IIT

Ciencias Básicas Exactas

APUNTES DE MATEMATICAS IIAPUNTES DE MATEMATICAS II

Autor: Mtro. Jesús Estrada Cabral

1

PRESENTACIONEn la permanente búsqueda de cada vez más y mejores recursos para la enseñanza y la

apropiación del saber en el área del cálculo integral, se presenta el siguiente material que estoy seguro será de utilidad para los maestros y sobre todo alumnos de los casi veinte grupos de Matemáticas II y/o de Calculo II que cada semestre se programan en el Instituto De Ingeniería y Tecnología de la Universidad Autónoma De Ciudad Juárez.

El material es particularmente útil para los mencionados estudiantes porque se fundamenta en el tiempo disponible para este tipo de curso (40 a 70 horas clase), aborda los contenidos y sigue el orden indicado en el programa y cartas descriptivas de estas asignaturas, sin embargo y por la experiencia de los autores es rotundo que el material podrá ser de gran utilidad para todo estudiante que desee aprender cálculo integral.

Los contenidos se presentan en cuatro unidades y como podrá verificar corresponden a los temas habituales para los cursos de cálculo integral de cualesquier institución de educación superior, de hecho en el desarrollo de los temas la experiencia me ha indicado que lo mejor es no presuponer que el estudiante domina los antecedentes básicos, se recomienda al maestro que de manera fluida retome estos conceptos básicos a partir de la secuencia que se muestra, aunque sin desarrollar, en este material.

Invariablemente al comienzo de cada unidad y también para algunos otros temas, el inicio es a partir de algún problema de contexto que muestre al estudiante la utilidad y/o necesidad de apropiarse de este conocimiento, una vez que capturamos la atención del estudiante abordamos la indispensable fase de operatividad o ejercitación con múltiples ejemplos y ejercicios sobre resolución de integrales.

Este material es excelente para esta fase de operatividad ya que cada tema incluye su ejercicio perfectamente graduado y en dificultad creciente, se dan las soluciones para que el estudiante desarrolle el procedimiento y pueda comprobar su resultado.

Cada tema y sobre todo las reglas de integración que en este curso se utilizan son previamente demostradas, esta obtención es realizada con la participación de los estudiantes y en la forma más intuitiva posible, haciendo énfasis en que la esencia del curso no necesariamente es la resolución de integrales.

Las matemáticas y particularmente el cálculo integral, son una herramienta que permitirá al estudiante comprender que las matemáticas no son solo números sino que se constituyen en una forma de ser, de vivir, de actuar. Las matemáticas no solo le serán útiles al ingeniero y al profesionista de toda área de investigación, nos son útiles a todas las personas.

El pensamiento que particularmente con el cálculo se genera, nos encauza para que en cada cuestión sigamos el proceso de: i) ¿Qué quieren de mi? ii ) ¿Qué se requiere para resolver esto - que de eso tengo yo?

iii) Y el proceso ineludible para cada problema de integración:¿Cómo transformo lo que tengo en lo que se necesita?

Este proceso de tres sencillos pasos es lo que intentaremos acentuar en este curso de cálculo integral.

Mtro. Jesús Estrada Cabral

2

INDICE

Presentación.......................................................................................................2 y 7

Carta Descriptiva oficial........................................................................................5

1.1 El concepto de integración y obtención de áreas básicas................................9

1.2 La regla básica de integración.......................................................................11

1.2.1 El caso con polinomios..............................................................12

1.2.2 Polinomios con operaciones indicadas......................................13

1.3 La regla general de las potencias...................................................................14

1.3.1 Casos especiales de la regla general. de las potencias...............15

1.3.2 El caso especial con división......................................................16

1.4 Las funciones logarítmica y exponencial.......................................................16

1.4.1 Antecedentes de las funciones logarítmica y exponencial.........16

1.4.2 Derivada e integral de las funciones logarítmica y exponencial 18

1.4.2.1 Integral del producto o integración por partes..........18

Presentación unidad II ..................................................................................20

2.1 – 2.2 La I. Del producto; Antecedentes básicos de las trigonométricas.......21

2.3 Obtención de Derivada e Integral de trigonométricas..................................22

2.4 El caso conjugados.........................................................................................22

2.5 Trigonométricas obtenidas con ..........................................................24

2.5.1 Caso con trigonométricas.................................................26

2.6 El caso reciprocas.........................................................................................26

Presentación unidad II.b) ..............................................................................27

2.7 Las funciones Trigonométricas Inversas.......................................................28

2.8 Obtención de las reglas para Derivación-Integración de las T. Inversas.......29

2.9 El caso factorización......................................................................................30

2.10 El caso descomposición...............................................................................31

2.11 El caso factorización y descomposición......................................................31

2.12 Integración (Por partes) de las trigonométricas inversas.............................32

Presentación unidad III ..................................................................................33

3.1 El caso con trigonométricas............................................................34

3

3.2 El caso potencia impar...................................................................................34

3.3 El caso potencia par......................................................................................35

3.4 La forma ..........................................................................36

3.5 El caso ángulo diferente................................................................................37

3.6 El caso tangente y cotangente a la n-potencia..............................................37

Presentación unidad IV .................................................................................39

4.1 Integración por sustitución trigonométrica....................................................41

4.2 Casos más usuales obtenidos con sustitución trigonométrica.......................43

4.3 El caso en general de Integración por sustitución trigonométrica.................44

4.4-4.5 Integración por descomposición en factores...........................................46

4.6 Integración por descomposición con factores repetidos................................49

4.7 El caso con factores cuadráticos en el denominador.....................................49

4.8 Integración por partes (El caso con repetición).............................................51

4.9 Calculo de área entre dos curvas....................................................................52

4.10 Obtención de volúmenes de sólidos de revolución......................................55

4

C a r t a D e s c r i p t i v a

I. Identificador

es del Programa:

Carrera: Ingeniería En Mecatrónica Departamento: Ing. Industrial y Manufactura

Materia: MATEMATICAS II Clave: CBE122496 No. Créditos: 8

Tipo: x_ Curso __Taller __Seminario __Laboratorio Horas: _64__ H ___64__ H __0___ H

Nivel: Principiante Totales Teoría Práctica

Carácter: _x_ Obligatorio ___ Optativa ___ Electiva

II. Ubicación:

Antecedentes Clave Consecuente

Matemáticas I CBE122196 Matemáticas III

Ecuaciones Diferenciales. I Fis III

5

III. Antecedente

s:Conocimientos: Dominio de Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica y Calculo Diferencial a nivel básico.

Habilidades y destrezas: Observador de patrones numéricos.

Actitudes y valores: Mecanización de Matemáticas, ejercitación y trabajo.

IV Propósito:a) Reconocimiento y obtención de modelos matemáticos asociados a problemas reales en los que se

presenten sumas de infinitas cantidades.b) Aplicar la metodología de Integración a problemas del entorno ingenieril particularmente en el área de

la Mecatrónica.c) Resolver y aplicar la Integral.

Mejorar sus oportunidades de desarrollo en cursos posteriores asociados.

6

V. Objetivos: Compromisos formativos e informativos

Conocimientos: Conceptualizar la integral, Integración fundamental, Métodos de Integración, Aplicaciónes.

Habilidades y destrezas: Generalización de Patrones numéricos, aplicar el algoritmo de integración a su entorno profesional, laboral y forma de ser.Actitudes y valores: Persistencia en la búsqueda de modelos de solución general, organización y disciplina en todas sus actividades.Problemas que puede solucionar: Suma de infinitas cantidades en cualquier area del conocimiento, problemas de áreas, volumen, trabajo y fuerza y en general de patrón cíclico, repetitivo o continuo.

7

VII. Contenidos y

tiempos estimados

UNIDADES Totales Teoría Práctica

I) INTEGRACIÓN FUNDAMENTAL 12 HRS. 12 HRS.

II) INTEGRACION DE F. TRIGONOMETRICAS

24 HRS. 24 HRS.

III) METODOS DE INTEGRACION 12 HRS. 12 HRS.

*APLICACIONES DE LAS INTEGRALES.

Se intercalan en los temas de cada unidad

16 HRS. 16 HRS.

CONTENIDO TEMATICOUNIDAD I: INTEGRACION FUNDAMENTAL. 1.1 Conceptos de Integración, teorema fundamental del calculo, calcular el área de funciones algebraicas básicas hasta tercer grado. 1.2 Integral de monomios y polinomios algebraicos( La regla básica de integración) 1.3 Integral de potencias algebraicas (La R. Gral. De las potencias)

1.4 El caso especial , características, utilidad y derivación de las funciones

exponencial y logarítmica.

1.5 Obtención de la fórmula de integración por partes para y casos básicos.

1.6 Características, utilidad e Integración de función exponencial UNIDAD II: INTEGRACIÓN DE LA FUNCION TRIGONOMETRICA

2.1 Origen, utilidad e Integración de la funciones trigonométricas : Localización y evaluación en el círculo unitario, identidades, derivada e integral (10 reglas).

2.2 Origen, aplicación, evaluación y derivada de las Trigonoms. Inversas; Integral de expresiones obtenidas al derivar las trigonométricas inversas

2.3 Integral de las trigonométricas inversas (el metodo de integ. Por partes).

UNIDAD II B : TRIGONOMETRICAS A LA n-POTENCIA 2.4 Obtendrá integral del Seno y/o Coseno a la n-potencia.

8

2.5 Obtendrá la integral de la Tangente y/o Cotangente de una variable cuando la función trigonométrica está elevada a la n-potencia.

UNIDAD III : METODOS DE INTEGRACION 3.1 Integración por descomposición en fracciones parciales

Iniciando con las formas

3.2 Integración por partes (el caso general del producto). 3.3 Integración por sustitución trigonométrica iniciando con los casos

UNIDAD IV : APLICACIONES DE LA INTEGRAL 4.1 Area de regiones planas.

4.2 Volúmenes de sólidos en revolución.4.3 Trabajo y fuerza 4.3 La serie geométrica y la serie de potencias

IX. Criterios de

evaluación y acreditación

B) Evaluación del curso: Exámenes parciales: 70 % Prácticas y tareas: (del examen parcial) 15 %

Participación en clase y asistencia: (del examen parcial) 15 %

Examen Departamental Semestral: 30 %

9

X. Bibliografía

A) Bibliografía Obligatoria (Calculo Débora Hughes; Larson & Hostetler, Mc. Graw Hill)

B) Bibliografía complementaria y de apoyo (Zill, Swokowsky, Edwards & Penney, otros similares)

XI. Observacion

es y características relevantes

del cursoReafirmación de los cursos de Matemáticas anteriores y antecedente básico para todas las disciplinas subsecuentes.

10

XII. Perfil deseable del

docenteMaestro del área o materia afín.

IIT de la UACJ P R E S E N T A C I O NM A T E M A T I C A S II (CBE1224)

Nombre: ______________________ Matr.________ Gpo.____ Aula_____ Hor. _________

Mtro. Jesús Estrada Cabral COREL jestrada@uacj.mx G-213 L a V 7:00 a 13:00Contenidos Temáticos y tiempos estimados: (Ver carta descriptiva completa en pag. UACJ )

UNIDAD I: INTEGRACION FUNDAMENTAL. 1.1 Conceptos de Integración, teorema fundamental del cálculo, calcular el área de funciones algebraicas básicas hasta tercer grado. 1.2 Integral de monomios y polinomios algebraicos (La regla básica de integración) 1.3 Integral de potencias algebraicas (La R. Gral. De las potencias)

1.4 El caso especial ; Características, utilidad, derivación e integración de las funciones exponencial y logarítmica.

1.5 Obtención de la fórmula de integración por partes para y casos básicos. 1.6 Características, utilidad e Integración de función exponencial BibliografíaA) B. Obligatoria (Calculo Débora Huges; Larson & Hostetler, Mc. Graw Hill)

B) B. complementaria y de apoyo (Zill, Swokowsky, Edwards & Penney, otros similares)

Material : Cuaderno ÚNICO , Pluma 2 tintas, Lápiz, regla, CALCULADORACRITERIOS DE EVALUACIÓNi) Tres a cuatro exámenes parciales ( 70% de la evaluación semestral) donde se consideran:

a) Examen Teórico (70 a 90 Puntos)b) Asistencia ( 10 a15 Ps) c) Participaciones en clase y Tareas (10 a 20 Ps)

ii) Un Examen Departamental (30% de la evaluación Semestral )

11

A V I S O C L A S I F I C A D O (Llenar y entregar)Se solicita maestro(a) para impartir la materia de MATEMATICAS II (Temas.. ) A los estudiantes de Mecatrónica, Para lo cual deberá reunir las siguientes Características:a) En lo académico b) En lo docente c) En la Evaluación d) Otros aspectos

UNIDAD I:INTEGRACION FUNDAMENTAL

PROBLEMA GENERATRIZ: Calcule el área generada por la cordillera y el río recto en el intervalo desde un cierto punto a, hasta otro punto b.

Explicación: En esta primer unidad del curso, iniciaremos dejando bien claro lo que significa la integral; A este nivel buena parte de los estudiantes saben integrar, sobre todo las integrales fundamentales que parten directamente de cada una de las reglas de derivación, pero es definitivo que muy pocos alumnos saben lo que realmente significa integrar.

Para este nivel académico será indispensable pasar de la fase de uso u operativa de simplemente saber aplicar una regla de integración, a las fases de descubrimiento y de justificación.

12

A partir de explicar el contexto histórico del problema generatriz (Faraones, río nilo, harpedónaptas..) concluiremos en que cada vez que resolvamos una integral, estaremos en realidad obteniendo el área bajo una curva, la suma de infinitas cantidades infinitamente pequeñas o la obtención de la primitiva-original – o – antiderivada.

Evaluación: Se pedirá al alumno que explique ampliamente los tres conceptos sobre el significado de integrar.

Se pedirá que escriban el nombre y significado practico de cada una de las componentes del teorema fundamental del cálculo.

Deberá obtener el área bajo curvas algebraicas de hasta tercer grado, incluyendo graficación y casos en varias secciones.

Se pedirá que pueda obtener la regla básica y la regla general de las potencias además de resolver integrales sobre los diferentes casos.

Deberá explicar que son y posibles aplicaciones de las funciones logarítmica y exponencial, además de la obtención y aplicación de las reglas de derivación e integración correspondientes.

TEMA 1.1: EL CONCEPTO DE INTEGRAL

13

A) PROBLEMA GENERATRIZ: (A partir de una necesidad real, se construyen conceptos mucho mas amplios que la solución del problema original ) . La búsqueda por resolver el siguiente problema es antecedente fundamental de la integral.

PROBLEMA: Calcule el área limitada por la cordillera y el río recto en el intervalo desde un cierto punto a, hasta otro punto b. (Interprete el contexto histórico, dibuje e intente resolver)

INTERPRETACION FORMAL (Muchos siglos después) Tenemos una curva de la que podemos construir su gráfica.

Y queremos saber el área bajo la curva desde el punto “a” hasta “b” , si dividimos la distancia entre a y b en una muy grande cantidad de rectángulos de tal manera que el ancho del mismo sea tan pequeño (Para cubrir el total de área bajo la curva) como un infinitésimo diferencial dx, podemos calcular el área de uno de ellos con la fórmula base del rectángulo , donde y la altura variable está dada por los diferentes valores de que corresponderá a la ecuación dada u obtenida. De tal manera que = f(x)dx ; si sumamos todas estas áreas:

se tiene .

Definición que asocia a los tres conceptos de Integral o teorema fundamental del cálculo:

CONCEPTO GEOMETRICO: La integral es el área bajo la curva

CONCEPTO GENERAL Y DE MAYORES APLICACIONES: La integral es una suma de infinitas cantidadesOPERACIÓN INVERSA: La integral es la primitiva, original o antiderivada.Ejemplo 1. Calcular el área limitada por , y el eje horizontal en el intervalo desde a) hasta x =3 b) x = - 1 hasta x = 3 (Resolver por al menos dos formas geométricas y utilizando el teorema obtenido)Ejemplo 2. Calcular el área limitada por la curva , el eje de las abscisas y las rectas

Solución: Graficando la función se observa la necesidad de utilizar el TFC

Usando

Ejemplo 3. Calcular el área limitada por la curva , y las rectas a) x = 0 y x = 2 , eje x . b) x = -2 y x = 2 , eje x Elaborar un bosquejo de la función

a) Usando

14

Y=

aa

bdx

x0

b)

Ejercicio 1.1 Problemas 1 a 8 página 9

NOTA :El alumno deberá resolver cada ejercicio de este material anotando numero de ejercicio, de problemas y pagina correspondiente. Para revisión por el maestro de la materia

1.- Prepare su cuaderno para la materia, incluyendo en el los datos de la presentación.2.- Verifique y/o termine los ejemplos y ejercicios vistos en la clase.3.- Explique ampliamente (Tres conceptos) que significará para usted resolver una integral.

4.- Revise la obtención del TFC, anotando el nombre y/o significado de c/u de sus Componentes

5 .- Calcular el área limitada por , y el eje horizontal en el intervalo desde hasta x =3 (Resolver por al menos dos formas geométricas y utilizando el teorema obtenido)

6.- Calcular el área limitada por la curva , el eje de las abscisas

7.- Calcular el área limitada por -2x , el eje de las abscisas en el intervalo

8.- Halla el área comprendida entre y = x3 – 6x2 + 8x y el eje x. Solución A 1.2 LA REGLA BASICA DE INTEGRACION : A) OBTENCION: Utilizando el concepto de primitiva o anti derivada pudimos resolver :

porque

También porque

Obteniendo casos consecutivos como porque

15

Generalizamos para obtener:

La llamada REGLA BASICA DE INTEGRACION

con ; Para este caso

B) EJEMPLOS: Caso 1 Monomios Resolver:

1.-

2.-

Casos especiales: Atención con el cambio de x por la expresión mas amplia que llamaremos v

3.- 4.

5.- 6.-

EJERCICIO 1.2 Monomios (Problemas 1 a 12 pagina 11)

Utilice la R. Básica para resolver correcta, pulcramente y con todos sus pasos cada integral

siguiente:

16

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

7.- 8.-

9.- 10.-

11.- 12.-

1.2.1 EL CASO CON POLINOMIOS

A) OBTENCION

B) EJEMPLO:

EJERCICIO 1.2.1 Polinomios (Problemas 1 a 13 pagina 12)

1.- 2.-

3.-

17

4.- 5.-

6.- 7.-

8.- 9.-

10.- 11.-

12.- 13.-

1.2.2 EL CASO POLINOMIOS CON OPERACIONES INDICADAS

A) EJEMPLOS RESUELTOS:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

EJERCICIO 1.2.2 Polinomios con operaciones indicadas PROBLEMAS 1 a 7 Pagina 13 :

1.-

2.-

18

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

1.3 La Regla General De Las Potencias ó REGLA FUNDAMENTAL DE INTEGRACION

A) OBTENCION:

Resolver:

Conclusión: y su complemento:

R.G.P

Donde V no es solo un cambio de letra, sino que deberá interpretarse como una expresión amplia que

EXIGE DERIVADA.

B) Ejemplos 1.-

2.-

3.-

Ejercicio 1.3 La Regla general de las potencias: (Problemas 1 a 6 Pagina 14 )

1.- 3.- 2.-

19

3.- 4.-

5.- 6.-

1.3.1 CASOS ESPECIALES DE LA REGLA DE LAS POTENCIAS:

Cuando en la integral de una potencia le falta la constante a la diferencial de la variable o no es la correcta, deberá de completarse agregando como factor dentro de la integral la constante que haga falta, pero para que no se altere la expresión original, se agregará la misma cantidad como factor fuera de la integral (Multiplicar por uno) pero de forma recíproca.Al final de cada integral deberá estar su derivada(Es como el agua necesaria para cocinar).

EJEMPLOS RESUELTOS:

1.-

2.-

EJERCICIO 1.3.1 (Problemas 1 a 8 Pagina 14) :

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

7.- 8.-

EJERCICIO 1.3.2 El caso especial con división: (Problemas 1 a 8 Pagina 15)

1.- 2.-

3.- 4.-

20

5.- 6.-

7.- 8.-

1.4 Las Funciones Logarítmica y Exponencial1.4.1 Antecedentes de las Funciones Logarítmica y Exponencial

A) RECURSO ANTERIOR: Obtener:

B) PROBLEMA GENERATRIZ: El sistema Bancario actual ofrece inversiones a Lapsos cortos con reinversión sucesiva de capital e intereses, si Mario tiene $ 100 000 e invierte al 10 % anual, pero con reinversión sucesiva . Cuánto tendrá al cabo de un año si la inversión fuera: a) Anual,b) Semestral, c) Trimestrald) Mensuale) Diaria, f) Continua.

La fórmula para el crecimiento discreto es: La fórmula para el crecimiento continuo es:

C) FUNCION EXPONENCIAL: Se llama así a las expresiones en las que una constante o numero se eleva a una potencia variable. Ejemplo: Del habitual ahora tendremos la exponencial

Otras exponenciales son: ; ó También llamada función crecimiento

D) PROB. 2(La necesidad del logaritmo): EL LEGADO DE BENJAMIN FRANKLIN: Dono 1000 lbs. Esterlinas a los habitantes de Boston, si los aceptan, estos deberán ser administrados por los vecinos más distinguidos quienes los concederán en préstamo al 5% anual a los artesanos más jóvenes. Al cabo de 100 años esta suma se elevara a 131000, deseo entonces que 100 000 sean empleados en construcción de edificios públicos y el resto concedido en crédito los sigs. 100 años. Al cabo de ese tiempo la suma habrá llegado a 4 061 000 de los cuales 1000 000 estarán a disposición de los vecinos de Boston y 3 000 000 al municipio de Massachusetts, en lo sucesivo no me atrevo a seguir extendiéndome con mas disposiciones. Compruebe los cálculos!

Problema 3: Porfirio trata de saber cuánto tendría si los 100 dlls que le regalo su abuelo al nacer, en lugar de ser gastados por su madre hubieran sido invertidos en caja de ahorro. Sin embargo el resultado es sólo 800 dlls. Si sabemos que Porfirio tiene 20 años y los cálculos son correctos ¿ que % concedía en aquel entonces la caja de ahorro?

E) LA FUNCION LOGARITMICA: Se llama Logaritmo (L) al exponente al cual hay que elevar una cierta base (b) para obtener un cierto número (N)…En símbolos… o su equivalente exponencial: F) PROPIEDADES: Dado que los logaritmos son exponentes entonces las propiedades de los exponentes son también propiedades de los logaritmos, es decir: (Obtener y comprobar)

21

Ejem Transforme a base natural y decimal

EJERCICIO 1.4.1 (Problemas I a VII pagina 16) I.- Explique ampliamente que es el Logaritmo, su asociada exponencial y sobre todo sus posibles aplicaciones:____ …II) Transf.. de la fma. Logarítmica a la f. exponencial o vic. Y obtenga el valor de la componente

1.- : 2.- Si 7.-

3.- 4.- 8.-

5.- 6.-

III) Si ln3 = 1.1 y ln7 = 1.95

IV) Si ln5 = 1.609 y ln8 = 2.079

V) Utilizando propiedades: Obtener X en:

VI) Pruebe que d(LnV) =

VII) Problema: Al inicio de la década de los 70 la tasa de consumo anual de petróleo creció exponencialmente con una constante de aproximadamente 0.07, Al inicio de 1970 la producción era de 16.1 miles de millones de barriles de petróleo al año. Determinar. La cantidad de petróleo que se consumirá en la década, en el supuesto de que la variación permaneciera constante.

1.4.2 DERIVADA E INTEGRAL DE LAS FUNCS. LOGARITMICA Y EXPONENCIAL.

A) DERIVADA DEL LOGARITMO: Dada Y = f(x) = Obtener su derivada, Pruebe

que d(LnV) = y sus asociadas reglas de integración

B) EJEMPLOS Y EJERCICIO 1.4.2 (Problemas 1 a 5 pagina 17) Derivar: 1.- Y = 2.- Y = 3.- Y =

4.- Y = 5.- Y =

22

C) DERIVADA DE LA EXPONENCIAL: Dada Y = f(x) = Obtener su derivada, caso

particular y asociadas reglas de integración: que se obtuvo de la siguiente

manera.

Cuando la base es la constante ( cuyo equivalente es el número 2.7182....) y el exponente es variable; se expresa de manera general v y su integral queda definida por la expresión:

1.4.2.1 La integral del producto o Integral por partes: Para Obtener Problema: Una cierta frecuencia digital se difunde según la expresión f(t) = tSent Obtener

a) Grafica b) Área del corte transversal plano limitada entre la curva y el horizonte en el intervalo y en

Para resolver la integral será necesario partir de para obtener: que es la llamada formula del producto o integral por partes, que como veremos

en temas posteriores, es uno de los más potentes y generales métodos de integración.

Ejems y Ejercs 1.4.2.1: (Problemas 1 a 7 pag 17 ) 1.- 2.-

3.- 4.- 5.- 6.-

7.- Resuelva los sigs. Problemas:

E) EJEMPLOS : 1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

EJERCICIO 1.4.2( Problemas 1 a 20 pagina 18):

1.- 2.-

3.- 4.-

23

5.- 6.-

7.- 8.-

9.- 10.-

11.- 12.-

13.- 14.-

15.- 16.-

17.- 18.-

19.- 20.-

24