Upload
vuongnhan
View
222
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Całkowanie numeryczne
Paweł ŻakLaboratoria z przedmiotu:
Wybrane zagadnienia z matematyki
Całkowanie
Matematycznie, przez całkowanie rozumiemy operację odwrotnądo różniczkowania.
Całka
Całka nieoznaczona Całka oznaczona
∫ dxxf )( ∫b
a
dxxf )(
Całkowanie – po co ktoś to wymyślił ?
Całkowanie wbrew pozorom nie jest po to tylko by było co robićna zajęciach z matematyki wyższej.
Operacja znajdowania całki oznaczonej może być wykorzystanado rozwiązywania wielu problemów pojawiających się podczasopisu zagadnień fizycznych.
Całka oznaczona zdefiniowana wg. Riemmana, jest nieskończoną sumą nieskończenie małych.
Całkowanie – po co ktoś to wymyślił ?
Całkowanie wbrew pozorom nie jest po to tylko by było co robićna zajęciach z matematyki wyższej.
Operacja znajdowania całki oznaczonej może być wykorzystanado rozwiązywania wielu problemów pojawiających się podczasopisu zagadnień fizycznych.
Całka oznaczona zdefiniowana wg. Riemmana, jest nieskończoną sumą nieskończenie małych.
? ??? ?
? ?
?
??
Całkowanie – po co ktoś to wymyślił ?
Całkowanie wbrew pozorom nie jest po to tylko by było co robićna zajęciach z matematyki wyższej.
Operacja znajdowania całki oznaczonej może być wykorzystanado rozwiązywania wielu problemów pojawiających się podczasopisu zagadnień fizycznych.
Całka oznaczona zdefiniowana wg. Riemmana, jest nieskończoną sumą nieskończenie małych.
Co to oznacza spróbuję wyjaśnić na następnym slajdzie.
? ??? ?
? ?
?
??
Całkowanie – o co w tym chodzi?
Sens całkowania ukrywa się w samej jego nazwie: całkowanieczyli budowanie całości – sumowanie.
Całka ma bardzo prostą interpretację geometryczną:jest to pole zawarte pomiędzyosią OX, a wykresem funkcji.
Wyobraźmy sobie, że możemydowolnie drobno podzielićodcinek [a,b] na podprzedziały.Wówczas suma iloczynów długości przedziału i wartościfunkcji podcałkowej w tymprzedziale będzie całką, jeżeli dalsze zagęszczanie podziału nie będzie już wpływało na wartość sumy.
Całkowanie – o co w tym chodzi?
W przypadku, gdy znamy analityczne rozwiązanie całki nieoznaczonej:
Możemy je wykorzystać do obliczania wartości całki oznaczonej, według wzoru:
∫ += CxFdxxf )()(
∫ −=b
a
aFbFdxxf )()()(
Całkowanie – Ach, Ci matematycy
Zawsze to samo:
Najpierw wymyślają skomplikowane operacje, a później orientują się, że w większości przypadków po prostu nie da się tego policzyć….
Wtedy starają się sprowadzić problem do dodawania i mnożenia. Takie podejście nazywa się Analizą Numeryczną.
Całkowanie – Ach, Ci matematycy
Zawsze to samo:
Najpierw wymyślają skomplikowane operacje, a później orientują się, że w większości przypadków po prostu nie da się tego policzyć….
Wtedy starają się sprowadzić problem do dodawania i mnożenia. Takie podejście nazywa się Analizą Numeryczną.
W przypadku problemu poszukiwania całki oznaczonej opracowująMetody Całkowania Numerycznego.
Do czego możemy używać całkowania
Całkowanie może być narzędziem służącym do analizy procesów fizycznych:
- praca zdefiniowana jest całką;- mając dystrybucję pewnego parametru możemy znaleźć jego ilość w ośrodku (ziarna, cząstki, gęstość materii, itp. … );- poszukiwanie środków ciężkości figur;- pomiar długości toru ruchu;- ….- obliczanie ciepła wydzielonego podczas przemiany;- rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych;- wiele innych ….
Przykład 1
Po zastosowaniu odpowiedniego odczynnika możliwe było kolorowe wytrawienie próbek materiału. Analiza statystyczna ujawniła wartości średniego promienia ziarna oraz odchylenia standardowego.
Te parametry prowadzą do oszacowania rozkładu wielkości ziaren, N(d).
Całka : jest liczbą ziaren o średnicy z przedziału
[dmin, dmax].
∫max
min
)(d
d
ddN δ
Przykład 2
Mikrokalorymetr zapisuje serie danych, między innymi: ilość ciepła wydzieloną, w kolejnych krokach czasowych procesu.
Przykład 2
Dane te umieszczone w kartezjańskim układzie współrzędnych mogą zostać opisane przez funkcję.
Przykład 2
Linia bazowa – hipotetyczna krzywa opisująca przebieg procesu w sytuacji w której nie następowałyby przemiany fazowe.
Ilość ciepła wydzielonego podczas przemiany może zostać wyznaczona przy pomocy różnicy całek:całki pod krzywą opisującą ilość wygenerowanego ciepła oraz całki pod linią bazową. Obie te całki brane są w przedziale o krańcach wyznaczonych przez punkty przecięcia funkcji podcałkowych.
( ) ( )( )∫ −b
a
dxxfxf 21
( )xf1
( )xf2
ab
Przykład 3
Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne z warunkiem początkowym:
Znaleźć wartość funkcji w punkcie x = 3.
( )
=+−=
1)0(123' 2
yxxxy
)(xy
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +−+=+=3
0
23
0
1231'03 dxxxdxxyyy
Jak całkować dokładnie w programie MAXIMA ?
Rozwiązanie dla przykładu 3
Przykład 4
Metody całkowania numerycznego
Metoda prostokątów
Metoda trapezów
Metoda parabol
Metoda Monte Carlo
Metoda prostokątówMetoda prostokątów polega na przybliżeniu obszaru ograniczonego wykresem funkcji przez prostokąty o podstawie równej długości kroku całkowania i wysokości równej wartości funkcji w przedziale określonym przez krok całkowania.
Wartość funkcji może być brana z punktów brzegowych lub z wnętrza przedziału.
Metoda prostokątów
Formuła obliczeniowa:
( ) ( )∑∫=
∆=N
iii
b
a
xxfdxxf1
Metoda prostokątówMetoda prostokątów dla przykładu 4 będzie wyglądała następująco:
Metoda prostokątów
Zmiana parametru a i dx w poprzednim przykładzie pokazuje, że dokładność metody zależy od:
- wyboru punktu, w którym liczymy wartość funkcji,
- długości kroku całkowania
oraz, że odpowiednio zmniejszając krok całkowania zbliżamy się do rozwiązania dokładnego.
Metoda trapezów
Metoda trapezów polega na przybliżeniu obszaru ograniczonego wykresem funkcji przez trapezy prostokątne o wysokości równej długości kroku całkowania i podstawach o długościach odpowiadających wartościom funkcji w punktach węzłowych na brzegu przedziału.
Metoda trapezów
Formuła obliczeniowa:
( ) ( ) ( )( )∑∫=
∆++∆=N
iiiii
b
a
xxfxfxdxxf12
1
Metoda trapezów
Metoda trapezów zastosowana do przykładu 4 da rozwiązanie dokładne. Tak samo ta metoda zachowa się dla każdego przypadku całkowania funkcji liniowej.
Metoda trapezów
W przypadku całkowania funkcji innych niż liniowa, dokładność metody trapezów zależy od długości kroku całkowania.
sprawdzenie
Metoda parabol (metoda Simpsona)
Metoda parabol polega na przybliżeniu pola pod krzywą polami figur płaskich budowanych w następujący sposób:podobnie jak dla trapezów podstawą jest podprzedział całkowania, bokami są wartości funkcji całkowanej w punktach brzegowych,czwarty bok jest opisany parabolą rozpiętą na wartościach funkcji całkowanej w punkcie środka przedziału całkowania oraz punktów brzegowych.
f(x)
P(x)
P1 P2
Metoda parabol (metoda Simpsona)
Formuła obliczeniowa:
( ) ( ) ( ) ( )( )∑∫=
∆++∆++∆=N
iiiiiii
b
a
xxfxxfxfxdxxf1
214
61
Metoda parabol (metoda Simpsona)
Metoda parabol jest dokładna dla wielomianów stopnia mniejszego lub równego 2.
Metoda parabol (metoda Simpsona)
W przypadku pozostałych funkcji podcałkowych jej dokładność zależy od długości kroku całkowania.
Całkowanie dla danych doświadczalnych
W przypadku danych pochodzących z eksperymentu mamy do czynienia z kilkoma ciągami danych:
{ }{ }{ }
Nii
Nii
Nii
g
f
x
,...,2,1
,...,2,1
,..,2,1
=
=
=najczęściej czas
pierwszy mierzony parametr w momencieodpowiadającym i-tej wartości zmiennej x
drugi mierzony parametr w momencieodpowiadającym i-tej wartości zmiennej x
pozostałe mierzone parametry
Całkowanie dla danych doświadczalnych
Zgromadzone w ten sposób dane mogą być bezpośrednio wykorzystane do wyznaczania przybliżonej wartości całki. Zakładamy wówczas, że:
i stosujemy podane poprzednio wzory.
( )( )ii
ii
xggxff
==