MODUL 2

UKURAN PEMUSATAN DATA Mean, Median, Modus dan Ukuran Tendensi Sentral lainnya

Notasi Penjumlahan () dan Indeks (Subkrip)

Misalkan suatu variabel X dapat mengambil nilai-nilai X1 , X2 ,⋯ , X n.

Simbol ∑i=1

n

X i digunakan untuk menunjukkan jumlah dari semua nilai X i dari i=1 sampai n, dimana i disebut

indeks atau subkrip. Berikut diberikan beberapa contoh notasi sigma :

1. ∑i=1

n

X i=X1+X2+⋯+Xn

2. ∑i=1

n

X iY i=X1Y 1+X2Y 2+⋯+XnY n

3. ∑i=1

n

a X i=a X1+a X2+⋯+a Xn=a ( X1+X2+⋯+Xn )=a∑i=1

n

X i

4. ∑i=1

n

(a X i+bY i−c Z i )=a∑i=1

n

X i+b∑i=1

n

Y i−c∑i=1

n

Zi

5. ∑i

n

X i2=X1

2+X22+⋯+Xn

2

6. ∑i

n

( X i−a )2=( X1−a )2+( X2−a )2+⋯+(X n−a )2

7. ∑i

n

a=a+a+⋯+a=na

Indeks (subkrip) yang lain yang biasa dipakai adalah : j , p , q , r , s , k dan sebagainya.

RATA-RATA (UKURAN TENDENSI SENTERAL )

Rata-rata (average) merupakan suatu nilai representative dari suatu kelompok/himpunan data. Nilai representative ini mempunyai kecenderungan untuk berada diposisi tengah atau sentral dari suatu himpunan data yang disusun berdasarkan besarnya. Terdapat beberapa jenis rata-rata yang umum digunakan, masing-masing jenis rata-rata ini memiliki kelebihan dan kekurangan, bergantung pada data dan tujuan yang diinginkan.1. MEAN ARITMATIKA (MEAN)

Rata-rata atau mean aritmetik, disingkat mean dari himpunan n data/bilangan X1 , X2 ,⋯ , X n didefinisikan :

X=

∑i=1

n

X i

n=X1+X2+⋯+X n

n

(1)

15

Bila bilangan-bilangan X1 , X2 ,⋯ , X n masing-masing mempunyai frekuensi f 1, f 2 ,⋯ , f n maka mean aritmatikanya

adalah

X=∑i=1

n

f i X i

∑i=1

n

f i

=f 1 X1+ f 2 X2+⋯+ f n Xn

f 1+ f 2+⋯+ f n

(2)

dimana ∑n

n

f i=f 1+f 2+⋯+ f n=n

Rumus (2) ini disebut juga rata-rata (mean aritmetik) untuk data berkelompok.Contoh 1

Diberikan data X i 7 4 6 11 10

Maka rata-rata (mean aritmatika) dari data tersebut adalah :

X=

∑i=1

5

X i

5=X1+X2+X3+X4+X5

5

¿ 7+4+6+11+105

=385

=7.6

Contoh 2Dari empat kelompok mahasiswa yang masing terdiri dari 6 , 12, 9 dan 11 orang dilaporkan memiliki nilai rata-rata ujian masing-masing adalah 82, 72, 87 dan 62 . Tentukan nilai rata-rata (mean aritmatika) dari seluruh mahasiswa tersebut.Solusi : [Gunakan umus (2)]

X=∑i=1

4

f i X i

∑i=1

4

f i

=f 1 X1+ f 2 X2+f 3X3+ f 4 X4

f 1+ f 2+ f 3+f 4

X=6 (82 )+12 (72 )+9 (87 )+11(62)

6+12+9+11=282138

=74.2368=74.24

2. MEAN ARITMATIKA TERBOBOT

Misalkan bilangan-bilangan X1 , X2 ,⋯ , X n mempunyai bobot masing-masing w1,w2 ,⋯ ,wn, maka mean

aritmatikanya dinyatakan sebagai

X=∑i=1

m

wi X i

∑i=1

m

w i

=w1 X1+w2 X2+⋯+wm Xm

w1+w2+⋯+wm (3)

disebut mean aritmatika terbobot.Perhatikan kemiripan rumus (2) dan (3), dimana rumus (2) dapat dipandang sebagai mean aritmatika terbobot,

dengan bobot f 1, f 2 ,⋯ , f nContoh 3

16

Median

Modu

s Mean

Mean

Median

Modusmean=median=modus

Jika nilai ujian final (akhir) diberi bobot 3 kali lebih besar dari nilai-nilai kuis, dan jika seorang mahasisa memiliki nilai kuis 1 dan 2 masing-masing adalah 75 dan 90, serta nilai ujian final 80, maka rata-rata nilai mahasiswa tersebut adalah :

X=1 (75 )+1 (90 )+3 (80)

1+1+3=4055

=81

3. MEDIAN DAN MODUSMedian dari suatu himpunan data/bilangan yang telah disusun menurut urutan besarnya (array) adalah nilai tengah dari array tersebut (jika banyaknya data adalah ganjil) atau setengah dari jumlah dua data yang terletak di tengah (jika banyaknya data adalah genap).

Modus (mode) dari suatu himpunan data/bilangan nilai yang mempunyai frekuensi kemunculan paling besar. Modus dari suatu kumpulan data mungkin saja tidak ada, atau kalaupun ada , mungkin saja tidak tunggal (modus lebih dari satu). Suatu distribusi yang hanya memiliki sebuah modus disebut unimodus

Contoh 4Tentukan median dan modus dari data (a). 6, 8 , 2 , 5, 9 , 5, 6 , 2 , 5 , 3(b). 8, 4 , 6, 8 , 3, 4, 8 , 4, 7(c). 31.6 , 28.7 , 30.3 , 29.5 , 28.9SolusiTerlebih dahulu, susun data menurut urutan besarnya, kemuadian tentukan median dan modusnya(a). 2 , 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6 , 8 , 9 (data setelah di urutkan). Maka

Mediannya adalah : 5+52

=5 (karena banyaknya data adalah genap)

Modusnya adalah : 5 (karena bilangan 5 yang paling banyak muncul)

(b). 3 , 4 , 4 , 4 , 6 , 7, 8 , 8 , 8 (data setelah di urutkan). Maka Mediannya adalah : 6 (data yang terletak di tengah array) Modusnya adalah: 4 dan 8 (memiliki 2 modus) sehingga disebut bi-modus (bi-modal ). (c). 28.7 , 28.9, 29.5 , 30.3 , 31.6 (data setelah diurutkan), maka Mediannya adalah : 29.5 (data yang terletak di tengah array) Modusnya : tidak adaHUBUNGAN ANTARA MEAN, MEDIAN DAN MODUSUntuk kurva-kurva frekuensi yang simetris, nilai mean, median dan modus semuanya saling berimpit.Untuk kurva frekuensi unimodus yang sdikit miring (asimetris), terdapat hubungan empiris sebagai berikut :

Mean−Modus=3(Mean−Median) (4)

Median untuk data berkelompok diperoleh dengan cara interpolasi, yaitu

17

A

C

B

Median=Ll+( n2−(∑ f )l

f median)c (5)

dimana : Ll adalah tepi kelas bawah dari kelas median (artinya kelas yang mengandung median)

(∑ f )l adalah jumlah frekuensi dari seluruh kelas yang terletak dibawah kelas Median.

f median adalah frekuensi dari kelas median

n adalah objek dalam data (artinya frekuensi total)

(4). MEAN HARMONIK

Mean Harmonik H dari suatu himpunan n data/bilangan X1 , X2 ,⋯ , X n adalah kebalikan (resiprok) dari mean

aritmatika dari resiprok himpunan bilangan-bilangan tersebut, yaitu

H= 1

1n∑i=1

n1X i

= n

∑i=1

n1X i

(6a)

Dalam prakteknya lebih mudah mengingat rumus berikut

1H

=∑i=1

n

X i

n=1n∑i=1

n1X i

(6b)

Contoh 5(a). Mean harmonic dari bilangan 2, 4, 8 adalah

H= 312+14+18

= 3

( 78 )=247

=3.43

(b). Kota A, B dan C mempunyai jarak yang sama antara satu dengan yang lainnya. Seorang pengendara motor menempuh perjalanan dari kota A ke kota B dengan kecepatan 30 mil/jam, dari kota B ke kota C dngan kecepatan 40 mil/jam, dan dari kota C ke kota A dengan kecepatan 50 mil/jam. Tentukan kecepatan rata-rata pengendara untuk menempuh seluruh rute perjalanannya.Solusi

Rata-rata harmonisnya adalah H= 3

130

+140

+150

= 3

( 47600 )=38.298mil / jam

SOAL DISKUSI KELAS (DATA BERKLOMPOK)

1. Data berkelompok : Dari 100 buah jeruk, terbagi dalam 4 kategori/kelompok masing-masing kategori terdiri dari 20 buah, 40 buah, 30 buah dan 10 buah, dengan berat rata-rata masing-masing 150 gram, 200 gram, 250 gram dan 300 gram. Tentukan berat rata-rata (mean) dari seluruh jeruk tersebut.

2. Gunakan distribusi frekuensi berat badan pada tabel 6c untuk mencari mean (berat rata-rata) dari 40 mahasiswa Univeritas W

Tabel 6 c : Distribusi frekuensi berat badan dari 40 mahasiswa Univ.W

Interval Kelas

Tanda kelas Banyaknya mahasiswa (frekunsi)

18

118 – 126127 – 135136 – 144145 – 153154 – 162163 – 171172 - 180

122131140149158167176

359

12542

Total = 40 (3). Nilai Seorang mahasiswa untuk mata kuliah Statistika, Kimia, Bahasa Inggris dan Ilmu Kesehatan adalah 82, 86, 90 dan 70. Jika matakuliah tersebut masing-masing memiliki kredit sebesar 3, 4, 3, 2, tentukan nilai rata-rata mahasiswa tersebut.

Solusi Soal Diskusi Kelas

1.

Kategori berat jeruk(gram)

Banyak buah (frekuensi)(f)

150200250300

20403010Dengan rumus (2) :

X=∑i=1

4

f i X i

∑i=1

4

f i

=f 1 X1+ f 2 X2+f 3X3+ f 4 X4

f 1+ f 2+ f 3+f 4

X=20 (150 )+40 (200 )+30 (250 )+10 (300 )

20+40+30+10=21500100

=215 gram

(2). Lengkapi tabel frekuensi dengan menambahkan kolom f iX i :Tabel 6d

Interval Kelas

Tanda kelasX i

frekunsif i

f iX i

118 – 126127 – 135136 – 144145 – 153154 – 162163 – 171172 - 180

122131140149158167176

359

12542

3x122=3665x131=655

12601788790668352

Jumlah ∑ f i=¿ 40¿ ∑ f i X i=¿5879¿

Dengan rumus (2), maka mean (rata-rata) tinggi badan 40 mahasisa adalah

X=∑ f i X i

∑ f i=587940

=146.975 pound (Lb)

19

(3). Gunakan rumus rata-rata terbobot X=3 (82 )+4 (86 )+3 (90 )+2(70)

3+4+3+2=100012

=83.33

Menghitung rata-rata data berkelompok dengan Metode PengkodeanSebaiknya metode ini selalu digunakan dalam kondisi-kondisi yang memungkinkan.

X=A+(∑ f iuin )c (7)

dengan ui=X i−Ac

dan c adalah ukuran interval kelas (ukuran interval kelas harus sama)

Metode lainnya untuk menghitung rata-rata data berkelompok adalah dengan rumus

X=A+∑ f id in

dengan d i=X i−A (8)

Contoh 6. Gunakan rumus (7) dan (8) untuk menentukan rata-rata berat badan 40 mahasiswa Univ W, tabel 6c.Solusi. Dengan menggunakan rumus (7). Buat tabel 6e sebagai berikut :

Tanda kelasX i

ui frekunsif i

f iui

122131140

A→149158167176

-3-2-10123

359

12542

3x(-3)=-95x(-2)=-109x(-1)=-912x0=0=5x1=54x2=82x3=6

Jumlah ∑ f i=¿ 40¿ ∑ f iui=¿−9¿

Dengan rumus (7)A=149 , c=131−122=140−131=…=176−167=9

X=149+(−940 )9=149−2.025=146.975Dengan menggunkan rumus (8)

Tanda kelasX i

d i=X i−A frekunsif i

f id i

122131140

A→149158167176

122-149=-27131-149=-18140-149=-9149-149=0158-149=9

1827

359

12542

3x(-27)=-815(-18)=-90

-810

457254

Jumlah ∑ f i=¿ 40¿ ∑ f id i=¿−¿¿81

X=A+∑ f id in

⟹ X=149+−8140

=149−2.025=146.975

20

(*) Perhatikan data pada contoh 4(a) : 6, 8 , 2 , 5, 9 , 5, 6 , 2 , 5 , 3Dengan menggunakan rumus (1) , maka mean (rata-rata) adalah :

X=6+8+2+5+9+5+6+2+5+310

=5110

=5.1

Dengan rumus (8), buat tabel berikut :

X i d i=X i−A f i f id i23

A→5689

-3-20134

213211

-6-20234

Jumlah ∑ f i=¿¿10 ∑ f id i=¿¿1

Dengan rumus (8) X=A+∑ f id in

⟹ X=5+ 110

=5.1

Pemilihan bilangan A adalah sembarang, akan tetapi lebih praktis bila dipilih data yang mempunyai frekuensi terbesar.SIFAT-SIFAT MEAN ARITMETIK

1. Penjumlahan aljabar dari deviasi suatu himpunan data terhadap mean aritmetiknya sama dengan nol.Bukti :

Misal d1=X i−X , d2=X2−X ,⋯ , dn=Xn−X , akan ditunjukkan bahwa ∑i=1

n

d i=0,

Jumlah deviasi ∑i=1

n

d i=∑ (X i−X )=∑ X i−∑ X=∑ X i−n X=∑ X i−n∑ X in

=0∎

2. Jumlah kuadrat deviasi dari suatu himpunan data X i terhadap sembarang bilangan a adalah minimum jika

dan hanya jika a=X .

3. Jika merupakan mean aritmetik taksiran (yang dapat merupakan sembarang bilangan) dan jika d i=X i−A

adalah deviasi X i terhadap A, maka rumus (1) dan (2) masing-masing akan menjadi

X=A+∑ d in

dan X=A+∑ f id i

∑ f i

21