Matematika_8_tur

A

1.

2.

3.

Sevgili ö�renci!Bu kitap sekizinci sınıfta öngörülen malzemeyi ö�renmen için yardımında bulunacaktır. Benzer �e-killer için yeni ve ilginç bilgiler ö�reneceksin. Lineer denklemlerin ve lineer e�itsizliklerin çözülme-leri için yeni teknikleri, aynı zamanda bazı lineer denklem sistemlerinin çözülmelerini ö�reneceksin. Lineer fonksiyonlar geometri cisimleri ve onların alan ve hacımları için bilgilerini geni�letireceksin. Kitap dört ba�lıktan olu�makta ve her biri alt ba�lıklara ayrılmı�tır.Her konu içindekilerle ba�lar, ders birimleri ise numaralanmı�tır.Ders birimlerinde mesajlar, tavsiyeler, etkinlikler ve di�er uyarılar renkli i�aretler ile verilmi�tir, bunlar:

Anımsa!

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla:

Ödevler:

Ders birimleri bildiklerin bazı bilgilerle ba�lamaktadır. �stenilenlerin çözümü için hatırlamalısın. Yeni ders birimini ö�renmen için yardımı-cı olacaktır.

Bu i�aretler ile ders birimleri yeni kavramlara ait olan bölüm-lere ayrılmı�tır.

Bu i�aretler ile kendi ba�ına veya ö�retmenin yardımı ile çözebilece�in etkinlikler, sorular ve ödevler i�aretlenmi�tir. Bu bölümde dersteki yeni bilgileri ö�reneceksin, bu yüzden ö�renmen ve anlaman için dikkatli ve aktif olmalısın. En önemlileri sarı renkle, teoremlerin formulasyonu tu-runcu renkle boyalanmı�tır.

Dersin en önemlisi soru, ödev veya iddia gibi ayrılmı�tır. Bunları ha-tırlamalısın, ödevlerin ve örneklerin çözümünde kullanmalısın.

Bu bölümde bulunan sorular ve ödevler ile bilgilerini kontrol ede-bilir ve ö�rendiklerinin ço�unu hergünkü ya�amda kullanabilirsin.

Ödevleri sıralı ve kendin çözmelisin. Bununla okuduklarını daha iyi anlayıp büyük yararlar kazanacaksın.

Dene!... Bu bölümde ödev ve problemleri çözmeye çalı� (bu, mecburi de�il-dir). Bununla daha bilgili ve fi kirlerle daha zengin olacaksın.

B�LD�KLER�N�KONTROL ET:

Herbir konunun sonunda soru ve ödevlerle test vardır. Testi ken-din çöz ve okudu�un konu ile bildiklerini kontrol et.

Matemati�i okudu�unda zorluklarla kar�ıla�tı�ın zaman cayma, yeniden dene, direncin sonuç ve mutluluk getirecektir.Bu kitapla matemati�i daha çok seversen ve en iyi ba�arılar elde edersen, bizleri çok sevindireceksin.

Yazarlardan

A , B ...1.

2.

3. ...

KONU 1. BENZERL�K

ORANTILI DO�RU PARÇALAR 1. �ki do�ru parçasının oranı 4 2. Orantılı do�ru parçalar 8 3. Do�ru parçanın e�it kısımlara ayrılması 12 4. Orantılı do�ru parçalara ait Tales Teoremi 16 5. Tales Teoreminden yararlanarak çözülebilen ödevler 20 BENZER ÜÇGENLER 6. Benzer �ekiller. Benzer üçgenler 24 7. Benzer üçgenlerde birinci kural 27

8. Benzer üçgenlerin ikinci ve üçüncü kural 319. �ki benzer üçgenin çevrelerin ve alanların oranı 33

P�TAGORA TEOREM�10. Dik açılı üçgende benzerlik 3711. Pitagora Teoremi 4112. Pitagora Teoreminin uygulanmasıyla ödevler 4413. Örnekleme uzay, örnekleme nokta 48 Bilgini kontrol et 53

11111ORANTILI DO�RU PARÇALAR

�K� DO�RU PARÇASININ ORANI

Anımsa!a ve b (b � 0) sayılarının oranı a ve b sayılarının bölümüne denir, yani

a : b veya a bölü b okunur;a sayısı birinci terim, b sayısı ise oranın ikinci terimidir.

a’nın b’ye bölünmesiyle elde edilen sayıya a : b oranın de�eri denir ve k ile i�aret edilir.Bu durumda a : b = k, yani a = bk

Oranın de�erini bul:a) 28 : 4; b) 35 : 5; c) 12 : 16 ; ç) 1,8 : 2,4

Hangi oranlar e�ittir?

a)–ç) �ıklarındaki oranlardan hangileri e�ittir?Oranın bilinmeyen terimini bul:a) x : 8, e�er ki de�eri 4 ise;b) 18 : y, e�er ki de�eri 12 ise.

ab

32

�ekilde iki do�ru parçası verilmi�tir:

AB do�ru parçasının uzunlu�u ile CD do�ru parçasının uzunlu�uyla oranını yazınız.

6 : 4 bölümünü AB do�ru parçasının CD do�ru parçasına oranı olarak sayaca�ız.

�ki do�ru parçasının oranı veya bölümü aynı ölçü birimiyle ifade edilmi� uzunlukların bölümüdür.

Bir AB do�ru parçasının di�er bir CD do�ru par-çasına oranını bu �ekilde gösterilmi�tir:

A do�ru parçasının b do�ru parçasına göre oranını belirt, e�er ki:a) a = 12 cm, b = 4 cm, b) a = 30 cm, b = 6 dm.

Orandaki do�ru parçalarının uzunlukları aynı ölçü birimiyle ifade edilmelidir.

�ki do�ru parçasının oranı adsız sayıdır.

Ödev 1 de : oranı 6 : 4 ‘tür, onun de�eri ise ’dir.

1.

2.

A B

C Dbu durumda = 6 ��, = 4 ��.AB CD

Genel olarak

Dikkat et!

: veya CD

CD

�kinci terim sıfıra e�it olabilir mi?CD

AB

AB

1.A

Konu 1. Benzerlik

ABCD

4

0,5 : 0,25 oranının her terimini a) 20 ile çarpınız; b) 5 ile bölünüz.

a = 6 cm do�ru parçasının b = 3 cm do�ru parça-sına oranını yaz ve onun de�erini belirt.

Ondan sonar, do�ru parçalarının uzunlukları-nı a) mm; b) dm ; c) m ile ifade ederek a : b oranının de�erini belirt.Bu oranlardan nasıl bir sonuca varıyorsun?

a : b = k ve m� 0, ise (am) : ( bm) = k ve (a :m) : (b : m) = k’dir.

a = 1,2 dm, b = 18 cm do�ru parçaları verilmi�tir.

a : b oranını yaz ve de�erini hesapla.b : a oranını yaz ve de�erini hesapla.

b : a oranına a : b oranının tersidir denir.

Öyle ki 18 : 12 oranının tersi 12 : 18 ‘dir.

Arzu 5 ya�ında, Canan 10 ya�ında ve Hülya 35 ya�ındadır.Aralarındaki ya� oranını yaz:a) Arzu ve Canan; b) Canan ve Hülya; c) Arzu ve Hülya.

Ölçü birimi CD do�ru parçası oldu�u durumda, k oranı CD do�ru parçasının AB do�ru parçasında kaç defa bulundu�unu, yani CD do�ru parçası AB’nin kaç katı oldu�unu göstermektedir.

AB ve CD gibi iki do�ru parçasının oranı k ise, yani : = k, o zaman = k, ’dir.

�ki sayının oranı a : b = k ise, o zaman a sayısı neye e�ittir? k sayısı a ve b sayıları için neyi gösterir?

E�er a : b = k, o zaman a = kb’dir. k sayısı b'nin a sayı-sında kaç defa bulundu�unu gösterir.

a : b oranının iki terimi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse oran de�i�mez, yani

Ondan sonra verilen oranın de�erini a) ve b)’de elde edilen oranların de�erleri ile kar�ıla�tır.Ne farkediyorsun?

3.

4. a

b

Önceki iki ödevden hatırladın ki:

Hatırla!

AB CDAB CD

6.

Orantılı do�ru parçalar

5.BBBBB

5

6

7.

C

9.

5 : 10 , 10 : 35 oranlarını incele ve her ikisinin ortak noktası oldu�unu gözlemle.Birinci oranın ikinci terimi, ikinci oranın birinci terimi ile aynıdır.

a : b ve b : c oranları genellikle kısacasınayazılır ve böyle yazılı�a a, b, c’ nin bile�ik orantısı denir.Öyle ki , 5 : 10 : 35 ifadesi 5 : 10 ve 10 : 35 oranlarının bile�ik orantısıdır. Bu iki orandan madda verilen bile�ik orantı 5 : 35 oranını da ifade eder.

Bu uzaklıkları 800 000 defa küçültülmü� bir çizimle göster.

PQ do�ru parçası: a) AB ; b) CD do�ru parçasında kaç defa bulunur?

Gördü�ünüz gibi, PQ do�ru parçası AB ve CD do�ru parçalarının birer katıdır.

E�er üçüncü bir do�ru parça onların her birinin katı ise, iki do�ru parçası ölçülebilen do�ru parça olabilir.

PQ do�ru parçasına AB ve CD do�ru parçasının ortak ölçü birimidir denir.

�ki ölçülebilen do�ru parçanın oranı rasyonel sayıdır (tam veya kesir).

Kö�egeni d’yi a kenarının yardımı ile ifade et.�ekilde kenarı a ve kö�egeni d olan bir kare verilmi�tir.

Ortak ölçüsü olmayan do�ru parçalar çiftleri de vardır. Yani her ikisinde tam sayıda bu-lunan do�ru parçası yoktur. Öyle do�ru parçalara ölçülemeyen do�ru parçalar denir ve onların oranı daima irasyonel sayıdır.

d : a oranının irasyonel sayısı oldu�unu göster.

Ödev 8 ‘de AB ve CD do�ru parçaları ölçülebilen do�ru parçalardır. Ödev 7 ‘deki AB, BC ve BC, CA do�ru parça çiftleri de ölçülebilen do�ru parçalardır (onların ortak ölçüsü örne�in 1 km uzunlu�unda do�ru parçası olabilir).

�ekilde AB,CD ve PQ üç do�ru parçası verilmi�tir, öyle ki = 5 , = 3

: : Bile�ik orantısını en basit �ekilde yaz.

A, B, C kentleri arasındaki hava uzaklıkları : = 40 km, = 100 m, = 120 km.

a : b : c

Unutma!

AB BC CA

CA AB

AB PQ CD PQ

BC

8. A

C

P Q

D

B

Genel olarak

d

a

Fark et

Konu 1. Benzerlik

2

�ki sayı ve iki do�ru parça oranını adlandırmasın ı ve belirtesini,Verilen oranın de�erini ve e�it oranların belirtesin;Ters ve bile�ik oranı yazılı�ını;Oranda bilinmeyen terimi belirtilmesini

x : 4 oranının de�eri 5 ise x kaçtır?

a:b oranının de�erini en basit �ekilde yaz, e�er:a) a = 15 cm, b = 2dmb) a = 6x, b = 4x;c) a = 2litre, b = 800ml

Önceki ödevde verilen her oranın tersini yaz.

Kenar ve çevre arasındaki oranı bul:a) e�kenar üçgenb) e�kenar be�genc) e�kenar altigen.

Oranın de�eri verilmi� ise, bilinmeyen terimi hesapla:a) x : 5 = 3 b) 6,5 : y = 13

c) x : 1,3 = 6 ç) 4 : y = 3 .

Üsküp – Valandovo uzaklı�ı 150 km, Üsküp – E�ri Palanka 100 km, ve Üs-küp – Kalkandelen 50 km’dir.a) Bu uzaklıkların bile�ik orantısını yaz.b) Bu bile�ik orantıyı en basit �ekilde yaz.

Verilen oranların terimlerini tam sayılar olmak üzere yaz:

a) 0,3 : 0,6 b) 0,35: 0,7 c) : ;

ç) 2 : 5,2; d) 5 : .

Onlardan hangileri birbirine e�ittir?

a : b oranını en basit �ekilde ifade ediniz:a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1kg, b = 800g.Verilen oranların de�erini belirt:a) 6:8; b) 150:200; c) 80:60; ç) 0,18 : 0,24.Onlardan hangileri birbirine e�ittir?

A C B

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Ödevler

AB = 8cm ve AC = 2cm do�ru parçaları verilmi�tir (�ekilde).

Verilen oranın de�erini belirt: a) AB : AC; b) AC : CB; v) CB : AC; d) CS : AB.

1.

2.

3.

4.

5.

6.25

35

14

352

43

23

13

Orantılı do�ru parçalar 7

Örne�in, karenin a kenarı ve d kö�egeni ölçülemez büyüklüklerdir ve onların oranı d : a

sayısıj

2 'dir.

8

7.

8.

AB = 24 cm do�ru parçası verilmi�tir ve onun üzerinde C noktası olmak üzere, AC = 18 cm do�ru parçası elde edil-mi�tir. �unu belirt:a) AC : CBb) En kısa ve en uzun do�ru parçala-rın oranı.

Küçük do�ru parçası büyü�ünde 7 defa bulunmakta, küçü�ünden 2 defa küçük olan do�ru parçası kalır. Küçük do�-ru parçasının uzunlu�u 1 cm oldu�una göre, büyük do�ru parçasının uzunlu�u ne kadardır?

Bir dik üçgenin açılarından biri 60 dere-cedir. Bunun hipotenüzünün ve küçük katetinin oranı neye e�ittir?

12 : 8 ve 6 : 4 oranları aralarında na-sıldır?

Onlardan orantı olu�turabilir misin?

Onlardan herhangi bir orantı olu�tur.

Örne�in, �unu farkedebilirsin:40cm : 8cm = 35cm : 7cm

yani verilen do�ru parçaların uzunluklarıyla 40 : 8 = 35 : 7 orantısını olu�turabilrsin.

Bu nedenle AB, CD ve RS, PQ do�ru parça-ları çiftlerine orantılı do�ru parçalar denir.

�ki çift do�ru parçaların uzunluklarından bir orantı meydana geliyorsa a, b ve c, d do�ru par-çaları çiftlerine orantılı do�ru parçaları denir.

12 : 8 = 6 : 4 e�it oranların e�itli�i ne-dir?

Bu sayılardan hangisi oranın birinci, hangisi üçüncü terimidir?Hangileri iç, hangileri ise dı� terimlerdir?

12 : 8 = 6 : 4 orantının iç ve dı� terimle-rinin çarpımını bul.

Bu çarpımlar birbiriyle nasıldır?

a : b ve c : d oranları birbirine e�it ise, o zaman bu e�itli�e

orantı denir; a, b, c, d sayılarına ise orantının terimleri denir.

�ki do�ru parçanın uzunlukların toplamı 35, farkı ise 7’dir. Bu do�ru parçaların oranını bul.

Üç tavuk üç günde üç yumurta yumurtlar.a) Altı tavuk altı günde kaç yumurta yumurtlar?b) 100 günde 100 yumurtayı kaç tavuk yumurt-lar?

9.

10.

Deneyiniz! …

ORANTILI DO�RU PARÇALAR22222Anımsa!

a : b = c : d, veya +ab

cd

a : b = c : d, veya +ab

cd

1.A

Genel oralak

Uzunlukları AB = 40cm, PQ = 7cm, CD = 8cm, RS = 35cm olan 4 do�ru parçası verilmi�tir.

Konu 1. Benzerlik

E�it oranların de�eri olan k sayısına a : b ve c : d orantılı do�ru parçalar çiftlerinin oran-tı katsayısı denir.Ödev 1’de AB, CD ve RS, PQ do�ru parçaların çiftlerinin orantı katsayısı hangisidir?

a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm do�ru parçaları verilmi�tir.

a, b ve c, d do�ru parçalarının orantılı oldu�unu göster. Orantı katsayısı ne kadardır?

a, b ve c, d do�ru parçalarının orantısını yaz. Dı� terimlerin çarpımını ve iç terimlerin çarpımını bul. Bu çarpımlar aralarında nasıldır?

Bir orantının dı� terimlerinin çarpımı iç terimlerinin çarpımına e�ittir, yani

e�er a:b = c:d, o zaman a · d = b · c

Do�ru parçaların orantı kat-sayısını nasıl belirteceksin?

Bu kurala orantıların temel özelli�i denir.

2 ve 32 sayılarının geometrik ortasını bul.

2 ve 32 sayılarının geometrik ortasını bul.Elde etti�in çözümü verilenlerle kar�ıla�tır.9 : x = x : 4 orantısı temel özellik gere�ince x2 = 9 · 4 = 36 yani elde edilir.

a = 9 cm ve b = 4 cm do�ru parça-ları verilmi�tir. a : x e�it x : b olmak üzere x do�ru parçasını hesapla.5 ve 20 sayıları için 5 : x = x : 20

orantısını sa�layacak x sayısını bul.

a) �ıkı için elde etti�in çözümü verilen çözümle kar�ıla�tır: a : b = c : x; 6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 · 12; x = 16 cm

a = 6 cm, b = 8cm, c = 12cm do�ru parçalarında olu�an orantılarda dördüncü geometrik orantısı olan x do�ru parçasını bul.a) a: b = c : x b) x : c = a : b c) a : x = b: c

a:b = c:d orantısında örne�in, , a, b, c do�ru parçalarının dördüncü geometrik oran-tısıdır.

a, b, c, d orantılı do�ru parçalardan herbirine di�er üçünün dördüncü geometrik oran-tısıdır denir.

3.

2. ba

cd

Genel ve geçerli!

bca

d =

Anımsa!

sayısı 5 ve 20 sayılarının neyidir?

( )� �5 20 10

4. B

x = �36 6 ;

�


AB:CD oranının de�erini belirtece�im, 40cm : 8cm = 40 : 8 = 5 yani k = 5.

10

5.

6.

C

8.

6 sayısının 4 ve 9 sayılarının geometrik ortasının oldu�unu ke�fet.

Bunu ispatlamaya çalı�.

Bunun tersinin de geçerli oldu�unu �öster.

Burada �u e�itlik geçerlidir:

orantısı verilmi�tir. e�itli�in de orantı oldu�unu göster.

E�er , o zaman

Verilen do�ru parçaların geometrik ortasını bul:a) a = 12cm, b = 27 cm; b) a = 5 cm, b = 12 cm

Yandaki �ekilde verilen b do�ru parçası, a ve c do�ru parçala-rının geometrik ortası olup olmadı�ını ölçerek belirt.

a ve b gibi iki do�ru parçasının geometrik ortası (veya orta geometrik orantısı) a : x = x : b e�itli�ini sa�layan x do�ru parçasına denir.

Unutma!

Genel olarak da geçerlidir!

=ax

xb x2 = ab� � x ab�

ab

c

84

105= 8 + 4

4 10 + 5

5 =

=ab

cd

a + b + ca1 + b1 + c1

= = =aa1

bb1

cc1

= =aa1

bb1

cc1

E�er , o zaman ‘dir.a+bb

c+dd

= =ab

cd

Anımsa! Üç veya daha çok oran birbirine e�it ise, onları bile�ik orantı �eklinde yazabiliriz.

Örne�in:

7.

Konu 1. Benzerlik

a + bb

= c + dd

oldu�undan geçerlidir, ondan sonra ,

yani

+ 1 = + 1ab

cd +a

b bb +c

d dd =a + b

b = c + d

d a + b

b = c + d

d

A B

Orantı kavramını tanımlayasın;Orantıda bilinmeyen terimi bulasın;Hangi do�ru parçalar çiftleri orantılı do�-ru parçalardır;�ki do�ru parçasının geometrik ortasını belirt.

�ekildeki ABC üçgeninde CD do�ru parçası AB hipotenüzüne kar�ılık gelen yüksekliktir.

x ve y belirt, e�er:

a) ; b)

Ölçerek �unları do�rulayınız:a) CD do�ru parçası AD ve DB do�ru par-çalarının geometrik ortasıdır;b) AC do�ru parçası AD ve AB do�ru par-çalarının geometrik ortasıdır.

�spatla ki:

e�er ise, o zaman ‘dir.

orantısından a�a�ıdakilerinden elde

edildi�ini göster:

, , .

E�ittli�in do�ru olması için a hangi sayı olmalıdır?

a) , b)

Verilen dört do�ru parçasının uzunluklarıyla orantı kur: 28 cm; 16 cm; 1,2 dm; 2,1 dm

a ve b do�ru parçalarının geometrik orta-sını bul, e�er:a) a = 2 cm, b = 8cm;

b) a = 4 dm, b = 12 cm;

c) a = 7cm, b = 14 cm.

a, b, c do�ru parçalarından olu�an a : b = x : c orantısında dördüncü geometrik orantısı olan x do�ru parçasını belirt, e�er:

a) a dm, b dm, c dm

b) a = 2m, b = 3m, c = 4m.

10 : a = 15 : 6 orantısında bilinmeyen te-rimi bul.a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm do�ru par-çalarından olu�an a : b = c : x orantısında bilinmeyen x do�ru parçasının uzunlu�u-nu hesapla.a = 2 cm ve b = 8 cm do�ru parçalarının geometrik ortasını bul.

=52

a8

=a14

37

=ab

cd

=ab

bd =b

a dc

=ca

db

Bilmen gerekenler:Kendini yokla!

Ödevler

1.

2.

3.

4.

5.

9.

8.

7.

6.

= 12

12

= 34 = 2

3 A D B

C

M

C

N

A B

CM MA CN NBa )

b)c)

8

6

6 4

4

8 8

5

4

a cb d� , a b c d

b d� �� .

�ekildeki ABC’de orantısı verilmi�tir. Tablonun her satırında bazı uzunluklar verilmi�tir. Eksik olan uzun-lukları belirt.

CM : MA = CN : NB

= =x4

y5

32

= =7x

y6

14


12

2.

�

�

33333

α = α1, β = β1, FG = PQ .

F G

H

α βP Q

R

α1 β1

�1 = �3, �2 = �4 � � 1 2OA A B

1 1 1 1A B =B C

�1 1 1OA A B

1.A OA = AB = BC

DO�RU PARÇASININ E��T KISIMLARA AYRILI�I

Anımsa!Bir do�ru parçasını e�it kısımlara nasıl ayıracaksın:a) iki kı�ma; b) dört kı�ma.

�ekilde SOT açısı gösterilmi� ve OS kenarı üzerinde olmak üzere do�ru parçaları alınmı�tır.

OA1 , A1B1 ve B1C1 do�ru parçaları için (sırasıyla) OA, AB ve BC do�ru parçalarıyla kar�ılıklı ol-du�u denilir.OA1 , A1B! ve B1C1 do�ru parçalarını ölç. Ne fark edersin?

Bir açının bir kenarı üzerinde e� do�ru parçaları alarak, onların uç noktalarından açının di�er kenarını kesmek üzere paralel do�rular çizilirse, bu do�rular açının di�er kenarından da e� do�ru parçalar kesecektir.

Ödev 1’deki �ekilde ispatla ki

1 1 11 1O A = A B = B C. ‘dir.

Yandaki �ekli inceleyiniz. OS kenarına paralel olarak A1B2 ve B1 C2 do�ruları çizilmi� ve birkaç açı rakamlar-la i�aret edilmi�tir.

OAA1 ve A1B2B1 incele ve fark et ki:

OAA1 ��A1B2B1, (Neden?)

OAA1 ve�A1B2B1 incele. Onların e� olduklarını ve oldu�unu göster.

Bir açının kenarlarındaki do�ru parçalarının e�itli�ine ait �u teoremi incele ve unutma:

(Neden?) (Neden?)

A, B ve C noktalarından p, q ve r paralel do�ru-ları çizilerek OT kenarını sırasıyla A1, B1 ve C1 noktalarında keser.

Bu üçgenler birbirine göre nasıldır?E� üçgenlerde kar�ılıklı kenarlar birbirine göre nasıldır?

�ekildeki FGH ve PQR üçgenlerinde verilmi�tir.

Konu 1. Benzerlik

��

�

Bu teorem gere�ince verilen bir do�ru parçasını istedi�in kadar e�it kısımlara ayırabilirsin.

�ekildeki AB do�ru parçasını 5 e�it kısıma ayırınız.

Çözümü izle ve do�ru parçasının e�it kısımlara nasıl ayrıldı�ını göreceksin.

Geli�i güzel bir AS yarı do�rusu çiz – �ekildeki gibi.

AS yarı do�rusu üzerinde, A noktasından ba�layarak AE gibi tahminen seçti�iniz bir do�ru parçasını 5 defa uygulayınız. Bununla 5 nokta elde edeceksin; be�incisini C ile i�aret et.

Önce CB do�rusunu çiz, ondan sonra elde edilen her noktadan CB do�rusuna paralel olarak do�rular çiz. Bu �ekilde AB do�ru parçası 5 e�it kısıma ayrılmı� olacaktır.

Bu be� parçanın neden birbiriyle e�it oldu�unu açıkla.

Uzunlu�u 7cm olan bir do�ru parçasını çiz ve 6 e�it kısıma ayır.

Bir do�ru parçası çiz ve e�it do�ru parçası teoreminden yararlanarak onun orta noktasını belirt.

AB do�ru parçasını 5 e�it kısıma ayırmak için, ön-ceki teoremden nasıl ya-rarlanacaksın?

Ba�langıcı A noktasında olmak üzere bir yarı do�ru çizdikten sonra, A noktasından ba�layarak 5 e�it do�ru parçası çizece�im. Ondan sonra, te-orem gere�ince, paralel do�rular çizece�im.

3.A B

A M B

6. B

4.

5.

Anımsa! Uzunlu�u 6cm olan AB do�ru par-çasını çiz. a) 5 e�it kısıma ayırb) AM : MB = 3:2 olmak üzere, M noktasını i�aret et.

AB do�ru parçası üzerinde M noktası i�aret edilmi�tir. Öyle ki, AM = 4 cm ve MB = 3 cm’dir.

M noktası AB do�ru parçasını hangi oranda böler?


14

7.

8.

9.

Elde etti�in çözümü yandaki �ekilde verilen çözümle kar�ıla�tır.

AB do�ru parçası çiz ve onu 3:4 oranında iki kısıma ayır.

Önce AC do�ru parçasını 3 + 4 = 7 e�it kısıma ayır.

Neden AM = BM = 3 : 4 oldu�unu açıkla.

Bu çizime, verilen do�ru parçasını verilen oranda bölme denir.

�ekildeki AB do�ru parçası M noktasıyla 3:2 oranında bölünmü�tür. CD do�ru parçası da N noktasıyla aynı 3:2 oranında bölünmü�tür.

AB ve CD do�ru parçalarının kısımlarıyla ilgili orantı kur.

Olanaklardan biri: ‘dir. Demek ki AM, MB do�ru parçaları CN ve ND do�-ru parçalarıyla orantılıdır. Bu nedenle AB ve CD do�ru parçaları aynı orantıda ayrılmı�tır demektir.

E�er ki, birinin kısımlarının oranı di�erinin kısımlarının oranıyla e�it ise iki do�ru parça-sı aynı orantıda ayrılmı�tır.

Uzunlukları 7cm ve 4cm olan iki do�ru parçası çiz ve onları orantılı �ekilde 1:2 kısım-lara ayır.

Elde etti�in çözümü, yanda AK = 3 ��AEve KM || CB alınmı� olan çözümle kar�ıla�tır.

Bu �ekilde AM = BM = 3 : 4 elde edilmi�tir.

A M B

C N D

AM : MB = CN : ND

Genel olarak

Konu 1. Benzerlik

Bir do�ru parçası e�it kısımlara nasıl ayrılması ve ayırma i�lemini yapasın;

Do�ru parçasını verilen bir orantıda bö-lesin;�ki do�ru parçasınnın, hangi durumda aynı orantıda bölündü�ünü açıklamalı-sın.

Uzunlu�u 6 cm olan bir do�ru parçası çiz ve onu e�it kısımlara ayır:a) üç; b) yedi.

Bir AB do�ru parçası çiz ve onu a) 2 : 1 ; b) 5 : 2 oranında ayır.

Uzunlu�u 10 cm olan bir do�ru parça-sı çiz ve onua) 7 e�it kısıma;b) 4 : 3 oranında iki kısıma; c) 1 : 2 : 4 oranında ayır.

ABC çiz ve kenarlarını üçer e�it kısı-ma ayır.

ABC ve onun AA1 kenarortayını çiz. Ondan sonra AA1 kenarortayınıAT : TA = 2 : 1 oranında bölerek T nok-tasını belirt.

5 cm uzunlukta bir AB do�ru parçasını çiz ve 3 e�it kısıma ayır. Ondan sonra, AB do�ru parçasını 2:1 oranında böle-cek bir M noktasını i�aret et. �ekilde H ve K noktalarıyla orantılı ola-rak bölünmü� olan PQ ve RS do�ru par-çalarından olu�an bir orantı yaz.

M noktası, AB do�ru parçasını AB : MB = 5 : 3 oranında böler. AM do�-ru parçasının uzunlu�u 4,8 dm oldu-�una göre MB ve AB do�ru parçaların uzunlu�unu belirt.

AB = 12 cm do�ru parçasını ne kadar uzatmalıyız ki, AC : BC = 5 : 2 orantısını sa�layacak AC do�ru parçası elde ed-ilsin?

M noktası AB do�ru parçasını AM : MB = 3 : 2 oranında böler. AM : MB = 3 : 2 oranlarını belirt.

Bilmen gerekenler:

Ödevler

Kendini kontrol et!

R K S13

P H Q2 6

1. 6.

7.

8.

2.

3.

4.

5.


16

2.

444441.A

OA : AB = 3 : 2

p j

AO B

DC

AC || BD � OA : AB = OC : CD

OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm ,CD

OA : OB = OC : OD .

OC : CD = OA : AB = 3 : 2

OA : AB = 3 : 2

OC : CD = 3 : 2

OC : CD = 3 : 2

ORANTILI DO�RU PARÇALARINA A�T TALES TEOREM�

Anımsa!Verilen bir do�ru parçasıa) e�it kısımlarab) verilen m : n oranında nasıl bölünür.Onu çizimle açıkla.

oldu�unu göster-mek için nereden yararlanacaksın?

Do�ru parçasının verilen orantı-da bölünme kuralından yararla-naca�ım.

Bir açının kenarları iki farklı paralel do�ruyla kesilirse, bir kenar üzerin-de elde edilen do�ru parçalar ve di�er kenar üzerinde kesilen kar�ılık-lı do�ru parçalarla orantılıdır.

�ekilde AC || BD alınmı�tır.

E�er ise

belirt;

oldu�unu göster.

�ekilde ödevin çözümü verilmi�tir. �u soruları cevapla.

OB do�ru parçası 5 e�it kısıma nasıl bölündü?

olmak üzere A noktası nasıl bulundu?Neden, ‘dir?

Tales Teoremi denilen �u iddiayı incele ve unutma.

OB do�ru parçası üzerinde olmak üzere A noktasını seçiniz.

A noktasından q || p olmak üzere q do�rusunu çiz. q do�rusu OT do�rusunu Cnoktasında kesin. oldu�unu gösteriniz.

Konu 1. Benzerlik

p.

O B S

TD

p

�ekilde SOT dar açısı verilmi�tir. OS kenarı üzerinde B noktası, OT kenarı üzerinde ise D noktası se-çilmi�tir. B ve D noktalarından da p do�rusu çizilmi�tir.

Orantıların bu özelli�inden yararlanarak a�a�ıdaki e�itli�i elde ederiz:

Önce, ACB açısının kenarlarının MN ve AB paralel do�rularıyla kesilmi� oldu�unu tes-pit et. Ondan sonra, Tales Teoremi’ni uygula.

SOT açısını çiz ve �ekilde görüldü�ü gibi

, do�ru parçalarını i�aret et.

OA, OB ve OC, OD do�ru parçalarının orantılı oldukları-nı, yani oldu�unu görebilirsin.

AC ve BD do�rularını çiz. Ondan sonra, iki çizgilik üçgenle onların paralel olup olmadı�ını yokla.

Çizimde ve ölçmede yeterince isabetli olmu�san, AC || BD.

�ki do�ru bir açının kenarlarından orantılı do�ru parçalar keserse, o do�rular birbirine pa-raleldir.

Orantılı do�ru parçaların bu özelli�ine Tales Teoremi’nin tersi denilir.

oldu�unu ispatla.

�ekilde ABC ve AC ve BC kenarlarını kesen MN || ABdo�rusu verilmi�tir.

AC ve BC do�rularının MN do�rusuyla orantılı olarak kesildiklerini göster, yani

Genel olarak geçerlidir ki: e�itli�inden (Tales Teoremi gere�ince)

e�itli�i elde edilir, veya:OB : OA = OD: OC

OA : AB = OC : CD

(AB + OA):OA = (CD +OC):OC .

A B

C

M N

O B S

TD

A

C

O B S

TD

A

CAC || BD�OA : OB = OC : OD

OA : OB = OC: OD

OA = 4 cm ,

OB = 6 cm , OC = 3 cm , OD = 4,5 cm .4. B

CM:MA = CN:NB .

OB : OA = OD: OC

AB : OA = CD : OC

OA:OB=OC:OD

3.

E�er yardıma ihtiyacın varsa...

Genel olarak geçerlidir!

�


18

1.

5. �ekile göre, a�a�ıdaki verilerden hangi durumda MN || PQ.a)b)

c)

Tales teoremini ifade edesinve onu basit ödevlerde uygulayasın;

Tales teoreminin tersini ifade edesin ve onu basit ödevlerde uygulayasın.

Q:

P Q

R

M N

t[ marr[ AC || BD.

O A B

C

D

OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm .

CM = 12 ; CA = 18 ; BN = 8 ;

CMCN = 9CM = NB , MA = 4

CN ,

OB ,A B

C

M N

A B D

C

E

20 16

35

28

A P B

QC

RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18;

RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6;

RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14.

Bilmen gerekenler :

Kendini yokla!

AP : AB = : ; c) : = AQ : QC ;

AP : PB = : ; ]) AC : AQ = : .

�ekilde PQ || BC verilmi�tir. A�a�ıdaki iddiaların do�ru olması için onla-rı tamamla:a) b)c) c)

�ekilde i�aretlenen do�ru parçalar için BC || DE?

Ödevler

�ekilde AC || BD alınmı�tır. �ekildeki ABC ‘ de MN || AB ‘dir.

a) E�er

ne kadardırb) E�er ve ise, ne kadardır.A�a�ıdaki verilere göre ‘yi belirt, e�er:

2.

Konu 1. Benzerlik

�ekilde gösterilen her üçgende, taba-na paralel do�ru çizilmi� ve birkaç do�-ru parçası i�aret edilmi�tir.

Dene! ...Mecburi de�ildir

Her dört durum için x sayısını belirt, di�erle-rinin harfl erle verilmi� oldu�unu tahmin ede-rek.

�ekilde C kö�esine ait açı ortayı CD olan ABC verilmi�tir. Ondan sonra AC kenarı uzatılmı� ve BE || DC do�rusu çi-zilmi�tir.

b) ABC üçgeninde ACB açısının açı orta-yı, kar�ıki AB kenarını di�er iki kenarla oran-tılı olacak iki kısıma ayırdı�ını göster, yani ya da (c – x) : x = b : a.�ekilde a); b), �ıklarında i�aretlenen

do�ru parçalar için BC || DE olup olma-dı�ını yokla. Cevabını açıkla.

3. 6.

7.

a

b x

1c

d1

x

1

mx

n2 x

k 2

a) E�er yan kenarları , o zaman BEC ikiz kenarüçgen oldu�unu ispatla.

BC = CE

AD : DB = CA : CB ,

O A B

CD orantısından

�u orantıların elde edildi�ini göster:

OA : AB = OC : CD

a) AB : OA = CD : OC ; c) OB : AB = OD : CD ;

b) OB : OA = OD : OC ; ]) OA : OB = OC : OD .

4.

5.

�ekildeki SOT açısının kenarları AA1, BB1 ve CC1 do�rularıyla, olmak üzere kesilmi�tir. OA1 = 6 cmoldu�una göre A1B1 ve B1C1 do�ru parça-larının uzunluklarını belirt.

2 : 3 :1OA : AB : BC =

�

�

a)

b)

a)

b)

c)

d)


e.

24

18

20

2.

55555

1 1 1 1AB : AB =BC:B C = AC: AC

a1

a

A B

C

B1

C1

A B

C

B1

C1

F

a b ca b c� �

1 1 1

,1 1 1 1

BC AC AB= =B C AC AB

,

aBC = , bAC = , cAB = , a1 1 1B C = , b1 1AC = , c1 1AB = .

1.A

TALES TEOREM�NDEN YARARLANARAK ÇÖZÜLEB�LEN ÖDEVLER

Anımsa!Orantılı do�ru parçalara ait Tales Teo-remi nasıl ifade edilir?a : b = c : x orantısında a, b, c’nin yardı-mı ile x büyüklü�ünü ifade et.

Bir üçgende kenarlarından birine paralel do�ru çizilerek di�er iki kenar kesilirse, elde edilen yeni üçgenin kenarları verilen üçgenin kenarlarıyla orantılıdır.

Verilen �ekil, AC’ye paralel olmak üzere B1F do�-rusunun çizimiyle tamamlanmı�tır. Verilen e�itli�i ispatlamak için Tales Teoremi’ni nasıl uygulaya-caksın?

ABC ve ABC açıları için elde edilen orantılı do�ru parçalarından olu�an orantıları yazaca�ım. Ondan sonra kar�ıla�tıraca�ım.

Ödev 1 de Tales Teoremi’ni uygulayarak bu iddiayı ispatlamaya çalı�.

Yaptı�ın inceleme ve elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.

Verilenler: ABC, B1C1 || BC (�ekilde oldu�u gibi).

�spatla: yani

burada:

AB : AB1 ve AC : AC1 birbirine göre nasıldır?AB, AB1; BC, B1C1 do�ru parçalarını dikkatle ölç, ondan sonraAB : AB1 ve BC : B1C1 oranlarını hesapla.

Ne fark edersin?E�er çizimi ve ölçmeleri do�ru yapmı�san, AB, AB1do�ru parçalarının BC,B1C1 do�ru parçala-rıyla orantılı oldu�unu göreceksin, yani;

ABC sonra �ekilde oldu�u gibi BC kenarıyla paralel olan ve A

açısının kenarlarını kesen B1C1 do�rusunu çiz.

�

Genel olarak geçerlidir!

� �

A B

C

B1

C1

Konu 1. Benzerlik

BAC B1C1 || BC ile kesilmi�tir. Tales Teoremi gere�ince:

ABC B1F || AC ile kesilmi�tir. Tales Teoremi gere�ince:

Bu iddiaya üçgene ait Tales Teoremi denir.

� �

� �A

� Ka

�

�

�

1 1

AB AC=AB AC

( 1 )

1 1 1

AB BC=AB B C

. (3) � Prej (1) dhe (3): 1 1 1 1

BC AB AC= =B C AB AC

, d.m.th. a c ba c b� �

1 1 1

.

( 2 )1

AB BC=AB FC

A B

C

F Gm

n q

p FG || AB�m : n = p : q

p qA B

C D

a a '

b 'b

p qA B

C D

a a '

b 'b

x

y

e segmentit a'.

A B

N

CD

M

A B

C

N

M

21

B1FCC1 dörtgeni paralelkenardır (neden?), FC = B1C1 bunu (2) de de�i�tirmekle elde edilir.

ve yaniin

Ters iddia geçerlidir!

Bir do�ru, bir üçgenin iki kenarını kesti�i durumda, kenarları orantılı parçalara ayırıyorsa, o halde do�ru, üçgenin üçüncü kenarıyla paraleldir.

�ekildeki ABC de, MN || BC’dir.

Üçgenin orta tabanı özelli�inden yararlanarak MN uzunlu�unu yokla!

Ödevin çözümünü izle.�ekilde yapıldı�ı gibi AD do�ru parçasını çiz, görüldü�ü gibi CAD ve ADB açılarının kenarları iki�er paralel do�ru ile kesilmi�tir.

a : b = x : y ve a’ : b’= x : y

�ekildeki p ve q do�ruları üç paralel do�ru ile kesilmi�tir. a, a’ kar�ı-lıklı do�ru parçalar, b, b’ kar�ılıklı do�ru parçalarıyla orantılı oldu�u-nu göster. Yani: a : a’ = b : b’.

BC : MN, de�erini bul, e�er AM = 15, AB = 18

AB = 15, BC = 10 ve M noktası AB’nin orta noktası ise MN belirt.

3.

4.

5.

��

E�itliklerin sa� tarafları birbirine e�it oldu�una göre a : b = a’ : b’ yani a : a’ = b : b’ elde edilir.Önceki �ekile göre, a = 3, b = 5 ve b’ = 7 ise a’ do�ru parçasının uzun-lu�unu hesapla.

�ekildeki ABCD yamu�unda MN || AB, AD = 18cm, BC = 24 cm ve DM = 3 cm. BN ve NC belirtilsin.


22

�

�

�

�

7.

8.

B �ekilde a, b, c do�ru parçaları verilmi�tir.

E�er ödevi kendi ba�ına çözemezsen, �u tavsiyeler sana yardımcı olabilir:Tales Teoremini hatırla.

B noktasından AC ye paralel do�ru çiz ve OT ile kesi�imini D ile i�aret et.x = CD istenilen do�ru parçasıdır (Neden?).

a, b, c do�ru parçalarının dördüncü geometrik orantısı olan x do�ru parçası ikinci �ekilde oldu�u gibi de elde edilebilir.

�ekli incele ve yöntemi açıkla.

Önce x = fadesinden x : c = b : a orantısının elde edildi�ini görebilirsin.

�ki do�ru parçası a = 3 cm ve b = 2 cm çiz. x = ab olacak �ekilde x do�ru parçasını çiz.

Üçgene ait Tales �eoremi’ni ifade edesin ve onu daha basit ödevlerde uygulayasın;

Üç do�ru parçasının dördüncü geometrik orantısını çiz.

ABC’de MN || AB verilmi�tir. �ekildeki verilere göre onun kenarlarının uzunluklarını bul.

Üç do�ru parçası a, b, c, verildi�inde, onların dördüncü geometrik orantısının nasıl çizildi�ini açıkla.

Önce, x = ab e�itli�inden 1 : a = b : x orantısı elde edilebildi�ini görebilirsin. Buna göre çizimi yap.

a = 4 cm, b = 6 cm ve c = 5 cm do�ru parçaları için, dördüncü geometrik orantısını çiz:

a) x = , b) x = .

SOT açısını çiz ve �ekilde oldu�u gibi a = OA, b = AB ve c = OC çiz.

a : b = c : x olmak üzere x do�ru parçasını bulunuz, yani, a, b, c, do�ru parçalarının dördüncü geometrik orantısını bul.

6.a

b

c

bca

bca

acb

Bilmen gerekenler:Kendini yokla!

Konu 1. Benzerlik

��

�ekilde, A noktası ula�ılmaz ve B nok-tası ula�ılabilir olan do�adan bir du-

rum gösterilmi�tir.a) Ula�ılmaz olan BA uzaklı�ını belirt.b) �u verilere göre BC = 100m, CE = 250m, CD = 80m. BA uzunlu�unu hesapla.c) �u verilere göre CE = 250m, CD = 80m ve DB = 96m, EA uzunlu�unu hesapla.

�ekildeki ABCD yamu�unda, tabanlar AB = 12, CD = 5 ve yan kenar AD = 7’dir.

AD ve BC kenarları S noktasın-da kesi�inceye kadar devam edil-mi�tir. SD belirtilsin.

Üç do�ru parçası a, b, c çizdikten sonra a�a�ıdakileri sa�layacak x do�ru parça-sını çiz:a) x : a = b : c; b) a : x = b : c; c) a : b = x : c.a ve b do�ru parçalarını çizdikten sonra x = a2 do�ru parçasını çiziniz.

a ve b do�ru parçalarını çizdikten sonra a�a�ıdaki do�ru parçaları da çiz.

Yardım. AB ye paralel olan DM do�rusu-nu çiz. DMCincele (ödev 4’ün çözümü-nü anımsa).

Bir a�acın gölgesi BC (�ekilde) 20 m’dir. Aynı

anda 1 m uzunlukta olan bir sopanın (PQ) göl-gesi 1,4 m’dir. A�a-cın AB yüksekli�ini belirt.

�ekildeki ABCD yamu�unda MN

|| PQII AB’dir. �ekil-deki verilere göre AD ve BC yan ke-narlarının uzunlukla-rını bul.

�ekildeki ABC de BC kenarı üç e�it kı-

sıma ayrılmı�tır ve bö-lüm noktalarından uzun-lu�u 15cm olan AB ke-narına paralel do�rular çizilmi�tir. Üçgende ka-lan her do�ru parçanın uzunlu�unu bul.

a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm do�ru par-çalarının dördüncü geometrik orantısını çiz (a : x = b : c).

Ödevler

2.

3.

6.

7.

8.

9.

4.

5.

1.

B

C

A

D

x y

k

k

k

x

y

15A B

C

6

6

3

A B

N M

P Q

C D

8

a) axb

�2

; b) bxa

�2

.

Tabanları AD = 8 ve BC = 20 olan ABCD

yamu�unun BC kenarı üç e�it kısıma ayrılmı�tır ve (�ekilde görüldü�ü gibi) bölüm noktalarından ta-banlara paralel do�rular çizilmi�tir. Yamuk içinde kalan x ve y do�ru parçalarının uzunluklarını belirt.

10.


BENZER ÜÇGENLER

BENZER �EK�LLER. BENZER ÜÇGENLER

Anımsa! A N

A B

CD

O

a) �OAD dhe �OBC; b) �ODA dhe �OCB?

: :�OA AB OD DC .

A B

CD

T

SO

66666

SOT açısının kenarları AC ve BD pa-ralel do�rularıyla kesilmi�tir.

Hergünkü ya�amda ço�u kez �ekil-leri aynı ve büyüklükleri farklı ya da aynı olan nesnelere rastlamaktayız:

otomobil ve onun modeli; iki bardak; iki san-dalye v.b.

�ekilleri aynı ve büyüklükleri farklı veya e�it olan iki geometri �ekile benzer geometri �e-killer denir.

A�a�ıdaki �ekillerden hangilerine benzer �e-killer diyebiliriz:

iki kare; iki daire; kare ve daire?

Makedonya’nın iki co�rafya haritası veril-mi�tir. Birincisinin oranı 1 : 1000000, ikincisi-nin oranı ise 1: 500000 ‘dir.

Bu haritalar benzer midir? Birinci haritada Üsküp - Kumanova uzak-lı�ı 4’cm dir. �kinci haritada Üsküp - Ku-manova uzaklı�ı ne kadardır?

Birinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklı�ı ve ikinci haritadaki Üsküp - Kumanova uzaklı�ının oranı nedir?

Birinci haritada herhangi iki nokta arasındaki uzaklık ve ikinci haritada kar�ılıklı aynı noktalar arasındaki uzaklı�ın oranı nasıldır?

�ekilden yararlanarak verilen oranla-ra e�it olan oranları yaz:

Hangi teoreme göre oranları yazdın?

AD ve BC do�rularının durumu nasıldır? Açılar büyüklüklerine göre nasıldır:

�ekilde do�ru parçaların �u orantısı geçerlidir:

: : .b)OA AB; OC ODa) b)

a) ve b) ve

1.

2.

Konu 1. Benzerlik

Yandaki �ekli incele. ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin kö�elerinin ba�langıç noktaları O olan yarıdo�rular üzerin-

de bulunuyor ve �u orantılı do�ru parçaları olu�tu-ruyorlar:

ABC ve A1B1C1 üçgenleri için, kar�ılıklı kö�eler, kar�ılıklı açılar ve kar�ılıklı kenarlar farke-dece�iz, yani:

ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin kar�ılıklı kenarlarının birbirine paralel oldu�unu gösteri-niz, yani ‘dir.Üçgenlerde oldu�unu göster.

Üçgenlerde kar�ılıklı kenarların birbiriyle orantılı oldu�unu göster, yani ‘dir.

Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.

oldu�undan, Tales teoreminin tersinden AB || A1B1 gerekir. Benzer �ekilde BC || B1C1 ve AC || A1C1 oldu�unu gösterebiliriz.AB || A1B1 ve AC || A1C1 oldu�undan, paralelkenar açılar gibi A = A1 gerekir. Benzer �ekilde

Tales teoremini hatırla: SOT açısının kenarları AB ve A1B1 paralel do�rularıyla kesiliyorsa AB ve A1B1 do�ru parçaları OA ve OA1 do�ru parçalarıyla orantılıdır, yani dir. Üçgenin di�er kar�ılıklı kenarlarının da aynı orantıda oldu�unu gösterebilirsin, yani:

ABC ve A1B1C1 üçgenleri için kar�ılıklı açıların birbiri-ne e�it ve kar�ılıklı kenarların birbiriyle orantılı oldu�unu gösterdin. Onlar sa�daki �ekilde oldu�u gibi ba�ka du-rumda da gösterebilirler.

ABC üçgenini saydam bir ka�ıt-ta çiziyorsan, (�ekilde oldu�u gibi) A1B1C1 bölgesinin içine olacak �ekilde götürebilirsin. ABC ve A1B1C1 �ekli aynı fakat büyüklükleri farklı oldu�unu görebilirsin, yani onlar benzer üçgenlerdir.

kar�ılıklı kö�eler: A ve A 1; B ve B1; C ve C1 dir.kar�ılıklı açılar: A ve A1; B ve B1; C ve C1 ‘dir.kar�ılıklı kenarlar: AB ve A1B1; BC ve B1C1; AC ve A1C1 ‘dir.

ve

Benzer üçgenler

ve

Unutma!

Bilmen gerekenler:

Bilmen gerekenler:

Ödevler

�ki üçgenin kar�ılıklı açıları e�it ve kar�ılıklı kenarları orantılı ise onlar benzer üçgenlerdir.

ABC ve A1B1C1 benzer üçgenleri ABC ~ A1B1C1 �eklinde yazıyoruz. ABC benzerdir A1B1C1 diye okunur.

Ödev 3’te ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin kenarlarının orantı katsayısı ne kadardır?

Ödev 3’te ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin kenarlarının orantı katsayısı 1:2 yani oldu�unu gördün.

�ki benzer üçgenin (ABC ~ A1B1C1) kar�ılıklı kenarlarının orantı katsayısına, benzerlik katsayısı denir.ABC ~ MNP yazıldı�ı durumda, bu üçgenlerin kar�ılıklı kö�eleri: A ve M, B ve N, C ve P’dir.

Ödev 3’te ABC ~ A1B1C1 oldu�unu ve benzerlik katsayısı oldu�unu gördün.

Neden A1B1C1 ~ ABC dir ve onların benzerlik katsayısı ne kadardır?

ki üçgenin benzerlik katsayısını belirtesin.

�ekilde ABC ~ MNP ‘dir.

Onların kar�ılıklı:a) kenarlarını; b) açılarını yaz.Benzerlik katsayısını belirt.x ve y kenarlarını belirt.

ABC ~ RST verilmi�tir. Onların kar�ılıklı:a) kenarlarını, b) açılarını yaz.

Birincisinin kenarı a = 3 cm ve ikincisin ke-narı 4 cm olmak üzere iki e�kenar üçgen çiz.

Onların benzer olduklarını göster.Benzerlik katsayısını belirt.

3. �ekilde ABC ~ PQR ‘dir ve kenar-larının uzunlukları i�aret edilmi�tir. x ve y belirtilsin.

ise ve ‘dir.

3.

Konu 1. Benzerlik

12

12

ABC çiz ve AB kenarından üç defa büyük olan A1B1 do�ru

parçasını çiz. Ondan sonra, kenarı A1B1, B1A1C1 = A ve A1B1C1 = B olacak �ekilde A1B1C1 üçgenini çiz.

ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin kar-�ılıklı iç açıları birbirine e�it mi-dir? Neden?

A1B1C1 üçgeninin kar�ılıklı kenarla-rı ABC’nin kar�ılıklı kenarlarıyla orantı-lı olup olmadı�ını ölçme ile yokla. Orantı katsayısını belirt.A1B1C1 ve ABC üçgenlerinin kar�ılıklı kenarlarının orantılı oldu�unu ve A1B1C1 ~ ABC oldu�unu açıklamaya çalı�.Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.

�ekilde,olmak üzere, ABC ve A1B1C1 verilmi�tir.

A1B1C1 ~ ABC oldu�unu göstermek için benzer üçgenlerin altı ko�ulunun geçerli olup olmadı�ını yoklamalısın, yani,

4. 5.

6.

�ekilde ABC ~ MNC ‘dir. , veoldu�una göre, CBve MN neye e�ittir?

ABC � A1B1C1 oldu�una göre, ABC ~ A1B1C1 gerekir mi? Açıkla.

M ve N noktaları ABC üçgeninde AC ve BC kenarlarının orta noktaları olsun. MNC ~ ABC oldu�unu göster.

ÜÇGENLER�N B�R�NC� BENZERL�K KURALI

Anımsa!

Kar�ılıklı açılar e�ittir: A = A1 ve B = B2 , çizim gere�ince;

çünkü

ve

ABC ve A1B1C1 üçgenlerin benzer olup olmadı�ını tespit etmek için onların kar�ılıklı açılarının e�it ve kar�ılıklı ke-narlarının orantılı olup olmadı�ını yok-lamak gerekir. Yani, 1 ve

MON açısının kenarları a ve b paralel do�rularıylaolmak üzere kesilmi�tir.OAD ve OBC üçgenlerini incele, ondan sonra:

BC ve AD kenarlarının oranını belirt.Üçgenlerin kar�ılıklı açılarının birbiriyle nasıl oldu�unu belirt.OBC ~ OAD?

Benzer üçgenler

Üçgenlerin kar�ılıklı açılarının birbirine e�it oldu�unu gösterdin.A kö�esi A1 ile, B kö�esi B2 ve C kö�esi C2 ile çakı�ık olmak üzere, ABC kaydırılarak A1B1C1 üzerine götürülmü� olsun. Bu durumda açı A, açı A1 ile; açı B, açı A1B2C2 ile; ve açı C, açı B2C2A1 ile çakı�acaktır. A1B2C2 oldu�undan, B2C2||B1C1 gerekir. �ekilden ve orantılı do�ru parçalara ait Tales Teoremi gere�ince yani, Buna göre, A1B1C1 ~ ABC sonucuna varılır.

A1B1C1 ~ ABC oldu�unu gördün. Buna göre iki üçgenin benzer olup olmadı�ını tespit etmek için bu üçgenlerin kar�ılıklı iki�er açısının e�it olup olmadı�ını yoklamak yeterli olacaktır.

Unutma!

Bir üçgenin iki açısı, di�er bir üçgenin iki açısıyla e�it ise, onlar benzer üçgenlerdir.

Bu iddia üçgenlerin birinci benzerlik kuralı gibi adlandırılmı�tır.

ABC üçgeninde AB kenarına paralel olmak üzere MN do�ru parçası çizilmi�tir.

�u iddiayı fark et.

Bir üçgende bir kenara paralel olan ve di�er iki kenarı kesen bir do�ru çizildi�inde, veri-lene benzer olan üçgen elde edilir.

Bu iddiayı, üçgen için Tales Teoremi ile kar�ıla�tır.

Kaç üçgen fark ediyorsun?

Üçgenlerden hangilerinin birbirine benzer oldu�unu yaz.

�ekildeki ABC üçgeninde MN||AB ve NP||AC do�ru parçaları çizilmi�tir.

��ve��oldu�unu göster.ABC ~ MNC oldu�unu göster.

�ekilde A = D = 30˚ verilmi� ve C noktası AE ve BD do�ru parçalarının kesi�im noktasıdır. ABC ~ DEC ol-du�unu göster.

3.

Konu 1. Benzerlik

Her üçgen kendi kendisine benzerdir.�ki e� üçgen birbirine benzerdir.

Onların benzerlik katsayısı ne kadardır?

Üçgenlerin birinci benzerlik kuralına göre:

�ekildeki ABC üçgeninde CD yüksekli�i ve MN||AB do�ru parçası çizilmi�tir.

Orada kaç dik üçgen fark edebilirsin ve onlardan han-gileri benzerdir?

Bir üçgenin ucu di�er üçgenin ucuyla aynı ise iki ikizkenar üçgenler benzerdir.

ABC ~ A1B1C1 oldu�unu göster.

�ki ikizkenar üçgenlerin benzerli�i için ba�ka bir ispatlama ifade et.

A = A1 olarak AB ve A1B1 esaslarla A1B1C1 iki ikizkenar üçgen çiz.

�ki dik üçgenin benzer olması için, birinin bir dar açısı, di�erinin bir dar açısıyla e�it olması gerekmektedir .

ABC ~ PQR oldu�unu göster.

�unları fark et:

5. �ekilde A = P = ��olmak üzere, ABC ve PQR dik üçgenleri verilmi�tir.

Üçgenlerin kar�ılıklı iki�er açılarının e�it oldu�unu göster: A = P ve B = Q = 90˚.

6.

7.

8.

�ekilde C = R = ��olmak üzere, iki ikizkenar üçgen ABC ve PQR verilmi�tir.

A = P oldu�unu göster. ABC ~ PQR oldu�unu göster.

Genel olarak

Benzer üçgenler

Bilmen gerekenler:

Ödevler

Kendini yokla!Üçgenlerin birinci benzerlik kuralını ifade et;

�ki dik, ya da iki ikizkenar üçgenin ben-zer olmaları için yeterli �artlar hangile-ridir;

�ki üçgeni benzer olup olmadı�ını tes-pit et;

Benzer üçgenlerde bilinmeyen kenarı belirt.

�ekilde ABC üçgeni ve MN||AB veril-mi�tir.

Kenarları 4, 5, 6 olan A1B1C1 benzer öyle bir A1B1C1 üçgeni çiz ki:

a) En küçük kenarı 5 olsun;

b) Orantı katsayısı olsun.

Bir a�acın gölgesi 10 m oldu�u anda; 1,7 m yükseklikte olan bir ki�inin göl-gesi 1 m’dir. A�acın yüksekli�ini belirt.

�u oranları belirt:

AB do�ru parçası-nın uç noktalarından AB’ye dik olmak üze-re AC = 3 cm ve BD = 5 cm do�ru parça-ları çizilmi�tir. s do�-rusu AB do�ru parça-sını hangi oranda bö-ler?

a) E�er CM : MA = 3 : 2 ise, o zaman

CM : CA =

b) E�er CM : MA = 7 : 3 ise, o zamanCN : NB =

c) E�er CM : CA = 3 : 4 ise, o zaman

AB : MN =

2.

3.

4.

5.

Kenarları AB = 20, BC = 12 ve CA = 16 olan ABC verilmi�tir. BC kenarı üze-rinde olan M noktasından AB’ye para-lel olan bir do�ru çiziliyor. Bu do�ru AC kenarını N noktasında keser. CM = 3 oldu�una göre, MN belirtilsin.

Tabanları AB ve CD olan ABCD yamu-�unda, AC be BD kö�egenleri, S nok-tasında kesi�iyorlar.a) ABS ~ CDS oldu�unu ispatla.b) AB = 12, AS = 6 ve SC = 3 oldu�una göre, CD ’yı belirt.

34

Konu 1. Benzerlik

�ki üçgen ABC ve A1B1C1 benzer olma-sı için altı ko�uldan hangilerinin sa�-lanması gerekir?Üçgenlerin birinci benzerlik kuralı gere�ince ABC ~ A1B1C1 olması için, hangi ko�ullar yeterlidir? ölç ve kar�ıla�tır. Ne farkedi-

yorsun?

ÜÇGENLER�N �K�NC� VE ÜÇÜNCÜ BENZERL�K KURALI

Anımsa! Kenarları AB = 3cm ve AC = 2cm ve A= 60˚ olan ABC çiz. On-dan sonra A1 = 60˚ ve kenar-ları A1B1 = 3AB, A1C1 = 3AC, olan A1B1C1 çiz.

ve ve ve

�ekilde ödevin ko�ullarına göre üçgenler çizil-mi�tir. ABC üçgenini A A1 ile çakı�acak durumda kaydıralım. Bu durumda ABC üçgeni A1B2C2 ile çakı�acaktır.

�u oranları belirt: ve

Göster kiNeden ABC ~ A1B1C1

�ki üçgenin hangi kar�ılık-lı elemanları verilmi�tir ve bunlar, iki üçgenin benzer olduklarını tespit etmek için yeterli midir?

Buna göre, üçgenlerin benzerli�ine ait kural ifade edilebilir. Bu kural benzer üçgenlerin ikinci benzerlik kuralı olarak adlandırılmı�tır.

�ki üçgenin kar�ılıklı iki�er kenarı orantılı ve o kenarların olu�turdukları kar�ılıklı açıları e�it ise, üçgenler benzerdir.

ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzer olup olmadıklarını yokla, e�er:

�ekilde verilen ABC‘de M noktası AB kenarının orta nok-tasıdır, N noktası ise AC’nin ortasıdır.

ABC ~ AMN oldu�unu ispatla.ABC ‘nin MN orta tabanının, kar�ılıklı BC kenarının yarısına e�it oldu�unu göster.

Orantılı olan iki kar�ılıklı kenar ve on-ların olu�turdukları birer e�it açı ve-rilmi�tir. Bu ko�ullar üçgenlerin ben-zer olduklarını tespit etmek için ye-terli ko�ullardır.

ve

2.

3.

Benzer üçgenler

4. Kenarları AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm, olan ABC üçgenini çizdikten sonra, ke-narları ABC üçgeninin kenarlarından iki defa daha küçük olan A1B1C1 üçgenini çiz.

��A ve A1, B ve B1, C ve C1 açılarını ölç ve kar�ıla�tır. Ne farkediyorsun?ABC ~ A1B1C1 midir?

�ki üçgenin kar�ılıklı kenarları orantılıdır. Buna göre bu iki üç-genin benzer oldu�unu tespit etmek için ko�ul yeterli midir?

Farketti�in gibi, üçgenlerin benzerli�ine ait bir kural daha ifade edilebilir. Bu kural benzer üçgenlerde üçüncü benzerlik kuralı gibi adlandırılmı�tır.

Bir üçgenin üç kenarı, di�er bir üçgenin üç kenarı ile orantılı ise, üçgenler birbirine ben-zerdir.

Kenarları verilmi� olan �u üçgenler benzer midir?a) 3, 4, 5 ve 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 ve 4, 3, 5; c) 2, 2, 3 ve 6, 6, 8; ç) 2;3;4 ve 3;6;4,5?

Benzer üçgenlerin ikinci ve üçüncü ben-zerlik kuralını ifade edebilmelisin;

�kinci ve üçüncü benzerlik kuralını uygu-layarak iki üçgenin benzer olup olmadı-�ını tespit etmelisin;

Benzer üçgenlerde bilinmeyen kenarı belirtmelisin.

Bir üçgenin kenarları 6, 5 ve 4’tür. Bu üçgene benzer olan di�er bir üçgenin en büyük kenarı 9 ise ikinci üçgenin çevresini hesapla.

Bir üçgenin iki açısı 60° ve 70° ,di�er bir üçgenin iki açısı 50° ve 80° oldu�u du-rumda iki üçgen benzer üçgenler midir?

Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı 70° ‘dir. Di�er bir ikizkenar üçgenin taban açısı 55°’tir. Bu üçgenlerin benzer oldukları-nı ispatla.

�ki üçgen ABC ve PQR çiz, ondan sonra ABC ~ PQR olması için hangi ko�ulların gerekti�ini yaz.a) ikinci kurala göre; b) üçüncü kurala göre.

ABC ve EDC üçgenlerinin benzer oldukla-rını göster. Hangi kurala göre?

�ki üçgenin benzer olması için, on-ların kar�ılıklı kenarlarının orantılı olması yeterlidir. Çünkü o durumda kar�ılıklı açıları da birbirine e�it olur.

Bilmen gerekenler:

Ödevler

Bilmen gerekenler:ABC üçgeninin kenarları: a = 6 cm, b = 4 cm ve c = 3 cm ‘dir. ABC’ye benzer olan A1B1C1’in en küçük kenarı 6 cm oldu�una göre çevresini hesapla.

ABC ve PQR benzer olduklarını kontrol et, e�er: A = 55°, AB = 12 cm, AC = 8 cm, P = 55°, PR = 12 cm, PQ = 18 cm.

3.

4.

5.

Konu 1. Benzerlik

Kenarları verilmi� olan ABC ve A1B1C1 benzer olduklarını yokla:a) 15,17,24 ve 4,5 ; 5,1; 7,2. b) 22; 8,2; 20 ve 55; 20,5; 50.

Ölçülmesi gereken A ve B noktaları ara-sında ula�ılmaz bir bölüm oldu�u durum-da, A ve B arasındaki uzaklı�ı nasıl belir-teceksin?

A noktası ula�ılmaz oldu�u durum-da, A noktasından B noktasına kadar uzaklı�ı nasıl belirteceksin?

�ekile bak

�ekile bak

Do�ada BC = m�CB1 olmak üzere B ile aynı do�ruda olacak C ve B1 noktalarını seçiyoruz.

ABC ~ A1B1C1 . Neden?

A’dan B’ye kadar uzaklı�ı belirt, e�er BC = 40m, CB1 = 5m, B1A1 = 6,5m.

Ölçme aletiyle B1 B e�it olmasını sa�larız. B1’in kenarı üzerinde A, C ve A1 aynı do�-ru üzerinde olmak üzere A1 noktasını seçi-yoruz.

Bir ABC üçgenin kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 12 cm’dir. Buna ben-zer olan bir di�er A1B1C1 üçgenin en

küçük kenarı a1 = 3 cm’dir.Üçgenlerin benzerlik katsayısını belirt.

A1B1C1’ in b1 ve c1 kenarlarını belirt.ABC ve A1B1C1 ‘ in çevrelerini belirt.

Üçgenlerin çevrelerinin oranını, iki�er kar-�ılıklı kenarların oranıyla kar�ıla�tır. Sonuç nedir?

6.

7.

8.

ABC ~ A1B1C. Neden?

BAC = 50°, AB = 4 cm, AC = 6 cm; NMR = 50°, MN = 30 cm, MR = 45 cm oldu�u durumda ABC ~ MNR olup olmadı�ını açıkla.

9.

C noktasını seçtikten sonra AC ve BC’nin uzantılarında AC = n CA1 ve BC = n � CB1 olmak üzere A1 ve B1 noktaları alın-mı�tır.

A ‘dan B ‘ye kadar uzaklı�ı belirt, e�er AC = 10 m, CA1 = 2 m ve A1B1 = 3,5 m.

�K� BENZER ÜÇGEN ÇEVRELER�N�N VE ALANLARININ ORANI

Anımsa!Kenarları a = 15 cm, b = 9 cm ve c = 8 cm olan üçgenin çevresini hesapla.Kenarı a = 10 cm ve ona kar�ılık gelen yüksekli�i h = 6 cm olan üçgenin alanı-nı hesapla.Üç veya fazla oran birbirine e�it oldu�u durumda, onlar bile�ik orantı gibi yazıla-bilir, örne�in: veya a : b : c =

a1 : b1 : c1.

Orantı için a�a�ıdaki durum geçerlidir:

Benzer üçgenler


Benzer üçgenlerin iki kar�ılıklı kenarı a ve a1 biliniyor. Buna göre

ABC üçgeninin çevresi L = 6 + 8 + 12 yani L = 26 cm. A1B1C1 ‘in çevresi L1 = 3 + 4 + 6 yani L1 = 13 cm oldu�unu farkedersin.

E�er ABC ~ A1B1C1 o zaman

Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı, kar�ılıklı kenarların oranına

e�it oldu�unu görüyorsun.

�ki benzer üçgenin çevrelerinin oranı, onların iki�er kar�ılıklı kenarlarının oranına e�ittir.

�ekilde ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzerdir. On-ların kar�ılıklı yükseklikleri CD ve C1D1 çizilmi�tir.

ADC ~ A1D1C1 oldu�unu göster.Kar�ılıklı yüksekliklerin CD ve C1D1 üçgenin kar�ılıklı kenarlarıyla orantılı oldu�unu göster.

ABC ‘nin kenarları a = 6, b = 15 ve c = 18’dir. Verilen üçgeneA1B1C1 orantı katsayısı

k = olmak üzere benzerdir. A1B1C1 ‘in L1 çevresini hesapla.

�spat. ABC ~ A1B1C1 benzer olduklarından

gerekir. Bile�ik orantıların özelli�ine

göre yani

bulunur.

yani

Genel olarak geçerlidir

Unutma!

13

3.

Konu 1. Benzerlik

PP1

PP1

Benzer üçgenler

Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.ADC ve A1D1C1 üçgenlerinin birer dar açılarının e�it oldu�unu fark ediyorsun, yani ( çünkü ABC ~ A1B1C1) ‘dir.ADC ~ A1D1C1 sonucuna varabilirsin. Oradan da

ABC ~ A1B1C1’in benzerli�inden:

Benzer üçgenlerde, kar�ılıklı yüksekliklerin oranı, kar�ılıklı kenarların oranına e�ittir.

Genel olarak

�ki benzer üçgende, kar�ılıklı yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar, çevrel ve içten te�et çemberlerin yarıçaplarının oranı, kar�ılıklı kenarların oranına e�ittir.

�ki benzer üçgenin çevreleri 16 cm ve 24 cm’dir. Birinci üçgenin bir yüksekli�i 9 cm’dir. �kinci üçgenin kar�ılıklı yüksekli�ini belirt.

C �ekilde ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzer-dir. Onların alanları P ve P1 ‘dir.

Üçgenlerin P ve P1 alanlarının formüllerini, verilen kenarlar ve kar�ılıklı yükseklikler ile yaz.h : h1 oranını yaz.Üçgenlerin alanlarının oranı P : P1 neye e�it oldu�unu ispatlamaya çalı�.

Elde etti�in çözümü, verilenle kar�ıla�tır.

yani

ABC ~ A1B1C1 oldu�undan gerekir. Buna göre

Benzer �ekilde oldu�unu gösterebilirsin.

Unutma!

�ki benzer üçgenin alanlarının oranı, onların kar�ılıklı kenarlarının karelerinin oranına e�ittir.

ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin alanları 49 cm2 ve 36 cm2’dir. ABC’nin bir kenarı a = 7 cm oldu�una göre, di�er üçgenin a1 kenarını ve h ve h1 kar�ılıklı yüksekliklerini belirt.

PP1

PP1

PP1

P1 P : P1 P


A1B1C1’de P1 ve a1 bilindi�ine göre, h1 yüksekli�ini belirt.

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!�ki benzer üçgende çevrelerinin oranı

nasıl ve alanlarının oranı nasıl oldu�unu ifade etmelsinin;�ki benzer üçgenin kar�ılıklı yükseklikle-rin, kenarortayların, açıortayların oranı ile iddiaları ifade etmelsinin;

�ki benzer üçgenin çevrelerinin ve alan-larının oranlarını ödevlerin çözümünde kullanasın.

Ödevler

ABC kenarları a = 8, b = 6 ve c = 4, ona benzer olan A1B1C1 ‘in çevresi 45’tir. A1B1C1’in kenarlarını belirt.

Üçgen biçiminde bir tarla 1 : 200 ora-nında çizilmi�tir. Çizimdeki üçgenin ala-nı ve tarlanın gerçek alanının oranı ne-dir?

Bir üçgenin çevresi ona benzer bir üç-genin çevresinden üç defa büyüktür. Birinci üçgenin en büyük kenarı 24 cm ise, di�er üçgenin en büyük kenarı ne kadardır?

Bir üçgenin kenarları 8 cm, 15 cm, 9 cm’dir. Ona benzer di�er bir üçgenin çevresi L1 = 96 cm’dir. �kinci üçgenin kenarlarını belirtiniz.

�ki benzer üçgenin çevrelerinin oranı 5 : 2 , en büyük kenarlarının toplamı ise 42 cm’dir. En büyük kenarlarının uzunluklarını hesapla.Bir ABC üçgeninin a,b,c kenarlarının oranı 3 : 4 : 6 ‘dir. Ona benzer A1B1C1 üçgeninin çevresi L1 = 52 cm oldu�una göre a1, b1, c1 kenarlarını belirt.

ABC’de AC kenarından 2 cm uzaklık-ta MN||AC do�rusu çizilmi�tir.AB : MB = 13 : 9 oldu�una göre ABC’nin AC kenarına kar�ılık gelen yüksekli�i belirt.

ABC ve A1B1C1 iki benzer üçgenlerin alanları 81 ve 25’dir. ABC’nin b ke-narı 9 oldu�una göre A1B1C1’in b1 ke-narını ve ona kar�ılık gelen h1 yüksek-li�ini belirt.

Bir ABC üçgeni çiz. Ondan sonra bu üçgenin alanının dörtte birine e�it alanlı di�er bir A1B1C1 çiz.

ABC’nin a kenarı 10, bu kenara kar-�ılık gelen yüksekli�i ise 5 ‘tir. Bu üç-gene benzer olan A1B1C1’in alanı 81 oldu�una göre, a1 kenarını ve h1 yük-sekli�ini belirt.�ki benzer üçgenin alanlarının oranı 9 : 25’tir. Bu üçgenlerin benzerlik kat-sayısını belirt.

Üçgen biçiminde bir tarla 1 : 500 ora-nında çizilmi�tir. Çizimdeki üçgenin alanı 2,76 dm2 oldu�una göre, tarla-nın alanını hektar ile ifade et.

Konu 1. Benzerl�k

P : P1

P

37

P�TAGOR TEOREM�

D�K ÜÇGENDE BENZERL�K

Anımsa!�ekilde gösterilen ABC dik üçgenin-de AB hipotenüzüne kar�ılık gelen CD yüksekli�i çizilmi�tir.� ve �2 açılarının kenarları nasıl du-rumdadır?� � a r e t l e n e n açılardan han-gi çiftlerin ke-narları birbiri-ne diktir?��aretlenen açılardan hangileri birbiri-ne e�ittir?a = 3 cm, c = 12 cm olan do�ru parçaları verilmi�tir.Onların geometrik ortasını hesapla.

�ekilde ABC dik üçgeni, AB hipo-tenüzüne çizilen CD yüksekli�iyle

iki dik üçgene ayrılmı�tır: ADC ve CDB.

Verilen üçgenlerin (hangi kurala göre) benzer olduklarını açıkla:

�ekilde ABC’de AD do�ru parçasını in-cele. Ona AC katetinin AB hipotenüzün-deki izdü�ümü denir. Onun uzunlu�unu q ile i�aret edece�iz.

Benzer �ekilde, DB do�ru parçasına BC katetinin hipote-nüzdeki izdü�ümü denir. Onun uzunlu�u p ile i�aret edil-mi�tir.

Yandaki �ekilde ABC ve CBD dik üçgenlerini ve onların i�aretlenen kenarlarını incele.

ABC’nin c ve a ke-narlarına CBD’nin hangi kenarları kar-�ılık gelir?

c kenarı ABC’nin hipotenüzüdür, a kenarı ise CBD’nin hipotenüzüdür. Buna göre: c kena-rı a kenarına kar�ılık gelir; ABC’nin a kenarı CBD’nin p kenarına kar�ılık gelir.

, yani c : a = a : p’dir. Nedenini açıkla.c : a = a : p orantısından a2 = cp gerekir.

a kenarı c hipotenüzünün ve p izdü�ümünün nesidir?

Ödev 2’deki �ekilde ABC ve ACD benzer dik üçgenlere dikkat et.Oradaki kar�ılıklı kenar çiftlerini yaz.Neden, c : b = b : q , yani b2 = cq e�itlikleri do�rudur, açıkla.b katetinin c hipotenüzüyle olan ba�ıntıyı ve b katetinin c hipotenüzüne olan izdü�ümü q arasındaki ba�lantıyı sözlerle ifade et.

Pitagora teoremi

Unutma!

Teorem 10. Dik üçgende her katet, hipotenüz ve o katetin hipotenüzündeki izdü�ümünün geometrik ortasıdır.

Katetleri a = 12 ve b = 5 ve hipotenüzü c = 13, olan ABC dik üçgeninde a ve b katetlerinin c hipotenüzündeki izdü�ümünü belirt.

ABC dik üçgeninde, hipotenüze kar�ılık gelen CD yüksekli�i çizilmi�tir.

Neden CAD açısı BCD ile e�ittir?�ekilde, ACD ve CBD’yi incele ve onların benzer üçgenler olduklarını göster.CBD’de hangi kenarlar, ACD üçgenindeki q ve h kenarlarının kar�ılı�ıdır?Neden: q : h = h : p, yani h2 = pq, açıkla.h yüksekli�inin p ve q izdü�ümleriyle ve a ve b’nin c ile ba�ıntısını sözlerle ifade et.

Unutma!

Teorem 20. Bir üçgende c hipotenüzüne indirilen h yüksekli�i, katetlerin hipotenüz üzerindeki p ve q izdü�ümlerinin geometrik ortasıdır.

q = 4 ve h = 6 oldu�una göre p’yi bul.

10 ve 20 iddiaları, yani, a2=cp , b2=cq , h2=pq,

ba�ıntılarını eski Yunan matematikçisi Euklit (M.Ö. 365-310) ispatlamı�tır. Bu nedenle onlara Euklid Teoremi denir.

Konu 1. Benzerl�k

Anımsa!�ekilde yarıçapı AB olan bir yarıçem-ber verilmi�tir. Yarıçember üzerinde C noktası seçilmi�tir.

ACB açısı hangi cinstendir?

Bir çapı gören çevre açısı için Tales teoremi nasıl ifade edi-lir?

�ekilde oldu�u gibi, m ve n do�ru parçaları çiz.

Ondan sonra, o do�ru parçaların geometrik ortasını çiz (yani, x2 = m • n olacak olan x do�ru parçasının çizimi).

A�a�ıdaki adımları izle.

AT yarıdo�rusunu çiz ve üzerinde �ekil-de gösterildi�i gibi ve do�-ru parçalarını uygula.

AB do�ru parçasının orta noktasını çizimle belirt ve AB çaplı yarıçember çiz.

D noktasından AB çapına dikme çiz ve bu dikmenin ya-rıçemberi kesti�i noktayı C ile i�aret et.

Teorem 20 gere�ince, elde edilen do�ru parçası, neden m ve n do�ru parçalarının geometrik ortası ol-du�unu açıkla.

m = 2 cm ve n = 3 cm do�ru parçalarının x geometrik ortasını çiz.

Bilmen gerekenler:

Euklit teoremini ifade et ve ödevlerin çözümünde uygula;

�ki do�ru parçasının geometrik ortasını çizesin.

Kendini yokla!

ABC dik üçgeninde p ve q do�ru parçaları, a ve b katetlerinin c hipotenüzü üzerinde kar�ılıklı izdü�ümlerdir. a) c = 12 ve p = 3 ise, a = ? c) q = 2 ve p = 8 ise, h = ? b) b = 13 ise, cq = ? �ki do�ru parçasının geometrik ortası nasıl çizilir? (Yöntemi açıkla).

Pitagora teoremi

Ödevler

�ekil gere�ince, verilen orantılarda eksik olan terimleri doldur.

ABC dik üçgeninde p ve q do�ru parça-ları a ve b’nin c hipotenüzü üzerinde kar-�ılıklı izdü�ümlerdir. Bilinmeyen büyük-lükleri belirt:a) p = 12, q = 3, h = ?b) a = 11, cp = ?c) c = 18, p = 8, b = ?, a = ?

ABC dik üçgeninde hipotenüze indiri-len yükseklik h = 2,4 ve b katetinin izdü-�ümü q = 1,8 verilmi�tir. �unları bul:a) p do�ru parçasını; b) hipotenüz c;c) katet b; ç) katet a;

Verilen do�ru parçaların geometrik or-tasını bul.a) m = 2.5 cm ve n = 3,5 cm;b) n = 1.5 cm ve n = 3 cm.

4.

5.

6.

7.

ABC dik üçgeninde kateti a = 8 ve onun izdü�ümü p = 6,4 verilmi�tir. c hipotenü-zünü ve b katetini hesapla.

ABCD dikdörtgeninde dik açısı M nok-tasında olmak üzere ABM dik üçgeni çizilmi�tir (�ekilde oldu�u gibi).

ve oldu�una göre, dikdörtgenin boyalı kısmının alanını hesapla.

Öyle bir kare çiz ki alanı, boyutları a = 4 cm ve b = 3 cm olan dikdörtgenin alanı-na e�it olsun.

Konu 1. Benzerl�k

2.

P�TAGOR TEOREM�

Anımsa!

Pitagor teoremini geçen okuma yılın-dan biliyorsun. Bu teorem �öyle ifade edilir:Dik üçgende c hipotenüzün karesi a ve b katetlerin karelerinin toplamına e�ittir.

Kenarı a = 5 cm olan karenin P alanı ne kadardır?

�ekilde a ve b katetleri ve c hipo-tenüzü ile bir ABC dik üçgen veril-

mi�tir. Her kenarın üzerinde birer kare çizil-mi�tir ve onların alanları Pa, Pb ve Pc ile i�a-ret edilmi�tir.

Pa, Pb ve Pc arasındaki ba�lantıyı yaz.

Pa= a2 , Pb= b2 ve Pc = c2 , görebiliriz ki c2 = a2 + b2’den Pc = Pa+Pb sonuçlandırılır.Buna göre Pitagor teoremi böyle de ifade edilebilir:

Herhangi dik üçgende hip otenüzün üzerindeki karenin alanı, katetlerin üzerindeki kare-lerin alanlarının toplamına e�ittir. Yani, Pc = Pa + Pb .

Verilen �u tavsiyelere göre Pitagor teoremini ispatlamaya çalı�.

C = 90° olmak üzere ABC dik üçgenini çiz ve hipotenüzüne CD yüksekli�ini indir.Her katetin hipotenüz ile kar�ılıklı izdü�ümlerle ba�lantıyı yaz, yani Euklid teoremine göre ba�lantıyı göster.

E�itlikleri taraf tarafa topla,yani sol ve sa� tarafl arın toplamını belirt.

Dü�ündüklerini a�a�ıda verilen ispatla kar�ıla�tır.

�ddia �spat Açıklama

Üçgenin yüksekli�i, kar�ılık oldu�u kenara diktir.Bir katet, hipotenüzün ve hipotenüz üzerinde izdü�ümünün geometrik ortasıdır.E�itliklerin taraf tarafa toplanma özelli�i.Çarpma i�leminin toplamaya göre da�ılma özelli�i.Yerine koyma metodu (c = p + q).

Pitagora teoremi

yani

c hipotenüzünü a ve b katetleriyle nasıl ifade edebilirsin?

c2 = a2 + b2 e�itli�inden

elde edilir.

E�er katetleri a = 15 ve b = 20 ise dik üçgenin c hipotenüzünü belirt.

Bir dik üçgenin hipotenüzü c = 29 ve bir kateti a = 20 ise, di�er katetini hesapla.

Kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 10 cm olan bir ABC üçgeni verilmi�tir.a2 + b2 = c2 e�itli�inin geçerli oldu�unu göster.ABC üçgeni çiz ve ölçerek bu üçgenin dik oldu�una ıspatla.

Genel ve geçerli

Bu iddia ispatı, Pitagor teoremine terstir.

Kenarları a, b, c olan bir üçgende a2 + b2 = c2 e�itli�i geçerli ise, o üçgenin hipotenüzü c olan bir dik üçgendir.

ABC üçgenin kenarları verilmi�tir:a) a = 7, b = 24, c = 25; b) a = 8, b = 10, c = 15.ABC üçgenin dik olup olmadı�ını yokla.

7. Kenarları a = 6 dm ve b = 11 cm olan dikdörtgenin d kö�egenini hesapla.

Elde etti�in çözümü verilen çözümle kar�ıla�tır

ABCD dikdörtgenini çiz ve �ekilde oldu�u gibi kenarları-nı ve açılarını i�aret et.ABC üçgeninin dik üçgen oldu�unu görebilirsin. Onun katetle-ri dikdörtgenin kenarları a ve b, hipotenüzü dikdörtgenin kö�e-geni d’dir.ABC üçgeninde Pitagor teoremini uygula:

D

A

C

A BD

B

C

a

d

h

b

Tabanı a = 18 cm ve yan kenarı b = 41 cm olan ABC ikizkenar üçgenin h yüksekli�ini hesapla.

A�a�ıdaki tavsiyeyi takip et ve elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır:�kizkenar ABC üçgeni çiz ve �ekilde oldu�u gibi tabanına kar�ılık gelen CD yüksekli�ini çiz.

ADC dik üçgen fark edebilirsin. Onun hipotenüzü b ve kateti ve h dir.

Bir kateti, hipotenüz ve di�er katetle nasıl ifade edebilirsin?

Konu 1. Benzerl�k

ADC üçgeninde Pitagor Teoremini uygula: oradan :

Tabanı 10 ve yüksekli�i 12 olan ikizkenar üçgenin çevresini hesapla.

Bilmen gerekenler:

Pitagora teoreminin ifade edesin ve ispatlanmasını bilesin.Bir dik üçgende iki kenar verildi�inde üçüncü kenarın nasıl hesaplandı�ını bilesin.

Kendini yokla!

Bir dik üçgenin katetleri a = 8 ve b = 15 onun c hipotenüzünü hesapla.�kizkenar üçgenin yüksekli�ini hesapla, e�er tabanı 20 cm ve yan kenarı 26 cm ise.

Ödevler

Katetleri a ve b ve hipotenüzü c olan dik üçgenin bilinmeyen kenarını hesapla, e�er:a) a = 12, b = 35, c = ? b) b = 56, c = 65, a = ? c) a = 25, b = 31, c = ?

Kenarları verilmi� ABC üçgeninin dik olup olmadı�ını yokla:a) 14, 48, 50; b) 9, 12, 17;

c) 5,6; 3,3; 6,5; ç) 100, 60, 80?

Kenarları 0,28 dm ve 0,96 dm olan dikdörtgenin kö�egenini hesapla.

Kö�egeni 8,5 dm ve bir kenarı 1,3 dm olan dikdörtgenin çevresini hesapla.

Tabanı 14 ve yüksekli�i 24 olan ikizke-nar üçgenin çevresini hesapla

Kenarı a = 12 olan e�kenar üçgenin h yüksekli�ini yakla�ık olarak hesapla.

Bir dik üçgenin katei a = 35 cm’dir. Hipotenüzü ve di�er katetinin toplamı 49’dur. c hipotenüzünü ve di�er kateti b'yi hesapla.

Bir dik üçgenin hipotenüzü 35 cm’dir. Katetlerinin oranı 3 : 4 'tür. Katetlerini bul.

Bir ABC dik üçgeninin a ve b katetleri üzerinde ve hipotenüzü c üzerinde olan e�kenar üçgenlerin alanları Pa , Pb ve Pc gibi i�aretlenmi�tir.

Göster ki Pc = Pa + Pb.

E�er düzgün üçgen-ler yerinde düzgün altıgenler elde edilirse, bu ba�ıntının geçerli oldu�unu yokla.

Pitagora teoremi

Pitagor üçleri. Bu mecburi de�ildir!

Pitagor Teoremi’ni sa�layan a, b, c do-�al sayılarından olu�an üçlüler sorunu ilginçtir, yani a2 + b2 = c2 e�itli�i sa�lar.Örne�in böyle üçlüler: 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13 v.b.O sayılara Pitagor üçleri denir.A�a�ıdaki ifadelerden Pitagor üçleri elde edildi�ini yokla.

2mn, m2 – n2, m2 + n2,. . Her n �N için birer üçlü elde edilir.

2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1; her n N için birer üçlü elde edilir.

her n N tek sayı ise n � 3

her n N çift sayı ise � 4.

P�TAGOR TEOREM�N�N UYGULANMASIYLA �LG�L� ÖDEVLER

Anımsa!Yandaki �ekilde ABCD ikizkenar yamu�un tabanları

ve ile

yüksekli�i DE‘dir. do�ru par-

çasını hesapla.

�ekilde gösterilen EFGH e�kenar dört-geninin kö�egenlerinin kesi�im noktası S ile i�aret edilmi�tir. hangi türdendir? Ce-vabını açıkla.�ekilde gösterilen O merkezli çemberde MN kiri�i çizilmi�tir. MNO üç-geninde ise MN kenarına OS yüksekli�i indirilmi�-tir. ve nasıl üçgenlerdir? Neden?

Tabanları 16 cm ve 30 cm ve yan kenarı 25 cm olan ikizkenar yamu-�un h yüksekli�ini hesapla.

Ödevi kendin çöze-mezsen, a�a�ıdaki tavsiyeleri izle.

ABCD ikizkenar yamu�unu ve onun DE ve CF kö�egenlerini çiz.

hipotenüzün c = 25 cm ve kateleri x ve h olan dik üçgen oldu�unu farkedebilirsin.

�ekilden a = b + 2x oldu�unu da görebi-lirsin; oradan da

için Pitagor teoremini uygula:

Konu 1. Benzerl�k

c, a ve b de�erlerini yerlerine de�i�tirmekle:

Bir ikizkenar yamu�un tabanları 30 ve 20, yan kenarı ise 13. Yamu�un alanını hesapla.

Kö�egenleri ve olan ABCD e�kenar dörtgenin çevresini hesapla.

Kenarı a olan e�kenar dörtgenin L çevresi neye e�ittir?Kö�egenleri bilinen e�kenar dörtgenin a kenarını nasıl hesaplayacaksın?

�ekilde gösterilen ABCD e�kenar dörtgeninin kö�egenlerinin kesi�im noktası S ile i�aret edilmi�tir.

üçgenini incele. Gördü�ün gibi o üçgen diktir (Neden?), hipotenüzü a ve katetleri ve Pitagora Teoremi’ne göre :

Yarıçapı r = 2 dm olan bir çemberde t = 2,4 dm olmak üzere MN kiri�i çizilmi�tir. Bu ki-ri�in merkezden uzaklı�ı d ne kadardır?

Yardım gerekirse, yandaki �ekili incele.

Hipotenüzü r ve katetleri d ve olan MSO dik üçgenine dikkat et, ondan sonra Pitagor teoremi gere�ince �unları elde edersin:

�ekilde oldu�u gibi a ve b (a > b) do�ru parçaları verilmi�tir.

x do�ru parçasını çiz, öyle ki:

Elde etti�in çözümü, yandaki �ekilde verilen çözümle kar�ıla�tır: a) �ıkkında katetleri a ve b olan dik üçgen çi-zilmi�tir;b) �ıkkında hipotenüz a ve katet b olan dik üçgen çizilmi�tir.

a)

a

b

b)

Pitagora teoremi

L

122 16; 16256 256144

L

n = 2 , 3, 4, 5, 6, 7... olmak üzere do�ru parçasını çiz.

Çizim yöntemi yandaki �ekilde gösterilmi�tir.

Uzunlu�u olan do�ru parçasını çizmek için katetleri = 1 (cm, dm, ..) olan ikizkenar dik üçgen çizi-

lir. OB hipotenüzünün uzunlu�u ’dir (Neden?).

do�ru parçası dik üçgeninin bir kateti, olan do�ru parçası ise, ikinci kateti olarak alınırsa, OBC üçgeninin hipotenüzünün uzunlu�u olur (Neden?).

Uzunlukları v.b. olan do�ru parçaların nasıl çizilmi� olduklarını açıkla.

x = ’in çizimi, do�rudan do�ruya da çizilebilir. Bunu yapmak için, �ekilde oldu�u gibi, uzunlu�u n ve 1 olan do�ru parçalarının geometrik ortası çizilir

Uzunlu�u olan do�ru parçasını çiz.

Uzunlu�u a ve a + b olan do�ru parçalarının geometrik ortasını çiz.

Bilmen gerekenler:

Düzlemsel geometrik �ekillerde Pitagor teoreminin uygulamasını bil;

Pitagor teoreminden yararlanarak bazı çizim ödevlerinin çözümünü elde et.

Kendini yokla!

Tabanları 30 ve 14, yüksekli�i 15 olan ikiz-kenar yamu�un çevresini hesapla.

Bir e�kenar dörtgenin (romb’un) kenarı a = 13 cm ve bir kö�egeni 10 cm’dir. Di�er kö�egeni ne kadardır?

Uzunlu�u olan do�ru parçasının nasıl çizildi�ini açıkla.

Ödevler

Uzunlu�u 7,4 m olan bir merdivenin dibi duvardan 2,4 m uzaklıkta olmak üzere duvara dayalıdır. Bu �ekilde merdiven hangi yüksekli�e çıkar? (taslak çiz)

Bir ikizkenar yamu�un tabanları a = 42 cm, b = 24 cm ve yan kenarı c = 41 cm oldu�una göre; a) yüksekli�ini; b) alanı-nı; c) kö�egenini hesapla.

2.

Konu 1. Benzerl�k

Bir e�kenar dörtgenin kö�egenleri d1 = 40 ve d2 = 50’dir. Onun kenarı a (yakla�ık olarak) ne kadardır?

Bir ikizkenar yamu�un alanı P = 72 cm2, tabanları ise 20 cm ve 4 cm’dir. Yamu�un çevresini hesapla.

Bir deltoidin kenarları 25 cm ve 52 cm’dir, açıortay olamayan kö�egeni ise 40 cm’dir. Deltoidin alanını he-sapla.

Yarıçapı 3,4 cm olan bir çemberde, merkezinden 1,8 cm uzaklıkta olan bir kiri� çizilmi�tir. Kiri�in uzunlu�unu bul.

a ve b verilen do�ru parçaları olmak üzere, uzunlu�u:

a > b , olan do�ru parçasını çiz.

Alanları, verilen iki karenin alan-larının; a) toplamına; b) farkına e�it olan kareyi çiz.

Yarıçapı 17 cm olan bir çemberde, kö�eleri çemberin üzerinde olmak üzere dikdörtgen çizilmi�tir. Dik-dörtgenin kenarları 15 : 8 oranında oldu�una göre çevresini hesapla.

Bir kaynaktan 8 m uzaklıkta bulunan bir a�aç üzerinde iki maymun bu-lunuyor. Maymunlardan biri a�acın te-pesinde, di�eri ise yerden 2 m yüksek-liktedir. Susadıkları zaman a�acın te-pesinde bulunan maymun sıçrayarak do�rudan do�ruya kayna�a inmi�, di�eri ise a�açtan inerek kayna�a gelmi�tir. Bu durumda her iki maymun aynı yolu geçmi�tir. A�acın yüksekli�i ne kadardır?

Dene... Mecburi de�ildir!

Birbirine dı�tan de�en iki çember üçüncü bir çem-berin içinde bulunuyorlar. Çemberlerden herbiri di-�er her ikisine de�er ve merkezleri O, O1, O2 �ekil-de gösterildi�i gibi aynı bir AB do�rusu üzerinde bu-lunuyorlar.

Küçük çemberlere te�et olan büyük çemberin CD kiri�inin uzunlu�u t verilmi�tir (örne�in t = 6 cm).

Küçük çemberlerin dı�ında bulunan, büyük çember kısmının alanını yani boyalı kısmın alanını hesapla.

3.

4.

5.

6.

7.

10.

9.

8.

Pitagora teoremi

VER�LERLE ��LEMLER

POPULASYON. ÖRNEKLEME NOKTA

1. Çikolata fabrikasında, yapılan çikolataların tadına bakan i�çi vardır. Onun ödevi çikolataların tadına bakmak ve kalitesini tespit etmektir.

Dü�ün ve cevapla, bu i�çi üretilen her çikolatanın tadına bakmalı mıdır?

Tabii ki hayır. O i�çi, tadlarına bakmak için belli bir sayıda çikolata seçer.�ncelemesi söz konusu olan tüm bu elemanların, örne�imizde çiko-lataların çoklu�una populasyon (örnekleme uzay) denir.�ncelemesi yapılacak elemanların seçilen kısmına örnekleme nok-ta denir.

Populasyon ve örnekleme nokta ile ilgili örneklere dikkat et.

Populasyon

Bir okulda I’den VIII. sınıfa kadar ö�renciler

Fudbol takımları�ngilizce’yi ö�renmek için özel okullara giden tüm ö�rencilerMakedonya Cumhuriyeti’nde VII. sınıfta matematikten notu 5 olan tüm ö�renciler

Örnekleme noktaAynı okluda I’den VIII. sınıfa kadar birer sınıfHer takımdan üçer oyuncu

Her yabancı dil özel okulundan birer ö�renci

Makedonya Cumhuriyeti’nde her okuldan matematikten notu 5 olan birer VII. sınıf ö�rencisi

Populasyon ile ilgili üç örnek ve örnekleme nokta ile ilgili üç örnek yaz.

Dü�ün ve cevapla. Ö�rencilerin büyük teneffüs esnasında müzik dinlemeyi tercih edip etmediklerini anlamak için, tüm ö�rencilerin sorulması mı gerekir, yoksa her sınıftan bi-rer ö�renci seçerek onlara mı sorulmalıdır?

Cevabını açıkla.

Bir ara�tırma, test veya yoklama yapılırken ço�u defa bütün populasyona soru�turma yapılması mümkün de�ildir. Neden?

Çünkü bu: - çok pahallı olabilir; - çok zaman gerekebilir; - populasyonun her elemanına ula�mak mümkün de�ildir

(Örne�in, Ohri Gölü’nün balık sayısı) .

Konu 1. Benzerl�k

7.

A�a�ıdaki ara�tırmaların yapılması için, neden tüm populasyonu inceleyecek yerde, örnekleme noktası seçilmelidir? Birer sebep yaz. Nüfusu 50.000 olan bir kentte en çok seyredilen televizyon programı.

Bir meyve suyu fabrikasında, meyve suyunun kalitesinin tespiti. Makedonya Cumhuriyeti’nde geçen yıl insan ba�ına ortalama kaç kitap okundu.

Bütün populasyon hakkında yapılacak ara�tırmalar için bir sonuca varmak için seçilecek örnekleme nokta temsil edici (populasyona kar�ılıklı) olmalıdır.

�u örne�e dikkat et. Okuluna kaç ö�renci gelmek için �ehir içi otobüslerinden fay-dalandı�ını anlamak için, Erdal bir otobüs dura�ında bir otobüsten inen yolcuları so-rarak veriler toplamı�tır.Erdal’ın topladı�ı veriler do�ru de�ildir, çünkü seçti�i örnekleme noktası temsil edi-ci de�ildir.Erdal kendi okulunda ö�rencilere sorsaydı, örnekleme noktası do�ru olur muydu? Cevabını açıkla.

Arzu küçük yaprakları büyüklerinden iki kat daha çok olan bir bitkinin yapraklarının or-talama uzunlu�unu anlamak istemi�tir. Örnekleme noktası olarak hangi yaprak örnek-leri temsil edicidir?a) Yalnız büyük yapraklar; c) E�it sayıda küçük ve büyük yapraklar;b) Yalnız küçük yapraklar; ç) Büyük yaprakların sayısı küçüklerin iki katı olsun.

Cevabını açıkla!

Temsil edici örnekleme noktayı rastgele seçim ya da sistematik yöntemiy-le seçebiliriz. Rastgele seçim, populasyonda her nesnenin ya da elemanın aynı seçim �ansı vardır, demektir.

30 ö�renci olan bir sınıfta rastgele 5 ö�renciyi �u �ekilde seçebiliriz: onların sınıf günde-mindeki kayıt numaralarını ka�ıtlara yazarak bir kutuya koyarız. Ka�ıtları kutuda karı�tıra-rak onlardan 5 tanesini çekeriz.Ya da tesadüf bir sayı seçelim (mesela 7), ondan sonra da o sayıdan her be�inci ö�renci-yi seçelim.

Caner, okulunda ö�rencilerin okul forması giymeleri hakkında verileri toplamak için ör-nekleme nokta seçmelidir.

A�a�ıdaki yöntemlerden neden hiçbiri iyi de�ildir? Açıkla.a) okul kapısından ilk giren 20 ö�renciyi sorsun;b) kendi sınıfındaki ö�rencileri sorsun;c) matematik grubundaki ö�rencileri sorsun.

Verilerle i�lemler

Fark et!

Caner, örnekleme noktasını nasıl seçmelidir ki, bu seçim temsil edici olsun?

Do�ru sonuca varmak için, örnekleme noktası rastgele olmalıdır ve her sınıftan ö�renci (I. sınıftan VIII. sınıfa kadar) olmalıdır.

Yandaki tabloda Caner, okul formasının istenilip iste-nilmedi�i hakkında yaptı�ı ara�tırmanın sonucunda topladı�ı verileri düzenlemi�tir.

Caner’in seçti�i örnekleme noktasında kaç ö�renci vardır?

Örnekleme noktasındaki ö�renci sayısı, populasyondaki sayının %10’u ise okulda toplam kaç ö�renci vardır?Okul forması hakkında Caner’in elde etti�i sonuç nedir?

Tablodaki verilerden yararlanarak elde edilebilen daha bir sonucu yaz.

Örnekleme nokta Cevap sayısı

Örnekleme Evet Hayır

Birinci

�kinci

Üçüncü

Dördüncü

Be�inci

Altıncı

Yedinci

Sekizinci

12 3

69

10 5

8

13

7

2

10 5

8

15

7

0

Temsilci örnekleme noktasından toplanan verilerden ve cevaplardan elde edilen sonuçlar, bütün populasyon için genelle�tirilerek sonuçların elde edilmesine imkan sa�lar.

Örne�i incele:

Toplanan veriler

Bir yılda fi lm sayısı

Sorulanların cevapları

0

1’ den 4’e kadar

5’ ten 8’ e kadar

9’den 12’e kadar

13 ve daha çok

Bir yerle�im yerinde 15 ya�tan büyük 5000 nüfusu varmı�. Kaya o ki�ilerin yıl boyunca sinemaya kaç defa gittiklerini ö�renmek istemi�tir. O, örnekleme nokta gibi 50 ki�i seçmi� ve telefonla veriler topla-mı�. Elde etti�i verileri tabloda seyredilen fi lm sa-yısına göre düzenlemi�.

Kaya, tabloyu de�erlerle (her kategorideki cevap sayı-sını) tamamlamı�. Ondan sonra cevap sayısının yüz-desini toplam 50 ki�inin cevabıyla her kategori için he-saplamı�.

Konu 1. Benzerl�k

Yılda fi lm sayısı

Sorulanların cevapları

Fonksiyonun de�eri Yüzde

0

1’den 4’ e kadar

5’ten 8’e kadar

9’den 12’e kadar

13 ve daha çok

5 000’in %42’ si 2 100 eder. Örnekleme noktanın %42‘ si sinemaya gitmiyorsa kentte ya�a-yan ahalinin de %42’sinin sinemaya gitmemi� oldu�unu tahmin edebiliriz. Bu ise 2 100 ki�idir.

Populasyonun kalan kategorileri (sinemada görülen fi lm sayısı-yılda) için de genelle-me yap.

Seyhan, büyük teneffüs esnasında okul avlusuna atılan plastik çöplerle çevrenin ne kadar kirlendi�ini ö�renmek istemi�. Örnekleme nokta olarak okuma yılının bir ayını rastgele seçmi�

a) Bir günde her cins çöpten ne kadar atıldı�ını hesapla.b) E�er okuma yılı 180 gün sürerse, a) �ıkkındaki cevaplar-dan yararlanarak okuma yılı esnasında her cins çöpten ne-kadar atıldı�ını hesaplayarak tahmin et.

Çöp cinsiPlastik po�et

Yo�urt �i�esi

Meyve suyu �i�esi

Puding barda�ı

Sayı137

59

72

16

Bilmen gerekenler:

Populasyon nedir, örnekleme nokta ise nedir?

Verilen örneklem, verilen populasyon için tem-sil olup olmadı�ını kavrayasın;Verilen ara�tırma için uygun örnekleme nokta-nın seçimini tayin edilmesi;Örneklemden elde etti�in sonucun bütün populasyon için nasıl genelle�tirildi�ini bil-melisin.

Kendini yokla!Dü�ün ve örne�in uygun olup olmadı�ı cevabını ver: Bir kentin kent içi ula�ımı hakkında dü�ünce ara�tırmasını yapmak için, kent ahalisinin %5’i telefon kitabın-dan rastgele seçilirse, örnekleme nokta iyi seçilmi� midir?Cevabını açıkla.

Kaya örnekl-eme noktanın elde etti�i yüzdelerini büt-ün populasyona kullanmı�.

Verilerle i�lemler

Ödevler

A�a�ıdaki üç durumda:

Örneklemi belirt;Seçilen örnekleme temsil edici midir?

Örneklemin belirtilmesi için ba�ka bir yön-tem teklif et.

Yüksel, üniversite ö�rencilerinin organi-zasyonunda çalı�an ö�rencilerin ne ka-dar kazandıklarını ö�renmek istemi�. O, yurt kütüphanesine gidip 40 kız ö�renci-ye sormu�.

Co�rafya dersi için, Erkin’in kendi bah-çesinden 5 numune toprak getirmesi gerekir: O bahçenin ortasına durmu� ve bir para atarak paranın dü�tü�ü yer-den 5 numune almı�.

Canan, Manastır kentinde kadınların erkeklerden daha çok ya�adıkları do�-ru olup olmadı�ını ö�renmek istemi�. O, geçen yılın verilerini �statistik kuru-mundan istemi�.

A�a�ıdaki be� durumda:

Örneklemlerden hangiler populasyon ve ara�tırma için temsilcidir?Cevapların her birini açıkla.

Ara�tırma: yeni kahvenin yapılıp yapıl-maması için dü�ünce:Örnekleme nokta: pek sık kent kütüpha-nesine giden ki�ilerden rastgele seçim.

Ara�tırma: ‘’Smoki’’ için paketleme maki-nesi, her paketi aynı a�ırlıkta yapar mı?Örneklem: Seçilen bir günde ilk 50 pa-ket ‘’Smoki’’ alınmı� ve a�ırlıkları ölçül-mü�tür.

6.

7.

8.

Ara�tırma: Ba� a�rısı için yeni bir ila-cın etkisi.Örneklem: Pek sık ba� a�rısından �i-kayetçi olan bir doktorun tüm hastaları.

Ara�tırma: Bir fırının ekmeklerinin ka-litesi.Örneklem: Bu fırının ekmeklerinin satıl-dı�ı dükkanda her yirminci mü�terinin sorulması.

Bir kentte 6.000 aile vardır. Ara�tırma için 100 aile seçilmi�tir ve onlara ‘’han-gi gün pazarlama yapmayı en çok sevi-yorsunuz’’, sorusunun cevapları a�a�ı-daki tabloda verilmi�tir.

Pazarlama için sevilen gün

GünPazartesi

Salı

Çar�amba

Per�embe

Cuma

Cumartesi

PazarSevilen günü yok

Toplam

Sıklık Yüzde8

10

14

2

1630

12

8

100

a) Her günün yüzdesini belirt.

b) Örneklemin yüzdesinden faydalanarak, bütün populasyonun ailelerin kaçının cuma günü pazarlama yapmayı sevdi�ini tahmin et.c) Kentte kaç ailenin pazarlama için sevdi�i günü yoktur?

Konu 1. Benzerl�k

BENZERL�K �Ç�N OKUDUNB�LD�KLER�N� KONTROL ET

�ki kare verilmi�tir: birinin kenarı a = 12 cm, di�erinin ise b = 8 cm. Onların: a) kenarlarının; b) çevrelerinin; c) alanlarının oranını belirt.

AB do�ru parçasının uzunlu�u 12 cm’dir. Do�ru parçasının S merkez noktası ve aynı do�ru parçayı 3 : 5 oranında bölen M noktası arasındaki uzaklı�ı bul.Orantıda bilinmeyen terimi hesapla:a) x : 4 = 5 : 2; b) 3 : 2x = 1 : 6; c) 7 : 3 = 14 : (x + 2).

Uzunlukları 8 cm ve 18 cm olan do�ru parçaların geometrik ortası olan do�-ru parçasının uzunlu�unu bul.

Tahminen bir do�ru parça çiz ve onu: a) 4; b) 5; c) 7 e�it kısıma ayır.

Bir ABC ve AC kenarını M ‘de, BC kenarını ise N’de kesen MN||AB do�-rusu verilmi�tir. a) ‘yi hesapla, e�er = 6, = 3 ve = 4.b) ’yi hesapla, e�er = 5 : 2 ve = 14.SOT açısını çiz. OS kenarı üzerinde

= 3 cm ve = 5 cm do�ru par-çalarını, OT kenarı üzerinde ise = 4,5 cm ve = 7,5 cm do�ru parça-larını uygula. Ondan sonra AC ve BD do�rularını çiz.a) �ekilde çizilen do�ruların paralel olup olmadıklarını yokla.b) Verdi�in cevabın neden do�ru oldu-�unu açıkla.

Uzunlu�u 12 cm olan do�ru parçası verilmi�tir. Çevresi 12 cm ve kenarları 3 : 5 : 6 olan bir üçgeni çiz.

Bir üçgenin iki açısı 40° ve 60°, di�eri-nin iki açısı ise 60° ve 80° olan iki üç-gen birbirine benzer midir? Açıkla.

Bir elektrik dire�inin gölgesi 10 m’dir. Aynı anda 1,5 m yüksek olan bir ki�i-nin gölgesi 1,5m‘dir. Dire�in yüksekli-�ini belirt.

�ki benzer üçgenin bir çift kar�ılıklı ke-narları a = 15 dm ve a1 = 6 dm’dir. a kenarına kar�ılık gelen yükseklik ise 8 cm’dir. a1 kenarına kar�ılık gelen yük-sekli�i hesapla.�ki benzer üçgenin kar�ılıklı iki kena-rı 7,5 cm ve 10 cm’dir. Büyük üçgenin çevresi 60 cm ve alanı 80 cm2 oldu-�una göre, küçük üçgenin çevresini ve alanını belirt.

Bir dik üçgenin katetlerinin hipotenüz üzerinde izdü�ümleri p = 2 ve q = 8 verilmi�tir. c, a, b, h belirtilsin.

Bir kenarı 300 ve kö�egeni 340 olan dikdörtgenin çevresini hesapla.

Kenarları verilmi� olan üçgen dik mi-dir?a) 32, 24, 40; b) 20, 40, 50; c) 0,7; 2,4; 2,5 ?.Tabanı 28 ve yüksekli�i 48 olan ikizke-nar üçgenin çevresini hesapla

Kö�egenleri 9 cm ve 5,6 cm olan e�-kenar dörtgenin kenarını hesapla.

Bildiklerini kontrol et

KONU 2. L�NEER DENKLEMLER, E��TS�ZL�KLER VE L�NEER FONKS�YON

L�NEER DENKLEMLER1. E�itlik, denklem, özde�lik 562. Denklem çe�itleri 593. Denklemin çözümü. Denk denklemler 624. Denk denklemlere ait teoremler – 1 665. Denk denklemlere ait teoremler – 2 706. Bir bilinmeyenli lineer denklemin genel �ekli 747. Bir bilinmeyenli lineer denklemlerin uygulanması 78

B�R B�L�NMEYENL� L�NEER E��TS�ZL�KLER

8. E�itsizlik kavramı 839. E�itsizli�in çözümü. Aralıklar 8710. Denk e�itsizlikler teoremi 9211. Bir bilinmeyenli lineer e�itsizliklerin çözümü 98

B�R B�L�NMEYENL� L�NEER E��TS�ZL�KLER S�STEM�

12. Bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler sistemlerinin çözümü 100

L�NEER FONKS�YONLAR13. Lineer fonksiyon 10414. Lineer fonksiyonun grafi ksel gösteri�i 10715. Bazı lineer fonksiyonlar arasındaki durumlar 11116. Lineer fonksiyonun artması ve eksilmesi 11417. Bir bilinmeyenli lineer denklemlerin grafi ksel çözümü 11718. Rastgele olay. Olayın olasıllı�ı 120 Bildiklerini kontrol et 125

L�NEER DENKLEMLERE��TL�K, DENKLEM, ÖZDE�L�K

Anımsa!‘’ = ‘’ (e�it) i�aretiyle ba�lı olan iki ifade bir e�itlik meydana getiriyorlar.8 + 5 = 5 + 8; 7 + 5 · 2 = 7 + 10;2x – 3 = x + 1; x2 – y2 = ( x – y)(x + y).

A�a�ıdakileri ifade eden e�itli�i yaz:a) Q kümesinde toplama i�leminin de-�i�me özelli�i;b) Q kümesinde çarpma i�leminin topla-ma i�lemine göre da�ılma özelli�i;4x2 – 4x sol, x – 6 ise sa� taraf olmak üzere bir e�itlik yaz.

�u e�itlikler verilmi�tir:a) 3 · 2 – 11 = 2 – 7;b) 3x – 1 = 2x + 5;c) x + 2y= 8;ç) 15 – 6 : 2 = 4 · 2 – 5;d) 3 · 4 + 2 = 12.

Verilen e�itliklerden hangisinin sol ve sa� taraf sayı ifadelerdir.

Verilen e�itliklerden hangisinde sol ve sa� taraf ya da tarafl ardan biri de�i�ken-li ifadedir?

�ncele ve unutma

a) ve d) e�itliklerinde sol ve sa� tarafl ar sayı ifadelerdir.

Sol ve sa� tarafl arı sayı ifadesi olan e�itliklere sayı e�itlikleri denir.

b) ve c) e�itliklerinde sol ve sa� tarafl ar ya da tarafl ardan biri de�i�kenli ifadedir.

Sol ve sa� tarafl ar ya da tarafl ardan biri de�i�kenli ifadede oldu�u durumda, ifadeye de�i�-kenli e�itlik (denklem) denir.De�i�kenlerin aldı�ı de�erler R kümesi ya da onun herhangi bir altkümesi olabilir.Sayı e�itli�inde sol taraftaki ifadenin de�eri, sa� taraftaki ifadenin de�eriyle e�it ise, ona do�ru e�itlik denir.a) , ç) ve d) e�itliklerinden hangisi do�rudur?

Sol tarafı : a) 3 + 2 · 7; b) 5 – ( 9 + 2); olan do�ru sayı e�itli�i yaz.

�u e�itliklerden hangisi de�i�kenli e�itliklerdir:a) 7 – 10 : 2 = 4 · 3 – 10; b) 3x + 2 – x = 8; c) 3x – 5 = x + 3; ç) 5 · 2 + 1 = 9 : 3 + 8.

Konu 2. Lineer denklemler e�itsizlikler velineer fonksiyon

De�i�kenlerin aldıkları de�erler kümesine tanım kümesi denir ve D ile i�aret edilir.

Bir de�i�kenli e�itli�i, genel olarak A(x) = B(x), x � D ile i�aret edece�iz; burada A(x) ve B(x), D kümesinde tanımlı x de�i�kenli ifadelerdir.�lerde, tanım kümesi verilmi� olmadı�ı durumda, tanım kümesi R reel sayılar kümesi oldu�unu sayaca�ız.

�u de�i�kenli e�itlikler verilmi�tir:a) 3x – 7 = x + 1, x � N ; b) x + y = 2 + 3y;c) 5x – 2 = x - 6, x � Z; ç) x2 – 4x = x – 5.

Her e�itlikte de�i�kenleri ve tanım kümesini adlandırınız.

Verilen e�itliklerden hangilerinde tanım kümesi R oldu�unu anlıyoruz?

Unutma

De�i�kenli e�itliklere denklemler denir.Denklemdeki de�i�kenlere bilinmeyenler denir.

Verilen e�itliklerden hangileri denklemlerdir? Onların bilinmeyenlerini belirtiniz;a) 4 · 5 – 11 = 3 · 3; b) x – y = 5; c) 3x – 8 = x + 2; ç) 12 : 2 = 2 · 3 – 1.

Her birinin tanım kümesi D = { -2, -1, 0, 1, 2, 3} olan 2x – 3 = x – 1, x2 + 3 = 4x,3(x + 2) = 3x + 6 ve x + 4 = x – 3 denklemleri verilmi�tir.

x de�i�keninin tablodaki hangi de�eri için denklem, do�ru sayı e�itli�ine dönü�ebilir. �ncele.

Her denklem için x bilinmeye-ninin verilen üç de�eri için tab-lo do�ru doldurulmu� mudur? Yokla. D- do�ru ; H – hayır.

Tablodan �unları fark edebilirsin:

2x – 3 = x – 1 e�itli�i x = 2 için do�ru sayı e�itli�ine dönü�ür.

x2 + 3 = 4x e�itli�i x =1 ve x = 3 için do�ru sayı e�itli�ine dönü�ür.

3(x + 2) = 3x + 6 e�itli�i x bilinmeyeninin D’deki her de�eri için do�ru sayı e�itli�ine dönü�ür.

x + 4 = x - 3 e�itli�i x bilinmeyeninin D’deki her de�eri için do�ru sayı e�itli�ine dönü�mez.

Lineer denklemler

H HH H

HH

H H

H H HH H H

HD D D

DD D

D D D

Unutma!

x � D’nin her de�eri için do�ru sayı e�itli�ine dönü�en denkleme özde�lik denir.

Tanım kümesinin her de�eri için do�ru sayı e�itli�i olmayan denklemlere imkansız denklem-ler ya da çeli�ki denir.

Hangi özellik gere�ince 3(x + 2) = 3x + 6, x � R denklemi, özde�lik oldu�unu diyebiliriz?

�u denklemlerden hangileri özde�liktir:a) x + 5 = 5 + x, x � R; b) ( x – 1)(x + 1) = x2 – 1, x � Z ; c) 2x – 3 = x – 1?

�u denklemlerden hangilerinin çeli�ki oldu�unu belirt;

a) 2x – 1 = x + 2; b) 3 – x = 5 – x; c)

Bilmen gerekenler:

Denklem ve tanım kümesinin tanımını ya-pasın;

Özde�li�in tanımını yapasın;

Çeli�ki olan denklemin tanımını yapasın.

Kendini yokla:

5x – 3 = x + 2, x Z ?

Hangi özellik gere�ince x + 8 = 8 + x denklemi bir özde�lik oldu�unu.

Ödevler

�u e�itliklerden hangilerinin do�ru oldu-�unu tespit et:a) 3 + 2 � 4 = 20 : 5 + 7;b) 3x + 1 = 2x – 1, x = 2;c) x – 3 = 2x + 1 , x = -4.

�u e�itliklerden hangileri denklemdir:a) 15 · 1 – 4 = 8 + 3;b) 4x – 5 = 3x – 2;c) x2 -3 = 4x.

x � { -2, -1, 0, 1, 2,} olmak üzere, x’in hangi de�eri için 2x – 3 = x -1 do�ru sayı e�itli�ine dönü�ür?

Tanım kümesi D = { -1, 0, 1, 2, 3} olmak üzere x2 + 6 = 5x ve 5(x – 1 ) = 5x – 5, denklemlerinden herhangi birinin, öz-de�lik olup olmadı�ını yokla.

Verilen denklemlerden hangilerinin çe-li�ki oldu�unu yokla:a) 2x – 3 = 2x + 5, x � { 0, 1, 2, 3 };b) x2 -1 = x2 + 4, x � { -1, 0, 1, 2,};c) 3x – 4 = x + 2, x � { 2, 3, 4, 5 }.

a’nın de�erini o �ekilde belirt ki, x = 3 için ax – 2 = 2x + 1 denklemi do�ru sayı e�it-li�ine dönü�sün.

4.

5.

6.


DENKLEM ÇE��TLER�

Anımsa!

Herbirinde bilinmeyenleri adlandır.

Denklemin ne oldu�unu okudun. Örne�in, a�a�ıdakiler denklemlerdir:

3x – 2 = x + 4; x + 2y + 1 = x + y;

x + 2y – z = 4.

�u denklemler verilmi�tir:3x – 2 = 2x + 1; 3x – y = y + 2; 5x - 2y = 3z – 4.

Her birinde bilinmeyenlerin sayısını belirt.

�unları fark edebilirsin:3x – 2 = 2x + 1 denkleminin yalnız bir x bilinmeyeni vardır.3x – y = y + 2 denkleminin x ve y gibi iki bilinmeyeni vardır.5x - 2y = 3z – 4 denkleminin x , y ve z gibi üç bilinmeyeni vardır.

Bazı denklemlerin bir, bazılarının iki, bazılarının ise üç vb. bilinmeyeni oldu�unu fark ettin.

Bilinmeyenlerin sayısına göre, denklemler bir bilinmeyenli, iki bilinmeyenli, üç bilinme-yenli vb. olabilir.

�u denklemlerden herbiri kaç bilinmeyenlidir: 2x – 3y = 5 – 2x; 3x – 7 + 2x = 1 + x+ 3x?

Bilinmeyenleri x ve y olan bir denklem yaz.

Anımsa!Bir polinomda, de�i�kenlerin en yüksek derecesine polinomun derecesi denir.

Verilen her polinomun derecesini belirt:a) x2 – 2x + 3; b) x3 + x2y2 – x2.

Verilen denklemlerden hangisinin sol ve sa� tarafındaki her mono-mun derecesi en yüksektir:

a) 2x + 3 = 5x – 2;b) x2 – 2x = 5x + 8;c) 2x3 – x2 = 5 + x.

2x + 3 = 5x – 2 denklemi 2x , 3 , 5x , -2 monomlarından meydana gelmi�tir. Onla-ra denklemin terimleri denir.

Tabloda en yüksek dere-celi terimleri fark et.

Denklem En yüksek dereceli terim Terimin derecesi

1

2

3

2x + 3 = 5x – 2

x2 – 2x = 5x + 8

2x3 – x2 = 5 + x

2x ve 5x

x2

2x3

Birinci derece

�kinci derece

Üçüncü derece

Lineer denklemler

Bazı denklemlerde bilinmeyeni içeren terimler birinci derece, bazılarında ise bilinmeyeni ikinci derece olan en az bir terim, bazılarında bilinmeyeni üçüncü derece olan en az bir terim fark ediyorsun.

Unutma!

Bilinmeyenin en yüksek derecesine göre, denklemler birinci derece ya da lineer denk-lemler, ikinci derece denklemler, üçüncü derece denklemler vb. diye adlandırılır.

Verilen her denklemin dercesini belirt:

2x + y – 7 = 5; x3 – 2x2 = 5x + 8; x2 + 7 = 2x; x2y – 3x = 5y – 2.

�u denklemler verilmi�tir:a) 2x – 1 = 3; b) 3x + 5y = 4; c) 3x2 -1 = 6x; ç) 8x – 3 = x + 2.

2x – 1 = 3, ve 8x – 3 = x + 2 denklemlerinin bir bilinmeyenli birinci derece oldu�unu gördün.

Genel olarak, bir bilinmeyenli birinci derece olan denklemlere bir bilinmeyenli li-neer denklemler denir.

Onlardan hangilerinin bir bilinmeyenli ve birinci derece oldu�unu belirt.

Verilen denklemlerden hangisi bir bilinmeyenli lineer denklemdir?a) 5x2 – 2 = 3x; b) 2x – 3 = 5 – x; c) 5x + y = 7 ?

a) ve ç) �ıklarındaki denklemler b) ve c) �ıklarındaki denklemlerden ne ile farklanı-yorlar?

Bir bilinmeyenli lineer denklemler verilmi�tir:

a) 8 – 2x = x + b) ax + 5 = x; c) ax + b = 0; ç) x – 1 = 3x.

Fark etti�in gibi bilinmeyeni göz önüne almazsak a) ve ç) �ıklarındaki denklemlerde tüm terimler reel sayılardır, b) ve c) �ıklarındaki denklemlerde ise genel (soyut) sayılar yani harfl er vardır ki bunlar belli sayıları de�i�tiriyorlar.

Genel olarak, bir denklemin terimlerinde genel sayılar (parametreler) varsa , onlara pa-rametreli denklemler denir.

6.


Bilinmeyeni x olan �u denklemlerden hangileri parametreli denklemlerdir:

a) ax + 2 = 5x; b) + 3 = 0; c) x – 6 = p?

Bilmen gerekenler:

Denklemleri fark etmeli ve adlandırasın;

Bilinmeyenlerin sayısına göre;

Bilinmeyenlerin derecesine göre;

Parametreli ya da parametresiz bir bilin-meyenli lineer denklemi tanı.

Kendini yokla!

Verilen 5x – xy = 2x – 3 denklem han-gi cinstendir:Bilinmeyenlerin sayısına göre;

Derecesine göre?

Ödevler

Verilen denklemlerden herbirinin kaç bilinmeyenli oldu�unu belirt:

a) x + y + z = 2x + 8;

b) 3x – 15 = 7 – 2x;

c) 10xy – 12y = 10 + x.

1. 4.

5.2.

3.

Verilen denklemlerden herbirinin hangi derece oldu�unu belirt:

a) x3 + x2 = 5 – x;

b) 3xy – 5 = 2x + y;c) x + 3 = 3x – 5.

x ya da y de�i�kenli �u denklemlerden hangileri parametreli denklemlerdir:

a) ax + 2y = 5 – x; b) 3x2 + 1 = 2x;c) ax + c = by + 3; ç) 5x – 7 = 2x – 5?

�u denklemlerden hangisi lineer denklemdir?a) x + 2y = 7 + 2x; b) xy2 + y = 3 + 5x; c) 3x – 1 = x + 5.

Verilen denklemlerden hangisi bir bilinmeyenli lineer denklemdir?

a) 2x – 1 + y = 5x + 3;

b) x2 – 2x + 1 = 0;c) 3x – 2 = 5 + x; ç) 3x – 7 + 2x = 11 – x.

Lineer denklemler

DENKLEM�N ÇÖZÜMÜ. DENK DENKLEMLER

Anımsa!

De�i�kenli bir ifadede, de�i�ken bel-li bir sayıyla de�i�tirildi�inde, sayı ifa-desi elde edilir.x = 2 için, x2 + 2x – 1 de�i�kenli ifade-sini sayı ifadesine dönü�tür.a = -3 için a2 -2a + 5 ifadesinin sayı de-�erini hesapla.

Tanım kümesi D = { -3, -2, 2, 3} olan 3x – 2 = 2x + 1 denklemi ve-rilmi�tir.

Her x � D için, e�itli�i sayı e�itli�ine dönü�tür.

Hangi x � D de�eri için, denklem do�ru sayı e�itli�ine dönü�ür?

Elde etti�in çözümü tablodaki verilerle kar�ıla�tır.

Denklem Sayı e�itli�i Do�ru –D Yanlı� - Yx

Y

Y

Y

D

Tablodan görüldü�ü gibi 3x – 2 = 2x + 1 denklemi yalnız x = 3 için do�ru sayı e�itli�ine dö-nü�ür, yani sa� ve sol tarafl arın e�it sayı de�erleri olur.

Unutma!

Denklemin do�ru sayı e�itli�ine dönü�tü�ü bilinmeyenin her de�erine, denklemin çözümü ya da kökü denir.

x ��{ 3, 5, 7} olmak üzere 12 – 2x = x – 3 denkleminin tüm çözümlerini bul.

x ��{ 0, 1, 2, 3} olmak üzere x2 + 6 = 5x, denkleminin tüm çözümlerini bul.

2 ve 3 ödevlerinde görüldü�ü gibi 12 – 2x = x – 3 denkleminin çözümü 5, x2 + 6 = 5x denk-leminin çözümü ise 2 ve 3’tür.


�ncele ve unutma!

Bir denklemi çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak demektir.

Bir denklemin tüm çözümlerinin olu�turdu�u kümeye, denklemin çözüm kümesi denir.

Bir denklemin çözüm kümesi genellikle M ile i�aret edilir.

Örne�in, 12 – 2x = x – 3 denkleminin çözüm kümesi x ��{ 3, 5, 7} için M = {5}'dir.x2 + 6 = 5x denkleminin çözüm kümesi x ��{ 0, 1, 2, 3 } için M = {2, 3}’tür.

x ��{ 0, 1, 2, 3} olmak üzere verilen denklemin çözüm kümesini belirt:a) 4x – 1 = x + 5; b) x2 + 3 = 4x.

D = { -2, -1, 0, 1, 2 } oldu�una göre 3(x – 2) = 3x – 6 denkleminin çözüm kü-mesini belirt.

Verilen tabloda 3(x – 2) = 3x – 6 denkleminin çözüm kümesini incele.

x -2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

Sayı e�itli�i

3(-2 -2) = 3(-2) -6 3(-1 -2) = 3(-1) -6 3(0-2) = 3(0)-6 3(1 -2) =3(1) -6 3(2 -2) = 3·2 -6

Do�ru – D Yanlı� - Y D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

D

Y

Fark etti�in gibi her x � D için verilen denklem do�ru sayı e�itli�ine dönü�ür.

Bu e�itli�e özde�lik denir.

Genel olarak, D tanım kümesinin her de�eri için denklem do�ru sayı e�itli�ine dönü-�en denkleme özde�lik denir, yani M = D’ dir.

2x – 2 = 2(x – 1) denklemi x ��{ 0, 1, 2, 3 } için özde�lik olup olmadı�ını yokla.

x + 5 = x – 4 ve D = { -2, -1, 0, 1, 2 } denklemi verilmi�tir.x � D’nin hangi de�eri için, bu denklem do�ru sayı e�itli�ine dönü�ür?

Nasıl sonuca varıyorsun?Elde etti�in çözümü tablodakilerle kar�ıla�tır.

x

Sayı e�itli�i

Do�ru – D Yanlı� - Y

-2 + 5 = -2 - 4 -1 + 5 = -1 - 4 0 + 5 = 0 - 4 1 + 5 = 1 - 4 2 + 5 = 2 - 4

Lineer denklemler

Demek ki, x + 5 = x – 4 denkleminin çözümü olacak x � D sayısı yoktur, yani M = Ø dir.

Genel olarak, çözüm kümesi bo� küme olan denkleme imkansız denklem ya da çeli�-ki denir.

�u denklemlerden hangileri D = { 1, 2, 3, 4 } tanım kümesinde imkansızdır:a) x + 3 = 7 + x; b) 2x + 1 = 7; c) 3 + 2x = 2x – 5; ç) 3x – 1 = 2x + 1?

x + 7 = 4 denkleminin a) N ; b) Q kümesinde çözümü olup olmadı�ını yokla.

N kümesinde 7 sayısıyla toplamı 4 olan bir sayı var mıdır? Q kümesinde ise böyle sayı var mıdır?

N kümesinde 7 sayısıyla toplamı 4 olan bir sayı yoktur, yani x + 7 = 4 denkle-minin N kümesinde çözümü yoktur.Q kümesinde ise x + 7 = 4 denkleminin çözümü x = - 3’tür. Çünkü -3 + 7 = 4 do�ru e�itliktir.

Unutma

Bir kümede çözümü olan, ba�ka bir kümede ise çözümü olmayan yani imkansız olan denklemler vardır.

Herbirinin tanım kümesi D = {0, 1, 2, 3} olmak üzere verilen denklemlerin çözüm kümesini belirt: 2x – 1 = x + 1; x2 + 2 = 3x ve 4x – 3 = 2x + 1

Elde etti�in çözümü tablodaki verilerle kar�ıla�tır. x’in hangi de�erleri denklemlerin çözümü oldu�unu incele.

Denklem x 0 1 2 3

2x – 1 = x + 1 2·0 – 1 � 0 + 1 2·1– 1 � 1 + 1 2·2 – 1 � 2+ 1 2·3 –1 � 3 + 1

x2 + 2 = 3x 02 + 2 � 3 · 0 12+ 2 � 3 · 1 22+ 2 � 3 · 2 32+ 2 � 3 · 3

4x – 3 = 2x + 1 4 · 0 – 3 �2·0 + 1 4 ·1 –3 �2·1 +1 4 ·2 –3 �2·2 +1 4 ·3–3 �2·3+1

Verilen denklemlerden hangilerinin çözüm kü-meleri aynıdır?

2x – 1 = x + 1 denkleminin çözüm kümesi {2}, x2 + 2 = 3x denkleminin {1,2} ve 4x – 3 = 2x + 1 denkleminin çözüm kümesi {2}’dir. Demek ki , 2x – 1 = x + 1 ve 4x – 3 = 2x + 1 denklemlerinin çö-züm kümeleri aynıdır.


Aynı tanım kümesinde çözüm kümeleri aynı olan iki denkleme denk denklemler denir.

A = { 0, 1, 2, 3 } kümesinde tanımlı olan �u denklemlerden hangileri denktir:a) 3x – 1 = x + 1; b) x2 – 2 = x; c) (x – 1)(x – 2) = 0; ç) 4x – 2 = x + 1

Bilmen gerekenler:

Verilen bir sayı, verilen denklemin çözü-mü olup olmadı�ını kontrol et;

Hangi denklemler denk denklemler odu-�unu tespit edesin.

Kendini yokla!

x + 1 = 3x – 1 ve x + 5 = 3x + 1 denklem-leri verilmi�tir.Bu denklemlerden herhangi biri A = {1, 2, 3, 4 } kümesinde 3x + 2 = 4x denkle-miyle denk olup olmadı�ını yokla.

Ödevler

�u iddialardan hangileri do�rudur:

a) -2 sayısı 3x – 1 = x + 2 denklemin çözümüdür.

b) 4 sayısı 2y – 1 + y + 3 denklemin çözümüdür.

c) 0 sayısı 2x – 3 = x – 3 denklemin çözümüdür.

a parametresinin hangi de�eri için 3 sayısı 2x – 1 = a, denkleminin çözümü-dür?

Verilen denklemlerin A = { 2, 3, 4 } tanım kümesinde çözüm kümelerini belirt.

a) 4x – 1 = 3x + 1; b) x + 3 = 2x;

c) 2 – 3 = x + 1.

(x – 1)(x – 2) = 0 , x ��{0, 1, 2, 3}, denk-leminin çözüm kümesi {1, 2}’ dir. �u denklemlerden a) 3x – 2 = 2x – 1; b) x2 + 1 + 3x – 1;

c) 2x + 1 = 3x – 1, hangisi verilen denklemle denktir?

�u denklemlerden hangisi Z kümesin-de imkansızdır;

a) 2x + 7 = 3; b) x + 5 = x – 2;

c) x – 4 = -x.

�u denklemlerden hangisi, N küme-sinde imkansız, Z kümesinde ise çözü-mü vardır?a) x + 5 = 2; b) 2x – 1 = 3; c) 8 – x = 9?

Lineer denklemler

DENKLEMLER�N DENKL�K TEOREMLER� – 1

Anımsa!�ki denklemin çözümler kümesi aynı ol-du�u durumda onlar denk denklemlerdir.

D = {1, 2, 3, 4} tanım kümesinde veri-len denklemler denk midir? 2x – 1 = x + 2 ve x + 4 = 2x + 1.

Çözümü 3 sayısı, yani M = {3} olan 3x – 1 = x + 5 , x ��{1, 2, 3, 4} = D, denklem verilmi�tir.

Denklemin sa� ve sol tarafına a) 4; b) -2; c) 2x kat.

Elde edilen denklemlerin verilenle denk olup olmadı�ını yokla.


Denklem x = 3 için sayı e�itli�i Denklemin çözümü

3x - 1 = x + 5 3·3 – 1 = 3 + 5; 8 = 8 3 sayısı

3x – 1 + 4 = x + 5 +4 3·3 – 1 + 4=3 + 5 + 4;12=12 3 sayısı

3x – 1 - 2 = x + 5 - 2 3·3 – 1 - 2=3 + 5 – 2; 6 = 6 3 sayısı

3x – 1 + 2x =x + 5 +2x 3·3 – 1 +2·3 =3 + 5 + 2·3;14=14 3 sayısı

a), b) ve c) �ıklarındaki denklemlerin 3 sayısından ba�ka çözümü olmadı�ını tespit et.

Tablodan görüldü�ü gibi 3x – 1 = x + 5 denkleminin her iki tarafına (4 ya da – 2) de�i�-kenli ifade (2x) katmakla verilene denk olan denklem elde edilir.

Bu özellik genel olarak tüm denklemlere geçerlidir. Denklemin her iki tarafına aynı sayı veya ifade katma teoremi diye adlandırarak �u �ekilde ifade edebiliriz.

Teorem 1

A(x) = B(x) denkleminin sol ve sa� tarafına c � R sayısı ya da tanım kümesinde her x için belli olan C(x) de�i�kenli ifadesi katılıyorsa, verilene denk olan denklem elde edilir.

i�aretini ‘’denktir’ diye okuyoruz.


Mecburi de�ildir....

Teoremin ispatını incele.Tanım kümesi D olan A(x) = B(x) denklemi ve her x için belli olan C(x) ifadesi verilmi� olsun. �unu ispatlamalıyız:Bu teoremi ispatlamak için A(x) = B(x) ve A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denklemlerinin çö-züm kümelerinin aynı oldu�unu ispatlamak gerekir, yania) A(x) = B(x) denkleminin her çözümü A(x) + C(x) = B(x) + C(x)’inde çözümü oldu�unu veb) A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin her çözümü A(x) = B(x) çözümüdür.

a) x0 � D, A(x) = B(x) denkleminin çözümü olsun, yani A(x0) = B(x0) do�ru sayı e�itli-�idir. C( x0) reel sayı oldu�una göre A(x0) + C( x0) = B (x0) + C( x0) do�ru sayı e�itli-�idir (Neden?). Buna göre x0 sayısı A(x) + C( x) = B(x) + C(x) denkleminin çözümü-dür, yani A(x) = B(x) denkleminin her çözümü A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin de çözümüdür.b) x1 � D sayısı A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin çözümü olsun, yani A(x) + C(x) = B(x) + C (x) do�ru sayı e�itli�idir. E�itli�in her iki tarafına C(x1) ifadesinin tersi-ni katarsan A(x1) = B(x1) do�ru sayı e�itli�ini elde edeceksin. Buna göre x1 sayısı A(x) = B(x) denkleminin de çözümüdür, yani A(x) + C( x) = B(x) + C( x) denkleminin her çözümü A(x) = B(x) çözümüdür.

T1 gere�ince, verilen denklemlerin denk olup olmadı�ını yokla:

a) 3x + 1 = 5x – 3 ve 3x + 1 + 7 = 5x – 3 + 7;

b) 5y – 2 = 3y + 4 ve 5y – 2 - 5 = 3y + 4 + 5;c) 4x – 1 = 3x – 2 ve 4x + 5x – 1 = 3x + 5x – 2.

Teorem T1’in uygulanmasıyla denklemlere denk dönü�ümler uygulayabilirsin, yani bir denklemi kendine denk olan denklemlere dönü�türebilirsin.

3x – 5 = 2x + 1 denklemi verilmi�tir.

Denklemin her iki tarafına 5 – 2x ifadesini kat. Denklemin her iki tarafındaki ifadeleri normal �ekile getir. 2x ve -5 ile ne oldu�unu fark et.

Ters sayıların yani ters mo-nomların toplamı neye e�ittir?

Ters sayıların, aynı zamanda ters monomların toplamı sıfırdır.

Elde etti�in çözümü verilen çözümle kar�ıla�tır.

Lineer denklemler

T1 gere�ince, dönü�ümler yaparak 3x – 5 = 2x + 1 denklemi kendine denk olan x = 6 denklemine dönü�ür. x = 6 e�itli�inden verilen denklemin çözümü okunabilir.

Çözümü okunabilen x = a (a � R) denklemine çözülmü� biçimde denklem denir.

Fark etti�in gibi, 3x – 2x = 1+ 5 denkleminde 2x monomu, denklemin sa� tarafından ters i�aretle, yani (-2x ) olarak denklemin sol tarafına geçmi�tir. -5 sayısı ise sol taraftan ters i�aretle, yani (+5) olarak sa� tarafa geçmi�tir.3x – 5 = 2x + 1 ve 3x – 2x = 1+ 5 denk denklemler için elde ettikleriniz, genel olarak tüm denklemlerde geçerlidir ve T1 teoreminin sonucu olarak tanınır:

Denklemin her terimi ters i�aretle bir taraftan di�er tarafa geçebilir.S1

4x – 1 + x = 7 + 3x – 2 denkleminde bilinmeyeni kapsayan terimleri denklemin sol tara-fına, bilinen terimleri denklemin sa� tarafına alınız.

Verilen denklemlerden hangileri denktir:a) x + 3 = 2x – 1 ve x – 2x = -1 -3; b) 2x + 5 = 4x + 1 ve 2x – 4x = 1 – 5; c) 3x + 1 =2x + 3 ve 3x + 2x = 3 + 1?

4x – 8 = 3x – 10 denklemini çöz ve ondan sonra çözümü yokla.

Denklemi çözerken ba�langıcta nasıl hareket edeceksin?

Önce teorem 1’in sonuç 1’ni uygulayaca�ım.

Elde etti�in çözümü, verilenle kar�ıla�tır. 4x – 8 = 3x – 10 � 4x – 3x = -10 + 8 � x = -2; M = { -2 }.Yoklama: 4 ·(-2) – 8 = 3 · (-2) -10; -8 -8 = -6 -10; -16 = -16

Verilen denklemi çöz:

4x – 1 + 2x – 2 = 2x – 1 + 3x – 5 denklemi verilmi�tir.

Denklemin sol ve sa� tarafında e�it terimlerin olup olmadı�ını incele. Sol ve sa� tarafında olan e�it terimleri sil. Elde edilen denklemin verilenle denk olup olmadı�ını yokla.

Çözümünü verilenle kar�ıla�tır.


Elde edilen denklem

Bilmen gerekeler:

Ödevler

Kendini yokla!

Elde edilen denklem

Fark etti�in gibi, bir denklemin iki tarafında e�it terimler varsa (2x ve -1) onları silebiliriz ve bu durumda verilene denk olan denklem elde edebiliriz.Yukarıda fark ettiklerin, tüm denklemlerde geçerlidir ve teorem 1’in ikinci sonucu olarak ta-nınır. Bunu �u �ekilde ifade edebiliriz:

P2Bir denklemin farklı tarafl arında e�it terimler varsa, onları silebiliriz (yok edebili-riz).

Elde edilecek denklemin verilenle denk olması için 3x – 2 + 4x + 3 = 3 + 2x + 4x denkle-minde mümkün olan terimleri sil.

Denk denklemlere ait teorem 1’in ifade et-meni bilmelisin;Teorem 1’in birinci sonucunun ifade edili�ini ve onun ödevlerde uygulaması bilmelisin;

Teorem 1’in ikinci sonucunun ifade edili�ini ve onun ödevlerde uygulamasını bilmelisin.

7x – 3 + 5x = 5 + 2x – 3 denkleminde bilinme-yen içeren terimleri sol tarafa, di�er terimleri ise denklemin sa� tarafına grupla�tır.

Denk dönü�ümler yaparak

oldu�unu göster.

2x – 3 = x + 1 denklemi verilmi�tir. Onun her iki tarafına 3x kat.

Denkli�i açıkla:

Elde edilen deklemin verilenle denk olup olmadı�ını yokla.

2x - 5 - 3x - 4 = 4 - 3x - 5 denkleminde mümkün oldu�u kadar terimleri sil ve elde edece�in denklemin verilenle denk olma-sını sa�la.

Denk dönü�ümler yaparak �unu göster

Verilen denkli�in do�ru olması için m be-lirtilsin:

Verilen denklemlerin denk olup olmadı�ı-nı yokla:

Denklemi çöz:

Cevabını açıkla

Lineer denklemler

veveve

DENK DENKLEMLERE A�T TEOREMLER – 2

Anımsa!

Verilen bir çarpımda, bilinmeyen çarpanı belirtmek için, çarpım bilinen çarpanla bölünür.Denklemleri çöz:

c) 34_ = 3x

EKOK(4, 5, 10) belirtilsin.

Hesapla:

2x – 3 = x - 1 denklemi veriliyor.

Verilen denklemi çöz.

Verilen denklemin her iki tarafını :a) 2 ; b) -4 ile çarp.Elde edilen denklemler verilen denk-lemle denk midir? Yokla.

Verilen denklemin, elde edilen denklemle denk olup olmadı�ını nasıl yoklayacaksın?

Denklemleri T1’in sonuç 1’i ge-re�ince çözdükten sonra, onların çözümlerini kar�ıla�tıraca�ım.

Elde edilen çözümü verilenle karıla�tır.

Elde edilen denklem Elde edilen denklem a Elde edilen denklem b

Verilen denklemin ve elde edilen denklemin çözüm kümelerinin aynı oldu�unu fark ede-bilirsin.

2x – 3 = x – 1 denkle-minde nasıl dönü�ümler yaptın ve nasıl denklem-ler elde ettin?

Denklemin her iki tarafını 2 ve -4 ile çarptım ve verilen denklemlere denk olan denklem-ler elde ettim.

Bu özellik genel olarak her denklemde geçerlidir. Buna göre, denklemleri sıfırdan farklı bir sayıyla çarpma ya da bölme teoremini ifade edebiliriz.


Teorem 2

A(x) = B(x) denkleminin her iki tarafını aynı bir a � 0 sayısıyla çarpar veya bölersek, verilene denk olan denklem elde edilecektir.

T2 yardımıyla verilen denklemlerin denk olduklarını göster:

Denklemleri çöz:

a) �ıkkındaki yöntemi inceleT1 P1 gere�ince

T2 gere�ince

5x – 2 = 3x + 4 denklemi verilmi�tir.

Denklemi çöz.Denklemin her iki tarafını -1 ile çarp.Neden elde edilen denklem, verilen denklemle denktir?Elde edilen denklem x = -3 ile denk oldu�unu göster.

Elde etti�in ve verilen denklem arasındaki ba�ıntıyı incele

Verilen denklem

T2

Elde edilen denklem

5x – 2 = 3x + 4 denklemin her iki tarafını -1 ile çarptın. Elde etti�in -5x + 2 = -3x – 4 denk-lemde ne fark ettin?

Elde edilen denklem T2 gere-�ince verilene denktirVerilen ve elde edilen denklem-lerin terimleri ters i�aretlidir.

ve veveve

Lineer denklemler

Bu özellik her denklem için geçerlidir. Buna göre, T2’nin �u sonucunu ifade edebiliriz.

S1Bir denklemin tüm terimleri – 1 ile çarpılırsa, verilene denk olan denklem elde edilir,yani bir denklemin tüm terimleri, kendilerine ters olan terimlerle de�i�tirilirse, verilene denk olan denklem elde edilir.

Denklemleri çöz: a) 2x – 1 = 3x – 5; b) 4x + 2 = 5x – 1 ;

a) �ıkkındaki elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.

denklemini paydasız olan denkleme dönü�tür.

EKOK(2, 4, 3) ne kadardır?Denklemdeki paydalardan na-sıl kurtulacaksın?

EKOK(2, 4, 3) = 12 denklemin her iki tarafını 12 ile çarparak paydasız denklem elde edilir.


Denklemin her iki tarafı EKOK(2, 4, 3) yani 12 ile çarpılır.Paydaları 12 ile kısaltma

Parantezlerden kurtulma

EKOK(2,3,4) = 2 � 2 � 3 = 12

denkleminin x = - 3 ile denk oldu�unu göster.

Gördü�ün gibi denkleminin her terimi paydaların en küçük ortak ka-

tıyla çarpılırsa, paydasız denklem elde edilir. 6x – 6 + 9x + 3 = 4x – 36 denklemi, verile-ne denktir.

denklemi için fark etti�in, genel olarak tüm denklemler için geçerlidir.

Buna göre, Teorem 2’nin �u S2 sonucunu ifade edebiliriz..

S2Bir denklemin bazı terimlerinin paydaları varsa, paydalardan kurtulmak için, denk-lemin tüm terimleri paydaların en küçük ortak katıyla çarpılır.


denkleminde paydalardan kurtul, ondan sonra çöz.

Bilmen gerekenler:

Ödevler

Dene....

Kendini yokla!

Denk denklemlere ait teorem 2’yi ifade edesin;

Teorem 2’den sonuçları ifade edesin;

Teorem 2’den sonuçları ödevlerin çözü-mü için uygulayasın.

Denklemi çöz:

denkleminde pay-

dalardan kurtul. Bu denklemin x = 5 denk-lemiyle denk oldu�unu göster.

3 – x = 7 – 3x denklemin iki tarafını -2 ile çarp.

Çözümlerine göre, elde edilen denklemin, verilenle denk oldu�u-nu göster.

12x - 9 + 3x = 9x + 3 denklemin iki tarafı-nı 3 ile böl. Elde edilen denklemin, veri-lenle denk oldu�unu göster(Onların çö-zümlerini kar�ıla�tır).

�ki�er iki�er verilen denklemler denk midir? Cevabını açıkla.

veve

ve

2x – 3 = 3x – 5 denkleminde, tüm te-rimleri kendilerine ters olan terimlerle de�i�tir ve çözümlerine göre elde edi-len denklemin verilenle denk oldu�unu göster.

Verilen denklemlerde paydalardan kur-tul.

Denk denklemler teoremlerinden ve onların sonuçlarından yararlanarak ve-rilen denklemlerde denkli�i göster:

Kapaklı �i�e 11 denar, sadece �i�e (ka-paksız) ise 10 denar fi yatındadır. �i�e-nin fi yatı ne kadar, kapa�ın fi yatı ise ne kadardır?

Lineer denklemler

B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEM�N GENEL �EKL�

Anımsa!ax + b ifadesinde x de�i�ken, a ve b ise katsayılardır.

�u x de�i�kenli ifadenin katsayılarını belirt:

Denk denklemlere ait T1’in S1 sonucu-na göre, denklemin her terimi bir taraf-tan di�er tarafa ters i�aretle geçebilir.

�u denklemler denk midir:

Cevabı açıkla.

4x – 5 = 2x – 1 denklemi verilmi�tir.

Denklemin her terimini sa� tarafa ge-çirdikten sonra i�lemleri yap.

Elde edilen denklem, verilenle denk midir? Neden?

Bu ödevin çözümünde, denk denklemlere ait teoremlerin han-gi sonucundan yararlanabilirsin?

Denk denklemlere ait T1’in S1 sonucuna göre, denklemin sol tarafındaki terimleri ters i�aretle sa� tarafa geçirece�im.

Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.2x – 4 = 0 denklemi 4x – 5 = 2x – 1 denklemiyle denktir.

2x – 4 = 0 denklemine 4x – 5 = 2x – 1 denkleminin normal �eklidir denir.

Unutma!

Anımsa!

ax + b = 0 denklemine bir bilinmeyenli lineer denklemlerin genel (normal) �ekli denir, bu-rada a bilinmeyen önündeki katsayı, b ise serbest terimdir.

2x – 3 = x – 1 denklemini normal �ekilde yaz.

�u ifadelerden hangisinin de�eri yoktur:

Cevabını açıkla.a’nın hangi de�eri için ifadesinin de�eri yoktur?

denkleminin çözümünü be-lirt.

Bilinmeyeni x ve katsayıları a ve b, a � 0 olan ax + b = 0 denklemi ve-riliyor. Denklemin çözümünü belirt.

Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tıryani

sayısı a � 0 için ax + b = 0 denklemi-

nin çözümüdür.


a � 0 için kesri ax + b = 0 denklemine göre daima tek olarak bellidir, yani bunun bir

tek çözümü vardır; yani

�u denklemlerin çözümünü belirt:

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 4 ( b � 0 ) olsun. Denklemin çözümünü belirt.

Denklemi han-gi sayıyla böl-melisin?

a = 0 ve b = 4 oldu�una göre denklem 0·x + 4 = 0 �ekline dönü�ür. Oradan da 0·x = -4 elde edilir. Sı-fır ile bölme mümkün olmadı�ına göre, ifade-sinin anlamı yoktur ve denklemin de çözümü yok-tur.

Fark et

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b � 0 oldu�u durumda denklemin çözümü yoktur, yaniM = Ø. Böyle denklemlere imkansız denklemler ya da çeli�ki denir.

�u denklemlerden hangisi çeli�kidir: a) 3x + 1 = 0; b) 0·x – 2 = 0; c) 3x = 0?

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 0 olsun.

Denklemi yaz.

Elde edilen denklemi ax = - b �eklinde yaz.

-2; 5; ; x = 3,5 sayıları 0·x = 0 �eklinde yazılan denklemin çözümü olup olmadı-

�ını yokla.

Bu denklem için ba�ka çözüm belirt.Sıfır ve herhangi bir sayının çarpımı neye e�ittir?Neden her reel sayı 0·x = 0 denklemin çözümüdür?

Fark etti�in gibi -2; 5; ; ve 3,5 sayılar 0·x = 0 denklemin çözümüdür.

Fark et ki

ax + b = 0 denkleminin a = 0 ve b = 0 için sonsuz çok çözümleri vardır, yani M = R‘dir.

Lineer denklemler

Unutma!

ax + b = 0 lineer denklemi için:

a) a � 0 ise denklemin bir tek çözümü vardır ve

b) a = 0 ve b � 0 için çözümü yoktur. M = Ø

c) a = 0 ve b = 0 ise sonsuz çok çözümleri vardır, yani M = R 'dir.

a ve b için öyle de�erler yaz ki ax + b = 0 denkleminin:

a) bir tek çözümü olsun; b) çözümü yok; c) sonsuz çok çözümleri olsun.

5x – 7 + x = 1 + 2x denklemini çöz.

Verilen denklemi çözmek için nasıl hareket edecek-sin?

Önce bilinmeyen içeren tüm terimleri sol tarafa, bilinmeyen içermeyen terimleri ise sa� tarafa geçirece�im. Ondan sonra denklemi ax = -b biçiminde getirerek çözümü belirtiyorum.


T1’in S1 gere�ince;Denklemde her iki taraftaki ifadelerin sadele�tirilmesi;

T2 uygulanarak denklemin her iki tarafı 4 ile bölünür.

Demek ki 5x – 7 + x = 1 + 2x denkleminin çözümü 2‘dir, yani M = {2}.

5x -1 –x = x + 4 – 2x denklemini çöz.

3(x – 1) + x = 2x – 2- (x - 5) denklemini çöz.

denklemini çöz.

Parantezlerden kurtul

Ödev 9’da oldu�u gibi hareket et.


Verilen denklemi, kendine denk olacak paydasız denkleme na-sıl dönü�türeceksin?

Denklemin her iki tarafını EKOK (5, 3, 15) = 15 ile çarpaca�ım. Ondan sonra önceki ödevde ol-du�u gibi hareket edece�im.


T2’nin S2 gere�ince.Parantezlerden kurtulma.

T1’in S1 gere�ince.Her iki tarafını sadele�tirmek.

T2 gere�ince.

Demek ki verilen denklemin çözümü -2’dir, yani M = { -2 }.

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

Lineer denklemi genel (normal) �ekile dönü�türesin;

Bir bilinmeyenli lineer denklemi çözesin;

ax + b = 0 denklemini çözesina) a � 0; b) a = 0 , b � 0; c) a = 0 , b = 0.

3x + 1 = 2x – 2 –x denklemini normal �eki-le dönü�tür.

denklemini çöz.

Ödevler

�u denklemleri normal �ekile dönü�tür:

Verilen denklemlerden hangisi imkansızdır:

Denklemleri çöz:

x de�i�keninin hangi de�eri için 2x – 8 ve 1- x ifadelerinin sayı de�eri aynıdır?

Lineer denklemler

Denklemleri çöz

Denklemleri çöz:

Denklemleri çöz:

a parametresinin hangi de�eri için 8x – 3a – 5 = 2a + 5x – 16 denklemi-nin çözümü x = 3’tür.

Domino sırrı...

Arkada�ına bir domino seçmesini (ya da çizmesini) iste. Ondan sonra, hangi dominoyu seçti�ini anlamak için birkaç i�lem yapmasını iste:Sayılardan birini 2 ile çarp.

6 kat.5 ile çarp.Dominonun ikincisayısını kat.30 çıkar.Elde etti�in sayıyı söyle.�sabet ediyorsun! Elde edilen sonucun rakamları, seçilen dominonun sayıları-dır.

Sırrı, matematik açısından açıkla.

B�R B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER�N UYGULANMASI

Anımsa!

Matemati�i incelerken, büyüklükler arasındaki ba�ıntılar çok kez “konu�-ma diliyle” sözlü olarak verilmi� oldu-�u durumlara rastlıyorsun. Bu ba�ıntı-ların “matematik diline” çevrilmesi çok kez denklemler vasıtasıyla yapılır.

Bunu, a�a�ıdaki ödevde incele:Anne ve o�lunun ya�ları berabere 32’dir. Anne o�lundan 20 ya� büyük-tür. Annenin ve o�lunun ya�ları ne ka-dardır?

Anne kızından üç defa büyüktür. 10 yıl sonra anne kızından iki defa bü-yük olacaktır. Anne ve kızın �imdiki ya�ı ne kadardır?

Hangi büyüklükler ve ba�ın-tıların bilinen, hangilerinin ise bilinmeyen oldu�unu incele.

Bilinenler: Anne �imdi kızından üç defa büyük, 10 yıl sonra ise iki defa büyük olacaktır. Bilinme-yenler: Anne ve kızın ya�ları.


E�er kızın ya�ını x ile i�aret ediyorsan, annenin ya�larını nasıl i�aret edeceksin? 10 yıl sonra herbiri kaç ya�ında ola-caktır?

E�er kızın ya�ı x ise, o zaman annenin �imdiki ya�ı 3x olur. 10 yıl sonra kızın ya�ı (x + 10), annenin ise (3x + 10) olur.

Büyüklükler arasındaki ba�ıntıları tabloda görebilir ve denklemin nasıl olu�tu�unu inceleyebilirsin.

3x + 10 = 2(x + 10) denklemini çöz.Kızın ya�ı ne kadardır?Annenin ya�ı ne kadardır?Denklemin çözümü 10’dur.

�imdi kaç ya�ındadır Denklemr

Kız

Anne 3xx x + 10

3x + 103x + 10 = 2(x+10)

10 yıl sonra kaç ya�ında olacak

Annenin ya�ı 36, kızı ise 10 ya�ı vardır. Kaç yıl sonra anne kızından üç defa büyük ola-caktır?

Metinli ödevleri çözmek için, belli bir plan yapılırsa, çözüme daha kolay ula�abilirsin. Bunu �u ödevde görebilirsin.

Bir kontrol yazılı yoklamasında, ö�retmen ö�rencelerine 15 ödev vermi�tir. Do�ru çözülen her ödev için ö�renci 5 puan kazanır, yanlı� çözülen her ödev için ö�renci ise 2 puan kaybeder. Sonunda 54 puan kazanan ö�renci kaç ödev çözmü�tür?

1.1.

2.

Ödevin anla�ılması

Bilinmeyen büyüklüklerin i�aretlenmesi

Ödevde neler bili-nir, neler bilinmez?

Do�ru çözülen ödevlerin sayı-sını x ile i�aret et. Çözülmemi� ödevlerin sayısını nasıl i�aret edeceksin?

Do�ru çözülen ödevlerin sayısı x ile i�aret edilirse, çözülmemi� ödevlerin sayısı 15 – x ile i�a-ret edilir.

Ö�renci, 15 ödev çözüyor ve her do�ru çözü-len ödev için ö�renci 5 puan kazanır, yanlı� çö-zülen her ödev için ö�renci ise 2 puan kaybeder ve sonunda 54 puan kazandı�ı bilinir. Ö�renci-nin kaç do�ru ödev çözdü�ü bilinmiyor.

Lineer denklemler

Büyüklükler arasındaki ba�lantıların bulunması

Denklemin olu�turulması

Denklemin çözülmesi

Sorulan sorunun cevabı ve onun yoklaması

Ö�renci ne kadar kazanmı� ve ne kadar kaybetmi�?

Ö�renci 5x puan kazanmı� (x ödevde 5’er puan) ve (15 – x) puan kaybetmi�tir (15 – x ödev 2’�er puan) ve toplam 54 puan kazanmı�tır.

Belirtilen ba�lantılardan hangi denklem elde edilir?

Denklemin çözümü neyi gös-termektedir?

Çözümün yoklaması-nı yap

E�er x = 12 ise, ö�renci 12 öde-vi do�ru çözmü�tür. Yanlı� çözdü-�ü ödev sayısı ise 15 – 12 = 3’tür.

12 ödeve 5’er puan 60 puan eder. 3 ödev 2’�er puan 6 puan eder. 60 – 6 = 54 puan. Demek ki ödevin çözümü do�rudur.

Büyüklükler arasındaki ba�ıntı-dan �u denklem elde edilir: 5x – 2( 15 – x ) = 54.

Yapılan i�lemleri tabloda görebilirsiniz.

Denklemin çözümünü incele: 5x – 2(15 – x ) = 54.

Ödevler

Toplam 15

5x 5x - 2(15 - x) = 54

2(15-x)15 - x

xDo�ru çözülenler

Yanlı� çözülenler

Ödevler sayısı DenklemÖdevlere göre

puan sayısı

Bir araba satı� dükkanında 22 otomobil ve motosiklet vardır. Onların toplam 74 teker-le�i vardır. Dükkanda kaç otomobil ve kaç motosiklet vardır?Bir ikizkenar üçgende yan kenar tabanından 2 cm daha büyüktür, çevresi ise 25 cm. Üçgenin tabanını ve yan kenarını belirt.


d.o.k

Ödevin çözümü için yapılan planın kısa yazılı�ını incele.

1. Yan kenarı b tabanı a’dan 2 cm daha büyük, çevresi ise 25 cm’dir.2. Tabanı a = x ile i�aret edersek , o zaman b = x + 23. a + 2b = L.4. x + 2(x + 2) = 25

5.

Demek ki tabanı a = 7 cm , yan kenarı b = 7 + 2 = 9 cm.

6. Yoklama: L = a + 2b; L = 7 + 2 · 9 ; L = 25 cm.

Ödevdeki büyüklük-ler arasındaki ba-�ıntıyı verilen tablo-da görebilirsin

BüyüklüklerTaban

Yan kenarÇevre

Bir dikdörtgenin a uzunlu�u, b geni�li�inden 3 cm büyüktür, çevresi ise 34cm’dir. Dik-dörtgenin uzunlu�unu ve geni�li�ini belirt.

A yerinden B yerine gitmek için aynı anda yola çıkan iki bisikletçiden birincisi saatte 16 km, ikincisi de saatte 12 km hızla gidiyor. Birinci bisikletçi B yerine 1 saat önce vardı�ı-na göre A ve b arasındaki uzaklı�ı belirt.

Ödevdeki büyüklükler arasındaki ba�ıntıyı verilen tabloda görebilirsin.

Hız Zaman Yol Yoklama

Birinci bisikletçi�kinci bisikletçi

Saatte 16 km x saatx +1 saatSaatte 12 km

Denklemi çöz ve A ve B arasındaki uzaklı�ı belirt.

Ödev çözümünün do�ru olup olmadı�ına dair yoklama yap.


Metinli soruların çözümünde denklemleri uygulayasın;

Elde edilen çözümü yoklayasın.

Bir üçgende kenarlardan biri di�erinden 2 cm büyük, üçüncüsünden ise 1 cm küçüktür.

Üçgenin çevresi 43 cm oldu�una göre, kenarlarını belirt.

Lineer denklemler

Büyüklüklerin i�areti Denklem

Ödevler

Dene...Diofantın mezar yazıtı

E�er bir sayıya 12 katılırsa ve elde edi-len toplam 5 ile çarpılırsa 200 elde edi-lir. Bu sayı hangisidir?

�ki sayının toplamı 180’dir. Birincisi ikin-cisinden 36 için daha küçük oldu�una göre o sayıları belirt?

�ki sayının farkı 46’dır. Sayılardan büyü-�ü küçü�üyle bölünürse, bölüm 4 ve ka-lan 7 elde edilir. Bu sayılar hangileridir?

Bir ikizkenar üçgenin tabanı yankena-rından 2 cm küçüktür. Üçgenin çevresi 43 cm oldu�una göre, tabanını ve yan-kenarını belirt.

Hakan’ın toplam 80 denarı olmak üze-re 2’�er ve 5’�er denarlık 25 demir para-sı vardır. Bu paralardan kaç tanesi 2 de-narlık, kaç tanesi ise 5 denarlıktır?

Eski Çin ödevi. Bir kafeste evcil tav�an-lar ve güvercinler vardır. Onların toplam 35 ba�ı ve 94 aya�ı vardır. Tav�anların ve güvercinlerin sayısını bul?

Bir kurye, A ve B yerleri arasındaki me-safeyi belli bir zamanda geçer. Saatte 35 km geçerse, 2 saat geç yeti�ecek, saatte 50 km geçerse, 1 saat önce ula�acaktır. A ve B arasındaki uzaklı�ı belirt.

Bir i�çi bir i�i kendi ba�ına çalı�arak 6 saatte, di�eri ise aynı i�i 12 saatte biti-rebilir. Her ikisi beraber çalı�arak aynı i�i kaç saatte bitirebilirler?

Bir havuz iki borudan dolar. Birinci boru kendi ba�ına havuzu 4 saatte, ikin-ci boru ise 6 saatte doldurabilir. Her iki boru açık oldu�u durumda, bo� havuz kaç saatte dolar?

�ki boru beraber bir havuzu 12 saat-te doldurabilir. Borulardan biri havuzu kendi ba�ına 20 saatte doldurdu�una göre, ikinci boru havuzu kaç saatte dol-durabilir?

Eski Yunan matematikçisi Diofant’ın mezar ta�ında �unlar yazılıdır:“Yolcu, burada Diofant’ın naa�ı yatmakta-dır. Rakamlar, onun ömrü ne kadar uzun ol-du�unu anlatacaktır. Harika çocuklu�u öm-rünün altıda birini almı�tır, ömrünün daha on ikide biri geçtikten sonra yüzünü sakal örttü. Ömrünün daha yedide biri geçtikten sonra, Diofant mutlu bir evlilik yaptı. Evlilik 5 yıl geçtikten sonra, onları mutlu edecek biricik o�ulları oldu. Halbuki kader ona an-cak babasının ömrünün yarısı kadar ömür verdi. Büyük bir üzüntü içinde ihtiyar daha 4 yıl ya�ayarak dünya hayatına veda etti”.Diofant kaç yıl ya�amı�tır?


E��TS�ZL�K KAVRAMI VE E��TS�ZL�K

Anımsa!

Sayı ifadeleri �unlardır: 5 + 8, 9 : 3 – 2, 4,6 · 3,5 * 1, 8 : 0,2 ve ba�ka.

�fadedeki tüm i�lemler yapıldıktan son-ra elde edilen sayıya, ifadenin sayı de-�eri denir.

Verilen ifadenin sayı de�erini hesapla: 15 – 22 · 3 – 6,4 : 0,4.Rasyonel sayıları kar�ıla�tırırken �u i�aretlerden yararlanılır: =, < ve >.Verilen sayıların kar�ıla�tırılmasının do�ru olması için dairecikte > ya da < i�aretlerinden hangisi yazılmalıdır?

5 -12 0 3,5-1 -5 -4 0?

�u e�itsizliklerden hangileri do�rudur:a) 7 > 5; b) -5 > -4; c) -3,2 < -2,3?

Verilen sayı ifadelerin sayı de�er-lerinin kar�ıla�tırılmasının do�ru ol-

ması için dairecikte hangi i�aret yazılmalıdır:

Verilen sayı ifadelerin kar�ıla�tı-rılması için önce hangi i�lemleri yapmalısın?

Çnce verilen sayı ifadelerin sayı de�erlerini hesaplamalıyım, on-dan sonra dairecikte hangi i�are-tin gelece�ini belirtmem gerekir.

Elde etti�in çözümü verilen çözümle kar-�ıla�tır.

yani

yani

Ödev 1’i çözerken, her iki sayı ifadeyi: 3 · (5 – 2) ve 8 – 4 · 3 ya da 8 · 2,5 – 10,8 ve (-4)2 + 1

> ya da < i�aretlerinden biriyle ba�ladın ve �unu elde ettin:3 · (5 – 2) > 8 – 4 · 3 ya da 8 · 2,5 – 10,8 < (-4)2 + 1

3 · (5 – 2) > 8 – 4 · 3 ve 8 · 2,5 – 10,8 < (-4)2 + 1 ifadeleri sayı e�itsizlikleridir.

8 · 5 – 62 ve 3 · 4 + 5. ifadelerinden do�ru sayı e�itsizlikleri olu�tur.

�u sayı e�itsizliklerden do�ru olanları belirt:

28 – 8 · 3 > -9 · 2 + 20; 7 < 3 · 12 – 52; -9 + 6 > 8 · 3 – 35.

B�R B�L�NMEYENL� L�NEER E��TS�ZL�KLER

Bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler

Anımsa!

�u ifadeler de�i�kenli ifadelerdir: x – 1; 2y – 3, x2 – 2x + 1.2y – 3 ifadesinde y de�i�keni yerine 2 de�i�tirilirse nasıl ifade elde edilir?x2 – 2x + 1 sayı ifadesinin de�erini x = 3 için hesapla.

De�i�kenli ifadenin kar�ıla�tırıl-masını do�ru yapmak için daire

cikte > ya da < i�aretlerin den hangisi yazıl-malıdır:

x2 – 2x + 1 2x + 3, x = -2 için?

Verilen x de�i�kenli ifadede, x yerine -2 yazılırsa nasıl ifade-ler elde edilecektir?Ondan sonra ne yapmalısın?

x de�i�keninin -2 ile de�i�tirilmesiyle kar�ıla�tırılabilen sayı ifadeleri elde edece-�im. Ondan sonra dairecikte gereken i�areti yazabilirim.


x2 – 2x + 1 = (-2)2 -2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9; 2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = - 1.9 > - 1 oldu�una göre, x = -2 için x2 – 2x + 1 > 2x + 3.

2x + 1 > 2x + 3 e�itsizli�ine de�i�kenli e�itsizlik denir.

Sol ve sa� tarafı ya da en az biri de�i�kenli ifade olan e�itsizli�e, de�i�kenli e�itsizlik ya da yalnız e�itsizlik denir.

�u ifadelerden hangileri e�itsizliktir:

Unutma!

E�itsizlikteki de�i�kenler genellikle x, y, z,... harfl eriyle i�aret ediliyor. Onlar kümesin-den ya da herhangi bir kümeden de�erler alabilirler.

E�itsizli�in verilmesiyle, de�i�kenlerin ait oldu�u küme de veriliyor, yani e�itsizli�in ta-nım kümesi veriliyor.

Tanım kümesi verilmemi� durumda, onu R kümesi olarak sayaca�ız.

Bir bilinmeyenli e�itsizlik, genel olarak f(x) < g(x), x � D biçiminde yazılır. Bu durumda f(x) ve g(x), ifadeleri D kümesinde tanımlı x de�i�kenli ifadelerdir.


c)ç)

a)b)

Anımsa!

Bilinmeyenlerin sayısına göre denk-lemler nasıl adlandırılır?

Bilinmeyenlerin derecesine göre, denklemler lineer (birinci derece), ikin-ci derece, üçüncü derece vb. olabilir.

2x – 3 = x + 1 ; x2 – 3x = 2 denklemi hangi derecedendir?

�u e�itsizlikler verilmi�tir:

Her e�itsizlik kaç bilinmeyenlidir?

Bilinmeyenlerin sayısına göre 2x - 1 < 3x + 1 ve x2 – 1 > 2x e�itsizliklerini nasıl adlandırıyorsun? 2x – y > 5- x ve x2y -2 < 3x e�itsizliklerini ise nasıl ?

Hangi e�itsizlikler bir, hangileri ise iki bilin-meyenlidir?

2x - 1 < 3x + 1 ve x2 – 1 > 2x e�itsizlikleri bir bilinmeyenli, 2x – y > 5- x ve x2y -2 < 3x e�it-sizlikleri ise iki bilinmeyenlidir.

Unutma!

Bilinmeyenlerin sayısına göre e�itsizlikler bir bilinmeyenli e�itsizlikler, iki bilinmeyen-li e�itsizlikler, üç bilinmeyenli e�itsizlikler vb. olabilir.


�u e�itsizliklerden herbirinin kaç bilinmeyenli oldu�unu belirt:a) 2x - 1 < x + 2; b) x + y < 7 – z; c) x +2 y < x – y + 1; ç) 2x > x + 2.

Her e�itsizlikte bilinmeyenin en yüksek derecesini belirt.

Bilinmeyenlerin derecesine göre e�itsizlikler hangi derecedir?

Bilinmeyenlerin derecesi-ne göre, e�itsizliklerin de-recesini denklemlerde ol-du�u gibi belirt.

x – 2 < 2x + 3 ve x – y < y + 3. e�itsiz-likleri birinci derece, x2 + 2 > 2x e�it-sizli�i ikinci derece ve x2y -2 > 3x e�it-sizli�i üçüncü derecedir.


Unutma!

Sol ve sa� tarafı tam rasyonel ifade olan f(x) < g(x), ya da f(x) > g(x), e�itsizli�i bilinmeye-nin derecesine göre, birinci derece (lineer) e�itsizlik, ikinci derece e�itsizlik, üçüncü de-rece e�itsizlik vb. olabilir.

�u e�itsizliklerin herbirinin hangi derece oldu�unu belirt:

a) 5x – 2 < x + 4; b) x2 – 2x < 6; c) x2y – 5 > 2x; ç) 2x + y < 7.


< ya da > i�aretiyle ba�lı olan iki ifade, bir e�itsizlik meydana getiriyorlar.

E�itsizlik kavramını tanımlayasın;

Bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilin-meyenin derecesine göre e�itsizliklerin hangi cinsten oldu�unu tespit edesin.

�u e�itsizlikler hangi cinstendir:

a) 5 · 8 – 3 > 17 – 22; b) x2 – 1 < 5x;

c) 3x + y < y + 2; ç) 5 – 2·3 > 3 – 4 · 2

�u e�itsizliklerden hangileri bir bilinme-yenli lineer e�itsizliklerdir:a) x2 + 6 > 5x; b) x + 2y < 5x + 1; c) y – 2 < 3y; ç) x + 2 > 2x – 5.

Ödevler

�u e�itsizliklerden hangilerinin do�ru oldu�unu belirt:

x � {-2, 0, 2} de�erlerinden hangisi için x2 – 2x < x + 5 e�itsizli�i do�rudur?

Bilinmeyenlerin sayısına göre a�a�ıda-ki e�itsizliklerden herbirinin cinsini belirt:

Bilinmeyenlerin derecesine göre a�a-�ıdaki e�itsizliklerden herbirinin cinsi-ni belirt:


E��TS�ZL��N ÇÖZÜMÜ. ARALIKLAR

Anımsa!

Bir denklemin do�ru e�itli�e dönü�tü�ü bilinmeyenin de�erine denklemin çö-zümü (kökü) denir.

2 sayısının verilen denklemin çözümü olup olmadı�ını yokla:a) 2x – 1 = x + 1; b) 3x – 5 = x + 3.

Denklemin çözümünü belirt:a) 3x – 1 = 2x + 3; b) 2x + 1 = 2x + 5.

x � {-2, -1, 0, 1, 2} = D olmak üze-re x bilinmeyeninin hangi de�erle-ri için verilen e�itsizliklerden herbi-ri do�ru sayı e�itsizli�ine dönü�ür.a) 3x + 1 > x – 1;b) 2x – 2 < x + 4;c) 2x – 3 > x + 2

E�itsizliklerden, sayı e�itsizlik-leri nasıl elde edilir?Ödevin çözümünü tablo ile göstermeye çalı�.

x bilinmeyeninin de�erini D tanım kümesinde de�erler alarak de�i�tirmekle e�itsizli�i sayı e�itsizli�ine dönü�türece�im. Ondan sonra elde edilen e�itsizli-�in do�ru (T) veya yanlı� (�) oldu�unu tespit edebilirim.

Elde etti�in çözümü ve-rilenle kar-�ıla�tır.

x’in de�eriE�itsizlik

Tablodan farkettin:

3x + 1 > x – 1 e�itsizli�i x = 0, x = 1 ve x = 2 için do�ru sayı e�itsizli�ine dönü�ür.

2x – 2 < x + 4 e�itsizli�i, D tanım kümesinin her x de�eri için do�ru sayı e�itsizli�ine dö-nü�ür.

2x – 3 > x + 2 e�itsizli�i D kümesinin hiçbir x de�eri için do�ru sayı e�itsizli�ine dönü�mez.

E�itsizli�in do�ru sayı e�itsizli�ine dönü�tü�ü her sayı de�erine, e�itsizli�in çözümü denir.- f (x) < g (x) e�itsizli�in tüm çözümleri, e�itsizli�in çözüm kümesi denilen bir küme olu�tu-ruyor ve o genellikle R(f(x) < g(x)) biçiminde i�aret edilir. Önceki ödevde 3x + 1 >x–1 e�it-sizli�inin çözüm kümesi R(3x + 1 > x – 1) = {0, 1, 2}.


Ödev 1’de olan 2x – 2 < x + 4 ve 2x – 3 > x + 2 e�itsizliklerin çözüm kümesini yaz.

x ��{-3, -1, 1, 2, 3} olmak üzere 2x – 3 < 3x – 2 e�itsizli�inin çözüm kümesini yaz.

Herhalde e�itsizli�inin çözüm kümesinin R(2x–3 < 3x – 2) = {1, 2, 3} oldu�unu bulmu�-sun. Bununla 2x – 3 < 3x – 2 e�itsizli�i çözülmü�tür.

Unutma!

Bir e�itsizli�i çözmek, onun çözüm kümesini belirtmek demektir.

Anımsa!

�ki denklemin çözüm kümeleri aynı ol-du�u durumda onlara denk denklemler denir.�u denklemlerin denk olup olmadıkla-rını yokla: 3x – 4 = 2x – 1 ve x – 5 = x – 2.

Tanım kümesi D = {-1, 0, 1, 2} olan 3x + 2 > 2x + 1 ve 2x – 3 > x – 4 e�itsizlikleri veriliyor.

Her iki e�itsizli�in çözümler küme-sini belirt.Her iki e�itsizli�in çözümler küme-sini kar�ıla�tır. Ne farkediyorsun?


E�itsizlik

R(3x +2 >2x +1) = {0, 1, 2}, R(2x – 3 > x - 4) = {0, 1, 2}, oldu�unu farkediyorsun, yani R(3x +2 >2x +1) = R(2x – 3 > x - 4) olur. Böyle e�itsizliklere D tanım kümesinde denk e�itsizlikler denir ve 3x +2 >2x +1� 2x – 3 > x – 4, x � D yazıyoruz.

Unutma!

Tanım kümesi aynı olan iki e�itsizli�in çözüm kümeleri aynı ise, onlara denk e�itsizlikler denir.

Tanım kümesi D = {1, 2, 3, 4} olan 3x – 1 > 2x + 1 ve 2x + 3 < 3x +1, e�itsizliklerin denk olup olmadıklarını yokla.


Bir sayı do�rusu verilmi�tir ve üze-rinde A ve B noktaları i�aret edil-mi�tir. A ve B noktalarına sırasıyla 1 ve 4 sayıları kar�ılık gelir.

-1 0 1 2 3 4 5

BA

A noktası B’nin solunda bulundu�una göre, onlara kar�ılık gelen sayılar için: 1 < 4 geçerlidir.Hangi do�al sayılar 1 ve 4 arasında bulunur.

sayılarından hangileri 1 ve 4 arasındadır.

Neden 1 ve 4 arasında bulunur? Çünkü � 1,41 sayısı 1’in sa�ında 4’ün

solunda dır.

1 ve 4 arasında bulunan bütün reel sayılar, uç noktaları 1 ve 4 olan ve ona aralık deni-len bir küme olu�turuyorlar.

Genel olarak

a ve b verilen reel sayılar ve a < b ise, a ve b arasında bulunan bütün reel sayılar küme-sine aralık denir. a ve b aralı�ın – uç noktalardır.

a ve b uç noktaları aralı�a ait olmadı�ı durumda, ona açık aralık denir.

(a; b) biçiminde i�aret edilir.

Sayı do�rusu üzerinde gösterilir:a ve b uç noktaları aralı�a ait oldukları durumda, ona kapalı aralık denir.

[;b] biçiminde i�aret edilir.

Sayı do�rusu üzerinde gösterilir:

Uçları 3 ve 5 olan aralı�ı yaz ve sayı ekseninde göster:a) kapalı aralık; b) açık aralık;c) sol uç noktasını içermeyen aralık; ç) sa� uç noktasını içermeyen aralık.

c) ve ç) için elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.

Aralık, a�a�ıdaki reel sayılardan olu�an kümeler gibi de gösterilebilr:a’dan büyük (a; +) a’dan küçük (-; a)

a’dan büyük ya da e�it [a; +] a’dan küçük ya da e�it (-; a]


Aralı�ın bir ucunda + ve -�oldu�unu farkediyorsun.(a; +) aralı�ı “a’dan artı sonsuza kadar” diye okunur.(-; a) aralı�ı “eksi sonsuzdan a’ya kadar” diye okunur.R kümesi (-; +) diye yazılabilir.(3; -); [1; +]; (+; 4) aralıkların anlamı olmadı�ını fark ediyorsun.

Reel sayılardan olu�an kümeleri önce aralık biçiminde yaz, ondan sonra sayı eksenin-de göster:a) 2‘den büyük b) 1‘den büyük ya da e�it



Verilen her e�itsizli�in çözüm kümesini belirt.Elde edilen her kümeyi sayı do�rusu üzerinde göster.

Do�ru sayı e�itsizlikleri elde et-mek için, x de�i�keni x > -1 e�it-sizli�inde hangi sayılarla de�i�ti-rilmelidir, x < 2 e�itsizli�inde ise hangi sayılarla de�i�tirilmelidir?

Do�ru sayı e�itsizli�i elde etmek için x > -1 e�itsizli�inde x de�i�keni -1 den büyük olan herhangi reel sayıy-la de�i�tirilmelidir, x < 2 e�itsizli�inde ise 2 den küçük herhangi reel sayıy-la de�i�tirilmelidir.

x > -1 e�itsizli�in çözüm kümesi -1 den +, bütün reel sayılardır, yani (-1, +) aralı�ı ol-du�unu görüyorsun.

Verilen e�itsizliklerin çözüm kümelerinin, sayı do�rusu üzerinde nasıl gösterildi�ini görünüz.

x > -1 ve x < 2 e�itsizlikleri çözülmü� biçimdedir ve onların çözümleri do�rudan do�ruya okunabilir.

Unutma!

a verilen bir reel sayı olmak üzere, x > a, x < a ve 0 · x < a, e�itsizlikleri çözülmü� biçim-de yazılmı�tır ve onlara temel e�itsizlikler denir.


0 · x < - 5 e�itsizli�ini çöz.

0 · x < 5 e�itsizli�ini çöz.

Sıfır ile çarpıldı�ında -5’ten küçük olacak sayı var mıdır?

Herhangi bir sayının sıfır ile çarpımı sıfır oldu�una göre, 0 · x < - 5 e�itsiz-li�in çözümü yoktur.

0 · x < a e�itsizli�inin çözümünü kavra:R(0 · x < a, e�er a < 0) = Ø ve R(0 · x < a, e�er a > 0) = R.

x > - 5 ; x < 4; 0 · x < -1 ; 0 · x < 3, e�itsizli�in çözüm kümesini aralıklar yardımıyla yaz.

x � a �eklinden e�itsizliklerin çözümü [ a; +) 'dır. x � a e�itsizli�in çözüm kümesi ise ( - , a]' dır.

e�itsizliklerin çözüm kümelerini aralık ile ve sayı ekseninde göster.a) x � 3; b) x � -2.

x � - 1 e�itsizli�in çözüm kümesini aralık biçiminde yaz.

Bu �ekilde verilen ödevin nasıl çözüldü�ünü inceleyiniz.

a) x � 3 ise, x ��- ; 3] elde edilir.

b) x � -2 ise x ��[ -2 ; +) elde edilir


Verilen e�itsizliklerin çözümlerinin hangi de�erler oldu�unu kontrol edesin;�ki e�itsizli�in denk olup olmadı�ını tes-pit et.

�ki e�itsizlik ne zaman denk olabildi�ini açıkla;Verilen e�itsizli�in çözümler kümesini aralık biçiminde ve sayı do�rusu üzerin-de göster.

x ��0, 1, 2, 3, 4}�olmak üzere, R(2x – 1 > x + 1) = {2, 3, 4} yokla.

x ��0, 1, 2, 3, 4} = D �olmak üzere, 3x – 1 > x + 1 e�itsizli�i 4x – 1 > 3x e�itsizli�iyle denk olup olmadı�ını yokla.

x < - 3, e�itsizli�in çözümünü aralıkla göster.


Ödevler

Anımsa!

��-1, 0, 1, 2, 3} kümesinde �u e�it-sizlikler verilmi�tir:

a) 3x + 1 > 2x + 1; b) 2x + 3 > x + 3.

Verilen e�itsizliklerden her birinin çö-zümler kümesini belirt.

A�a�ıdaki e�itsizliklerden hangileri ��-2, -1�0, 1, 2} kümesinde denktir:

a) 3x – 2 > 2x – 3; b) 2x – 1 > x – 2; c) 2x + 5 > x + 4.

Verilen e�itsizli�in çözümler kümesini aralıkla göster:

a) x > -2; b) x < 0; c) x � 1; ç) x � -3.

Verilen e�itsizli�in çözüm kümesini ara-lık ile ve sayı do�rusu üzerinde göster.a) x > -3; b) ) x < 2.

Verilen e�itsizli�in çözüm kümesini ara-lık ile ve sayı do�rusu üzerinde göster.

a) x � -2 ; b) x � 1.

�u e�itsizliklerden hangisinin çözümü yoktur?Cevabını açıkla.

a) x > 0; b) 0 · x > - 2 ;

c) 0 · x < -1; ç) x < -5.

DENK E��TS�ZL�KLERE A�T TEOREMLER

Hangi iki denkleme denktirler denilir?

3x – 1 > x + 3 ve 2x – 1 > x + 1 e�itsizlikleri ��1, 2, 3, 4} kümesinde denk olup olmadıklarını yokla.

Denk denklemlere ait teorem 1, nasıl ifade edilir?

��-2, -1�0, 1, 2} kümesinde 3x – 2 > 2x - 3 .

Verilen e�itsizli�in çözümler kümesini belirt.

E�itsizli�in iki tarafına x – 1 ifadesini kat ve elde edilen e�itsizli�in verilene denk olup olmadı�ını yokla.

Verilen e�itsizli�in elde edilen e�itsizlikle denk olup olmadı�ını nasıl yoklayacaksın?

Her iki e�itsizli�in çözüm küme-lerini bulduktan sonra çözümleri kar�ıla�tırıyorum.



x için de�er

Verilen e�itsizlikVerilen e�itsizlik Elde edilen e�itsizlik Do�ruYanlı�

Do�ruYanlı�

Tablodan kavra ki:R(3x – 2 > 2x – 3) = �0, 1, 2} ve R(3x – 2 + x - 1> 2x – 3 + x – 1) = �0, 1, 2},

yani 3x – 2 > 2x – 3 iki tarafına x – 1 ifadesini katmakla, verilene denk olan 3x – 2 + x - 1> 2x – 3 + x – 1 e�itsizli�i elde edilir.

Bu özellik genel olarak tüm e�itsizlikler için geçerlidir ve e�itsizli�in iki tarafına sayı ya da ifadenin katılması teoremi diye adlandırılır.

Teorem 1

f(x) > g(x), e�itsizli�in iki tarafına aynı sayı veya tanım kümesinde her x için tanımlı olan bir h(x) ifadesi katılırsa verilene denk olan e�itsizlik elde edilir, yani

f(x) > g(x) � f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

Verilen iki�er e�itsizlik birbirine denk midir: a) 5x + 1 > 4x + 3 ve 5x + 1 + 3x > 4x + 3 + 3x; b) 2x - 5 > x – 2 ve 2x – 5 + 5x - 1 > x – 2 + 5x – 1; c) 3x - 1 < x + 2 ve 3x – 1 – 4x < x + 2 – 4x?Cevabını açıkla.

4x - 1 < 3x + 2 e�itsizli�ini çözülmü� biçimde e�itsizlik �ekline dönü�tür.

E�itsizli�i çözülmü� biçimde dönü�tür-mek için, onun iki tarafına hangi ifade-yi katabilirsin?

E�itsizli�in iki tarafına-3x + 1 ifadesini katabilirim.



Teorem 1 gere�ince �unları yazabiliriz:4x - 1 < 3x + 2 � 4x - 1 -3x + 1 < 3x + 2 -3x + 1 � 4x – 3x < 2 + 1� x < 3.

4x - 1 < 3x + 2 � 4x -3x < 2 + 1 ifadesinde 3x terimi sol taraftan sa� tarafa ters i�aret-le geçmi�, 1 sayısı ise sol taraftan sa� tarafa yine ters i�aretle geçmi� oldu�unu fark ede-bilirsin.

Bu özellik genel olarak bütün e�itsizliklerde geçerlidir. Buna göre, teorem 1’in �u sonu-cunu ifade edebiliriz:

S1E�itsizli�in her terimi bir taraftan di�er tarafa geçebilir. Böyle durumda terimin i�a-reti ters olarak de�i�ir.

Teorem 1’in uygulanmasıyla e�itsizliklere denk dönü�ümler yapalabilirsin. Böylece veri-len denkten daha basit yani sadele�mi� e�itsizlikler elde edilir. Bunu �u ödevde fark ede-ceksin.

Verilen 4x - 1 > 3x + 2 e�itsizli�i çözülmü� biçimde e�itsizli�e dönü�tür.

E�itsizli�in çözüm kümesini aralıklarla göster.

Sonuç 1’i uygula ve bilinmeyen-leri sol tarafa, bilinenleri ise sa� tarafa grupla�tır.

Sonuç 1 gere�ince �unun geçerli ol-du�unu belirtebiliriz:4x - 1 > 3x + 2 � 4x -3x > 2 + 1 � x > 3 ve R (4x - 1 > 3x + 2 ) = ( 3; + ).

3x - 5 > x - 3 e�itsizli�i verilmi�tir. E�itsizli�i çözülmü� biçime dönü�tür. E�itsizli�in çö-zümünü aralıklarla göster.

D = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı 3x – 2 + 4x < x + 1+ 4x ve 3x – 2 < x + 1 e�itsizliklerin denk olup olmadı�ını yokla.

�ki e�itsizli�in çözüm kümesi-ni belirt ve denk olup olmadı�ı-nı yokla.

R(3x – 2 + 4x < x + 1+ 4x )= �0, 1, 2}; R(3x – 2 < x + 1) = �0, 1, 2} oldu�una göre e�itsizlikler denktir.

Birinci e�itsizli�in iki tarafında 4x terimi bulundu�unu fark edebildin. E�itsizli�in her iki ta-rafından 4x teriminin silinmesiyle verilene denk olan 3x – 2 < x + 1 e�itsizli�i elde edilir.

E�itsizli�in her iki tarafında bulunan 4x teriminin silinmesini, teorem 1’in nasıl uygulandı-�ını ve denk e�itsizli�in nasıl elde edildi�ini açıkla.


S2

Bu özellik genel olarak bütün e�itsizliklerde geçerlidir. Buna göre, teorem 1’in daha bir sonucunu ifade edebiliriz:

E�itsizli�in farklı tarafl arında aynı terimler varsa, onlar silinebilir.

4x – 2 - 5x < 3x – 1 - 5x e�itsizli�ini çözülmü� biçime dönü�tür.

3x - 1 > 2x + 1 ve ��1, 2, 3, 4, 5} e�itsizli�i verilmi�tir.

E�itsizli�in her iki tarafını 2 ile çarp.Elde edilen e�itsizli�in, verilenle denk olup olmadı�ını yokla.

Ödevin çözümünü tabloda görebilirsin.

x’in de�eriE�itsizlik

Tablodan görebilirsin ki: R(3x - 1 > 2x + 1) = �3, 4, 5} ve R(6x – 2 > 4x + 2) = �3, 4, 5}, yani 3x - 1 > 2x + 1 � 6x – 2 > 4x + 2 'dir.Bu özellik genel olarak bütün e�itsizliklerde geçerlidir, ama e�itsizli�in iki tarafı pozitif sa-yıyla çarpıldı�ı durumda geçerlidir. Buna göre, e�itsizli�in iki tarafını pozitif sayıyla çarp-ma teoremi ile ifade edebiliriz.

Teorem 2.

f(x) > g(x), e�itsizli�in iki tarafı aynı bir a > 0 sayısıyla çarpıldı�ında verilene denk olan e�itsizlik elde edilir, yani

f(x) > g(x) � a · f(x) > a · g(x) , a > 0

�u e�itsizlikler neden birbirine denk oldu�unu açıkla: 3x – 2 < 2x – 3 ve 9x – 6 < 6x – 9.

4x – 8 < 12 – 8x e�itsizli�i veriliyor. Ona �u denk dönü�ümler yapılmı�tır:

4x – 8 < 12 – 8x e�itsizli�ine hangi denk dönü�ümler yapılmı�tır?Elde edilen e�itsizlikleri kar�ıla�tırınız. Ne fark ediyorsun?


4x – 8 < 12 – 8x e�itsizli�in iki tarafı ile çarpıldı�ında ve aynı e�itsizli�in iki tarafı 4 ile bölündü�ünde aynı dönü�ümün yapıldı�ını görüyorsun. Buna göre, teorem 2’den teorem 1’in �u sonucu ifade edilebilir:

14

Bir e�itsizli�in iki tarafının ortak pozitif çarpanı varsa, onunla e�itsizli�in iki tarafı bölünebilir ve elde edilen e�itsizlik verilene denk olur.S1

10x – 25 < 5x + 15 e�itsizli�i verilmi�tir. Sonuç 1’den yararlanarak bu e�itsizli�i sade-le�mi� biçimde dönü�tür.

e�itsizli�i verilmi�tir. Elde edilecek e�itsizli�in paydasız olması için e�itsizli�in iki tarafını hangi sayıyla çarpmalıyız?


EKOK(4, 2, 8)

e�itsizli�in dönü�ümü teorem 2 gere�ince yapılmı�tır. Bu durumda

T2’nin �u sonucu ifade edilebilir:

S1Katsayıları kesirler olan e�itsizlikleri, tam sayılı katsayılarla e�itsizliklere dönü�-türmek için, e�itsizli�in iki tarafı paydaların bir ortak katıyla çarpılır (genellikle en küçük ortak katla çarpılır).

Verilen e�itsizli�i, katsayıları tam sayı olan e�itsizli�e dönü�tür.

�u do�ru sayı e�itsizlikleri verilmi�tir: 7 > 4, -5 < -3 ve 1 > - 4.

Verilen e�itsizliklerin iki tarafını – 2 ile çarpınız.Elde edilen sayı e�itsizlikleri do�ru olup olmadıklarını yokla. Ne fark ediyorsun?

Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.yanlı� sayı e�itsizli�i.

yanlı� sayı e�itsizli�i.yanlı� sayı e�itsizli�i.


Do�ru sayı e�itsizli�i elde etmek için, e�itsizli�in i�areti de�i�melidir, yani -14 > - 8 ifade-si -14 < - 8 ile 10 < 6 ifadesi 10 > 6 ile ve - 2 > 8 ifadesi - 2 < 8 ile de�i�tirilmelidir.

Bu özellik her reel sayı a, b, c için geçerlidir.

a > b ve c < 0 ise, a · c < b · c ve a < b ve c < 0 ise, a · c > b · c olur.

�ddianın ispatını incele. Verilenler: a > b ve c < 0 �spatlanması gereken: a · c < b · c

a·c - b·c = ( a – b ) · c; c < 0 ve a – b >0 ( çünkü a > b oldu�una göre (a – b ) · c negatif sayıdır, yani a · c - b · c < 0; a · c < b · c elde edilir.

< 5 ve 2 > - 1 e�itsizliklerin i�aretlerine ters yönler denir.Buna göre, e�itsizli�in negatif sayıyla çarpımı ile ilgili �u teoremi ifade edebiliriz.

Teorem 3

Bir e�itsizli�in f(x) > g(x), iki tarafını aynı bir c negatif sayısıyla çarpar ya da bölersek ve e�itsizlik i�aretinin yönünü de�i�tirirsek, verilene denk olan e�itsizlik elde edilir, yani c < 0 ise f(x) > g(x) � c · f(x) < c · g(x).

-2x -7 > 5x - 1 e�itsizli�ini çözülmü� �ekile dönü�tür.

Teorem 1’in sonuç 1’ini, teorem 2’nin sonuç 1’ini ve teorem 3’ü uygula. yani

Bilmen gerekenler:

Ödevler

Kendini yokla!Denk e�itsizliklere ait teoremleri ve on-ların sonuçlarının ifade edesin;Denk e�itsizliklere ait teoremleri ve on-ların sonuçlarını ödevlerin çözümünde uygulayasın.

�u e�itsizliklerin neden denk olduklarını açıkla:

ve

ve

ve

�u e�itsizlikleri çözülmü� �ekilde e�it-sizliklere dönü�tür:

a) 3x – 1 < 2x + 1; b) 4x – 3 > 3x – 1.

2x – 3 – 5x < x – 1 – 5x e�itsizli�inde iki terimi öyle bir �ekilde sil ki elde edi-len e�itsizlik verilene denk olsun.


�u e�itsizli�i kendine denk olan payda-sız e�itsizli�e dönü�tür:

e�itsizli�ini çözülmü�

�ekilde e�itsizli�e dönü�tür.

e�itsizli�ini çözülmü� �ekilde e�itsizli�e dönü�tür. E�itsizli�in çözümünü aralık ile göster.

�u denklikleri açıkla:

B�R B�L�NMEYENL� L�NEER E��TS�KZL�KLER�N ÇÖZÜMÜ

Anımsa!

�u e�itsizliklerden hangileri bir bilin-meyenli lineer e�itsizliklerdir:

4x – 3 > 2x + 1 e�itsizli�ini çözü-nüz. Çözümü sayı ekseninde ara-lık biçiminde göster.

Verilen e�itsizli�i çözülmü� �eki-le nasıl getireceksin?

Teorem 1’in S1 ‘i ve teorem 2’nin S1’i uygulayaca�ım.


(T1 ‘in S1.) (e�itsizli�in iki tarafının sadele�tirilmesi).(T2’nin S1’e göre e�itsizli�i bölme).

5x-3>3x+1 e�itsizli�ini, çözülmü� bi-çimde e�itsizlik olarak dönü�tür.

�u e�itsizlikleri çöz: a) x – 4 > 8 – 3x; b) 3x – 5 < - x + 3.

f(x) � g(x); f(x) � g(x), de e�itsizliklerdir.

3(2x – 1) � -( 9 – 8x) e�itsizli�inin çözüm kaidesi verilmi�tir. Çözüm esnasında yapılan tüm denk dönü�ümlerini açıkla.

R

R

R


E�itsizli�i çöz: 2x – (3 – x) � 5x – 1.

E�itsizli�i çöz :

Verilen e�itsizli�in paydala-rından nasıl kurtulacaksın?

E�itsizli�in her iki tarafını EKOK (3, 2, 6) ile çarpaca�ım.


yani R R

E�itsizli�i çöz


Bir bilinmeyenli lineer e�itsizli�i çözülebilmes;

Verilen aralık, verilen bir e�itsizli�in çözümü olup olmadı�ını yokla;

Verilen metinli bir ödeve ait e�itsizli�e kurul-ması.

Verilen e�itsizli�i çöz: 2(x – 3) � -(9 – 5x).

x’in hangi de�eri için 2x – 4 ifadesi po-zitifdir?E�itsizli�i çöz:

Ödevler

�u e�itsizlikleri çöz:


(-3; +) aralı�ı e�itsizli�in çözümü olup olmadı�ını yokla.


x’in hangi de�erleri için

ifadesinin de�eri pozitiftir?

Bir dikdörtgenin uzunlu�u geni�li�inden 3 cm büyüktür. Onun çevresi 54 cm’den küçük olması için uzunlu�u ne kadar ol-malıdır?


B�R B�L�NMEYENL� L�NEER E��TS�ZL�KLER S�STEM�

B�R B�L�NMEYENL� L�NEER E��TS�ZL�KLER S�STEM�N�N ÇÖZÜMÜ

Anımsa!

Bir e�itsizli�i do�ru sayı e�itsizli�ine dönü�türen bilinmeyenin her de�erine e�itsizli�in çözümü denir.

x = 3 de�eri 3x – 1 > 2x – 3 e�itsizli�in çözümü olup olmadı�ını yokla.Bir e�itsizli�in bütün çözümlerinin olu�-turdu�u kümeye, e�itsizli�in çözüm kü-mesi denir.5x – 2 < 3x + 4 e�itsizli�in çözüm kü-mesini belirt.

�u e�itsizlikler verilmi�tir:3x + 1 > 2x – 1 ve 4x – 1 < 3x + 2.

Verilen e�itsizlikleri çöz.Verilen e�itsizliklerin çözüm küme-lerini aralık biçiminde ve o aralıkları aynı sayı do�rusu üzerinde göster.Verilen e�itsizliklerin ortak çözüm-leri olup olmadı�ını tespit et.

Verilen e�itsizliklerin orta çözü-mü olup olmadı�ını nasıl tespit edebilirsin?

Verilen e�itsizlikleri çözülmü� biçime dönü�türerek çözümlerini aralık biçiminde ve aynı sayı do�rusu üzerinde gösterece�im. Orada verilen e�itsizliklerin çö-züm kümelerinin kesi�imi olup olmadı�ını görebilirim.

Elde etti�in çözümü verilen çözümle kar�ıla�tır

R R

R R

Sayı do�rusunda görüldü�ü gibi (-2, 3) aralı�ına ait olan sayılar her iki e�itsizli�in çözü-müdür. Verilen iki e�itsizli�e bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler sistemi olu�turuyorlar denir.


101

�ki veya daha çok bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikten olu�an ve ortak çözümü istenilen ifadeye bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler sistemi denir.

Unutma!

Bir bilinmeyenli her iki lineer e�itsizlik sistemi a�a�ıda gösterildi�i gibi normal �ekile dönü�türebilir, örne�in.

2. �u e�itsizlik sistemi verilmi�tir:

Verilen sistemi normal �ekile dönü�tür.Sistemdeki e�itsizliklerin ortak çözümlerini sayı ekseninde göster.

Sistemdeki e�itsizliklerin ortak çözümleri olan x bilinmeyeninin tüm de�erlerine, yani her iki e�itsizli�in çözüm kümelerinin kesi�imine, e�itsizlik sisteminin çözüm kümesi denir ve Rs ile i�aret edilir. Demek ki:

Rs = R(ax > b) ��R(a1x > b1).

Verilen sistemin çözümler kümesini aralık biçiminde yaz.

Aynı kümede tanımlı olan iki sistemin çözüm kümeleri aynı ise onlara denk e�itsizlik sistemi denir.

3. lineer e�itsizlikler sistemi ve ax > b e�itsizli�ine denk olan a2x > b2

lineer e�itsizli�i verilmi�tir.

sistemi sistemiyle denk oldu�unu göster.

�spatlamada yürütülen kaideye dikkat et.

e�itsizlik sisteminin çözümü Rs = R(ax > b) � R(a1x > b1)’dir.

ax > b � a2x > b2 oldu�una göre R(ax > b) = R(a2x > b2) gerekir.

e�itsizlik sistemin çözümü Rs = R(a2x > b2) � R(a1x > b1)’dir.

R(ax > b) = R(a2x > b2) oldu�una göre R(a2x > b2) � R(a1x > b1) = R(ax > b) � R(11x b1)’dir,

yani,

Bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler sistemi

Bu �ekilde gelen �u teoremin geçerli oldu�unu ispatladık:

Teorem 1

Bir sistemde e�itsizliklerden biri, kendine denk bir e�itsizlikle de�i�tiriliyorsa, verilene denk olan e�itsizlik sistemi elde edilir.

�u e�itsizlik sistemini çöz Sistemin çözümünü aralık biçiminde ve sayı ekseninde göster.

Sistemdeki e�itsizlikleri hangi �ekile dönü�türecek-sin ve çözümünü nasıl be-lirteceksin?

Önce sistemdeki e�itsizlikleri çözül-mü� �ekile dönü�türece�im, ondan sonra her iki e�itsizli�in çözümler kümesinin kesi�imini belirtece�im.


�u e�itsizlik sistemini çöz Sistemin çözümünü ara-lık biçiminde ve sayı ek-seninde göster.

Hangi durumda iki e�itsizlikten olu�an sistemin çözümü olma-yabilir?

Sistemdeki iki e�itsizli�in çö-zümler kümelerinin kesi�imi bo� oldu�u durumda, sistemin çözü-mü yoktur.


103


Unutma!

Sistemdeki e�itsizliklerin çözüm kümelerinin kesi�imi bo� ise, sistemin çözümü yoktur ya da sistem çeli�kidir.

6. �u e�itsizlikler sistemini çöz.

Bilmen gerekenler:

Bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler sistemini çözesin;Bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler sisteminin çözümünü, sayı do�rusu üzerinde ve aralık biçiminde gösteresin.

Kendini yokla!

Bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler sistemini çöz:

R(ax > b) = (- �; - 1) ve R(a1x > b1) = (0; + �) oldu�una göre e�itsizlik sisteminin çözümü nedir?

Bir bilinmeyenli lineer e�itsizlikler sistemi

Ödevler

Sistemi çöz:

Sistemi çöz:

Sistemi çöz:

Sistemi çöz:

3.

4.

L�NEER FONKS�YONLAR

L�NEER FONKS�YON

Anımsa!

Do�ru ve ters orantılar aslında fonk-siyonlardır. Onlar genellikle formüller-le veriliyorlar.y = 2x formülüyle hangi orantı göste-rilmi�tir?Hangi orantı = formülüyle gösteril-mi�tir?

35 litrelik bir kabda 5 litre su var-dır. Bir borudan kaba dakikada 3 litre su dolar.

Kabda 1 dakika; 2 dakika; 2,5 daki-ka; 5 dakika; 10 dakika sonra kaç lit-re su olacaktır?(x) dakika sonra kaç litre (y) su ola-caktır?

Verilere göre tablo yapınız.

Kabda x = 1 dakika sonra ve x = 2 dakika sonra ne kadar su olaca�ı-nı nasıl hesaplayacaksın?

x = 1 dakikada, y = 3 · 1 + 5 = 8 litre; x = 2 dakikada, y = 3 · 2 + 5 = 11 litre.


105

Farketti�in gibi, x dakika sonra kabda 3x + 5 su, yani y = 3x + 5.

Kabın su ile dolusu f(x) = 3x + 5 formülüyle verilmi� f fonksiyonu gibi incelenmesinin mümkün oldu�unu görüyorsun.Formüle göre, x zamanının di�er de�erleri için de tablo yapabilirsin.

Kaç dakika sonra kab su ile dolacaktır?

Problemin hassasiyeti gere�ince, x zamanının 0’dan 10’a kadar de�i�ebildi�ini görü-yorsun.Yanlız f(x) = 3x + 5 formülünü incelersen, x de�i�keni her reel sayı olabilir.

Farketti�in gibi, x dakika sonra kabda 3x + 5 su, yani y = 3x + 5.

Her reel sayı x için y = f(x) olacak yanlız bir y de�eri kar�ılık gelir.f(x) = 3x + 5 formülüyle R kümesinde f fonksiyonu verilmi�tir ve lineer fonksiyon için bir örnektir.

�ncele ve unutma!

k ve n verilen herhangi reel sayılar olmak üzere f(x) = kx + n formülüyle verilmi� olan f fonksiyonuna lineer fonksiyon denir.k sayısına x de�i�keni önündeki katsayı, n sayısına ise serbest terim denir.

Bir lineer fonksiyon formül ile verildi�inde ve tanım kümesi için hiçbir �ey denilmemi�-se, fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesinin R oldu�unu sayaca�ız.

A�a�ıdaki verilere göre lineer fonksiyonu yaz:

Ödev 2’de k = 5 ve n = 0 ile ve-rilmi� olan fonksiyonun �ekli na-sıldır? Fonksiyon nasıl orantıyı göstermektedir?

E�er k = 5 ve n = 0 oldu�u du-rumda, o zaman f(x) = 5x �eklini alır. Bu fonksiyon düz orantıdır.

A�a�ıdakilere göre lineer fonksiyonu yaz.De�i�ken önündeki katsayı 4, serbest terimde 2’dir.De�i�ken önündeki katsayı -3, serbest terimde 1’dir.De�i�ken önündeki katsayı -2, serbest terimde 0’dır.

Lineer Fonksiyonlar

ve

ve veve

4. f(x) = x – 2 lineer fonksiyonu verilmi�tir. A�a�ıdakileri belirt:

f (-2); f (0); f (2).

x de�i�keninin hangi de�eri için f(x) fonksiyonunun de�eri 0’dır?

x = 2 için, f(x) = 2 – 2, yani x = 2 için f(x) = 0 olur.

Unutma!

y fonksiyonunun de�erini sıfır yapan, x de�i�keninin de�erine fonksiyonun sıfırı denir.

-3 sayısı f(x) = x + 3 fonksiyonunun sıfırı olup olmadı�ını yokla.

Fonksiyonun sıfırını belirt: a) y = -3x + 6; b) y = 2x – 1.

Farketti�in gibi verilen fonksiyonlarda, f(x) yerine y yazılmı�tır. �leride lineer fonksiyon-ları bu �ekilde yazaca�ız.

y = kx + n fonksiyonunda y = 0 olmak için x de�erini nasıl belirteceksin?

y = 0 olmak için kx + n = 0 olmalıdır.

Oradan kx = -n ve x = – –– , k � 0kn

a) �ıkkında fonksiyon için elde etti�in çözümü kar�ıla�tır.

a) y = -3x + 6 fonksiyonun de�eri sıfır olmak için: -3x + 6 = 0; -3x = -6; 3x = 6; x = 2, yani 2 sayısı y = -3x + 6 fonksiyonun sıfırıdır.

Verilen her fonksiyonun sıfırını belirt:

Bilmen gerekenler:

Lineer fonksiyonu tanımlanması;

Lineer fonksiyonun katsayısını ve serbest terimi ayırt edilsin;

Lineer fonksiyonun sıfırını belirtilsin.

Kendini yokla!

Verilen fonksiyonlardan hangisi lineer fonksiyondur?

y = -2x – 6 fonksiyonun sıfırını belirt.


107

Ödevler

Verilen fonksiyonlardan hangisi lineer fonksiyondur:

Verilenlere göre lineer fonksiyonu yaz:

Fonksiyonun de�i�ken önündeki katsa-yısını ve serbest terimini belirt:

Fonksiyonun sıfırını belirt

y = kx + n fonksiyonunun sıfırı x = 2 ve n = -3’dir. De�i�ken önündeki katsayı-sını belirt.

y = kx + n fonksiyonunun sıfırı x = -2 ve serbest terimi de�i�ken önündeki katsayıdan 3 için daha büyüktür. k ve n belirtilsin.

L�NEER FONKS�YONUN GRAF�KSEL GÖSTER�L��

Anımsa!

�ekilde Oxy dik açılı koordinat siste-mi verilmi�tir.

x ve y eksenleri nasıl adlandırılır?O noktasına ne denir?A noktasının koordinatlarını belirt.�ki noktadan kaç do�ru geçer?

�ekilde O ve A noktalarından ge-çen bir do�ru çizilmi�tir.

Bu do�runun y = 2x fonksiyonunun grafi �i oldu�unu göster.

O(0, 0) ve A(1, 2) noktaları y = 2x fonksiyonun gra-fi �ine ait olup ol-madı�ını yokla.

(2, 4) noktası y = 2x fonksiyonunun gra-fi �ine ait midir?

Lineer Fonksiyonlar

O(0, 0) ve A(1, 2) noktaları, fonksiyonun grafi �ine ait oldu-�unu nasıl göstereceksin?

x = 0 için, y = 2 · 0, y = 0. x = 1 için, y = 2 · 1, y = 2. Buna göre O ve A noktaları fonksiyonun grafi �ine ait-tir.

�ekilde, gördü�ün gibi, y = 2x fonksiyonuna ait olan O ve A noktalarından geçen do�ru çizilmi�tir.OA do�rusunun her noktası y = 2x ko�ulunu sa�ladı�ını ve OA do�rusuna ait olmayan her nokta y = 2x ko�ulunu sa�lamadı�ını gösteren açıklamayı izle.

OA do�rusu üzerinde bulunan tahminen bir B(x1, y1) noktasını seçelim (sayfa 107’de �e-kile bak). ONB ~ �� oldu�unu görüyorsun. Üçgenlerin benzerli�inden ge-rekir, yani y1 : x1 = 2 : 1; y1 = 2x1 ‘dir. Demek ki, B(x1, y1) noktası y = 2x fonksiyonun grafi -�ine aittir.

OA do�rusuna ait olmayan ve B noktasıyla e�it apsisli olan C noktasını seçelim (�ekile bak).y1 = 2x1 oldu�undan gerekir. oldu�una göre yani C noktası y = 2x ko�ulunu sa�lamaz. Demek ki C noktası fonksiyonun grafi �ine ait de�ildir.y = 2x fonksiyonunun grafi �i, koordinat ba�langıcından geçen bir do�rudur diyebiliriz.

Genel olarak �u özellik geçerlidir.

Teorem 1

y = kx lineer fonksiyonunun grafi �i, her k � R için, koordinat ba�langıcından geçen bir do�rudur.

y = -3x fonksiyonu veriliyor.

A(1, -3) ve B(-1, 3) noktaları fonksiyonun grafi �ine ait olup olmadı�ını yokla.Fonksiyonu grafi ksel �ekilde göster.

�ekilde y = 2x fonksiyonunun grafi �i verilmi� ve P ve B noktalarından bir do�ru çizilmi�tir.

PB do�rusu y = 2x + 3 fonksiyonunun grafi �i oldu-�unu göster.y = 2x + 3 fonksiyonun grafi �inin y eksenini kesti�i P noktasının koordinatlarını belirt.�ekilde, y = 2x + 3 fonksiyonun grafi �ine ait olan B noktasının koordinatlarını belirt.

ve belirtilsin.

3.


109

Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.x = 0 için, y = 2 · 0 + 3; y = 3 elde edilir. y = 2x + 3 fonksiyonun grafi �i y ekseni P noktasında koordinatları olan P(0, 3) keser,x = 1 için, y = 2 · 1 + 3; y = 5 elde edilir. B(1, 5) noktası y = 2x + 3 fonksiyonun grafi �ine aittir,

x de�i�kenine a de�erini koyarsak, y = 2x fonksiyonu 2a de�erini alır, y = 2x + 3 fonksiyonun de�eri de 2a + 3 olur.Farketti�in gibi, y = 2x + 3 fonksiyonun grafi �ine ait her noktanın ordinatı, 3 kadar (serbest terim oldu�u kadar) y = 2x fonksiyonun ordinatından aynı apsise göre büyüktür.

OP ve AB do�ru parçaları paraleldir, ve ’dir. O halde OABP dörtgeni paralelkenardır, oradan da OA ve PB do�ruları paraleldir.y = 2x + 3 lineer fonksiyonunun grafi �i y = 2x lineer fonksiyonun grafi �iyle paralel oldu-�unu ve ordinat ekseninin (0, 3) noktasından kesti�ini görüyorsun.Genel olarak �u teorem geçerlidir:

Teorem 2

y = kx + n fonksiyonunun grafi �i y + kx fonksiyonun grafi �iyle paralel olan ve y ekse-nini (0, n) noktasında kesen bir do�rudur.

y = 2x – 3 fonksiyonunun grafi �i, y eksenini kesti�i noktanın koordinatlarını belirt.

y = 3x – 2 fonksiyonunu grafi ksel �ekilde göster.5.

Bir do�ru kaç nokta ile bel-lidir? Bu özelli�i ödevin çö-zümünde kullanabilir mi-sin?

Do�ru, kendine ait olan iki nokta ile ta-mamen bellidir. Demek ki do�ruya ait olan iki noktanın koordinatlarını belirt-mem gerekir.


Lineer Fonksiyonlar

�ncele ve unutma!

Lineer fonksiyonu grafi ksel �ekilde göstermek için, kendine ait en az 2 noktanın koor-dinatları belirtilir, ondan sonra noktalar koordinat sisteminde gösterilir ve onlardan ge-çen do�ru çizilir. Elde edilen do�ru verilen fonksiyonun grafi �idir.

y = -2x + 1 fonksiyonunu grafi ksel �ekilde göster.

�ekilde y = x – 2 fonksiyonun grafi �i gösterilmi�tir.

Grafi �in apsis ekseniyle kesi�imi olan A noktası-nın koordinatlarını belirt.Fonksiyonun sıfırını belirt.

Fonksiyonun sıfırını ve kesi�im noktasının apsi-sini kar�ıla�tır. Ne farkediyorsun?

Elde etti�in çözümü verilen çözümle kar�ıla�tır.y = 0 ise, 0 = x – 2, x = 2 yani A(2, 0) fonksiyonun sıfırı 2’dir.

Unutma!

Lineer fonksiyonun grafi �ini gösteren do�runun x ekseniyle kesi�ip noktasının apsisi, fonksiyonun sıfırıdır.

Bilmen gerekenler:

Verilen bir nokta fonksiyonun grafi �ine ait oldu�unu ifade edesin;Fonksiyonun grafi �i ordinat eksenini kes-ti�i noktanın koordinatlarını belirtesin;

Lineer fonksiyonu grafi ksel gösteresin;

Fonksiyonun grafi �inden fonksiyonun sı-fırını belirtesin.

Kendini yokla!

A(0, 0), B(2, 6) ve C(-1, 3) noktaların-dan hangisi y = -3x fonksiyonun grafi �i-ne aittir?y = 2x – 1 fonksiyonunu grafi ksel �ekil-de göster.

Grafi kten, fonksiyonun sıfırını belirt ve ondan sonra yoklamasını yap.

Ödevler

A(-2, -5), B(-1, -2), C(0, 3) ve D(2, -1) noktalarından hangisi y = x – 3 fonksiyonun grafi �ine aittir.

x’in hangi de�eri için A(x, 2) noktası y = 3x – 1 fonksiyonun grafi �ine aittir?

2.


111

Verilen fonksiyonları grafi ksel �ekilde göster: y = 3x; y = 3x + 2; y = 3x – 2.

y = 2x – 4 fonksiyonunun apsis ek-senini kesti�i noktanın koordinatları-nı belirt.

y = -2x + n fonksiyonunda n o �ekilde belirtilsin ki P(1, 3) noktası onun grafi �ine ait olsun.

y = kx – 2 fonksiyonunda k’yı o �ekilde belirt ki A(1, 0) noktası onun grafi �ine ait olsun.

BAZI L�NEER FONKS�YONLARIN GRAF�KLER� ARASINDAK� DURUMLAR

Anımsa!y = kx fonksiyonun grafi �i koordinat ba�langıcından geçer.�u fonksiyonlardan hangisini grafi �in koordinat ba�langıcından geçer:

?

�u fonksiyonlardan hangilerinin:

de�i�ken önündeki katsayıları aynıdır?

�u fonksiyonların grafi klerini aynı koordinat sisteminde göster:

Verilen fonksiyonların neleri ortak-tır, incele.y = 2x – 3 ve y = 2x + 3 fonksiyon-ların grafi kleri y = 2x fonksiyonunun grafi �iyle nasıl durumdadır?

�ekilde, lineer fonksiyonların grafi kleri verilmi�tir. Onların de�i�ken önündeki katsayıları nasıldır? Grafi klerin durumu birbirine göre nasıldır?

Verilen lineer fonksiyonların de�i�ken önündeki katsayıları aynıdır ve grafi kleri biribirine paralel olan do�rulardır.

De�i�ken önündeki katsayıları aynı olan her fonksiyon için geçerlidir.

Unutma!De�i�ken önündeki katsayıları aynı olan lineer fonksiyonların grafi kleri paralel do�rulardır.

2. fonksiyonu veriliyor. fonksiyonlarından

hangisinin grafi �i verilen fonksiyonun grafi �ine paralel olan do�rudur?

Lineer Fonksiyonlar

y = kx – 3 fonksiyonunda k o �ekilde belirtilsin ki, elde edilecek fonksiyonun grafi �i y = 5x – 2 fonksiyonun grafi �ine paralel olacak bir do�ru olsun.

�u fonksiyonları aynı koordinat sisteminde grafi ksel �ekilde göster:

y = -2x + 3; y = x +3; y = -x + 3.

Fonksiyonların herbirinin y eksenini kesti�i nokta-nın koordinatlarını belirt.Verilen fonksiyonların neyi ortaktır gözetle.

Fonksiyonların serbest terimlerine bakınız. Onlar birbirine göre nasıldır?

Verilen fonksiyonların serbest terimi +3 ola-rak hepsinin aynıdır, bilinmeyen önündeki katsayıları ise farklıdır. Onlar ordinat ekse-nini koordinatları (0,3) noktada kesiyorlar.

Bu özellik n serbest terimleri aynı olan bütün lineer fonksiyonlar için geçerlidir.

Unutma!

Serbest terimleri aynı olan lineer fonksiyonların grafi kleri, ordinat eksenini koordinatla-rı (0, n) olan noktada kesen bir do�rudur.

�u fonksiyonlar verilimi�tir: ve

Bu fonksiyonların hangilerinin grafi kleri y ekseninde bir noktada kesi�iyorlar?Elde edilen noktanın koordinatlarını belirt.

fonksiyonun grafi �i, y eksenini kesti�i noktanın koordinatlarını belirt.

a) k = 0, n = 3; b) k = 0, n = 1; ve c) k = 0, n = -2 verilmi� olan fonksiyonu yaz.Elde edilen fonksiyonları grafi ksel �ekilde göster.


4.

7.


113

Verilen fonksiyonlarda de�i�ken önündeki katsayıların 0 oldu�unu ve onların grafi kleri-nin apsis eksenine paralel do�rular oldu�unu görüyorsun.y = 0 · x + n , y = n fonksiyonunda , x’in her de�eri için fonksiyonun de�eri n’dir. O halde y = n fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.

�ncele ve unutma!

y = n sabit fonksiyonun grafi �i x eksenine paralel olan do�rudur. Onun grafi �i y ekse-nini ( 0, n) noktasında keser.

Bilmen gerekenler:

Lineer fonksiyonların grafi klerinin han-gi durumda paralel do�rular oldu�ununu açıklayasın;Hangi durumda lineer fonksiyonların gra-fi kleri y ekseninde aynı noktada kesi�ti�i-ni açıklayasın;Sabit fonksiyonu grafi ksel �ekilde göste-resin.

Kendini yokla!

y = 2x – 3 fonksiyonu verilmi�tir. �u fonksiyonlardan y = -2x + 3, y = 2x – 1 ve

hangisinin grafi �inde olan do�ru:

a) verilenlen fonksiyonun grafi �iyle paralel do�rudur;b) ordinat eksenini, verilen fonksiyonun grafi �i ile aynı noktada keser?

Ödevler

�u fonksiyonlardan hangisinin grafi �i:

y = 3x fonksiyonun grafi �iyle paralel olan do�rudur?

k o �ekilde belirtilsin ki y = kx + 2

fonksiyonun grafi �i,

fonksiyonun grafi �iyle paralel olan bir do�ru olsun.

k ve n o �ekilde belirtilsin ki, y = kx + n fonksiyonun grafi �i y = 2x – 1 fonksiyo-nun grafi �iyle paralel olsun ve ordinat eksenini M(0, -3) noktasında kessin.

y = 2x + n fonksiyonunda n o �ekilde be-lirtilsin ki, M(0, -1) noktası fonksiyonunun grafi �ine ait olsun.

k ve n o �ekilde belirtilsin ki, y = kx + n fonksiyonun grafi �i y = -2x – 1 fonksiyo-nun grafi �iyle paralel olsun ve P(-2, 6) noktası fonksiyonun grafi �ine ait olsun.

y = -3; y = 2 ve y = 4 fonksiyonlarını gra-fi ksel �ekilde aynı koordinat sisteminde göster.

Lineer Fonksiyonlar

L�NEER FONKS�YONUN ARTMASI VE EKS�LMES�

Anımsa!

�ekilde Oxy koordinat sistemi gösteril-mi�tir.

x ekseninde gösterilen sayılar soldan sa�a do�ru büyüklüklerine göre nasıl de�i�iyorlar?y ekseninde gösterilen sayılar yukar-dan a�a�ıya do�ru büyüklüklerine göre nasıl de�i�iyorlar?

y = 3x – 2 lineer fonksiyonu veril-mi�tir.

x ��{-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere fonk-siyonu tablo ile göster.Fonksiyonu grafi ksel �ekilde göster.x de�i�kenin artmasıyla fonksiyonun de�erleri nasıl de�i�ir?

Çözümünüzü verilen çözümle kar�ıla�tır.y = 3x - 2

Tablodan farkedebilirsin ki: e�er de�i�kenin de�eri artarsa fonksiyonun da de�eri artar.

Bu nedenle y = 3x – 2 fonksiyonuna artandır denir.

Genel olarak

y = kx + n lineer fonksiyonunda de�i�kenin de�erlerinin artmasıyla y fonksiyonunun da de�eri artarsa, lineer fonksiyon artandır denir.

y = 4x – 1 fonksiyonu verilmi�tir

x ��{0, 1, 2, 3} olmak üzere fonksiyonu tablo ile göster.Fonksiyon artan mıdır? Sa�lamasını yap.

3. y = -2x + 1 fonksiyonu verilmi�tir.x ��{-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere fonksiyonu tablo ile ve grafi ksel �ekilde göster.De�i�kenin de�erinin artmasıyla fonksiyonun de�erleri nasıl de�i�ir?


115

Çözümünü verilen çözümle kar�ıla�tır

Tablodan görüldü�ü gibi: x de�i�keninin artmasıyla y fonksiyonunun de�eri azalır.

Bu nedenle y = -2x + 1 fonksiyonuna eksilendir denir.

Genel olarak

y = kx + n lineer fonksiyonunda, x de�i�kenin artmasıyla fonksiyonun de�eri azalırsa, li-neer fonksiyona eksilendir denir.

4. y = -3x + 2 fonksiyonu verilmi�tir.

x ��{0, 1, 2, 3} olmak üzere fonksiyonu tablo ile göster.Fonksiyon eksilen midir? Sa�lamasını yap.

5. �u fonksiyonların de�i�ken önündeki katsayısı nasıl sayıdır (pozitif veya negatif): y = 3x – 2 ve y = 4x – 1 (ödev 1 ve 2’den).�u fonksiyonların de�i�ken önündeki katsayısı nasıl sayıdır: y = -2x + 1 ve y = 3x + 2 (ödev 3 ve 4’ten).Fonksiyonlardan hangileri artan, hangileri ise eksilendir?

Verilen fonksiyonlar için nasıl sonuca var-dın: onlar ne zaman artan, ne zaman ise eksilendirler?

y = 3x – 2 ve y = 4x – 1 fonksiyonlarında de�i�-ken önündeki katsayı pozitif sayıdır, dolayısıyla onlar artan fonksiyonlardır.y = -2x + 1 ve y = -3x + 2 fonksiyonlarında de�i�-ken önündeki katsayı negatif sayıdır, dolayısıyla onlar eksilen fonksiyonlardır.

y = 3x – 2 ve y = 4x – 1, ya da y = -2x + 1 ve y = -3x + 2 fonksiyonları için farkettiklerin genel olarak bütün lineer fonksiyonlar için geçerlidir.

Unutma!

y = kx + n fonksiyonunda k sayısı pozitif ise fonksiyon artandır, e�er k < 0 ise fonksiyon eksilendir. E�er k = 0, o zaman fonksiyon y = n ne artan ne de eksilendir.

6. �u fonksiyonlardan hangileri artan hangileri ise eksilendir:

Lineer Fonksiyonlar

Bilmen gerekenler:

Bir fonksiyonun artan veya eksilen oldu�unu tespit et;

Bir fonksiyonun artan ya da eksilen oldu�unu belirtmek için uygulanan te�ebbüsü açık-layasın.

Kendini yokla!

Tablodan verilen fonksiyonun artan veya eksilen oldu�unu belirt.

Verilenlere göre y = kx + n fonksiyonu artan veya eksilendir, e�er:

Ödevler

Verilen fonksiyonlardan hangileri artan-dır:

Verilen fonksiyonlardan hangileri eksi-lendir:

olmak üzere k’nın

hangi de�eri için y = kx + n fonksiyonu: a) artan; b) eksilendir.

y = 2px – 1 fonksiyonunu grafi ksel �ekil-de göster, ondan sonra artan veya eksi-len oldu�unu belirt.

y = ( a – 3)x + 1 fonksiyonunu grafi ksel �ekilde göster, ondan sonra artan veya eksilen oldu�unu belirt.

y = kx + n fonksiyonu y eksenini P(0, 2) noktasında keser ve A(1, -1) noktasın-dan geçer.Fonksiyonun artan mı yoksa eksilen mi oldu�unu tespit et.


117

B�R B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER�N GRAF�KSEL ÇÖZÜMÜ

Anımsa!

Fonksiyonun sıfırı de�i�kenin de�eri-dir ve ona göre fonksiyonun de�eri sı-fıra e�it olur.

y = 2x – 4 fonksiyonun sıfırını belirt.

y = 2x – 4 fonksiyonun x eksenini kesti-�i noktanın koordinatlarını belirt.

y = 3x – 6 fonksiyonu verilmi�tir.

Fonksiyonu grafi ksel �ekilde göster.

Grafi kten fonksiyonun sıfırını belirt.

3x – 6 = 0 denklemin çözümünü be-lirt.y = 3x – 6 fonksiyonun sıfırını ve 3x–6 = 0 denklemin çözümünü kar-�ıla�tır.

3x – 6 = 0 denklemin çö-zümünü y = 3x – 6 fonksi-yonun sıfırı yardımıyla na-sıl belirteceksin?

y = 3x – 6 fonksiyonunu grafi ksel �ekil-de gösterdikten sonra grafi �in x ekseniy-le kesi�im noktasının koordinatlarını belir-tece�im. Öyle ki, bu �ekilde fonksiyonun sıfırını belirtece�im, ki bu sayı 3x – 6 = 0 denklemin çözümüdür.


Grafi �in ve x - ekseninin kesi�imi M(2, 0) noktasıdır.

y = 3x – 6 fonksiyonun sıfırı x = 2 ‘dir.

3x – 6 = 0 denklemin çözümünü

3x – 6 = 0 denklemin çözümünü, y = 3x – 6 fonksi-yonun grafi �i ve x ekseninin kesti�i noktanın apsi-sidir, yani x = 2.Bu özellik genel olarak bütün lineer denklemler için geçerlidir.

�ncele ve unutma!

ax + b = 0 denkleminin çözümü, a � 0 için, yani y = ax + b fonksiyonunun x - ekseninin kesti�i noktanın apsisidir.

2. x + 2 = 0 denklemini grafi ksel �ekilde çöz.

Lineer Fonksiyonlar

3. 2x – 3 = - x + 3 denklemini grafi ksel �ekilde göster.

2x – 3 = - x + 3 denklemini grafi ksel �ekilde çözmek için, önce onu ax + b = 0 genel �e-kilde dönü�türmelisin.A�a�ıda gösterildi�i gibi hareket et, bununla bu gibi denklemlerin grafi ksel �ekilde çö-zümü için ikinci bir yöntem ke�fet.

2x – 3 = - x + 3 denklemini çöz.Denklemin sa� ve sol tarafındaki ifadelerle y = 2x – 3 ve y = - x + 3 fonksiyonlarını yaz ve grafi ksel �ekilde göster.Denklemin çözümünü, bu iki grafi �in kesi�im noktasının apsisiyle kar�ıla�tır.Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.

Farketti�in gibi, fonksiyonların grafi kleri M(2, 1) nokta-sında kesi�iyorlar.M noktasının apsisi x = 2’dir. Bu ise 2x – 3 = -x + 3 denkleminin çözümüdür.Her iki fonksiyonun bilinmeyen önündeki katsayıları birbirinden farklıdır (2 � -1). Grafi klerin bir ortak noktaları vardır, buna göre de denklemin bir tek çözümü vardır.

2x – 3 = x + 1 denklemini grafi ksel �ekilde çöz.

2x – 1 = 2x + 3 denklemini grafi ksel �ekilde çöz.

Elde edece�in fonksiyon-ların bilinmeyen önünde-ki katsayılarını kar�ıla�tır. Ne farkediyorsun? Grafi k-lerin birbirine göre durumu nasıldır?

y = 2x -1 ve y = 2x + 3 fonksiyonların bi-linmeyen önündeki katsayıları e�it, ser-best terimleri ise farklıdır. Bu fonksiyon-ların grafi kleri paralel do�rulardır, yani onların ortak noktası yoktur.


y = 2x – 1 ve y = 2x + 3 fonksiyonların grafi kleri paralel do�-rulardır. Onların ortak noktası yoktur. Buna göre denkle-min de çözümü yoktur.


119

Verilen denklemlerden hangisinin çözümü yoktur?

2x + 1 = 2x + 1 denklemini grafi ksel �ekilde çöz.

Denklemin sol ve sa� tarafl arın-daki elde etti�in fonksiyonların katsayılarını ve serbest terim-lerini kar�ıla�tır. Ne farkediyor-sun?

y = 2x + 1 ve y = 2x + 1 fonksiyon-larının bilinmeyen önündeki kat-sayıları ve serbest terimleri birbi-rine e�ittir. Buna göre onların gra-fi kleri çakı�ıktır.

Elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.2x + 1 = 2x + 1 denklemi özde�liktir.

Farketti�in gibi, fonksiyonların grafi kleri çakı�an do�rulardır ve denklemin sonsuz çok çözümleri vardır.

Verilen denklemlerden 3x – 1 = 2x + 1; 3x – 2 = 3x + 1; 5x – 1 = 5x – 1 hangisinin a) bir tek çözümü vardır; b) çözümü yoktur; c) sonsuz çok çözümleri vardır.

Kendini yokla!Bilmen gerekenler:

Bir bilinmeyenli lineer denk-lemi grafi ksel �ekilde çözmen;

Grafi kten denklemin bir çözü-mü oldu�unu, hiçbir çözümü olmadı�ını, yoksa sonsuz çok çözümün oldu�unu tes-pit etmen.

�ekilden yararlanarak 2x – 1 = x + 1 denklemi-nin çözümünü belirt.

Verilen her denklemin kaç çözümü oldu�unu belirt:

Ödevler

Denklemi grafi ksel �ekilde çöz: 2x – 3 = kx + 1 denkleminde k öyle bir �ekilde belirtilsin ki denklemin çözü-mü olmasın.

Denklemi grafi ksel �ekilde çöz:

Lineer Fonksiyonlar

y = kx + n fonksiyonunda k ve n o �ekilde belirtilsin ki, kx + n = 2x + 3 denkleminin sonsuz çok çözümleri olsun.

Dene...Tolstoy biçicileri

Bir grup biçici 2 çayırı biçmeliymi�. Biri di�erinden iki defa daha büyüktür. Tüm biçiciler yarım gün büyük çayırda beraber biçtikten sonra iki e�it gruba ayrılmı�lar. Birinci grup büyük çayırı biçmeye devam ederek ak�ama kadar bütün çayırı biçmi�ler. �kinci grup ise küçük çayırı giderek biçmeye devam etmi�ler, fakat günün sonunda çayırın bir kıs-mı biçilmemi� kalmı�. Kalan kısmı bir biçici ertesi gün bütün gün çalı�arak bitirmi�tir. Grupta kaç biçici varmı�?

V E R � L E R L E � � L E M L E R

RASTGELE OLAY. OLAYIN OLASILI�I

Anımsa!

Bir futbol takımı bir maç oynuyor. So-nuç ile ilgili olarak: zafer, yenilgi ya da berabere çıkabilir.

Bir kutuda beyaz, siyah ve kırmızı topça�ızlar var. Bir topça�ız çıkartılır. Çekili�in sonuçları hangileri?

Bir oyun zarı masaya atıldı�ında ve onun durulmasından sonra bır tarafı yukarıdadır. O tarafta bulunan noktaların sayısı ile hangi sonuçlar mümkündür?

Caner bir demir parayı havaya atmı�. Bu atı�ta paranın yere dü�mesiyle onun yukarıki tarafında iki mümkün olay olabilir: “yazı” ya da ”tura”.

Kaç mümkün sonuç var? Caner “yazı”nın çıkmasını ister, yani onun için güzel sonuç “yazı”dır. “yazı”nın “tura”ya göre dü�mesinin �ansları ne?

Demir paranın havada atılması kaç defa tekrarlanabilir?Demir paranın havaya atılması bir deneme‘dir. 52 karttan olu�an bir desteden bir kartın çekili-�i deneme için ba�ka bir örnektir.Her sonuç verilen deneme E ile olay gibi adlandırılır, ki bu her denemeye ba�lıdır.

Demir paranın havaya atılması deneyinde “yazı” veya “tura”nın çıkmasının e�it �ansları vardır. Böyle olaylar e�it mümkünlü olaylardır.“Demir paranın havaya atılı�ı” yani E denemesi aynı �artlar üzerinde tekrarlanabilir, yani bizim istedi�imiz kadar. Buna göre n denemeler dizisi yapılabilir.


121

Bu denemelerden A olayını gözetleyelim: “tura dü�tü”. p(A) ile denemede A olayının n de-

neme dibisinde sayısını i�aret edelim. Aslında, tabloda A olayının 100’er denemeden olu-

�an 5 dizide “tura dü�tü” sonucunun gözetlenmesi verilmi�tir. yani her bir dizi

için olan bölümü incele.

sütununda sayıların 0,5 sayısına yakın olduklarını göre-

bilirsin. E�er dizideki denemeleri büyütürürsek, o zaman bö-lümün sayısı 0,5’e daha yakın olacaktır. Bu sayı A olayının is-tatistik de�eridir.

Gerçekle�tirilen dizilerden bölümüne yakınla�an sa-yılara A olayının istatistik olasılı�ı denir. V(A) ile i�aret edilir.

E�er n denemeden bir diziyi gözetlersek, o zaman p(A) sayısı A olayında en az 0 veya en

çok n olabilir, yani 0 � p(A) � n. E�er bunu n ile bölersek yani

elde edece�iz.

n denemesinin her bir dizisi için sayısı 0 ve 1 arasında oldu�unu gördün. Buna göre

A olayının istatistik olasılı�ı 0 ve 1 arasındadır, yani 0 � V(A) � 1.

A olayı: “tura dü�tü” “demir paranın havaya atılı�ı” denemesinde rastgele olay gibi adlan-dırılır.

Genel olarak

A�a�ıda verilen iki ko�ul geçerli ise, bir A olayı E denemesinde rastgele olaydır.

E denemesi aynı �artlar üzerinde istedi�imiz kadar tekraranabilir.

E denemesinin birçok gerçekle�tirilen dizilerinde ’nin yakla�ık e�it bölümleri vardır.

Ceyda’nın çarkıfelek denilen yeni oyunca�ı vardır. E�er oku dön-dürürse, üç olay mümkündür: ok ya kırmızı, ya sarı ya mavi bölge-yi gösterecektir.

Her bölgenin büyüklü�üne dikkat et. Her olayın e�it olasılı�ı var mıdır?Hayır ise, hangi olay en çok mümkündür?

Lineer Fonksiyonlar

Seri

Olayların e�it olasılı�ı yoktur, çünkü boyalı olan üç bölge aynı büyüklükte de�ildir.Okun kırmızı bölgeyi gösterme �ansı en büyüktür, çünkü kırmı bölgenin en bü-yük alanı vardır.

Demek ki okun kırmızı bölgede durulması en mümkün veya en ihtimalli olaydır.

Denemelerle ilgili �ekilleri incele. Her deneme için �unları yaz:Mümkün olaylar;Olay e�it olasıklı mıdır;Olaylar e�it olasıklı de�ilse hangisin ihtimali en çoktur.

Çarkıfelekte okun dönmesi

Yüzleri A, B, C, Ç, D, E harfl eriyle i�aretlenen zarın atılı�ı

Aynı anda atılan kırmızı ve mavi zar (olaylar dü-zenli çiftlerdir)

Basket topunun atılı�ıÇarkıfelekte okun dönmesi

�ki denarlık demir paranın atılı�ı

Bir denemenin sonucu, kesin olay, imkansız olay veya mümkün (ihtimalli) olay olabilir.

�u örnekleri incele:Renkli topça�ızlarla dolu üç kutu verilmi�tir.Topça�ızlara bakmadan çekilen topça�ızların sayısı her kutu altında yazılıdır.

�Ç�NDE �Ç�NDE �Ç�NDE

Siyah topça�ızın çekili�i mümkündür.Kırmızı topça�ızın çekili�i imkansızdır.

Kırmızı ya da siyah topça�ızın çekili�i mümkündür.Beyaz topça�ızın çekili�i imkansızdır.

Kırmızı ya da siyah topça�ızın çekili�i mümkündür.Kırmızı topça�ızın kara topça�ıza göre çekili�i daha çok mümkündür.


123

Bir olayın meydana geli�i kesin ise, onun olasılı�ı 1’dir, veya 100%’dür deriz. Örnek, birinci kutudan siyah topca�ızın çıkması.

Bir olayın meydana geli�i imkansız ise, onun olasılı�ı 0’dır deriz. Örnek, ikinci kutudan beyaz topça�ızın çıkması.

Bütün di�er olasılıklar 0 ile 1 arasındadır. Örnek, üçüncü kutudan çekilen kırmızı bilye gibi.

5. Olasılık basama�ını gözet.

imkansız e�it mümkünlü kesin

az ihtimalli çok olasılıklı

Olasılık basama�ından faydalanarak, a�a�ıdaki listede her bir olay ile ilgili cevabı yaz:

a) Olayın gerçekle�mesi için olasılı�ın ne kadar oldu�unu �u sözler-le ifade et: imkansız, az ihtimalli, e�it mümkünlü, çok olasılıklı, kesin;b) Verilen basamak gibi sen de bir basamak çiz ve olayın olasılık de-recesine göre üzerinde 1, 2, 3, ... 10, ile olayları i�aret et;c) Herbir cevabı açıkla.

kesin

çok

olas

ıklı

e�it mümkünlü

az ih

timal

li

imkansız

Olay12345678910

Yarın Mars’a yolcusun.Bu ak�am matematikten ev ödevini yazacaksın.

Senin tüm arkada�ların yarın okula gidecekler.Bugün ya�mur ya�acak.Bu yıl bir yanarda� aktif olacak.A�ustos'ta kar ya�acak.Bu yıl ya�mur ya�acak.Plastik �i�eyi fırlatırsan, kırılacaktır.

Vapurla Üsküp’ten Manastır’a gideceksin. Bir zar atarsan 5 dü�ecektir

Lineer Fonksiyonlar


Mümkün ve mümkün olmayan olayları far-ketmeni;Rastgele olay hangi olay oldu�unu açıkla-mayı;Olasılık de�eri 0, 0 ve 1 arası ve 1 olan olaylar için örnekler sunmayı;Daha basit denemelerde olayın olasılık de-�erini belirtmelisin.

Birer örnek yaz:

Olasılık de�eri 0 olan olay;Olasılık de�eri 0,5 olan olay;Olasılık de�eri 1 olan olay.

Ödevler

Çarkıfeleklere dikkat et:

a) b) c) ç)

Okun mavi bölgede durması olayının do�-ru olasılık sırası a�a�ıdakilerden hangisi olabilir?

a b c ç;ç c b a;a c b ç;c b ç a.

Bir torbada 2 mavi ve 3 turuncu küp vardır. Çekili�in olasılı�ını yaz:

Mavi küp;

Turuncu küp;

Ya mavi ya da turuncu küp;

Sarı küp.

ANANAS sözünün her harfi ni birer kartta yaz. Kartları karı�tır ve bakmadan bir kart çek.

3.

�u çekili� olasılıklarını açıkla:a) N harfı;b) A harfı;c) A ya da N harfı;ç) S harfı.ANA adını kesinlikle elde etmek için en az kaç kart çekmelisin?

Dene:

Bir çekmecede siyah ve kırmızı çoraplar var.

Sedat, bakmadan kesinlikle aynı renkte bir çift çorap çekmek için çekmeceden kaç defa birer çorap çekmelidir ?


125

L�NEER DENKLEM, L�NEER E��TS�ZL�K VE L�NEER FONKS�YON �Ç�N OKUDUN.B�LD�KLER�N� KONTROL ET

x = 3 de�eri 3x – 2 = x + 4 denkleminin çözümü olup olmadı�ını yokla.

5x – 3 = 2x + 3 denkleminin çözümü x = 2 ‘dir. �u denklemlerden hangisinin verilene denk oldu�unu yokla:

Denklemi çöz:

ax + 4 = 5x – a + 11 denkleminde a öyle bir �ekilde belirtilsin ki, x = -2 denklemi-nin çözümü olsun.

Ardı�ık üç do�al sayının toplamı 84’tür. Onlar hangi sayılardır?

A yerinden B yerine gitmek için saatte 50 km hızla bir kamyon hareket etmi�. �ki saat sonra A yerinden saatte 75 km hızla bir otomobil hareket etmi�tir. Oto-mobil, kamyonu B yerinde yeti�tirmi�. A ve B yerleri arasındaki uzaklı�ı belirt.

x = -1 de�eri 3x2 – 2x > x + 3 e�itsizli�i-nin çözümü olup olmadı�ını yokla.

D = {0, 1, 2, 3} kümesinde 2x – 1 > x – 2; 3x + 1 > 2x – 3 e�itsizlikleri verilmi�tir. Verilen e�itsizliklerin denk olup olma-dıklarını kontrol et.

E�itsizli�i çöz:

Çözümü aralıkla ve grafi ksel biçimde göster.Verilen e�itsizlikler sistemini çöz:

Sistemin çözümünü aralıkla ve gra-fi ksel �ekilde göster.y = 2x – 3 lineer fonksiyonu verilmi�tir.

Fonksiyonu grafi ksel �ekilde göster.Fonksiyonun sıfırını belirt.

y = 2x – 3 fonksiyonu verilmi�tir. A(0, -3), B(1, 1) ve C(2, 1) noktaların-dan hangisi fonksiyonun grafi �ine ait oldu�unu belirt.

y = 2x + n fonksiyonunda n öyle bir �ekilde belirtilsin ki M(1, -1) noktası fonksiyonun grafi �ine ait olsun.

�u fonksiyonlardan hangileri artan, hangileri ise eksilendir:

Verilen denklemi grafi ksel �ekilde çöz 3x – 1 = x + 3.

Bildiklerini kontrol et

KONU 3. L�NEER DENKLEMLER S�STEM�

�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER1. �ki bilinmeyenli lineer denklermler 1282. Denk iki bilinmeyenli lineer denklemler 131

�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER S�STEM�3.�ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi 1344.�ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin grafi ksel çözümü 138

5. �ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin yerine koyma metoduyla çözümü 1416. �ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin ters katsayılar metoduyla çözümü 1457. �ki bilinmeyenli iki lineer sisteminin uygulanması 1488.Dirihle prensibine göre problemlerin çözümü 153 Bildiklerini kontrol et 157

�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER

�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEM

Anımsa!

Bilinmeyenlerin sayısına göre bir denk-lem:- Bir bilinmeyenli;- �ki bilinmeyenli vb. olabilirBilinmeyenin derecesine göre denklem:- Lineer (birinci derece denklem);- Kareli (ikinci derece denklem);- Küplü (üçüncü derece denklem) vb. olabilir.Bir denklemin parametreleri olup ol-madı�ına göre:- Parametreli denklem;- Özel katsayılı denklem olabilir.Denklemleri incele:

Verilen her denklemin bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilinmeyenlerin de-recesine göre cinsini belirt. Onlardan hangisi parametreli denklemdir?

Hasan ve Mustafa’nın beraber 9 tane �ekeri var. Hasan’ın kaç tane, Mustafa’nın ise kaç tane �ekeri var?

Ödevin kaç çözümü olabilir?Ödevin �u çözümlerini gözetle:

Hasan

Mustafa

(0, 9) sıralı çifti Hasan’ın 0 �ekeri, Mustafa’nın 9 �ekeri oldu�u çözüm olsun.

Birinci eleman Hasan’ın �eker sayısı, ikinci eleman ise Mustafa’nın �eker sayısını gös-terecek �ekilde di�er çözümlere ait tüm sı-ralı çiftleri yaz.x sayısı Hasan’ın �eker sayısı, y ise Mustafa’nın �eker sayısı olsun. Hasan’ın ve Mustafa’nın beraber 9 �ekeri vardır tüm-cesi x + y = 9 formülü gibi yazılabilir.

x + y = 9 denkleminde hangi de�erleri x, hangi-lerini de y alabilir?

x ve y bilinmeyenlerin de�erleri, toplamı 9 olan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesi-nin elemanıdır.

A = {0, 1, 2, 3, ..., 9} kümesinin elemanlarına x + y = 9 denkleminin tanım kümesi denir.

R = {(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)} sıralı çiftlerin küme-sine ise x + y = 9 denkleminin çözümler kümesi denir.

x + y = 9 denklemi, bilinmeyenlerin sayısına göre 2 bilinmeyenli, bilinmeyenlerin derecesi-ne göre ise lineer oldu�unu gözetle.

Bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilinmeyenlerin derecesine göre 2x – y = 5 denkleminin cinsini belirt.

Konu 3. Lineer denklemler sistemi

129

Bir denklemin tanım kümesi verilmemi� oldu�u durumda, onun tanım kümesi R reel sa-yılar kümesi oldu�unu sayaca�ız.

Unutma!

a, b ve c reel sayılar (katsayılar)- x ve y ise reel bilinmeyenler olmak üzere, ax + by = c �eklinden denklemine iki bilinmeyenli lineer denklem denir.

4x + 3y = 9 denklemini gözetle. Bu denklem birinci derece iki bilinmeyenli denklemdir; bi-linmeyenleri x ve y ve katsayıları 4, 3 ve 9 sayılarıdır.

2. 3x + y = 7 denklemi verilmi�tir. Denklemi do�ru sayı e�itli�ine dönü�türecek x ve y için birkaç de�er bul.

�u örne�i gözetle: x = 1 ve y = 4 de�erleri ile 3x + y = 7; 3 · 1 + 4 = 7; 7 = 7 elde edilir. (x, y) = (1, 4) sıralı çifti denklemin bir çözümü oldu�unu gör.

(x, y) sıralı çifti verilen denklemin çözümü olup olmadı�ını yokla, e�er:a) x = 2 ve y = 1; c) x = 4 ve y = –5; b) x = 1 ve y = 3; ç) x = –1 ve y = 10.

�ki bilinmeyenli lineer denklemin çözümü, denklemi do�ru sayı e�itli�ine dönü�türen her reel sayı çiftidir.

M = {(x, y) | x, y � R ve 3x + y = 7} kümesi 3x + y = 7 denkleminin çözümler kümesidir.

(x, y) = (4, -6) sıralı çifti denkleminin çözümü olup olmadı�ını yokla.

3(u – 2) = 2(1 – v) denklemi, u = 0 ve v = -5 için do�ru sayı e�itli�ine dönü�ür mü?

3.

4. x – 2y = 4 denklemi verilmi�tir. Onun üç tane çözümünü belirt.

Çözüm kaidesini takip et.

x için tahminen bir reel sayı seçilir. Örne�in, x = 3 olsun.x’in de�eri 3 – 2y = 4 denkleminde de�i�tirilir.

Elde edilen bir bilinmeyenli lineer denklem çözülür; yani:

Demek ki, sıralı çifti verilen denklemin bir çözümüdür.

Gösterilen yönteme göre, verilen denklemin daha 2 çözümünü belirt.

�ki bilinmeyenli lineer denklemler


Hangi denklemin 2 bilinmeyenli lineer denklemdir;

�ki bilinmeyenli denklem sisteminin çö-zümünü belirtesin.

x + 5 = y – 3; y – 7x = 10 ve 9 = 2y denklem-lerinden hangisi 2 bilinmeyenli lineer denk-lemdir?(1, 6) sıralı çifti 3x – y = -3 denkleminin çö-zümü müdür?

Ödevler

Verilen her denklemin bilinmeyenlerini ve katsayılarını yaz:

a) (4, -6) sıralı çifti

denkleminin çözümü mü-dür? b) (0, ,5) sıralı çifti

3(u – 2) = 2(1 – v) denklemin çözümü müdür?

(x, y) sıralı çiftinde bilinmeyen elemanı o �ekilde belirt ki, kar�ılık gelen denk-lem do�ru sayı e�itli�ine dönü�sün.

denklem

denklem

denklem

a)

b)

c)

�ki bilinmeyenli lineer denklemde bilinme-yenlerden biri, verilen bir sayı de�eriyle de-�i�tirildikten sonra, denklem:a) do�ru sayı e�itsizli�ine dönü�ür;

b) bir bilinmeyenli lineer denkleme dönü�ür;

c) iki bilinmeyenli lineer denkleme dönü�ür;

ç) lineer e�itsizli�e dönü�ür.

Bu iddialardan hangisi do�rudur?

2x + y = -1, x � {-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere, denklemin çözümlerini belirtiniz.

3(x + y) = 2x – 3 denkleminde verilen sıra-ya göre istenilen i�lemleri yap.

1o denklemdeki parantezlerden kurtul;

2o bilinmeyen terimleri e�itlik i�aretinin sol tarafına, bilinmeyeni olmayan terimleri ise sa� tarafta yaz.

3o sol taraftaki ifadeyi normal �ekile dönü�-tür.Hangi denklem elde edilecek?


131

�K� B�L�NMEYENL� DENK L�NEER DENKLEMLER

Anımsa!

�ki bilinmeyenli lineer denklemin çözü-mü hangi sıralı çifttir?

(x, y) = (-1, 2) sıralı çifti 2x – y = -4 ve 3x – y = x – 4 denklemlerin çözümü müdür?

�u denklemlerin y = 4 için çözü-münü belirt:

Elde etti�in çözümü verilen çözümle kar-�ıla�tır.

ve

için

Çözüm:

Çözüm:

( , 4) sıralı çifti, hem A hem de B denkleminin çözümüdür.

x için bir de�er seç ve o de�er için A ve B denklemlerinin çözümünü belirt. Ne farkediyorsun?

3(x + 2y) = 5y + 1 ve 3x + y = 1 denklemlerin x � {-1, 0, 1, 2} için çözümlerinin aynı olup olmadı�ını yokla:

2.

x = -1 için yapılan i�lemi gözetle:

�ncele ve unutma

�ki bilinmeyenli iki denklemin çözümleri aynı ise, onlar denk denklemlerdir.

Bir bilinmeyenli lineer denklemlerde oldu�u gibi, iki bilinmeyenli lineer denklemlerde de dönü�ümler yaparak denklem ax + by = c en sade �ekilde dönü�türülebilir.

Denklemlere yapılan dönü�ümleri incele.

P1 ve P2


(T) Dönü�ümü

T1: Denklemin bir tarafı kendine denk bir ifadeyle de�i�tirilir

T2: Denklemin her terimi bir taraftan di�er tarafa ters i�aretle geçebilir:bilinmeyenler sol tarafa, bilinenler ise sa� tarafa

T3: Denklemin iki tarafı sıfırdan farklı aynı bir sayıyla çarpılır.

Denklem D1; Denklem D2;

Fark etti�in gibi çe�itli dönü�ümlerden yararlanarak D1 ve D2 denklemleri: x + 2y = 5 ve 7x + 6y = 15 �ekline dönü�ür, yani ax + by = c. Artık bu �ekilde olan denklem-lerin çözümünü daha kolay bulabilirsin.

x = k, k � R, için denklemin çözümler kümesi belirtilir:

a) k = 0; b) k = 2; c) k = 4 için D1 ve D2 denklemlerin çözümünü belirt.

Denklemin çözümler kümesini belirt: a) y = 3x – 5; b) x – 1 = 3x – y.

4. – 2x + y = 1 denkleminin çözümler kümesini belirt, ondan sonra dik açılı koordinat sisteminde grafi ksel bir �ekilde göster.

Yapılan i�lemi incele ve elde etti�in çözümü verilenle kar�ıla�tır.– 2x + y = 1 � y = 2x + 1; x = k, k � R, y = 2k + 1.Denklemin çözümler kümesi {(k, 2k + 1) l k ��R} ‘dir.R(– 2x + y = 1) = {(k, 2k + 1) l k � R} �eklinde yazıyoruz.

a) k = -1; b) k = 0; c) k = 1 için denklemin çözümünü belirt.

R kümesinde – 2x + y = 1 denklemiyle y = 2x + 1 lineer fonksiyonun belirtildi�ini görebilirsin.


�ekilde y = 2x + 1 lineer fonksiyonu grafi ksel �ekilde gösterilmi�tir.

Lineer fonksiyonun grafi �ine ait (x, y ) sıralı çiftleri y = 2x + 1 denkleminin de çözümleridir. Bu çiftler – 2x + y = 1 denklemin nesidir?

– 2x + y = 1 � y = 2x + 1 oldu�una göre, y = 2x + 1 fonksiyonuna ait herhangi noktanın koordinatlarının sıralı çifti – 2x + y = 1 denkleminin de çözümüdür.

Farketti�in gibi, y = 2x + 1 lineer fonksiyonun grafi �iyle – 2x + y = 1 denkleminin çözümler kümesi gösterilmi�tir. Buna denklemin grafi �i denir.A(-1, -1); B(0, 1); C(1, 3) ve D(2, 5) noktaların koordinatları olan sıralı çiftler – 2x + y = 1 denkleminin çözümü olup olmadı�ını yokla.

5. 3x – y = 1 denkleminin çözümler kümesini belirt.

(- 1, - 4) sıralı çifti denkleminin çözümü olup olmadı�ını yokla.

Denklemin çözümler kümesini grafi ksel �ekilde göster.Denklemin grafi �inden S (2, ) noktasının ikinci koordinatını bul. Elde edilen sıralı çift 3x – y = 1 denkleminin de çözümü oldu�unu görebilirsin.


Hangi iki bilinmeyenli lineer denklemler denktir;Verilen iki bilinmeyenli lineer denkl-eme denk denklem elde edilmesi için dönü�ümlerden yararlanasın;Denklemin çözümler kümesini belirtesin;

Denklemin çözümler kümesini grafi ksel gösteresin.

Dönü�ümlerden yararlanarak x + 2y = 6

denklemi denklemiyle denk olup olmadı�ını kontrol et.

�ki bilinmeyenli lineer denklemin {(k, k - 1) l k � R} çözümler kümesini grafi ksel göster.

Ödevler

Denklemin çözümler kümesini belirt:

Denk dönü�ümler uygulayarak verilen her denklemi ax + by = c biçiminde dö-nü�tür;

Verilen her denklemin çözümler kümesini belirt ve grafi ksel �ekilde göster:

p parametresinin de�erini o �ekilde belirt ki (0, 1) sıralı çifti (p – 5)x – 3p – 1)y = 5 – p denklemin çözümü olsun.


�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER S�STEM�

�K� B�L�NMEYENL� �K� L�NEER DENKLEM S�STEM�

Hangi denklem iki bilinmeyenli lineer denklem denir?Verilen iki bilinmeyenli lineer denklemin çözümler kümesini belirt.

Denklemin kaç çözümü var?

Anımsa! �nci ve Merve’nin birer balık akvar-yumu vardır.

�ki akvaryumdaki balıkların toplamı 10’dur. �nci’nin ve Merve’nin akvaryumlarındaki ba-lık sayısının farkı 4’tür.

�nci’nin ve Merve’nin akvaryumlarında ka-çar balık vardır?

Çözümü incele:�nci’nin akvaryumunda x balık, Merve’nin akvaryumunda ise y balık olsun.

Ödevin birinci ko�uluna göre:

x ve y de�i�kenleri A = {1, 2, 3, ..., 9} kümesinden de�er-ler alıyorlar, neden? Tabloda denklemin çözümleri veril-mi�tir.

�kinci ko�ula göre: Tabloyu gözetle ve çözümleri gör.

Bir akvaryumda 7 balık (�nci’nin), di�erinde ise (Merve’nin) 3 balık var. Onların toplamı 7 + 3 = 10, farkı ise 7 – 3 = 4 tür.

Elde edilen (x, y) sıralı çiftlerinden hangisi iki denklemin ortak çözümü oldu�unu belirt.(x, y) = (7, 3) sıralı çifti x + y = 10 ve x – y = 4 denklemlerinin ortak çözümüdür.

Demek ki, bu ödevi çözerken her iki bilinmeyenli lineer denklemin ortak çözümünü be-lirttin, yani onların çözümler kümelerinin kesi�imini belirttin.

Unutma!

�ki bilinmeyenli iki lineer denklemin ortak çözümü arandı�ı zaman, yani onların çözüm kü-melerinin kesi�imine iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi denir.

biçiminde yazılır; burada x ve y bilinmeyenler, a1, a2, b1, b2, c1, c2 reel sayılar-

dır (katsayılardır).


Ödev 1’deki denklemleri sistem biçiminde yaz ve sistemin bilinmeyenlerini ve katsa-yılarını belirt.

Sistemi incele:

Bilinmeyenleri adlandır. Sistemin katsayılarını belirt.

(x, y) = (2, -1) sıralı çiftin 3x + 2y = 4 denkleminin çözümü oldu�unu yokla.

(x, y) = (2, -1) sıralı çiftin x – y = 3 denkleminin çözümün oldu�unu yokla.

(2, -1) sıralı çifti sistemin iki denkleminin ortak çözümü oldu�unu

gözetle, yani (x, y) = (2, -1) sıralı çifti sistemin çözümüdür.

Genel olarak, iki bilinmeyenli iki lineer denklemin çözümü, her iki denklemin ortak çözümü olan sıralı çifttir.

(-2, 3) sıralı çifti verilen sistemlerden hangisinin çözümü oldu�unu yokla:

Anımsa!

Verilen bir sistemde, e�itsizliklerden biri, kendine denk olan bir e�itsizlikle de�i�tiriliyorsa, verilene denk olan e�it-sizlik sistemi elde edilir.

Neden

sistemi sistemiyle denktir? 3

�ki bilinmeyenli iki lineer denklemin çözümler kümeleri e�it ise, onlara denk denklemler denir.3(x + 2y) = 5y + 1 ve 3x + y = 1 denklemlerin denk olduklarını yokla.

�u sistemler verilmi�tir:

A: B:

A sisteminin çözümler kümesi, x + y = 5 denkleminin {(k, 5 – k) | k � R} çözümleri ve 3x – y = 3 denkleminin {(k, 3(k – 1) | k � R} çözümlerinin kesi�imidir.Çözüm kümelerinin kesi�imini sıralı çif-tlerin elemanlarının e�itlenmesiyle belli edeceksin. Birinci elemanlar e�ittir, yani k = k. �kinci elemanların k’yı belirt yani 5 – k = 3(k – 1) denklemini çöz.

(x, y) = (2, 3) sıralı çifti A sisteminin çözümü olup olmadı�ını yokla.B sisteminin çözümler kümesi: y = 5 – x {(k, 5 – k} | k � R} denkleminin çözümleri ve 3x – y = 3 {(k, 3k – 3) | k � R} denkleminin çözümlerinin kesi�imidir.

�ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

B sisteminin denklemlerinin çözüm kümelerinin kesi�imi hangisidir?(x, y) = (2, 3) sıralı çiftin B sisteminin çözümü olup olmadı�ına yokla.

B sistemindeki denklemlerin A sistemindeki denklemlerle aynı çözümler kümesi oldu�unu farkedebilirsin.Bu iki sistemin çözüm kümeleri e�ittir. (x, y) = (2, 3) sıralı çifti hem A hem de B sisteminin çözümüdür. E�er iki sistemin çözüm kümeleri e�itse, o zaman onlar denktir.

A sistemi ve B sistemi denktirler

B sistemindeki denklemlerden hangisi A sistemindeki x + y = 5 denklemine denktir ve hangi dönü�üm yapılarak elde edilmi�tir?

Verilen bir sistemin denklemlerinden herhangi biri, kendine denk bir denklemle de�i�tirili-yorsa, verilene denk olan sistem elde edilir.

A�a�ıdaki denklemler sisteminin denk olduklarını gör ve nedenini açıkla:

Denk dönü�ümler uygulayarak verilen her sistem kendine denk olan ve çözümü do�rudan

do�ruya okunabilen �eklinde sisteme dönü�ebilir.

(x, y) = (a, b) sıralı çifti verilen sistemin çözümüdür.

Sistemin çözümüne dikkat et:

Birinci denklemin sol tarafı kendine denk ifadeyle de�i�tirilmi�tir.

2y terimi denklemin sol tarafına (ters i�aretle) geçmi�tir.

Birinci denklemin sol tarafındaki ifade normal �ekile getirilmi�tir

Birinci denklem x bilinmeyenine göre çözülmü�tür, yani sol ve sa� tarafı 2 ile bölünmü�tür.

(x,y) = (3, 5) sıralı çifti denklemler sisteminin çözümüdür.

Sistemi çöz:


137

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!�ki bilinmeyenli iki denklem sistemi ne-

dir ve nasıl yazılır;

Verilen bir sıralı çift denklemler sistemi-nin çözümü olup olmadı�ını yoklanması;Verilene denk olan sistemi belirtilsin;

Bir sistemi yani çözümü do�rudan oku-nabilecek �ekilde dönü�türerek çözü-mü belirtilsin.

Verilen sistemin her iki denklemini ax + by = c biçimine dönü�türerek kendine denk olan denkleme dönü�tür:

(x, y) = (3, 2) sıralı çifti

denklemler sisteminin çözümünün olup

olmadı�ını yokla.Ödevler

Verilen her sistemin bilinmeyenlerini ve katsayılarını belirt:

A�a�ıdaki tümceleri iki bilinmeyenli iki denklem sistemi olarak yaz:

�ki sayının toplamı 64, farkı ise 17’dir.

Bir ABC üçgeninin bir iç açısı 52o’dir. Di�er iki açısının farkı 18°’dir.

�ki kumbarada toplam 440 denar var. Birincisinden 180 denar alarak ikincisine koyarsak, her iki kumbarada para miktarı e�it olur.

a) (2, 10) sıralı çifti verilen sistemin çözümü olup olmadı�ını yokla.

b) (2, 2) sıralı çifti sistemin çözümü müdür:

c) (1, 1) sıralı çifti sistemin çözümü müdür:

Verilen sisteme denk olan bir sistemi belirt:

Verilen sisteme denk olan ve denklem-lerden herbiri ax + by = c �eklinde olacak bir sistem belirt.

Verilen sistemi çöz:

Ertan ve Berkant iki karde�tir. Onların ya�larının toplamı 16‘dır. Ertan’ın ya�ı ve Berkant’ın ya�ının yarı-sıyla toplamı 12’dir.

Ödevin ko�ulu gere�ince iki bilin-meyenli iki lineer denklem sistemi-ni yaz.Ertan ve Berkant ikizler midir?Cevabını açıkla.


�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEM S�STEM�N�N GRAF�KSEL ÇÖZÜMÜ

Anımsa!

2x – 3 = y denklemin grafi �ini incele.

A, B, C ve D noktaların her birinin ko-ordinatlarını belirt. Bu noktaların koor-dinatları verilen denklemin nesidir?

Aynı koordinat düzleminde ( aynı �ekilde) x + y = 5 ve 3x – y = 3 denk-lemlerin grafi klerini çiz.

Verilen denklemlerle y = 5 – x ve y = 3x – 3 fonksiyonların belli oldu�unu farkedebilirsin.Çözümünü verilenle kar�ıla�tır.

Denklemlerin grafi klerinin kesi�tikleri nokta M olsun. M noktasının koordinatlarını belirt.

�ki denklemin çözümlerinin kesi�imi M(2, 3) sıralı çiftidir.

(x, y) = (2,3) sıralı çifti sisteminin biricik çözümüdür.

denklemler sistemini grafi ksel �ekilde çöz.

Anımsa!Düzlemde iki do�ru:- Bir noktada kesi�ebilir,- Çakı�abilir;- Birbirine paralel olabilirler.Denklemlerin grafi kleri do�rular oldu-�una göre, grafi klerin ortak noktaları oldu�u kadar sistemin de o kadar çö-zümleri vardır.

�ki bilinmeyenli iki lineer denklem sisteminin:

Denklemlerin grafi kleri bir noktada kesi�i-yorlarsa, sistemin bir tek çözümü vardır;Denklemlerin grafi kleri çakı�ıyorsa, sonsuz çok çözümleri vardır;

Denklemlerin grafi kleri farklı iki paralel do�ru oldu�una göre çözüm yoktur.


Sistemin grafi ksel çözümünü incele:

A, B, C, D ve M noktalarının koordinatlarını yaz.Noktalardan hangisi grafi klerin kesi�imidir?

Sistemin bir çözümü oldu�unu görüyor-sun Rs = {( 1, 2)}, yani (x, y) = (1, 2).


A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını yaz.Grafi klerin bütün noktaları ortak oldu�unu gözetleyin ve sonsuz çok çözümleri vardır.


A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını yaz.

Grafi klerin ortak noktaları var mıdır?

Grafi kler iki farklı parallel do�ru olduklarına göre, sistemin çözümü yoktur, yani Rs = Ø.



Lineer denklem sisteminin her iki denklemi için aynı koordinat düzleminde grafi klerini çizesin;

�ki bilinmeyenli lineer denklem sistemin grafi ksel çözümünü yapasın;

Denklemlerin grafi klerine göre sistemin çözümler kümesini de�er belirtilmesi.

Hangi durumlarda iki bilinmeyenli lineer denklem sisteminin:

a) bir tek çözümü var;

b) sonsuz çözümleri var;

c) çözümü yoktur.


ÖdevlerAnımsa!

Herbir sistemi grafi ksel �ekilde çöz:

Herbir sistemi grafi ksel �ekilde çöz.

Herbirinin kaçar çözümü vardır?

y = ax fonksiyonunun grafi �i koordinat ba�langıcından geçen bir do�rudur.

y = ax + b fonksiyonunun grafi �i y = ax ile paralel bir do�rudur.

y = a fonksiyonunun grafi �i x eksenine paralel olan do�rudur; x = a fonksiyonu-nun grafi �i y eksenine paralel olan do�-rudur.

A�a�ıdaki sistemlerde verilen her denk-lemi fonksiyon �eklinde yaz:

Her sistemin fonksiyonlarının grafi kleri arasındaki durumları inceleyerek sistemin çözümlerini tahmin et.

Her sistemi grafi ksel �ekilde çöz ve elde et-ti�in çözümleri tahmin ettiklerinle kar�ıla�tır.


�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER S�STEM�N�N YER�NE KOYMA METODUYLA ÇÖZÜM

Anımsa!

Hangi iki denklem sistemleri denktirler?(x, y) = ( 5, 1) sıralı çiftin verilen sistemin çözümü olup olmadı�ını yokla.

ve

ve

Her iki denklem sistemin aralarında neyi fark edebilirsin?

�ki bilinmeyenli iki lineer denklem-ler sistemleri A ve B’yi incele:

�kinci sistemdeki denklemler, birinci siste-min denklemlerinden yararlanarak nasıl elde edilmi�tir?

A ve B sistemlerinin birinci denklemleri denktir: B sistemindeki ikinci denklemde ise y bilinmeyeni birinci denklemden denk bir ifadeyle de�i�tirilmi�tir.

(x, y) = (2, -3) sıralı çifti, sistemin çözümü oldu�unu göster.

Sistemdeki denklemlerden birinde, bilinmeyenlerden biri di�er denklemden denk bir ifadeyle de�i�tirilerek verilen denklemde yerine koyulursa, elde edilen yeni sistem veri-lene denktir. Bu i�leme yerine koyma metodu denir.

Sistemin çözümü, yerine koyma metoduyla nasıl çözüldü�ünü incele

Birinci denklemde y’nin de�eri ikinci denklemden y’nin de�eriyle de�i�tirilmi�tir.

Önceki sisteme denk olan sistem elde edilir.

Denk dönü�ümler kullanılır (10 sayısı e�itli�in “=“ di�er tarafına ters i�aretle geçer).

Elde edilen sistem y = b �eklindedir.Ora-dan da do�rudan do�ruya sistemin çözümü olan ( x, y) = (1, 5) sıralı çifti okunur.


Denklemleri sistemini yerine koyma metodunun yardımı ile çöz:

Sistemin çözümü olan sıralı çifti belirt:

Fark et

Yerine koyma özelli�inden yararlanabilirsin, öyle ki, ikinci denklemde x bilinmeyenini birinci denklemden elde edilen x – 5 ifadesiyle de�i�tirebilirsin:

Do�ru çözmeye devam edersen, denk sistem elde edeceksin:

Birinci denklemde x bilinmeyeni, ikinci denklemden elde edilen 2 de�eriyle de�i�tirilirse, çözümü okunabilecek denklem siste-mi elde edilecektir.

(x, y) = (2, -3)sıralı çifti için, sistemdeki denklemlerin do�ru sayı e�itli�ine dönü�tüklerini yokla.

Benzer �ekilde sistemi çöz.

denklemler sisteminin verilen çözümünü incele:

�kinci denklemde x bilinmeyeni y ile ifade edilmi�tir. Ondan sonra, birinci denklemde x bilinmeyeni, ikinci denklemden x için elde edilen ifadeyle de�i�tirilmi�tir ve gereken dönü�ümler yapılmı�tır.


veya

(x, y) = ( -1, 4) sıralı çiftinin denklemler sisteminin çözümü oldu�unu yokla.

Verilen denklemler sistemini çöz:

�ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin bu gibi çözümüne yerine koyma metoduyla çözüm denir.

Verilen denklemler sisteminde, denklemlerden hiçbiri ax + by = c �eklinde yazılı de�ildir.

Böyle bir sistemi çözmek için ilkönce denklemleri ax + by = c �ekline dönü�türmek ge-rekir.

sisteminin verilen çözümünü incele.

��lemle devam et. Ödevi do�ru çözmü�sen sistemini elde etmi�sindir, yani

(x, y) = (18, 6), sıralı çifti verilen denklemler sisteminin çözümüdür.

Verilen denklemler sistemini çöz:

Denklemler sistemini çözerken, yapılan denk dönü�ümlerden sonra denklemlerden bi-rinin çözümü olmayan bir sistem (örne�in 0 · x = - 1) elde ediliyorsa, verilen sistemin de çözümü yoktur.Denklemlerden birinin çözümü her reel sayı olan (örne�in 0 · y = - 0) bir sistem elde edildi�inde sistemin sonsuz çök çözümü vardır.


A : ve B: sistemlerini çöz.

A sisteminde çözüm olmadı�ını, B sisteminde ise sonsuz çok çözümler oldu�unu gö-rebilirsin.


�ki bilinmeyenli iki lineer denklem siste-minin yerine koyma metoduyla çözümü-nü belirtesin;

Denklem sistemlerinin çözümünde, denk dönü�ümlerini do�ru yapasın.

Yerine koyma metodundan yararlana-rak verilen denklemler sisteminin nasıl çözüldü�ünü açıkla:

Ödevler

Verilen denklem sistemlerini yerine koyma metoduyla çöz:


�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER S�STEM�N�N TERS KATSAYILAR METODUYLA ÇÖZÜMÜ

�u denklem sistemleri verilmi�tir ve

(x, y) = (3, - 2) sıralı çiftin iki sistemin çözümü olup olmadı�ını göster.

Sistemlerin denk olduklarını görebilirsin. �kinci sistemdeki denklemler, birinci sistemin denklemlerinden nasıl elde edilmi�tir?

Birinci denklemler her iki sistemde aynıdır, B sisteminin ikinci denklemi ise, A sis-temindeki birinci ve ikinci denklemlerin taraf tarafa toplanmasıyla elde edilmi�tir.

�ki denklemin kar�ılıklı tarafl arını toplar, ya da çıkarırsak , denklemler toplanmı� ya da çıkarılmı�tır deriz.Verilen bir sistemde denklemlerden herhangi biri, denklemlerin toplamıyla ya da farkıy-la de�i�tirilirse, verilene denk olan yeni bir sistem elde edilir. Buna sistemdeki denklemlerin toplama özelli�i denir.

Toplama özelli�inden yararlanarak verilen sistemin çözümünü incele:

Sistemin ikinci denklemine sistemin birin-ci denklemi katılmı�tır.

Birinci sisteme denk olan sistem elde edilir ve ikinci denklem bir bilinmeyenliye dönü�türülür.

Sistem yerine koyma metoduyla çözülür.

Denklemler �ekline dönü�ür.

(x, y) = (3, 5) sıralı çifti verilen sistemin çözümü müdür, kontrol et.

Verilen denklemler sistemini çöz


Önemli olan �unu fark etmelisin:x veya y önündeki katsayılar, her iki denklemde ters sayılar olmalıdır.

Denklemlerin kar�ılıklı tarafl arı toplandı�ında, bir bilinmeyenli denklem elde edilir.

Elde edilen yeni denk sistemde bir denklem bir bilinmeyenlidir ve ödevin devamında sistemin çözümü yerine koyma metodu ile çözülür.

Verilen denklem sistemini çöz:

x ve y önünde bulunan katsayılar ters i�aretli sayılar de�ildir ve bu denklemleri taraf tara-fa toplarsak, denklemlerden biri bir bilinmeyenli olacak denk sistem elde edilemez.

Sistemin ikinci denklemine hangi dönü�ümü yapmalısın ki, x veya y’un önündeki katsa-yılar ters olsun?

�kinci denklemin iki tarafı – 5 ile çarpılırsa, x önündeki katsayılar ters sayılar olacaktır.Bu denklemin iki tarafı – 2 ile çarpılırsa y önündeki katsayılar ters sayılar ola-caktır.


�kinci denklemi (-5) ile çarpmakla, x önünde-ki katsayıları ters olan yeni bir denk sistem elde edilir.

Denklemler taraf tarafa toplanır ve ikinci denklemi bir bilinmeyenli olan denk sistem elde edilir.

Ondan sonra sistem, yerine koyma metoduy-la çözülür.

Sistemin çözümünü tamamla.(x, y) = (-1, 4) sıralı çifti verilen sistemin çözümü müdür yokla.y önündeki katsayılar ters olacak �ekilde aynı sistemi çöz.

Verilen sistemi çöz:

Denklemler sistemini çöz:

Bu sistemde m ya da n’in önündeki katsayılar ters olmak için, birinci denklem 3 ile, ikin-ci denklem ise (-2) ile çarpılmalıdır; ya da birinci denklem 2 ile ve ikinci denklem (-7) ile çarpılmalıdır.


Sistemin çözümünü tamamla:

(m, n) = (1, 1) sıralı çifti verilen sistemin çözümü olabilir mi yokla.

Aynı sistemi çöz, fakat n önündeki katsayılar ters sayılar olsun..

Denklemler sisteminin bu �ekilde çözümüne ters katsayılar metodu denir.

Ters katsayılar metodunun yardımıyla verilen denklemler sistemini çöz:


Ödevler

Ters katsayılar metodu, genellikle bilin-meyenlerden birinin önündeki katsayı-lar ters oldu�u durumda ya da bir sayıyla çarparak ters katsayılar elde edildi�i du-rumda uygundur.Ters katsayılar metoduyla denklemler sistemini çözesin.

Verilen sistemlerden hangisinin, ters katsayılar metoduyla çözümü daha uy-gun metod oldu�unu tespit et:

veya

�u sistemleri ters katsayılar metoduyla çöz:


Verilen sistemin çözümünü grafi ksel �ekilde belirttikten sonra ters katsa-yılar metoduyla çözerek yoklamasını yap.


�K� B�L�NMEYENL� L�NEER DENKLEMLER S�STEMLER�N�N UYGULANMASI

Anımsa!

�u tümceyi, iki bilinmeyenli denklem-ler sistemi �eklinde yaz: “�ki sayının toplamı 6, birincisinin yarısıyla ikinci sayı arasındaki fark 0’ dır”.

Elde edilmesi gereken sistem:

‘dir. Bu sistemi çözerek

aranılan sayıları belirteceksin.(x, y) = (4, 2) sıralı çifti sistemin çözü-mü müdür yokla, yani aranılan iki sayı 4 ve 2 midir?

Matematikten, di�er bilim-lerden veya günlük hayat-

tan çe�itli ödevlerin çözümünde ço�u kez bi-linmeyen de�erlerin belirtilmesi gerekir.Bu gibi durumlarda problemler (ödevler) söz-lerle ifade edilmi�tir ve bunları çözmek için matematiksel yolla denklemler olarak gös-terilmelidir.

Bu gibi ödevlerin çözümünde sırası-na göre yapılan i�lemleri ve tavsiye-leri incele.

Ba�langıçÖdev dikkatle okunur ve orada bilinmeyen ve bi-linenin ne oldu-�u belirlenir.

Büyüklüklerin i�aretlenmesi

Bi l inmeyenler (x, y, a, b vb.) ile i�aret edilir ve onların özellik-leri incelenir.

Aralarındaki ba�ıntıların incelenmesi

Bilinmeyenler ve bilinenler arasın-daki ba�ıntılar bulunur.

Sistemin kurulması

Denklemler mey-dana getirilir, sis-tem kurulur ve çözülür.

Örnek: �lker’in 2 denarlık ve 5 denarlık olmak üzere toplam 67 denar eden 17 demir pa-rası var. �lker’in kaç tane 2 denarı ve kaç tane 5 denarı vardır?

��aretlemeBa�langıç Aralarındaki ba�ıntılar Sistem

Bilinenler: demir para sayısı toplam de�eri

paraların cinsiBilinmeyenler: her cinsten kaçar para vardır.

5 denarlık para-lar sayısını x ile, 2 denarlık para-lar sayısını y ile.

demir para sa-yısı 17’dir;

toplam de�eri 67 denar.

Sistemi çöz.

Sistemin çözümü (x, y) = (11, 6)’dir. �imdi bu de�erlerin ödevdeki ko�ullara uygun olup olmadı�ını yokla, yani �lker’in 5 denarlık 11 parası ve 2 denarlık 6 parası oldu�u do�ru mudur?


�ki rafta 124 kitap var. Birinci rafta, ikincisinden 3 defa daha çok kitap oldu�una göre, her rafta kaçar kitap vardır?

K ve A yerleri arasındaki uzaklık 190 km’dir. K yerinden A yerine do�ru bir kamyon hare-ket etmi�, yarım saat sonra A yerinden K yerine do�ru bir otobüs hareket etmi�. Kamyo-nun hareket etti�i andan 2 saat sonra bulu�uyorlar ve yollarına devam ediyorlar. Kar�ıla�tıktan bir saat sonra otobüs ve kamyon arasındaki mesafe 110 km olmu�tur. Otobüs ve kamyonun hızı ne kadardır?

Bu ödev bir hareket problemidir. Çözülmesi için büyüklükler arasındaki ba�ın-tıları daha kolay farketmek için çizim yapılır.

kamyon (k) otobüs (a)

Çizime bak:

B

�

L

�

N

E

N

K yerinden kamyon, A’dan ise otobüs hareket ediyorBulu�tukları yer C noktasıdır.K’dan C’ye kamyon 2 saat hareket etmi�tir.A’dan C’ye otobüs 1,5 saat hareket etmi�tir.C’den D’ye kamyon 1 saat hareket etmi�tir.C’den B’ye otobüs 1 saat hareket etmi�tir. B’den D’ye uzaklık 110 kilometredir.

� � A R E T L E M E

Kamyonun hızı x’dir.Otobüsün hızı y’dir.

A R A L A R I N D A K � B A � I N T I L A R

Kamyonun ve otobüsün hareketleri düzgün oldu�una göre, düzgün do�rusal hareket for-mülü s = v · t yararlı olacak, yani �u durumda v x ya da y’dir.K yerinden C yerine kamyon (2 saatte) 2x yolunu geçmi�tir.Otobüs A yerinden C yerine (1,5 saatte) 1,5 y yol geçmi�tir.1 saatte C’den D’ye kamyon 1 · x yol geçmi�tir.1 saatte C’den B’ye otobüs 1 · y yol geçmi�tir.

Çizime göre ya da 2x + 1,5 y = 190; ya da 1x + 1y = 110.

D E N K L E M L E R S � S T E M �

Sistemi çöz.Kamyon saatte 50 km ile, otobüs ise saatte 60 km hızla hareket etti�inin do�ru oldu�u yokla.

Bir vapur ırma�ın akı� yönünde saatte 25 km hızla hareket eder, ırma�ın akı�ının ters yönünde ise saatte 20 km hızla hareket etmektedir. Vapurun hızını ve ırma�ın akı� hızı-nı belirt.


K1 ve K2 asit karı�ımları verilmi�tir. K1 karı�ımı %36, K2 ise %96’dır. 120 litre %80 ka-rı�ım elde etmek için her birinden kaçar litre alınmalıdır?

Yüzdeleri hatırlamalısın.

Unutma ki m litre ve % k olan bir karı�ımda litre asit vardır.

B � L � N E N L E R

K1 karı�ımı %36

K2 karı�ımı %96Elde edilecek yeni karı�ım %80 olmalıdır.


K1 karı�ımından alınacak litre sayısı x olsun.K2 karı�ımından alınacak litre sayısı y olsun.


K1‘deki x litre karı�ımda litre asit var.

K2‘deki y litre karı�ımda litre asit var.

120 litrelik yeni karı�ımda x litre K1’den ve y litre K2’den var, veya: x + y = 120’dir.

120 litrelik yeni karı�ımda litre asit veya:


Sistemi çöz.(x, y) = (32, 88) sıralı çifti ödevin ko�ullarına uygun olup olmadı�ını yokla.

60 litre %75’lik ispirto elde edilebilmesi için kaç litre su ve kaç litre %90’lık ispirto ka-rı�tırılmalıdır?

Bir dik üçgenin 2 katetinin uzunlukların toplamı 20 cm’dir. Küçük katet 2 cm uzatılırsa, büyük katet ise 4 cm kısaltılırsa, üçgenin alanı 8 cm2 için azalacaktır. Üçgenin katetlerinin uzunluklarını belirt.


yy

y

Bu gibi ödevleri çözmek için, düzlemsel geometrik �ekillerinin formüllerinden ve özelliklerinden yararlanmayı hatırlamalısın.

B � L � N E N L E R

Katetlerin uzunluklarının toplamı 20 cm’dir.

Dik üçgende katet aynı zamanda üçgenin yüksekli�idir.

a tabanı ve h tabana kar�ılık gelen yükseklik olmak üzere, üçgenin alanı formü-lüyle hesaplanır.


Küçük katetin uzunlu�u x olsun.Büyük katetin uzunlu�u y olsun.



Katetlerin uzunluklarının toplamı x + y = 20’dir.

Küçük katetin uzatılmasıyla, uzunlu�u x + 2 olur.Büyük katetin kısaltılmasıyla, uzunlu�u y – 4 olur.

Ba�langıçtaki üçgenin alanı ‘dir.

Kar�ılıklı katetlerin uzatılmasıyla ve kısaltılmasıyla üçgenin alanı olur.

Sistemi çöz.(x, y) = (8, 12) sıralı çiftin aranılan üçgenin katetlerinin uzunlukları oldu�unu yokla.

Bir yamu�un yüksekli�i 6 cm, alanı ise 96 cm2’dir. Onun paralel kenarlarının uzunluk-larının farkı 4 cm’dir. Yamu�un paralel kenarlarının (tabanlarının) uzunluklarını belirt.


Bilmen gerekenler:

�ki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi-ne dönü�en problem ödevini çözmek için, yöntemini ve çözüm kaidesini ifade etme-lisin.

Kendini yokla!

“Toplamı 100 olan öyle iki sayı belirt ki onla-rın bölümü 4 olsun”, ödevinde �u yöntemle-ri uygula:

Bilinmeyenleri i�aret et ve bilinmeyen ve bi-linen büyüklükler arasında olan ba�ıntıları yaz.Denklem sistemi kur ve çöz.Çözümü kontrol et.

Ödevler

�ki sayının toplamı 72, farkı ise 2'dir. Bu sayılar hangilerdir?

Bir sınıfta toplam 28 ö�renci var. Erkekle-rin sayısı kızlar sayısından 4 için büyük-tür. Sınıfta ö�rencilerden kaç ki�i erkek, kaç ki�i kızdır?

Bir vapur ırmak akı�ının ters yönünde ha-reket ederek 5 saatte 63 km yol geçmi�tir. Irma�ın akı�ı yönünde hareket etti�i za-man, aynı yolu 3 saatte geçmi�. Vapurun hızını ve ırma�ın akı� hızı ne kadardı?

E�er 8 litre sıcak suya 2 litre daha so�uk su katılırsa, elde edilen suyun sıcaklı�ı 66o'dir.E�er 7 litre sıcak suya 3 litre daha so-�uk su katılırsa,elde edilen suyun sıcak-lı�ı 59o'dir.Sıcak ve so�uk suyun dereceleri ne ka-darmı�?

Sinan 8 defter (büyük ve küçük) satın ala-rak 250 denar ödemi�. Büyük defterlerin fi -yatı 50 denar, küçüklerin ise 20 denarmı�. Sinan kaç büyük ve kaç küçük defter satın almı�tır?

Anne ve kızın ya�ları berabere 37 yıldır. 2 yıl önce anne kızından 10 defa büyükmü�. Annenin ve kızının ya�ları ne kadardır?

Paralel kenarlı bir dar ve bir geni� açının öl-çülerinin farkı 36o'dir. Açıların büyüklü�ü ne kadardır?

Bir ikizkenar üçgenin çevresi 36 cm'dir. Yan kenarı ve tabanın uzunlukların farkı 3 cm'dir. Üçgenin alanını belirt.

Bir kafeste tav�anlar ve güvercinler vardır. Osman 35 ba� ve 94 ayak oldu�unu say-mı�. Kafeste kaç tav�an ve kaç güvercin varmı�?


V E R � L E R L E� � L E M L E R

D�R�HLE PRENS�B�NE GÖRE PROBLEMLER�N ÇÖZÜMÜ

Örnek: Özel olarak i�aretlenmemi� olan üç kutuda 7 topca�ızı yerle�tir.

Bunu 8 de�i�ik �ekilde yapabilirsin. �ekilde görüldü�ü gibi.

�lerde, ödevin mümkün çözümlerinin sayısını belirtmek bizim amacımız olmayacaktır. Amacımız bir prensibin saygılanması olacaktır.

Fark et

7 topça�ızı nasıl yerle�tirirsek yerle�tirelim, bir kutuda en az üç topça�ız olacaktır.

�ncelenen örnek Dirihle prensibi denilen önemli bir prensibin basitle�mi� �eklidir.

Prensibin ifadesi:

n kutuda n’den çok nesne yerle�tirilirse, kutulardan en az birinde birden çok nesne bulunacaktır.

Petar Gustav Lejen Dirihle (1805 – 1859)

Alman matematikçisi

a) 34 ki�ilik bir sınıfta, soyadları aynı harf ile ba�layan en az iki ö�rencinin var oldu�u iddia edilebilir mi?b) Bu iddia 28 ki�ilik sınıf için geçerli olabilir mi?


a) Burada Dirihle prensibine göre alfabenin harfl eri “kutular”dır. Onların sayısı 29’dur. En olumsuz tahminde, 29 ö�rencinin soyadları tüm 29 farklı harf ile “ba�layabilir”.

1.


Kalan 5 ö�rencinin soyadları hangi harfl erle ba�layabilir?

Onlar artık “kullanılmı�” olan harfl erle ba�layacaktır.

En az kaç ö�rencinin soyadı aynı harf ile ba�lar?

Sınıfta en az iki ö�rencinin soyadı aynı harf ile ba�lar.

b) Sınıfta ö�renci sayısı 29’dan az oldu�u durumda, iddia neden geçerli de�ildir?

Bir matematik okulunda 372 ö�renci varmı�. Onlar arasında do�um gününü aynı gün-de kutlayan en az iki ö�rencinin var oldu�unu ispatla.

Bir okulda V’ten VIII. sınıfa kadar toplam 16 sınıf vardır. “Genç matematikçiler” bölü-müne 18 ö�renci üyedir. Bu ö�renciler arasında aynı sınıftan en az iki ö�renci oldu�u-nu ispatla.

Fark et

En olumsuz tahmin üyelerin her sınıftan birer ki�i oldu�u durumdur. Fakat o toplam 16 ö�rencidir.Kalan daha iki ö�renci için nasıl sonuca varıyorsun?

Sınıfta 30 ö�renci var. Matematik dersinde yazılı ödev-de bazı ö�renciler 8 hata, bazıları ise daha az hata yap-mı�tır. Yazılı ödevde en az 4 ö�rencinin aynı sayıda hata yapmı� oldu�unu ispatla.

En büyük hata sayısı kaçtır?

Senin çözümünü verilenle kar�ıla�tır.

Yapılan hata sayısı en çok 8'dir. Demek ki, bazı ö�renciler 8 hata yapmı�; fakat 7 hata-lı; 6 hatalı;...; 1 hatalı ö�rencilerin olması mümkünmü�, fakat, hiçbir hata yapmayan ö�-renci de olabilir (yani 0 hata yapmı�lar).

Tüm ö�rencileri 9 gruba ayıralım:1) 8 hata yapan ö�renciler;2) 7 hata yapan ö�renciler ve ba�ka. Dokuzuncu grup ise hiçbir hata yapmamı� olan ö�-rencilerdir.


En olumsuz tahmin, 3 o�rencinin 8 hata, 3 ö�rencinin 7 hata vb. ve üç ö�rencinin hiç-bir hata yapmamı� olması durumdur. Onlar toplam 3 · 9 = 27 'dir (9 grupta 3’er ö�ren-ci vardır).Halbuki 30 = 3 · 9 + 3 oldu�una göre daha 3 ö�renci kalır. Bunlar 8, 7, ..., 2, 1 ya da 0 hata yapan ö�rencilerdir. Dirihle prensibine göre en az 4 ö�renci aynı sayıda hata yap-mı�tır veya hata yapmamı�tır.

Sınıfta 34 ö�renci var. Aynı bir metini bilgisayara yazar-ken Mert13 hata, di�erleri ise daha az hata yapmı�tır. Aynı sayıda hata yapan en az üç ö�rencinin var oldu�u-nu ispatla.

Dirihle prensibi matemati�in birçok bölgelerinde kullanı�lıdır. Sayıların bölünmesinde ve geometride birkaç örnek incele.

Tahminen 5 sayı veriliyor. Onların arası en az iki sayı var ki onların farkı 4 ile bölünür.

Tavsiyeye göre i�lemi yap:

4 ile bölünmede kalanların sayısı kaçtır 4 kalan elde edilir:ve hangi sayılardır? 0, 1, 2 veya 3.

Seçilen be� sayıyı 4 ile bölersek 5 kalan elde edilir. Demek ki, kalanlardan en az ikisi ay-nıdır (Dirihle prensibine göre).

a ve b sayılarının 4 ile bölümünde aynı kalan p olsun. Burada p {0, 1, 2, 3} a = 4m + p; b = 4n + p

a – b = (4m + p) – (4n + p) = 4(m – n) = 4k. Demek ki fark 4k biçimindedir, yani o sayı 4 ile bölünür. Bunu 4 | (a – b) biçiminde yazıyoruz.

�ki sayı arasındaki farkın 7 ile bölünebilmesi için en az kaç do�al sayı alınmalıdır?

Boyutları (20 cm x 30 cm) olan bir beyaz ka�ıt sayfası üzerinde mürekkep dökülmü�-tür. Bu ka�ıt üzerinde birbirinden 10 cm uzaklıkta aynı renkte iki nokta oldu�unu ispatla.

8.

7.

6.

5.


Açıklamayı izle.

Bu ka�ıt üzerinde kenara 10 cm olan bir e�kenar üçgen çiz.

Bu üçgenin üç kö�esinden ikisinin beyaz, üçüncüsünün ise mavi oldu�unu, veya ikisi mavi biri beyaz, veya üçünü mavi oldu�unu gör. Aynı renkte olan iki kö�e aranılan noktalardır.

Düzlemde 5 do�ru veriliyor, bunlar iki�er iki�er paralel olmayandır. Onların arasında 37o küçük açı yapan iki do�runun var oldu�unu ispatla.

�u �ekilde devam ediniz.

M noktasından geçen do�ruların düzlemini 10 açıya ayırdıkla-rını gözetle.

Düzlem üzerinde bir M noktasını seç ve bu do�ruların hep-sinin M noktasından geçeçek halde paralel olarak uygula.

Açılar birbirine e�it ise, onların herbiri 360 : 10 = 36°’dir, 36° < 37°, demek ki 37°’den küçük olacak açı daima var-dır.Açılar birbirinden farklı ise, onlardan herbiri 37o’den bü-yük olamaz, çünkü 10 · 37° = 370° > 360°’dir. Demek ki, bu açılar arası 37o’den küçük olan açı vardır.

Ödevler

Bir okulda 1 200 ö�renci vardır.a) bu okulda en az 4 ö�rencinin do�um gününün aynı günde oldu�unu ispatla;b) en az iki ö�rencinin inisiyallerinin aynı oldu�unu ispatla.

Üsküp kentinde en az üç ki�inin ba�ın-daki saç sayısının aynı oldu�unu is-patla. (Bir insanın ba�ındaki saç sayı-sı 200 000’den çok de�ildir)

Bir sınıfta 37 ö�renci var. Yılın bir ayın-da en az 4 ö�rencinin do�mu� oldu�u-nu ispatla.

Bir sandıkta yalnız bir cins elma olmak üzere, 25 sandıkta 3 cins elma vardır. Onlar arasında aynı cinsten 9 sandık elma oldu�unu ispatla.

3.

4.


M

L�NEER DENKLEMLER S�STEM�N� OKUDUNB�LDIKLERINI KONTROL ET

1.

2.

7.

8.3.

4.

9.

10.6.

5.

�ki bilinmeyenli lineer denklemin çö-zümü nedir?

Verilen denklemler sistemini yerine koyma metoduyla çöz.

Verilen denklemler sistemini ters katsayılar metoduyla çöz:

Lineer denklemler sistemini grafi k-sel çözümüne göre sistemin kaç çözümü oldu�unu tahmin et:

Baba ve o�lunun ya�larının topla-mı 46’dır. 10 yıl sonra, baba o�lun-dan iki defa daha ya�lı olacaktır. �imdi, onların ya�ları ne kadardır?

k parametresini o �ekilde belirt ki, (2, 6) sıralı çifti (4x – 2)k – 1 = y – k denk-leminin çözümü olsun.

Verilen denklemin çözümler kümesi-ni grafi ksel �ekilde göster:

�ki bilinmeyenli lineer denklem siste-minin çözümü nedir?

Verilen denklemler sistemine denk ve her iki denklemi ax + by = c bi-çiminde olacak denklemler sistemi-ni yaz.

Sistemi grafi ksel �ekilde çöz:


KONU 4. GEOMETR�K C�S�MLER

UZAYDA NOKTALAR, DO�RULAR VE DÜZLEMLER

1. Nokta, do�ru ve düzlem 1602. �ki do�ru 1633. �ki düzlem 1654. Paralel projeksiyon. Dik projeksiyon 1685. Geometrik cisimin çizimle gösterili�i 171

PR�ZMA6. Prizma. Prizma çe�itleri. Kö�egen kesitler. 174

7. Paralelyüz. Prizmanın açılımı ve alanı. 1778. Çokyüzlünün hacmı. Dikdörtgenler prizmasının ve küpün hacmı. 1839 Dik prizmanın hacmı. 187P�RAM�T10. Piramit. Piramidin alanı 19011. Piramidin hacmı 194S�L�ND�R, KON�, KÜRE12. Silindir; alanı ve hacmı 19713. Koni; alanı ve hacmı 20014. Küre; alanı ve hacmı 20315. Olasılık 206 Bilgini kontrol et 208

UZAYDA NOKTALAR, DO�RULAR VE DÜZLEMLERNOKTA, DO�RU VE DÜZLEM

Anımsa!Do�ru, açı, yamuk ve çember düzlemsel �ekillerdir.Ba�ka düzlem �ekilleri de vardır.

Düzlemsel �ekillerini inceleyen geometri-nin bölümüne düzlem geometrisi veya pla-nimetri denir.

Do�runun bazı özellikleri, temel özellikler (aksiyomlar) olarak kabul edilmi�tir.

Birinci aksiyom (A1) gibi �u özelli�i kabul ediyoruz: her do�runun üzerinde sonsuz noktalar yatar, fakat do�runun üzerinde ol-mayan noktalar da vardır.

�ekilde bir küp ve bir dikdörtgenler prizması gösterilmi�tir.

Dikdörtgenler prizması düzlemsel �ekil midir? Neden?Küpün her noktası aynı düzleme ait midir?

Uzaydaki geometrik �ekilleri inceleyen geometri bölümüne uzay geometrisi veya stereometri denir.

Noktalar, do�rular ve düzlemler uzayın temel geometrik �ekilleridir.Düzlemi düz bir cam gibi, sakin suyun yüzeyi gibi vb. �ekil gibi dü�ünebiliriz. O sınırsız düz bir yüzeydir ve onunla ilgili �u aksiyom kabul edilmi�tir.

Her düzene ait sonsuz çok noktalar vardır, fakat düzleme ait olmayan noktalar da vardır.1

�ekilde, � düzlemi ve A, B, C, D, M noktaları verilmi�tir.

A noktası � düzlemine aittir, yani A ��. A noktası � düzlemi üze-rindedir ya da � düzlemi A noktasından geçer de diyebiliriz.��aretlenen noktalardan daha hangileri � düzlemine aittir?Bir düzleme ait olan üç ya da daha fazla noktaya düzlemde� – komplaner noktalar de-nir. Örne�in, �ekilde A, B, C, D, � �, M � oldu�una göre A, B, C, D düzlemde�, B, C, D, M ise düzlemde� de�ildirler.

Anımsa! Do�ruyla ilgili �u aksiyomu biliyorsun: herhangi iki farklı noktadan tam bir do�ru geçer. Bu aksiyom uzaydaki noktalar için de geçerlidir.

Konu 4. Geometrik cisimler

Düzleme ait, �u temel özellik (aksiyom) kabul edilmi�tir.

2A Bir do�ruya ait olmayan herhangi üç noktadan tam bir düzlem geçer.

Ayakları e�it uzunlukta olmazsa bile neden üç ayaklı bir tabure “sallanmıyor”? Dört ayaklı taburede böyle bir durum var mıdır?

�ekildeki dikdörtgenler prizmasını incele ve �u soruları ce-vapla:

Dikdörtgenler prizmasının hangi kö�esi A, B ve B1 ile belirlenen düzleme aittir?C kö�esi o düzleme ait midir?�u noktalar komplaner midirler:a) A, B, C, D; b) A, B, C1, D1; c) A, B, C, C1?Di�er dört kö�eyi bul ve onlar:a) aynı düzlem üzerinde olsunlar; b) aynı düzlem üzerinde olmasınlar.Bir dikdörtgenler prizmasını çiz ve �ekilde oldu�u gibi i�aret et. Ondan sonra dik-dörtgenler prizmasına ait olan B, C, D1, A1 düzlem kısmını tara.

Bir do�runun her noktası verilen bir düzleme ait ise, do�ru düzlem üzerindedir ya da do�ru düzleme aittir, düzlem ise o do�rudan geçer denilmektedir.

Bir düzlem üzerinde sonsuz çok do�rular vardır.

2.

3.

4. �ekilde � düzlemi ve ona ait olan iki nokta A ve B gösterilmi�tir.

A ve B noktalarından kaç do�ru geçer?

AB do�rusuna ait olan di�er noktalar � düzlemine de ait midir?

Düzlemin �u genel özelli�i (aksiyomu) do�ru olarak kabul edilmi�tir.

Bir do�runun iki noktası bir düzleme ait oldu�u durumda, do�ru da düzleme aittir, yani do�ru düzlem üzerindedir.

Bu aksiyomdan yararlanarak, uzayda do�ru ve düzlem arasındaki durumları inceleyebi-leceksin.

Verilen �ekilleri incele ve bir do�ru ile bir düzlem arasında mümkün olan durumların açık-lamasını izle.

Uzayda noktalar, do�rular ve düzlemler

� düzlemi ve a do�rusu arasında �u üç durum mümkündür.

Do�ru ve düzlemin ortak noktaları yoktur.Bu durumda onlar paraleldirler denir ve a || � biçim-de yazılır.

Do�ru ve düzlemin bir ortak noktası vardır. Bu durum-da onlara kesi�irler denir, yani a do�rusu � düzlemini P noktası keser denir. P noktasına kesi�im noktası denir.

a do�rusu � düzlemi üzerindedir. Bu durumda da onlara paraleldirler denir.

�ekildeki dikdörtgenler prizmasını ve A, B, C kö�eleriyle belirlenen � düzlemini incele.

a) � düzlemine paralel olan; b) � düzlemini kesen;c) � düzlemine ait olan,

Uzayda temel geometrik �ekillerini ifade edesin;

Bilmen gerekenler:

Do�ru ve düzlem arasındaki durumları belirtesin.

Kendini yokla!

a) nokta ve düzlem; b) do�ru ve düzlem; arasındaki durumlar nasıldır?A, B, C, M, D noktaları yukarıdaki �ekilde olan dikdörtgenler prizmasının kö�eleridir. Bu nok-talardan hangi dördü:a) komplanerdirler; b) komplaner de�ildirler?Kaç düzlem geçebilir, e�er:a) bir A noktası verilmi� ise;b) iki B ve C noktaları verilmi� ise;c) üç A, B ve C noktaları verilmi� ise?

Ödevler

Bir küp ABCDA1B1C1D1 çiz ve dört kö�e adlandır ki onlar:a) komplaner olsun; b) komplaner olmasın.

Kübün üst tabanına ait bir kö�e ve alt ta-banına ait bir kö�eyle kaç do�ru belirti-lebilir?

Ödev 1’deki kübün AB ayrıtı yanlız iki yü-züyle paraleldir ve onlarla ortak noktaları yoktur. Bu yüzleri adlandır.

Ödev 1’deki kübün AC kö�egeni, kübün yanlız bir yüzü ile ortak noktası yoktur. O hangi yüzdür?

3.

4.


�K� DO�RU

1.

2.

3.

Anımsa!

Düzleme ait aksiyomları ifade et.

Kaç nokta bir do�ruyu belirtir;a) düzlemde, b) uzayda?

Uzayda, iki ortak noktası olan iki do�-runun aralarındaki durum nasıldır?

Bir düzlemi kaç nokta belirtir?

a do�rusunun � düzlemi ile iki ortak noktası vardır, a ve � nasıl durumda-dır?

Uzayda iki do�runun:

ya yanlız bir ortakları olabilir (ke-si�iyorlar);ya ortak noktaları yoktur;ya da çakı�ıyorlar (iki ortak nok-taları varsa).

�ekilde, a ve b do�ruları kesi�iyorlar, yani bir ortak P noktaları vardır. �ekli incele ve �u soruları cevapla:

PA

Bb

a

Tahminen seçilen A � a�B��b ve P kesi�im noktaları ( A � P ve B � P) do�ruda� olabilir mi? Neden?A, B ve P noktaları tam bir düzlem belirtiyorlar. Neden?

a ve b do�ruları bu düzleme aittir. Neden?

�ekilde bir dikdörtgenler prizması gösterilmi�tir. �ekli incele ve �u soruları cevapla.

AB ayrıtı aynı düzleme ait midir e�er:a) BB1; b) A1B1; c) B1C1

CB ve C1B1 ayrıtları aynı düzleme aittir. Neden?

AB ve A1B1 ayrıtları aynı düzleme aittir, fakat ortak noktaları yoktur; AB ve A1B1 do�ruları paraleldir, ortak noktaları yoktur yani AB || A1B1.

A

A1

B

D C

B1

C1D1

Dikkat et!

�ki paralel do�ru daima bir düzleme aittir. AB ve B1C1 do�rularının da ortak noktaları yoktur, fakat aynı düzlem üzerinde de�ildirler. Onlara aykırı do�rular denir.

Dikdörtgen prizması �eklinden yararlanarak aynı düzleme ait olan ba�ka paralel do�ru çiftlerini de gözetle. Üç do�ru her zaman aynı bir düzlem üzerinde bulunurlar mı?


�ekilleri incele ve unutma!

Uzayda iki do�ru:Bir düzlem üzerinde olabilir; o durumda ya kesi�ir ya da paralel olabilir (ya da çakı�abilirler), �ekil 1’de oldu�u gibi;Bir düzleme ait olmayabilirler, yani �ekil 2’de a ve c do�ruları oldu�u gibi aykırı do�-rular olabilirler.

�ekil 2’ye göre birkaç çift: a) aykırı do�ruları; b) paralel do�ruları yaz.

�ekil 2’deki do�ruların kesi�im noktaları bir dikdörtgen prizmasının kö�eleridir. �u ifa-delerden hangileri do�rudur?a) b ve m do�ruları kesi�mez ve paralel de�ildirler, yani aykırı do�rulardırb) m ve d do�ruları bir düzleme ait ve kesi�miyorlar, yani paraleldirler.c) a ve d do�ruları kesi�ir ve bir düzleme ait de�ildirler.ç) b ve m aykrıdırlar ve bir düzlem üzerinde bulunuyorlar.

Anımsa!

A2 aksiyomuna göre bir düzlem do�ruda� olmayan üç noktayla tamamen bel-lidir.Uzayda iki do�runun birkaç durumu da bir düzlem belirtiyor. Bu durumlar han-gileridir?

�ekilleri incele ve uzayda bir düzlem neden a�a�ıdaki durumlarda tama-men bellidir açıkla: �) Do�ruda� olmayan üç noktayla;b) Bir do�ru ve dı�ında bir nokta ile;c) �ki paralel do�ru ile; ç) Kesi�en iki do�ru ile;

�ekil 1 �ekil 2

a)

c)

b)

ç)


Bir dikdörtgenler prizmasının iki�er iki�er yan ayrıtlarından kaç düzlem belirtiyorlar? (Dikkat et: dört düzlemden daha çok var.)

7.

1.

2.

3.

4.

5.

Bilmen gerekenler:

Uzayda iki do�ru arasında nasıl durumlar var oldu�unu açıkla.

Kendini yokla!Hangi do�rulara: a) paraleldir, b) aykırıdır denir?Bir küp ABCDA1B1C1D1 çizdikten sonra onun tabanlarının kö�egenlerini çiz. AC, BD, A1C1, B1D1 do�rularından hangi çiftler: a) kesi�iyorlar; b) paraleldirler; c) aykırıdırlar?

Ödevler

Uzayda üç farklı do�ru bir noktadan geçiyorlar. Bu do�rular kaç düzlem be-lirtiyor?

Bir dikdörtgenler prizması ABC-DA1B1C1D1 çizdikten sonra iki kom�u yüzünün, örne�in, ABB1A1 ve BCC1B1 yüzlerinin kö�egenlerini çiz. AB1, BA1, CB1, BC1 do�ru çiftlerinden hangileri:a) kesi�ir; b) paraleldir; c) aykırıdırlar?

a ve b uzayda iki do�ru olsun. Onlar-dan kaç düzlem geçebilir?

Bir düzleme ait olmayan dört noktayı kaç düzlem belirtir?

�u iddiayı açıkla:“E�er AB ve CD do�ruları kesi�iyorsa, o zaman A, B, C ve D noktaları komp-lanerdir”.

�K� DÜZLEM

Anımsa!Uzayda bir düzlemin tamamen belli oldu�unu açıklayan aksiyom nasıl ifa-de edilir?Uzayda bir do�ru ve bir düzlem arasın-da nasıl durumlar olabilir?

Dü�ün ve cevapla:

�ki düzlemin yanlız bir tek ortak noktası olabilir mi?�ki düzlemin yanlız iki tek ortak noktaları olabilir mi?

Bu sorunun cevabını (A4 aksiyomu) te-mel özelli�i vermektedir:

�ki düzlemin bir noktası varsa, onların o noktadan geçen bir ortak do�rusu da var-dır.

Aksiyom gere�ince, iki farklı düzlem �1 ve �2:a) ya ortak noktaları yoktur; b) ya da ortak do�ruları vardır.�ki düzlemin do�ruda� olmayan üç farklı ortak noktaları varsa, onlar birbiriyle ça-kı�ıyorlar.


Unutma

�ki farklı düzlem �1 ve �2’nin ortak do�ruları varsa, düzlemler kesi�iyorlar. Ortak do�ru-ya ise düzlemlerin ara kesit do�rusu denir.�ki düzlem �1 ve �2’nin ortak noktaları yoksa ya da çakı�ık durumda bulunuyorlarsa, on-lara birbiriyle paraleldir ve �1 || �2 �eklinde i�aret edilir.

�u iddiaların do�ru oldu�unu gör (�ekil yap).a) E�er �1 || �2 ve a do�rusu �1’i keserse, o zaman a do�rusu �2’i de keser.b) E�er �1 || �2 ve a || �1 ise, o zaman a || �2.c) E�er �1 || �2 ve �3 düzlemi �1 düzlemini keserse, o zaman �3 düzlemi �2 düzlemini de keser.

�ekili incele ve açıklamayı izle.

�1 ve �2 düzlemler kesi�iyorlar ve s onların ara kesiti do�rusu-dur.

M noktası s üzerinde tahminen bir nokta olsun. M noktasından biri �1 düzlemine ait, di�eri ise �2 düzlemine ait, s do�rusuna dik halde iki yarıdo�ru çizilmi�tir. Yarıdo�rular � açısını meyda-na getiriyorlar.

Bu yarıdo�rulardan olu�an � açısına �1 ve �2 düzlemleri ara-sındaki açı denir. Onun paralel açısı da iki düzlem arasıda bu-lunan bir açıdır.

Düzlemler arasındaki açı dik ise, düzlemler de birbirine dik'tir, yani �1 � �2.

Sınıfınızın tabanı ve bir duvarı arasında nasıl açı olu�ur? Duvarlar ve tavan birbirine göre dik durumda mıdır? Tavan ve taban ise birbirine göre nasıl durumdadırlar?

Dikdörtgenler prizmasının tabanı ve bir yan yüzü nasıl açı olu�turuyorlar?


�ekilleri gözetle ve açıklamayı izle.

a do�rusu � düzlemini P noktasında keser.

P kesi�im noktasından � düzlemine ait olan b ve c do�ruları çizilmi�tir. Bu do�rular a do�rusuyla � ve � açılarını meydana getirirler. P noktasından böyle birçok do�ru çizilebilir; hepsi a do�rusuyla farklı açılar meydana getirebilirler.Farketti�in gibi, bu açılar ancak dik açılar oldukları durumda birbirine ait olabilirler.

Böyle durumda a do�rusu düzleme diktir denir, yani a do�ru-su � düzlemine diktir denir. Bunu a

T

� �eklinde i�aret edilir.

Unutma

a do�rusu, � düzlemini kesti�i noktadan geçen her do�ruya dik oldu�u durumda, a do�rusuna � düzlemine diktir denir.

�1, �2 düzlemleri ve a, b do�ruları için �u iddiaların do�ru oldu�unu incele. Çizim yap!

a) E�er a || b ve a

T

�1 o zaman b

T

�1. b) E�er �1 || �2 ve a

T

�1 o zaman a

T

�2.

5.

�ekilde M noktası � düzlemine ait de�ildir. M noktasından � düzlemine bir dikme çizilebilir. M’ noktası bu dikmenin dikme aya�ı olsun.

�ekli incele ve �u sorular hakkında dü�ün ve cevapla.

Bu �ekilde M noktasından � düzleme kaç dikme çizilebilir?M noktasından � düzlemini N � M’ noktasında kesen b do�rusu çizilmi�tir.

b do�rusu � düzlemine dik midir?

MM’N nasıl üçgendir?

MM’ do�rusunun � düzleminin M noktasından geçen biricik dikmesi oldu�unu açıkla.

Düzlemin dı�ında bir noktadan çizilen dikmenin ne oldu�unu açıkla.

�ekildeki MM’ do�ru parçası � düzlemine dikmedir, di�er do�ru parçalardan herbiri (MN gibi) – düzleme e�ik durumdadır.

MM’ uzaklı�ına M noktasından � düzlemine uzaklık denir.Bir noktadan düzleme uzaklık tanımını ifade et.�ekilden MM’ < MN oldu�unu göster.


Bilmen gerekenler:

�ki düzlemin kesitinin ne oldu�unu açık-lamasını;�ki düzlemin ortakla�a durumlarını �ekil-le açıklamasını;�ki düzlem arasındaki açı ve noktadan do�ruya uzaklı�ı �ekille açıklamasını.

Kendini yokla!

�ki düzlemin,a) bir; b) iki; c) üç noktası varsa onların birbirine göre durumları nasıldır?

a, b do�ruların � düzlemi için a�a�ıdaki iddia-lar do�ru mudur (�ekil yap):a) E�er a || b ve a do�rusu � düzlemini kesi-yorsa, b do�rusu da � düzlemini keser.b) E�er a

T

� ve b

T

� o zaman a || b dir.

Hangi iki düzleme:a) paraleldir; b) diktir denir?

Verilen bir noktadan verilen bir düzle-me kaç dikme çizilebilir?

a ve b do�ruları ve �1, �2, �3 düzlem-leri için �u iddialar do�ru mudur? (�e-kil yap.)a) E�er a || b ve a || �1 o zaman b || �1.b) E�er a

T �1 ve a

T �2 o zaman �1 || �2.

c) E�er �1 || �2 ve �1 || �3 o zaman �2 || �3.

M noktasından � düzlemine uzaklık d'dir. M noktasından � düzlemine ait herhangi x noktasına uzaklık için MX � d geçerli oldu�unu açıkla.

A, B, C noktalarından geçen �1 düzlemi ve A, B, D noktalarından geçen �2 düzlemi birbirine göre nasıl durumdadır?

4.

5.

PARALEL PROJEKS�YON. D�K PROJEKS�YON

� düzlemi ve ona paralel olmayan s do�rusu verilmi�tir.

Bir A noktası seç ve o noktadan geçen s do�ru-suna paralel olan a do�rusunu çiz. a do�rusu � düzlemini keser. Neden? Bu kesi�imi çiz ve A ile i�aret et.Yaptı�ın çizimi verilen çizimle kar�ıla�tır.

A’ noktası � düzlemi üzerindeki s yönüne A noktasının projeksiyonu denir.s do�rusu için projeksiyon yön denir.a do�rusuna A noktasının projeksiyon do�rusu denir.

� düzlemine projeksiyon düzlemi denir.Bununla, uzaydaki noktalar ve � düzleminin noktaları arasında bir e�leme belirtilmi�tir. Bu e�lemeye, s yönünde paralel projeksiyon denir.

Ödevler


�ekilde A’, B’ ve C’ noktaları sırasıyla A, B ve C noktalarının projeksiyonlarıdır. Neden , A’ � B’ ve C’ � C 'dir?

�ekilde, X’ ve Y’ noktaları s do�rultusunda � düzlemi üzerinde bazı noktaların projeksiyonudur.

Uzayda hangi noktaların projeksiyonları X’ noktasıdır? � düzleminin hangi noktaları projeksiyonun Y’ noktasıdır?

�ncele ve unutma!

A’ noktası A noktasının projeksiyonu ise, A’ noktası A’nın projeksiyonu do�rusuna ait her noktanın projeksiyonudur.Projeksiyon düzlemine ait her nokta, kendi projeksiyonuyla çakı�ır.

2.

3.

4.Bir � düzlemi ve projeksiyon do�rultusu s seçtikten sonra p, p || s olmak üzere p do�-rusunu çiz. P üzerinde iç nokta A, B, C i�aret et. Onların A’, B’, C’ projeksiyonlarını çiz (dikkat et A’, B’, C’ do�ruda� olacaklar).

Anımsa!

Paralel projeksiyon nedir?Geometrik �ekil (düzlemsel veya uzay) bir noktalar kümesidir.

O noktaların herbirinin verilen bir para-lel projeksiyona göre,kendi projeksiyonu vardır.

5.

6.

Bir �eklin verilen bir � düzlemine projeksiyonu, bu �eklin noktaları-nın projeksiyonlarının kümesidir.

Öyle ki, bir do�runun � düzlemi üzerinde-ki projeksiyonu genel durumda do�rudur, do�ru parçasının – projeksiyonu do�ru parçasıdır, üçgenin – üçgendir v.b.

� düzlemi, s

T

� ve A �, B � � noktaları verilmi�tir.A ve B noktalarının s do�rultusuna göre � düzlemi üzerindeki projeksiyonlarını bul.

�ncele ve açıklamayı izle.Projeksiyon do�rultusu verilen � düzlemine dik oldu�u durum-da elde edilen paralel projeksiyona dik projeksiyon denir.

Öyleki, A’ ve B’ noktaları A ve B noktalarının � düzlemi üzerinde dik projeksiyonlardır.

�ekili incele ve a do�rusunun � düzlemi üzerinde a’ do�ru-su projeksiyonunun nasıl çizildi�ini açıkla.


�ekilde gösterildi�i gibi, defterinde bir çizim yap ve a do�rusunun � düzlemi üzerinde projeksiyonunu belirt.

AB do�ru parçasını verilen bir � düzlemi üzerindeki dik projeksiyonu a�a�ıdaki durumlarda nedir:a) AB do�ru parçası � düzlemine dik de�ilse;b) e�er AB || �

�ekilleri incele ve açıklamaları izle.

a) E�er A’ ve B’ noktaları AB do�ru parçasının A ve B uç noktalarının � düzleminin üzerinde projeksiyonlar ise, o zaman AB do�ru parçasının projeksiyonu � düzlem üzerinde A’B’ do�ru parçasıdır.b) E�er AB do�ru parçası � projeksiyon düzlemine pa-ralel ise, onun projeksiyonu A’B’ verilen do�ru parçaya paralel ve e�it olacaktır, yani A’B’ || AB, A’B’ = AB, çünkü ABB’A’ dörtgeni paralelkenardır (Neden?).

� düzlemine dik olan do�ru parçasının dik projeksiyonu nedir?

Genel durumda üçgenin projeksi-yonu üçgendir.

10.

Üçgenin ait oldu�u düzlemin projeksi-yon düzlemiyle hangi durumda üçge-nin projeksiyonu üçgen de�ildir?

Üçgenin ait oldu�u düzlem, projeksiyon düzlemiyle dik oldu�u durumda, üçgenin projeksiyonu do�ru parçasıdır. �ekilde, PQR üçgenin projeksiyonu P’R’ do�ru parçasıdır.

Bilmen gerekenler:

Bir düzlem üzerinde paralel ve dik pro-jeksiyonu açıklayasın;Nokta, do�ru, do�ru parçası ve üçge-nin bir düzlem üzerinde dik projeksiyo-nunun belirtesin.

Kendini yokla!

B do�rusu � düzlemini P noktasında ke-ser. b do�rusunun b’ dik projeksiyonunu belirt.Dik projeksiyonda, projeksiyon do�ruları ve projeksiyon düzlemi arasındaki durum nasıldır?


Ödevler

AB do�ru parçasının uç noktaları, pro-jeksiyon düzleminin farklı tarafl arında bulunuyor. Do�ru parçasının dik pro-jeksiyonunu belirt. �ekil çiz.

AB ve CD do�ru parçalarının dik pro-jeksiyonları A’B’ ve C’D’dir. �u iddialar-dan hangileri do�rudur?a) E�er AB = CD, o zaman A’B’ = C’D’ b) E�er AB || CD, o zaman A’B’ = C’D’c) E�er AB || CD ve AB = CD, o zaman A’B’ = C’D’.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

a ve b do�ruları kesi�iyor. Onların projek-siyonları iki farklı paralel do�ru olabilir mi?A, B, C noktalarının projeksiyonları A’, B’, C’ do�ruda� noktalardır. A, B ve C noktaların do�ruda� olmaları mecburi midir?

C noktası AB do�ru parçasının orta noktasıdır. C noktasının projeksiyonu olan C’ noktasının A’B’ do�ru parçasının ortası oldu�unu açıkla.M noktası a do�rusu üzerinde de�ildir. M’ noktası projeksiyonu a’ üzerinde bu-lunabilir mi?

GEOMETR�K C�SM�N Ç�Z�MLE GÖSTER�L��

Anımsa!Küp ve dikdörtgenler prizmasını daha evvelki ö�reniminde tanıdın. Onları alanı ve hacmının nasıl hesaplandı�ı-nı da biliyorsun.Bu iki geometrik cisminden ba�ka di-�erlerini de tanıdın: silindir, koni ve küre biçiminde cisimleri tanıyorsun.Yandaki �ekilde gösterilen geometrik cisimlerden hangileri ayrıtlı, hangileri ise yuvarlaktır?

Defterinde bir dikdörtgenler prizması çiz.

Çizim yaparken �unlara dikkat et

1o Dikdörtgenler prizmasının durdu�u düzlem üzerindeki yüzü ve onun kar�ısında duran yüzüne tabanlar (üst ve alt taban) denir; on-lar daima birbirine paralel ve e� olan paralelkenarlardır. Bu özellik her prizma için geçerlidir.

2o Dikdörtgenler prizmasının (ve bütün dik prizmaların) yan yüzleri ve yan ayrıtları tabanlara dik olmalıdır.

dikdörtgen prizma

küp

silindir

kürekoni


3o Dikdörtgenler prizmasının (ve herhangi prizmanın) paralel ayrıtla-rı çizimde de paralel olmalıdır. 4o Dikdörtgenler prizmasının (paralel yüzün) �eklinde bütün 12 ayrıtının tümü görülemez. Çizimde görülen ayrıtlar dolu çizgi ile, görünmeyenler ise çizgi ile gösterilir. Ayrıtlardan hangisinin “görünen”, hangisinin ise “gö-rünmeyen” oldu�u, paralel yüzün hangi açıdan görüldü�üne ba�lıdır: a) üst-ten (ku�ların gördü�ü gibi – “ku� bakı�ı”) ya da alttan (kurba�aların gördü-�ü gibi – “kurba�a bakı�ı”), veya b) sa�dan ya da soldan bakı�.

ayrıtlar sa�, üst bakı� sol, alt bakı�

5o �eklin görünen altı ayrıtı (1, 2, ..., 6) di�er iki çizimde de “görülür”. Çizimde 1’den 6’ya kadar sayılarla i�aretlenen ayrıtlardır.6o Kalan 6 ayrıttan, görülmeyen ortak kö�eli üç ayrıtı belirtmelisin. O ayrıtlar görül-meyen ayrıtlardır.

Genellikle (tavsiye edilir), geometrik cisimlerinin çizimi için sa� ve üst görünü� alı-nır.

Ayrıtları: (a, b, c) olan bir dikdörtgenler prizmasının çizimini görelim. a) 'dan ç) 'ye kadar basamakları izleyerek çizimi defterde yapalım:a) Kenarları a ve c olan bir dikdört-gen çiz (önceki yan yüz);b) Üst tabanı çiz; c) Üst tabanın kö�elerinden c uzun-lu�unda ve c’ye paralel iki yan ayrı-tı çiz.ç) �imdi alt taban da çizilebilir, hangi ayrıtların görülmedi�i tespit edilebilir.

6

12

3

45

Bir küp çiz ki:a) sa� taraftan ve üstten görünü�lü; b) sol taraftan ve üstten görünü�lü olsun.Yaptı�ın çizimi verilen çizimle kar�ıla�tır

a a a aa

ccac

ba

b

cc

a) b) c) ç)

a) b)


a) b)

Yandaki �ekilleri incele. Orada bir altıgen dik prizma ve iki piramit (biri üçgen, di�eri ise dörtgen tabanlı) verilmi�tir. Bu ayrıtlı cisimlere iler-deki derslerde rastlayacaksın.

Bir dik üçgen prizma çiz.

Tabanı be�gen olan piramit çiz.

Bilmen gerekenler:

Geometrik cismi çizimle gösteresin.Kendini yokla!

Bakı�ı sol üst taraf olmak üzere bir dikdörtgenler prizmasını çiz.

Ödevler

Ayrıtı a = 2,5 cm olan bir küp çiz.1.

2.

3.

4.

Tabanı kare olan, üstten ve:a) sa� taraf; b) sol taraf bakı�lı bir dikdörtgenler prizması çiz.

Tabanı kare olan, alttan ve:a) sol taraf; b) sa� tarafbakı�lı bir dikdörtgenler prizması çiz.

Bir dikdörtgenler prizmasını dört bakı� açısına göre çiz.

Saymayı dene...

Ayrıtı 3 dm olan odundan bir kübün tüm altı yüzü kırmızı

renkle boyanmı�tır. Marangoz �efki Amca bu kübü keserek ayrıtı 1 dm olmak üzere 27 tane küp yapmı�tır.a) Kaç kübün hiçbir yüzeyi kırmızı boyalı de�ildir?b) Kaç kübün tam birer yüzü kırmızı boyalıdır?c) Kaç kübün tam iki�er yüzü kırmızı boyalıdır?ç) Kaç kübün tam üçer yüzü kırmızı boyalıdır?d) Kaç kübün tam dört yüzü kırmızı boyalıdır?

Bir küp çiz ki:a) sa� alt taraftan; b) sol alt taraftan görünsün.

Yaptı�ın çizimi verilen çizimle kar�ıla�tır.


PR�ZMA

PR�ZMA. PR�ZMA ÇE��TLER�. KÖ�EGEN KES�TLER�

Anımsa!

Küp ve dikdörtgenler prizması uzay geometrik cisimleridir.Onların yüzleri, nasıl geometrik �e-killerdir? Onlardan birinde tüm yüzler e� �ekillerdir. Hangisinde?Bir küp ve bir dikdörtgenler prizması çiz ve neyle farkla�tıklarını açıkla.

Bir prizmanın nasıl elde edildi�i açıklamayı izle.

�ekilde gösterildi�i gibi, iki farklı paralel düzlem � ve �1 alınır.

� üzerinde olan daha bir be�gen ABCDE alınır.

Ondan sonra, düzlemleri kesen bir p do�rusu çizilir.

Seçilen çokgenin kö�elerinden geçen ve p do�-rusuna paralel olacak do�rular çizilir. �ekilde onların �1 düzleminin kestikleri noktaları sırasıyla A1, B1, C1, D1, E1 ile i�aret edilmi�tir.

�ekille ilgili �u önermelerden hangilerinin do�ru oldu�unu açıkla. AA1 || BB1 ve AB || A1B1 ve

Her üç önermenin do�ru oldu�unu görüyorsun. Buna göre �u sonuca varabilirsin:a) ABB1A1, BCC1B1 v.b. dörtgenleri paralelkenarlardır.b) A1B1C1D1E1 be�geni ABCDE be�geni ile e�tir.

�ki be�genden ve be� paralelkenardan olu�an geometrik �ekil çizimle gösterilmi�tir.

O �ekil bir yüzeydir ve uzaydaki noktalar kümesini, iç bölge ve dı� bölge olmak üzere iki alt kümeye ayırıyor.


Bu yüzey ve onunla sınırlanan iç bölge ile beraber be�gen prizma denilen bir geometrik cisim meydana gelmi�tir.Benzer �ekilde üçgen prizma, dörtgen prizma vb. elde edilebilir. Prizmanın �eklini (cinsini) belirten üçgenlere, dörtgenlere, be�gen-lere vb. prizmanın tabanları denir. Di�er yüzler ise paralelkenarlar-dır – onlar prizmanın yan yüzleridir ve onların birle�imine prizma-nın yanal alanı denir.Her prizmanın iki tabanı ve bir yanal yüzeyi vardır. Tabanların kö�e-leri prizmanın kö�eleridir, tabanların ve yan yüzlerin kenarlarına (do�ru parçalarına) ise prizmanın ayrıtları denir, onlar taban ayrıt-ları ve yanal ayrıtlar diye adlandırılıyorlar.

�ekilde, iki üçgen prizma ve bir dikdörtgenler priz-ması (dörtgen prizma) gösterilim�tir.

Her üç prizmanın tabanlarını adlandır.

�ki üçgen prizmanın yan yüzlerini adlandır.

Bir dörtgen prizmanın kaç kö�esi ve kaç ayrıtı vardır? Önceki örnekte verilen be�gen prizmanın hangi ay-rıtları taban ayrıtlar, hangileri ise yan ayrıtlardır?

Yukarıdaki �ekilde verilen be�gen prizmanın, kö�elerini(t), yan yüzlerini (s) ve ayrıt-larını (r) say ve �u e�itli�in do�ru olup olmadı�ını yokla: s + t = r + 2.

Yan ayrıtları tabanlarına dik olan prizmaya dik prizma denir. �ekildeki I ve II prizmalar bu cinstendir.

Yan ayrıtları tabanlarına dik olmayan prizmalara e�ik prizma denir. �ekilde III ve IV prizmalar bu cinstendir.

Tabanı paralelkenar olan prizmaya paralelyüz denir.

�ekilde, I - IV i�aretlenen prizmaları adlandır: Tabanına göre; Yan ayrıtların tabanlarla durumuna göre;

Taban ve yan ayrıtların tabanlarla durumuna göre.

Tabanı düzgün çokgen olan her dik prizmaya düzgün prizma denir.Üyle ki, tabanı kare olan dik prizmaya düzgün dörtgen prizma denir.

I II

IVIII

Prizma

a) dörtgen prizmanın; b) dikdörtgen prizmanın; c) düzgün dörtgen prizmanın; düzgün altıgen prizmanın kaç tane ve nasıl yüzleri vardır?

Unutma

Bir prizmanın paralel tabanları arasındaki uzaklı�a, prizmanın yüksekli�i denir.

�ekil IV’teki prizmada yükseklik MM’ do�ru parçasının uzunlu�udur, II‘deki prizmada ise AA1 do�ru parçasının uzunlu�udur.

�ekilleri incele ve �unları kaydet:

Bir prizma verilen bir düzlemle kesilirse, prizmanın kesiti denilen bir çokgen elde edilir.

Prizmanın kom�u olmayan iki yan ayrıtından geçen düzlemle kesitine prizmanın kö�egen kesiti denir.

Bir prizmanın son noktaları iki kö�e aynı yüze yatarsa, cisim kesiti denir ya da sadece prizmanın kesiti.

�ekildeki prizmanın cisim kö�egeni DB1 do�ru parçasıdır.

Yukarıdaki �ekilde ABCDEA1B1C1D1E1 be�gen prizmanın ACC1A1 kö�egen kesiti (taralı) olarak gösterilmi�tir. Onun en az daha iki kö�egen kesitini adlandırınız.

Her kö�egen kesit, paralelkenardır ve bu paralelkenarın bir çift kar�ılıklı kenarları tabanın kö�egenleridir; iddiasını nasıl açıklayacaksın? Dik prizmanın kö�egen kesiti nasıl paralelkenardır? a) be�gen prizmanın; b) altıgen prizmanın; c) sekizgen prizmanın kaç kö�egen kesiti vardır?

Yukarıdaki çekilde verilen prizmalarla ilgili �u soruları cevapla:

ABCDA1B1C1D1 dörtgen prizmanın tüm cisim kö�egenlerini adlandır. (Dikkatli ol 4 kö�egeni vardır). �ekildeki be�gen prizmanın kaç kö�egeni vardır? Bir kö�egen kesitte kaç kö�egen vardır? Onlar kö�egen kesitinin nesidir?


Bilmen gerekenler:

Prizma çe�itlerini tanımalısın ve adlan-dırmalısın;

Prizmanın elemanlarını adlandırmalısın (tabanları, yan ayrıtları, yüzleri...)Prizmanın kesitinlerini, kö�egen kesiti-ni ve cisim kö�egenini tanımlamalısın ve çizmelisin.

Kendini yokla!

Bir prizmanın tabanları, kenarlarına göre farklı olabilir mi?Bir prizmanın ayrıtlarının sayısı:a) 6; b) 9; c) 12; ç) 15 olabilir mi?

Dik prizma nedir?Düzgün prizma nedir?

Ödevler

Düzgün yedigen prizmanın kaç yan yüzü vardır? Onlar nasıl çokgenlerdir?

n-gen prizmanın kaç yan yüzü vardır?

Yan yüzlerin sayısı s ve taban ayrıtlar sayısı r arasında nasıl ba�ıntı vardır?

E�ik prizmanın tabanları düzgün çok-genler olabilir mi?

a) 4; b) 8; c) 13 yüzlü prizma var mıdır?

a) üçgen; b) be�gen; c) altıgen tabanlı prizmanın üst tabanının bir kö-�esinden kaç cisim kö�egeni çizilebilir?

1. 4.

2.

5.

3.6.

PARALELYÜZ. PR�ZMANIN AÇILIMI VE PR�ZMANIN ALANI

Anımsa!

Bir prizmanın yan yüzleri nasıl çokgenlerdir?a) dik; b) e�ik prizma nedir?Hangi prizmaya düzgündür denir?Dikdörtgenler prizması düzgün prizma mıdır?Küp, düzgün prizma mıdır?

Paralelyüzün tüm altı yüzü paralelkenar-lardır. Onlardan (yani ortak ayrıtları olmayan) üç çift kar�ıt yüzler olu�turabilinir.

�ekilde verilen paralelyüzün ADD1A1 ve BCC1B1 kar�ıt yüzler çiftini incele ve �u soruları cevapla:

Di�er iki kar�ıt yüzleri adlandır?

Birbirine göre ve uzunluklarına göre: AD ve BC; AA1 ve BB1; AB ve A1B1ayrıtları nasıldır? Neden? ADD1A1 ve BCC1B1 yüzlerinin e� paralelkenarlar olduk-larını göster.

Prizma

Genel ve geçerli

Paralelyüzde herhangi iki kar�ıt yüz paralel ve e�tir.

Hangi paralelyüze dik paralelyüz, hangisine ise e�ik paralelyüz di-yebilirsin?

Paralelyüz bir prizma oldu�una göre, yan ayrıtları tabanla dik oldukları durumda paralelyüz diktir. Aksi halde yan ayrıtları dik olmadı�ı durumda paralelyüz e�iktir.

Tabanı dikdörtgen olan dik paralelyüze, dikdörtgenler priz-ması denir.Bir kö�esinden çıkan üç ayrıtının uzunluklarına (örne�in, �e-kildeki AB, BC, BB1) dikdörtgenler prizmasının boyutla-rı denir.Boyutları e�it olan dikdörtgenler prizmasına küp denir.

�ekildeki paralelyüzün BDD1B1 kö�egen kesitini incele ve �u so-ruları cevapla:

Paralelyüzün kö�egen kesitleri nasıl dörtgenlerdir?

BD1 ve DB1 cisim kö�egenleri büyüklüklerine göre ve araların-daki duruma göre nasıldır?Dikdörtgenler prizmasının kaç cisim kö�egeni vardır ve on-lar büyüklüklerine göre ile aralarındaki duruma göre nasıldır?

Unutma

Dikdörtgenler prizmasında , tüm cisim kö�egenler birbirine e�ittir.Onlar biribirini yarıya bölen bir noktada kesi�iyorlar.


�ekildeki BCD1A1 dörtgeni incele. O bir dikdörtgendir (Neden?). Onun kö�egenleri BD1 ve CA1 birbirine e�ittir. Buna göre : CA1 = BD1 = DB1 (= AC1) 'dir.

�ekilde, boyutları a,b,c olan bir dikdörtgenler prizması çizilmi�tir. Onun BD1 cisim kö�egenini incele ve d = BD1 uzunlu�u için �u formülün geçerli oldu�unu dü�ün ve sonuç getir:

Verilen sonucu elde etmek için �unları gözetlemelisin:

a) b) c)

a) BAD dik üçgendir ve BD2 = a2 + b2 (Neden?);b) BDD1 dik üçgendir d2 = BD2 + c2 (Neden?)Demek ki: d2 = a2 + b2 + c2.

4.

5.

6.

Boyutları 8 cm, 6 cm ve 24 cm olan dikdörtgenler prizmasının kö�egenini hesapla.

Bir dörtgen tabanlı dik prizma verilmi� olsun.

�ekilde gösterildi�i gibi bir yan ayrıtı ve üçer taban ayrıtı üzerinde “kesilmi�” ol-du�unu dü�ün.

Ondan sonra onun tüm yüzlerini ve bir düzlem üzerinde yayarsak, prizmanın açılımı denilen bir �ekil elde edilecektir.

Unutma

Her dik prizmanın birer açılımı vardır. Açılım iki çokgenden (prizmanın tabanları) ve boyutları L (taban çevresi) ve H (yan ayrıtın uzunlu�u) olan bir dikdörtgenden olu�-maktadır.

Yandaki �ekil, bir dikdörtgenden ve dikdörtgene “eklenen” iki e� üçgenden olu�mu�tur.

O �ekil bir dik üçgen prizmanın açılımı oldu�unu açıkla.

O, düzgün prizma mıdır? Neden?

Yandaki �ekillerden hepsi birer prizmanın açılımı mıdır?Dü�ünerek hafızanızda bir küp olu�turmaya veya bir model yapmaya çalı�.

Prizma

Anımsa!

Bir çokgen prizmasının alanı (e� çok-genler olan) iki tabandan ve (paralel-kenarlardan olu�an) yanal yüzeyden meydana gelir.

�ekilde gösterilen bir çok-gen prizmayı incele ve yüzlerinin hangi çokgenler oldu�unu tespit et.

Prizmanın tüm yüzlerinin alanlarının top-lamına prizmanın alanı denir.

Bir prizmanın alanı P için �u geçerlidir: P = 2B + MB – bir tabanın alanı; M – yanal yüzeyin alanı.

Bir üçgen tabanlı dik prizmanın taban ayrıtları a = 6 cm, b = 25cm, c = 29 cm ve yüksek-li�i H = 35 cm 'dir. Alanını hesapla.


Tabanın alanı B Heron formülüyle hesaplanabilir:

Yanal alanı M üç dikdörtgenden olu�mu�tur ve bu yüzden onun yanal alanı: M = a · H + b · H + c · H = (a + b + c) · H = L · H = 60 · 35, yani M = 2100 cm2'dir.

Buna göre, prizmanın alanı P: P = 2B + M = 2 · 60 + 2100 = 2220, yani P = 2220 cm2.

Genel olarak!

Dik prizmanın yanal yüzeyinin alanı M, �u formülle hesaplanır:

M = L · H,

burada L taban çevresi, H ise prizmanın yüksekli�idir.

Taban ayrıtı a = 5 cm ve yüksekli�i H = 7 cm olan düzgün altıgen prizmanın yanal alanı M hesaplansın.Dikdörtgenler prizmasının ve kübün alanını önceden de hesapladın.


d.o.k

Gözetle ve açıkla:

Boyutları a, b, c olan (aynı ölçü birimiyle ifade edilmi�) bir dikdörtgenler prizmasının ala-nı �u formülle hesaplanır:

P = 2(ab + ac + bc).Ayrıtı a olan kübün alanı �u formülle hesaplanır:

P = 6a2

P = 61,44 cm2 olan kübün ayrıtını hesapla.

Alanı hesaplamak için formülleri açıkla:

a) düzgün üçgen prizma

b) düzgün dörtgen prizma:

c) düzgün altıgen prizma:

Taban ayrıtı a ve H yüksekli�i ile

10.

Bilmen gerekenler:

Paralelyüzü tanıyasın, çizimini yapasın ve özelliklerini ifade edesin;

Dikdörtgenler prizması ve kübün çizimini ve çe�itli prizmaların açılımlarının çizesin;Çe�itli prizmaların alanı için genel bir kuralın ifade edili�ini ve prizmaların ala-nını hesaplayasın.

Kendini yokla!

Ayrıtı a olan kübün d kö�egeni için for-mül belirt.Düzgün dörtgen prizmanın açılımını çiz.

Taban ayrıtı 5 cm ve yüksekli�i 10 cm olan düzgün dörtgen prizmanın alanını hesapla.

Ödevler

1.

2.

3.a) boyutları 2,4 dm; 2 dm; 8,5 cm olan dikdörtgenler prizmasının;b) ayrıtı 2,5 cm olan kübün alanınlarını hesapla

Bir kübün alanı 294 cm2'dir. Kübün ayrıtı-nı ve cisim kö�egenini hesapla.

Yanal alanı M = 160 cm2 ve bütün ala-nı P = 210 cm2 olan bir düzgün dörtgen prizmanın yüksekli�ini hesapla.

Prizma

Düzgün dörtgen prizmanın a, H, B, M, P elemanlarından bazıları verilmi�tir. Bilinmeyen büyüklükleri belirt:a) a = 4,5 cm, H = 8,4 cm;b) a = 12 cm, M = 432 cm2;c) a = 8 cm, P = 480 cm2

ç) B = 49 cm2, H = 12 cm;d) B = 81 dm2; P = 342 dm2;e) H = 8 dm, M = 208 dm2;f) M = 120 dm2, B = 36 dm2

g) M = 180 cm2, P = 342 cm2

Bir kübün ayrıtı 3 defa büyürse, alanı kaç defa büyür?

Bir düzgün üçgen prizmanın a, H, B, M, P santimetre olarak verilmi� olan elemanları arasında bilinmeyen olan-ları belirt.

Yan ayrıtı 12 cm bir dik prizmanın ta-banı: kö�egenleri 6 cm ve 8 cm olan bir e�kenar dörtgendir. Prizmanın ala-nını hesapla.

Çizimle gösterilen 1 – 8 �ekillerinden hangileri bir kübün açılımıdır?

.

.

1 23

54

8 7

6

Örümcek sine�e eri�ebilir mi?

�ekilde, taban ayrıtı 1 cm ve yüksekli�i 3 cm olan düzgün dörtgen prizma gösterilmi�tir.Bir örümcek (P) ve bir sinek (M) �ekilde gösterildi�i durumda bulunu-yorlar. Örümcek sine�e: “Sana geliyorum, beni bekleyecek misin?” diye sormu�. “Bekliyorum, fakat iki �artım var.” diye sinek cevap ver-mi� ve �artlarınının gerçekle�mesini söylemi�:1) Yan yüzlerin hepsinden geçmelisin ve2) Geçilen yol 5 cm’den büyük olmamalıdır.

Sinek kurtulacak mıdır, yoksa örümcek sine�e ula�manın bir yolunu bulacak mıdır?

P


a) b)

c) ç)

d) e)

AYRITLI C�S�MLER�N HACMI. D�KDÖRTGENLER PR�ZMASININ VE KÜBÜN HACMI

Anımsa!

Küp, dikdörtgenler prizması ve di�er prizmalar uzay geometrik �ekilleridir.Onlar “uzayda belli bir yer kapıyorlar” ve geometrik cisimler olarak adlandırılıyorlar.Onlardan ba�ka geometrik cisimler de vardır.

�ekilde geometrik cisimlerinin model-leri çizilmi�tir.

Onların herbirini adlandır.Onlardan hangileri ayrıtlı, hangileri ise yu-varlaktır?

1 23

4 5 6Genel olarak

Geometrik cisim (ya da kısaca: cisim), uzayın sınırlı ve kapalı bir kısmıdır diyebiliriz.

Cismin kapalı oldu�u yüzey, yanlız çokgenlerden meydana gelmi�se, elde edilen cisme ayrıtlı cisim veya çok yüzlü cisim (örnek olarak: prizma, piramit) denir.Cismin sınırlanmı� oldu�u yüzey kısımlarından herhangi biri e�ri yüzey ise, ona yuvar-lak cisim denir (örne�in: silindir, koni, küre gibi).

Çevrenizde: a) ayrıtlı cisim; b) yuvarlak cisim olan üçer nesne say.

Tabanları e� üçgenler olan (ABC MNP) ve yan ayrıtları e�it olan AA1 = MM1 �ekilde verilmi�tir.

Herhangi bir öteleme yaparak A, B, C kö�eleri sı-rasıyla M, N, P kö�eleriyle ve di�er tabanın A1, B1, C1 kö�eleri kar�ılıklı olarak M1, N1, P1 kö�eleriyle çakı�tı�ı durumda, prizmalarla ne olur?

Farketti�in gibi böyle bir ötelemeyle prizmalar tamamen birbiriyle çakı�acaktır. Bu yüz-den onlara birbiriyle e�tir denir.

Unutma

Belli bir öteleme yaparak (hareketle) onları çakı�ık duruma getirebilirsek iki geometrik �ekline (özellikle iki geometrik cismine) e�tirler denir.

Prizma

Yandaki �ekilde a) �ıkkında gösterilen dik-dörtgenler prizması EFF1E1 düzlemiyle kesile-rek ortak iç noktaları olmayan iki dikdörtgen-ler prizmasını ayrılmı�tır.Onlara, verilen dikdörtgenler prizmasının par-çalarıdır (elemanlarıdır) denir.

b) �ıkkında verilen prizma kaç kısıma ayrıl-mı�tır? Onları adlandır.

Anımsa!

a) b)

Boyutları a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmını hesapla;Bu durumda elde etti�in (45 cm3) sayısı dikdörtgenler prizmasının iç kısmının bü-yüklü�ünü göstermektedir.(45 cm3) sayısı ne gösterir?O sayı verilen dikdörtgenler prizmasın-da ayrıtı 1 cm olan 45 tane küp sı�dı�ı-nı göstermektedir, yani hacmı 1 cm3 olan 45 tane küp yerle�tirebiliriz. Bu neden-le dikdörtgenler prizmasının hacmı 45 cm3’'tür deriz.

Bir cismin hacmını belirtmek, yani hacmını ölçmek genel olarak, düzlem �ekillerin alanla-rınının belirtilmesi ile aynıdır.Bir geometrik cismin iç kısmının büyüklü�ü, özellikle çok yüzlünün büyüklü�ü bir reel sa-yıyla ifade edilebilir ve bu sayıya cismin hacmı denir.

Her cisim uzayda belli bir yer alır.Cismin iç kısmının “büyüklü�üne”, yani uzaydan ayrılan bu kısıma cismin hacmı denir.

UnutmaHerhangi geometrik cismine onun hacmı denilen bir V reel sayısı kar�ılık gelebilir ve çok yüzlünün hacmı gibi adlandırılır, öyleki bu durumda �u ko�ulların sa�lanması gerekir (hacim için aksiyomlar)

Herhangi çok yüzlünün hacmı V, daima pozitif sayıdır, yani V > 0.

E�er iki çok yüzlü birbirine e� ise, onların hacımları V1 ve V2 birbirine e�ittir, yani V1 = V2

Birçok yüzlü iki kısıma ayrıldı�ında, onun hacmı V kısımlarının V1 ve V2 hacımlarının toplamına e�ittir, yani V = V1 + V2.


Ayrıtı 1 cm (1 dm, ya da 1 m, v.b.) olan kübün hacmı 1 cm3 (1 dm3, yani 1 m3 v.b.) olarak alınır.

Ödev 4’ün a) �ıkkındaki dikdörtgenler prizmasında kendisinin ve kısımlarının boyutları i�aret edilmi�tir.

Dikdörtgenler prizmasının V hacmını hesapla, ondan sonra onun kısımlarının V1 ve V2 hacımlarını hesapla.Bu durum için (1o ve 3o) aksiyomlarını yokla.

5.

6.

7.

8.

Aksiyom 3o ten yararlanarak, bir cismin hacmının, kendi parçalarının herhangı birinin hacminden büyük oldu�unu nasıl gösterebiliriz?

Dikkat et ve unutma

Ko�ul 4o ile ilgili hacmın temel ölçü biriminin belirtilmesi çok önemlidir. Ölçü birimi olarak herhangi bir kübün hacmi alınabilir. Halbuki uluslararası ölçü birimi sistemine (S�) göre, bu küp ayrıtı 1m olan küp olarak alınmı�tır ve ona metre küp denilmi�tir; i�areti m3 .

Metreküpten elde edilen ve ondan küçük ölçü birimleri hangileridir? 1 m3 ‘te kaç: a) desimetreküp (dm3); b) santimetreküp (cm3); c) milimetreküp ( mm3) vardır?

Hacımları ölçerken (genellikle sıvılarda) litre denilen ölçü birimi de kullanılmaktadır. Bu durumda:

a) 35dm3; b) 2 500cm3; c) 2m3 ‘te kaç litre küp vardır?

Hacim aksiyomu gere�ince, boyutları a, b, c olan dikdörtgenlerprizmasının hacmi:

kübün ise, (a = b = c) olan dikdörtgenler prizmasının hacmi

formülüyle,

formülüyle hesaplanır.

Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplamak için formül:

�eklinde de yazılabilir. Bu durumda B = a ·b dikdörtgenler prizmasının taban ala-nıdır, a H = c ise yüksekli�idir.

m3lerle hesapla: a) 2 350 dm3, b) 625 000cm3, c) 55 · 106mm3

Prizma

Dikdörtgenler prizması biçiminde bir kabın taban ayrıtları a = b = 25 cm’dir ve 25 litre su sı�ar. Kabın yüksekli�i ne kadardır?

Bilmen gerekenler:

Çe�itli pratik örneklerde dikdörtgenler prizmasının ve kübün hacmi nasıl he-saplanır;Hacim ölçü birimlerinin kullanılması.

Kendini yokla!

Ayrıtı: a) 2cm ; b) 3cm; c ) 1dm olan küpte, ayrıtı 1cm olan kaç tane küp yer-le�tirilebilir?

Dikdörtgenler prizması biçiminde bir ka-bın taban ayrıtları a = b = 30 cm ve yük-sekli�i H = 40 cm’dir. Kabda kaç litre su sı�ar?

Ödevler

6.

7.

8.

Alanı 54 cm2 olan kübün hacmini he-sapla.

Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları: 16cm, 4dm, 1m’dir. Bu prizmanın hac-mine e�it olan kübün ayrıtını hesapla.

Bir kübün alanı cm2 olarak ve hacmi cm3 olarak ifade edilmi�tir. Bu kübün ay-rıtı ne kadardır?

Bir dikdörtgenler prizmasının tabanı ka-redir. Onun taban ayrıtı 4 cm ve yanal alanı M = 112 cm2 ’dir. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesapla.Bir dikdörtgenler prizmasının taban ay-rıtları 6 cm ve 8 cm, cisim kö�egeni ise 26 cm’dir. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesapla.

Bir kübün hacmi boyutları: 8 cm, 4 cm, 2 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmine e�ittir. Kübün alanını hesapla.

Yüksekli�i 2,80 m ve kalınlı�ı 40 cm olan bir duvarın yapılması için 2 600 tu�la ge-rekir. 1 m3 duvar için 400 tu�la harcandı-�ına göre duvarın uzunlu�u nekadardır?

Bir dik prizmanın yüksekli�i 8 cm’dir. Onun tabanı katetleri a = 3 cm ve b = 4 cm olan bir dik üçgen oldu�una göre hacmini hesapla. Hacmi hesaplamak için prizmayı boyutları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının yarısı gibi dü�ün.


D�K PR�ZMANIN HACM�

Anımsa!Boyutları a, b, c olan dikdörtgenler priz-masının hacmi V = abc formülüyle he-saplanır.Dikdörtgenler prizmasının hacmine ait V = BH formülü nasıl elde edilir?Kübün hacim formülü V = a3 oldu�unu biliyorsun. Küpte V = BH formülü ge-çerli midir?Katetleri a ve b olan dik üçgenin alanı nasıl hesaplanır?

Tabanı dik üçgen olan prizmanın hacmini hesaplamak için dikdörtgen-ler prizmasının hacmine ait olan for-

mül geçerlidir. V = BH,Burada B taban alanı, H ise prizmanın yük-sekli�idir.

Bu iddianın açıklamasını izle:

Buna göre her prizmanın hacmini hesaplamak için formülü elde edilir.

verilen prizmanın taban alanı oldu�una göre (Neden?) yazılır.

Bildi�imiz gibi ’ dir. Buna göre yani elde edilir.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi Vk verilen üçgen ta-banlı prizmanın V hacminden iki defa büyüktür, yani Vk = 2V’dir. Neden?

b) �ıkkındaki �ekilde ise verilen prizma kendine e� olan di�er bir prizmayla, dikdörtgenler prizmasına tamam-lanmı�tır.

a) �ıkkındaki �ekilde, katetleri a ve b olan dik üçgen prizmanın tabanıdır, yük-sekli�i ise H’dir.

Tabanı dik üçgen olan dik prizmanın hacim formülünü sözlerle ifade et.

Katetleri 6 dm ve 8 dm olan dik üçgen bir dik prizmanın tabanıdır. Prizmanın yüksek-li�i 1,5 m oldu�una göre hacmini hesapla.

Geli�igüzel tahminen bir üçgen çiz ve onu bir yüksekli�iyle iki dik üçgene ayır.

�ekilde görüldü�ü gibi, en büyük kenara kar�ılık ge-len yükseklik çizilerek onu daima yapabilirsin.

�ekilde tabanı herhangi bir üçgen olan dik prizma gösterilmi�tir

Bu dik prizmanın tabanları dik üçgenler olan iki dik üçgen priz-maya ayrılması için hangi düzlemle kesilmi�tir? Açıkla.

a) b)

Prizma

Bundan yararlanarak, verilen üçgen tabanlı prizmanın hacminin V = B · H formülüyle he-saplandı�ını ispatla (B – taban alanı, H yüksekliktir).V1 = B1 · H ve V2 = B · H prizmanın olu�tu�u iki prizmanın hacimleri oldu�unu gördün, o halde aksiyom 3o gere�ince verilen prizmanın hacmi V için �unu yazabiliriz:

Verilen prizmanın taban alanını B ile i�aret edersek B = B1 + B2 oldu�una göre,

formülü elde edilir. Demek ki, tabanı üçgen olan dik prizmanın hacmi, taban alanı ve yüksekli�inin çarpımına e�ittir.

Kenarları a = 13 cm , b = 14 cm, c = 15 cm olan bir üçgen, yüksekli�i H = 20 cm olan bir dik prizmanın tabanıdır. Prizmanın hacmini hesapla.

Taban ayrıtı 6 cm ve yüksekli�i 8 cm olan bir düzgün üçgen dik prizmanın hacmini he-sapla.

�ekilde bir be�gen dik prizma gösterilmi�tir. Onun bir kö�esinden tabanının iki kö�egeni çizilmi�tir. �ekli incele ve soruları cevapla:

7.

Tabanın bir kö�esinden kaç kö�egen kesiti yapılabilir?Bu kö�egen kesitlerle kaç dik üçgen prizma elde edilebilir?Elde edilen I, II, III dik üçgen prizmaların hacimleri sırasıyla V1, V2, V3 ile i�aret edilirse, verilen be�gen prizmanın hacmi nasıl ifade edilebilir?

Verilen be�gen prizmanın taban alanı B ve yüksekli�i H ile i�aret edilirse, be�gen prizma-nın hacmine ait formülü nasıl yazabilirsin?Be�gen prizma hacminin, ayrıldı�ı üçgen prizmaların hacimlerinin toplamına e�it oldu�u-nu her halde cevapladın.

Böyle sonuç her prizma için de geçerlidir.Buna göre:

Dik prizmanın hacmi V, tabanı B 'nin ve yüksekli�i H'nin çarpımına e�ittir, yani

Taban ayrıtı a = 10 cm ve yüksekli�i H = 60 cm olan düzgün dörtgen dik prizma biçiminde bir kabın hacmini hesapla.Bu kabda kaç litre sıvı sı�ar?

Yüksekli�i 12 cm olan bir dik prizmanın tabanı, kateti 8 cm olan ikizkenar dik üçgendir. Prizmanın hacmini hesapla.


Sonuçları a�a�ıdakilerle kar�ıla�tır:Taban ayrıtı a ve yüksekli�i H olan ; a) düzgün üçgen prizmanın; b) düzgün dörtgen prizmanın; c) düzgün altıgen prizmanın hacmini hesaplamak için formül bul.

Bilmen gerekenler:

Genel formülle prizmanın hacmini he-saplayasın;

Düzgün üçgen, düzgün dörtgen ve düzgün altıgen prizmanın hacmini he-saplamak için formülü belirtesin;

Pratik örneklerde prizmanın alanını ve hacmini hesaplarken hacim ölçü birim-lerinden yararlanılmasını.

Kendini yokla!

Taban ayrıtı a = 4c ve yüksekli�i H = 13 cm düzgün altıgen prizmanın hac-mini hesapla.

�ki üçgen prizmanın yükseklikleri ve hacimleri e�ittir. Onların tabanları:a) e� üçgenler;b) e�it alanlı üçgenler olması �art mıdır?

Ödevler

1. 6.

2.

3.

4.

5.

7.

8.

Uzunlu�u 2 m ve geni�li�i 1 m olan bir sandık 16 hl pirinç sı�ar. Sandı�ın yük-sekli�i ne kadardır?

Tabanın çevresi 24 cm ve yüksekli�i 10 cm olan düzgün altıgen prizmanın hac-mini hesapla.

Kö�egenleri 24 cm ve 10 cm olan bir e�-kenar dörtgen bir prizmanın tabanıdır: Prizmanın yüksekli�i 20 cm oldu�una göre, alanını ve hacmini hesapla.Bir düzgün dörtgen prizmanın alanı P = 448 dm2 ve yanal alanı M = 320 dm2’dir. Prizmanın hacmini hesapla.

Verilere göre düzgün üçgen tabanlı priz-manın hacmini hesapla;a) taban ayrıtı 6 cm ve yüksekli�i 8 cm;b) taban ayrıtı a ve yüksekli�i 4a.

Taban ayrıtı a = 6 cm ve hacmi V = 1260 cm3 olan düzgün altıgen priz-manın yüksekli�i ne kadardır?

2 km uzunlu�unda bir kanalın enine kesiti, tabanları 6 m ve 10 m ve yan kenarı 2,9 m olan bir ikizkenar ya-muktur. Bu kanalın kazılmasında kaç m3 toprak çıkarılmı�tır?Düzgün dörtgen prizmanın a, H, B, M, P, V büyüklükleri arasında veri-lenlere göre (cm; cm2; cm3 ), bilinme-yenleri belirt:a) a = 5, M = 160; ç) H = 14, V = 1694;b) a = 3, P = 66; d) H = 15, M = 780;c) B = 36, M = 168; e) M = 160, V = 200.

Prizma

P�RAM�T

P�RAM�T. P�RAM�D�N ALANI

Anımsa!Çokyüzlü veya ayrıtlı cisim nedir?Prizma, neden ayrıtlı cisimdir?Bir prizma neye göre, üçgen prizma, dörtgen prizma vb. diye adlandırılır? Neye göre ise prizma düzgün veya dik diye adlandırılır?Mısır piramitlerinden herhangi birini sözlerle açıkla.

A�a�ıdaki ödevde verilen çizimleri incele ve açıklamayı izle. Böylece daha bir ayrıtlı cisimle tanı�acak-sın.

Verilenler:bir düzlem �;

onun üzerinde bir n-gen, örnek: ABCDE;

� düzlemine ait olmayan bir S noktası;Bir ucu S noktasında di�eri ise be�ge-nin kö�elerinde olmak üzere do�ru par-çalar çiziliyor.Bu �ekilde kaç üçgen elde edilmi�tir?

O üçgenleri adlandır.Tüm be� üçgenin neleri ortaktır?

Verilen be�gen ve elde edilen be� üç-genin alanını incele.

Verilen be�genin alanı ve elde edilen be� üçgenin alanları, uzay noktalarının kümesini iç bölge ve dı� bölge olmak üzere iki alt kümeyi ayırıyorlar.

�ç bölge ve adı geçen alanlar beraber be�gen piramit denilen bir ge-ometrik cismi meydana getirirler. Bu piramit ayrı olarak yandaki �ekil-de gösterilmi�tir.Verilen be�gene piramidin tabanı, elde edilen üçgenlere ise ABS, BCS,... – piramidin yan yüzleri denir, S noktası ise piramidin tepesidir.

S tepesi ve tabanın kö�eleri, piramidin kö�eleridir, yan yüzleri pira-midin yanal alanını olu�turuyorlar. Piramitte de taban ve yanal ay-rıtlar vardır.

Aynı yöntemle üçgen piramit, dörtgen piramit ve ba�ka piramitler elde edilebilir. Onlar-dan herbirine kısaca, piramit denir.


2.

3.

�ekilde üçgen piramit SABC ve dörtgen piramit SABCD gösterilmi�tir.

Onları adlandır:a) taban ayrıtlarını; c) tabanını; b) yan ayrıtlarını; ç) yan yüzlerini;1) SABC; 2) SABCD piramitlerinin adlandır.

�ekildeki SABCD piramidinde SS’ do�ru parçasına dikkat et.

S noktası piramidin tepesi ve S’ ise onun taban üzerinde dik projeksiyonu olmak üzere SS’ do�ru parçasına piramidin yüksekli�i denir.S’ noktası yüksekli�in dikme aya�ıdır. Genellikle SS’ do�ru parçasının uzunlu�una da pi-ramidin yüksekli�i denir.

Verilenlere göre piramidin hangi cinsten oldu�unu belirt:1. a) 4, b) 6, c) 9 kö�esi; 2. a) 6, b) 10, c) 12 ayrıtı; 3. a) 4, b) 7, c) 10 yüzü.

Piramidin tepesinden ve tabanının herhangi kö�egeninden geçen düzlemle kesitine piramidin kö�egen kesiti denir.

�ekilde, piramidin ACS kö�egen kesiti gösterilmi�tir.

Böyle daha iki kesiti bul ve adlandır.Bu piramidin kaç kö�egen kesiti var?Herhangi piramidin kaç kö�egen kesiti vardır?

Bu piramitte BDS ve ECS üçgenlerin de kö�egen kesitler oldu�unu farkettim. Bu piramidin 5 kö�egen kesiti vardır. Her piramidin tabanında kö�egen sayısı oldu�u kadar kö�egen kesitleri da vardır.

�ekilde, tabanı kare ve yüksekli�inin dikme aya�ı ta-banının kö�egenlerinin O kesi�im noktasıyla çakı�an SABCD piramidi gösterilmi�tir.�ekili gözetle ve açıklamaları incele.

O noktası karenin (tabanın) kö�egenlerini yarıya böler.

AOS, BOS, COS, DOS dik üçgenlerinin birer ortak katetleri vardır (OS yüksekli�i), di�er katetleri ise karenin kö�egeninin yarısına e�ittir.KAK kuralına göre onlar birbiriyle e�tir.Böyle piramitte �u sonuca varabiliriz:

a) tüm yan ayrıtlar birbirine e�ittir;b) yan yüzler birbirine e� olan ikizkenar üçgenlerdir;c) yan yüzlerin yükseklikleri birbirine e�ittir.

Piramit

Bu piramide ve tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekli�inin dikme aya�ı tabanın merke-zine dü�en her piramide düzgün piramit denir.Düzgün piramidin herhangi yan yüzünün h yüksekli�ine piramidin apotemi denir.

Taban ayrıtı a = 14 cm ve yan ayrıtı s = 25 cm olan düzgün üçgen piramidin h apotemini hesapla.

�ekilde gösterilen AES üçgenini incele.

Ka�ıttan yapılmı� bir piramit dü�ün ve onu tüm taban ayrıt-ları (bir hariç) ve bir yan ayrıtı üzerinden kesersek, piramidin alanını bir düzlem üzerinde “serebiliriz”. Bu �ekilde pirami-din açılımı elde edilir.

�ekilde, taban ayrıtı a ve yan ay-rıtı s olan bir düzgün üçgen pira-midin iki açılımı çizilmi�tir.

Her iki çizim yöntemini ince-le ve sözlerle açıkla.Bir düzgün dörtgen pirami-din açılımını çiz ve açıkla.

Prizmada oldu�u gibi, bütün yüzlerin alanlarının toplamına piramidin alanı denir. Buna göre:

Taban alanını B ile, yanal alanı da M ile i�aret edersek, piramidin alanı �u �ekilde yazılabilir.

Taban ayrıtı 14 cm ve yanal ayrıtı s = 25 cm olan düzgün dörtgen piramidin alanını hesapla.


Tabanı için: yani B = 196 cm2 elde edilir;

Yanal alanı için burada h apotemdir.

Apotemi hesaplamak için AES dik üçgeninde Pitagor Teoremi’ni uygulayaca�ız:

Demek ki, M = 2ah = 2 · 14 · 24 = 672, yani M = 672 cm2

Buna göre, P = B + M = 196 + 672 = 868, yani P = 868 cm2 oldu�unu buluyoruz.


Taban ayrıtı a = 10 cm ve yüksekli�i H = 12 cm olan düzgün dörtgen piramidin ala-nını hesapla. H apotemini belirtmek için ödev 7’de gösterilen �ekilde SOE üçge-ninden yararlan.

Üçgen piramit tetraeder gibi adlandırılır.

Tüm ayrıtları e�it olan üçgen piramide düzgün tetraeder denir.

8.

9. Ayrıtı a = 12 cm düzgün tetraederin alanını hesapla.

Bilmen gerekenler:

Piramit ve elemanlarını tanıyasın ve ad-landırasın;

Düzgün piramit tanıyasın ve tanımını ya-pasın.

Piramid alanını hesaplayasın.

Kendini yokla!

Bir piramidin tabanı düzgün çokgen ise, piramidin düzgün olması mec-buri midir?

Yanal ayrıtı s = 17 cm ve apotemi h = 15 cm olan düzgün dörtgen pirami-din alanını hesapla.

Ödevler

Bir piramidin en az kaç yüzü olabilir? O piramit hangi cinstendir?

Taban ayrıtı 10 cm ve apotemi 13 cm olan düzgün altıgen piramidin alanı-nı hesapla.

Yanal alanı 20 dm2 ve taban alanı 16 dm2 olan düzgün dörtgen piramidin apotemini hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı a = 8 cm ve alanı 144 cm2 'dir. Piramidin H yüksekli�ini bul.

Bir düzgün üçgen piramidin taban ay-rıtı 6 cm ve yan ayrıtı 10 cm ise, ala-nını hesapla.

Yüksekli�i H = 6 dm ve apotemi h = 6,5 dm olan düzgün dörtgen pirami-din taban alanını hesapla.

Düzgün dörtgen piramidin a, H, h, B, M, P büyüklükleri arasında verilenle-re göre bilinmeyen büyüklükleri belirt (e�er santimetrelerle verilmi� iseler):

a) a = 12, h = 10: ç) H = 21, h = 29;b) a = 14, H = 24; d) P = 819, B = 81;c) B = 256, M = 544; e) P = 3584, M = 2800.

1. 5.

6.

7.

2.

3.

4.

Piramit

P�RAM�D�N HACM�

Anımsa!Düzgün prizmanın hacmi B taban ve H yükseklik olmak üzere,

V = B · H formülüyle hesaplanır.

Piramit nasıl elde edilir? Bu durumda:a) taban; b) tepe; c) yanal alan; ç) piramidin yüksekli�i nedir?

Bir cismin hacmini ölçerken, ölçü birimini do�rudan do�ruya göçürerek cismin hac-mi belirtilemez, o amaçla formülle yazdı�ımız bazı kurallar buluyoruz. Bu formül-lere göre, gereken veriler verildikten sonra, hesaplama yaparak cismin hacmi elde edilir.

Piramidin hacmini hesaplamak için bir kural nasıl bulmalıyız?

Bu nedenle (evde) �u deneyi yapabilirsin:

�ekilde oldu�u gibi, tabanlarının alanları e�it ve yükseklikleri e�it olan içi bo�, örne�in: kar-tondan bir prizma ve piramit modeli yap:

Piramidi kuru kum ile veya ba�ka bir malzemeyle: pirinç, �eker vb. doldur. Ondan sonra piramitteki kumu prizmaya bo�alt.

Prizmanın tamamen dolması için bu i�lemi daha iki defa yapmak zorunda oldu�unu gö-receksin.Bu gösteriyor ki, piramidin hacmi, prizmanın hacminden üç defa küçüktür.

Deneyle gösterilen bu gerçek, aslında ispatlanabilir, (halbuki biz bu ispatı �imdilik bıra-kaca�ız.)

Genel olarak geçerli oldu�unu unutma

Bir piramidin hacmi V, tabanı B'nin ve yüksekli�i H’nin çarpımı-nın üçte birine e�ittir. Yani

Taban ayrıtı a = 12 cm ve yüksekli�i H = 20 cm olan düzgün dörtgen piramidin hacmı-nı hesapla.


Yandaki �ekilde verilen piramitleri incele ve taban ayrıtı a ve yüksek-lik olmak üzere

a) üçgen piramidin ; b) dörtgen piramidin; c) altıgen piramidin hacmini hesaplamayı dene.


Piramidin genel hacim formülünde yalnız B kendine kar�ılık gelen formülle de�i�tirilmelidir:

a) e�kenar üçgen:

c) düzgün altıgen:

O �ekilde �u formüller elde edile-cektir:

b) kare : B = a2

Mısırda bulunan Keops piramidin yüksekli�i 149m‘dir, tabanının kenarı ise 232 m olan bir karedir. Onun hacmini hesapla.

Düzgün altıgen piramidin yanal ayrıtı 14cm ve taban ayrıtı a = 2 cm’dir. Piramidin hacmini hesapla.

3.

4.

Boyutları a = 32cm ve b = 10 cm olan bir dikdörtgen bir piramidin tabanıdır. Onun yüksekli�i H = 12 cm olarak dikme aya�ı taban kö�egenlerinin kesi�im noktasında-dır (çevrel çemberin merkezindedir).

�ekili incele ve tavsiyelere göre hareket et.

Yanal alanı dört üçgenden olu�mu�tur. ve . �ekilde görüldü�ü gibi 'dir.

ha ve hb yan yüzlerin yüksekliklerini hesapla: �ekilde :

yani ha = 13 cm , hb = 20 cm ve M = 32 · 13 + 10 · 20 = 616 cm2;

P = 320 + 616 = 936 ; P = 936 cm2.

Piramit

ve

B ve H de�erlerini piramidin genel hacim formülünde de�i�tir.

Bilmen gerekenler:

Genel formüle göre piramidin hacmini hesaplay;

Özellikle bir örnekle hacim hesaplamak için formülü belirtesin.

Kendini yokla!

Taban ayrıtı 5 cm ve yüksekli�i 9 cm olan bir düzgün üçgen piramidin hacmi-ni hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin yüksekli�i 12 cm ve taban kö�egeni 8 cm’dir. Pira-midin hacmi ne kadardır?

Ödevler

Bir düzgün dörtgen piramidin tabanı B = 144 cm2 ve yüksekli�i H = 40 cm’dir. Piramidin hacmini hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin hacmi 48 cm3 , taban alanı ise 36 cm2’dir. Pi-ramidin alanını hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı a = 24 cm ve yanal alanı M = 960 cm2 olarak verilmi�tir. Piramidin P ala-nını ve V hacmini hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı 20 cm ve hacmi 3 200 cm3 ola-rak verilmi�tir. Piramidin yüksekli�ini ve alanını hesapla.

Bir piramidin tabanı, boyutları 90 cm ve 1,20 m olan bir dikdörtgendir. Tüm yan ayrıtları ise 1,25 m'dir. Hacmini hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrı-tı a = 8 cm ve hacmi V = 567 cm3'tür. Pi-ramidin yüksekli�ini ve alanını hesapla.

Bir düzgün altıgen piramidin a, H, s, B, M, P, V büyüklükleri arasında verilme-yenleri belirt (ölçüleri cm olarak al):

(s yan ayrıttır)

ç)

Dene...a) Elde edilen piramidin yan ayrıtlarının birbirine e�it olması için piramidin ta-banı ne çe�it bir çokgen olmalıdır ?

b) Elde edilen piramidin apotemlerinin e�it olması için tabanı nasıl bir çokgen olmalıdır?

5.

6.

7.


S�L�ND�R, KON�, KÜRE

S�L�ND�R; ALANI VE HACM�

Anımsa!

Prizma nedir ve nasıl elde edilir? Priz-manın:a) tabanları;b) yan yüzleri;c) yanal alanı;ç) yüksekli�i nedir?

Hangi geometrik cisimlere yuvarlak cisimler denir?Günlük hayatımızda birçok nesnele-rin �ekli silindir biçimindedir (örne�in: konserve kutusu, soba borusu v.b.).Silindir �eklinde olan daha birkaç nes-neyi say.

Silindir diye adlandırdı�ımız geo-metrik �eklinin nasıl elde edildi�ini görelim.

Yapılan i�lemi dikkatle izle.Bir � düzlemi, üzerinde bir k çemberi ve �ekilde a �ıkkında gösterildi�i gibi, çem-berin bir T noktasından geçen ve düzleme dik olan bir p do�rusu verilmi� olsun.

a) b)

c)

�ekilin b) �ıkkında görüldü�ü gibi, T noktasının çember üzerinde hareket etti�ini ve p do�rusunun ba�langıç durumla paralel kaldı�ını dü�ünelim.Bu �ekilde hareket eden p do�rusu bir yüzey olu�turur; �ekil c) – bu yüzey silindrik yü-zeydir.

p do�rusuna generatris ya da ana do�rusu, çem-bere ise silindirin direktrisi ya da dayana�ı denir.

Bu silindrik yüzeyi � düzlemiyle paralel olan daha bir �1 düzlemiyle keselim; �ekil ç)’de oldu�u gibi.

Unutma

Silindrik yüzeyin � ve �1 paralel düzlemlerinden kesti�i daireler ve düzlemler arasında kalan uzay kısmı dik dairesel silindir denilen bir geometrik cismi olu�turuyorlar. Biz ile-ride ona sadece silindir diyece�iz. Onu �ekil d)’de ayrı olarak görüyorsun.

ç)

d)

Silindir, koni, küre

Görsel olarak bir dikdörtgen bir kenarı etrafında döndürüldü�ünde de silindir elde edilir (�ekilde ABCD dikdörtgeni BC kenarı etrafında döndürül-mü�tür).

�ekli incele ve silindirin elemanlarını gör.

Dairelere tabanlar denir, onlar arasındaki kısıma ise – yanal yüzey denir.

Tabanın R yarıçapına silindirin yarıçapı denir.OO1 do�ru parçasına (uç noktaları tabanların merkezleri olan do�ru parçasına) silindirin ekseni denir, o ise aynı zamanda silindirin yüksekli�idir.Silindir, ekseniden geçen bir düzlemle kesiliyorsa, kesit eksen kesiti denilen bir dikdört-gendir (�ekilde taralı olan dikdörtgen).

Bir silindirin iki eksen kesiti birbirine e� olmayabilir mi? Neden?

Yarıçapı R = 5 cm ve yüksekli�i H = 7 cm olan bir silindirin eksen kesitinin alanını he-sapla.Eksen kesiti kare, yani H = 2R olan silindire e�kenar silindir denir.

Bir e�kenar silindirin eksen kesitinin alanı 100 cm2’dir. Silindirin yarıçapını ve yüksek-li�ini bul.

E�er bir silindir, �ekilde gösterildi�i gibi, bir ana do�rusu ve tabanları üzerin-de kesilirse (a �ıkkında gibi), silindirin açılımının iki e� daireden (tabanları) ve bir dikdörtgenden (yanal yüzeyi – b) �ıkkında gibi) olu�tu�unu görebilirsin.

�ekilde b) �ıkkında silindirin açılımını incele. Yarıçapı R ve yüksekli�i H olan silindirin alanı P için �unları görebilirsin:

(B – taban alanı, M – yanal yüzeyin alanı);


a)

b)

Yarıçapı R = 8 cm ve yüksekli�i H = 2,5 dm bir silindirin alanını hesapla.

Anımsa!

Silindir ve dik prizma arasında büyük benzerlik var.

- paralel düzlemlere ait olan iki e� ta-ban;- yanal yüzeyler, tabana dik olan ana do�rusuyla ya da ayrıtlarla.

V = B · H yani V = R2� · H.

Yarıçapı R ( yani tabanı B = R2�) ve yüksekli�i H olan silindirin hacmi prizmaya benzer olarak:

sayısı alınır. Demek ki, silindirin de hac-mi, tabanının alanı ve yüksekli�inin çar-pımına e�ittir.

Yarıçapı R = 10 cm ve yüksekli�i H = 15 cm olan silindirin hacmini hesapla.

Yarıçapı R olan e�kenar silindirin ala-nını ve hacmini hesaplamak için for-mülleri yaz.

Cevap:

Bilmen gerekenler:

Silindirin elemanlarını tanımasını;

Silindirin alanını ve hacmini formüle göre hesaplamasını.

Kendini yokla!

a) silindrik yüzey; b) silindir; Nasıl elde edilir?R = 1,2 dm ve H = 15 cm olan silindi-rin alanı P ve hacmini V hesaplayasın.Hangi silindire, e�kenar silindir denir?

Ödevler

1.

2.

3. 6.

5.

4.R = 6 cm ve eksen kesitinin alanı Q = 240 cm2 olan silindirin alanı P ve hac-mi V hesaplansın.

a) R = 10 cm ve b) H = 2dm e�kenar silindirin alanı P ve hacmi V hesaplan-sın.

Yarıçapı 5 cm ve hacmi V = 1570 cm3 olan silindirin yüksekli�ini belirt.

Yüksekli�i 8 cm olan bir silindirin eksen kesitinin kö�egeni 10 cm'dir. Silindirin alanı P ve hacmi V hesaplansın.

Bir e�kenar silindirin alanı 1350� cm2'dir. Onun hacmini belirt.

Bir dikdörtgen, sırasıyla a ve b kenar-ları etrafında döndürülerek iki silindir elde edilir. Bu silindirlerin hacımlarının oranını bul.


KON�; ALANI VE HACM�

Anımsa!

Günlük hayatta koni bi-çiminde olan nesnelere pek sık rastlıyorsun. Koni �eklinde olan birkaç nesneyi say.

Koni biçiminde bir geometrik cis-mi, silindirde de yapıldı�ı gibi ben-zer �ekilde elde edilir.

Yapılan i�lemi izle.

Bir düzlem � ve merkezi O noktasında olan bir daire k verilmi�tir. O noktasından � düzlemine dik olan OS simetrali çizil-mi�tir.

S noktasından SX yarı do�rusu çizilmi�tir ve bu yarıdo�ru k çemberinin bir noktasın-dan geçer.T noktası çember üzerinde hareket ederken SX yarıdo�-rusu çember üzerinde “kayacaktır”.

Bu �ekilde hareket eden ı�ın, konik yüzey denilen bir yüzey meydana getirir.

SX yarıdo�rusuna generatris (anado�ru), çembere ise direktris denir. S noktasına koninin tepesi denir.

Unutma

Konik yüzeyin � yüzeyinden kesti�i daire ve tepe arasında sınırlanan uzay kısmı, dik dairesel koni denilen bir geometrik cismi olu�turuyor. Biz ilerde ona sadece koni diyece�iz. �ekilde bu koni ayrı olarak gös-terilmi�tir.

Bir ikizkenar üçgen, tabanına kar�ılık ge-len yüksekli�i etrafında döndürüldü�ün-de, nasıl bir geometrik cisim elde edilir?

Bir dik üçgen, bir kateti etrafın-da döndürüldü�ünde de koni elde edilir.


�ekli incele ve koninin elemanlarını tespit et.

Daireye koninin tabanı, konik yüzey kısmına ise koninin – yanal alanı denir.Tabanın R yarıçapına, koninin yarıçapı denir.Koninin tepesini tabanın merkeziyle birle�tiren do�ru parçasına, koninin ekseni denir; o aynı zamanda koninin yüksekli�idir.Uç noktaları, koninin tepesi S ve taban çevresinin herhangi bir T noktası olan do�ru par-çasına ST = s koninin ana do�rusu – generatrisi denir.

Koniyi ekseninden geçen bir düzlemle kesersek, kesit daima ikizkenar üçgendir. Bu üçge-ne koni'nin eksen kesiti denir (�ekilde taralı olan üçgen).Eksen kesiti e�kenar üçgen, yani s = 2R olan koniye e�kenar koni denir.

R = 10 cm olan e�kenar koninin eksen kesitinin Q alanını hesapla.2.

3.

4.

5.

6.

�ekli incele ve verilen e�itli�in neden do�ru oldu�unu cevapla.

bu e�itlik, koninin generatrisi s, yüksekli�i H ve yarıçapı R arasın-daki ba�ıntıyı göstermektedir.

Bir koninin s = 25 cm ve R = 7 cm ise yüksekli�i hesapla.

Bir koniyi dü�ünerek bir generatrisi üzerinden ve tabanını sı-nırlayan çember üzerinden kesersek, koninin açılımı elde edilecektir. Bu açılım (�ekilde görüldü�ü gibi) bir daire (taba-nı) ve bir daire kesmesinden (yanal yüzeyi) meydana gelmek-tedir.

�ekilde gösterilen açılımı incele. Koninin P alanı, R yarıçapı ve s generatrisi için �unları gözetle:

(B – taban alanı; M – yanal yüzeyin alanı)

(dairenin alanı)

(daire kesmesinin alanı);

Yarıçapı R = 5 cm ve yüksekli�i H = 1,5 dm olan koninin alanını hesapla.


Koninin hacmini belirtmek için, pira-mitte yapılan deneye benzer bir de-ney yapabiliriz.

E�it tabanlı ve e�it yükseklikte bir koni ve bir silindir modeli yap. Konideki kumu (tuz vb.) si-lindire bo�alttı�ında, silindirin üçte biri dolaca-�ını göreceksin.

Yarıçapı R ve yüksekli�i H olan koninin V hacmi:

Yarıçapı R = 10 cm ve yüksekli�i H = 3 dm olan koninin hacmini hesapla.

E�kenar koninin alanı ve hacmini hesaplamak için formül ifade et.

Çözümünü kar�ıla�tır:

Bilmen gerekenler:

Koninin elemanlarını ifade edesin;

Genel formülle koninin alanını ve hac-mini hesaplayasın;

Kendini yokla!

a) konik yüzey; b) koni nasıl elde edilir?

R = 5 cm ve s = 13 cm verilmi� olan koni-nin P ve V hesapla.Hangi koniye e�kenar koni denir?Ödevler

5.

6.

Yarıçapı R = 5cm ve yanal alanı M = 65 � cm2 olan koninin P alanını ve V hacmini hesapla.

Bie koninin B = 314 cm2 ve s = 26 cm’dir. Onun P ve V' yi hesapla.

Bir koninin eksen kesitinin alanı Q = 18,48 cm2 ve yüksekli�i H = 5,6 cm’dir. Hesapla.a) B; b) V; c) M.

Bir e�kenar koninin eksen kesitinin çev-resi 18 cm’dir. Koninin alanını ve hac-mini bul.

Yüksekli�i H = 20 cm olan bir koninin hacmi 1 500 � cm3’tür. Koninin alanını hesapla.

Dene!... Mecburi de�ildir!

Bir koninin açılı-mında tepe açısı 120o, koninin ge-neratrisi ise 15 cm’dir. Koninin çapını bul.


KÜRE; ALAN VE HACM�

Anımsa! Uzayda verilen bir noktadan e�it uzaklıkta bulunan noktalar, küre-sel yüzey de-

nilen bir geometrik cismi olu�turuyorlar.

Verilen O noktasına küresel yüzeyin merkezi denir.

Küresel yüzeyin merkezinden yüzey üzerinde bulunan herhangi bir noktaya olan uzaklı�a küresel yüzeyin yarıçapı denir ve genellikle R ile i�aret edilir.

T küresel yüzeyin herhangi noktası olmak üzere, her OT do�ru parçasına da yarıçap denir.

�ekilde merkezi O olan bir küresel yüzey gösterilmi�tir.

Küresel yüzeyin yarıçapları olan ( en az iki) do�ru parçayı adlandır. Bir küresel yüzey ne ile bellidir?

Anımsa!Bir çemberin iç bölgesi nedir?

Daire nedir?Dairenin kiri�i ve çapı nedir?Günlük hayatta küre biçiminde rast-ladı�ınız birkaç nesneyi say.

Küresel yüzey, iç ve dı� bölge olmak üzere, uzayı iki bölgeye ayırmaktadır.

�ç bölgeye ait noktaların kümesi (yani, merkezden uzaklıkları küresel yüzeyin yarıçapından küçük olan noktalar küme-si) küre denilen bir geometrik cismi mey-dana getiriyorlar.

Küresel yüzeyin merkezi ve yarıçapı, kü-renin de merkezi ve yarıçapıdır.

Daire çapının ne oldu�unu hatırla. Benzer �ekilde kürenin de çapını tanımlamaya çalı�.

Merkezi O noktasında olan bir kürenin yarıçapı R = 5 cm’dir. A, B ve C noktaları mer-kezden: OA = 1,5 cm, OB = 5,1 cm ve OC = 5 cm uzaklıktadır. Bunlardan hangileri kü-reye aittir?


Çemberin tanımını ifade et.

Çemberin merkezi ve yarıçapı nedir? Bir çember ne ile bellidir?

�ekilde, a) �ıkkında, çapı AB olan bir daire göste-rilmi�tir.

Daire AB çapı etrafında döndürülürse, nasıl bir cisim elde edilecektir?

Bir dairenin (ya da yarım dairenin) bir çapı etra-fında döndürülmesiyle (�ekil b) de oldu�u gibi, bir küre elde edilir diyebiliriz.

Fark et ki:

Bir kürenin düzlemle kesiti daima dairedir.

Düzlem, kürenin O merkezinden geçti�i durumda, kesit dairesinin yarıçapı kürenin R yarıçapına e�ittir ve ona büyük daire denir.

Bir kürenin kaç büyük dairesi vardır?Onların yarıçapları birbirine göre nasıldır?

Yerküreyi temsil eden bir küre (dünya) dü�ün. Ekvator, dünyanın bir büyük dairesidir. Di�er büyük daireleri hangi çizgiler belirtiyorlar? Dünyada bazı küçük daireleri göster.

Her küre yüzeyinin (yani, kar�ılık gelen küresel yüzeyin) kürenin alanı denilen bir alanı vardır.

Yarıçapı R olan kürenin alanı �u formülle hesaplanır:

Fark et:

Kürenin alanı:a) kendi büyük dairesinin alanından dört defa büyüktür .b) 2R çapının ve 2R� çevresinin çarpımına e�ittir, yani P = 2R · 2R� = 4R2�.

Her küreye, kürenin hacmini gösteren bir V sayısı e�lenir ve onu �u formülle belirtiriz:

burada, R – kürenin yarıçapı, P ise kürenin alanıdır.


Yarıçapı R = 5 cm olan kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

Bir kürenin büyük dairesinin alanı Q = 2 826 cm2 'dir. Kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

Bilmen gerekenler:

Küresel yüzey,küreyi ve onun temel elemanlarını tanıyasın

Formüle göre, kürenin alanını ve hac-mini hesaplayasın.

Kendini yokla!

Küresel yüzey ve küre ne oldu�unu ve nasıl elde edildiklerini açıkla.

Yarıçapı R = 1dm olan kürenin P ala-nı ve V hacmi ne kadardır?

Ödevler

Çapı 12 cm olan bir kürenin P alanı-nı ve V hacmini hesapla.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Bir kürenin büyük dairesinin alanı 314 cm2 olan kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.Yarıçapı R = 6cm olan bir kur�uni kü-reden R = 6 cm yarıçaplı silindir ya-pılmalıdır. Silindirin yüksekli�i ne ka-dardır?

Alanı P = 100� cm2 olan kürenin hac-mini ve bir büyük dairesinin alanını hesapla.

Ayrıtı 6 cm olan küp içinde, içten te-�et olan her yüzüne de�en bir küre yerle�tirilmi�tir. Kürenin alanı ne ka-dardır? Çizim yap.

Ayrıtı a olan bir küp verilmi�tir. Küp et-rafında küpün kö�elerinden geçen bir küre çizilmi� ve bu kürenin içinde kö�e-leri çember üzerinde olmak üzere yeni bir küp çizilmi�tir. Bu iki kürenin a) alan-larının ve b) hacimlerinin oranlarını bul. ( Bütün kö�eleri kürenin yüzeyinde bulu-nursa bir küp bir kürenin içinde bulunu-yor demektir. Bu durumda diyebiliriz ki, küre küpün çevrelçemberidir)Ayrıtı 4 cm olan bir odun küpten, en büyük küre yonulmalıdır. Atılan odun kısmının hacmini hesapla. Kübün hac-minin yüzde kaçı atılan odun kısmının hacmidir?

Yerkürenin çapı 12 733 km, Ayın çapı ise 3 482 km’dir.a) Yerkürenin alanı, Ay alanından kaç defa daha büyüktür?b) Yerkürenin hacmi, Ay hacminden kaç defa daha büyüktür?

6.

7.


V E R � L E R L E � � L E M L E R

OLASILIK

Anımsa!Bir olayın kesinlikle gerçekle�ti�i durumunun olasıllı�ı 1 ya da %100'dür. Örne�in, bo� bir plastik �i�e yere dü�erse - kırılmayacaktır.

Bir olayın gerçekle�mesi mümkün olmadı�ı durumda olasılık 0'dır.Örne�in, yalnız kırmızı topça�ızlarla dolu olan kutudan, beyaz topça�ızın çekili�i.

Tüm di�er olayların olasıllı�ı 0 ve 1 arasındadır. Örne�in, havaya bir demir para atıldı�ında, tura dü�me olasıllı�ı

�ekilde gösterilen bir çarkıfele�in altı e�it bölgesi vardır. Okun döndürülmesiyle 4 numaralı bölgede durma olasıllı�ı ne ka-dardır?

6 olay farkedebilirsin:

Ok 1, 2, 3, 4, 5 ya da 6 numaralı bölgelerden herhangi birinde durabilir. Bu olaylardan herbirinin olasılı�ı e�it mümkündür.�stedi�imiz olay, okun 4 numaralı bölgede durmasıdır.

Okun 4 numaralı bölgede durması olasılı�ı 'dir. Bu durumda V ( 4 ) = 'dir deriz.

Okun 1 numaralı bölgede durması olasılı�ı ne kadardır?

6 mümkün olaydan okun 2 ya da 3 numaralı bölgede durması olasılı�ı , veya

V (2 ya da 3) = 'dir.

Okun, 1, 5 ya da 6 numaralı bölgede durması olasılı�ı ne kadardır?

Çarkıfele�i incele.5 mümkün olay var. Ok 1, 2, 3, 4 ya da 5 ile i�aretlenen bölgede durabilir.�stenilen olay, okun 7 numaralı bölgede durması ise, onun olasılık de�eri 0’dır ya da V(7)

Bu olay imkansızdır.


Genel olarak:

Verilen bir deney ile ilgili n sayısı “bütün mümkün olaylar” içindir ve bütün olaylar e�it imkanlıdır.

E�er A o deney ile ilgili bir olay ise, o zaman m “bütün imkanlı olaylar” için sayı olacaktır, öyleki bölümüne A olayının matematiksel olasılı�ı denir ve V(A) ile i�aret edilir.

Demek ki:

Kartlardan herbirinde birer harf yazılıdır.

Can, bakmadan kart çekiyor. �u olayların olasılık de�erini belirt:a) V(M); b) V(A); c) V(T veya K)

M A T E M A T I K A2.

3. Okun döndürülmesiyle, meydana gelen a�a�ıdaki olayların olasılı�ını belirt.a) 3 sayısı; d) 11 sayısıb) çift sayı; e) 7’den büyük sayı c) tek sayı; f) 1’den 10’a kadar sayıç) 5 ya da 6;

Elde edilen olasılık de�erlerini yüzdelerle ifade et.

a)’dan f)’ya kadar olaylardan hangisi kesin olay, hangisi ise imkansız olaydır?

a)’dan f)’ya kadar olaylardan hangi iki tanesinin olasılık de�eri e�ittir.

Öyle iki olay belirt ki biri gerçekle�irse di�eri imkansız olsun.

Bilmen gerekenler:

Verilen bir deneyle ilgili olaylar için tah-min edebilesin ve onun olasılı�ını belir-tesin.

Kendini yokla!

Oyun için bir zar atılır. Hangi olaylar mümkündür? En az üç tane olay say.

Zarın atılmasında yukardaki kenarda verilenlerden:a) 2 sayısı; b) 3 veya 4 sayısı;c) 3 ve 4 sayısı; ç) çift sayı;d) 7 sayısı; e) 1 den 6’ya bir sayı çıkma olasılı�ı ne kadardır?


GEOMETR� C�S�MLER� �Ç�N OKUDUN B�LG�N� KONTROL ET

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

�ekilde verilen dik-dörtgenler prizma-sında hangi kö�e:a) A,B,C1;b) A,C,C1ile komplanerdir (düzlemde�tir)?

A�a�ıdaki do�rular kesi�ir mi:a) DB1 ve D1C; c) A1C ve AC1

b) BB1 ve D1C;�ekile bak.

Verilen do�rularla bir düzlem belli midir:a) AD ve B1C1; b) DC ve DB1; c) BC ve AA1�ekile bak.

Uzayda paralel olmayan ve kesi�me-yen iki do�ru nasıl adlandırılmı�tır. �ekilde böyle iki çift do�ruyu belirt.

Verilen bir p do�rusu �1 ve �2 düzlem-lerine diktir. �1 ve �2 düzlemlerin birbi-rine göre durumu nasıldır?

Bir do�ru parçasının verilen bir düzle-me dik projeksiyonu nedir?

a) üçgen prizmanın; b)dörtgen prizmanın;c) altıgen prizmanın; ç) n – gen prizmanın,Kaç ayrıtı vardır?

Bir kübün kö�egen kesitinin alanı 64 cm2'dir. Kübün ayrıtını bul.

Boyutları 9 cm, 6 cm ve 2 cm olan dik-dörtgenler prizmasının cisim kö�ege-nini hesapla.

Bir düzgün üçgen prizmanın yanal ala-nı M = 180 cm2'dir. Onun taban ayrıtı a = 10 cm oldu�una göre, P alanını ve V hacmını hesapla.

Kö�egenleri 24 cm ve 10 cm olan bir e�kenar dörtgen, bir dik prizmanın ta-banıdır. Prizmanın yüksekli�i 5 cm ise, P ve V’yi hesapla.

Bir düzgün altıgen piramidin taban ay-rıtı 3 cm, yan ayrıtı ise 4 cm'dir. Pirami-din V hacmını hesapla.

Taban ayrıtı a = 10 cm ve apotemi h = 13 cm olan düzgün dörtgen piramidin P alanını ve V hacmını hesapla.

Silindir biçiminde bir fıçının taban ala-nı 30 dm2 ve yüksekli�i 1 m’dir. Fıçıda kaç litre su sı�ar.

Taban yarıçapı R = 0,5 dm ve yüksek-li�i H = 1,2 dm olan bir koninin P ve V'yi hesaplansın.

Büyük dairesinin alanı 56,25� cm2 olan kürenin P alanını ve V hacmını hesapla.


ÖDEVLER�N CEVAPLARI

VE çözümleri

KONU 1. BENZERL�K

a) 3 : 4; b) 3 : 2; c) 5 : 2. a) 4 : 3;

b) 2 : 3; c) 2 : 5.

2.

2. 3.

4. 5.

6.

3.

4. 5.

6.

7. 8. 9.

10.

a) 1 : 2; b) 1 : 2; c) 3 : 10 Birbirine e�ittir: a), b) ve ç); c) ve d).

a) 150 : 100 : 50; b) 3 : 2 : 1. a) 15; b) 7,8;

c) 0,5; ç) a) 1 : 3; b) 1 : 5; c) 1 : 6.

a) 3 : 1; b) 1 : 4. 7,5 cm. 2 : 1.

2.

3. 4.

5.

7.

6.

1. 2. 3.

5.4.

1. 2.

4.

3.

7.

9. 10.

7.

8.

a) 20; b) 6. Örne�in, 28 : 16 = 2,1 : 1,2.

a) 3; b) 7,5;

c) 16. a) 4 cm; b) 24 cm; c) cm.

a) x = 6, y = 7,5; b) x = 28, y = 1,5.

= 7,2 dm; = 12 dm. 8 cm için.

6 cm. a) 16; b) 6.

Yardım: 1 : a = a : x

oldu�unu farketmelisin. Yardım: a) b : a = a : x;

b) a : b = b : x. x = 12; y = 16. Çözüm:

�ekilde AB (tahminen) BC uzunlu�unda A nok-tasının görülebildi�i ula�ılır bir E noktasına ka-dar devam edilmi� ve C noktasıyla birle�tirilmi�-tir. Ondan sonra BD || AE çizilmi�tir. Tales teore-mine göre yani b) 212,5 m.

c) 300 m

a) AB ve RS, AC ve RT, BC ve ST;

B ve S, C ve T.

ve R,

18 ve 4. Evet. E� üçgenlerin kar�ılıklı açıla-rı da birbirine e�ittir, kar�ılıklı kenarları da birbirine e�ittir. Buna göre onlar birbirine göre orantılıdır.

MN || AB ( ABC’nin orta tabanı gibi), demek ki kar�ılıklı açıları birbirine e�ittir;

ve demek ki kar�ılıklı

kenarlar orantılıdır.

2.

2.

4. 6.

7. 8. 9.

3.

3.

4.5. 6. 7.

8.

2.

3.

6.5.7.

3. 4. 5.

2.

6.

9. 10.

5.

a) 3 : 5; b) 7 : 3; c) 4 : 3. 5. b) 6.

17 m.

22,5 Hayır. Evet, ikinci e�lik kuralına

göre. a) Evet; b) Evet. 52 m. 17,5 m.

8 cm. 24 cm, 45 cm, 27 cm. 30 cm

ve 12 cm. a1 = 12 cm, b1 = 16 cm,c1 =24cm6,5 cm. b1 = 5, h1 = 10. Yardım. ABC

üçgeninde A1B1 || AB orta tabanını çiz ve A1B1C’yi incele.

a1 – 18, h1 = 9. 0,69 ha.

a) z; z; b) n; c) z; ç) m. a) 6; b) 121;

c) a = 12, b = � 13,4. a) 3,2; b) 5; c) 3; ç) 4.

c = 10, q = 3,6; b = 6. 150 cm2. Yardım. a ve b do�ru parçalarının x geometrik ortasını çiz. Bu durumda x2 = a · b dir, buna göre aranan karenin kenarı x olur.

a) 37; b) 33; c) c � 40. a), c), ç) Evet;

b) Hayır. 1. 19,4 dm. 64. � 10,4.

3:2 Dene… a) 12 yumurta , b) 3 tavuk

Ödevlerin cevapları

8.

c = 37, b = 12. Çözüm. a2 + b2 = c2, a = 35 ve b = 49 – c için 352 + (49 – c)2 = c2 elde edilir, yani 1225 + 2401 – 98 c + c2 = c2 elde edilir, oradan da 3626 = 98c ve c = 37 bulunur; ondan sonra b = 49 – c – 12.

21 ve 28

1. 2.

4. 5. 6.

9.5.

7 m. a) 40 cm; b) 1320 cm2; c) � 51,9 cm.

a � 32 cm. 44 cm. 1260 cm2. 6 cm.

Yardım. Ödev 5’teki çizimden yararlan.92 cm (= 2 · (30 + 16) cm).

6 m. Yardım. A�acın yüksekli�i (x + 2)m olsun. O zaman (x + 2)2 + 8 = 102, (x + 2)2 = 36ö x + 2 = 6 dir.

Dene... için

Çözüm:

1.2. 3.

4. 6. 7.

8.

9.

10. 11. 12.

13.

14.

1. 2.

5. 5. 6. 7.

6. 1.

1.2.

2. 3. 4.

6.5.3.

5.

1. 2.1. 2.

6.

4.3.

5.

7.

8.

4.

2.

5.

1.

4.

3.

17.

15. 16.

a) 3 : 2; b) 3 : 2; c) 9 : 4. a ve b �ıkkındae�ittirler.

Test:1,5 cm. a) 10; b) 9; c) 4.

12. AC || BD, çünkü .a) 12; b) 35.

Yardım. 12 cm do�ruparçasını 3 : 5 : 6 orantısında üç kısıma ayır.

Evet, birinci e�lik kuralına göre (birinci üçgenin açıları: 40o, 60o ve 80o dir, ikincisinin ise: 60o, 80o ve 40o dir=. 10 m. 3,2 cm. L = 45 cm;P = 45 cm2.

920. a)ve c)Evet; b)Hayır. 128.5,3 cm.

KONU 2. L�NEER DENKLEM, E��TS�ZL�K VE L�NEER FONKS�YON

a) ve c) �ıkkında.

b) ve c) �ıkkında. x = 2 için.

E�itlik 5(x – 1) = 5x – 5 dir. a) ve b) �ıkkında.

a = 3 için.

a) 3 bilinmeyenle; b) bir bilinmeyenle; c) 2 bilinmeyenle. a) üçüncü derece; b) ikinci

derece; c) birinci derece. a) ve c) �ıkkında.

a) ve c) �ıkkında. c) ve ç) �ıkkında.

b) ve c) �ıkkında. a = 5 için.a) M = {2}; b) M = {3}; c) M = {4}.

b) �ıkkındaki denklem. b) �ıkkındaki denklem.a) ve c) �ıkkındaki denklemler.

Denklemler denktir. Denkleminher iki tarafına 2x ifadesi katılmı�tır.

-3x; -5 terimleri silinebilir ve 2x – 4 = 4 denklemi elde edilir.

Domino sırrı... Yardım. x ve y ile domino “sayıla-rını” i�aret edelim ve x sayısı seçilen sayı olsun. O zaman: (2x + 6) · 5 + y – 30 = 10x + y dir.

3x – 2 + x =

m = 5x. a). b). a) -1; b) 4.

M = {2} e�it çözümer kümesidir.

M = {2}. a)Hayır; b)Evet; c)Hayır. x = 2.

a) M = {-1}; b) M = R.

Dene... Kapa�ı 0,5 denar ve �i�e 10,5 denar.c) �ıkkında.

a) x = 2; b) x = 2; c) x = 2x – 8 =1-x; x = 3.

a) x = -3; b) x = 0; c) x = 6. a) x = 3;

b) x = 3. a) x = 3; b) x = 8; c) x = 3.a = 4 için.


1. 2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

1.

6.

2.

3.

4. 5.6.

1. 2.

3.

4.

6.

5.

1. 2.

3.

1.

2.

3.2.1.

3.

4.

1.2.

4.

5.

3.

1.

6.

2.

4. 5. 6.

5.

4.

3.

4.

28. 108 ve 72. x = (x – 46) · 4 + 7;aranılan sayılar 59 ve 13’tür. a = b – 2; b – 2 + 2b = 43; a = 13 cm, b = 15 cm.

2 denarlık paraları x ile i�aret edersek, 5 denarlık paraların sayısı 25 – x olur. Buna göre: 2 · x + (25 – x) · 5 = 80 elde edilir. Buna göre 15 demir para 2 denarlık ve 10 demir paranın 5 denarlık oldu�unu buluyoruz. Tav�anların sayısını x ile i�aret edersek, gü-vercinlerin sayısı 35 – x olur. Buna göre, 4 · x + (35 – x) · 2 = 94 elde edilir. Yani 12 tav�an ve 23 güvercin varmı�.

(x + 2) · 35 = (x – 1) · 50; x = 8 saat. = 350 km.

Birinci i�çi 1 saatte i�in 'ini, ikinci i�çi ise i�in 'sini bitirecektir. x ile gereken zamanı i�aret edersek, ,

denklemi elde edilir yani x = 4.

saat için. Dene... 84 ya�.

ikinci boru bo� havuzu 30

saatte dolduracaktır.a) ve b) �ıkkında. x = 0 ve x = 2 için.

Bir bilinmeyenli e�itsizlikler a) ve c) �ıkla-rında, iki bilinmeyenli e�itsizlikler ise b) ve ç) �ıklarıdır. a) �ıkkında ikinci derece, b) ve c) �ıklarında-ki e�itsizlikler birinci derece ve ç) �ıkkındaki e�it-sizlik üçüncü derecedir.

a) R(3x + 1 > 2x + 1) = {1, 2, 3} ve b) R(2x + 3 > x + 3) = {1, 2, 3}. Her üçe�itsizlik denktir, çünkü her birinin çözümü x > -1 dir.

a) (-2, +�); b) (-�, 0); c) (-�, 1]; ç) [-3, +�);

a) (-3, +�)

b) (-�, +2).

a) (-�, -2].

b) [1, +�). b) �ıkkında.

a) x < 2; b) x > 2. 2x – 3 < x – 1 �

2x – 3 – 5x < x – 1 – 5x. a) 2x + 2 < x + 4;

b) 3x + 2 > 2x – 2 – 6. x < 12. x > -2. a) ve b). Her iki taraf -1 ile çarpılmı�tır.

a) x > 3; b) x > -3. a) x � 4; b) x � 3.

Hayır. Çözüm (-�, -4) aralı�ıdır.

a) x < ; b) x > -3. x < 5.

2a + 2(a – 3) < 54, a < 15.

a) (-3, 6); b) (-3, -1).

b) (-3, 4). a) [4, 8]; b) [-3, 4).

c), ç) ve d) �ıklarında lineer fonksiyonlardır.

a) y = -2x + 3; b) y = -x + 2; c) y = -2x; ç) y =

a) k = 2 ve n = -3; b) k = 2 ve

n = 0; c) k = ve n = 3; ç) k = ve n = 0.

a) x = 2; b) x = ; c) x = ; ç) x = 0.

k = 3 ve n = 6

A ve D noktaları. x = 1 için.

y = 3x x

x

x

y

y

y

0

0

0 1

-1

10

2

-2 1

-1

3

y = 3x + 2

y = 3x – 2

(2, 0). n = 5. k = 2


y = 3x – 2 fonksiyonu.

1.

1. 2.

6.

k = -3.k = 2 ve n = -3.n = -1.k = -2 ve n = 2.

�) ve ç) �ıklarında.

b) ve ç) �ıklarında.

a) ve k = 3 için artandır; b) k = -2 ve k = için eksilendir.

a) y = 4x – 1 b) y = -2x – 1

y = -2x – 1 fonksiyonu eksilendir.

y = 4x – 1 fonksiyonu artandır

�) y = -3x + 1 b) y = 2x + 1

6.

1.

2.

3. 4.

1. 2. 3.

y = 2x + 1 fonksiyonu artandır.

y = -3x + 1 fonksiyonu eksilendir.

P(0, 2)’den, n = 2 dir. A(1, -1) den -1 = 1 · k + 2 dir, oradan da k = -3 elde edilir; fonksiyon eksilendir.

a) y = x – 2 b) y = 2x – 6

a) y = x + 1 y = 2x – 1

x = 2

x = 2 x = 3

b) y = 3x – 1 y = -x + 3

x = 1

k = 2. k = 2 ve n = 3

Dene... 8 biçici.Yardım. Büyük çayırın alanı A ile i�aret edilmi� ise, kü-çü�ü B ile, o zaman A = 2B. Biçicilerin sayısı k olsun. A çayırının biçilmesi için i� günleri gerekir, B için ise gerekir. A = 2B ise o zaman �u denklem �ekli-

ni alır: Oradan x = 8

ç, c, b, a.

b) ; c) ç) 5 kart; 3 defa tekrarla.


1. 2. 3.

4. 5.

6.

8.

9.

10.

1.

2.

5.

6.

3. 4.

1.

4.

1.

2.

3.

6.

3.

2.

4.

5.

7.

11.

12.

15.

13. 14.

Test: Evet. b) a) x = 2,1; b) x = 1; c) x = 3. a = 3. O sayılar x, x + 1 ve x + 2olsun. Buna gore; x + x + 1 + x + 2 = 84, yani x = 27. Aranılan sayılar: 27, 28 ve 29. Kamyonun hareket zamanı x ile i�aret eder-sek, arabanın hızı x – 2 olur. Her iki araba aynı yolu geçtiklerine gore: 50x = 75(x – 2), yani x = 6 saat. = 6 · 50 = 300 km. Evet.

D kümesinde 2x – 1 > x – 2 � 3x + 1 > 2x – 3.A ve C. n = -3. y = 2x – 3 ve

y = 3x – 2 fonksiyonları artandır; y = -3x + 1 ve y = -x –1 fonksiyonları ise eksilendir.

KONU 3. L�NEER DENKLEMLER S�STEM�

a) Katsayıları: 2, -1, 3; bilinmeyenler: x,y. b) Katsayıları: 2, 6, 1; bilinmeyenler: x,y. c) Katsayıları: 1, -2, -1; bilinmeyenler: y, z. ç) Katsayıları: 5, 3, 16; bilinmeyenler: u,v.

a)evet; b)hayır.

(-2,3); (-1,1); ( 0, -1); (1,-3); (2,-5).

a) x + 3y = - 3; b) 2x + 3y = 5; c) -13x + 5y = 24; ç) 19x + 33y = 124.

c) grafi �i y - ekseni ile paralel bir do�rudur. p = - 2.

Katsayıları: 2,0,6 ve 0,1, 2;bilinmeyenler: x,y. b) Katsayıları:

bilinmeyenler x, y; c) Katsayıları: 0,25; 0,04; 0; 4; 25; 641; bilinmeyenler: x,y.

a)evet; b)evet; c)hayır. örne�in:


214

44444

2.

55555c) (xc) (x

5.

666662.

4.

111113.

22222

7.

c) (x

6.

7.

1.

2.

3.

4.

1.

5.

6.

7.

8.

9.

1.

3.

2.3.4.

1.

1.

1. 2.

4.

2.

3.

5.

3.

10.

8.

5. 6.

7.

9.

1.

2. 3.

4.

Ertan’ın ya�ları x, Berkant’ın ise y oldu�una göre;Ertan ve Berkant ikizlerdir.

(x, y) = (2, 3).

(x, y) = (-7, 1).

(x, y) = (-2, -2); (x, y) = (-4, -3).

a) (x, y) = (3, 1);

77777

Bir çözüm: � �, , ;x y� �� 2 13 3

b) sonsuz çok; c) bir çözüm: (x,y) = (2,2); ç) bir çözüm: (x,y) = ( -2, 1). a) Grafi kler paralel do�rulardır; b) Grafi kler kesi�en do�rulardır; c) Grafi kler kesi�en do�rulardır; ç) Grafi kler çakı�an do�rulardır.

birincisi 37 sayısı, ikincisix yx y � ��

722 ;

ise 35. ��aretler E-erkekler, K-kızlar,

E = K + 4 R = { 16,12}.E + K = 28 ��

Vapurun hızı

16,8km/h, ırma�ın ise 4,2km/h.

Sıcak su 80oC, so�uk su 10oC.Sinan 3 büyük ve 5 küçük defter satın almı�.Annenin 32 ya�ı, kızın ise 5 ya�ı vardır.Dar açı 72o, geni� açı ise 108o.

Bir sistem kur ve kenar uzunluklarını belirt. Pitagor teo-reminden yararlanarak yüksekli�ini belirt. P = 60 cm2.

Güvercin sayısı 23, tav�an sayısı 12’dir.

Test: Denklemin do�ru sayı e�itli�ine dönü�tü�ü her reel sıralı çifti.

Verilen tabloya göregrafi k çiz. Her iki denklemin çö-

zümü olan reel sayı-ların sıralı çiftleri.

Denklemlerin grafi klerini çiz.

Onların kesi�iminin koordinatlarını belirt. R={(1, 3 )}.

a) bir; b) sonsuz çok;

Babanın 34 ya�ı var, o�lunun ise 12 ya�ı var.

KONU 4. GEOMETR�K C�S�MLER

ve CDD1C1.

Bir veya üç. a)AB1 ve BA1, AB1 ve CB1,

BA1 ve BC1, BC1,ve CB1.; b) hiç biri; c) AB1 ve BC1, BA1

ve CB1, Aykırı oldukları durumda hiçbir; paralel oldukları veya kesi�tikleri durumda yalnız bir.


6.

4.

1.

5.

6.

5.

4.

5.

5.

2. 3.

2. 3. 4.

1.

3.

7.

4. 5.

2.

6.

1.

6.4.

2. 3.

5.7.

1.

4.

1.

3.

4.

2.

5.3.

2.

6.

6.5.

1.

3. 4.

2.

5. 6.

7.

8.

2.

5.8.

1.3.

10.

16.

12.

15.

13.

9.7.

11.

14.

8.

4.3.

7.

3.

7.4.

2.

6.

2.1.

5.

1.

6.

5. 6.

7. 8.

1.

5.8.

2. 3.

2.

4.3.

215

Komplaner olmayan A,B,C,D dört düzlemi meydana getirirler: ABC, ABD, ACD ve BCD.

AB ve AC kesi�irler, ona göre onlar bir tek düz-lem � meydana getiriyorlar ve onun üzerinde AB do�rusu ve CD do�rusunun bütün noktaları bulu-nur.

Yalnız bir. a) evet; b) evet; c) evet.

�1 ve �2 düzlemleri ya çakı�ık ya da AB do�-rusu üzerinde kesi�iyorlar.

c). Hayır. Hayır. A’,B’C’ do�ruda�tıre�er do�ruda� olmayan A,B,C noktalarıyla belirlenen düzlem , s projeksiyon do�rultusuyla paralel ise. çizim yap ve ABB’A’ yamu�unu ince-le.CC’ yamu�un orta tabanıdır. Neden? Evet, e�er M noktasıyla ve a do�rusuyla be-lirlenen düzlem s ile paralel ise.

Dene... a) 1; b) 6; c) 12; ç) 8; d) 0.

7; dikdörtgenler. n + 2. 2s = r.

Evet. a)Hayır; b) Evet, altıgen; c) evet, onbirgen.

a) Hiçbiri; b) 2, c) 3.

a) 17,08 dm2; b) 37,5 cm2. a = 7 cm,

d= 7�3 cm. 8 cm. a) B = 20,25dm2; M = 151,2dm2; P = 191,7 dm2. b) B = 144 cm2; H = 9 cm; P = 720 cm2. c) B = 64 cm2; M = 352 cm2;; H = 11cm. ç) a = 7cm; M = 336 cm2; P = 434 cm2. d) a = 9 cm; M = 180 dm2 H = 5 dm. e) a = 6,5dm; B= 42,25 dm2; P = 292,5 dm2, f) P = 192 dm2; a = 6 dm; H = 5 dm. g) B= 81 cm2; a = 9 cm; H = 5 cm.

Dokuz defa. b) B = 4�3 cm; H = 9; P= 8�3 cm + 108 � 121,84. c) B = 36�3; M = 144�3; H = 4�3;. d) a = 6; H= 15; P= 18�3 + 270 � 301,14. e) a � 10; H � 8.

288cm2. 1,3,6 ve 7.Dene... Örümce sine�e kadar yol bulacaktır. Priz-manın açılımında MP do�ru parçasını çiz.

27 cm3. 4 dm. 6 cm. 112 cm3.

1152 cm3. 96 cm2. � 5,8 m. 48cm3

8 dm. 240 �3 cm3. 2400 cm3; 1280cm2. 640 dm3. a) 72�3 cm3; b) a3�3

� 13,5cm. 33 600 m3. a) B= 25, H = 8,

P = 210, V = 200. b) B = 9, H = 4, M = 48, V = 36. c) P = 240, a = 6, H = 7, V = 252. ç) a = 11, B = 121, M = 616, P = 858. d) a = 13, B = 169, P = 1118, V = 2535. e) H = 8, a = 5, B = 25, P = 210.

4; tetraeder. (150�3 + 390) cm2.

2,5 dm. 3 cm. � 101,1cm2. 25 dm2.

a) B = 144; M = 240; P = 384; H = 8. b) B = 196; h = 25; M = 700; P = 896. c) P = 800; a = 16; h = 17; H = 15, ç) a = 40; B = 1600; M = 2320; P = 3920. d) M = 738; a = 9; h = 41; H � 40,75. e) B = 784; a = 28; h = 50; H = 48.

1920 cm3. 96 cm 2. 1536cm2; 3072 cm3. 24 cm; 1440 cm2. 360 dm3.

27 cm; � 491,2 cm2. a) s = 26, V = 1200�3 . b) a = 7; H = 24. c) h � 24,8; V = 588�3. ç) a = 7, s = 25.

312 cm2; 720 cm3. a) 600 cm2;

2000 cm3. b) 6 dm2; 2 dm2; � 20 cm.66 cm2; 72 cm3. 6750 cm3. b : a.

90 cm2; 100 cm3. � 1130,4 cm2; � 2512 cm3. a) � 34,2 cm2; b) �63,8 cm3; c) � 67,36 cm2. 27 cm2; 9 �3 cm3.

600 cm2; 10 cm.

144 cm2; 288 cm3; � 1256 cm2;

�4186,7 cm3. 8 cm. (500 : 3) cm3; 25 cm2;

R = 3 cm; P = 36 cm2; a�1

32

R , a�2 2

R ;

S1 : S2 = 3 : 1, : :�1 3 3 12V V . Atılan kısmı hacmi:

V = VK - VT =43 - 43 ⋅ 23π = 64 - 32 ⋅ 3

� ≈

30,5; V � 30,5 cm3 �48%. a) � 13 defa, b) � 49 defa.

Test: a) D1; b)A1. a)hayır; b) hayır; c) evet.a) evet b) evet; c) hayır. �1 || �2. a) 9;

b) 12; c) 18; ç) 3n. 8 cm. 11 cm.

10(5�3 +18) cm2, 150�3 cm3. 500 cm2,

600 cm3. 18�3 cm2. 360 m2, 400 cm2.300 litre. 90 cm2, 100 cm3.

225 cm2,, 562,5 cm3.

1414141414

1313131313

1212121212

1111111111

101010101033333

44444

6666655555

77777

88888

99999


216

KAVRAMLAR AÇIKLANMASI

A Alan- koni alanı 200- silindir alanı 197Ana do�rusu (Direktrisi)- koninin 200- silindirin 197Aralık 89- kapalı 89- açık 89Argüman (de�i�ken) 105- katsayısı 105

BBenzerlik 26- katsayısı 26Bir bilinmeyenli lineer denklemler sistemi 60- çözümler kümesi 63- imkansız 58, 64, 75

CCisim geometrik 183- ayrıtlı 183- yuvarlak 183-hacim 184

DDüzgün dörtyüzlü 193Düzlem geometrisi 160Düzlem 161- dik düzlem 167- iki düzlem arasındaki açı 166- noktadan uzaklık 167De�i�ken 56Denklem 57- imkansız (aykırı) 58,64,75- grafi �i 133- ikinci derece 128- lineer 60

ÇÇokyüzlü 183- hacmi 184- iki bilinmeyenli 128- genel �ekli 74- bir bilinmeyenli 60- birinci derece 60- parametreli 60- çözüm ( kök) 62- çözümler kümesi 63- denk denklemler 65,131

Do�ru parçası 6- ölçülemeyen 6- ölçülebilen 6- orantılı 8- e�it 12Do�ru 163- paralel 163- aykırı 164- projeksiyon do�rusu 168- kesi�en 163Dikdörtgen prizması 178- hacmi 183- açılımı 179Direktris 200- silindirin 200- koninin 197Deneme 120 EE�itlik 56- sayı 83- de�i�kenli 84E�itsizlik 84- sayı e�itsizli�i 84- de�i�kenli 84- temel 90- bir bilinmeyenli 85- iki bilinmeyenli sistem 86- ikinci derece 86- lineer 86- çözülmü� �ekilde 90- üçücü derece 86- çözümü- çözümler kümesi 87- denk 89 - teoremler 92FFonksiyon 104- lineer 105- grafi ksel gösterili�i 107- sıfırı 106- sabit 113- lineer artan 114- lineer eksilen 115

GGeometrik orantı 10- orta 10- dördüncü 9

��ki bilinm.iki denk.sistem 134- çözümü 135- grafi ksel çözümü 138

- uygulanması 148

KKüme 55- tanım kümesi 57Küp 178- hacmi 183- açılım 179Küre 203- merkezi 208- yarıçapı 203- büyük dairesi 204- alanı 204- hacmi 204Küresel yüzey 203Kesit 191Koni 200- yüksekli�i 201- hacmi 202 - tepesi 200- alanı 202- dik dairesel 201- tabanı 201- açılımı 201- ekseni 202- e�kenar 201

NNokta 160- do�ruda� 160

OOlasılık 206- olayın 121Oran 4- alanların 34- çevrelerin 35Orantı 8- de�eri 8- ters 9- devamlı 10Ortalama 10- geometrik 9

ÖÖrnekleme uzay 48Örneklem 48Özde�lik 58

PParalelyüz 175- Dik paralelyüz 177Prizma 174- tabanı 175- çe�itleri 176

- yan yüzleri 175- yan ayrıtları 175- yanal alanı 175- kö�eleri 175- ayrıtları 175- dik prizma 175- hacmi 187- düzgün 177- e�ik 177- yükseklik 176- kesitleri 176- kö�egen kesitleri 176- açılımı 179- alanı 180Piramit 190- tabanı 190- yüzleri 190- tepesi 190- kö�eleri 190- yanal alanı 190- ayrıtları( taban, yan) 190- yüksekli�i 191- yüksek. dik.aya�ı 191- kö�egen kesit 191- düzgün 192- apotem 192- alan 191- hacim 194Pitagor üçlüsü 43Projeksiyon 37,168,169- paralel 168- dik 169- projeksiyon do�rultusu 168Planimetri 160

RRastgele olay 121- olasılık 121

SSerbest terim 105Silindir 197- dik dairesel 197- tabanları 198- yanal alanı 198- yarıçapı 198- ekseni 198- yüksekli�i 198- eksen kesiti 198- e�kenar 198- hacmi 198- açılımı 198- alanı 198Stereometri 160

Kavramlar açıklanması

217

TTeorem 16- Tales 16- Pitagor 41- Euklit 38Ters katsayılar metodu 145

UUzay geometrisi 160

ÜÜçgenler 25- benzer 25- birinci e�lik kuralı 27- ikinci e�lik kuralı 31- üçüncü e�lik kuralı 32

YYön 97- ters 97Yerine koyma metodu 143

KONU 1. BENZERL�K 3

KONU 2. L�NEER DENKLEM, L�NEER E��TS�ZL�K VE L�NEER FONKS�YON 55

KONU 3. L�NEER DENKLEMLER S�STEM� 127

KONU 4. GEOMETR�K C�S�MLER 159

ÖDEVLER�N CEVAPLARI VE ÇÖZÜMLER� 209 KAVRAMLAR AÇIKLANMASI 216


��

Yovo Stefanovski, D-r Naum Tselakoski

Düzenleyen:D-r Yordanka Mitevska, Üniversite hocası - ÜsküpJaneta �umkoska, Üsküp " Aya Kiril ve Metodiy " �ÖO'unda pröfösörAgim Bukla, Grupçin " Pa�ko Vasa " �ÖO'unda pröfösör

Yapımcı: Yovo Stefanovski

Lektör:Suzana Stoykovska

Makedonca'dan Türkçe'ye çeviri:Server �a�ko

Dil redaksiyonu:Dr. Aktan Ago

Lektör:Demet Hamza

Bilgisayar tasarımı:Dragan �opkoski

Düzelten: Yazarlar

Basına hazırlık:Yovo Stefanovski, Dragan �opkoski

Yayıncı:Makedonya Cumhuriyeti E�itim ve bilim bakanlı�ı

Baskı:Üsküp Dooel Grafi k merkezi

Tiraj: 700

Makedonya Cumhuriyeti E�itim ve bilim bakanlı�ı'nın 21.04.2010 tarihli 22-2321 sayılı kararıyla bu kıtabın kullanılmasına izin verilmi�tir.

CIP - �� “� .�� ” , ��373.3.016:51 (075.2)=163.3��!��", #� �$�� : ��%�� / #� � ��&�� ,�� '�� . - �� : $�� *��$��, 2010.- 219 ��. : ��. ; 25 ��ISBN 978-608-4575-88-71. '��, �� [� ��]COBISS.MK-ID 84078858

Documents

Matematika_8_tur