modul1 galat

Metode Numerik (TGP-FTUI)

Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI 131·611·668 (Pendahuluan : #1/1)

Modul 1:

Analisis Galat (error) dan Masalah-masalah Mendasar Dalam Komputasi Numeris

(dengan Turbo Pascal dan FORTRAN 77/90/95)

A. Kendala Dalam Sistem Komputasi Numerik Dalam komputasi numerik, yaitu perhitungan yang menggunakan bahasa-bahasa pemrograman (Pascal, FORTRAN, C, C++, dll.), selalu dijumpai beberapa kendala sistematis yang berhubungan dengan sistem kerja “prosesor” dan atau “koprosesor” dari komputer yang digunakan.

Kendala-kendala yang dijumpai umumnya berupa sesatan (error), pembulatan (round-off) dan stabilitas (stability). Di samping itu, problem-problem íntrinsik’ yang dimiliki oleh setiap compiler bahasa pemrograman juga turut mempengaruhi kendala-kendala tersebut.

B. Solusi Analitis dan Numeris Secara matematis, semua problem seharusnya dapat diselesaikan, betapapun sulitnya. Pada dasarnya, solusi problem matematis tersebut dapat digolongkan dalam 2 bagian besar berikut:

ð Solusi EKSAK (exact solution) : hasil penyelesaian suatu problem matematis yang identik dengan hasil penyelesaian yang diperoleh melalui metode analitis

ð Solusi PENDEKATAN (approximative solution) : hasil penyelesaian suatu problem matematis dengan metode numerik yang umumnya merupakan pendekatan terhadap solusi eksak karena adanya ketidakpastian dan sesatan (uncertainty and errors) dalam proses penyelesaian problem



Namun, di dalam dunia teknik umumnya lebih dipilih teknik-teknik solusi yang praktis dan menghemat waktu. Dalam hal ini, solusi pendekatan seringkali digunakan karena dianggap relatif praktis dan dapat menghemat waktu.

C. Teknis dan Proses Penyelesaian Problem Secara sistematis, pada dasarnya teknis dan proses penyelesaian dapat dilakukan berdasarkan urutan atau sekuens kerja berikut:

1. Formulasi yang tepat dari suatu model matematis dan atau pada model numerik yang sepadan

2. Penyusuanan suatu metode untuk penyelesaian problem numerik

3. Implementasi metode yang dipilih untuk proses komputasi solusi/jawaban.

Problem(dunia) nyata

Formulasi : MODEL MATEMATISdan MODEL NUMERIK

Penyusunan Metode

Implementasi Metode

Ketidakpastian

S o l u s i

Sekuens teknik dan proses penyelesaian problem matematis

Ø Problem nyata : fenomena atau proses-proses kehidupan alamiah yang dijumpai sehari-hari (gravitasi, banjir, populasi, gerakan angin, dll.)

Ø Matematika digunakan untuk pembentukan model karena mempunyai bahasa dan kerangka-kerja yang baku.



C. Model Matematis dan Solusi Numeris Dalam problem-problem teknik, rekayasa ataupun perancangan, pada umumnya dapat diselesaikan atau dicari solusinya secara numerik, karena ‘model matematik’ yang dimiliki diubah terlebih dahulu menjadi ‘model numeris’:

ð Pendekatan Numerik : dilakukan untuk memudahkan pemahaman persepsi MODEL MATEMATIKA, dengan cara mengalihkannya menjadi MODEL NUMERIK.

ð Model Numerik : model yang pada prinsipnya dapat diselesaikan menggunakan sejumlah tertentu tahapan-tahapan pendekatan atau perhitungan :

D. Solusi Numeris dan Sesatan Seperti telah dijelaskan di atas, setiap solusi-solusi numeris yang diaplikasikan pada komputer selalu berkendala, namun demikian pada umumnya masih dapat ditoleris berdasarkan analisis kesalahan (galat) yang dilakukan:

� Sesatan Pemotongan (truncation error) : sesatan atau kesalahan yang terjadi karena adanya pemotongan atau penyederhanaan proses perhitungan yang berlangsung secara tak berhingga è IINNTTUUIITTIIFF ((mmaatthheemmaattiiccaallllyy uunnssoollvvaabbllee pprroobblleemm !! ))

� Sesatan Pembulatan (round-off error) : sesatan atau kesalahan yang terjadi karena adanya pembulatan atau penyederhanaan penyimpanan bilangan yang dilakukan dalam “memori” komputer è Notasi ilmiah dalam PPEERRAANNGGKKAATT KKEERRAASS !!



E. Konsep Konvergensi Konvergensi seringkali digunakan dalam solusi-solusi numeris, sebagai parameter (alat estimasi) untuk memperkirakan bilamana problem yang dihadapi memiliki solusi atau jawab yang “mendekati solusi eksak”, “dapat diterima dengan prosentase galat tertentu”, atau bahkan “tidak memiliki solusi”. Bila suatu problem menemui atau cenderung pada suatu “domain jawab”, maka problem tersebut dapat dikatakan ‘konvergen’, sedangkan bila sebaliknya, maka problem tersebut disebut ‘divergen’.

Pengertian-pengertin lain yang berhubungan dengan konvergensi ini adalah:

ð Order Konvergensi (order of convergence) : laju atau kecepatan perubahan sesatan pemotongan menjadi nol sebagai fungsi dari parameter-parameter metode yang dipilih.

1. Metode menuju konvergen setara N/1 2. Metode menuju konvergen setara 531 ,/k 3. Metode menuju konvergen setara 2h 4. Metode menuju konvergen secara eksponensial 5. Sesatan pemotongan berorder 51 N/ 6. Order sesatan sebesar 4h 7. Laju konvergensi setara NN /)(log

ð Notasi Ilmiah (scientific notation) : representasi angka atau penulisan bilangan dalam memori komputer berdasarkan kaidah baku perangkat keras, yaitu :

Pernyataan “berorder 21 N/ ” berarti juga “berkelakuan sebagai 21 N/ ”, yang umumnya ditulis sebagai :

)/( 21 N0=



Simbol 0-besar didefinisikan sebagai berikut :

Suatu fungsi )( xf dikatakan sebagai ))(( xg0 pada saat x menuju L bila :

∞<→ )(

)(lim

xg

xf

Lx

& Coba pikirkan !

1. 25 N/ , 32 110 NN // + dan NeN N //, −+− 226 semuanya

adalah )/( 21 N0 pada saat N menuju ∞=L

2. h4 , hhh log/23 + dan 32 hhh −+− semuanya adalah

adalah )(h0 pada saat h menuju 0=L .

1 Coba buat programnya dan analisis order konvergensinya !

1. Estimasi atau solusi pendekatan untuk turunan dari persamaan : 2sin)( xxf = pada 5=x , dengan metode :

A. h

xfhxf )()( −+

B. h

hxfhxf

2

)()( −−+

2. Analisislah propagasi harga-harga dari deret Taylor untuk e (bilangan natural) dan 12−e , yaitu :

∑∞

==

0 !N

Nx

N

xe , N = jumlah bilangan berhingga



Sesatan Mutlak

1/H

Kurva pengaluran sesatan log-log dari problem diferensiasi

sederhana untuk persamaan 2sin)( xxf = pada 5=x .



Sesatan

N = jumlah bilangan berhingga

Kurva pengaluran log-log sesatan dari deret Taylor untuk

persamaan xexf =)( .



F. Konsep Konvergensi Berikut ini diberikan contoh-contoh program, dalam bahasa Turbo Pascal dan FORTRAN.

Program pertama merupakan program untuk mengestimasi galat sistematis yang dimiliki suatu komputer dan programnya (disebut epsilon mesin). Diagram aliran (organigram) dari proses penghitungan ‘epsilon mesin’ tersebut adalah sebagai berikut:

Mulai

Epsm = 1,0

(Epsm + 1,0) > 1.0 ?

Epsm = Epsm/2,0

Epsm

Selesai

Diagram alir proses penghitungan epsilon mesin (epsm).



Listing program (source code) dari proses penghitungan di atas, dalam bahsa Turbo Pascal, adalah sebagai berikut:

Program dalam TURBO Pascal :

Var Epsm : Real; {atau Extended}

Begin Epsm := 0.0; While (Epsm + 1.0) > 1.0 do Epsm := Epsm/2.0; Writeln(‘Epsilon Mesin = ‘,Epsm); Readln; End.

Sedangkan, dalam bahsa FORTRAN (77, 90, atau 95), adalah sebagai berikut:

Program dalam FORTRAN: IMPLICIT NONE REAL Epsm

C Dapat juga dipakai REAL*8 Epsm = 1.0D0 DO WHILE (Epsm + 1.0D0) .GT. 1.0) Epsm = Epsm/2.0D0 ENDDO WRITE(*,*) ‘Epsilon Mesin = ‘,Epsm END



Program kedua merupakan program untuk mengestimasi secara numeris ungkapan exp(x). Diagram aliran (organigram) dari proses penghitungan tersebut adalah sebagai berikut:

Exp(xx)

Selesai

xx,sumsum,DENDEN,NUMNUM NN,II,JJ

Mulai

xx, N

sum = 1,0

I = 1…N

NUM = 1,0 DEN = 1,0

J = 1…I

NUM = NUM*xx DEN = DEN*J

J ≤≤ I

J > I

�

�I ≤≤ N

� sum = sum + NUM/DEN

�

I ≤≤ N

�

Diagram alir proses penghitungan eps(x).



Program dalam TURBO Pascal : Var x : Real; sum,NUM,DEN : Double; {atau Extended} N,I,J : Integer;

Begin Write(‘x = ‘); Readln(x); Write(‘N = ‘); Readln(N); sum := 0.0; For I := 1 to N do Begin NUM := 1.0; DEN := 1.0; For J := 1 to I do Begin NUM := NUM*x; DEN := DEN*J End; sum := sum + NUM/DEN End; Writeln(‘Exp(x) = ‘,sum); Readln; End.

Tugas:

Salin program di atas ke dalam bahasa FORTRAN !

G. Daftar Pustaka Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, John

Wiley & Sons, Toronto, 1978. Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical Methods

with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo, 1983. Bismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”, Jurusan TGP-

FTUI, 1999.

Documents

modul1 galat