Modelos de Optimización y Recursos Unidad 4

7/24/2019 Modelos de Optimizacin y Recursos Unidad 4

1/17

Modelos de optimizacin y recursos

Unidad 4: Modelos de flujos en redes

Alumnos:Araujo Garca Marvin Noe

Tuz Ek Luis Miguel

Docente:M. en Arq. Aguilar Rivero Lucila Guadalupe

Grado:3

Grupo:A

Carrera:!ngeniera "ivil

Inesti!acin Documental


2/17

Introduccin:

Es#os $odelos son $u% i$por#an#es en la vida co#idiana %a que puedes ser de $uc&a

u#ilidad co$o cuando se #ra#a de encon#rar el ca$ino $'s cor#o en#re un origen % un des#ino(

la #)cnica( algori#$o o el $odelo adecuado es del ca$ino $'s cor#o* aunque e+is#en

o#ros $odelos de redes co$o el $odelo del 'r,ol de e+pansi-n $ni$a( lujo $'+i$o( cada

uno a,arca un pro,le$a en par#icular.

En es#e #ra,ajo se $encionan los $odelos de redes e+is#en#es co$o el pri$ero sera

$odelos de lujo enredes se dar' unas peque/as deinici-n( se $encionara el $odelo de

ca$ino $'s cor#o( luego el $odelo de lujo $'+i$o % por 0l#i$o el $odelo de 'r,ol de

e+pansi-n $ni$a % los pro,le$as que a,arca cada uno de ellos( ade$'s se descri,en

los algori#$os que aplican es#os $odelos para encon#rar la soluci-n -p#i$a al pro,le$a.

Las #)cnicas de lujo de redes es#'n orien#adas a op#i$izar si#uaciones vinculadas a las redes

de #ranspor#e( redes de co$unicaci-n( sis#e$a de vuelos de los aeropuer#os( ru#as de

navegaci-n de los cruceros( e#c.

Es#a inves#igaci-n %a $encionada servir' para poder u#ilizar algori#$os $'s cor#os para

poder en con#ra una soluci-n $'s si$ple % poder en#ender los dis#in#os #ipos de pro,le$as


3/17

Unidad 4: Modelos De Flujos En Redes

1na red se co$pone de un conjun#o de nodos unidos por arcos 2o ra$as. La no#aci-n para

descri,ir una red es 2N( A( donde N es el conjun#o de nodos( % A es el conjun#o de arcos.

N 4 56( 7( 3( 8( 9:

A 4 526( 7( 26( 3( 27( 3( 27( 9( 23( 8( 23( 9( 28( 7( 28( 9:

4"# $l Modelo Del Camino M%s Corto

Es#e pro,le$a de#er$ina la ru#a $'s cor#a en#re un origen % un des#ino en una red de#ranspor#e. El $is$o $odelo puede represen#ar o#ras si#uaciones.

Es#a secci-n presen#a dos algori#$os para resolver #an#o redes cclicas 2es decir( que

con#ienen ,ucles co$o redes acclicas;

6. El algori#$o de


4/17

Algori#$o de ea 1i la dis#ancia $'s cor#a del nodo origen 6 al nodo i( % deina


5/17

Iteracin #. >e puede llegar a los nodos 7 % 3 desde el nodo 6 2el 0l#i$o e#ique#ado

per$anen#e$en#e. As( la lis#a de nodos e#ique#ados 2#e$porales % per$anen#es es;

Cara las dos e#ique#as #e$porales 6@@(6B % 3@(6B( el nodo 3 da la dis#ancia $ni$a 2u3 4 3@.


6/17

Iteracin 4. >-lo el nodo 3 per$anen#e$en#e e#ique#ado puede ser alcanzado desde el nodo

7. Cor consiguien#e el nodo 3 no puede ser ree#ique#ado. La nueva lis#a de e#ique#as

per$anece co$o es#a,a en la i#eraci-n 3 e+cep#o que la e#ique#a en el nodo 7 a&ora es

per$anen#e. Es#o deja al nodo 9 co$o la 0nica e#ique#a #e$poral. "o$o el nodo 9 no

conduce a o#ros nodos( su e#ique#a se &ace per$anen#e( % el proceso #er$ina.

Los c'lculos del algori#$o pueden realizarse direc#a$en#e en la red( co$o lo de$ues#ra la

igura;

La ru#a $'s cor#a en#re el nodo 6 % cualquier o#ro nodo en la red se de#er$ina par#iendo del

nodo des#ino deseado % re#rocediendo &as#a el nodo de inicio u#ilizando la inor$aci-n en las

e#ique#as per$anen#es. Cor eje$plo( la siguien#e secuencia de#er$ina la ru#a $'s cor#a del

nodo 6 al nodo 7;

Cor lo #an#o( la ru#a deseada es 6 3 8 7 con una dis#ancia #o#al de 99 $illas.

$jemplo ':

!. . >$ar# va en au#o diaria$en#e al #ra,ajo. Fa,iendo co$ple#ado un curso de an'lisis de

redes( >$ar# es capaz de de#er$inar la ru#a $'s cor#a al #ra,ajo. Cor desgracia( la ru#a

seleccionada es#' uer#e$en#e pa#rullada por la polica( % con #odas las $ul#as pagadas por

e+ceso de velocidad( la ru#a $'s cor#a puede no ser la $ejor opci-n. >$ar# &a decidido porlo #an#o elegir una ru#a que $a+i$ice la pro,a,ilidad de no ser de#enido por la polica.

La red en la igura $ues#ra las posi,les ru#as de la casa al #ra,ajo % la pro,a,ilidad asociada

de no ser de#enido en cada seg$en#o. La pro,a,ilidad de no ser de#enido en la ru#a es el

produc#o de las pro,a,ilidades de sus seg$en#os. Cor eje$plo( la pro,a,ilidad de no ser


7/17

$ul#ado en la ru#a 6 3 9 es .D 3 .3 3 .79 9 .@H9. El o,je#ivo de >$ar# es seleccionar

la ru#a que $a+i$ice la pro,a,ilidad de no ser $ul#ado.

El pro,le$a puede or$ularse co$o un $odelo de la ru#a $'s cor#a por $edio de una

#ransor$aci-n logar#$ica para conver#ir el produc#o de las pro,a,ilidades en la su$a de los

logari#$os de las pro,a,ilidades( es#o es( p6k + p6 + p7 3 I + pk se #ransor$a en log p6k 4

log p6 6 log p7 6 I 6 log pk. Las dos unciones p6k % log p6k son $on-#onas % decrecen en

k( as pues( $a+i$izar p6k es equivalen#e a $a+i$izar log p6k( lo que a su vez equivale a

$ini$izar log p6k. Cor lo #an#o( al ree$plazar pj con log pj para #oda la j en la red( el

pro,le$a se convier#e en la red de la ru#a $'s cor#a en la igura;

4"' $l Modelo De )lujo M%*imo

"onsidere una red de oleoduc#os que #ranspor#a pe#r-leo crudo desde pozos &as#a reineras.

>e ins#alan es#aciones in#er$edias de reorza$ien#o % ,o$,eo a dis#ancias apropiadas para

$over el crudo en la red. "ada seg$en#o de #u,era #iene una velocidad de descarga ini#a 2o

capacidad de lujo de crudo. 1n seg$en#o de #u,era puede ser unidireccional o

,idireccional( seg0n su dise/o. La igura H.7H $ues#ra una red de oleoduc#os #pica. El

o,je#ivo es de#er$inar la capacidad de lujo $'+i$a de la red. La soluci-n del pro,le$a

propues#o requiere agregar una sola uen#e % un solo su$idero o ver#edero( u#ilizando arcos

de capacidad inini#a unidireccionales( co$o se $ues#ra $edian#e los arcos de ra%as en la

igura H.7H. Cara el arco 2i(j( la no#aci-n proporciona las capacidades de lujo en las dos

direcciones i > j % j > i. Cara eli$inar la a$,igJedad( coloca$os a jun#o al nodo i % a jun#o al

nodo "ji( co$o se $ues#ra en la igura.


8/17

$numeracin de cortes:

1n cor#e deine un conjun#o de arcos cu%a eli$inaci-n de la red in#erru$pe el lujo en#re los

nodos uen#e % su$idero. La capacidad de cor#e es igual a la su$a de las capacidades de su

conjun#o de arcos. En#re #odos los cor#es posi,les en la red( el cor#e con la capacidad $ni$a

es el cuello de ,o#ella que de#er$ina el lujo $'+i$o en la red.

Al!oritmo de flujo m%*imo:

Es#e algori#$o se ,asa en el &allazgo de ru#as de avance con lujo posi#ivo en#re los nodos

uen#e % su$idero. "ada ru#a des#ina una par#e de o #odas las capacidades de sus arcos al

lujo #o#al en la red. "onsidere el arco 2i( j con las capacidades ,idireccionales 2de dise/o

2cij( cji. "o$o algunas par#es de es#as capacidades se des#inan al lujo en el arco( los

residuos 2capacidades no u#ilizadas( o lujo re$anen#e del arco se ac#ualizan. 1#iliza$os la

no#aci-n 2cij( cji para represen#ar los residuos. Cara un nodo j que reci,e lujo del nodo i(

ane+a$os la e#ique#a aj(iB donde aj es el lujo del nodo i al nodo j.


9/17


10/17

$jemplos:

"onsidere la red de la igura H.7K. Las capacidades ,idireccionales se $ues#ran en los arcos

respec#ivos por $edio de la convenci-n u#ilizada en la igura H.7. Cor eje$plo( el l$i#e de

lujo para el arco 23(8 es de 6@ unidades de 3 a 8( % de 9 unidades de 8 a 3. La igura H.7K

ilus#ra #res cor#es con las siguien#es capacidades;

La 0nica inor$aci-n de los #res cor#es es que el lujo $'+i$o en la red no puede e+ceder de

H@ unidades. Cara de#er$inar el lujo $'+i$o es necesario enu$erar #odos los cor#es( una


11/17

#area dicil para la red general. Cor lo #an#o( la necesidad de un algori#$o eicien#e es

i$pera#iva.


12/17

4.3 El Modelo Del rbol De Expansin Mnima

Es#e 'r,ol vincula los nodos de una red vali)ndose de la longi#ud $ni$a #o#al de las ra$as

de cone+i-n. 1na aplicaci-n co$0n se presen#a en la pavi$en#aci-n de carre#eras que unenpo,laciones( o de or$a direc#a( o que pasan por o#ras po,laciones. La soluci-n del 'r,ol de

$ni$a e+pansi-n proporciona el dise/o del sis#e$a de carre#eras.

>ea N 4 56( 7(I(n: el conjun#o de nodos de la red % deina

"k 4 "onjun#o de nodos que &an es#ado conec#ados de $anera per$anen#e en la i#eraci-n

"k 4 "onjun#o de nodos que se cons#ruir'n per$anen#e$en#e despu)s de la i#eraci-n k

Los siguien#es pasos descri,en al algori#$o del 'r,ol de $ni$a e+pansi-n;

+aso &. Es#a,lezca "4 O P " @ 4 N

+aso #. !nicie con cualquier nodo i en el conjun#o no conec#ado " o % es#a,lezca "64 iB ( lo

que produce "6 4 N Q iB . Es#a,lezca k 4 7.

+aso !eneral ,. >eleccione un nodo( j( en el conjun#o no conec#ado "k6( que produzca el

arco $'s cor#o a un nodo en el conjun#o "k6 conec#ado. incule j per$anen#e$en#e a "k6

% eli$nelo de "S 6 para o,#ener "S P "S respec#iva$en#e.


13/17

El 'r,ol de e+pansi-n $ni$a es; 7@@ 778 3@@ 7K3 7@@ 8@@ 4 6H@


14/17

$jemplo '

MidUes# T "a,le "o$pan% va a proporcionar servicio de ca,le a cinco desarrollos

&a,i#acionales. La igura H.H ilus#ra las posi,les cone+iones de T a las cinco 'reas(

con las $illas de ca,le ane+adas a cada arco. El o,je#ivo es de#er$inar la red de

ca,les $'s econ-$ica. El algori#$o se inicia en el nodo 6 2en realidad( cualquier o#ro

nodo puede ser un pun#o de inicio( el cual da por resul#ado Las i#eraciones del

algori#$o se resu$en en la igura H.. Los arcos delgados proporcionan #odos los

candida#os en#re " %. Los arcos gruesos son los vnculos per$anen#es del conjun#o

conec#ado "( % el arco de ra%as es el nuevo vnculo 2per$anen#e agregado en cada

i#eraci-n. Cor eje$plo( en la i#eraci-n 6( la ra$a 26( 7 es el vnculo $'s cor#o 29 6

$illa en#re #odas las ra$as candida#as del nodo 6 a los nodos 7( 3( 8( 9 % H en el

conjun#o no conec#ado. in e$,argo( la CL no es una opci-n pr'c#ica porque de,en agregarse

nu$erosas res#ricciones para e+cluir #odos los ciclos % el resul#ado es una CL enor$e(

aun para redes peque/as.


15/17

Conclusin:


16/17

>e lleg- a la conclusi-n de que se pueden usar algori#$o adecuado para encon#rar la ru#a

$'s cor#a en donde los n0$eros represen#an las dis#ancias reales en#re los nodos

correspondien#es.

Ta$,i)n que los $odelos de op#i$izaci-n de redes cons#i#u%en una &erra$ien#a $u%

sencilla para la encon#rar la soluci-n -p#i$a a los pro,le$as de lujo de redes( porque

proporcionan algori#$os 'ciles de co$prender % aplicar que co$parados con el $)#odo

si$ple+ dis$inu%en el n0$ero de i#eraciones que resuelven el pro,le$a.

En la inves#igaci-n pudi$os co$prender que e+is#en algunos $odelos que esos $odelos

nos pueden servir en la vida co#idiana la cual es#a inves#igaci-n acili#a el uso de es#os

ele$en#os %a $encionados % #a$,i)n encon#rar soluci-n a es#os con acilidad sin necesidad

de co$plicaci-n se ,usca la ru#a $'s cor#a % adecuada.

Los $odelos de redes #ienen un uso co$0n en cier#os aspec#os la,orales % que gracias a

ellos pode$os resolver pro,le$as( % se pueden desenvolver en dieren#es '$,i#os acili#ando

las ru#as que $ejor convengan.

Cara concluir pode$os decir que( es#os $odelos pueden #ener una direcci-n direc#a o

indirec#a( que den#ro de cada red puede &a,er $0l#iples conec#ores que sirven para unir

varios nodos % as crear ru#as( den#ro de cada red.

-i.lio!raf/a:


17/17

6. Fa$d% A. Ta&a( !nves#igaci-n de operaciones Dna edici-n( "api#ulo H; Modelo

Documents

Modelos de Optimización y Recursos Unidad 4