Upload
trinhtruc
View
262
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Napomena: Softver Sketchpad 4.07 HR – nema mogućnosti prebacivanja u
pdf. format i pri kopiranju u Word-u nastali su neprirodni fontovi, stilovi i
veličine, ujedno nemoguće je kompletno srediti tekst i zato se
izvinjavam.
TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽE
Što je nepoznanica kod trigonometrijskih nejednadžbi?
Kod trigonometrijskih nejednadžbi nepoznanica je varijabla neke trigonometrijske funkcije.
Trigonometrijske nejednadžbe imaju oblik: f (x) 0 ili f (x) > 0
Postupak rješavanja:
1. Primjeniti prikladne trigonometrijske identitete
2. Primjenom algerbarskih postupaka nejednadžba se svode na jedan od osnovnih oblika sin x < a; sin x > a; cos x < b; tg x < c; ctg x < d
Prisjetimo se: Važno za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.
2. cos x = a, a -1, 1
x1,2 = x0 + 2k, k Z
x0 ... pojedinačno rješenje
1. sin x = a, a -1, 1
x1 = x0 + 2k
x2 = 180 - x0 + 2k , k Z
4. ctg x = a
x = x0 + k
3. tg x = a, a R < - , >
x = x0 + k, k Z
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Napomena: U programu nemaoznake za element-koristimo
Ponovimo-općenito: Kada je x a -a x a, a R
x a x a ili x -a Pod ili smatramo unija.
Zadatak 1: Riješimo nejednadžbu 2 sin x > 1 /:2
sin x > 1
2
Rješavamo koristeči se brojevnom kružnicom
- Funkcija na lijevoj strani trigonometrijske nejednadžbe je sinusoida f(x) = sin x
1. Jedinica (zadanom) odnosno 1
2 (sređenom obliku) je na desnoj strani zadane
nejednadžbe. Kako znamo da li je pravac koji crtamo y = 1
2 ili x =
1
2?
Iz definicije trigonometrijskih funkcija na brojevnoj kružnici dolazimo do zaključka koji pravac crtamo.
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
ctg x g x = 1
f y = 1
E (t)
sin x
COS XO
Napomena:U rađenom Sketchpad 4.07 NE MOGU se skratiti pravci.
Napomena:
Radi preglednosti koordinatni sustav je skriven u pdf. doc. se nemože prikazati-u rađenom Sketchpad 4.07 koji
se nalazi pod korisničke postavke-dokumenti može.
Crtamo pravac koji sječe koordinatnu os gdje se nalazi
zadana funkcija-sinus na ordinati (y = 1
2).
Rješavamo pomoću jedinične brojevne kružnice:
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1.Nacrtajmo jediničnu brojevnu kružnicu
2.Odredimo kutove za koje je sin x = 1
2i sin x = -
1;
2
x1 =
6 (30) , x2 =
3
2 (270)
3. Nacrtajte pravce (granične vrijednosti): g (x) = y = 1
2, h (x) =
y = - 1
2
4. Izdvojimo dio luka brojevne kružnice od
6 do
5
6 za koje je
vrijednost sinusa veća od 1
2 i -
6 do -
5
6
za koje je vrijednost sinusa manja od - 1
2.
Označimo ga crvenom bojom na jediničnoj brojevnoj
kružnici.
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Unutar intervala -,
Unutar kojeg se intervala nalaze
rješenja zadane trigonometrijske
nejednadžbe?
Rješenja nejednadžbe su unutar intervala -, i
pripadaju skupu:
-5
6 + 2k < x < -
6 + 2k, k Z U
6 + 2k < x <
5
6 + 2k, k Z ?
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3
- 1
2 < sin x <
1
2
Granične vrijednosti:
g (x) = 1
2, h (x) = -
1
2
Riješenje nejednadžbe 2 sin x > 1 /:2
sin x > 1
2
6
5
6
-5
6-
6sin x < -1
2
sin x > 1
2
h x = -1
2
g x = 1
2
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
10
8
6
4
2
-2
-4
-15 -10 -5 5 10 15
k y = -2,61799
j y = -0,523599
Rješenja nejednadžbe su unutar intervala
-, i pripadaju skupu:
-5
6 + 2k < x < -
6 + 2k, k Z U
6 + 2k < x <
5
6 + 2k, k Z ?
5
6
6
i y = 2,61799
Napomena: Rad u programu zahtjeva
više decimala radi preciznosti u crtanju. h y = 0,523599
1. Nacrtamo graf funkcije f (x) = 2 sin x
2. Nactramo pravac y = 1 (granična vrijednost)
3. Izdvojimo dio grafa ispod pravca i projeciramona osi x odnosno ortogonalno projeciramolukove na osi x
g x = 1f x = 2 sin x
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Zadatak 2: Riješi nejednadžbu cos x < 3
2.
Riješavamo koristeči se grafom funkcije kosinus (postoje dvije mogučnosti rješavanja-radi
apsolutne vrijednosti funkcije kosinus cos x )
1. Nacrtajmo graf kosinusoide f (x) = cos x
2. Pošto je cos x < 3
2 tada su radi apsolutne vrijednosti funkcije granične vrijednosti
- 3
2 < cos x <
3
2.
3. Povlačimo pravce (granične vrijednosti) koje smo dobili iz tog uvjeta g (x) = y = 3
2
h (x) = y = - 3
2
Koju koordinatnu os i dio poluravnine promatramo? x-os
Koje dijelove kosinusoide moramo istaknuti? Dijelove koji se nalaze unutar pruge koju omeđuju graničnipravci odnosno vrijednosti.
Što su rješenja trigonometrijske nejednadžbe? Rješenja su označena crvenom bojom
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
8
6
4
2
-2
-4
-6
-15 -10 -5 5 10 15
Napomena:
Očitamo na apcisi i spuštimo okomicu na graf za
x1 =
6 i x2 =
5
6. U pisanom programu-mora se
nacrtati pravac kroz te točke.
Pri crtanju grafa funkcije softver zapisuje cos (x).
l y = 0,523599
h x = - 3
2
f x = cos x g x = 3
2
-5
6 + 2k < x < -
6 + 2k, k Z U
6 + 2k < x <
5
6 + 2k, k Z
Rješenja nejednadžbe su unutar intervala
-, i pripadaju skupu:
1. Istakniti dijelove grafa koji suunutar pruge
- 3
2 < cos x <
3
2
2. Očitamo intervale kojima su apcise tihlukova: iz točaka sjecišta pravaca s lukovimakosinusoide spuštamo okomicu na apcisu -označeno crvenom bojom (rješenja)
-
6-5
6
6
5
6
I mogućnost:
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
Napomena:Pri crtanju grafa funkcije softver zapisuje cos (x).
Rješenje nejednadžbe prikazano
crvenom bojom.
1. Nacrtamo graf funkcije f (x) = cos x
2. Nactramo pravac (granična vrijednost)
g (x) = y = 3
2
3. Izdvojimo dio grafa ispod pravca i projeciramo na osi x.
Rješenje nejednadžbe su unutar intervala
-, i pripadaju skupu:
-5
6 + 2k < x < -
6 + 2k, k Z U
6 + 2k < x <
5
6 + 2k, k Z
i y = 2,61799k y = -0,523599
j y = 0,523599l y = -2,61799
- 5
6-
6
6
5
6
II mogućnost:
g x = 3
2f x = cos x
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Riješimo upotrebom brojevne kružnice
1.Nacrtajmo jediničnu brojevnu kružnicu
2.Odredimo kutove za koje je cos x = 3
2 i cos x = -
3
2
x1 =
6 (30) ; x2 =
5
6 (150)
Naznačimo kuteve na brojevnoj kružnici.
Granične vrijednosti: - 3
2 < cos x <
3
2
4. Izdvojimo dio luka brojevne kružnice od
6 do
5
6 i -
6 do -
5
6 . Odredimo gdje je cos x veći, a gdje manji od
graničnih vrijednosti.
Označimo crvenom bojom lukove na jediničnoj brojevnoj kružnici.
Unutar kojeg se intervala nalaze rješenja zadane trigonometrijske nejednadžbe ?
Unutar intervala -,
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-1,6
-1,8
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3
- 3
2 < cos x <
3
2
Granične vrijednosti:
cos x > - 3
2cos x <
3
2
Rješenje nejednadžbe cos x < 3
2Rješenja nejednadžbe su unutar
intervala -, i pripadaju skupu:
-5
6 + 2k < x < -
6 + 2k, k Z U
6 + 2k < x <
5
6 + 2k, k Z
-
6-5
6
65
6
- 3
2
3
2
g y = -0,866025 f y = 0,866025
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
cos x < 0.6
cos x < 3
5
Određujemo sve brojeve x za koje je: -3
5 < cos x <
3
5 granične vrijednosti -
3
5 < y <
3
5
Jer je zadana apsolutna vrijednost funkcije kosinus.Zašto uzimamo 3
5 ?
Ponovimo-općenito: Kada je x a -a x a, a R
x a x a ili x -a odnosno unija
x < a -a < x < a, nema unije u rješenjuU gore napisanom leži odgovor za konačno rješenje
0.2952 + k < x < 0.7048 + k, kZ
Rješavamo pomoću jedinične brojevne kružnice:
1. Nacrtajmo jediničnu brojevnu kružnicu
2. Povučemo pravce y1 = 0.6 = 3
5 i y2 = - 0.6 = -
3
53. Odredimo kuteve za koje je cos x = 0.6 i cos x = - 0.6
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
x1 = cos-1 0.6 = 53.13010235 stupnjeve pretvaramo u radijane po formuli
0 = x1 =
180 =
53.13010235
180
x1 = 0.2951672353 = 0.2952 = 0.9273
x2 = cos-1 (-0.6) = 126.8698976 0 = x1 =
180 =
126.8698976
180
x2 = 0.7048327644 = 0.7048 = 2.2143
Unutar kojeg se intervala nalaze rješenja zadane trigonometrijske nejednadžbe?
Unutar intervala -,
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-1,6
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Rješenje nejednadžbe cos x < 0.6
cos x < 0.6
0.2952 0.7048
-0.7048 -0.2952
x y = 0,6
Rješenje nejednadžbe je
unutar intervala -,
Rrješenje nejednadžbe je skup
0.2952 + k x 0.7048 + k,kZ =
0.9273 + k x 2.2143 + k, kZ x y = -0,6
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-15 -10 -5 5 10 15
Rrješenje nejednadžbe je skup
0.2952 + k x 0.7048 + k,kZ =
0.9273 + k x 2.2143 + k, kZ
Granične vrijednosti:
= 2.214298
=0.927232
k y = -0,704833
j y = -0,295167
i y = 0,704833
h y = 0,295167
g x = 3
5
f x = cos x
Iz točaka sjecišta pravaca s lukovimakosinusoide spuštamo okomicu naapcisu.
Kako?Ističemo dijelove grafa funkcije koji je ispod
pravca y = 0.6 = 3
5, a pravac projeciramo na
os x.
-3
5 < y <
3
5 -
3
5 < cos x <
3
5
Rješenje nejednadžbe cos x < 0.6
cos x < 3
5
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Zadatak 4:
Riješimo nejednadžbu sin x < sin
4
Da.Da li desnu stranu jednadžbe uzimamo kao broj?
Čemu je jednako sin
4?
sin x < 2
2
sin
4 =
2
2
x1 = sin-1 2
2 =
4
x1 =
4
x2 = sin-1 (-2
2) = -
4 =
3
4
x2 = -
4 =
3
4
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Zadatak riješavamo koristeći se grafom funkcije sinus.
Druga je mogučnost crtanja grafa apsolutne vrijednosti (kao u prethodnim primjerima) - samostalno riješite.
Odredimo sve brojeve x za koje je - 2
2 < sin x <
2
2 - granične vrijednosti
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1. Nacrtajmo graf sinusoide f (x) = sin x
2. Pošto je sin x < 2
2 tada su radi apsolutne vrijednosti funkcije granične vrijednosti
- 2
2 < sin x <
2
2.
3. Crtamo pravce (granične vrijednosti) koje smo dobili iz gornjeg uvjeta g (x) = y = 2
2 i h (x) = y = -
2
2
4. Označimo točke sjecišta pravaca s grafom.
5. Očitamo intervale u kojima su apcise tih lukova-ortogonalno projeciramo lukove na osi x: iz točaka sjecišta pravaca s lukovimasinusoide crtamo okomicu (na grafu nisu nacrtane okomica nego samo točke) spuštena na apcisu.
6. Određujemo intervale na apcisi koji su rješenja zadane nejednadžbe
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 157
4
m y = 5,49779
-
4 + k < x <
4 + k, k Z .
sin x < 2
2
Rješenje nejednadžbe sin x < sin
4
l y = -2,35619
-
4
k y = -0,785398
i y = 0,785398
Rješenje nejednadžbe su unutar intervala
-, i pripadaju skupu:
3
4
j y = 2,35619
4h x =
- 2
2
g x = 2
2f x = sin x
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Riješimo upotrebom jedinične brojevne kružnice
sin x < 2
2
1. Nacrtajmo jediničnu brojevnu kružnicu
2. Povučemo pravce paralelno s osi x jer je funkcija sinus (pogledamo brojevnu kružnicu na 1 strani)
y1 = - 2
2 i y2 =
2
2 (granične vrijednosti)
3. Crtamo kutove za koje je sin x = -2
2 i sin x =
2
2
x1 =
4 ; x2 = -
4 =
3
4
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5
Rješenje nejednadžbe:
-
4 + k < x <
4 + k, k Z sin x <
2
2
-
4 =
7
4
4
sin x < 2
2
sin x > -2
2
h x = - 2
2
g x = 2
2
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Zadatak 4:
Riješite nejednadžbu 2 cos2 x 1
Zadatak riješavamo pomoču jedinične brojevne kružnice.
Samostalno riješiti upotrebom grafa funkcije kosinus (jedna i druga mogučnost).
2 cos2 x 1 /:2 Da bi dobili funkciju kosinus, a ne njen kvadrat moramo korjenovati.
Drugi korjen od kosinus na kvadrat iks ( cos2 x ) ima pozitivnu i negativnu
2 cos2 x
2
1
2 vrijednost i zato pišemo modul ili apsolutnu vrijednost od kosinusa cosx .
cos2 x 1
2 / cos x
1
22
2 Zašto racijonaliziramo? Da dobijemo uočljivu vrijednost
kosinusa poznatog kuta.
cos2 x 1
2 / cos x
2
4
cos2 x 1
2 cos x
2
2
cos x - 2
2 cos x + 2
2 0 1) cos x - 2
2 0 cos x
2
2 x0 =
4
cos x + 2
2 0 cos x -
2
2 x0 =
3
4
2) cos x - 2
2 0 cos x
2
2 x= x0 + 2k = -
4
cos x + 2
2 0 cos x -
2
2 x = x0 + 2k = -
3
4
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5
Postupak isti kao u prethodnimzadacima.
Rješenja nejednadžbe su unutar
intervala -, i pripadaju skupu:
- 2
2 cos x
2
2
-3
4 + 2k < x < -
4 + 2k, k Z U
4 + 2k < x <
3
4 + 2k, k Z
cos x -2
2cos x
2
2
3
4
-3
4
h y = - 2
2g y =
2
2
Rješenje nejednadžbe 2 cos2 x 1
4
-
4 =
7
4
Riješimo upotrebom jedinične brojevne kružnice
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Zadatak 5:
Riješite nejednadžbu 2 sin2 x - sin x 1
Zadatak riješavamo koristeći se grafom funkcije sinus
Samostalno riješite pomoču jedinične brojevne kružnice.
2 sin2 x - sin x - 1 0
1. Uočavamo kvadratnu nejednadžbu a x2 + b x + c = 0
Uvesti supstituciju.Što treba napraviti?
Nemožemo.Možemo li riješiti kvadratnu nejednadžbu u obliku kako je napisana?
2 t2 - t -1 = 0 a = 2 b = -1 c = -1
t1,2 = -b b2 - 4 a c
2 a=
-(-1) (-1)2 - 4 2 (-1)
22=
- -1 1 + 8
4=
1 9
4=
13
4
t1 = 1+3
4=
4
4= 1 t2 =
1- 3
4=
- 2
4 =
1
2 nul točke kvadratne jednadžbe su
granične vrijednosti
sin x = t2. Supstitucija
- 1
2 sin x 1 granične vrijednosti
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-15 -10 -5 5 10 15
Granične vrijednosti su 1 i - 1
2
Napomena: Program za crtanje parabole nemože primitit kao nepoznanicu nego samo x.
f (x) = 2 t2 - t -1 Nul točke kvadratne jednadžbe:
t1 = - 1
2 t2 = 1
Interval označen crvenom bojom
1-
1
2
f x = 2x2-x-1
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1. Nacrtajmo graf sinusoide f (x) = sin x
2. Granične vrijednosti - 1
2 sin x 1
3. Crtamo pravce koje smo dobili iz gornjeg uvjeta g (x) = y2 = 1 , h (x) = y1 = - 1
2 .
4. Označimo točke sjecišta pravaca s grafom h (x) = y1 = - 1
2 (jedini pravac koji sječe graf funkcije), a pravac
g (x) = y2 = 1 (dodiruje graf funkcije-ne siječe ga) .
5. Očitamo intervale u kojima su apcise tih lukova-ortogonalno projeciramo lukove na osi x: iz točaka sjecišta pravaca slukovima sinusoide spuštamo okomice na apcisu.
6. Određujemo intervale na apcisi koji su rješenja zadane nejednadžbe
- 1
2 sin x 1
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
Rješenje nejednadžbe 2 sin2 x - sin x 1
-
6 + 2k x
7
6 + 2k, k Z
11
6
7
6h x =
-1
2
-5
6-
6
Napomena: Rad u programu zahtjeva
više decimala radi preciznosti u crtanju. j y = -2,61799
i y = -0,523599
g x = 1f x = sin x
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
Zadatak 6:
Riješite samostalno nejednadžbu cos2 x - sin2 x > 1
2
Upute za računanje:
Lijevu stranu jednadžbe zamjenjujemo s trigonometrijskim identitetom-trigonometrijska funkcija dvostrukog kuta:
1. Vidimo da je zadana vrijednost kosinusa traženog kuta pozitivan broj.
2. Sjetimo se jedinične brojevne kružnice.
3. Gdje se kosinus nalazi i gdje je pozitivan? Poklapa se s apcisom (x-os). Pozitivan je na pozitivnom dijelu osi x.
cos2 x - sin2 x > 1
2
cos 2x > 1
2
cos2 x - sin2 x = cos 2x
Što je granična vrijednost ili granične vrijednosti ?
Koji kutovi unutar intervala 0, 2 ima vrijednost kosinusa 1
2?
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
R: -
6 + k < x <
6 + k, k Z
t = 2 x cos t > 1
2
t = arc cos 1
2= cos-1
1
2
t =
3 (60) ;
2 x =
3 + 2k / : 2
2 x
2 =
3
2 +
2k
2 =
2 3 + k =
6 + k
x =
6 + k
Zadatak 7:
Riješite trigonometrijsku nejednadžbu tg x 3
Riješimo upotrebom jedinične brojevne kružnice
1. Nacrtajte jediničnu brojevnu kružnicu
2. Nacrtajte pravac (graničnu vrijednost) x (y) = 3
3. Gdje se nalazi tangens na jediničnoj brojevnoj kružnici? Pogledati na
strani 2.
4. Odredimo točke za koje je tg x = 3. x =
3 + k
5. Zaključiti koji su intervali rješenje-vidite brojevnu kružnicu
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Rješenje trigonometrijske
nejednadžbe-pišemo radi
periodičnosti funkcije
tangens:
tg x 3
3 + k x <
2 + k, k Z
Rješenje tg x 3
3
2
2 interval ne sadrži
4
3
g y = 1
3
f x = 3
Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE
Razred: III