Embed Size (px)
Citation preview
A. Deskripsi
Dalam modul ini kita akan mempelajari lengkungan yang
dihasilkan dari potongan kerucut dengan bidang datar. Jika suatu
kerucut dipotong oleh sebuah bidang, maka garis potong tersebut
mempunyai berbagai kemungkinan yaitu :
1. Lingkaran, jika bidang tegak lurus sumbu kerucut dan tidak melalui
puncak kerucut.
2. Ellips, jika bidang membentuk sudut lancip terhadap sumbu dan
tidak melalui puncak kerucut.
3. Parabola, jika bidang membentuk sejajar garis pelukis kerucut dan
tidak melalui puncak kerucut.
4. Hiperbola, jika bidang sejajar sumbu kerucut dan tidak melalui titik
nol.
Gambar potongan kerucut
berbentuk lingkaran, ellips, parabola dan hiperbola
Untuk mempelajari materi ini disediakan waktu 56 x 45 menit.
Setiap akhir kegiatan terdapat pertanyaan yang harus dikerjakan.
Pertanyaan tersebut untuk mengukur pemahaman tentang materi
yang telah dipelajari.
Modul Matematika
PENDAHULUAN
1
B. Prasarat
Kemampuan yang harus dicapai dalam kompetensi ini adalah :
1. Menjelaskan pengertian unsur – unsur lingkaran.
2. Menentukan persamaan lingkaran.
3. Menghitung panjang garis singgung sekutu luar dan dalam dua
lingkaran.
4. Menjelaskan pengertian unsur – unsur parabola.
5. menentukan persamaan parabola dan grafiknya.
6. Menjelaskan pengertian unsur – unsur ellips.
7. Menentukan persamaan ellips dan grafiknya.
8. Meenjelaskan pengertian unsur – unsur hiperbola.
9. Menentukan persamaan hiperbola dan grafiknya.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Perlu diperhatikan cara menggunakan modul ini sebagai pedoman
untuk siswa dalam proses pembelajaran.
1. Langkah yang harus ditempuh
a. Siswa harus mengetahui prasarat kemampuan yang dicapai.
b. Mempelajari kompetensi dan mempelajari langkah – langkah
kegiatan pada rencana pembelajaran.
2. Perlengkapan yang harus disiapkan.
Dalam kompetensi ini alat yang harus dipersiapkan dalam proses
pembelajaran adalah penggaris, jangka dan busur derajat.
3. Hasil pelatihan
Setelah mempelajari langkah – langkah kegiatan dan mengajukan
pengujian terhadap penilai maka siswa mencatat sub kompetensi
yang dicapai dalam paspor keahlian ( skill paspor ).
Modul Matematika
2
D. Tujuan Akhir
Setelah mengikuti seluruh kegiatan belajar siswa mampu :
1. Menyebutkan unsur – unsur lingkaran yang dideskripsikan sesuai
ciri – cirinya.
2. Menentukan persamaan lingkaran yang ditentukan berdasarkan
unsur- unsur yang diketahui.
3. Melukis garis singgung sekutu luar dan dalam dari dua lingkaran
yang diketahui.
4. Menghitung panjang garis singgung sekutu luar dan dalam sesuai
jari – jari dan jarak pusat kedua lingkaran.
5. Menerapkan konsep lingkaran dalam penyelesaian masalah
kejuruan.
6. Menyebutkan unsur – unsur parabola yang dideskripsikan sesuai
ciri – cirinya.
7. Menentukan persamaan parabola berdasarkan unsur- unsur yang
diketahui.
8. Melukis sketsa grafik persamaan parabola.
9. Menerapkan konsep parabola dalam penyelesaian masalah
kejuruan.
10.Menyebutkan unsur – unsur ellips yang dideskripsikan sesuai ciri –
cirinya.
11.Menentukan persamaan ellips berdasarkan unsur- unsur yang
diketahui.
12.Melukis sketsa grafik persamaan ellips.
13.Menerapkan konsep ellips dalam penyelesaian masalah kejuruan.
14.Menjelaskan unsur – unsur hiperbola yang dideskripsikan sesuai ciri
– cirinya.
15.Menentukan persamaan hiperbola berdasarkan unsur- unsur yang
diketahui.
16.Melukis sketsa grafik persamaan hiperbola.
17.Menerapkan konsep hiperbola dalam penyelesaian masalah
kejuruan.
Modul Matematika
3
E. Kompetensi
Kompetensi yang akan dipelajari dalam modul ini sesuai dengan tabel :
Kompetensi Sub KompetensiKriteria untuk
Kerja
Ruang Lingkup
Belajar
Menerapkan
irisan kerucut
Menerapkan
konsep lingkaran
- Unsur - unsur
lingkaran
dideskripsikan
sesuai ciri –
cirinya
- Persamaan
lingkaran
ditentukan
berdasar unsur
- unsur yang
diketahui
- Garis singgung
sekutu luar dan
dalam
dilukiskan dari
dua lingkaran
yang diketahui
- Panjang garis
singgung
- Sekutu luar
dan dalam
dihitung sesuai
jari – jari dan
jarak pusat
kedua
lingkaran
- Konsep
lingkaran
diterapkan
dalam
penyelesaian
masalah
kejuruan
- Pengertian
unsur – unsur
lingkaran
- Penentuan
persamaan
lingkaran
- Pengertian
garis singgung
sekutu luar
dan dalam
- Penentuan
panjang garis
singgung
sekutu luar
dan dalam
kedua
lingkaran
- Penerapan
konsep
lingkaran
dalam
menyelesaikan
masalah
kejuruan
Modul Matematika
4
Menerapkan konsep parabola
- Unsur – unsur parabola dideskripsikan sesuai dengan ciri – cirinya
- Persamaan parabola ditentukan berdasarkan unsur – unsur yang diketahui
- Konsep parabola dalam penyelesaian masalah kejuruan
- Unsur – unsur parabola : direktriks, koordinat titik puncak, titik focus dan persamaan sumbu.
- Penentuan persamaan parabola
- Grafik persamaan parabola
- Penerapan konsep parabola dalam menyelesaikan masalah kejuruan
Menerapkan konsep ellips
- Unsur – unsur ellips dideskripsikan sesuai dengan ciri – cirinya
- Persamaan ellips ditentukan berdasarkan unsur – unsur yang diketahui
- Konsep ellips dalam penyelesaian masalah kejuruan
- Pengertian ellips
- Unsur – unsur ellips : koordinat titik puncak, koordinat pusat, koordinat titik focus, sumbu mayor dan sumbu minor.
- Penentuan persamaan ellips
- Sketsa ellips - Penerapan
konsep ellips dalam menyelesaikan masalah kejuruan
Modul Matematika
5
Menerapkan konsep hiperbola
- Unsur – unsur hiperbola dideskripsikan sesuai dengan ciri – cirinya
- Persamaan hiperbola ditentukan berdasarkan unsur – unsur yang diketahui
- Konsep hiperbola dalam penyelesaian masalah kejuruan
- Pengertian hiperbola dan unsur – unsur hiperbola : titik pusat, titik puncak, titik focus, asimtot, sumbu mayor, sumbu minor.
- Penentuan persamaan hiperbola
- Sketsa hiperbola
- Penerapan konsep hiperbola dalam menyelesaikan masalah kejuruan
Modul Matematika
6
KEGIATAN BELAJAR I : LINGKARAN
A. Kompetensi Dasar
Menerapkan Konsep Lingkaran
B. Prasarat
Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan mampu
memahami :
1. Unsur – unsur lingkaran2. Persamaan lingkaran3. Garis singgung sekutu luar dan dalam
C. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa mampu menjelaskan pengertian unsur – unsur lingkaran.
2. Siswa mampu menentukan persamaan lingkaran.3. Siswa mampu melukis garis singgung sekutu luar dan dalam
dua lingkaran.4. Siswa mampu menentukan panjang garis sekutu luar dan
dalam dua lingkaran.5. Siswa mampu menerapkan konsep lingkaran dalam
menyelesaikan masalah kejuruan.
I. Unsur – Unsur Lingkaran
Sebelum memahami unsur – unsur lingkaran, terlebih dahulu kita
memahami pengertian apa itu lingkaran .
Definisi : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik pada bidang
yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
Jarak yang sama itu disebut dengan jari – jari lingkaran,
sedangkan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran.
Adapun unsur – unsur lingkaran adalah :
a. Busur Lingkaran
Modul Matematika
PEMBELAJARAN
Gambar disamping menunjukan sebuah
lingkaran berpusat di O. Kurva pada keliling
lingkaran yang menghubungkan titik A dan B
disebut busur lingkaran.
7
O
B
A
b. Tali Busur Lingkaran
BA
O .
c. Garis Tengah ( Diameter ) dan Jari – Jari Lingkaran
Q
O R
P
- PQ disebut garis tengah
- Titik P dan Q berhadapan diametral
- OP, OQ dan OR disebut jari – jari
d. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran
B
O α
R
C
∠ AOB adalah sudut pusat lingkaran
∠ ACB adalah sudut keliling lingkaran
e. Juring Lingkaran
O
A B
f. Tembereng
Modul Matematika
Ruas garis yang menghubungkan titik A dan B
seperti pada gambar disebut tali busur lingkaran.
Jadi, tali busur adalah ruas garis yang
menghubungkan dua titik pada keliling
lingkaran.
Apabila tali busur melalui pusat lingkaran maka
disebut garis tengah atau diameter lingkaran.
Separuh diameter disebut jari – jari lingkaran.
Apabila dua buah titik terletak di ujung – ujung
garis tengah, maka titik itu disebut sebagai
berhadapan diametral.
Sudut yang terletak pada pusat lingkaran, yang
dibentuk oleh dua buah jari – jari disebut sudut
pusat lingakaran.
Sudut yang terletak pada keliling lingkaran yang
dibentuk oleh dua buah tali busur disebut sudut
keliling lingkaran.
Juring lingkaran adalah daerah yang oibatasi
oleh dua jari – jari lingkaran dan busur lingkaran.
Juring AOB kecil dan juring AOB besar.
8
9
O . P Q
Dalam suatu lingkaran panjang busur dan luas juring sebanding sudut
pusatnya.
A
O B
C
Contoh 1
C O
A
B
Jawab :
AB = 14 cm → OA = OB = jari – jari = 7 cm , AOB = 80° → BOC =
100°
Luas lingkaran = r2 = x 72 = 154 cm2
Luas juring BOC = BOC
Luas lingkaran lingkaran
Luas juring BOC = x 154 = 42,78 cm2
Keliling lingkaran = 2 r = 2 x x 7 = 44 cm
Panjang busur AB = AOC
Keliling lingkaran lingkaran
Panjang AB = x 44 = 9,78 cm2
LATIHAN I
Modul Matematika
Tembereng merupakan bagian dari lingkaran
yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur
lingkaran.
Pada gambar disamping
Busur AC = ∠ AOC = juring
AOC
Busur BC ∠ BOC juring
BOC
Jika diketahui diameter AB = 14
cm , ∠ AOB = 80°.
Hitunglah luas panjang BOC dan
panjang busur AB !
100 ° 360°
227
22 7
80 ° 360°
10
1. Perhatikan gambar di bawah ini !
O
A B
2. Diketahui pusat lingkaran yang pusatnya O dan panjang jari – jari r. Buatkan sebuah tali busur AB yang panjangnya sama dengan jari – jari lingkaran. a. Berbentuk segitiga apakah ∆ AOB ?b. Berapakah besar sudut pusat yang terjadi ?c. Kalau luas lingkarannya adalah L, berapakah luas juring AOB ?
3. Jarak antara titik P dan titik Q yang berhadapan diametral adalah 20 cm. Berapakah panjang jari – jari lingkarannya ?
II. Persamaan Lingkaran
A. Persamaan lingkaran dengan pusat O ( 0, 0 ) dan jari – jari r.
y
x P ( x,y )
r y
O x
Persamaan tersebut disebut persamaan lingkaran yang berpusat di
O ( 0,0 ) dan jari – jari r.
Catatan :
1. { P ( x,y ) | x2 + y2 = r2 } maka titik P terletak pada lingkaran.
2. { P ( x,y ) | x2 + y2 > r2 } maka titik P terletak di luar lingkaran.
3. { P ( x,y ) | x2 + y2 < r2 } maka titik P terletak di dalam lingkaran.
Contoh 1 :
Modul Matematika
a. Ada berapa banyak jari – jari yang tampak ?
Sebutkan bila ada !
b. Ada berapa banyak garis tengah yang
tampak ? Sebutkan bila ada !
c. Ada berapa banyak busur yang tampak ?
Sebutkan bila ada !
d. Ada berapa banyak juring yang tampak ?
Arsirlah !
Titik O ( 0,0 ) adalah titik asal
koordinat dengan O sebagai pusat.
Kita buat lingkaran dengan jari – jari
r, titik P ( x,y ) terletak pada
lingkaran tersebut.
Untuk titik ( x,y ) dan titik lain pada
lingkaran tersebut berlaku
x2 + y2 = r2
11
Diketahui titik O ( 0,0 ).
a. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari - jari 5
satuan panjang !
b. Selidiki, apakah titik ( -3,-4 ) terletak pada lingkaran ?
c. Selidiki, apakah titik ( 3,5 ) terletak pada lingkaran ?
d. Selidiki, apakah titik ( 2,1 ) terletak pada lingkaran ?
Jawab :
a. Dengan menggunakan persamaan x2 + y2 = r2, maka :
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
Jadi persamaan yang dimaksud adalah x2 + y2 = 25
b. Untuk menyelidiki posisi titik terhadap lingkaran, kita
substitusikan koordinat titik ( -3,-4 ) ke ( x,y ). Hasilnya adalah :
( -3 ) 2 + ( -4 ) 2 = 25
9 + 16 = 25
25 = 25
Ruas kiri menyatakan kuadrat jarak titik ( -3,-4 ) terhadap titik
nol. Karena kuadrat jaraknya juga 25, maka titik tersebut
terletak pada lingkaran.
c. Untuk menyelidiki posisi titik terhadap lingkaran, kita
substitusikan koordinat titik ( 3,5 ) ke ( x,y ). Hasilnya adalah :
3 2 + 5 2 = 9 + 25 = 34
34 > 25
Ruas kiri menyatakan kuadrat jarak titik ( 3,5 ) terhadap titik nol
yang lebih besar dari 25. ini berarti bahwa titik ( 3,5 ) terletak di
luar lingkaran.
d. Dengan cara yang sama kita substitusikan titik ( 2,1 ). Hasilnya
adalah : 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5
5 < 25
Ini berarti bahwa titik ( 2,1 ) terletak di dalam lingkaran.
Modul Matematika
Contoh 2 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0,0 ) dan
melalui titik ( 5,-12 ) !
Jawab :
x2 + y2 = r2
5 2 + (-12) 2 = r2
169 = r2 atau r2 = 169
Jadi persamaan lingkarannya adalah : x2 + y2 = 169
LATIHAN 2
1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O ( 0,0 ) dan jari -
jari :
a. 4 b. ½ c. √2
2. Tentukan koordinat pusat dan jari – jari lingkaran dengan
persamaan :
a. x2 + y2 = 4
b. 2x2 + 2y2 = 12
c. 3x2 + 3y2 = 75
3. Selidiki posisi dari titik – titik di bawah ini, apakah terletak pada
lingkaran, luar lingkaran atau di dalam lingkaran yang pusatnya
O ( 0,0 ) dan jari – jari 6 !
a. ( 2,-1 ) b. ( 2,8 ) c. ( 0,6 )
4. Tentukan persamaan dengan pusat O ( 0,0 ) dan melalui titik :
a. ( 1,3 ) b. ( -5,12 ) c. ( 1,-2 )
5. Diketahui titik A ( 1,0 ) dan B ( 9,0 ). P adalah tempat kedudukan
titik yang dinyatakan dengan { P | PB = 3PA }. Buktikan bahwa
tempat kedudukan P adalah lingkaran dengan persamaan x2 +
y2 = 9 !
Modul Matematika
12
B. Persamaan lingkaran dengan pusat M ( a,b ) dan jari jari r
y
x P ( x,y )
r a
M ( a,b )
yb
O x
Persamaan tersebut disebut persamaan lingkaran yang pusatnya M
( a,b ) dan jari – jari r.
Catatan :
1. { P ( x,y ) |( x - a )2 + ( y - b )2 = r2 } maka titik P terletak
pada lingkaran.
2. { P ( x,y ) |( x - a )2 + ( y - b )2 > r2 } maka titik P terletak di
luar lingkaran.
3. { P ( x,y ) |( x - a )2 + ( y - b )2 < r2 } maka titik P terletak di
dalam lingkaran.
Contoh 1
Tentukan pusat lingkaran dan jari – jari lingkaran jika persamaan
lingkarannya ( x + 3 )2 + ( y - 4 )2 = 16 !
Jawab :
( x + 3 )2 + ( y - 4 )2 = 16
( x + 3 )2 + ( y - 4 )2 = 42
Jadi pusatnya M ( -3,4 ) dan r = 4
Modul Matematika
Titik O ( 0,0 ) adalah titik
pangkal koordinat, sedang
titik M ( a,b ) adalah pusat
lingkaran dengan jari – jari
r, Titik P ( x,y ) terletak
pada lingkaran tersebut.
Untuk titik P ( x,y ) dan titik
lain pada lingkaran berlaku
persamaan :
MP2 = ( x-a )2 + ( y-( x-a )2 + ( y-b )2 =
r2
13
Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya M ( -2,-4 ) dan jari –
jari : 5 !
Jawab :
( x - a )2 + ( y - b )2 = r2
( x + 2 )2 + ( y + 4 )2 = 52
x2 + 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 25
x2 + y2 + 4x + 8y – 5 = 0
Ini adalah persamaan lingkaran yang pusatnya M ( -2,-4 ) dan jari –
jari : 5.
Jika pusat lingkarannya tidak diketahui, maka bentuk umum
persamaan lingkarannya ditulis :
Persamaan tersebut disebut persamaan umum lingkaran.
Dari persamaan umum lingkaran dapat ditentukan pusat dan jari –
jari dengan rumus : pusatnya M ( -½ a, -½ b ) dan r = √¼ a2 + ¼
b2 – c
Bukti :
x2 + y2 + ax + by + c = 0
x2 + y2 + ax + by = – c
x2 + ax + y2 + by = – c
x2 + ax + ¼ a2+ y2 + by + ¼ b2 = ¼ a2 + ¼ b2 – c
( x + ½a )2+ ( y + ½b )2 = ¼ a2 + ¼ b2 – c
Jadi pusatnya M ( -½ a, -½ b ) dan r = √¼ a2 + ¼ b2 – c
Catatan : jadi pusatnya ialah koefisien x dan y dibagi 2 tetapi
tandanya berlawanan.
Modul Matematika
x2 + y2 + ax + by + c = 0
14
Contoh 3
Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika persamaannya :
X2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0
Jawab :
X2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0
X2 + - 6x + y2 + 4y – 3 = 0
Pusatnya M (-½ a, -½ b ) r = √¼ (36)2 + ¼ (16)2 +3
(-½ (-6), -½ (4) ) = √ 9 + 4 +3
( 3,-2 ) = 4
Latihan 3
1. Tulislah pusat dan jari – jari lingkaran dari setiap lingkaran
berikut ini :
a. ( x – 1 )2+ ( y – 3 )2 = 25 c. ( x – 3 )2+ ( y – 3 )2 = 50
b. ( x + 2 )2+ ( y – 3 )2 = 9 d. ( x + 1 )2+ ( y – 4 )2 = 81
2. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat yang diketahui dan
melalui titik yang diketahui pula !
a. pusat ( 1,1 ) dan melalui ( 3,3 )
b. pusat ( -2,0 ) dan melalui ( 3,4 )
c. pusat ( 3,-4 ) dan melalui ( 2,3 )
3. Tulislah persamaan lingkaran dengan pusat dan jari – jari
sebagai berikut
a. ( 2,-3 ) , 3
b. ( -4,5 ) , 4
III. Garis Singgung Sekutu
Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang memotong
lingkaran hanya pada satu titik. Garis singgung suatu lingkaran tegak
lurus dengan jari jari lingkaran yang melalui titik singgungnya.
Perhatikan gambar berikut ini !
AP
Modul Matematika
Garis AB adalah garis singgung, menyinggung
lingkaran di titik P dan OP AB. Sedangkan garis
yang menyinggung dua buah lingkaran disebut
garis singgung persekutuan kedua lingkaran.
Ada dua macam garis singgung persekutuan
dua lingkaran :
15
BO
1. Garis singgung persekutuan luar
- AB adalah garis singgung persekutuan luar- AB = CN- Panjang CMN ( siku – siku di C )
CN2 = MN2 – CM2
CN2 = MN2 – ( R – r ) 2
CN =√MN2 – ( R – r ) 2
Contoh 1
M dan N adalah pusat lingkaran yang berjari – jari 11 cm dan 4 cm, jika jarak M dan N adalah 25 cm, Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran !
Jawab :
AB = CN dan CMN ( siku – siku di C ) maka
CN2 = MN2 – CM2
= MN2 – ( R – r ) 2
= 252 – ( 11 – 4 ) 2
Modul Matematika
A
BC
R r
rNM
R-r
AB =√MN2 – ( R – r ) 2
A
BC
11 cm
r
4 cm
NM11 – 4 = 7 cm
16
= 625 – 49= 576
CN = √ 576= 24 cmKarena CN = AB maka AB = 24 cm , jadi garis singgung persekutuan luar AB = 24 cm.
2. Garis Singgung persekutuan dalam
- AB adalah garis singgung persekutuan dalam
- AB = CN
- Panjang CMN ( siku – siku di C )
CN2 = MN2 – CM2
CN2 = MN2 – ( R + r ) 2
CN =√MN2 – ( R + r ) 2
Contoh 2
Diketahui lingkaran – lingkaran dengan pusat A dan B berturut –
turut dengan jari – jari 4 cm dan 2 cm. A dan B berjarak 8 cm.
Lukislah garis singgung persekutuan dalam dan hitung panjang
garis sionggung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut !
Jawab :
Modul Matematika
A
B
C
R
r
NM
r
AB =√MN2 – ( R + r ) 2
P
Q
S
4 cm
2 cmBA
8 cm
17
PQ = BS
Panjang ABS ( siku – siku di S )
RS2 = AB2 – AS2
= 82 – 6 2
= 64 – 36
= 28
RS = √28 = √ 4 . 7 = 2 √ 7 cm
Karena RS = PQ maka PQ = 2 √7 cm, jadi panjang garis singgung
persekutuan dalam PQ = 2 √7 cm.
Latihan 4
Dua buah lingkaran berpusat di titik P dan Q masing masing –
berjari – jari 9 cm dan 3 cm. Apabila P dan Q berjarak 13 cm,
Hitunglah :
a. Panjang garis singgung persekutuan luarnya dan lukislah !
b. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya dan lukislah !
Modul Matematika
18
KEGIATAN BELAJAR II : PARABOLA
A. Kompetensi Dasar
Menerapkan Konsep Parabola
B. Prasarat
Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan mampu
memahami :
1. Unsur – unsur parabola2. Persamaan parabola dan grafiknya
C. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa mampu menjelaskan pengertian unsur – unsur parabola.
2. Siswa mampu membuat grafik persamaan parabola.3. Siswa mampu menentukan persamaan parabola.4. Siswa mampu menerapkan konsep parabola dalam
menyelesaikan masalah kejuruan.
I. Unsur – Unsur Parabola
Kita sudah mengenal parabola sebagai grafik y = ax2 + bx + c.
Sekarang kita akan mempelajari geomettri dari parabola.
Definisi : Parabola adalah lintasan atau tempat kedudukan titik yang
mempunyai jarak yang sama terhadap titik tertentu dan
terhadap suatu garis tertentu. Titik tertentu disebut Fokus
dan garis tertentu disebut Direktriks.
Untuk memahami unsur parabola, perhatikan gambar berikut !
Keterangan :
O : Puncak parabola
F : Fokus
G : garis direktriks
L1 dan L2 : Latus rectum
Sumbu simetri adalah sumbu X
Catatan :
1. Garis yang tegak lurus pada direktriks dan melalui focus disebut
sumbu simetri.
Modul Matematika
Y
PQ
XO F
L1
L2
g
19
2. Perpotongan antara sumbu simetri dan parabola disebut puncak
parabola.
II. Persamaan Parabola
A. Persamaan parabola dengan puncak ( 0,0 )
Persamaan parabola dengan titik focus F ( p,0 ) dan persamaan garis direktriks x = -p serta titik puncak ( 0,0 ) adalah :
Jika titik focus terletak disebelah kiri garis direktriks
- puncak ( 0,0 )- focus F ( -p,0 )- persamaan garis direktriks x
= p- persamaan sumbu simetri y
= 0Persamaannya :
Jika titik focus terletak pada sumbu y dan berada di atas garis direktriks
- puncak ( 0,0 )- focus F ( 0,p )- persamaan garis direktriks y
= -p- persamaan sumbu simetri x
= 0Persamaannya :
Jika titik focus terletak pada sumbu y dan berada di bawah garis direktriks
Modul Matematika
P ( x,y )
F ( p,0 )
Q ( -p,y )
Y
XO
g
X = -p
P
F
Q
Y
XO
g
P F
Y
XO
g
P F
Y
XO
g
y2 = 4 p x
y2 = - 4 p x
x2 = 4 p y
20
- puncak ( 0,0 )- focus F ( 0,-p )- persamaan garis direktriks y
= p- persamaan sumbu simetri x
= 0Persamaannya :
Contoh 1
Tentukan persamaan parabola dengan F ( 4,0 ) dan direktriks x = -2
Jawab :
Karena F ( 4,0 ), maka p = 4Jadi persamaan parabola :y2 = 4 p x
= 4 . 4 x= 16x
jadi persamaan parabola itu adalah y2 = 16x
Contoh 2
Lukiskan grafik persamaan parabola y2 = - 8x. Tentukan koordinat
fokus dan persamaan direktriksnya !
Jawab :
Pandang y2 = - 4 p x dan y2 = -
8x
Maka diperoleh 4p = 8
p = 2
karena focus terletak di sebelah
kiri direktriks maka koordinat
fokus adalah F ( -2,0 )
dan persamaan direktriks x = 2
B. Persamaan parabola dengan puncak ( a,b )
Modul Matematika
x2 = -4 p y
F
Y
X0
X = 2
1-
2-
3-
4-
-2-
-3-
-4-
-1--1-2-3 1 2 3
21
Puncak A ( a,b )
Fokus F ( a+p,b )
Direktriks g dengan persamaan
x = -p + a
Misalkan titik P ( x,y ) pada parabola maka koordinat titik Q ( -p+a,y
). Berdasarkan definisi PF = PQ maka PF2 = PQ2
( x – a – p )2 + ( y – b )2 = ( x + p – a )2
x2 + a2 + p2 – 2ax – 2px + 2ap + y2 – 2 by + b2 = x2 + p2 + a2 + 2px – 2ax
– 2ap
x2 – x2 + a2 – a2 + p2 – p2 – 2ax + 2ax + y2 – 2by + b2 = 2px + 2px – 2ap –
2ap
y2 – 2by + b2 = 4px – 4ap
( y – b ) 2 = 4p ( x – a )
Jadi persamaan parabola dengan puncak ( a,b ) adalah :
Dengan :- koordinat fokus F ( a+p,b )- persamaan direktriks x = -p + a
Jika titik fokus terletak disebelah kiri garis direktriks- puncak ( a,b )- focus F ( a-p,b )- persamaan garis direktriks x = p + aPersamaannya :
Jika titik focus terletak di atas garis direktriks- puncak ( a,b )- focus F ( a,b+p )- persamaan garis direktriks y = -p+b- persamaan sumbu simetri x = 0Persamaannya :
Modul Matematika
P ( x,y )
F
Q
Y
XO
g ( direktriks )
A ( a,b )
( y – b ) 2 = 4p ( x – a )
( y – b ) 2 = -4 ( x – a )
( x – a ) 2 = 4p ( y – b )
22
Jika titik focus terletak di bawah garis direktriks- puncak ( a,b )- focus F ( a,-p+b )- persamaan garis direktriks y = p+bPersamaannya :
Contoh 1
Tentukan fokus dan persamaan direktriks dari parabola y 2– x + 4y
+ 10 = 0
Jawab :
( y – b ) 2 = 4p ( x – a )
y 2– x + 4y + 10 = 0
y 2 + 4y + 4 = x –10 +4
( y + 2 ) 2 = ( x – 6 )
maka a = 6, b = -2, 4p = 1 atau p = ¼
jadi fokus F ( a + p, b )
F ( 6 + ¼ , -2 ) = F ( 6¼ , -2 )
persamaan direktriks x = -p + b
= ¼ + 2 = 2¼
Contoh 2
Tentukan fokus, persamaan direktriks dan sketsa grafiknya dari
persamaan parabola y 2 - 8y - 4x – 4 = 0
Jawab :
Pandang
( y – b ) 2 = 4p ( x – a )
y 2– 8x – 4y –4 = 0
y 2 – 4y + 4 = 8x + 4 + 4
( y – 2 ) 2 = 8x + 8
( y – 2 ) 2 = 8 ( x + 1 )
maka a = -1, b = 2, 4p = 8 atau p = 2
Modul Matematika
( x – a ) 2 = -4p ( y – b )23
jadi fokus F ( a + p, b )
F ( -1 + 2 , -1 ) = F ( 1 , -1 )
persamaan direktriks x = -p + a
= -2 + -1 = -3
Sketsa grafiknya
Latihan 1
Pada soal no. 1 – 4 tentukan koordinat fokus, persamaan direktriks dan
lukiskan grafiknya dari persamaan parabola :
1. y2 = 4x
2. x2 = -10y
3. y2 – 6x – 4y +4 = 0
4. ( x + 4 )2 = 8 ( y – 2 )
Pada soal no. 5 – 6 tentukan persamaan parabola dan lukiskan
grafiknya !
5. Koordinat fokus ( 2,0 ) dan persamaan direktriks x = -2
6. Koordinat fokus ( 3,3 ) dan persamaan direktriks y = 2
Pada soal no. 7 –8 tentukan persamaan parabola dan lukiskan
grafiknya !
7. Koordinat puncak ( 0,4 ) dan koordinat fokus F ( –3,4 )
8. Koordinat puncak ( 1,6 ) dan koordinat fokus F ( 1,2 )
Modul Matematika
F
Y
XOg
A
24
KEGIATAN BELAJAR III : ELLIPS
A. Kompetensi Dasar
Menerapkan Konsep Ellips
B. Prasarat
Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan mampu
memahami :
1. Unsur – unsur ellips2. Persamaan ellips dan grafiknya
C. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa mampu menjelaskan pengertian ellips 2. Siswa mampu menyebutkan unsur – unsur ellips.3. Siswa mampu melukis grafik persamaan ellips.4. Siswa mampu menentukan persamaan ellips.5. Siswa mampu menerapkan konsep ellips dalam
menyelesaikan masalah kejuruan.
I. Unsur – Unsur Ellips
Definisi : Ellips adalah tempat kedudukan titik – titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.
- Kedua titik tertentu itu disebut fokus – fokus ellips.- Garis penghubung kedua fokus disebut sumbu panjang ( sumbu
mayor ).- Garis melalui ttik tengah kedua fokus dan tegak lurus terhadap
sumbu panjang disebut sumbu pendek ( sumbu minor ).- Titik potong kedua sumbu disebut pusat ellips.- Titik potong ellips dengan kedua sumbu disebut puncak ellips
( A1,A2, B1,B2 ).
Modul Matematika
Y
X
B1
B2
A2 A2F2( -c,0 ) F1( c,0 )
P ( x,y )
g2 g1
g1dan g2 = garis direktriks
25
- Jarak antara A1A2dan B1B2 masing – masing merupakan panjang dari sumbu panjang dan sumbu pendek.
II. Persamaan Ellips
A. Persamaan Ellips dengan pusat ( 0,0 )
Persamaan ellips dapat diperoleh dengan cara berikut :
- Pilih sumbu – sumbu yang berfokus F1 ( c,0 ) dan F2 ( -c,0 )
- Misalkan jumlah jarak yang tetap adalah 2a berarti 2a > 2c atau
a > c ( lihat gambar di atas )
- Maka menurut definisi didapatkan :
F1P + F2P = 2a
⇔ √( x – c )2 + y2 + √( x – c )2 + y2 = 2a
⇔ √( x – c )2 + y2 = 2a – √( x – c )2 + y2
- kuadratkan kedua ruas, diperoleh :
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a √( x – c )2 + y2 + x2 – 2 cx + c2 + y2
⇔ 4cx – 4a2 = – 4a √( x – c )2 + y2
⇔ cx – a2 = – a √( x – c )2 + y2
- Kuadratkan kembali kedua ruas, diperoleh :
c2x2 – 2a2cx + a4 = a2 ( x2 – 2cx + c2 + y2 )
⇔ c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2 a2cx + a2c2 + a2y2
a2x2 – c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2
⇔ ( a2 – c2 )x2 + a2y2 = a2(a2– c2 )
- Karena a > c maka a2 > c2 dan a2 – c2 > 0
- Misalkan a2 – c2 = b2 ( b2 > 0 ), maka diperoleh :
b2x2 + a2y2 = a2b2
- Bagi masing – masing ruas dengan a2b2, diperoleh :
+ =
⇔ + = 1
Jadi persamaan ellips yang pusatnya ( 0,0 ) sumbu panjang 2a,
sumbu pendek 2b dan koordinat focus – focus F1 ( c,0 ) dan F2 ( -
c,0 ) adalah :
Koordinat fokus ellips ditentukan oleh persamaan a2- c2 = b2
Modul Matematika
b2x2
a2b2a2y2
a2b2a2. b2
a2 . b2
x2
a2y2
b2
+ = 1x2
a2y2
b2
26
27
Kepipihan ellips tergantung pada perbandingan antara c dengan a
yang disebut eksentrisitas ( e ) = , Persamaan direktriks x = +
Contoh 1
Tentukan persamaan ellips dengan F1 ( -3,0 ), F2 ( 3,0 ) dan sumbu
mayornya 10. Lukislah grafiknya !
Jawab :
Dari gambar :
C = 3 dan 2a = 10 maka a = 5
b2 = a2 – c2
= 52 – 32
= 25 – 9 Jadi persamaan ellips :
= 16
b = 4
Contoh 2
Tentukan sumbu mayor, sumbu minor, koordinat fokus – fokus dan
koordinat titik puncak ellips dari : dan lukiskan grafiknya
!
Jawab :
Sketsa grafik :
Dari gambar :
Modul Matematika
Y
X
D ( 0,4 )
B ( 0,-4 )
A ( -5,0 ) C ( 5,0 )F1( -3,0 ) F2( 3,0 )
Y
X
B1 ( 0,3 )
B2 ( 0,-3 )
A2 ( -5,0 )
A1 ( 5,0 )F1( -4,0 ) F2( 4,0 )
ca
a 2 c
+ = 1 ⇒ + = 1x2
a2y2
b2x2
52y2
42
+ = 1x2
25y2
16
+ = 1x2
25y2
9
+ = 1 x2
a2y2
b2+ = 1x2
25y2
9
28
Pandang
a2 = 25 maka a = 5 dan b2 = 9 maka b = 3
Jadi sumbu mayor = 2a = 2 . 5 = 10
sumbu minor = 2b = 2 . 3 = 6
b2 = a2 – c2 c2 = a2 – b2
= 25 – 9
= 16 maka c = 4
koordinat fokus F1 ( -c,0 ) = F1 ( -4,0 ) dan F2 ( c,0 ) = F2 ( 4,0 )
Persamaan ellips memotong sumbu x, jika y = 0
Maka :
Persamaan ellips memotong sumbu y, jika x = 0
Maka :
Jadi titik – titik puncak ellips adalah : ( -5, 0 ) , ( 5,0 ) , ( 0,-3 ) dan
( 0,3 ).
Jika ellips yang berpusat di O ( 0,0 ) dan sumbu panjang ( sumbu
mayor ) pada sumbu y, maka persamaannya :
- koordinat fokus F1 ( 0,c ) dan F2 ( 0,-c )
- koordinat puncak A1 ( 0,a ) , A2 ( 0,-a ) , B1 ( b, 0 ) dan B2 ( -b,0 )
- panjang sumbu mayor = 2a
- panjang sumbu minor = 2b
- persamaan direktriks y = +
Contoh 3
Tentukan koordinat focus, koordinat puncak – puncak, sumbu
mayor dan sumbu minor dari persamaan ellips
serta lukiskan grafiknya !
Jawab :
Modul Matematika
+ = 1 x2
2502
9+ 0 = 1 x2
25 = 1 x2 = 25 x = + 5
x2
25
+ = 1 02
25y2
9 0 + = 1 y2
9 = 1 y2 = 9 y = + 3 y2
9
+ = 1x2
b2y2
a2
a 2 c
+ = 1x2
9y2
25 29
Grafik : Pandang :
a2 = 25 maka a = 5
b2 = 9 maka b = 3
Jadi sumbu mayor = 2a = 2 . 5 =
10
Dan sumbu minor = 2b = 2 . 3 =
6
b2 = a2 – c2 c2 = a2 – b2
= 25 – 9 = 16
maka c = 4
koordinat fokus – fokus :
F1 ( 0,c ) = F1 ( 0,4 ) dan F2 ( 0,-c ) = F2 ( 0,-4 )
koordinat puncak puncak :
A1 ( 0,a ) = A1 ( 0,5 ) dan A2 ( 0,-a ) = A2 ( 0,-5 )
B1 ( b,0 ) = B1 ( 3,0 ) dan B2 ( -b,0 ) = B2 ( -3,0 )
Latihan 1
1. Tentukan sumbu mayor, sumbu minor, koordinat focus – focus,
koordinat puncak – puncak dan lukislah grafik persamaan ellips
berikut ini :
a. b. 25x2 + 4y2 = 100
2. Tentukan persamaan ellips yang pusatnya ( 0,0 ) dan lukislah
grafiknya, jika diketahui :
a. F1 ( 2,0 ) dan F2 ( -2,0 ) dan sumbu mayornya 20
b. F1 ( 3,0 ) dan F2 ( -3,0 ) dan sumbu minornya 4
c. Titik – titik puncak : A1 ( 6,0 ), A2 ( -6,0 )
focus – focus F1 ( 3,0 ) F2 ( -3,0 )
d. Titik – titik puncak : B1 ( 10,0 ), B2 ( -10,0 )
focus – focus : F1 ( 0,4 ) F2 ( -0,-4 )
B. Persamaan ellips dengan pusat ( p,q )
Modul Matematika
Y
X
F1 ( 0,4 )
F2 ( 0,-4 )
B1( -3,0 )
B2( 3,0 )
A1 ( 0,5 )
A2 ( 0,-5 )
+ = 1 x2
b2y2
a2+ = 1x2
9y2
25
+ = 1
x2
36y2
16
30
Persamaan ellips dengan pusat ( p,q ) adalah :
Dengan ketentuan :
- pusat ( p,q )
- koordinat titik puncak :
A1 ( a+p,q ) , A2 ( -a+p,q ) , B1 ( p,b+q ) dan B2 ( p,-b+q )
- koordinat fokus – fokus :
F1 ( c+p,q ) dan F2 ( -c+p,q )
- panjang sumbu mayor = 2a
- panjang sumbu minor = 2b
- persamaan direktriks x = ++ p
Jika sumbu mayor sejajar sumbu y, maka persamaan ellips :
Modul Matematika
Y
X
F1
F2
( p,q )
A1( p,a+q )
A2( p,-a+q )
B1(b+p,q )B2(-b +p,q )
y = q+ a2
c
y = q - a2 c
O
+ = 1( x – p )2
a2( y – q )2
b2
a 2 c
+ = 1( x – p )2
b2( y – q )2
a2
Y
X
A1(a+p,q )
F2( -a+p,q ) F1( a+p,q )
B1( p,b+q )
( p,q )
B2( p,-b+q )
X = p - a2 c
X = p + a2
c
A2 (-a+p,q )
31
Dengan ketentuan :
- pusat ( p,q )- koordinat titik puncak :
A1 ( p,a+q ) , A2 ( p,-a+q ) , B1 ( b+p,q ) dan B2 ( -b+p,q )- koordinat fokus – fokus :
F1 ( p,c+q ) dan F2 ( p,-c+q )- panjang sumbu mayor = 2a- panjang sumbu minor = 2b
- persamaan direktriks y = ++ q
Dari bentuk baku, persamaan ellips dapat dinyatakan dalam bentuk
umum
Dengan ketentuan :
A = b2
B = a2
C = -2pb2 maka C = -2pA
p =
D = -2qa2 maka D = -2qB
q =
Jadi pusat ellips
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
Contoh 3
Modul Matematika
a 2 c
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
C-2A
D-2B
C-2A
D-2B
( , )
32
Diketahui persamaan ellips 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0,
Tentukan :
a. Koordinat titik pusat
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
c. Koordinat titik fokus
d. Persamaan garis direktriks
Jawab :
a. Untuk menentukan koordinat titik pusat, kita ubah persamaan
ellips dalam bentuk : maka :
4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0
4x2 – 48x + 9y2 + 72y = – 144
4 ( x2 – 12x ) + 9 ( y2 + 8y ) = – 144
4 ( x2 – 12x + 36 ) + 9 ( y2 + 8y + 16 ) = – 144 + 144 + 144
4 ( x – 6 ) 2 + 9 ( y + 4 ) 2 = 144
Kemudian kita bagi persamaan terakhir dengan 144, diperoleh
persamaan ellips dengan bentuk :
Jadi koordinat titik pusat adalah ( 6,-4 )
b. Dalam hal ini a2 = 36 dan b2 = 16 maka a = 6 dan b = 4
Panjang sumbu mayor 2a = 2 . 6 = 12
Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8
c. Untuk menghitung koordinat titik fokus kita perlu menghitung
c2 = a2 – b2 = 36 – 16 = 20 maka c = 20.
Titik focus berada di sumbu panjang yaitu garis sejajar sumbu x,
dengan demikian koordinat titik fokus adalah :
F1 ( c+p,q ) = F1 (20+6,-4 ) dan
F2 ( -c+p,q ) = F2 ( -20+6,-4 )
d. Garis direktriks sejajar dengan sumbu y dan persamaannya
adalah :
x = + + p x = + + 6
= + 5 + 6
Contoh 4
Modul Matematika
+ = 1
( x – a )2
a2( y – b )2
b2
+ = 1( x – 6 )2
36( y +4 )2
16
a 2 c
3620
95
33
Tentukan persamaan ellips dengan titik fokus berada di F1 ( 4,1 )
dan F2 ( -2,1 ) dan panjang sumbu mayor adalah 10 !
Jawab :
Titik fokus berada di garis yang sejajar sumbu x, maka persamaan
mempunyai .
dengan a > b.
Titik pusat dari ellips terletak di tengah fokus yaitu :
p = = 1 dan q = = 1
sedang jarak pusat dengan titik fokus adalah c = 4 – 1 = 3
Diketahui panjang sumbu mayor adalah 2a = 10 maka a = 5.
Dengan demikian b2 = a2 – c2 = 25 – 9 = 16 maka b = 4.
Jadi persamaan ellips adalah :
Latihan 2
1. Tentukan koordinat pusat , koordinat fokus, panjang sumbu
mayor dan sumbu minor, persamaan direktriks dan lukiskan
grafiknya dari persamaan ellips berikut ini :
a. b. 9x2 + y2 + 6y – 18x –7 = 0
2. Tentukan persamaan ellips yang memiliki sifat :
a. Titik pusat ( 1,-2 ), sumbu mayor mendatar dan panjang 8
serta eksentrisitasnya adalah 0,75.
b. Titik fokus ( -3,0 ) dan ( -3,4 ) dan sumbu mayor adalah 6.
Modul Matematika
+ = 1( x – a )2
a2( y +b )2
b2
-2 + 42
1 + 12
+ = 1( x – 1 )2
25( y -1 )2
16
+ = 1( x – 3 )2
49( y +2 )2
16
KEGIATAN BELAJAR II : HIPERBOLA
A. Kompetensi Dasar
Menerapkan Konsep Hiperbola
B. Prasarat
Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan mampu
memahami :
1. Unsur – unsur hiperbola2. Persamaan hiperbola dan grafiknya
C. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa mampu menjelaskan pengertian hiperbola. 2. Siswa mampu menyebutkan unsur – unsur hiperbola.3. Siswa mampu melukis grafik persamaan hiperbola.4. Siswa mampu menentukan persamaan hiperbola.5. Siswa mampu menerapkan konsep hiperbola dalam
menyelesaikan masalah kejuruan.
I. Unsur – Unsur Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik yang selisih jarak
terhadap dua buah titik ( titk fokus ) selalu tetap.
Diketahui titik fokus F ( c,0 ) dan bilangan e > 1, e adalah
eksentrisitas maka hiperbola dapat dipandang juga sebagai tempat
kedudukan titik P ( x,y ) yang perbandingan jarak terhadap F dan garis
direktriks x = sama dengan e > 1.
- O sebagai pusat hiperbola
Modul Matematika
1 2
Y
X
g1 g2
B1
B2
A1A2 F1F2
GP ( x,y )
O
ce2
34
35
- Sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu simetri
- F1 dan F2 = titk fokus
- g1 dan g2 = garis direktriks
- A1 dan A2 = puncak hiperbola
- 1 dan 2 = garis asimtot
= e ( eksentrisitas ) dengan e > 1
- A1A2 = sumbu mayor = 2a
- B1B2 = sumbu minor = 2b
II. Persamaan Hiperbola
Untuk mencari persaman hiperbola, misalkan titik P ( x,y ) terletak
pada hiperbola. Jarak titik P terhadap garis direktriks x =
adalah d = ( - x ).
Sedangkan jarak titik P terhadap titik fokus adalah ( x – c )2 + y2
Selanjutnya
Kalikan dengan penyebut dan kemudian kuadratkan, hasilnya adalah :
( x – c )2 + y2 = e2 ( x - )
x2 - 2xc + c2 + y2 = e2x2 – 2cx + c2
( e2 – 1 ) x2 – y2 = c2 ( 1 - ) = ( e2 – 1 )
Seperti pada ellips, tulis a = , maka
persamaan hiperbola menjadi :
( e2 – 1 ) x2 – y2 = a 2 ( e2 – 1 )
hasilnya adalah :
Untuk lebih menyederhanakan persamaan ini ditulis :
b2 = a2 ( e2 – 1 )
= a2e2 – a2
= c2 – a2 dengan b > 0
dengan demikian persamaan hiperbola mempunyai bentuk :
Modul Matematika
PFPG
ce2
ce2
e = ( x – c )2 + y2
- x ce2
ce2
1e2
ce2
ce
– = 1
x2
e2. y2 .
a2 ( e2-1 )
– = 1x2
a2y2
b2
Jadi persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat
( 0,0 ), dengan panjang sumbu mayor 2a dan sumbu minor 2b. dengan
ketentuan :
- pusat ( 0,0 )
- sumbu mayor pada sumbu x
- sumbu minor pada sumbu y
- Fokus F1 ( c, 0 ) dan F2 ( -c, 0 ) dengan b2 = c2 – a2
- Puncak A1 ( a,0 ) dan A2 ( -a,0 )
- Persamaan garis direktriks x = +
- Eksentrisitas e =
- Persamaan garis asimtot y = + x
Sedangkan persamaan hiperbola dengan pusat ( 0,0 ), sumbu mayor
pada sumbu y adalah :
Dengan ketentuan :
- pusat ( 0,0 )
- sumbu mayor pada sumbu y
- sumbu minor pada sumbu x
- Fokus F1 ( 0,c ) dan F2 ( 0,-c ) dengan b2 = c2 – a2
- Puncak A1 ( 0,a ) dan A2 ( 0,-a )
- Persamaan garis direktriks y = +
- Persamaan garis asimtot y = + x
Modul Matematika
Y
X
Garis direktris
F1 ( 0,c )
A1 ( 0,a )
O
Garis direktris
F2 ( 0,-c )
A2 ( 0,-a )
Y = - xba
Y = xba
a 2 cc
a ba
– = 1y2
a2x2
b2
a 2 cab
Y
X
Y = - xba
B2
( a,0 )
( -a,0 ) F( c,0 )F( -c,0 ) O
Y = xba
x = - x
a2
cx = xa2
c
- = 1x2
a2y2
b2
A1A2
36
37
Contoh 1
Diketahui hiperbola dengan persamaan
Tentukan koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor,
eksentrisitas, garis direktris dan persamaan asimtot serta lukiskan
grafiknya !
Jawab :
- Untuk menghitung koordinat titik fokus, kita hitung nilai c2 = a2 + b2
a2 = 16, b2 = 9 maka c2 = 16 + 9 = 25 jadi c = 25. dengan
demikian koordinat titik fokus adalah F1 ( 5,0 ) dan F2 ( -5,0 )
- Berdasarkan persamaan hiperbola, diperoleh a2 = 16 dan b2 = 9,
maka a = 4 dan b = 3. jadi panjang sumbu mayor = 2a = 2.4 =
8, sedangkan panjang sumbu minor = 2b = 2.3 = 6
- Nilai eksentrisitas ( e ) = = = 1,25
- Garis direktris x = + = = = + 3,2
- Persamaan asimtot y = + x = +x
- Grafik
Modul Matematika
Y
X
X = -3,2
01-2-3-4-5-
-1--2--3--4--5-
1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7
X = 3,2
Y = - x34
Y = x34
– = 1x2
16y2
9
ca
54
a2
cce2
. 5 . (1,25 )
2ba
34
38
Contoh 2
Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai panjang sumbu
mayor 10 dan eksentrisitas e = 1,2
Jawab :
Diketahui sumbu mayor = 2a = 10, maka a = 5 dan e = p = 1,2
. 5 = 6
b2 = c2 – a2 = 36 – 25 = 1
Jadi persamaan hiperbola yang dibentuk adalah :
Latihan 1
1. Tentukan koordinat titik puncak, titik focus, eksentrisitas,
persamaan garis direktris dan sketsa gragfik hiperbola dengan
persamaan :
a. b. 4x2 – 9y2 = 36
2. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai syarat :
a. Titik focus F1 ( 4,0 ) dan F2 ( -4,0 ) dan titik puncak A1 ( 1,0 ) dan
A2 ( -1,0 )
b. Titik focus F1 ( 0,5 ) dan F2 ( 0,-5 ) dan asimtot y = + x
c. Panjang sumbu mayor b dan ekentrisitas e = 1,5
Modul Matematika
ca
– = 1x2
25y2
11
– = 1
x2
144y2
25
Persamaan hiperbola dengan pusat ( a,b )
Seperti irisan kerucut yang lain, pusat hiperbola dapat juga selain
titik ( 0,0 ). Dengan teknik yang sama kita dapat menduga bentuk :
a. Persamaan hiperbola dengan pusat ( p,q )
Persamaan hiperbola denga psat ( p,q ) dan sumbu mayor
mendatar ( sejajar sumbu y ) adalah :
Dengan ketentuan :
- Titik puncak A1 ( a+p,q ) dan A2 ( -a+p,q )
- Titik focus F1 ( c+p,q ) dan F2 ( -c+p,q )
- Eksentrisitas e =
- Garis direktris x = + + p
- Garis asimtot ( y – q ) = + ( x – p )
b. Persamaan hiperbola dengan pusat p,q ) dan sumbu mayor ( sejajar
sumbu x ) adalah :
Dengan ketentuan :
- Titik puncak A1 ( p,a+q ) dan A2 ( p,-a+q )
- Titik focus F1 ( p,c+q ) dan F2 ( p,-c+q )
- Eksentrisitas e =
- Garis direktris x = + + q
- Garis asimtot ( y – q ) = + ( x – a )
A, B, C, D dan E bilangan real, A dan B 0
Contoh 1
Modul Matematika
– = 1( x - p )2
a2( y – q )2
b2
ca
a 2 c b
a
– =
1
( y - q )2
a2( x – p )2
b2
ca
a 2 c
ab
Bentuk umum persamaan hiperbola :
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
39
40
Tentukan pusat hiperbola, sumbu mayor, titik puncak, titik focus, persamaan garis asimtot dan sketsa grtafik dari persamaan hiperbola 9x2 – 4y2 – 36x – 8y = 4 !
Jawab :
Kita ubah persamaan dalam bentuk kuadrat umum :9x2 – 4y2 – 36x – 8y = 49x2 – 36x – 4y2 – 8y = 49 ( x2 – 4x) – 4 ( y2 + 2y ) = 49 ( x2 – 4x + 4 ) – 4 ( y2 + 2y + 1 ) = 4 + 36 – 49 ( x – 2 ) – 4 ( y + 1 ) = 4Jadi persamaan hiperbola menjadi :
a2 = 4 maka a = 2b2 = 9 maka b = 3- pusat hiperbola ( 2,-1 ) sumbu utamanya mendatar atau sejajar
sumbu x panjangnya = 2a = 2 . 2 = 4- titik puncak hiperbola
A1 ( a+p,q ) = A1 ( 2+2,-1 ) = A1 ( 4,-1 )A2 ( -a+p,q ) = A2 ( -2+2,-1 ) = A2 ( 0,-1 )
- Dalam hal ini nilai a = 2 dan b = 3 maka c2 = a2 + b2 = 4 + 9 = 13Jadi titik focus hiperbola F ( 2+3,-1 ) dan F’ ( 2-3,-1 )
- Persamaan garis asimtot y – q = + ( x – a )
y + 1 = + ( x – 2 )
- Sketsa grafik
Latihan 2
Modul Matematika
– = 1( x - 2 )2
4( y + 1 )2
9
32
Y
X0-1-
4F2 F1
2
41
1. Tentukan koordinat titik pusat, titik puncak, titik fokus, nilai
eksentrisitas, persamaan garis direktris, persamaan asimtot dan
sketsa grafik hiperbola dengan persamaan :
a. x2 – y2 – 2x + 4y – 4 = o
b. 4y2 – 9x2 – 18x – 8y – 41 = 0
2. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi syarat :
a. Titik pusat ( 2,2 ) sumbu mayor panjangnya 6 dan
eksentrisitas e = 2
b. Titik pusat ( -1,3 ) titik puncak ( -4,3 ) dan ( 2,3 ) titik fokus ( -
6,3 ) dan ( 4,3 )
Modul Matematika
EVALUASI
Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar !
1. Pada gambar disamping besar sudut = 300 maka besar sudut adalah ….a. 100 d. 30b. 60 e. 25c. 50
2. Jika AOB = 144 dan panjang AO = 10 cm maka luas juring AOB adalah ….a. 40 cm2 d. 10 cm2
b. 30 cm2 e. 5 cm2
c. 20 cm2
3. Sebuah pipa mendatar berisi air engan diameter 50 cm. Apabila lebar permukan air yaitu AB = 14 cm, maka tinggi permukaan air tepat ditengahnya (yang terdalam) adalah …
a. 18 cmd. 1,5 cmb. 12 cm e. 1,0 cmc. 10 cm
4. Hubungan tiga roda gigi seperti pada gambar. Jika diketahui RA = 12 cm. RB = RC = 24 cm, maka tinggi tumpukan tiga roda gigi tersebut ( h ) adalah ….a. 62,83 cm d. 52,83 cmb. 61,83 cm e. 50,83 cmc. 60,83 cm
5. Suatu pulley seperti gambar di bawah, jarak kedua pusat pulley : 25 cm, jika diameter pulley I : 6 cm dan diameter pulley II : 20 cm. Maka panjang sabuk AB yang menghubungkan pulley I dan pulley II adalah a. 24 cm d. 21 cmb. 23 cm e. 20 cmc. 22 cm
Modul Matematika
A
B
O 144
A B
A
B C
h
A B
I
II
42
6. Persamaan lingkaran dengan pusat ( 0,0 ) dan melalui titik ( 2,3 ) adalah a. x2 + y2 = 15 d. x2 + y2 = 5b. x2 + y2 = 1 e. tidak ada yang benarc. x2 + y2 = 10
7. Titik berikut yang berada dalam lingkaran x2 + y2 = 256 adalah …a. ( 15,6 ) d. ( -5,16 )b. ( 10,-12 ) e. tidak ada yang benarc. ( -5,16 )
8. Persamaan lingkaran yang berpusat di ( 3,-2 ) dan melalui titik ( 3,1 ) adalah ….a. x2 + y2 + 3x – 2y – 7 = 0 d. x2 + y2 – 6x + 4y – 16 = 0b. x2 + y2 – 3x + 2y – 13 = 0 e. tidak ada yang benarc. x2 + y2 + 6x – 4y – 4 = 0
9. Persamaan lingkaran dengan garis AB sebagai garis tengah, titik A ( 3,-2 ) dan B ( 5,4 ) adalah ….a. x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 d. x2 + y2 + 8y + 4y +65 = 0b. x2 + y2 – 8x – 4y – 15 = 0 e. tidak ada yang benarc. x2 + y2 + 8x + 4y – 65 = 0
10.Pusat lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 – 8y + 2y – 1 = 0 adalah a. ( 4,-6 ) c. ( -4,-6 ) e. ( 2,- ½ ) b. ( -4,6 ) d. ( -2, ½ )
11.Titik fokus parabola y2 = 12 x adalah ….a. ( 4,0 ) c. ( 3,0 ) e. ( -2,0 )b. ( -4,0 ) d. ( -3,0 )
12.Suatu pelat empat persegi panjang yang tipis dilengkungkan sehingga berbentuk parabola seperti gambar disamping. Puncak pelat menyinggung lantai sebagai sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu simetri, dengan persamaan direktris y = -2½, maka persamaan pelat yang berbentuk parabola tersebut adalah a. x2 = 10y
b. x2 = -10y
c. x2 = 8y
d. x2 = -8y
e. tidak ada yang benar
13.Titik puncak parabola ( y + 3 )2 = 16 ( x – 5 ) adalah ….
a. ( -5,3 ) c. ( 3,-5 ) e. tak ada yang benar
b. ( -5,-3 ) d. ( -3,5 )
Modul Matematika
y
y = -2
- F
O
x
43
14.Persamaan parabola dengan titik fokus F ( 2,5 ) dan garis direktriks y
= 1 adalah
a. ( x – 2 )2 = 8 ( y – 5 ) d. ( x – 2 )2 = 8 ( y + 1 )
b. ( x – 2 )2 = 8 ( y – 3 ) e. ( x – 2 )2 = 8 ( y + 2 )
c. ( x – 2 )2 = 8 ( y – 1 )
15.Suatu energi yang disisipi porsiklus oleh gaya redaman dalam model redaman viskos ditunjukkan secara grafik berbentuk ellips seperti gambar disamping. Jika panjang sumbu mayor ( sumbu utama ) 8 dan eksentrisitas e = 0,5 maka persamaan grafik ( ellips ) adalah ….
a.
b.
c.
d.
e. Tidak ada yang benar
16.Koordinat pusat dan panjang sumbu mayor dari ellips :x2 + 2y – 4x + 4y + 4 = 0 adalah …. a. ( 2,-2 ) dan 4b. ( 2,-1 ) dan 4c. ( 2,-2 ) dan 2d. ( 2,-1 ) dan 2e. tidak ada yang benar
17.Persamaan ellips dengan titik fokus F1 ( 1,3 ) dan F2 ( 7,3 ) serta sumbu
mayor 10 adalah ….
a.
b.
c.
d.
e. tidak ada yang benar
Modul Matematika
X2
16+ = 1y2
4
X2
4+ = 1y2
16
X2
16+ = 1y2
12
X2
12+ = 1y2
16
– = 1
( x - 4 )2
25( y - 3 )2
16
– = 1( x - 1 )2
25( y - 3 )2
16
– = 1( x - 4 )2
100( y - 3 )2
64
– = 1( x - 7 )2
100( y - 3 )2
64
44
18. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik ( 0,0 ), panjang sumbu
mayor 16 dan sumbu minor 14 adalah ….
a. d.
b. e. tidak ada yang benar
c.
19.Persamaan hiperbola dengan pusat ( 2,-1 ), salah satu titik fokus ( 6,-
1 ) dan eksentrisitas e = 2 adalah ….
a. d.
b. e. tidak ada yang benar
c.
20. Koordinat pusat dan salah satu titik fokus dari hiperbola 4x2 – 9y2 +
24x + 36y – 36 = 0 adalah ….
a. ( -3,2 ) dan ( -13 – 3,2 ) d. ( -1,3 ) dan ( 2,-13 – 3 )
b. ( -2,3 ) dan ( 13 – 3,2 ) e. tidak ada yang benar
c. ( -1,3 ) dan ( 2,13 – 3 )
Modul Matematika
– = 1
x2
49y2
16
– = 1x2
64y2
16
– = 1x2
64y2
49
– = 1
x2
49y2
64
– = 1( x - 2 )2
12( y +1 )2
4
– = 1( x - 2 )2
4( y +1 )2
12
– = 1
( x - 2 )2
4( y +1 )2
12 –
= 1
( x - 2 )2
16( y +1 )2
12
45
Cocokan hasil jawaban anda dengan kunci jawaban evaluasi yang ada
pada bagaian akhir modul ini . Hitunglah jawaban anda yang benar,
kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat
penguasaan anda terhadap materi kegiatan belajar .
jawaban yang benarTingkat Penguasaan : ---------------------------------- x 100 %
20
Arti tingkat penguasaan yang dicapai :
90 % - 100 % : baik sekali
80 % - 89 % : baik
70 % - 79 % : cukup
60 % - 69 % : kurang
Modul Matematika
KUNCI JAWABAN EVALUASI
1. D 11. C
2. A 12.A
3. E 13.A
4. A 14.B
5. A 15.C
6. B 16.A
7. B 17.A
8. D 18.C
9. E 19.D
10.E 20.A
Modul Matematika
11. DAFTAR PUSTAKA
Abdul Kodir M., Drs. M. Sc., dkk. Matematika 8 untuk SMA. Depdikbud.
1981.
Budiyono, Drs., Matematika Program Inti. Widya Dhuta, 1984.
Depdiknas. Kurikulum SMK Edisi 2004 Program Keahlian Teknik Mekanik
Otomotif, 2004.
Karseno, S. Pd., R. Sugeng Widodo, S. Pd, dan Tejo Yuwono, Drs.,
Ringkasan Materi dan Soal – Soal Penunjang Belajar Siswa,
MENTARI. Cahaya Mentari, 1999.
Suah Sembiring, Sarjana Matematika Terapan ITB. Penuntun
Pembelajaran Matematika. Ganesha Exact Bandung, 1986.
Sukino, Junari Tanuwijaya, Dra, dan P. Ananta S. MIA. Matematika 3
Program Ilmu – Ilmu Fisik dan Ilmu – Ilmu Biologi. Intan Pariwara,
1987.
Tim Matematika. Matematika Program Inti untuk Kelas I Semester I SMA.
Intan Pariwara, 1980.
Wiyoto, Drs, dan Wagirin, Drs,. Matematika Sekolah Menengah Kejuruan
Jilid 2. Angkasa Bandung, 1999.
Wiwiet Tjatur S., Dra, dan Basuki. Matematika untuk SMU kelas 3 Cawu 1.
SMU 2 Purwokerto, 1996.
Wono Setiya Budhi, Drs,. Matematika SMU 3A. Pusgrafin, 1999.
Modul Matematika
Modul Matematika
