Modul5_Nilai_Eigen

7/25/2019 Modul5_Nilai_Eigen

1/20

MODUL V

EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR

5.1. Pendahuluan

Biasanya jika suatu matriksAberukuran mxm danxsuatu vektor pada Rm, tidak

ada hubungan antara vektorxdan vektorAx. Tetapi seringkali kita menemukan suatu

vektor tak nol x tertentu sedemikian hingga x dan Axmerupakan pergandaan satu

sama lain dan berlakuAx=xdengan Amatrik berukuran m x m dan suatu skalar.

Kejadian inilah yang dinamakan nilai eigen dan vektor eigen (eigenvalue dan

eigenvektor) dan merupakan kejadian yang sering dijumpai dalam matriks.

Eigenvalue dan eigenvektor secara implisit dinyatakan sebagai fungsi elemen-elemen

dari sebuah matriks bujur sangkar (square matrix).

Modul ini, erat kaitannya dengan materi-materi determinan dan ruang vektor .

Dalam modul ini akan dipelajari bagaimana mendapatkan eigenvalue dan

eigenvektor dari suatu matriks bujur sangkar dan sifat-sifatnya serta penerapannya

dalam diagonalisasi.

Pada banyak aplikasi yang mengikutsertakan analisa matriks bujur sangkar,

informasi kunci dari analisa didapatkan dari eigenvalue dan eigenvektor ini. Sebagai

contoh dalam penentuan penguraian nilai singular dan penguraian spektral, dimana

aplikasi ini banyak dipakai dalam pemodelan.

5.2. Eigenvalue, Eigenvektor, dan Eigenspace (Ruang Eigen)

Definisi 5.1 (Eigenvalue dan Eigen vekor )

JikaAadalah matriks mx m, maka setiap skalar memenuhi persamaan

xAx (5.1)

untuk m1 vektor x 0, disebut eigenvalue dari A. Vektor xdisebut eigenvektor

dari Ayang berhubungan dengan eigenvalue , dan persamaan (5.1) diatas disebut

persamaan eigenvalue-eigenvektor A. Kadang-kadang eigenvalue dan eigenvektor

juga dinyatakan sebagai (latents root and vectors)atau karekteristik roots dan vektor.

Persamaan (5.1) dapat juga dituliskan sebagai

0 xA (5.2)

Setiap nilai eigenvalue harus memenuhi persamaan determinan,

0 A (5.3)


2/20


3/20

109

A =

544

324

335

=)5)(4(3)5)(4(3)2)(4(3

)3(4)4(3)2()5( 222

= 10178 23

= 0125

Jadi, dari hasil di atas diperoleh tiga eigenvalueA, yaitu : 1=5 , 2= 2 dan 3=1

Untuk mendapatkan eigenvektor A yang bersesuaian dengan 1 = 5, kita

harus menyelesaikan persamaan Ax=5x, sedemikian hingga diperoleh sistem

persamaan sebagai berikut,

1 1

2 2

3 3

5 3 3

4 2 3 5

4 4 5

x x

x x

x x

yang ekuivalen dengan persamaan-persamaan :

3321

2321

1321

5544

5324

5335

xxxx

xxxx

xxxx

atau

2 3

1 3 2

1 2

( )

4 3 7 ( )

( )

x x a

x x x b

x x c

Dari persamaan (a), misal jika kita ambilx2= 1 makax3= 1,

sehingga dengan persamaan (c) diperoleh dan x1=1 .

Sehingga eigenvektor dariA yang bersesuaian dengan 1= 5 adalah x = (1, 1, 1)T.

Dari persamaanx2= x3danx1=x2, anda dapat mengambil sembarang x2yang lain,

pasti akan memenuhi persamaan tersebut. Dari hal ini dapat dikatakan bahwa

eigenvektor tidak tunggal.

Dengan cara yang sama, sekarang untuk 2= 2, kita harus menyelesaikan persamaan

Ax=2x, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,


4/20

110

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

5 3 3 2

4 2 3 2

4 4 5 2

x x x x

x x x x

x x x x

Dari persamaan diatas kita peroleh :

2 3 1

1 3 2

1 2 3

3 3 7

4 3 4

4 4 7

x x x

x x x

x x x

Akan terpenuhi jikax1=1 ,x2= 1 makax3= 0 . Sehingga eigenvektor dariA yang

bersesuaian dengan 2= 2 adalahx = (1, 1, 0)T.

Dan untuk 3 = 1, kita harus menyelesaikan persamaan Ax=x, sedemikian hingga

diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

5 3 3

4 2 3

4 4 5

x x x x

x x x x

x x x x

Dari persamaan diatas kita peroleh :

2 3 1

1 3 2

1 2 3

3 3 4

4 3 3

4 4 4

x x x

x x x

x x x

Akan terpenuhi jikax1=0 ,x2= 1 makax3= 1 . Sehingga eigenvektor dariA yang

bersesuaian dengan 3= 1 adalahx = (0, 1, 1)T.

Dari ketiga eigenvektor tersebut kita dapatkan eigenvektor yang ternormalisasi :

Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan 1= 5 adalah :

2 2 21 1 1 3


2 21 1 0 2


2 20 1 1 2

Sehinga eigenvektor yang ternormalisasi yang berhubungan dengan eigenvalue 5,2,1.

:

1/ 3, 1/ 3, 1/ 3 , 1/ 2, 1/ 2, 0 , 0, 1/ 2, 1/ 2T T T


5/20

111

Eigenvektor ternormalisasi akan tunggal, kecuali untuk tandanya saja,

sehingga nilai eigenvektor tersebut kita kalikan dengan -1 juga merupakan

eigenvektor yang lain.

Eigenvalue dan eigenvektor mempunyai interpretasi geometri yang

sederhana, misalnya jika merupakan eigenvalue dari matriks A yang bersesuaian

dengan eigenvektor x. Vektor Ax merupakan perkalian skalar dari x dengan

eigenvalue nya, sehingga panjang dari vektor Ax x . Tanda plus minus

tergantung kepada tanda dari .

Contoh 5.2.

Dari matriks segitiga atas, tentukan eigenvalue dan eigenvektornya

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

0

0 0

0 0 0

a a a a

a a a

a a

a

Jawab :

Dengan mengingat bahwa determinan dari matriks segitiga adalah perkalian diagonal

utama maka kita dapatkan :

11 12 13 14

22 23 24

11 22 33 44

33 34

44

0( )( )( )( )

0 0

0 0 0

a a a a

a a aA I a a a a

a a

a

Sehingga persamaan karakteristiknya adalah :

11 22 33 44( )( )( )( ) 0a a a a

dan diperoleh eigenvalue nya adalah :

11 22 33 44; ;a a a dan a yang merupakan elemen-elemen diagonal

utama dariA.

Teorema 5.1 :


6/20

112

Jika Aadalah suatu matriks segitiga (segitiga atas atau segitiga bawah atau matriks

diagonal) berukuran m x m, maka eigenvalue dari Aadalah elemen-elemen diagonal

utama dariA.

Contoh 5.3.

Tentukan eigenvalue dan eigenvektornya dari matriks berikut :

12

23

48

0 0

1 0

5 8

A

Jawab :

Berdasarkan teorema 6.1, diatas dengan mudah dapat kita tentukan eigenvalue dari

matriksAyaitu 1 2 12 3 4; dan

Pada prakteknya eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks tidak selalu

bernilai real, kadang suatu matriks mempunyai eigenvalue dan eigenvektor bilangan

komplek.

Perhatikan contoh berikut :

Contoh 5.4.

Perhatikan pada matriks 2 2 berikut,

1 1

2 1A

Tentukan persamaan karekteristik, dan tentukan eigenvaluenya.

Jawab :

Dengan definisi 6.3, persamaan karakteristik matriks Adapat ditentukan :

21 1 (1 )(1 ) 2 1 02 1

A I

Sehingga eigenvalue dariAadalah 1 atau 1 1i dan i

Untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan i , kita tentukan

x=(x1,x2)T

= (y1 + iz1, y2 + iz2)T

. Untuk mendpatkan nilai y1,z1, y2, z2kita gunakan

persamaanAx=ix.


7/20

113

Demikian juga untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan i ,

kita tentukan x=(x1,x2)T

= (y1 - iz1, y2 - iz2)T

. Untuk mendapatkan nilai y1,z1, y2, z2

kita gunakan persamaan Ax=-ix.Untuk mendapatkan eigenvektor, lakukan sebagai

latihan.

Dalam prakteknya, untuk menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue

dan eigenvektor dari suatu matriks yang berukuran besar (4x4 atau lebih), tentulah

bukan hal yang mudah. Perhatikanlah contoh berikut :

Contoh 5.5

Tentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berikut

:

10 9 0 0

4 2 0 0

0 0 2 7

0 0 1 2

A

Jawab :

Dengan menggunakan bantuan paket program Matlab, untuk menyelsaikan matriks

diatas, langkah pertama adalah memasukkan nilai dari matriks A sebagai berikut :

A=[10 -9 0 0;4 -2 0 0;0 0 -2 -7;0 0 1 2]

A =

10 -9 0 0

4 -2 0 0

0 0 -2 -7

0 0 1 2

inilah bentuk matriks A.

Untuk mendapatkan persamaan karakteristik dari matriks A, lakukan perintah

sebagai beikut :

poly(A)

ans =

1.0000 -8.0000 19.0000 -24.0000 48.0000


8/20

114

Dari hasil diatas ekivalen dengan bentuk persamaan :

14 - 83+ 192 -24+ 48

Untuk mendapatkan eigenvalue, lakukan perintah sebagai berikut :

eig(A)

ans =

4.0000

4.0000

0 + 1.7321i

0 - 1.7321i

Jadi eigenvalue dari matriks A adalah 4, 4 ,1.7321i dan - 1.7321i

Nampak bahwa matriks A mempunyai eigen velue bilangan kompleks

Untuk mendapatkan nilai eigenvektor, yang bersesuaian dengan eigen veluen,

lakukan perintah

[V,D]=eig(A)

V =

0.8321 0.8321 0 0

0.5547 0.5547 0 0

0 0 -0.6124 - 0.7071i -0.6124 + 0.7071i

0 0 0 + 0.3536i 0 - 0.3536i

D =

4.0000 0 0 0

0 4.0000 0 0

0 0 0 + 1.7321i 0

0 0 0 0 - 1.7321i

dimana V berisikan eigenvektor ternormalisasi dari matriks A dan D adalah matriksDiagonal dengan elemen diagonal adalah eigenvalue yang bersesuaian dengan eigen

vekotor..

- Kolom pertama matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang

bersesuaian dengan eigenvalue 4,

- Kolom kedua matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang

bersesuaian dengan eigenvalue 4


9/20

115

- Kolom ketiga matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang

bersesuaian dengan eigenvalue 1.7321i

- Kolom keempat matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang

bersesuaian dengan eigenvalue - 1.7321i

Untuk matriks yang sederhanapun anda dapat menentukan persamaan karakteristik,

eigenvalue dan eigenvektor dengan program Matlab. Coba anda kerjakan kembali

contoh 6.1 sampai dengan contoh 6.44, dengan menggunakan bantuan program

Matlab, bandingkan hasilnya dengan penghitungan manual.

Dalam beberapa kondisi, kita menginginkan bekerja dengan himpunan semua

eigenvektor yang dihubungkan dengan suatu eigenvalue. Kumpulan semua

eigenvektor SA() yang berhubungan dengan eigenvalue tertentu, disebut ruang

eigen dariAyang bersesuaian dengan . Dimana SA()={x:xRmdanAx = x}

Teorema 5.2 :

Jika SA() adalah ruang eigen dari matriks A berukuran m x m yang bersesuaian

dengan maka SA() adalah sub ruang vektor dari Rm.

Bukti :

Dengan menggunakan definisi : jika x SA(), makaAx= x. Maka jikax SA()

dany SA(), maka untuk skalar dan berlaku :

A(x + y) = Ax + Ay =( x)+(y) = (x+y)

Akibatnya (x+y) SA() dan SA() merupakan ruang vektor

Contoh 5.6.

Diberikan matriks A sebagai berikut :

2 1 0

0 1 0

0 0 1

A

tentukan ruang eigennya.

Jawab :

Langkah pertama, menentukan persamaan karakteristik dari matriks A sebagai

berikut :


10/20

116

2

2 1 0

0 1 0 (1 ) (2 ) 0

0 0 1

maka diperoleh eigenvalue dariA adalah 1 dan 2.

Untuk mendapatkan SA(1) , selesaikan persamaanAx=x.

1 1

2 2

3 3

2 1 0

0 1 0

0 0 1

x x

x x

x x

ekiuvalen dengan persamaan :

1 2 1 1 2

2 2

3 3

2x x x x x

x x

x x

Misal jika kita pilihx1=0 maka x2= 0 dan kita pilihx3= 1 . Sehingga eigenvektor

dariA yang bersesuaian dengan 1= 1 adalahx = (0, 0, 1)T.

Pilihan lain yang juga memenuhi adalah untukx1=1 maka x2= 1 dan kita pilihx3=

0 . Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 1= 1 adalah x = (1, 1,

0)T. Juga merupakan eigen vekor dari A. dimana dua vektor tersebut bebas secara

linear, maka vektor-vektor ini membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang

bersesuaian dengan 1 = 1. Sehingga SA(1) adalah sub ruang yang merentang

dengan basis (x1,x2). SA(1) merupakakan bidang dalam R3.

Untuk mendapatkan SA(2) , selesaikan persamaanAx= 2x

1 1

2 2

3 3

2 1 0

0 1 0 2

0 0 1

x x

x x

x x

1 2 1

2 2

3 3

2 2

2

2

x x x

x x

x x

Untuk persamaan diatas yang memenuhi adalah untuk x2 = 0 dan x3 = 0 dan

sembarang nilai dari x1, misal kita beri nilai 1 atau kelipatannya. Sehingga

eigenvektor dariA yang bersesuaian dengan 1= 2 adalah x = (1, 0, 0)T. Sehingga

SA(2) adalah garis dalam R3yang diberikan oleh {(a,0,0)T:-


11/20

117

Contoh 5.7.

Perhatikan pada matriks 3 3 berikut,

120

010

321

A

Persamaan karakteristik dariA adalah |AI| = (1)=0 , Amemiliki eigenvalue 1

yang berulang tiga kali. Eigenvalue-eigenvektor persamaan Ax = xmenghasilkan

tiga persamaan skalar.

332

22

1321

2

32

xxx

xx

xxxx

yang mempunyai pemecahan vektor untuk bentuk x = (a,0,0)T. Jadi, meskipun

perkalian eigenvalue 1 adalah 3, ruang eigen yang bersesuaian SA(1) = {(a,0,0)T:-

a } adalah hanya berdimensi satu.

5.4.2. Sifat-sifat Eigenvalue dan Eigenvektor

Pada bagian ini, kita buat beberapa hasil yang berguna yang bersesuaian

dengan eigenvalue. Bukti dari hasil pada teorema pertama kita dapat dengan mudah

diperoleh menggunakan persamaan karakteristik atau persamaan eigenvalue-

eigenvektor.

Teorema 5.3.

Jika diberikan matriksAmm. Maka,

a)

EigenvalueATadalah sama dengan eigenvalueA.

b) Amatriks singular jika dan hanya jika sedikitnya satu eigenvalue Asama

dengan 0.

c) Elemen-elemen diagonal A adalah eigenvalue A, jika A merupakan

matriks segitiga.

d) EigenvalueBAB-1sama dengan eigenvalue A, jika Bmerupakan matriks

nonsingular mm.


12/20

118

e) Setiap eigenvalue A adalah +1 atau -1, jika A merupakan matriks

orthogonal.

Bukti :

Buktikan teorema 5.3 sebgai latihan anda.

Kita perhatikan pada contoh 6.6 bahwa memungkinkan untuk dimensi sebuah

ruang eigen yang dikaitkan dengan eigenvalue lebih kecil daripada perkalian .

Teorema berikut menjelaskan bagaimana jika dim{SA()}r.

Teorema 5.4.

Anggap adalah eigenvalue dari matriks A m m, dengan perkalian r 1, maka

1 dim{SA()} r

Bukti :

Jika adalah eigenvalueA, dengan definisi terdapatx0 yang memenuhi persamaan

eigenvalue-eigenvektorAx= xdan, jelas, dim{SA()}1. Sekarang, diberikan k=

dim{SA()}, dan x1,,xk. akan menjadi eigenvektor independen linear yang

bersesuaian dengan . Bentuk nonsingular matriks X berukuran mm yang mana

vektor k ini sebagai kolom k, yaitu, Xmempunyai bentuk 21 XXX , dimana

kxxX ,,11 dan X2 adalah m (m k). Karena setiap kolom X1 adalah

eigenvektorAyang bersesuaian dengan eigenvalue , kemudianAX1= X1, dan

)0(1

1 kI

XX

Mengikuti dari kenyataan bahwaX-1X=Im. Sebagai hasilnya kita dapatkan,

211

21

11

AXXXAXAXXAXX

2

1

)0( B

Bk

dimana B1dan B2menyatakan pemisahan matriksX-1AX2. Jika adalah eigenvalue

X-1AX2, maka

mAXX 10

km

k

B

B

2

1

0 km

kB 2


13/20

119

dimana persamaan terakhir diperoleh dengan mengulangi penggunaan rumus

perluasan kofaktor untuk sebuah determinan. Jadi, haruslah merupakan eigenvalue

X-1AX dengan perkalian sedikitnya k. Hasilnya sekarang mengikuti karena,

berdasarkan teorema 5.3 (d), eigenvalueX-1AXadalah sama seperti halnyaA.

Jika eigenvalue dan eigenvektor suatu matriks A diperoleh, anda dapat

dengan mudah mencari eigenvalue dan eigenvektor dari sembarang pangkat

bilangan bulat positif dari A. Misalnya jika adaalah suatu eigenvalue dari A dan x

adalah eigenvektor yang bersesuaian, maka :

A2x =A(Ax)=A(x)=(Ax) = (x) =2x

Yang menunjukkan bahwa 2 merupakan eigenvalue dari A2 dan x

merupakan eigenvektor yang bersesuaian. Secara umum, perhatikan teorema berikut

:

Teorema 5.5.

Diberikan merupakan eigenvalue matriks A m m dan x eigenvektor yang

berhubungan. Maka,

(a)Jika n adalah integer 1, n adalah eigenvalue dari An yang berhubungan

dengan eigenvektorx.

(b)JikaAadalah nonsingular, -1adalah eigenvalue dari A-1yang berhubungan

dengan eigenvektorx.

Bukti :

Untuk bagian (a) dengan menggunakan hubungan Ax = xyang berulang, sehingga

kita mempunyai

xxAxAAxAxA nnnnn 111

Untuk membuktikan poin (b), perkalian awal persamaan eigenvalue-eigenvektor

xAx

denganA-1, memberikan persamaan

1x A x (5.4)


14/20

120

Karena Anonsingular, berdasarkan teorema 6.2(b) kita tahu bahwa 0, sehingga

pembagian kedua sisi dengan menghasilkan

1 1A x x

yang mana merupakan persamaan eigenvalue-eigenvektor untuk A-1, dengan

eigenvalue -1dan eigenvektorx.

Contoh 5.8 :

Perhatikan kembali matriks A pada contoh 6.6.Tentukan eigenvalue dan eigenvektor

dari A7

Jawab :

Dari contoh soal 5.6, telah diperoleh bahwa eigenvalue dari matriks A adalah =1

dan = 2 . Dengan menggunakan teorema 5.5 maka =27 = 128 dan = 17= 1

merupakan eigenvalue dari A7.

Eigenvektor dariA yang bersesuaian dengan = 1 adalahx = (0, 0, 1)T.

Dan eigenvektor dariA yang bersesuaian dengan = 27= 128 adalahx = (1, 0, 0)T

Dalam mempelajari matriks dan statistik lebih lanjut, anda akan sering

berhubungan dengan trace dan determinan suatu matriks. Jika eigenvalue dari suatu

matriks sudah diperoleh, maka untuk mendapatkan trace ataupun determinan dari

suatu matriks anda akan dapat menentukan dengan mudah. Perhatikan teorema

berikut :

Teorema 5.6.

DiberikanAberupa matriks m mdengan eigenvalue 1, , m. Maka

(a) tr(A) 1m

i i ,

(b) 1m

i iA

Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan)

Hal penting dalam statistika adalah mengetahui kebebasan linear dari

beberapa vektor. Penerapan dari kebebasan linear telah anda kenal dalam penentuan

rank, basis, dimensi ataupun dalam penyelesaian dari sistem persamaan linear yang


15/20

121

telah dibahas pada modul-modul sebelumnya. Dalam kaitannya dengan kebebasan

linear, juga ada kaitannya dengan eigenvalue dari suatu matriks.

Teorema berikut memberikan kondisi yang cukup untuk serangkaian

eigenvektor yang independen secara linear.

Teorema 5.7.

Anggapx1, ,xradalah eigenvektor matriks A berdimensi m m, dimana r m. Jika

eigenvalue yang bersesuaian 1, ,radalah i juntuk semua i j, maka vektor

x1, ,xrindependen secara linear.

Bukti :

Pembuktian kita dilakukan dengan cara berkebalikan, karenanya kita mulai dari

asumsi bahwa vektor x1, ,xradalah independen secara linear. Kemudian hadalah

bilangan integer terbesar untuk x1, ,xhyang independen secara linear. Kumpulan

yang seperti itu dapat ditemukan karena x1, yang menjadi eigenvektor, tidak boleh

sama dengan 0 (nol), dan karenanya independen secara linear. Vektor-vektor x 1, ,x

h+1haruslah bergantung secara linear (linearly dependent), jadi skalar yang ada 1,

,h+1 dengan sedikitnya dua skalar yang tidak boleh sama dengan nol karena

menyebabkan eigenvektor menjadi vektor null, sehingga

1 1 1 1 0h hx x

Penyelesaian persamaan di atas untuk sisi sebelah kiri dengan mengalikannya dengan

(Ah+1I), kita dapatkan

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

h h h h

h h h h h

h h h h h

A x A x

Ax x Ax x

x x

juga harus sama dengan 0. Tetapix1, ,xhlinear independen sehingga berlaku

1 1 1 1 0h h h h

Kita mengetahui bahwa sedikitnya salah satu dari skalar 1, , htidak sama

dengan nol dan sebagai contoh, jika iadalah satu dari skalar-skalar yang tidak nol,

maka kita harus memiliki i= h+1. Hal ini bertolak belakang dengan kondisi-kondisi


16/20

122

yang disebutkan dalam teorema, jadi vektor-vektor x1, , xr haruslah independen

linear.

5.4.3. Diagonalisasi

Jika eigenvalue 1, , m dari matriks Aberukuran mm semuanya adalah

berbeda, maka sesuai dengan teorema 6.7 bahwa matriks X = (x1,, xm) adalah

nonsingular, dimana xi adalah eigenvektor yang berhubungan dengan i. Berlaku

pula dengan persamaan eigenvalue-eigenvektorAxi= ixi, yaitu jika tentukan matriks

diagonal = diag(1, , m), maka AX=X. Perkalian persamaan ini dengan X-1

menghasilkan X-1AX = . Setiap matriks persegi yang dapat ditransformasikan ke

matriks diagonal melalui perkalian diawal matriks (postmultiplication) dengan

sebuah matriks nonsingular dan perkalian diakhir matriks (premultiplication)dengan

inversnya disebut dapat didiagonalkan (diagonalizable). Jadi, suatu matriks persegi

dengan eigenvalue berbeda adalah diagonalizable.

Jelasnya, apabila sebuah matriks adalah diagonalizable, rank-nya sama dengan

jumlah eigenvalue yang tidak nol, karena

rank(A) = rank(X-1AX) = rank()

Contoh 5.9.

Pertimbangkan matriks berukuran 2 x2 berikut :

1 1 0 1;

0 1 0 0A B

tentukan rank dari matriks A dan B.

Jawab :

Dapat anda tentukan dengan mudah bahwa rank dari matriksAdanBadalah 1. Dan

diperoleh persamaan karakteristik dari A adalah (1 ) 0 , sehingga eigenvalue

dariAadalah 0 dan 1, jadi dalam kasus ini rank dari A adalah sama dengan jumlah

eigenvalue yang tidak nol.

Perhatikan untuk matriks B, persamaan karakteristik dari B adalah 2=0,

sehingga eigenvalue dari B adalah 0 yang diulang sebanyak dua kali. Disini rank dari

B lebih besar dari jumlah eigenvalue yang tidak sama dengan nol.


17/20

123

Contoh 5.10

Diberikan matriks A sebagai berikut :

0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

Tentukan suatu matriks X yang mendiagonalkan matriks A.

Jawab :

Dari matriks tersebut dapat kita tentukan persamaan karakteristiknya adalah (-1)(-

2)2= 0 dan didapatkan basis-basis untuk ruang eigen :

= 2 diperoleh e1= (-1 0 1)T dan e2=(0 1 0)2

=1 diperolah e3= (-2 1 1)T

sehingga ada tiga vektor basis dan matriks A dapat didiagonalkan,

1 0 2

0 1 1

1 0 1

X

mendiagonalkan A.

dimana :

1

1 0 1 0 0 2 1 0 2 2 0 0

1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 2 0

1 0 1 1 0 3 1 0 1 0 0 1

X AX

yang merupakan matriks diagonal dengan elemen diagonalnya adalah eigenvalue.

Teorema 5.8.

Diberikan matriksAberukuran mmdengan eigenvalue 1, , m, dan

1

(0)m

i

i

A

;

yaitu, jika 1

1 1 0 0m m

m

adalah persamaan karakteristik

A, maka

1

1 1 0 0m m

mA A A

Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan)


18/20

124

5.4.3. Matriks Simetris

Banyak sekali aplikasi-aplikasi yang yang melibatkan eigenvalue dan

eigenvektor, salah satunya adalah matriks simetri. Dimana matriks simetri

mempunyai beberapa sifat khusus yang berkaitan dengan eigenvalue dan

eigenvektor.

Teorema 5.9.

JikaA adalah matriks simetri berukuran m xm, maka

a) eigenvalue dariAsemuanya bilangan real, dan

b) Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal

Bukti :

a) Misal i merupakan eigenvalue dari A dan x y iz merupakan

eigenvektor yang bersesuaian, dimana 1i . Akan kita tunjukkan bahwa

=0

Substitusikan ekspresi dan xke dalam persamaan eigenvalue eigenvectorAx

= x.

A y iz i y iz (5.5)

Perkalian (6.5) dengan (y iz)Tmenghasilkan

( ) ( ) T T

y iz A y iz i y iz y iz

yang disederhanakan menjadi

yTAy+z TAz= (+ i)(yTy+z Tz),

karenay TAz= z TAy berlaku simetri A. Sekarang x 0 berimplikasi bahwa

(yT

y+ zT

z) > 0, dan konsekuensinya kita harus mempunyai = 0 karena sisi

kiri persamaan di atas adalah real. Substitusikan = 0 ke dalam persamaan

(5.5) hasilnya adalah

Ay+ iAz= y+ iz

Jadi, x=y+ izakan menjadi eigenvektorAyang berhubungan dengan =

sepanjangydanzmemenuhiAy= y,Az= zdan sedikitnya tidak ada salah


19/20

125

satu yang bernilai 0 sehingga x 0. Sebuah eigenvector real kemudian

dibentuk dengan memilihy 0 sedemikian hinggaAy= ydanz= 0.

Jadi terbukti bahwa eigenvalue dariAsemuanya bilangan real.

b) Anggapx1 danx2adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan eigenvalue 1

dan 2yang berbeda dari matriksA. Kita ingin menunjukkan bahwax1.x2= 0.

Menurut teori hasil kali titik pada modul Ruang Vektor, dan kesimetrisanA,

diperoleh :

Ax1.x2=x1.ATx2 =x1.A

Tx2 (5.6)

Tetapi x1 adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan 1 dan x2 adalah

eigenvektor yang bersesuaian dengan 2, sehingg persamaan (5.6)

menghasilkan hubungan :

1x1.x2=x1. 2x2

yang dapat ditulis kembali menjadi :

(1- 2 )(x1.x2) = 0 (5.7)

Tetapi (1- 2 ) 0, karena 1dan 2 dianggap berbeda. Jadi dari persamaan

5.7 dapat kita simpulkan bahwa x1.x2 = 0. Yang berarti x1danx2ortogonal.

Telah kita lihat bahwa himpunan eigenvektor dari sebuah matriksAukuran

mm adalah linear independen jika eigenvalue yang terasosiasi semuanya adalah

berbeda satu sama lainnya. Sekarang akan kita tunjukkan, jika A simetris, kita bisa

bahas lebih lanjut. Anggaplah x dan y adalah eigenvector A yang berhubungan

dengan eigenvalue dan , dimana . Maka, karenaAsimetris, berlaku bahwa

( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T T x y x y Ax y x A y x Ay x y x y

Karena kita harus mempunyai xTy = 0, yaitu eigenvector yang berhubungan

dengan eigenvalue yang berbeda haruslah orthogonal. Sehingga, jika meigenvalueA

adalah berbeda, maka serangkaian eigenvector yang berhubungan akan membentuk

kelompok vektor yang saling orthogonal. Akan kita tunjukkan bahwa hal itu masih

memungkinkan apabila A mempunyai eigenvalue yang beragam. Sebelumnya kita

perlu hasil berikut :


20/20

126

Teorema 5.10.

Sebuah matriksA simetris m mdan x adalah vektor tidak nol m 1. Maka untuk

sembarang r 1, ruang vektor spanned by vektor x, Ax, , Ar-1x, memuat sebuah

eigen vektor A.

Bukti (Gunakan sebagai latihan)

Referensi

Anton, H., 1987,Elementary Linear Algebra, John Wiley & Son, New York

Basilevsky, A., 1983, Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences, Elsevier

Sciences Publ. Co. Inc.

Shchoot, J.R.,Matrix Analysis for Statistics, John Wiley, New York.

.

Documents

Modul5_Nilai_Eigen