MPI, 8.-12. prednáška

MPI, 8.-12. prednáška

Matematická analýza

Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť.

• Motivácia k derivácii-geometrická-fyzikálna • Definícia derivácieDefinícia. Nech je funkcia definovaná v okolí bodu . Ak

existuje konečná limita

tak túto limitu nazveme deriváciou funkcie f(x) v bode a budeme ju označovať symbolom f´(a). Ak uvedená limita neexistuje, hovoríme, že funkcia v danom bode nemá deriváciu.

afh

afhaf

ax

afxfhax

/

0limlim


• Definícia. Nech je reálna funkcia. Označme množinu všetkých tých bodov definičného oboru , v ktorých má funkcia deriváciu. Funkciu , ktorá každému bodu priradí hodnotu (deriváciu funkcie v bode ) nazývame deriváciou funkcie f na množine M.


• Dotyčnica ku grafu funkcie

Veta . Nech funkcia má deriváciu v bode a. Potom dotyčnica ku grafu funkcie , vedená bodom má rovnicu T a f a,

axafa f=y


• Základné derivačné vzorcePre derivovanie elementárnych funkcií platia nasledujúce

vzťahy (vzorce), ktoré používame pri počítaní derivácií zložených funkcií:

Veta 1)Ak f(x)=c (konštantná funkcia) , tak pre každé je .2) Ak f(x)=xn (n = 1,2,...), tak pre každé je

3) Ak f(x)=xα , , tak pre každé , x≠0, je .

x R f x c 0

f x x n xn n. 1

x R

R x R

f x x x . 1


4) Ak f(x)=ax (a>0), tak pre každé je

.

Špeciálne, ak f(x)=ex , tak .

x R

f x a a ax x .ln

f x e ex x

5) Ak f(x)=sinx , tak pre všetky x je

.

6)Ak f(x)=cosx , tak pre všetky x je

sin cosx x

cos sinx x


7) Ak f(x)=tgx, tak pre tie x, pre ktoré je cosx ≠0

8) Ak f(x)=cotgx, tak pre tie x, pre ktoré je sinx≠0

tgxx

1

2cos

cotsin

gxx

1

2


9) Ak f(x)=logzx ,z>0,z≠1, tak pre všetky x>0 je = .

Špeciálne, ak f(x)=ln x, tak pre všetky x>0 je .

log z x 1

x z.ln

ln xx

1


Derivácia súčtu, rozdielu, súčinu a podielu, derivácia zloženej funkcie

Veta Nech funkcie f a g majú derivácie na množine M. Potom aj funkcie c.f(c-je reálne číslo),f+g , f -g a f.g majú na tejto množine derivácie a platí:

c f x c f x. .

f x g x f x g x

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x. . .


• Ak navyše g(x)≠0 pre všetky x, tak na množine M majú derivácie i funkcie

, a platí: 1

g x

f x

g x

12g x

g x

g x

f x

g x

f x g x f x g x

g x

. .2


• Veta (O derivácii zloženej funkcie.) Nech je zložená funkcia, definovaná v nejakom okolí bodu a. Nech funkcia g má deriváciu v bode a a funkcia f má deriváciu v bode g(a). Potom aj funkcia h má deriváciu v bode a platí

h x f g x

agagfah .


• Príklad 1. Z definície derivácie vypočítajte deriváciu funkcie f(x)=x2.

• Príklad 2. Vypočítajte deriváciu funkcie


• Príklad 4. Zderivujte funkciu +

y x x x 3 25 4 2

yx

x x

2 3 23

y x e x ln 1 4

3 3x xarctg x e



• Príklad 6. Nájdite rovnicu tej dotyčnice k parabole y=x2-x+3, ktorá je

• rovnobežná s priamkou 3x-y+5=0;

• kolmá na priamku x+y-1=0.

y xx x

sin 34 2 62


• Derivácie vyšších rádov• Derivácie vyšších rádov (alebo krátko vyššie derivácie)

definujeme rekurentne: Nech funkcia má deriváciu v každom bode neprázdnej množiny M, t.j. v každom bode existuje f´(x), čo je vlastne zase funkcia, definovaná na množine M. Preto má zmysel uvažovať a pýtať sa, či existuje derivácia funkcie f´(x) na množine M. Ak táto derivácia existuje, tak ju nazývame druhou deriváciou funkcie f na množine M a označujeme f´´(x), kde f´´(x)=(f´(x))´.

• Analogicky tretiu deriváciu (ak existuje) definujeme ako deriváciu druhej derivácie, atď. (Pôvodnú hodnotu funkcie zvykneme tiež nazývať „nultou deriváciou“.) Obecne: Hovoríme, že funkcia má n - tú deriváciu (vlastnú, alebo nevlastnú) na množine M , ak na tejto množine existuje (vlastná,alebo nevlastná) derivácia (n–1)-vej derivácie funkcie f . Označenie je f(n)(x). Teda

f(n)(x)=(f(n-1)(x))´Príklad 7. Vypočítajte druhú deriváciu funkcie y=x2lnx.

Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne

extrémy funkcie.1. Monotónnosť a derivácia


extrémy funkcie.

Veta Nech funkcia f(x) je spojitá v intervale J a nech v každom vnútornom bode tohto intervalu má deriváciu. Potom platí: Ak f´(x) > 0 (f´(x)<0) potom f(x) je na intervale J rastúca (klesajúca).

Príklad 1. Vyšetrite monotónnosť funkcie f(x) = lnx.

Príklad 2. Vyšetrite monotónnosť funkcie f(x) = x3 - 3x.


extrémy funkcie.

• Poznámka . Predchádzajúca veta hovorí, že podmienka f´(x) > 0, resp. f´(x) < 0 je postačujúca na to, aby funkcia f(x) bola na príslušnom intervale rastúca, resp. klesajúca.

• Veta . Nech funkcia f(x) je spojitá v intervale J a vo vnútri intervalu J má deriváciu. Nutná a postačujúca podmienka na to, aby funkcia f(x) bola na intervale J rastúca (klesajúca) je: f´(x) ≥ 0 (f´(x) ≤0) v každom vnútornom bode intervalu J, pričom rovnosť f´(x) = 0 nastáva len v konečnom počte bodov intervalu J.


extrémy funkcie.

• Maximum (minimum) a derivácia• Definícia . Nech funkcia f je definovaná na

množine D(f). Funkčnú hodnotu f(a), a MD(f), nazývame globálnym maximom funkcie f(x) v bode a na množine M práve vtedy, ak pre každé x M platí: f(x) f(a).

• Definícia . Nech funkcia f je definovaná na množine D(f). Funkčnú hodnotu f(a), aMD(f), nazývame globálnym minimom funkcie f(x) v bode a na množine M práve vtedy, ak pre každé x M platí: f(x) f(a).


extrémy funkcie.• Definícia . Nech funkcia f je definovaná na množine D(f).

Funkčnú hodnotu f(a), a D(f), nazývame lokálnym maximom funkcie f(x) v bode a práve vtedy, ak existuje také okolie O(a) D(f), že pre každé x O(a) platí: f(x) f(a).

• Definícia . Nech funkcia f je definovaná na množine D(f). Funkčnú hodnotu f(a) , a D(f), nazývame lokálnym minimom funkcie f(x) v bode a práve vtedy, ak existuje také okolie O(a) D(f), že pre každé x O(a) platí: f(x) f(a)

• Poznámka . • Ak sú splnené podmienky lokálneho maxima (minima) a naviac

pre každé x O(a) D(f), xa, platí f(x) f(a), resp. f(x) f(a) , potom hovoríme, že funkcia f má v bode a ostré lokálne maximum, resp. ostré lokálne minimum.


extrémy funkcie.• Veta . Nutná podmienka existencie lokálneho

extrému. Nech funkcia f(x) má v bode x0 lokálny extrém. Potom f´(x0) = 0, alebo derivácia funkcie f v bode x0 neexistuje.

• Poznámka . • Bod x = a, v ktorom f´(a) = 0, sa nazýva stacionárny

bod funkcie f.• Geometricky môžeme nutnú podmienku existencie

lokálneho extrému interpretovať takto: ak funkcia f(x) má v bode x = a ostrý lokálny extrém, potom jej graf v bode P a, f(a) buď má dotyčnicu rovnobežnú s osou x alebo v tomto bode dotyčnicu nemá .


extrémy funkcie.

Ilustrácia predchádzajúceho textu


extrémy funkcie.• Skutočnosť, že f´(a) = 0, ešte neznamená, že funkcia f(x) má v bode

a lokálny extrém. Napríklad funkcia f(x) = x3 má deriváciu f´(x) = 3x2

a x = 0 je nulovým bodom derivácie funkcie.


extrémy funkcie.• Veta . Postačujúca podmienka lokálneho extrému funkcie

v bode a• Nech funkcia f má v bode x = a deriváciu druhého rádu a nech f´(a)

= 0. Nech f´´(a) 0 resp. f´´(a) 0. Potom funkcia f má v bode a ostré lokálne minimum resp. ostré lokálne maximum.

• Veta . Postačujúca podmienka lokálneho extrému funkcie v bode a

• Nech existuje také okolie O(a) bodu a, že funkcia f je v O(a) spojitá, má deriváciu v každom x O(a), xa a naviac pre x a je f´(x) 0 a pre x a je f´(x) 0. Potom funkcia f(x) má v bode a ostré lokálne maximum.

• Nech existuje také okolie O(a) bodu a, že funkcia f je v O(a) spojitá, má deriváciu v každom x O(a), xa a naviac pre x a je f´(x) 0 a pre x a je f´(x) 0. Potom funkcia f(x) má v bode a ostré lokálne minimum.


extrémy funkcie.• Príklad 3. Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x) = x4 - 4x3 + 4x2.• Poznámka . • Hľadanie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie (teda globálnych

extrémov funkcie) v nejakom intervale J.


extrémy funkcie.

• Nájdeme najprv body z vnútra intervalu, v ktorých je buď f´(x) = 0, alebo v ktorých derivácia neexistuje. Označíme ich x1, x2, ..., xk,...

• Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch x1, x2, ..., xk,... , t.j. f(x1), f(x2), ..., f(xk),... f(a), f(b). Najväčšie z týchto čísel je globálne maximum, najmenšie globálne minimum funkcie f na uzavretom intervale.

• Príklad 4. Nájdite globálne extrémy funkcie f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x +1 v intervale . 2 4,

Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body

• Konvexnosť a konkávnosť a derivácia• Definícia . Nech f je funkcia, ktorá je spojitá v intervale

J a v každom vnútornom bode tohto intervalu má deriváciu. Hovoríme, že funkcia f je konvexná (konkávna) na intervale J, ak pre každú dotyčnicu k jej grafu platí, že všetky body grafu funkcie okrem dotykového bodu ležia nad (pod) touto dotyčnicou.

• Poznámka . Niekedy sa funkcia, ktorú sme nazvali konvexnou (konkávnou) na intervale J nazýva rýdzo konvexnou (rýdzo konkávnou) v intervale J na rozdiel od prípadu, keď pripúšťame, aby body grafu ležali buď nad (pod) každou dotyčnicou, alebo na niektorej dotyčnici..


• Ilustrácia definície


• Veta . Nech funkcia f je spojitá v intervale J a v každom vnútornom bode intervalu J má druhú deriváciu. Ak pre každé x z vnútra intervalu J platí

f´´(x) 0 (f´´(x) 0) pričom rovnosť platí len pre konečný počet bodov,

potom funkcia f je v intervale J rýdzokonvexná (rýdzokonkávna).

• Príklad 5. Zistite, v ktorých intervaloch je funkcia f(x) = x3 - 3x konvexná, resp. konkávna.


• Poznámka . Podmienka f ´´(x) >0 (f ´´(x) < 0) je postačujúca, ale nie nutná na to, aby funkcia f bola v intervale J konvexná, resp. konkávna.

• Možno dokázať nasledujúce tvrdenie: Nutná a postačujúca podmienka na to, aby funkcia f bola v intervale J konvexná (konkávna), je, aby jej derivácia f ´ bola v intervale J rastúca (klesajúca).


• Definícia . Bod (číslo) x0, v ktorom funkcia f má deriváciu, nazývame inflexným bodom funkcie f práve vtedy, keď existuje také okolie O(x0) bodu x0, že pre každé x O(x0), x x0 je funkcia konvexná (konkávna), a pre každé x O(x0), x x0 je funkcia konkávna (konvexná). Ak x0 je inflexným bodom funkcie, potom bod x0,f(x0) nazývame inflexným bodom grafu funkcie.


• Ilustrácia definície


• Veta . Nech funkcia f má v nejakom okolí bodu x0 spojitú druhú deriváciu. Nutná podmienka, aby x0 bol inflexný bod funkcie f , je aby f ´´(x0) = 0, alebo aby f ´´(x0) neexistovala.

• Príklad 6. Nájdite inflexné body funkcie f(x) = x3.


• Veta . Nech funkcia f má v bode x0 tretiu deriváciu a nech f´´(x0) = 0, f´´´(x0) 0. Potom bod x0,f(x0) je inflexný bod grafu funkcie f.

• Príklad 7. Zistite intervaly, na ktorých je funkcia f(x) = konvexná, konkávna a nájdite jej inflexné body.

x

x 2 1

l´Hospitalove pravidlá

• Veta . Prvé l´Hospitalove pravidlo

Nech 1/ f(x) = g(x) = 0 a nech

2/ existuje

(vlastná alebo nevlastná).

Potom existuje aj a platí:

= .

limx a

limx a

limx a

f x

g x

( )

( )

f x

g x

( )

( )f x

g x

( )

( )f x

g x

( )

( )

limx a

limx a

limx a


• Veta . druhé l´Hospitalove pravidlo

Nech 1/ = a nech

2/ existuje

(vlastná alebo nevlastná).

Potom existuje aj a platí:

= limx a

limx a

limx a

limx a

f x

g x

( )

( )

f x

g x

( )

( )

f x

g x

( )

( )

f x

g x

( )

( )

limx a

g x


• Poznámka . Uvedené vety platia aj v prípade, že ide o jednostranné limity, aj v prípade že a predstavuje symbol .

• Príklad 7. Vypočítajte .

• Príklad 8. Vypočítajte .2

limx

limx 0

23

652

2

xx

xx

tg x

tg x

3

5

,

Poznámka . Počítanie limít, ktoré vedú k výrazom možno za istých predpokladov upraviť na tvar limít, ktoré už vieme vypočítať pomocou l´Hospitalových pravidiel.(na cvičení)

, . , , ,0 1 00 0

Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes.

• Primitívna funkcia

• Definícia. Funkcia F(x) sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f(x) na intervale J, ak pre každé xJ platí F´(x)=f(x).

• Príklad 1. Funkcia F(x)=x3+2, aj funkcia G(x)=x3-5 sú primitívne funkcie k funkcii 3x2.


• Veta Nech F(x) je primitívnou funkciou k funkcii f(x) na intervale (a,b). Funkcia G(x) je primitívnou funkciou k funkcii f(x) na (a,b) vtedy a len vtedy, ak existuje také reálne číslo c, že pre všetky x(a,b) platí G(x)=F(x) + c.

• Neurčitý integrál• Definícia Množinu všetkých primitívnych

funkcii k funkcii f(x) na intervale (a,b) nazývame neurčitým integrálom funkcie f(x) na intervale (a,b) a označujeme

• cxFxxf d


Integračné vzorce:

cxxx dd1

ca

xxx

aa

1d

1

cxxx

lnd1

ca

axa

xx lnd

cxxx cosdsin

cxxx sindcos

cxxx

tgdcos

12

cxxx

cotgdsin

12

cxfxxf

xf

lnd

xxgxxfxxgxf ddd

xxgxxfxxgxf ddd

xxfcxxcf dd


• Príklad 2.

cxxcxxxxxxxx

xxxx

x

32

1

2

3

2

1

2

1

222dd3d1

d3d13


• Substitučná metóda a metóda per-partes• Z vety o derivácii zloženej funkcie získame jednu z

najdôležitejších metód integrovania – substitučnú metódu. Je založená na nasledujúcom tvrdení.

• Veta (Prvá veta o substitúcii). Nech funkcia f(x) je definovaná na intervale (a,b) a funkcia (t) na intervale (α,β). Nech množina hodnôt funkcie (t) , je podmnožinou intervalu (a,b). Nech ďalej (t) je diferencovateľná na (α,β). Ak má f(x) na (a,b) primitívnu funkciu F(x), potom má f((t))´(t) na intervale (α,β) primitívnu funkciu F((t)), t.j.

ctFtttf d


• Poznámka. Všimnime si, že integrovaná funkcia má tieto vlastnosti:

1. je súčinom dvoch funkcií f((t)) a ´(t)

2. prvá z nich je zloženou funkciou s hlavnou zložkou f a vedľajšou zložkou . Druhá z nich je deriváciou vedľajšej zložky .


• Príklad 3. Vypočítajte

dxxxx )23cos()32( 2


• Ak naopak máme vypočítať , pričom vieme vypočítať ,

môžeme tiež použiť substitučnú metódu. Pre tento prípad môžeme vysloviť novú vetu, ktorá je však bezprostredným dôsledkom vety predchádzajúcej. Tvrdenie tejto vety neuvedieme, ale zapíšeme iba pomocou vzorca (Druhá veta o substitúcii).

tttfxxf dd tx

dxxf dtttf


• Príklad 4. Vypočítajte xx d4 2

ttttttttx

txxx dcossin14dcos2sin44

dcos2d

sin2d4 222

cxx

ctttttt 2arcsin2sin

2arcsin22sin2d2cos12dcos4 2


• Metóda per-partes

• Metódu integrovania, ktorú nazývame per-partes dostaneme z vety o derivovaní súčinu dvoch funkcií. Hovorí o tom veta, ktorú neuvedieme v plnom znení ale uvedieme iba príslušný vzorec.

xxgxfxgxfxxgxf dd

xvuuvxvu dd


• Poznámka . Metódu per-partes (t.j. integrovanie po častiach) používame najmä na integrovanie súčinu dvoch funkcií. Úspech použitia metódy závisí od toho, ako si zvolíme funkcie a . Nie každá voľba týchto funkcií vedie k cieľu. Zaručený návod na použitie tejto metódy neexistuje.

• Uvedieme niekoľko základných typov funkcií, ktoré integrujeme metódou per-partes.

• Príklad 5. Vypočítajte:

xxx dsin xxx dln xxdln

Určitý integrál a jeho výpočet. Aplikácie určitého integrálu.

• Motivácia k určitému integrálu• Úvodom sa budeme zaoberať úlohou z

geometrie. Riešenie vedie k zavedeniu pojmu určitý integrál.

• Úloha (o plošnom obsahu).Uvažujme takýto jednoduchý prípad: zvoľme si v rovine pravouhlý súradnicový systém, nech funkcia f(x) je spojitá funkcia na intervale a,b a nadobúda na tomto intervale nezáporné hodnoty, t.j. f(x) 0 pre x a,b .


• Definícia . Nech f(x) je nezáporná spojitá funkcia definovaná na intervale a,b .

• Priamky x=a, x=b, y=0 a graf funkcie f(x) ohraničujú geometrický rovinný útvar, ktorý nazývame krivočiary lichobežník L , teda L je množina bodov (aká je plocha?)

xfybxaEyxL 0 2 :,



• Poznámka. Ak zväčšíme počet deliacich bodov, dĺžky sa zmenšujú, zdá sa byť pravdepodobné, že rozdiel medzi príslušnými plošnými obsahmi vpísaných a opísaných stupňovitých mnohouholníkov sa stále zmenšujú a teda číslo PL bude stále presnejšie určené.

• Výpočet určitého integrálu• Veta . Nech f je funkcia integrovateľná na a,b a nech funkcia F je

primitívnou funkciou k funkcii f na intervale J, pričom . Potom platí:

• Tento vzťah nazývame Newtonov-Leibnitzov vzorec a označujeme ho:

aFbFdxxfb

a

a b J,

aFbFxFdxxf ba

b

a


• Definícia . Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém . Nech f(x) je funkcia, ktorá je definovaná a spojitá na uzavretom intervale a,b . Množinu bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti

nazývame krivočiary lichobežník.

Veta. Ak množina A je krivočiary lichobežník, jej plošný obsah vypočítame :

)(xfy

bxa

0

b

a

dxxfAP )()(


• Definícia . Nech f(x) a g(x) sú spojité funkcie na uzavretom intervale a,b. Množinu bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti

nazývame elementárna oblasť typu x,y.

)()( xfyxg

bxa


• Veta. Nech funkcie f(x) a g(x) sú spojité na a,b, g(x)f(x). Plošný obsah množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti

je daný vzťahom

)()( xfyxg

bxa

b

a

dxxgxfAP ))()(()(


• Príklad 6. Vypočítajte plošný obsah časti roviny ohraničenej krivkami .2,242 yxxxy


• Objem rotačného telesa• Definícia. Nech je v priestore daná rovina

a v nej pravouhlý súradnicový systém. Nech funkcie f(x) a g(x) sú spojité a nezáporné funkcie na a,b, naviac nech 0g(x)f(x) pre x a,b. Teleso, ktoré opíše elementárna oblasť určená funkciami f(x) a g(x) na intervale a,b pri rotácii okolo osi x nazývame rotačným telesom určeným funkciami f(x) a g(x) na intervale a,b.


• Veta. Nech je daná elementárna oblasť v rovine, ktorej body spĺňajú nerovnosti

Potom objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okolo osi x, je daný vzťahom

)()(0 xfyxg

bxa

b

a

dxxgxfV )()( 22


• Príklad 7. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti ohraničenej krivkami y=x2, x=y2 okolo osi x.

Documents

MPI, 8.-12. prednáška