INSTITUT PENDIDIKAN GURU MALAYSIA

KAMPUS PENDIDIKAN TEKNIK

PROGRAM IJAZAH SARJANA MUDA PERGURUAN (PISMP)

AMBILAN JANUARI 2011

ALGEBRA LINEAR (MTE 3110)

NAME : NUR ATIQAH BINTI ABDULLAH

SITI FATIMAH AZZAHRA BINTI AZHAR

IDENTITY CARD NUMBER : 900101-10-5068

910722-02-5596

GROUP : 5 PISMP MATEMATIK 2

COURSE CODE : ALGEBRA LINEAR

(MTE 3110)

LECTURER'S NAME : PUAN NOREHAN BINTI SHAHAROUN

DATE OF SUBMISSION : 15 MAC 2013

PENGHARGAAN

Assalamualaikum

Bersyukur kehadrat Illahi kerana dengan limpah kurniaNya dapat juga kami

menyiapkan kerja kursus MTE 3110 kami yang telah diusahakan selama ini. Kerja

kursus yang ini amat penting buat kami memandangkan perkara ini merupakan

sebahagian daripada markah penilain subjek

Ribuan terima kasih kami ucapkan kepada individu penting yang banyak

membantu kami sepanjang kami menyiapkan kerja kursus kami ini. Pertama sekali

kepada Puan Norehan Binti Shaharoun, pensyarah kursus ini kerana beliau telah

banyak memberikan bimbingan dan semangat kepada semua pelajar.Selain itu, kami

juga sangat menghargai jasa pensyarah kami kerana memberikan bimbingan, dan

nasihat yang amat berguna untuk kerja kursus kami serta membantu kami dari semasa

kami susah dan senang. Jasa beliau yang akan kami kenang ke akhir hayat.

Seterusnya, terima kasih juga kepada ibu bapa kami kerana memberikan

sokongan dan dorongan kepada kami sepanjang kerja kursus ini disiapkan. Terima

kasih yang tidak terhingga juga kami ucapkan kerana memberikan kami bantuan dari

segi kewangan.

Tidak lupa juga kepada rakan-rakan seperjuangan yang sama-sama berhempas

pulas dalam menyempurnakan kerja kursus masing-masing. Bantuan kalian dari segi

informasi terkini mengenai kerja kursus amat kami hargai. Budi kalian yang sanggup

meluangkan masa untuk memberikan kami maklumat tidak akan kami lupakan.

Akhir sekali terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu kami secara

langsung atau tidak langsung sepanjang kerja kursus ini dijalankan.

iii

ISI KANDUNGAN

BIL. PERKARA MUKA

SURAT

1 PROFIL PELAJAR i

2 PENGHARGAAN iii

3 ISI KANDUNGAN iv

4 PELAN TINDAKAN TUGASAN v

5 PENGENALAN vi

6 PETA MINDA 1

7 PENYELESAIAN PENEROKAAN PETAK AJAIB SECARA

MANUAL

8 PENYELESAIAN PENEROKAAN PETAK AJAIB

MENGGUNAKAN PERISIAN

9 KEKUATAN DAN KELEMAHAN KAEDAH YANG DIGUNAKAN

10 REFLEKSI INDIVIDU

11 BIBLIOGRAFI

12 LAMPIRAN

Iv

PENGENALAN

Linear Algebra adalah merupakan bidang matematik yang mengkaji sistem

persamaan linear dan penyelesaian vektor, serta transformasi linear. Matriks dan

operasi juga merupakan antara bidang yang berkaitan dengan bidang linear algebra.

Linear Algebra juga adalah salah satu subjek penting dalam bidang matematik. Ia amat

berguna dalam permasalahan kehidupan seharian kita. Oleh itu, kita perlu bersedia

untuk tahu supaya kita boleh aplikasikannya dalam kehidupan seharian.

Antara tajuk-tajuk dalam Linear Algebra ialah Sistem Persamaan dan

Ketaksamaan Linear. Terdapat beberapa kaedah yang boleh digunakan untuk

menyelesaikan persamaan Linear antaranya ialah Kaedah Peghapusan, Kaedah

Gantian dan Kaedah Gauss - Jordan. Di bawah Ketaksamaan linear dna

pengaturcaraan linear pula terdapat sistem homogen dan penggunaaan persamaan

dan ketaksamaan linear dalam kehidupan seharian.

Masalah yang kita hadapi setiap hari tidaklah sebegitu ringkas di mana masalah

itu cuma bergantung kepada lebih daripada satu pemboleh ubah. Sebagai contoh,

keuntungan sesuatu syarikat pembinaan bukan saja bergantung kepada kos bahan

pembinaan, tetapi juga bergantung kepada pemboleh ubah lain seperti kos buruh, kos

pengangkutan, dan kos sewa pejabat. Dalam bahasa matematik, kita kata keuntungan

syarikat ini ialah suatu fungsi beberapa pemboleh ubah.

Dalam linear algebra ini, kita akan mengkaji fungsi banyak pemboleh ubah yang

termudah, iaitu fungsi linear. Kita boleh menggunakan pelbagai jenis kaedah secara

manual mahupun denga n menggunakan perisian Linear Algebra toolkit bagi

menyelesaikan sesuatu masalah seperti menyelesaikan petak ajaib.

SITI FATIMAH AZZAHRA BINTI

AZHAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

KAEDAH PEGHAPUSAN

KAEDAH PEGHAPUSAN

KAEDAH GANTIAN

KAEDAH GANTIAN

KAEDAH GAUSS & JORDAN

KAEDAH GAUSS & JORDAN

KETAKSAMAAN LINEAR DAN PENGATUCARAAN

LINEAR

KETAKSAMAAN LINEAR DAN PENGATUCARAAN

LINEAR

SISTEM HOMOGEN

SISTEM HOMOGEN

PENGGUNAAN PERSAMAAN DAN

KETAKSAMAAN LINEAR

PENGGUNAAN PERSAMAAN DAN

KETAKSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Satu Penyelesaian

Banyak penyelesaian

Tidak mempunyai penyelesaian

JENIS PENYELESAIAN ADA 3

KAEDAH PEGHAPUSAN

KAEDAH PEGHAPUSAN

KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS

Dinamakan sempena nama ahli matematik German, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Menggunakan matriks dalam mewakilkan sistem persamaan linear.

Sebarang sistem dengan m persamaan linear dan n pembolehubah boleh ditulis seperti berikut:

KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS

Dinamakan sempena nama ahli matematik German, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Menggunakan matriks dalam mewakilkan sistem persamaan linear.

Sebarang sistem dengan m persamaan linear dan n pembolehubah boleh ditulis seperti berikut:

.

:

.

:

Matriks A: matriks pekali/koefisien

Matriks x: matriks pembolehubah

Matriks b: matriks pemalar

KAEDAH

CARA PENYELESAIAN MENGGUNAKAN KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS

Tukarkan sistem persamaan linear yang diberi kepada matriks imbuhan

Gunakan operasi baris permulaan sehingga berbentuk Matriks Eselon Baris

Contoh Matriks Eselon Baris

Kemudian tukarkan kepada sistem linear yang berpadanan

Selesaikan sistem ini dengan kaedah gantian ke belakang

KAEDAH GANTIAN

KAEDAH GANTIAN

Contoh

3a + 2b = 4;---------------(1)   

                          a – b = 8 ---------------(2)

                                 a = 8 + b

 

Gantikan a = 8 + b dalam (1)

Selesaikan bagi b

Kemudian selesaikan bagi a 

3a + 2b = 4  3(8 +b) + 2b = 4  24 + 3b + 2b = 4  24 + 5b = 4      5b = 4 - 24    5b = -20      b = -4      a = 8 + b      a = 8 +(-4)      a = 4  

KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS-JORDAN

Dinamakan sempena dua nama ahli matematik, Carl Gauss dan Wilhelm Jordan (1842-1899).

Merupakan lanjutan daripada kaedah penghapusan Gauss.

Caranya ialah :

Sistem persamaan linear yang telah ditukar kepada matriks imbuhan akan diturunkan ke bentuk Matriks Eselon Baris Terturun semua unsur di sebelah atas dan bawah 1 terdahulu adalah sifar.

Seterusnya, tukarkan matriks ini kepada sistem persamaan linear.

- Contoh Matriks Eselon Baris Terturun

KAEDAH

KAEDAH GAUSS & JORDAN

KAEDAH GAUSS & JORDAN

Di mana ialah matriks identiti peringkat n dan matriks B dipanggil matriks songsang bagi A.

Mencari Matriks Songsang

Rumus Matriks saiz 2x2

Menggunakan Gauss-Jordan

Contoh:

, maka ia akan menjadi

, maka akan dapat

Jawapannya adalah

MATRIKS SONGSANG

SISTEM HOMOGENSISTEM HOMOGEN

Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar.

Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten.

Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.

Semua pemalar di sebelah kanan persamaan adalah sifar.

Contoh:

Setiap sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten.

Satu sistem yang ada bilangan persamaan yang kurang daripada pembolehubah akan mempunyai penyelesaian tak terhingga.

Persamaan Linear Homogen

Homogen

Persamaan Linear Homogen

Homogen

PENGGUNAAN PERSAMAAN DAN

KETAKSAMAAN LINEAR

PENGGUNAAN PERSAMAAN DAN

KETAKSAMAAN LINEAR

Mengira jarak perjalanan

Menukar jam ke minit

Berat

NUR ATIQAH BINTI

ABDULLAH

PENYELESAIAN

PENEROKAAN

PETAK AJAIB

SECARA MANUAL

TUGASAN 2

1) Wakilkan tempat kosong dengan a.b.c.d.e dan f:

4 a b

c 5 d

e f 6

2) Berdaarkan formula, betukkan persamaan seperti dibawah

3) Tulis persamaan dalam bentuk AX = B seperti di bawah :

4) Tukar kepada matriks imbuhan seperti berikut:

5.) Selesaikan persamaan matriks tersebut mengikut langkah di bawah :

B1 ⇔ B5

B5 – B1

B1 ⇔ B5

B5 – B1

B2 ⇔ B5

B2 ⇔ B5

B6 - B2

B3 ⇔ B4

B6 - B2

B3 ⇔ B4

B5 - B3

B5 - B3

B4 ⇔ B5

Berdasarkan kaedah Gauss , persamaan yang diperoleh adalah :

B6 - B4

B6 – B5

a+ f = 10

b -f = 1

c + e = 11

d – e = -1

e + f = 9

f = arbitrari

B6 - B4

B6 – B5

Gunakan penggantian ke belakang untuk menyelesaikan sistem persamaan

linear tersebut.

Andaikan f=1

e+f=9

e+1=9

e=8

c+e=11

c+8=11

c=3

d-e= -1

d-8= -1

d=7

b-f= 1

b-1= 1

b=2

a+f=10

a+1=10

a=9

Petak ajaib yang sudah diselesaikan adalah seperti di bawah :

4 9 2

3 5 7

8 1 6

1) Andaikan petak-petak kosong di dalam petak ajaib tersebut diwakili oleh pemboleh ubah seperti

di bawah :

7 12 1 14

a b 8 c

16 d e f

g 6 h i

2) Setiap baris, lajur dan penjuru didalam petak ini adalah berjumlah 34.

.

3) Persamaan yang boleh dibentuk adalah seperti di bawah.

4) Tulis dalam bentuk AX = B seperti di bawah :

5)Tukar kepada bentuk matriks imbuhan seperti berikut :

5) Selesaikan persamaan matriks tersebut mengikut langkah di bawah :

B2 ⇔ B5

B4 – B1

B4 + B2

B9 – B2

B2 ⇔ B5

B4 + B2

B9 – B2

B3 ⇔ B4

B7 – B3

B3 ⇔ B4

B7 – B3

B4 ⇔ B5

B7 – B4

B8 – B4

B9 + B4

B4 ⇔ B5

B7 – B4

B8 – B4

B9 + B4

B5 ⇔ B6

B7 + B5

B8 + B5

B9 + 2B5

B5 ⇔ B6

B7 + B5

B8 + B5

B9 + 2B5

B6 ⇔ B9

B8 + B6

B6 ⇔ B9

B8 + B6

B8 – B7

B9 – B7

Berdasarkan kaedah Gauss, persamaan yang diperoleh adalah :

6) Gunakan penggantian ke belakang untuk menyelesaikan sistem persamaan

linear tersebut.

B8 – B7

B9 – B7

a + b + c = 26b + d = 16

c – d –g = -1d + e + f = 18

e + h = 25f – 2h + i = -21g + h + i = 28

-2h = -30i = arbitrari

Andaikan i = 5

-2h = -30

h = 15

g + h + i = 28g + 15 + 5 = 28g = 8

d + e + f = 18d + 10 + 4 = 18d = 4

c – d –g = -1c – 4– 8 = -1c =11

b + d = 16b + 4 = 14b = 12

5. Petak ajaib yang sudah diselesaikan adalah seperti di bawah :

7 12 1 14

3 12 8 11

16 4 10 4

8 6 15 5

f – 2h + i = -21f – 2(15) + 5 = -21f = 4

e + h = 25e + 15 = 25e = 10

a + b + c = =26a + 12 + 11 = 26a = 3

PENYELESAIAN

PETAK AJAIB

MENGGUNAKAN

PERISIAN

PENYELESAIAN PETAK AJAIB 6X6 MENGGUNAKAN PERISIAN LINEAR ALGEBRA

TOOLKIT

1) Akses laman web http://www.math.odu.edu?~bogacki/lat/. dan pilih 'Solving a

linear system of equations'.

2) Masukkan bilangan persamaan dan bilangan anu.

3) Masukkan coeeficients bagi setap persamaan.

4) Kemudian tekan 'Submit' dan perisian akan memaparkan jalan kira dan

jawapan.

PENYELESAIAN PETAK AJAIB 9X9 MENGGUNAKAN PERISIAN LINEAR ALGEBRA

TOOLKIT

2) Akses laman web http://www.math.odu.edu?~bogacki/lat/. dan pilih 'Solving a

linear system of equations'.

2) Masukkan bilangan persamaan dan bilangan anu.

.

3) Masukkan coeeficients bagi setap persamaan.

5) Kemudian tekan 'Submit' dan perisian akan memaparkan jalan kira dan

jawapan.

BANDING BEZA KAEDAH PENYELESAIAN SECARA

MANUAL DAN PERISIAN

KEKUATAN DAN KELEMAHAN KAEDAH YANG DIGUNAKAN

PENYELESAIAN SECARA MANUAL PENYELESAIAN MENGGUNAKAN

PERISIAN

KEKUATAN

Memberi lebih kefahaman dalam

meyelesaikan petak ajaib menggunakan

sistem persamaan linear dan

ketaksamaan linear.

Masa yang digunakan untuk

menyelesaikan petak ajaib adalah lebih

singkat.

Memupuk kseabaran dalam

menyelesaikan masalah.

Jawapan yang diberikan lebih tepat

berbanding kaedah manual.

Fokus akan lebih tinggi terhadap sesuatu

masalah.

Jawapan dapat disemak dengan lebih

cepat.

Menjimatkan penggunaan kertas di mana

dapat memupuk kelestarian dalam

pengajaran matematik.

Kesalahan dapat dibetulkan dengan cepat

dan mudah.

Mesra Pengguna, mudah digunakan.

KELEMAHAN

Ralat mudah berlaku dalam pengiraan

ataupun pemasukkan data.

Jawapan mudah sangat diperoleh di

mana tidak dapat memberi kefahaman

yang lebih mendalam mengenai cara

menyelesaikan petak ajaib.

Masa yang digunakan untuk

menyelseaikan masalah adalah lebih

lama.

Menjadikan pelajar malas mengira kerana

sudah ada kemudahan.

Semakan jawapan akan memakan masa

yang agak lama

Perlu pengiraan yang banyak

menggunakan kertas.

Sukar untuk membetulkan sesuatu

kesilapan.

RUMUSAN

Sebagai kesimpulannya, tugasan MTE 3110 ini adalah berkaitan dengan Sistem

Persamaan dan Ketaksamaan Linear di mana terdapat beberapa kaedah untuk

menyelesaikan persamaan linear iaitu Kaedah Penghapusan, Kaedah Gantian dan

Kaedah Gauss- - Jordan. Bagi Ketaksamaan Linear dan Pengaturcaraan Linear,

terdapat sistem homogen dan penggunaan persamaan dan ketaksamaan linear dalam

kehidupan seharian.

Oleh yang demikian, melalui tugasan ini, kami dapat menyelesaikan sistem

persamaan dan ketaksamaan linear menggunakan kaedah yang sesuai. Kami juga

menggunakan konsep persamaan dan ketaksamaan linear untuk menyelesaikan

masalah berkaitan.

Seterusnya, kami juga ada menggunakan algebra matriks untuk menyelesaikan

persamaan linear di samping mengenal pasti vektor yang diberi sebagai ruang vektor

atau subruang vektor. Kami juga dapat menentukan sifat vektor menggunakan hasil

darab skalar dan menentukan sama ada set vektor yang diberi membentuk basis dan

mencari dimensi dan rank berkaitan basis tersebut. Kami juga mempelajari cara

mengintegrasikan pengetahuan algebra matriks dan ruang vektor dalam penggunaan

seharian.

Oleh itu, tugasan ini snagat membantu kami dalam kehidupan seharian dan

membantu kami dlaam menyediakan guru yang bukan sahaja pandai dalam matematik

malah pandai mengaplikasikan ilmu matematik itu dalam kehidupan seharian dan

menggunakan ilmu ini bagi melahirkan modal insan yang gemilang.

REFLEKSI

Alhamdulillah, bersyukur kehadrat Illahi, dengan limpah dan kurnianya dapatlah saya

menyiapkan tugasan MTE 3110 ini. Sesugguhnya, banyak pengalaman yang dapat

saya timba sepanjang menyiapkan tugasan ini.

Sepanjang menyelesaikan tugasan ini, banyak masalah yang saya hadapi

terutamanya pada tugasan kedua kerana kekurangan pengetahuan berkenaan

bagaimana untuk menyelesaikan petak ajaib menggunakan persamaan . Namun begitu,

untuk mengatasi masalah ini, saya telah membuat perbincangan bersama rakan-rakan

yang lain untuk menyelesaikan tugasan ini. Saya juga membuat beberapa rujukan di

buku-buku di perpustakaan mengenai kaedah Gauss dan juga beberapa laman

sesawang yang lain.

Kesulitan yang saya hadapi semasa menyiapkan tugasan ini adalah semasa

hendak memastikan pengiraan saya betul. Sebagai contoh, dalam kaedah Gauss, tidak

boleh ada sebarang nilai di bawah nilai satu yang mengikuti tertibnya dan saya perlu

memastikan nilai dibawah sekali adalah kesemuanya sifar. Untuk mencari jalan

penyelesiannya adalah sedikt rumit..

Kemudiannya, saya telah diminta untuk mecari jawapan bagi petak ajaib

menggunakan teknologi di laman sesawang .Kami juga telah diminta membuat

perbandingan antara kaedah manual dengan kaedah di laman sesawang tersebut.

Hasil perbandingan adalah seperti didalam laporan.

Saya berharap, ilmu yang saya perolehi semasa menyiapkan tugasan ini akan

digunakan pada masa akan datang. Saya juga berharap ilmu ini dapat saya kongsi

dengan masyarakat di sekeliling

SITI FATIMAH AZZAHRA BINTI AZHAR

5 PISMP MT2

REFLEKSI

Bagi kursus MTE 3110, saya telah diberikan satu tugasan secara individu dan

berpasangan. Tugasan tersebut terbahagi kepada dua iaitu Tugasan 1 : Peta Minda

dan Tugasan 2 :Penerokaan petak ajaib. Tugasan 1 iaitu membuat pembacaan

mengenai persamaan dan ketaksamaan linear dan tugasan ini merupakan tugasan

individu. Manakala Tugasan 2 ialah penerokaan petak ajaib 3x3 dan 4x4 secara

manual iaitu menggunakan kaedah penyelesaian linear algebra seperti kaedah

penghapusan, gantian, Kaedah Gauss Jordon dan juga penyelesaian menggunakan

perisian Linear Algebra Toolkit yang terdapat di internet. Tugasan ini harus dilakukan

secara berpasangan dan saya telah memilih Siti Fatimah Azzahra binti Azhar sebagai

pasangan saya.

Dalam proses menjalankan tugasan ini, saya telah mencari beberapa maklumat

berkenaan dengan Linear algebra berkaitan dengan tajuk persamaan dan

ketaksamaan linear. Di bawah tajuk Sistem Persamaan Linear, terdapat beberapa

kaedah untuk menyelesaikannya dan saya telah membuat pembacaan melalui

beberapa sumber seperti buku, melalui laman sesawang internet dan modul

pembelajaran. Saya dapati kaedah-kaedah ini sangat menarik dan berguna bagi saya

menyelesaikan sesuatu permasalahan linear algebra. Sepanjang menjalankan tugasan

ini, saya dapati bahawa banyak buku yang dengan linear algebra ini berada pusat

sumber IPG. Namun demikian, sumber daripada internet pula tidak banyak yang

relevan dengan tajuk kerana kebanyakan input yang didapati dari internet adalah

sangat terhad. Sesungguhnya, melalui tugasan 1 ini, saya dapat memahami tajuk

persamaan dan ketaksamaan linear dengan lebih mendalam kerana saya harus

meneroka sendiri berkenaan dengan tajuk ini dan membuat peta minda. Bimbingan

daripada pensyarah pembimbing juga menyebabkan saya berkobar-kobar untuk

mempelajari ilmu Linear Algebra ini dan saya dapat mengukuhkan lagi kefahaman

tentang penggunaannya dalam kehidupan seharian.

Walaupun saya menghadapi masalah kekangan masa kerana terdapat beberapa

kerja kursus yang harus diselesaikan bersama-sama dengan tugasan ini, namun saya

berjaya membahagikan masa dan menyiapkan kesemua tugasan dalam tempoh yang

diberikan. Bagi tugasan 2 pula, saya dan pasangan dikehendaki meneroka petak ajaib

dan menyelesaikan petak berkenaan secara manual dan menggunakan perisian. Oleh

yang demikian, saya dan rakan berbincang bersama-sama bagi menyelesaikan tugasan

ini. Kami telah mebuat beberapa pembacaan mengenai kaedah yang sesuai bagi

menyelesaikan petak ajaib dan kami juga turut berbincang kepada rakan-rakan yang

lain. Namun demikian, saya dan pasangan saya tidak dapat berbincang bersama dan

berkolaborasi dengan pensyarah dengan lebih kerap ini kerana kami banyak terlibat

dengan pengurusan Kejohanan Olaharga Tahunan di IPG menyebabkan kami tidak

dapat meluangkan lebih banyak masa untuk melaksanakan tugasan ini dengan baik

lagi.

Saya bersyukur kerana sepanjang tugasan ini dijalankan, saya telah dapat

belajar pelbagai perkara baru yang tidak dapat saya pelajari hanya dari teori yang diajar

di dalam kuliah. Saya dan pasangan telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan

petak ajaib yang agak sukar dengan menggunakan kaedah Gauss Jordan,

penggantian, penghapusan dan bermacam lagi. Sesungguhnya, ilmu yang kami pelajari

ini bukanlah hanya untuk digunakan di dalam peperiksaan semata-mata namun kami

juga boleh menggunakannya dalam kehidupan seharian sebagai seorang guru

matematik. Antaranya, kita boleh menggunakan petak ajaib sebagai bahan bantu

mengajar kita bagi menjadikan proses pengajaran dan pembelajaran lebih menarik.

Secara keseluruhannya, saya sangat bersyukur kerana telah diberi peluang

untuk menjalankan tugasan ini dan telah banyak membantu saya dalam proses untuk

menjadikan diri saya sebagai seorang guru yang berdedikasi dan berjaya di masa akan

datang. Saya berharap agar segala ilmu yang telah saya peroleh melalui tugasan ini

akan dapat saya amalkan kelak. Sekian, terima kasih.

NUR ATIQAH BINTI ABDULLAH

5 PISMP MT2