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Minicurso – Colóquio de Matemática da Região Norte 2014
Comitê Cient́ıfico
Flávia Morgana de O. Jacinto (UFAM) - Coordenadora
Hugo Alex Carneiro Diniz (UFOPA)
Jorge Herbert Soares de Lira (UFC)
Marcelo Miranda Viana da Silva (IMPA-SBM)
Renato de Azevedo Tribuzy (UFAM)
Rodrigo Bissacot Proença (USP)
Rúbia Gonçalves Nascimento (UFPA)
http://www.loja.sbm.org.br/
Sociedade Brasileira de Matemática
2014
Introdução à
Dinâmica Holomorfa
Sylvain Bonnot [email protected]
Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estat́ıstica
Universidade de São Paulo
Sociedade Brasileira de Matemática
Rio de Janeiro - RJ, Brasil 2014
Coordenação Editorial:
Flávia Morgana de O. Jacinto
Editora: SBM
Impresso na Gráfica:
Capa: ? ? ?
Patroćınio: Superintendência da Zona Franca de Manaus (SUFRAMA)
Copyright c⃝2014 by Autores Direitos reservados, 2014 pela SBM.
Catalogação elaborada pela Biblioteca ??? Bibliotec̈ı¿12ria: ????
Bonnot, Sylvain Introdução à dinâmica holomorfa – Rio de Janeiro, RJ : SBM, 2014, ?? p., 20.5 cm - (Minicurso Colóquio CO 2014; v. ??)
ISBN ????-????
1. Dinâmica 2. Funções holomorfas I. Bonnot, Sylvain. , III. Introdução à dinâmica holomorfa. IV. Série
CDD - 51
Dedico estas notas ao Sucrilho e ao Costelinha
Agradecimentos
À minha famı́lia, e à Luciana. À FAPESP pela bolsa (11/2650-4)
Conteúdo
Prefácio 11
1 Parte I: Preliminares 13 1.1 Funções holomorfas: um resumo . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 O ponto no infinito: a esfera de Riemann . . . . . . . . . . . 14 1.3 Iteração em C: uma história curta . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Dinâmica local 23 2.1 Pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Atratores e super-atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Super-atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Pontos neutros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Pontos parabólicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Ponto neutro irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Dinâmica global 37 3.1 Conjuntos de Julia e de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 A familia quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Conjuntos de Julia e discos apertados . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 Quebra-cabeça de Yoccoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 O conjunto de Mandelbrot M 45 4.1 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Topologia deM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Um modelo paraM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Dinâmica em C2 53 5.1 Funções holomorfas em Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Possibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9
10
5.3 Particularidades da dimensão 2: domı́nios de Fatou-Bieberbach 55 5.4 Aplicações de Hénon complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1 Propriedades básicas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.4.2 Conjuntos de Julia para aplicações de Hénon . . . . . 59 5.4.3 Coordenada de Böttcher . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4.4 Modelos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 Software 67
Prefácio
Essas notas foram realizadas para meu mini-curso no III Colóquio de Matemática da Região Norte. O objetivo é dar uma introdução rápida na área da dinâmica holomorfa, com ênfase em exemplos expĺıcitos. Para isso, muitas ilustrações foram inclúıdas: a maioria dos objetos da dinâmica ho- lomorfa, como os conjuntos de Julia, ou o conjunto de Mandelbrot possuem uma beleza natural revelada somente nos anos 80 com o uso dos computa- dores. Nessas notas, me concentrei principalmente nos aspectos topológicos da teoria, mas muitas outras abordagens são posśıveis.
São Paulo, 10/09/2014.
Sylvain Bonnot
11
Caṕıtulo 1
Parte I: Preliminares
1.1 Funções holomorfas: um resumo
Seja U ⊂ C um conjunto aberto. Vamos dizer que uma função f : U → C é holomorfa se para cada ponto z0 ∈ U existe uma bola Bϵ(z0) ⊂ U de raio ϵ > 0 tal que f nessa bola pode ser escrita como uma série convergente de potências:
f(z) = ∞∑
n=0
an(z − z0)n para todo z ∈ Bϵ(z0). (1.1.1)
Equações de Cauchy-Riemann Podemos também escrever z = x+iy e ver f como uma função f(x, y) de duas variáveis reais. Da mesma maneira, f(x, y) pode ser escrita como f(x, y) = u(x, y)+iv(x, y). Com essa notação, podemos demonstrar que f é holomorfa se e somente se u e v são de classe C1 e
∂u
∂x = ∂v
∂y ,
∂u
∂y = −∂v
∂x . (1.1.2)
Essas equações são chamadas as equações de Cauchy-Riemann.
E comum introduzir dois operadores diferenciais
∂
∂z :=
1
2
( ∂
∂x − i ∂
∂y
) e também
∂
∂z̄ :=
1
2
( ∂
∂x + i
∂
∂y
) . (1.1.3)
Essa notação foi escolhida para satisfazer por exemplo ∂∂z (z) = 1. Assim
podemos reescrever as equações de Cauchy-Riemann como ∂f∂z̄ = 0.
Formula integral de Cauchy Existe uma outra caracterização posśıvel da holomorficidade. A função f : U → C é holomorfa se f é de classe C1 e, para cada bola Bϵ(z0) ⊂ U temos:
f(z0) = 1
2πi
∫ ∂Bϵ(z0)
f(z)
z − z0 dz. (1.1.4)
Teorema 1.1 (Teorema de Liouville). Uma função f : C → C holomorfa e limitada é constante.
Teorema 1.2 (Teorema da identidade). Sejam f, g : U → C duas funções holomorfas num conjunto aberto e conexo U ⊂ C, tais que f(z) = g(z) para todo z num aberto não vazio V ⊂ U , então f = g.
Teorema 1.3 (Teorema de extensão de Riemann). Seja f : Bϵ(z0)−{z0} → C uma função holomorfa limitada. Então f tem uma extensão holomorfa f : Bϵ(z0)→ C.
Teorema 1.4 (Teorema da aplicação de Riemann). Seja U ⊂ C um con- junto aberto, simplesmente conexo, distinto de C. Então existe uma aplicação biholomorfa f : U → B1(0).
Figura 1.1: Aplicação de Riemann para um poĺıgono
1.2 O ponto no infinito: a esfera de Riemann
No espaço R3 com coordenadas (x, y, t) podemos considerar a esfera unitária S2,
x2 + y2 + t2 = 1.
1.2. O PONTO NO INFINITO: A ESFERA DE RIEMANN 15
Seja N = (0, 0, 1) o polo Norte da esfera e S = (0, 0,−1) o polo Sul. A projeção estereográfica associada àN associa a cada pontoM ∈ S2−N
a interseção da reta (NM) com o plano t = 0. A coordenada complexa deste ponto é
z = x+ iy
1− t .
A aplicação (x, y, t) 7→ z é um homeomorfismo de S2 − N sobre C, chamada um mapa.
Figura 1.2: Projeção stereográphica
Podemos também definir uma função composta com uma projeção este- reográfica associada a S e depois uma conjugação complexa (i.e z 7→ z̄). O resultado é
w = x− iy 1 + u
.
A aplicação (x, y, t) 7→ w é também um mapa de S2 − S sobre C. Uma observação importante é que z.w = 1. A esfera S2 com esses dois mapas é chamada a esfera de Riemann, de-
notada por Ĉ.
Funções holomorfas em Ĉ . Seja U ⊂ Ĉ um conjunto aberto. Uma função f é holomorfa em U se: para todo ponto M ̸= N f pode ser escrita numa vizinhança de M distinta de N como uma função holomorfa em z, e para topo ponto M ̸= S, f pode ser escrita numa vizinhança de M distinta de S como uma função de w. Para um aberto U ⊂ Ĉ−{N,S}, uma função holomorfa em z é também holomorfa em w (lembra da relação: z.w = 1).
A esfera de Riemann pode ser vista como uma compactificação do plano complexo C, i.e como o resultado de acrescentar um ponto ∞ no plano. Conjuntos do tipo U = {z ∈ C; |z| > R} ∪ {∞} formam uma base de
vizinhanças de ∞, e uma função f definida em U é holomorfa perto de ∞ se e somente se
w 7→ 1 f(1/w)
é holomorfa perto de w = 0.
1.3 Iteração em C: uma história curta Nessa seção, nós vamos dar uma visão rápida da história da dinâmica
holomorfa. Para mais detalhes, ver (Audin, 2011) e também a introdução escrita por J.H. Hubbard do livro (Tan, 2000).
O ińıcio. Podemos dizer que a dinâmica holomorfa começou com o estudo do método de Newton no plano complexo feito por Cayley em 1879. Este algoritmo bem conhecido de determinação das ráızes de uma equação f(x) = 0 funciona assim: começando com um ponto inicial x0, determinar a intersecção com a horizontal da reta tangente no gráfico de y = f(x), passando pelo ponto (x0, f(x0)) (ver Figura 1.3).
Figura 1.3: O método de Newton em dimensão 1, real
É facil lembrar dessa formula: a reta passando pelos pontos (zn, f(zn) e
(zn+1, 0) tem que ter uma inclinação igual
