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DYNAMIK I

Teil 3: KINEMATIK

DES STARREN KÖRPERS

DYNAMIK I – TEIL 3

KINEMATIK DES STARREN KÖRPER

z

y‘

x‘y

xϕ

ψ y‘‘

x‘

z‘‘

x

y

z

θ

Z

x

y

z

X

Y

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Teil 3: KINEMATIK

DES STARREN KÖRPERS

Atommodell der Materie

Jedes mechanische System kann man sich aus einer (unter Umständen sehr großen) Anzahl von

Massenpunkten zusammengesetzt denken.

Beispiel: Starrer Körper Beispiel: Elastischer Körper

Masselose starre Stäbe,die die Punkte

zusammenhalten

Masselose Federn,die die Punkte

zusammenhalten

im

jmijd

.)( consttdij =

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Teil 3: KINEMATIK

DES STARREN KÖRPERS

Die Eigenschaft des starren Körpers

Definition:

Wenn die Abstände zwischen den Massenpunkten eines mechanischen Systems zeitlich konstant sind, so bildet das System einen starren Körper.

Zur Beschreibung der Lage eines starren Körpers benötigt man sechs Lageparameter im Raum:

Orr

Ox

Oy

ϕ

Parameter: ϕ,, OO yx3 Parameter f. O2 Parameter f. P (auf Kugel um O)1 Parameter f. Q (auf Kreis um OP)0 Parameter f. jeden weiteren Punkt

6 Parameter

Speziell: Lageparameter in der Ebene

xer

yer

OO P

Q

dOP

dOQ

dQP

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Teil 3: KINEMATIK

DES STARREN KÖRPERS

Bewegungen des starren Körpers

Bewegungen (Übersicht)

Translatorisch Rotatorisch

geradlinig krummlinig feste Achse sphärisch

Kugelschale

d

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Teil 3: KINEMATIK

DES STARREN KÖRPERS

Satz über Translationen

Jede Lage (Lage B) eines krummlinig translatorisch bewegten starren Körpers kann auch durch eine geradlinige Translation aus der Ausgangs-lage (Lage A) erreicht werden.

Beispiel Riesenrad:

Lage A Lage BABur

ABur ... Verschiebungsvektor

Der Verschiebungsvektor hängtab von den Lagen A und B!

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DES STARREN KÖRPERS

Satz über Rotationen

Jede Lage (Lage B) eines sphärisch bewegten starren Körpers kann auch durch eine Rotation um eine feste Achse und einen bestimmten Winkel aus der Ausgangslage (Lage A) erreicht werden (Satz von Euler).

Lage A

Lage B

.... DREHVEKTOR:

Richtung = Drehachse

ABθr

ABθLänge = Drehwinkel ABθ

Fixpunkt

Der Drehvektor hängt ab von den Lagen A und B!

schwierig!(Wie kann man ihn bestimmen?)Drehachse

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DES STARREN KÖRPERS

Infinitesimale Rotationen

Fixpunkt O

Prr

∆

OPrr

hθ∆≈∆ hrP

r

Für kleine Drehwinkel:

OPP rr rr⊥∆ θ

rr∆⊥∆ Pr

θθ ∆=×∆ hrOPrr

θ∆

OPrrr×∆= θ

1.

2.

θθθ

∆×∆

×∆≈∆ h

rrrOP

OPP rr

rrr⇒

aerr

θθ ∆=∆... momentanter

Drehvektor

Wir betrachten eine sphärische Bewegungfür einen beliebigen Körperpunkt P inner-halb einer kurzen Zeitspanne [t, t+∆t]:

OPtr

tr

r

×∆∆

=→∆

θ0

lim OPrrr×=ω

P

trv P

tP ∆∆

=→∆

rr

0lim⇒

tt ∆∆

=→∆

θωr

r0

lim ... Winkelgeschwindigkeitsvektor

aer

te

ta ∆∆

=→∆

θ0

limrωaer=

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DES STARREN KÖRPERS

Allgemeine Bewegung des starren Körpers

Jede Lage (Lage B) eines beliebig bewegten starren Körpers kann auch durch Hintereinanderschalten einer geradlinigen Translation und einer Rotation um eine feste Achse aus der Ausgangslage (Lage A) erreicht werden.

Lage A

Lage B

Bezugspunkt

Zwischenlage

Bezugspunkt

Der Bezugspunkt kann beliebig gewählt werden!

Der Drehvektor (Länge + Richtung)ist unabhängig vom Bezugspunkt.

ABθr

ABur

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DES STARREN KÖRPERS

Infinitesimale Bewegungen und Geschwindigkeit

Bezugspunkt O

P

θr

∆

Prr

∆

OPrr∆

OPrrPrr

Orr

Körper

O

P

P

Allgemeine infinitesimale Bewegung eines beliebigen Punktes P:

OPOP rrr rrr∆+∆=∆

OPOP rrr rrrr×∆+∆=∆ θ

OPOP r

ttr

tr r

rrr

×∆∆

+∆∆

=∆∆ θ

OPOP rvv rrr×+= ω

t∆÷

0lim→∆t

... Geschwindigkeitsverteilung im starren Körper.

Orr

∆

Orr

∆ Allg. Bewegung ausTranslation u. Rotation:

OPrr

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DES STARREN KÖRPERS

Die Grundformel des starren Körpers

OPOP rvv rrr×+= ω ... Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P =

Bezugspunktgeschwindigkeit + DrehgeschwindigkeitAnmerkungen:

Durch und ist die momentane Geschwindigkeitsverteilungeines starren Körpers definiert (daher auch sechs Freiheitsgrade).

Ovr ωr

ist unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes.ωr

und sind momentane Größen und hängen von der Zeit ab. Ovr ωr

In der Ebene ändert seine Richtung nicht. Es gilt:ωr

zer&rϕω =

OPrrr×ω

OPrr OPrrr×ω steht senkrecht auf OPrr

Die Drehgeschwindigkeit

Die Drehgeschwindigkeit istproportional zum Abstand OP:

OPOP rr rrr⋅=× ωω

Rotationsfeld in der Ebene:

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DES STARREN KÖRPERS

Beispiel: Gleitendes Rad <> Rutscht auf Untergrund

ω

OvrA B

C

Dxy

O

Gegeben: Rad (Radius=0,2 m),Bezugspunkt=Radmittelpunkt, vΟ=1 m/sDrehzahl n = 1 U/sec, ω=2πn=6,28 rad/s

Gesucht: Geschwindigkeit der PunkteA, B, C, D (Vektoren u. Beträge)

OPOP rvv rrr×+= ωLösung:

=001

Ovr

−=

28,600

ωrmit:

Punkt A Punkt B Punkt C Punkt D

AvrCvr

Dvr Bvr

−

002,0

026,10

026,11

61,1

002,0

−026,10

−026,11

61,1

02,00

0026,1

0026,2

26,2

−02,00

−

0026,1

−

0026,0

26,0

P = A, B, C, D

OPO rv rrr×+ω

OPrrr×ω

OPrr

OPO rv rrr×+ω

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DES STARREN KÖRPERS

Der Geschwindigkeitspol

Bei ebenen Bewegungen eines starren Körpers existiert in jedem Augenblick ein mit dem Körper verbundener Punkt, der sich momentan nicht bewegt, d.h. die Geschwindigkeit Null hat. Dieser Punkt heißt Geschwindigkeitspol oder Momentanpol.

Bei ebenen Bewegungen eines starren Körpers existiert in jedem Augenblick ein mit dem Körper verbundener Punkt, der sich momentan nicht bewegt, d.h. die Geschwindigkeit Null hat. Dieser Punkt heißt Geschwindigkeitspol oder Momentanpol.

Geschwindigkeitsformel:

−−

×

+

=

000

0000

OPol

OPol

O

Oyyxx

yx

ω&&

−+−−

=0

)()(

OPolO

OPolOxxyyyx

ωω

&&

ω/OOPol xyy &+=

ω/OOPol yxx &−=

... alle Punkte drehen um Momentanpol

0!=×+= OPolOPol rvv rrrr ω

Wählt man den momentanen Geschwindigkeitspol als (momentanen) Bezugspunkt, so gilt für jeden Punkt P: PolPPolPPolP rrvv rrrrr

×=×+= ωω

ωOvr

x

y

O

Orr

Polrr OPolrr

Pol

Pvr

PolPrr P

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Beispiele zum Geschwindigkeitspol

Beispiel Kurbeltrieb:

Geschwindigkeitspol grafischBr&r

Lage hängt ab vom Kurbelwinkel!Bei Variation des Kurbelwinkels entsteht eine Polkurve.

Ar&r

ω

OvrA B

C

x

y

O

AvrCvr

Dvr

Bvr

Beispiel „Gleitendes Rad“:

=001

Ovr

−=

28,600

ωr

ω/OOPol xyy &+=

ω/OOPol yxx &−=

Geschwindigkeitspol rechnerisch:

A

B

(Koordinatensystem in O)

28,61

−=

0=

16,0−=

Pol

Pol

P

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Mv

α&

PMv

r

x

y

r

Das rollende Rad, Rollbedingung

Definition reines Rollen: Rad wälzt am Umfang ab

α&rvM =

ωα −=&

α∆=∆ rxM

α∆

Mx∆

t∆÷

ω/OOPol xyy &+=

ω/OOPol yxx &−=

0=Oy&ωrxO −=&

Rollbedingung

Mx

Momentanpol mit dem Rad-mittelpunkt als Bezugspunkt O:

MO xx =0=Oy

Mx=

r−=

Momentanpol

Mv2

Pv