Liczby Fibonaccieg

o

mgr Violetta Filipiak • mgr Małgorzata Ślesik – Stawierej • mgr Beata Wolnik

Wstęp Historia matematyki pokazuje, że obserwacja i badanie przyrody

przez matematyka były inspiracją do odkrywania nowych pojęć matematyki, jako specyficznych narzędzi analizy i opisu otaczającego nas świata.

Leonardo Fibonacci (1170 - 1250)

Liczby Fibonacciego

Matematyk epoki Średniowiecza wyprzedził epokę Odrodzenia z jej humanistycznymi ideami, ujmując w ramy złotej liczby elementy botaniki i biologii. Dla wyjaśnienia sposobu rozrostu niektórych roślin i zwierząt wprowadził ciąg liczbowy, zwany ciągiem Fibonacciego. Nie przypuszczał wówczas, że zastąpienie dwóch początkowych jedynek w jego ciągu innymi liczbami, nawet bardzo dużymi i ujemnymi, nie zmienia wartości granicy, do której dąży iloraz dwóch sąsiednich liczb Fibonacciego w trakcie ich oddalania się do nieskończoności. Nadal tą granicą jest złota liczba.

Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.Formalnie:

Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego, jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od F1 = 1, F2 - 1Wyrazy F0, ….. F19 ciągu Fibonacciego to:

Rozrastanie gałęzi drzew

Przyjęte przez Fibonacciego reguły rozmnażania się niektórych zwierząt można tak przeformułować, by odnosiły się do rozrastania innych istot lub obiektów natury, na przykład drzew. Na rysunku powyżej jest pokazane drzewo, które rośnie i każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

Układ płatków kwiatów Liczba płatków wielu kwiatów, w tym np. irys (3 płatki), jaskier (5 płatków) czy krwiowiec kanadyjski (8 płatków), jest na ogół liczbą Fibonacciego i wynosi 3 lub 5 lub 8 itd. Zastanawiające jest, skąd komórki "wiedzą", że liczba płatków w kwiatach ma być liczbą Fibonacciego i w jaki sposób ta "informacja„ rozchodzi się po milionach komórek, nawet tej samej rośliny. Zjawisko to, nazywa się w botanice filotaksją, dosłownie - "układem liści".

Liście na gałązkach i gałązki na łodygach

Zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu liści na gałązkach i gałązek na łodydze drzewa. Nie wszystkie liście leżą jeden nad drugim, podobnie gałązki. Układają się one wzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta nazywa się helisą. Cyklem tej krzywej nazywa się odległość liści osadzonych dokładnie jeden nad drugim, wzdłuż gałęzi lub łodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema liczbami: liczbą obrotów cyklu helisy wokół gałązki lub łodygi oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmi leżącymi nad sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są liczbami Fibonacciego. Na przykład, drzewo bukowe ma cykl złożony z trzech liści i wykonuje on jeden obrót, a wierzba amerykańska pussy willow ma cykl złożony z 13 liści i wykonuje on 5 obrotów.

Układ łusek na szyszkach

Najbardziej znanymi przykładami występowania liczb Fibonacciego w naturze są układy łusek na szyszkach. Na rysunku jest pokazana szyszka, na której zaznaczono spirale tworzone przez jej łuski. Spirale te są prawoskrętne i lewoskrętne.

Nie zawsze szyszki nawet tego samego gatunku mają taką samą liczbę spiral, nie zawsze również przeważają lewoskrętne czy prawoskrętne. Ale, z wyjątkiem kilku procent "odszczepieńców", łuski na większości szyszek układają się wzdłuż spiral, których liczby są ściśle związane z kolejnymi liczbami Fibonacciego.

Pestki tarczy w słonecznikach Podobnie, jak łuski na szyszkach, układają się pestki w tarczy słonecznika - również wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego. Fenomen układu łusek na szyszce lub pestek na tarczy słonecznika można uzasadnić tym, że natura dba o jak najlepsze "upakowanie" jednych i drugich, by się ich zmieściło jak najwięcej lub by zajmowały jak najmniej miejsca. Taka zwartość budowy rośliny może być pewnego rodzaju ochroną przed łatwym ich rozpadem na części.

Układ ziaren ananasa

Ziarna ananasa przypominają sześciokątne klatki, które rozmieszczone są w rzędach w różnych kierunkach:- 5 równoległych rzędów podnoszących się łagodnie w prawo;- 8 rzędów podnoszących się nieco bardziej stromo w lewo;- 13 rzędów podnoszących się bardziej stromo w lewo.

Różyczki kalafiora

Ułożone są wzdłuż logarytmicznych krzywych, które grupami biegną w różnych kierunkach, na przykład 34 lewoskrętne i 55 prawoskrętnych. A 34 i 55 to nic innego, jak liczby Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w przyrodzie – można go odnaleźć w wielu jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych.Zmiany dynamiczne pod tym względem najlepiej charakteryzuje rozmnażanie się królików. Przy założeniu, że początkowo mamy jedną parę – samca i samicę, którzy po miesiącu wydadzą na świat potomstwo, po kolejnym miesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal się rozmnażają, łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposób charakterystyczny dla naszego ciągu. Spójrzmy na tabelkę:

Rozmnażanie królików

Widać z tego, że każda para co miesiąc wydaje na świat parkę młodych, które po miesiącu, będąc już zdolne do rozrodu, rozmnażają się w analogiczny sposób, przy czym wciąż rodzą się młode z poprzednich par.

Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom.

Samiec pszczoły w przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno ojca, jak i matkę – inną królową) powstaje wyłącznie dzięki matce. Tak wygląda jego drzewo genealogiczne.

Rozmnażanie trutni

Jak widać, przodkowie trutnia – jego matka, jej rodzice i dalej, aż po pradziadków, narastają zgodnie z zasadą ciągu Fibonacciego – kolejne pokolenia to suma dwóch poprzednich.

Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. Być może trudno uwierzyć, że układ muszli zgodny jest z jakimkolwiek ciągiem, ale wystarczy spojrzeć na graficzny obraz spirali Fibonacciego:

Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze, najmniejsze) kolejne kwadraty są większe od poprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek, co zgodne jest z regułą naszego ciągu.

Spirale muszli

Złoty podział jest w nas samych. Większość znaczących stawów w szkielecie jest rozmieszczonych właśnie dzieląc ciało w stosunku złotym. Łokieć dzieli rękę na przedramię i ramię w stosunku złotym. Bark plus ramię do długości drugiego ramienia. Paliczki palców dłoni.

Paliczki palców

Tych przykładów jest na prawdę dużo w samym ludzkim ciele, a proporcje nie odbiegają znacząco od wartości złotej proporcji. Bo w gruncie rzeczy, ludzki szkielet zdrowego człowieka niewiele się różni. Dopiero anomalie rozwojowe powodują, że te proporcje są zaburzone w znaczący sposób.

Matematyka jest jak kurz,

jest wszędzie i już!

Dziękujemy za uwagę!

http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA#t=67