MJERE CENTRALNE TENDENCIJE - unizd.hr - Mjere centralne... · centralne tendencije i ima smisla ako su rezultati normalno distribuirani ili barem približno normalno. Jedan od načina

MJERE CENTRALNE TENDENCIJEMJERE CENTRALNE TENDENCIJE

Aritmetička sredinaMedijanMod

Geometrijska sredinaGeometrijska sredinaHarmonijska sredina

MJERA CENTRALNE TENDENCIJEili središnja vrijednost

• jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu rezultata u slučajevima kada rezultati p jimaju tendenciju grupiranja oko neke vrijednostivrijednosti.

ARITMETIČKA SREDINAARITMETIČKA SREDINA_

• Označava se X ili M (mean).

• Izračun iz sirovih rezultata: zbroj svih vrijednosti n u skupu rezultata podijeljen s ukupnim brojem rezultata.

M = X / N

Npr. 5, 6, 6, 7, 8M= 32/5 = 6,4

Uvjet za izračunavanje aritmetičke sredine!Uvjet za izračunavanje aritmetičke sredine!

• Nepostojanje ekstremnih rezultata• Ukoliko postoje: izbaciti ih!Ukoliko postoje: izbaciti ih!Npr. 10, 12, 14, 13, 35, 11, 16

ARITMETIČKA SREDINA Kod velikog broja rezultata koji su grupirani u razrede:

M ( f) / N

Kod velikog broja rezultata koji su grupirani u razrede:

M = (m x f) / N, gdje je m‐sredina razreda, a f frekvencija.g j j , j

Npr Date su frekvencije dobi zaposlenika u nekoj većoj organizacijiNpr. Date su frekvencije dobi zaposlenika u nekoj većoj organizacijiInterval f20-29 146

M = (24,5*146)+(34,5*210)+(44,5*151)+(54,5*121)+(64,5*88) / 716 =

30-39 21040-49 151

= 29812 / 716 =

= 41 63650-59 12160-69 88

= 41,636

Zajednička aritmetička sredinaZajednička aritmetička sredina

k i ti k k j i j ili iš t i ki t i č li• se koristi ako smo neku pojavu izmjerili više puta i svaki put izračunali aritmetičku sredinu.

• U tom slučaju ne smijemo zbrojiti sve aritmetičke sredine i podijeliti ih h b čk d k ž š l lnjihovim brojem, jer je aritmetička sredina, kao težište rezultata osjetljiva

na vrijednost i broj rezultata. To znači da bi zajednička aritmetička sredina zbog jedne ekstremne aritmetičke sredine mogla biti značajno pomaknuta,

ć j d j t it tičk di d bi i l b j j ja moguće je da je ta aritmetička sredina dobivena iz malog broja mjerenja, pa ona u ukupnom broju mjerenja ne bi smjela imati značajniji utjecaj.

• zajednička M = NiMi / Ni

Primjer za zajedničku aritmetičku sredinu

Mjerenje N M N*M1 5 20,5 102,52 40 22 8803 17 23,1 392,74 35 22,2 777

Σ= 97 Σ=2152,2

zajed M= 2152 2 / 97 = 22 187zajed. M 2152,2 / 97 22, 187

Medijan (C) = centralna vrijednostMedijan (C) = centralna vrijednost

• vrijednost koja se nalazi točno u sredini u nizu rezultata poredanih po veličini. p p

• Formula za izračunavanje položaja centralne vrijednosti: C= (N + 1) / 2vrijednosti: C= (N + 1) / 2

• Tom formulom možemo izračunati da se medijan nalazi npr. na petom mjestu u nizu i onda očitamo tu vrijednost koja je centralnaonda očitamo tu vrijednost koja je centralna vrijednost ili medijan.

Primjer izračunavanja medijanaPrimjer izračunavanja medijana

Redni broj rezultata Rezultat1. 5 Položaj C= (5+ 1) / 2 = 3

2. 63. 6

C= 6

4. 75. 8

Mod (D) = dominantna vrijednost

vrijednost koja je u nizu mjerenja vrijednost koja je u nizu mjerenja najčešće postignuta, odnosno vrijednost s najvećom frekvencijom.Npr. 5, 6, 6, 7, 8 D= 6

Rezultat Frekvencija

D= 6(f=2)

5 16 27 18 1

Geometrijska sredina (G)(logaritamska sredina)

• definira se kao n‐ti korjen iz umnožaka između N brojeva. jG=N X1X2….Xn

ž č i k j bil k ji b j l ili• ne može se računati ako je bilo koji broj nula ili negativan.

• najčešće se koristi kao mjera prosječne brzine nekih promjenanekih promjena.

Primjer 1Primjer 1k j j 99 i l 2000 ikNeko je mjesto 1995. imalo 2000 stanovnika,

1996. 9000 stanovnika, a 1997. godine 18000 stanovnika.

Koliko je prosječno porasla populacija svake godine?

→ 1996. broj stanovnika 4,5 puta veći nego 1995. → X1 = 4,5→ 1997. broj stanovnika 2 puta veći nego 1996. → X2 = 2

G= 2 25,4 x = 9 = 3.

→ Populacija je u prosjeku rasla 3 puta godišnje→ Populacija je u prosjeku rasla 3 puta godišnje.

Primjer 2Primjer 2.č l ć d d l l d ć čProsječna plaća se od 1997 do 2002 mijenjala na slijedeći način:

1997. g. 3056 kn1998 g 3127 kn1998. g. 3127 kn1999. g. 3300 kn2000. g. 3450 kn2001. g. 3512 kn2002. g. 3789 kn

Koliko je prosječno plaća rasla godišnje?

Primjer 2 ‐ Rješenje

Prosječna plaća se od 1997 do 2002 mijenjala na slijedeći način:Prosječna plaća se od 1997 do 2002 mijenjala na slijedeći način:1997. g. 3056 kn1998. g. 3127 kn 1,0232

1999. g. 3300 kn2000. g. 3450 kn

1,05531,0454

1,017972001. g. 3512 kn2002. g. 3789 kn

1,0789

5 0789,1*01797,1*0454,1*0553,1*0232,1G 5 23975,1 = 1,044=

Provjera - 3056*1,044*1,044*1,044*1,044*1,044= 3790

Harmonijska sredina (H)Harmonijska sredina (H)

• definira se kao recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti p jnumeričke varijable

NH 1

• Koristi se rijetko, uglavnom kada se želi dobiti prosjek nekih odnosa

x1

prosjek nekih odnosa.

Primjer 1Primjer 1Ak d lj t d 200 k ki č j d jAko udaljenost od 200 km neki vozač u jednom smjeru prođe brzinom od 50 km/h, a u povratku brzinom 100 km/h, kolika je prosječna brzina tog vozača tokom cijelog puta?

Dakle, prosječna brzina nije 75 km/h jer time u račun ne bismo uzeli i vrijeme. Naime, da je on jedan sat vozio 100, a drugi sat 50

hkmH /7,6603,02

501

1001

2

km/h, onda bi prosječna brzina bila 75. Ali on je 200 km prošao u jednom smjeru za 4 sata (kada je brzina bila 50 km/h), a u drugomsmjeru za 2 sata (kada je vozio 100 km/h)

5000

smjeru za 2 sata (kada je vozio 100 km/h). To je ukupno 6 sati, a 400 / 6= 66,7

Primjer 2Primjer 2

Da bi se dobio povrat uloženih 1 mil knDa bi se dobio povrat uloženih 1 mil kn putem ulaganjau investicijski projekt A potrebno je 12 mj, ulaganjem u projekt B 6 mj,ulaganjem u projekt B 6 mj, i u projekt C 4 mj.

Ako investitor ima uložen isti iznos, tj, 1 mil kn u sva tri projekta tijekom razdoblja od 12 mj, koliko je u tom slučaju prosječno vrijeme povrata jedinice uloženog kapitala?

Primjer 2 RješenjePrimjer 2. RješenjeH 3/ ( 1/12+1/6+1/4) 6 mjH= 3/ ( 1/12+1/6+1/4)=6 mj

U ovom bi slučaju bilo pogrešno računati aritmetičku sredinu (12+6+4)/3=7,33 mj. Naime, u razdoblju investiranja od 12 mj investicija A rezultirala je s 1 mil kn,Naime, u razdoblju investiranja od 12 mj investicija A rezultirala je s 1 mil kn, investicija B s 2 mil kn, i investicija C s 3 mil kn (ukupno 6 mil kn)).

Pomnožimo li 7,33 mj s 6 mil kn dobivamo znatno više od 36 mj (koliko je trajalo ij l j t i j kt j d (12 j *3) N i k ijvrijeme ulaganja u sva tri projekta zajedno (12mj *3) . Naime, ukupno vrijeme

investiranja podijeljeno rezultirajućim kapitalom daje prosječno vrijeme povrata jedinice uloženog kapitala. Stoga, traženi posjek pomnožen rezultiajućim kapitalom mora dati ukupno vrijeme investiranja. g , p j p j p p j jTom zahtjevu udovoljava harmonijska sredina. U ovom slučaju ona iznosi: 6 mj, a kad pomnožimo dobiveni rezultat dobiveni rezultat s 6 tj. s rezultirajućim kapitalom, dobivamo 36 tj broj mjeseci trajanja svih ulaganja.

Zadaci za vježbuZadaci za vježbu

1 zadatak1. zadatakIzračunati aritmetičku sredinu medijan i mod za slijedeći nizIzračunati aritmetičku sredinu, medijan i mod za slijedeći niz rezultata:

120113117118128129131122116118118

1 Zadatak Rješenje1. Zadatak ‐ Rješenje

M = 1212/10 = 121,2Pol C = (10+1)/2 = 11/2 = 5.5→ C = 119Pol C (10+1)/2 11/2 5.5 → C 119D = 118

2. Zadatak Izračunati aritmetičku sredinu iz grupiranih rezultata:

R d S di d F k ijRazred Sredina razreda (m)

Frekvencija(f)

200 204 202 1200-204 202 1205-209 207 1210-214 212 2215-219 217 3220-224 222 5225-229 227 8230-234 232 2235 239 237 2235-239 237 2240-244 242 1


M=∑(mxf)/N= 5590/25=223,6

3. Zadatak

Neki je anketar u tri različita grada kupovao papir za istraživačke svrhe.Neki je anketar u tri različita grada kupovao papir za istraživačke svrhe. Prosječna cijena pakovanja papira u pojedinom gradu, kao i broj kupljenih pakovanja u svakom od tri grada navedeni su dolje. Koliko je tog anketara prosječno stajalo svako pakovanje papira?p j j p j p p

Grad Cijena pakovanja Broj kupljenih pakovanja papirapakovanja papira

Šibenik 41,00 kn 5

Split 35,00 kn 15

Zadar 37,00 kn 9


M=∑Mi*Ni /N= 1063/29=36.66

MJERE VARIJABILNOSTI

RasponS d j d jSrednje odstupanjeStandardna devijacija

Koeficijent varijabilnostiPoluinterkvartilno raspršenje

Varijabilnost?Varijabilnost?

Kod mjerenja određenih pojava, rezultati često imaju tendenciju grupiranja oko srednje vrijednosti koja bi j g p j j j jtrebala reprezentirati skup rezultata.

k d kAko su vrijednosti nekog niza mjerenja gusto grupirane oko srednje vrijednosti tada ona dobro reprezentira rezultaterezultate.

Kod minimalnog grupiranja rezultata srednja vrijednost g g p j j jslabo reprezentira rezultate.

Varijabilnost?

Npr. ako su rezultati nekog niza mjerenja svi jednaki,onda je taj rezultat središnja vrijednost i ona dobroonda je taj rezultat središnja vrijednost, i ona dobro reprezentira rezultate, a distribucija izgleda ovako:

M

Varijabilnost?

Ako su svi rezultati u mjerenju neke pojave različiti i nepokazuju tendenciju grupiranja onda aritmetička sredina nepokazuju tendenciju grupiranja, onda aritmetička sredina nereprezentira dobro rezultate, a distribucija izgleda ovako:

MM

Varijabilnost?

Mjera centralne tendencije sama po sebi nije d lj t t lt tdovoljan reprezentant rezultata.

Potrebno je znati i kako se rezultati grupiraju oko aritmetičke sredine, odnosno kakva je distribucija. , j j

Na taj način saznajemo i koliko dobro aritmetičkaNa taj način saznajemo i koliko dobro aritmetičkasredina reprezentira rezultate.

Mjere varijabilnostiMjere varijabilnosti

• ukazuju na to koliko rezultati variraju oko srednje vrijednosti.j j

RASPON

R j lik i đ j ć i j j• Raspon je razlika između najvećeg i najmanjeg rezultata u skupini. N jj d t ij li i j j i j• Najjednostavnija, ali i najmanje precizna mjera varijabilnosti.

• Npr: U skupini rezultata 1 34 6 27 33 17 raspon• Npr: U skupini rezultata 1, 34, 6, 27, 33, 17, raspon rezultata je 34‐1=33.

• Nedostaci ove mjere: jedan ekstremni rezultat znatno• Nedostaci ove mjere: jedan ekstremni rezultat znatno povećava raspon, a i obično je veći što je veći broj mjerenja neke pojave.j j p j

SREDNJE ODSTUPANJESREDNJE ODSTUPANJE• prosječna veličina odstupanja pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine bez• prosječna veličina odstupanja pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine, bez

obzira na smjer odstupanja. X‐M / N

• Primjer: 5, 5, 2, 6, 4 M=4,4, N=5, =22 5‐4,4=0,6 5‐4,4=0,6 , , 2‐4,4=2,4 6‐4,4=1,6 4‐4,4=0,4

=5,6Srednje odstupanje = 5, 6 / 5 = 1,12 → Rezultati prosječno odstupaju od aritmetičke sredine za 1,12.

• Srednje odstupanje daje informacije o načinu grupiranja rezultata, ali se ne koristi jer se iz njega ne mogu izvoditi daljnja računanja.

STANDARDNA DEVIJACIJA i VARIJANCASTANDARDNA DEVIJACIJA i VARIJANCA Standardna devijacija je mjera koja pokazuje kako se gusto rezultati nekog mjerenja Standardna devijacija je mjera koja pokazuje kako se gusto rezultati nekog mjerenja

grupiraju oko aritmetičke sredine. Koristi se uz aritmetičku sredinu kao mjeru centralne tendencije i ima smisla ako su rezultati normalno distribuirani ili barem približno normalno.

Jedan od načina da se izbjegnu predznaci odstupanja je da se odstupanja kvadriraju. Ako se kvadrirana odstupanja zbroje i izračuna im se aritmetička sredina, dobija se mjera varijabiliteta koja se zove VARIJANCA To je prosječna sumadobija se mjera varijabiliteta koja se zove VARIJANCA. To je prosječna suma kvadriranih odstupanja. V= (X – M)2 / N – 1

Taj je pojam varijance nemoguće grafički predočiti. Ipak, drugi korijen iz varijance može se prikazati kao potpuno definirani razmak na skali rezultata. To je STANDARDNA DEVIJACIJA (sd ili ) jer se koristi kao standard za mjerenje varijabiliteta rezultatavarijabiliteta rezultata

sd=√ V = sd2

Standardna devijacijaStandardna devijacija

M± 1sd=68,26% rezultataM± 2sd=95,44% rezultataM± 3sd=99,73% rezultata

Izračunavanje standardne devijacije –iz sirovih rezultata

2)( MXSd1N

Sd

2ili

2)(2 N

XXSd

1NSd

PrimjerPrimjerlRezultati: 5, 5, 2, 6, 4

M=4 4 N=5 =22M=4.4, N=5, =22

N – 1 umjesto N

N bi se u nazivniku moglo koristiti kada bi imali sve rezultate iz populacije. p p j

Budući da to najčešće nije slučaj jer raspolažemo samo određenim uzorkom iz populacije, nikad ne računamo pravu aritmetičku sredinu populacije ni standardnu devijaciju populacijedevijaciju populacije.

Korištenjem N – 1 u nazivniku dobija se boljaKorištenjem N 1 u nazivniku dobija se bolja aproksimacija.

Izračunavanje sd iz grupiranih rezultata

Tablica – potrebno:

2)'(2' Nfxfx

i

m = sredina razredaf = frekvencijaX´ = intervalna udaljenost m od

1

NNij

privremene M (sredina razreda s najvećom frekvencijom):1, 2, 3... fX´ = f *X’fX´2 = fX’ *X’N = Σ fi = br rezultata u razrednom intervalu

Izračunavanje sd iz grupiranih rezultata – PrimjerIzračunavanje sd iz grupiranih rezultata Primjer.Date su frekvencije dobi zaposlenika u nekoj većoj organizaciji:

Raz. interval f m X' fx' f x'2

20-29 146 24,5 -1 -146 14620 29 146 24,5 1 146 146

30-39 210 34,5 0 0 0

40 49 151 44 5 1 151 15140-49 151 44,5 1 151 151

50-59 121 54,5 2 242 484

60-69 88 64 5 3 264 79260 69 88 64,5 3 264 792

Σ=716 Σ=511 Σ=1573i=10

715716

25111573

10

99,12715

716

2611211573

10

715

Drugi način računanja M i sd izDrugi način računanja M i sd iz grupiranih rezultata:

fd )*'( iNfi

dMM *

)*(' gdje je:

d'=m M‘

*2)'( fid

d =m-M

m=sredina razreda

2)'()2*)(

( MMiN

fisd

M'=provizorna M (s

najvećom f)

Isti primjer – na 2. način

Raz. interval

f m d’id ' fi

d *' fid *2)'(

20-29 146 24,5 -10 -1 -146 146

30-39 210 34,5 0 0 0 040-49 151 44,5 10 1 151 15150-59 121 54,5 20 2 242 48460-69 88 64,5 30 3 264 792i=10 716 511 1573

6374110*511534 M 21573637,4110*716

5,34 M99,122)5,3464,41()100*

7161573( sd

ZAJEDNIČKA STANDARDNA DEVIJACIJAZAJEDNIČKA STANDARDNA DEVIJACIJA

• Zaj. Sd iz više nezavisnih uzoraka jest korijen sume svih standardnih devijacija.j j

SdnSdSdSdSdSd ....4321 SdnSdSdSdSdSd ....4321

KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI

• Ak t j d ij j d k it tičk di i jih t d d• Ako postoje dvije jednake aritmetičke sredine i njihove standardne devijacije, onda je na temelju s. d. relativno lako zaključiti koji rezultati više variraju. M đ ti k d đ j ličit it tičk di t šk j• Međutim, kada se uspoređuju različite aritmetičke sredine teško je procijeniti samo na temelju s. d. koji su rezultati relativno varijabilniji. N d 10 či i t k i lt t čij j it tičk• Npr. sd=10 ne znači isto za skupinu rezultata čija je aritmetička sredina 2 i 100.

• Da bi se mogla uspoređivati varijabilnost različitih pojava, koristi se KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI k ji k j k liki kKOEFICIJENT VARIJABILNOSTI koji pokazuje koliki postotak vrijednosti aritmetičke sredine iznosi vrijednost standardne devijacije.

KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI

100XSdV X

Koristi kada se želi utvrditi u kojemKoristi kada se želi utvrditi u kojem svojstvu neka grupa varira više, a u k j j ili k j d i iškojem manje ili koja od grupa varira više, a koja manje u istom svojstvu.

Primjer 1Primjer 1N k i i d N 612 i it ik i j j iNa skupini od N= 612 ispitanika, primjenjeni su test numeričkih sposobnosti i test riječnika. Date su M i sd, a zanima nas u kojem od ta dva svojstva ispitanici više variraju. M1= 134, 4 sd1= 6, 06M2= 29 2 sd2= 3 89M2= 29, 2 sd2= 3, 89

V1= 6, 06x100/134,4= 4, 51%V2= 3, 89x100 / 29, 2= 13, 32%

Dakle više variraju u drugom svojstvu!Dakle, više variraju u drugom svojstvu!

Primjer 2Primjer 2

Utvrđeno je da 10‐godišnje djevojčice imaju visinu M=134,9 cm sd=6,43,dj č ia dječaci M=134,4 cm, sd=6,06.

Variraju li u visini više dječaci ili djevojčice?

RješenjeRješenje

/Djevojčice: V= (6.43*100)/134.9=4.77%Dječaci: V= (6.06*100)/124.4=4.51%

Djevojčice nešto više variraju u visini od dječaka.

Zadaci za vježbu

1 zadatak1 zadataklIz seta rezultata:

10 12 15 14 17 16 19 15izračunajte raspon srednje odstupanje i standardnu devijacijuizračunajte raspon, srednje odstupanje i standardnu devijaciju.

1 Zadatak rješenje1. Zadatak ‐ rješenje

Raspon = 7Srednje odstupanje = 2.22Srednje odstupanje 2.22Sd = 2.66

2. Zadatak Iz grupiranih rezultata izračunajte sd:

m f

142 1147 1152 3157 5162 6162 6167 12172 8177 4182 4187 3192 2197 1197 1


Sd=11.9

3 Zadatak3. Zadatak. Iz grupiranih rezultata izračunajte M, sd i koef.

varijabilnosti.

i f

157-159 1

160-162 2

163-165 9

166 168 15166-168 15

169-171 25

172-174 28

175-177 20

178-180 16

181-183 13

184-186 5

187-189 1


M=173.47 sd=5.94sd 5.94koef.varijabilnosti=3,42%

4 zadatak4. zadatak

Date su aritmetičke sredine i standardne devijacije; izračunajte koef.varijabilnosti.devijacije; izračunajte koef.varijabilnosti.

M1=67,2 sd1=5,3M2=83 4 sd2=5 8M2=83,4 sd2=5,8


k. V1= (5,3*100)/67,2=7,89k. V2= (5,8*100)/83,4=6,95k. V2 (5,8 100)/83,4 6,95

Documents

MJERE CENTRALNE TENDENCIJE - unizd.hr - Mjere centralne... · centralne tendencije i ima smisla ako su rezultati normalno distribuirani ili barem približno normalno. Jedan od načina