MATEMATIČKA INDUKCIJA- Italijanski matematičar G.Peano 1889.god. je izložio sistem aksioma koji u cjelosti karakteriziraju i omogućavaju aksiomatsku izgradnju algebre skupa prirodni brojeva N.Peanovi aksiomi :

1.) 1∈N2.) n∈N ima svog sljedbenika koji je takođe prirodni broj (∀ n∈N ¿(∃n'=n+1∈N )3.) Broj 1 nije sljedbenik niti jednog prirodnog broja.

4.)Svaki prirodni broj ima tačno jednog sljedbenika,tj ako je m'=n' →m=n5.)Ako je M c N i u tom skupu vrijedi 1.) i 2.) osobina onda je M=NPricip potpune matematičke indukcijeNeka je M c N podskup od N sa ova dvije osobine

1.) 1∈M2.)(∀n∈N ) n∈M → n+1∈M .

Tada je M=N. Kada želimo dokazati da neka tvrdnja T n koja ovisi o n∈N vrijedi za sve n∈N ,

sa M označimo skup svih prirodnih brojeva n za koje vrijedi tvrdnja T n.

Zatim napravimo sledeća 3 koraka:1.) Baza indukcije (n=1): Pokažemo da tvrdnja vrijedi za n=12.)Induktivna pretpostavka (n=k) : Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za prirodan broj k.3.)Korak indukcije (n=k+1) : Koristeći induktivnu pretpostavku pokažemo da tvrdnja vrijedi i za prirodan broj k+1.Tada prema principu matematičke indukcije zaključujemo da j

e M=N,tj,da tvrdnja T n,vrijedi za svaki n∈N .

Primjer: 1+2+....+n=n(n+1)

2

Newtonova binomna formulaBinomna formula služi za računanje n-te potencije binoma (a+b).Za razumijevanje ove formule potrebno je poznavati faktorijale i binomne koeficijente.

Faktorijali: Umnožak prvih n prirodnih brojeva zovemo en – faktorijali i označavamo ih sa n! .

Dakle, n!=1*2...(n-1)*n .Po dogovoru se uzima da je 0!=1.

Binomni koeficijenti: Za cijele brojeva n i k,0 ≤ k ≤ n,definiramo binomne koeficijente (nk) (n nad k)

formulom: (nk)= n!

k ! ( n−k )!Teorem: Neka su a ,b∈ ∁ in∈N .Tada

.(a+b)n=∑k=0

n

(nk )an−k∗bk=(n0)an∗b0+(n1)an−1∗b1+(n

2)an−2∗b2+…+(nn)bn

Dokaz:1)Provjera tačnosti tvrdnje za n=1

.(a+b)1=(10)a1∗b0+(11)a0∗b1=a+b →tvrdnja je ta č na zan=1

2.)Pretpostavka tačnosti tvrdnje za n=k3.)Dokaz tvrdnje za n=k+1 na osnovu induktivne pretpostavke

.(a+b )k +1=(a+b ) ¿..= (a+b )[(k0)ak∗b0+(k1)ak −1∗b1+(k2)ak−2∗b2+…+( k

k−1)a1∗bk−1+(k2)a0∗bk ]

.¿(k0)ak+1∗b0+[(k0)+(k1)]ak∗b1+[(k1)+(k2)]ak−1∗b2+…+[( k

k−1)+(kk)]a1∗bk+(k

k)a0∗bk+1.

¿(k+10 )ak+1∗b0+(k+1

1 )ak∗b1+(k+12 )ak−1∗b2+…+(k+1

k+1)a0∗bk+1

odakle vidimo da formula vrijedi i za n=k+1

Trigonometrijski oblik kompleksnog brojaNeka je dat kompleksni broj z=x+iy u kompleksnoj ravni.Kompleksni broj z=x+iy

možemo zapisati u trigonometrijskom obliku z=r (cosφ+isinφ),gdje je φ argument kompleksnog broja.

Teorem 1.) Dva kompleksna broja z1, z2 zadana u trigonometrijskom obliku

z1=r1 (cosφ1+isinφ1 ) , z2=r2(cosφ2+isinφ2) jednaka su onda i samo onda ako je

r1=r2 i φ1=φ2+2 kπ ,gdje je k neki cijeli broj.

Teorem 2.) Neka je z1=r1 (cosφ1+isinφ1 ) , z2=r2(cosφ2+isinφ2).Tada vrijedi

.z1∗z2=r1∗r2¿

.z1

z2

=r1

r2

¿,z2≠ 0

Korolar 1.) Neka je z=r (cosφ+isinφ).Tada za svaki n∈N vrijedi

.zn=r n(cos∗n∗φ+isin∗n∗φ).

Specijalno za r=1 vrijedi Moivreova formula:

.(cosφ+isinφ)n=(cos∗n∗φ+isin∗n∗φ)Definicija 1.) Za kompleksni broj z kažemo da je n-ti korijen iz kompleksnog broja w ako je zn=w.

Teorem 3.) Moivreov teorem: Neka je w=r (cosφ+isinφ ) , r≠ 0 ,kompleksan broj zapisan

u trigonometrijskom obliku.

Tada jednačina zn=w , n∈N ima tačno n različiti rješenja.

.zk=n√r (cos

φ+2 kπn

+isinφ+2 kπ

n ) , k=0,1,2. .n−1

Uvjet rješivosti sistema linearnih jednačinaSistem

a11 x1+a12 x2… ..a1 n xn=b1 (1)

a21 x1+a22 x2 …..a2n xn=b2

⋮ ⋮ ⋮ am1 x1+am2 x2 …amn xn=bm, možemo zapisati u vektorskom obliku

x1[ a11

a21

⋮am1

]+x2[ a12

a22

⋮am2

]+... …+xn[ a1 n

a2 n

⋮amn

]=[ b1

b2

⋮bm

] ili kraće

x1 a1+ x2 a2+, , ,+xn an=bn (2)

gdje su a1…an kolone matrice sistema A,a b vektor slobodnih koeficijenata.

Iz (2) vidimo da riješiti sistem (1) znači pronaći sve moguće prikaze vektora b

kao linearne kombinacije vektoraa1 , a2 …an.

Sistem (1) je rješiv onda i samo onda ako se vektor b može prikazati kao linearna

kombinacija vektora a1…. an .Budući da je vektor b linearna kombinacija a1…. an ,,

onda i samo onda ako je rang matrica A tog sistema jednak rangu proširene matrice [ A , b ] ,dokazali samo sljedeći teorem.Teorem: Kroneker-Kapelij: Sistem ima rješenje onda i samo onda ako matrica tog sistema A

i proširena matrica [ A , b ] imaju isti rang.

Gausov metod

a1 x+b1 y=c1

a2 x+b2 y=c2 (a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2∈R ¿ (1)

Gausov metod se sastoji da sistem (1) ekvivalentnom transformacijom dovedemo na oblik trougaone šeme.

a1 x+b1 y=c1

dy=e (d , e∈R) (2)

Iz (2) jednačine odredimo vrijednost nepoznate y i njenu vrijednost uvrstimo u (1) jednačinu.Tako dobijemo jednačinu sa jednom nepoznatom i sada možemo odrediti vrijednost nepoznate x

.Prvu jednačinu sistema pomnožimo sa −a2

a1

i novodobijenu jednačinu

dodajmo drugoj jednačini sistema.

a1 x+b1 y=c1

(a1b2−a2 b1 ) y=a1 c2−a2 c1.Moguća su 3 kvalitativno različita rješenja.

1.)a1b2−a2 b1 ≠ 0 i tada se iz druge jednačine dobija

y=a1 c2−a2 c1

a1b2−a2 b1

,a zamjenom dobijene vrijednosti u prvoj jednačini dobijamo

x=b2 c1−b1 c2

a1 b2−a2 b1

.U ovom slučaju sistem ima jedinstevno rješenje ( b2c1−b1 c2

a1 b2−a2b1

,a1c2−a2 c1

a1 b2−a2b1

).

2.)a1b2−a2 b1=0i a1 c2−a2c1≠ 0 ,pa druga jednačina transformiranog sistema

nema rješenja,a samim time ni sistem nema rješenja.

3.)a1b2−a2 b1=0i a1 c2−a2c1=0 ,pa iz druge jednačine transformiranog sistema

slijedi da je njeno rješenje bilo koji realan broj y .

Zbog pretpostavkea1≠ 0,iz prve jednačine dobijemo

x=c1−b1 y

a1

. Sistem ima beskonačno mnogo rješenja oblika (c1−b1 y

a1

, y ) za svako y∈R .

Pretpostavimo da su svi koeficijenti uz nepoznate u sistemu (1) jednaki nuli.

0∗x+0∗ y=c1

0∗x+0∗ y=c2 Sada razlikujemo dva različita rješenja.

1.)c1=c2=0,kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja i pri tome je svaki uređeni par

(x,y), x∈ R , y∈R rješenje sistema.

2.)Barem jedan od brojeva c1 , c2 je različit od nule.Tada sistem nema rješenja.

Sistem linearnih jednačina može da ima ili da nema rješenja.Ako ima rješenja,onda je ono ili jedinstveno ili ih ima beskonačno mnogo.

LePlaceov razvoj determinanti

Determinanta se može razviti po bilo kojem redu ili koloni.Neka je A=(aij) kvadratna matrica n-tog reda.

Sa Aki označimo kvadratnu matricu ( n-1) tog reda koja se dobiva iz matrice A tako da se ispuste

k-ti red i i-ta kolona.

Neka je B=( bij )=[a i , a1 , …ai−1 , ai+1 ,…an ] matrica koja se dobiva iz matrice A pomoću ( i-1) zamjenom susjednih kolona

matrice A . bki=aki Bki=Aki(k=1 ,… ,n)Definicija: Ako dvije kolone determinante zamjena mjesta,determinanta mijenja predznak.

Po osobini definicije : detB=(−1)i−1detATeorem:

a) po i toj koloni : detA=∑k=1

n

(−1)k +1 aki det Aki

b) po i tom redu : detA=∑k=1

n

(−1)k +1 aik det A ik

Dokaz : Formula a) predstavlja Le Placeov razvoj determinanti po i –toj koloni.Iskoristimo li činjenicu da je det A =det AT ,

iz formule b) dobivamo Le Placeov razvoj determinante po i-tom redu.

Kramerova teoremaPosmatrajmo sistem linearnih jednačina AX=B

(a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 ⋯ ann

)∗(x1

x2

⋮xn

)=(b1

b2

⋮bn

)Neka je ∆ det A i neka je ∆ x1 dobijena zamjenom i-te kolone u A sa B.

∆ x1=|b1 a12 … a1n

b2 a22 … a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮bn an 2 … ann

|;∆ x2=|a11 b1 … a1n

a21 b2 … a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1 bn … ann

|Teorema: 1.) Sistem ima jedinstevno rješenje ako i samo ako je ∆ ≠ 0,

u tom slučaju je : x1=∆ x1

∆ ; x2=

∆ x2

∆ ; xn=

∆ xn

∆2.) Ako je ∆=0 i za bar jedno i je ∆ x1 ≠0 onda sistem nema rješenja.

U slučaju , ∆=∆x 1−∆x 2−...−∆xn=0 ,sistem rješavamo nekom drugom metodom

i nekad dobijemo da ima rješenja,a nekad ne.Teorem: Homogeni kvadratni sistem ima netrivijalno rješenja ako i samo ako je

det (a¿¿ ij)=0¿

(a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 ⋯ ann

)∗(x1

x2

⋮xn

)=(00⋮0)

Dokaz:

1.)Pretpostavimo da je ∆ ≠ 0, (tada je adj(A) inverzibilna).Iz AX=B slijedi

adj(A)*A*X=adj(A)*B

Važi i obrnuto:množenjem sa lijeve strane sa adj ( A)−1 dobijemo AX=B

(det(A) * I)*X=adj(A)*B

∆∗(x1

x2

⋮xn

)=(a11 b1+¿a21b2+¿… +an1 bn

a12 b1+¿a22 b2+¿⋯ +an 2bn

⋮ ¿…¿⋮ ¿a1n b1+¿a2 nb2+¿⋯¿+ann bn¿)=

=(∆ x1

∆ x2

⋮∆ xn

)=¿ (∆∗x1

∆∗x2

⋮∆∗xn

)=(∆ x1

∆ x2

⋮∆ xn

)Zaključujemo da je prethodna jednakost ekvivalenta sa AX=B

2.)Neka je ∆=0 i za bar jedno i je ∆ x1 ≠0 . Ako je X rješenje AX=B

množenjem sa lijeve strane sa adj(A) dobijemo

(∆∗x1

∆∗x2

⋮∆∗xn

)=(∆ x1

∆ x2

⋮∆ xn

) što nije moguće.Nema rješenja.

Rang matriceDefinicija:Maks.broj linearno nezavisni kolona matrice A zovemorang kolone matrice A,a maks. broj linearno nezavisni redovazovemo rang redova matrice A.

Dokaz: Prva dva reda matrice A=[1 1 30 1 22 3 8 ] su linearno nezavisni.

Treći red linearna kombinacija prva dva reda : a3=2 a+a3.

Prema tome rang redova matrice A jednak je 2.Kako su prve dvijekolone linearno nezavisne,a treća kolona njihova linearna kombinacija

a3=a+2 a2 ,rang kolone matrice A takođe iznosi 2.

Teorem: Elementarnim operacijama nad redovima neke matrice,kao i elementarnim operacijama nad njenim kolonama,ne mijenjaju seni rang kolone ni rang reda.Teorem:Rang redova matrice A jednak je rangu redova matrice A.Taj broj se zove rang matrice A i označava se sa r(A).

Pojam matrice i operacija sa matricama

Definicija 1.) Familiju A od m*n realnih brojeva a ij (i=1 ,.. m , j=1 , ..n )zapisanih u obliku prvokutne tablice

A=|a11 a12 … a1 n

a21 a22 … a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amn

| nazivamo realnom matricom formata m x n.

Definicija 2.) Za dvije matice A=(a ij¿ i B=(b ij¿ formata m x n kažemo da su

jednake ako su im odgovarajući elementi jednaki,tj ako su a ij= b ij za sve

( i=1 , ..m , j=1 , .. n ).

Definicija 3.) Matrica A množi se sa skalarom α tako da se svaki njen

element pomnoži sa α .

Teorem 1.) Neka su A,B matrice formata m x n i λ ,μ skalari.

Tada vrijedi:

1.) λ ( A+B )=λA+ λB 3.)( λ μ ) A=λ ( μA )2.)(λ+μ¿ A=λA+μ A 4.)1*A=A

Definicija 4.) Zbir C=A+B matrica A=(a ij¿ i B=(b ij¿ formata m x n

definira se kao matrica C=(c ij¿ formata m x n sa elementima

c ij=a ij+b ij (i=1 , ..m , j=1 , .. n )

Teorem 2.) Neka su A,B,C matrice formata m x n.Tada vrijedi1.) (A+B)+C=A+(B+C) 3.)A+(-A)=(-A)+A2.)A+O=O+A=A, 4.)A+B=B+A

gdje je O nul matricaformata m x n.

Definicija 5.) Proizvod AB matrica A i B definira se onda i samoonda ako su te matrice ulančane,tj.ako prva matrica A ima onolikokolona koliko druga matrica B redova. Ako je matrica A formatam x p i B formata p x n ,proizvod C=A*B je matrica formata m x n.čiji se elementi računaju po formuli

c ij=∑k=1

p

a ik∗bkj i=1 , ..m , j=1 , .. n

Osobine množenja matrica:1.)(AB)C=A(BC) – asocijativnost2.)A(B+C)=AB+AC - distributivnost sa lijeve strane3.)(A+B)C=AC+BC – distributivnost sa desne strane

4.) ( λA ) B=A ( λB )=λ ( AB )

Skalarni proizvod vektora

Skalarni proizvod vektora a⃗ , b⃗ je skalar koji se označava kao a⃗∗b⃗i definira ovako:

- ako je jedan od vektora a⃗ , b⃗ jednak nulvektoru onda je a⃗∗b⃗=0- ako je a⃗ , b⃗ ≠ 0 onda je a⃗∗b⃗=a∗b∗cosφ ,gdje je φ ugao između

dva vektora a⃗ , b⃗ koji je takav 0 ≤ φ ≤ π .

Funkcija ( a⃗ ,b⃗ ) → a⃗∗b⃗ sa V 3 xV 3 u IR definira se kao skalarni proizvod.

Takva funkcija ima sljedeće osobine:

1.)a⃗∗a⃗ ≥ 0 pozitivna definitnost

2.) a⃗∗a⃗=0→ a⃗=0 pozitivna definitnost

3.) a⃗∗b⃗=b⃗∗a⃗ simetričnosti

4.)( λ a⃗ )∗b⃗=λ ( a⃗∗b⃗ )homogenost u prvom segementu

5.)( a⃗+b⃗ ) c⃗= a⃗∗c⃗+b⃗∗c⃗ distributivnost u prvom segmentu

Vektorski proizvod vektora

Vektorski proizvod vektora a⃗ sa vektorom b⃗ je vektor c⃗= a⃗ x b⃗koji se definira ovako :

1.) ako je jedan od vektora a⃗ , b⃗ nulvektor,onda je c⃗= a⃗ x b⃗=02.) ako su a⃗ , b⃗ ≠ 0 onda

- dužina vektora c⃗= a⃗ x b⃗ jednaka je površini paralelograma što ga

zatvaraju vektori a⃗ i b⃗ , tj.c=absinφ,gdje je φ ugao između

vektora a⃗ i b⃗- vektor c⃗= a⃗ x b⃗ okomit na je na ravninu određenu vektorima a⃗ i b⃗- smjer vektora c⃗= a⃗ x b⃗ određen je pravilom desnog viljka:

vektor a⃗ zakrećemo prema vektoru b⃗ ,za ugao manji od π rad .Smjer

vektora c⃗= a⃗ x b⃗ definira se kao smjer kretanja desnog viljka.

Funkcija ( a⃗ ,b⃗ ) → a⃗ x b⃗ sa V 3 xV 3 uV 3 zove se vektorski proizvod.

Iz definicije vektorskog proizvoda,sa obzirom na određivanje smjera,vidi se da vektorski proizvod ima osobine antikomutativnost i homogenosti.

a⃗ x b⃗=− (b⃗ x a⃗ ) (∀ λ∈ IR ¿ ( λ a⃗ ) x b⃗=a⃗ x ( λ b⃗ )=λ (a⃗ x b⃗) Za vektorski proizvod vrijede zakoni distribucije prema zbrajanju

( a⃗+b⃗ ) x c⃗=a⃗ x c⃗+ b⃗ x c⃗ c⃗ x ( a⃗+b⃗ )=c⃗ x a⃗+ c⃗ x b⃗

Limes funkcije/granična vrijednost nizaDefinicija 1.) Cauchyeva definicija limesa funkcijeNeka je

a) x0∈ [ a ,b ]b)f : D → R , gdje je D=[ a , b ] ili D=[ a , b ] / {x0 }Tada kažemo da granična vrijednost (limes ) funkcije

f u funkciji x0 jednaka L i pišemo limx→ x0

f ( x )=L

ako za svaki niz (xn¿ iz D(xn ≠ x0 )koji konvergira prema

x0,niz funcijsku vrijednost (f ( xn )¿konvergira prema L.

Kao i limes niza realnih brojeva ,tako je i limes funkcijajedinstven.Definicija 2.) Neka je

a) x0∈ [ a ,b ]b)f : D → R , gdje je D=[ a , b ] ili D=[ a , b ] / {x0 }Tada kažemo da granična vrijednost (limes ) funkcije

f u funkciji x0 sa lijeva jednaka L−1 i pišemo

limx→ x0

f ( x )=L−1

ako za svaki niz (xn¿ iz D(xn ≠ x0 )koji slijeva konvergira

prema x0,niz funcijsku vrijednost (f ( xn )¿konvergira

prema L−1.Analogno se definira i granična vrijednost

funkcije sa desna i označava se sa L+1= lim

x→ xo

f (x).

Takve limese zovemo jedinstevnim limesima.

Teorema 1.)Neka je

a) x0∈ [ a ,b ]b)f , g : D → R , gdje je D=[ a , b ] ili D= [a ,b ] / {x0 }c) postoje lim

x→ xo

f (x). i limx→ xo

g(x). Tada:

a.) postoji limx→ xo

¿¿ g(x)) i vrijedi

limx→ xo

¿¿ g(x)¿= limx→ xo

f (x)± limx → xo

¿ g(x)

Limes zbira(razlike) dviju funkcija jednak je zbiru(razlici) njihovih limesa.

b.) .) postoji limx→ xo

¿¿ g(x)) i vrijedi

limx→ xo

¿¿ g(x)¿= limx→ xo

f (x)∗ limx → xo

¿ g(x)

Limes proizvoda dviju funkcija je proizvod njihovih limesa.

c.) ako je limx→ xo

¿ g(x)≠0 i ako je g(x)≠0 u nekoj

okolini broja xo ,tada postoji limx→ xo

f ¿¿¿¿Limes kvocijenata dviju funkcija jednak je kvocijentunjihovih limesa.

Asimptote funkcijeDefinicija1.) Kažemo da je pravac y=kx+l desna kosa

asimptota funkcije f:(c ,∞¿→ R,

limx→+∞

¿¿Analogno se definira i lijeva kosa asimptota.Specijalno,ako je k=0 ,pravac y=l nazivamo horizontalna asimptota.Pravac x=a je vertikalna asimptota funkcije f ako je

limx→ a−¿f (X)=∞¿

¿ ili limx→ a+¿ f ( x)¿

¿=∞

limx→+∞

x [ f ( X )

x−k− l

x ]=0 → limx →+∞ [ f ( X )

x−k− l

x ]=0

odakle dobivamo koeficijente smjera desne kose asimptote

k= limx →+∞

❑f ( x )

x (1)

l= limx→+∞

[ f (x)−kx ] (2)

Ako postoje limesi (1) i (2) onda je pravac y=kx+l desna kosaasimptota funkcije f.Analogno se dobivaju i formule zakoeficijente k i l lijeve kose asimptote.