8/6/2019 Mt ng dng nh ca php quay v v t quay

1/6

1 Nguyn Tng V | Trng Phng Thng Nng Khiu

Mt ng dng nh ca php quay v v t quayNguyn Tng V

C th cc bn quen vi vic dng php quay trong vic gii ton hnhhc, trong bi vit nh ny ti khng c tham vng vit v ng dng ca phpquay trong vic gii ton, ch xin c trnh by ng dng ca mt tnh cht quenthuc ca php quay trong vic gii cc bi ton hnh hc. T c th cc bnthy c vic v hnh ph trong gii ton hnh hc l hon ton t nhin, vthm mt hng suy ngh khi gii ton.

1.Mt s tnh cht quan trng Tnh cht 1. Xt php quay tm O gc quay bin AB CD th , mod2 AB CD

v , modAB CD

Do nu gi E l giao im ca CD v AB; F l giao im ca AC v BD th ta c A,E, C, O ng vin v O, E, B, D ng vin.

T ta cng chng minh c O, C, F, D ng vin.

Tnh cht1. Tnh cht trn cng cn ng nu tn ti mt php v t quay bin AB CD

.

Tnh cht2. Nu c hai on thng AB v CD bng nhau v AB khng song song

CD. Khi tn ti duy nht mt php quay bin AB CD

. Tm O ca php quay

l giao im hai ng trung trc AC v BD, gc quay bng gc gia hai vect AB

v CD

8/6/2019 Mt ng dng nh ca php quay v v t quay

2/6

8/6/2019 Mt ng dng nh ca php quay v v t quay

3/6

3 Nguyn Tng V | Trng Phng Thng Nng Khiu

Do O, P, R, C ng vin.

Khi MRC = ROC + RCO = APQ + OPQ = APO = OAP

Suy ra BRC = PAQ v BAC + BRC = 1800

Bi ton 3.Cho t gic ABCD vi BC = DA v BC khng song song vi DA. Cho haiim thay i F, E ln lt thuc BC v DA sao cho BF = DE. Gi P l giao im ca

AC v BD. EF ct BD v AC ln lt ti Q v R . Chng minh rng ng trn ngoitip tam gic PQR lun i qua mt im c nh khc P.

Li gii.

Ta xt qup quay tm O bin DA BC

, khi E F. Ta c O c nh.

Khi ta c cc t gic DEQO, ORFC ni tip.Gi H, I, T, J, K ln lt l hnh chiu ca O trn cc ng thng AD, DB, EF, OJ vBC.

Theo nh l v ng thng Simson i vi t gic DEQO , ORFC ta c H, I, Tthng hng v T, J, K thng hng.

Gi X l giao imca AD v BC ta c XEOF ni tip, suy ra H, T, K thng hng.

8/6/2019 Mt ng dng nh ca php quay v v t quay

4/6

4 Nguyn Tng V | Trng Phng Thng Nng Khiu

T ta c I, J, T thng hng, suy ra OQPR ni tip. Vy (PQR) lun i qua im O

c nh.

Bi ton 4. Cho tam gic ABC, cc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti H (D, E, F lnlt thuc cc cnh BC, AC v AB). Chng minh rng ng thng Euler ca cc

tam gic AEF, BDF, CDE ct nhau ti mt im nm trn ng trn Euler ca tamgic ABC.

Li gii.

Ta c tam gic AED v FEC ng dng thun. Xt php v t quay bin AD, FC

Khi EAF EDC v ng thng Euler ca tam gic AEF bin thnh ng

thng Euler ca tam gic EDC.

Gi Oa, Ha l tm ngoi tip v trc tm ca tam gic AEF, Oc, Hc nh ngha tng

t. Khi Oa Oc, Ha Hc. Gi T l giao im ca HaOa v HcOc th EoaTOc ni

tip. Suy ra T (EoaOc) hay T thuc ng trn Euler ca tam gic ABC.

Chng minh tng t ta cng c ng thng Euler ca tam gic BDF v tam gicAEF cng ct nhau ti mt im thuc ng trn Euler ca tam gic ABC.

Vy ng thng Euler ca cc tam gic AEF, BDF, CDE ng quy ti mt im

thuc ng trn Euler ca tam gic ABC.Bi ton 5.Cho tam gic ABC nhn c trc tm H v tm ng trn ngoi tip lO. ng trung trc ca AH ct cc cnh AB v AC ti D v E . Chng minh rng OAl phn gic ca gc DOE.

Li gii.

8/6/2019 Mt ng dng nh ca php quay v v t quay

5/6

5 Nguyn Tng V | Trng Phng Thng Nng Khiu

Ta bit mt tnh cht quen thuc l BAH = CAO, do tam gic cn ADH v

tam gic AOC ng dng thun. T xt php v t quay bin D H, OC

Gi F l giao im ca DO v CH , khi t gic AOFC ni tip suy ra DOA =

ACH

Chng minh tng t ta cng c EOA = ABH

M ABH = ACH suy ra AOD = AOE

Bi ton 6.Cho hai ng trn (1) v (2) ct nhau ti A v B. Mt ct tuyt thayi qua A ct (1) v (2) ln lt ti D v E. Tip tuyn ca (1) ti D v tiptuyn ca (2) ti E ct nhau ti P. Chng minh rng ng trung trc (d) ca BPlun tip xc vi mt ng trn c nh.

Li gii.

Ta d dng chng minh c B, C, P, D ng vin v (BC, BP) = (BA, BD) (mod )v (PB, PC) = (DA, DB), (BC, BA) = (BP, BD)

8/6/2019 Mt ng dng nh ca php quay v v t quay

6/6

6 Nguyn Tng V | Trng Phng Thng Nng Khiu

Khi BCA ~ BPD

Xt php v t quay bin C P, A D, khi (1) (BCPD), O1 F

Xt php v t quay bin PD, CA, khi (BCPD)(2)

Ta c (FO1, FO2) = (FO1, FB) + (FB, FO2) = (PC, PB) + (PB, PD) = (PC, PD) = (BC,

BD) = (BO1, BO2) (mod )

Vy F, O1, O2, B ng vin hay F (BO1O2) c nh.

Mt khc ta c F thuc ng trung trc (d) ca BP v FO1l trung trc ca BCnn

(d, FO1) = (BO1, BF). T ta c d l tip tuyn ca (BO1O2) tc l (d) lun tip

xc vi mt ng trn c nh.

Bi tp rn luyn .Bi 1. Cho lc gic u ABCDEF, trn AC v AE ly cc im M , N sao choMA NF

kMC NA

. Tm k B, M, N thng hng.

Bi 2. Cho ng gic li ABCDE c ABC = ACD = ADE v BAC = CAD =DAE. Gi M l trung im CD. Chng minh rng BD, CE v AM ng quy.

Bi 3. Cho tam gic ABC. Trn cc tia AB v AC ly hai im D v E thay i sao choCD = BE. Gi P l giao im ca BE v CD . Chng minh rng trc ng phng cahai ng trn ngoi tip cc tam gic BDP v CEP lun i qua mt im c nh.

TI LIU THAM KHO

[1] Hnh hc tnh v ng, L B Khnh Trnh, K Yu Tri H Ton hc nm 2009.

[2] Cc php bin hnh trong mt phng v ng dng gii ton hnh hc, Nguynng Pht, NXBGD.