Dr.Sc. Edin Delic, diplomirani inienjer rudarstva Docent, Univerzitet u Tuzli, Bosna i Hercegovina

Dr.Sc. Abdulah Basic, diplomirani inzenjer rudarstva Redovni profesor, Univerzitet u Tuzli, Bosna i Hercegovina

M.Sc. Rijad Sisic, diplomirani inienjer rudarstva Visi asistent, Univerzitet u Tuzli, Bosna i Hercegovina

Mehanika fluida, klimatologija i aerologija, knjiga I: Osnove mehanike fluida i filtraciona strujanja (pIVO izdanje)

Recenzenti: Dr.Sc. Amir Meskovic, Vamedni profesor, Univerzitet u Tuzli, Bosna i Hercegovina Dr.Sc. lzet Alic, diplomirani inienjer masinstva Docent, Univerzitet u Tuzli, Bosna i Hercegovina

Izdavac: Univerzitet u Tuzli

Lektor i korektor: Husein Bakalovic

Tiraz: 200 primjeraka

Stampa:

DOO "COPYGRAF" Tuzla

ClP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo

xxx.x.xxxx.

DELle, Edin Mehanika fluida, klimatologija i aerologija, knjiga 1: Osnove mehanike fluida i filtraciona strujanja (prvo izdanje) I Edin Delic, Abdulah Basic, Rijad Sisic - Tuzla: Univerzitet, 2007.- XXX str.:ilustr.: 24 cm

I Bibliografija: str. XXX-XXXX

lSBNXXXXXX

I COBISS: BH-ID XXXX

UNIVtRSITY OF TUZiA UNIVERZITET U TUZU

Edin Delic

Abdulah Basic, Rijad Sisic

Mehanika fluid a, klimatologija i aerologija knjiga 1: Osnove mehanike fluida i filtraciona strujanja

(prvo izdanje)

Tuzla, novembar 2007. godine

I

Aziri Nedi i Selmi ,

I

I

Predgovor

Knjiga je zamisljena kao prvi udibenik iz serije univerzitetskih publikacija koje ce tretirati naucnu oblast mehanika fluida sa tezistem na injzenjerske probleme u oblasti geotehnickog inienjeringa, rudarstva, sigumosti i zastite okoline.

Prva knjiga sadrzi osnovne oblasti mehanike fluida kojim se definise pojam naucne discipline, osnovne zakonitosti na kojima poCiva ova oblast, te poglavlja koja tretiraju osnove klimatologije, aerologije i filtracionih strujanja. Uporedo uz knjigu u pripremi je i praktikum u kome ce se materija izlozena u ovoj knjizi obraditi kroz prakticne primjere.

Iako je primamo namijenjena studentima Rurarsko-geolosko-gradevinskog fakulteta kao pomoc u savladivanju kurseva mehanike fluida, lcnjiga moze posluziti i inienjerima u praksi za dopunu i obnavljanje teoretskih znanja iz predmetne oblasti.

Tuzla, novembra 2007. godine

Autori.

1.1. Osnovni pojmovi i obiast Fiuidi. (tekucine i gasovi) su materije kOO kojih pri Jrretanju dolazi do stalne promjene medusobnog relativnog OOnO)la cestica. Gasovi lako mijenjaju svoj oblik i zauzimaju razne zapremine, dole evrsta tijela treba podvrgnuti djelovanju sile da bi doslo do promjene oblika ili zapremine. Zapremina teCnosti je vrio postojana, oOOosno i pod dejstvomjake sile teenost vrio slabo mijenja svoju zapreminu, ali lako mijenja oblik.

MEHANIKA KOf~TlNUU.MA;

l<ine:maUita [I'n:tanjoilJ i DinamU-.atsil'.:l

f',,' .:hanika ·~>.;rrtihtij>=la

Stika 1: Podjela mehanike

Ovisno 0 tome da Ii izucava kruta tijeIa, tekucine iIi gasove, naucna oblast mehanika se dijeli na: mehaniku krutog tijela, hidromehaniku i aermnehamku

I \~) I t n\ ill I· i i

I ' II I I ' II

a) b)

Slika 2: Tangencijalni napon cvrstih tijela ijluida

U razmatranjima ce cesto biti pogoOOo posmatrati "djelic materije", ~to podrazumijeva tako malu kolicinu materije da njen oblik ne igra ulogu pri posmatranju. Zato se djelic moze zamislili leao koclea, valjak, lopta iii drugo pravilno i nepravino geometri jsko tijelo, ovisno 0 potrebama rjesavanja konkretnog zadatka. Djelici imaju uvijek istu masu, ali im se zapremina i oblik mogu :rr.ijenjati tokom vremena.

Vrlo ~ pokretljivost djeliea materije igra odlui:ujuCu ulogu, odnosno stiSljivost nema uticaja ua tok velikog broja pojava. Zbog toga se uvodi i upotIbljava rijee fluid karla se rezultati proucavanja podjedrulko odnose na tekuCine i gasove.

Mehanika fluida je oblast mehauike kontinuuma, odnosno nauCna disciplina koja izueaYa kretanje fluida, odnosno procese teCenja i strujanja. Nauka 0 kretanju Cestica spada u najstarije nauke. Jo~ 5000. godine pr.n.e. u Kim su zabiljeZeni hidraul.irni kanali za navodnjavanje, nasipi za odbranu od poplava, vje~cKa jezera itd. N~o kasnije slirni objelcti 8U pravljeni u Indiji, Egiptu, Mesopot:amiji. Mnogi od tih objekata su sacuvani do dallas, a nekijos uvijek sluZe svojoj svrsi.

Prvi pisani propis koji tretira oblast mehanike fluida je Hamurabijev zakonu iz XVIII vijeka pLn.e. u kome 8toji: ,,Ako netko otvori svoje brane da navodni svoje usjeve, ali je nepaz7jiv i voda poplavi polje njegovog susjeda, mora susjedu nadoknaditi gubitak svojim iitom ".

Za vrijeme stare Greke i Rima (nekoliko stotina godina pLn.e.) izvodeni su daleko slozeniji radovi. Mnoge kuce su snabdjevene instalacijama za hladnu i toplu vodu, razvodenu cijevima od pecene gline.

Prvi naucni rad iz mehanike fluida zabiljezen je 250. godine pLn.e. l. U tom radu je

razradena "Archimedova teorema' 0 potisku tecnosti na potopljeno tijelo, koja i danas predstavlja osnoVll savremene hidrostatike i aerostati.1ce. Teorema glasi: svako tijelo potopijeno u vodu gubi od svoje tezine onoliko koliko je teska istisnuta tecnost.

Archimed uije imao svoje prave sljedbenike, a pravi zamah u oblasti mehanike fluida dolazi tek u renesansnom dobu. Leonardo da Vinci (1452- 1519) je napisao trakatat "0 kretanju i mjerenju vade", ali je on pronaden i stampan 300 godina poslije njegove smrti. Prvi rad objavio je 1856. godine holandski naueni Simon Stevin (1548 - 1620) pod naslovom "Naee1a hidrostatike,,2.

Euler Leonhard (1707- 1783) je tvorac savremene mehanike fluida. Iskoristio je Newtonove3 principe (sila jednaka masa puta ubrzanje) i dao diferencijalne jednacine za kretanje fluida uvodeci u racun unutrasnju silu pritiska. On je prvi postavio dovoIjan broj jednaeina kojima se opisuju hidromehanieke pojave. Pet velicina su karakteristicne: tri za projekcije brzine, jedna za pritisak i jedna za gustinu. Medutim, jednaeinama kretanja odgovaraju sarno tri projekcije u pravcima koordinatnih osa. Euler je njima dao karakteristienu jednacinu koja iskazuje promjenu fiziekog stanja fluida i jednaeinu kontinuiteta koja opisuje svojstvo fluida da neprekidno ispunjava fluidni prostor. Time se dosio do dovoIjno jednacina za pronalaZenje pet nepoznatih velieina.

Lagrange4 je poslije Eulera takode izveo diferencijalne jednacine za kretanje fluida, ali u nesto cLugaCijem obliku. Obojica razmatraju fluid koji nema trenja , stG je cesto opravdano, ali moze dovesti do zabluda.

I Archimedes of Syracuse (287-212. pne): "On Floating Bodies"

2 Simon Stevin (1548-1620): "De Beghinselen des Waterwichts"

3 Issac Newton (1642-1727)

4 Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

2/268

Teeenje i strujanje fluida je vezano s toplotnilTI uticajima, tako da se mehanika fluida preplice i sa termodinamikom. U mehanici je teziste na kretanju fluida, a u toplotne promjene se ulazi sa.'l10 u smislu njihovog uticaja na strujanje i tecenje.

U termodinamici se kretanje fluida posmatra kao sredstvo za prenosenje toplote (toploini transfer), odnosno energetske transformacije iz ili u toplotnu energiju. Mjerljivost je osobina kojom se definise velicina. U mehanici fluida se intenzivno primjenjuje geometrija (zapremine,povrsine, duZine, uglovi itd.), sto u osnovi ima jedinicu za duZinu L [m].

c D

Stika 3: Tangencijalni napan u cvrstim tije/ima ifluidima

Sile se u mehanici fluida dijele na masene ili tjelesne (gravitacija, inercijalna sila, centrifugalna sila, Coriolisova sila, elektromagnetska sila) i kontaktne iIi povrsinske sileo Gustoca IrillSene sile se moze defmisati u proizvoljnoj tacki prostora kao:

f( ) 1· Mm l' M x,y,z = lill"", ... o--= lillb,v->o--m-&n p llV

(Mm- masena sila, I1m- elementama masa na koju djeluje masena sila" V-zapremina)

Gustoca kontaktne sile u proizvoljnoj taeki posmatranog prostora ispunjenog fluidom iznosi:

Is (x,y,z)=liillb.. .... O ~ IlS

(11S - elementama povrsina na koju djeluje kontaktna sila, M, - kontaktna sila, A­pavrsina)

Pri tangencijalnom djelovanju sile na cvrsta tijela dolazi unutar tijela do pojave tangencijalnog napona i tangencijalne deformacije koja ce ovisiti 0 karakteristima cvrstoce materije.

Djelovanje tangencijalne sile na fluid dovest ce do kretanja (strujanja). Izmedu cestica fluida tangencijalni napon se javlja sarno kao posljedica viskoziteta. Kod neviskoznih strujanja iii strujanja sa zanemarivim uticajem viskoziteta, tangencijaL"li napon unutar fluida jednak je nuli.

3/268

c=J -gasovito

komprestia

Slilw 4: Toplotnijluks i promjene agregatnog stanja pri kompresiji i ekspanziji gasova

Kako su gasovi izrazito stisljivi, spoljnjim energetskim uticajem moguce je smar:jiti zapreminu koju zauzimaju, sto dovodi do zagrijavanja i oslobadanja toplote u okolrnu. Pri odredenoj vrijeOOosti pritiska i temperature cijela zapremina gasa ce se likvificirati, oOOosno pretvoriti u tecnost. Sve do potpunog izjeOOacavanja temperature sa okolnom temperaturom ovako komprimirani i likvificirani gas ce emitovati toplotu. Ukloliko komprimirani gas, bilo da je tecan iIi Iikvificiran, ekspandira, oOOosno povecava svoju zapreminu na racun pretboOOe kompresije, doti c~ do obrnutog toplotnog toka, oOOosno do uzimarJa toplote iz okoline, sto ima za posljedicu hladenje okoline.

1.1.1. Agregatna stanja (faze) materije

Prelaz materije iz jeOOog u drugo agregatno stanje odvija se uz energetski transfer: potrebna je toplotna energija da se materija provede od uredenog (cvrstog), preko uglavnom neuredenog (tecnost) u poptuno neuredeno (gas) stanje. Faza u kojoj ce se materija nalaziti ovisi 0 temperaturi i pritisku. Proces prelaska iz cvrste faze u tecnu naziva se topljenje, a iz tecne u gasovitu isparavanje. Obrnuti proces prelaska iz gasovitog stanja u tecno naziva se kondenzacija, a iz tecnosti u cvrsto ocvrSCavanje iii smrzavanje. VrijeOOost pritiska i temperature pri kojoj je podjednaka vjerovatnoca da se materija nalazi u sve tri faze naziva se trojna tacka.

OOOos izmedu energije translatornog kretanja molekula (mv2/2) i temperature T, na osnovu kineticko- molarne teorije, moze se pisati:

2

T=Cmv

2 '

gdje je C - koeficijent proporcionalnosti.

Led - uredeno stanje a~ ..... ,. "-m~t&"riJ·c.

~Vodel1a nara­r- Po"","~o·neuredeno ,"mje

\lod" _ Agregatna stal1ija

Uglavnom neuredeno stanJ€

Slika 5: Pramjena agregatnog stanja vade

4/268

[1]

• !

Agregatno stanje vode ovisi 0 pritisku i temperaturi. Karakteristicne tacke u promjenama agregatnog stanja vode su trojna tacka i kriticna tacka, kako je prikazano na nareOOom dijagramu.

Ph ----

p, ----

Temperatura T, K ..

T,

Stika 6_' p-T dijagram Jazne promjene vade

U trojnoj tacki podjednaka je vjerovatnoca da se voda nalazi u cvrstom, tecnom iii gasoVitom stanju. Pri pritiscima ispod pritiska trojne tacke (PI) voda mijenja agregatno stanje direktno iz cvrstog u gasovito i obratno. Pri pritiscirna izmedu pritiska trojne taCke i kriticnog pritiska (Pkr) voda prelazi iz cvrste u tecnu fazu, zatim iz tecne u gasoVitu i obratno_

1.1.2. Dimenziona analiza u mehanici fluida

Tri osnovne velicine koje ulaze u Medunarodni dirnenzioni sistem jedinica su: dliZina I [m], vrijeme, [s], masa m [kg]. Mehanika i toplotni uticaji povezuju se preko energije, jer se mehanicka energija i toplota (istoroOOe velicine) mogu uporedivati.zbog toga je pozeljno osnovni dirnenzioni sistem prosiriti na cetiri osnovne velicine:

1. dliZina I [m] 2. vrijeme , [s] 3. rnasa m [kg] 4. temperatura T [K]

Iz osnovnih velicina je izveden veliki broj tzv. "izvedenih velicina" (npr. brzina, ubrzanje itd).

Svaka mehanicka velicina se moze izraziti iz osnovnog dimenzionog izraza:

[Y] = [ r ,b me ].

y (-] - opca oznaka tacke

Npr. dijeljenjem rnase(m) sa zapreminom (13) dobije se gustina, oOOosno za

a=-3, b=O i c=l -+ [Y] = [ [3 ,0 m1 ].

5/268

[2]

[Y] = (metar-3 sekunda° kilograml] = [kglm3]

Pri dimenzionoj analizi pisanje dimenzionih izraza i dimenzija navodit ce se u uglastim zagradama "[]", a vrijednosti velicine bez zagrada:

[3]

Ny - mjerna vrijednost (broj)

Dimenzioni sistem je stvar dogovora i ima za cilj unosenje reda. Izabrane tri osnovne velicine u mehanici su medusobno nezavisne i neuporedive. Prema potrebi, moze se neka od izvedenih velicina uvesti kao "kvaziosnovna velicina" i kao takva tretirati. Uzmemo Ii pritisak kao "kvaziosnovnu velicinu" s jedinicom [pa], mozemo je tretirati kao osnovnu, mada se, u principu, radi u izvedenoj jedinici (sila po pm.TSini).

Sila F [N] je, npr. u mehanici, dobila svoju jedinicu jer bi kao izvedena imala jedinicu {rno zI ,-2}. Iako je {rno = f = I}, ne bi bilo ispravno uzeti ovaj izvedeni oblik. Npr., u prethodnom izvedenom izrazu figurira vrijeme, a ono se kod sile ne mjeri ni u kom obliku. Uvodenjem [N] pojednostavilo se i izratavanje ove cesto upotrebljavane velieine.

6/268

I

Tabela 1 :Dimenziona analiza jizickih veliCina

Duiina L Iml

Povrsina I' rm2l

Zapremina ~ f fm'l

Masa m [kgl

Vrijeme T [s)

Temperatura T(t) [K,("C))

Brzina V~ ITI [mfsJ

Ugaona brzina (i) = tp of' [lis, RADls)

Ubrzanje a = I r~2 [(mfs)/(s/') - mis')

Sila F ~ mU' lkcr (mfs2\ - Nl

ZaDreminska 511a r~Fm~1 fN/m'l

Moment sile M~FT [Ns]

Obrtni moment T-Fi [Nml

Pritisak fJ = F A~' [N/m' - Pal

Rad Wi-FI [Nm-Jl

Energija E ~ m I' T~' [kgm2/s'= Nm~J]

E=FI fNm- Jl

Snaga p= Wi r"1 [J/s~ W)

P~fJ V' I(Nim2)(m'/s) - Wl

Tezina G-mf? fb (mfs2) - Nl

Specificna masa p=m Vi [kg/m') (gustina)

p~FT' r' [(kgmls2)s2/(m4Fkg/m')

Specificna tezina 1~GVI [N/m')

r~m r' T~' [kg/em's') 1* mfm

(k!!ll1is2)1m'-N/m'l

Znpreminski protok V'~A v fm2 (mfs) ~ m'/sl

v' - V T~I ! [m'/s)

Maseni protok M'=mr- 1 [kg/s)

M'=oO [(kg/m')(m'/s)-kg/s]

Specifiena topiota c= Om~1 TI rJI(kg K)l

Toolota 0 . [11

7/269

1.1.3. Fluid kao neprekidna, homogena i izotropna sredina

Izucavanja se u mehanici fluida baziraju na pretpostavci da je fluid neprekidan, homogen i izotropan, odnosno da u potpunosti ispunjava prostor, da irna iste osobine i da se podjednako ispoljava u svirn pravcirna.

Fluidni djelic je neizmjerno malena masa fluida, potpuno ispunjena materijom istih osobina kao i konacna masa, Ciji je sastavni dio. Krece se po zakonima po kojirna se krecu tijela. Oblik i zapremina fluidnog djelica se mogu mijenjati kroz vrijeme, ali masa ostaje nepromijenjena.

Ako posmatramo djelic fluida zapremine LlV i tezine LlG uoCit cemo da specificna teZina tog elementarnog djelica mase ne mora biti jednaka specificnoj masi cjeline tekucine, odnosno:

G IlG V* IlV' Y *Ily.

G IlG -*- Y */:'y. V /:,V

Srednja specificna tezina ukupne mase fluida se moze izraziti:

[4]

1.1.4. Fizicke osobine fluida

1.1.4.1 Masa, gustina i spreciftcnu tezina

Ukupna masa m fluida sadrzanog u zapremini V jednaka je zbiru masa dm fluidnih djelica dV i neprekidna je funkcija zapremine:

m= fdm. [5] v

Masa je mjerljiva veliCina: fluidu konacne zapremine odgovara konacna masa m. Zakon o odrZanju mase: Masa fluida zapremine V ne mijenja se tokom vremena ako u uocenoj zapremini nema izvora iIi ponora mase. Masa fluida zapremine V ne zavisi od oblika povrsi koja ogranicava tu zapreminu niti od promjene tog oblika tokom vremena.

Gustina vazduha (specificna masa, zapremniska gustina) p predstavlja odnos mase (m) i zapremine (V):

Psr =; [~~ l [6]

Relativna gustina je medusobni odnos gustine dva razlicita fluida. U praksi se najcesce kao etalon uzirna rnaksirnalna gustina vode (pri 4°q, tako da se relativna gustina izracunava kao kolicnik gustine posmatranog fluida i gustine vode pri 4°C:

8/268

Slika 7: Meausobni odnos toplote dovedene materiji i temperature pri promjenama agregatnog stanja

Pod pojmom ideal an fluid podrazumijevamo zamisljeni fluid kod koga su privlacne medumolekularne sile zanemarive i ciji su molekuli materijalne tacke. Najcesce se kod vecine realnih gasova mogu zanemmiti medumolekularne sile i dimenzije molekula, te uoCiti osobine vrlo bliske osobinama idealnih fluida. Tako se za pomenute gasove mogu prirnjenjivati zakonitosti koje vaZe za idealne gasove.

Sustina toplotne energije je sadrzana u srednjoj mjeri intenziteta kretanja cestica (elektrona), a energetsko toplotno stanje se izrazava velicinama koje su "spoljni izraz", prije svega temperatura, pritisak i specificna zapremina.

Fizicko stanje fluida uslovljeno je u velikoj mjeri temperaturom. Pod uticajem temperaturnih promjena fluid mijenja svoju zapreminu i gustinu. Nestisljivi fluid ponasa se pre~ Gay-Lussacovom zakonu:

[11]

gdje su Vo i V zapremine tekucine prije i nakon temperaturnih promjena, to i t temperature prije i poslije promjene i j3 koeficijent zapreminskog sirenja.

Promjena gustine se moze izraziti:

[12]

Vrijednosti koeficijenta zapreminskog sirenja za tekuCine su male, te se u tehnickim proracunirna najcesce smatra da je gustina tekucine konstantna. Zapreminske i promjene gustine gasova ovisno 0 promjeni temperature su znatne. Za gasove vaZi opca jednacina gasnog stanja: p = P RT, odakle se mogu dobiti promjene velicina u funkciji

temperature.

Odnos izmedu energije translatomog kretanja molekula (mv212) osnovu kineticko-molarne teorije, moze se pisati:

mv2

T=C-2 '

gdjeje C - koeficijent proporcionalnosti.

10/268

temperature T, na

[13]

PR= P [-]. P H,o(4" C)

Srednjagustina fluida nije funkcija polozaja, vee je definisana za konacnu zapreminu i moze se interpretirati kao masa jedinicne zapremine fluida. U opeem slucaju gustina irna razliCite vrij ednosti u razliCitim tackama fluida i razlicitim trenucima vremena, te predstavlja polje skalame velicine:

gdje su Xk (k = 1,2,3) koordinate tacaka fluida u odnosu na izabrani referentni

sistem.

Ukupna masa fluida sadrzanog u zapremini V:

m= JpdV . [7) v

U specijalnim slucajevima kada je gustina jednaka u svakoj tacki tokom vremena, govorimo 0 idealiziranom slucaju, odnosno tzv. "nestisljivim fluidima".

Specijicna fezina iii gustina siZe teze y je proizvod gustine i ubrzanja sile teze (g):

Specificna tezina se moze izraziti kao kolicnik tezine i zapremine:

G y=­

V

Specijicna zapremina je velicina stanja koja predstavlja zapreminu jedinice mase:

1.1.4.2 Temperatura

[8)

[9)

[10)

Ako dva tije1a A i B, razlicitili toplotnih stanja, dovedemo u medusobnu vezu, ona ee se mijenjati sve dok se medu njima ne uspostavi toplotna (temperatuma) ravnoteza. Tako dolazimo do pojma temperatura kao referentnog odnosa toplotnog stanja tije1a. Pojam temperature se definise za tijela kod kojih se moze govoriti 0 toplotnom stanju i temperatumoj ravnotezi. Iz toga izvodimo zakljucak da tijela mogu biti medusobno u termickom ravnoteznom iii neravnoteZnom stanju.

Fizicke osobine tijela Cini skup fizikalnih osobina, koje se mogu iIi ne mogu direktno mjeriti, a odreduju flZicko stanje materije. Pod pojmom toplotnih promjena stanja podrazumijevamo one procese pri Kojima se mijenjaju toplotne osobine materije.

9/268

Temperatura se mjeri termometrima, koji mogu biti razlicite konstrukcije (dilatacioni s tekueinama, dilatacioni s bimetalom, termoelektricni itd.).

~ozvoljene jedinice u SI sistemu su °C (Celsius5) i K (Kelvin6), a danas se mogu sresti

1. tempe:atume skale po Reaumuru7, Romeru8

, Fabrenheitu9 ili Rankineu. U tebnickoj hteratun se temperature po Reamum, Romeru i Rankineu nerijetko oznacavaju istim oznakama (R iIi Ra). Num.cf'je imati u vidu 0 kojoj se skali radi, jer je pogresno izjednaCiti Romerovu iii Reamurovu skalu sa Rankineovom koja pocinje od apsolutne nule (nula je jednaka nuli na Kelvinovoj skali), ali je prirast temperature po jednom stepen jednak prirastu po Fahrenheitovoj skali.

Tabela 2: Konverzija iedinica za m;erenie temperature

K °C K=OC+273.15

Rankine K °R=Kx 1.8

K Rankine K = oR 11.8

F K .. T~\I<.~L~!.:::.4.5.~<57.

K F ....](~eF+.4522n!.l.Jl __ .

v

Slika 8:0dreaivanje apso/utne temperatume nule

5 Anders Celsius (1701-1744)

6 William Thomson Kelvin (1824 - 1907)

7 Rene Antoine Ferchault de Reaumur (1683-1757)

8 Ole Christensen Romer (1644 -1710)

9 Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736)

11/268

Na slid (7) je dat primjer Gay-Lussacovog eksperimenta iz 1816. godine. Mijenjamo Ii temperaturu vode u posudi, uz zadrZavanje konstantnog pritiska p, mjerenja pokazuju da se spcificna zapremina gasa mijenja linearno s temperaturom po jednacini:

,11 ,11 =_0-{273,15+t),

273,15

gdje je So - specificna zapremina pri temperaturi t=O°C.

[14]

Unesemo Ii rezultate u dijagram specificna zapremina-temperatura, za proizvoIjnu (bilo koju) vrijednost pritiska dobit cemo po jedan pravac, tako da svaki od pravaca odsijeca na ordinati vrijednost Yo. Zajednicka presjecna tacka svih tako dobivenih pravaca na t­osi je u tacki t=-273.1SoC. Zamijenimo Ii temperaturu u prethodnoj jednacini iz °C u K, slijedi:

S=~T. 273,15

[IS]

Gay-Lussacovim eksperimentom dobivena apsolutna temperatura je najniia temperatura koju tijelo moze imati.

Teoretski najvisa temperatura naziva se Planckovom 10 temperaturom, a bazira se na teoriji kvantne mehanike i danas se smatra najvisom temperaturom koju tijelo moze irnati.

m CZ

Tp =-p -=1,41679xl0 3z [K], k

gdje je: mp - Planckova masa, k= 1.3806S0S X 10 23 [J/K]- Boltzrnanovall konstanta.

Tabela 3: Uticaj temperature na brzinu prostiranja zvuka u vazduhu (C), gustinu (p) i akusticnu impedancu vazduha (Z)

T, °C C, mls p, kglm'

10 325.4 1.341

5 328.5 1.316

0 331.5 1.293

5 334.5 1.269

10 337.5 1.247

15 340.5 1.225

20 343.4 1.204

25 346.3 1.184

30 349.2 1.164

10 Max Karl Ernst Ludwig Planck (18.58-1947)

11 Ludwig Eduard Boltzmann ( 1844-1906)

12/268

Z,Ns/m3

436.5

432.4

428.3

424.5

420.7

417.0

413.5

410.0

406.6

1.1.4.3 Stisljivost

Stisljivost je osobina materije da mijenja svoju gustinu pri promjeni pritiska iJiIi temperature.

Gasovi pokazuju izrazitu stisljivost, a kod tekucina stisljivost je gotovo zanemariva. Zanemarivanjem uticaja sti~jivosti kod tekucine dolazimo do pojma nestiSijiva tekuciIll2, koji treba shvatiti uslovno, odnosno kao stisljivost koja je zanemariva u posmatranim uslovima. Razlike u stisljivosti fluida u velikoj mjeri uticu na njihove osobine - posebno pri strujanju.

Strujanja stisljivih fluida nazivaju se jos i komprimabilnim strujanjima, jer pri ovim strujanjirna dolazi do promjene gustine fluida (kompresije iIi ekspanzije), dok se strujanja nestisljivih fluida nazivaju nekomprimabilna strujanja.

Paly

Plyl I r-r

H

I ! Z Z 9 fZl

a lr-+--+i_";!-++---+-7 ---L

6

SliJw 9: Stisljivost jluida

Stisljivost tekucine pri promjeni pritiska se moze izraziti:

fiV

S=-~=-~~[:l odnosno u diferencijalnom obliku:

[16]

Apsolutna vrijednost odnosa izmedu promjena zapremine i pocetne zapremine jednakje odnosu promjene pritiska i izraza za stisljivost:

fiV fip -- --

V; S [17]

gdje je : fip = pz - PI - promjena (prirastaj) pritiska koji djeluje na tekucina,

,0,. V = V; - Vz - promjena zapremine tekucine. Znak minus (-) pokazuje da smanjenju pritiska odgovara povecanje zapremine i obratno.

13/268

Ako se iz svake taeke teku6ine povuku vertikale (

Slika 9) jednake po duZini s piezometarskom visinorn, krajnje tacke 8vih vertikalnih duZi past ce u istu hotizontalnu ravan odredenu jednacinom:

z=H=z +fr a pg'

1 Reciprocna vrijednost koeficijenta stisljivostije modul elasticnosti: s =- .

S

[18]

Umjesto zapremine V obieno se uvodi gustina fluida p. Masa posmatranog fluida je: m=p V = const, te se diferenciranjem dobije: dm=pdV+ Vdp = 0, odakle slijedi:

s=p dp [~J. dp m 2

[19]

Koeficijenti stisljivosti tekucina su vrio malih vrijednosti i u vecini hidraulickih procesa ne uticu na ishod. Time se racun veoma uproscuje, ali 6e se u nekim slucajevima morati i prirast gustine uzeti u obzir (npr. kod hidraulickog udara).

Pb Gas Celik

Ii

](J8

Modul elasticnosti (Pa=N/m2)

Slika 10: Modul elasticnosti neldh materija

1.1.4.4 Viskoznost ifluidnost

Pri kretanju fluida izmedu pojedinih cestica u pokretu pojavljuje se sUa unutrasnjeg trenja koja prouzrokuje otpor kretanju. Ova pojava se naziva viskoznost.

,,1) b)

Slika 11: Prafil brzine kod idealnog (a) i realnag (b) jluida

Kod cvrstih tijela sila trenja se pojavljuje u vidu "suhog trenja" i prema Kulonovom zakonu zavisi sarno od velicine normalnog pritiska.

14f268

I v s

l~ ,

SPa <lA ~

A' S

i .! !;.A1 ;'

M2 ,/

,f' /

h /!"y ~/'

/

M; .' ",/ ,.J

1 -,,-" A' S .~O<-

Slika 12: Strujanje viskoznogjluida

Siia unutrasnjeg trenja kod tekucine zavisi, medutim, i od brzine pojedinih djeIi6a teku6ine koje se medusobno dodiruju. Kretanje teku6ine moze se zamisliti kao kretanje pojedinih zamisljenih vrio tankih slojeva tekucine, debljine L1y, izmedu dva poprecna presjeka AA-BB, kako je to prikazano na prethodnoj slici. Ako ne bi postojalo unutrasnje trenje, cijela masa tekucine u jednom profilu bi stigia od jednog do drugog profila istovremeno. Brzine kretanja tekucine u svim slojevima bile bi jednake. U realnosti izmedu slojeva se javljaju otpome sile trenja koje sprjecavaju strujanje, te brzine svih sloj eva nisu iste.

Issac Newton je utvrdio slijedecu. zakonomjernost: Sila unutrasnjeg trenja (F) je proporcionalna velicini dodirne povrsine (A) izmedu dva susjedna sloja u dodiru, raste a porastom gradijenta brzine (L1vlL1y) i zavisi od prirode same tekucine:

[20]

Uticaj prirode tecnosti je defmisan "dinamickim koeficijentom trenja" (koji se joil naziva "viskoznost", "koeficijent viskoznosti"):

F L'ly 11=-­

A L'lv [21 ]

Kinematski koeficijent viskoznosti se izraZava kao odnos koeficijenta viskoznosti i gustine tekucine:

v=.l. p

15/268

[22]

Tabela 4: Kinematski /wejicijent viskoznosti vazduha u zavisnosti od temperature i pritiska

Tempe- Vrijednost v·1 O' m'/s pri pritiscima u mbar

ratura °C 933 959 986 1013 1040 1066 1093 1120

-5 13,61 13,23 12,88 12,54 12,21 11,91 11,62 11,35

0 14,10 13,71 13,34 13,00 12,65 12,34 12,04 11,75

5 14,61 14,21 13,82 13,46 13,12 12,79 12,47 12,18

10 15,13 14,71 14,30 13,93 13,57 13,23 12,91 12,60

15 15,65 15,22 14,80 14,41 14,05 13,70 13,36 13,04

20 16,19 15,74 15,32 14,91 14,53 14,17 13,82 13,50

25 16,72 16,26 15,82 15,40 15,04 14,63 14,28 13,94

30 17,28 16,80 16,35 15,90 15,51 15,12 14,75 14,41

35 17,85 17,35 16,89 16,44 16,02 15,62 15,24 14,87

40 18,42 17,91 17,43 16,97 16,53 16,13 15,73 15,35

Tabela 5' Konverzioni faktori za jedinice dinamicke i kinematske viskoznosti

DINAMICKA VISKOZNOST

Naziv jedinlce Simbol SI ekvivalent

cP, cPo lxlO" Pa-s

Centipos

din sekund po cm2 civn-stern2 0.1 Pa-s

gram po em sekundi g/cm-s 0.1 Pa-s

Kilogram PO metru-sekundi kg/m-s 1 Pa-s

Niutn se\,und po m' N_s/m2 1 Pa-s

1 Pa-s . Pascal sekund Pa-s

Pousel I Pa-s

KINEMATSKA VISKOZNOST

Nazi" jedinice Simbol SI ekvivalent IxlO" m Is

Centistok I cSt IxlO" m'/s

em2 PO sekundi cm2/s

1 ft'm 2.58064xlO· m2Js

kvadratni fit na sal

ft'!s 9.2903xlO·' m-/s

kvadratni fit na t>ekund

in2/h 1.79211xlO·' m is

kvadratni IDc na sat 6,4516xlO-4 m'/s

kvadratni me na sekund fi2/s 2.77778xlO-4 m'ls

k:vadratni metar na sat m'm lxlO-4 m'ls

Stoks (Stokes) i St

16/268

Tabela 6: Dinamicka vis/wznost gasova i tekuCina

Materija Dinamicki viskozitet, Nslm'

Vodonik (O°C,IOI kPa) 0,000008345

Metan (O°C,IOI kPa) 0,0000 I 0260

UgljendiOKsid (O°C,101 kPa) 0,000013900

Azot (O°C,IOl kPa) 0,000016600

Vazduh (O°C,IOI kPa) 0,000017080

Helij (O°C,101 kPa) 0,000018600

Kiseonik (O°C,IOI kPa) 0,000019190

Benzen (O°C) 0,000912100

Ugljotetrahlorid (O°C) 0,001346000

Ziva (O°C) 0,001685000

Voda (O°C) 0,001753000

Kerozin (O°C) 0,002959000

Ulje - lako masinsko (O°C) 0,353400000

Glicerin (O°C) 12,070000000

Osim od VTste tekucme, uticaj na viskoznost pokazuju i temperatura i pritisak. Porastom temperature smanjuju se koeficijent viskoznosti i kinematicki koeficijent viskoznosti.

Fizicka velicina obmuto proporcionalna viskoznosti naziva se fluidnost:

[23]

Napon smicanja usljed djelovanja sile trenja (viskoziteta):

(j,=:=~~; [::l [24]

/

Svi gasovi i vecma tekucina koje imaju jednostavniji molekularni sastav (npL voda, benzen, etil alkohol i vecma rastvora) su "njutnovski fluidt'o Generalno "nenjutnovski fluidt' su kompleksne miksture: sluri rastvori (kasasti), paste, gelovi, solucije polimera i slicno.

17/268

N

~ Z P

§ c.. ro Z

Gradijent baine, dv/dy

Slika 13: Viskozne karakteristike jluida

Plasticni fluidi (Bingamov plasticitet) su otporni na mala naprezanja, ali vrio lako se pocinju kretati pod dejstvom nesto jaceg naprezanja Cnpr. pasta za zube, zelatinozne materije, sluri rastvori).

Pseudo-plasticni fluidi obuhvataju vecinu"nenjutnovskih" fluida. Viskozitet opada s porastom gradijenta brzine (polirnerski rastvori, krv itd). Pri niZirn brzinskim gradijentima (dv/dy) pseudo--plasticni fluidi imaju veci viskozitet od njutnovskih, dok pri visirn vrijednostima gradijenta brzine viskozitet opada i biva manji nego kod njutnovskih fluida.

Dilatantni fluidi su oni kod kojih viskozitet raste s porastom brzinskog gradijenta. Ovo su neobicne manifestacije, ali su karakteristicne za kompozite skroba i pijeska.

Tiksotropski fluidi su oni kod· kojih dinamicki viskozitet opada tokom vremena strujanja, odnosno tokom vremena izlozenosti smicanju izmedu posmatranih slojeva fluida (tiksotropski gel, odnosno masne boje).

Reopektski fluidi karakterisu se rastom dinamitkog viskoziteta tokom vremena struj anj a, odnosno izlozenosti smicanju izmedu susjednih slojeva fluida Cnpr. rastvor gipsa u vodi).

Visko-elasticni fluidi su oni kod kojih nakon prestanka djelovanja smicuce sile imaju sposobnost vracanja, odnosno pokazuju u odredenom stepenu elasticne osobine (npL bjelance iz jajeta).

Ovisno 0 primjenama viskoziteta tokom vrmena izlozenosti naponu smicanja izmedu slojeva, mozemo imati vremenski nezavisno i zavisno ponaSanje fluida. Kod vremenski nezavisnog ponasanja fluida prakticno nema uticaja na viskozitet vrijeme izlozenosti naponima smicanja izmjedu slojeva, dok se vremenski zavisno ponasanje fluida karakterise promjenama viskoziteta tokom vremena izlozenosti meduslojnim naponima smicanja.

18/268

, T];COllSt: T]*"onst

, -··l,e.L._

: - .. ___ "-....~~ ______ (a)

I '" .--..", f': "-" / _ I 1 ~

: \ ; /."~~

I ------(b) ---)~-t---"

Vrijeme

Stika 14: Promjena viskoziteta tokomjluida vremena (a -reopetskijluidi, npr. ielatinozne mase; b - tihotropskijluidi, npr. rastvor gipsa u

vodi)

SHnjavanje je pojava zgusnjavanja tecnosti, odnosno povecanja gustine pri nizim temperaturama. Stinjavanjem materija moze djelimicno iii u cjelosti izgubiti osobine fluida, odnosno postepeno ocvrscava. Temperatura na kojoj dolazi do gubitka osobine tecnosti naziva se tacka stinjavanja. Stinjavanje je karakteristicna pojava za sirovu naftu i naftne destilate. Ovisno 0 hemijskom sastavu sirove nafte, tempertura stinjavanja se krece izmedu -20

oe do 32°e. Naftenske nafte se ne stinjavaju, ali prelaze u poIucvrsto

stanje. U procesu stinjavanja ne dolazi do hemijskih promjena nafte, tako da se povecanjem temperature vraca 1:1 prvobinto stanje. Prije stinjavanja dolazi do zamuCivanja nafte usljed pocetnog izdvajanja parafma.

1.1.5. Hookeov zakon

Hookeov12

zakon u mehanici cvrstih tijela opisuje deformacije na cvrstom tijelu koje nastaju usljed djelovanja spoljnje sile iii napona, uz pretpostavku da je intenzitet deformacija u linearnoj zavisnosti od sile (napona) koji djeluje na materiju, zbog cega se one materije koje zadovoljavaju ovaj uslov nazivaju ,,Hookeove materije". Za cvrsta tijela zakon glasi:

F=-kx.

(x - deformacija elasticnog tijela, k - konstanta elasticnog tijela (opruge),

F - sUa koja fzaziva deformaciju)

Primijenjen na fluide, Hookeov zakon izraZava prostomu zavisnost promjene zapremine od promjene hidrostatickog pritiska koji vlada u fluidu:

dV d'P =-£ -

v v V

12 Robert Hooke (1635 -1703)

[25]

19/268

1.2. Kapilarnost i povrsinski napon Kapilarne sile su sile koje se javljaju usljed medumolekularne interakcije izmedu tecnih, cvrstih i gasovitih materija. Djeluju na granici izmedu dvije faze, odnosno agregatna stanja.

Kapilamost je pojava podizanja iIi spustanja tekucine u tankim cijevima (kapilarama), i defonnacija povrsine fluida na mjestu kontakta sa zidovima posude. Medumolekularne sHe unutar materije nazivaju se koehezionim, a sile koje se javljaju izmedu razliCitih faza materije adhezionim. Kohezione sile nastoje drZati materiju na okupu i zauzeti 5to manju zapreminu, dok adhezione sile nastoje privuCi molekule razliCite faze.

b)

Slika 15: Meniskus forma povrsine tecnosti u posudi

Na prethodnoj slici su prikazane dvije razlicite tekucine sa znacajno razliCitim kohezionim osobinama. Tecnost a) ima snaZnije koehizione sile izmedu svojih molekula od adhezionih sila koje djeluju izmedu povrsine tecnoti i posude, dok je u slucaju b) obmuto. .

Meniskusom se naziva kriva linija povrsine fluida koja nastaje kao posljedica medusobnog uticaja fluida i posude na slobodnom kontaktu, a moze biti konveksnog i konkavnog oblika. Oblik krive ce ovisiti 0 tome kvasi li tecnost posudu iii ne.

Hidrofilnim se nazivaju tecnosti koje kvase zid posude, odnosno kod kojih su kohezione sHe unutar tecnosti slabije od privlacecih sila imeau tecnosti i zidova posude.

Hidrofobnim se nazivaju tecnosti koje ne kvase zid posude, odnosno kod kojih su kohezione sile unutar tecnostijace od privlacecih sila izmeau tecnosti i zidova posude.

Tekucine se podiZu u kapilarima, odnosno kvase zid posude, ako je adhezija veca od kohezije. U suprotnom fluid ne kvasi zid posude i ne podite se u kapilari.

r-4JPl: -- ;

;

. I: I , ,h

I . . '''(: . ·1 I ; . I

Slika 16: Kapilarni kontaktni ugao kapljice na evrstoj povrSini i uticaj kontaktnog ugla na podizanje teenosti u kapilarnoj cijevi

20/268

Ovako formirana povrsina se moze tretirati kao razvucena membrana, koja je uvijek izlozena istezanju i pruzat ce otpor pokusaju deformacije spoljnjim silama. Razvucena membrana formira na povrsini tecnosti povrsinski napon, koji se identifikuje i mjeri primjenom tanke cjevcice (kapilare) i mjerenjem razlike u nivou povrsine tecnosti u posudi i kapilari.

Molekule unutar tekucine slf izlozene dejstvu privlacecih (kohezionih) sila u svirn smjerovima, tako da je zbirni vektor ovih sila jednak nuli. Molekule na slobodnoj povrsini su izlozene same unutrasnjim kohezionim silama koje djeluju ispod povrsine (iz teku6ine). To znaci da je potrebna energija da bi se molekula dovela na povrsinu, a da povrsinske molekule sadrze vise energije nego unutrasnje.

VAZDUH

V Slobodna povrsina

TECNOST

Slika 17: Povrsinski napon

Povrsinski nap on teku6ine je rad koji je potreban da se dovede dovoljno molekula iz unutrasnjosti fluida. Povrsinska energija je proporcionaIna broju molekula u povrsinskom sloju, odnosno njegovoj povrsini:

EA =G A A [J]. [26]

cr A - povrsinski nap on

Povrsinski napon (cr, J/m2) je efekt ponasanja povrsinskog sloja tecnosti kao elasticne

povrsine. Kako se slobodna povrsina tecnosti ponasa kao zategnuta membrana, povrsinski napon je sila po jedinici duzine na zamisljenom presjeku po povrsini tecnosti. Moze se defmisati i kao Tad koji je potreban da se dovoljno molekula iz unutrasnjosti tekuCine pomjere na povrsinu, odnosno da se fonnira nova jedinicna povrsina (Jfni', iIi N/m).

Razlog postojanja povrsinskog napona je razlika u intenzitetu medumolekularnih sila unutar tecnosti (kohezija) i molekula tecnosti u povrsinskom sloju i molekula spoljnjeg fluida (gasa iIi neke druge tecnosti) iIi molekula tecnosti i molekula posude u kojoj se tecnost na]azi (adhezija). Zbog neravnoteze sila· povrsinski napon nastoji smanjiti slobodnu povrsinu tecnosti. Zbog ove pojave kapljice tecnosti i mjehuri sapunice imaju kru.zni 0 blik.

21/268

Slika 18: Kruini oblik koji formira teenost u besteiinskom stanju

Djelovanje povrsinskog napona je takvo da povrsinu mozemo smatrati kao rastegnutu elasticnu membranu. Zbog toga kapljice tekucine nastoje formirati okrugJi oblik, kako bi smanji1e povrsinu. Na maloj kapijici tekucine povrsinski napon ce dovesti do povecanja unutrasnjeg precnika p kako bi se odrZala ravnoteza na povrsini.

Slika 19: Visina podizanja teenosti

Visina podizanja stuba teenosti usljed povrsinskog napona ovisi 0 povrsinskom naponu, gnstini fluida i gravitacionom ubrzanju, a moze se odrediti na osnovu izraza:

h=2~ ;p . [27]

Slika 20: Membranski efekt slobodne povrsine

Ovaj efekt omogucava nekim insektima da se krecu po povrsini vode, izaziva akvaplaning u saobracaju, plivanje po povrsini pareica evrste materije, izaziva kapilamu aktivnost, uzrok je nastanka mjehurica teenosti koji su u stanju lebdjeti u vazduhu i slieno.

Intenzitet povrsinskog napona zavisi od vrste tecnosti, temperature (kineticke energije molekula) ali i od vrste spoljnog fluida. Povrsinski napon opada porastom temperature, jer sile kohezije opadaju s povecanjem srednje kineticke energije molekula.

22/268

Slika 21: Djelovanje pritiska i povrsimkog napona unutar mjehurica sapunice

Uocimo da postoji razlika pritika t:.p za koju je pritisak u unutrasnjosti tekucine veci od pritiska okoline, kako bi se odrZala ravnoteza na hemisfericnom obliku kapljice. Unutrasnji pritisak p pokusava da rastvori dvije hemisfere, dok povrsinski napon cr nastoji da ih odrZi zajedno.

Iz uslova ravnoteze mozemo pisati: ? n t:.p = 2r ncr, odakle slijedi:

t:.p = 2 crlr.

Isti uslov ravnoteZe moze se pisati za strujni tok (cilindricni mlaz tekucine):

2r !:"p = 2cr , odnosno t:.p = cril" .

Na isti nacin moze se analizirati i balon od sapunice. Uslov ravnoteZe za balon tekucine ce glasiti:

?n t:.p = 2 x (2 r ncr), odnosno t:.p = 4crlr.

Povrsinski napon se javlja u situacijama kada se izmedu raz!icitih faza nalaze siobodno form~~e ?ovrsm:. (tekucme/gasovi iIi tekucme/cvrste materije), iIi na kontaktnoj povrsml dVIJe tekucme koje se ne

--";;"''';;;''---..

Stika 22: Kapilarni kontaktni ugao a i visina dizanja h

23/268

Kapilami pritisak iskazan kao hidrostatski pritisak stuba teenosti:

Oznacimo Ii pritisak na dnu kapilarne cjevCice kao Pw> a atmosferski pritisak sa pa, kapilami pritisak se moze izraziti kao razlika ova dva pritiska, jer dje!uju u suprotnom smjeru:

Pk=Pa-Pw'

Odnos kohezije i adhezije se moze posmatrati i preko kontaktnog ugia a. Za slucaj kada je ugao a«n/2) memo da fluid kvasi zid posude i obrnuto. Savrseno kvasenje se postiZe kadaje ugao a=O, a bez kvasenjaje slucaj kadaje u=n.

Gravitacioni ekvivalent kapilarne sile se moze izracunati:

Visinu kvasenja zida posude, odnosno kapilare, mozemo izracunati:

h=4a cosu . pgd

[28]

[29]

Kapilarnost se mora posebno uzeti u obzir pri mjerenju u cijevirna precnika ispod 10 rnm, kada je moguc znacajan uticaj na pokazivanje nivoa fluida, odnosno uticaja kapilarnosti na mj erene vri j ednosti.

Relativni efekt viskoznih sila nasuprot povrsinskog napona koji djeluje na prelazu izrnedu tecnosti i gasova iii izrnedu dvije tecnosti koje se ne mijesaju, moze se predstaviti bezdimenzionalnom velicinom koja se naziva kapilarni broj:

Ca=~. a

[30]

(v - kinematski viskazitet jluida; u - karakteristicna brzina; a - povrsinski napon izmeau teenosti i. gasova iii inteifacijalni napon izmeau dvije teenosti kaje se ne mijciaju)

Pri malim vrijednostima kapilarnih brojeva (ispod 10-) strujanje u poroznirn medijima odvija se vecinom pod uticajem kapilarnih sila.

Bondov broj je bezdimenzionalna velicina koja izraZava odnos izmedu sila gravitacije (masenih sila) i sila povrsinskog napona:

paL2 Bo=-­

a [31]

Bondov broj je mjera uticaja povrsinskog napona u odnosu na gravitaciju iIi druge masene sileo Visok Bondov broj indicira da je sistem pod relativno malirn uticajem povrsinskog napona. Manji Bondovi brojevi ukazuju na dominantan uticaj povrsinskog napona. Srednji brojevi ukazuju na balans izrnedu ova dva uticaja.

24/268

Kapilarni pritisak je razlika izmedu pritiska na prelazu izmedu dva fluida koji se ne mijesaju. Razlika pritiska je proporcionalna povrsinskom napunu i obrnuto proporcionalna efektivnom precniku povrsine. Ovisi, takoder, 0 uglu kvaSenja tecnosti na zidove kapilara.

Young-Laplaceova13

jednacina opisuje stanje ravnoteze pritiska na kontalctnoj pOvrSini dva staticna fluida: I'

b.p=a A [_1 +_1 )=2Y H. Rx Ry

[32]

(/',p - pritisak, ITA - povrsinski napon, Rx, Ry - Projekcija precnika zakrivljene linije paralelne povrSini na ose koordinatnog sistema)

Ako je razlika pritiska jednaka nuli, kao npr. u slucaju balona sapunice zanemarimo Ii gravitaciju, fluid ce zauzeti oblik sa minimalnom povrsinom. Za sfericni meniskus sa precnikom R, prethodna jednacina se pojednostavljuje na oblik:

2 I1p=y-.

R

Uzme Ii se u obzir djelovanje gravitacije na fluid, u jednacinu ravnoteze pritiska nliZno je ukljuciti i hidrostatski pritisak:

b.p=pgZ_y[_l +_1 )=2YK.

Rx Ry

(K - srednja zakrivljenost povrsine)

Kapilarni pritisak iznosi:

(He - vis ina kapilarnog dizanja teenosti)

[33]

[34]

13 Thomas Young (1804 Essay on the Cohesion of Fluids; Pierre Simon Laplace: Mecanique Celeste [4]

25/268

Slika 23: Kretanje insekta po vodenoj povrsini

Mali objekti, kao 5tO su parcici papira, iglice iii neki insekti mogu ploviti po povr5ini vode pod uticajem povrsinskog napona. Ako je tijelo mase m u kontaktu s vo~er:om povrsinom na duzini L, uslov da ne potone, odnosno da ostane na POvrSllll pod uncaJem povrsinskog napona moze se izraziti nejednacinom:

[35]

4.5

Stika 24: Visina kapilarnog dizanja vade i five (Dusan Prodanovic, GF Beograd)

Kretanje fluida u dubokim geoloskim strukturama (npr. nafta i prirodni gas) uglavnom se odvija pod uticajem kapilarnih pritisaka. Osnovna pretpostavka za migraciju fluida je da kapilarni pritisak bude dovoljno visok da savlada otpore strujanju kroz konduktor stijenu.

26/268

1.3. Sifon

Pod pojmom "sifon" podrazumijevamo pojavu isticanja tekucine iz posude na nacin da savladuje odredenu visinu i curl u niZe postavljenu posudu sarno pod dejstvom gravitacije. Uzrok ovakvom curenju je uticaj pritiska koji vlada u viSelezecern rezervoaru i gravitaciona sila ~oja djeiuje na tekucinu.

Na povrsini vode vlada atmosferski pritisak. Kada se cijev sifona u potpunosti ispuni tekucinom gravitacija vuce tekucina u cijevi, !ito dovodi do razrjedenja tekucine i srnanjenja pritiska u sifonskoj cijeevi. Veci pritisak, koji vlada u gomjoj posudi, dovodi do tecenja, tako da tekucina "prelazi svoj vlastiti mvo". Pritisak koji vlada u presjeku A-A usljed teiine stuba tekucine sa desne strane sifona:

Bemoullijeva jednacina (poglavlje 3.7. )za tok kroz sifon se moze pisati:

v2 p -+ hxg+-=const 2 p

Slika 25: Sifon

Pretpostavimo da se mvo tecnosri u gomjem rezervoaru ne mijenja iii da je promjena mvoa zanemariva. Ovakav slucaj irnamo ako se u gornjem nivou dotokom odrZava automatski nivo tecnosti iii kada je, zbog velike zapremine rezervoara i povrsine, ova brzina zanemariva. Na povrsini gomjeg rezervoara vlada annosferski pritisak Pat. Brzina

27/268

strujanja na pOvrSini je v=O a visrna stuba tecnosti h=O, te mozemo pisati energetske jednacine na osnovu Bernoullijeve jednacine kako slijedi:

Na povrsini gornjeg rezervoara: Pat =const [36] p

v2 P [37] U poprecnom presjeku A-A:

--A.. + h g + -4.. = const 2 g P

v 2 P [38] U popreenom presjeku B-B:

-1L+h g+-P-=const 2 b P

v2 P

U poprecnorn presjeku C-C: ~+h g+-E!...=const [39] 2 x P

Izjednacavanjem prve i posljednje jednacine slijedi:

v2 P

~+h g+~=const 2 x P ,

odakle je brzina u presjeku C-C:

[40]

Kao sto se vidi iz prethodnog izraza, brzina strujanja tecnosti iz sifona ne ovisi 0 visini hb• Povecavanjem visine hx doCi ce i do povecanja brzine isticanja sifonom, ali je maksirnalno moguca brzina sifona ogramcena kavitacijom, koja moze nastupiti ako pritisak u tecnosti opadne do pritiska kljucanja na datoj temperaturi, usljed cega ce doCi do pojave kavitacije i prekida strujanja.

Maksirnalnu teoretsku visinu podizanja sifonom dobit cemo ako pritisak u presjeku B-B izjeci"acimo s nulom, odakle slijedi:

P v2

-E!..=--1L +gh P 2 b'

odnosno

2

h _Pat_~ b- . pg 2g

1z prethodne jednacine vidimo da maksimalna visina ovisi 0 brzini u najviSoj tacki sifona. Maksirnalna vis ina dobije se kada se brzina u presjeku B-B izjednaGi s nulom, ali to prakticno znaGi da prestaje strujanje.

Teoretska maksimalna vis ina sifona j e:

28/268

h Pat b(max) =--

pg [41]

Ovo je visrna do koje ce sifon funkcionisati. Uvrstimo Ii gustinu vode pri norrnalnim uslovima dobit cerna maksimalnu visinu sifona oko 10 m

!'

1.4. Prostiranje toplote

Prostiranje toplote u prostoru odvija se na tri naerna: kondukcijom (provodenjern), konvencijorn (strujanjem), radijacijom (zracenjem). Prostiranje toplote kroz cvrstu materiju odvija se kondukcijom, dok fiuidi prenose toplotu konvekcijom koja moze biti prirodna i prinudna, ovisno 0 uzroku strujanja. Ako se fiuidi krecu prinudno pod utiecajem ventilatora, kompresora iIi drugog mehauickog faktora, takav prenos toplote naziva se advekcija.

Toplotni transfer bez promjene pritiska i temperature izmedu materije i okoline odvija se u procesu kondenzacije i evaporacije. Pri kondenzaciji gasna faza rnaterije predaje odredenu kolicinu toplote okolini na osnovu koje se vrsi fazna promjena, a pri evaporaciji materija ce iz okoline primati toplotu tako da se temperatura tekucine nece mijenjati od kljucanja do potpune evaporacije. Ova toplota se naziva latentna (skrivena) toplota.

Linije iIi povrsine unutar prostora iIi povrsine u kojirna je temperatura jednaka nazivamo izoterrnama. U slucaju povrsine izoterrna ce biti linija, au trodimenzionalnom prostoru govorimo 0 izotermnim povrsinama. Izotemme povrsine se ne mogu sjeCi, jer u jednoj tacki moze biti sarno jedna temperatura. Najveca promjena temperature je u pravcu okomitom na izoterrne.

Temperaturni gradijent:

VT-l' f:..T dT -"lmb1~O f:..l dl [42]

(dl- duiina, m)

Toplotni fiuks (protok) - kolicrna toplote koja prolazi ujedinici vremena:

<p=Q [WJ. [43] 't

1.4.1. Kondukdja (provodenje)

Konduktivni prenos toplote odvija se predajom toplote s toplijeg tijela na hladnije direktnim kontaktom. Sve materije, bez obzira na agregatno stanje, irnaju osobinu da prenose toplotu iz pravca viseg ka nizem temperaturuom nivou. Temperatura se moze izraziti u funkciji prostornih koordinata i vremena:

T= f(x,y,z,'t) [44]

29/268

T+d -------

___ T

__ T-Q

Temperaturno polje je skup temperatura u datom momentu vremena u svim tackama posmatranog tijela.

Ako se temperature u temperatu.l1l0m polju ne mijenjaju tokom vremena temperaturno polje je stacionarno, te se prethodni izraz moze reducirati:

T= f(x,y,z) [45]

T+d, T T-dT

Slika 26: Konduktivno provotlenje top late

Mijenjaju li se temperature tijela tokom vremena kaiemo da je temperaturno polje nestacionarno:

T= f(x,y,z,'t)

Temperaturno polje se moze analizirati kao: iinijsko, ravansko i zapreminsko.

Fourierov zakon 0 provodenju (kondukciji toplote):

A A A Q=-A -f,T't=-A -(r. -T. L =1.. _{r._TL

I I t I 2 1 JL I I 1 2 JL [46]

(Q - koliCina provedene topiote, \ - koeficijent toplotne provodljivosti materijala )

Koeficijent toplotne vodljivosti:

30/268

A =_ Q I [~] t 't ACT; -Tz ) mK .

Koeficijent toplotne provodljivosti zavisi od vrste rnaterijala i od temperature:

\ =\0 [l+b(J; -Tz )]. Ii'

Slika 27: Konduktivno provoaenje topiote kroz viseslojni zid

Specificni toplotni protokje toplotni protok (fluks) po jedinici povrsme:

<l> = <I> =k=~(r. - r. ) A A't I 1 2 ,

u diferencijalnom obliku:

Temperatura se moze iz prethodnog izraza pisati u diferencijalnom obliku kao:

Integriranjem slijedi:

31/268

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

odakle se rnoze uociti da se temperatura kroz raYne zidove mijenja lineamo.

Pri strujanju kroz raYne zidove toplotni protok kroz svaki od materijala je isti:

~=1;-T2=T2-T3=T3-T4 ,

iL lL ~

odnosno

T -T =A-.~ 3 4 't' A

t3

Sabiranjern ove 3 jednacine dobit cerno:

odnosno u opcem slucaju sa (<ID) zidova:

~ = 1; -Tn+1

tiL i~1 Ali

Temperatura se na drugom zidu moze odrediti:

Na slijedecem zidu temperatura ce biti:

U opcem slucaju:

32/268

[53]

~ (n-I l. ) Tn = l l -<I>lL:-' .

i~l Ali (54]

Prava linija temperature (crvena) ce irnati tang ens nagiba ugla prerr..a horizontali:

1; -Tn+1 !'

tga n

(55]

L.,!; i=l

Tangens prethodnog ugla je jednak temperaturnom gradijentu.

Tabela 7: Termalni konduktivitet nekih materija

Materija Termaln; konduktivitet,

W/m"C

Al11minijurn, Al 220

Zeljezo (celik), Fe 15-55

Titan, Ti 22

Voda,H,O 0,64

Vodonik, H, 0,17

Suhi vazduh 0,03

1.4.2. Konvekdja (strujanje)

Konvektivno prostiranje toplote odvija se kretanjem materije, odnosno strujanjelIL Razmjena toplote do koje dolazi pri kretanju fluida odvija se kondukcijom i konvekcijom, ali je uglavnom znatno veci udio konvektivnog prenosa toplote u odnosu na konduktivni. Odvija Ii se unutrasnje trenje koje prati svako strujanje fluida bez spoljnjeg mehanickog uticaja strujanje se smatra prirodnim. Strujanja pod spoljnjim uticajem pumpi, ventilatora i drugih slicnih izvora su prinudna konvektivna strujanja.

Konvektivno strujanje ovisi 0 nizu faktara, poput brzine strujanja, viskoziteta fluida, toplotnog fluksa unutar fluida, hrapavosti rubova cjevovoda iii kanala kojim struji fluid i vrste strujallja (turbulencija, jedllo iIi visefazno strujanje).

Konvektivni toplotni fluks:

(P=hAf:,T. [56]

(h - konvektivni koeficijent, W/(m2 °C); A - povrSina, m2)

33/268

toplota

Slika 28: Konvektivno strujanje

Toplotni fluks pri strujanju fluida:

q=qp +qk =-AVT+pvi.

(i - entalpija VT - tern er tHo;-Ot

1,16.:c-01

1.0h-01

6.69<;-0:2

[57]

STika 29: Vektori brzine strujanja.pri prirodonom IWnvektivnom strujanjufluida

Atrnosferske i okeanske cirkulacije toplote odvijaju se konvektivnim strujanjima u armosferi i okeanirna, koja su posljedica razliCitih temperatura i gustina Vazdlli'1a u atrnosferi i vode u okeanirna. Kako je kolicina sunceve toplotne energije koju upijaju atmosfera i okeani ovisna 0 insolaciji i albedu, to se na zernlji stvaraju svojevrsne ternperaturne i klirnatske zone.

34/268

STika 30: Podizanje vazduha u tropskim zonama

U tropskim se zonama na zemlji topao vazduh se podize i padaju obilne kise, dok se u suptropskim zonarna (pustinje) vazduh spusta i hladi.

Slika 31: Temperatura okeana

Atrnosferskim i okeanskim konvektivnim toplotnim transferom fluidi na i oko zernlje nastoje uravnoteZiti nejednako djelovanje sunca na povrsinu zemlje, usijed cega mogu nastati vrlo snaine i razarajuce rnanifestacije pracene razomim vjetrovima iIi morskim strujarna.

35/268

Tabela 8: Koeficijent lwnvektivnog toplotnog transfera gasova i tecnosti

Uslovi strujanja Koefidjent konvektlvnog

to£lotnol! transfer", W/fmloC)

Priodna Gasovi 5 do 30

konvekcija Teenosti 100 do 900

Prinudna Gasovi 10 do 300

konvekcija Teenosti 300 do 11.000

Teeni metali 6.000 do 110.000

Promjena Kljucanje teenosti 3.000 do 60.000

Faze Kondenzacijap-"re 6.000 do 110.000

Konvektivna prostiranja toplote dijele se na advekciju i difuziju.

1.4.2.1 Advekcija: aktivni oblik transporta

U opcem slucaju kretanja unutar tecnosti i gasova nazivaju se advekcijom. Zarnislimo zaprerninu koju zauzima fluid kao vektorski prostor, a materiju koja se transportuje kretanjem kao skalamu vrijednost koncentracije materije iIi fizieke velieine unutar posmatranog prostora. Osim adekvatnili strujanja cestica fluida, ovakvim nacinom kretanja prostire se i topiota unutar zaprernine koju zauzima teenost ili gas. U meteorologiji i okeanografiji, tipicna advektivna strujanja su ona koja dovode do transporta toplote, v1ainosti iIi saliniteta. Unutar atrnosfere i okeana advekcija uglavnom prati izobame povrsine, te je dominantna u horizontalnim ravninama u odnosu na povrsinu zemlje.

Jednaeina kojom se opisuje advekcija je parcijalna diferencijalna jednacina koja uzima u obzir kretanje skalarnih vrijednosti (koncentracije iIi intenziteti velicina) i advektivno se transportuje odredenim brzinama, uz primjenu zakona 0 odrianju na skalarnu velicinu i analizu vrlo malog dijela prostora.

Advekcija:

888 v·V'=v -+v -+v -.

x 8x Z 8y Z 8z [58]

Iednacina advekcije ska1arne velieine C (npr. koncentracija soli iii temperatura) moze se predstaviti jednaeinom:

8C -+V·(Cu)=O. 8t

(V' - operator divergencije (gradijenta); u - vektorski prostor)

[59]

Obieno se uvodi pretpostavka da je polje brzine soleniodno, odnosno da se radi 0

vektorskom polju Cija je divergencija jednaka nuli: V'. u = 0 .

Ovaj uslov je zadovoljen kada vektor u ima odredeni vektorski potencijal, tako da se moze pisati: U = V x A ,

36/268

odakleje V"u = V'. (V'x A)=O.

Obmuto se moze zakljuCiti da solenoidno vektorsko polje ima vektorski potencijal A, takav daje: u=V'xA.

Ovim se jednaeina advekcijsk~, skalame veIiCine reducira:

oc -+u·V'C=O Or

[60]

Jednaeina advekcije je slozena da bi se rjesavala numerieki - radi se 0 sistemu hiperbolnih parcijalnih diferencijalnih jednaCina.

1.4.2.2 Difuzija: pasivni oblik transporta

Difuziju treba razIikovati od advekcije. Difuzija je spontani proces nastojanja materije (eestica iIi molekula), toplote, momenta koliCine kretanja iIi svjetla da rninirnizira gradijent koncentracije. Naziva se jos i pasivni oblik transporta. Difuzija se prati i opisuje gradijentom koncentracije.

1. Atomska difuzija je proces u kome atorni fluida prolaze kroz evrstu materiju. Npr. atorni heIija unutar balona mogu se atomskom difuzijom transportovati se izvan balona, zbog eega postepeno dolazi do smanjenja balona. Helij ce biti brze transportovan atomskom difuzijom nego npr. kiseonik iIi azot zbog veceg gradijenta koncentracije. Atmosferski vazduh ima vrlo malo helija, ali ima visoke koncentracije kiseonika ili azota, zbog eega je gradijent koncetracije manji u odnosu na helij.

2. Brownovo14

kretanje opisuje slucajno kretanje evrstih cestica u rastvoru. Ne uzima u obzir medusobnu interakciju eestica.

3. Kolektivna difuzija je difuzija velikog broja eestica, obieno u rastvorima. Za razliku od Brownovog kretanja, uzima u obzir i medusobne uticaje rastvorenih cestica.

4. Efuzija je kretanje gasa kroz vrlo male otvore bez kolizije. Ovo kretanje je moguce ako je precnik otvora znacajno manji od slobodne putanje molekula. Efuzija je ovisna 0 molekulamoj masi: gasovi manje molekulame mase ce imati intenzivniju efuziju.

5. Elektronska difuzija dovodi do elektricne struje usljed razliCitih elektricnih potencijala na krajevima elektricnog vodica.

6. Termalna difuzija je kretanje toplote od toplijeg ka hladnijem tijelu iIi iz podrucja vise u podrueje nize temperature. Desava se kao konduktivni, konvektivni, radijacijski i toplotni fluks promjene faze (agregatnog stanja).

7. Knudsenova15

difuzija desava se kada je difuzija vise ogranieena zidovima prostora kojim je ogranicen fluid nego uticajem rastvaraca iIi cestica unutar rastvora. Putanja molekula je vise pod uticajem granica posude nego molekula unutar rastvora.

8. Difuzija momenta kolicine kretanja je sirenje momenta kolicine kretanja izmedu atoma ili molekula - obieno u tecnostima. Npr., pri linearnom strujanju moment !coliCine kretanja se prenosi izmedu slojeva usljed vis!coziteta.

14 Robert Brown (1773-1858)

15 Martin Knudsen (1871-1949)

37/269

9. Osmoza je kretanje materije kroz polupropusnu membranu iz podrucja vise u podrucje niZe koncentracije. Ako se kao membrana koristi rnaterija koja propusta rastvorenu materiju, a ne rastvarac moguce je razdvajati ovakvim membranama rastvorenu materiju tako da ona prolazi kroz membranu.

10. Fotodifuzija je kretanje fotona kroz materiju sa vecom optickom dubinom. 11. Reverzna difuzija je kretanje cestica (atoma iIi moIekuIa) suprotno gradijentu

koncentracije, odnosno suprotno drugim oblicima difuzije. 12. Samodifuzija je kretanje cestica kada je gradijent potencijala jednak nuli.

Difuziono strujanje se matematski opisuje parcijainom diferencijalnomjednaCinom koja uzima u obzir promjene gustoce unutar materije, odt,osno strujanja kao posljedicu razliCite koncentracije materije:

5<D =V.(D(<D,r)V(r,t)). 5t

[61]

($- gustina materije; t - vrijeme; D - dijuzioni koeficijent m2/s; r - vektor poloiaja)

Difuzioni koeficijent se moze, na osnovu Fickovog l6 zakona , izraziti:

5<D fJ=-J-.

Ox

(J - difuzioni fluks [mol/(m2 S)})

[62]

Za pozitivne jone vrijednosti srednjeg slobodnog puta }c i difuzionih koeficijenata D, za razlicite molekule pri normalnim uslovima su:

Materija Dijuzioni koeficjent D, cmc/s

Vodonik, H2 0.34 Helij,He 0.26 Argon, Ar I 0.04 Kiseonik, 0, 0,06 Voda, H?O 0,02

1.4.3. Rodijacija (zra:::: enje)

Dokje za konduktivni i komektivni prijenos toplote potrebna materija, energija se moze radijacijom prenositi kroz prazan prostor, odnosno prostor koji nije ispunjen materijom. Toplota se prostire zracenjem elektromagnetnih talasa talasne dliZine ispod 0,8 Inm, Cija energija u dodiru s drugim tijelima prelazi u toplotu.

Stefan17-Boltzmannov zakon: Ukupna energija koja se zraci s jedinicne povrsine croog tijela u jedinici vremena (jos se nazi va i «iradijansa cmog tijela», «gust in a

16 AdolfEugenFick(1829-1901)

17 JozefStefan (1835-1893)

38/269

energetskog jluksa», «radijacioni jluks» iii «emlSlona snaga») direktno je proporcionalna kvadratu temperature eroog tijela 11K].

Stefan-Boltzmannova konstanta:

cr 5,672.10-8 !' [63]

(k = 1.380 6505x]0 23 JIK - Boltzmannova konstanta; h = 6,626069xlrT34 Js _ Planckova konstanta; c = 299.792.458 mls = 1.079.252.848,8 kmlh - brzina svjetlosti u vakuumu)

Za eroo tijelo kao ideaJan radijator toplotna snaga koja se emituje s povrsine radijatora moze se pisati kao:

[W],

odnosno

p cr =--=const

AT4

[64J

[65]

Za radijatore koji zrace rnanje energije od idealnog ernog tijela uvodi se koeficijent radijacione emisije e, te ce Stefan-Boltzmannov zakon glasiti:

P=cr AeT4 [W]. [66]

(Za crno tijelo e=J)

Ako objekat (radijator) zraci toplotnu energiju u okruZenje koje ima niZu temperaturu od samog radijatora, emitovana toplotna energija se moze izracunati:

[67]

(To- temperatura okoline,T - temperatura tijela, ,,- vrijeme Is})

Tijelo koje emituje maksimalnu kolicinu topiote za svoju apsolutnu temperaturu naziva se crno tijelo. Radijaeijski toplotni transfer s croog tijela u okolinu moze se izraziti jednacinom:

(cr- SteJan-Boltzmannova konstanta (cr=5, 672xl 0-8 W/m 21:'))

Ukupna suncana energija dolazi na zemlju zracenjem.

39/268

[68J

Zemlja 4l-

JI

Slika 32: Solama termalna radijacija

Dio solame energije se reflektuje 0 zemljinu atmosferu (rejlektovana energija), dio se apsorbuje u atmosferu (apsorbovana energija) i prenosi atmosferom, dok dio energije prolazi kroz atmosferu i zagrijava povrsinu zemlje (propustena energija).

Er atmosfera

Slilw 33: Termalna radijacijska energija (Et - propustena energija, Er - rejlektovana energija, Ea - apsorbovana energija)

Medusobni odnos reflektovane i ukupne energije zracenja se naziva refleksija tijela (r = E/E,), Odn05 apsorbovane i ukupne energije apsorpcija tijela (a = E,jE,), a odnos izmedu propustene i ukupne energije transmisija (t = EIE,)-

Zbir transmisije, apsorpcije i refleksije je jednak jedinici:

r+a+t=l. [69]

Izraz moei odbijanja svjetlosti od tijela koje sarno ne svijetli se naziva albedo.

Slika 34: Planetarni albedo

40/268

Zakonitosti po kojima se vladaju teeni i gasoviti fluidi u statienom rezimu u polju zemljine teZe reflektuju razlike izmedu ova dva agregatna stanja. Teeno, kao poluuredeno stanje materije, odlikuje se vecom gustinom i manjom stisljivoscu, sto ima za posljedicu izrazit uticaj dn"bine (vertikalne udaljenosti od povrsine) na pritisak koji vlada u teenosti. Gasovi ispunjavaju prostor i odlikuju se matno manjom zavisnoscu pritiska od visinske kote. lmajuci u vidu neuredenost materije u gasovitom agregatno stanju, to se statika gasovite materije mora se uzeti relativno i analizirati imajuCi u vidu pomenuta ogranieenja.

2.1. Hidrostatlka

Hidr05tatika izueava mirovanje teenosti, odnosno medusobne odnose pritiska, sile koju izaziva pritisak na raziieite povrsine i uslova plivanja i tonjenja materije.

2.1.1. Djelovanje silo no fluid

Na fluidnu masu u nekoj zapremini napadaju razne sileo To su prije svega sile koje djeluju i u rnehanici krutih tijela. Sile u fluidima napadaju svaki djelic u posmatranoj zapremini, te se nazivaju zapreminske iIi spoljasnje sileo One se uvijek odnose na jedinicu mase. -

Slika 35: Djelovanje sila na jluid

Oznacirno Ii silu sa F , onda elementama masa dm fluidnog dje1ica trpi ukupnu silu

F dm , a kako je dm = p dV , moze se pisati:

F.dm=pFdV. [70]

Medutim, postoje i druge sileo Podijelimo zapreminu koju ispunjava fluid na 2 dijela: dio (1) i dio (2), kako je prikazano na prethodnoj slici. U opcem slucaju, povrsinske sile R nisu jednake u razliCitim tackama posmatrane povrsine A, pa ni u taekama proizvoljno izabrane male povrsine M. Kada je u pitanju povrsina, racionalno je povrsinske sile iskazivati prema jedinici povrsine koju napadaju:

41/268

odnosno 1. AT un --="C

M->O M

Da bi se dobila elementama sila pritiska dP koja djeluje na p:vrsinski element dA

potrebno je pomnoziti pritisak p okomitim elementom povrsine d A, odnosno:

dip = - pdA.

Znak minus se stavlja zato sto okomiti (upravljeni) element povrsine ima srr~er spoljne normale, a smjer pritiska je uvijek smjer unutrasnje normale na povrsini A.

2.1.2. Pritisak

U stanju mirovanja nema viskoznih sila, te se fluid ponasa kao savrsen. Z'oog toga u fluidu djeluju jedino sile usljed staticnog pritiska, pri cemu je elementarna potIsna slla:

dFp =- pdA

Slika 36: Djelovanje pritiska

Ova sila djeiuje okomito na bilo koju proizvoljno izabranu raVail "potopljenu" u fluidu. Osim toga, sila pritiska djeluje i na zidove prostora u koji je "smjesten fluid", a naziva se hidrostaticki iIi aerostaticki pritisak (za atrnosferu "barometarski"), ovisno 0 kojoj vrsti fluida se radio

Fluid u mirovanju moze biti izlozen sili zemljine teze iii inercionim silarna kada govorimo 0 tzv. "relativnom mirovanju".

Sila izazvana statickim pritiskom ima dvije vafue osobine:

" uvijek djeluje u pravcu normale na povrsinu,

.. ima istu vrijednost bez obzira na to kako je elementarna povrsina dA orijentisana.

42/268

Slika 37: Sila pritiska na zakrivljenoj povrsini

Prva osobina statickog pritiska je ocita, jer ako sila pritiska ne bi djelovaia okomito na tangentu elementame povrsine, ona bi se mogla razloziti na komponentu paralelnu s tangentom (tangencijalnu) i okomitu na tangentu (radijalnu). U slucaju da tangencijalna komponenta nije jednaka nuli, doslo bi do kretanja djelica tekucine.

fo..-

z

dPn

E

: B dPz y ,/@.------------------------------c----»

X"r--,r/

}.:'

Slika 38: Ugao djelovanja hidrostatickog pritiska

Druga osobina nije do te mjere ocita, a predstavlja osnovnu teoremu statike.

Posmatramo Ii elementarnu zapreminu tekucine u obliku tetraedra MBED sa ivicarna dx, dy i dz, koje su paralelne osama usvojenog koordinatnog sistema, elementama masa fluida unutar tetraedra je:

, 1 . d d am=-pdx y Z. 6

ImajuCi u vidu da se tetraedar nalazi u stanju IPirovanja, za njega vate ravnotezni uslovi:

'" F = O' "F = O· '" F = 0 £....-x '~y 'L-sz

Na svaku od ploha tetraedra djeluje fljuid povrsinskim pritisnim silama. Na plohe MED, MBD i MBE (okomite na koordinatne osi) djeluju redom sile:

43/268

1 dPx= Px dAx = Px "2 dydz

1 dPy= Py dAy = P y "2dxdz

1 dPz= P z dAz = P z -dxdy

2

Na kosu plohu BED djeluje sila: dPn = P n dAn'

[71]

gdje su p", Py, pz i Pn hidrostaticki pritisci na ovim povrsinarna. Smatra se da se vrijednost pritiska ne mijenja po plohi jeT su one diferencijalno male.

Na posmatrani tetraedar djeluje i zapreminska sila:

- 1-Fdm=-pFdxdydz,

6

gdje je Ii' rezultujuca zapreminska sila koja dje1uje na jedinicu mase tekucine i Cije su projekcije X, Y, Z.

Zato jednacina ravnoteZe ovih sila, npI. u pravcu ose O-y, glasi:

LFy= P y dAy - Pn dAn COS(Pn'Y)+~ P ydxdydz=O.

Kakoje

slijedi:

1 P -Pn+-pydy=O.

y 3

Ako se pretpostavi da se tetraedar MBED smanjuje i da tezi tacki M, onda ce i masa tekucine u njernu teziti nuli, pa ce se u tom slucaju dobiti da je:

P y - P n = 0 ili P y = P n' RavnoteZile jednacine u pravcu drugih dviju osa

dovele bi do relacija:

Px = Pn

py = Pm ,

na osnovu cega mozerno pisati:

Px=py=pz=Pn=P,

cime je dokazana druga osobina hidrostatickog pritiska.

44/268

2.1.3. Jednocine mirovonjo flulda

Postavimo uslove IavnoteZe elementame zapremine fluida u obliku paralelopipeda, ivica dx, dy i dz, koji je izdvojen iz konaene zapremine u stanju mirovanja . Da bi fluid unutar paralelopipeda bio u stanju mirovanja moraju biti zadovoljeni uslovi ravnoreze svih sila u pravcu koordinatnjP. osa:

LFx=O'LFy =0 i LFz= O. D~ ____________ ~ " I'

dP ~i~Jr / r~-=:::-------------------

Bt/ dx

y

Stika 39: Ravnoteia djelicafluida

ImajuCi u vidu da je paralelopiped vrlo mali mogu se zanemariti jednacine momenata. Na bocnu stranu paralelopipeda BeDE djeluje okolna tekucina elementarnom silorn:

dP = P dx dz, gdje je p - srednji staticki pritisak na lijevoj strani malog paralelopipeda.

Sila pritiska okolne tekucine koja djeluje na bocnu stranu B'C'D'E' paralelopipeda iznosi:

dP'= p'dxdz,

gdje je P' - srednji hidrostaticki pritisak na desnoj strani malog paralelopipeda.

Kako je p=p(x,y,z), to se pri prelasku sa jedne na drugu bocnu stranu pritisak mijenja sarno zbog pornjeranja u pravcu y ose za dy. Zato se moze pisati da je:

p'=P+ 8p dy, ay

te je sila pritiska na ovoj piohi

dP'=(P+: dy JdxdZ.

Na paraJelopiped djeluje i u.kupna zapereminska sila

F dm = p F dx dy dz ,

te jednacina ravnoteze paralelopipeda u pravcu ose y glasi:

45/268

]2Py=dP-dP'+ pY dxdydz=O,

odnosno

op =0 ox

op =0 oy

dp ~ dz=pgz

PdxdZ-(P+: dY)dxdZ+ pYdxdydz=O,

odakle se poslije sredivanja moze doCi do jednacine

y_~8p=0. pay

[n]

Iz uslova ravnoteze u pravcu druge dvije ose dobile bi se analogne jecinacine. Dobiveni sistem se naziva Euler-ove jednacine za fluid u mirovanju:

X-~ 8p =0 p 8x

Y_~ 8p =0 pay

Z-~ 8p =0 paz

[73]

Izvedene tri skalarne diferencijalne jednacine mogu se napisati u obliku jedne vektorske jecinacine:

- 1 F-- V'p=O,

P

sto predstavlja Euler-ovu vektorsku jednacinu za fluid u mirovanju. U njoj je gradijent pritiska odreden kao:

~ op -: op -: op k­VP=-l+-]+-

Ox 8y 8z

Eulerova je<L."1acina se moze pisati i kao:

V'p=p f.

[74]

[75]

46/268

2.1.4. Osnovna jednacina stotike fluida

Eulerove jednacine ravnoteze fluida predstavljaju sistem od 3 parcijalne diferencijalne jednacine. Za prakticnu primjenu pogodno je da se umjesto sistema jednacina koristi sarno jecina ekvivalentna jecinacina koja ne bi sadriavala parcijalne izvade. Zato se prva jecinacina sistema:

x-~ 8p =0 p 8x

Y_~ 8p =0 pay

Z_~8p=O P 8z

mnozi s diferencijalom dx, druga sa dy, treca sa dz, te se medusobno saberu:

XdX+YdY+Zdz-~(8P dx+ 8p dy+ a; dZJ=O, p8x ay oz

gdje izraz u zagradi predstavlja prirastaj pritiska p(x,y,z). Kako je:

8p 8p 8p dp=-dx+-dy+-dz,

8x ay 8z

to se dalje moze uvesti supstitucija i pisati osnovna jednacina statike f1uida:

dp= p(X dx+Y dy+Z dz}

[76]

[77]

[78]

[79]

Kako posmatramo barotropne fluide gustina je funkcija pritiska iIi je konstantna. Spoljnje sile irnaju potencijal na osnovu koga moze se pisati:

X=8U 8x

y=8U ay

Z=8U 8Z'

d· . U dp funk·· ·1 dn Pfdp U U g JeJe =- - CIJaSle,O osno -= - o· P Po p

[80]

Za nekomprimabilne fluide (gustina konstantna) moze se pisati: p-Po = p(U -Uo).

2.1.5. Mirovanje tekucine u polju zemlJine feze

Zemljina teza je ko=ervativna sila pa je gustina iskljucivo funkcija pritiska. Postavimo Ii koordinatni sistem tako da je osa z okomita na zemljinu povrsinu, mozemo zakljuciti da ce pritisak u ravni koju cine ose x iy, za z=const, biti konstantan, odnosno:

47/268

op =0 ox

dp

dz

op =0 oy

op --po- ~ oz - bz

p=const

Slika 40:Izobarske linije u teenosti u polju zemljine teie

U opcem slucaju je razlika pritisaka izmedu dvije tacke fluida na dubinama ZI i Z2

jednaka:

z2 z2

P2 - PI f pgdz= fydz [81 ) zl zl

1-

Stika 41: Vis ina stuba tecnosti u polju zemljine teie

Vidimo da je razlika pritiska upravo jednaka tezini stuba fluida izmedu dvije ravni Cija je osnova jednaka jedinici povrsine. Posmatrajrno sud s tekucinom koji rni."Ilje u polju zemljine tde. U tacki Mo, na visini Zo od proizvoljno izabrane horizontalne ravni 0-0 pritisak je Po. U proizvoljno izabranoj tacki M na visini Z pritisak iznosi p. Na svaku jedinicu mase tekucine u posudi djeluje sarno sila zemljine teze, te je za slucaj da je osa z usmjerena vertikalno navise:

x=o, Y=O, Z=-g.

Ako se ove vrijednosti kao projekcije zapreminske sile po jedinici mase uvrste u osnovnujednacinu hidrostatike, dobit ce se:

dp = - pgdz.

48/268

1z prethodne jednaCine slijedi da su horizontalne ravni istovremeno i ravni jednakog pritiska. Daljom integracijom moze se izraziti zavisnost "pritiska od dubine":

P =-pgz+ C.

Pat 01 l' o

Po

M T z

SHka 42: Zavisnost pritiska od dubine

pri cemu se, na osnovu poznatog pritiska u tacki Mn, odreduje vrijednost konstante C kao:

c = Po+ pgzo·

Sad se pritisak u proizvoljnoj tacki M moze izraziti:

p = Po + pg(z-zaJ·

Pat

Slika 43: Utica} atmosjerskog pritiska i dubine na ukupan pritisak urnttar tecnosti

Podijelimo Ii prethodnu jednacinu sa pg mozemo pisati:

p -- p ---.:.----..:Jo, pg pg

odakle mozemo zakljuCiti da za sve tacke u mirovanju vrijedi:

p ---::;=const=If. [ml. pg " -

[82J

[83]

Jedinica prethodne jednacine je "duzina", odnosno metar, te se ovako izraZene duzine (visine) nazivaju piezometarske visine iIi visine polozaja. U svim tackama tekucine koja

1lllruJe u polju zemljine teze zbir piezometarske i geodezijske visine je konstantan i iznosi Hs, a naziva se jos i hldrostatski napor.

Ako na povrsinu tekucine djeluje atmosfersld pritisak, maksimalan pritisak (na dnu posude) iznosit ce:

[84]

SUa koja djeluje na horizontalnu ravnu povrsinu iznosi P = P A i ima napadnu tacku u teZistu povrsine.

T --";'D¢:=

Slika 44: Hidrostafski napor

2.1.6. Silo kojo djeluje no potopljeno tijelo (Arhimedesov zakon)

Pritisak koji djeluje na tijela potopljena u vodi moze se predstaviti rezultujucom silom, ciji intenzitet ovisi 0 obliku povrsine na koju djeluje pritisak, dubini i specifienoj masi tekuCine.

Slika 45: Sila kOja cijeluje na potopljena tijela

F; -F; = pzA- PIA =A(Pz - pJ=A!J.p

mg=pg(Y2 - yJA

P2 = Po + PI + pg(Y2 - YI)

P2 = PI + pg(Y2 - yJ F; -F; = Apg (Y2 - yJ

Svaka potopljena elementarna povrsina dA, kao clio uknpne povrsine A, izlozena je djelovanju sile pritiska dP=pdA. A.leo je u tekucine potopljeno tijelo zapremine V",onda okolna tekucina djeluje na potpuno potopljeno tijelo. .

P,=p,F P2=P2 F

P, (~'\---~\ Po . -'O"~0r<" -) r .....;.-.~---

\ I j

Slika 46: Djelovanje pritiska na potopljena tijela

Kako je pritisak u svim tackama mime teku6ine jednak, to je uknpno horizontalno dejstvo teku6ine na predmet jednako nuli, odnosno horizontalne sile se medusobno pomstavaju.

x

z

Slika 47: Plivanje tijela

Na donji dio tijela djeluje teku6ina vertikalnom silom koja iznosi :

P"z = p,g(Vl -2-3_4 + VJ,

j usmjerenaje navise.

Na gornji dio tijela djeluje sila:

P/= p, gVl -2_3-4 .

Razlika ovih sila:

P/'-Pz' = p,g(VI-2•3-4 + VpJ - p, gVl -2-3_4

y

odakle slijedi da na potopljeno tijelo tekuCina djeluje rezultuju60m silompritiska:

51/268

P =p, g Vp = y, Vl"

koja je, kako vidimo, jednaka proizvodu zapremine tijela i specificne tezine tekucine. Ova sila se naziva sila potiska (Arhimedesova sila).

Pt

Slika 48: Uticaj specijicne mase na plivanje tijela

Uocenu pojavu opisao je u svom zakonu Arhimed na sIijedeCi nacin: "Svako tijelo potopljeno u tekuCine izlof.eno je potisnoj sili jednakoj tef.ini istisnute tekuCine". DrugaCije receno tijelo potopljeno u vodu prividno gubi tezinu u iznosu jednakom umnosku potopljene zapremine i specificne tezine teku6ine.

Tezina potopljenog tijela iznosi:

Gp = Vp P~,

a tezina istisnute tekucine, odnosno intenzitet potisne sile je:

Gt = Vppg.

Ako je Gp>G" predmet ce potonuti na dno posude, a u obrnutom slucaju (Gp<G,) predmet ce p!oviti po povrsini s dijeiom potopljenim u tekucinu. Zapremina potopljenog dijela ce odgovarati zapremini koja je, pomnozena sa specificnom tezinom tekucine, j ednaka tetini predmeta.

Posmatrajmo 3 predmeta istog oblika i iste zapremine, ali od razliCitog materijala. Oznacimo specificne mase predmeta kao PI, P2 i P3, a specificnu masu tekucine Pt. Da bi bio zadovoljen uslov prikazan na slici (l-pliva, 2-1ebdi, 3-tone) nliZanje uslov:

"PI < Pt (pliva), .. P2 Pt (lebdi), "P3 > PI (tone).

Spomenuta osobina proizlazi iz Arhimedesovog zakona, a nalazi vrlo siroku primjenu u tehnickoj praksi.

52/268

Slika 49: Plivanje leda

Procent potopljenog leda u vodi se moze izracunati na osnovu izraza:

Vpotop:jcno Pleda 917 =0.9. ~eda P vode 1024

U slucajevirna kada je neophodno razdvojiti dvije materije razlicitih specificnih tetina (laksi ugalj od tezih stijena, lakse drvo od tezeg metala, tezi metal od plasticnih, drvenih iii koZnih materijala u reciklaZi otpada itd), primjenjuju se tzv. "gravirnetrijski separatori", a postupak se naziva "flotacija" (engleski float-plivati). Tekucina kojom se vrsi odvajanje materije "A" od jedne iii vise ostalih materija mora imati specificnu tezinu izmedu spomenutih materija. Sto je veca razlika specificnih tezina materija koje se odvajaju, to je po stupak flotacije uspjesruji.

-]8 ..

Slika 50: Gravitacioni separator

Za postizanje projicirane specificne tezine flotacijske tekucine obicno se dodaju razlicite primjese vodi, a najcesce je u upotrebi prah magnetita.

2.1.7. Granicna povrsina izmedu tekucina kaJe se ne mijesaju

Ako su u posudi dvije tekucine razlicitih gustina koje se ne mijesaju, rasporedit ce se jedna iznad druge. Povrsina koja ih razdvaja naziva se granicna povrsina.

Da bismo odredili oblik granicne povrsine (a-a), podirno od jednacine :

dp= - pgdz.

53/268

z

Stika 51: Granicna povrsina izmeau tekuCina koje se ne mijesaju

Pri prolasku iz tacke M u M1 duZ granicne povrsine, moze se za gornju tekucinu napisati jednacina ravnoteze:

dp=-P1 gdz,

aza donju

dp=-Pzgdz,

odakle je njihovim izjednacavanjem:

g(PI - pz )dz=O

Kako je u ovom slucaju PI P2, to za ravnotezno stanje mora biti dz=O, odnosno z=const. Odavdje slijedi da granicna povrsina izmedu dvije teku6ine koje se ne mijesaju u stanju urnirovanja u polju zemljine tde predstavlja horizontalnu ravan.

2.1.8. Ojeloyanje sile pritiska na rayne poYrsine

U opeem slucaju, sila pritiska na elementamu povrsinu je

F=pdA,

a usmjerena je okornito na posmatranu povrsinu. Pritisak na dna na dubini h zavisi od visine stuba tekucine. Kolicina tekucine iIi oblik posude nemaju nikakvog uticaja na pritisak.

Analizirajmo dejstvo tekueine na povrsinu A koja lezi u ravni kosog zida rezervoara, koji s horizontabom ravni zaklapa ugao u. Teku6ina djeluje na povrsinu zida sarno s jedne strane, odnosno s druge strane djeluje atmosferski pritisak. U proizvoljnoj tacki M

povrsine A natpritisak ima vrijednost: p - Pat = P g z , te na elementarnu povrsinu

dA, koja sadrzi tacku M, djeluje elementarna sila pritiska tekucine:

54/268

dFp =pgz dA. Svaka od elementarnih sila pritiska dP okomita je na odgovarajucoj elementamoj povrsini dA. Kako su normale u svim tackama raYne povrsine paralelne, to skup sila dP predstavlja sistem paralelnih sila, pa ce i rezuitantna sila ovog sistema biti okomita na povrsinu A, sa smjerom prema )'ovrsini (smjer unutrasnje normale).

Slijedece sto treba odrediti su intenzitet i napadna tacka rezultujuce sileo Radi jednostavnost odredivanja napadne taCke postavimo pomocni kordinatni sistem u-v, kao referentni, sa ishodistem na presjeku granicne povrsine tekucine i posmatrane kose ravni. Pri tome vaZi re1acija: z = v sin a , gdje je z-dubina na kojoj tacka M lezi u

odnosu na slobodnu povrsinu tekucine.

Sila pritiska tekueine na povrsinu A iznosi:

Fp = fpgzdA = pgsina JVdA. [85] A A

Drugi integral u izrazu predstavlja staticki moment povrsine A prema osi u i jednak je:

gdje je Vc - rastojanje tezista C povrsine A od ose u.

Pat

Slika 52: Dejelovanje siZe pritiska na kosu ravnu povrsinu

Prema tome sila pritiska tekucine na ravnu povrsinu iznosi

[86]

[87]

Sila pl'itiska na ravnn povrsinn jednaka je proizvodn pritiska tekucine u tezistu C povrsine i same povl'sine.

Pritisak tekueine u najvisoj tacki posmatrane povrsine L iznosi: P L = P g Z L' a u

najniZoj p K = P g Z K • Ocigledno je da je pritisak u nizoj tacki K visi od onog u visoj L, te je dijagram optereeenja trapeznog ohlika, kako je prikazano na slici. Zbog toga sila pritiska P, kao rezultanta sistema sila, ne djeluje na povrsinu A u njenom tezistu C, vee ispod teZista, na primjer u tacki D.

55/268

Za odredivanje polofuja D napadne tacke sile P koristi se vise razlicitih pristupa, poput Voronjinove teoreme, prema kojoj je moment rezultante za neku osu (tacku, ravan) jednak zbiru momenata komponenata za istu tu osu (tacku, ravan).

Ako se ova teorema prillljeni za osu u, bit ce:

Fp vD = JVdFp =p gsino; fv 2 dA, [88] A A

odakle je traZeno rastojanje

[891

Integral u prethodnom izrazu predstavlja moment inercije povrsioe A prema osi U, koji

se prema Steinerovo/8 teoremi (Stajner) moze pisati kao: 1 u =1 c + Av~, gdje je Ie

moment inercije povrsine A za tezisnu osu ~, paralelnu osi u. Sa ovim se konacno dobije

1 V =v +_c_ DCA

Vc [901

Vidimo kako napadna tacka sile pritiska lezi uvijek ispod tezista C povrsine A. Razlika u dubinarna:

[911

je sve manja sto je teziste C povrsine A na vecoj dubini. Tacke C i D se poklapaju kada je posmatrana povrsina horizontalna.

Sila pritiska na dno suda pri tome ne ovisi 0 uglu prema slobodnoj povrsini.

Pritisak tekucine na horizontalno dno suda predstavlja specijalni slucaj. Tadaje:

dFp =pghdA.

Slilw 53: Nivo tekuCine u spojenim posudama

18 Teorema paralelnih osa za odredivanje momenta inercije cvrstih tijela, Jakob Steiner ( 1796-1863)

56/268

pi

~t=tipp I I I 1 ~ ! t 1

SUka 54: Sila pritiska na horizontalno dno posude

Ako se radi 0 istovjetnoj tekucini i jednakim povrsinama dna, sila pritiska ce ovisiti iskljucivo 0 visini stuba tekucioe h. Na prethodnoj slici prikazane su 4 posude iste povrsine dna A i iste visine stuba tekucine h. Sila pritiska na dno posude u sve 4 slucaja je jednaka, bez obzira na to sto sadrze razlicite zapremine tekucine i imaju razlicite oblike.

Posmatrajmo dvije posude ispunjene podjednakim masama tekucina (m=m1=m2) koje imaju istu hidrostatsku visiou (h=h1=h2).

Slilw 55: Hidrostatski paradoks

Pritisak na dnu obje posude bit ce istovjetan:

p= PI = pz = pgh.

Sila pritiska koja djeluje na dno jedne i druge posude jednaka je proizvodu pritiska, a zbog razlicitih povrsina ove sile nisu medusobno jednake:

Iako je sila F1 manja od sile F2, posude su uravnotezene na vagi, sto je svojevrsan hidrostatski paradoks.

57/268

2.1.9. Djelovonje sUe pritisko no krive pO\l',sine

Pretpostavimo cia je kriva povrSina A potopljena u tekutine na Ciju povrsinu djeluje atmosferski pritisak. Neka koordinatne ose x i y leze na slobodnoj pOvrSini, a osa z neka se prostire okomito naniZe U odnosu na slobodnu povrSinu.

Slika 56: Djelovanje sile pritiska na krive povrsine

Elementama povrsina dA, kao dio povrsine A, nalazi se na dubini z i trpi silu pritiska

dP = -pdA = -yzdA,

koja je okomita na elementamu povrsinicu dA. Oznacimo Ii sa 0.", o.y i o.z uglove koje gradi unutrasnja normala sa koordinatnim osarna, projekcije elementame sile pritiska dP na koordinatnim osarna iznose:

dPx = pgzdA cos 0.",

dPy = pgzdA cos up

dPz = pgzdA cos o.z.

Projekcije elementame povrsinice dA na ravni AxCXOZ), AiYOZ), AlXOy) su:

dAx = dA cos 0.", dAy = dA cos Uy. dAz = dA cos Uz.

[92]

Uvodenjem projekcija elementame povrsine elementame sile pritiska mozemo pisati:

dPy = pgzdAy

Integriranjem po projekcijama elementame povrsine dA dobit cemo ortogonalne komponente sile pritiska P:

58/268

Integrali na desnoj strani prva dva izraza predstavljaju staticke momente povrsina prema slobodnoj pOvrSini i mogu se ~aziti kao:

(Zex i ZCy rastojanja tezista odgovarajuCih povrsina od slobodne povrsine (ravan XOJ)).

Dalje mozemo ortoganlne x i y komponente sile pritiska izraziti:

Zakljucujemo, iz prethodnog izraza, da je horizontalni pritisak mime tekuCin.e na krivolinijsku povrsinu rna u kojem pravcu jednak pritisku koji trpi projekcija te povrsine u ravni normalnoj na pravac pritiska.

Projekcija Px sile pritiska sijece ravan YOZ u tacki Dx(mx>ny). Iz stava 0 momentima proizlazi:

~ ny = fyd~, odakle slijedi daje:

Ax

Iyz n =---

y z A ex x

Iy - moment inercije povrsine Ax oko ose y, a Iyz - centrifugalni moment oko osa y i z.

Vertikalna projekcija sile pritiska iznosi:

[93]

Izraz zdAz je zapremina tekucine koja pritiska element dAz, pocev od slobodne povrsine

naniZe, oili"1osno: f z dAz = V . A,

Prethodni izraz predstavlja zapreminu vertikalnog cilindra cija osnova ima povrsinu A, a prostire se sve-do slobodne povrsine. Ortogonalna projekcija sile pritiskaje:

Pz=pgV, [94J

tj. vertikalna projekcija sile pritiska jednaka je tdini teku6ine koja pritiska povrsinu A nanize od slobodne povrsine.

Sile P" P yiP z se ne sijeku uvij ek u istoj tacki i ne mogu se sloziti u rezultantu. 1z statike je poznato kako se takve sile svode na rezultantnu silu i spreg sila.

59/268

2.1.10. Djelovonje sUe pritisko no zidove cljevi

Fluid unutar cijevi djeluje silorn pritiska na unutraSnji prsten koji <:ini zatvorenu kruZnu povrsinu.

y )

z

Slilw 57: Djeiovanje pritiska na zidove cijevi

Dio cijevi izmedu dva presjeka na rastojanju dz trpi horizontalnu silu pritiska:

dPx = p dAx = P g z D dz, [95]

gdje je D- unutrasnji precnik cijevi.

Oznacimo Ii sa 0 debljinu zidova cijevi a sa a dopuSteni napon, rnaksimalnu silu pritiska kojoj se moze suprotstaviti cvrstoca zidova mozerno izracunati iz izraza:

dF= 20 adz.

Minimalna debljina cijevi se moze izracunati iz uslovajednakosti dopustenog napona i napona sile pritiska u stjenkarna cijevi:

o =pgzD =pD. 20' 20'

2.1.11. stobilnost tijelo pri plivonju

[96]

RavIioteza. tijela koje pliva djelimieno potopljeno u vodi, ovisno 0 uticaju koji mogu irnati sile koje djeluju na njega, moze biti stabilna (po prestanku dejstva sile tijelo se vraca u ravnoteZni polozaj) , indiferentna (po prestanku sile tijelo ostaje na istom otklonu od ravnoteZnog stanja) i labilna (po prestanku dejstva sile tijelo se nastavlja udaljavati od ravnoteZnog stanja).

60/268

Centar potiska i teziste potpuno potopljenog tijela imaju stalan polozaj, te je ravnoteza takvog tijela indiferentna u odnosu na translatomo pomjeranje. Ravnoteza ostaje indiferentna i pri bilo kakvoj rotaciji oko vertikalne ose.

! iP

Slika 58: Stabilnost tijela pri plivanju

Medutirn, okretanjem potopljenog tijela oko horizontalne ose moze se postici stabilna, indiferentna iIi labilna ravnoteza, sto ovisi 0 medusobnom polozaju tezista masa i centra djelovanja potisnih sila. Ako teziste lezi ispod sredista djelovanja potisnih sila, ravnoteia je stabilna. U slucaju da je teiiste iznad centra djelovanja potisnih sila, govorimo 0 labilnoj ravnoteii, a poklapaju Ii se ove tacke, ravnoteza je indiferentna.

Uslovi za stabilnost ravnoteze djelimieno potopljenog tijela su znatno slozeniji. Pri translatomom kretanju iIi rotaciji oko vertikalne ose plovno tijelo je u indiferentnoj ravnoteii. Vertikalne translacije izazivaju promjenu sile potiska i utieu na ravnoteiu. Okretanjem tijeia oko horizontalne ose mijenjaju se oblik i velicina potopljenog dijela, te dolazi do pomjeranja potisnog centra sile pritiska. Plovni objekt moze da se "okrece" oko uzduine ose (boeno Ijuljanje) iii oko ose koja stoji norrnalno na uzduinu osu (uzduino Ijuljanje).

2.1.12. Poscalov zokon

Pascal19 -ov zakon govori 0 sirenju promjene pritiska kroz tekutine. Ako se u mimoj tekucine uoce dvije tacke M1 i M2 na dubinarna h] i he u kojima su pritisci:

19 Pascal Blaise (1623-1662)

61/268

P2 = P a + pghz '

tada razlika pritisaka iznosi:

Slika 59: Promjena pritiska unutar tecnosti

Pretpostavimo da dode do bilo kakve promjene - npI. da se poveca pritisak u tacki MI za dPh ali tako da se ne narusi ravnoteza u tekn6ine. S obzirom na to da su teku6ine nestisljive, ova promjena pritiska izazvat ce i promjenu pritiska u drugoj tacki M2 za dp2. Kako smo pretpostavili da je tekncina ostala u stanju mirovanja, to poslije promjena vaii hidrostaticka jednacina

[97]

odakle slijedi da je:

odnosno da ce se ista promjena pritiska javiti i u drugoj, odnosno bilo kojoj, proizvoljno odabranoj, tacki. Ova zakonitostje poznata kao Pascalov zakon:

"Svaka prornjena pritiska u hilo kojoj taCld tekucine u stanju mirovanja prenosi se podjednako u sve tacke prostora koji ta tekuCina zauzima".

2.1.13. Hidraullicka presa

Posljedice Pascalovog zakona su osnova hidraulicke pIese, koja se u principu sastoji iz dvije spojene posude (cilindra) razlicitog precnika (d), odnosno povrsine poprecnog presjeka (A). Posude su ispunjene hornogenom teknCinom.

62/268

-, ,

Slika 60: Shema za proracun siZe na hidrauliclwj presi

Zanernarimo Ii djelovanje sila zernljine teze, sto je opravdano kada se radi 0 visokim pritiscirna i malim "visinama stuba tekncine", mozemo konstatovati da je pritisak u svim tackama potopljenog prostora jednak (posljedica Pascalovog zakona).

Pritisak koji se stvara djlovanjem sile FI na klip manjeg promjera se moze izracunati iz izraza:

F: p=_I. AI

Ovo irna za posljedicu silu na klipu cilindra 2 koja iznosi:

F2 =pA2 •

Dijeljenjem prethodne dvije jednacine slijedi:

F; =F2

AI Az Kako je povrsina poprecnog presjeka

d 2n A=-

4 '

uvrstavanjem i supstitucijom dobit cerna odnose precnika cilindara:

63/268

[98]

Slika 61: Hidraulicka presa

Vidimo da sila na klipu s vecim precnikom raste s kvadratom medusobnog odnosa veceg i manjeg precnika. Ovako se moze, visekratnim ponavljanjem ciklusa silom na cilindru manjeg precnika, proizvesti visestruka sila na drugom cilindru. U hidraulici i tehnici uopce, princip "hidraulicke prese" je naSao siroku primjenu.

2.1.14. Relativno mirovanje tekucine

Ako tekucina miruje u odnosu na zidove posude u kojoj se nalazi, ali se istovremeno zajedno sa sudom krece u prostoru, kaZe se da "tekucina relativno miruje". U tehnickoj praksi su cesti primjeri relativnog mirovanja tekucine, kao npI. prevoz fluida cisternama, centrifugiranj e i slieno.

~--------------~

Slika 62: Relativno mirovanje tekuCine

Za fluide u relativnom mirovanju, primjenjuju se jednaCine statike fluida, sa uzimanjem u obzir inercionih sila koje se javljaju pri promjeni ubrzanja i puta..nje. Inercijske sile su proporcionalne masi.

Pretpostavimo da se posuda s tekucinom krece translatorno s konstantnim ubrzanjem (a=const). U tom slucaju osim sile zemljine teze G=mg, na fluid djeluju i inercione sile 1=-ma. Relativnu ravnotezu tekucine odreduje rezultantna sila izmedu sile tezine fluida i inercionih sila.

64/268

Svedemo Ii vektore ubrzanja, sile i tezine na jedinicnu masu, kako je prikazano na prethodnoj slici, mozemo pisati projekcije rezultantne sile F: X=O, Y=-a, Z=-g.

Osnovnajednacina hidrostatike dp=p(Xdx+Ydy+Zdz) u ovom slucaju dobiva

oblik:

dp=p(ady + gdz). I'

Kad se ova diferencijalna jednacina integrira polje pritiska se moze predstaviti funkcijom:

P= Pa -pg(z+ ;y), (99]

pri cemu je integraciona konstanta odredena iz uslova da je za x=y=z=O pritisak jednak atmosferskom (p=paJ .

KoristeCi ovaj uslov, mozemo dobitijednacinu slobodne povrsine tekucine:

a z=--y,

g

sto predstavlja jednacinu pravca sa tangensom ugla nagiba:

a tg 13 =--.

g

Dalje mozemo pisati da je:

tg 13 =tg(180-a )=-tga =-!!.., g

odakle je

a tga=-.

g

Iz pret.hodne jednacine se vidi kako je konstantno ubrzanje (a=const) nliZan uslov da bi tekucina mirovala u posudi.

65/268

Slika 63: Translatorno kretanje teenosti po nagetoj povrsini

Krece Ii se posuda niz stm1U ravan, odnosno pod nagibom, kako je dato na slici, konstantno ubrzanje a Una koordinate:

ay =acosu az =asinu - g

Osnovna jednacina hidrostatike sad Una oblik:

~dp=acosu dy+(asinu - g)dz. p

Integriranjem prethodnog izraza dobit cerno:

p- Pa = P [yacosu +z(asinu -g)].

Pocetne uslove odredimo iz P=Pa, te jednacinu slobodne povrsine mozerno pisati:

z=ytg P

acosu tg13 = . je nagib slobodne povrsine prema horizontu.

g-asma

2.1.15. Jednoiika rotacija tekucine - "Vortex"

Ako se cilindricni sud napunjen tekucinom do visine H obrce konstanmom brzinom (m=const) oko vertikalne ose, tada ce se nakon izvjesnog vremena od pocetka rotacije uspostaviti izvjesni ekvilibrij, pri cernu ce ukupna tekucina rotirati sa sudom. Pri pocetku rotacije rotirat ce se sarno djelici fluida u dodiru sa zidom posude, da bi kasnije doslo do rotiranja ukupne mase i postizanja "relativn~ stabilnosti", odnosno "relativnog rnirovanja" tekucine U odnosu na sud.

Na tekucinu, pored zemljine tde, djeluje i centrifugalna sila, cij je pravac dejstva u horizontalnoj ravni, odnosno u ravni okomitoj na osu rotacije.

Centrifugalna sila po jedinici tekucine iznosi rOlc, gdje je r-udaljenost posmatrane tacke od ose rotacije (radijus: r=xc+/).

66/268

Slika 64: "Vortex" kretanje tekuCine

Za usvojeni koordinatni sistern projekcije rezultujuce sile F na koordinatne osi su:

X=m 2 x Y=m 2 y Z=-g [100]

Sa ovim ce projekcijama osnovna jednacina hidrostatike

. dp=p(X dx+Y dy+Z dz}

dobiti oblik:

dp=p(m 2 Xdx+m2Ydy- gZdz) [lOlJ

Dalje se integracijorn dobija oblik:

pm 2 (2 2) P=Pat+-- X +y -pgz. 2

[102]

Oznacimo sa v [m/s] tangencijalnu brzinu djelica dluida na udaljenosti od centra rotacije r[rn]. Gradijent pritiska iz uslova radijalnog ekvilibrija (horizontalnog) je:

8p pv2

- --ar r

Vertikalni ekvillibrij je pri tome:

8p -=-pg. 8z

fl il'll l .... "'-'j

[104]

Prethodna jednacina predstavlja standardne hidrostatske uslove ravnoteznog stanja.

Uzmimo u razrnatranje specijalni slucaj rotacije s konstantnom ugaonom brzinom:

67/268

v ill =-=const .

r

Zamjenom slijedi:

an 2 _r_=prUJ ar

[105]

Iz prethodnog izraza vidimo da prirast pritiska raste s kvadratom ugaone brzine, sto moze imati za posljedicu vrlo visoke vrijednosti pritiska. Ova se osobina cesto koristi u tehnickoj praksi (hidro i aerocikloni, centrifugalno livenje pri izradi besavnih cijevi, kod centrifugalnih pumpi itd).

Integriranjem izraza za radijalni i vertikalni ekvilibrijum mozemo dobiti raspodjelu pritiska u slucaju "vortex" kretanja djeli6a fluida:

z

co ....

D 2r

{

----- -- -- :::c:

__ X~i' +

y

Slika 65: Uzdizanje teenostio pri vortex kretanju

P-Po UJ2

r2 ( ) ---=----g z-zo . P 2

[106)

Postavimo Ii ishodiste koordinatnog sistema u presjeku gramcne povrsine sa osom rotacije, mozemo uzeti da je na slobodnoj povrsini P=P'b IO ce jednacina slobodne povrsine biti:

Z=~(X2 + y2), 2g

odnosno

Vidimo da sujednacine slobodne povrsine jednacine obrtnog paraboloida.

68/268

[107]

[108]

2.2. Aerostatika Aerostatika je grana statike fluida koja izucava specificnosti gasova u mirovanju. Kako je gasovito stanje potpuno neuredeno, to se pretpostavka staticnosti fluida treba uzeti kao relativna imajuCi u vidu ogranicenja koja dolaze od ovake pretpostavke.

2.2.1. Pritisak gasa u itanju mirovanja

Za stisljivi barotropni fluid u polju zemljine teze vaZijednacina:

1 Pdp z-zo=-- f-·

gpo P

(po pritisak na visini zo)

[109]

Da bi se rijesio prethodni integral potrebno je poznavati vezu izrnedu pritiska i gustine (p i p). Ako je fluid nestisljiv, veza je odredena i problem je istovjetan slucaju teku6ine. Ako gustina nije konstanta (p ftonst) potrebno je prethodno poznavati karakter promjene stanja, sto znaci odrediti "eksponent politrope". Kao krajnje "ekstrenme" vrijednosti, javljaju se izoternmi i adijabatski procesi. Kod izoternmih procesa gas zadrZava konstantnu temperaturu, sto znaCi da se cio toplotni tok odvija bez uticaja na temperaturu gasa. U adijabatskim procesima dolazi do maksimalne promjene temperature fluida.

Za izotermu je: Po Po .. Po POK -=-, a za adlJabatu: -=--. P P . P pK

Za izotermne procese promjena stanja se nalazi primjenom obrasca:

Pdp z-z =_...l!L f-=...l!!L.(lnp -lnp) o Pog Pog 0 '

poP

odakle je dalje

-ffi.( z - zo)

p=poe Po

Kako je gustina srazmjerna pritisku, to slijedi neposredno da je:

JPO(z-zo)

p= Po e Po

(110)

[lll]

[112)

1z prethodnih jednacina vidimo da pritisak i gustina opadaju eksponencijalno s visinom. Ako su visinske razlike male, moze se primijeniti obrazac za nestisljive fluide.

Za adijabatsku promjenu star~a vrijedi:

I - P d

z-ZO=POK f-? gpo po ;-

p

[113)

69/268

Prethodni izrazi za (z-zoJ su osnov za odredivanje altitude, odnosno nadmorske visine. Razmotrimo slucaj kada je prostor u cjelini ispunjen gasom ili, kao na narednoj slid, kada se u zatvorenoj posudi nalaze tekucina i gas pod pritiskom.

h

x

Slika 66: Pritisak gasa i teenosti u zatvorenoj posudi

Gas ima znamo manju specifienu tezinu od tekucine, te je uticaj tezine gasa na pritisak zanemariv (ako je sloj gasa ogranieene visine). U tom slueaju je za cijelu zapreminu gasa pritisak:

pg = const.

Pritisak u vodi ovisi 0 vertikalnoj koor.dinati "z" i moze se izraeunati iz izraza:

Pv =(h - z)y za O<z<h.

SUka 67: Sila pritiska gasa

Sila pritiska gasa P na povrsinu A jednaka je sili na projekciju AS normalnu na pravac S, bez obzira na ugao nagiba pravca u odnosu na proizvoljno izabranu ravan.

Prihvatirno li stay 0 konstatnorn pritisku u cijeloj zapremini gasa u zatvoremon sudu, mozerno defmisati pravilo: Kornponenta za bilo koji pravac sile kojom gas djeluje na povrsinu posude u kojoj je zatvoren jednaka je sili na projekciju povrsine, norm ainu na pravac za koji se komponenta odretfuje. Sila prolazi kroz teiiste te projekcije, sto je kod "teskih fluida" vaZilo sarno za horizontalnu komponentu .

70/268

2.2.2. Utk:aj vlsine stuba goso no pritisok

Zanemarivanje teZine gasovitog fluida ima za posljedicu konstantan pritisak, a time i konstanmu gustinu. Pri analizi sloja gasa velike visine ne moze se zanemariti uticaj tezine.

t

A\l "Ill l

Stika 68: Pritisak vazdusnog stuba u ventilacionorn sistemu TUfjnika

Prirnjer pojave kod koje ne mozemo zanernariti "teZinu visine fluida" je varijacija atrnosferskog pritiska u odnosu na nadmorsku visinu promjene atrnosferskog pritiska. U tehnickoj praksi se stanje atrnosferskog vazduha obieno svodi na referentne "normalne uslove". U opcem slueaju, izmedu gustine vazduha u normalnirn uslovima i nekom proizvoljnom stanju postoji odnos:

~=pTo Po Po T

[114]

Da bi se odredila gustina gasa na odredenom nivou, potrebno je prethodno odrediti raspored temperature u fluidu. Jednaeinom toplotnog bilansa uspostavlja se veza izmedu primljene i izgubljene toplote, odnosno pokazuje gdje i kako nastaju prorr~ene u fluidu. Ako se temperatura oze izdvojiti iz jednaeine stanja i gustina izraziti kao funkcija pritiska: p = f(p), reCi cerna da je fluid "barotropan ", odnosno da se procesi

odvijaju u "izobarskim" uslovima. U protivnorn, kaZemo da je fluid "baroklin ", odnosno da procesi koji se odvijaju nisu izobarski.

Drugi' primjer, kod koga se visina vazdusnog stuba ne moze uvijek zanemariti, su duboki podzemni rudnici. U ovom slucaju se analizi pristupa "problemski". U slucajevima kada je uticaj varijacije pritiska zanemariv kao uticajni faktor, u tehniekoj praksi se ventilacioni sistem tretira kao barotropan. Ako to nije moguce, numo je uzeti u obzir tezinu fluida.

71/268

2.2.3. Pritisok u afmosferi

Zemljinu atmosferu cini visoki sloj vazduha koji se rasprostire od povrsine do svemira. Vazduh pri pOvrSini zemlje zadrlava gravitaciona sila. Atmosfera nije homogena. Osobine vazduha se roijenjaju prostomo i vrernenski. Sunce zagrijava povrsinu zemlje i vazduh u atmosferi. Temperatura vazduha na povrsini zemlje je najvisa, te opada s visinom. Kako brzina zvuka ovisi 0 gustini vazduha, to sa udaljenoscu od povrsine zemlje opada i brzina prostiranja zvuka.

Pritisak vazduha u zemljinoj atmosferi se moze uprosteno smatratio kao «tezina vazdusnog stuba», odnosno razlika pritiska vazduha iznad i ispod posmatrane tacke. Porastorn nadmorske visine dolazi i do opadanja gustine, koja zavisi od pritiska i temperature. Faktor koji najvise utice na stanje atmosferskog pritiska je nadmorska visina tacke koja se posmatra. U opcem slucaju gradijent pritiska pod uticajem gravitacione sile moze se izraziti:

op op' \/p=--+ pg=--+(p - Po)g ox ox [115]

Atmosfera se moze podijeliti u nekoliko zona po viSe razlicitih kriterija. U aerodinarnici se atmosfera obicno dijeli na 3 zone s razliCitirn funkcijama zavisnosti osobina vazduha u donjoj troposferi, donjoj stratosferi i gomjoj stratosferi.

Troposfera se proteze do visine od 11 km. Temperatura u troposferi opada pribliZno lineamo, a pritisak opada eksponencijalno, a mogu se odrediti pribliZno na osnovu izraza [NASA]:

T=1504-0,00649h,

p = 101.29 [_T_JS.Z56 288,08

[116]

(T - temperatura, K; p - pritisak, kPa; h - nadmorska visina, m)

Donja stratosfera se proteze od visine II kIn do visine 25 km. U ovom opsegu temperatura je konstantna, a pritisak opada eksponencijalno:

T=-56,46

p = 22,65 e(I.73-0.000157h)

Gomjom stratosferom se smatra dio atmosfere iznad visine od 25 kIn. Temperatura na ovim visinama Taste postepeno, a pritisak opada eksponencijalno:

Traposfera do 11 I'm

Slika 69: Vertikalna podjela atmosfere

72/268

T =-131,21 +0,00299 h

[T 2'73 1 J-I

1.38& =2-488 +"

p, 216.6

Gustina vazduha u svakoj od zona se moze odrediti iz jednaCine stanja vazduha:

p p= O,2869(T + 273,1) .

[117]

[118]

[119]

Cist atmosferski vazduh irna skoro konstantan sastav suhih gasnih komponenata s konstantnim zapreminskim ucescem.

2.2.4. Sastov afmosfere

1z naredne tabele vidi se da tri osnovne gasne kornponente (azot kiseonik i argon) Cine 99.96% ukupnog zapreminskog sastava atmosferskog vazduha, a svi ostali sastojci svega 0.0375%. U tehnickoj praksi se obicno suh atmosferski vazduh obicno tretira kao zapreminska smjesa:

21 % kiseonika O2,

78.1% azota N2 i 0.2% argona Ar.

Tabela 9: Sastojci suhog atmosJerskog Vazefdha

Hemijska Zapreminski Molekulska Spec.teZina oznaka sacirZai u mas. kglkmol pri O°C i

Gas vazduhu. % 1.013 bar

Vazduh 100 28.963 1.293

OSNOVNI SASTOJCI

Azot N, 78.084 28.016 1.281

Kiseonik 0, 20.946 32.00 1.429

Argon Ar 0,9325 39.944 1.7837

OSTALI SASTOJCI

U<!l'endioksid Co, 0.033 44.011 1.977

Neon Ne 0.00182 20,183 0.8999

Heliium He 0.00052 4.003 0.1785

Kripton Kr 10.8 x 10-' 83.80 3.376

OZQl1 0, lOx 10.5 48.00 2.144

odonik H, 5 x 10-5 2.016 0.0899

Ksenon Xe 0,8 x 10-5 131.30 5.891

Metan ClL 0.5 x 10-' 16.043 0.7168

Radon Rn 6x 10.18 222.00 9,910

Toron Tn ? x 10.20 220.00 9.821

Akinon An 3 x 10.22 I 219.00 9.777

73/267

I I

120

mezosfera

TempernttJ!1l, [KJ

mezopauza

stratopauza

Ozor.ski regIOn

Pritisak, [car]

Stika 70: Vertikalna termalna struktura atmosfere

2.2.5. Coriolisov efekt Coriolisov20 efekt (Koriolis) dobio je naziv po francuskom matematicaru, a matematicki je opisan transformacijom koordiuata kiuematskim tehnikama. Na rotirajucoj zemlji Corioiisova sila utice na otklon putanje pokretnog tijela udesno u sjevernoj uiijevo u iuZnoj hemisferi. Ovaj otklon nije sam proizvod atmosferskih cirkulacija i moze se 'uociti u svim slucajevima kretanja po povrsini tijela koje rotira oko svoje ose. Uzrocnik je cikiicnih strujanja i stvaranja jakih vazdusnih ciklona koji se rotiraju suprotno strujanju kazaljke na satu u sjevemoj i u smjeru kazaljke u juznoj hemisferi.

Ciriolisovo ubrzanje objekta je proporcionalno njegovoj brziui i sinusu ugla izmedu smjera kretanja objekta i ose oko koje se rotira povrsina po kojoj se objekat krece.

U vektorskom obliku Corio!isovo ubrzanje se moze pisati:

ae =-2[[lxw].

(ae - vektor Corioiisovog ubrzanja, [nxw]- vektorski proizvod ugaone brzine

rotac!;e povrSine po kojoj se krece predmet i brzine predmeta)

Coriolisova sila ovisi 0 ugaonoj brzini, masi iijela i brzini tijela:

Fe =-2m [mxv],

20 Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843)

74{267

Slika 71: Coriolis-ov efekt

d'A d<!> dz dp u=acos<!>--, v=a -- W=-- W=--

d't d't' d't ' d't [120]

Coriolisovo ubrzanje je okomito na oba smjera - i smjer rotacije zem1je i smjer kretanja predmeta, te se mogu uociti slijedece osobiue:

Ako je vektor brziue kojom se krece predmet paralelan osi rotacije, Coriolisovo ubrzanje je jednaku nuli.

Ako je vektor brziue okomito prerna osi rotacije pribliZavajuCi se njoj, Coriolisovo ubrzanje ima smjer lokalne rotacije.

Ako se predmet krece okomito od ose rotacije udaljajuCi se od nje, Coriolisovo ubrzanje irna smjer obr=ut smjeru lokalne rotacije.

Ako je vektor brziue kretanja tijela u smjeru lokalne rotacije, ubrzanje dje1uje okomito na osu rotacije nastojeCi udaljiti predmet od ose rotacije.·

Ako je vektor brziue usmjeren suprotno lokalnoj rotaciji, ubrzanje ce djelovati okomito na osu rotacijie nastojeCi predmet pribliZiti osi rotacije.

Coriolisov efekt znacajno utice na flZicke procese u atmosferi, a osim tnrnacenja atmosferskih procesa irnao je ve1iki znacaj u razvoju mehanike tokom XIX vijeka (Persson 1998). Njegov pristup pomogao je boljem razumijevanju rotacionih mehanickih sistema, kao i centrifugalne sileo Takoder pomaze pojasnjavanju odnosa izmedu ugaonog momenta i kiueticke energije, te kako sila iuercije moze irnati znacajan uticaj na kretanje tijela vrsenja bilo kakvog rada.

m a) b)

Stika 72: lntenzitet Coriolisove sile ovisno 0 relativnom kretanju u odnosu na zemlju: a-maksimalan intenzitet; b-nema Coriolisovog ubrzanja

75{268

Coriolisov efekt se ispoljava sarno u slucaju rotacije povrsine po kojoj se krece predmet. Matematski je izveden iz zakona inercije. Nema vezu ni s kakvim drugim ubrza.'1jem ili silom, vee sarno ovisi 0 medusobnom odnosu vektora brzine kojom se kreee predmet i vektora rotacije predmeta.

Coriolisov uticaj na predmete u kretanju moze se interpretirati kao suma efekta dva razliCita uzrocnika. Prvi je promjena brzine objekta tokom vremena. Ista brzina posmatrana sa aspekta zakona 0 inerciji, u slozenom prostomom odnosu koji cini rotacioni sistem povrsine (npr.zem1je) i vektor kretanja tijela, ima za posljedicu da se zbirni vektor brzine kretanja tijela mijenja u odnosu na polarni koordinatni sistem kao referensu rotacionog kretanja. Drugi uzrocnik je promjena brzine u odnosu na okolni prostor (u slucaju zem1ja-svemir). Ovakvo kretanje dovodi do pojave inercionih sila u odnosu na prostorni koordinatni sistem.

76/268

Dinamika fluida je grana mebanike fluida koja izucava fluide u kretanju. Ponekad se pri proucavanju kretanja mogu zanemariti dimenzije i proces ili njegov dio predoCiti tackom mase m. (materijalna tacka). Polozaj materijalne tacke se najcesee odreduje pomocu njenih koordinata u pfavouglom koordinatnom sistemu.

..... Vektor r zove se vektor polozaja materijalne tacke. Pomak je promjena vektora

..... polozaja. Kolicnik promjene vektora polozaja fl r i intervala vremena Ilt u kojemje ta promjena nastala, zove se vektor srednje brzine:

..... Trenutna brzina v jednaka je prvom izvodu vektora polozaja pokretne tacke po vremenu:

.... ..... ..... fl r d r ..... dx..... dy..... dz..... ..... ..... ..... v=lim--=--=r'=-i+-}+-k=vx i+v }+vzk (polozaj u

Ll1->O fl't d't d't d't d't Y

koordinatnom sistemu).

..... OOOos vektora promjene brzine fl v i vremenskog ititervala At u kome je ta promjena nastala, zove se vektor srednjeg ubrzanja:

..... ..... fl v

asr =--. fl't

Granicna vrijednost ovog izraza zove se vektor trenutnog ubrzanja:

.......... ..... ..... Ad..... d 2 ..... a = 1im~=~= v,= __ V_= r"

LlHO fl't d't d't 2

U pravouglom koordinatnom sistemu:

Iznos vektora ubrzanja:

Ubrzanje je vektor koji ima isti pravac kao trenutna promjena brzine. Ubrzanje mozemo

rastaviti na dvije medusobno normalne komponente: na tangencijalno ubrzanje at u

pravcu tangente i normalno ubrzanje an u pravcu normale:

77/268

.... -? dv-" at =--t o '

dt

Ukupno ubrzanje:

3.1. Kinematika fluida Medusobne geometrijske odnose materijalnih tacaka pri laetanju izucava kinematika fiuida, I=edu cvrstih materija i gluida postoje razlike u medusobnim odnosima trajektorije djeliea materije kod cvrstih tijela (zadrZan medusobni odnos) i fluida, kod kojih djelie ne sarno da se moze laetati translatorno iii rotirati neovisno 0 ostaloj masi, vee je i deformabilan. Na dje1iee fluida dje1uju sljedeee sile:

.. spoljasnje (zapreminske) sile, kao npr. zemljina teZa, " sile pritiska (unutrasnje sile) kao posljedica razlike pritiska u pojedinim

tackama fluidnog prostora, .. visko=e sile kao posljedica unutrasnjeg trenja fluidnih djelica, .. elasticne sile, koje su izrazenije sto je fluid stisljiviji i .. inercione sile jednake prozivodu mase i ubrzanja.

Putanja (trajektorija) je skup svih tacaka laoz koje prolazi materijalna tacka koja se

laeee, to je geometrijsko mjesto laajeva vektora r(t):

ret) = xCt) i + yet) j+ z(t)k.

Dio putanje koji materijalna tacka prede za odredeno vrijeme zove se put s.

(a)

Stika: 73: Polje brzina po Eulerovom (a) i definisanje strujanja po Lagrangeovom (b) principu

U kinematici fluida moguee je dvostrano proistupiti proucavanju: Ii Eulerov nacin se bazira na uocavanju tacke u prostoru u izabranoj vremenskoj

sekvenci i odredivanje u njoj brzine, pritiska i drugih velicrna, .. Lagrangeov nacin podrazumijeva praeenje putanje djeliea fluida kroz prostor,

kako se to radi i u mehanici cvrstih tijela,

::

-+ "

Slika: 74: Definisanje strujanja po Eulerovom principu

Brzina se moze, po Eulerovom principu, definisati kao funkcija pocetnog vektora polozaja i promjene vektora polozaja u vTemenu,

V = 1(1'(1'0' To), r),

;

Slika: 75: Difinisanje strujanja po Lagrangeovom principu Po Lagrangeovom principu posmatramo polozaj izabrane tacke iIi elementame zapremine fluida promjenom vektora polozaja, tako da je brzina funkcija vektora polozaja i vremena:

v= IV-; ,1')

79/267

3.1.1. Veiioina kao funkdja polooaja i vremena

Velicina Y se moze jzraziti kao funkcija polo.zaja tijela i vremena:

y ~ Y (xj, X2, X3, ~.

Y - funkcija poija

[12l]

Kod strujanja govorimo 0 "strujnom polju". Na osnovu funkcije polozaja tijela i vremena moze se odrediti putanja tacke i njena pozicija u proizvoljnom trenutku vremena.

o

Slika: 76: Funkcija po!oiaja

3.1.2. Brzina i trajeldorija

1z polozaja Xi proizvoljnim elementarnim prirastajem dx, pre1azi se na bliski polozaj Xi + dx,.

Slika 77: Trajektorija i vektor poloiaja

Ako se pomjeranje ne obavlja proizYoljno vee s djelicem, a odgovarajuce elementarno pomjeranje se o=aci sa DXi , onda ee za vrijeme Dt (veliko slovo D ukazuje prirastaj vezan za djelic fluida) brzina djelica biti:

80/267

Cirkulacija po zatvorenoj konturi:

r=fv1 dl.

x

z

Slika 78: Cirkulacija brzine

FInks vektora brzine kroz povrsinu Aje povrsinski integral:

fJV n dA= H(vx dydz+vy dzdx+vz dxdy). A S

[123]

[124]

Trajektorija (putanja djelica fluida) je geometrijsko mjesto tacaka kroz koje djelic prolazi u svom kretanju kroz prostor. Djelic fluida "opisuje svoju trajektoriju" kretanjern.

Izvod po vremenu neke funkcije Y = Y (Xl' X2 ' X3 ' t) koja predstavlja neku od velicna

koje se razmatrajuje:

dY BY ay dxl ay dxz ay dX3 ay dxi -=-+----+----+----= --. dt at aXI dt axz dt aX3 dt at dt

[125]

Ako se prirastaj velicine veie za fluidni djelic, onda prirastaji «Xi i dt ne mogu biti meausobno nezavisni jer se radi 0 elementu trajektorije za odgovarajuci prirastaj vremena, sto je u stvari brzina Vi'

Ako i dalje zadrzimo konvenciju o=acavanja velikim slovom "D" izvod po vremenu koji se odnosi na djelic fluida, odnosno na materiju, mozemo pisati materijalni izvod, odnosno izvod po trajektoriji:

DY

Dt

gdje je:

8Y

8Y

at

ay + vi -,

8xi

- - lokalna komponenta (polozaj), at

ay v· - - konvektiVf!a komponenta (kretanJ·e).

I axi

81/268

[126]

d:

~ ..... ·1' ...... ·' ...... · -r ......... '; ..................... .

~ \~. : .:

$:····················///1··",·· ........ ,./ I

s

Stika 79: Brzina elementarne zapremine fluida

Brzina elementame zaprernine fluida sa prethodne slike moze se izraziti kao funkcija prostomih koordinata i vremena:

v = !(x,y,z;r),

Deflllisemo Ii vremensku komponentu ubrzanja, mozemo pisati:

Prostomu komponentu ubrzanja mozemo defmisati koristeci promjenu vektora polozaja:

dv dF a =--

r df dr: .

Vremenska komponenta ubrzanja se jos naziva i "lokalno ubrzanje", a prostoma komponenta ,,konvektivno ubrzanje". Ukupno ubrzanje je zbir lokalnog i konvektivnog ubrzanja:

dv dv dF a=a +a =-+--.

" r dt df d,

3.1.3. Strujnica i emisiona linlja

Strnjnica je Iinija koja se odnosi na izabrani trenutak vremena. U 5vakoj tacki irna ta.'1gentu u pravcu brzine u toj tacki. Iako i trajektorija i strujnica imaju tangente u pravcu brzine, razlika je u tome sto strujnica daje "fotografsku istovremenost", a kod trajektorije tangente se odnose na brzine izabranog djelica fluida u razliCitim vremenskim trenucima.

82/268

,P

Stika 80: Trajektorya i strvJnica

Zamislimo elementamu plohu na proizvoljno izabranom profilu u struji fluida, "skup strujnica" koje prolaze kroz tacke izabrane male povrsine formirat ce snop strujnica, odnosno elementarno strujno vlakno. Skup svih strujnih vlakana unutar povrsine poprecnog presjeka struje cini ukupni strujni tok tekuCine. Ovakva raspodjela cestica u prostoruje zamisljena kao olaksavajuca okolnost u izucavanju.

3.1.4. Materijalni lzvod

Materijalni izvod je "brzina prirastaja" (prirastaj u jedinici vremena) velicine Y koju posjeduje djelic fluida. Npr., ako Y oznacava gustinu (iii pritisak, brzinu i 51), onda ce DY IDt oznacavati prirastaj gustine djelica u jedinici vremena (iIi pritiska, brzine i 51.). Lokalna komponenta 5e 5vodi na "promjene u mjestu", odnosno slucaj kada je brzina jednaka nula i ako nema kretanja. Ako se djelic fluida krece onda je lokalna komponenta jednaka nuli, a konvektivna komponenta defmise promjenu (prirastaj) velicine. Brzina je materijalni izvod polozaja djelica fluida.

3.1.5. Ubrzcmje

Ubrzanje je materijalni izvod brzine, jer predstavlja "brzinu kojom se mijenja brzina" djelica fluida, odnosno ubrzanje je "prirastaj brzine u jedinici vremena". Moze se pisati:

Dv. 8v. 8u. __ ._' = __ 1 + V. __ 1

Dt 8t ' 8x;

Dv. __ 1 _ ubrzanje djelica fluida; Dt

8v. __ 1 _ lokalno ubrzanje; of bu.

V. __ .1 - konvektivno ubrzanje. '8xi

83/268

3.1.6. Gaussova teorema

Iz izraza za elementamu masu moze se preCi na izraz za "konacnu masu" jednostavnim integriranjem po zaprenrini - dobit ce se zaprenrinski integral. Izrazi velicina koje su rasporedene po granicnoj povrsini mogu se predstaviti i povrsinskim integralom.

n" ~I:e i "~.iiIlBI!ll!illIl.IlIIIlIIIi1~t~l- ----g"a.;-----" :.:":.:.----~--'----.

v i i I I I !

X,+._.~ ___ ._._._._._._._ .. _._ .. _._ .. _ .. _._ .. _._._._.,~.~ . x, L ____ ._._. ___ ._. ___ . ....,..

xi

Stika 81: Pretvaranje zapreminskag integrala u pavrsinski nJ - jedinicni vektar (art) spaljne normale (spoljna normala u svakoj tacki granicne pavrsine leii u pravcu normale na povrsinu, a usmjerenaje ad razmatrane zapremine

napolje)

Zapremina V ogranicena je zatvorenom povrsinom A. U odredenom trenutl..'U vremena napisan je zapreminski integral koji se odnosi na cijelu posmatranu zapreminu:

1= f oY dV v oX1

[127]

Od ukupne zapremine V uzmimo "stapic" kvadratnog presjeka {dxZ'dx3}, koji se u pravcu "1" pruZa kroz cijelu zapreminu, odnosno od x/ do X/I.

Izabrani elernntami dio iznosi:

1/ XI BY

oI=dx2 dx3 J-dx1 = dx2 dx3 (YII -YI ),

IOXI XI

[128]

gdje su YI i YII vrijednosti na granicnim povrsinama "stapica" koje su ujedno i dio granicne povrsine A cijele zapremine V. Granicne povrsine dAr i dAn irnaju zajednicku projekciju dx2 dX3 (normalnu na pravac 1) koja se moze izraziti sa:

dX2 dx3 =dAJ (-ni)

iIi

dX2 dX3 =dAII nil

Kornponenta vektora ni u pravcu ose 1 je n), pa je nl kosinus ugla izmedu ase I i normale. Zato se dx2 i dX3, kao projekcija diferencijalno malih povrsina dAr i dAIl na ravan normalnu na osu 1, rnoze izraziti kao u prethodnim jednacinama. Smjenorn dalje mozemo pisati:

84/268

Kako je ovim obuhvacen ukupan dion granicne povrsine A koji pripada "stapicu" moze se pisati:

oI=Ynl dA,

sto se dalje moze integrisati po cijeloj povrsini A. Tada ce "stapi6ima" biti obuhvacena cijela zapremina V. To maCi"da ovako dobiven pOvrSinski integral izraiava isto sto i zaprenrinski, te mozemo izvrsiti izjednacavanje:

1= fYn1dA= fO: dV. A V 0."1

[129]

Ovo izjednacavanje povrsinskog i zapreminskog integrala pomato je kao "Gaussova teorema".

z

y x

Slika 82: Uz Gaussovu tearemue mehanikefluida

Posmatrajmo u strujnom polju elementamu zaprenrinu dV=dx dy dz pravougaonog paralelopipeda ivica dx, dy i dz. Za vrijeme dt u zaprenrinu ude pravcem ose y Ckroz lijevu stranu paralelopipeda) kolicina fluida Vy dx dz dt (zapreminska). Pretpostavimo da su brzine svih tacaka na profilu paralelopipeda okomitom na osu y podjednake brzine (mali paralelopiped), a da su eventualne razlike strana zanemarivo male. Jasno je kako kolicinu fluida koja ulazi kroz stranu paralelopipeda dx dz odreduje sarno komponenta brzine Vy . Za vrijeme dt isteCi ce kolicina fluida ((vy +dvy ) dx dz dt), sto znaCi da je za elementamo vrijeme paralelopipedom isteklo vise fluida no sto je uslo. Razlika imosi:

(vy +dvJdxdzdt -vy dxdzd, =dvy dxdzd,.

U neprekidnom strujom polju mozerno zanemariti male velicine niZeg ranga, te se moze pisati da je:

Ov dvy =-y-dy,

8y

te se prethodni rezultat transformise:

dv v dv dvy dxdzd, =_. dydxdzde =_Y dV de

dy dy

Na isti naCin se mogu izracunati i «viskovi» isteklog fluida u pravcima x i z, a oni imose:

85/268

Ovx dV d't ax

i Ovz dV d't . az

Fluidna zapremina dV koju je prvobitno zauzirnao paralelopiped povecala se za vrijeme dT; (na raeun smanjenja gustine) za razliku d(dV) koju cine kolicina fluidz. istekla iz pa.'"alelopipeda i ona koja je uSla u paralelopiped. Ova razlika iznosi:

I ) (av Ov Ov) . _ d\dV = _x +_Y +_z dV d't =dlVV dV d't, \8x 0; az

odalde slijedi :

_. _ d(dV) dlVV=---.

dV d't

Dakle, divergencija brzine strujanja je brojno jednaka visku zapremine fluida koji istece u jedinici vremena iz jedinice zapremine fluidnog prostora. Dobiveni obrazac vaZi za bilo kakakv oblik elementame zapremine dV.

X

k

"'Z

I .i.-._._._._._._._._> y dV= dxdydz

Slika 83: Elementarni cilindar

Neka je dA povrsina oko elementame zapremine dV. Ona se prvo moze izdijeliti na vise elementarnih ploha da=dx dy, te posmatrati kolicina fluida koja prode za vrijeme dT; kroz jednu takvu elementamu plohu. Zaprernina fluida koja se zadrZi u elementamom

cilindru osnove da i visine 11 cos(ii cia.) dr iznosi (J aa.)dr. Kroz plohu a strujat ce u jedinici vrernena zapreminski protok fluida:

dQ=dV'= fda,

gdje je

dQ - e1ementarni zapreminski protok.

Izjednacavanjem oba izraza dobije se:

86/268

Pojarn zapreminskog protoka je od velikog znacaja za mehaniku fluida, jeT se odnosi ne sarno na POVTSinU oko neke zapremine vee i na bilo kakvu zatvoTenu iIi otvorenu povrsinu. Zato se pod izrazom:

Q=V'= FdA [130] A

podrazumijeva zapremina fluida koja u jedinici VTemena prode kroz povrsinu A.

3.1.7. Piotok

Pretpostavimo da fluid struji iz cijevi u posudu konstantnom brzinom. Ako tokom vremena toto [s] iscuri u posudu masa fluida m-mo [kg], maseni protok mozerno defmisati kao medusobni odnos ~ve dvije veJicine, odnosno kao masu fluida koja protece u jedinici vremena:

· , t,.m [kg] ( . k . b .. .. ) m=m =-- -- pn onstantnOj rzlill struJanJa .6:1: S

/ /\

! ( i I \ '; ; \ J

\! S, [m2] to tj

I, Lll, [m] ,I Slika 84: Brzina strz{janja i preaeni put kao faktori zapreminskog protoka

U opcem slucaju, maseni protok je izvod mase po vrernenu, odnosno pisano u diferencijalnom obliku:

· , dm [kg] m=m =-- -- . dr s

[131]

Pretpostavimo Ii da je fluid koji struji kroz cijev nestisIjiv, onda zaprerninskl protok rnozemo izraziti analogno kao zapreminu fluida koja protece cjevovodorn u jedinici vremena:

· ,flV [m3] V = V =-- -- (pri konstantnoj brzini tecenja) t,.'t S

U opcem slucaju maseni protok je izvod mase po vremenu, odnosno pisano u diferencijainom obliku:

87/268

Posmatramo Ii fluid u poprecnom profilu <<0» i njegovo kretanje do poprecnog proftla «1», brzinu strujanja mozemo izraziti leao predeni put u jedinici vremena:

Kolicinik predenog puta i poprecnog presjelea cijevi ce dati zapreminu fluida koja iscuri tokom vremena t:

AV=AAI.

Zamjenom u izrazu za zapreminski protok dalje mozemo pisati:

vr=A~=Av [m3

].

A'T s [132]

Ako je poznat zapreminski protok fluida i poprecni presjek cijevi, srednja brzina strujanja se moze izracunati iz prethod.'1og izraza:

[133]

Kod nestisljivih fluida, odnosno ako se stisljivost moze zanemariti, mnozenjem zapreminskog protoka sa specificnom masom fluida dobit cemo maseni pIotok:

V'p=m'

Dalje se maseni protok moze pisati leao:

m'=vAp.

3.2. Termodinamicke osnove strujanja

3.2.1. Opec jednccina ga5nog stanja

Stanje gasa odredeno je sa tri velicine stanja: p--apsolutni pritisak gasa, EPa]; T-apsolutna temperatura gasa, [K]; v- specificna zapremina, [m3 !kg].

[134]

[135]

Opca jednacina gasnog stanja predstavlja izraz medusobne zavisnosti pritiska, temperature i specificne zapremine gasa, odnosno gasne smjese. Prvo je izvedena eksperimentalno, a kasnije je potvrdena na osnovu jednacina kineticke teorije idealnog 'gasa ista.

Posmatramo Ii masu proizvoljnog idealnog gasa m (odnosno molamu masu M) i promjene termodinarnickih velicina koje mogu nastati (promjenama temperature, pritiska i specificne zapremine) mozemo uociti jednostavnu zakonitost koja predstavlja opeu jednacinu gasnog stanja, odnosno poznati Clapeyronov izraz.

88/268

Slika 85: Promjene termodinamickih veliCina gasa

Pri zagrijavanju gasa dovodi se koliCina toplote sa drugog tijela, te dolazi do tendencije porasta temperature, zapremine koju gas zauzima i pritiska. Takoder, pri hladenju gasa dolazi do tendencija promjene pomenutih velicina u suprotnom smjeru.

Mozemo pretpostaviti i slucaj sabijanja gasa (kompresije) na manju zapreminu. Pri tome se javlja tendencija poveeanja temperature, a S obzirom na to da se fadi 0 istoj masi vazduha, dolazi i do poveeanja pritiska.

Pretpostavimo da se jedinicna molama masa gasa M= 1 iz stfu"1.ja:

M=I, Po, Yo, To

izlaZe procesima promjene temperature, specificne zapremine iii pritiska, pod uticajem zagrijavanja-hladenja iIi kompresije--dekompresije.

Posmatramo Ii promjene jediniene mase u vise faza:

prva faza

drugafaza

n-tafaza

onstantnost odnosa

Vj = P2 v2 :::: ...... = Pn vn =Const . T2 T"

(136)

tanta C je karakteristika pojedinacne vrste gasa iIi gasne smjese i naziva se gasna konstanta. .

Odavde se moze pisati:

pv= Canst * T

Uocena funkcionalna zavisnost se moze pisati na vise naCina. Termicka jednaCina stanja za jedan mol idealnog gasa glasi:

89/267

pvm=RT, [137]

(vm - molarna zapremina)

sto se naziva opca jednaCina gasnog stanja iii Clapeyronova jednacina.

Proizvod moine tezine i odgovarajuce gasne konstfu1.te za sve je gasove jednak i naziva se opcam gasnom KOl1stantom po Boltzmannu:

Ro = M . R = 8315 [J/molK]

gdje je

R=~ [~] M kgK

- konstanta posmatranog gasa [138]

Za proizvoljan broj molova n, oblik jednaCine je pV = nRoT. Za jedan kilogram idealnog gasa, termicka jednacina stanja imat ce oblik:

pv=RT.

Za izraz ukupne mase i zapremine gasa mozemo pisati: pV= mRT. Termickajednaeina stfu"1ja idealnog gasa izraZena preko gustine gJasi:

p=pRT [139J

Open - univerzalnu gasnu koustautu mozemo izdvojiti iz opee jednacine gasnog stanja kao:

~=pv . T

[140]

Na osnovu opee gasne konstante Ro = 8314,41 J/kg K i molarne M participijenata odreduje se molna tezina gasne smjese. Zanemari Ii se uticaj gasova, kao sto su neon, helij i drugi, pri sastavu 20,94% O2, 78,09% N2, 0,93% Ar i 0,03% CO2 ona za atmosferski suhi vazduh iznosi:

M =0,2095·32+0,7809·28,16+0,0093·39,948+0,0003·44,01= 28,9664 [kglkruol].

Prema tome, gasna konstanta suhog atmosferskog vazduha iznosi:

R" Ro M

8314,14 28704 [Jjk K]. 28,9664 ' g

[141]

Gasna konstanta vodene pare iznosi: Rw = 461,334 [J/kgK). Gasna konstanta vlaZnog atmosferskog vazdUt'1a s vlafuoscu x kg H20l1 kg suhog vazduha iznosi :

[142]

3.2.2. Red promjene zcpremine

Pretvaranje jednog u drugi oblik energije je uvijek vezano za neko tijdo, koje se u termodinamici naziva raOuo tijeio, a okolna tijela se pri tome posmatraju kao radua

90/267

sredina, odnosno okoLcla sredina. Gasovita tijela su se pokazala kao wlo povoljna pri pretvaranju toplotne u mehanicku energiju.

Apsolutni mil je mehanicki rad koji je proizvod iIi uzrok proII1.jene zapremine radne materije i naziva se zapreminski rad. POSto se odvodenjem iii dovodenjem apsolutnog racta mijenja toplotno stanje materije, to dolazi i do spoljnjeg uticaja u smislu proiaska toplote kroz adijabatske powSine (zidove).

SUa: F=pS Rad: W=pSl Zapremina: dV = Sf Rad: W=pdV

Slilw 86: Toplotni rad promjene zapremine

Izraz rad odnosi se na razmjenu energije izmedu sistema i njegove okoline. Pretpostavimo da sila dF djeluje pritiskom p na jedinicu elementarne povrsine dS. Sila koja djeluje na jedinicu povrsine jednaka je:

dF = p ds. (143]

Dode Ii do pomjeranja povrsine za elementarnu duiinu dl, izvrseni rad moze se izracunati:

dW = dF dL = p dA dl.

p

B

v

Slika 87: Radni p-v dijagram

lntegracija cijelom povrsinom na kojoj djeluje pritisak dat ee:

dW= pA dI,

gdje je S ukupna povrsina na koju djeluje pritisak p.

Kada se rad W manifestuje kao poecanje zapremine fluida, odnosno kao rad protiv spoljnjih sila, mozemo pisati:

dW= p dV [J].

Podijelilmo Ii prethodnu jednacinu s masom, mozerno govoriti 0 specificnorn radu:

dw=pdv [J/kg].

Za proces up-v dijagramu od tacke A do tacke B, uocimo da rad odgovara povrsini ispod krive procesa u ovorn dijagramu, pa rnozerno pisati:

Js . W = A P Ill!' [144]

3.2.3. Prvj zakon termodinamike

Prvi zakon termodinamike je princip ocuvanja energije. Prema zakonu 0 odrZanju energije iz fizike, ako se vrsi neka fizicka promjena stanja radne materije, govorimo 0

transformaciji energije iz jednog vida u drugi. Joule (Dful) je eksperimentalno dokazao da izmedu utrosenog rada i dobijene toplote postoji odnos:

nW=Q.

Pretvaranje rada u toplotu odvija se spontano, dok je pretvaranje toplote urad rnoguce sarno pod odredenirn uslovirna. Ovirn se zakonorn konstatuje kako je Cisti protok energije kroz granicnu povrsinu :radnog sistema jednak promjeni energije sistema. Uvijek kada imamo prenos energije kroz granicnu povrsinu, a iz principa 0 ocuvanju energije, slijedi da je prirast energije u sisternu upravo je~ak ukupno prenesenoj energlJ1.

UrUJ=Q-W

Prethodni izraz predstavlja matematicku formulaciju I zakona termodinanrike. U diferencijalno obliku slijedi:

Stika 88: Prvi zakon termodinamike

dU=dQ-dW,

a izraZeno u specificnim velicinama:

du = dq-dw.

Kada govorirno 0 k:ruZnim procesirna, iz ovog zakona je jasno da je nernoguce konstruisati masinu koja bi ciklicno radila, a pri tome davala vise energije u obliku rada nego sto je apsorbovala u obliku toplate. Ovakva masina se popularno naziva

92/268

perpetuum mobile prve vrste, pa se I zakon termodinamike cesto definise kao iskaz: "Perpetuum mobile prve vrste je nernoguc". Ovo je, svakako, u skladu sa Cinjenicorn da je unutrasnja energija sistema funkcija njegovog stanja, a ne istorije, odnosno puta do tog stanja. Unutrasnja energija se mijenja sarno ako se sisternu dovodi iIi odvodi energija u vidu rada iIi toplote.

Pocetna energija je E' t:.E]Ok + E], a krajnja energija nakon promjene

E" = E 20k + E2 . lJkupan fad se moze izraziti kao:

W=-(E"- E')=E'-E"

W=(E]ok +E1 )-(E20k +E2 )

odakle je

E 2 - E I = - W + (E 10k = E 20k )

[145]

[146]

Energija (E]ok - E 2ok ) je energija uzajarnnog dejstva tijela i okoline, koja se razlikuje

od rada. Izdvaja se u vidu toplote, te rnozerno pisati:

[147]

Dalje se supstitucijom rnoze doti do izraza:

[148]

Kako je E 2 - E] = U - prornjena unutrasnje energije, rnozerno dalje pisati:

LiU=Q-W, [149]

sto je analiticki izraz prvog principa termodinarnike. Ovaj izraz se moze pisati i preko sume koliCine toplote:

Q=LiU+W [J]

q=Liu+w [~] [150]

5q=du+Ow

Unutrasnja energija «u» kaa velicina stanja ima svoj totalni diferencijal, dok velicine procesa q i w nemaju totalnog diferencijaJa, jer zavise od puta i naCina izvodenja procesa. Kako bi se ova razlika istakJa za totaJni diferencijal, data je oznaka «d», dok se za q i w koristi oznaka «15».

3.2.4. StatistiJka te::::ina i entropija

Pod statistickom tezinom (Wst) podrazumijevarno broj razIiCitih rnoguCih mikrostanja koja daju isto rnakrostanje. Svaka promjena u izolovanorn sisternu odvija se u pravcu porasta statisticke tdine. Ako je izolovani sistem dostigao stanje s najvecom statistickom tezinom, onda nema viSe nikakvih makroskopskih prornjena i sistem je u termodinamickoj ravnotdi.

93/269

Entropija (S,5 kJIK, kJ/(kg K) ) je, prema Clausiusu, ekvivalentni izraz u termodinamici za staticku tezinu. Ima oznaku S i ovisi od staticke tezine:

S = kIn Ws/,

odnosno specificna entalpij a

s = k In ws/,

gdje je k=1.380621·23 JIK - Boltzmanova konstanta.

U slucaju povratnog (reverzibilnog) ciklusa, kao sto je npr. kruZni Camotov cOOus, Clausius je uoCio da je kruZni integral izmijenjene kolicine toplote po temperaturi jednak nuli:

[151]

Pomenuti Odl10S izmijenjene kolicine tolote i temperature Clausius je oznacio oznakom s, odnosno S i nazvao entropijom:

dQ=dS T

odnosno dQ=TdS.

Jasno je da se u slucaju entropije vece od nula radi 0 ireverzibilnim termodinamickim procesima.

3.2.5. Matemati::::ki izraz drugog zakona termodinamike

Za reverzibilni Camotov cOOus, odnosi kolicina toplote i temperatura se mogu pisati:

Q-Qo T-To [152] Q T

gdje je Qo odvedena toplota, pa se poslije sredivanja rnoze dobiti:

[153]

v

Slika 89: Opi:i sluca) kruinog ciklusa u p-v dijagramu

Za proizvoljan kruZni ciklus (koji se uvijek zatvara u istoj tacki), a koji mozerno zamisliti kao proizvoljan broj Camotovih ciklusa podijeljenih adijabatama, mozerno pisati u opcem slucaju:

94(269

J 8;1 + J ;2 = 0, odnosno fa; =0. AlB 1 A2B 2

Ovo je poznati Clausiusov integral za povratni cOOus.

1'.1' p ··i·~(a)

\'\ ~~ 1\ ~ : ... ~ '\ : ',~~(~

...... ~ ........................ ,2 , ,

v )

Slika 90: Kruini ciklus s nultom entropijom

OCito je da izraz 8QIT ima velicinu stanja (jer mu je integral po zatvorenoj krivoj cOOusa jednak nuli). To znaci, s druge strane, da 8QIT ima totalan diferencijal , iako sam 8Q nije totalan diferencijal. Clausisus je odnos 8QIT oznaCio sa dS, pri cemu je S nazvao entropija. Prema tome, za povratne procese je

dS=BQ T

sto je matematicki izraz II zakona termodnamike.

3.3. Reynoldsov broj

[154]

Viskoznost realnih tekucine dovodi do odstupanja u karakteristikan1a strujanja u ocit"10SU na idealne tekucine. Dio kineticke energije se trosi na savladivanje unutrasnjeg trenja. Pod uticajem viskoznosti dolazi do pojave dva karakteristicna strujanja relanih tekucina:

.. Laminamo strujanje (stacionamo),

.. Turbulentno strujanje (kvazistacionamo).

Izmedu ova dva karakteristicna rezima postoji i prelazni rezim koji sadrZi elemente i jednog i drugog strujanja. Razliku izmedu ova dva strujanja mozerno uoCiti na osnovu Reynoldsovog 21 eksperimenta.

Slika 91: Reynoldsov eksperiment

210sbomeReynolds(1842-1912)

95/268

Brzina tekueine pri kojoj nastaje prelazak iz laminarnog rezima u turbulentni naziva se kriticna brzina (Vkr), koja, osim viskoznosti zavisi i od niza dmgih faktofa. Prelazak iz turbulentnog u laminamo strujanje se ne moze ostvariti pri kriticnoj brzini, vee pri nekoj rnanjoj brzini. Zbog toga se uvode pojmovi gornja i donja kriticna brzina (Vkrg, Vkrd).

Slika 92: Laminarno i turbulentno strujanje

Reynolds je ustanovio da prelazak iz laminamog u turbulentni rezim zavisi od:

..

..

.. v=~

p

brzine kretanja tekueine v [mls] ,

precnika cijevi kojom se tekueina kreee D Em],

viskoznosti, odnosno kinematickog koeficijenta viskoznosti:

[ ~2l Uocavamo da odnos

vD nakon ?ito se skrate jedinice, daje bezdimenzionalnu

V

velicinu, odnosno broj:

Re=vD [:~ =m2S=(_)].

V m m2 s

s

[155]

koji je poznat kao "Reynoldsov broj". Ovaj broj ima siroku primjenu u izucavanju fluida jer sluii kao pokazatelj rezima strujanja tekucine. Za kriticnu brzinu strujanja fluida Vin vrijednost Reynolds-ovog broja pri kome ce doti do promjene rezima strujanja mozemo pisati:

R _ vb- D

ekr ---V

Donja kriticna brzina razgramcava laminami tok od prelaznog rezima, dok gomja kriticna brzina razdvaja prelazni rezim od turbulentnog strujanja:

V vkrg = Re krg -

D

96/268

Na osnovu serije eksperimenata utvrdeno je kako su kriticne vrijednosti Reynoldsovog broja za realne fluide:

Re krd =2320 Re krg =13800

Na osnovu poznatih kriticnih vrijednosti Reynoldsovog broja mozemo izraziti kriticne brzine: I'

Vkrg

13800 V

D V krg

13800 V

D

Na bazi eksperimentalnih mjerenja strujanja fluida se, ovisno 0 Reynoldsovom broju, mogu podijeliti na 6 kategorija: O<Re<1 visoko viskozno laminarno strujanje 1 <Re<100 laminamo strujanje izrazito ovisno 0 Reynoldsovom broju lOO<Re<103 laminamo strujanje, granicni sloj 103 <Re<lO' tranzicija ka turbulentnom strujanju 104<Re<106 turbulentno strujanje srednje ovisno 0 Reynoldsovom broju Re>106 turbulentno strujanje malo ovisno 0 Reynoldsovom broju

3.4. Vrste strujanja f!uida

Strujanje fluida je oblik kretanja mase, odnosno promjena prostomih koordinata izazvana razliCitim vrstama neuravnotezenosti. Fluid u ravnotemom stanju na koji ne djeluju nikakve spoljnje sile wiruje, dok promjene pritiska, toplotni fluks, elektricitet iIi razlike u hemijskom sastavu mogu biti uzrokom poremeeaja ravnotdnog stanja i pojave kretanja masa, odnosno strujanja.

Ovisno 0 nacinu posmatranja strujanja s fokusorn na elernentamu zapreminu fluida i prostome i druge promjene ove elementame zapremine, iIi posmatranja proizvoljnog dijela prostora u kome struji fluid i promjena koje se nalaze unutar njega, moguee je diferencirati dva pristupa poznata kao Lagrangeov i Eulerov opis strujanja.

Lagrange-ov opis strujanja polazi od identificiranja elementarne zapremine fluida njenom pocetnom pozicijom:

Ovisno 0 vremenu poziciju elementame zapremine mozerno defrnisati kao:

X=X(Xo,t)

Kako je za t=tO i (Xo' t )=xo, umjesto pocetne pozicije Xo mozerno uvesti tri konstante

(a,b,c) koje sujednoznacno vezane saxo: Xo =xo(a) i a =(a,b,c).

Putanja elernentarne zapremine i promjene pritiska i gustine se mogu pisati: x=x(ii,t)

p=p(a,t)

p= p(a,t)

97/268

Tabela 10: Strujanja do /wjih dovode razliCiti vidovi energetskih uticaja pritiska, topiote, elektriciteta iii hemijske energije na fluide, toplotu, elektricitet i jonizaciju

T ennoosmoza Elektroosmoza Normalna osmoza

Izotermalni FOURIEROV Pelterov'22 Dufourov23 efelct ZAKON efekt

Piezo-- Tennoelektricitet OHlvlOV Difuzioni i elektricitet membnmski

potencijaJ

Plazma Soretov efekt Ele1:t:ro-foreza FICKOV ZAKON (tennalna difuzija)

Osnovne jednacine na osnovu kojih su izvedene dokazane zakonitosti u oblasti mehanike fluida su:

e Zakon 0 odrZanju rnase, " Zakon 0 oclrZanju energije, .. Njutnovi zakoni mehanike, .. Princip ugaonog momenta, " Navier-Stokesove24 jednacine .. Prvi zakon termodinamike i " Drugi zakon termodinamike.

Stacionarno (ustaljeno) strujanje je specijalni slucaj strujanja kod koga brzina, pritisak i gustina ne zavise od vremena, odnosno ako vaZi:

~=o· m ' odnosno

8p =0' m '

p = .t; (x,y,z},

8v =0 m '

22 Charles Peltier (1785-1845)

23 Energetski tok usljed masenog gradijenta koji nastaje kao posljedica nepovratnih procesa.

24 Claude-Louis Navier 1785-1836, George Stokes 1819-1903

98/268

A B

Slika 93: Ravnomjerno i neravnomjerno stacionarno strujanje

Stacionarno lcretanje moze biti: ravnomjerno (a) iIi neravnomjerno (b). Kod ravnomjernog stacionarnog lcretanja duZ cijelog posrnatranog toka, na istoj dubini, ne mijenjaju se brzina i pritisak. Neravnomjerno stacionarno lcretanje karakterisu promjene brzine i pritiska duZ struje fluida. Tokom vremena se zadrzava istovjetna slika strujanja, odnosno u bilo kojem proizvoljno izabranorn profilu ne mijenjaju se brzina strujanja i pritisak.

Slika 94: Nevrtloino (a) i vrtloino (b) strujanje

Kod nestacionarnog (neustaljenog) strujanja, jedna iii vise pomenutih velicina su promjenljive tokom vremena. Pri strujanju, odnosno pri prelasku elementarnog djelica tekucine iz jedne tacke u drugu, mozemo u funkciji prostornih koordinata i vremena defmisati gustinu, pritisak i brzinu kao:

p=.t; (x,y,z,t), p= 12 (x,y,z,t), V= 13 (x,y,z,t}

Strujno vlakno (strujna cijev) je dio fiuida ograrncen strujnim imijama koje pro laze lcroz sve tacke beskonacno rnale zatvorene konture.

99/268

NEVISKOZNA VISKOZNA

Komprimabilna

Slika: Vrste strujanja

Na osnovu odnosa brzine strujanja u odnosu na brzinu prostiranja zvuka kroz fluid (Machov broj), strujanja se mogupodijeliti na: .. (0,0<NMa<0,3) Nekomprimabilni tok (gustoca konstantna) .. (0,3 < NMa < 0,8) Podzvucni tok (promjene gustoce znacajne) " (0,8 < NMa < 1,2) Transsonicni tok (probijanje zvucnog zida) .. (1,2 < NMa < 3,0) Nadzvucni (supersonieni) tok .. (3,0 < NMa <) Hipersonicni tok

Ovisno 0 oblasti pri.mjene, u praksi se susrecu svi modovi strujanja: od nekomprimabilnog sporog filtracionog toka tecnosti u geoloskom vremenu do balistike, avio iIi raketne industrije, gdje se stmjanja modeliraju u super iIi hipersonienom tolm. Svaka od navedenih kategorija strujanja ima svoje osobine, te su razvijene posebne oblasti mehanike fluida koje se prete:mo bave me specificiranim dijeiom iz jedne iii vise kategorija strujanja.

3.5. Teorija slicnosti

Fizikalnom analogijom se uporeduju karakteristike razliCitih fiziekih pojava (termodinamiekih, hidraulickih, elektrienih i slicno).

., Geometrijska slicnost (dpri/dmodel)=const

.. Vremenska slicnost

V 1: Struhalov kriterij: H 0 = _sl_ = canst

d (v-brzina, T-vtijeme, d-precnik)

" Kinematieka slicnost

V r -P-=const Vmod

100{268

" Dinamieka slienost (Re=const)

.. Toplotna siienost (Furierov broj, Bitov broj, Nuseltov broj itd)

I I'

Kriterij slicnosti - vrijeme i odnos brzina:

~ v] '] d] 1: z V

z = dz = d

z ~

'z .2=~~ 1: z dz v]

~ . a] 1:] v~ dz UbrzanJa: -=-=2-

a z Vz Vz d]

1:2

Viskozne sile:

101{268

-j

[156]

[157]

A dV 1

Fvl 111 Id m l a l = Yl

Fv2 A dV 2 m 2 Q 2 [158]

112 2 d Y2

Kako je masa proizvod specificne mase i zapremine, a poprecni presjek mozerno izraziti preko poluprecnika (A =crnI4) slijedi:

d 2 dV I

PIV; 2 d 2

'I111 d VI Yl

P2V2 2 dl d 2 dV2 V 2

'I1 22 d Y2

P1 dl2 ~ P2 d 2 V 2 '112

Dalje slijedi

VI d l v2 d 2

~ '112

PI Pi

odakle slijedi da su dva strujanja slicna ako su Reynoldsovi brojevi slicni.

3.0. lakon 0 odrzanju mase: jednacina kontinuiteta

3.6.1. Odrfanje mase u kontrolnoJ zapremini

[159]

Prema zakonu 0 odrZanju mase ista ne moze biti napravIjena iz nicega niti unistena. Pri strujanju nestisljivog fluida princip odrzanja mase znacit ce da tokom vremena ista masa fluida ude u kontrolnu zapreminu i iz nje izade.

Ulazni

Kontrolna z~prcmin[l

m~~seni --i!IiIl>­protol'

Slika 95: Maseni protok kroz kontrolnu zapreminu

102/268

Posmatramo Ii strujanje fluida kroz cijev promjenljivog poprecnog presjeka, na osnovu zakona kontinuiteta, odnosno zakona 0 odrZanju mase mozemo pisati da je:

odnosno

Slika 96: Protok kroz cijev pro mjen ljivog popreenog presjeka

Prethodna jednacina se naziva jednacina kontinuiteta, a predstavlja interpretaciju zakona o odrZanju masa na strujanje fluida u slucaju kada nema zadrzavanja fluida dliZ struje.

3.6.2. Odr=avanje mase u uvomoj ta'Jki

Slika 97: Pi-imjena zakona 0 odrianju masa na zbir masenih protoka koji ulaze u cvori.fte i daze I::: njega

Na osnovu zakona 0 odrianju mase moze se izvesti zakljucak da je pri strujanju masa fluida koja ude u cvomu tacku jednaka je masi fluida koja izlazi iz cvome tacke, odnosno da je zbir ulaznih i izlaznih masenih protoka jednak:

103/269

gdje je

ki = -1 za masene protoke koji ulaze u cvoriste

ki = +lza masene protoke koji izlaze iz cvorista

Prethodnajednacina se moze pisati i kao

[160]

[161]

Za nekomprimabilna ili strujanja kod kojih je promjena gustine zanemariva (Pi = P:: =

... = Pn ::: const), jednacina kontinuiteta se moze pisati:

=0 [162]

3.7. Zakon 0 odrOanju energije: Bernouilijeva jednaOina

Bernoullijeva25 jednacina govori 0 energetskim prornjenarna u fluidu pri strujanju. Ako posmatramo strujni tok dat na narednoj slici, energetski potencijal u svakoj tacki fluida cinit ce tri kornponente:

unutrasnja energija pritiska (Ep), kineticka energija usljed kretanja fluida (Ek) i potencijalna energija kao posljedica djelovanja gravitacije (Ez).

Pretpostavirno da nema energetskih gubitaka, odnosno da se strujanje odvija bez uticaja sila trenj a.

2

/// ;'/// //

Slika 98:Ilustracija za analizu promjene potencijalne, kinetieke i energije pritiska pri strujanju neviskoznih jluida

Polozajna (potencijalna) energija: Kineticka energija:

25 Daniel Bernoulli (1700-1782)

Ep =mgh Ek = mvCI2

104(269

Energija pritiska:

Energija uprofilu 1-1:

2 mVI el =mgzl +--+PI VI

2 ,P

2 mV2

e2 =mgz2 +-2-+ P2 V2

[163]

Kod izvodenja B ernoullij eve jednacine pretpostavit cemo ustaljeno kretanje elementarne strujrrice idealne tekucine, gdje je na osnovu zakona 0 odrzanju mase:

[164]

(v - brzina strujanja jluida, mls; A - popreeni presjek u profilu, mC; dT - vremenski interval; V' - zapreminski protok jluida, m3 Is)

Kretanje tekucine je stacionarno, te su izrnjena energije i obavljeni rad ekvivalentni razlici kinetickih energija izlazne (2-2) i ulazne (1-1) mase fluida. Promjena kineticke energij e iznosi:

[165]

i jednaka je radu sila na odsjecku strujnice. Ovaj rad rnoze se "razloziti" na dvije kornponente: rad sile tete i rad si1a pritiska. Rad sile tete definise se izrazorn:

Rad sila pritiska iznosi:

(z - vertikalno rastojanje od referentne ravni, m; p - hidrodinamieki pritisci u uoeenom presjeku)

Promjena kineticke energije jednaka je radu na uocenorn dijelu strujnice:

[J]. [166]

D ·· I" th dn . dn ,. (pgV'd' I" d' vi V~ + P1 P2 IJeJenJempre 0 eJe acmesa '" T)sljel-----=z1-z -----2g 2g pg pg

Daljim sredivanjern'rnozerno pisati:

odakle mozerno pisati Bernoullijevu jednacinu:

105(269

v2

P -+-+z = canst [m]. 2g pg

[167]

Mnozenjem prethodne jednaCine sa specificnom tezinom y=pg [N/m3] siijedi IZraz

Bemulijeve jednacine u jedinicama pritiska:

2

pv + p+~=canst [Pa]. 2 pg

Uzmemo Ii u obzir i silu trenja, Beronulijevujednacinu mozemo pisati:

pv2 Z --+P+--=Ptr

2 pg [Pa]

v 2 P iIi -+--+z

2g pg =h 'r [m] .

[168]

[169]

(P'r - pad pritiska uslijed gubitaka trenja, h'r - pad visine stuba tekuCine usljed trenja)

3.8. Impuls sHe i moment koliDine kretanja

Fizikalna veliCina koju dobijemo mnozenjem vektora brzine v skalamom vrijednosti mase tijela m nazivamo kolieina kretanja:

K=mv [170]

Kolieina kretanja je vektor usmjeren u smjeru vektora brzine. Impuls sile je vektorska je fizikaina velie ina definirana proizvodom sile i vremena tokom kojeg je sila djelovala. Matematieki se racuna kao:

[17l]

Koiicina kretanja ili impuls sile izraiava se kao proizvod sile i vremena djelovanja sile, a zamjenom mase tijela i njegove brzine:

dv 1= F d r = m - d r = m dv

dr [Ns] [172]

[173]

1z pret..'lOdnog izraza vidimo da se derivacijom impulsa sile po vremenu dobije intenzitet sile, te se iz drugog Newton-ovog zakona fizike moze zakljuCiti da je impuls sile ekvivalentan kolicini kretanja:

106/269

I J

, .-

Sila

Vrijeme, 7:

,....---.--.~-

SISTEM

" F

.... _----"'"

t t t I ENERGIJA

I

\ I

I '" , ,g,1 tol ~I

I

Slika 99: lmpuls site i snaga

Snaga

Vrijeme. t

Uocava se da je impuls sile jednak promjeni kolicine kretanja, odnosno da impuls sile uzrokuje promjenu stanja kretanja. Promjena kineticke energije jednaka je skalamom proizvodu impulsa sile i vektora srednje brzine:

Slika 100: Strujanje u cijevi promjenljivog profila

107/268

Pretpostavimo da se u cijevi promjenljivog profila fluid krecee iz presjeka 1 ka presjeku 2, te da za vrijeme ot fluid prede put duiine ds=v ot. Zapremina fluida koja ulazi u cijev na profilu 1 za vrijeme dtje:

V =AI Vj o. (AJ - poprecni presjek na profilu 1; V1- brzina strujanja, mls)

Masa fluida koja ulazi u cijev tokom vremena 01: :

m=V PI =AI vlot PI' Kolicina kretanja na ulazu u cijev:

Kolicina kretanja na izlasku iz cijevi:

[174]

Sila koja se trosi za kretanje fluida izmedu ulaska i izlaska iz cijevi moze se odrediti kao promjena kolicine kretanja podijeljena s vremenskim intervalom:

F (A2 v2 ot P2 V2 -AI VI ot PI VI)

o. [175]

Za nestisljiv vluid mozerno jednacinu kontinuiteta "izraziti preko zapreminskih protoka, odnosno pisati da je:

V =AI v j =A2 V 2 '

Dalje mozemo izraz za silu pisati:

[176]

Pri strujanju stisljivog fluida zapreminski protok nije konstantan, ali je konstantan maseni protok, odnosno:

[177]

Momente u ovom slucaju mozemo pisati:

Promjena kolicine kretanja kroz cijev se moze pisati:

108/268

F=m(v2 -vJ=V p(v2 -vJ Sila je usmjerena u pravcu stmfanja fluida.

3.9. Torricellijev zakon Torricellijev26 (Toriceli) zakon je matematska relacija izmedu brzine fluida koji istice iz rezervoara (vr) i visine stuba tecnosti u tom rezervoaru (h).

Slika 101: Isticanje tecnosti iz rezervoara

Posmatrajmo slobodno isticanje tecnosti iz posude pod djelovanjem gravitacije iz rezervoara tokom vremena t. Rezervoar ima profil Vr (m2

). Pretpostavimo da se, kako Je prikazano na narednoj slici, rezervoar napunjen tecnoscu prazni nakon otvaranja ispusta, tako da je visina tecnosti u njernu tokom vrernena h(t).

Pat l r········· h(t) I

J. Pl", I> ' ...... ~ m (t) P2

Stika 102: Shea istica/1ia teenosti iz rezen'oara za dokaz Terroeelliievog zakona

Na osnovu zakona 0 oddanju mase promjena mase tecnosti u rezervoai,l jednaka je razlici masenog dotoka u rezervoar umanjenoj za masu tecnosti koja istice iz rezervoara, a maseni protok na izlazu iz rezervoara jednak je proizvodu poprecnog presjeka izlaza, brzine strujanja i gustine tecnosti:

[179]

26 Evangelista Torricelli (1608-1647)

109/267

ft.ko ie nivo vode u reze,voaru konstantan (npr. automatsko odrzavanje nivoa iii zane~ariv pad nivoa) i ako uzmemo da je tecnost konstantne gustine (nekomprimabilno isticanje), moze se pisati:

dm dV , -=p-=-m(t)=-pAv dt & r y'

odnosno

dV -= -A v . [180] dt r r

Na osnovu zakona 0 oddanju energije mozemo energetski bilans prikazati kao:

[181]

(dEldr- promjena energije kontrolne zapremine, E] - energija u re::ervoaru na mjestu bUzu i::laza kojim istice teenost, Er energija u cijevi kojom teenost istice neposredno kod izlaza iz cijevi)

Ako pretpostavimo da nema akumulacije energije iIi mase duJ: cijevi kojom istice tecnost mozemo pisati da je:

Maseni protok kroz otvor je konstantan, te mozemo pisati:

Ukupna energija se, na osno'lu Bemollijeve jednacine, moze razloziti na komponente: unutraSnja energija pritiska (Ep), kineticka energija (Ek) i potencijalna energija (Ez), odakle slijedi:

dE =E -E = dEp + dEk + dEz

dr 1 2 dr dr dr

A v2 = ~ VI

Kako je bzina isticanja znatno veca od brzine spustanja povrsine u rezervoaru

(V2 »v1), moze.se pisati:

Pritisak pI je zbir atmosferskog i pritiska tecnosti u rezervoaru:

[182]

110/267

S ozbzirom na to da na izlazu otvora kojirn istice tecnost viada atmosferski pritisak, mozemo supstituirati ovu vrijednost (P]=Par), te pisati:

PI - pz =dp= pg h(t),

odakle je brzina isticanja iz rezervoara pod djelovanjem gravitacije: p

Na osnovu zakona 0 odrZanju masa zapreminski protok se moze odrediti iz izraza:

[183]

dV --V' =-=A2 .J2g h(t) . [184]

de

Slika 103: Smanjenje efektivnog pro fila pri isticanju ieenosti iz rezervoara

Unutrasnje trenje (visko=ost) fluida, oblik izlaza iz rezervoara i ostrina ivica na izlazu uticu na brzinu. Kako je zbog vrtlozenja i viskoziteta fluida efektivni profil kojirn istice fluid manji od stvamog pro fila, u stvarnimje uslovima nuZno uvesti koeficijent koji ce uzeti u obzir kontrakciju strujnog toka na izlazu iz rezervoara:

Sad se zapreminski protok fluida pri isticanju moze pisati:

Uvedemo Ii zamjenu:

mozemo pisati:

V'= dV =k.Jh(t) . de

[185]

[186J

Prethodni izraz je matematski obllik Torricellijevog zakona koji glasi: "Brzina isticanja idealnog jluida iz rezervoara pod djelovanjem gravitacione siZe je proporcionalna kvadratnom korijenu dvostrukog proizvoda gravitacionog ubrzanja i visine stuba tekuCine. "

111/268

3.10. Opticanje tijela Kretanje tijela kroz fluid iIi strujanje fluida oko tijela dovodi do pojave naprezanja, i to smicucih na bokovima i pritiska na ceonu povrsinu.

Slika 104: Opticanje vazduha

Ukupno dobivenu silu moguce je izraziti kao rezultantu ove dvije sileo Horizontalna Fd predstavlja silu otpora ("drag force"), dok vertikalno usmjerena sila F/ djeluje tako da nastoji podiCi tijelo koje optice ("lift force").

Slika 105: Opticanje vazduha aka avianskag krila

Fd = fpsina dA + Icy T cosa dA

F; = fpcosa dA- Icy T sina dA

3.11. Granicni sloj U mehanici fluida granicnim slojem naziva se sloj fluida neposredno uz gramcne povrsine strujnog toka koji je pod uticajem granicne povrsine. Pri strujanju cjevovodima to je sloj neposredno uz cijevi, a u zemljinoj atmosferi uocava se planetarni granicni sloj lociran neposredno uz povrsinu zemlje, cije su karakteristike pod izrazitim uticajem temperature, vlamosti i momenta kretanja povrsine. Nit krilu aviona granicni sloj je tanki sloj vazduha neposredno uz krilo. U tankom sloju oko cvrste povrsine koja ogranicava tok (npI. zid cijevi) izrazit je uticaj viskoznih sila zbog kojih brzina okomita na povrsinu raste od nula na samoj povrsini do lokalne brzine strujanja u ,,razvijenom toku". U rudnickoj ventilaciji granicni sloj se formira neposredno uz zidove rudnickih prostorija, a vrsta i tip rudnicke podgrade, precnik stupaca i njihovo medusobno rastojanje znacajno uticu na formiranje i karakteristike granicnog sloja.

112/268

Koncept granicnog sioja je razradio Ludwig Prandtl (1874-1953) izucavajuci procese oko krila letjelica.

Strujanje unutar granicnog sloja moze biti:

nekomprimabilno laminarno,

tranziciono izmedu lUminarnog i turbuielltllog,

turbulelltno nekoprimabilno strujanje i

tubulentno komprimabillio styujanje.

Oblik strujanja u granicnom sloju i njegova velicina zavisi 0 nekoliko faktora, medu kojima su najznacajniji: gradijent pritiska, hrapavost povrsine, temperatura povrsine, brzina strujanja (iIi kretanja cvrstog tijela), temperatura fluida i vrsta strujanja u razvijenom strujnom toku.

v

Slika 106: Granieni sIaj uz predmet koji se krece kraz fluid

Ako je uticaj granicnih povrsina na tok, koji se ispoljava usljed viskoziteta, takav da se u okolini granicnih povrsina formira viskozni tok, a u ostalom dijelu tok kod koga viskozitet nije u znacajnijoj mjeri izrazen, nacin na koji ce granicni sloj uticati na strujni tok ovisit ce znacajno od Reynoldsovog broja.

Strujanje fluida po stabilnoj povrsini na kontaktu dovodi do stvaranja tangencijalnog

napona 'to. Na dovoljnoj udaljenosti od kontaktne povrsine profil brzine strujanja je neovisan 0 kontaktnom tangencijalnom naponu. Ovaj dio protoka se naziva «potpuno razvijen protolo>. Tangencijalni naponi usporavaju strujanje i formiraju oblast u kojoj je brzina strujanja mamo niZa od brzine u ostalom dijelu s razvijenim tokom. Sloj koji odvaja razvijeni od nerazvijenog toka naziva se granicni sloj. Ako je zid cijevi (kanala) gladak, pocetni granicni sloj ce biti laminaran, da bi se dalje prema sredini zadebljao i konacno transfonnisao u turbulentni granicni sloj.

Tangencijalni napon se za jednodimenzionalno strujanje moze izraziti kao:

dv 't=).1-.

dy

113/268

'y , , I-~-!

1==1 l-~-i I. ___ i

y------->?- Velika brzina IJ ,., strujanja

__ ----- _ ---- __ --_'?- -- ----- _ -- ____ -- --

/~r\ '~)~ j Mala brzina

strujanja

Slika 107: Granicni sloj

x

Obieno se uzima da je granieni sloj u dijelu strujanja u kome je brzina manja od 99% u odnosu na brzinu u potpuno razvijenom toku.

3.12. Gradijent pritisko

Gradijent pritiska vazduha je flZicka osobina na osnovu koje se zakljucuje u kojem smjeru i kojim intenziterom ce se odvijati strujanje. Spontano strujanje izazvano razlikama pritiska odvija se iz podrucja s vecim u podrucje s manjim pritiskom Gradijent pritiska je dimenzioni (kvantificirani) izraz promjene pritiska po duiini, odnosno dui promatrane prostorne sekvence. Jedinica gradijenta pritiska je Palm U opcem se slucaju pritisak u prostoru moze pisati kao:

P = p(x,y,z),

gdje su x,y,z prostorne koorinate. Gradijent pritiska je:

v = til' = (ill" Sp ill') P til cr'cy'az·

Posmatrarno li strujanje kroz cijev promjenljivog pritiska, mozerno uoCiti postojanje gradijenta pritiska na nacin da se strujanje odvija iz srnjera s visim vrijednostima ka smjeru s niZim vrijednostima pritiska. Na mjestima konvergencije (suiavanja) iii divergencije (prosirenja) strujnog toka usljed promjene profila struje dolazi do pojave gradijenta pritiska usljed povecanja iIi smanjenja brzine strujanja. Povecana brzina strujanja znaci veCi udio kineticke energije u ukupnom zbiru sa energijorn pritiska i

114/268

polozajnom energijom, zbog eega dolazi do smanjenja energije pritiska negativnog gradijenta pritiska.

'~v? I ..... L rnmTIc,-';P" 1 -

~P2

pojave

Slika 108: Konvergentno strujanje - pozitivni gradijent brzine, negativni gradijent pritiska.

Stika 109: Divergentno strujanje - negativni gradijent brzine, pozitivni gradijent pritiska.

Smanjenjem brzine strujanja smanjuje se udio kineticke energije, a povecava energija pritiska, usljed cega dolazi do pojave pozitivnog gradijenta pritiska izazvanog prosirenjem strujnog toka.

3.13. Kcvitacija

Kavitacija (engl. caviry-pukotina, kaverna) je pojava narusavanja kontinuiteta (neprekidnosti) tekucine. Pri sniZavanju pritiska ili povecanju temperature moguce je da u dijelu tekucine dode do promjene agregatnog stanja tekucine, odnosno da tekucina prede iz tekucinskog u gasovito stanje. Kada se stvore uslovi za isparavanje dijela tekucine, u ukupnoj masi se stvaraju "mjehuri pare", koji se ponasaju kao gasovi. Pojava gasovite komponente dovodi do nagle "stisljivosti" fluida, odnosno do gubitka kontinuiteta, te zakoni za neprekidnu i nestisljivu sredinu vise ne vaZe.

115/268

Stika 110: Kavitacija usljed promjene pro fila strujanja

Nakon sto su stvoreni, "mjehuriCi pare" se krecu u masi tecnosti, te kada doau u podrucje veceg pritiska iii pak smanjene temperature, dolazi do ponovne kondenzacije. Prilikom kondenzacije dolazi do nagle promjene zapremine koju zahvataju mjehuriCi fluida, sto dovodi do trenutuog skupljanja/sirenja i pojave lokalnih hidraulickih udara usljed povecanja pritiska na mjestu kondenzacije mjehura. Na mjestima pojave kondenzacije dolazi do porasta pritiska i preko 100 MPa, kao i lokalnog povecanja temperature do 1S00°C, sto moze biti pogubno za tehnicke sisteme u kojirua se ovi procesi desavaju. Na osnovu jednacine kontinuiteta mozemo pisati:

Na osnovu Bemoullijeve jeclnacine, konstatujuCi da su sve 3 izabrana pro fila (AA,BB,CC) na istom nivou od horizontalne ravni, mozemo pisati:

v2 v2

PA+P ; =PB+P ;.

Zbog povecanja bezine u presjeku BB dolazi do pada pritiska PB' Kako se radi 0

teku6ine mozemo zanemariti stisljivost, oOOosno promjenu gustine. Pritisak u presjeku BB ce biti:

«> 90000 Co ci:. 80000 . g 70000

~ 60000

j. 50000

.- 40000

~ 300(1{' .. 10000

Pritisak isparavanja vode

~ ~ ~ ~ g ~ ~ ~ g ~ ~ ~ g ~ ~ ~ ~ ~ ~ lempoatiiliwra, "c

Slika 111: Uticaj pritiska na temperature isparavanja vode

P (2 2) PB=PA-- VA-VB' 2

[187]

Velikim prirastom brzine dolazi do pada pritiska u presjeku BB. OpaOOe Ii pritisak do vrijeOOosti kritienog pritiska isparavanja na datoj temperaturi (napon pare Pi)' doti ce u presjeku BB do isparavanja tekucine. Nastaju gasoviti mjehuriCi (hlaclno kljucanje), koji

116/268

su sti~ljivi i nartiSavaju neprekiOOost tekucine. Dvofazni fluid (tekucina+gasovito) ne ponasa se po zakonima hidraulike (ne vaZi Pascalov zakon).

Daljim putem tekucine od profila BB ka profilu CC opada brzina strujanja i povecava se pritisak. To dovodi do ponovne kondenzacije gasovitih mjehurica, koji sad zauzimaju manju zapreminu. Tecnost ubrzano ispunjava oslobodenu zapreminu, sto dovodi do pojave mehanickih udara i viiJltacija. Nastaje i intenzivno lokalno povecanje pritiska.

Mehanicka razaranja koje moze izazvati ova pojava nazivaju se jos i kavitaciona erozija. Moze nastati u svim ureaajima u kojima dolazi do sniZenja pritiska ispod kriticnog pritiska isparavanja za datu temperatw-u (Pi): na usisnim granama i ulazu u raOOo kolo purnpi, iza ventila, u rnlaznicama i slieno.

Kavitacija je stetua pojava, i neophoOOo je osiguravanje rada uredaja izvan kavitacionog rezima. Na prethoOOoj slid prikazana je zavisnost pritiska isparavanja od temperature.

1.1. Hidraulicki udar Pod pojmom hidraulicki udar podrazurnjeva se pojava trenutuog povecanja pritiska u cjevovodu, koja je izazvana naglim zaustavljanjem toka tekucine. U trenutku zaustavljanja tekucina se, pod dejstvom sila inercije, i dalje krece naprijed pa, s obzirom na to da nema dotoka svjeze kolicine tekucine, dolazi do pada pritiska u pocetuom dijelu cjevovoda. Nakon potpunog zaustavljanja stub tekucine se krece ka zoni niskog pritiska, popunjava prazan proster i udara 0 prepreku koja je zaustavila kretanje tekucine. Pritisak u toj zorn raste s trenutuim zaustavljanjem stuba tekucine. U isto vrijeme u krajnjem djelu cjevovoda pritisak opada. Proces se ciklicno ponavlja do potpunog smirivanja kretanja tekucine. N'\iveCi porast pritiska nastaje pri trenutuom ~austavljanju strujnog toka, kada je hidraulicki udar maksimalan za brzinu kojom se struja kretaia do zaustavljanja. Pri postepenom zaustavljanju hidraulieki udar koji se moze javiti naziva se nepotpuni iIi reducirani hidraulicki UdaL

Svaka promjena brzine teku6ine u cjevovodu pracena je i odgovarajucom promjenom pritiska. Energija pritiska i kineticka energija se izmjenjuju medusobno na taj naein da veca brzina fluida znaci vecu kineticku (dinamieku) energiju i obmuto.

Slika 112: Promjene popreClIog presjeka koje mogu dovesti do pojave hidraulickog udara

MaY~llna1na transfonnacija kineticke energije u energiju pritiska postiZe se POtpu1.li zaustavljanjem strujnog toka. Vrijeme za koje brzina strujanja fluida paclne od pocetue brzine v do potpunog zaustavljanja znacajno utice na velicinu pritiska koja se pri tome pojavljuje. Kod naglog zaustavlja~a fluida mozemo govoriti 0 "skoku pritiska". Najveci skok pritiska dobio bi se trenutnim zaustavljanjem strujnog toka, kada bi doslo . do "udaranja teku6ine" 0 zidove cijevi i povrsine zatvaraca, do potpunog zaustavljanja. Takva pojava u sistemu naziva se hidraulicki udar. Potpuni hidraulicki udar prati trenutno zaustavljanje strujanja tekucine, dok se nepotpuni javlja u realnim siruacijarna, pri pojavi brze promjene brzine strujanja fluida (npI. zatvaranje ventila). Ovakve udare tekucine prati pojava zVlika, treperenje cijele instalacije.

117/268

Hidraulicki udar moze biti izazvan i naglim smanjenjem pritiska (npI. u potisnom cjevovodu purnpe nakon njenog iskljucenja iz pogona). Bez obzira kako je nastao hidraulicki udar,na hidrodinamicko stanje tekucine najvise uticu potisne i sile inercije, a kod izrazito dugih cjevovoda treba uzeti U obzir i sile trenja koje mogu amortizovati hidraulicke udare do odredenog stepena. Spoljnje sile se obieno, zbog kratkoce procesa i izolovanosti od sredine, mogu zanernariti.

Iz Eulerove hidraulieke jednaeine, a za slucaj zanernarivanja spoljnih sila, moze se pisati:

dv 1 dp -=---d't P dx

[188)

(x - pretleni put, udaljenost)

Iz prethodnog izraza moze se odrediti svaka promjena pritiska izazvana promjenom brzine. Pri tome je potrebno i znati kojom se brzinom promjena pritiska siri u strzljnom prostoru. Zna se kako se ova vrsta poremecaja u fluidnim sredinama siri brzinom zvuka, bilo da fluid miruje, bilo da se krece brzinarna koje su znatno rnanje od brzine zvuka.

Dakle, ako prihvatimo da se pod spoljnjim uticajirna brzina v(x,t) mijenja za dv, pri cemu pritisak p(x,t} se mijenja za dp u toku vremena dt, pri eemu za to isto vrijeme poremecaj prelazi put dx brzinom zvuka c (331 mls u vazduhu), pri datim uslovirna, onda mozemo uoCiti postojanje veze:

dx=cd't .

. Iz ove dvije jednacine dobija se vrijednost promjene pritiska:

dp=-pcdv

odakle se h'ltegrisanjem nalazi konaena promjena pritiska

/1p= p - Po = P c(Vo -v) [189]

gdje su po i Va pritisak i brzina U onom dijelu strujnog prostora u kome poremecaj jos nije dospjeo, odnosno to su pritisak i brzina koji su vladali u struji fluida prije procesa u kome dolazi do pojave hidrauliekog udara.

Potpunom zaustavljanju strujnog kruga odgovara v=o i najveca promjena pritiska:

[190]

odakle se moze odrediti rnaksirnalno moguCi prirast pritiska, odnosno rnaksirnalno moguCi hidraulicki udaL U realnim uslovirna strujni tok se nikada ne moze zaustaviti trenutno.

Ima jos jedan vrlo uticajan element na intenzitet i karakteristiku skoka pritiska, a to je udaljenost od mjesta nastanka hidrauliekog udara do slobodne refleksione povrsine, odnosno vrijeme koje prode dok poremecajni talas prede put od zatvaraca na kome dolazi do pojave udara do refleksione povrsi11e i nazad fz. Oznacimo li uciaijenost do refleksione povrsine sa L, onda vrijeme dolaska poremecaja do refleksione povrsine iznosi:

118/268

L 't =2-.

a

Ako se ostvari '1:z < '1: , odnosno preprekom presijece potpuno strujni tok prije nego sto se povratni talas vrati nazad do prepreke, izazvat ce se potpuni hidraulicki udar i dobiti rnaksimalan skok pritiska. U sYakom drugom slueaju stvami skok pritiska iznosit ce:

- 1: I1ps = P avo - [191]

't z

Dakle, sto je '1:z > '1: , bit ce i rnanji skok pritiska, a hidraulieki udar postaje sve slabiji. Postizanjem uslova '1:z > 1:, postiZe se to da prepreka ne stigne da presijeee strujni tok prije nego sto se povratni talas vrati nazad do nje, te se na taj nacin jednom dijelu tekucine omoguCi da izade iz instalacije i time sprijeCi pojava izrazito velikog pritiska. Ovaj uslov dovodi do nejednaeine:

2L>a't z'

odakle se vidi da ce hidraulicki udar biti sve jaCi sto je cjevovod duzi i sto je vrijeme zaustavljanja strujnog toka krace. Kako se trenutnim zaustavljanjem strujnog toka proizvodi rnaksirnalni skok pritiska, jasno je da potpuni hidraulicki udar nije vezan sarno za duge cjevovode.

Porast pritiska pri hidraulickom udaru moguce je odrediti i prerna obrascu koji je defmirao Zukovski:

(cz-brzina prostiranja zvuka u tekuCine koje se nalazi u zatvorenoj cjevi[mlsJ)

Eksperirnentalni..'Il ispitivanjima je utvrdeno da rnaksimalna vrijednost pritiska kod hidraulickog udara iznosi:

(192]

(p,,-staticki pritisak, Pa; Pr-radni pritisak, Pa)

Za borbu protiv hidraulickog udara koriste se protivudarni uredaji:

ugradnja na cjevovod vazdusno-vodenih komora za smirivanje udamih talasa;

ugrad..'lja na cjevovod protivuda..rnih irnpulsnih ventila radi izbacivanja povratne vade iz cjevovoda;

izbacivanje vode kroz pumpu u obrnutom pravcu kod slobodnog obrtanja iIi potpunog kocenja purnpe;

izbacivanje vode kroz dijafragme, koje se kidaju.

Kod pumpnog postrojenja za odvodnjavanje rudnika, hidraulicki udar ima nekih osebenosti:

prolaz udamih talasa u potisnirn cjevovodirna odigrava se u veorna kratkom vremenskom intervalu;

kod iskljueenja pumpnog agregata s rnalom inercijom nepovratni ventil se zatvara trenutno i nastaje direktan udar znatnog pritiska;

119{268

kod iskljucenja pumpnog agregata velike inercije, nepovratni ventil kasni sa zatvaranjem, nastaje indirektan udar koji je po intenzitetu slabiji od direktnog udara.

Problemi hidraulickog udara su siozeni i njegove posljedice mogu biti veoma ozbiljne, te se Ijesavanju ovog problema posvecuje posebna paZnja.

3.14. Brzina prostiranja zvuka Zvuk se moze predstaviti kao oscilatorna deformacija u elasticnoj sredini. To znaCi da u elasticnoj sredini dijelovi materije mogu spoljasnom silom biti izvedni iz ravnoteZnog polozaja i tako biti podstaknuti na oscilatomo kretanje koje se odvija oko njihovog ravnotemog poloZaja. Izvor spoljaSnje sile koja izaziva poremecaj naziva se izvor zvuka. Prostor u kome se prostire zvuk naziva se zyucno polje.

Nastanak i sirenje zvuka u fluidima se razliknje od zvuka u cvrstim tijelima usljed fIzickih razlika cvrstih materija i fluida. Brzina prostiranja zvuka kroz tecnosti iIi cvrste materije je znatno veca nego brzina prostiranja kroz vazduh. U opcem slucaju brzina prostiranja zvuka kroz cvrsta tijela moze se izraeunati iz jednaeine:

(E-Y oungov modul elasticnosti)

3.14.1. Brzina prostiranja zvuka kroz fluide

Pri deformaciji usljed pojave zvuka promjena pritiska i gustine moze se izraziti:

~'P::=;:}Po"""-l;r.piit) ,

;:. rr=::Po':"+~' fiet)

[193]

Izvor zvuka proizvodi vremenski "zvueni pritisak" koji se kao poremecaj pritiska i gustine siri u prostoru.

Posmatrajmo izlaganje stisljivog fluida gustine p pritisku p u cilindarskoj cijevi presjeka A. Pretpostavimo da fluid miruje iIi je njegovo kretanje jednoliko. Ako bi se pomjerar~em klipa izazvalo neznantno povecanje pritiska dp>O, onda bi se taj poremecaj sirio kroz cijev desno od klipa. Kad bi fluid bio nestisljiv, pritisak bi se trenutno prenio do kraja cijevi. Medutim, usljed elasticnosti fluida, promjena pritiska, odnosno poremecaj koji se unosi u okolinu, tece konacnom brzinom i to brzinom zvuka c [mls].

p

A p

:M'

Slika 113: Brzina prostiranja poremecaja pritiska ufluidu

120/268

Ako bi fluid bio potpuno nestisljiv brzina prostiranja zvuka u njemu bila bi beskonacno velika, odnosno da se promjena pritiska u jednoj tacki trenutno bi se prenosila u sve druge tacke posmatranog fluidnog polja. Ako je brzina zvuka velika a strujni prostor mali, stisljivost se moze zanemaliti.

3.14.2. Machov bro]

Machov broj predstavlja odnos brzine kretanja tijela prema brzini prostiranja zvuka kroz sredinu.

V

NMa = -;;

(v-brizna kretanja tijela, c-brzina prostiranja vazduha)

Tako tijela koja se krecu brzinom zvuka (soniena brzina) imaju Mach-{)v broj Ma= 1. U avijac~ii se brzina kretanja letjelice odreduje najcesce Pitotovom cjevCicom, na osnovu koje se moze odrediti i Machov broj po slijedecem obrascu:

Ovisno 0 Machovom broju strujanja mogu biti:

podsonicna (subsonicna) kod kojih je brzina znatno ispod brzine prostiranja zvuka,

trallssonicna kod kojih je brzina strujanja (kretanja) u prelaznom reiimu iz subsonicnog u sonieno,

sonicna strujanja kod kojih je brzina jednaka brzini prostiranja zvuka,

supersonicna sa brzinama strujanja iznad brzine prostiranja zvuka,

hipersonicna strujanja kod kojih je brzina znamo veca od brzine prostiranja zvuka.

Modeliranje svake od pomenutih vrsta struj~a karakterise se specificnostima uslovljenim razlikama pojedinih tipova. U podsonienim strujanjima vrlo je izraZen uticaj Reynoldsovog broja, viskoznosti i komprimabilnosti fluida. U transonicnoj zoni strujanje fluida iIi kretanje cvrstog predmeta je u fazi "sustizanja" iii "prestizanja" fronte poremecaja unutar fluida, 8to je dominantna pojava, te ubrzanje kojim strujanje prolazi kroz transsonicnu zonu pokazuje dominantan uticaj na sam process. Kod sonicnih i supersonicnih brzina uticaj viskoznosti i Reynoldsovog broja se gubi, a strujanje se znacajno mijenja zbog toga 8to predmet koji se krece kroz fluid iii struja fluida koja optice predmet prolaze brie od poremecaja koje stvara strujanje. To praktiCno znaCi da se npr. evrsti predmet stalno nalazi u fluidu neporemecnom pritiskom koji generise sarno strujanje.

3.14.3. Probijanje zvucnog zida

Kad avion ubrzava, prelazeci iz oblasti subsonienih brzina (0.1 <NMa<0.9) u oblast nadzvucnih brzina (NMa> 1.0), dolazi do pojave zvucnog praska nazvanog "probijanje zvuenog zida". Ovu zyuenu pojavu euju posmatraCi na zemlji, dok pilot u kabini aviona

123/268

ne cuje nikakvu detonaciju. Do pojave prnska, koji podsjeca na detonadju eksploziva, dolazi zoog toga sto avian postiz,anjem vece brzine od zvucne brzine prakticno "probija" front zgusnutog vazduha ispred sebe, tako da na pravcu kretanja tokom leta nadzvucrum brzinama letjelica nailazi na potpuno neporemecenu gustinu vazduha. U slucaju podzvucnih orzina ispred aviona se formira front zgusnutog vazduha koja se dodatno suprotstavlja pmzajuCi otpor letenju.

Slika 115: Probijanje zvucnog zida (Foto: Class Jarod Hodge u.s. Navy)

Stika 116: Prostiranje zvuka u prostoru kada zvucni izvor miruje

Na prethodnoj slici prikazano je prostiranje zvuka oko zvucnog izvora koji miruje, Neka je koncentricnim krugovima razliCitih boja predstavljena oblast do koje stigne zvuk svake sekunde sireci se ravnomjemo u prostoru. Do svm tacaka u prostoru podjednako udaljenih od izvora zvuka poremecaj gustine, odnosno z,\luk, dolazit ce istovremeno, bez obzira na to s koje strane izvora zvuka se nalazili.

Ako se izvor zvuka krece, kako je to prikazano na narednoj slid, kruZnice kojim obiijeZavamo zone koje zahvati zvuk svake naredne sekunde nisu vise koncentricni krugovi. U smjeru pomjeranja izvora zvuka dolazi do smanjenja putanje koju prece zvuk radi konstantnog kretanja izvora, 8to je brzina kretanja izvora bliZa brzini kretanja

124/268

pritisak poraste za dp povecat ce se i gustina za dp, pa ce fluid strujati iz oblasti gdje je pritisakp+<4:> i gustina p+dpu oblast sap i p.

Neka je v brzina tog strujanja. Ako MJl.1' oznacava profit do koga poremecaj stigne u trenutku 1:, a MIMI' profil do koga poremecaj stigne u vremenu 1:+dT, onda je lvfMJ=cdz;pa zapremina strujne oblasti MlvII-MIMI' iznosi A CdT, dok je kroz granicu MlvI' usIa fluidna masa: ,f'

Av(p-fdp)dr,

odnosno

c dp = v (p+dp).

Druga zavisnost izmedu posmatranih velicina dobiva se primjenom zakona 0 koliCilli kretallja prema kojem je promjena koliCine kretanja jednaka impulsu sila. Pri ustaljenom strujanju mijenja se kolicina kretanja jedino u oblasti izmedu dva izabrana profila, a bit ce jednaka proizvodu mase i brzine, odnosno Acdt (p +dp).

Pri posmatranim zbivanjima uticaj spoljnih sila je neznatan i moze Se zanemariti prema silama pritiska, tako da je zbir impulsa sila jednak (A dp dr). Zakon 0 kolicini kretanja daje:

Acv(p+dp)dt = A dp dt, iIi dp = (p+dp)v.

EI' .. . b' . th d 'h' -'- V' d b" dp ( ..L d) cdp lmlmsanJem rzme v IZ pre 0 ill, jelli'laCma 0 it cemo: - p, p = --- , c p+dp

oGnosno

dp cdp

c(P+dp) (p+dp)

dp 2 -=c dp

odakle je brzina vazduha

c= [;Ii [ml s], Vdp [194]

Kako je modul e13sticnosti

transformacijom mozemo dobiti

[195]

121/267

Ovaj obrazac potite jos od Newtona. Na pitanje odrZivosti pretpostavke 0 nestisljovsti fluida moze se odgovoriti uz pomoc prethodnog obrasca za brzinu prostiranja zvuka (zvuenih talasa). Iz brzine prostiranja zvuka mozemo izraziti prirast gustine:

dp dp=-2 .

C

[196]

U suhom vazduhu pri temperaturi 21°C brzina prostirfu"lja zvuka je 344 mls (1238 km/h). Promjenom gustine vazduha, njegove temperature iii vlaznosti dolazi i do promjene brzine prostiranja zvuka. Temperatura je najuticajniji fat~or na prostiranja zvuka kroz vazduh:

(T- temperatura vazduha, 0c)

,"f--+-+--1-+-+----+---:;;>1

'2Cf-L--t--+--+--j--t--t---I

Sitka 114: Utica) temperature na brzinu prostiran)a zvuka u vazduhu

Tabela 11: Brzina prostiranja zvuka kroz neke tecnosti j gasove

Tecnost Brzina prostiranja zvuka, mls ________________ -,..._~ ... (n_'__o!:.rualni usiovi)

Alkono!

Ulje

Ziva

Terpentin

Glicerin

Gas

Vazduh

Kiseonik

122/267

1150

1540

1450

1250

1980

Brzina prostiranja zvuka, ruls

344

317

260

[197]

zvuka, to su kruZnice kojirn oznacavamo rasprostiranje zvuka tokom vremena sve zgusnutije u pravcu kretanja izvora zvuka stvarajuci ispred predmeta front povecane gustine poremecnog vazduha.

is

!zvor zvuka stoji Subsonicne brzine (M<1)

is 2s

___ ~F7>t <. "'" /'/

~4S I

Formiran zvucni zid (M=1) Supersonicne brzine (M>1)

Slika 117: Prostiranje zvuka oko izvora zvuka koji stoji, krece se subsonicnim, sonicnim i supersonicnim brzinama

Kada predmet dostigne brzinu jednaku brzini prostiranja zvuka, sve kruZnice kojirn obiljeZavamo zone rasprostiranja zvuka tokom vremena sijeku se u jednoj tacki u kojoj se nalazi i sam predmet - zbog cinjenice da se u pravcu kretanja predmet krece istom brzinom kao i zvuk. Podrucje podudaranja brzine zvuka i predmeta je prelazna zona, u kojoj predmet prakticno nailazi na svojevrsnu nevidljivu barijeru iii ,,Zvucni ziti", koji mora probiti da bi dalje ubrzao i nastavio kretanje nadzvucnim (supersonicnim) brzinama.

125/268

v3dt

v 2dt

v dt

Slika 118: Propagacija zvucnih poremecaja kod stacionarnog i izvora zvuka u pokretu

Linije koje ogranicavaju zonu zahvacenu poremecajem nazivaju se Mach-ove linije. One se sijeku na celu fronte formirajuCi Machov ugao a. koji ovisi 0 brzini strujanja iIi kretanJa predmeta i brzini prostiranja zvuka.

Predeni put: dl=vdr:

M h . c . ( -1 ) ac ovugao: a=arcsm~=arcsm NMa

Prasak koji prati probijanje zvucnog zida prostire se poput detonacionog talasa u okolini predmeta, te je, npr. u slucaju SllaillOg probijanja zvucnog zida avionima, moguc tako snaian udar da polomi prozore na objektima u sirem rejonu u kome se izvodi manevar. Prasak usljed probijanja zvucnog zida se ne cuje u pilotskoj kabini, jer le~elica nakon ovog ostavlja zvuk iza sebe i krece se sa znarno manje otpora i uticaja turbulencije uslJed povecane gustine vazduha ispred letjelice.

126/268

3.1S. Viskozna strujanja

Tokom strujanja stvarnih viskoznih materija (vidjeti poglavlje 1.1.4.4) dio od ukupne energije se transfonnise za savladivanje trenja - kako unutraSnjeg, taka i trenja 0 zidove cijevi, kanal" iIi prostorije kojom struji fluid. Na mjestima gdje dolazi do promjene u strujanju zbog promjene profila, skretanja, nailaska na prepreku i slieno javljaju se dodatni lokalni otpori na kojifua se desava dodatna energetska transformacija, tako da uk'Upan zbir energija pritiska, poloiaja i kineticke energije opada dui struje zbog savladivanja pomenutih otpora.

ProraCtin hidraulickih gubitaka se razlikuje u odnosu na proracun aerodinamickih efekata zbog znaeajnih razlika izmedu komprimabilnih i nekomprimabilnih strujanja. Cak se i unutar jedne iii druge vrste uocavaju razlike za pojedine slucajeve, poput laminarnih i turbulentnih strujanja.

3.15.1. Hrapovost

Na pravolinijskom dije!u strujanja ukupne gubitke Cini energija potrebna za savladivanje otpora usljed viskoznosti fluida i trenja fluida 0 kontaktne povrsine cjevovoda iii kanala.

Slika 119: Hrapavost

Cijevi i kanali kojim struje realni fluidi nisu ravne povrsine, bez obzira na stepen obrade. Visina izbocma, odnosno hrapavost, ima veliki uticaj na velicinu osnovnog otpora strujanju na pravolinijskom dijelu toka.

t;

Slika 120: Utica} hrapm10sti na stru)ni tok: a-hidraulicld glatka povr,~inajer.formirani granicni slo) je iznad izboCina i hrapavast ne ufice na razvijeni strujni iOk, b-prelazno podruc)e u kame hrapavost utice na razvijeni turbulenmi tok. d-hidraulicki izraiena

hrapavost ima znaca)an utica) na razvijeni turbulentni tok

127/267

Visina i oblik izbocina su osnovni geometrijski pokazatelji hrapavosti, ali uticaj hrapavosti na ukupno strujanje ovisi takode 0 strujnom reZimu i debljini granicnog sloja koji se formira na rubnirn dijelovima toka. Aim je visina larninamog granicnog sloja visa od veliCine neravnina, onda ovakva hrapavost neznatno utice na strujanje i za takav strujni rezim stijenka se moze smatrati glatkom, Nadilazi Ii visina izbocina debljinu formiranog granicnog sloja dolazi do uticaja hrapavosti na strujni tok, te se takva hrapavost srnatra hidraulicki izraz.enom hrapavoscu, Stepen hrapavosti definise se relativnom hranavoscu:

[198]

fUekv - "ltv' ,'u'",mm precnik strujnog taka; dr - hrapavost)

Slika 121: Uticqj prirode neravnina na otpore strujanju na primjeru rudnicke pod grade u podzemnim rudnicima

3.15.2. teDnosti

Bernoullijeva jednaDina za eijeli strujni tok viskozne

Bernouliijeva jednacina za cijeli stt'Ujni tok stvarne viskozne tecnosti moguca je u slucaju kontinuiranog promjenljivog kretanja, gdje se sve velicine kretanja mijenjaju postepeno,

.... 4·=CQlt..-?:t

:= COli$! b

Slika 122: Strujanje viskozne tecnosti 11 horizon/alnoj cijevi kOllstantllog prC!fila

128/267

Posmatramo li strujanje koje se odvija u horizontalnoj ravni s konstantnim poprecnim presjekom, liZ pretpostavku da struji idealan gas sve 3 komponente energije fluida bile bi nepromijenjene, Medutim, usljed otpora strujanju koji je prisutan kod stvarnih fluida, zbir 3 energije u profilu a nije jednak zbiru u profilu b. Sto je veti otpor strujanju, to ce zbir energije u profilu b biti manji, odnosno:

". b

-I

Slika 123: Opiiti slucaj strujanja viskozne teenosti

U opstem slucaju strujanja, prikazanom na prethodnoj slici, pri kojem dolazi do promjene visine (potencijalne energije) i poprecnog presjeka, otpori usljed strujanja se mogu izraziti kako slijedi:

[199]

3.15.3. Hidraulicki otpori

3.15.3.1 Hidraulicki radijus

Pri strujanju cjevovodirna nepravilnog oblika, kanalirna, koritima iii ako tecnost ne ispunjava cio profil, otpori strujanju ce ovisiti 0 dmini kontakta tecnosti i provodnika u poprecnom presjeku, sto se iskazuje hldraulickim radijusom:

A Rh =- [m]. o (A - povrsina popreenog presjeka, m"; 0 - okvaSeni obim, m)

129/268

Stika 124: Hidraulicki radijus

Pri strujanjima gasova kroz cijevi efektivni radijus je jednak radijusu cijevi, jer gasovi ispunjavaju cio prostor. Medutim ako se na putu struje gasova nalazi cvrsta prepreka ona moze srnanjiti efektivni poprecru presjek strujanja i dovesti do promjene radijusa strujanja.

3.15.3.2 Sila trenja i pad pritiska usijed trenja

Usljed trenja 0 okvasenu povrsinujavlja se sila trenja:

F, =-cOI. [200]

(t -tangentni napon [Hlm2], 0- obim okvasenog presjeka [mJ, 1- duiina toka [mj) ~ 1 ! 2

, -.-.-.-.-.-.;-.-.-.-.-.-.-.----"i'jf".-.-.-.~

Pl i ! ,

s

i ! , i ._._._-;-.-.-._._-i i .

P2 !

Slika 125: Pravolinijsko kretanje fluida kroz cjev

Za ustaljeno strujanje sila pritiska (proizvod pritiska i poprecnog presjeka) izmedu dva profila mora biti izjednacena:

PIAl - P2 A2 = F,.

Kako su profili cijelim posmatranim tokom jednaki (A]=A2=A), uvedemo Ii energetske gubitke uslijed trenja kao visinu stuba tekuCine (hJ, mozemo pisati:

Dalje slijedi da je visina stuba tekucine rezultirajuceg otpora trenja jednaka:

hi dp

pg pg

Koristeci se dimenzijskom analizom dobija se:

8 1 v 2

dp = f(Re,'d) d Pl'

130/268

[201]

[202]

[203]

3.15.3.3 Koejicjent trenja

Gubici pri kretanju fluida u pravim cjevima nastaju kao posljedica djelovanja sila unutrasnjeg trenja u fluidu kao i uticaja hrapavosti zida cijevi Ii kroz koju fluid struji. Intenzitet otpora na pravolinijskom putu iskazuje se koeficijentom trenja A, koji je konstantan pri ustaljenom strujanju. Dokje stmjanje ustaljeno i izvodi se u pravoj liniji, koeficijent trenja moze se sm{itrati konstantnom veliCinom. U hidraulici se gubici usljed trenja isk3.L."Uju Darcy-Weisbachovom 27 formu!om koja predstavlja gubitak energije usljed trenja:

[m]. [204]

odnosno

[205]

(A - koeficijent trenja, funkcionalno zavisan od Reynoldsovog broja Re, hrapavosti 0 i preenika cjevi d)

[206]

Koeficijent trenja A odreduje se ovisno 0 Reynoldsovom broju (vrsti strujanja) i karakteristici cjevovoda primjenom empirijskih obrazaca iii dijagrama. Za razvijeno laminarno strujanje tecnosti, pri cemu se sve cijevi uzimaju kao glatke, koeficijent trenja se moze odrediti na osnovu izraza:

}. _ 64 v-

Re'

koji se jos naziva i «Pauzejev koeficijent».

[207]

Za razvijeno turbulentno strujanje koeficijent trenja se moze odrediti na osnovu izraza:

I

A=O 11(~+~)4 , d Re [208]

Za umjereno hrapave zidove cijevi (kanala) koeficijent trenja se moze izracunati na osnovu Celbrookove fomuIe:

1,325 [209]

27 Julius Ludwig Weisbach (1806- 1871) - njernacki matematicar i iilZenjer; Henry Darcy (1803- 1858) - francuski naucnik

131/269

Za jako hrapave zidove cijevi koeficijent trenja se moze izracunati primjenom Karmanovog obrasca:

(1'14-0,8691n~ )2 (k - visina izboCina na stijenki [m), d - precnik [mJ)

Za strujanja glatkim cijevima koristi se Blasiusova formula:

A= 0,136 ReO. 25 .

Intenzitet gubitaka ovisi 0:

debljini granienog sloja, koeficijentu apsolutne hrapavosti k, koeficijentu relativne hrapavosti d/k, Reynoldsovom broju.

A['] 0.03

oro

om

DOlO

0015

0.012

Oi:09 :

oroo

iii II

79 234579 23457923"579 103 10" 103 106

I Iii , , III

I !II

:3 45 79 107

Slika J 26: Moodyjev dijagram

3.15.3.4 Lokalni hidraulicki gubici

[210]

,02 015

,=

Lokalni gubici nastaju na svim mjestima gdje dolazi do bilo kakve promjene oblika strujanja usijed lokalne prepreke kretanju kao 5to su sliZenje, skretanje, prosirenje i slieno.

132/269

(d)

Stika 127: Primjeri lokalnih otpora (a-suienje projila, b-prosirenje projila, c-skretanje ili koijeno, d-ventil)

Otpor koji nastaje pri takvom, najcesce vrtJoZnom, strujanju oznacava se sa .; i obicno malo zavisi od Reynoldsovog broja, a utvrduje se uglavnom eksperimentalno -mj erenj em. Gubitak mehanicke energije vezan je za strujanje pa ce i vis ina lokalnih gubitaka biti proporcionalna visini kineticke energije. Lokalni gubitci energije ug1avnom se racunaju u dijelovima kineticke energije po kilogramu fluida (Jlkg) iIi kao izgubljena piezometarska visina stuba tecnosti hi:

v2 8V,2 hi =S-2 =S 2 D4

g 1C g [211]

(~- koejicijent lokalnog gubitka)

Lokalni gubitak fluidne energije moze se iskazati i ekvivalentnom dliZinom cjevovoda, eime se prakticno uvodi ekvivalentna dtiZina cijevi koja bi imala otpor jednak lokalnom otporn.

Uzmemo Ii Darcy-Weisbachovu formulu izjednacimo Ii je sa opcim izrazom za 10kalne gubitke, dobit cemo:

2 I 2

S~=A...!.-~. 2g d 2g

Odatle je ekvivalentna dtiZina 10kalnog otpora:

Sad se pad pritiska usljed lokalnog otpara maze izracunati:

hi =A~~ d 2g

[212]

[213]

Opca Weisbachova formula za odredivanje energetskih gubitaka na lokalnom otporu izrazenih padom pritiska glasi:

[214]

133/268

(f-lweficijent lokalnog otpora)

Koeficij~t lokalnog otpora se obieno odreduje eksperimantalnim putem i za razlieite kons~vne elemente daje posebnim formulama, tabe1ama iii =aflkonima. Na koeficljent lokalno~ 0t:P0ra utice niz faktora, poput karaktera dol:Ska tecnosti do lokalnog otpora, obhka 1 pozicije lokalnog otpora i slieno.

Otpor prosirenja

Koe~cij~nt l?ka~og o~.o~~ prosir~nja zavisi od precnika prije (AI) i nakon (A 2)

prosrrenJ.a, all m~~e ~VlSltl 1 od naCIDa konstrukcione izvedbe prosirenja - posebuo ako se StruJill tok prosITUJe postupno.

Slika 128: Prosirenje hidraulickog strujnog taka

Koeficijent lokalnog otpo~a pros~e~ja, za slucaj kada prosirenje nije postupno (bez dIfuZlOilOg elementa), u opcem slucaJu se moze izracunati iz narednog izraza:

[215J

A/A2 0.01 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

S 0.98 0.8l 0.64 0.36 0.16 0.04 0

Otpor skretanja

U .hidr~ulickirn sistemima tipican slucaj skretanja struje su koljena kod kojili je ugao

skretanJa n12. Pad potencijala na skretanju iznosi:

v 2

h =~-s 2g' [216J

Za slucaj skretanja po luku poluprecnika R u cjevovodu poluprecnika. r k fi" loklanog otpora se moze izracunati oe lC1Jent

( )

3.5

S =0,131 + 1,845 ~ [217]

134/268

SMa 129: Skretanje hidraulickog toka

3.16. AerodinamiDki otpori Aerodinamiekim otporima smatramo otpore koji nastaju pri strujanju vazduha vazdusnim cjevovodima iIi ventilacionim prostorijarna, kao posljedica unutrasnjeg trenja, trenja 0 rubove prostorije, hrapavosti i inercije. Karakteristican primjer su ventilaciona strujanja u podzemnim rudnicima. Kretanje vazduha kroz jamsku prostoriju ostvaruje se pod dejstvom razlike potencijala (pritisaka) medu krajnjim tackama. Pri tome se javljaju aerodinamicke sile otpora kretanju vazduha. Pri laminarnom strujanju otpori uastaju usljed sila unutrasnjeg trenja, odnosno molekularne viskoznosti. Brzina strujanje blizu zidova se smanjuje, a neposredno uza zid ima vrijednost v =0.

Pad pritiska pri strujanju vazduha, kao komprimabilnog medija, u opcem se slucaju

izracunava po formuli:

/:>"p=Rv,n. [218J

(Llp- razlika potencijala na krajevima prostorije; R - aerodinamicki otpor strujanju; V'- zapreminski protok u prostoriji; eksponent ovisan 0 vrsti fluida i strujanja)

Za slucaj turbuientnog strujanja vazduha vrijednost eksponenta je:

nr::!2, te se pad pritiska na savladivanju otpora izracunava po Atkinsonovom obrascu:

[219J

Kod turbu1entrIog strujanja glavnu ulogu imaju sile inercije haoticnom mijesanju te je otpor trenja proporcionalan kvadratu brzine. Trenje se pri strujanju vazduha kroz rudnicke prostorije i slicne ventilacione kanale racuna na osnovu Atkinsonovog obrasca:

[220J

(A - popreeni presjek prostorije; v - brzina strujanja vazduha)

Otpori trenja 0 zidove prostorija su proporcionalni padu pritiska usljed savladivanja

trenja:

L v 2

/::,.p=A.--Y d 2g

[221J

(A _ koeficijent otpora zavisi od veliCine i tip a hrapavosti; y - specijicna tdina; d - preenik; v - brzina vazdusne srruje; L - duiina prostorije)

135/269

mi Pornnozimo Ii i podijelimo prethodni izraz sa - ,slijedi

4

mi L V2

1y;=2--,--y. 4 d"T{ 2g

4

mi 2

Kako je obim U= mi prostorije, a povrsina profila -- = A, slijedi: 4

U L v2 v2 UL Ap=}.---y=},--- y.

4 A 2g 8g A

Ako brzinu vazduha zamijenimo sa:

v V=- i

A

77' P a = -- (koeficijent trenja), 8g

slijedi

UL 2 ly;=a7gV .

Na osnovu Atkinsonovog obrasca slijedi izraz za aerodinamicki otpor trenja:

[222]

[223]

[224]

[225]

Koeficijent trenja a se istrafuje skoro 150 godina. Istrazivanja se uglavnom baziraju na eksperimentalnim metodama uz kasniju prakticnu primjenu i provjeru. Metode su vremenom usavrsavane koristenjem savremenih preciznijih instrumenata. Koeficijent trenja kod laminamog strujanja zavisi od Reynoldsovog broja i relativne hrapavosti E.

Postizanjem odredenog broja Re koeficijent 'T/ prestaje se mijenjati promjenom Re, odnosno dosme se automodelnost koeficijenta au odnosu na Re.

3.16.1.1 Otpori krivina

Krivine prostorija izazivaju skretanje struje i potrebu za dodatnom energijom radi njihovog savladavanja:

136/269

:0

:0

Slika 130: Uticaj skretanja na otpore strujanju

2hk <D2 -0) = --,

P

hk = 0,6(0)2 -0) Y = 0,6 .0)2( :2 -lJ

0) =VjA

hk = O,6·~ .0)2.

Vrijednost koeficijenta ~ zavisi od velicine ugla skretanja 3 (RAD):

~ = 0,57.3 2,

Bn S=-.

180

Izjednacavanjem:

U ·Lek 2 2 a'g' 3 ·V =0,6·S·0) ,

A

S 0) 2 • A3

Lek = --.0,6--2 '

a·g U·V

V = kO) =>

137/268

S 0)2. A3 S A Lek =--·0,6· 2 2 =0,6·--·-

a·g UA .(0 a·g U

otpori krivine: k U·Lek

R =a·u--­b A3

3.16.1.2 Otpori naglog suzavanja J'azriusnc struje

0:

. .)

o

[m]

Stika 131: Uticaj suienja na otpore strujonju

Pad pritiska:

( J2

2 1 1 hs=06V ---, Az Aj

(s -koeficijent kontrakcije)

( J2

o 1 1 hs = 0,6· V- ---SAl Aj

Koeficijent kontrakcije za ruduicke uslove:

1 s=---17-07 AI · , 'A

Izjednacavanje depresije =>

138/268

Otpor naglog suZenja profila:

3.16.1.3 Otpor usljed naglog prosirel1jll struje

~~ ~~

o 1[

Sliko 132: Uticaj prosirenja no otpore strujanju

Iz Bernoullijeve jeduacine slijedi:

(VI2 -v;) 2g

Pad pritiska na mjestu prosirenja (hp )

Gdjeje

139/268

v (j)=-

A'

3.16.1.4 Otpori prigusivaca

Ovi otpori nastaju na mjestima postavljanja regulatora protoka - prigusivaca, a posljedica su naglog smanjenja, a zatim prosirenja vazdusne struje:

0: 1, : 2

0: 1: : 2

Slika 133: Uticaj prigusenja na otpore strujanju

h = 0 6.V2 (_1 _~J2 , ~ A

~ = SAl

h =06.V2(_1 _~J2 =06V2 ( A-SAlJ pr' SAl A '~SAAI

h = 0 6 . v2 (~. ~ -IJ2 pr , A2 ~ Al

Ekvalentna duzina prigusivaca:

Otpori prigusivaca:

U . Lepr Rpr = a . g ---:--=--­

A3

[m]

[ :82]

Kad se izracuna depresija prigusivaca, potrebno je odrediti i veliCinu otpora prigusivaca Al koji izaziva tu depresiju, odnosno dimenzije otvora koji propusta potrebnu kolicinu vazduha.

Polazi se odjednacine:

140/268

V2 (1 A 12 h =06·- -·--1 pr , A2 ~ A

'" I )

- .jO,6 V JO,6 V Ih = 06-- 06-vpr '~ 'A

V·A za prigusivace ~ = 0,65

3.16.1. 5 Slozeni otpori

RezultujuCi koeficijent lokalnog otpora ventilacionog mosta:

( ,; s - koeficijent otpora usljed nag/og suiavanja, ,; tr - koeficijent otpora usljed

trenja 0 zidove mosta, ';S - koeficijent otpora usljed nag/og sirenja)

Slika 134: Sloieni oblik aerodinamickog otpora

3.16.1.6 Lokalni otpori komora

Protocno pro;jetravane komore predstavljaju dodatni otpor

2 h _ (j)re'rp

kom - ';kom • --2--

3.16.1.7 Otpori kanala ventilatora

C;kan(depr) = ';S +';K + C;tr + ';K

141/267

3.ic.2. Ekvivalentni otvor

Ekvivalentni otvor provodnika je povrsina A (m2) u tankom zidu kroz koji bi prolazio

isti zapreminski protok vazduha kao kroz cio provodnik, pod uticajem iste razlike potencijaJa.

1 2

Stika 135: Ekvivalentni olvor

V'=av1 =£Av2 ·

(8 = 0,65 - ko~ficijent kontrakcije)

Ovisnost brzine, pritiska i gustine:

V=fCh)=f!,

odakle je dalje

v, A /2h =& {p

Rijesimo Ii prethodnu jednacinu po nepoznatoj velicini poprecnog presjeka A mozemo pisati:

V'

A= f!h [; -

p

r 01 lm~ J

Ako je 1':= 0,65 i p= 1,2 kg/m} tada imarno daje povrsina ekvivaJentnog

142/267

[226]

v' A=1,19--r,= .

-vh [227]

Vidimo da ekvivalentni otvor ovisi 0 zapreminskom protoku i razliici pritiska koja proizvodi taj protok.

3.16.3. Ceoni orpori

Svaki cvrsti predmet koji se nade u profilu vazdusnog provodnika stvara otpor kretanju vazdusne struje, i naziva se ceoni otpor. Poremecaji struje zavise od oblika i dimenzije ceonog otoora .

•

SMa 136: Ceoni otpor

Vazdusna struja koja nailazi na cvrsto tijelo cijepa se usljed cega se javlja vrtlozenje. Sila cijepanja se moze izraziti:

v 2

Px =Cx Ac 2"P [N]. [228]

(v - brzina vazdusne struje; Px - sUa cijepanja vazdusne struje; ex - koeficijent ceonog otpora; Ai' - povrsina popreenog presjeka ceonog otpora po putanji struje)

Energija potrebna za savladivanje ceonog otpora:

(229]

Potencijal potreban za savladivanje ceonog otpora se moze izraziti kao energija svedena na 1 m3 fluida:

[230]

3.17. KompjuterizQvana dinamika fluida (eFD)

Sinonim kompjuterska iIi kompjuterizovana dinamika fluida (CFD - computational fluid dynamics) oznacava posebnu oblast mehanike fluida koja dozivljava snaZnu ekspanziju razvojem racunarske tehnike i numerickih metoda. Versteeg (1995) defmira CFD kao analizu sistema koji ukljucuje strujanje fluida, transfer toplote i pratece pojave kao sto su hemijske reakcije, i to u smislu kompjuterske simulacije. Rezultati CFD ne sarno da pruZaju opis aktuelnog i konkretnog strujanja nego pruZaju moguenost predvidanja pojava i efekata.

143/267 143/268

Metod je prvo koristen za rJesavanje nelinearnih jednaCina linearizacijom. Dvodimenzionalni mode1i razvijani su jos od ranih 30-ih godina proslog vijeka, a zbog intenzivnih racunskih operacija prostornu dimenziju i prakticnu primjenu dobija tek razvojem racunarske tehnike. Razvojem informacionih tehnologija postaje moguce obaviti veliki broj racunskih operacija u relativno kratkom vremenu. To je omoguCilo da se skupi eksperimenti iz laboratorija, zraenih kanala iIi glomaznih simulacionih mode1a presele na monitore racunara. S pravilno modeliranim objektima, realno i pravilno postavljenit-n granicnim uslovima, ispravno odabranim modelom simulacije, jakom hardverskom konfiguracijom i kompetentnim softverom moguce je simulirati tok i interakciju fluida sa okolinom. Tacnost rezultata, odnosno poklapanje s rezultatima iz prakticnih eksperimenata uveliko zavisi od poznavanja stvarne prirode fluida i zakonitostikoje prate njegovo ponasanje u razlieitim uslovima kretanja i okoline.

Za laminama i jednostavnije slucajeve turbulentnih strujanja moguce je direktno :tjesavati sistem Navier-Stokesovih jednacina. Veca slozenost modela i zah1jevniji rezultati u modeliranju turbulentnih strujanja nameeu potrebu primjene "turbulentnog modela", danas poznatog kao ,,k-E model" iIi RANS (Reynolds-averaged Navier Stokes) model.

Za simuliranje slozenih visefaznih strujanja danas su razvijeni znatno slozeniji programski kodovi. Softverske kompanije koje se bave razvojem CFD softvera (npI. "Fluent", "Cham" iii "AEA Tecnology") izradile su CFD kodove smjestene u korisnicko Windows iii Mac okruzenje, sto je stvorilo relativno veliku zajednicu korisnika iz razlicitih oblasti nauke i tehnike. CFD se primarno koristi u fazi dizajna, projektovanja i razvoja proizvoda, metode iIi usluge koja na neki naein ukljucuje fenomene vezane sa strujanje fluida, transfer toplote iIi hemijske reakcije.

Kao matematska osnova za razvoj CFD alata iskoristene su Navier-Stokes-ove jednaeine koje omogueavaju defmiranje promjena u toku fluida tokom vremena.

3.17.1. Navier Stokesove jednacine

Uvrsti Ii se u Eulerove jednaeine i viskozitet fluida dobit ee se jednacine strujanja za neviskozne fluide, poznate kao Navier-Stokesove jednacine. Navier-Stokesove jednacine su nazvane po istraZivacima Claude-Louis Navieru (1785-1836) i George Gabriel Stokesu (1819 1903). Matematski predstavljaju sistem parcijalnih ne1inearnih diferencijalnih jednacina, a opisuju promjene kolieine kretanja diferencijalno male zapremine fluida kao zbir frikcionih viskoznih gubitaka(trenje), promjena u pritisku, uticaj gravitacije i druge sile koje djeluju na fluid, a predstavljaju primjenu Newtonovog drugog zakona na fluide.

Ove jednacine imaju siroku primjenu. jer su u stanju u viskom stepenu tacnosti modelirati niz razlieitih primjena fluida: u autoindustriji, projektovanju letjeIica, modelirajnu klimatskih prilika, strujanju u okeanima i slieno. U kombinaciji s Maxwellovim jednacinama cine osnovu za modeliranje procesa u oblasti magneto-hidrodinamike. .

Navier-Stokesovim diferencijalnimjednaeinama se ne uspostavlja direktna veza izmedu fiziekih veliCina, vee veza izmedu njihovih promjena.

Kako se pri strujanju fluida mijenja medusobni polozaj govorimo 0 pojavi kovenktivnog ubrzanja. Zbog komprimabilnosti fluida i turbulencije jednaeine kojim nelinearne, sto umnogome uslomjava njihovo rjesavanje.

144/268

pojedinih dijelova mase, konvektivnog ubrzanja, se opisuje strujanje su

6 I I· trougao kvadrat

4J 6) tetraedar heksaedar

IT\ ttl LJ) " ,

piramida prizma

STika 137: Standardni geometrijski modeli elementame zapremine za podjelu prostora na konacan broj zapremina

Slika J 38:Prelliminama (a) i optimizirana (b) mreia za aerodinamicka balisticka izracunavanja (Gambit/Fluent)

Konstrukcija mremog modela za simulaciju primjenom CFD alata: gomja slika predstavlja prelinrinarno pripremljenu mrefu koju je racionaolno optimizirati radi postizanja bolje konvergencije i tacnijih rezultata, a donja slika predstavlja optimiziranu mrefu u kojoj su podrucja iIltenzivnih strujanja podijeljena u gusce mreze

148/268

lednacina momenta u smjeru Y-ose

o (pv) + &(pu2 L & (puv) + o (puw) = _ &p +~(ocr = + ocr X)'+ ocr n J

1)-r OX oy oz Ox Re OX oy oz (242]

Jednacina momenta u smjeru Z-ose

[243]

Energetska jednaCina:

& (Euk ) o (UEuk) & (VE"k) &(WEuk)_ &(up) o(vp) ---+---+---+-----------&1: &x &y &z &x &y

&(Wpt_l_[~+~+ &q,)+ &z RePr &x &y &z

[244]

~[o (ucr ~ + vcr Xl' +wcr r) + & (ucr 'Y + vcr yO' +wcr ,J + & (ucr u +vcr )' +wcr" )) ~ fu ~ &

(1: - vrijeme; x,y,z -prostome koordinate; U,V,W - komponente vektora brzine; p--gustina; cr - naprezan}e; p -pritisak; Euk - ukupna energija; q - toplotni jluks; Re - Reynoldsov bro); Pr - Prandtlov bro}) Tri su osnovna koraka pri ljesavanju problema koristenjem CFD metoda i alata: pretprocesuiranje (modeliranje, izrada mrefuog objekta i defmisanje granicnih uslova), racunanje i postprocesuiranje (prikaz rezultata).

3.17.2. Preprocesuiranje

U predprocesuiranje spadaju slijedeci koraci: ./ modeliranje objekata i sredine (modelling) ./ formiranje mreze (meshing) ./ defmisanje granicnih uslova

Zadatak pretprocesuiranja je defmiranje fizicke okoline i medija koji se analizira. Pripremljen geometrijski model moze se importovati iii izraditi u alatu koji je cesto dio CFD softverskog paketa. Kadaje model, odnosno domena strujanja formirana, potrebno ju je izdijeliti u "celije" koje svojom povrsinom (kod 2D modela) iIi zapreminom (kod 3D modela) cine domenu, odnosno mrefu. MreZa je sastavljena od elemenata, cvorova i linija koje ih povezuju, cineci povrsine i zapremine. U kasnijem stadiju softver ljesava jednach"1e kretanja u svakom cvoru domene. Proces formiranja mreze naziva se "mreziranje" (meshing), i veoma je bitan za kvalitet simulacije, odnosno tacnost rjesenja. Generalno vrijedi pravilo da gusca mreZa daje tacnije rezultate, ali rapidno povecava hardverske zahtjeve kod procesa rjesava.."lja jednacina, pa se uvijek teZi optimalnom odnosu gustine mreze i zahtijevane tacnosti rjesenja ..

147/268

i !

Slika 139:Modelletjelice pripremljen za proracun primjenom CFD programskih alata (Gambit/Fluent)

3.17.3. Rjesavanje metemeticKog modele (Solving)

U proces rjesavanja spadaju slijedeci koraci: usnirnavanje pretprocesuiranih podataka i modela u modul za ljesavanje (solver), odabir modela za proracun i podesavanje, izracunavanje.

Tri su osnovna numericka koraka u pribliZlivanju rjesenju nekog problema kroz CFD: aproksimacija nepoznatih varijablijednostavnim funkcijama, diskretizacija zarnjenom aproksimacija u glavnu jednacinu toka, rjesavanje algebarskih jednacina.

Siroko prihvacena su tri metoda aproksimacije i diskretizacije: metoda konacnih elemenata, metoda konaCnih raziika, metoda konacnih zapremina .

NajveCi broj CFD softverskih paketa rjesava jednacine kretanja fluida metodom konacnih zapremina. Solver rjesava sistem jednacina numerickim iteracionim metodama. Ako su polazni i granicni uslovi pravilno odabrani i defmisani, solver ce konvergirati, odnosno smanjivat ce se inicijalne greske i biti blize rjesenju sa predefmisanom tacnoscu.

I:~ ~~.!~~ !:~~ ~.~~~.~.~~.~ !~~··~~l~· ~ .. - .. --.-------:-----.. -... ---- .

Slika 140: Monitoring iterativnog procesa i konvergencrje proracuna

149/268

3.11.4. Prlkazi tumacenje rezultata (postprocesuiranje) Post-procesuiranje rezultata simulacije cine slijedeCi koraci:

,/./ post-procesuiranje, priprema i filtriranje izlaznih podataka ././ graficki prikaz rezultata i njihovo tumacenje

Zavrsna faza CFD analize je prikaz rezultata, koji se obieno svode na graficku sLrnulaciju i prikaz u 2D iii 3D okruZenju. Osnovni cilj CFD analize je dobijanje rezultata koji ce ekspertskom analizom i tumacenjem dovesti do ispravnih projektnih ljesenja.

Slika 141: Primjer prikaza kontura pritiska u prostorijama podzemllog rudnika pri ventilaciji slijepih prostorija pomocnim ventilatorom (separatna ventilacija)

Slika 142: Primjer prikaza kontura brzine vazduine struje u prostorijama podzemnog rudnika pri ventilaciji slijepih prostorija pomocnim velltilatorom (separatna ventilacija)

150/268

Slika 143: Primjer prikaza veltora brzine vazdusne struje u komornom otkopu podzemnog rudnika

Granicni uslovi se odreduju za svaku povrsinu koja odvaja prostor u kome se vrsi proracun od okoline. U odnosu na okolinu povrsine se mogu posmatrati po vise kriterija: pritisak (pozitivni ili negativni potencijal), brzina vazdusne struje (ulaz iii izlaz s definisanom brzinom strujanja), determinisani maseni protok (ulaz iii izlaz fluida), nepropusan zid s razlicitim termodinamickim osobinama i slicno. Defmisanje granicnih uslova je od sustinskog znacaja za dalji proracun. Zanemarivanje granicnog uslova koji ima znacajan uticaj moze dovesti do generisanja neprihvatljivih gresaka u proracunu, dok uzimanje u obzir velikog broja granicnih faktora, Ciji znacaj na procese unutar sistema nije veliki, dodatno ce usIozniti proracun, a moguce je i da ce negativno uticati na rezultat. Model, konstruisan za dalji proracun i simulaciju, je pozeljno kalibrirati, odnosno usaglasiti sa stvarnim stanjem na modelu. Kalibriranje se moze izvoditi analiticki, eksperirnelltalno i kombinacijom ova dva metoda. Analiticki postupak se svodi na to da se nekom od drugih konvencionalnih metoda provjere pojedini parametri proracuna i ustanovi njihova tacnost, dok se eksperimentalnim metodama proracun prvo izvrsi za stanje sistema koje je poznato, odnosno eksperimentalno utvrdeno mjerenjem, i usporedi tacnost modela s mjerenjima. Znacajnija odstupanja mogu biti posljedica iIi pogresno postavljenih granicnih uslova, iIi pogresno izabranog modela za proracun.

Nakon sto je zavrsena geometrijska konsturkcija simulacionog modela, sto se oibcno radi posebnim programskim alatima, pristupa se podesavanju pararnetara za proracun. Vrsi se izbor modela za simulaciju, postavljaju pocetni uslovi, te incijalizira proracun i prati njegova konvergencija, odnosno priblizavanje konacnom rjesenju. Ovisno 0

slozenosti proracuna, zeljenoj tacnosti, prirnjenjenom softverskom paketu za proracun i racunarskoj platformi na kojoj se izvodi simulacija, pojedini proracuni mogu trajati dugo - danima iIi mjesecima. Za jednostavnije modele obieno se proracun zavrsava za nekoliko mmuta.

151/268

fiuidne maiine (pumpe,ventilatort, kompresorll Masine kojim se vrsi transformacija mehanickog rada u pritisak iii kretanje fiuida, iIi pak energije pritiska fluida u mehanicki rad, nazivaju se fluidne masine. U ove masine spadaju pumpe, ventilatori, kompresori, hidraulicki i pneumatski motori i slicno. U principu iste vrste mehanickil'i uredaja se koriste za transformaciju energije pritiska u rad iIi obrnuto. Zbog razliCitih fizickih osobina tecnosti i gasova konstrukcijski se razlikuju vazdusne masine (kompresori, duhaljke, ventilatori) i hidrauiicke masine (pumpe).

4.1. Vazdusne masine

Gasovi su komprimabilni, te pri promjeni gustine oslobadaju toplotu u okolni protor pri kompresiji i uzimaju natrag toplotu pri ekspanziji, odnosno rashladuju okolinu. Zbog malog viskoziteta gasovi vrlo lako prolaze i kroz najrnanje otvore, te su tolerancije rnasina i uredaja koji rade sa sabijenirn gasovima znatno nize.

Slika 144: Turbokompresor

4.1.1. Ventilatori

Pod pojmom ventilator podrazumijevarno mehanicki sklop koji koristi rnehanicku energiju rotirajuceg propelera za izazivanje kretanja vazduha uz istovrerneno stvaranje razlike pritiska (aerodinamicki potencijal) na usisnoj i potisnoj strani.

Ukupan, odnosno totalni aerodinamicki potencijal (efektivni pritisak) ventilatora se moze izraziti:

TP= Pvuk =hvuk = P2uk - Pluk Pa [245]

(P2uk. P juk - pritisci na potisu i usisu ventilatora)

Ovisno 0 tome s koje strane (usis iIi potis) se nalazi radna sredina, ventilatori se dijele na kornpresione i depresione.

153(269

na lijevi integral i kombinujuci ga sa ostalim integralima moze se pisati:

15L dO. = 1 v' dO. - 1 V' [L v]do. , odakle dalje slijedi da je Or

[234]

Ovaj integral mora biti jednak nula u bilo kojoj kontrolnoj zapremini, a sto moze biti zadovoljeno sarno ako je vrijednost unutar integrala jednaka nuli, odakle slijedi:

5L +V'.[Lv]+V' =0. 8r

[235]

Odrzanje mase u kontrolnoj zapremini moze se izraziti uzimajuci granicni uslov V'=O (nema razmjene mase izvan kontrolne zapremine) i uvrstavajuCi gustinu ujednacinu:

8p r] -+V'.1;w =0. Or

[236]

Za nekomprimabilno strujanje, zakon 0 odrZanju masa se moze pisati:

y·v=O. [237]

Iako se jednaCina kontinuiteta ne smatra jednom od Navier Stokesovih jednacina, ona prati primjenu ovih jednacina i pretpostavka je za njihovu primjenu. Izrazimo Ii moment koliCine kretanja po jedinici zapremine:

I mv i=-=--' =pv.

V V '

jednaCinu odrZanja momenta koliCine kretanja mozemo pisati:

[238]

[239]

Indeks i u prethod..rlOj jednacini indicira da se jednacina odnosi na svaku od 3 prostome komponente brzine u koordinatnom sistemu (v" vy, vz).

Za trodimenzionalni nestacionami tokjednaci.lla kontinuiteta:

[240]

. lednaCina momenta u smjeru X-ose

[241]

146/269

(248]

Odnos izmedu osnovnih pokazatelja rada ventilatora pri regulaciji iz stanja 1 u stanje 2, a pri istoj zakrivljenosti lopatica, moze se pisati:

I'

(n-braj obrtaja rotora, P-efektivna snaga venti/atora)

Efektivna snaga ventilatora i ukupna snaga koju trosi pogonska grupa ventilatora razlikuju se za iznos gubitaka, tako da se ukupan utrosak snage moze pisati kao:

p Pu~ ~

'fJ (7]- iskoristenje, koeficijent korisnog dejstva)

Efektivna snaga ventilatora se moze izraiziti kao proizvod zapreminskog protoka vazduha i aerodinamickog potencijala:

[249]

4.1.2. Kompresori

Kompresijom se nazivaju procesi sabijanja gas ova, odnosno smanjenja njihove zapremine primjenom mehanickog rada. Ako se rad W manifestuje kao srnanjenje zapremine fluida, odnosno kao rad protiv unutrasnjih sila, mozemo pisati:

dW= p dV [J). [250]

(p / pritisak, dV-smanjenje zapremine gasa)

Slika 146: Princip rada klipnog kompresora (J -cilindar, 2-klip, 3-usisni venti!, 4-potisni ventil, 5-klipnjaca, 6-koljenasto vratilo)

Podjjelimo Ii prethodnu jednaCinu sa masom mozemo govoriti 0 specificnom radu:

dw = p dv [J/kg], [251)

155/269

gdje je specificna zapremina jedinicne mase gasa:

V 3 V=- [kg/m).

m

Slika 147: Kompresija u random p-v dijagramu

Posmatramo Ii proces u p-v (pritisak-specifiena zapremina) dijagramu od tacke A do tacke B, uoeit cemo da rad odgovara povrsini ispod krive procesa u ovom dijagramu, pa mozemo pisati:

11=0. p[Pa]=col/sl

, 1l=f..:Jl1..c~ollsf 0'0

Slika J 48: Karakreristicni politropski procesi pri komprcsiji gasova (n=O: izobarski; n=1: izotermski; n=k: adijabarski; n=oo: izohorski)

Kompresori su mehanicki uredaji kojim se mehanickim radom povecava pritisak gas a smanjujuci njihovu zapreminu. Konsekventno se tokom kompresije podize temperatura komprimiranog gas a po izotermskom, adijabatskom iii politropskom procesu. Gas tokom kompresije obicno zahtijeva hladenje izmedu pojedinih etapa (faza) kompresije.

156/269

Medufazni hladnjaci obicno su u vidu kondenzatora i ventilatora za bladenje. Izotermski proces prilikom kornpresije (temperatura kmnpresova.'1og gasa ostaje tokom postupka kompresije konstantna) je najpozeijniji, sto u potpunosti nije prakticno izvodljivo.

p

Slika 149: Potpuno reverzibilan process lwmpresije idealnog gasa

Pogon za kompresore moze biti razlicit, od gasnih turbina koje pogone aksijalne i centrifugalne protoene kornpresore kod rnlaznih motora, preko parnih turbina ili vodene turbine koje pogone ve1ike kornpresore, elektro-motora pogodnih za staticne kornpresore do dizel i benzinskih motora koji se koriste kao pogon mobilnih kornpres~ra.

Stika 150: Radni dijagram klipnog kompresora

Rad kornpresije:

dW=pAdx=pdV

157/268

Pretpostavimo Ii daje kopresija izotermna, rad ce biti:

2 2 d W= fVdp= JPIV;.E=P,V;ln P2

liP PI

Efektivna snaga kornpresora moze se izracunati kao proizvod dobave (protoka vazduha) i stepena kompresije (pritiska):

P.J =V' !J.p

Stepen korisnog dejstva kompresora je kolicnik ukupno anga.zovane i efektivne snage:

11 = P"k = P"k Pef V'dp

Kompresori u praksi imaju razlicitu primjenu:

u pneumatskom transporm,

u hladnjacima i uredajima za kondicioniranje (klirnatizaciju),

u gasnirn turbinarua, za kompresiju ulaznog vazduha prije procesa spaljivanja,

prilikom punj enj a razlicitih gasova u komercijalnu iii industrijsku ambalafu,

kao pogon u sistemima sa pneumatskim alatima,

za ostvarivanje priblimo atmosferskog pritiska u kabinama pod vjestackim pritiskom (avioni, sateliti),

za razlicite aparate i opremu za disanje (izolacioni aparati, ronilacka oprerua, astronautska oprema i s1.),

u auto-industriji za podizanje performansi i kvaliteta sagorijevanja u motorima SUS i dr.

Kompresori su slicni pumparua za tekucine - U oba slucaja podite se pritisak, sarno 5tO se se povecanjem pritiska tekucine ne srnanjuje njena zapremina zbog izrazito male komprimabilnosti. Razlika pritiska kod tecnosti se koristi za nj ihov transport podizanjem geodetske visine iii savladivanjem otpora strujanja. Dijele se na kIipne (reciprocitetni), rotacione (centrifugalni), vijcane, membranske i duhaljke.

4.1.2.1 Klipni (recioprocitetni) kompresori

Reciprotet:Pj kompresori koriste klipuve pogonjene zglobnim vratilom. Mogu biti stacionami iii mobilni, jednoetapni iii viseetapni, a kao pogon mogu koristiti elektricne iii motore sa unutrasnjim sagorijevanjem. Ostvaruju izlazne pritiske do 35 MPa. Kao viseetapni kompresori za vazduh vaZe za najefIkasnije, ali su bucniji i skuplji za odrZavanje od drugih tipova kompresora.

158/268

SliJw 151: Reciprotetni kompresor sa sest dlindara

4.1.2.2 Rotacioni (centrifugalni) kompresori

Centrifugalni kornpresori koriste rotirajuCi disk sa lopaticama iIi impeler u odgovarajuce oblikovanom kucistu za ubrzavanje gasa uz obod kucista. Difuzor (divergentni mlaznik) konvertuje kineticku energiju ubrzanog gasa u energiju pritiska. Ova vrsta kompresora najcesce se koristi za potrebe kontinuiranog, stacionarnog izvora komprimiranog gasa u rafrnerijama, hemijskim i petrohemijskim kompieksima. Snaga centrifugalnih kompresora krece se od 75 kW pa do nekoliko hiljada kW. Pomoci viseetapnog procesa kompresije mogu ostvariti izlazne pritiske i preko 70 MPa.

Prema konsturkcijskoj izvedbi mogu biti dijagonalni, aksijalni i radijalni.

Slika 152: Radijalni lwmpresor

Dijagonalni kompresori imaju i radijalnu i aksijalnu komponentu brzine na izlazu iz rotora. Dufuzor se cesto koristi da bi dijagonalno strujanje okrenuo u aksijalni pravac. Dijagonalni kompresori imaju JIllinji precnik difuzora u odnosu na ekvivalentne centrifugalne kompresore.

Aksijalni kompresori koriste seriju rotora sa lopaticama za progresivnu kompresuju struje gasa.

159/268

Slika 153: Aksyalni centrifugalni kompresor

Mirujuce statorske lopatice locirane nakon svakog mtora u pravcu strujanja gasa, usmjeravaju struju na lopatice slijedeceg rotora. Povrliina popreenog presjeka otvora kroz koji struji gas srnanjuje se duZ tijela kola kompresora da bi se zadrZao pribliZno kOllStantan aksijalni Mahov broj. Aksijalni kompresori uglavnom se koriste kod slueajeva sa velikim protocima gasa, koa sto su srednje i velike gasne turbine. Gotovo uvijek su viseetapni, a eesto koriste i varijabilnu geometriju za efektivniji rad.

Stika 154: Skica krilnog kompresora: 1 - stator, 2 - ekscentrieno postavljen rotor, 3 -krilo (lamela), 4 - opruga

4.1.2.3 VlJcani kompresori

Rotacioni vijcani kornpresori koriste dva rotirajuca helikoidna vijka sa pozitivnim pomakom za sabijanje gasa u malom prostoru. Obicno se koriste za permanentni rad, a mogu biti stacionarni i mobilni. Snaga rotacionih vijcanih kompresora varira od 2,24 kW do 375 kW, ostvarujuci pritiske i do 8,3 MPa. Cesto sluZe kao pogon za pneumatske alate.

160/268

Stika 155: Vijeani kampresor

4.1.2.4 Membranski Kompresori

Membranski kompresori su varijanta konvencionalnog reciprotivnog kompresora. Kompresija gasa nastaje pomijeranjem tleksibilne membrane umjesto klipnog elementa. Pomijeranje naprijed i nazad ostvareno je preko mehanizma poluge i zglobnog vratiia. Kod ovog tipa kompresora sarno membrana i kompresiona kutija (prostor) dolaze u dodir sa kompresovanim gasom. Najcesce se koriste za kompresovanje hidrogena i prirodnog gasa, kao i za niz drugih zadataka.

4.1.2.5 Duhaljke

Duhaljke ostvaruju znatno manje efektivne pritiske (stepen kompresije) i vece zapreminske protoke U odnosu na ostale kompresore, ali i znatno manje zapreminske protoke u odnosu na ekvivalentne ventilatore.

4.2. Pumpe

Pumpama naziva.lTIO uredaje namijenjene za pretvaranje mehanicke energije u energiju pritiska tecnosti. Kako su tecnosti wlo slabo stisljive to se, za razliku od gasova, zanemariv dio energije transformise u promjenu zapremine tluida. Glavnina energije se trosi za generisanje razlike pritiska usljed koje dolazi do kretanja tecnosti. Pumpa na ovaj nacin saviaduje otpore kretanju i geodetsku visinu, ako se pumpanjem tecnost podiZe na visi horizont.

Pumpe se mogu klasifikovati po niz kriterija: principu rada, konstrukcij~ pritisku, radnom uglu i slieno. Po principu rada, raziikujemo pumpe zapreminskog djelovanja (klipne i pumpe s dijafragmom) i rotacione pume (s jednim rotorom iii vise rotora) i air­lift pumpe. Ovisno 0 konstrukciji mogu biti centrifugalne, dijagonaine i aksijalne

161/267

prenosivosti - na stacionarne i mobilne. Prema vrsti fluida koji se tretira, pumpe se mogu podijeliti na: pumpe za (;ism vodu, pumpe za pdjavu i hemijski agresivnu vodu, pumpe za naftu i derivate nafie, pumpe za hidrotransport, pumpe za suspenzije, specijalne pumpe itd. Ovisno 0 broju komora u kojim se odvija pumpanje pumpe mogu biti jednokomome iii visekomome, odnosno jednostepene iIi visestepene.

Slika 156: Energetski prirast u struji fluida usljed djelovanja pumpe

4.2.1. Zapreminske pumpa

Nazivaju se jos i "potisne pumpe" jer se kretanje tecnosti iz zatvorenog prostora ostvaruje radnim tijelom, koje se krece translatomo iIi rotaciono ciklicno mijenjajuci zapreminu prostora. Mogu biti linijskog i kruZnog djelovanja.

Slika 157: Klipna (zapreminskoJ pumpajed-r1ostrukog

162/267

Izraauju se u sljedecim konstrukcijskim varijacijama: a) klipno-aksijalna (s aksijalno postavljenim ekscentrom) - s nagibnom plocom (5 mimjucim ekscentrom) - s nagibnom osi (s rotirajucim ekscentrom) b) klipno-radijalna (s radijalno postavljenim ekscentrom) - s unutrasnjim djelovanjem (?ranjskim ekscentrom) - 5 vanjskim djelovanjem (unutrasnjim ekscentrom) c) s koljenicastim mehanizmom d) s kulisnim mehanizmom

Klipne pumpe se sastoje od radnog cilindra, klipa koji se krece ciklicno translatorno, usisnog i potisnog ventila, usisne i potisne komme, usisnog i potisnog cjevovoda i usisne resetke s nepovratnim ventilom. Protok kroz klipnu pumpu ovisi 0 zapremini cilindra V, broju ciklusa n i koeficijentu iskoristenja pumpe 11:

V' = 11 n V.

Pritisak u radnom cilimL.'ll klipne pumpe:

Pc = Pat - pghu - pgI,hw - Pui [252)

(hu- vertikalno rastojanje od nivoa tecnosti u rezervoaru do najvise taCke radnog prostora pumpe, m; hw- zbir svih hidraulickih otpora u usisnom cevovodu, m; Pal atmosferski pritisak, Pa; Piu- pad pritiska izazvan inercijom tecnosti, Pa.)

[253]

(lu - duiina usisnog cjevovoda, m; rk - polupreenik koljena vratila, m; Ala povrsina poprecnog presjeka klipa, m2

; Au - povrSina poprecnog presjeka usisnog cjevovoda, m2

; n - broj obrtaja vratila pumpe, o/min)

Kriticna vrijednost visine usisnog cjevovoda moze se odrediti na temelju pritiska isparavanja tecnosti pri datim uslovima (Ppi):

h < P a - P pi _ I,h _ P ui ud - w

pg pg Opadne li pritisak ispod kriticnog usisnom cjevovodu pumpe.

EfektivIll! snaga pmr.pe je:

P = V' b.p.

[254]

pritiska isparavanja, pojavit ce se kavitacija u

(L\p - pritisak koji ostvaruje pumpa, Pa)

163/268

Stika 158: Principijelna shema rada pumpe

Na prethodnoj slici je prikazana tipicna shema rada pumpnog postrojenja. U donji rezervoar je potopljen otvor usisnog cjevovoda pume duiine (hw+hu), a potisnim cjevovodom se teenost podiie u odnosu na nivo pumpe za visinu hp • Ukupna visina za koju pumpa podiie nivo teenostije hg.

Stika 159: Podjela zapreminskih pumpi

4.2.1.1 Zupcaste pumpe

Zupeaste pumpe se sastoje od jednog iIi ova medusobno preklopljena zupeanika koji se rotiraju povezano u suprotnom smjeru. Kod pumpi sa dva zupeanika jedan je pogonjen direktno motororn, a drugi se rotira pod uticajem pogonskog zupeanika. Fluid ulazi izmedu zubaca i krece se kroz kuCiste pumpe od usisa ka potisu. Obicno se koriste za maksimalne protoke do 70 m% i pritiske do 150 bara. Karakterisu ih jednostavna konstrukcija, niska cijena, mala masa, ali i veliki zapreminski gubici, usljed kojih je koeficijent korisnog dejstva 11 = 70-<-85%. Relativno su iagane - imaju naroeito povoljan odnos snage i mase pumpe. Razlikuju se 3 konstrukcije ovih pumpi: sa valljskim ozubljenjem, s unutrasnjim ozubljenjem i s zupcastim prstenom.

164/268

Slika 160: Zupcasta pumpa s vanjskim (a) i unutrasnjim (b) ozubljenjem (Fancev 1988): 1 - stator, 2 - zupcanik, 3 - zupcanik s unutraSnjim ozubljenjem, 4 - pregrada

4.2.1.2 Vijcane pumpe

Koriste se posebno za rukovanje visokoviskoznim fluidima. Mogu imati jedan, dva iIi tri vijka, a ako rade sa fluidima niskog viskoziteta ne mogu se ostvariti visoki pritisci.

Slika 161: Vijcana pumpa s dva i tri vijka (Fancev 1988)

Ove pumpe karakterisu se tihim radom, ravnomjernim protokom i pritiskom, sirokim radnirn dijapazonom. Gubici su relativno ve1iki (koeficijent korisnog dejstva ispod 80% ).

4.2.1.3 Krilne (lamelne) pumpe

Krilne (lamelne) pumpe izraduju se sa jednom komorom konstantnog ili promjerJjivog protoka i vise komora (viseradne) sa konstantnim protokom. Krilne pumpe su slicne zupcastirn pumpama. Fluid ulazi u prostor u kome se osovine s krilima obrnuto rotiraju, izazivajuci zapremisko kretanje kroz unutraSnjost pumpe.

Slika 162: Dvokrilna pumpa

165/268

Slika 163: Trokrilna pumpa

Broj krila u kriInim purnpama ovisi 0 vrsti i viskozuosti fluida, tolerancijarna u radu i pulsiranju toka. Dvokrilne purnpe su u stanju funkcionisati sa viskoznijim i fluidima koji u sebi sadrze veei udio cvrstih materija, ali pulsiraju znatno vise od trokrilnih purnpi.

4.2.1.4 Membranske pumpe

Membranske purnpe se uglavnom koriste za rukovanje visokokorizivnim iii abrazivnim fluidirna i rastvorirna. Prostor kroz koji prolazi fluid odvojen je dijafragmom koja se izraduje od koze, gume iIi plasticnih rnaterijala.

i!!S'"

I'~I [] l' t

Slika 164: Membranska purnpa

Sa zastieene strane elasticne membrane vezana je oscilujuea osovina koja pomjeranjem membrane ciklicno sma...'1juje i povecava zapreminu unutar komore. Kombinacijom ulaznog i izlaznog ventila postiZe se da pri povecanju radne zapremine usljed pomijeranja dijafragme fluid ulazi na usisni ventil, a pri obmutom kretanju dijafragme izlazi na potisni venti!. Zbog konstrukcijskih ogranicenja ovim se pumparna ne mogu postiCi visoki pritisci i protoci.

4.2.2. Centrifugalne (turbo) pumpe

Kod centrifugalnih pumpi poprecni presjek dut putanje fluida kroz pumpu (propelerom) raste, zbog cega dolazi do smanjenja brzine strujanja fluida. Ovim se srnanjuje i dinamicki pritisak, ~to kosekventno dovodi do poveeanja pritiska fluida u radnom kolu.

166/268

Centrifugalne pumpe se mogu podijeliti po vise razlicitih kriterija: Po raOOom kolu (zatvoreno, otvoreno i poluotvoreno kolo) Po broju stepeni (jednostepene i visestepene) Po konstrukciji (dijagonalne, aksijalne, dijagonalno-aksijalne) Po raOOom kolu (pufue, krilne i zupcaste) Po broju obrtaja (brzohoOOe, normalne i sporohoOOe) Po broju usisa (jeOOostranog i dvostranog usisa)

[255}

RaOOo kolo radijalnih iIi aksijalnih turbopurnpi moze se izvoditi u razlicitim konstruktivnim oblicirna. Ove purnpe nernaju usisne i potisne ventile u raooom prostoru, kao ni usisne i potisne komore. Ravnomjerno dobavljaju tecnost (nernaju ciklicne varijacije u protoku), a mogu transportovati tecnosti razliCitog viskoziteta. Njirna se ne mogu transportovati suspenzije u kojirna se nalaze cvrste cestice.

4.2.2.1 Radne karakteristike turbopumpi

Karakteristicnim krivarna turbopumpi nazivaju se krive zavisnosti nekoliko velicina od zapreminskog protoka koji purnpa ostvaruje pri konstantnom broju obrtaja (radnih ciklusa) n =const:

pritiska od protoka!;,p= f(V')

napora (visine stuba tecnosti) od protoka H r= f(V ')

snage purnpe od protoka P = f(V') i

koeficijenta korisno~fejstva pumpe od protoka 11 = f(V') U2

Slika 165: Dijagram ulaznih i izlaznih brzina na prope/ero idealizirane pumpe

Moment kolicine kretanja na poluprecniku II na ulaznom mbu lopatice:

167/268

Moment kolicine kretanja na poluprecniku f2, izlazni rub lopatice:

Moment spoljnih sila je:

M =Lk2 -Lkl = pV;(v212 -vIIJ

Kakoje:

II = 'i casa j ;12 = r2 casa2

Zarnjenom u jednacini momenta i mnozenjem iste ugaonom brzinom ro slijedi:

Mffi = pV;ffi(v2r2 casa2 -Vjrl casaJ

Snaga rotora se moze pisati:

P = Mffi = pgHV;

Obodna tangencijalna brzina:

it = rffi

Teoretski napor pumpe:

HT = U 2V2 casa2 -UIVj casal [m]. g

U uprostenim razmatranjima moze se prihvatiti da je:

pa je izraz za teorijski napor (H, m):

H = U 2V 2u T .

g

Teorijski napor radnog kola se moze izraziti i formulom:

HT = ~ (u 2 -VmCtg(32)

ledinicni rad (Y, J/kg) se defmiSe izrazom:

YT = gHT = U 2C2u

Stvarni napor je:

168/268

[256]

[257]

[258]

[259]

[260]

[261J

[262]

[263]

Slika 169: Tipicna radna karakteristika pumpi

Efektivna snaga pumpe:

[269]

Podijelimo Ii efektivnu snagu s vremenom rada pumpe, mozemo dobiti efektivnu energiju pumpe:

E=: ,[ ws=~ s=J J [270]

Duiina djPl'i /, m

Slika 170: Pad pritiska usljed savlailivanja otpora strujanju u cjevovodu

Zapreminski protok kroz cijev jednakje proizvodu brzine strujanja. i poprecnog presjeka

cijevi (V' =V A), a strujanje fluida se odvija kao posljedica razlike pritisaka, i to tako

da fluid uvijek stmji iz podrucja viseg u podmcje nizeg pritiska, odnosno iz podrusja vece u podmcje manje gustine.

171/268

Na prethodnoj slici je prikazana cijev kroz koju struji fluid brzinom v. Pretpostavimo li da je protok konstantan, mozemo zakljuCiti da ce razlika pritisaka PrP2 biti veca ako je pIotok veCi i obratno. Smanjenje protoka je posljedica otpora strujanju, te je razlika pritiska na krajevima cijevi mjera otpora strujanju kroz provodnik.

Slika 171: Strujanje u nagnutoj cijevi

Posmatramo Ii nagnutu cijev prikazanu na prethodnoj slici Bernoullijeva jednacina za profile a i b glasit ce:

.!!.E...+ V~ +za =~+ v~ +Zb +hw' pg 2g pg 2g

[271]

(v", ~b- brzine jluida u karakteristienim presjecima, mls; Pm Pb -pritisci u karakteristienim presjecima, Pa; z'" Zb- visinske razlike, m' hw- pad pritiska na pravolinijskom dijelu i lokaillim otporima)

Visinska razlika

Za-Zb = hg

se naziva geodetska visina dizanja tecnosti.

Iz uslovaA=const slijedi da su brzine konstantne: Va=Vb=V.

Iz jednacine kontinuiteta (poglavlje 3.6. ) mozemo izraziti brzinu strujanja u cijevi:

odakle slijedi

4V' V = -2- [mls].

dn

(272]

Supstitucijom izraza za geodetsku visinu dizanja, brzinu i ukupan pad pritiska hw u Bernoullijevoj jednacini slijedi:

HC=Pl-P2=h +[ 8f" 5+:E~]V'2[m],

pg g gn 2d [273]

172/268

Zamijenimo konstante u prethodnom izrazu slovnim oznakama a i b, kako slijedi:

a=hg =const

[ 8f" ] b = 2 5 +:E~ = const .

gn d J'

Mozemo pisati:

(274]

[275]

Prethotna jednacina predstavlja radnu karakteristiku cjevovoda, odnosno u opcem slucaju "karakteristiku otpora".

Unesu Ii se u koordinatni sistem V'-llp vrijednosti zapreminskog protoka i pritiska pri kome se ostvaruje ovaj protok, dobit ce se karakteristika otpora, odnosno kriva koja opisuje provodnik kroz koji se odvija strujanje.

Zaprcmin.ski protok v~ m3 /s

Slika 172: Karakteristika otpora cjevovoda

U presjecistu radne karakteristike otpora i radne karakteristike pumpe dobit ce se radna tacka Cije koordinate odgovaraju zapreminskom protoku i pritisku koje purnpa ostvaruje u datirn radnim uslovima.

Slika 173: Radna taeka pumpe i cjevovoda

173/268

Slika 174: Karakteristike razliCitih otpora (RJ, R2 i R3) i pumpe na razlicitim obrtajima (nl, n2, n3)

4.2.3. Paralelni i serijski rad pumpi

Pumpe se medusobno mogu spregnuti tvoreCi paralelnu, serijsku iIi kombinovanu vezu.

Slika 175: Radna tackapumpe

Paralelnim vezivanjem pumpi prakticno se udvostrucuje njihov kapacitet, a visina dizanja (efektivni pritisak) ostaje nepromijenjen ako su spojene potpuno istovjetne pumpe. Zbog moguceg negativnog uticaja jedne na drugu pumpu ako su njihove karakteristike razliCite preporucuje se paralelno sprezanje pumpi istih karakteristika.

U slucaju veceg efektivnog pritiska iii kapaciteta' jedne pumpe naspram druge doci ce do pada iskoristenja.

174/268

Slika 176: PaI'alelan rad pumpi

Pumpe se vezuju serijski u slucaju potrebe dostizanja vecrn visina iIi vecrn transportnih dliZina pri istovjetnom kapacitetu. Da bi se osigurao kontinuitet protoka pumpe trebaju imati jednak ili pribliZan kapacitet, ali mogu imati razliCite efektivne pritiske.

Slika 177: Serijski rad pumpi

Pri paralelnom fadu radne karakteristike obje pumpe se zbrajaju translatomo pomijerajuci se u pravcu veceg protoka (horizontalno), a pri serijskom radu u pravcu veceg efektivnog pritiska (vertikano).

4.2.3.1 Vazdusni liftpumpe

Komprimirani gas koji se upumpava pod pritiskom u tecnost proizvodi "air-lift" efekt podizanja nivoa tecnosti, sto se moze iskoristiti za podizanje tecnosti na visi nivo, odnosno pumpanje. Ovo je posebno pogodno ako se rukuje s visoko korozivnirn tecnostima ili rastvorima koji sadrze visoke koncentracije cvrstih cestica.

175/268

Slika 178: Air-lift pumpa

176/268

Transport fluida pod uticajem gravitacionih, sila pritiska iii -:jestackim izvorom potencijala simko se primjenjuje u tehnici, leao sto su prosti sistemi za pumpanje vode, odnosno njeno podizanje pod djelovanjem mehanicke energije na visu geodetsku tacku, sistemi za razvodenje vode, v,entilacioni sistemi i slieno.

Transport fluida moze biti kontinuirani (cjevovodi, kanali) i diskontinuirani (cisteme i slieno). Kontinuirani transport fluida se odlikuje fiziekom vezom strujnog toka s pocetnom i zavrsnom tackom transportnog puta, te uspostavom toka fluida, koji moze biti konstantan iIi promjenJjiv u vremenu.

Teene materije koje se slabo isparavaju i nemaju toksicno dejstvo mogu se transportovati U "otvorenim" sistemima (kanaIi, vodovi sa slobodnom gomjom povrsinom), a gasovi, mjesavine tekucina i gasova, iIi pak isparljive i toksiene tekucine, se moraju transportovati izolovano od okoline. U otvorenim sistemima vlada atmosferski pritisak, a kretanje fluida se ostvaruje gravitaciono iIi pak usljed lokalnog mehaniekog izvora potencijala. Sisteme za razvodenje fluida, ovisno 0 vrsti i topografiji, mogu biti serijski, paralelni (prosti i slozeni) i dijagonalni.

Racionalno je, za potrebe analilze i proraeuna mreze, uraditi odgovarajuCi oblik grafiekog prikaza, odnosno shemu mreze. Sheme u Kojima su elementi prikazani u skladu s njihovim prostorni..rn rasporedom i u proporcionalno stvarnoj velieini su obieno dodaci na razleite karte na Kojima se prikazuje sistem. Ovo su karte razvodnih sistema.

Radi pojednostavljenja moguce je izdvojiti mrefu iIi njen dio, te je prikazati aksonometrijski iIi na drugi naCi primjenom Iinearne sheme na kojoj su medusobne propoTcije i prostoTni raspored djelimicno zadovoljeni, ali na kojoj se bolje uoeavaju elementi mreze.

Slika 179: Aksonomctrijska linearna shema rudnickog ventilacionog sistema

177/268

Siika 180: Ravanska linearna shema dije1a rudniekog ventilaeionog sistema

lV'rreze za razvodenje i distribuciju fluida rnogu se prikazivati i grafovi:ma, tako da cvorna tacka u mrezi odgovara evoristu u grafu, a ogranak za transport fluida odgovara ogranku grafa mreze. Na ovako konstruisane grafove rnogu se primijeniti matematski postupei analize grafa, te utvrditi niz znaeajnih parametara za oejenu efikasnosti mrez:e

----~<?~. ~<----~(--~~

Stika 181: Sistemi razvaaen}ajluida

Stika 182: Grafventilacione mreie

Distribueioni sistem za razvod fluida moze se predstaviti u formi planarnog iIi neplanarnog grafa sastavijenog od grana, cvornih tacaka te defmisanih iii pretpostavijenih pravaea strujanja u nji:ma.

178/268

Proracun protoka unutar sistema za transport i distribuciju fluida bazira se na asurnpciji odrzanja rnase, adnosno zapreminskog protoka fluida pri nestisljivim strujanjima u cijelom sistemu i cinjenici da pad pritiska izmeau dva spoja mora biti isti za sve putanje fluida izmedu njih.

Mrez:ni sistemi, bilo da se radi 0 ejevovodi:ma za vodu, vodenu paru iIi u jamskim prostorijama, proracunavaju se: koristeCi Hazen - Williamsove, Darcy - Weisbachove iIi Hardy - Crossove jednaeine. Kompjuterski metodi namijenjeni za proraeune transporta tecnosti i pare kroz ejevovode zasnovani su na opcoj jednacini:

h=Ap=Rvn.

5.1. Serijski cjevovod

Stika 183: Serijski spa} cijevi

Kod serijskog spajanja cijevi maseni protokje konstantan:

m; = m; = ... =m~ = canst [kg/s],

m' = PIV;'= P2V; = ... = PnV: =const.

Za nekomprimabilna strujanja (p=eonst), zapreminski protok ce biti konstantan:

Vm =V;'=V;= ... =V: =const. Pad pritiska u cjevovodu jednak je sumi svih padova pritiska dliZ posmatrane dionice:

n

Aps =API +AP2 +····+/1pn = LAPi . i=l

Podijelimo Ii prethodni izraz sa gustinom (y, N/m3) dobit cemo pad pritiska iskazan u

visini stuba teenosti:

i=l

Ukupan pad pritiska bit ce jednak sumi otpora na pravolinijskim dijelovima i lokalnih otpora usljed suzenja iii prosirenja cjevovoda:

( n l v

2

) [m v2

) h~ = LAi di

2i + LkzU) 2~ , 1=1 1 g J=I b

odnosno

[m].

179/268

5.2. Paralelni cjevovod

Slika 184: Prosti paralelni cjevovod

Na osnovu zakona 0 odrianju mase:

m~ = m; + m; =m~ [kg/s].

Za nestisljiv fluid:

v~ =V/+V;=V; [m3/s].

Pad pritiska u oba paralelna ogranka je isti:

ApI =Apz = (PA ~ PB) Dijeljenjem pretlJodnog izraza sa specificnom tezinom slijedi:

Na osnovu pretlJodnog moze se postaviti jednacina za zatvorenu petlju u kojoj usvajamo smjer obilaska, kako je to dato na pretlJodnoj slici, uzirnajuCi predznak plus za ogranke u kojirna je strujanje u pravcu izabranog smjera rotacije i znak minus za obrnuti smjer:

Slika 185: Paralelni spaj cijevi

Pad pritiska u paralelno spojenirn cijevija je jednak za svaku cijev, a ukupan protok kroz paralelni sistemjednakje zbiru protoka u svakoj od cijvevi:

180/268

o b) i

---···-+~-7--·--·-

o~"-~u--o---o-o o-Q---t:r--Cl-----D o---y-o"-o-~---~o

o-6--G~6-~o

Slika 186: Prosto i sloieno razvatlenje fluida

5.3. Proracun mreze metodom Hardy-Cross

Hardy-Cross metoda se bazira na ,,metodi petlji" - postavljanjemjednacina kontinuiteta u svim cvorovirna i Bernoullijeve jednacine u zatvorenim cjevnim elementima -petljama.

Pristup se zasniva na cinjenici da je surna svih gubitaka u zatvorenoj petlji jednaka nuli. Ova zakoniotost irna svoj eiektricni ekvivalent u II Kircbhoffovom29 zakonu za strujne petlje.

(4) (7)

A B

(1) ~ r<>,,_J 0)

C D

(2)

{8)

Slika 187: Petlja za proracun Hardy-Cross metadam

Za primjer sa pretlJodne s!ike, na temelju zakona 0 odrZanju mase, moze se pisati da su protoci koji ulaze u svaki od 4 cvorista i izlaze iz njihjednaki:

CvoristeA:

Cvoriste B:

Cvoriste C:

Cvoriste D:

29 Gustav Kircbhoff(1824-1887)

181/268

Prethodne jecinacine imaju elektrieni ekvivalent u I Kirhofovom zakonu, po kame je zbir elektrienih struja koje ulaze u evornu taekujednak zbiru struja koje izlaze iz nje. Za izabrani smjer obilaska zatvorene petlje, po ,,metodi petlji", moze se pisati jedrlacina petlje:

-/':,pI -/':,pz +/':,p3 -/':,p4 =0.

U opcem slucaju se jednaeina zatvorene petlje moze pisati:

(n - ukupan bra) petlji, m - bra} ogranaka u zatvorenoj petlji "i")

kij= 1 za ogranke koji se nalaze u petlji "I, a imaju smjer sinhron pravcu obilaska petlje

kij= 0 za ogranke koji se ne nalaze u petlji "i"

kij=-l za ogranke koji se nalaze u petlji, a imaju smjer suprotan pravcu obilaska petlje

Postavljanjemjednaeina evornih tacaka i petlji dobit ce se sistemjecinacina koje opisuju rnrefu. Ovaj sistem se rjesava iteracionim postupkom.

182/268

Osirn strujanja fluida u profilu kanala iii cijevi, posebnu kategoriju predstavlja strujanje kroz porozne sredine, odnosno kretanje fluida kroz porozne materijale. Poroznim sredinama nazivamo cvrste materije koje imaju izrafenu supljikavost, koja moze akumulirati fluide ili ilfprovoditi, odnosno kroz koju mogu strujati fluidi. Oblik koji formira cvrsta sredina se naziva i "cvrsti matriks", a defmiliu ga medusobni raspored i odnosi evrstih (nepropusnih) i praznih (propusnih) dijelova materije.

Karakteristicni su prinJjeri strujanja podzemnih voda i drugih podzemnih fluida, strujanja kroz filtere i slieno. Voda se nalazi u atrnosferi, na povrsini zemlje i u zemljinoj kori. To je jedna od najrasprostranjenijih materija u prirodi javlja se u razlieitim agregatnim stanjima i moze biti razlicitog hemijskog sastava.

U stijenama i tlu blizu povrsine zemlje nalaze se uglavnom materijali koji provode vodn, odnosno permeabilni suo Osim vode, unutar zemljine kore filtraciono mogu strujati i druge. teenosti iIi gasovi, medu kojima su najznacajnija strujanja u procesu nastanka, transporta i kolekcije teenih i gasovitih ugljovodonika i geotermalnih vode. Voda se u prirodi moze naci u razlicitim stanjirna: u slobodnom stanju (kada obrazuje vodotoke i akumulacije), u evrstom stanju, u vidu vodene pare, kao fizicki vezana voda adhezionirn i koehezionirn silama iii hemijski vezana voda u mineralirna.

Stijene su u dubini zemljine kore izlozene djelovanju tezine (pritiska) viselezecih stijena, sto ima za posljedicu pojavu pritiska unutar stijenske mase koji se naziva sIojni pritisak. Kada su u pitanju kolektor stijene koje sadrZe u sebi fluid u teenom iii gasovitom stanju, moze se govoriti 0 medusobnom uticaju slojn9g i pritiska fluida, a njihov odnos prije pocetka eksploatacionih radova naziva se jos i «staticki pritisalo>.

----------"" .... -fS': TnlpOeren

Stika 188: Geosfera (Dragi&i{;)

Sedimentne stijene, djelomicno metamorfue i eruptivne, ako imaju dovoljnu prirnarnu iIi sekundarnu poroznost i propusnost, omogucavaju da se u njima krecu i akurnuliraju gasoviti iIi teeni fiuidL Takvi sedimenti koji sadrZe medusobno povezane pore, prsline, pukotine i supljine u kojima se odvija cirkulacija i akumulacija fluida nazivaju se kolektori iIi vodonosnici.

183/268

~ ~~~ Atrnosferska vada

Slika 189: Povrsinske i podzemne vade

Jedan od najvaZnijih faktora koji odreduje uslove kretanja podzernnih voda kroz stijene je poroznost. Kretanje vode u poroznoj sredini odvija se kroz sisteme otkrivenih i medusobno spojenih pora, pukotina i kaverni, razliCitih velieina, oblika i polozaja.

Tabela 12: Voda na zemlji

Dubina ukoliko se Procentualno raSiri na povrSinu uCeSte, % zemije,m

Okeani 2650 97% Lednid 60 2,2% Podzemna voda 20 0,07% Jezera i povrSinski tokovi 0,35 0,013% Vlaga u tlu 0,12 0,012% Atmosfera (brza drkuladja) 0,025 0,0009 UKUPNO 2730 100%

Podzemni sloj iIi proslojak u stijenama i drugim geoloskinl formacijama koje imaju izraZenu poroznost i permeabilitet, zbog eega je moguc dotok, zadrZavanje i oticanje vode iz stijena, naziva se akvifer. Akviferi se svrstavaju u eetiri osnovne kategorije:

aluvij (pijesak, sljunak), sedimentne stijene (konsolidirani sedrnineti), glacijalni sedimenti (nekonsolidirani materijal sedimentiran u glecerima), vulkanske iIi metamorfne stijene.

Povrsinske i podzemne vode su cesto medusobno povezane na razlicite nacine, tako da voda moze oticati iz jednog u drugi pravac iii obrnuto, ovisno 0 permeabilitetu sredine koja povezuje povrsinske i podzemne vode, geodetskoj visini podzernnih voda u odnosu na niv() podzernnih voda i pritisku koji vlada unutar akvifera.

184/268

(b)

Nivo podzcnmiJ) voda

Slika 190: Reiimi medusobnog odnosa povrsinskih i podzemnih vada (a-podzemne vode dotiell 11 rijeku iii izbijaju na povrSinu; b--rijeene vode prihranjuju

izdan podzemnih vada)

Zone u kojima je onemogucen dotok vade iz jednog u drugi akvifer nazivaju se akvitardi. Obieno se sastoje od slojeva grine iii drugih neporoznih stijena s niskom vrijednosti hidraulickog konduktiviteta.

U poroznim sredinama tekuCina moze strujati na razlieite naeine, ovisno 0 osobinama porozne sredine, osobinama tekucine i uslovima koji vladaju u poroznoj stedini.

Podzemne vode u litosferi nalaze se u razliCitim vidovima u zavisnosti od agregatnog stanja i od uzajamnih odnosa voda - porozna sredina. Iednu od prvih klasifikacija podzemnih voda po vidu pojavljivanja dao je Lebedev (1936). Po ovoj klasifikaciji, koja se s manjim izmjenama zadriala do danas, razlikujemo slijedece vidove voda u litosferi:

voda u natkritienom stanju voda u vidu vodene pare (gasno stanje) hemijski vezana voda:

o zeolitna voda o konstituciona voda o kristalizaciona voda,

fizicki vezana voda: o cvrsto vezana o slabo vezana

kapilarna voda: o kapilamo lebdeca o kapilarno-podiZlica

slobodna iIi gravitaciona voda (tecno stanje) i voda u vidu leda (evrsto stanje)

185/268

Postoji vise teorija 0 porijeklu podzemnih voda pa su se, od drevnih grckili pa do danasnjih, iskristalisale slijedece teorije: infiltraciona, kondenzaciona, sedimentaciona i juvenilna.

Na osnovu porijekla podzemne vode mogu biti: hidrometeorske, juvenilne, konatne i metamorfue.

6.1.1. funkdja toka

Strujna linija (strujnica) odreduje putanju niza uzastopnih djelica tekucine, pri cemu je vektor brzine u svakoj tacki tangenta na strujnicu.

---.

y

dx -=cosa ds '

Vx =cosa v

Analoguo je u pravcu ose y:

dy . f3 Vx . -=sm ,-=sma ~ ds v

Izjednacavanjem se dobija:

dy dx -=-,odnosno Vy vx

dx ds odakle je

dy ds -=-

v

sto predstavija diferencijainu jednacinu strujne linije.

x

Uvedimo funkciju \f'= f(x,y), koja zadovoijava uslove: Vx =: i Vy =: .

Funkcija \f' naziva se funkcija toka.

8P 8P Diferencijal funkcije ravanskog strujanja: --dx+--dy=do/ =0

Ox ~

OpCi integral jednacine je:

186/268

\f'(x,y)=const.

Za sve tacke strujne linije funkcija toka ima istu vrijednost. Razlika funkcija toka (razlika izmedu dvije strujnice) koje prolaze kroz tacke A i B predstavlja protok kroz konturu izmedu tacaka A i B:

6.1.2. Piezometarska visina

Pojam piezometarska visina moze se definisati kao potencijalna energija zaprernine teenosti V i mase m, S koordinatom tetista z i pri pritisku p, a sastoji se od energije polozaja (E1) i energije pritiska (E:J:

E1 = mgz [J],

P E2 = m- [JJ. p

Ukupna potencijalna energija iznosi:

Ep =E1 +E2 =mg(z+L) [J]. pg

Svodenjem ukupne energije na jedinicnu masu teenosti dobit cerno:

_ Ep _ P e ----z+-

P mg pg

[276]

[277]

[278]

[279]

1z prethodnog izraza vidirno da j e piezornetarska vis ina u stvari vri j ednost specificne potencijalne energije teenosti.

Za fluid u stanju rnirovanja osnovna jednaCina statike fluida rnoze se izvesti iz zakonitosti da je surna vi sine na kojoj se nalazi posmatrani djehc fluida i pritiska podijeljenog sa specificnom tetinorn konstantna (po Bemoullijevoj jednacini):

Po P1 -+zo =-+ZI =const. r r [280]

(Ply -visina kroz koju se izraiava hidrostaticki pritisak u posmarranoj tack!, m; z­geometrijska visina posmatrane tacke u odnosu na referentnu ravan, m)

Zbir ove dvije visine je piezometarska visina:

P H=z+-, [m]. pg

187/269

[281]

AMIR. SLIKA 17 I SLIKA 18

188(269

o.l.S. Darcyjev zakon

Darcyjev zakon daje generalne odnose za strujanje kroz porozne medije. Govori 0 tome da je zapreminski protok fluida kroz porozne medije u funkciji poprecnog presjeka, visinske razlike, pritiska i konstante proporcionalnosti. Moze se izraziti na vise razlicitih naCina, ovisno 0 uslovima toka fluida.

Preliv I"

I' Firf 3.

Slika 191: Darcyjev eksperiment

Slika 192: Shematski prikaz za objaSnjenje Darcyjevog eksperimenta

Predstavimo Ii razliku pritiska visinom stuba tecnosti dh Darcyjev zakon za I-dimenzionalni tok fluida prikazan na prethodnoj slici se moze pisati:

189(268

V'=Akf

dh , l

[282]

(A - poprecni presjek taka, m2; kr hidraulicki konduktivitet (koejicljent jiltracije), mis,

cmlh; 1 - duiina stmjnog toka, m; dh - hidraulicki pritisak izraien visinom stuba tekuCine (dh~h;-h~, m)

odaldeje

V' I k --­"f- A dh

Koeficijent filtracije iIi "hidraulieka vodljivost" ima dimenzije brzine:

[283]

U praksi se za nju koriste razliCite dimenzije. U hidrogeologiji se kao prikladne veliCine cesto koriste mis, mmls i m/dan jer one pokrivaju lako usporediv raspon velieina. U mehanici tla obieno se koristi em/so U SAJ) koristi se jedinica meinzer, tako da Je 1 meinzer definisan kao tok vode u galonima po danu koji prode pOvrSinorn presjeka od 1 kvadratne stope pod jedinicnim hidraulickim gradijentom pri temperaturi od 600p jedinica: gpd/fr. Osim izraZavanja u meinzeru pojedini autori koeficijent filtraclJe prosiruju kolicnikom gustine i gravitavcionog ubrzanja ('JIg):

K -k P r m kg S2 =kgS] - f L 3 3' g S m m m

(284)

VeliCina koeficiienta filtracije zavisi od strukture i veliCine poroznosti, zbijenosti i mineraloSkog sa~tava porozne sredine, te svojstava vode. Ako su pore manjih razmjera, u stiieni je vise fizicki vezane vode, a samim tim je i vrijednost koeficijenta filtracIJe manJa. Prisustvo pasivnih para takode umanjuje velicinu koeficijenta filtracije. Porozne sredine se mogu razvrstati po koeficijentu filtracije:

Vrlo nizak (spor) do 0,10 cm/b Spor od 0,10 do 0,50. cmlh Srednie spor od 0.50 do 0..60 cmlh Sredn}i . od 0,60. do 1,50. cm/h Srednje visok od 1,50 do 15,0.0. cmlh Visok od 15,0.0. do 50,0.0 cmlh Vrlo visok iznad 15 cmlh

Darcyjev zakon i koeficijent filtracije se izraZavaju na navedeni nacm najcesce u opisivanju strujanja podzemnih voda. Mozemo uociti da u prethodnom lzrazU Darcyjevog zakona nigdje ne figurira gustina tecnosti. Za analize fiitracionih struj~ja u opcem slucaju racionalno je umjesto visine stuba tekuCine dh pntisak IZIazlti fizlcktm jedinicama pritiska. Odnos izmedu ovako definisanih naCina izraZavanja pritiska bit ce:

190/268

i'1p=pgdh [' NT l ;r:g m =_=p 3,m 2- Q · m s~ m _ [285J

U slueaju izraZava..11ja pritiska jedinicama pritiska , odnosno supstitucijom vi sine stuba teenosti dh pritiskorn koji proizvodi ova visina dp, jednodirnenzionalno definisan Darcyjev zakon mozerno izrazi'!i :

V'=Ak dp =Ak pgdh. 1 I

(k- "permeahiinos(" iii "koeficijent permeabilnosfi", m3s/kg)

Visina stuba ukupnog hidraulickog pritiska u bilo kojoj taeki je

h=L+z = p +z. pg r

Zamjenom mozemo dalje pisati

d( P 'z) V'=AK PiT

dl

[286]

[287]

[288J

Kako hidraulicki pritisak uvijek opada u smjeru strujanja, odnosno smanjuje se visina suba tekucine, to uvodimo pred.znak "minus" u opci oblik Darcyjevog zakona:

V'=-AK dh . dl

[289]

Odnos zapreminskog protoka fiuida i poprecnog presjeka taka daje "Darcyjev fiuks":

V' q=- [m/s].

A [290.]

Kako Darcyjev fiuks ima jedinicu brzine, to se ova veliCina naziva i Darcyjeva brzina iIi brzina isticanja (Vd), a odnos pada potencijala i posmatrane udaijenosti "hidrau!icki gradij ent" i:

. dh /=-

dl [291]

Darcyjev zakon se sad rnoze pisati:

V'~kiA, [292]

Za izraz "zapreminskog protoka fiuida" mozemo uspostaviti analogiju sa "jacinom struje" u elektrotehnici, a Darcyjev zakon se moze posmatrati po analogiji sa Ohmovim zakonom:

191/268

1= UIR = -k (dVldx) A

(I - jaCina elektricne struje [A); U - ele"ktricni napon [V); R - elektricna otpomost [ill; k- elekricni konduktivitet}

Analoguo se moze posmatrati i "toplotni tok":

q = -k (dTldx) A

(q - top/otni tok; k- fermalni konduktivitet; T - temperatura)

Slilm 193: Brzina isticanja i brzina proticanja (v d - brzina isticanja, Vs - brzina proticar.ja)

Podijelimo Ii izraz V'=kiA sa poprecnim presjekom A, mozemo pisati:

V' =ki A '

odnosno mozemo odnos VIA definisati kao "brzirru isticanja" iii Darcyjevu brzinu:

[293]

[294]

Brzina proticanja ze moze dovesti u vezu sa brzinom isticanja promatrajuGi poroznost kao odnos "praznog prostora", odnosno prostora kojim moze strujati fluid naspram ukupnog prostora, to dalje mozemo pisati odIlOse izmedu brzine proticanja i brzine isticanja kao:

_V_VFUk_ 1 v --------V d sF,FykF, n

Vd ki vs =- -

n n

[295]

Ogranicenje zakona pri brzim st."1ljanjima uocio je jos Darcy, tako da se brza strujanja kroz propusne sredine tretiraju slozenijim modeliranjima. Ovako predstavljen Dareyjev zakon opisuje jednodimenzionalno strujanje, odnosno strujanje svedeno na jedan

192/268

pravac. Uvedemo Ii koordinatni sistem tako da je strujanje paralelno osi x, Darc)'jev zakon za jednodimenzionalno strujanje mozemo pisati:

dh dh -Z =- dx'

odakle dalje slijedi za sticionarno jednodimentionalno strujanje u izotropnom homogenom mediju izraz:

dh q=Vd= -k­

dx

Za jednodimenzionalo nestacionarno strujanje u homogenoj izotropnoj sredini Darc)'jev zakon se moze pisati:

V'=_k 8h . 8x

Za trodimenzionalno nestacionarno strujanje u homogenoj izotropnoj sredini:

V'=-k '&hi I 8x;

OpCi izraz Darc)'jevog zakona za poromu anizotropnu sredinu:

, _ 8h;,j V;,j - - k;,j -- .

8x .. I,J

[296]

Darc)'jev zakon vaZi sarno za laminarna strujanja. Sam naucnik je registrovao ogranicenje vrijednosti ovog zakona pri velikim brzinama strujanja, navodeCi da se odnosi mogu smatrati relevantnim do brzine od 10 do 11 ern/s.

6.2. Osobine poroznih sredina

6.2.1. Genitet i tropija

Posebno znacajano u ovom segmentu je strujanje podzemnih voda, koje se po pravilu odvija kroz razlicite vrste pora i pukotina, gdje se mogu odvojeno analizirati mikrouslovi i makrouslovi strujanja.

! {alt t I I~~J<~ I ...... I (b)t j,.. I.~+. I~ i (c~ i I."~

b

Slika 194: Genitet i tropija porozne sredine

193/268

Makrouslovi su bav..rani na "statistickom principu" posmatranja po principu zakona velikih brojeva. Faktori koji uslovljavaju pojavljivanje, oblik i karakteristike strujanja podzemnih voda su g=eralno:

" geoloski (litoloske, stratigrafske i strukturne karakteristike stijenskih masa, tektonski sklop i uslovi rasprostiranja vodonosnih stijena),

.. hidrogeo!oski (tip i velicina poroznosti stijena, vodopropusnost, uslovi pribranjivanja i dreniranja podzemnih voda) i

.. hidraulicki (raspored temperature, gustine, pritiska i brzine kretanja vode u prostoru).

Pri analizi strujanja kroz porozne sredine pogoOOo je usvojiti konvenciju pristupa "kontinuuma", sto znaci da se struja fluida kroz poroznu sredinu posmatra kao globalno kretanje po cijeloj zapremini. Ne razmatra se mikrostruktura pora i procesi koji se desavaju na mikronivou.

Sa aspekta geniteta (homogen i heterogen) i tropije (izotropan i anizotropan) sredine kroz koju se odvija strujanje, mozemo uociti osnovne tipove karakteristika:

homogena izotropna sredina - kod koje su filtracione karakteristike iste u svim tackama sredine i svim pravcima;

" homogena anizotropna sredina - kod koje je koeficijent filtracije isti u svim tackama, ali razlicit u razlicitim pravcima;

" heterogena izotropna sredina - kod koje koeficijent filtracije nije isti u svim tackama sredine, ali je u datoj tacki isti u svim pravcima;

.. heterogena anizotropna sredina - kod koje koeficijent filtracije nije isti u svim tackama sredine niti je isti u svim pravcima.

6.2.2. Saturiranost i zaobljenost

Saturirani porozni medij je sredina koja se odlikuje postojanjem supljina (poroznoseu) i takvi..'Il njihovim medusobnim odnosom da mogu propustati iIi zadrZavati fluide.

U nezasieenim poroznim sredinarna strujanje tekueina se odvija kroz prostor koji nije potpuno ispunjen tekueinorn, vee i drugim fluidom u gasovitom agregatnom stanju. U akviferirna drugi fluid je u veeini slucajeva vazduh, te strujanje vode ne uzrokuju sarno gravitacijske sile i pritiske vee i sile rnedumolekularnog djelovanja izmedu vode, vazduhaicesticapulu,cll~WU~~~ ________________ -.

Slika 195: Zaobijenosl zrna

Od zaobljenosti zma ovisit ee u velikoj mjeri nacin i stepen kompaktiranja porozne sredine, te velicina i povezanost pora unutar porozne sredine.

194/268

(a)

(b)

( a) - saturirano, (b) - nesaturirano

Slika 196: Uticaj saturiranosti na strujanje u poroznim sredinama

Saturiranost je mjera "ovoOOjenosti" porozne sredine. Nesaturiranom srnatrarno poroznu sredinu u kojoj nerna vode, a potpuno satfu-iranorn onu kod koje su sve pore ispunjene vodorn. Ako se u sredini nalaze rnjehuriCi vazduha, smanjivat ee se efektivni prostor za strujanje tecnosti.

Nesaturirani koeficijent filtracije rapiOOo raste sa poveeanjem zasieenosti tia (SJ:

(Vw - zapremina vode u uzorku, Vp - zapremina pora u uzorku)

Kako nije moguee potpuno isusiti tlo, u njemu uvijek ostaje odredena kolicina vode, koja podijeljena sa ukupnom zapreminom pora daje rezidualnu zasieenost tla (Swr).

6.2.3. Foromost

Pod pojmom «poroZllost» podrazumijeva se medusobni 00005 praznog prostora (pukotina) i ukupne zapremine:

F V n=--'-=....L %

Fuk V' [297]

(F, - povrsina toka fluida; Fuk - ukupna povrsina popreenog presjeka; Vp - zapremina pora (prazni prostor); V - ukupna zapremina; n - poroznosl, %J

Razlikujerno prirnarnu poroznost (praznine izmedu mineralnih zma koji sacinjavaju sedimentu stijenu) i sekundarnu poroznost (nastalu prskanjem i raspadanjem vee stvorenih stijena).

Poroznost stijene OVISl 1 0 obliku slaganja zma, graduiranosti, cementiranosti zbijenosti (kompaktnosti).

195/268

Slika 197: Uticaj natina slaganja zrna na poroznost: maksimalllil poroznost kod kubllog (pravougaollog) 1l=47% slaganja i millimailla poroznosl kod romboedarskog

slaganja n=29%

Slika 198: Uticaj sortiranosti zrna na poroznost

Poroznost stijena moze da bude: apsolutna (raz1ika izmedu ukupne zapremine uzorka i zapremine skeleta - cvrste faze uzorka), otvorena iii poroZ1lost zasicenja (obuhvata sve pore koje su medusobno povezane i u koje moze da prodre tekucina iIi gas pri datom pritisku) i dinamicka iii efektivna (ukljucuje sarno onaj dio pora kroz koji moze da se krece tekucina u procesu filtracije).

Nekonsolidirani sedimenti Sljunak

Stijene

Pijesak Glina Treset Humus

Frakturirani bazalt Karstni krecnjak Pjescar Krecnjak, do1onrit Glina Frakturirana kristalizirana stijena Kompaktna kristalizirana stijena

Poroznost n,%

25 do 40 25 do 50 40 do 70 60 do 80 50 do 60

5 do 50 5 do 50 5 do 30 o do 20 o do 10 o do 10 o do 5

196/268

Stika 199:: Zaobljen i sortiran materijal

STika 200: Nezaobljen i nesortiran materijal

Specificna izdasnost je kolicina tekucine koju ce stijena ispustiti pod utlcaJem gravitacije. Specificna retencija je kolicina koja ostaje u stijeni, odnosno koja se nece izdvojiti pod uticajem gravitacione si1e.

Ukupna poroznost se moze izraziti kao suma specificne izdaSnosti i specificne retencije:

n = nizd + n,.,

gdje je

Tlo

GIiDa

Pijesak

srunak

KrecnJak

Pjes~ar

Granit

Bazalt

Vr V

I

Poroznost n, %

55

50

25

20

20

11

0,1

II

197/268

n,,,, n,

40 15

2 48

22 3

19 1

18 2

6 5

0,09 0,01

8 3

(b)

Slika 201: Uticaj para na stvarne brzine strujanja u poroznim sredinama (a) Razlika u brzini strujanja zbog razliCitog pronijera pora; (b) Razlika u brzini strujanja u veCim

porama usijed viskoznosti; (c) Razlika u brzini strujanja zbog razliCitih putanja elementarnih zapremina jluida oko zrna unutar porozne sredine

Stika 202: Meilusobna veza zrna: (a) s meausobnim oslanjanjem i kontaktom; (b) bez metlusobnog kontakta, sa uce§cem matriksa iii cementacionog materijala (ispuna)

Medusoban odnos =a unutar materijala moze biti takav da se medusobno dodiruju i oslanjaju iIi da prostor izmedu =a bude ispunjen. Ispuna izmedu zrna moze biti ,,matriks" iIi "cement" tipa. Matriksom se naziva ispuna koja je mehanieki infIltrirana izmedu zrna, ne odlikuje se posebnom evrstocom i moze biti transportovana fluidom. Cementom nazivamo materijal koji je ueestvovao u hemijskoj reakciji cementacije, tokom eega je oevrsnuo i prirnio vrlo stabilnu formu. Cementacija umanjuje poroznost i permeabiIitet materijala.

Slika 203: Uticaj granulometrijske strukture zrna

Na osnovu nacina sortiranja zrna, njihove zaobljenosti i ispune moze se odrediti pribliZna starost sedimenata ina temelju toga izvrsiti njihova klasiflkacija na:

1. Mladi sedimenti - io~e sortirana zrna, uglovite ivice, visok sadrzaj matriksa;

198/268

2. Stariji sedimenti - nema matriksa, srednje iii dobro sortiranje, izraienija zaobijenost zma;

3. Vrlo stari sedimenti - nema matriksa, vrlo dobro sortiranje, izrazita zaobljenost zma.

Poroznost nije nDino u direktnoj vezi 5 permeabiliteto~ jer medusobni kontinuitet i raspored pora imaju veliki utkaj na propusnost poroznih sredina. Efektivna poroznost:

l1e ==,1,11==,1, Vp [%]. V

[298]

(J, - faktor efektivilosti porozilosti)

Faktori koji umanjuju poroznost stijena su: prisustvo gline, visi stepen metamorfIzma, visi step en pakiranja i kompaktiranja stijene, procesi cementacije i silifIkacije stijene. S druge strane, procesi i faktori koji dovode do povecanja poroznosti su: promjena zaprernine, sortiranje i orijentacija zma, dolomitizacija, ovodnjenost i ispucalost, rastvorljivost, zaobljenost i sfericnost.

6.2.4. Permeabilnost

Permeabilnost (koefIcijent permeabilnosti) moze se eksperimentalno utvrditi mjerenjem i izracunavanjem iz izraza:

V' I k==-­

A dp [299]

Permeabilnost zavisi i od poroznog materijala i od fluida koji struji kroz poroznu sredinu. Za fIltraciona strujanja koja su geometrijski sliena, poput strujanja viskoznih "njutnovskih" fluida u laminamom toku, permeabilnost je obmuto proporcionalna koefIcijentu viskoznosti fluida (77, Ns/m2). Kako bi se uzeo u obzir i uticaj prirode fiuida koji struji kroz poroznu sredinu, uvodimo "koeficijent prirodne permeabilnosti":

m 3s kg 2 k'==k ry==--==m

kg ms

U tehnickoj praksi se cesto pod istim imenom susrecu ovako defmisan koeficijent prirodne permeabilnosti, koeficijent permeabilnosti iii skracenim lZrazom

"permeabilnost". Izraz prirodne permeabilnosti k' ima jedinicu povrsine. Fizicka jedinica za permeabilnost "darcy" se takode bazira na iskazivanju jedinicom LC

,

pri cemu vazi odnos: 1 darey = 0,9869 flm2

1 mdarcy = 10.3 darey = 0,9869 x 10,3 flm2

Medusobna konverzija nekih starih i novih jedinica za propusnost i hidraulicku vodljivost (Urumovic 2003) data je u narednoj tabeli:

I J darey I 9,87*10"' em' ""'.6*JO~ emls = 0.84 mldan (za vodu pn 20'C)

lO-w em ;:! I 1.0 J • J 0.2 dareyja

J mldan I J,16*IO"emls z1.2*10·8 em'(za vodupri 20°C)

I emls I 864 mdan zl.03*JO·' em'= 1033 dareyja (za vodu pn 20°C)

199/269

4,72*10-4 mm/s = 4.08*10" m/dan -5,5*10" dare 'a (za vodu ri 60"F

9,8*10·6m/s = 0,85 m/dan

Na osnovu ovako utvrdene permeabilnosti porozne sredine se mogu podijeIiti na: Djelimicno permeabilna sredina 1 < k' s 10 mdarcy Permeabilna sredina 10 < k' s 100 mdarcy Vrlo permeabilna sredina 100 < k' s1000 mdarcy

Uocimo da smo permeabilitet (koeficijent filtracije) porozne sredine izrazili na tri nacina:

hidraulicki konduktivitet ili koeficijent filtracije kfi rrJs permeabilnost iii koeficijent permeabilnosti k, m\/kg i koeficijent prirodne permeabilnosti k', m2

.

Radi se 0 tri varijacije iste fizicke veliCine, a od Darcyja (1895. godine) do danas ova veliCina, koja je odraz propusnosti odredenog fluida kroz odredenu poroznu sredinu, analizirana je iz razliCitih perspektiva, dobijala razlicita iIi sIiena imena, te konacno u medunarodnoj praksi dimenzionisana sa 3 medusobno nekompatibilne jedinice. Termini poput "propusnost", konduktivnost", "Darcyjev koeficijent", koeficijent permeabilnosti", Darcyjev permeabilitet, "hidraulicki konduktivitet", "prirodna propusnost", "prirodni permeabilitet" obilato se koriste u praksi.

Permeabilitet se moze odrediti neposrednim mjerenjem (na terenu i laboratorijski) i posredno (primjena empirijskih formula uz koriscenje podataka 0 granulometrijskom sastavu i veIicini poroznosti sredine). Terenske metode daju najpouzdanije podatke. Primjena terenskih metoda podrazumijeva prethodno izvodenje istraznih busotina, bunara i drugih objekata. Pored crpljenja vode iz busotina 'i bunara, u eksperimentalne svrhe, koriste se i opiti nalivanja vode u busotine i raskope i opiti utiskivanja vode u busotine. Laboratorijske i racunske metode su znatno jednostavnije, i omogucavaju masovno odredivanje vrijednosti koeficijenta filtracije iii permeabililela.

Permeabilnost se moze odrediti laboratorijski na uzorcima tla i stijene, kao i terenskim mjerenjima. Laboratorijskim se metodama permeabilnost odreduje pomocu permeametara, pri cemu se koriste mali uzorci izdvojeni na razliCitim tackama akvifera iIi druge stijene. Pri laboratorijskom ispitivanju hidraulicke vodljivosti uzorci se podvrgavaju toku koji se moie odvijati pri stalnom nivou (permeametar sa stalnim nivoom) iii toku s promjenljivim nivoom (permeametar s opadajucim nivoom), kako je shematski prikazano na narednim slikama.

Permeametri s konsantnim pritiskom su pogodni za mjerenja na nekonsolidovanim, odnosno sedimentima sa slabom kohezijom i perrneabilitetom iznad 0,6 cmlh.

200/269

,[ -'--1

~I

Slika 205: Shema za odreaivanje permeabilnosti s promjenljivim nivoom vode

Permeametar s opadajucim nivoom obicno se primjenjuje kada je nliZno dobiti relativno visoke nivoe vode, a posebno je prikladan za odredivanje hidraulicke vodljivosti sitnozrnastih sredina. Protok vode kroz uzorak odreduje se iznosom pada visine vode u uspravnoj cijevi. Tokom vremena t], vis ina vode opadne do njezine inicijalne visine Ah] na Ah2, a brzina v opadanja nivoa vode u cijevi presjeka a iznosi:

dh V=--

dT. [301]

gdje znak minus oznacava opadanje nivoa. To opadanje nivoa vode u cijevi izraiava koliCinu toka:

[302]

koja ulazi u uzorak s donje strane i uzrokuje tok nestlaCive tekucine kroz uzorak i iz njega. Kolicina toga toka je:

V~=kiA, [303]

gdje je A povrsina uzorka, a i= L1h11 hidraulicni gradijent toka kroz uzorak. Prema nacelu kontinuiteta tekucine, izlazni tok mora bim jednak ulaznom to!,,,1:

dh -a-=kiA.

dT. [304]

Razdvaja.."ljem varijabli i integracijom se, polazeci od nemena t]=O (5to rezultira konstantom integracije jednakom 0), dobije koeficijent filtracije:

k = !!!.-In t:Jz] AT. t:Jz

2'

201/267

dh V=--.

dr [301]

gdje znak minus oznacava opadanje nivoa. To opadanje nivoa vode u cijevi izrazava kolicinu toka:

[302]

koja ulazi u uzorak s donje strane i uzrokuje tok nestlaCive tekuCine kroz uzorak i iz njega. Kolicina toga toka je:

T~; =kiA, [303J

gdje je A povrsina uzorka, a i= Chll hidraulicni gradijent toka kroz uzorak. Prerna nacelu kontinuiteta teku6ine, izlazni tok mora bitri jednak ulaznom toku:

dh -a-=kiA.

dT [304J

Razdvajanjem varijabli i integracijom se, polazeCi od vremena t]=O (sto rezultira konstantom integracije jednakom 0), dobije koeficijent filtracije:

k=~lnMl . AT M2

Uticaj vrste fluida kojim se utvrduje koeficijent filtracije izrazenje jednaCinom

k=Cd 2 pg =Cd 2 g, [305] f.1 V

prerna kojoj se moze zakljuCiti da se permeabilnost moze mjeriti pomocu razliCitih fluida. Moguee je koristiti i gas, primjerice zrak, i izracunati unutrasnju propusnost. Kada je poznata unutrasnja propusnost, potrebno je taj iznos pomnoziti sa p glfL kako bi se dobila hidraulicka vodljivost za bilo koji fluid.

202/269

10' I

10' I

-•• ;~.I.t!'J"M">l 4 .. ~-

6W_ uf'. S\o\'. Sf'

'~'l>bf"!"~ Iruj-"l'II do~ !:I ,,:rlllJ-! I r~"!')r,, f""-:S-oJ

K.mm.! ..

lO~ I

10" 10"' ! I

Slika 206: Preporuke za naCin odreaivanja koefictjentafiltractje (Bowles, 1984)

S ciljem umanjenja promjena koje mogu nastupiti na uzorku, moguce je mjeriti u cijevi u kojoj je uzorak izvaden iz busotine. Izmjerimo Ii tokom eksperimenta protok tecnosti kroz uzorak, te znajuci hidrostatsku visinu tecnosti (h), dliZinu uzorka (l) i poprecni presjek uzorka (A), koeficijent filtracije se moze izracunati iz izraza:

[306]

Koeficijent filtracije se moze odrediti i empirijski. U praksi se prirnjenjuje veliki broj empirijskih formula za odredivanje keeficijenta filtracije.

6.2.5. Turtozitet

Brzina filtracije (v) je prosjecna karakteristika kretanja u vodonosnoj sredini, koja ne uzima u obzir realne putanje tecnosti u stijeni, odnosno nije stvama brzina kretanja podzemnih voda, vee flktivna:

[307]

Pri kretanju fluida kroz stijene, fluidni djeliCi se najcesce ne krecu pravolinijski, nego se probijaju odrederlli"Il putem izmedu zma stijenskog rnaterijala. Turtozitet (zavojiti tok) je mjera predenog puta koji je fluid presao u odnosu na pravolinijski (linearni) put izmedu iste dvije posrnatrane tacke.

203/268

Realna

Slika 207: Realna putanjafluidnih djelica izmeau zma stijenske mase

Stvarna brzina kretanja fluidnih djelica je veca nego izmjerena na temelju protoka, jer oni prelaze duZi put izmedu dvije posmatrane tacke (dva mjerna presjeka kroz procjednu povrsinu). Na brzinu kretanja fluida kroz stijensku sredinu utice i poroznost stijene. Ovdje se takoder moze uvesti popravka, odnosno uzeti u obzir da pore nisu ravnomjemo (homogeno) rasporedene po posmatranom presjeku, niti je njihova velicina ista.

6.2.6. Transmisivnost (vodopropustljivost)

Transmisivnost (vodoprovodnost, vodopropustljivost) predstavlja integral vodopropusnosti po debljini vodonosnog horizonta i stoga, bolje nego koeficijent filtracije odrazava velicinu vodopropusnosti slojeva s obzirom na postojanje nehomogenosti u njirna. Vodoprovodnost filtracione sredine izraiava se koeficijentom vodoprovodnosti (T), koji se za homogenu vodonosnu sredinu defmise kao proizvod koeficijenta filtracije i debljine vodonosnog horizonta:

[308]

Koeficijent transmisivnosti odreduje se eksperimentalnim pumpanjem vode iz busotina i bunara. Moze se odrediti i na osnovu poznatih vrijednosti koeficijenta filtracije i debljine izdanske zone iii debljine vodonosnog horizonta.

Koeficijent filtracije k i specificno uskladistenje (storabilnost) S, predstavljaju osnovne hidrogeoloske iIi hidraulicke parametre akvifera, izvedene iz fizikalnih parametara tekucine i poroznog medija. Smatraju se skalarnim velicinama ovisnim 0 prostomirn koordinatama:

k=k(x,y,z),

S,=Six,y,z).

SljedeCi osnovni parametar akvifera je njegova deb\jina D, koja predstavlja granice podrucja strujanja. Ako je strujanje hotiznotalno, preko debljine akvifera integrira se specificni protok i elasticne osobine.

Transmisivnost T moze se defmirati promatrajuCi horiznotalno strujanje kroz jedinicnu sirinu vodonosnika u smjeru x:

V'x=kb8h

=kbi ~ x' [309] OX

Isto se moze pisati i za smjer y, pa time i vektorski. Ako je strujanje okomito na visinu akvifera i odvija se cijelom njegovom debljinom, moze se govoriti 0 transmisivnosti

204/268

akvifera. To je karakteristika akvifera koja izraiava protok kroz jedinicnu sirinu pri jedinicnome gradijentu.

Transmisivnost uslojenog akvifera sa n horiznostalnih slojeva je:

n

T= I kibi , [310] i=l

a ako se hidraulicki konduktivitet postupno mijenja po debljini b po zakonitorsti k=k(z), Transmisivnost je:

b

T = fk(z)dz. [311]

6.2.7. StorabHnost

Storabilnost je izraz kapaciteta uskladistenja fluida u akviferu. Koeficijint uskladistenja integrira karakteristike elasticnosti vodonosne sredine po debljini akvifera:

.6. V S=bS =bpg(nfJ+a)=-v

s A.6.h' [312]

gdje je :::: Vv obim dobivene vode iznad povrsine A, preko koje je ostvaren prosjecan pad piezometarske razine LJh. Kako su dimenzije [SJ =L·1

, [bJ =L, iz toga proizlazi da je S bezdimenzionalna veliCina. Moze se definisati kao obim vode koji se ostvaruje iz prizme zatvorenog akvifera jedinicnog poprecnog presjeka prijedinicnom hidraulilckom gradijentu.

~ __ II:_~·~::~m~_~~_ Piezmec:~i mvo II PO\TSina . . ! UqlUtku' A=1 -...... '''-....... Ni\·o~.(Hlzauile vodeu

- ------------------ ---------_____________ , trenlltKul

-r-----------------Plezmdanki 11i ... o tI

PO\T~ina .-1=1 b-enutkut+Jf

,-++-+--++--_._. __ ._--------

_uLuUll. __

l~_\"LlL __ i

jb= ~h=J

---ul...l''-lll-Ul1iliZ , .lb ";"_\.tl.Jl\.I\'Ll~ :s:z

NJVQ

podzemne \ooeu troultku I+M

bHAJ=hHbJ

~.--,--I _11=0_

\~i

Slika 208,' Storabilnosf (Urumovic 2003)

Stacionami radijalni tok iz bunara tokom pumpanja obicno se opisuje Thiemovom jednaCinom, koja je primjena DarcY,jevog zakona za radijalni cilindiricni oblik. Thiemova jednaeina za stacionami tok u zatvorenom akviferu (tecenje pod pritiskom) glasi:

205/269-

V' r V' r h-h =M= -- In- = -- In-

a 27fT R 27fkb R [313]

(T - Transmisivnost, k-koeficijent filtracije, b-mocnost akvifera, R-radijus uticaja ispumpavanja bunara)

Rjesavanjem jednaeine po zapreminskom protoku iz bunara dobit cerna:

V'=27fT M r

In­R

[314]

Primjenom Thiernove jednacine testorn ispumpavanja bunara moguce je dobiti posredno i vrijednost Transmisivnosti akvifera na osnovu izraza:

V' T= In~ .

M27fT R [315]

Na sliean naCin definira se i storabilnost za otvoreni akvifer:

[316]

6.2.8. HidrauliLJka difuzija

Hidraulicka difuzija, kao karakteristika akvifera, objedinjuje transmibilnost i storabilnost:

T k D=-=­

S Ss'

Kako 0 njemu ovisi brzina prenosenja piezornetarske razine, naziva se i koeficijentom promjene piezometarskog nivoa.

6.2.9. likvifakcija

Likvifakcija je transformacija materijala iz cvrstog u tecno agregatno stanje kao posljedica gubitka kohezije usljed porasta pomog pritiska. Do likvifakcije dolazi u momentu kada pomi pritisak u stijenskom masivu naraste iznad kriticnog litostatskog naprezanja, sto dovodi do ponistavanja kohezionih sila unutar stijena.

206/269

Stika 209: Zemljotres u Nigati (1964) - rusenje objekata usljed liI..:vifakcije

Stika 210: Zemljotres u Calabrianu (1783) -lijevak nastao likvifakcijom

Faktori koji pogoduju nastanku likvifakcije su:

Granulirane mlade sedimentne stijene, Sediment saturiran vodom koja ispunjava pome prostore i Jab seizmicki udari uslijed zemljotresa.

6.3. Dinamika filtracionih strujanja

Strujanje kroz porozne rnedije se, u opcern slucaju rnoze podijeliti na: a) strujanje pod uticajem hidraulickog gradijenta, b) procjedivanje, c) turbulentni tok, d) koncentrisani tok, e) kapilarne migracije, f) isparavanje i g) difuzno gibanje.

207(269

Na osnovu zakona 0 odrzanju masa za akvifer moze se pisati:

~a ~ul Mvfizl ~gen ~u" --=-----+-------

!1r !1r !1r !1r !1r [317]

(1Ma - promjena mase vode sadriane u akviferu; 11Mul - masa vode koja utice u akvifer; 11Mizl - masa vode koja otice iz akvifera; 11Mgen - masa vode koja se generira razliCitim [zzicko-hemijskim i bioloskim procesima u akviferu; 11Mu,r - masa vode koja se utrosi u razlicitim procesima u akviferu)

Ovisno 0 osobinama podzemnih vOGa u litosferi, postoje i razliciti vidovi kretanja. Glavni procesi kretanja slobodnih podzemnih voda su filtracija i infiltracija.

Filtracija predstavlja mehanicko kretanje slobodne vode u poroznom prostoru pod dejstvom gradijenta pritiska, a u uslovima potpunog zasicenja vodom. Filtracija moze biti izazvana i dejstvom elasticnih sila, koje se javljaju u vodonosnim slojevima na veCim dubinama i koje sadrze vodu pod pritiskom.

+ t + + ...

o + t ... +.j..+ _t+-t+'± ± .• :' ... + ... + t.+±+. 0

6 -'" 7

Slika 211: Shematski prikaz proeesafiltracije u poroznoj sredini (V.Dragisic): 1-graniti; 2 - pijesci; 3 - gline; 4 - slobodni lIivo podzemnih voda; 5 - izvor; 6 - nivo

podzemnih voda pod pritiskom; 7 - pravci kretanja podzemnih voda

Pod infiltracijom se podrazumijeva proces prodiranja tecnosti u poroznu sredinu i njeno kretanje u pravcu slobodne povrsine podzemnih voda, odnosno u praveu zone potpunog zasicenja slobodnim podzemnim vodama. Proces infiltracije predstavlja kretanje vode u zoni aeracije, za razliku od filtracije koja se odvija u uslovima potpunog zasicenja porozne sredine slobodnim pOdzemnim vodama. Infiltracija se manifestuje kao mehanicko kretanje u uslovima nepotpunog zasicenja poroznog prostora slobodnim i fizicki vezanim vodama, pod dejstvom hidrostatickih pritisaka i molekulamo­kapilamih sila, ne uzimajuCi pri tome u obzir uzajam.'lo frzicko-hemijsko dejstvo u sistemu voda - stijena. Razlikujemo nekoliko vidova infiltracije: procjedivanje, poniranje i nonnalna infiltracija. Pri slobodnom procjedivanju, kretanje voda se odvija pod dejstvom sile teze i kapilarnih sila u vidu izolovanih strujniea. Pojam poniranje oznacava kretanje vode kroz krupnije pukotine, a sto je cesto slucaj u karstifikovanim stijenama.

208/269

.P

Slika 212: ShemQ[ski prikaz infilrraciOllih procesa (a - slobodno procjeaivanje; b­normaina injiltracija): J - zona :::asicenja (izdanska ZOllO); 2 - zona aeracije (zona

nepotpunog zasicenja); 3 - i:::olovane strujllice ("podzemna kisa ''); 4 - zona injiltrirajuceg taka, geje je vlaznost jednaka potpulloj; .5 - zona dejstva kapilarnog

pritiska; 6 - kontakt "suhill" stijena zone aeracije i il1r;1trirajuceg toka (V.Dragisic)

Procjedivanje u tlu s malim porama se odviJa poL~:::no u laminarnom toku, sa dominanmim uticajem sile otpo,a na povrsini zmaea. U sredini s velikim porama (sljunak, lomljena slijena, raspueana stijena) procjedni tok postaje turbulentan.

6.3.1. Modeliranje strujan]a podzemn!h voda

Ovisno 0 slozenosti problema i ocekivanim rezultc.tima od modeliranja, strujanja podzemnih fluida mogu se aprokSL'TIir;:ni bo: jednodimenzionalno iii lineamo, dvodin1enzionalno iIi r2\'J.llsKO, T:::J.Gijalno Iii opce l.fodimc;:zionalno strujanje.

Slika 2 J 3: Slrujanje sa slobod;;om povn'inom i pod pritiskom (og!-aniie;:~:. ,YJovr§inaj

Parametri st,-c;janja poczc.-rnih voda, och(x"tlo velicine koje je potrebno poznavati u svakom trenutku struj:!nja: ",ustma tekucinc (skalar), hidrodinamicki pritisak (skalar), filtraciona brzina (veklOf!. i.3rzinu je F')godno analizirati po komponentama u koordinatnom sistemu '.'"vy, V z . Jednc.:"inc nestaeiOJ::lmog strujanja u poroznim sredinama:

p=J(x,y,z,r),

p=J(x,y,z,r),

Za rjescnje je neophodno pOSUlviti:

jednacinu stanja, jednacinu kontinuiteta (kinematska jednc.Ci:l;l) i 3 jednacine kretanja (dinamicke jednaCine).

209/269

[318]

[319]

[320]

Ako je strujanje ustaljeno (stacionarno) gustina, brzina, pritisak Sil u funkciji koordinata kretanja tekucine:

Op = 0, op = 0, Ov = 0 . Or Or Or

Kod neustaljenog (nestacionarnog) strujanja gustina, pritisak brzina se mijenjaju tokom vremena:

Nestacionarno strujanje pri promjeni nivoa podzemniih voda (npI. crpljenjem) dovodi do promjene gradijenta pritiska, brzine filtracije i protoka podzemnog toka.

6.3.2. Srednja i efekfivna brzina poroznih strujanja

Pretpostavimo da se strujanje kroz poroznu sredinu (pijesak, stijene i slicno) odvija analogno strujanju vode kroz cijev ispunjenu pamukom. Na bilo kojem presjeku okomito na tok srednja brzina se moze izraziti kao oili'1oS zapreminskog protoka i poprecnog presjeka cijevi, odnosno masenog protoka i proizvoda gustine i poprecnog presjeka cijevi:

[321]

( Ac - poprecni presjek cijevi, m2)

Brzina moze biti svedena i na efektivnu poroznost:

V m v =--=---

P nA nAp' [322]

6.3.3. Diferencijaina jednaGina strujanja podzemnih voda

Piezometarska visina podzemne vode:

[323]

Elementami rad savladivanja sila otpora strujanju:

dA=Fds .

(F - sila otpora strujanju)

dTI Darcyjev zakon: v=-K--.

ds

Brzina se maze izraziti po osama x,y,Z:

210/269

on v =-K--

x ox on

v =-K--y oy

on v =-K--z OZ "

Uvedemo Ii novu funkciju: M = - K n, koju je uveo Lagrange i nazvao je potendjal brzine, dobit cerna:

v=-KM,

5to se moze izraziti prema osama x,y,z.

Ekvipotencijalna linija je linija M(x,y)=const. (ista vrijednost potencijala brzine).

Potencijal je poznat u svim taCkama:

II = f(x,y,z,'t),

a granica sa defmisanim protokom (A-B):

qn = j(x,y,z).

Slilw 214:Ekvipotencijalna linija

Za izotropnu poroznu sredinu protok se moze izraziti ovisno 0 gradijentu potencijala (piezometarske visine):

q=-k gradll = f(x,y,z,'t) [324]

Vodonepropusna granica (A-G, B--D) cine linije konture unutar koje je: q=O.

Povrsina procurivanja (E--F) je povrsma na kojoj se slobodna vodena povrsina zavrsava isticanjem u atrnosferu dliZ dijela oblasti strujanja.

Polupropnsna kontura je kontura porozne sredine kada se ne nalazi u direktuom kontaktu sa vodom, vee razdvojena tankim polupropusnim slojem.

, i IT ····· .. ·..,····v······· :

~.

Slika 215: Procjeaivanje

211/268

Slooodna vodena povrsina je povrsina na kojoj je pritisak jednak nuli (p=O), odnosno

f(x,y,z;r)=Z iIi f(x,y,z;t)- z=O.

6.3.4. Jednecine stenje

Jednacir.,om stanja se odIaZava karakter promjene fizickih osobina vode i sredine tokom procesa filtracije. Na jednacinu stanja odnose se

.. Hook-ov zakon (odraZava zavisnost gustine vode od bidrostatickog pritiska) i

.. Jednacina stisljivosti (opisuje vezu poroznosti n i efektivnog pritiska)

Za slucaj nestisljivih faza (voda i porozna sredina) jednacina stanja dobija oblik p=const, n=const. Dalje se ove jednacine pcikazuju polaze6i od najjednostavnije jednacine stanja, preko jednacine kontinuiteta (kinematske jednacne) do Eulerovih jednacina kretanja idealne i realne teku6ine (dinarnicke jednacine).

Op6a jednacina stanja teku6ine:

£= f(P,r). [325] v

(v - viskoznost [m%])

UzimajuCi u obzir promjene zapremine pomog prostora (poroznosti) jednacina stanja porozne sredine se moze u op6em slucaju pisati u obliku:

n= f(p,r). Osnovne sile koje dovode do kretanja viskozne stisljive teku6ine u stisljivoj poroznoj i pukotinskoj sredini su potencijalna energija elasticnih deformacija tecnosti i stijene, potencijalna energija tekucine (razlika pritisaka).

6.3.5. JednaCina stenja stiSljive tekucine pri elastic nom reiimu

Pri promjeni zapremine vode usljed promjene pritiska njena masa ostaje nepromijenjena (zakon 0 odrZanju mase), te dolazi do promjene gustine vode, pa se modul elasticnosti moze izraziti u funkciji promjene gustine vode i bidrostatickog pritiska:

[326]

Integracijom prethodne jednacine u granicarna od po do p, odnosno od Po do p, dobit cemo konacan oblik izraza:

[327]

Slieno se analizira i promjena zapremine porozne sredine. Porozna sredina moze irnati intergranl.liarnl.l iii pukotinskl.l poroznost, te se moze posmatrati kao Hookeovo elasticno tijelo.

212/268

Rezultantni pritisak na zidove pora vodonosnog sloja P,k dobije se kao razlika pritiska krovinskih stijenskih masa (tezina stijena u krovini porozne sredine) i hidrostatickog pritiska vode u vodonosnom sloju:

P,k=P, - PV'

(P,k - efektivni pritisak na zillove pora (skelet porozne sredine); p, - ukupni pritisak krovinske stijenske mase; pv - hidrostaticki (neutralni) pritisak vode u vodonosnom sloju)

Pod pretpostavkom da se promjena zapremine pora desava po Hookeovom zakonu, moze se pisati:

[328]

Kako je pritisak krovine kbnstantan, moze se prihvatiti da je promjena efektivnog

pritiska jednaka promjeni hidrostatickog pritiska: dp,k =-dpv' i tada se promjena

zapremine pora porozne sredine moze pisati na slijedeCi naGin:

V, E, [329]

5to predstavlja jednacinu stanja porozne sredine pri elasticnom reiimu strujanja.

Kakoje

dVn =: d(nVJ =dn

V, V. [330]

(n- poroznost)

mozemo pisati:

11= dpv E' ,

[331]

5to je takode jednacina stanja porozne sredine pri elasticnom reZimu srrujanja.

Masa vode koja pri strujanju ulazi kroz prizmu povrsine dydz (ravan okomita na x-osu) u vremenskom interva1u T :

[332]

Masa vode koja istekne iz elementame zapremine u pravcu ose x tokom ";emena T:

. 5v m2 =pv, dydzdr+ 0; dxdydzdr,

gdje je

5v _x dxdydzdr ox

213/269

promjena, odnosno prirastaj gustine i komponente filtracione brzine Vx u pravcu ose x, duZ ivice dx. Ova proroJena se moze iraziti prema sve tri ose Decartesovog koordinatnog sistema:

5m 5{ -. ) __ x dT= --\f'-Vx-dxdydzdr=mj -mo ,

5r 5x -

5m 5(PV) --y dr= ---Y-dxdydzdr, 5r &

5m 5{ -'.) __ z dT= __ \f'_v._. dxdydzdr. 5r 5z

Ukupna promjena (razlika) vodene mase koja ucie i izacie iz elementarne zapremine porozne sredine u vremenskom intervalu drje:

5m dr= _(5(PVJ + 5(PVJ + 5(PVJ JdXdYdZdT [333] 5r &: & 5z

Sa druge strane zapremina pora, odnosno masa vode koja ucie i izacie iz elementarne zapremine porozne sredine u vremenskom intervalu dr-moze se pisati:

dVn =ndV =ndxdydz [334]

Na pocetku diferencijalno malog vremenskog intervala drmasa vode u pornom prostom elementarne prizme je:

m, = p n dx dy dz [335]

Na kraju vremenskog interval a (r+d r) masa vode je

m. _ =pndxdydz+ 5(pn) dxdydzdr ,+d, 5r [336]

Promjena mase vode za vrijeme dru elementamoj zapreminije:

5m 5(pn) , -dr=m d -m = --dxdydzar 5T . r+ , r 5T [337]

Ukupna promjena (razlika) mase vode koja nde i izade iz elementarne zapremine porozne sredine za vrijene dtjednaka je promjeni vode u elementarnoj zapremini:

[338] 5(PVJ 5(PVy) 5(ovJ _ 5(pn) ---+---+--- ----,

&: & 5z 5r

sto je jednacina nestacionarnog strujanja podzemnih voda u eiasticnoj poroznoj sredini.

U neelasticnom rezimu strujanja nema promjene gustine i poroznosti tokom vremena, te jednaCina kontinuiteta ima oblik:

214/269

5vX + 5vy + 5vz =0 5x & 5z

[339]

odakle slijedi da je zapremina vode koja ulazi u elementarnu posmatranu zapreminu i izlazi iz nje jednaka.

Eulerove jednaCine strujanja fdealne tekuCine (dinamicke jednacine) opisuju strujanje. Sile koje djeluju na fluid su: sila hidrostatickog pritiska (povrsinska sila), sila zemljine teze (zapremnska sila) i inerciona sila (zaprerninska sila).

Sila inercije je ovdje zanemariva, odnosno aktivne su sarno sile pritiska i zemljine tete.

Sila hidrostatiickog pritiska:

_ 5p dxdydz 5x

_ 5p dxdydz &

_ 5p dxdydz 5z

Sila zemljine tde:

dG=mg=pdxdydz g

Ubrzanje zemljine teze g razlozeo na komponente po prostornim osama:

dGx =pdxdydzX

dGy =pdxdydzY

dGz = pdxdydz Z

Inerciona sila (sila akcije jednaka sili reakcije F=I):

dv I=-ma=- pdxdydz­

dr

Komponente inercione sile razlozene u Decartesovom koordinatnom sistemu:

dv I =-pdxdydz-X

,

x dT

dv Iy =- pdxdydz d Y ,

r

dv I. =- pdxdydz-

d z .

. r

Suma komponenata svih sila u odnosu na osu x koje djeluju na elementarnu zapreminu idealne tekucine u pokretu jednaka je nuli, te je jednacina ravnotde po x osi:

215/269

-: dxdydz+dG,+Ix=O,

odnosno

op dv --dxdydz+X pdxdydz-pdxdydz-X =0. ox dr

SkraCivanjem se dobije ravnoteza po osi x:

Isto se moze izvesti i za ose y i z.

6.3.6. Testiranje akvifera

Testiranje akvifera iIi "testiranje pumpanjem" provodi se kako bi se stimuIisanjem akvifera konstantnim purnpanjem i pracenjem nacina kako isti reaguje utvrdile njegove karakteristike. Ovo je uobicajeni test koji se provodi kako bi se definisao akvifer, utvrdile osobine akvitarda i toka u poroznoj sredini.

Test pumpanjem se obicno interpretira anaIitieki primjenom modeIiranja strujanja u akviferu - najcesce primjenjen model je modificirani Darcyjev zakon poznat kao Theisova jednaeina, koja polazi od pretpostavke da se akvifer moze predstaviti njegovim idealiziranim modelom.

U slozenijim slueajevima moguce je numericko modeliranje primjenom kompjuterske dinarnike fluida. Numericke metode su ogranicene velikim brojem uticajnih parametara, sto otezava ispravno defmisanje modela i granienih uslova.

Za testiranje akvifera rade se obieno jedan iIi vise kontrolnih bunara iIi piezometara koji sluZe kao karakteristiene opservacione tacke. Bunari koji se rade sluZe za pumpanje i kontrolu. 1z kontrolnog bunara se ne vrsi ispumpavanje, jer se isti koristi za pracenje piezometarske visine (hidrauIickog gradijenta) u akviferu.

Slika 216: Shema artdkog bunara iz koga se vrsi ispumpavanje u ogranicenom akviferu (pod pritiskom)

216/269

Maternaticko modeliranje pri testiranju akvifera izvodi se na osnovu Theisove30

jednacine iz 1935. godine:

V' h =-- W(u) s 4nT

r2 S u=--

t T.

(h, - pad hidraulickog pritiska u posmatranoj tacki od pocetka testa ispumpavanjem; u - bezdimenzioni vremenski koeficijent; V' - zapeminski protok na bunaru; T­transmisivnost (vodopropustljivost) akvifera oko bunara; S - vodonosnost akvifera aka bunara; r - radijus od pumpne tacke (bunara) do posmatrane tacke; T - vrijeme ispumpavanja; W(u) - funkcija bunara)

-':;i"~ • ~1~W(.)..a",;,~?",", •• wii~. .

Slika 217: Funkcija bunara

Obieno se ovaj izraz koristi za utvrdivanje srednjih vrijednosti TiS oko bunara.

Thiemova jednacina za stacionarna strujanja_bazira se na primjeni Darcyjevog zakona za cilindricnu kontrolnu zapreminu.

[340]

(h-ho - hidraulicki gradijent (pad pritiska) na radijalnoj udaljenosti r ad bunara na kame se vrsi ispumpavanje; T - Transmisivnost akvifera, R - ukupan radijus uticaja ispumpavanja bunara gdje je registrovana zanemariva promjena pritiska ho, h -pritisak u posmatranoj tacki na udaljenosti ad bunara r)

30 Charles Vemon Theis

217/2.68

6.4. Pal"alelcm i serijsld tok u poroznim sredinama Pri strujanju kroz nehomogene sredine leao karakteristicm slucajevu strujanja mogu se izdvojiti paralelan i serijski tok. Pri paralelnom tom smjer strujanja je paralelan granicarna izmedu sredina sa razlicitim karakteristikima, dok je pri seriJskom strujanju vektor strujanja okomit na granicne ravnine izmedu razlicitih sredina.

d

x y

Slika 218: Paralelan strujni tok

Hidraulicki gradijent pri paralelnom strujanju:

. dh f¥J l =- =-=const.

dl L Zapreroinski protok pri paralelnom strujanju:

V =L:V=LAk.- =- LA.k. , n I n f¥J f¥J(n )

x ;=1 I i=l l l L L i=1 l l

Srednja vrijednost proizvoda permeabi1iteta:

y

Slika 219: Serijski strujni tok

218/268

[341]

[342]

[343]

n

I:!.hz =Mj + M2 + ... +I:!.hn = L;Mi i=1

V'=k M Z Z d

Kakoje:

I:!.h =v"d; I:!.h =v' ~ , d j j k' 2 2 k , ... , I:!.hn = Vn -:'

j 2 j

slijedi

V'd d d d V;'---..l+V;-Z + ... +v,_n k

j kz n k

n

U slucaju horizontalne uslojenosti permeabilitet je veti ako fluid struji paralelno slojevima, odnosno:

k1 L---" "" _" ""_--___ ~ ___ ~~~.~-~--kn L ----------"

kl z

_tL-________ -7kx I I I

Slika 220: Koejicije1Jt anizotropije

Koeficijent anizotropije se izracunava iz medusobnog odnosa:

219/268

[344]

7. Visefazna strujanja fluida i fluidizacija

7.1. ViSefazni tok

ViSefaznim strujanjima naziva se strujanje u kome ucestvuje vIse od jedne faze (agregatnog stanja) materije. P./fimama fazaje pri tome agregatno stanje koje cini vecinu mase, a sekundame faze su jedna iIi dvije faze koje ucestvuju u strujanju u manjem procentualnom udjelu. Svaka od faza ima zasebno definisani zapreminski udio i brzinsko polje. Jednacine karakteristicnih velicina se mogu izvesti za svaku od faza, uz uzimanje u obzir njihovog medusobnog uticaja.

Dvofazni tok tecnosti i gasa nastaje na jedan od slijedecih nacina: Para se generise od tecnosti usljed dodavanja toplote (zagrijavanja) tecnosti iIi izlaganja tecnosti pritisku manjem od pritiska isparavanja (tacka kljucanja). Tecnost se generiSe kondenzacijom para zbog hladenja iIi izlaganja pritisku iznad pritiska kondenzacije. Gasovi rastvoreni u tecnosti oslobadaju se uslj ed pritiska iIi temperature kojim je rastvor izlozen. MjehuriCi gasa mogu nastati u tekuCini usljed turbulencije iIi rotacionog vortex strujanja.

Vrlo je znacajan odnos sadrzaja gasovite i tecne faze, jer to u velikoj mjeri utice na osobine smjese.

Primarna faza

~~#lf%fffy

~~ ;O~ °0

o <0 0

~ 'tf{ff~ Sekundama faza

Stika 221: Primama i sekundamaJaza kodviseJaznih strujanja

Ako se javlja kao sekundama faza, gasovi se javljaju u mjehuricima, tecnosti u kapljicama, a cvrste materije u zmima iIi komadima razliCite di...'Tlenzije i oblika tvoreCi mulj.

Darcyjev zakon se, u slucaju visefaznog strujanja, moze primjeniti tako sto posebno tretira svaka faza, zamjerDujuci permeabilnost k sa permaebilnosti posmatrane faze kf' Permeabilnost faze predstavlja proizvod permeabihIosti sredine kroz koju struji visefazni sisem i re1ativne permeabilnosti (kr;). Ova aproksimacija je validna za· visefazne sisteme kod kojih granica izmedu faza staticna, sto je, generahIo gledajuci, pogresna pretpostavka, ali daje razumne rezultate pri stacionarnim uslovima. Uz pretpostavku da strujanje jedne faze u prisustvu druge moze biti posmatrano kao monofazno strujanje kroz redukovani sistem pora (redukovan za pomi prostor koji zauzimaju dmge faze), Darcy-jev fiuks za svaku fazu iznosit ce:

221/269

\IF. -qj =-kfi __ I

J-li

(kt; - permeabilitet jaze za jazu i, \I ~ - vektor gradijenta pritiska, J-li - viskoznost)

Iz prethodnog izraza moze se defmirati i relativna permeabilnost

gdje je k permeabilnost poroznog mediia kroz koji visefazni sistem struji. II_I'" tf) _

Stika 222: Oblici visejaznih strujanja(a-mulj, b-rl1jchuriCi u toku tekuCine, c­pneumatski transport evrstih cestica u vazdusnoj struji, d-stratificirani tok sa

slobodnom povrsinom, e-sedimentacija (taloienje), f-jluidizacija

7.2. Fluidizacija

Pod pojmom fluidizacije podrazumjevamo mijesanje cVIstih materija sa gasovitim iIi tecnim, sto usIovIjava ponasanje materija u cVIstom agregatnom stanju po zakonitostima koje se odnose na fluide. Dobar primjer fluidizacije je tzV. sagorijevanje cvrstih goriva u jluidiziranom sloju (fluidized bed combustion), koje se primjenjuje u energetskim postrojenjima. Za razIiku od sagorijevanja u cvrstom sloju, odnosno sagorijevanja pri kome se gorivo ponasa kao "cVIsta materija" (packed bed combustion), fluidizirano gorivo sagorijeva bez temperaturnog gradijenta, odnosno flZicke osobine se prenose ravnomjerno kroz materiju. Osim kod fluidiziranja goriva, cesta je primjena fluidizacije pri transportu cVIstih materija cjevovodima.

Fluid 1

Fluid 2

Slika 223: Cvrsto tijelo na granici izmeau dvajluida koj! se ne mijesaju

222/269

Multifazni rezimi strujanja su: .. Gas-tecno ili tecno-tecno: strujanje tecnosti s gasovitim mjehuricima, strujanje

gasa s kapljicama tecnosti, veliki gasni uyehuri u struji tecnosti, strujanje fluida koji se ne mijesaju sa jasno izraZenom medusobnom granicom,

.. Gas--Cvrsto: strujanje gasova sa sitnim cesticarna cVIste materije, pneumatski transport cvrstih materija u vazdusnoj struji ("packed bed"), strujanje cestica cVIsie materije koje su f1uidizirane gasom ("fluidised bed") ,

" Tecno-eVIsto: siuri tok CVIStih cestica u tekucini, hidrotransport gusto izmijesanih cvrstih cestica u tekuCimmla i sedmientacija, odnosno talozenje cvrstih cestica iz tecnosti na dno.

Fluidizacija pocinje od tacke karla se pritisak unutar posmatrane mase izjednaci s gravitacionom sHorn umanjenom za inte=itet potisne sileo Potisne sile su posljedica "Arhimedovog principa", odnosno relativnog smanjenja sile teze. Ukupna potisna sila tijela koje pliva po povrsini, kao na prethodnoj slici, iznosi:

Potisna sUa =RI + R2 = PI g ~ + P2 g V2 ,

gdje su VI i V 2 dijelovi zapremine tijela potopljeni u fluid 1 i 2.

/ 1/ r

Gonvo u fluKiiziranom sloju

Brzina f Deblpna (visina) sIoja

Slika 224: Dijagram jluidizacije goriva

Ako je brzina strujanja unutar sloja manje od fluidizacione brzine (vI) sloj se ponasa kao cvrsti. Povecanjem brzine strujanja dolazi do ekspanzije i cvrste cestice se rasprsuju, do konacne, potpune fluidizacije mase. Fluidizaciona brzina ovisi 0 specificnoj masi, granulometrijskom sastavu cvrste supstance i gustini gasovite iIi tecne rnaterije u kojoj se VIsi fluidizacija.

223/269

Najznacajnije fiziCke velicine koje je potrebno mjerenjem utvrditi u mehanici fluida su brzina strujanja, pritisak i protok (zapreminski i maseni). Osim ovm velicina, za ljesavanje problema u oblasti mirovanja Hi kretanja fluida moze biti nuZrio mjeriti Hi posredno izracunati i drugel" flZicke velicine, poput gustine, temperature i slicno. Pritisak, brzina strujanja i protok su medusobno povezane flZicke velicine, te je moguce da se rnedusobno posredno izraiavaju. Npr., zapreminski protok moze se posredno utvrditi preko brzine strujanja tako da se brzina ponmozi s poprecnim presjekom struje, a moguce je i obratno: iz protoka doci do brzine.

8.1. Mjerenje brzine strujanja

Uredaji za mjerenje brzine strujanja vazduha zovu se anemometri. Njima se mjeri brzina strujanja na principu velicine pritiska vazdusne struje na ravnu iii odgovarajuce ugnutu povrsinu. Postoje dvije vrste anemometara:

1. Staticni anemometri a. s njihalom b. sa oprugom

2. Dinarnicni anemometri a. s krilima b. s poluloptama (Robinsonov lcriZ)

8.1.1. Anemometer s njihelom

Pod uticajem snage napona zracne struje ploca A se otkloni za izvjestan ugao koji je zavisan od brzine vazduha. Baidarenje anemometra vrsi se na temelju 0paZanja. Instrument je vrlo jednostavan i jeftin. Tacnost mjerenja kod odgovarajuce izvedbe iznosi 1-3 %. Nedostatak ovog instrumenta su greske u citanju pri malom uglu otklona ploce (g. kod malih brzina) kao i uska granica mjerenja brzina. Da bi se ti nedostaci uklonili instrumenat treba da ima seriju ploca odnosno za jednu plocu seriju utega (B).

Siika 225: Anemometar sa njihalom

Pod uticajem napona vazdusne struje ploca A pritisce oprugu i pokrece kazaljku na skali. Zavisnost brzine vazduha v i kretanja ploce x dataje sajednacinom

225/269

k·y·V·s = c·x [345J

(y - specificna teZina vazduha, s-povrsina ploce, c- snaga kojaje potrebna da se stisne opruga za jedinicu duiine, x- duiina pokreta place, k- koefictjent anemometra)

Anemometri imaju iste prednosti i nedostatke kao i anemometri s njihalom

8.1.2. Anemometri SCi krilima

Ovo su najrasprostranjeniji instrumenn za mjerenje brzine struje. Osnovni element tih instrumenata je propeler koji akrece struja. Broj obrtaja u jedinici vremena proporcionalan je brzini strujanja.

Slika 226 : Anemometar s krilcima za mjerenje brzine strujanja vazduha

Kada trenja ne bi postojala prilikom okretanja propelera, onda bi i najrnanja brzina vazdusne struje pOkrenula anemometar. Posto se otpori trenja ne mogu izbjeci, potrebna je odredena brzina b da bi se anemometar stavio u kretanje. Usljed toga ce anemometar pokazivati, umjesto stvarne brzine v, odredenn manju brzinn v-b.

Ako je Vo - izmjerena brzina, odnosno Citanje na brojcaniku podijeljeno s trajanjem opaZanja, onda je:

v-b = a Va- [346]

(0-- konstanta zavisna od otpora zavisna od konstrukcije anemometra, nagiba njegovih lopatica ltd.)

Iz ove jednaeine se dobija:

v = a' Vo + b.

Koeficijenti a i b ovise 0 vrsti anemometra. Cesto se umjesto velicina a i b daje popravka D.v, koju treba dodati izmjerenoj brzini Vo da bi se dobila stvarna brzina v, GaYJe:

v = Vo + D.v.

Iz obje jednacine slijedi:

Vo + Llv = a· Vo + b,

226/269

odakle je popravka

D.V = (a - J)vo + b

linijska f.mkcija brzine Yo.

Radi izraeunavanja brzine na osnow mjerenja pomocu anemometra, obieno se prilaiu odgovarajuci dijagrami. Obichi anemometri nisu zgodni za mjerenje rnalih brzina zbog znatnog trenja. Diferencijalnim manometrom se pasredno maze odrediti i brzina strujanja pri rnalim brzinarna struje.

8.1.3. Termoelektrlcni anomemtri

Termoelektrieni efekt je direktna konverzija temperaturnih razlika u eiektricni napon iIi obratno. Termoele1..'iricni manometri registruju rashladni efekt struje fluida, a kako je on proporcionalan brzini strujanja, to je moguce elektrieni napon konvertovati tako da pokazuje brzinu strujanja. Koriste se razliCiti principi termoelektricnog efekta, kao sto su Peltierov efekt, Thomsonov efekt, Seebeckov efekt.

Slika 227: Termoelektricni anemometar

Slika 228: Mjerenje brzine stnljanja rashladnim efektom

227/269

Na prethodnoj slici prikazana su 4 elektricna otpornika RJ, R2, k;c i R4, koji se mogn regnlisanjem na promjerujivorn otporniku RJ uravnoteziti tako da je pokazivanje na voltrnetru U jednako nuli.

Uslov ravnoteze je da otpomost otpomika u vazduSnoj struji hude jednaka:

k =R2 R4 x R

1'

Rashladni efekt vazdusne struje na kx otpomiku dovest ce do promjene njegove elektricne otpornosti, neuravnotezenja napona i otklona kazaljke na voltrnetru koji je proporcionalan rashladnom efektu vazdusne struje. Ugaoni otklon kazaljke voltrnetra ce biti u direktnoj linearnoj vezi sa brzinom strujanja vazduha.

8.1.4. Mlerenje ekvivalentnim otvorom

Jednostavniji je i jeftiniji od Venturijevih mjeraca protoka. Sastoji se od ravne ploce na kojoj je uraden centralni kruZni. otvor.

1 2

v:::> I ~ 5 >- ru;-;}illlIml~'

") -?

; 2

Slika 229: Odretlivanje brzine strujanja mjerenjem pada pritiska na ekvivalentnom otvoru

Brzina strujanja u presjeku 2-2 moze se odrediti na osnovu izraza:

[347]

8.2. Mjerenje pritisko

Uredaji za mjerenje pritiska nazivaju se manometri, a za mjerenje atrnosferskog ili pritiska u granicama atrnosferskog uobicajenje i naziv barometri.

Ovisno 0 nacinu, odnosno flzickom principu mjerenja koji se koristi za mjerenje pritiska manomteri mogn biti:

S tekucinom koji su konstruisani na bazi principa izdizanja tecnosti izlozene pritisku iznad nivoa u ravnoteznom stanju, a da je vis ina izdizanja tecnosti proporcionalna pritisku kome je tecnost izlozena i obrnuto proporcionalna gustini tecnosti. Defomacioni kod kojih pritisak dovodi do rnehanicke deformacije, a intenzitet pritiska je proporcionalan savijanju, istezanju, uvijanju iIi sabijanju mjemog tijela.

228/269

Piezoelektricni kod kojih se pritisak registruje piezoelektricnim efektom, odnosno osobinama pojedinih materija da pod dejstvom pritiska generiraju elektricni napon (potencijalnu razliku), koji je proporcionalan intenzitetu pritiska. Elektrokapacitivni su konstruisani na principu promjene elektricnog kapaciteta materije pod dejstvom pritiska.

Po nacinu izraiavanja pritisak,;se moze predstaviti kao: Apsolutni pritisak izraien kao ukupni pritisak koji vlada u izabranoj tacki prostora, Natpritisak (kompresija), odnosno relativni pritisak izraien kao vrijednost pritiska iznad atrnosferskog, ambijentalnog iIi drugog referentnog pritiska. Vaknum (podpritisak, depresija), odnosno relativni pritisak izraien kao iznos za koliko je posmatrani pritisak niZi od atrnosferskog, ambijentalnog iIi drugog referentnog pritiska. Diferencijalni pritisak (razlika pritiska, pad pritiska) izraien kao razlika pritiska izmedn dvije posmatrane tacke u prostoru.

8lika 230 : Manometar

Mjerni uredaji se prilagodavaju nacinu izrazavanja pritiska, mjernom opsegu uslovima u kojima (;e se mjerenje realizovati. Ovisno 0 naclnu mjerenja i potrebama, prilisci se mogu izraziti u razlicitimi jedinicama i predstaviti razlicitim skaiama. Medunrodna jedinica u 81 sistemu za mjerenje pritiska je Pa (N/m2), a dopusteno je i izrazavanje pritiska u barima (1 bar = 105 Pa), radi jednostavnijeg manipulisanja vrijednostima priliska pribiiznim atmosferskom pritisku iii u visinama stuba teku(;ine ako se ona koristi za mjerenje pritiska .

Relanvni pritlsak

..,.----1. A Difereucijolni pritisak

Ambijentalnl pritisak +-....1. __ ~_-+ _____ -;-' -'-(nUIti pritiStlk mjerenja)

Apsclutni prilisBk

Diferencijalni priusak:

-'----"'D

Slika 231 : Skale pritiska

229/269

Slika 232: Mjerenje apso/utnog iznosa pritiska

Slika 233: Visina stub a teenosti u slucaju kadaje slobodna pvr!iina teenosti pod djelovanjem vakuuma (lijevo) i atmosferskog pritiska (desno)

Pri kretanju (strujanju) fluida, osim statickog, javlja se i dinamicki pritisak, koji ovisi 0

gustini fluida i kvadratu brzme strujanja:

p v 2 r Pd=-lPa] .

2 [348]

Slika 234: Mjerenje razlike atmosferskog, statickog i dinamickog pritiska pri strojanju jluida

230/269

Pri mjerenju pritiska u struji fluida nufuo je voditi racuna 0 tome koji se pritisak zeli izmjeriti. Kako je prikazano na prethodnoj slid, moguce je mjeriti staticki pritisak (Ps), dinamicki pritisak (Pd), njihovu medusobnu razlik-u i razliku U odnosu na atmosferski pritisak. Osim diferencijalnog mjerenja razlike izmedu statickog i dimLtn1ckog pritiska, te odnosa pojedinog od ovih pritisaka prema atmosferskom pritisku, diferencijalna mjerenja razlike pritisaka prjrnjenjuju se pri mjerenju razlike pritiska izmedu civije proizvoljno izabrane tacke.

Na narednoj slici prikazano je mjereI1.je pada pritiska duz ventilacione prostorije mjerenjem razlike pritiska izmedu dvije tacke duz vazdusne struje na medusobnom razmaku t. Pri strujanju pod uticajem sarno jednog izvora (npr. prinudno strujanje pod uticajem ventilatora) vazduh ce strujati iz podrucja veceg u podrucje nizeg pritiska, odnosno smjer vazdusne struje izmedu dvije tacke bit ce odreden pritiscima koji vladaju unjima.

< :;.

Slika 235: Primjer diferencijalnog mjerenja pritiska izmeau dvije tacke, odnosno duf vazdusne stroje pri mjerenju pada pritiska u podzemnim rudnickim prostorijama

Specificni pad pritiska dui posmatrane dionice vazdusne struje moze se izracunati iz izraza:

dp=/';p [pa]. dl I m

[349]

8.2.1. Piezomefarska cijev

Najednostavniji manometar je "piezometarska cijev", otvorena na gomjem dijelu, i vezana za prostor u kome se nalazi fluid ciji pritisak zelimo odrediti. Da bi pritisak bio mjerljiv piezometarskom cijevi mora biti iznad atmnosferskog pritiska.

231/269

p p

h

v

Slika 236: Piezometarski manometar

Pritisak koji vlada u cjevovodu se moze izracunati kao suma atmosferskog pritiska i proizvoda gustine tekucinie, ubrzanja zemljine tde i visine stub a tekucine:

P = Pal + PIgh. (350]

8.2.2. Jednostavni U - manometar

Jednostavna staklena cijev u obliku slova «U» ispunjena vodom iii drugom tekucinom koristi se za niz razliCitih vrsta mjerenja pritiska. Spojimo Ii crijevom jedan kraj cijevi sa prostorom u kome mjerimo pritisak, a drugi ostavimo otvoren, U manometar ce formirati razliCite visine stub a tekucine ako je pritisak unutar posmatranog prostora razlicit od atmosferskog. «U» manometar se moze koristiti i za diferencijalno mjerenje pritiska ukolik ose krajevi manometra crijevima spoje sa tackama izmedu kojih se zeli izmj eriti razlika pritid,,,

fJ

x

Slika 237: U-cijev manometar s tekuCinom

Izjednacimo Ii, za slucaj s prethodne slike, pritisak u presjeku na nivou x-x' mozemo pisati za lijevu stranu:

Px = PI + Pi g(a+h) .

Za desnu stranu:

232/269

Kako je Px = Px' , slijedi:

PI + Prg(a+h)= P2 + Plga + pgh,

PI- P2 = pgh - PIgh,

!'

odnosno kadaje gustina P2 znatno vece od gustine PI (P2»P/) -posebno ako je fluid 2 tekucina, a fluid 1 vazduh, moze se pisati:

PI- P2 = P2 gh

Pat

t ~h

I..!---i!!!f---'

Slika 238: Mjerenje pritiska u posudi visinom stuba teenosti

Zbog mogucnosti primjene tekucina razlicite specificne mase pogodni su za mjerenja u sirokom opsegu razlike pritiska. Maksimalna vrijednost razlike pritiska je lirnitirana visinom manometra. Za mjerenje vecih razlika pritiska potrebno je uzeti iii guscu tekucinu, iIi veCi manometar.

Apsolutni pritisak koji vlada u komori izmjeren visinom stuba tekucine prema prethodnoj slici moze se izraZunati iz izraza:

p = Pal + PI gh . [351]

(PI - specijicna masa (gustina) tekuCine)

8.2.3. inverzni U - manometar

Koristi se za mjerenje razlike pritiska u tekucinama. Prostor iznad tekucine se popunjava vazduhoIIl, koji se moze po potrebi dodati iIi osloboditi preko ventila na vrhu manometra.

233/269

r-i /~~.

/ '\

x 1- I h I 'it I

I tt-

I a t

x'

PI P2

Slika 239: 1nverzni U-manomctar

Izjednacavajuci pritisak na nivou x-x' mozemo pisati za lijevu stranu:

Px = PI - PIg(h+a).

Sa desne strane pritisak je:

Px' = P2 - (Plga + p~h).

Kako je Px = Px' , slijedi:

PI- pg(h+a) = P2 - (pga + p~h),

PI - P2 = (PI - pJJgh.

U slucaju kada je manometarski fluid izabran tako da mu je gustina mnogo veca od gustine vazduha koji ispunjava prostor, mozemo pisati da je:

PI-P2 = pgh. [352]

8.2.4. U - manometar sa prosirenim krakom

Jednostavni U-manometar u prakticnim usiovirna je siozeno koristiti zbog potrebe ocitavanja kretanja fluida u oba kraka manometra. Konstrukcijom «produienog kraka», ocitavanje se moze vrsiti sarno na uzoj strani, jer ce pri povecanju pritiska na siroj stran.i «D» manometra doCi do znamo manje promjene nivoa tekucine, dok ce na uZoj strani promjena nivoa biti znatno veca. Ako je pritisak sa obje strane jednak, visina fluida ce se izjednaciti. Porastom pritiska na siroj strani manometra dolazi do promjene nivoa tekucine. AkO je D> >d pritisak se moze pribIiZno odredizi iz izraza:

PI- P2 = (Pm - p)gh.

(h-povecanje Ilivoa tekuCille u desllom kraku mallometra)

234/269

PI

l' h

o o'-.!t x x'

Slika 240:U manometar sa prosirenim kralwm

Ako se gustina mjemog fluida moze zanemariti u odnosu na gustinu manometarskog fluida (npI. manometarskim fluidom tekucinom se mjeri pritisak gasa) moze se pisati:

PI - P2 = Pm gh. [353]

8.2.5. U-manometar sa dve fluide

x' y'

x'

Stika 241: U-manometar sa dva fluida

Klasicni iIi modificirani U manometar ispunjava se sa dvije razIiCite tecnosti. Koriste se za mjerenje malih razlika pritiska iIi da se mnanji efekt isparavanja i heruijske reakcije jednog od mjernih fluida.

8.2.6. DiferendJalni manometar s kosom djevi

Koriste se za mjetenje malih pritisaka. Zbog malog podizanja nivoa tecnosti u mjemoj cijevi oteiano je ocitavanje.

Slika 242: Prillcip rada mallometra sa nagnutom cijevi

235/269

Naginjanjem mjerne cijevi nakoso, tako da je ugao manji cd pravog ugla «(1 < 90°) postiZe se veci hod teenosti I, koji je la.1cle otitati, a ukup::a visina stuba tecnosti je: h = I sin (1. Sastoji se uglavnom ad tri dijela:

posude za tekucinu, TOtacione staklene cjevcice u spoju s posudom, rotacionog valjka s kanalirna za spoj posude cjevCice sa prostorima odredenim za utvrdivanje pritiska.

Slika br.29: Manometar sa kosom cijevi

Na nastavke obiljezene sa ,,+" i "-,, pripoje se cijevi koje su spojene s Pitot­Prandtiovim nastavkom iIi atmosferom, i to tako da je pozitivno o=acen nastavak uvijek pripojen na cijev s vecim pritiskom (natpritisak), dok je nastavak s negativnom o=akom pripojen na niZi pritisak (potpritisak).

Rotaciona staklena cjevCica se moze podesavati pod razlicitim nagibima. Pri datom nagibu s odnosom sin a proporcionaino se povecava nivo vode. OCitanje na skali cjevcice od lrnm treba stoga pomnoziti s odgovarajucim koeficijentom za postizanje vertikalne vrijednosti. Ti su koeficijenti oznaceni na luku i mogu se pronaci u narednoj tabeli:

Tabela 13: koejicijent sin a

sino, koefici-ent sin a za

vodu alkohol

1:1 1,0 0,8

1:2 0,5 0,4

1:5 0,2 0,16

1:10 0,08

Kao tekucina se moze koristiti voda, ali se preporucuje upotreba alkohola. Rotacioni valjak omogucava, za slucaj djelovanja pritiska kombinacije slijedecih spojeva s prijemnim nastavkom:

ukupni pritisak: ceoni otvor nastavka spojen je s posudom, dok je cjevCica ovorena prema atmosferi, staticki pritisak: boeni otvor spojenje s cjevCicom, dokje posuda otvorena, dinamicki pritisak: ceoni otvor spojen je s posudom , dok je bocni otvor u vezi sa cjevcicom; diferencijalni pritisak: prijenmi nastavci okrenuti su ceonim stranama protiv vazdusne struje; pritisak s Tacke 1 je veci i dovodi se u posudu, dok je sonda s rnanjim pritiskom na drugoj tacki prikljucena na otvor cjevCice.

236/269

8.2.70 Bourdonova cijev

Bourdonova se cijev obieno konstruise od elasticnih metaia, kruZno iii spiraino savijenih. S jedne strane cijev je otvorena i spaja se sa podrucjem u kome se zeli mjeriti pritisak, a drugi kraj cijevi je zatvoren. Pritisak na otvorenom dijelu cijevi ce izazvati deformaciju cijevi, a mjere~em deformacije (zakretanja) cijevi posredno se moze izraziti pritisak koji vlada na 6tvorenom kraju cijevi.

Ovi uredaji se koriste za mjerenje vecih vrijednosti pritiska.

Stika 243: Bourdonova cijev za mjerenje pritiska

8.2.8. Mijeh

Sirenje mijeha je u direktnoj proporciji sa pritiskom koji vlada unutar mijeha, a na osnow visine do koje se podiZe vrh mijeha moze se utvrditi pritisak u mjernom podrucju. Ovisno 0 konstrukciji mijeha, ovi se barometri jednostavne konstrukcije mogu koristiti za mjerenje pritiska u sirokom opsegu.

p

Slika 244: Mijeh za mjerenje pritiska

8.2.9. Membranski manometri

Promjena pritiska unutar rnanometra dovodi do deformacije elasticne membrane. OCitavanjem deformacije posredno se moze utvrditi pritisak .

237/269

Slika 245: Membranski manometar

8.2.10. Elektrokapacitivni mcmometri

Ova klasa manometara koristi vezu izmedu statickog elektriciteta i mehanickog dejstva na odredene rnaterije. Koriste se obicno za mjerenje vrlo visokih pritisaka iii temperatura.

Piezoelektricni manometri rade na principu "piezoelektriciteta", odnosno sposobnosti nekih rnaterija (obicno kristaliziranih materija iIi kerarnike) da generiraju elektricni potencijal pod dejstvom mehanicke sile iIi pritiska. MehanicKim pritiskom dolazi do odvajanja elektricnog polariteta u kristalnoj strukturi. Tipican predstavnik piezoelektrticnih materija je kvare (Si02), a slilcne osobine pokazuju berlinit, kvare, turmalin, topaz.

f 1 ,P ~! \1f {~

Slika 246: Princip rada piezoelektricnih lrJeraca pritiska

8.2.11. Pittotova djev

Pitototova eijev se koristi za mjerenje brzine strujanja na bazi mjerenja raziike pritisaka. Sastoji se iz dvije eijevi: staticke (a) i dinarnicke (b). Otvor dinamicke eijevi okrenut je nasuprot praveu strujanja, a otvor staticke eijevi paralelno okomito na strujni tok, tako da se izbjegne utieaj strujanja vazduha. Obje eijevi spajaju se na difereneijalni manometar.

238/269

Slika 247: Pitotova cijev

Pitot-Prandtlova cijev je modificirana Pitotova cijev, koja se sastoji iz dvije cijevi razlicitog pritiska, kako je to prikazano na narednoj slici.

Sl ·!mITI .l--'-l1

C9 -c::J [::J+

Slika 248:Pitot-Prantlova cijev

Bocne perforaeije na eijevi vec~g precnika registruju staticki pritisak, dok je u slucaju okretanja kraja cijevi nasuprot strujanju vazduha, pritisak u unutrasnjosti cijevi anjeg precnika jednak dinamickom pritisku. Pitot-Prandtlova eijev se koristi u letjelicama za odredivanje brzine kretanja kroz vazduh na osnovu izraza:

[354]

239/269

Razlika pritiska se moze izracunati na osnovu izraza:

!J.p = Z'(PI - p)g

Na osnovu Bemoullijevog obrasca

P v2

Z+- +- =const. y 2g

dobije se u slucaju smjestaja nepokretnog cvrstog tijela u struju gasa iIi tekucine:

P V2

PI Z+-+-=Z+-+O y 2g Y

V V 2

PI =p+y '-=p+p'-2g 2g

U posIjednjem obrascu Pl izrazava tzv. ukupui pritisak koji nastaje u struji plina iIi tekucine na n~estima gdje je tok bio zakocen. Iz tog proizIazi da je ukupan pritisak Pl jednak zbiru statickog pritiska p i tzv. pritiska brzine iIi dinamickog pritiska :

V2

P·-· 2g

Na osnovu velicine statickog i ukupnog pritiska u datoj tacci moze se izracunati brzina zraka

V= [355]

8.2.12. Diferencijalni minimetar

Diferencijalnim minirnetrima se nazivaju instrumenti za mjerenje malih vrijednosti pritiska izmedu dvije iii vise tacaka. Koriste se za posredno mjerenje zapreminskog protoka iIi mjerenje otpora strujanju.

bp R=-­

V ln [356]

(R - otpor strujanju, !J.p - izmjerena razlika pritiska na minimetm, V' - zapreminski protok, n - eksponent ovisan 0 karakteristikamafluida)

240/269

Slika 249: Diferencijalni mikromanometar "Askania" (A,B - posude meausobno spojene gumenom cijevi, C - gumena cijev, D - nastavak; E - vreteno za izravnavanje nivoa u posudama A i B; F - skala za gruba oCitavanja razlke pritiska, G - skala za fino

oCitavanje pritiska)

8.3. Mjerenje protoka

Za mjerenje zapreminskog (V', m3/s) iIi rnasenog protoka primjenjuju se razliCite direktne iIi indirektne tehnike bazirane na jednom od principa:

Posredno - mjerenjem diferencijalnog pritiska na bazi Bemoullijeve jednacine

Mjerenjem elektronlagnetnili rnanifestacija strujanja

Ultrazvucnlln mjerenjem

Mjerenjem vrtlozenja izazvanog preprekom dliZ struje

z 1

r··· .... ·'.:· .. :: /mn.___ Dl

.. ··· .. ··t .. ,. :...:---------------

2 1

Slika 250: AfjererJe zapreminskog protoka primjenom Bernoullijevog principa

Posrnatramo Ii protok u poprecnim profilirna 1-1 i 2-2, Bemoullijevu jednacinu mozemo pisati:

2 2 mVI PI mvz Pz --+mgh, +mg-=--+mgh2 +mg-

2 ~ 2 ~

Postavi Ii se mjerac protoka u horizontalan poIozaj, to ce razlika potencijalne energije u dva profila bit ce, takode, nula (h]=h2)' te se moze pisati:

241/269

Na osnow zakona 0 odrZanju masa moze se pisati da su maseru protoci u posmatranim presjecima jednaki.:

Ako je strujanje nekomprimabilno (PJ=P2= p), zapreminski protoci ee bitijednaki:

V' =vjAj = v2 A2 .

Brzina strujanja u profilu 2 moze se izraeunati iz izraza:

[357]

Maseru protok:

Metode koje se baziraju na primjeru Bernoullijeve jednaeine baziraju se na pretpostavci da je strujanje nestisljivo i da se trenje u mjeraeu moze zanemariti iIi uzeti u obzir korektivnim faktorom. Za ow vrstu mjerenja nufuo je imati stacionarno strujanje

8.3.1. Venturl-metar

Popreeru se profil suZava na mjestu mjerenja tako da su bokovi konvergentno nageti za ugao a koji obieno iznosi od 15 do 20°, usljed cega dolazi do ubrzanja struje. Nakon suZenja, profil se ponovo vraea na pocetni .. llii sa::znatnomanjim divergentuirn uglom, koji iznosi jednu treeinu konvergentnog ugla (5_7°) ~al;:Ql11e se dio kinetieke energije pretvara u energiju pritis

Slika 251: Venturi metar

242/269

SUka 252: Konsturktivne karakteristike Venturi-metra

Osnovna jednaeina na osnovu koje se utvrduje vrijednost zapreminskog protoka izvodi se iz Bernoullijeve jednaeine za nekomprimabilna strujanja. Zanemaruju se gubici usljed trenja, a Venturi mjerae se postavlja horizontalno, te je razlika pritiska usljed razliCitih visina jednaka nuli, odakle slijedi:

Na osnowjednaeine kontinuiteta moze se pisati:

a razlika pritisaka

te slijedi:

1 21'lp ( ) --+2g Zj -Z2 .

P [358]

Ovisno 0 konstrukcijskoj izvedbi venturimetra i Reynoldsovom broju nuZno je dodati korekcijski faktor brzine C, te se zapreminski protok kroz venturimetar moze izraziti:

21'lp +2 a(z -z ) b j 2

P [359]

Ove uredaje karakterisu skupa konstrukcija i veliki gubici pritiska. Uglavnom se koriste za nekomprimabilna strujanja, mada se njima moze mjeriti i strujanje gasova.

243/269

8.3.2. Rotametar

Rota.'Iletar je transparentna cijev promjenljivog precnika unutar koje se analazi slobodno pokretci lebdeci klin, koji se pod djelovanjem vertikalnog toka fluida podiZe za visinu proporcionalnu protoku kroz rotametar. Visina podizanja lebdeceg klina se ocitava na bocnoj skali.

Slika 253: Rotametar

Karakteristican primjer rotametra je staklena cijev promjenljivog precnika, tako da se odozgo nadolje sliZava. Unutar cijevi se nalazi siobodan predmet, koji ce se kretati navise pri strujanju fluida kroz rotametar. Visina podizanja lebdeceg predmeta ovisit ce dirtektno 0 zapreminskom protoku i brzini strujanja kroz rotametar.

Pad pritiska se u instrumentu manifestuje kao kineticka energija, odnosno za proizvoljno izabrana dva profila u strujnom toku moze se pisati:

? 2 I1p vi_l pg 2g 2g

1z jednacine kontinuiteta (AI VI = Az v 2 ) dalje se moze pisati:

1 ~211p V'=f#) -P . [360]

Pad pritiska ce biti:

[361]

(Vf - zapremina lebdeceg predmeta; Pf- gustina materijala od koga je izraaen lebdeCi predmet; Af - poprecni presjek u horizontalnoj ravni)

244{269

Zapreminski protok se moze izraziti:

[362]

(CD - koejicijent koji ovisi 0 obliku lebdeceg tijela i Reynoldsovom broju)

8.3.3. Propelerni (turbinski) mjerac protoka

Propelerni (turbinski) mjeraCi protoka sastoje se iz rotirajuceg prope1era cije kretanje je proprcionalno brzini strujanja i zapreminskom protoku. Brzina okretanja propelara zavisit ce od kostrukcije samog prope1era i osobina mehanickog sklopa mjeraca. Na osnovu osobina instrumenta, ovi se mjeraci opremaju razlicitim pokazivacima na kojima se moze oCitati brzina strujanja iIi protok fiuida. Ovi mjeraci mogu biti flksni stacionarni (ugradeni u transportni sistem) iii mobilni uredaji.

Stika 254: Turbinski mjeraCi protoka

Primjer fiksnog propelemog mjeraca protoka je standardni mjerac potrosrlje vode u domacinsvima. Vodeni se tok proptiSta kroz cijev mjeraca poznatog profila, ana osnovu brzine rotacije prope1era odredi se brzina strujanja vode kroz mjerac. Proizvod brzine strujanja i poprecnog presjeka cijevi dat ce zapreminski protok vode, a uredaj je dodatno oprem1jen pokazivacima koji mogu kumulativno registrovati zbir protoka i predstaviti ga kao ukupnu potrosnju u vremenskoj jedinici.

8.3.4. Mjeraci protoka sa suienjem

U strujni tok postavlja se sliZenje (opstrukcija) protok'.! na kome dolazi do pada pritiska usljed savladivanja otpora.

245{269

Slika 255:Prigusnica za odredival".}e protoka padom priiiska na mjestu lokalnog suienja

Maseru protok se moze izracunati iz izraza:

8.3.5. Vortex mjeraci protoka

Vortex mjeraci protoka rade na principu stvaranja kruZnog (vrloZnog) strujanja na mjestu mjerenja protoka, pri cemu se protok mjeri na osnovu visine izdizanja tecnosti usljed vrtlozenja po izrazu:

m 2

z=--r 2

2g

Slika 256: Vortex (vrtloini) mjerac zapreminskog protoka n !J:ltra;r.vtJCni pr~ctalrtU(

.............. --tU.: ........ ..

• Slika 257: Princip rada" Vortex" mjeraca protoka

246/269

[363]

8.3.6. Ultrazvucni i laserski mjeraci protoka

Ovi uredaji rade na principu Dopplerovog31 efekta koji izaziva fluid u strujanju na ultrazvucm i laserski signal. Signal se emituje sa jedne strane protolca i prima sa droge, iii pak reflektuje natrag i prima na uredaju, te se analizom intenziteta Dopplemvog efekta utvrduje protok. Kako,,se ovim instrumentima ni na koji nacill ne narusava tok spadaju u k1asu tzv. ,,neintruzivnih" mjeraca protoka.

Slika 258: Ultrazvucni mjerac protoka (vl1ww.tlowline.co.uk)

Kada se zvucni izvor, iii slusalac, iii oboje krecu u odnosu na fluid, frekvencija zvuka koju cuje slusalac nece, u opcem slucaju, biti ista kao kad bi izvor i siusalac mirovali. Ova pojava se naziva Doppler-ov efekt. Ovisno 0 relativnoj brzini prerna izvorn, prornatrac ce izmjeriti razlicitu frekvenciju izvora.

, . •

Stika 259: Dopplerov efekt

Dopplerov efekt formulom mozemo prikazati na sljedeCi nacin:

31 Johann Christian Andreas Doppler (1803-1853)

247/269

gdje je v p pozitivno ako se prijemnik pribiiZava izvorn, a negativno u obmutom

slucaju. Slieno tome, brzina izvora Vi je pozitivna kada se izvor krece u pravcu

prijemnika a negativna u protivnom Pri tome pretpostavljamo da se izvor i prijeronik krecu duZ pravca koji ih povezuje.

/'

Slika 260: Princip rada ultrazvucnog mjeraca protoka

Frekvencija ultrazvucnih iii drugih talasa koji prolaze kroz medij pri nailasku na predmet koji se krece se mijenja po Dopplerovom zakonu:

4f=fY.-. c

(f - frekvencija, /',.f - promjena frekvencije, v - brzina predmeta, c - brzina zvuka)

Brzina strujanja fluida moze se odrediti na osnovu izraza:

fp- Ie v=c---"-----'---

2fe cosex

[364J

[365]

(v - brzina strujanja, 1;, - primljena frekvencija, Ie - emitovana frekvencija, c - brzina zvuka)

S obzirom na to da Dopplerov efekt ovisi 0 kolicini cvrstih cestica i gustini tecnosti, ovaj je metod mjerenja povoljan za prljave i guste fluide s visokirn sadrZajem cvrstih cestica. Nije pogodan za mjerenje protoka cistih tecnosti.

8.3.7. Magnetni rnjeraci protoka

Spadaju u kategoriju mjeraca bez pokretnih dijelova, 5to ih cini pouzdanim i povoljnim za upotrebu pri mjerenju strujanja fluida koji izazivaju elektromagnetnu indukciju proporcionalno kolicini mase koja struji posmatranim presjekom strujnog toka. Mogu biti vanjski (postavljaju se izvan strujnog toka) i unutrasnji (mjema glava unutar strujnog toka).

248/269

Slika 261: Magnetni mjerac protoka fluida (Omega Enginerring Technical Reference, www.omega.com)

Mjerenje protoka se vrsi na priuicpu Faradayovog32 zakona koji je defmisano da je elektricni nap on i..l1dukovan kretanjem provodnika u magnetnom polju proporcionalan brzini kretanja provodnika:

U=BLv. [366]

(U - Signalni napon, v - srednja brzina strunja fluida, B - jaCina magnetnog polja, d - duiina provodnika).

-~ .~~~- ---- ... --: __ ._::"";'--::; __ C_.;_:;-"",;,

Slika 262: Princip rada magnetnog mjeraca protoka (Omega Enginerring Technical Reference, WH~\'.oll1ega.com)

Ovi mjeraCi su vrlo prezcizni, a vanjski magnetometri ni na koji nacin ne uticu na strujni tok. Ne proizvode gubitke, te nema niti pada pritiska. Neophodan uslov za primjenu magnetnih mjeraca je da fluid irna odreden stepen elektricno vodljivosti, odnosno sposobnost da indukuje elektricni napon pri prolasku kroz magnetno polje.

32 Michael Faraday (1791-1867)

249/269

9. Uteraiura

Adamovic, Zivoslav. Osnovi hidraulike i odriavanja uljno-hidraulicnih sistema. Beograd: Zavod za udZbenike-"i nastavna sredstva, 1997.

Alic, Nurfet. Kontrolisana recirkulacija vazduha u jami "RiCica" RMU "Kakanj u Kaknju (Magistarski rad). Tuzla: RGGF , 2004.

Anderson, 1. D. Fundamentals of Aerodynamics, 2d ed. . New York: Me Graw-Hill, 1991.

Arntzen, Bj0rn Johan. Modelling Of Turbulence and Combustion for Simulation of Gas Explosions in Complex Geometries. Norwegian University Of Science And Technology Division Of Applied Mechanics, Thermodynamics And Fluid Dynamics, 1998.

Brennen, Christopher Earls. FUNDAMENTALS OF MULTIPHASE FLOW. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.

Crnojevic, Cvetko. Klasicna uljna hidraulika. Beograd: Masinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1998.

D. Japikse, N. C. Baines. Introduction 10 Turbomachinery. New York: Oxford University PRESS, 1995.

Fancev, M., Franjic, K. Pumpe, Tehnicka enciklopedija. Tom. XI. Zagreb: Leksikografski zavod, 1988.

Filipovic, Dr Budimir. Metodika hidrogeoloskih istraiivanja I. Beograd: Naucna knjiga, 1980.

Fluent Inc. "Fluent Users Guide." wwwjluent.com. 2003.

Hajdin, Georgije. Mehanikajluida, (knjiga I i II). Beograd: Gradjevinski fakultet, 1992.

Jovicic, Vesna. Ventilacija rudnika. Beograd: RGF .

Kupusovic, Tarik. Mehanika jluida. Sarajevo: Gradevinski fakultet Sarajevo, 1998.

Milan Vukovic, Andelko Soro. Dinamika podzemnih voda. Beograd: Institut za vodoprivredu "Jaroslav Cerni", 1984.

Obradovic, Dr Konstantin Voronjec i lng. Nikola. Mehanika jluida. Beograd: Gradevinska lm.jiga, 1960.

Persson, Anders. "How Do We Understand the Coriolis Force?" (Bulletin of the American Meteorological Society) Vol. 79, br. No.7, July 1998 (1998).

Pusic, Milenko. Dinamika podzemnih voda. Beograd, 1996.

R. Gatignol, R. Prod'Homme. Mechanic and Thermodynamic Modeling of Fluid Inle/faces. Singapore: World Scientific Publishing, 200l.

Robert W. Fox, Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1992.

S. Cantrak, c.Crnojevic. Hidraulika. Beograd: DIP Gradevinska knjiga, 1990.

251/269

Sasic, Mane. Transport jluida i evrstih materijala cijevima. Beograd: Naucna knjiga, 1990.

Urumovic, Kosta. Fizikalne osnove dinamike podzemnihi voda Zagreb: RGNF SveuCilista u Zagrebu, 2003.

White, F.M. Viscous Fluid Flow. New York: McGraw Hill, 1985.

White, Frank M. Fluid Mechanics. McGraw-Hill .

William F. Hughes, Johan A. Brighton. Fluid Dynamics. New York: McGraw-Hill, 1999.

252/269

Contentssa.drbiij

1. OSNOVE MEHANIKlt FLUIDA ...................................................... 1

1.1. OSNOVNIPOJMOVIIOBLAST .......................................................... 1

1.1.1. Agregatna stanja (faze) materije .......................................... 4

1.1.2. Dimenziona analiza u mehanicijluida ................................. 5

1.1.3. Fluid kao neprekidna. homogena i izotropna sredina ......... 8

1.1.4.

1.1.5.

Fizicke osobine jluida ........................................................ 8

Hookeov zakon ............... . . ........................................ 19

1.2. KAPILARNOST I POVRSlNSKI NAPON ............................................ 20

1.3. SIFON .......................................................................................... 27

1.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ................................................................ 29

1.4.1.

1.4.2.

1.4.3.

Kondukcija (provoaenje) ... ............ . . ............................ 29

Konvekcija (strujanje) ...... .............. . . ............................ 33

Radijacija (zracenje) .. . .................................. 38

2. STATlKA FLUIDA ........................................................................... 41

2.1. HIDROSTATIKA ............................................................................ 41

21.1.

2.1.2.

21.3.

2.1.4.

21.5.

2.1.6.

2.1.7.

2.1.8.

2J9.

2.1.10.

2.1.11.

2.1.12.

2.1.13.

2.1.14.

2.1.15.

Djelovanje sila najluid .............. .............................. ........ 41

Pritisak ........... ......................................... . . ................... 42

JednaCine mirovanja jluida ............. . . .................. 45

OsnovnajednaCina statikejluida .... ................................. 47

Mirovanje tekuCine u polju zemljine teie ........................... 47

Sila koja djeluje na potopljena tijela (Arhimedesov zakon)50

Graniena povrsina izmeau tekuCina koje se ne mije§aju ... 53

Djelovanje sile pritiska na rayne povrsine ......................... 54

Djelovanje sile pritiska na /..Tive povrsine .......................... 58

Djelovanje sile pritiska na z;dove cijevi .. ............. .

Stab;lnost tijela pri plivanju ....... ......................... .

Pascalov zakon

Hidraullicka presa ...

Relativno mirovanje tekuCine ........ .

Jednolika rotacija tekuCine - "Vortex" ..

253/269

.60

60

61

62

.64

..66

3.

2.2. AEROSTATIKA ............................................................................. 69

2.2.1. Pritisak gasa u stanju mirovarJa ....................................... 69

2.2.2. Uticaj visine stuba gasa na pritisak ................................... 71

2.2.3.

2.2.4.

2.2.5.

Pritisak u atmosferi ............................................................ 72

Sastav atmosfere ................................................................ 73

Coriolisov efekt .................................................................. 74

DINA.lWlKA FLUIDA •.....•.••......•...•.•.•..........................••..••.....•..•.•... 77

3.1. KINEMATIKA FLUIDA ................................................................... 78

3.1.1.

3.1.2.

3.1.3.

3.1.4.

3.1.5.

3.1.6.

3.1.7.

VeliCina kao fimkcija poloiaja i vremena .......................... 80

Brzina i trajektorija .............. .

Strujnica i emisiona linija .... '

................................... 80

.................................. 82

Materijalni izvod ..................... .......................................... 83

Ubrzanje ................................... ......................................... 83

Gaussova teorema ...... ....................................................... 84

Protok .. ............................................ 87

3.2. TERMODINAMICKE OS NOVE STRUJANJA ...................................... 88

3.2.1. OpcajednaCina gasnog stanja ............... ........................... 88

3.2.2. Rad promjene zapremine ................................................... 90

3.2.3.

3.24.

3.2.5.

Prvi zakon termodinamike ................................................ 92

Statisticka teiina i entropija .... .......................................... 93

Matematicki izraz drugog zakona termodinamike ............. 94

3.3.

3.4.

3.5.

REYNOLDSOV BROJ ..................................................................... 95

VRSTE STRUJANJA FLUIDA ........................................................... 97

TEORIJA SLlCNOSTI .................................................................... 100

3.6. ZAKON 0 ODRZANJU MASE: JEDNACINA KONTINUlTETA ............ 102

3.6.1. Odrianje mase u kontrolnoj zapremini ............................ 102

3.6.2. Odriavanje mase u cvornoj tacki ..................................... 103

3.7. ZAKON 0 ODRZANJU ENERGIJE: BERNOULLIJEV A JEDNACINA ... 104

3.8. IMPULS SILE I MOMENT KOLlCINE KRETANJA ............................. 106

3.9. TORRlCELLlJEV ZAKON .............................................................. 109

3.10. OPTICANJE TIJELA ..................................................................... 112

3.11. GRANICNI SLOJ .......................................................................... 112

3.12. GRADlJENT PRITISKA ................................................................. 114

254/269

3.13. KAVITACIJA ............................................................................... 115

1.1. HlDRAULlCKi UDAR ........................................ ·.· ..... ·· ................. 117

3.14. BRZlNA PROSTlRANJA ZVUKA ......................................... ····· ... ··· 120

3.14.1.

3.14.2.

Brzina prostiJanja zvuka kroz flu ide ................................ 120

Machov broj .................................................. ................... 123

3.14.3. Probijanje zvucnog zida ................................................ ·.· 123

3.15. VISKOZNASTRUJANJA ............................................................... 127

3.15.1. Hrapavost ............................................. ............................ 127

3.15.2. BernoullijevajednaCina za cijeli strujni tok viskozne {dnosti 128

3.15.3. Hidraulicki otpori ............................................................ 129

3.16. AERODlNAMICKI OTPORI ........................................................... 135

3.16.2. Ekvivalentni olvor ............... ............................................ 142

3.16.3. Ceoni otpori ...................... ............................................. 143

3.17. KOMPJUTERIZOVANA DINAMlKA FLUIDA (CFD) ....................... 143

3.17.1.

3.17.2.

3.17.3.

3.174.

Navier Stokesove jednaCine ............................................ 144

Preprocesuiranje .... ......................................................... 147

Rjesavanje matematickog modela (Solving) .................... 149

Prikaz i tumacenje rezultata (postprocesuiranje) . .......... 150

4. FLUIDNE MASINE (PUMPE, VENTILATORI, KOMPRESORI)153

4.1. VAZDUSNE MA~;]NE ................................................................... 153

4.1.1. Ventilatori .......... . ....................................... 153

4.1.2. Kompresori ......... . .............................................. 155

4.2. PuMPE ....................................................................................... 161

4.2.1. Zapreminske pumpe ........................................................ 162

4.2.2. Centrifugalne (turbo) pumpe ........................................... 166

4.2.3. Paralelni i serijski rad pumpi ......................................... 174

5. SISTEMI ZA TRANSPORT I DISTRIBUClJU FLUIDA .......... 177

5.1.

5.2.

SERIJSKI CJEVOVOD ................................................................... 179

PARAL~LNI CJEVOVOD .............................................................. 180

5.3. PRORACUN MREZE METODOM HARDy-CROSS .......................... 181

6. STRUJANJA U POROZNIM SREDINAMA ............................... 183

6.1.1. Funkcija toka .............................. . .......................... 186

6.1.2. Piezometarska visina ................ . ........................... 187

255/269

6.1.3. Darcyjev zakon .................................................. ............... 189

6.2. OSOBINE POROZNlH SREDlNA .................................................... 193

6.2.1. Genitet i tropija ................................................................ 193

6.2.2. Saturiranost i zaobijenost ................................................ 194

6.2.3. Poroznost ......................................................................... 195

6.2.4. Permeabilnost .................................................................. 199

6.2.5.

6.2.6.

6.2.7.

6.2.8.

6.2.9.

Turtozitet .......................................................................... 203

Transmibilnost (vodopropustijivost) ............................... 204

Storabilnost ...................................................................... 205

Hidraulicka difuzija ... . .............. 206

Likvifakcija ................. . ..................................... 206

6.3. DINAMlKA FILTRACIONlH STRUJANJA ........................................ 207

6.3.1.

6.3.2.

6.3.3.

6.3.4.

6.3.5.

Modeliranje strujanja podzemnih voda ................... .

Srednja i efektivna brzina poroznih strujanja ........ .

. 209

..210

Diferencijalna jednaCina strujanja podzemnih voda ....... 210

lednaCina stanja ...... . ............................................... 212

lednaCina stanja stisijive tekuCine pri elasticnom reiimu 212

6.3.6. Testiranje akvifera ........................................................... 216

6.4. PARALELAN I SERIJSKI TOK UPOROZNIM SREDINAMA ............... 218

7. VISEFAZNA STRUJANJA FLUIDA I FLUIDIZACIJA ........... 221

7.1. VISEFAZNI TOK .......................................................................... 221

7.2. FLUIDIZACIJA ............................................................................ 222

8. MJERENJA U MEHA..i\l"ICI FLUIDA ............................•....••...••.•. 225

8.1. MJERENJE BRZINE STRUJANJA ................................................... 225

8.1.1. Anemometar s njihalom . ................................................. 225

8.1.2. Anemometri sa lerilima .... ....................................... 226

8.1.3. Termoelektricni anomemtri .............................................. 227

8.1.4. Mjerenje ekvivalentnim otvorom ...................................... 228

8.2. MJERENJE PRITfSKA ................................................................... 228

8.2.1.

8.2.2.

8.2.3.

8.2.4.

Piezometarska cijev ....................................................... 231

lednostavlll U - mallometar .......................................... 232

Inverzlll U - manometar ................................................. 233

U - manomerar sa produsirenim krakom ......................... 234

256/269

8.2.5.

8.2.6.

8.2.7.

8.2.8.

8.2.9.

8.2.10.

8.2.11.

8.2.12.

U-manometar sa dvafluida ............................................. 235

Diferencijalni manometar s kosom cijevi ......................... 235

Bourdonova cijev ............................................................. 237

Mijeh ........... p ...................................... ............................. 237

Membranski manometri ................................................. 237

Elektrokapacitivni manometri .......................... ............... 238

Pittotova cijev .................. . . ...... 238

Diferencijalni minimetar .. . .................................... 240

8.3. MJERENJE PROTOKA .................................................................. 241

8.3.1 .

8.3.2 .

8.3.3.

8.3.4 .

8.3.5.

8.3.6.

8.3.7.

Venturi-metar.

Rotametar ........ .

Propelemi (turbinskl) mjerac protoka .............. .

.. 242

.244

. ..... 245

MjeraCiprotoka sa suienjem ............... . . .............. 245

Vortex mjeraCi protoka ......................... . .246

Ultrazvucni i laserski mjeraCi protoka......................... 247

Magnetni mjeraCi protoka ..... . ... 248

9. LITERATURA ................................................................................ 251

257/269

m T

r d o qJ

A Ae V v OJ

a g

P G

r m"

V' c F Fp J

P h P

crT W E Q q c T Q', ip

if;

Oznake i simboli fizickih velicina

dliZina, ill

vrijeme [s] lnasa [kg]

l'

apsolutna temperatura [K] temperatura [0C] poluprecnik [m] precnik [m] obim[m] ugao [RAD] povrsina poprecnog presjeka [m2

]

ekvivalentni otvor [m2]

zapremina [m3]

brzina [m/s] ugaona brzina [RADls] ubrzanje [m/s2

]

gravitaciono ubrzanje [m/s2]

specificna masa (gustina) [kg/m3]

tezina [N] specificna tdina [N/m3

]

maseni protok [kg/s] zaprerninski protok [m3

/ s] koncentracija [%] sila [N] sila pritiska EN] impuls sile ENs] pritisak, Pa potencijal (pritisak) izrazen u visini stuba tecnosti, m snaga [kW] napon [N/m2

]

napon smicanja [N/m2]

rad, J energija, J toplota, kJ specificna koiicina toplote, J/kg specificpj toplotni kapacitet, kJ/kgK apsolutna (termodinarnicka) temperatura, K toplomi fluks, W specifican toplomi fluks, W/m2

specificna entalpij a, J / kg latentna top Iota, JI kg koeficijent loplotne provodljivosti materijala, W/mK

koeficijent trenja (- ) koeficijent lokalnog otpora (- ) otpor dinamicka viskoznost, Pa s,

259/269

v S e II

kinematska viskoznost, mlls, koeficijent filtracije, rnls perrneabilnost, m3 slkg koeficijent toplotnog zracenja [kJ/mlh°C) eksponent politropske promjene stanja [- ] koeficijent prelaska toplote [- ] geoterrnski stepen [rnI DC) geoterrnski gradijent [°elm] zaprerninski protok preracunat na norrnalne uslove [m3/s, m3/rnin] zaprerninski protok [m3/s, m3/min] molekulama masa [glmol] koeficijent korisnog dejstva [- ]

koeficij ent viskoznosti, viskozitet, kg/ms kinematicki viskozitet, ml/s stisljivost, m2iN modul elasticnosti, Nim2

piezometarska visina, m

260(269

Rijecnik pojrnova Akvjfer - sloj ispod povrsine zemlje iii proslojke u stijenarna iIi cL'Ugim geoloskim formacijama koje imaju takvu poroznost i vodopropusnost da omogucuju iii znacajan protok podzemne vode iIi zafivatanje znacajnih koliCina podzernne vode; Akvitard - zona u kojoj je onemogucen dotok vode iz jednog u drugi akvifer. Sastoje se obieno od slojeva gline iIi drugih neporoznih stijena sa niskoo vrijednosti hidraulickog konduktiviteta. Albedo - izraz moei odbijanja svjetlosti od tijela koje sarno ne svijetli. Anizotropan - Nejednakih osobina. Destilacija - odvajanje razlicitih tecnosti koje kljueaju pri razlicitim temperaturama. Difuzija - spontano kretanje materije, toplote, momenta kolicine kretanja iIi svjetla kao posljedica gradijenta koncentracije. Elasticnost - sposobnost materije da rnijenja svoju gustinu pri promjeni pritiska i/iIi temperature Fluid - materija u tecnom iIi gasovitom stanju. Izotropan - koji ima iste osobine u posmatranom domenu. Kapilarnost - pojava podizanja iIi spustanja tekueine u tankim cijevima (kapilarama), i deforrnacija povrsine fluida na mjestu kontakta sa zidovima posude (stvaranje meniskusa) . Komprimabilnost - vidjeti pod stisIjivost. Kopnene vode - stajace iii tekuce vode na povrsini kopna i podzemne vode na kopnenoj strani od linije od koje se mjeri sirina teritorijalnih voda; Likvifakcija - transforrnacija cvrste matyrije u tecnu usljed gubitka kohezije izazvanog povecanjem pomog pritiska. Meniskus - koneksna iii konkavna gomja povrsina tecnosti ciji je oblik posljedica povrsinskog napona. Permeabilnost - karakteristika provoIj ivosti fluida kroz poroznu sredinu, odnonsno mogucnost migracije fluida kroz sredinu. Izraz sposobnosti poroznih sredina da pod dejstvom odredene razlike pritiska propustaju odgovarajuei protok fluida Podzemne vode - vode ispod povrsine zemlje u zasicenoj zoni i koje su u direktnom kontaktu sa povrsinskim i podzemnim slojevima zemljista; Povrsinske vode - kopnene vode, izuzev podzemnih voda, prelazne i obaine morske vode, izuzev morskih voda koje pripadaju teritorijalnim vodama; StiSljivost - osobina materije da rnijenja svoju gustinu pri promjeni pritiska iJiii temperature Viskoznost (viskozitet) - sila unutrasnjeg trenja koja se javija pri kretanju fluida izmedu pojedinih cestica u pohetu.

261/269

Naucnici koji Sll daii zuacajau doprinos nastanku i razvoju mehanike fluida

287- 212PNE

1623- 1662 Francuski filOlO!

1642- 1727 Engleski matematiDar i fiziDar

1700- 1782 Svicarski matematiDar

: Leonhard Euler : 1707 - 1783

Gotthilf Hagen 1797 - 1884

Jean Louis Poiseuille 1799 - 1869 Francuski psiholog

Henry Darcy 1803 - 1 858 ! Francuski in = enjer

William Froude 1810- 1879 EngleskinautCar

: George Gabriel Stokes 1819- 1903 : EngleskimatematiDar

Evangelista Torricelli 1608-1647

Henri de Pitot 1695-1771

Osborne Reynolds 1842-1912

, Charles Vernon Theis AmeriCki hidrogeolog

Julius Weisbach

: Ludwig Prandtl

Paul Richard Heinrich Blasius 1883-1970

Edgar Buckingharn 1867- 1940 ArnerCki fizi=ar

Ludwig Prandtl 1875 - 1953 Njerna=ki in=enjer

Lewis Moody 1880- 1953 : Arneri=kiin::enjer -------~-------- --------

Theodore von Karrnan 1881 - 1963 MaLJarski in= enjer

263/269

Heinrich Blasius 1883- 1970 NjemaOki nauOnik

I Konstante I Johann Nikuradse 1894- 1979 Nujema:::ki inOenjer

I Atornska masena konstanta mu 1,660539x10-27 kg

Cedric White 1898- Engleski inCJenjer A vogadrov broj I' NA 6,022142xl023 morl

Cyril Colebrook 1910- Engleski inJenjer Boltzmanova konstanta k 1,380650xlO-23 JIK

Stefan-Boltzmanova konstanta CF 5,672xlO-8 W/m2K4

Elektronvolt eV 1,602176x10-19 J

Gravitaciona konstanta G 6,6732x10- 11 Nm2/kg2

Baza prirodnog logaritrna e 2,718281828 ...

Ludolfov broj pi p 3,141592653 ...

Planckova konstanta h 6,626069x10-34 J-s

Brzina svjetla u vakumu c 2,99792458x108 rnIs

Zapremina mola idealnog gas a Va 2,24136xlO-2 m3/mol

Univerzalna gasna konstanta R 8,314472 J/(mol K)

264/269 265/269

Masa:

DuZina:

Energija:

Sila:

Snaga:

Pritisak:

V iskozitet:

Konverzioni faktori

lIb = 0.454 kg

1 inch = 2,54 em = 0,0254 m

1 ft = 12 inch = 0.3048 m

1 BTU = 1055 J

1 cal = 4,184 J

1 kgf = 9,812 N

1 Ib f =4.448 N

1 dyn = 1 g,Cm/S2

1 KS = 736 W

1 Pa = 1 N/m2

1 psi = 1 Ibdinch2

1 atm= 1.01325 x 105 N/m2 = 14,7 psi

1 Bar = 105 N/m2

1 poise = 1 g/( cms)

1 cP = (11100) poise = 0,001 kg/ems)

Kinematski viskozitet:

Zaprenir:.a:

Tempeatura:

1 Stoke = 1 St = 1 cm2/s

1 ftO = 7.481 U,S, gal

1 U,S, gal = 3,785 1

rF = 32 + 1,8°C

rR= L8K

266/269

Bezdimenzioni broj Simbol

Reynoldsov broj NRe

Froudeov broj Nh

W cbcrov broj N we

Machovbroj N.wa

Koeficijent ceonog CD olpora

Kavitncloni Ca (Eulerov) broj

Koeficijent trenja f

Koeficijent Cp

pritiska

Fonmula Numerator Denomi Primjena nator

I' , .dvpif.L Inerciona Visk Uticaj vlskoznih i

sila ozna inerclonih si1a na strujanje sila fluida

I

u2/gD Inerciona

I Gravita Strujanje fluida sa

s11a elona slobodnom pOVTsinorn 5ila

u'pDICT Inerciona Povrsin Strujanje foluida sa si1a ska si1a inerciialnim silama

uk Brzina Brzina Strujanje foluida pn zvuka velikim brzinama

Fd(prli2) Ukupna Inercio Strujanje fluida oko cvrstih ceona na si1a tijela sila

p-p, Pritisak Inercija Kavitacija

pu ,

T,I(pu'12) Smicuca Inereio kro7. z.'ltvorene 5i1a na sila " "

.dpl(pu'12) Sila Inerclo Strujanje kroz zatvorene pritiska na slla provodnike - odredivanje

pada pritiska

267/269

Periodni sistem elemenata

Prefiks Faktor Oznaka

eksa 1018 E

peta 1015 P

te,a 1012 T

giga 109 G

meqa 106 M

kilo 103 k

hekto 102 h

deka 101 e

deci 10-1 d

centi 10-2 c

milli 10-3 m

mikro 10-6 u

nano 10-9 n

piko 10-12 p

femio 10-15 f

ato 10-18 a

268/269 269/269