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Métodos matemáticos
para economía
Fuente: Michael W. Klein’s (2010) Mathematical Methods for
economics, Segunda Edición, Editorial Pearson.
Nociones generales
1. Gráficas y ecuaciones
2. Representación y solución de sistema de
ecuaciones
3. Variación porcentual
4. Relaciones no lineales y elasticidades
Representación en 2-dimensiones
1. Representación de la asociación de pares
de variables usando el plano cartesiano
2. Representación de funciones bivariadas (2-
variables)
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
El plano cartesiano
y
x
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
(1,1)
(2,6)
(5,5)
(7,2)
Puntos (pares ordenados) en el plano
cartesiano
Ecuación para una función lineal
y = mx + b
Variable dependiente Variable independiente
pendiente Intersección
Ejemplos: Pendiente Intersección
y = x 1 0
y = 3 + 0.25 x 0.25 3
y = 6 – 2 x - 2 6
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
“recorrido” ( = 2)
“incremento” ( = 1)
pendiente = incremento / recorrido (en este caso = 1/2)
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8 y
x
Representación de la función y = x
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Representación de la función: y = 2x
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
y
x
Representación de la función y = 3+0.25x
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Representación de la función y = 6 - 2x
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Representación de la función x = 4
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Cambios en la intersección del valor de b
y = 8 – 2x
y = 6 – 2x
y = 4 – 2x
Resolver el sistema de ecuaciones
y = 6 - 2x
y = 3 + x
1. Resolver para y
6 - 2x = 3 + x
2. Aislar x
3 = 3x por lo tanto x = 1
3. Resolver para y en la siguiente ecuación:
y = 6-2 = 3+1 = 4
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Solución de un sistema de ecuaciones
y = 6 - 2x ; y = 3 + x
Solución: (1,4)
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Equilibrios con distintas intersecciones: “Desplazamientos
en la demanda”
P = 8 – 2Q
P = 4 – 2Q
P = 6 – 2Q
8-2Q = 3+Q
P = 3 + Q
Q = 5/3
P = 14/3
6-2Q = 3+Q
4-2Q = 3+Q
Q = 1
P = 4
Q = 1/3
P = 10/3
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Equilibrios con distintas intersecciones: “Desplazamientos en la
oferta”
P = 6 – 2Q
6 – 2Q = 5+Q
P = 3 + Q
Q = 1/3
P = 16/3
6 – 2Q = 3+Q
6 – 2Q = Q
Q = 1
P = 4
Q = 2
P = 2
P = 5 + Q
P = Q
Niveles, variación y variaciones porcentuales
Nivel Variación Variación porcentual
xt ∆ xt = xt – xt-1 % ∆ xt = 100[(xt – xt-1) / xt-1]
100
120 20 20%
140 20 16.67%
Fórmula para la variación porcentual
% ∆ xt = 100[(xt – xt-1) / xt-1]
= 100[(xt / xt-1) - 1]
Algunas reglas generales
Para z = xy, con pequeñas variaciones porcentuales
% ∆z ≅ % ∆x + % ∆ y
Para z = y/x, con pequeñas variaciones porcentuales
% ∆z ≅ % ∆y - % ∆x
Ejemplos
xt = 10 xt+1 = 11 % xt = 10%
yt = 20 yt+1 = 24 % yt = 20%
z = xy zt = 200 zt+1 = 264
% zt = 100([264/200]-1) = 32 %
z = y/x zt = 2 zt+1 = 2.18182
% zt = 100([2.18182 /2]-1) = 9.091 %
Relaciones no lineales •Las funciones no lineales no tienen tasas de
cambio constantes. Por lo tanto, sus gráficas no
son líneas rectas.
y = 2x + 3 => y = 2 x, pero no %y = 2%
x
•Una función que relaciona %y a una
constante % x toma la forma de
y = bxa
Donde a y b son parámetros constantes
Reglas de los exponentes
• x0 = 1
• x1 = x
• x-1 = 1 / x
• (xa ) b = (xb ) a = xab
• xa x b = xa+b
• xa / x b = xa – b
• xa y a = (xy)a
• xa / y a = (x/y)a
• x1/a = ax
• 20 = 1
• 21 = 2
• 2-1 = 1 / 2
• (21 ) 3 = (23 ) 1 = 8
• 22 23 = 25 = 32
• 23 / 22 = 21 = 2
• 22 32 = 62 = 36
• 42 / 22 = (4/2)2 = 4
• 9 1/2 = 9 = 3
Regla Ejemplo
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Representación gráfica de y = 8 / x
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Una recta tangente a una hipérbola muestra la pendiente en un
punto
Recta tangente en x = 1.5
pendiente = - 3.56
Recta tangente en x = 5.5
pendiente= - 0.26
Elasticidades
Una elasticidad relaciona la variación porcentual
de una variable con la variación porcentual en
otra variable;
Elasticidad entre x y y
= %y / % x
= (y / y) / ( x / x )
= (y / x) (x / y )
0 1
1
3 4 2 8 5 6 7
2
3
4
5
6
7
8
Elasticidades constantes con una hipérbola
y/y / x/x = (y/x)(x/y) = pendiente (x/y)
= -3.56 (1.5/5.33) = - 1
y/y / x/x = (y/x)(x/y) = pendiente (x/y)
= -0.26 (5.33/1.5) = - 1
1. En un plano cartesiano representa los siguientes puntos: (0,5),
(4,2), (6,1), (3,3)
2. Grafica las siguientes ecuaciones lineales
1. y = 2x + 3
2. y = 21 – 4x
3. Resuelve el sistema de dos ecuaciones dadas por las
ecuaciones en el planteamiento (2) arriba expuestas. También
resuelve el sistema para el caso de la ecuación 2.1 cambiando
a y = 15 – 4x y muestra como este cambio en la ecuación 2.1
se representa en la gráfica.
4. Grafica la ecuación y = x0.5. Calcula la variación porcentual
en la variable dependiente entre los puntos donde x=4 y
x=4.41. Determina la elasticidad entre estos dos puntos.
5. Analiza la pendiente y la ordenada, paso seguido realiza la
gráfica correspondiente:
A. f(x) = x
B. y = 3x + 3
C. x = 1000
D. f(x) = 4x + 5
E. p = 3x + 6
F. p = 8 – 3x
G. p = 12 – 2x
H. p = 8 – .50x
Bibliografía
Michael W. Klein’s (2010), Mathematical Methods for economics,
Segunda Edición, Editorial Pearson.
El siguiente sitio se los recomiendo para aprender nociones
generales de Matemáticas. La página se llama Descartes y es
administrada por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte
del Gobierno de España.
Fuente electrónica:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html
