Upload
kacperzet
View
322
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Spis treści
Wstęp 9
Część I. Statyka
Wprowadzenie 12
Elementy rachunku wektorowego 13
1. Układy płaskie w przypadku więzów idealnych 16
1.1. Twierdzenie o trzech siłach 16 1.2. Płaski układ sił zbieżnych 25 1.3. Redukcja dowolnego płaskiego układu sił 29 1.4. Równowaga układu sił równoległych 33 1.5. Układy poddane obciążeniom rozłożonym w sposób ciągły 37 1.6. Dowolny płaski układ sił 43 1.7. Kratownice 55
2. Równowaga płaskiego układu sił z uwzględnieniem sił tarcia 60
3. Przestrzenny układ sił 81
3.1. Wprowadzenie 81 3.2. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 83 3.3. Układ sił zbieżnych pozostających w równowadze 87 3.4. Dowolny przestrzenny układ sił pozostających w równowadze 91 3.5. Środek sił równoległych i środki ciężkości linii, powierzchni
i brył 99
4. Równowaga wiotkich lin ciężkich — zastosowania techniczne 113
Część II. Kinematyka
5. Kinematyka punktu 120
Wprowadzenie 120 5.1. Kinematyka punktu we współrzędnych krzywoliniowych 121 5.2. Kinematyka punktu w układzie kartezjańskim 124 5.3. Kinematyka punktu w układzie naturalnym 137 5.4. Kinematyka punktu we współrzędnych krzywoliniowych — układy
biegunowy, cylindryczny, sferyczny, toroidalny 144
6. Ruch obrotowy bryły wokół stałej osi 154
7. Ruch płaski 160
7.1. Wprowadzenie 160 7.2. Przykłady obliczania prędkości punktów ciała w ruchu
płaskim 163 7.3. Przyspieszenie punktów ciała w ruchu płaskim 174
8. Ruch kulisty bryły 211
8.1. Wprowadzenie 211 8.2. Wyznaczanie prędkości kątowych i przyspieszenia kątowego
za pomocą kątów Eulera 213 8.3. Przykłady obliczania prędkości i przyspieszeń punktów ciała
w ruchu kulistym 215
9. Ruch złożony punktu 226
9.1. Wprowadzenie 226 9.2. Przykłady obliczania prędkości bezwzględnych i przyspieszeń
bezwzględnych w ruchu złożonym punktu 228
Część III. Dynamika
10. Dynamika punktu 240
Wprowadzenie 240 10.1. Zadania proste 243 10.2. Zadania odwrotne — całkowanie równań różniczkowych
ruchu 256 10.3. Ruch krzywoliniowy 285 10.4. Drgania o jednym stopniu swobody — drgania własne 293 10.5. Drgania wymuszone 311 10.6. Praca i moc, potencjał pola sił 326 10.7. Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy oraz
zasada zachowania energii mechanicznej 333
Spis treści
Spis treści
11. Zadania specjalne dynamiki punktu 350
11.1. Dynamika punktu w ruchu względnym 350 11.2. Ruch punktu w polu środkowym 360 11.3. Wybrane zadania z dynamiki punktu o zmiennej
masie 372
12. Geometria mas 385
12.1. Pojęcia podstawowe 385 12.2. Przykłady znajdowania momentów bezwładności
i momentów dewiacji 389
13. Dynamika układu punktów materialnych 400
13.1. Równania ruchu układu punktów materialnych 400 13.2. Zasada ruchu środka masy 407 13.3. Kręt i zasada krętu dla układu punktów
materialnych 420
14. Ruch obrotowy bryły dookoła stałej osi 427
14.1. Metoda kinetostatyki 427 14.2. Reakcje dynamiczne w ruchu obrotowym bryły dookoła
stałej osi 437 14.3. Równania różniczkowe w ruchu obrotowym dookoła
stałej osi 446
15. Ruch płaski ciała sztywnego 460
16. Przybliżona teoria giroskopu 478
17. Elementy mechaniki analitycznej 486
17.1. Zasada prac przygotowanych 486 17.2. Zasada d'Alamberta i równania Lagrange'a I rodzaju 503 17.3. Równania Lagrange'a II rodzaju 510
18. Wyznaczanie położenia równowagi 538
19. Zderzenia 552
Literatura 575
Wstęp
Podręcznik jest przeznaczony dla studentów studiów magisterskich i zawodowych kierunków: mechanika i budowa maszyn, automatyka i robotyka, inżynieria materiałowa i transport. Zapewne będzie też przydatny na innych kierunkach studiów, takich jak budownictwo, wychowanie techniczne, inżynieria środowiska.
Należytemu zrozumieniu i opanowaniu mechaniki ogólnej dobrze służą przykłady zastosowań praktycznych.
Książka składa się z trzech części: statyki, kinematyki i dynamiki. Znajduje się w niej wiele różnorodnych przykładów z mechaniki dobranych w ten sposób, aby Czytelnik mógł samodzielnie rozwiązywać zadania należące do danego działu mechaniki. Rozdziały zaczynają się krótkim wstępem zawierającym podstawowe pojęcia i twierdzenia, po czym następują przykłady z rozwiązaniami. Na końcu każdego rozdziału znajdują się zadania, do rozwiązania których Autor gorąco zachęca Czytelników.
Zadania i przykłady oznaczone gwiazdką studenci studiów zawodowych mogą pominąć.
Zadania, z którymi spotykamy się w statyce, można podzielić na dwie grupy. Do grupy pierwszej zaliczamy zadania związane z równowagą układu sił, do drugiej — z redukcją układu sił.
W obydwu przypadkach przy rozwiązywaniu zadań możemy posługiwać się zarówno metodami analitycznymi, jak i graficznymi. My będziemy stosować m e t o d y analityczne.
Metody g r a f i c z n e są nieocenione przy rozwiązywaniu płaskich układów prętowych (kratownic), jednak z rozwojem metod komputerowych straciły one na znaczeniu. Omówimy stosowanie metod analitycznych związanych z rozpatrywaniem równowagi układu sił. Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania należy:
• zobaczyć, czy mamy do czynienia z układem prostym (jedno ciało sztywne), czy złożonym (kilka ciał powiązanych ze sobą). W tym ostatnim przypadku należy rozbić myślowo układ złożony na układy proste, pamiętając o tym, że siły oddziaływania jednego ciała na drugie występują zawsze dwójkami zerowymi;
• zaznaczyć wszystkie siły czynne działające na dane ciało;
• ustalić więzy (ograniczenia nałożone na ruch) bezpośrednio działające na dane ciało, a następnie oswobodzić ciało od więzów, zastępując odrzucone myślowo więzy siłami reakcji;
• zakwalifikować otrzymany układ sił czynnych i biernych działających na dane ciało do odpowiedniej grupy (układ płaski, przestrzenny, zbieżny, równoległy, dowolny);
Elementy rachunku wektorowego
• określić liczbę niezależnych równań równowagi, które możemy ułożyć dla danego układu;
• rozstrzygnąć, czy mamy do czynienia z układem statycznie wyznaczalnym, czy liczba niewiadomych reakcji nie przekracza liczby równań równowagi;
• wybrać układ współrzędnych tak, aby otrzymać możliwie najprostszy układ równań i ułożyć równania równowagi;
• rozwiązać układ równań ze względu na poszukiwane wielkości, sprawdzić ich miary, przeprowadzić dyskusję błędów.
W wielu zadaniach nie można z góry przewidzieć kierunku reakcji. W tym przypadku należy reakcję o nieznanym kierunku rozłożyć na składowe wzdłuż osi układu współrzędnych. Jeżeli z obliczeń otrzymamy składową ujemną, będzie to oznaczać, że zwrot danej reakcji należy zmienić na przeciwny.
Elementy rachunku wektorowego
Spotykane w naukach fizycznych wielkości są wielkościami wektorowymi lub skalarnymi. Wielkości skalarne określa się przez podanie ich wartości. Przykładami takich wielkości są: masa, praca, moc, energia, czas, potencjał itp. Wielkości wektorowe określa się przez podanie wartości, kierunku i zwrotu. Przykładami wektorów są: siła, moment siły, prędkość, przyspieszenie, pęd, kręt itp.
Wektory reprezentujące wielkości fizyczne oprócz podanych trzech cech powinny mieć określone w danej przestrzeni położenie. Z tego względu definiuje się trzy typy wektorów.
Wektor zaczepiony w dowolnej przestrzeni jest to uporządkowana para punktów (A, B). Geometryczny obraz takiego wektora jest przedstawiony na rys. 1. Wektor oznaczono literą a; można go również oznaczać AB lub (A, B). Przykładami wektora zaczepionego mogą być:
• wektor wodzący ruchu punktu, jego prędkość lub przyspieszenie (rys. 2)
r = r(t)
v = v(t)
a = a(t)
Wprowadzenie
• siła przyłożona do ciała odkształcalnego (rys. 3). Siła przyłożona do sprężyny w punkcie A spowoduje inny skutek (odkształcenie) niż siła zaczepiona w punkcie B.\
Wektor przesuwny lub ślizgający się. Istotnymi cechami takiego wektora są: wartość liczbowa, zwrot i linia działania (nieistotny jest jego punkt przyłożenia) — rys. 4
|Fi | = | F 2 |
Skutek działania na ciało idealnie sztywne siły Fi zaczepionej w punkcie A jest taki sam, jak siły F2 zaczepionej w punkcie B Fi = F2.
Wektor swobodny. Istotnymi cechami takiego wektora są: wartość liczbowa, zwrot i kierunek. Przykładami takicl wektorów mogą być: moment pary sił, prędkość i przyspieszenie punktów bryły w ruchu postępowym (rys. 5). Wektory prędkości punktów A i B są nierozróżnialne
Działania na wektorach Dodawanie wektorów. Suma dwóch wektorów a + b jei
wektorem leżącym na przekątnej równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b. Dodawanie wektorów jest przemienni a+b = b+a oraz obowiązuje zasada superpozycji a+b+d = = e = (a + b)+d = c + d (rys. 6). Jeżeli znamy wspoł-rzędne n wektorów Fi(Fix, Fjy, Fiz) zaczepionych w tym sa
mym punkcie, to ich suma jest wektorem, któ-
rego współrzędne są równe
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem (liczbi (rys. 7) '
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorei (rys. 8) '
Elementy rachunku wektorowego 15
c = a x b
Wektor c jest prostopadły do wektorów a i b, jego wartość
gdzie: i, j,k są wersorami (leżącymi odpowiednio na osiach x, y, z).
Iloczyn mieszany trzech wektorów (a x b) c jest liczbą. Jej wartość jest równa objętości równoleglościanu rozpiętego na tych wektorach (rys. 9). Jeżeli znamy współrzędne wektorów a, b, c, to
RYS. 8
RYS. 9
Jeżeli znamy współrzędne dwóch wektorów a(ax,ay,az) i b(bx,by,bz), to współrzędne wektora c = a x b wyliczamy z wyznacznika
liczbowa jest równa Układ wektorów a, b, c tworzy trójkę prawoskrętną. Za
chodzą związki
1 Układy płaskie w przypadku
więzów idealnych
1.1 Twierdzenie o trzech siłach
Jednym z najprostszych układów płaskich jest układ trzech sił. Przypomnijmy t w i e r d z e n i e o t r z e c h s i łach: warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby układ trzech sił nierównoległych, leżących w jednej płaszczyźnie pozostawał w równowadze jest, aby linie działania tych sił przecinały się w jednym punkcie, a same siły tworzyły trójkąt zamknięty.
PRZYKŁAD 1.1 Wyznaczyć siłę F utrzymującą jednorodną belkę AB = 21 o ciężarze P w położeniu równowagi. Belka opiera się o dwie gładkie płaszczyzny: poziomą i nachyloną pod kątem
ROZWIĄZANIE
Na belkę działają trzy siły [P, RA, RB] pozostające w równowadze. Siły przecinają się w punkcie O. Zatem kierunek reakcji RB (która składa się z siły F i reakcji płaszczyzny NB) przechodzi przez punkt O. Siły tworzą trójkąt KLM. Poprowadzimy odcinek CD równoległy do odcinka AO. Widzimy, że trójkąty OCD i KLM są podobne. Łatwo możemy wyznaczyć boki trójkąta O AC.
Z twierdzenia sinusów otrzymujemy
(rys. 1.1). Belka tworzy z płaszczyzną poziomą kąt
Prostokątna płytka ABCD o bokach AB = a i BC — b jest umocowana za pomocą przegubu w punkcie B i opiera się o gładką ścianę w punkcie A. Płytka obciążona jest w punkcie C siłą P (rys. 1.2). Zaniedbując ciężar płytki, wyznaczyć reakcję ściany RA i przegubu RB.
ROZWIĄZANIE
Na podstawie warunków zadania na ciało działają trzy siły, z których jedna jest znana. Kierunek reakcji ściany jest również znany, jest on prostopadły do ściany. Siły P i RA przecinają
się w punkcie O (rys. 1.2). Na podstawie twierdzenia o trzech siłach przez ten punkt musi przejść również linia działania trzeciej siły RB, o której wiadomo, że jest zaczepiona w punkcie B. Kierunek reakcji RB pokrywa się więc z kierunkiem OB. Układ sił [RA, RB, P] będzie w równowadze, jeżeli dodatkowo siły te będą tworzyć trójkąt zamknięty. Oznaczmy wierzchołki tego trójkąta: L, M, N. Z rysunku widzimy, że trójkąt LMN jest podobny do trójkąta BKO. Stąd wynika, że
i podobnie
Odcinek
Z podobieństwa trójkątów OCD i KLM dostajemy
ze związków w trójkącie LMN dostajemy zaś
Jak widać wartości reakcji nie zależą od kąta a.
Jednorodny pręt AB o długości 21 i ciężarze P jest zamoc wany za pomocą przegubu płaskiego A i utrzymywany w p łożeniu jak na rys. 1.3 poziomą siłą S. Wyznaczyć reakc przegubu A oraz kąt a w położeniu równowagi.
ROZWIĄZANIE
Z twierdzenia o trzech siłach wyznaczamy linię działania r akcji RA. Z trójkąta LMN obliczamy
Belka AB o długości 2/ jest obciążona w środku siłą P, dzia łającą pod kątem fi — 45° w stosunku do poziomu. Wyzna czyć reakcje przegubu A i podpory przesuwnej B. Ciężar belki zaniedbać.
ROZWIĄZANIE
Wszystkie trzy siły przecinają się w punkcie O. Poprowadźr odcinek BD równoległy do OC. Z rysunku 1.4 widzimy,
1.1. Twierdzenie o trzech siłach 19
Ponieważ
zatem
Przewód elektryczny o ciężarze Q jest umocowany na jednym poziomie do dwóch słupów, pozostających w odległości
AB =1. Strzałka zwisu przewodu CD — f. Wyznaczyć siłę rozciągającą przewód w punkcie C oraz reakcje RA i RB
(rys. 1.5).
ROZWIĄZANIE
Przetnijmy myślowo przewód w punkcie C i odrzućmy jego prawą część. Oddziaływanie tej części na część lewą zastępujemy silą Re, której kierunek jest poziomy. Na lewą część przewodu działa jeszcze dodatkowo silą RĄ O nieznanym kierunku i siła pionowa Przyjmujemy, że siła
działa wzdłuż linii odległej od punktu A o odcinek
(rys. 1.5). Linie działania wszystkich trzech sił powinny przeciąć się w punkcie O. Zamknięty trójkąt sił jest podobny do
trójkąta AOE. Stąd możemy napisać związek
1. Układy płaskie w przypadku więzów idealnych
Jeżeli strzałka zwisu / jest bardzo mała, to siła Rc osiąga bardzo duże wartości. Wartość reakcji
Ze względu na symetrię całego układu RA = RB
Nieważka belka AB o długości / opiera się jednym końcem A o gładką pionową ścianę, drugim o występ C. Koniec belki obciążono pionową siłą P. Nachylenie belki w stosunku do poziomu równe jest a. Wyznaczyć długość odcinka AC oraz wartości reakcji RA i Rc w położeniu równowagi (rys. 1.6).
ROZWIĄZANIE
Kierunki reakcji RA i Rc w tym przypadku są znane. Przy zadanym kącie a odległość AC musi być więc tak dobrana, aby linie działania wszystkich sił przecięły się w punkcie O.
Z trójkąta sił dostajemy
Z rysunku mamy
Wyznaczyć reakcje przegubów A i B ramy, pokazanej na rys. 1.7, obciążonej poziomą siłą P. Ciężar ramy zaniedbujemy. Rama składa się z dwóch symetrycznych części złączonych płaskim przegubem C.
ROZWIĄZANIE
W zadaniu tym mamy wyznaczyć cztery niewiadome: wartości reakcji przegubów A i B oraz ich kierunki. Zadanie to różni się w sposób zasadniczy od dotychczas rozwiązywanych, gdyż mamy do czynienia już nie z jednym ciałem sztywnym, lecz z układem dwóch ciał połączonych w tym przypadku płaskim przegubem C. W tego rodzaju zagadnieniach należy układ rozbić na dwa układy proste. Weźmy pod uwagę układ I. Jest on w równowadze i działają na niego dwie siły: jedna przyłożona w punkcie B i druga w punkcie C. Dwie siły są w równowadze wtedy i tylko wtedy, gdy tworzą dwójkę zerową. Zatem RB i Rc muszą działać wzdłuż prostej, wyznaczonej przez punkty B i C. Układ I oddziałuje na układ II siłą — Rc. Przechodząc do układu II, możemy już wyznaczyć kierunek reakcji RA i z trójkąta sił obliczyć
Dwa sześciany o ciężarach P i Q spoczywają na gładkich równiach nachylonych w stosunku do poziomu pod kątami a i /3 (rys. 1.8). Znaleźć zależność między siłami P i Q w położeniu równowagi, naciski sześcianów na równie oraz siłę oddziaływania jednego sześcianu na drugi.
'Przykłady oznaczone gwiazdką studenci studiów zawodowych mogą pominąć.
1. Układy płaskie w przypadku więzów idealnych
ROZWIĄZANIE
W tym przypadku mamy również do czynienia z układem złożonym. Na układ I działają trzy siły i jego równowaga będzie możliwa, jeżeli ich linie działania przetną się w punkcie 0\. Podobnie dla układu II linie działania RB, Q, Rc muszą się przeciąć w punkcie O2 . Zbudujemy dwa zamknięte trójkąty sił. Po zastosowaniu twierdzenia sinusów z pierwszego trójkąta dostaniemy
Z drugiego trójkąta otrzymujemy Rc = Q sin . Jeżeli porównamy stronami otrzymane związki, otrzymamy zależ-ność między siłami P i Q
Podobnie możemy obliczyć
Belka O A jest umocowana przegubem O i przywiązana za pomocą linki BC do ściany. Belkę obciążono w punkcie A ciężarem P. Zaniedbując ciężar belki, wyznaczyć wartość reakcji przegubu O oraz kąt , który tworzy ona z osią belki. Wyznaczyć również silę w lince BC, jeżeli jest ona prostopadła do osi belki; przyjąć OB = AB.
ROZWIĄZANIE
Kierunek reakcji Ro powinien przechodzić przez punkt D (rys. 1.9). Oznaczając długość belki przez / możemy napisać związek
Ze wzoru Carnota dla trójkąta O AD mamy
czyli a zatem trójkąt ODA jest równoramienny i
Z trójkąta sił mamy:
Jednorodny pręt o długości 2/ i ciężarze P opiera się końcen B o gładką pionową ścianę. W punkcie A opiera się o występ znajdujący się w odległości a od ściany. Wyznaczyć reakcj( w punktach A i B oraz wartość kąta a w położeniu równowag irys. 1.10).
ROZWIĄZANIE
PRZYKŁAD 1.10
RYS. 1.10
RYS. 1.11
W tym przypadku znamy kierunki działania wszystkich trzech sił RA, RB, P. Kierunki działania tych sił powinny przecinać się w jednym punkcie, zatem położenie pręta jak na rys. 1.10 nie może być położeniem równowagi. Narysujmy pręt w położeniu równowagi (rys. 1.11). Na podstawie tego rysunku możemy napisać trzy związki
Po podstawieniu zależności (1) i (3) do związku (2) otrzymamy
Z trójkąta sił dostajemy
Jednorodny gładki pręt AD o długości 2/ i ciężarze P znajduje się w półsferycznej czaszy o promieniu r. Wyznaczyć kąt ę oraz znaleźć reakcje RA i RB w położeniu równowagi irys. 1.12).
ROZWIĄZANIE
W zadaniu tym, podobnie jak w poprzednim, znamy kierunki działania sił RA, RB, P. Kierunki te powinny przeciąć się w jednym punkcie. Na rysunku 1.12 oznaczono ten punkt przez E. Na podstawie rysunku możemy napisać następujące zależności geometryczne
Jednorodny pręt o długości 2/ i ciężarze P opiera się końcem B o gładką pionową ścianę. W punkcie A opiera się o występ, znajdujący się w odległości a od ściany. Wyznaczyć reakcje w punktach A i B oraz wartość kąta a w położeniu równowagi irys. 1.10).
ROZWIĄZANIE
W tym przypadku znamy kierunki działania wszystkich trzech sił RĄ, RB, P. Kierunki działania tych sił powinny przecinać się w jednym punkcie, zatem położenie pręta jak na rys. 1.10 nie może być położeniem równowagi. Narysujmy pręt w położeniu równowagi (rys. 1.11). Na podstawie tego rysunku możemy napisać trzy związki
Po podstawieniu zależności (1) i (3) do związku (2) otrzymamy
stąd
Z trójkąta sił dostajemy
Jednorodny gładki pręt AD o długości 2/ i ciężarze P znajduje się w półsferycznej czaszy o promieniu r. Wyznaczyć kąt oraz znaleźć reakcje RA i RB w położeniu równowagi ( rys. 1.12).
ROZWIĄZANIE
W zadaniu tym, podobnie jak w poprzednim, znamy kierunki działania sił RA, RB, P. Kierunki te powinny przeciąć się w jednym punkcie. Na rysunku 1.12 oznaczono ten punkt przez E. Na podstawie rysunku możemy napisać następujące zależności geometryczne
równość (2) wynika z twierdzenia sinusów, stąd mamy
Z rysunku widać, że
Po podstawieniu wzorów (3) i (1) do równania (4) otrzymamy
a po przekształceniu
Ponieważ ze względów fizycznych kąt więc
a zatem możemy na podstawie zależności (5) napisać równanie
stąd
Ponieważ kąt jest kątem ostrym, drugi pierwiastek równania (6) nie może być brany pod uwagę.
Korzystając z twierdzenia sinusów, z trójkąta sił wyznaczamy poszukiwane reakcje
Na zakończenie podamy kilka uwag m e t o d y c z n y c h :
1. Jeżeli mamy do czynienia z układami prostymi, to podanymi metodami możemy rozwiązywać zadania, w których znamy kierunki działania dwóch sił oraz wartość jednej z nich. Na podstawie twierdzenia o trzech siłach wyznaczamy kierunek działania trzeciej siły (rysunek zasadniczy). Wykreślamy na boku zamknięty trójkąt sił, w którym znamy tylko jeden bok. Na rysunku zasadniczym wyszukujemy trójkąt podobny, którego boki (lub wzajemne stosunki boków) dadzą się wyznaczyć. Korzystając z podobieństwa tych dwóch trójkątów, wyznaczamy
1.2. Płaski układ sił zbieżnych 25
poszukiwane wartości sił. Tak postępowano w przykładach 1.1 -- 1.5. Czasami wyszukanie na rysunku zasadniczym trójkąta podobnego jest kłopotliwe (lub trudno wyznaczyć wzajemne stosunki jego boków), wtedy możemy wyznaczyć kąty między poszczególnymi siłami, a następnie stosując twierdzenie sinusów, obliczyć wartości sił (przykład 1.9). 2. Jeżeli mamy do czynienia z układem złożonym, należy go rozbić na układy proste (w miejscu, gdzie ciała sztywne łączone za pomocą więzów), a następnie rozrysować te układy i z każdym z nich postąpić tak, jak to podano w p. 1. Wygodniej jest zacząć od układu łatwiejszego (porównaj przykład 1.7 i 1.8). 3. Jeżeli mamy do czynienia z określeniem położenia równowagi to wówczas kierunki działania wszystkich trzech sił a znane. Należy więc w pierwszej kolejności ustawić ciało, którego równowagę rozpatrujemy, w takim położeniu, by równowaga mogła zachodzić, tzn. kierunki działania sił przecięły jednym punkcie (wykonać rysunek zasadniczy), a następnie postępować tak, jak to podano w p. 1. Ten sposób zilustrowano w przykładach 1.6, 1.10 i 1.11.
Dla
1.2 Płaski układ sił zbieżnych
dowolnej liczby sił zbieżnych na płaszczyźnie mamy dwa niezalezne równania równowagi
Lub
Punkty A i B są wybrane dowolnie, lecz nie mogą leżeć na jednej prostej z punktem 0, w którym przecinają się linie działania wszystkich sił. Do równań tych wchodzą znane siły
czynne oraz nieznane reakcje. Aby zadanie mogło być statycz-nie wyznaczalne, liczba niewiadomych nie może przekraczać
dwóch. Gdy siła P i punkt A leżą na płaszczyźnie, wówczas mo
tt charakteryzujemy wielkością liczbową MA(P) = ±Ph,
gdzie h jest ramieniem siły (odległością punktu A od linii działania siły P). Znak „+" przyjmujemy, gdy siła wywołuje obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Aby wyciągnąć z ziemi pal, robotnik przywiązał do niego linę w punkcie A. Po zamocowaniu drugiego końca liny B przywiązał do niej drugą linę w punkcie C, zaczepioną w punkcie D, po czym uchwycił rękami linę CD w punkcie E i zawisł w powietrzu; część AC liny zajęła wtedy położenie pionowe, a część CE — poziome.
Części CB i DE utworzyły jednakowe kąty a, jedna z pionem, druga z poziomem (rys. 1.13). Wyznaczyć siłę w linie AC, jeżeli ciężar robotnika jest równy P.
ROZWIĄZANIE
Przecinając linki dostaniemy jeden układ sił zbieżnych w punkcie E, drugi w punkcie C. Korzystając z warunków równowagi (1.1), dostaniemy dla układu I następujące równania
stąd
Podobnie dla układu II otrzymamy
stąd
Na pionowej półkuli jest umieszczona kulka A, która może się poruszać tylko po okręgu. Kulka jest utrzymywana w równowadze za pomocą nici ABC. Na końcu nici uwieszono ciężar P. Ciężar kulki równy jest Q. Znaleźć kąt a, jaki tworzy odcinek O A z odcinkiem OB w położeniu równowagi, oraz nacisk kulki na powierzchnię półkuli. Średnicę bloku B zaniedbać.
więc
Z rysunku mamy
Jednorodny pręt AB o ciężarze P końcem A jest zamocowany na przegubie płaskim, koniec B zaś jest zawieszony na lince BC (rys. 1.15). Znając kąty a i 8 znaleźć siłę T w lince BC.
ROZWIĄZANIE
Warunek równowagi pręta w postaci (1.2) względem punktu .4 ma postać
Ponieważ kąt a jest kątem mniejszym niż n, przyjęliśmy tylko dodatni pierwiastek równania kwadratowego.
Z drugiego równania równowagi można wyznaczyć nacisk na półkulę
stąd
Z pierwszego równania można obliczyć kąt Po za
ROZWIĄZANIE
Przyjmujemy osi układu: x — styczna do półokręgu w punkcie A,y — normalna (rys. 1.14). Warunki równowagi kulki A przyjmą postać
mienieniu cos a zgodnie ze wzorem dostaiemy równanie
Dwie kulki Ai B o ciężarach P\ i P2 znajdują się w położeniu równowagi wewnątrz gładkiej, sferycznej czaszy o promieniu R. Kulki są połączone nieważkim prętem o długości AB = 21. Znaleźć naciski NA i NB kulek na czaszę, siłę S w pręcie AB oraz kąt a, jaki tworzy pręt AB z poziomem w położeniu równowagi (rys. 1.16).
ROZWIĄZANIE
Przecinając myślowo pręt AB, rozdzielamy układ na dwa układy proste. Siły działające na punkty A i B zaznaczono na rys. 1.16. Korzystając z warunków równowagi dla punktów A i fi w postaci (1.1), dostajemy następujące cztery równania
Z równań (1) i (2) otrzymamy
a z równań (3) i (4)
Stad mamy związek
Po rozpisaniu otrzymamy
Po podzieleniu ostatniej równości przez cos a cos /3 i zgrupowaniu odpowiednich wyrażeń dostajemy
Na podstawie rys. 1.16 możemy napisać
zatem
Z równań (1)--(4) mamy
Dwa jednorodne walce A i B, każdy o ciężarze P zawieszono w punkcie O na nieważkich niciach. Między walcami A i B położono walec C o ciężarze Q. Znaleźć zależność między kątami a i 6 w położeniu równowagi (rys. 1.17).
ROZWIĄZANIE
Na walce A i C działają siły przedstawione na rys. 1.18. Z warunków równowagi walca C mamy
a z warunków równowagi walca A otrzymujemy dwa równania
Wyliczamy
Z drugiego równania dostajemy więc
Zatem
1.3 Redukcja dowolnego płaskiego układu sił
Zredukować dany układ n sił działających na dane ciało sztywne do wybranego bieguna O oznacza zastąpić układ n sił układem możliwie najprostszym, przyłożonym w punkcie O, równoważnym danemu układowi n sił. Układ równoważny rozumiemy jako układ wywołujący ten sam skutek.
Z mechaniki wiadomo, że dowolny płaski układ sił redukuje się do wektora głównego Wg oraz momentu głównego Mg.
Współrzędne wektora głównego obliczamy ze wzorów
Na podstawie podanych wzorów mamy
PRZYKŁAD 1.17 Zadany układ czterech sił P, zaczepionych w punktach A, zredukować do bieguna 0(2, 1). Współrzędne sił podano w N, a współrzędne punktów przyłożenia w m
a moment główny z zależności
gdzie: Pjx, Piy — współrzędne i-tej siły układu redukowanego, Xi, yi — współrzędne przyłożenia tej siły, xo,yo — współrzędne wybranego bieguna redukcji O, M — moment skupiony działający na dane ciało.
Jak widzimy z tych wzorów, wektor główny nie zależy od wyboru bieguna redukcji O, będziemy go nazywać niezmiennikiem redukcji. Moment główny jest funkcją (liniową) xo, yo, czyli ze zmianą bieguna jego wartość się zmienia. Punkt zaczepienia momentu skupionego M jest nieistotny, bo moment jako wynik działania pary sił jest wektorem swobodnym; parę sił możemy dowolnie przemieszczać po płaszczyźnie.
W celu lepszego zrozumienia rozwiązania przedstawiono je na rys. 1.19. Układ czterech sił został tu zastąpiony wekto-rem głównym o współrzędnych 3 i 6 oraz momentem głów-nym o wartości 9. Okazuje się, że gdy wektor główny i mo-
ment główny są różne od zera, wówczas można układ zreduko-wać do wypadkowej. Wiadomo, że wypadkowa jest to jedna siła równoważna danemu układowi sił. Wypadkowa W bę-
dzie równa wektorowi głównemu, lecz jej punkt zaczepienia musi leżeć na odpowiedniej prostej. Wyznaczymy równanie
tej prostej. Zredukujemy jeszcze raz cały układ sił do bie-guna O1 o współrzędnych (x, y). Oczywiście możemy do tego bieguna zredukować równoważny układ Wg, Mg. Otrzymamy
Wg1 = Wg oraz Mg1 = Mg - Wgy{x - x0) + Wgx(y - y0). Jeżeli współrzędne (x, y) dobierzemy tak, że Mg1 = 0, to wektor główny będzie wypadkową. Stąd otrzymamy równanie prostej, wzdłuż której działa wypadkowa
Dla naszego przykładu mamy 9 — 6(x - 2) + 3(y - 1) = 0 . Wypadkowa układu sił leży na prostej y = 2x — 6.
Zredukować dany układ do początku układu współrzędnych, a nastepnie do wypadkowej; moment M — 6 jest przyłożony w punkcie A4 (2.2).
PRZYKŁAD 1.18
ROZWIĄZANIE
współrzędne wektora głównego wynoszą
a moment główny jest równy
Równanie linii działania wypadkowej wyznaczamy na podstawie równania
lub w postaci kierunkowej y = -8x + 24. Na podstawie wykonanej redukcji możemy wyznaczyć
warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił. Układ taki pozostanie w równowadze, jeżeli zarówno wektor główny, jak i moment główny będą równe zeru. Stąd dostajemy trzy niezależne warunki równowagi
Podane równania równowagi możemy zapisać w innej równoważnej postaci
z zastrzeżeniem, że punkty A, B, C nie leżą na jednej prostej, lub w postaci
gdzie ostatni warunek oznacza sumę rzutów sił na dowolną prostą /, która nie jest prostopadła do prostej wyznaczonej przez punkty A i B.
Dla układu sił równoległych jako przypadku szczególnego możemy obrać układ współrzędnych tak, aby siły były równoległe do osi y. Wówczas otrzymamy dwa niezależne warunki równowagi w postaci
PRZYKŁAD 1.20
RYS. 1.21
i na podstawie kąta wewnętrznego trójkąta mam; poprzedniego związku
Blok A jest w równowadze pod działaniem reakcji RA
oraz sił w lince działających wzdłuż AC i AB. Ponieważ sił) w lince są te same, więc prosta AK (linia działania RA) jest dwusieczną kąta CAB. Na podstawie własności dwusiecznj
Ponieważ
Na układ działają trzy siły P, Q oraz reakcja RA. Zatem reakcja RA jest pionowa i równa P+Q. Z warunku momentów względem A dostajemy
Dwie kulki o ciężarach P i Q złączono nieważkim prętem 3C. W punktach B i C przymocowano sznur BAC o długości równej /, który przerzucono przez blok A. Znaleźć AB i AC w położeniu równowagi (rys. 1.21).
Po podzieleniu stronami przez 2y cos a otrzymamy
gdzie h — a cos a — 2b sin a. to wstawieniu do równania dostajemy
Na pręt działają siły P1, P2 i napięcie nici S, przy czym Pi = = y2b, P2 — y2a, gdzie y — ciężar przypadający na jednostkę długości pręta.
Z warunku równowagi momentów względem punktu B dostajemy
Jednorodny pręt zgięty w punkcie A pod kątem prostym jest zawieszony na nici BD. Dane: AB — 2b, AC = 2a, a > b rys. 1.20).
Znaleźć kąt a w położeniu równowagi.
1.4 Równowaga układu sił równoległych
ROZWIĄZANIE
Pozioma belka przegubowa ACB ma koniec A zamocowań; w ścianie, a koniec B oparty na przesuwnej podporze; w punk-cie C znajduje się przegub. Belka jest obciążona dźwigiem podnoszącym ciężar P = 1 kN. Przy wysunięciu ramienia dźwigu na odległość KL = 4 m, środek ciężkości dźwigi leży na pionowej CD. Ciężar dźwigu wynosi Q = 5 kN Pomijając ciężar belki, wyznaczyć reakcje jej podpór. Rami dźwigu leży w jednej płaszczyźnie z belką (rys. 1.23).
Po podstawieniu P3, = 4pa, PĄ = 2pb i podzieleniu stronami przez cos a wyznaczamy
Dwa pręty AB i OC, których ciężar jednostki długości wynosi 2p są połączone prostopadle w punkcie C. W punktach A i B zawieszono ciężarki P1 i P2 (P2 > P1). Wyznaczyć kąt a w położeniu równowagi (rys. 1.22).
ROZWIĄZANIE
Z warunku momentów względem punktu O otrzymamy rówj nanie
zatem
ROZWIĄZANIE
W tym przypadku rozbijamy układ złożony na trzy układy proste (rys. 1.24). W pierwszej kolejności rozpatrzymy równowagę dźwigu. Dostajemy dwa równania równowagi w postaci
Stąd mamy
Belka BC będzie w równowadze, jeżeli reakcja Rc będzie pionowa. Stąd dostajemy
Warunki równowagi belki AC mają postać
Siad
stąd
W celu zmierzenia dużych sił Q zbudowano układ dwóch różnoramiennych dźwigni ABC i EDF, połączonych ze sobą łącznikiem CD. W punktach B i E znajdują się nieruchome podpory. Po dźwigni EDF może przesuwać się ciężar P. Siła Q przyłożona w punkcie A jest równoważona przez ten ciężar, umieszczony w odległości / od punktu D. O jaką odległość x należy przesunąć ciężar P, jeżeli do siły Q dodamy siłę Q1, (rys. 1.25)?
ROZWIĄZANIE
Rozdzielmy myślowo pręt CD. Otrzymamy w ten sposób dwa układy proste. Dla pierwszego układu z warunku równowag w postaci sumy momentów względem punktu B uzyskujemy
a siłę w pręcie CD równą S = (Q + Q\)-. Podobnie z wa-
b runku momentów względem punktu E dla układu drugiego dostajemy
Z porównania tych związków otrzymamy
Z warunków zadania wynika, że siła Q była zrównov żona siłą P przyłożoną w odległości / od punktu D. Wted
dostajemy zależność . Po uwzględnieniu ostat-niego związku możemy napisać