MAX SAT に対する近似アルゴリズムの研究

中央大学大学院情報工学専攻浅野研究室

堀 邦彰

入力 : 重み付きクローズの集合出力 : 満たされているクローズの 重みの和が最大となるような 真偽割り当て

各クローズが高々 2 個のリテラルしか持たない場合でかつ重みが同一の場合においても NP‐hard であることが知られている .したがって MAX SAT も NP‐hard である . 近似アルゴリズム

MAX SAT とは…

具体例

( T , T , F)

( F , T , F)

18

得られる重み

20

22

入力 : {( 1 , 4) , ( 2 , 2) , ( 3 , 6) , ( 1∨ 2 ,8) ,

( 2∨ 3 , 2) , ( 1 ∨ 2 ∨ 3 , 6) }

x xx xxx x xx x

出力

( 1 , 2 , 3) = ( T , F , F)

真偽割り当てx x x

1つ１つが重み付きクローズ

α‐ 近似アルゴリズムとは x* を最適解 , F(x) を得られる重みの和

としたときに

となるような真偽割り当て x を求める 多項式時間アルゴリズム

1) 0( *)(

)(

xF

xF

どんな入力に対しても近似率 α は理論的

性能指標といえる

近似アルゴリズムの代表的な手法

確率的方法{T, F} の真偽割り当てを行なうのではなく ,

真になる確率を変数に割り当てその期待値を見積もるといった方法

Johnson,Yannakakis,Goemans-Williamson(a)

Semidefinite Programming を用いた方法Goemans-Williamson によって提案された手法

Goemans-Williamson(b), Asano ら

種々の近似アルゴリズム

Johnson ’74 α=0.5 Yannakakis ’92 α=0.75 Goemans-Williamson (a) ’94 α=0.75 Goemans-Williamson (b) ’95 α=0.7584 Asano-Ono-Hirata ’96 α=0.765 Asano-Hori-Ono-Hirata ’96 α=0.767 Asano ’97 α=0.770

近似率

アルゴリズムの比較の重要性近似率が良い よいアルゴリズム

平均とは

様々な入力のもとに様々なアルゴリズムで実験する必要がある

計算時間は

どんな入力に対してもって

平均的にはどれがいい

tight??

行なった研究概要 Goemans-Williamson(a),Yannakakis のア

ルゴリズムの詳細検討．Yannakakis のアルゴリズムはかなり複雑昨年のアルゴリズム研究会で発表を行なっ

た．その際のメインは Yannakakis のアルゴリズムの改良及びその検討．

現在 , Semidefinite programming を研究中． Semidefinite programming 問題への定式化の

方法及び Semidefinite programming 問題自体の解法を研究．

) and ( }1,0{,

)( )1( s.t.

max 1

jizy

jzyy

zw

ji

jCi

iCi

i

m

jjj

jj

Goemans-Williamson (a) のアルゴリズム

MAX SAT を整数線形計画問題として定式化し，線形計画問題に緩和．その問題を解き， random rounding 技法によって真偽割り当てを求める．

1,0 ji zy

各変数が真になる確率を 1/2 とし，そこか ら真偽割り当てを求める．

求められた 2 つの割り当ての良い方を選ぶ

Pr(xi=T) = yi

(p1,p2,p3,...,pn)=(1/2,1/2,1/2,...,1/2) =( x1 ,1/2,1/2,...,1/2) =( x1 , x2 ,1/2,...,1/2) ： =( x1 , x2 , x3 ,..., xn )

今後の予定

Yannakakis のアルゴリズムを計算機上で実現するため，制約付き最大流問題の解き方を研究する．

最終的には種々のアルゴリズムをプログラム化し，計算機実験により実際的性能の比較を行なう．