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UNIVERSIDADE CAMILO CASTELO BRANCO
FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS EXATAS E BIOLÓGICAS
CURSO : LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
DISCIPLINA : METODOLOGIA DO TRABALHO ACADÊMICO
PROFESSOR : WAGNER PRETOLA
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS
DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Alunos do 4° Semestre Noturno
Daniel de FreitasMagali Ap. C.L. dos Santos
Rafael Vicente Barros Sabrina Raposo Elias
Samanta Raposo Elias
São Paulo
Novembro de 2006
SUMÁRIO
1
1. QUEM FOI PITÁGORAS, 5
1.2. A Escola Pitágorica, 6
1.3. A Crise na Escola Pitágorica, 7
1.4. A História e Lenda do Teorema de Pitágoras, 8
2. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS, 10
2.1. O Teorema de Pitágoras Diz:, 10
2.2. Relação dos Lados do Triangulo Retângulo, 11
2.3.1. 1° Demonstração do Teorema de Pitágoras, 13
2.3.2. 2° Demonstração do Teorema de Pitágoras, 15
2.3.3. 3° Demonstração do Teorema de Pitágoras, 16
2.3.4. 4° Demonstração do Teorema de Pitágoras, 16
2.3.5. 5° Demonstração do Teorema de Pitágoras, 17
2.3.6. 6° Demonstração do Teorema de Pitágoras, 17
2.3.7. 7° Demonstração do Teorema de Pitágoras, 18
2.3.8. 8° Demonstração do Teorema de Pitágoras, 19
3. APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS, 20
3.1 Exercícios de Aplicações do Teorema de Pitágoras, 26
4. HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA, 30
4.1. A Circunferência Trigonométrica, 33
4.2. Tangente, 36
4.3.1. Ângulos no Segundo Quadrante, 36
4.3.2. Ângulos no Terceiro Quadrante, 37
4.3.3. Ângulos no Quarto Quadrante, 38
4.4.1. Simetria em Relação ao Eixo OX, 38
4.4.2. Simetria em Relação ao Eixo OY, 39
4.4.3. Simetria em Relação a Origem, 39
4.5.1. Primeira Relação Fundamental, 40
4.5.2. Segunda Relação Fundamental, 41
4.6. Seno, Cosseno e Tangente da Soma e da Diferença, 41
5. Exemplos de Aplicações Trigonométricas no Triangulo Retângulo, 48
5.1 Exercícios de Aplicações das Relações Trigonométricas, 54
CONCLUSÃO, 57
BIBLIOGRAFIA, 58
INTRODUÇÃO
2
Algumas reflexões que fizemos sobre as origens das relações métricas e
trigonométricas, fizeram com que nos tivéssemos a esperança de evitar estes
inconvenientes, reunindo vantagens para interessar e esclarecer os principiantes.
Pensei que esta ciência, como todas as outras, deve ter-se formado degrau a
degrau, que possivelmente houve alguma necessidade de dar os primeiros
passos e que estes primeiros passos não podiam estar fora do alcance dos
principiantes, dado que tinham sido os principiantes os primeiros a dá- los.
Ao despir a Matemática das suas longas tradições para vestir-la com
conjuntos e estruturas, muitos assuntos perderam todo o encanto e atração..
Talvez não tenhamos despejado o bebe juntamente com a água da banheira ao
retirar às matemáticas o conjunto dos assuntos e dos capítulos mais antigos e
menos coerentes, mas perdemos com certeza o sabão: sabemos como é fácil
encontrar estudantes que pensam que as matemáticas cheiram mal.
A obra a seguir é um conjunto de regras matemáticas que quebra um
pouco a regra dos livros matemáticos, pois demos importância a contar de onde
veio, como veio, e para que serve tal conta, “achar” tal x, procuramos desta forma
acabar com algumas perguntas por que? , de onde veio ? mas para que serve?.
Para isso a obra tem historia de Pitágoras historia da trigonometria demonstração
do teorema de Pitágoras demonstração de formulas trigonométricas e aplicações
destas teorias.
A história de Pitágoras ela chega a ser um pouco filosófica pois com todas
pesquisas feitas não se pode afirmar se Pitágoras existiu, algumas teorias diz que
sim existiu e da até sua arvore geneológica e mostrando até a profissão de seu
pai, outras teorias diz que não tem certeza mas tem certeza da escola pitagorica e
atribui a esta as descobertas pitágoricas sem afirma que existia o ser humano
pitágoras.
As demonstrações do teorema pitágoras dão importância ao teorema pois
teve grandes personalidades que demonstraram o teorema como Leonardo da
Vinci e o ex presidente dos E.U.A James Abram Garfield, estima se que tenha
quase 400 demonstrações do teorema de pitágoras e este é o teorema mais
famoso do mundo e mostramos onde e quando aplicar o toerema.
A palavra Trigonometria significa “medida dos triângulos” e é a parte da
Matemática que tinha como objetivo inicial, o cálculo dos elementos de um
triângulo ( lados e ângulos). A trigonometria nos influenciou e influencia ate os
3
dias de hoje já que o “relógio de ponteiro” e o circulo trigonométrico ,tem cada
parte dividida em 60 (sessenta), e cada parte é novamente dividida em 60
(sessenta) partes, estas parte como no circulo trigonométrico, tem o nome
respectivamente de minuto e segundo, a diferença é que o circulo tem 360 partes
e gira no sentido anti- horário e o relógio tem 60 partes. Atualmente, a
trigonometria não se limita a estudar somente os triângulos mas encontramos
suas aplicações em campos de atividades como, Engenharia, Astronomia,
Eletricidade, Acústica, Topografia, que dificilmente lembram os triângulos da
trigonometria.
1. QUEM FOI PITÁGORAS ?
4
Pitágoras,foi um dos maores filósofos da Europa antiga, e considerado o
primeiro matemático puro,era filho de um gravador,Mnesarco.Nasceu cerca de
580 anos a .c. , em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em
Sidon,na Fenícia.Muito pouco se sabe sobre a sua juventude , a não ser que
conquistou prêmios nos jogos Olímpicos.
Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os
conhecimentos adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos
anos viajando, a maioria dos grandes centros da sabedoria.A história conta a sua
peregrinação em busca de conhecimentos, que se estenderam ao Egito ,
Indostão , Pérsia , Creta e Palestina, e como adquiriu em cada pais novas
informações , conseguindo familiarizar-se com a Sabedoria Esotérica, assim
como os conhecimentos esotéricos neles disponíveis.
Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de
julgamento amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para
divulgar os seus conhecimentos,o que porém, se mostrou impraticável, devido à
oposição do turbulento tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do
fracasso de uma tentativa migrou para Crotona, importante cidade da Magna
Grécia , que era uma colônia fundada pelos dórios na costa meridional da Itália.
Foi ali que o famoso filósofo fundou a escola ou Sociedade de Estudiosos,
que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição
na Europa; foi ali que secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que
havia coligido dos ginosofistas e brâmanes da Índia,dos hierofantes do Egito, do
Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da cabala dos rabinos hebreus e magos
caldeus .
Durante cerca de quarenta anos ele lecionou para os seus discípulos e
exibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição,e ele
próprio foi forcado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião
5
surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes
de Sibaris; ele conseguiu chegar a tradição morreu mais ou menos em 500 a . c..
1.2. A Escola de Pitágoras
O símbolo que representava os pitagóricos era o pentagrama ou pentágono
estrelado, isto devido às propriedades desta figura, pois ao desenharmos um
pentágono regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam e
formam um novo pentágono interior ao anterior. A interseção de duas diagonais
divide a diagonal de uma forma especial chamada pelos gregos de divisão em
média e extrema razão e que conhecemos também como secção áurea.
A escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada
membro era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação,
guardando perfeito silencio; os membros tinham tudo em comum e abstinha-se de
alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham
uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da escola .
O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que “autos
efa” -ele disse - constituía uma destacada feição da escola; por isso,a sua
afirmação “Um amigo meu é 0 meu outro eu” tornou-se um provérbio naquele
tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada e grau de
instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade
permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de
mistérios mais recônditos.
A ninguém era permitido registrar por escrito qualquer principio ou doutrina
secreta, e, pelo que se sabe,nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da
morte de Pitágoras e da dispersão da escola.Depende-se assim,inteiramente,
6
dos fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus
críticos ou críticos dos seus sucessores.
Uma considerável incerteza é portanto, inseparável de qualquer
consideração das doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno
mais firme quando se investiga as opiniões dos seus seguidores.
Sabe-se que as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas
grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira
dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda
era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em
repouso – a geometria,ou grandeza em movimento – a astronomia. As mais
notáveis peculiaridades das suas doutrinas apoiavam a sua filosofia.
Os princípios que governam os Números eram, supunha-se os princípios
de todas as Existências Reais; e, como os números são os componentes
primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo,apresentaram muitas
analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos números eram
os elementos das realidades.
Acredita-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros
ensinamentos sobre as propriedades dos Números,dos princípios da música e da
física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central,e ali adquiriu as idéias
matemáticas que foram à base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida
por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros,tornou-se conhecida
mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.
1.3. A Crise na Escola Pitagórica
Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitagórica foi a de que
dois segmentos nem sempre são comensuráveis, ou seja, nem sempre a razão
entre os comprimentos de dois segmentos é uma fração de números inteiros
(número racional). Essa descoberta foi uma conseqüência direta do teorema de
Pitágoras: se um triângulo retângulo tem catetos de comprimento 1, sua
hipotenusa terá um comprimento x satisfazendo x2 = 2, e portanto a razão entre a
hipotenusa e um cateto não será uma fração de dois inteiros, já que a raiz
quadrada de 2 é um número irracional. Parece que isso desgostou profundamente
os Pitagóricos pois era uma descoberta inconciliável com a teoria dos números
7
pitagórica. Somente no século IV a.C., Eudoxo, com sua teoria das proporções,
redefiniu um conceito mais geral de razão entre dois segmentos, permitindo, em
sua teoria, definir-se a razão entre dois segmentos comensuráveis ou não.
1.4. História e Lenda do Teorema de Pitágoras
Os geômetras gregos elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e
lógica,o estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre
figuras semelhantes. Eles baseiam-se em tal estudo o calculo não só de
comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas
limitadas por retas, ou de volumes de sólidos limitados por planos.
Para confrontar as áreas das duas figuras planas semelhantes (isto é, da
mesma forma) é preciso confrontar não os lados correspondentes, mas os
quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de
acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram o cálculo das,
áreas num primeiro momento, por via mais simples e natural do que aquela que
se baseia no confronto de figuras semelhantes e, em geral, sobre as proporções.
Um exemplo famoso, é o de Pitágoras e do seu teorema: “Num
triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à
soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos”.
A lenda diz que Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua
demonstração que ordenou uma hecatombe,isto é, o sacrifício de cem bois aos
deuses, em sinal de agradecimento e de alegria.
Naturalmente, sobre a descoberta de Pitágoras não temos jornais, nem
revistas da época,porque naquela época não havia nem jornais,nem livros, nem
revistas. Temos só lendas,ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos
depois. Todavia, muitas razões nos induzem a acreditar na << história de
Pitágoras >>.Talvez não se tenha chamado Pitágoras,talvez não tenha matado
cem bois,mas um só,ou talvez não tenha sacrificado nem sequer um cordeirinho:
tudo isto pode ser só lenda.
Mas que um estudioso da Grande Grécia (com esta expressão incluiam-se
a Itália Meridional e a Sicília),que viveu seiscentos anos a . c. , tenha mostrado
com um raciocínio geral a relação, a que chamamos Teorema de Pitágoras, entre
8
os quadrados dos catetos e o da hipotenusa, para cada possível triângulo
retângulo,acreditamos que seja verdade.
Sabemos,para além disso, que o tempo de Pitágoras, nas ilhas gregas e na
Grande Grécia, a geometria de recolha de regra práticas e de observações
separadas, como aquela que recordamos agora, se transforma em ciência
racional, isto é em raciocínios gerais sobre as figuras em geral. Portanto
Pitágoras – hecatombe ou não hecatombe – demonstrou verdadeiramente, cerca
de seiscentos anos a . c ., que “A soma dos quadrados dos dois catetos,num
triângulo retângulo, é sempre igual,ou melhor, equivalente, ao quadrado da
hipotenusa".
Entre as descobertas sobre a matemática atribuídas aos pitagóricos
podemos citar: A classificação dos números em: primos e compostos, pares e
ímpares, amigos, perfeitos , figurados e a descoberta dos irracionais; o máximo
divisor comum e o mínimo múltiplo comum;que a soma dos ângulos internos de
um triângulo é igual a dois ângulos retos; se um polígono tem n lados, então a
soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n - 4) ângulos retos; os
pitagóricos são responsáveis pelo descobrimento da tabuada. Também
desenvolveram métodos geométricos para demonstrar diversas identidades
algébricas e estudaram os sólidos regulares: tetraedro, o cubo e o dodecaedro.
2. DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Nesta parte de nosso trabalho temos demonstrações do teorema de
Pitágoras onde verificaremos algumas demonstrações, há uma estimativa
aproximada de 400 demonstrações diferentes destacam nessas algumas feitas
9
por algumas personalidades como Leonardo da Vinci, Bháskara e o presidene
dos E.U.A James Abram Garfield.
2.1. O teorema de Pitágora diz:
“Num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos”.
No geral, a demonstração do teorema de Pitágoras nos livros escolares
tem um enfoque bastante algébrico: a partir de semelhança de triângulos tem-se
relações de proporcionalidade e com alguma álgebra obtem-se o resultado.
Vamos apresentar uma demonstração com grande apelo visual, usando conceito
de área. Para isto enunciamos o teorema de forma Diferente:
“Num triângulo retângulo a área do quadrado com lado igual à hipotenusa é
igual a soma das áreas dos quadrados com lados iguais aos catetos".
Nesta demonstração acima temos que partir do Teorema de Pitágoras
onde a2 = b2 + c2. onde a, b e c são quadrados colocando a e b como catetos
(cateto é um lado do triangulo) e c como hipotenusa (hipotenusa é um cateto so
que ele tem uma posição especial ele fica oposto ao ângulo reto 90°), então
10
aplicando medidas aos catetos podemos verificar se o triangulo é ou não
retângulo e assim demonstrar a veracidade do teorema.Seguindo Exemplo na
pág 20.
2.2. Relações dos lados do Triangulo retângulo
Do vértice do ângulo reto de um triângulo retângulo, se abaixarmos uma
perpendicular à hipotenusa.
Primeiro cada cateto é meio proporcional entre a hipotenusa inteira e o
segmento adjacente.
Segundo a perpendicular é meia proporcional entre os dois segmentos da
hipotenusa.
Sejam (fig. 3) o triângulo retângulo ABC e a perpendicular h abaixada do
vértice do ângulo reto A sobre a hipotenusa a.
A hipotenusa é igual à soma das projeções.
O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das
projeções dos catetos.
O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção(que se
encontra do seu lado) e a hipotenusa.
11
O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos
catetos.
Primeiro devemos ter: e
Com efeito, os triângulo retângulo ABC e CD são semelhantes, por serem
ambos retângulos e terem o angulo agulho C comum. (Dois triângulos retângulos
são semelhantes quando tem um angulo igual; porque neste caso os três ângulos
são respectivamente iguais). Portanto, estes triângulos tem lados proporcionais (a
hipotenusa de ABC, sobre b, hipotenusa de ADC, iguala b, oposto a B em ABC
m, oposto a b’ em ADC), e podemos escrever:
ou b2 = am (1)
Os triângulos ABC e ABD são também semelhantes, porque ambos são
retângulos e tem o ângulo agudo B comum. Assim temos:
ou c2 = a.n (2)
Segundo devemos ter: ou h2 = m.n
Com efeito os triângulo ACD e ABD, sendo ambos semelhantes ao
triângulo total ABC, são semelhantes entre si. Por conseguinte, tem os lados
homólogos proporcionais e temos:
ou h2 = m.n
Pela definição do teorema: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa iguala a soma dos quadrados dos catetos.
Com efeito, fazendo a soma das igualdades (1) e (2) do teorema
precedente, vem:
b2 + c2 = a.m + a.n
b2 + c2 = a(m + n)
b2 + c2 = a.a
b2 + c2 = a2
a2 = b2 + c2
através das demonstrações das relações no triangulo retângulo dada
acima podemos verificar mais duas demonstrações a seguir.
12
2.3.1. 1° Demonstração do Teorema de Pitágoras
O quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é
igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois outros lados.
Seja (fig.1) o triângulo ABC e sejam BCDE o quadrado construído sobre a
hipotenusa, M e M’ os quadrados construídos sobre os lados; devemos ter: BCDE
= M + M’. Do ponto A, abaixemos a perpendicular AG que divide o quadrado
BCDE em dois retângulos R e R’. Se demostrarmos que R = M e R’= M’, teremos
mostrado que R + R’ ou BCDE = M + M’.
Traçando as retas AE e FC; formam dois triângulos ABE e FBC, iguais por
terem um ângulo igual compreendido entre lados respectivamente iguais, a saber:
o ângulo ABE iguala o ângulo FBC, porque ambos são formados de um ângulo
reto e do ângulo a ; AB = BF, como lados de um mesmo quadrado, e BC = BE
pela mesma razão.
Por outra partea superfície do triângulo ABE vale a metade da do retângulo
R, porque estas duas figuras têm mesma base, BE e mesma altura, AI ou BH, do
mesmo modo, a superfície do triângulo FBC vale a metade da do quadrado M,
porque ambas têm a mesma base, BF, e mesma altura, CL ou AB, por
conseguinte, o retângulo R é equivalente ao quadrado M. Assim temos: quadrado
M = ao retângulo R ou 2x o triângulo ABE ou 2x o triângulo FBC.
13
Traçando as retas(fig.2) AD e BJ; formam dois triângulos ACD e BCJ,
iguais por terem um ângulo igual compreendido entre lados respectivamente
iguais, a saber: o ângulo ACD iguala o ângulo BCJ, porque ambos são formados
de um ângulo reto e do ângulo b ; AC = CJ, como lados de um mesmo quadrado,
e BC = CD pela mesma razão.
Por outro parte a superfície do triângulo ACD vale a metade da do
retângulo R’, porque esta duas figuras têm mesma base, CD e mesma altura, AK
ou CH. Do mesmo modo, a superfície do triângulo BCJ vale a metade da do
quadrado M’, porque ambas têm a mesma base, CJ, e, mesma altura, BL ou AC.
Por conseguinte, o retângulo R’ é equivalente ao quadrado M’. Assim temos:
quadrado M’= ao retângulo R’ ou 2x o triângulo ACD ou 2x o triângulo BCJ.
Por conseguinte, temos R + R’ ou BCDE = M + M’.
A superfície de um quadrado sendo igual ao quadrado de seu lado, se
representarmos por a, b, c os três lados de um triângulo retângulo, teremos:
a2 = b2 + c2.
2.3.2. 2° Demonstração do Teorema de Pitágoras
14
2.3.3. 3° Demonstração do Teorema de Pitágoras
&
+
2.3.4. 4° Demonstração do Teorema de Pitágoras
c² = a² + b²
2.3.5. 5° Demonstração do Teorema de Pitágoras
15
James Abram Garfield (1831-1881), vigésimo presidente dos Estados
Unidos foi assassinado em 1881, era também general e tinha interesse na
Matemática. Ele mostrou o teorema de Pitágoras da seguinte forma:
Na figura acima os dois triângulos amarelos são idênticos. A área do
trapézio com bases a, b e altura a + b é igual à semi-soma das bases vezes a
altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas dos 3
triângulos retângulos. Portanto:
Simplificando, obtemos a2 + b2 = c2.
2.3.6. 6° Demonstração do Teorema de Pitágoras
Leonardo da Vinci (1452-1579), pintor, escultor, engenheiro, arquiteto,
músico, anatomista, físico, ilustrador científico e matemático. Conhecido pela obra
de pintura “Mona Lisa” e “Última ceia”, também desenvolveu uma demonstração
do teorema de Pitágoras.
16
Os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm a mesma área, pois são
congruentes. Logo a área do quadrado FEJH é a soma das áreas dos quadrados
ABGF e CDEG.
2.3.7. 7° Demonstração do Teorema de Pitágoras
e podemos demonstrar o teorema utilizando somente o quadrado com o
outro quadrado inscrito sendo assim temos a área do quadrado maior é igual a
17
área do quadrado menor mais quatro vezes a área de um triangulo já que os
quatro triângulos são congruentes disso obtemos
(a + b)² = 4x(bxa)+c² 2Simplificando chegamos a a² + b² = c²
2.3.8. 8° Demonstração do Teorema de Pitágoras
O quadrado maior, de lado c, é
decomposto em quatro cópias do
triângulo retângulo e mais um pequeno
quadrado de lado a
18
3. APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Nesta parte de nosso trabalho temos várias demonstrações do Teorema de
Pitágoras, exemplos de aplicações do mesmo .
Exemplo 1:
Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo,
verifique quais dessa medidas determina um triangulo retângulo. Justifique.
a) a = 6; b = 7 e c = 13;
b) a = 6; b = 10 e c = 8.
Resolução:
Dada o postulado se um triângulo as medidas dos seus lados verificarem o
Teorema de Pitágoras então esse triângulo é retângulo pois o teorema de
Pitágoras e para o triângulo retângulo pode-se concluir se o triângulo é ou não
retângulo.
Se o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos
chegamos a conclusão que a hipotenusa é a maior medida do triângulo retângulo
já que é resultado da soma de dois catetos chegado a essa conclusões temos
que:
a)
Portanto as medidas dadas do triângulo com os lados 6,7 e 13 não se trata
de um triângulo retângulo pois ele não satisfaz o Teorema de Pitágoras, pois sua
resposta foi uma afirmativa incorreta pois 169 é diferente de 85 e não igual como
foi a resposta.
b)
Portanto as medidas dadas do triângulo com os lados 6,10 e 8 são de um
triângulo retângulo pois essas medidas satisfazem o Teorema de Pitágoras, pois
sua resposta foi uma afirmativa verdadeira.
19
Conclusão:
Dadas as medidas de um triângulo podemos verificar se é ou não um
triângulo retângulo.
Exemplo 2:
a) Calcule o valor de x na figura.
Como já verificamos na representação do Teorema de Pitágoras a
hipotenusa é o cateto oposto ao ângulo de 90° (ângulo reto, noventa graus).
Resolução:
Aplicando o teorema temos:
Portanto a hipotenusa do triângulo é 13, as medidas do triangulo da figura
tem os catetos com medidas 5 e 12 e a hipotenusa com medida 13.
b)
Neste triângulo já foi dada a hipotenusa e um cateto este problema deseja
saber o outro cateto aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
20
Portanto as medidas dos triângulos são os cateto de medida 4,5 e 6 e
hipotenusa 7,5.
Conclusão:
Com a análise de figuras podemos aplicar o teorema em situações
similares a este desde que consiga enquadrar situação nesta condições do
Teorema de Pitágoras.
Exemplo 3:
a) Qual era a altura do poste?
Resolução:
Verificamos que na figura o ângulo reto esta sendo formado pelo poste e o
chão, temos as medidas de dois catetos o de 3m e de 4m nos falta a medida da
hipotenusa e o problema deseja saber qual era a altura do poste, a altura do
poste era os 4m que continua no chão mais a parte do poste que caiu que
corresponde a hipotenusa, aplicando o teorema temos:
Portanto a hipotenusa tem 5m.
E a altura do poste é h = 4 + 5 = 9, portanto a altura do poste é de 9m.
21
b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.
Resolução:
Temos a berlinde (carrinho) representada na figura pela bola de cor roxa, o
berlinde inicialmente no topo da figura percorre o caminho representado pela bola
o exercício deseja saber qual é a distancia percorrida pelo berlinde. Primeiro
devemos calcular a distancia percorrida pelo belrinde na descida e depois somar
com a distancia percorrida horizontalmente na figura que corresponde a 2m. Para
calcular a distancia na descida devemos aplicar o Teorema de Pitágoras onde
temos 60cm e 25cm como catetos e hipotenusa a distancia percorrida na descida
do berlinde. Aplicando o teorema temos:
Temos que a distância percorrida na descida do berlinde é de 65cm, e para
calcular o percurso feito pelo berlide devemos somar os 2m que o berlinde
percorreu horizontalmente já que 2m=200cm. Temos:
Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m.
22
Exemplo 4:
a) Calcule a área da seguinte figura.
Resolução:
Temos na figura acima um trapézio o exercício pede o calculo da área da
figura que
é dada pela seguinte fórmula A=(b1+b2).h 2
Onde b1 e b2 correspondem as bases do trapézio, h é altura da figura que
é representado na figura com uma linha tracejada do lado direito da figura
portanto para calcular a h da figura devemos aplicar o Teorema de Pitágoras mas
antes de calcular devemos descobrir a medida de um cateto pois a figura só nos
fornece a hipotenusa que é 10cm, para descobrir a medida de um cateto devemos
efetuar a mesma divisão já feita do lado esquerdo no lado direito da figura assim
obtemos um retângulo e as duas bases do retângulo fica com 12cm para
completar 22cm que a base do trapézio temos 10cm para as duas pontas ficando
5cm para cada ponta assim já temos condições de aplicar o Teorema de
Pitágoras sendo assim temos:
Se desejamos por curiosidade calcular a área do trapézio devemos
substituir os valore na formula dada acima, sendo assim temos:
Portanto a área da figura é de 153cm quadrado.
23
b) Calcule a área da figura abaixo.
Resolução:
Na figura acima temos um retângulo, onde nos foi fornecido a diagonal e
um lado do retângulo para calcularmos a área do retângulo devemos multiplicar a
medida de dois lados do retângulo que não sejam opostos. Tendo como fórmula
A=a.b, já temos um lado do retângulo que é 12cm queremos o outro lado o
exercício já nos fornece a diagonal que corresponde a hipotenusa e de medida
15cm já que esta oposto ao ângulo de 90° aplicando o Teorema de Pitágoras
temos:
Agora já temos os dois lados do retângulo e o calculo da área é:
Portanto a área do retângulo acima é de 108cm quadrado.
24
3.1. Exercícios de Aplicações do Teorema de Pitágoras
1)Sabemos que os lados do triângulo retângulo recebem os nomes de
catetos e hipotenusa. Nos triângulos abaixo, diga quais são os catetos e qual é a
hipotenusa:
a = b = a= b=
a= b= c= a= b= c=
2)Calcule o valor de x em cada triângulo abaixo:
3) Na figura abaixo, através de alguns cálculos, conseguimos encontrar a
altura do triângulo (a altura está representada pelo x na figura). Observe:
Você acha que para encontrar o valor da altura foi utilizado o Teorema de
Pitágoras?
( ) sim ( ) não
25
X2 + 72 = 252
X2 + 49 = 625
X2 = 576
X2 = √576
X = ± 24 Como X é uma medida, então não pode ser negativo. Portanto, X = 24.
4) Encontre no triângulo abaixo os valores de a, y e z.
5) Para executar um serviço, o trabalhador apoiou na laje de sua casa a
escada de 4,3 m de comprimento como mostra o esquema abaixo:
A base da escada, apoiada sobre um piso horizontal está afastada 1,8 m
da parede. Qual é a altura aproximada da construção?
6) Observe a figura e faça o que é pedido nos itens abaixo:
a) Calcule a área dos dois quadrados menores.
b) Some a área desse dois quadrados.
c) Calcule a área do quadrado maior.
d) Compare a área do quadrado maior com a soma realizada no item b.
O que você conseguiu observar através dessa comparação?
26
7) O acesso as uma garagem de uma casa, situada no subsolo, é feito por
uma rampa, conforme nos mostra o desenho. Sabe-se que a rampa AC tem 10,25
m de comprimento e a altura BC da garagem é 2,25 m. Qual a distância AB entre
o portão e a entrada da casa?
27
8) Em um recente vendaval, um poste de luz de 9 metros de altura
quebrou-se em um ponto a distância x do solo. A parte do poste acima da fratura
inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 3 m
da base do mesmo. A que altura x do solo o poste quebrou? Observe a figura a
seguir.
28
4. HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA
O termo trigonometria é formado por três radicais gregos: tri (três), gonos
(ângulos) e metron (medir). Daí seu sentido literal – medida dos triângulos.
A Trigonometria é a área da Matemática cujo objetivo é o cálculo das
medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). O estudo dos arcos deu
origem a uma circunferência denominada ciclo trigonométrico (circunferência
orientada, de raio 1 unidade de comprimento, na qual o sentido positivo é o anti-
horário). O ciclo trigonométrico nos permite calcular o seno, o cosseno e a
tangente de ângulos tais como 120º, 1550º, e de todos aqueles ângulos inviáveis
de se construir em um triângulo. No Ensino Fundamental, estuda-se a
Trigonometria no triângulo retângulo e no Ensino Médio, seu estudo é feito de
forma mais completa, generalizada e aplicada, a partir do ciclo trigonométrico, que
foi introduzido à trigonometria hindu no final do século IX pelo matemático árabe
Al-Bathani. Os primeiros estudos sistemáticos da Trigonometria que conhecemos
hoje (estudo das relações entre ângulos (ou arcos) e os comprimentos das cordas
que os subentendem) foram feitos pelos gregos por volta do século 400 a. C.
Aliás, foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos da
Trigonometria, pois se sabe que o famoso astrônomo grego Hiparco de Nicéia
(190 a.C. – 125 a.C.) foi quem empregou pela primeira vez relações entre os
lados e os ângulos de um triangulo retângulo. Hiparco, considerado o pai da
Astronomia, é também considerado o iniciador da Trigonometria. Hiparco, é
Influenciado pela Matemática babilônica, desenvolveu métodos para a
determinação de locais na superfície terrestre, criou o sistema de localização por
latitude e longitude, dividiu o ecúmeno segundo zonas climáticas, criou um
método de projeção estereográfica para a cartografia. Os babilônicos acreditavam
que a melhor base para realizar contagens era a base 60, pelo fato do número 60
ter muitos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60), e pode ser facilmente
decomposto num produto de fatores, o que facilita muito os cálculos,
principalmente as divisões. Hiparco também escolheu um múltiplo de 60 ao dividir
a circunferência. Cada uma das 360 partes iguais em que a circunferência foi
dividida recebeu o nome de arco de 1 grau, cada arco de 1 grau foi dividido em 60
29
partes iguais e cada uma dessas partes recebeu o nome de arco de 1 minuto,
cada arco de 1 minuto também foi dividido em 60 arcos de 1 segundo.
A seguir, os principais filósofos e matemáticos e suas contribuições para a
Trigonometria, segundo Boyer.
Pitágoras (séc. VI a.C.): filósofo e matemático grego, nasceu na cidade de
Samos, fundou uma escola em Crotona (colônia grega na península itálica), cujos
princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia
ocidental. A observação dos astros sugeriu-lhe a idéia de que uma ordem domina
o universo. Nessa visão, também concluiu que a terra é esférica, uma estrela
entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos
chegaram até a falar da rotação da Terra sobre seu eixo, mas a maior descoberta
de Pitágoras ou de seus discípulos refere-se às relações entre os lados do
triângulo retângulo: consiste em provar que a soma do quadrado dos catetos é
igual ao quadrado da hipotenusa. Os egípcios já sabiam que um triângulo cujos
lados são 3, 4, 5 tem ângulo reto, mas os pitagóricos foram os primeiros a
descobrir uma prova da proposição geral.
Tales de Mileto (séc. VI a.C): viajava muito pelos centros antigos de
conhecimento e deve ter obtido informações sobre astronomia e matemática,
aprendendo geometria no Egito, na Babilônia. Discípulo dos egípcios e caldeus,
recebeu o título de "primeiro matemático" verdadeiro, tentando organizar a
Geometria de forma dedutiva. Um resultado de seus estudos é o "Teorema de
Tales", segundo o qual um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto.
Arquimedes (séc. III a.C.): viveu na cidade de Sicarusa, uma colônia grega
situada na região de Sicília, Sul da Itália, adquiriu uma sólida formação em
matemática e descobriu um meio de determinar um valor mais exato para o
número p (a razão da circunferência de um círculo e seu diâmetro).
Ptolomeu (séc. II): nasceu na cidade de Ptolomais, à beira do rio Nilo,
defendeu o mundo geocêntrico (a Terra como centro do universo) que foi assim
considerada por 1500 anos. Era um observador e não um astrólogo de cadeira.
Em sua obra Almagesto, onde compilou os conhecimentos existentes na época
sobre Astronomia e Trigonometria, há uma tabela de cordas correspondentes a
diversos ângulos por ordem crescente e em função da metade do ângulo, o que é
equivalente a uma tabela de senos.
30
Matemáticos árabes mais importantes (séc. X):o primeiro matemático árabe
a fazer avanços em trigonometria foi Abu'l Wafa, baseado nos dados que obteve
pesquisando a matemática indiana, achou que era preciso criar mais 3 razões
trigonométricas para calcular a órbita da lua com exatidão: a tangente, a secante
e a cossecante. O matemático Abu Nasr Mansur Ibn Iraq contribuiu na
trigonometria alterando o círculo trigonométrico, no qual eram baseados os
cálculos, de um círculo de raio 60 para um de raio 1, o que facilitou os cálculos
trigonométricos e alterou a trigonometria para sempre. Al-Jayyani foi o primeiro
matemático a publicar um livro dedicado ao estudo da trigonometria, o qual tem
uma importância histórica muito grande, já que os europeus o utilizaram como
referência em seus estudos na área durante muito tempo.
Bhaskara (séc. XII): nasceu na Índia. Sua maior contribuição para a
Trigonometria foi Siddhantasiromani, dividido em duas partes: uma sobre
matemática astronômica e outra sobre a esfera. Determinou um método
detalhado para construir uma tabela de senos para qualquer ângulo. É
interessante ressaltar que, apesar de haver trabalhado com equações de segundo
grau e formulado uma expressão que envolvia raízes quadradas (famosa entre
alunos de 8º série em diante), seu nome relacionado a esta fórmula,
aparentemente, só ocorre no Brasil, pois não encontramos esta referência na
literatura internacional, portanto, a nomenclatura "fórmula de Bhaskara" não é
adequada, pois problemas que recaem numa equação do segundo grau já
apareciam quase quatro mil anos antes, em textos escritos pelos babilônios, nas
tábuas cuneiformes.
Bartholomeo Ptiscus, ALbert Girard, W. Snell, Euler, Purback e Johann
Muller: no século XVI, Bartholomeo Ptiscus Inventou o nome Trigonometria e
Albert Girard contribuiu com as abreviações sen, cos e tg para as razões
trigonométricas.
W. Snell (séc. XVII), que é mais conhecido pela lei da refração, por volta de
1600, a fim de obter coordenadas dos pontos de uma região na superfície da
Terra, introduziu a idéia de triangulação. Snell usou uma pequena modificação da
versão clássica de triangulação para realizar a primeira medida de meridiano da
Terra.
31
Euler, (séc. XVIII), ao usar sistematicamente o ciclo trigonométrico,
introduziu o conceito de seno, cosseno e de tangente como números e as
notações atualmente utilizadas.
No século VIII, importantes trabalhos de hindus foram traduzidos para o
árabe e responsáveis pelas notáveis descobertas feitas pelos matemáticos árabes
sobre a Trigonometria. No século XV, foi constituída a primeira tábua
trigonométrica por um matemático alemão, nascido na Baviera, chamado
Ppuurback, porém, o primeiro tratado feito de maneira sistemática sobre a
Trigonometria foi escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também
chamado Regiomontanus, denominado Tratado dos Triângulos. Sabe-se que
Regiomontanus foi discípulo de Purback.
4.1. A Circunferência Trigonometrica
Dados dois pontos A e B numa circunferência, podemos sair de A e chegar
em B de diferentes maneiras:
andando no sentido anti-horário;
andando no sentido horário;
32
andando no sentido anti-horário, dando algumas voltas na
circunferência e parando em B;
andando no sentido horário, dando algumas voltas na circunferência
e parando em B.
Em qual quer uma das situações descritas, fica determinado um diferente
arco na circunferência. Para que isso fique claro, a circunferência é orientada e,
33
por convenção, o sentido anti-horário é considerado o sentido positivo do
percurso; conseqüentemente o horário é negativo.
Seno no No plano cartesiano, consideremos uma circunferência
trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta
circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco
AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre
o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o
eixo OY determina outro ponto B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é
definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por
sen(AM) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y'
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x)
Para denotar o seno do arco de medida x radianos.
O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM)
ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto
M.
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela
qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x'
34
4.2. Tangente
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal
reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da
circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste
ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t'
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do
primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro
quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo
horizontal OX. Neste caso:
cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
4.3.1. Ângulos no Segundo Quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo
quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao
intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está
relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto.
Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do
seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é
negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
35
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo
vertical OY e neste caso:
cos( /2)=0 e sen( /2)=1
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois
elas são paralelas.
4.3.2. Ângulos no Terceiro Quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o
ângulo pertence ao intervalo: <a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto
M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que
tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de
um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Em particular, se a= radianos, temos que
cos( )=-1, sen( )=0 e tan( )=0
36
4.3.3. Ângulos no Quarto Quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no
quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP
não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3 /2, temos:
cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1
4.4.1. Simetria em Relação ao Eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro
quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M'
possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao
arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos:
sen(a)=-sen(b)
cos(a)=cos(b)
tan(a)=-tan(a)
37
4.4.2. Simetria em Relação ao Eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro
quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M'
possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao
arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a)=sen(b)
cos(a)=-cos(b)
tan(a)=-tan(b)
4.4.3. Simetria em Relação a Origem
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro
quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M'
possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao
arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a)=-sen(b)
cos(a)=-cos(b)
tan(a)=tan(b)
38
4.5.1. Primeira Relação Fundamental
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito
importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é:
sin²(a) + cos²(a) = 1
que é verdadeira para todo ângulo a.
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano
cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos,
A=(x',y') e B=(x",y").
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são
indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a
1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+
(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).
39
4.5.2. Segunda Relação Fundamental
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a
definição da função tangente, é dada por:
tan(a) = sen( a) cos(a)
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o
denominador não se anular.
Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas
se a= /2 ou a=3 /2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido,
assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores
de a.
Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a
circunferência trigonométrica na figura seguinte.
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:
AT = OAMN ON
Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a,
0<a<2 com a /2 e a 3 /2 temos
tan(a) = sen(a) cos(a)
4.6. Seno, Cosseno e Tangente da Soma e da Diferença
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:
tan(a+b)= sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)
40
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a
fórmula:
tan(a+b)= tan(a)+tan(b) 1-tan(a)tan(b)
Como
sen(a-b)= sen(a)cos(b)-cos(a)sen(b)
cos(a-b)= cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:
tan(a-b)= tan(a)-tan(b) 1+tan(a)tan(b)
Representando as propriedades estudas acima no círculo trigonométrico temos:
Seja uma circunferência de centro O sobre a qual marcamos dois pontos
distintos, A e B. A cada uma das partes em que a circunferência fica dividida
chamamos arco de circunferência.
41
Podemos tabular os valores trigonométricos dos ângulos agudos, isto é,
ângulos entre 1o e 89o.
Abaixo temos a tabela:
Ângulo sen cos tg
1 0,017452 0,999848 0,017455
2 0,034899 0,999391 0,034921
3 0,052336 0,99863 0,052408
4 0,069756 0,997564 0,069927
5 0,087156 0,996195 0,087489
6 0,104528 0,994522 0,105104
7 0,121869 0,992546 0,122785
8 0,139173 0,990268 0,140541
9 0,156434 0,987688 0,158384
10 0,173648 0,984808 0,176327
11 0,190809 0,981627 0,19438
12 0,207912 0,978148 0,212557
42
13 0,224951 0,97437 0,230868
14 0,241922 0,970296 0,249328
15 0,258819 0,965926 0,267949
16 0,275637 0,961262 0,286745
17 0,292372 0,956305 0,305731
18 0,309017 0,951057 0,32492
19 0,325568 0,945519 0,344328
20 0,34202 0,939693 0,36397
21 0,358368 0,93358 0,383864
22 0,374607 0,927184 0,404026
23 0,390731 0,920505 0,424475
24 0,406737 0,913545 0,445229
25 0,422618 0,906308 0,466308
26 0,438371 0,898794 0,487733
27 0,45399 0,891007 0,509525
28 0,469472 0,882948 0,531709
29 0,48481 0,87462 0,554309
30 0,5 0,866025 0,57735
31 0,515038 0,857167 0,600861
32 0,529919 0,848048 0,624869
33 0,544639 0,838671 0,649408
34 0,559193 0,829038 0,674509
35 0,573576 0,819152 0,700208
36 0,587785 0,809017 0,726543
37 0,601815 0,798636 0,753554
38 0,615661 0,788011 0,781286
39 0,62932 0,777146 0,809784
43
40 0,642788 0,766044 0,8391
41 0,656059 0,75471 0,869287
42 0,669131 0,743145 0,900404
43 0,681998 0,731354 0,932515
44 0,694658 0,71934 0,965689
45 0,707107 0,707107 1
46 0,71934 0,694658 1,03553
47 0,731354 0,681998 1,072369
48 0,743145 0,669131 1,110613
49 0,75471 0,656059 1,150368
50 0,766044 0,642788 1,191754
51 0,777146 0,62932 1,234897
52 0,788011 0,615661 1,279942
53 0,798636 0,601815 1,327045
54 0,809017 0,587785 1,376382
55 0,819152 0,573576 1,428148
56 0,829038 0,559193 1,482561
57 0,838671 0,544639 1,539865
58 0,848048 0,529919 1,600335
59 0,857167 0,515038 1,664279
60 0,866025 0,5 1,732051
61 0,87462 0,48481 1,804048
62 0,882948 0,469472 1,880726
63 0,891007 0,45399 1,962611
64 0,898794 0,438371 2,050304
65 0,906308 0,422618 2,144507
66 0,913545 0,406737 2,246037
44
67 0,920505 0,390731 2,355852
68 0,927184 0,374607 2,475087
69 0,93358 0,358368 2,605089
70 0,939693 0,34202 2,747477
71 0,945519 0,325568 2,904211
72 0,951057 0,309017 3,077684
73 0,956305 0,292372 3,270853
74 0,961262 0,275637 3,487414
75 0,965926 0,258819 3,732051
76 0,970296 0,241922 4,010781
77 0,97437 0,224951 4,331476
78 0,978148 0,207912 4,70463
79 0,981627 0,190809 5,144554
80 0,984808 0,173648 5,671282
81 0,987688 0,156434 6,313752
82 0,990268 0,139173 7,11537
83 0,992546 0,121869 8,144346
84 0,994522 0,104528 9,514364
85 0,996195 0,087156 11,43005
86 0,997564 0,069756 14,30067
87 0,99863 0,052336 19,08114
88 0,999391 0,034899 28,63625
89 0,999848 0,017452 57,28996
Valores de algumas razões trigonométricas:
45
0º 30° 45° 60° 90°
sen 0 1
cos 1 0
tg 0 1
cotg 1
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5. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIANGULO
RETÂNGULO
Exemplo 1
Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma
extremidade que o arco A de medida: A= 810 graus..
resposta
Para o arco de 810° devemos obter quantas voltas completas este arco
tem pois 810°>360°. Dividindo 810 por 360, obteremos:
810 = 2,25 360conclusão
Este resultado significa que precisaremos dar duas voltas completas e mais
90° para completarmos o arco de 810°. Assim a primeira determinação positiva
será 90°.
Exemplo 2
Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma
extremidade que o arco A de medida A=-2000 graus.
resposta
Para o arco de medida -2000° devemos obter quantas voltas completas
este arco tem pois 2000°>360°. Dividindo 2000° por 360° teremos.
2000 = 5,55 360
Como a orientação é negativa, o ponto móvel se desloca no sentido
horário. O resultado da divisão significa que o ponto móvel percorre a
circunferência 5 vezes mais um arco de 20° no sentido horário.
A 1ª determinação positiva é dada por 360°-20°=340°.
47
Exemplo 4
4) Em cada caso, calcule sen, cos e tg dos ângulos agudos dos triângulos
retângulos abaixo.
resposta
para calcularmos seno, cosseno e tangente de um ângulo devemos ter as
seguinte relações, já devemos nesta a altura ambientalizarmos com alguns
termos que aparecem em notação da língua inglesa são elas seno=sin=sen,
cosseno=cos, tangente=tag=tg , secante=sec, cotangente=cot=cotg e
cossecante=cossec=csc
a)
sen c = __1__ cos c = __2__ tg c= __1__ √ 5 √ 5 2
sen b = __2 cos b = __1__ tg b = 2_ √5 √5 1
48
b)
Aplique a mesa propriedade feita acima:
sen e =___ cos e =___ tg e = ___
sen f =___ cos f =___ tg f =___
Exemplo 5
Um barco atravessa um rio de 80 m de largura, seguindo uma direção que
forma 70° com a margem de partida. Qual a distância percorrida pelo barco?
Resposta
Distancia percorrida x
Ponto de partida 70º
80 m
cos 70° = 0,34 0,34= _80_ x = 235,29 x
R: A distancia percorrida pelo barco é de aproximadamente 235,29 m
49
Exemplo 6
Considere a figura abaixo, onde AB=AD=1, BC=x, AC=y, DE=z e AE=w. Os
ângulos DÊA BCA e BFA são retos.
a) Determine o comprimento de AF e BF em função de x, y, z e w
b) Determine a tangente do ângulo em função de x, y, z e w
Para resolver o item "a", devemos visualizar o triângulo abaixo:
Note que as medidas pedidas são os catetos do triângulo vermelho. Para
achar estes valores, vamos aplicar as fórmulas do seno e do cosseno do ângulo (
+ ):
50
sen ( + ) = BF ↔ BF= sen ( + ) 1
Aplicando a fórmula do seno da soma de dois ângulos e do cosseno da
soma de dois ângulos, temos:
BF = sen ( + ) ↔ 1) BF = sen cos + cos sen
AF = cos ( + ) ↔ 2) AF = cos cos - sen sen
Agora, para saber os valores dos cossenos e senos necessários, vamos
olhar para outros triângulos:
Pelo triângulo acima laranja acima, podemos visualizar os valores das
funções trigonométricas do ângulo :
sen = _x_ ↔ sen = x 1
cos =_y_ ↔ cos = y 1Agora, olhando para o triângulo verde abaixo:
51
Podemos calcular as funções trigonométricas do ângulo :
sen =_z_ ↔ sen = z 1
cos =_w_ ↔ cos = w 1Agora, sabendo todos os valores necessários, podemos voltar para as
equações 1) e 2) e substituir da seguinte forma.
1) BF = sen cos + cos sen
BF = xw + yz
2) AF = cos cos - sen sen
AF = wy - zx
Estas são as respostas para o item "a" do exercício.
O item "b" agora fica fácil, olhando o triângulo vermelho da primeira figura,
vemos que:
tan = AF BFSubstituindo pelos valores encontrados no item "a":
tan = wy – zx xw + yzEsta é a resposta para o item "b".
52
5.1. EXERCICIOS DE APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES
TRIGONOMETRICAS
1) Um navio encontra-se a 100 m de um farol. Sabendo-se que o farol é
visto do navio de um ângulo de 60º, calcule a sua altura.
2) Para alcançarmos o 1º andar de um edifício, subimos uma rampa de 6 m
que forma com o solo um ângulo de 30º. Qual a distância do solo ao 1º andar ?
3) Um barco atravessou um rio de 62 m de largura. Sabendo-se que a
correnteza fez com que ele navegasse com um ângulo de 30º em relação à
margem, calcule a distância percorrida.
4) A base de um triângulo isósceles mede 16 cm e o ângulo oposto a ela
mede 60º. Calcule a medida da altura relativa à base.
5) Calcule a medida do lado de um triângulo eqüilátero cuja altura mede 26
m.
6) Calcule a altura de um edifício, sabendo-se que, quando o sol está a 60º
acima do horizonte, a sombra projetada é 25 m.
7) De um navio, um marinheiro avista a luz de um farol de um ângulo de
30º. Calcule a distância do navio ao farol, sabendo-se que a altura deste é 150 m.
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8) Um observador, colocado a 10 m da base de um chaminé, vê seu ponto
mais alto de um ângulo de 60º. Calcule a altura dela.
9) Determine o ângulo sobre o qual é vista uma torre de 18 m de altura,
sabendo-se que a distância do observador ao seu ponto mais alto é 36 m.
10) Calcule o perímetro de um triângulo isósceles de base 30 cm, cujos
ângulos congruentes medem 30º.
11) Num triângulo de catetos medindo 3 dm e 4 dm, calcule o seno, o
cosseno e a tangente de seus ângulos agudos.
12) Num triângulo equilátero de lado 1,calcule seno, cosseno e tangente de
30 ° e 60 ° .
13) Seja um triângulo de catetos medindo 5 e12 .Calcule seno , cosseno e
tangente de seus ângulos agudos.
14) Seja um triângulo isósceles de catetos com medida 1 . Calcule seno ,
cosseno e tangente de 45 ° .
15) Calcular a medida dos catetos de um triângulo cuja hipotenusa mede 8
cm e um dos ângulos mede 30 ° .
16) Num triângulo , um cateto mede 10 cm e o ângulo oposto mede 60 ° .
Calcule a medida do outro cateto .
17) Enxergo o alto de um poste de altura l do outro lado de uma rua sb um
ângulo de 60 ° ,afasta-me em linha reta 100m , e vejo o alto do poste sob um
ângulo de 30 ° .Qual a largura da rua e qual é a altura do poste ?
54
18) Uma escada de 6m está apoiada em uma parede , formando com o
solo um ângulo de 60 ° Calcule as distâncias do pé da escada á parede e do solo
ao topo da escada.
19) O alto de um prédio com 6√3 m é visto sob um ângulo de 45°, a uma
distancia de x metros; se o observador se afastar y metros, será visto sob um
ângulo de 30°. Calcule os valores de x e de y.
20) Num triangulo um cateto mede 16 e seu ângulo oposto mede 30°.
Calcule a medida da sua hipotenusa e do outro cateto.
21) Um triangulo possui catetos que medem 8m e 6m. Calcule a medida da
hipotenusa e dos ângulos agudos deste triangulo.
22) Idem para o triangulo cujo os catetos medem 10m e 16m .
23) Num triângulo ABC, o cateto AB mede 3,5m e o cateto AC mede 7m.
Calcule a medida da hipotenusa BC, e as razões trigonométricas de seus ângulos
agudos.
24) A sombra de uma árvore mede 16m . Um observador do fim da sobra,
vê o topo da árvore sob um ângulo de 30°. Qual é a altura desta arvore?
25) Um triangulo ABC tem catetos medindo c= xm e a= ym,
respectivamente o ângulo oposto ao cateto AB mede 60°. Em linha reta, a partir
de C move-se 40m e marca-se um ponto D, e, o ângulo referente ao vértice D
mede 30°. Calcule os valores de x e y.
55
Conclusão
Esperemos que tenham gostado do nosso trabalho e do seu resultado final.
Talvez ele possa servir para alguns dos teus e meus colegas aprenderem um
pouco mais sobre Pitágoras e Trigonometria.
O trabalho teve algumas expectativas respondidas de nossa proposta
inicial, criou novos campos para pesquisa. Este trabalho, no qual procuramos
aplicar muito do que aprendemos no âmbito da disciplina, está longe de ser um
trabalho perfeito. Pelo contrário, reconhecemos, algumas críticas, reconhecemos
que teria sido possível ir mais longe. Só não o fizemos por limitações temporais.
Entretanto, podemos dizer que aprendemos, que evoluímos e esperamos que
trabalhos futuros aproveitem desta experiência.
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BIBLIOGRAFIA
Dolce, Osvaldo, &, Iezzi, Gelson, &, Machado, Antonio; Matemática
e Realidade, São Paulo, editora Atual, 1993.
Dolce, Osvaldo, Pompeo, José Nicolau, Fundamentos de
Matemática Elementar 9, geometria plana, São Paulo, editora Atual, 1993.
Do site: www.prof2000.pt/users/paulaap/aplicacoes.html.
Do site: http://www.sbempaulista.or.br/epem/anais/posteres%5C
P038.doc
Do site: http://www.matematicamagica.hpg.ig.com.br/htri.htm
Do site: http://www.urcamp.tche.br/matematica/trabalhos/trigono
métrica.html.2
Iezzi, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 3: trigonometria. São Paulo: Editora Atual, 1993.
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