PARABOLA

PARABOLA

A. persamaan PARABOLA yang berpuncak di O (0, 0)

B. persamaan PARABOLA yang berpuncak di P (a, b )

a. Pers. Grs. SinggungPARABOLA melaluisatu titik

C. Garis Singgung PARABOLA

b. Pers. Grs. SinggungPARABOLA yang bergradien m

PETA KONSEP

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada

bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap

suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu.

PENGERTIAN

A

B

C

C`

PF l

g/d

Perhatikan gambar

Jarak dari titik A ke garis g dan titik fokus adalahsama. Begitu juga halnya dengan titik B.

Keterangan1. Titik A dan B terletak pada

parabola2. Titik P adalah puncak parabola3. Titik F adalah titik fokus (titik api)4. Garis g / d adalah garis arah

(direktris)5. Garis l merupakan sumbu simetri6. Garis CC`disebut lactus rektum

(LR)

A. persamaan PARABOLA yang berpuncak di O (0, 0)

(0,0) X

d:X=

-P

F(P,0)

Y

•••

Terbuka ke kanan

X

Y

(0,0) F(P,0)

d:X=-P

•••

Terbuka ke kiri

X

Y

•

••

F(0,p)

(0,0)d:y=-P

Terbuka ke atas

X

•

•

•

F(0,-p)

(0,0)

d: y=p

Terbuka ke bawah

GRAFIK

Puncak Fokus Direktris Persamaan Keterangan

(0, 0) (p, 0) x = -p y2 = 4px Parabola terbuka ke kanan

(0, 0) (-p, 0) x = p y2 = -4px Parabola terbuka ke kiri

(0, 0) (0, p) y = -p x2 = 4py Parabola terbuka ke atas

(0, 0) (0, -p) y = p x2 = -4py Parabola terbuka ke bawah

A. persamaan PARABOLA yang berpuncak di O (0, 0)

Contoh:

1.Dari parabola-parabola berikut tentukan koordinatfokus,persamaan sumbu simetri,persamaan direktris danpanjang lactus rectum

a. y2 = 4x c. x2 = -8yb. y2 = -12x

Jawab:

a. y2 =4px y2 = 4x, maka p = 1Parabola ini merupakan parabola horizontal yang terbuka ke kanan.(i) Koordinat titik fokus F(p,0) F(1,0)(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka

persamaanya y = 0(iii) Persamaan direktris: x = -p x = -1(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 1 = 4

b. y2

=-p4x y2

= -12x, maka 4p = 12 p = 3

Parabola ini merupakan parabola horizontal yang terbuka

ke kiri

(i) Koordinat titik fokus F(-p,0) F(-3,0)

(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka

persamaanya y = 0

(iii) Persamaan direktris: x = -p x = 3

(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 3= 12

x = 0

(iii) Persamaan direktris: y = p y = 2

(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 2 = 8

c. x2 = -8y, maka 4p = 8 p = 2

Parabola ini merupakan parabola horizontal yang

terbuka ke bawah

(i) Koordinat titik fokus F(0,-p) F(0,-2)

(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu y, maka

persamaanya x2

= -p4y

B. persamaan PARABOLA yang berpuncak di P (a, b )

a. Titik puncak P(a,b)

b. Titik fokus F(a+p,b)

c. Direktris x = -p+a

d. Sumbu semetri y = b

• Keteranganx•

•

•

•O(0,0) F(p,0)

••

y

P(a,b)

Fp(a+p,b)

a

•

•

(y – b)2 = 4p(x – a)

GRAFIK

y

O

g

F

x

Terbuka ke kanan

O

g

x

y

F

Terbuka ke kiri

y

F

O

g

x

Terbuka ke atas

y

F

O

g

x

Terbuka ke bawah

B. persamaan PARABOLA yang berpuncak di P (a, b )

Puncak Fokus Direktris Persamaan Keterangan

(a, b) (a + p, b) x = -p + a (y – b)² = 4p(x – a) Terbuka ke kanan

(a, b) (a - p, b) x = p + a (y – b)² = -4p(x – a) Terbuka ke kiri

(a, b) (a, b + p) y = -p + b (x – a)² = 4p(y – b) Terbuka ke atas

(a, b) (a, b – p) y = p + b (x – a)² = -4p(y – b) Terbuka ke bawah

B. persamaan PARABOLA yang berpuncak di P (a, b )

Diberikan persamaan parabola 3x – y2 + 4y + 8= 0

Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris

b. Titik fokus d. Sumbu semetri

Jawab:

Ubah persamaan parabola ke persamaan umum:

3x – y2 + 4y + 8= 0

y2 - 4y = 3x + 8

y2 - 4y + 4 = 3x + 8 + 4

(y – 2)2 = 3x + 12

(y – 2)2 = 3(x + 4)

Didapat persamaan parabola (y – 2)2 = 3(x + 4) yaitu

parabola mendatar yang terbuka ke kanan.

Contoh:

Dari persamaan tersebut diperoleh:a. Titik puncak P(-4,2)

b. 4p = 3 maka p =

Titik Fokus F(a+p,b)

c. Persamaan direktris :

d. Sumbu semetrinya : y = 2

4

3

)2,4

34( F

)2,4

13(F

4

34

44

3

x

apx

xO(0,0)

P(-4,2)F

y

a. Persamaan Garis Singung melalui satu titik pada PARABOLA

C. Garis singgung PARABOLA

x

y

•

•A(x1,y1)

h

0

Perhatikan Gambar di samping,Garis h adalah garis singgung parabola y² = 4px dititik A(x1,y1).

y2 = 4px yy1

= 2p(x+x1)

y2 = -4px yy1

= -2p(x+x1)

x2 = 4py xx1

= 2p(y+y1)

x2 = -4py xx1

= -2p(y+y1)

(y – b)2 = 4p(x – a) (y-b)(y1-b)=2p(x+x

1-2a)

(y – b)2 = -4p(x – a) (y-b)(y1-b)=-2p(x+x

1-2a)

(x – a)2 = 4p(y – b) (x-a)(x1-a)=2p(y+y

1-2b)

(x – a)2 = -4p(y – b) (x-a)(x1-a)=-2p(y+y

1-2b)

• Secara umum, persamaan garis singgung parabola dititik A(x1,y1). Di sajikan pada tabel berikut.

Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di

titik (2,4)

jawab :

y2 = 8x

4p = 8

p = 2

Titik A(x1,y1) A(2,4)

Persamaan garis singgungnya adalah

yy1 = 2p(x+x1)

y.4 = 2.2(x+2)

4y = 4(x+2)

y = x+2

Contoh:

b. Persamaan Garis Singung PARABOLA yang Bergradien m

C. Garis singgung PARABOLA

• Secara umum, persamaan garis singgung parabola dengan gradien m dapat di lihat pada tabel berikut.

Persamaan parabola Persamaan garis singgung

y2 = 4px y = mx +

y2 =- 4px y = mx -

x2 = 4py y = mx – m2p

x2 = -4py y = mx + m2p

(y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) +

(y – b)2 = -4p(x – a) (y – b) = m(x – a) -

(x– a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p

(x– a)2 = -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p

m

p

m

p

m

p

m

p

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang bergradien 2

Jawab:

Parabola y2 = 8x 4p = 8p = 2

Maka persamaan garis singgungnya adalah:y = mx +y = 2x + 1

m

p

Sekian dan Terima Kasih