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Minicurso { Col oquio de Matem atica da Regi ao sylvain/ Minicurso { Col oquio de Matem atica da Regi ao Norte~ 2014 Comit^e Cient co Fl´avia Morgana de O. Jacinto (UFAM) - Coordenadora

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Text of Minicurso { Col oquio de Matem atica da Regi ao sylvain/ Minicurso { Col oquio de Matem atica da...

  • Minicurso – Colóquio de Matemática da Região Norte 2014

    Comitê Cient́ıfico

    Flávia Morgana de O. Jacinto (UFAM) - Coordenadora

    Hugo Alex Carneiro Diniz (UFOPA)

    Jorge Herbert Soares de Lira (UFC)

    Marcelo Miranda Viana da Silva (IMPA-SBM)

    Renato de Azevedo Tribuzy (UFAM)

    Rodrigo Bissacot Proença (USP)

    Rúbia Gonçalves Nascimento (UFPA)

    http://www.loja.sbm.org.br/

    Sociedade Brasileira de Matemática

    2014

  • Introdução à

    Dinâmica Holomorfa

    Sylvain Bonnot [email protected]

    Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estat́ıstica

    Universidade de São Paulo

    Sociedade Brasileira de Matemática

    Rio de Janeiro - RJ, Brasil 2014

  • Coordenação Editorial:

    Flávia Morgana de O. Jacinto

    Editora: SBM

    Impresso na Gráfica:

    Capa: ? ? ?

    Patroćınio: Superintendência da Zona Franca de Manaus (SUFRAMA)

    Copyright c⃝2014 by Autores Direitos reservados, 2014 pela SBM.

    Catalogação elaborada pela Biblioteca ??? Bibliotec̈ı¿12ria: ????

    Bonnot, Sylvain Introdução à dinâmica holomorfa – Rio de Janeiro, RJ : SBM, 2014, ?? p., 20.5 cm - (Minicurso Colóquio CO 2014; v. ??)

    ISBN ????-????

    1. Dinâmica 2. Funções holomorfas I. Bonnot, Sylvain. , III. Introdução à dinâmica holomorfa. IV. Série

    CDD - 51

  • Dedico estas notas ao Sucrilho e ao Costelinha

  • Agradecimentos

    À minha famı́lia, e à Luciana. À FAPESP pela bolsa (11/2650-4)

  • Conteúdo

    Prefácio 11

    1 Parte I: Preliminares 13 1.1 Funções holomorfas: um resumo . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 O ponto no infinito: a esfera de Riemann . . . . . . . . . . . 14 1.3 Iteração em C: uma história curta . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2 Dinâmica local 23 2.1 Pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Atratores e super-atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.2.1 Atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Super-atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.3 Pontos neutros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Pontos parabólicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Ponto neutro irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3 Dinâmica global 37 3.1 Conjuntos de Julia e de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 A familia quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Conjuntos de Julia e discos apertados . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 Quebra-cabeça de Yoccoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    4 O conjunto de Mandelbrot M 45 4.1 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Topologia deM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Um modelo paraM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5 Dinâmica em C2 53 5.1 Funções holomorfas em Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Possibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    9

  • 10

    5.3 Particularidades da dimensão 2: domı́nios de Fatou-Bieberbach 55 5.4 Aplicações de Hénon complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    5.4.1 Propriedades básicas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.4.2 Conjuntos de Julia para aplicações de Hénon . . . . . 59 5.4.3 Coordenada de Böttcher . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4.4 Modelos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    6 Software 67

  • Prefácio

    Essas notas foram realizadas para meu mini-curso no III Colóquio de Matemática da Região Norte. O objetivo é dar uma introdução rápida na área da dinâmica holomorfa, com ênfase em exemplos expĺıcitos. Para isso, muitas ilustrações foram inclúıdas: a maioria dos objetos da dinâmica ho- lomorfa, como os conjuntos de Julia, ou o conjunto de Mandelbrot possuem uma beleza natural revelada somente nos anos 80 com o uso dos computa- dores. Nessas notas, me concentrei principalmente nos aspectos topológicos da teoria, mas muitas outras abordagens são posśıveis.

    São Paulo, 10/09/2014.

    Sylvain Bonnot

    11

  • Caṕıtulo 1

    Parte I: Preliminares

    1.1 Funções holomorfas: um resumo

    Seja U ⊂ C um conjunto aberto. Vamos dizer que uma função f : U → C é holomorfa se para cada ponto z0 ∈ U existe uma bola Bϵ(z0) ⊂ U de raio ϵ > 0 tal que f nessa bola pode ser escrita como uma série convergente de potências:

    f(z) = ∞∑

    n=0

    an(z − z0)n para todo z ∈ Bϵ(z0). (1.1.1)

    Equações de Cauchy-Riemann Podemos também escrever z = x+iy e ver f como uma função f(x, y) de duas variáveis reais. Da mesma maneira, f(x, y) pode ser escrita como f(x, y) = u(x, y)+iv(x, y). Com essa notação, podemos demonstrar que f é holomorfa se e somente se u e v são de classe C1 e

    ∂u

    ∂x = ∂v

    ∂y ,

    ∂u

    ∂y = −∂v

    ∂x . (1.1.2)

    Essas equações são chamadas as equações de Cauchy-Riemann.

    E comum introduzir dois operadores diferenciais

    ∂z :=

    1

    2

    ( ∂

    ∂x − i ∂

    ∂y

    ) e também

    ∂z̄ :=

    1

    2

    ( ∂

    ∂x + i

    ∂y

    ) . (1.1.3)

    Essa notação foi escolhida para satisfazer por exemplo ∂∂z (z) = 1. Assim

    podemos reescrever as equações de Cauchy-Riemann como ∂f∂z̄ = 0.

  • Formula integral de Cauchy Existe uma outra caracterização posśıvel da holomorficidade. A função f : U → C é holomorfa se f é de classe C1 e, para cada bola Bϵ(z0) ⊂ U temos:

    f(z0) = 1

    2πi

    ∫ ∂Bϵ(z0)

    f(z)

    z − z0 dz. (1.1.4)

    Teorema 1.1 (Teorema de Liouville). Uma função f : C → C holomorfa e limitada é constante.

    Teorema 1.2 (Teorema da identidade). Sejam f, g : U → C duas funções holomorfas num conjunto aberto e conexo U ⊂ C, tais que f(z) = g(z) para todo z num aberto não vazio V ⊂ U , então f = g.

    Teorema 1.3 (Teorema de extensão de Riemann). Seja f : Bϵ(z0)−{z0} → C uma função holomorfa limitada. Então f tem uma extensão holomorfa f : Bϵ(z0)→ C.

    Teorema 1.4 (Teorema da aplicação de Riemann). Seja U ⊂ C um con- junto aberto, simplesmente conexo, distinto de C. Então existe uma aplicação biholomorfa f : U → B1(0).

    Figura 1.1: Aplicação de Riemann para um poĺıgono

    1.2 O ponto no infinito: a esfera de Riemann

    No espaço R3 com coordenadas (x, y, t) podemos considerar a esfera unitária S2,

    x2 + y2 + t2 = 1.

  • 1.2. O PONTO NO INFINITO: A ESFERA DE RIEMANN 15

    Seja N = (0, 0, 1) o polo Norte da esfera e S = (0, 0,−1) o polo Sul. A projeção estereográfica associada àN associa a cada pontoM ∈ S2−N

    a interseção da reta (NM) com o plano t = 0. A coordenada complexa deste ponto é

    z = x+ iy

    1− t .

    A aplicação (x, y, t) 7→ z é um homeomorfismo de S2 − N sobre C, chamada um mapa.

    Figura 1.2: Projeção stereográphica

    Podemos também definir uma função composta com uma projeção este- reográfica associada a S e depois uma conjugação complexa (i.e z 7→ z̄). O resultado é

    w = x− iy 1 + u

    .

    A aplicação (x, y, t) 7→ w é também um mapa de S2 − S sobre C. Uma observação importante é que z.w = 1. A esfera S2 com esses dois mapas é chamada a esfera de Riemann, de-

    notada por Ĉ.

    Funções holomorfas em Ĉ . Seja U ⊂ Ĉ um conjunto aberto. Uma função f é holomorfa em U se: para todo ponto M ̸= N f pode ser escrita numa vizinhança de M distinta de N como uma função holomorfa em z, e para topo ponto M ̸= S, f pode ser escrita numa vizinhança de M distinta de S como uma função de w. Para um aberto U ⊂ Ĉ−{N,S}, uma função holomorfa em z é também holomorfa em w (lembra da relação: z.w = 1).

    A esfera de Riemann pode ser vista como uma compactificação do plano complexo C, i.e como o resultado de acrescentar um ponto ∞ no plano. Conjuntos do tipo U = {z ∈ C; |z| > R} ∪ {∞} formam uma base de

  • vizinhanças de ∞, e uma função f definida em U é holomorfa perto de ∞ se e somente se

    w 7→ 1 f(1/w)

    é holomorfa perto de w = 0.

    1.3 Iteração em C: uma história curta Nessa seção, nós vamos dar uma visão rápida da história da dinâmica

    holomorfa. Para mais detalhes, ver (Audin, 2011) e também a introdução escrita por J.H. Hubbard do livro (Tan, 2000).

    O ińıcio. Podemos dizer que a dinâmica holomorfa começou com o estudo do método de Newton no plano complexo feito por Cayley em 1879. Este algoritmo bem conhecido de determinação das ráızes de uma equação f(x) = 0 funciona assim: começando com um ponto inicial x0, determinar a intersecção com a horizontal da reta tangente no gráfico de y = f(x), passando pelo ponto (x0, f(x0)) (ver Figura 1.3).

    Figura 1.3: O método de Newton em dimensão 1, real

    É facil lembrar dessa formula: a reta passando pelos pontos (zn, f(zn) e

    (zn+1, 0) tem que ter uma inclinação igual