveličiny je roven impulsní odezvě

y(t) = g(t) = L−1F (p) .

Nechť přenos systému s jedním vstupem a jedním výstupem je

F (p) =bmp

m + bm−1pm−1 + · · ·+ b1p+ b0

anpn + an−1pn−1 + · · ·+ a1p+ a0.

Známe-li póly přenosu, můžeme jej napsat ve tvaru

F (p) =K1

p− p1+

K2

p− p+ · · ·+ Kn

p− pn. (6.1)


Pro výstupní veličinu pak platí

y(t) = K1ep1t +K2ep2t + · · ·+Knepnt . (6.2)

Výstup systému musí podle definice splňovat podmínku

limt→∞

y(t) = 0 ,

která bude splněna jedině tehdy, jestliže tutéž podmínku budou splňovat všechny členyna pravé straně rovnice (6.2). To nastane tehdy, jsou-li reálné části všech pólů přenosu pi(i = 1 . . . n) záporné. Platí proto následující věta.

Věta 1. Lineární spojitý systém je stabilní tehdy, jestliže všechny póly přenosu leží v levépolorovině roviny p.

Důkaz věty vyplývá z předcházející úvahy.Stabilitu lineárního spojitého systému jednoznačně určují póly přenosu, čili kořeny

polynomu jmenovatele. Tento polynom se proto nazývá charakteristický polynom a rovnice

A(p) = 0 ,

kterou póly pi splňují, charakteristická rovnice.

Určení polohy pólů nečiní potíže u systémů prvního i druhého řádu. U systémů vyššíchřádů to ovšem znamená řešit algebraickou rovnici nejméně třetího řádu. Bez výpočtu všaklze o stabilitě rozhodnout v těchto případech:

1) Je-li polynom A(p) nejvýše druhého stupně a jsou-li všechny koeficienty charakte-ristického polynomu stejného znaménka, je systém stabilní. Platí totiž:

a2p2 + a1p+ a0 = (p− p1)(p− p2)

odkud srovnáním koeficientů u stejných mocnin p plyne

a2 = 1 , a1 = −(p1 + p2) , a0 = p1p2 .

2) Jestliže alespoň jeden z koeficientů charakteristického polynomu (bez ohledu na stu-peň polynomu) má opačné znaménko než ostatní nebo je roven nule, systém je nestabilní.Toto tvrzení má z hlediska stability systému charakter podmínky nutné, nikoliv však po-stačující. Jestliže tedy všechny koeficienty charakteristického polynomu jsou nenulové amají stejné znaménko a systém je vyššího než druhého řádu, nelze bez dalšího výpočtutvrdit, že systém je stabilní. K tomu je třeba buď polohu všech kořenů vypočítat, nebopoužít některé z kriterií stability.

Kriteria stability jsou početní nebo grafické algoritmy, které umožňují rozhodnout ostabilitě systému bez výpočtu kořenů charakteristického polynomu. V podstatě jde pouzeo to zjistit, zda všechny tyto kořeny leží v levé polovině roviny p, aniž bychom přesnějiznali jejich polohu. Nejprve ukážeme dvě algebraická kriteria. Algebraická se nazývajíproto, že pracují pouze s koeficienty charakteristické rovnice.

Hurwitzovo kriterium. Předpokládejme, že charakteristický polynom má tvar

A(p) = anpn + an−1p

n−1 + · · ·+ a1p+ a0 . (6.3)

Matematika 2 147

Z koeficientů ai vytvoříme tzv. Hurwitzovu matici

H =

an−1 an 0 0 0 . . .

an−3 an−2 an−1 an 0 . . .

an−5 an−4 an−3 an−2 an−1 . . .

......

......

......

Systém n-tého řádu je stabilní, jestliže všechny subdeterminanty D−i, i = 1, 2, . . . (n−

1), vytvořené čárkovaně naznačeným způsobem, jsou nenulové a mají stejná znaménka.dodejme, že tutéž podmínku lze aplikovat na transponovanou Hurwitzovu matici, kterávznikne záměnou řádků za sloupce. Tak pro stabilní systém třetího řádu musí platit:

sign a2 = sign(a2a1 − a3a0) ,

neboťD1 = a2 , D2 = a2a1 − a3a0 .

Pro systém 4. řádu má Hurwitzova matice tvar

H4 =

a3 a4 0

a1 a2 a3

0 a0 a1

Potřebné subdeterminanty jsou

D1 = a3 , D2 = a3a2 − a4a1 , D3 = a1a2a3 − a0a23 − a2

1a4 .

Příklad 6.1. Přenos systému je

F (p) =5p2 + 4p+ 0.5

50p4 + 65p3 + 21p2 + 5p+ 0.5.

Vypočteme subdeterminanty D1 až D3

D1 = 65 , D2 = 65.21− 5.50 = 1155 , D3 = 5.21.65− 0, 5.652 − 25.50 = 3462, 5 .


Jelikož všechny subdeterminanty jsou kladné, systém je stabilní.

Jednou z výhod Hurwitzova kriteria je snadná možnost určení rozmezí vybranýchparametrů, pro které je systém stabilní.

Příklad 6.2. Charakteristický polynom je ve tvaru

A(p) = 5p3 + p2 + k2p+ k1 .

Hurwitzovy determinanty jsou

D1 = 1 , D2 = k2 − 5k1 .

Pro stabilitu systému musí být splněny dvě podmínky:

k1 > 0 , k2 > 5k1 .

Tyto podmínky definují v rovině k1, k2 stabilní oblast systému (viz obr. 5-1)

Příklad 6.3. Přenos systému je

F (p) =2p+ 1

p2 − 4p+ 1.

Protože jeden z koeficientů jmenovatele je záporný, systém je nestabilní. Úkolem je zjistit,zda zavedením záporné zpětné vazby se zesílením k lze systém stabilizovat.

Blokové schéma systému se zpětnou vazbou je na obr. 5-2. Podle pravidel blokovéalgebry platí pro přenos takto upraveného systému

F1(p) =F0(p)

1 + F0(p) · k=

2p+ 1p2 + (2k − 4)p+ (1 + k)

.

Protože jde o systém 2. řádu, stačí rozhodnout podle znaménka koeficientů charakteris-tického polynomu, a tedy systém bude stabilní pro k > 2.

Routh-Schurovo kriteriumNevýhodou Hurwitzova kriteria pro systémy vyššího než 4. řádu je nutnost vyčíslovat

determinanty vyššího řádu. I když moderní výpočetní technika tuto nevýhodu značnězmenšuje, jde vždy o časově dosti náročné operace. Tuto nevýhodu nemá další algebraickékriterium. Jeho algoritmus v podstatě snižuje řád popisující diferenciální rovnice, a tedy icharakteristické rovnice. Postup testu stability Routh-Schurovým kriteriem je následující:

1) Koeficienty charakteristického polynomu A(p) napíšeme do řádku. Každý druhýkoeficient — počítáme buď zleva nebo zprava — podtrhneme. Volba směru je libovolná,jakmile však určitý směr zvolíme, musíme v něm pokračovat až do konce testu stability.

2) Všechny podtržené koeficienty násobíme podílem dvou nejvyšších koeficientůan/an−1 a výsledky sepíšeme do dalšího řádku vždy o jedno místo vlevo (případně vpravo– podle zvoleného směru).

3) Druhý řádek odečteme od prvního a získáme tak nový redukovaný řádek, který máo jeden koeficient méně než výchozí řádek. Celý postup nyní opakujeme tak dlouho, aždojdeme k řádku se třemi koeficienty, který odpovídá polynomu druhého řádu.

Matematika 2 149

4) Jestliže všechny koeficienty v redukovaných řádcích mají stejné znaménko, je ana-lyzovaný systém stabilní. Z této podmínky plyne, že jakmile se v průběhu testu objeví uněkterého koeficientu opačné znaménko (případně jestliže je nulový), můžeme test ukončit.

Následující schéma ilustruje popsaný algoritmus:

an an−1

an−2 an−3

. . . a1 a0

α1 =anan−1

−an −an−3anan−1

−a0anan−1

0 an−1 an−2 − an−3anan−1

. . . a1 − a0anan−1

a0 α2 = . . .

Příklad 6.4. Řešte Routh-Schurovým kriteriem stabilitu systému podle příkladu 6.1.Charakteristický polynom je

A(p) = 50p4 + 65p3 + 21p2 + 5p+ 0.5

50 65

21 5

0.5 α1 =5065

= 0.7692

−50 −3.85

65 17.15

5 0.5

α2 =65

17.15= 3.8

−65 −1.9

17.15 3.1 0.5

Všechny koeficienty v obou redukovaných řádcích jsou kladné, takže systém je stabilní.

Význam volby směru provádění testu vysvitne z následujícího příkladuPříklad 6.5. Charakteristický polynom je

A(p) = p5 + 6p4 + 11p3 + 15p2 = 8p+ 8 .

Nejprve provedeme test se směrem redukce zleva

1 6

11 15

8 8

α1 =16

−1 −156

−86

0 6 8.5

15 6.67

8 α2 =6

8.5

−6 −4.71

0 8.5 10.29

6.67 8

α3 =8.5

10.29

−8.5 −6.61

0 10.29 0.06 8


Systém je zřejmě stabilní. Při redukci zprava bude mít test tento tvar:

α1 =88

= 1 1@@R

6 11@@R

15 8@@R

8

−1 −11 −8

α2 =84

= 2 1 5@@R

11 4@@R

8 0

−10 −8

α3 = 4 1@@R

5 1@@R

4 0

−4 −4

1 1 1

Při redukci zprava je v tomto případě test početně jednodušší. použití výpočetní technikyovšem tyto rozdíly stírá. Při “ručním” výpočtu spíše jde o možnost kontroly, zda jsme připočítání neudělali chybu. Změna směru redukce je ekvivalentní záměně pořadí, v jakémvypisujeme koeficienty polynomu do prvého řádku, zda začínáme od nejvyšší nebo nejnižšímocniny p.

8.7.2 Stabilita ve smyslu Ljapunova

Obecnou představu pojmu stability jako schopnosti zachovávat daný stav je možnorozšířit na stabilitu stavu a stabilitu pohybu jako řešení diferenciální rovnice systému. Zcelé řady různě formulovaných definic stability uvedeme pouze definici tzv. ljapunovskéstability a definici asymptotické stability.

Předpokládejme, že spojitý systém je popsán stavovou rovnicí

X(t) = f(X, t) (6− 4)

kde f je obecně nelineární funkce. Řešení této rovnice při počátečním stavu X1(0) ozna-číme X1(t) a řešení pro málo odlišné počáteční podmínky X2(0)

X2(0) = X1(0) + ∆

označíme X2(t). Pro stabilitu systému je podstatné, jak velký je rozdíl obou řešení,jestliže počáteční podmínky se liší o málo. Fyzikálně lze tuto situaci vysvětlit např. takto:roztočíme-li dětskou hračku “vlčka” na desce stolu, bude vykonávat krouživé pohyby ko-lem výchozího bodu„ což lze označit za stabilní stav, roztočíme-li jej blízko okraje desky,může se při pohybu dostat na hranu a spadne. To odpovídá nestabilnímu stavu. Označmerozdíl obou řešení rovnice (6-4) Xd(t)

Xd(t) = X2(t)−X1(t) .

Matematika 2 151

Obě řešení splňují rovnici (6-4) a lze tedy psát

Xd(t) = X2(t)−X1(t) = f(X(0) + ∆, t)− f(X(0), t) . (6− 5)

Rozdíl funkcí na pravé straně rovnice (6-5) označíme g(X, t) a hledáme řešení soustavydiferenciálních rovnic (6-5)

Xd(t) = g(X, t) .

Definice stability podle Ljapunova: řešení soustavy (6-5) je ljapunovsky stabilní tehdy,jestliže platí:

Ke každému ε > 0 existuje α = α(t,X0, ε) > 0 takové, že pro všechny X0 vyhovujícínerovnostem ‖X0‖ < α platí

‖Xd(t)‖ < ε .

Tato definice říká, že ke každému počátečnímu stavu z okolí α ustáleného stavu existujeε okolí tohoto bodu, ze kterého se stav systému v celém průběhu řešení nevzdálí. Pojemustálení stavu systému na původní hodnotě, který byl vyžadován u definice stability podlevnějšího projevu systému, je zde zaměněn méně přísným požadavkem vzniku “malých”pohybů kolem rovnovážného stavu. Všechny tyto úvahy nabývají reálný význam v ne-lineárních systémech, neboť u lineárních systémů se prakticky nelze setkat s případemsystému s omezenými oscilacemi nebo jinými výchylkami kolem rovnovážného stavu.

V definici ljapunovské stability není vyžadována konvergence řešení do rovnovážnéhostavu s narůstajícím časem. Tuto konvergenci vyžaduje teprve definice asymptotické stabi-lity. Definice asymptotické stability je blízká definici stability podle výstupu, nejsou všakzcela totožné.

Analýza stability Ljapunovými metodami se používá prakticky pouze v nelineárníchsystémech a v tomto předmětu se omezíme pouze na konstatování, že pro posouzení jerozhodující, zda energie obsažená v systému se s rostoucím časem zmenšuje nebo zvětšuje.Analýzu konkrétních systémů pak provádíme srovnáním s vybranou funkcí konstantníenergie.

Dosud jsme se zabývali otázkou stability stavu. Ze stability stavu nemusí bezpodmí-nečně vyplývat i stabilita výstupu, neboť všechny složky stavového vektoru nemusí býtvázány na výstup. Je-li spojitý systém, popsaný stavovými rovnicemi, lineární, můžemebez problémů použít pro analýzu stability stejnou definici jako u vnějšího popisu, pouzemísto výstupu bude sledovat vektor stavu. To znamená, že testu podrobíme matici pře-chodových funkcí Φ(t). V souladu s definicemi v kapitole 6.1 musí všechny prvky maticeΦ(t) splňovat podmínku

limt→∞

fij(t) = 0 , i, j,= 1, dots, n .

Obdobně jako u operátorového přenosu i zde mluvíme o charakteristickém polynomu,jehož kořeny musí u stabilního systému ležet v levé polovině roviny p. Protože pro obrazmatice přechodu platí

Φ(p) = (pI − A)−1 =1

det(pI − A)· adj(pI − A) ,


je charakteristický polynom roven determinantu matice pI −A. Charakteristická rovniceje

det(pI − A) = 0 .

Kořeny charakteristické rovnice jsou tedy totožné s vlastními čísly matice vnitřních zpět-ných vazeb A. Pro výpočet stability u systémů vyšších řádů použijeme opět algebraickákriteria stability.

Příklad 6.6. Systém popisují matice

A =

−1 1 0

0 −2 0

2 0 1

, B =

0 3

2 0

0 0

, C =

1 0 0

0 0 1

, D = 0 .

Charakteristický polynom je

det |Ip− A| = (p+ 1)(p+ 2)(p− 1) .

Systém je nestabilní, neboť jeden kořen, p3 = 1, je v pravé polovině roviny p. Tentosystém má dva vstupy a dva výstupy. Stabilitu bychom mohli analyzovat též rozboremjednotlivých přenosů. Matice přenosů bude

F (p) =

F11(p) F12(p)

F21(p) F22(p)

= C(pI − A)−1 ·B =

=1

(p+ 1)(p+ 2)(p− 1)

1 0 0

0 0 1

×

×

(p+ 1)(p− 1) (p− 1) 0

0 (p+ 1)(p− 1) 0

2(p+ 2) +2 (p+ 1)(p+ 2)

0 3

2 0

0 0

=

=1

(p+ 1)(p+ 2)(p− 1)

2(p− 1) 3(p+ 2)(p− 1)

4 6(p+ 2)

=

2

(p+ 1)(p+ 2)3

(p+ 1)4

(p+ 2)(p+ 1)(p− 1)6

(p+ 1)(p− 1)

Výsledek rozboru stability je pochopitelně tentýž, výpočet je však nesrovnatelně delší.

Příklad 6.7. Stavový diagram systému 4. řádu je na obr. 6-3. Určete stabilitu systému.

Matematika 2 153

Matice A je

A =

0 1 0 0

0 0 1 0

−1.3 −0.42 −0.1 −0.01

a charakteristická rovnice

det |Ip− A| = p4 + 1.3p3 + 0.42p2 + 0.1p+ 0.01 .

Sestavíme Hurwitzovy determinanty

D1 = 1.3 , D2 =

∣∣∣∣∣∣∣1.3 1

0.1 0.42

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.45 , D3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1.3 1 0

0.1 0.42 1.3

0 0.01 0.1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.0277 .

Systém je stabilní (jde o stejný systém jako v Příkladu 6.1).

Z rozboru stability ve stavovém prostoru vyplývá, že stabilitu dynamického systémujednoznačně určuje matice vnitřních zpětných vazeb A. To souhlasí s obecně známou sku-tečností, že ke vzniku nestability je nutná přítomnost zpětné vazby (jedná se o nestabilitustavu, nikoli řešení).


Literatura

[1] Angot, André: Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry, Nakladatelství tech-nické literatury, Praha 1971.

[2] Aramanovič, I.G., Lunc, G. L., El’sgol’c, L. E.: Funkcie komplexnej premennej, Ope-rátorový počet, Teória stability., Alfa Bratislava, SNTL Praha 1973.

[3] Balátě, Jaroslav: Automatické řízení, 2. přeprac. vydání. BEN, Technická litera-tura,Praha 2004. ISBN 80-7300-148-9.

[4] Davis, Brian: Integral Transform and Their Applications, Texts in Applied Mathe-matics 41. Springer - New York, Berlin, Heidelberg, Barcelona, Hong Kong, London,Milan, Paris, Singapure, Tokyo 2002. ISBN 0-387-95314-0.

[5] Davis, A. Wayne: A Mathematical Tudory of Systém Engineering – The Elements.,John Wiley and Sons, Inc. New York, London, Sydney 1967.

[6] Graf, Urs: Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers(A Computational Approach using a Mathematica Package), Birk-häuser Verlag, Basel,Boston, Berlin 2004. ISBN 3-7643-2427-9.

[7] Jan, Jiří: Číslicová filtrace, analýza a restaurace signálů, VUT v Brně, Nakla-datelstvíVutium 2002. ISBN 80-214-1558-4.

[8] Jan Jiří, Kozumplík Jiří: Systémy, procesy a signály – studijní texty pro obor vý-početní technika a informatika, VUT v Brně, Nakladatelství Vutium 2000. ISBN 80-214-1593-2.

[9] Jeffrey Alan: Advanced Engineering Mathematics. Hartcourt Academic Press, SanDiego, San Francisco, New York, Boston, London, Toronto, Sydney, Tokyo.2002. ISBN0-12-382592-X

[10] Melkes, František, Řezáč, Martin: Matematika 2, 1 vyd. Brno: FEKT VUT multi-mediální text, 2002. .

[11] Mesarovi, Mihajlo, D., Takahara, Y. : General Systems Theory: a Mathemati-calFoundations. Academic Press London, 1975

[12] Pírko, Zdeněk, Veit, Jan: Laplaceova transformace., SNTL Praha, Alfa Bratis-lava1970.

[13] Smékal, Zdeněk, Sysel, Petr: Signálové procesory. Nakladatelství Sdělovací technika,Praha 2006. ISBN 80-86645-08-8.

[14] Šebesta, Vladimír: Systémy, procesy a signály I. VUT v Brně, Nakladatelství Vutium2001. ISBN 80-214-1925-3 .

[15] Vavřín, Petr, Jura, Pavel: Systémy, procesy a signály. VUT v Brně, Naklada-telstvíVutium 1999. ISBN 80-214-1291-7

Documents

Matematika 2 - vutbr.cz