Upload
elisamayangsari
View
508
Download
59
Embed Size (px)
DESCRIPTION
IRISAN KERUCUT DAN KOORDINAT KUTUB
Citation preview
IRISAN KERUCUT IRISAN KERUCUT
DANDAN KOORDINAT KOORDINAT
KUTUBKUTUB
I.1 DEFINISI DAN BAGIAN I.1 DEFINISI DAN BAGIAN IRISAN KERUCUTIRISAN KERUCUT
• Irisan KerucutIrisan Kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang lengkung kerucut lingkaran tegak dengan bidang datar.
• Irisan KerucutIrisan Kerucut terbagi empat, yaitu :– Berbentuk lingkaran– Berbentuk parabola– Berbentuk elips– Berbentuk hiperbola
Definisi Irisan KerucutDefinisi Irisan Kerucut
(yang berbentuk parabola, elips, dan hiperbola)
Irisan Kerucut Irisan Kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap.
keterangan:• Titik tertentu = titik api (fokus)• Garis tertentu = garis arah (direktriks)• Nilai perbandingan tetap = eksentrisitas (e)
I.2 PARABOLAI.2 PARABOLA
• Definisi
ParabolaParabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.
Bentuk Umum Persamaan Parabola yang Berpuncak di Titik Pusat (0,0)
1. y2 = 4px parabola terbuka ke kanan
2. y2 = -4px parabola terbuka ke kiri
3. x2 = 4py parabola terbuka ke atas
4. x2 = -4py parabola terbuka ke bawah
Keterangan :
p > 0
p = jarak fokus ke titik puncak parabola
RUMUS y2=4px y2=-4px x2=4py x2=-4py
Koordinat fokus (p,0) (-p,0) (0,p) (0,-p)
Garis arah x = -p x = p y = -p y = p
Sumbu simetri y = 0 y = 0 x = 0 x = 0
Titik Latus Rectum (p,2p)
(p,-2p)
(-p,2p)
(-p,-2p)
(2p,p)
(-2p,p)
(2p,-p)
(-2p,-p)
Panjang Latus Rectum 4p 4p 4p 4p
F(p,0)
direktriks x= -p
x
y
(p,2p)
(p,-2p)
PARABOLA y2 = 4px
F(-p,0)
direktriks x= p
x
y
(-p,2p)
(-p,-2p)
PARABOLA y2 = -4px
PARABOLA x2 = 4py
x
y
direktriks y = -p
0
F(0,p)
(2p,p)(-2p,p)
PARABOLA x2 = -4py
x
direktriks y = p
0
F(0,-p)
(2p,-p)(-2p,-p)
y
Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Suatu Titik
Kedudukan garis dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan D
D > 0 garis memotong parabola di 2 titik berbeda D = 0 garis menyinggung parabola D < 0 garis tidak memotong dan menyinggung
Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Titik (x1,y1)
Parabola Persamaan Garis Singgung
Persamaan Garis Normal
y2 = 4px
y2 = -4px
x2 = 4py
x2 = -4py
yy1 = 2p(x+x1)
yy1 = -2p(x+x1)
xx1 = 2p(y+y1)
xx1 = -2p(y+y1)
Ditentukan dari persamaan garis singgung
y – y1 = m(x-x1)
(m = kebalikan negatif m pada persamaan garis singgung)
I.3 ELIPSI.3 ELIPS
• Definisi
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Bentuk Umum Persamaan Elips yang Berpusat di Titik (0,0)
22222
222222
2
2
2
2
222222
2
2
2
2
c+b=a dan b>a
ba=yb+xa
vertikal) elips1=a
y+
b
x2.
ba=ya+xb
atau
)horisontal elips1=b
y+
a
x1.
berlaku
(
(
RUMUS ELIPS HORISONTAL ELIPS VERTIKAL
Titik puncak
Titik sb pendek
Fokus
Panjang sb pjg
Panjang sb pdk
e
Direktriks
Panjang LR
Titik LR
(-a,0) dan (a,0)
(0,-b) dan (0,b)
(-c,0) dan (c,0)
2a
2b
c/a
x=-a/e dan x=a/e
2b2/a
LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)
LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)
(0,-a) dan (0,a)
(-b,0) dan (b,0)
(0,-c) dan (0,c)
2a
2b
c/a
y=-a/e dan y=a/e
2b2/a
LR1 : (b2/a,-c) dan (-b2/a,-c)
LR2 : (b2/a,c) dan (-b2/a,c)
ELIPS HORISONTAL
F1(-c,0) F2(c,0)
x= -a/e x= a/e
A2(a,0)A1(-a,0)
B2(0,b)
B1(0,-b)
x
y
ELIPS VERTIKAL
F1(0,c)
F2(0,-c)
x= -a/e
x= a/e
A2(0,a)
A1(0,-a)
B2(b,0)B1(-b,0) x
y
0
Persamaan Garis Singgung dan Normal Elips di Titik (x1,y1)
Elips Persamaan Garis Singgung
Persamaan Garis Normal
Sama dengan perhitungan PGN
pada parabola
1=a
yy+
b
xx1=
a
y+
b
x
1=b
yy+
a
xx1=
b
y+
a
x
21
21
2
2
2
2
21
21
2
2
2
2
I.4 HIPERBOLAI.4 HIPERBOLA
• Definisi
Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Bentuk Umum Persamaan Hiperbola yang Berpusat di Titik (0,0)
222
222222
2
2
2
2
222222
2
2
2
2
b+a=c
ba=xa-yb
vertikal) hiperbola1=b
x-
a
y2.
ba=ya-xb
atau
)horisontal hiperbola1=b
y-
a
x1.
berlaku
(
(
RUMUS HIPERBOLA HORISONTAL
HIPERBOLA VERTIKAL
Titik puncak
Fokus
Titik sb minor
Panjang sb mayor
Panjang sb minor
e
Direktriks
Panjang LR
Titik LR
Pers. Asimtot
(-a,0) dan (a,0)
(-c,0) dan (c,0)
(0,-b) dan (0,b)
2a
2b
c/a
x=-a/e dan x=a/e
2b2/a
LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)
LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)
y=(-b/a)x dan y=(b/a)x
(0,-a) dan (0,a)
(0,-c) dan (0,c)
(-b,0) dan (b,0)
2a
2b
c/a
y=-a/e dan y=a/e
2b2/a
LR1 : (-b2/a,c) dan (b2/a,c)
LR2 : (-b2/a,-c) dan (b2/a,-c)
y=(-a/b)x dan y=(a/b)x
Bentuk Siku Empat Dasar HiperbolaBentuk Siku Empat Dasar Hiperbola
• Tentukan titik puncak A1 dan A2
• Tentukan titik sumbu minor B1 dan B2
• Gambarkan siku empat dasar yang melalui titik-titik tersebut seperti gambar berikut :
A1 A2
B2
B1
Hiperbola horisontal
B1 B2
A2
A1
Hiperbola vertikal
HIPERBOLA HORISONTAL
B2
B1
A1 A2
x = -a/e x = a/e
F1 F2
y = (b/a) x
y = - (b/a) x
HIPERBOLA VERTIKAL
y = (a/b) x
A2
A1
B1 B2
y = -a/e
y = a/e
F1y = - (a/b) x
F2
Persamaan Garis Singgung dan Normal Hiperbola di Titik (x1,y1)
Hiperbola Persamaan Garis Singgung
Persamaan Garis Normal
Sama dengan perhitungan PGN
pada parabola
1=b
xx-
a
yy1=
b
x-
a
y
1=b
yy-
a
xx1=
b
y-
a
x
21
21
2
2
2
2
21
21
2
2
2
2
I.5 TRANSLASI SUMBUI.5 TRANSLASI SUMBU
Penyederhanaan Persamaan Hiperbola Penyederhanaan Persamaan Hiperbola Dengan Metode TranslasiDengan Metode Translasi Kelompokkan variabel x dan y di ruas kiri dan
konstanta di ruas kanan.
Keluarkan koefisien x2 dan y2 sehingga menjadi k1(x2+ax) dan k2(y2+by).
Lengkapi kuadrat x2+ax dan y2+by dengan menambahkan kuadrat setengah koefisien x dan y.
Sederhanakan persamaan sehingga konstanta di ruas kanan menjadi 1.
Translasikan u = x + a dan v = y + b.
Contoh :
4x2 – 9y2 – 16x + 72y – 164 = 0
4x2 – 16x– 9y2 + 72y = 164
4(x2 – 4x) – 9(y2 – 8y) = 164
4(x2 – 4x + 4) – 9(y2 – 8y + 16) = 164 + 16 – 144
4(x-2)2 – 9(y-4)2 = 36
(x-2)2 (y-4)2
9 4
Translasi u = x – 2 dan v = y – 4
= 1
u2 v2
9 4=1 merupakan persamaan hiperbola horisontal
I.6 ROTASI SUMBUI.6 ROTASI SUMBU
Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik AxAx2 2 + Bxy + Cy+ Bxy + Cy2 2 + Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi+ Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi
Gunakan substitusix = u cos θ – v sin θ
y = u sin θ + v cos θ
denganB
C-A=2θcot
Contoh :3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0A= 3, B = 10, C = 3, D = 8Cot 2θ = (A-C)/B
(3-3)/10 = 0Tg 2θ = ∞2θ = 900
θ = 450
Sin θ = sin 450 = ½√2 Cos θ = cos 450 = ½√2
x = u cos θ – v sin θx = ½√2 u – ½√2 v = ½√2 (u-v)
y = u sin θ + v cos θy = ½√2 u + ½√2 v = ½√2 (u+v)
3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0↔ 3[½√2 (u-v)]2 + 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] + 3[½√2 (u+v)]2 + 8 = 0
↔ 3[½(u-v)2] + 10 [½(u2-v2)]+3[½(u+v)2]+8 = 0
↔ 3/2 (u-v)2 + 3/2 (u+v)2 + 5 (u2 – v2) + 8 = 0
↔ 3/2u2 – 3uv + 3/2v2 + 3/2u2 + 3uv + 3/2v2 + 5u2 – 5v2 + 8 = 0↔ 8u2 – 2v2 = -8
↔ v2/4 – u2/1 = 1 (hiperbola vertikal)
I.7 SISTEM KOORDINAT KUTUBI.7 SISTEM KOORDINAT KUTUB
• Titik Dalam Koordinat Kutub
(r,θ)
(-r,θ) (r,-θ)
(-r,-θ)
θ
Keempat titik tersebut adalah pasangan koordinat pasangan koordinat kutub.kutub.
• Menentukan Persamaan Cartesian dari Grafik Persamaan KutubGunakan substitusi persamaan-persamaan :Gunakan substitusi persamaan-persamaan :
• Menggambarkan Grafik Persamaan Kutub
Gantikan persamaan kutub ke persamaan Gantikan persamaan kutub ke persamaan CartesianCartesian
xx22 + y + y22 = r = r22
x = r cos x = r cos θθy = r sin y = r sin θθ
I.8I.8 GRAFIK PERSAMAAN KUTUBGRAFIK PERSAMAAN KUTUB
Persamaan Kutub
Persamaan Cartesian
Garis r = d / cos θ
r = d / sin θ
x = d
y = d
Lingkaran r = 2a cos θ
r = 2a sin θ
Pusat (a,0), jari-jari = a
(x-a)2 + y2 = a2
Pusat (0,a) , jari-jari = a
x2 + (y-a)2 = a2
Konik r = ed / (1 + e cos θ)
r = ed / (1 + e sin θ)
d memotong sumbu x
d memotong sumbu y
0<e<1 elips
e = 1 parabola
e > 1 hiperbola
I.9 KALKULUS DENGAN KOORDINAT I.9 KALKULUS DENGAN KOORDINAT KUTUBKUTUB
• Rumus kemiringan garis singgung di θ pada r = f(θ)
θ cos )θ(' f θsin )θf(-
θsin )θ(' f θ cos )θf(=m
+
+
d2)](f[2
1A
• Luas bidang pada koordinat kutub
• Persamaan garis singgung di kutub dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan f(θ) = 0