MODEL FRAKTALNE ELEKTRONSKE STRUKTURE ZA ARBITRARNI POTENCIJAL U DVODIMENZIONIM PERIODIČNIM NANOSTRUKTURAMA U MAGNETSKOM POLJU

Aleksandar Vacić, Milan Tadić

Univerzitet u Beogradu, Elektrotehnički fakultet, p. fah 35-54, 11120 Beograd, Srbija Sadržaj – U radu je prikazan metod za određivanje fraktalnog energijskog spektra elektrona u lateralnoj površinskoj superrešetki i sličnim nanostrukturama u magnetskom polju sa vektorom indukcije ortogonalnim na površ rešetke. Iskorišćena ja magnetska translaciona grupa za korekciju Blohove teoreme, a zatim je rešena jednozonska Šredingerova jednačina metodom razvoja u bazis i primenom aproksimacije jake veze. Dobijena je sekularna jednačina tipa Harperove jednačine, odakle je dobijen energijski spektar Hofstadterovog leptira. Zatim je iskorišćena kalibraciona invarijatnost Šredingerove jednačine i pogodno su odabrane prostorno lokalizovane talasne funkcije bazisa. Prikazani metod omogućava primenu na periodične strukture sa proizvoljnom visinom i oblikom potencijala. 1. UVOD

Problem kretanja elektrona u dvodimenzionim translatorno simetričnim strukturama u magnetskom polju predstavlja specifičan problem za primenu Blohove teoreme, jer se na prvi pogled u hamiltonijanu sistema gubi informacija o translatornoj invarijatnosti rešetke.

Prvi teorijski prilaz problemu dao je još Peierls [1], uvođenjem magnetske faze u Blohovu funkciju. Za rešenje ovog problema razvijena je teorija magnetskih translacionih grupa (MTG) [2]. Suština MTG je u korekciji operatora koji generišu grupu „običnih“ translacija sistema (bez prisustva magnetskog polja) odgovarajućim operatorima koji komutiraju sa hamiltonijanom sistema u magnetskom polju. Pokazuje se da operatori magnetskih translacija komutiraju tj. obrazuju konačnu Abelovu grupu ako je odnos magnetskog fluksa kroz jednu ćeliju rešetke i kvanta fluksa racionalan broj. Pri ovom uslovu moguće je formulisati magnetsku Blohovu teoremu kojom se može uspostaviti veza između talasnih funkcija koje opisuju stanja elektrona u različitim ćelijama kristalne rešetke. Ispostavlja se da se pri

( )0 / 2( / )B dp q= Φ , gde je Φ0 kvant fluksa magnetskog

polja, d period rešetke, a p i q celi brojevi, odgovarajuća Briluenova zona redukuje q puta.

Jedan od pristupa rešavanju postavljenog problema jeste metod linearne kombinacije atomskih orbitala (LCAO) uz aproksimaciju jake veze. Naime, razvojem talasne funkcije po svojstvenim funkcijama neekvivalentnih ćelija rešetke (prva magnetska Briluenova zona) dobija se potpun sistem jednačina koji je ekvivalentan generalisanom svojstvenom problemu Harperove jednačine [3]. Fraktalnu strukturu spektra Harperove jednačine prvi je opisao Hofstadter [4,5]. Dvodimenziona superrešetka sačinjena od kvantnih prstenova nedavno je teorijski analizirana [6].

U radu je prikazan metod kojim se uz pogodno odabrane bazisne funkcije može odrediti spektar elektrona u lateralnoj

površinskoj superrešetki (LSSL) za proizvoljnu visinu i oblik dvodimenzionog (2D) potencijala. Koristili smo simetričnu kalibraciju jer su talasne funkcije tako definisanog svojstvenog problema dobro lokalizovane (2D gausijani) što omogućava primenu pri proizvoljnim visinama rešetke, a zatim smo prelaskom sa simetrične na Landauovu kalibraciju (kalibraciona invarijantnost) numerički pojednostavili problem.

2. TEORIJSKA ANALIZA

Posmatramo dvodimenzioni elektronski gas u LSSL sa periodičnim kvadratnim potencijalom periode d, širinom jame a, širinom barijere b i visinom V0 u x y− ravni, i

magnetskim poljem zB Be=ur ur

duž z ose. Pretpostavljamo adijabatsku aproksimaciju, tako da se u trodimenzionalnoj Šredingerovoj jednačini (ŠJ) može izvršiti razdvajanje promenljivih na transverzalne (x i y) i longitudinalnu (z).

Hamiltonijan sistema, uz zanemarivanje Zeemanovog cepanja, dat je jednačinom:

2( )( , )* ,2

p eAH V x n d y n dx yn nx ym

+= + − −∑

r ur

(1)

gde je Aur

magnetski vektor potencijal. U ovom slučaju pogodno je koristiti Landauovu

kalibraciju (0, , 0)A B x=ur

koja svodi problem na jednodimenzioni. No, direktna primena Landauove kalibracije dovodi do bazisnih funkcija oblika

21 ( )2 y y

x k l ik yle e− +

, što u slučaju višeg potencijala rešetke V0 dovodi u pitanje opseg mogućih vrednosti ky koje utuču na lokalizaciju čestice duž x ose (ŠJ za šesticu u magnetskom

polju). Korišćenje simetrične kalibracije ( , , 0)2

BA y xsim = −ur

prirodno dovodi do simetričnih, prostorno atenuirajućih talasnih funkcija po x i y, ali se numerički problem kvadratno usložnjava.

Prednosti obe kalibracije se mogu objediniti ukoliko se primeni kalibraciona invarijantnost ŠJ: promeni magnetskog vektor-potencijala A A f→ + ∇

ur ur odgovara promena faze

talasne funkcije elektrona iei fie e

ϕϕ +→ h , gde je f skalarna

funkcija. U našem slučaju to predstavlja prelaz sa simetrične kalibracije na Landauovu prema:

(0, , 0) (- , , 0) ( )2 2

B BB x y x xy= + ∇

i promeni faze od

Zbornik radova 50. Konferencije za ETRAN, Beograd, 6-8. juna 2006, tom IV Proc. 50th ETRAN Conference, Belgrade, June 6-8, 2006, Vol. IV

193

Nagrađeni rad mladog istraživača

2i eBxy

e h (2) ŠJ u simetričnoj kalibraciji glasi:

2 2 2 2( ) ( )

2 2* *2 2

( , ),

B Bp e y p e xx x

Hm m

V x n d y n dx yn nx y

− += +

+ − −∑

(3)

Lako se može pokazati da operator translacije: ( , )x y

i p r n nT e

− ⋅=

ur r

h gde je ( , )r n n d n e d n ex yx y x y= ⋅ + ⋅

r r r, ne komutira sa

hamiltonijanom (2), pa se Blohova teorema ne može primeniti. Jedan od načina da se ovaj problem prevaziđe je da se definišu operatori [3]:

( ),

( )

i p eA By n dx x xex

i p eA Bx n dy y yey

− + +=

− + −=

h

h

T

T

(4)

Ovako definisani operatori komutiraju sa hamiltonijanom sistema (3), ali ne i međusobno:

xy

dnnBxeApBeAp

yxyxyyyxx

e TTTT2

2 ],[1−+++−

= h U slučaju Landauove kalibracije prethodni izraz poprima

oblik:

1 2[ , ]2

2

p eBy p n n dx y x yex y y x

i Bn n dx ye y x

− +=

−=

h

h

T T T T

T T

(5)

Da bi se kontruisao kompletan bazis i primenila Blohova teorema i Born-Karmanovi periodični uslovi za

,n N n Nx x y y= = (gde su Nx i Ny dimenzije rešetke) neophodno je da operatori (4) komutiraju međusobno, tj. da desna strana jednačine (5) bude jednaka jedinici. Odavde se dobija uslov:

2

0

Bd pN

q φ= =Φ

(6)

gde je 0 /h eΦ = , kvant fluksa magnetskog polja, a p i q prirodni brojevi takvi da je NZD(p,q)=1. Drugim rečima, potrebno je da fluks magnetskog polja kroz jednu ćeliju rešetke bude racionalan umnožak kvanta fluksa. Posledica relacija (4) i (5) je da se perioda rešetke duž x ose efektivno povećava q puta:

( ),

2( )2( , )

( 2 )0( , )

x qn d y n dx yeBi k qn d n yd ik n dx x x y yx y e e

yi k qn d nx x x d ik n dy yx y e e

ψ

ψφπ φ

ψ

+ +

+=

+=

h

Rešavanje svojstvenog problema hamiltonijana (3) je pogodno metodom LCAO. Naime, za svaku od q neekvivalentnih ćelija superrešetke najpre se reši svojstveni problem bez periodičnog potencijala, a zatim se odgovarajuća linearna kombincija dobijenih rešenja uvrsti u svojstvenu

jednačinu hamiltonijana (3), čime se problem svodi na određivanje svojstvenih vrednosti matrice q q× :

( ( , ))0 ,H H V x n d y n dx yn nx y

E

Ψ = + − − Ψ =∑

= Ψ

(7)

gde H0 predstavlja kinetički deo hamiltonijana (2). Kako u sistemu jednačina u opštem slučaju egzistiraju kompleksni brojevi, to se slučaj numeričkog određivanja svojstvenih vrednosti hamiltonijana (2) svodi na matricu 2 2q q× pri Landauovoj kalibraciji, dok korišćenje samo

simetrične kalibracije dovodi do problema 2 22 2q q× . Bazisne funkcije biramo u Wannierovom obliku [7]:

( , ),

( ) ( )2 2

( , )0

ik n dik n d y yx xx y C e enxn nx yieB y n d ieB x n dy xn d n dx y

e e

x n d y n dx yψ

Ψ = ∑

− −−

− −

h h (8)

gde su funkcije 0ψ rešenja jednačine 0

( ) ( ) ( )0 00

n n nH Eψ ψ=

odnosno svojstvenog problema slobodne čestice u magnetskom polju, sa simetričnom kalibracijom korigovan za magnetsku fazu (2). Razvoj je pogodno vršiti po osnovnom stanju [6]:

( ) ( )0 0

2 2

2

2

( , )

1 2 2!

m

m m

m

x y

ieBxyx yx iy le

ll

rψ ψ

π

=

+− ++=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

h

r

(9)

gde je ( )0

mr ψr

koordinatna reprezentacija, 2

leB

=h

magnetska dužina koja u kvaziklasičnom smislu određuje lokalizaciju čestice, m svojstvena vrednost operatora Lz,

0 / 2E cω= h energija osnovnog Landauovog nivoa, i */eB mcω = ciklotronska frekvencija.

Dalji postupak rešavanja svodi se na zamenu pretpostavljenog rešenja (8) u (7), a zatim na skalarno

množenje sa ' ',n nx y , gde je

'

0

'

' ' ' ', ( , )0

( 2 ) 'x x x y y

r n n x n d y n dx y x y

yi k n d n ik n dde e

ψ

φπ φ

= − −

+

r

.

Delovanjem operatora (3) na (8) dobija se:

' '[ ( , ) ( , ) ]0, ' ',

( )( 2 )

0

( , ) 00

C H x y V x n d y n d En x yxn nx y n nx yy n dyi k n d nx x x d ik n dy ye e

x n d y n dx y

φπ φ

ψ

+ − − −∑ ∑

−+

− − =

.

194

Pokazuje se [6] da magnetska faza utiče na transliranje hamiltonijana tj. njegovog argumenta za vektor

( , ) xx y x y yr n n d n e d n e= ⋅ + ⋅r r r

:

0

,

' '0 ' ',

0

( 2 )

[ ( , ) ( , ) ]

( , ) 0

x x xy y

xn nx y

x y x yn nx y

x y

yi k n d n ik n ddC e en

H x n d y n d V x n d y n d E

x n d y n d

φπ φ

ψ

+∑

− − + − − −∑

− − =

Odavde dobijamo jednačinu:

'' '',

' '[ , ,0,

' ' '' '', ( , ) ,

' ', ,'

n nx y

C E n n n nn x y x yxn nx y

n n V x n d y n d n nx y x y x y

C E n n n nx y x ynx

∑

+ − −∑

=

, (10)

gde je integral preklapanja

( )'

,

' ' '' '', ( , ) ,'' '',

1 x x yxi N n n s ik sdik rd

r s

n n V x n d y n d n nx y x y x yn nx y

e e e Iφπ

π+

=

− −∑

'' '2 ( 2 )

2 22

'' '' '( 2 )

2

2( ) ( )2 2

,

d a n n nx xxl

a n n nx xx xl

sd rd li N s uul l dr s

n

e e e e duI φπ

− + − −

+ − −

− −−= ∑ ∫

'' '2 ( 2 )2 2

2

'' '' '( 2 )

2

2( ) ( )2 2

d a n n ny y yl

a n n ny yy yl

rd sd li N r uul l d

n

e e e e duφπ

− + − −

+ − −

− −−+ ∑ ∫ .

gde su '

x xr n n= − i 'y ys n n= − .

Aproksimacija jake veze bitno pojednostavljuje jednačinu (10), pretpostavkom da integrali preklapanja postoje samo između susednih ćelija. Ova pretpostavka svodi sistem (10) na Harperovu jednačinu [3]:

2

0

2 cos( 2 )

1 1

yy xxx

tt

ik d ik dx x

BdC k d nn

e C e C Cnn n xx x

πφ

λ−

+

+ + =− +

gde je

0 0

0

2x

cE t V

t V

ω

λ− −

=

h

(11)

normalizovana energija. Koeficijenti 0t , xt i yt su odgovarajući integrali preklapanja:

( )'

'' ''0 '' '',

'' ''

'' '',

'' ''

'' '',

, ( , ) ,

, ( , ) 1,

, ( , ) , 1

x x

x y x y x yn nx y

x x y x y x yn nx y

y x y x y x yn nx y

i N n n s

t

t

t

n n V x n d y n d n n

n n V x n d y n d n n

n n V x n d y n d n n

e φπ +

=

=

=

− −∑

− − ±∑

− − ±∑

m

.

Rešavanje sistema homogenih jednačina (10) se svodi na određivanje svojsvenih vrednosti tridijagonalne matrice. U radu smo koristili Hamilton-Jakobijev metod za dijagonalizaciju matrice. Opisanim načinom konstrukcije bazisa i prelaskom sa simetrične na Landauovu kalibraciju izbegava se zavisnost talasnih funkcija od xk i yk koja je

inače prisutna pri direktnom korišćenju Landauove kalibracije:

2( / )

2( )0 ( / )( , )

x l k ly ik yyny

H x l k lnx y eψ

+− +

+∝ ,

a numerička dijagonalizacija se višestruko ubrzava

svođenjem problema 2 22 2q q× na problem složenosti 2 2q q× .

Predloženi metod se može koristiti za računanje energijske strukture sistema sa periodičnim potencijalom proizvoljnog oblika. Funkcije bazisa se mogu numerički odrediti iz ŠJ koja uključuje potencijal na jednoj periodi. Ovako dobijene talasne funkcije ne tretiraju potencijal perturbativno [6,8], te samim tim mogu dati veću tačnost.

3. NUMERIČKI REZULTATI I DISKUSIJA

Za parametre rešetke odabrali smo sledeće vrednosti: d=10 nm, a=b=5 nm, dubina pravougaonog potencijala

Sl. 1. Tri najniže Landauove podzone.

195

V0=5 meV, i efektivna masa elektrona m* jednaka 0.067 mase slobodnog elektrona (kao u GaAs).

Za /N p qφ = postoji cepanje svake zone na q Landauovih podzona. Na slici 1 prikazana je disperzija za tri najniže Landauove podzone za 1, 3p q= = .

Sl. 2. Normalizovani energijski spektar u zavisnosti od magnestkog fluksa po jednoj ćeliji superrešetke

(Hoftstadterov leptir).

Na slici 2. prikazan je normalizovan spektar energije

elektrona u zavisnosti od p, za fiksno q, odnosno zavisnost energije elektrona u zavisnosti od fluksa magnestskog polja po jednoj ćeliji superrešetke. Uslov koji važi je da su p i q međusobno prosti brojevi odnosno NZD(p,q)=1. U našoj simulaciji pretpostavljeno je q=103 i 0 103p≤ ≤ .

Sl. 3. Energijski spektar elektrona u zavisnosti od

/N p qφ = .

„Realni“ energijski spektar 0) /0 0 0(E E t V V− − priukazan na slici 3 se razlikuje od onog na slici 2, jer je normalizovana energija λ, data u (11), skalirana sa tx (integralom preklapanja talasnih funkcija susednih ćelija), koji zavisi od magnetskog polja.

Porastom magnetskog polja lokalizacija je izraženija

(kvaziklasično 1( )l B d−∝ ≤ ), pa su i integrali preklapanja Ir,s manji. Posledica je relativno smanjivanje razlike između susednih landauovih nivoa za fiksno

/N p qφ = , odnosno sužavanje spektra (slika 3). 4. ZAKLJUČAK

U radu je opisan metod za određivanje energijskog

spektra elektrona u 2D periodičnom potencijalu (PP) u magnetskom polju. Prikazan je način konstrukcije odgovarajućeg bazisa prostorno simetričnih i lokalizovanih talasnih funkcija, koje je moguće koristiti pri različitim visinama potencijala. Ovaj metod se računanje energijske strukture za proizvoljni periodični potencijal u normalnom magnetskom polju. LITERATURA [1] R. Peierls, Z. Phys., vol. 80, pp. 763, 1938. [2] J. Zak, Phys. Rev., vol. 166, 626 (1968). [3] P.G.Harper, Proc. Phys. Soc., London, Sect. A, vol. 68,

pp. 874, 1955. [4] D. Hofstadter, Phys. Rev. B, vol. 14, pp. 2239, 1976. [5] A. Kunold and M Torres, Ann. Phys., vol. 315, pp. 532-

552, 2005. [6] E. Muñoz et al., Phys. Rev. B, 71, art. no. 165301,

2005. [7] G.H.Wannier, Rev. Mod. Phys., vol. 34, pp. 645, 1962. [8] R. Ferrari, Phys. Rev. B, 42, pp. 4598, 1990. Abstrаct – In this paper we present a method for solving fractal energy spectrum in the lateral surface superlattice in magnetic field normal to the surface. Magnetic translational group is used to modify the Bloch theorem, and the single-band effective mass equation is solved by the expansion method and by adopting the tight binding approximation. A secular equation of the Harper type is obtained, whereform the energy spectrum of the Hofstadter butterfly is extracted. The gauge invariance of the Schroedinger equation is used, and the basis functions are conveniently chosen. The developed model might be employed to compute the electronic structure of the periodic nanostructures with the arbitrary height and shape of the confining potential.

THE MODEL OF FRACTAL ELECTRONIC STRUCTURE FOR ARBITRARY POTENTIAL IN

PERIODIC TWO-DIMENSIONAL NANOSTRUCTURES IN MAGNETIC FIELD

Aleksandar Vacić, Milan Tadić

196