NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO DẦM …fceam.hcmute.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/fceam/LuanVanThacSi/XDD… · TÓM TẮT Nghiên cứu ứng xử tĩnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGÔ PHI HẢI

NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO

DẦM COMPOSITE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH

DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP - 60580208

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09/2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGÔ PHI HẢI

NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO

DẦM COMPOSITE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH

DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP - 60580208

Hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. NGUYỄN TRUNG KIÊN

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09/2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai

công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 13 tháng 09 năm 2016

HỌC VIÊN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

NGÔ PHI HẢI

LỜI CẢM ƠNĐể đạt được những thành công trong cuộc sống, bên cạnh sự cố gắng nổ lực

của bản thân thì sự giúp đỡ, hỗ trợ từ gia đình, Thầy cô, bạn bè và Xã hội cũng là

yếu tố mang lại sức mạnh và ý chí cho mỗi con người. Trong suốt 2 năm học Cao

học vừa qua tại Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.Hồ Chí Minh, tôi may mắn

luôn nhận được sự quan tâm từ gia đình, sự ân cần dạy dỗ của quý Thầy cô và cả

những giúp đỡ tận tình từ bạn bè, đồng nghiệp.

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu và

Quý Thầy cô Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh nói chung , các

Thầy cô “Khoa Xây dựng & Cơ học ứng dụng” nói riêng đã cùng với tri thức, tâm

huyết của mình truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho các học viên trong suốt thời

gian học tập tại trường. Bên cạnh đó, đã tạo mọi điều kiện để học viên rèn luyện đạo

đức bản thân, trưởng thành hơn trong cuộc sống, công việc hiện tại.

Đặc biệt tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Thầy: PGS.TS.

Nguyễn Trung Kiên – Giảng viên hướng dẫn Luận văn tốt nghiệp và thầy ThS.

Nguyễn Ngọc Dương đã hết mực truyền đạt kiến thức, giúp đỡ và tạo điều kiện cho

tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện Luận văn. Cảm ơn các Thầy phản biện

và Hội đồng Bảo vệ Luận văn Tốt nghiệp.

Luận văn được hoàn thành bằng sự nỗ lực hết mình tuy nhiên không thể tránh

khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của

quý Thầy cô nói chung và Hội đồng nói riêng để hoàn thiện hơn cũng như định hướng

con đường nghiên cứu trong tương lai. Tôi xin được kính chúc quý Thầy cô luôn

luôn dồi dào sức khỏe, niềm tin sư phạm để tiếp tục sứ mệnh cao đẹp của người lái

đò đưa thế hệ sau đến bến bờ của tri thức.

Lời cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và

đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi hoàn

thành tốt luận văn này.

Trân trọng và chân thành cảm ơn!

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 13 tháng 09 năm 2016

Học viên thực hiện

NGÔ PHI HẢI

TÓM TẮT

Nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao động tự do của dầm composite với điều kiệnbiên khác nhau.

Ngô Phi Hải

Luận văn này giải quyết bài toán phân tích tĩnh và dao động tự do của dầm

composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hiệu chỉnh. Hai loại dầm composite

được nghiên cứu là dầm composite nhiều lớp (Laminated Composite Beam) và dầm

phân lớp chức năng (Functionally Graded Beam). Nhằm đánh giá ứng xử của dầm ở

mức tổng quan nhất, tác giả đã áp dụng phân tích theo ba điều kiện biên khác nhau

như dầm tựa đơn, dầm console, dầm hai đầu ngàm.

Kết quả số của luận văn là các giá trị chuyển vị, ứng suất dọc trục, ứng suất

cắt, và tần số dao động tự nhiên của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt

bậc cao, kết quả này được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước dựa trên lý

thuyết biến dạng cắt bậc cao khác.

Tính mới của luận văn này thể hiện trong ba phần chính như sau:

1. Sử dụng hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) hợp nhất từ các hàm đa thức, hàm

lượng giác, hàm hyperbol, hàm mũ,…

2. Sử dụng phương pháp Ritz, cùng với lựa chọn hàm dạng bậc cao cho hàm

xấp xỉ trường chuyển vị có tính ưu việt về khử điều kiện biên.

3. Nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao động tự do dầm phân lớp chức năng (FG

beam) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hiệu chỉnh với nhiều điều

kiện biên.

Ngoài ra, luận văn còn đưa ra các phân tích về hiệu ứng của sự thay đổi của tỉ

lệ giữa chiều dài dầm và chiều cao tiết diện, sự thay đổi của hệ số phân phối vật liệu

đối với ứng xử của dầm composite.

Đê hoàn thành các nhiệm vụ của luận văn, học viên đã nghiên cứu, triên khai

ý tưởng với sư hương dân cua Thây PGS.TS. Nguyên Trung Kiên, và sự hỗ trợ của

thầy ThS. Nguyễn Ngọc Dương. Kêt qua của Luận văn Tốt nghiệp được trình bày

trong 5 Chương sau đây./.

ABSTRACT

Static behavior and free vibration analysis of composite beam with various boundary conditions.

Phi-Hai Ngo

This thesis solving static behavior and free vibration analysis of composite

beam using refined high-order shear deformation theory. Two types of composite

beams under study are a laminated composite beam and a functionally graded beam.

In the general evaluate the behavior of composite beams, the author using three

boundary conditions for the analysis: symply-supported beam (S-S), cantilever beam

(C-F), and Clamped-clamped beam (C-C).

The results of the thesis are displacements, in-plane stresses, transverse shear

stresses, and fundamental natural frequencies of composite beam using refined high-

order shear deformation theory. These results were compared with the results of

previous studies based on other higher-order shear deformation theories.

The novelty of this thesis presented in three main sections as follows:

1. Use various unified transverse shear deformation functions based on

trigonometric functions, hyperbolic functions, exponential functions,…

2. Use the Ritz method, and choose the shape functions for approximation

function can use for various boundary conditions.

3. Static behavior and free vibration analysis for functionally graded beams

using refined high-order shear deformation theory with various boundary

conditions.

In addition, the thesis also gives effects of the span-to-depth ratio L/h, the

power-law index p on the behavior of composite beam.

For success of the thesis, the author have researched, developed the ideas

under the guidance of A/Prof. Dr. Trung-Kien Nguyen, and the support of M. Ngoc-

Duong Nguyen. The results of the thesis are presented in five chapters as following./.

i

MỤC LỤC

TrangDANH SÁCH KÝ HIỆU KHOA HỌC .......................................................... iii

DANH SÁCH CÁC BẢNG ................................................................................ v

DANH SÁCH CÁC HÌNH................................................................................ ix

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN ..................................................................................................... 1

1.1. Lý do chọn đề tài...................................................................................1

1.2. Mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài ...........................................................1

1.3. Giới hạn của luận văn ...........................................................................2

1.4. Tổng quan về vật liệu composite ..........................................................2

1.4.1. Định nghĩa.............................................................................................2

1.4.2. Phân loại................................................................................................2

1.4.3. Ứng dụng...............................................................................................4

1.4.4. Dầm composite .....................................................................................8

1.5. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong, ngoài nước..............................9

1.6. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................12

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT ....................................................................................... 13

2.1. Tổng quan về lý thuyết nghiên cứu.....................................................13

2.2. Cơ sở lý thuyết ....................................................................................14

2.2.1. Vật liệu nghiên cứu .............................................................................14

2.2.2. Trường chuyển vị................................................................................15

2.2.3. Trường biến dạng................................................................................15

2.2.4. Quan hệ ứng xử...................................................................................16

ii

2.2.5. Trường năng lượng .............................................................................17

2.2.6. Giải pháp lựa chọn hàm biến dạng cắt bậc cao...................................20

2.2.7. Giải pháp phân tích điều kiện biên .....................................................28

2.2.8. Công thức trực giao.............................................................................29

CHƯƠNG 3

DỮ LIỆU BÀI TOÁN SỐ ................................................................................ 31

3.1. Đặc trưng dầm composite ................................................................... 31

3.2. Tải trọng tác dụng ............................................................................... 33

3.3. Điều kiện biên động học ..................................................................... 34

3.4. Các bài toán số .................................................................................... 35

CHƯƠNG 4

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN ......................................... 38

4.1. Bài toán 1: Phân tích ứng xử dầm LC với các hàm biến dạng cắt bậc cao

f(z) khác nhau ................................................................................................. 38

4.2. Bài toán 2: Phân tích ứng xử tĩnh dầm LC ............................................. 45

4.3. Bài toán 3: Phân tích dao động dầm LC ................................................. 64

4.4. Bài toán 4: Phân tích ứng xử dầm FG với các hàm hàm biến dạng cắt bậc

cao f(z) khác nhau .......................................................................................... 71

4.5. Bài toán 5: Phân tích ứng xử tĩnh dầm FG ............................................. 74

4.6. Bài toán 6: Phân tích dao động dầm FG ................................................. 83

CHƯƠNG 5

KẾT LUẬN ....................................................................................................... 93

5.1. Kết luận ................................................................................................... 93

5.2. Hướng phát triển ..................................................................................... 94

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 95

iii

DANH SÁCH KÝ HIỆU KHOA HỌC

b Bề rộng dầm

ijC Độ cứng của vật liệu trong hệ trục tổng thể

ijC Độ cứng của vật liệu trong hệ trục toạ độ địa phương.

E Mô đun đàn hồi

zf Hàm biến dạng cắt bậc cao

zg Đạo hàm của hàm biến dạng cắt bậc cao

h Bề dày lớp

K Động năng của hệ

L Chiều dài dầm

Mx Môment uốn trên mỗi đơn vị chiều dài theo trục x (Oxy)

My Môment uốn trên mỗi đơn vị chiều dài theo trục y (Oxy)

Mxy Môment xoắn trên mỗi đơn vị chiều dài (Oxz)

N Số vòng lặp

p Hệ số phân phối vật liệu của dầm FG

ijQ Độ cứng giảm của vật liệu trong hệ trục tổng thể

ijQ Độ cứng của vật liệu trong hệ trục toạ độ địa phương.

t Thời gian

,T T� � Ma trận chuyển trục từ hệ toạ độ địa phương sang tổng thể.

U Năng lượng biến dạng của hệ

u1, u3 Chuyển vị theo phương x, z

Vc Thể tích của vật liệu ceramic trong dầm FG

V Công thực hiện của hệ

εx, εz Biến dạng dài theo các phương x, zb

xx� Độ cong dầm do thành phần uốn

iv

s

xx� Độ cong dầm do thành phần cắt

�� Khối lượng riêng

θ Góc xoay quanh trục x

θ,x Đạo hàm của góc xoay θ theo x

γxz Biến dạng cắt trong mặt phẳng xz

xx� Ứng suất dọc trục tuyến theo trục x

Π Tổng năng lượng của hệ

( ), ( )x x� � Hàm dạng

ν Hệ số poisson của vật liệu

Tần số dao động tự nhiên

Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

v

DANH SÁCH CÁC BẢNG

BẢNG TRANG

Bảng 1.1: Bảng so sánh đặc tính của ceramic và kim loại ........................................9

Bảng 2.1: Bảng giá trị một số hàm biến dạng cắt f(z) trong phân tích hiệu ứng biến

dạng cắt .....................................................................................................................20

Bảng 2.2: Bảng hợp nhất hàm biến dạng cắt f(z) theo hàm đa thức bậc 3:

31 3( )f z d z d z � ........................................................................................................ 23


3 51 3 5( )f z d z d z d z � � ............................................................................................. 25


3 5 71 3 5 7( )f z d z d z d z d z � � � .................................................................................... 27

Bảng 2.5. Bảng giá trị các hệ số của hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) ....................... 28

Bảng 2.6: Bảng điều kiện biên động học của dầm composite..................................29

Bảng 4.1: Bảng so sánh các giá trị chuyển vị, ứng suất dọc trục và ứng suất cắt của

dầm composite tựa đơn, lớp sợi [0o/90o/0o], tỉ lệ L/h = 5 với các hàm biến dạng cắt

bậc cao f(z) khác nhau. ..............................................................................................39


dầm composite tựa đơn, lớp sợi [0o/90o], tỉ lệ L/h = 5 với các hàm biến dạng cắt bậc

cao f(z) khác nhau......................................................................................................40

Bảng 4.3: Bảng hội tụ của chuyển vị không thứ nguyên của dầm composite loại 1

[00/900/00] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện dưới tác dụng của tải phân bố

đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC1) ........................................................46




vi





[00/900] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện dưới tác dụng của tải phân bố

đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC1). .......................................................49







Bảng 4.9: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên chuyển vị đứng

không thứ nguyên w của dầm composite loại 1 [00/900/00] dưới tác dụng của tải phân

bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau. .............................................................53

Bảng 4.10: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên chuyển vị đứng

không thứ nguyên của dầm composite loại 2 [00/900] dưới tác dụng của tải phân bố

đều q0 với các điều kiện biên khác nhau. ..................................................................55

Bảng 4.11: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên ứng suất dọc

trục không thứ nguyên xx� của dầm composite tựa đơn S-S loại 1 [00/900/00] và loại

2 [00/900] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0........................................................59

Bảng 4.12: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên ứng suất cắt

không thứ nguyên xz� của dầm composite tựa đơn S-S loại 1 [00/900/00] và loại 2

[00/900] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0...........................................................62

Bảng 4.13: Bảng hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm

composite loại 1 [00/900/00] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện với các điều

kiện biên khác nhau...................................................................................................65

vii


composite loại 2 [00/900] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện với các điều

kiện biên khác nhau...................................................................................................66

Bảng 4.15: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên tần số dao động

tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 1 [00/900/00] với các điều kiện

biên khác nhau...........................................................................................................68

Bảng 4.16: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên tần số dao động

tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 2 [00/900] với các điều kiện

biên khác nhau...........................................................................................................70

Bảng 4.17: Bảng so sánh giá trị tần số dao động không thứ nguyên của dầm FG

tựa đơn, tỉ lệ L/h = 5 với các hàm hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác nhau

(N=2). ........................................................................................................................72

Bảng 4.18: Bảng so sánh các giá trị chuyển vị không thứ nguyên w vị trí giữa nhịp

của dầm FG tựa đơn, tỉ lệ L/h = 5 chịu tải trọng phân bố đều trên chiều dài nhịp q0

với các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác nhau (N=2). ........................................73

Bảng 4.19: Bảng giá trị chuyển vị lớn nhất không thứ nguyên w của dầm FG với

nhiều giá trị của hệ số phân phối vật liệu với các điều kiện biên khác nhau

(N=14). ...................................................................................................................... 76


FG, tỉ lệ L/h = 5, p = 1 với các điều kiện biên khác nhau.........................................85

Bảng 4.21: Bảng hội tụ của tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm FG

(L/h = 5) , giá trị của hệ số phân phối vật liệu p = 1 với các điều kiện biên khác nhau

(NC 1 & 4). ................................................................................................................ 86



(NC 1 & 4). ................................................................................................................ 86

Bảng 4.23: Bảng so sánh giá trị tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của

dầm FG (L/h = 5) với nhiều giá trị của hệ số phân phối vật liệu với các điều kiện biên

khác nhau (N=14). ..................................................................................................... 89

viii

Bảng 4.24: Bảng so sánh giá trị tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm

FG (L/h = 20) với nhiều giá trị của hệ số phân phối vật liệu với các điều kiện biên

khác nhau (N=14). ..................................................................................................... 90

Bảng 5.1: Nội dung các bài toán số ..........................................................................93

ix

DANH SÁCH CÁC HÌNH

HÌNH TRANG

Hình 1.1: Composite dạng các lớp sợi [17]................................................................3

Hình 1.2. Composite dạng các hạt [17] ...................................................................... 3

Hình 1.3. Composite dạng phân loại chức năng [1] ................................................... 3

Hình 1.4. Tỷ lệ ứng dụng của vật liệu Composite trên Thế giới [55] ........................4

Hình 1.5. Tỷ lệ ứng dụng của vật liệu Composite tại Việt Nam [55] ........................4

Hình 1.6. Ứng dụng của vật liệu composite trong máy bay Boeing 787 [18]............5

Hình 1.7. Phần trăm sử dụng composite của máy bay thương mại theo

thời gian [18] ............................................................................................................... 5

Hình 1.8. Ứng dụng vật liệu composite trong chế tạo dầm cầu [55] ......................... 6

Hình 1.9. Ứng dụng vật liệu composite trong công trình thủy lợi – chống

ngập mặn [55] ............................................................................................................. 6

Hình 1.10. Ứng dụng của vật liệu composite vào nhiều lĩnh vực khác:

thể thao, giải trí [55] .................................................................................................... 7

Hình 1.11. Ứng dụng FGMs trong tự nhiên [57] ....................................................... 7

Hình 1.12. Ứng dụng FGMs trong cấy ghép sinh học và công nghệ gốm [57] ......... 8

Hình 1.13: Dầm composite nhiều lớp [15] ................................................................. 8

Hình 1.14. Dầm phân lớp chức năng FGB [1] ...........................................................9

Hình 2.1. Các lý thuyết tính toán dầm [56] .............................................................. 14

Hình 2.2. Đạo hàm của các hàm biến dạng cắt bậc cao của một số tác giả ............. 21

Hình 2.3. Đạo hàm của các hàm biến dạng cắt bậc cao khi hợp nhất bậc 3 ............ 22



Hình 3.1. Thuộc tính vật liệu của dầm LC loại 1 ..................................................... 31

Hình 3.2. Thuộc tính vật liệu của dầm LC loại 2 ..................................................... 31

Hình 3.3. Thuộc tính vật liệu của dầm FG loại 1 ..................................................... 32

Hình 3.4. Thuộc tính vật liệu của dầm FG loại 2 ..................................................... 32

x

Hình 3.5. Tải trọng tác dụng lên dầm LC loại 1 ....................................................... 33

Hình 3.6. Tải trọng tác dụng lên dầm LC loại 2 ....................................................... 33

Hình 3.7. Tải trọng tác dụng lên dầm FG loại 1 & 2................................................ 33

Hình 3.8. Dầm tựa đơn (S-S) .................................................................................... 34

Hình 3.9. Dầm console, đầu ngàm – dầu tự do (C-F) .............................................. 34

Hình 3.10. Dầm hai đầu ngàm (C-C) ....................................................................... 34

Hình 4.1. Sự phân bố của ứng suất xx� theo chiều dày dầm composite tựa, lớp sợi

đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] (b), tỉ lệ L/h = 5 với các hàm

hàm biến dạng cắt bậc cao hợp nhất f(z). ..................................................................42

Hình 4.2. Sự phân bố của ứng suất cắt xz� theo chiều dày dầm composite tựa đơn,

lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] (b), tỉ lệ L/h = 5 với

các hàm xấp xỉ khác nhau .........................................................................................44

Hình 4.3. Sự phân bố chuyển vị không thứ nguyên w dọc theo chiều dài dầm

composite lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o], tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h =

5 với các điều kiện biên khác nhau ...........................................................................56

Hình 4.4. Sự phân bố chuyển vị w dọc theo chiều dài dầm composite tựa đơn với

lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o], tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h thay đổi từ 5

đến 10 ........................................................................................................................57

Hình 4.5. Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên sự phân bố ứng

suất xx� của dầm composite tựa đơn S-S, lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi

bất đối xứng [0o/90o] (b)............................................................................................60


suất xz� của dầm composite tựa đơn S-S, lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi

bất đối xứng [0o/90o] (b)............................................................................................63

Hình 4.7. Sự phân bố chuyển vị không thứ nguyên w dọc chiều dài dầm FG tựa đơn,

L/h=4 (a) và L/h=16 (b) dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hệ số phân phối

vật liệu p thay đổi (NC4). ..........................................................................................77

xi

Hình 4.8. Sự phân bố chuyển vị w dọc chiều dài dầm FG, L/h=4, p=1 dưới tác dụng

của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC4)...............................78

Hình 4.9. Sự phân bố ứng suất xx� vị trí giữa nhịp của dầm FG tựa đơn, tỉ lệ L/h=4

(p=1) dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hàm biến dạng cắt bậc cao f (z)

khác nhau...................................................................................................................80

Hình 4.10. Sự phân bố ứng suất xz� vị trí giữa nhịp của dầm FG tựa đơn, tỉ lệ L/h=4

(p=1) dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hàm biến dạng cắt bậc cao f (z)

khác nhau...................................................................................................................80

Hình 4.11. Sự phân bố ứng suất xx� vị trí giữa nhịp của dầm FG, tỉ lệ L/h = 4 dưới

tác dụng của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC4). ...............81

Hình 4.12. Sự phân bố ứng suất xx� vị trí giữa nhịp của dầm FG tựa đơn, dưới tác

dụng của tải phân bố đều q0 với các tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện thay đổi

(NC4). ........................................................................................................................81

Hình 4.13. Sự phân bố ứng suất xx� vị trí giữa nhịp của dầm FG tựa đơn (L/h=4),

dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hệ số phân phối vật liệu p thay đổi (NC4).

................................................................................................................................... 82

Hình 4.14. Sự phân bố ứng suất xz� vị trí tại gối của dầm FG tựa đơn (L/h=4),

dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hệ số phân phối vật liệu p thay đổi (NC4).

................................................................................................................................... 82

Hình 4.15. Sự hội tụ của tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm FG

(p=1) theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện (L/h = 5) với các điều kiện biên

S-S (a), C-F (b) và C-C (c) (NC4).............................................................................87

Hình 4.16. Sự phân bố tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm FG (p=1)

theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện (L/h) với các điều kiện biên khác nhau

(NC4). ........................................................................................................................92

Hình 4.17. Sự phân bố tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm FG

(L/h=5) theo hệ số phân phối vật liệu p với các điều kiện biên khác nhau (NC4). .. 92

1

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN

1.1. Lý do chọn đề tài

Với các ưu điểm vượt trội về cường độ, độ cứng, trọng lượng nhẹ và sự linh

hoạt về cấu trúc hình học, vật liệu composite có thể thay đổi các vật liệu thành phần

cũng như sự phân bố của chúng để tạo ra các loại vật liệu mới có độ bền và đặc trưng

vật lý mong muốn. Sự đòi hỏi khắc khe của kỹ thuật hiện đại như trọng lượng cực

nhẹ, cường độ cực cao, chịu nhiệt cực lớn … chỉ có vật liệu composite mới đáp ứng

được, chính vì vậy, vật liệu composite giữ vai trò then chốt trong cuộc cách mạng về

vật liệu mới.

Tiêm năng ưng dung cua vât liêu kêt câu composite nhiêu lơp trong nhiêu

trương ky thuât khac nhau đa dân đên sư phat triên cua nhiều lý thuyết dâm composite

khac nhau nhăm dư bao môt cach hơp ly ưng xư tınh, dao đông và ổn định cua loai

kêt câu nay, trong đó có lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Do co sư phân bô hơp ly cua

ưng suât căt theo chiêu day kêt câu, nên ly thuyêt biên dang căt bâc cao không đoi

hoi hiêu chınh căt va co ưng xư phu hơp hơn so vơi cac ly thuyêt khac.

Từ các nhận xét và phân tích trên, tác giả lựa chọn đề tài nghiên cứu “Ứng xử

tĩnh và dao động tự do của dầm composite với điều kiện biên khác nhau” sử dụng

lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hiệu chỉnh.

1.2. Mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài

Trong đề tài này, học viên thực hiện mục tiêu nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao

động tự do của dầm composite với điều kiện biên khác nhau.

Nhiệm vụ của đề tài:

� Ứng dụng lý thuyết biến dạng cắt bật cao, các lời giải giải tích và phương

pháp số để nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao động tự do của dầm composite

nhiều lớp (Laminated Composite Beam - LCB) và dầm phân lớp chức năng

(Functionally Graded Beam - FGB) với các điều kiện biên khác nhau.

2

� Hợp nhất các hàm ứng suất cắt bậc cao f(z): hàm lượng giác, hàm mũ, hàm

hyberbol… thành hàm đa thức bậc cao sử dụng nghiên cứu.

� Tổng hợp các kết quả nghiên cứu của các tác giả khác về ứng xử của dầm

composite.

� So sánh, đánh giá kết quả nghiên cứu so với kết quả của các tác giả khác,

từ đó đưa ra kết luận và kiến nghị.

1.3. Giới hạn của luận văn

Các bài toán phân tích, nghiên cứu trong luận văn này chủ yếu tập trung vào

hai loại cấu kiện dầm: một là dầm composite nhiều lớp tiết diện chữ nhật với các lớp

sợi đơn giản, hai là dầm phân lớp chức năng tiết diện hình chữ nhật với đặc tính cơ

học thay đổi theo chiều cao dầm từ kim loại đến ceramic.

1.4. Tổng quan về vật liệu composite

1.4.1. Định nghĩa

Vật liệu composite: là vật liệu hợp thành từ hai hoặc nhiều loại vật liệu với

nhau để tạo thành vật liệu có thuộc tính lý tưởng mà không thể có từ những vật liệu

đơn lẻ. Một số thuộc tính có thể phát triển và cải tiến thành những cấu kiện tăng

cường độ cứng, cường độ, giảm trọng lượng, chống xoắn, thuộc tính nhiệt, tuổi thọ

tăng và chống ăn mòn.

1.4.2. Phân loại

� Phân loại theo cách tổ hợp:

� Composite dạng các lớp sợi.

� Composite dạng các hạt.

� Composite dạng phân loại chức năng (Functionally Graded Material -

FGM).

3

SỢI GIA CƯỜNG + VẬT LIỆU NỀN = VẬT LIỆU COMPOSITE

Hình 1.1: Composite dạng các lớp sợi [17].

HẠT + VẬT LIỆU NỀN = VẬT LIỆU COMPOSITE

Hình 1.2. Composite dạng các hạt [17].

Hình 1.3. Composite dạng phân loại chức năng [1].

� Phân loại theo đặc trưng cơ lý hóa của vật liệu thành phần:

� Vật liệu kim loại và hợp kim;

� Vật liệu vô cơ – ceramic;

� Vật liệu polyme;

� Vật liệu tổ hợp composite (Functionally Graded sandwich beams [1]);

4

1.4.3. Ứng dụng

Các cấu kiện kết cấu làm bằng vật liệu composite ngày càng được ứng dụng rộng rãi

ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Điển hình về ứng dụng của vật liệu composite, ta có thể

thấy được qua các ứng dụng của vật liệu này trong cuộc sống như hàng không , vận

tải, cơ khí, năng lượng...

Hình 1.4. Tỷ lệ ứng dụng của vật liệu Composite trên Thế giới [55].

Hình 1.5. Tỷ lệ ứng dụng của vật liệu Composite tại Việt Nam [55].

5

Hình 1.6. Ứng dụng của vật liệu composite trong máy bay Boeing 787 [18].

Hình 1.7. Phần trăm sử dụng composite của máy bay thương mại theo thời gian

[18].

6

Bên cạnh đó, riêng đối với lĩnh vực kết cấu xây dựng, vật liệu composite đang

ngày càng được ứng dụng rộng rãi và phổ biến nhằm đáp ứng cho những kết cấu đòi

hỏi những tính năng ưu việt của vật liệu composite.

Hình 1.8. Ứng dụng vật liệu composite trong chế tạo dầm cầu [55].

Hình 1.9. Ứng dụng vật liệu composite trong công trình thủy lợi – chống ngập mặn

[55].

7

Hình 1.10. Ứng dụng của vật liệu composite vào nhiều lĩnh vực khác: thể thao, giải trí [55].

a) Xương b) Cây treHình 1.11. Ứng dụng FGMs trong tự nhiên [57].

8

Hình 1.12. Ứng dụng FGMs trong cấy ghép sinh học và công nghệ gốm [57].

1.4.4. Dầm composite

� Dầm composite nhiều lớp (Laminated Composite Beam):

Dầm LC được làm từ nhiều lớp vật liệu trực hướng với các hướng sợi khác nhau

theo trục tọa độ x, được minh họa như Hình 1.13.

Hình 1.13: Dầm composite nhiều lớp [15].

9

� Dầm phân lớp chức năng (Functionally Graded Beam):

Dầm FG có đặc tính hữu hiệu thay đổi liên tục theo chiều cao tiết diện để cải

thiện tính năng chịu nhiệt và cơ của vật liệu composite nhiều lớp, được minh họa như

Hình 1.14. Vật liệu FG là hỗn hợp của nhiều loại vật liệu nhưng thông thường gồm

ceramic và kim loại với các đặc trưng cơ học cho như Bảng 1.1.

Hình 1.14. Dầm phân lớp chức năng FGB [1].

Bảng 1.1. Bảng so sánh đặc tính của ceramic và kim loại

Vị trí Vật liệu Tính năng

Vùng chịu nhiệt cao Ceramic

- Chịu nhiệt cao

- Chống oxi hóa cao

- Dẫn nhiệt thấp

Các lớp bên trong Ceramic – Kim loại

- Loại bỏ những vấn đề

bề mặt tiếp xúc giữa các

vật liệu.

Vùng chịu nhiệt thấp Kim loại

- Khả năng chịu lực cao

- Hệ số dẫn nhiệt cao

- Độ dẻo dai cao

1.5. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong, ngoài nước

Nghiên cứu ứng xử dầm Laminated Composite: Tác giả Chandrashekhara và

Bangera [9] đã nghiên cứu dao động tự do của dầm composite bằng cách sử dụng

phương pháp phần tử hữu hạn thông qua một phần tử điều chỉnh cắt. Tác giả Khdeir

và Reddy [13] đã phát triển giải pháp cho dao động tự do và ổn định của dầm

composite cross-ply với điều kiện biên bất kỳ. Tác giả Marur và Kant [11] đã phân

10

tích dao động tự do của dầm composite cốt sợi sử dụng lý thuyết bậc cao và mô hình

phần tử hữu hạn. Tác giả Matsunaga [10] đã sử dụng lý thuyết biến dạng bậc cao để

nghiên cứu dao động và ổn định của dầm composite nhiều lớp. Tác giả Aydogdu [3]

đã tiến hành nghiên cứu dao động của dầm cross-ply với những điều kiện biên khác

nhau bằng cách sử dụng phương pháp Ritz. Tác giả Vo và cộng sự [4] đã nghiên cứu

ứng xử tĩnh của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt điều chỉnh. Cũng

bằng lý thuyết này, hai tác giả trên cũng nghiên cứu dao động và sự ổn định của dầm

composite [5]. Hai tác giả này cũng nghiên cứu dao động tự do của dầm composite

tiết diện hình chữ nhật chịu tải dọc trục với lý thuyết biến dạng cắt hiệu chỉnh [7].

Tác giả Soldatos và cộng sự [8] đã nghiên cứu dầm trực hướng với lý thuyết thông

thường và lý thuyết cắt ngang. Tác giả Shi và cộng sự [12] đã phân tích dao động

phần tử hữu hạn của dầm composite dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Tác giả

Vidal và cộng sự [14] đã đưa ra một tổ hợp các phương pháp phần tử hữu hạn dể phân

tích dầm composite nhiều lớp tiết diện hình chữ nhật. Tác giả Wanji và các cộng sự

[15] đã phân tích dầm composite nhiều lớp chịu uốn với biến dạng cắt bậc nhất sử

dụng mô hình ứng suất đôi hiệu chỉnh. Tác giả Wu và cộng sự [16] đã nghiên cứu

đánh giá về một số lý thuyết dựa trên chuyển vị để phân tích dao động và ứng xử tĩnh

của dầm composite nhiều lớp và dầm sandwich. Tác giả Nguyen ND và các cộng sự

[19] đã nghiên cứu dao động tự do của dầm composite nhiều lớp dựa trên lý thuyết

biến dạng cắt bậc cao. Tác giả Yogesh [20] đã phân tích dao động tự do của dầm

composite nhiều lớp với các điều kiện biên khác nhau. Tác giả Aguiar và các cộng sự

[21] đã đánh giá mô hình hỗn hợp và mô hình dựa trên chuyển vị để phân tích ứng

xử tĩnh của dầm composite với các mặt cắt khác nhau. Tác giả Khdeir và cộng sự [22]

đã đưa ra một giải pháp chính xác cho sự uốn cong của dầm composite nhiều lớp

cross-ply mỏng và dày. Tác giả này cũng đã nghiên cứu dao động tự do của dầm

composite nhiều lớp với điều kiện biên bất kỳ [26]. Tác giả Murthy và các cộng sự

[23] đã đưa ra một cải tiến phần tử hữu hạn bậc cao cho dầm composite bất đối xứng.

Tác giả Zenkour [24] đã phân tích sự uốn cong của dầm composite nhiều lớp và dầm

sandwich đàn hồi dựa trên lý thuyết biến dạng thông thường và lý thuyết biến dạng

11

cắt ngang. Tác giả Chakraborty [25] và các cộng sự đã phân tích phần tử hữu hạn của

dao động tự do và dao động dạng sóng trong dầm composite bất đối xứng với cấu

trúc không liên tục. Tác giả Mantari và cộng sự [27] đã phân tích dao động tự do và

ổn định của dầm composite nhiều lớp thông qua sự kết hợp lời giải Ritz với điều kiện

biên khác nhau. Tác giả Karama và các cộng sự [34] đã nghiên cứu ứng xử cơ học

của dầm composite nhiều lớp bằng mô hình các lớp cấu trúc mới bằng ứng suất cắt

ngang liên tục. Tác giả Arya và các cộng sự [36] đã đưa ra một mô hình zigzag cho

dầm composite nhiều lớp. Tác giả Akavci và cộng sự [41] đã phân tích ổn định và

dao động tự do của dầm composite nhiều lớp sử dụng hai lý thuyết biến dạng cắt

hyberbol mới.

Nghiên cứu ứng xử dầm Funtionally Graded: Tác giả Li [49] đã đưa ra một

cách tiếp cận thống nhất để phân tích ứng xử tĩnh và động của dầm FG Timoshenko

và dầm Euler-Bernoulli. Tác giả này cùng các cộng sự [50] cũng sử dụng lý thuyết

bậc cao để phân tích tĩnh và động dầm FG. Tác giả Vo và cộng sự [6] đã dùng mô

hình phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động và ổn định của dầm FG sandwich dựa

trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Tác giả Simsek [44] đã phân tích tần số dao động

của dầm FG sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao khác nhau. Tác giả Aydogdu và

cộng sự [46] đã phân tích dao động tự do của dầm FG tựa đơn. Tác giả này cũng đưa

ra giải pháp đối xứng bán toàn phần để phân tích dao động và ổn định của dầm FG

[47]. Tác giả Alshorbagy và các cộng sự [48] đã đưa ra đặc trưng dao động tự do của

một dầm FG bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Tác giả Nguyen và các cộng sự

[38] đã đưa ra một lý thuyết biến dạng cắt lượng giác ngịch đảo mới cho dầm đẳng

hướng và dầm FG sandwich. Tác giả Vo và các cộng sự [43] đã phân tích ứng xử tĩnh

và dao động của dầm FG sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Cũng bằng lý thuyết

này, tác giả Vo [45] đã đưa ra các phân tích về uốn và dao động tự do của dầm FG.

Tác giả Nguyen và các cộng sự [52] đã phân tích tĩnh và dao động tự do của dầm FG

chịu tải dọc trục sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Tác giả Nguyen và các

cộng sự [1] đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mới để phân tích dao động và

ổn định của dầm FG sandwich.

12

Dựa trên sự phân tích tình hình nghiên cứu về ứng xử dầm composite trong và

ngoài nước như trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “ứng xử tĩnh và dao động tự do

của dầm composite với điều kiện biên khác nhau” sử dụng lời giải Ritz, lý thuyết

biến dạng cắt bậc cao hiệu chỉnh cùng với việc hợp nhất tất cả các hàm biến dạng cắt

bậc cao để áp dụng nghiên cứu cho dầm composite nhiều lớp (LC beam) và dầm

phân lớp chức năng (FG beam).

1.6. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này, các nghiên cứu và kết quả đạt được đều được áp dụng các

phương pháp nghiên cứu sau:

� Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hiệu chỉnh làm lý thuyết nghiên

cứu chính;

� Sử dụng khai triển Taylor để hợp nhất các hàm biến dạng cắt bậc cao (hàm

lượng giác, hàm mũ, hàm hyberbol,…) thành các hàm đa thức bậc cao để

tối ưu hóa thời gian giải thuật;

� Sử dụng lời giải dạng Ritz, trong đó trường chuyển vị được xấp xỉ bởi các

hàm dạng lượng giác thỏa mãn các điều kiện biên khác nhau;

� Sử dụng phần mềm Matlab hỗ trợ tính toán số đưa ra kết quả cho các bài

toán áp dụng lý thuyết trên;

� Phương pháp so sánh kết quả đạt được so với các kết quả của các nghiên

cứu trước của các tác giả khác;

� Phương pháp tổng kết, đánh giá kết quả nghiên cứu.

13

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Tổng quan về lý thuyết nghiên cứu

Vật liệu cấu tạo composite có ưu điểm vượt bậc về thuộc tính vật liệu và khả

năng làm việc kết cấu so với vật liệu thông thường. Ngày nay, với nhu cầu sử dụng

các kết cấu phức tạp và đòi hỏi tính kinh tế, nghiên cứu tiềm năng về vật liệu

composite đã và đang dẫn đến sự ra đời của nhiều lý thuyết nghiên cứu.

Từ nhu cầu nghiên cứu tiềm năng của vật liệu composite, lịch sử nghiên cứu

đã phát triển ra ba dạng lý thuyết:

� Lý thuyết dầm cổ điển (CBT) được biết đến như là dầm Euler-

Bernoulli là lý thuyết đơn giản nhất và chỉ có thể áp dụng đối với dầm mỏng. Nhưng

thực tế, các cấu kiện dầm cũng tồn tại đồng thời dầm mỏng và dầm dày. Đối với dầm

dày, vấn đề nghiên cứu lực ổn định và tần số dao động tự nhiên là rất quan trọng bởi

vì lý thuyết CBT đã bỏ qua hiệu ứng biến dạng cắt ngang.

� Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FOBT) được biết đến như là dầm

Timoshenko đề xuất vượt qua giới hạn của dầm CBT vì lý thuyết có tính đến hiệu

ứng biến dạng cắt ngang. Kể từ khi FOBT có sự thiếu sót về ứng suất cắt bằng không

trên bề mặt trên và đáy của dầm, một hệ số chống cắt cần thiết được đưa vào tính

toán. Nhưng nhìn chung, vẫn có sự không nhất quán về lý thuyết tính toán giữa lý

thuyết CBT và lý thuyết FOBT.

� Để loại bỏ tính không nhất quán giữa CBT và FOBT, lý thuyết dầm

biến dạng cắt bậc cao (HOBT) được phát triển để tránh sử dụng hệ số chống cắt và

có sự dự đoán tốt hơn về đáp ứng của dầm composite. Lý thuyết HOBT có thể phát

triển dựa vào giả thuyết của biến bậc cao của chuyển vị trong mặt phẳng hoặc cả

chuyển vị trong mặt phẳng và mặt phẳng ngang trong suốt chiều dày của dầm. Nhiều

nghiên cứu số học đã được sử dụng để giải bài toán động học và phân tích ổn định

của dầm composite HOBTs.

14

� Từ nhu cầu nghiên cứu tiềm năng của vật liệu composite, lịch sử nghiên

cứu đã phát triển ra ba dạng lý thuyết:

Hình 2.1. Các lý thuyết tính toán dầm [56].

2.2. Cơ sở lý thuyết

2.2.1. Vật liệu nghiên cứu

Chương này tập trung giới thiệu hai loại dầm composite sử dụng nghiên cứu

trong luận văn gồm 2 loại: dầm composite nhiều lớp (LC beam: Laminated Composite

beam) và dầm phân lớp chức năng (FG beam: Functionally Graded beam).

Dầm composite nhiều lớp được đặc trưng bởi thuộc tính của từng lớp riêng

biệt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 13 23 12 21 1 2, , , , , , , ,k k k k k k k k kG G GE E � � � � .

Dầm phân lớp chức năng được đặc trưng bởi thuộc tính của lớp metal và

ceramic cấu thành dầm. Thể tích của vật liệu ceramic ( )c zV được cho như sau:

1( )

2 � ��

p

czzh

V (1)

15

Thuộc tính vật liệu phân bố trong dầm theo chiều dày dầm được cho bởi luật

phân phối vật liệu như sau:

( ) ( ) ( ) � �c m c cP z P P V z P (2)

Trong đó, cP và mP là module đàn hồi (E), hệ số poisson (� ), khối lượng

riêng ( � ) của vật liệu ceramic và metal.

Đặc điểm cụ thể về vật liệu nghiên cứu được trình bày trong Chương 3.

2.2.2. Trường chuyển vị

1 , ( ) ( , )( , , ) ( , ) xw f z x tu x z t u x t z �� (3a)

3 ( , )( , , ) w x tu x z t (3b)

Với u , w,� là chuyển vị dọc trục, chuyển vị đứng và chuyển vị xoay của dầm

xét tại mặt phẳng giữa dầm, dấu phẩy được xem là đạo hàm theo hệ trục của chỉ số

nằm dưới. Hàm xấp xỉ bậc cao f(z) được hợp nhất từ các hàm xấp xỉ của các tác giả

khác dưới dạng như sau:

2 1 3 5 72 1 1 3 5 7

1

...( ) nn

nd z d z d z d z d zf z

��

�

� � � � �� (4)

Việc xác định hàm f(z) được trình bày cụ thể trong mục 2.2.6.

2.2.3. Trường biến dạng

01( , , ) b sxx xx xx xx

ux z t z fx

��

� � (5a)

031( , , ) ( )xz xzuux z t g z

z x��

� � � (5b)

Trong đó:

,( ) zg z f ; (6)

0xx� , 0

xz� , bxx� và s

xx� là các biến dạng dọc trục, biến dạng cắt và độ cong của dầm.

Những đại lượng này có quan hệ với các chuyển vị u,w, và� của dầm như sau:

0,( , )xx xx t u� (7a)

0 ( , )xz x t� � (7b)

16

,( , )bxx xxx t w� � (7c)

,( , )sxx xx t� � (7d)

2.2.4. Quan hệ ứng xử

� Đối với dầm LC:

( )( )

11

55

0

0

kkxx xx

xz xz

QQ

� ��

��

(8)

Nên:

( ) ( ) ( )11 11

0( , , ) ( ( , ) ( , ))k k kx xx

b sxx xx xxx z t x t x tQ Q z f� � � � � � � (9a)

( ) ( ) 0 ( )55 55( , , ) ( )( )k k k

xz xz xzx z t g zQ Q �� (9b)

Trong đó, 5511,Q Q theo Reddy [2] như sau:

( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( )11 11 12 66 22cos 2( 2 )sin cos 2 sink k k k k k k k k

x x x xQ Q Q Q Q� � � � � � � (10a)

( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )55 55 44cos sink k k k k

x xQ Q Q� � � (10b)

Với:

( )( ) 111 ( ) ( )

12 211

kk

k k

EQ� �

�

(10c)

( ) ( )( ) 12 212 ( ) ( )

12 211

k kk

k k

EQ ��

�

(10d)

( )( ) 222 ( ) ( )

12 211

kk

k k

EQ� �

�

(10e)

( ) ( )44 23

k kGQ (10f)

( ) ( )55 13

k kGQ (10g)

( ) ( )66 12

k kGQ (10h)

( )( ) ( ) 221 12 ( )

1

kk k

k

EE

� � (10i)

� Đối với dầm FG:

0( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! � �" #b s

xx xx xx xxx z E z x z x f x� � � � (11a)

17

( , ) ( ) ( , )xz xzx z G z x z� � (11b)

Trong đó E(z) là module đàn hồi và ( ) ( ) / 2(1 ( )) �G z E z z� là module cắt tại vị trí z.

2.2.5. Trường năng lượng

Tổng năng lượng của hệ dầm:

$ � �U V K (12)

Trong đó U, V và K định nghĩa là năng lượng biến dạng, công thực hiện và động

năng.

� Năng lượng biến dạng của dầm được tính toán:

( )12 xx xx xz xz

V

dVU � � � �� %

2 2 2 2, , , , , , , , ,0

( ) 2 ( ) 2 2 ( )12

L s s s sx x xx xx x x xx x xA u Bu w D w B u D w H A dx� � � � !� � � � � �" # % (13)

Trong đó & ', , , , ,s s sA B D B D H là các độ cứng của dầm composite, được tính:

LCB: & ' & '& '1 2 2

1

1, , , , ,, , , , ,k

k

n z

z

s

k

s sijz z f zf f bdzA B D B D H Q�

� % (14a)

51

52

1

n zk g bdzzkk

sA Q�

��

� % (14b)

FGB: & ' & '/2 2 2

/21, , , , ,, , , , , ( )

� %

h

h

s s s z z f zf f bdzA B D B D H E z (14c)

/2 2/2

( )�

%h

g bdzh

sA G z (14d)

� Công thực hiện do lực phân bố q(x) được tính như sau:

( )V wq x (15)

� Động năng thể hiện qua biểu thức:

2 21( )( )

2 V

K z U W dV� �% 2 2 )U W dV2 2 ))2 22

& '22 2 20 1 , 2 , 1 2 , 2 00

12 2 2

2

L

x x xI u I uw I w J u J w K I w dx� � � � � � � � � !( )" #% !& '22 & '22 & '& '2 & 'u2 2 22& '& ' ))& '1 , , , 0& '2 , 12 ,& '11 2 1& 'u 12 22& '1 2 11 21 22 & '2 1& 'u 2 22& ' dx!2 2 dd2 222 I w dddd22J w Kw K2 ))2 , 2 02 , I w dddd022J w Kw K2 22 22 2 I w dddddddJ w Kw K2 (16)

18

Trong đó đạo hàm theo thời gian t được định nghĩa bằng dấu chấm đặt bên trên

mỗi đại lượng; � là khối lượng riêng của mỗi lớp và I0, I1, I2, J1, J2, K2 là hệ số quán

tính, được định nghĩa :

& ' & ' & '1

0 1 2 1 2 22 2

1

( )1, , , , ,, , , , ,k

k

n z k

zk

z z z f fz f bdzI I I J J K ��

�% (17)

Thay phương trình (13), (15), và (16) vào phương trình (12), năng lượng của hệ:

2 2 2 2, , , , , , , , ,

0

( ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) )12

Ls s s s

x x xx xx x x xx x xA u Bu w D w B u D w H A dx� � � �� $ %

& '22 2 20 1 , 2 , 1 2 , 2 00

1

2( ) 2 2 2

L

x x x dxq x w I u I uw I w J u J w K I w� � � !� � � � � � � �" #% !& '22 & '22 & '22 & '2 2& '2 & ' #& '1 , , , 0& '2 , 1& '1 ,1 , 2 , 11 21 2 & '2 , 12 ,& '2 , 12 ,& '2 22 2& '1 2 11 21 22 & '2 22 22 & ' dx!2 2I w2222J w Kw K2

#2 , 2 02 , I w2 02 ,2 22 222!!I wJ w Kw K2 22 22J w Kw K2 (18)

Để thu được phương trình chuyển động, trường chuyển vị được xấp xỉ dưới dạng:

1

( , ) ( )m

i tj j

ju x t x u e �

� (19a)

1

( , ) ( )m

i tj j

jw x t x w e �

� (19b)

1

( , ) ( )m

i tj j

jx t x e � � �

� (19c)

Trong đó, là tần số của dao động tự do của dầm, 2 1i � là đơn vị ảo, j( , , )j ju w �

được định nghĩa là những giá trị cần xác định, j� và j� là các hàm dạng. Thế các

phương trình (19) vào phương trình (18) và áp dụng phương trình cân bằng Lagrange:

0j j

dR dt R

*$ *$�

* *0

jR$

(20)

Với jR đại diện cho các giá trị của ( , ,wj j ju � ).

Phương trình cân bằng đối với nghiên cứu dao động tự do dầm composite (21a)

và nghiên cứu ứng xử tĩnh dầm composite (21b):

11 12 13 11 12 13

12 22 23 2 12 22 23

13 23 33 13 23 33

0

0

0

� ! ! � � � �� ( ) ( ) + + + +� � � � �� ( ) ( )

+ + + +� �( ) ( ) � � � �" # " #� �

K Κ K M M M uK K K Μ M M wK K K M M M θ

T T

T T T T

(21a)

19

11 12 13

12 22 23

13 23 33

0

0

! � � � �( ) + + + +� � � �( )

+ + + +( ) � � � �" #

K Κ K uK K K wK K K θ

T

T T

Q (21b)

Trong đó, các phần tử của ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M, và ma trận tải Q

được cho như sau:

11, ,

0

L

ij i x j xK A dx� � % (22a)

12, ,

0

L

ij i x j xxK B dx� � � % (22b)

13, ,

0

Ls

ij i x j xK B dx� � % (22c)

22, ,

0

L

ij i xx j xxK D dx� � % (22d)

23, ,

0

Ls

ij i xx j xK D dx� � � % (22e)

33, ,

0 0

L Ls

ij i x j x s i jK H dx A dx� � �� % % (22f)

110

0

L

ij i jM I dx�� % (22g)

121 ,

0

L

ij i j xM I dx� � � % (22h)

131

0

L

ij i jM J dx�� % (22i)

220 2 , ,

0 0

L L

ij i j i x j xM I dx I dx�� % % (22j)

232 ,

0

L

ij i x jM J dx� � � % (22k)

332

0

L

ij i jM K dx�� % (22l)

0

0

L

iQ q dx� % (22m)

Lời giải của phương trình (21a) giúp thu tần số dao động tự nhiên của bài toán dao động tự do, lời giải của phương trình (21b) giúp thu được chuyển vị và ứng suất của bài toàn ứng xử tĩnh dầm composite.

20

2.2.6. Giải pháp lựa chọn hàm biến dạng cắt bậc cao

Có rất nhiều loại hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) được nhiều tác giả lựa chọn đưa vào

nghiên cứu như: hàm đa thức bậc cao, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm hyperpol,…

Một số hàm biến dạng cắt bậc cao được liệt kê trong bảng sau:

Bảng 2.1: Bảng giá trị một số hàm biến dạng cắt f(z) trong phân tích hiệu ứng biến dạng cắt

Tác giả ( )f zHàm đa thứcReddy [28], Aydogdu [3], và Murthy [29]

2

2

41

3( )

zzh

f z ��

� �

Kaczkowski [37], Nguyen et al. [19]

2

2

5 5

4 3( )

zzh

f z ��

� �

Levinson [30], Panc [31], và Reissner [32]

2

2

5 41

4 3( )

z zh

f z ��

� �

Vo et al. [7] 21 5

4 3( )

zzh

f z ! �� ( )� �

� �( )" #

Ambartsumian [42] 2 3

8 6( )

h zzf z �

Hàm lượng giácNguyen et al. [1] 3

13

16zcot

15( )

hz h

f z � � ��

Nguyen et al. [38] 31

2 2

z 16 ztan ; 1

3 ( 4)( )

r rh rh h r

f z � � � � � ��

Touratier [33], Levy [39], và Stein [40] sin( )

h zh

f z ,,

��

Arya [36]sin( )

zh

f z , ��

Hàm mũKarama et al. [34] 22( / )( ) z hzef z �Hàm HyperbolSoldatos [35] 1

sinh cosh2

( )zh zh

f z � ��

Akavci [41] 23 3 1htanh sech

2 2 2( )

z zh

f z , , � ��

21

Hình 2.2. Đạo hàm của các hàm biến dạng cắt bậc cao của một số tác giả

Hàm xấp xỉ tổng quát là hợp nhất của tất cả các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) códạng như sau:

2 1 3 5 72 1 1 3 5 7

1

...( ) nn

nd z d z d z d z d zf z

��

�

� � � � �� (23)

Chính vì vậy, hàm' ( )zf là hàm chẵn và đối xứng theo phương chiều dày dầm:

2 2 2 4 62 1 1 3 5 7

1

' (2 1) 3 5 7 ...( ) ( ) nn

nn d z d d z d z d zf z g z

��

�

� � � � � �� (24)

Giải phương trình (24) thu được các hệ số d1, d3, d5, d7 của phương trình hợp nhấthàm biến dạng cắt bậc cao f(z).

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

g(z)

z/h

Ambartsumian [42]Levy [39]Karama [34]Reddy [28]Soldatos [35]Nguyen [1]

22

Để tìm được các hệ số của phương trình hợp nhất bậc 3, ta giải hệ phương trình sau:

21 3

2

1 3

0 : d 3d (0) (0)

: d 3d 02 2 2

z g

h h hz g

� � +� � � � + � � � �

� � � ��

(25a,25b)

Hình 2.3. Đạo hàm của các hàm biến dạng cắt bậc cao

khi hợp nhất bậc 3

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

g(z)

z/h


23

Bảng 2.2: Bảng hợp nhất hàm biến dạng cắt f(z) theo hàm đa thức bậc 3: 3

1 3( )f z d z d z �

Model 1d 3d

Hàm đa thứcReddy [28], Aydogdu [3], và Murthy [29]

12

1.3333

h�


1.252

1.6667

h�


1.252

1.6667

h�

Vo et al. [7] 1.25�2

1.6667

hAmbartsumian [42] 1.25

2

1.6667

h�


2

1.3333

h�


1.3333

h�

Touratier [33], Levy [39], và Stein [40]

12

1.3333

h�

Arya [36] 1.57082

2.0944

h�

Hàm mũKarama et al. [34] 1

2

1.3333

h�

Hàm HyperbolSoldatos [35] 0.1276�

2

0.1702

hAkavci [41] 1.0063

2

1.3418

h�

24


2 41 3 3

2 4

1 3 3

2 4

1 3 3

0 : d 3d (0) 5d (0) (0)

: d 3d 5d4 4 4 4

: d 3d 5d 02 2 2 2

z g

h h h hz g

h h h hz g

�+ � � +++ � � � � � � � � � � � �

� � � � � �++ � � �+ � � � � � � � �+ � � � � � ��

(26a,26b,26c)



-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

g(z)

z/h


25

Bảng 2.3: Bảng hợp nhất hàm biến dạng cắt f(z) theo hàm đa thức bậc 5: 3 5

1 3 5( )f z d z d z d z � �

Model 1d 3d 5d


12

1.3333

h� 0


1.252

1.6667

h� 0


1.252

1.6667

h� 0

Vo et al. [7] 1.25�2

1.6667

h0

Ambartsumian [42] 1.252

1.6667

h� 0


2

1.3961�h 4

0.1506

hNguyen et al. [38] 1

2

1.3961�h 4

0.1506

hTouratier [33], Levy [39], và Stein [40]

12

1.6442

h�

4

0.7879

h

Arya [36] 1.57082

2.5735

h�

4

1.1499

hHàm mũKarama et al. [34] 1

2

1.96

h�

4

1.504

hHàm HyperbolSoldatos [35] 0.1276�

2

0.1667

h 4

0.0084

hAkavci [41] 1.0063

2

1.5629

h�

4

0.5306

h

26


2 4 61 3 3 3

2 4 6

1 3 3 3

2 4 6

1 3 3 3

2 4 6

1 3 3 3

0 : d 3d (0) 5d (0) 7d (0) (0)

: d 3d 5d 7d6 6 6 6 6

: d 3d 5d 7d4 4 4 4 4

: d 3d 5d 7d2 2 2 2

z g

h h h h hz g

h h h h hz g

h h h h hz g

� � �

� � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � ��

02

�+++++�+++ �+ � �+ � ��

(27a,b,c,d)



-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

g(z)

z/h


27

Bảng 2.4: Bảng hợp nhất hàm biến dạng cắt f(z) theo hàm đa thức bậc 7: 3 5 7

1 3 5 7( )f z d z d z d z d z � � �

Model 1d 3d 5d 7d


12

1.3333

h� 0 0


1.252

1.6667

h� 0 0


1.252

1.6667

h� 0 0

Vo et al. [7] 1.25�2

1.6667

h0 0

Ambartsumian [42] 1.252

1.6667

h� 0 0


2

1.3999�h 4

0.1964

h 6

0.1047�h


1.3999�h 4

0.1964

h 6

0.1047�h

Touratier [33], Levy [39], và Stein [40]

12

1.6449

h�

4

0.8106

h 6

0.1796

h�

Arya [36] 3.1416

h 3

5.1676

h�

5

2.5467

h 7

0.5644

h�

Hàm mũKarama et al. [34] 1

2

1.9993

h�

4

1.975

h 6

1.0765

h�

Hàm HyperbolSoldatos [35] 0.1276�

2

0.1667

h 4

0.0083

h

3

6

0.1996 10

h

�-

Akavci [41] 1.00632

1.5707

h�

4

0.6244

h 6

0.2146

h�

28

Dựa trên các nghiên cứu trên, tác giả đề xuất 4 hàm biến dạng cắt bậc cao để nghiên cứu các bài toán số như sau:

3 5 71 3 5 7( )f z d z d z d z d z � � � (28)

Trong đó, các hệ số d1, d3, d5, d7 được lấy trong bảng sau:

Bảng 2.5. Bảng giá trị các hệ số của phương trình biến dạng cắt bậc cao f(z)

1d 3d 5d 7d

Nghiên cứu 1

(Reddy)

12

4

3h� 0 0

Nghiên cứu 2

(Hàm lượng giác 1)

12

74

45h�

4

30

37h 6

7

39h

Nghiên cứu 3

(Hàm hyberbol)

12

47

36h�

4

3

46h�

6

1

625h

Nghiên cứu 4

(Hàm lượng giác 2)

12

7

5h�

4

49

250h 6

21

200h�

Lưu ý: Các chú thích trong ngoặc đơn “( )” thể hiện hàm gốc để xác định hàm hợp nhất f(z).

2.2.7. Giải pháp phân tích điều kiện biên

Sử dụng các hàm dạng ( )x� và ( )x� để thu được lời giải với các điều kiện

biên khác nhau (S-S: dầm tựa đơn, C-F: dầm console, và C-C: dầm 2 đầu ngàm) được

cho bởi:

Đối với điều kiện dầm tựa đơn (S-S):

( ) cosjx xL,� (29a)

( ) sinjx xL,� (29b)

Đối với điều kiện dầm console (C-F):

(2 1)( ) sin

2

jx xL

,� � (29c)

29

(2 1)( ) 1 cos

2

jx xL

,� � � (29d)

Đối với điều kiện dầm hai đầu ngàm (C-C):

2( ) sin

jx xL,� (29e)

2( ) sinjx xL,� (29f)

Bảng 2.6: Bảng điều kiện biên động học của dầm composite

Điều kiện biên Vị trí x=0 Vị trí x=L

Hai đầu tựa đơn

S-S

0w 0w

Ngàm – Tự do

C-F

0u , 0w , 0� , , 0xw

Hai đầu ngàm

C-C

0u , 0w , 0� , , 0xw 0u , 0w , 0� , , 0xw

2.2.8. Công thức trực giao

Để thuận tiện trong so sánh, các kết quả tính toán sẽ được trực giao về kết quả

không thứ nguyên.

� Dầm composite nhiều lớp (LC beam):

Đối với bài toán phân tích ứng xử tĩnh của dầm composite: chuyển vị đứng (độ

võng), ứng suất dọc trục, ứng suất cắt của dầm dưới tác dụng của tải trọng phân bố

đều q được trực giao như sau:

2 22

4

10

wbhE hwqL

(30a)

2

2x x

bhqL

� � tại (L/2, h/2) (30b)

xz xzbhqL

� � tại (0,0) (30c)

30

Đối với bài toán phân tích dao động tự do của dầm composite: tần số dao động

tự nhiên của dầm được trực giao như sau:

2

2

Lh E

� (31)

� Dầm phân lớp chức năng (FG beam):

Đối với bài toán phân tích ứng xử tĩnh của dầm FG: chuyển vị đứng (độ võng),

ứng suất dọc trục, ứng suất cắt của dầm dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q

dược trực giao như sau:

4 bE Iww

K qL(32a)

( ) ( / 2, )x xbhz L zqL

� � (32b)

( ) (0, )xz xzbhz zqL

� � (32c)

Trong đó: 3

12

bhI , 5

384K đối với dầm S – S, 1

8K đối với dầm C – F,

1

384K đối với dầm C – C.

Đối với bài toán phân tích dao động tự do của dầm composite: tần số dao động

tự nhiên của dầm được trực giao như sau:

2

b

b

Lh E

� (33)

31

CHƯƠNG 3

DỮ LIỆU BÀI TOÁN SỐ

3.1. Đặc trưng dầm composite

� Dầm composite nhiều lớp: sử dụng trong các bài toán số là 2 dầm

laminated composite có các lớp sợi đối xứng và không đối xứng. Thuộc tính vật liệu

cụ thể ở mỗi bài toán để có thể đưa ra kết quả có khả năng so sánh với kết quả của

các nghiên cứu trước nhằm chứng minh sự đúng đắn và phù hợp.

Dầm loại 1: lớp đối xứng [00/900/00] 1E

2E

12 13 23, ,G G G

12 21,� �

1 2,� �

Hình 3.1. Thuộc tính vật liệu của dầm LC loại 1

Dầm loại 2: lớp bất đối xứng[00/900]

1E

2E

12 13 23, ,G G G

12 21,� �

1 2,� �

Hình 3.2. Thuộc tính vật liệu của dầm LC loại 2

32

� Dầm phân lớp chức năng: sử dụng trong các bài toán số là dầm

composite có đặc tính cơ học thay đổi liên tục theo chiều cao dầm. Thuộc tính vật

liệu cụ thể ở mỗi bài toán nhằm đưa ra kết quả có khả năng so sánh với kết quả của

các nghiên cứu trước. Nhìn chung, luận văn sử dụng 2 loại dầm FG với đặc trưng vật

liệu khác nhau: Loại 1: vật liệu thay đổi từ Nhôm (Al) đến Nhôm oxit (Al2O3). Loại

2: vật liệu thay đổi từ Nhôm (Al) đến đá Zirconia (ZrO2).

Hình 3.3. Thuộc tính vật liệu của dầm FG loại 1

Hình 3.4. Thuộc tính vật liệu của dầm FG loại 2

33

3.2. Tải trọng tác dụng

Trong giới hạn của bài toán, dầm composite chịu tác dụng của tải phân bố đều q0 trên

toàn chiều dài dầm. Cụ thể như sau:

Hình 3.5. Tải trọng tác dụng lên dầm LC loại 1

Hình 3.6. Tải trọng tác dụng lên dầm LC loại 2

Hình 3.7. Tải trọng tác dụng lên dầm FG loại 1 & 2

34

3.3. Điều kiện biên động học

Trong giới hạn của bài toán, dầm composite được nghiên cứu ở ba dạng điều kiện

biên: tựa đơn (S-S), console (C-F), và hai đầu ngàm (C-C). Cụ thể như sau:

Hình 3.8. Dầm tựa đơn (S-S)

Hình 3.9. Dầm console, đầu ngàm – dầu tự do (C-F)

Hình 3.10. Dầm hai đầu ngàm (C-C)

35

3.4. Các bài toán số

Luận văn đưa ra 6 bài toán số nhằm đưa ra được số liệu so sánh với các nghiên

cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy của kết quả số, cũng như sự đúng đắn của

phương pháp đã áp dụng cho mô hình các bài toán. Mỗi bài toán sẽ đưa ra nhiều ví

dụ số khác nhau. Các bài toán số bao gồm:

Bài toán 1: Phân tích ứng xử dầm LC với các hàm biến dạng cắt bậc cao

f(z) khác nhau.

� Ví dụ 1.1: So sánh các giá trị chuyển vị, ứng suất dọc trục và ứng suất cắt của

dầm LC loại phân lớp đối xứng với các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác

nhau.


dầm LC loại phân lớp bất đối xứng với các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác

nhau.

� Ví dụ 1.3: Khảo sát sự phân bố ứng suất dọc trục không thứ nguyên xx� của

dầm phân lớp đối xứng và bất đối xứng tựa đơn với các hàm biến dạng cắt hợp

nhất f(z).

� Ví dụ 1.4: Khảo sát sự phân bố ứng suất cắt không thứ nguyên xz� của dầm

phân lớp đối xứng và bất đối xứng tựa đơn với các hàm biến dạng cắt hợp nhất

f(z).

Bài toán 2: Phân tích ứng xử tĩnh dầm LC.

� Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ của chuyển vị không thứ nguyên w của dầm LC

đối xứng.


bất đối xứng.

� Ví dụ 2.3: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết

diện (L/h) lên chuyển vị không thứ nguyên w của dầm LC đối xứng [00/900/00]

dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với các điều kiện biên khác nhau và

so sánh với các nghiên cứu trước đó.

36


diện (L/h) lên chuyển vị không thứ nguyên w của dầm LC bất đối xứng

[00/900] dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với các điều kiện biên khác

nhau và so sánh với các nghiên cứu trước đó.

� Ví dụ 2.5: Khảo sát sự phân bố của chuyển vị không thứ nguyên w của dầm

LC đối xứng dọc theo chiều dài của dầm với các điều kiện biên khác nhau.

� Ví dụ 2.6: Phân tích sự ảnh hưởng của tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện

với chuyển vị w của dầm LC đối xứng.


diện (L/h) lên ứng suất dọc trục không thứ nguyên xx� của dầm LC đối xứng

và bất đối xứng với các điều kiện biên khác nhau và so sánh với các nghiên

cứu trước đó.


diện (L/h) lên ứng suất cắt không thứ nguyên xz� của dầm LC đối xứng và

bất đối xứng với các điều kiện biên khác nhau và so sánh với các nghiên cứu

trước đó.

Bài toán 3: Phân tích dao động dầm LC.

� Ví dụ 3.1: Khảo sát sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

của dầm LC đối xứng với các điều kiện biên khác nhau.


của dầm LC bất đối xứng với các điều kiện biên khác nhau.


diện (L/h) lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm LC đối

xứng [00/900/00] dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với các điều kiện biên

khác nhau và so sánh với các nghiên cứu trước đó.


diện (L/h) lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm LC bất

đối xứng [00/900] dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với các điều kiện

biên khác nhau và so sánh với các nghiên cứu trước đó.

37

Bài toán 4: Phân tích ứng xử dầm FG với các hàm biến dạng cắt bậc cao

f(z) khác nhau.

� Ví dụ 4.1: So sánh giá trị tần số dao động không thứ nguyên và chuyển vị

không thứ nguyên w của dầm FG với các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác

nhau.

Bài toán 5: Phân tích ứng xử tĩnh dầm FG.

� Ví dụ 5.1: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của sự phân phối vật liệu đến chuyển vị

không thứ nguyên w của dầm FG dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với

các điều kiện biên khác nhau và so sánh với các nghiên cứu trước đó.

� Ví dụ 5.2: Khảo sát sự phân bố ứng suất dọc trục xx� và ứng suất cắt xz� của

dầm FG dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều theo chiều dày dầm.

Bài toán 6: Phân tích dao động dầm FG.


của dầm FG với các điều kiện biên khác nhau và so sánh với các nghiên


� Ví dụ 6.2: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của sự phân phối vật liệu p đến tần số dao

động tự nhiên không thứ nguyên của dầm FG với các điều kiện biên khác


� Ví dụ 6.3: Khảo sát sự phân bố của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

của dầm FG với các điều kiện biên khác nhau.

Kết quả phân tích bài toán số được trình bày cụ thể trong Chương 4.

38

CHƯƠNG 4

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN

4.1. Bài toán 1: Phân tích ứng xử dầm LC với các hàm biến dạng cắt bậc cao

f(z) khác nhau

Bài toán nghiên cứu về ứng xử tĩnh của dầm composite tựa đơn, nhiều lớp sợi

với hướng sợi đối xứng [0o/90o/0o] và hướng sợi bất đối xứng[0o/90o], hệ số chiều dài

nhịp / chiều cao tiết diện L/h = 5. Trong đó vật liệu có thông số như sau:6

1 241.5 10E -

1 2/ 25E E

12 13 20.5G G E

23 20.2EG

12 0.25�


dầm LC loại phân lớp đối xứng với các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác

nhau.

Kết quả được thể hiện trong Bảng 4.1.

Từ bảng 4.1 cho thấy rằng các giá trị chuyển vị và ứng suất của dầm composite

tựa đơn lớp sợi đối xứng khi sử dụng hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) dạng đa thức

(hàm gốc bậc 3) và hàm hợp nhất (bậc 3, 5, 7) có giá trị như nhau. Điều này có thể

được giải thích thông qua các giá trị d5 và d7 của hàm hợp nhất bằng 0 (bảng 2.2, 2.3

và 2.4). Đối với kết quả khi sử dụng hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) dạng lượng giác

và dạng hyberbol, khi bậc của hàm hợp nhất tăng dần, kết quả dần hội tụ về kết quả

của hàm gốc.

39


dầm composite tựa đơn, lớp sợi [0o/90o/0o], tỉ lệ L/h = 5 với các hàm biến dạng cắt

bậc cao f(z) khác nhau.

Tác giả Giá trị Hàm gốc Hàm hợp nhất3 5 7

Hàm đa thức w 2.4126 2.4126 2.4126 2.4126Reddy [28] (0.0000) (0.0000) (0.0000)

xx� 1.0724 1.0724 1.0724 1.0724(0.0000) (0.0000) (0.0000)

zx� 0.4040 0.4040 0.4040 0.4040(0.0000) (0.0000) (0.0000)

Hàm lượng giác w 2.4420 2.4126 2.4420 2.4420Levy [39] (0.0294) (0.0000) (0.0000)

xx� 1.0970 1.0724 1.0939 1.0969(0.0246) (0.0031) (0.0001)

zx� 0.4218 0.4040 0.4217 0.4217(0.0178) (0.0001) (0.0001)

Hàm hyberbol w 2.4097 2.4127 2.4098 2.4098Soldatos [35] (0.0030) (0.0001) (0.0001)

xx� 1.0702 1.0724 1.0704 1.0703(0.0022) (0.0002) (0.0001)

zx� 0.4023 0.4040 0.4024 0.4024(0.0017) (0.0001) (0.0001)

40


dầm LC loại phân lớp bất đối xứng với các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác

nhau.


Tương tự ví dụ 1.1, kết quả từ bảng 4.2 cũng cho thấy rằng các giá trị chuyển vị

và ứng suất của dầm composite tựa đơn lớp sợi bất đối xứngkhi sử dụng hàm biến

dạng cắt bậc cao f(z) dạng đa thức (hàm gốc bậc 3) và hàm hợp nhất (bậc 3, 5, 7) có

giá trị như nhau. Đối với kết quả khi sử dụng hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) dạng

lượng giác và dạng hyberbol, khi bậc của hàm hợp nhất tăng dần, kết quả dần hội tụ

về kết quả của hàm gốc.


dầm composite tựa đơn, lớp sợi [0o/90o], tỉ lệ L/h = 5 với các hàm biến dạng cắt bậc

cao f(z) khác nhau.


Reddy [28] w 4.7771 4.7771 4.7771 4.7771(0.0000) (0.0000) (0.0000)

xx� 0.2363 0.2363 0.2363 0.2363(0.0000) (0.0000) (0.0000)

zx� 0.9133 0.9133 0.9133 0.9133(0.0000) (0.0000) (0.0000)

Levy [39] w 4.7412 4.7771 4.7425 4.7412(0.0359) (0.0013) (0.0000)

xx� 0.2359 0.2363 0.2358 0.2359(0.0004) (0.0001) (0.0000)

zx� 0.9261 0.9133 0.9264 0.9261(0.0128) (0.0003) (0.0000)

Soldatos [35] w 4.7801 4.7770 4.7800 4.7800(0.0031) (0.0001) (0.0001)

xx� 0.2363 0.2363 0.2363 0.2363(0.0000) (0.0000) (0.0000)

zx� 0.9120 0.9133 0.9120 0.9120(0.0013) (0.0000) (0.0000)

41

� Ví dụ 1.3: Khảo sát sự phân bố ứng suất dọc trục không thứ nguyên xx� của

dầm phân lớp đối xứng và bất đối xứng tựa đơn với các hàm biến dạng cắt hợp

nhất f(z).

Hình 4.1 thể hiện giá trị của ứng suất dọc trục theo chiều dày dầm composite tựa

đơn, lớp sợi đối xứng và bất đối xứng tại vị trí x = L/2 khi chịu tải trọng phân bố đều

q0, tỉ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h = 5. Kết quả này phù hợp với ứng xử

của dầm tựa đơn khi chịu tải trọng phân bố đều, mặt trên chịu kéo trong khi mặt dưới

chịu nén, ứng suất xx� là dương ở mặt trên và là âm ở mặt dưới. Bên cạnh đó, đối với

dầm có lớp sợi đối xứng, ứng suất dọc trục tại vị trí L/2 đối xứng tâm (hình 4.1 (a)),

ngược lại đối với dầm có lớp sợi bất đối xứng, ứng suất bất đối xứng (hình 4.1 (b)).

Hơn nữa, kết quả cũng cho thấy, kết quả của 3 nghiên cứu dựa trên 3 hàm hợp nhất

biến dạng cắt bậc cao khác nhau được đưa ra trong bảng 2.5 cho kết quả ứng suất dọc

trục gần như giống nhau, đặc biệt là đối với dầm bất đối xứng kết quả 3 nghiên cứu

NC1 (Hợp nhất hàm đa thức), NC2 (Hợp nhất hàm lượng giác), NC3 (Hợp nhất hàm

hyberbol) là trùng khớp nhau (hình 4.1(b)).

42

(a) Dầm phân lớp đối xứng

(b) Dầm phân lớp bất đối xứng

Hình 4.1. Sự phân bố của ứng suất xx� theo chiều dày dầm composite tựa, lớp sợi

đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] (b), tỉ lệ L/h = 5 với các hàm

hàm biến dạng cắt bậc cao hợp nhất f(z).

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�xx

z/h

NC1-[f1]NC2-[f2]NC3-[f3]

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�x

z/h

NC1-[f1]NC2-[f2]NC3-[f3]

43

� Ví dụ 1.4: Khảo sát sự phân bố ứng suất cắt không thứ nguyên zx� của dầm

phân lớp đối xứng và bất đối xứng tựa đơn với các hàm biến dạng cắt hợp nhất

f(z).

Hình 4.2 thể hiện giá trị của ứng suất cắt theo chiều dày dầm composite tựa đơn,

lớp sợi đối xứng và bất đối xứng tại vị trí x = 0 khi chịu tải trọng phân bố đều q0, tỉ

số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h = 5. Kết quả này phù hợp với ứng xử của

dầm tựa đơn khi chịu tải trọng phân bố đều, ứng suất cắt zx� bằng 0 tại mặt trên và

mặt dưới dầm. Bên cạnh đó, đối với dầm có lớp sợi đối xứng, ứng suất cắt đối xứng

qua trục x (hình 4.1 (a)), ngược lại đối với dầm có lớp sợi bất đối xứng, ứng suất bất

đối xứng (hình 4.1 (b)). Tương tự như đối với ví dụ 1.3, ứng suất cắt cũng gần như

giống nhau đối với 3 nghiên cứu của 3 hàm hợp nhất biến dạng cắt khác nhau. Ngoài

ra, đường giá trị cũng thể hiện rõ ứng suất cắt của dầm khi sử dụng hàm hợp nhất

biến dạng cắt bậc cao f(z) của NC1 (Hợp nhất hàm đa thức) và NC3 (Hợp nhất hàm

hyberbol) là trùng khớp nhau, khi sử dụng hàm f(z) của NC2 (Hợp nhất hàm lượng

giác) cho giá trị khác các nghiên cứu còn lại.

44



Hình 4.2. Sự phân bố của ứng suất cắt zx� theo chiều dày dầm composite tựa đơn,

lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] (b), tỉ lệ L/h = 5 với

các hàm xấp xỉ khác nhau.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�xz

z/h

NC1-[f1]NC2-[f2]NC3-[f3]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�xz

z/h

NC1-[f1]NC2-[f2]NC3-[f3]

45

4.2. Bài toán 2: Phân tích ứng xử tĩnh dầm LC

Dầm composite nhiều lớp với lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] và lớp sợi bất đối xứng

[0o/90o]. Trong đó vật liệu có thông số như sau: 6

1 241.5 10E -

1 2/ 25E E

12 13 20.5G G E

23 20.2EG

12 0.25�

Kết quả của bài toán là số liệu về chuyển vị, ứng suất dọc trục, và ứng suất cắt

của dầm. Điều kiện biên động học được xét đến là dầm tựa đơn (S-S), dầm console

(C-F), và dầm 2 đầu ngàm (C-C).

Kết quả nghiên cứu được trình bày cụ thể trong các bảng biểu dưới đây. Kết quả

này được so sánh với các kết quả của các tác giả khác đã được công bố trên các báo

Khoa học Quốc tế nhằm chứng minh độ tin cậy.


đối xứng.

Kết quả ví dụ 2.1 cho thấy giá trị chuyển vị không thứ nguyên w của dầm LC

đối xứng khi sử dụng các hàm f(z) hợp nhất trong Nghiên cứu 1, 2, và 3 đều hội tụ.

Đối với điều kiện biên S-S, kết quả hội tụ tương đối nhanh (N = 8 . 10), đối với điều

kiện biên C-C kết quả hội tụ trung bình (N = 10 . 14), và hội tụ chậm nhất đối với

dầm C-F (N =14 . >20). Kết quả được thể hiện trong bảng 4.3, bảng 4.4 và bảng 4.5.

46

Bảng 4.3: Bảng hội tụ của chuyển vị không thứ nguyên của dầm composite loại

1 [00/900/00] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện dưới tác dụng của tải

phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC1)

ĐK biên N L/h

5 10 20 50

S-S 2 2.462 1.112 0.765 0.667

4 2.405 1.093 0.758 0.664

6 2.414 1.097 0.759 0.664

8 2.412 1.096 0.759 0.664

10 2.412 1.096 0.759 0.664

C-F 2 5.918 3.127 2.398 2.191

4 6.602 3.353 2.487 2.240

6 6.721 3.400 2.502 2.245

8 6.777 3.425 2.511 2.247

10 6.796 3.435 2.515 2.248

12 6.807 3.442 2.518 2.249

14 6.813 3.446 2.519 2.249

16 6.816 3.449 2.520 2.249

18 6.818 3.450 2.520 2.249

20 6.820 3.451 2.520 2.249

C-C 2 1.435 0.483 0.218 0.142

4 1.514 0.517 0.229 0.145

6 1.529 0.525 0.232 0.146

8 1.533 0.528 0.234 0.146

10 1.535 0.529 0.234 0.146

12 1.535 0.530 0.234 0.146

14 1.535 0.530 0.234 0.146

47




ĐK biên N L/h

5 10 20 50

S-S 2 2.489 1.121 0.767 0.668

4 2.434 1.102 0.761 0.665

6 2.442 1.105 0.762 0.665

8 2.440 1.105 0.762 0.665

10 2.440 1.105 0.762 0.665

C-F 2 5.964 3.146 2.403 2.193

4 6.641 3.373 2.493 2.241

6 6.752 3.419 2.509 2.246

8 6.804 3.444 2.517 2.249

10 6.821 3.454 2.521 2.250

12 6.831 3.461 2.524 2.250

14 6.835 3.464 2.525 2.250

16 6.839 3.466 2.526 2.250

18 6.841 3.468 2.527 2.250

20 6.842 3.469 2.538 2.250

C-C 2 1.435 0.489 0.220 0.142

4 1.508 0.522 0.231 0.145

6 1.521 0.529 0.234 0.146

8 1.525 0.532 0.236 0.147

10 1.527 0.534 0.237 0.147

12 1.528 0.534 0.237 0.147

14 1.528 0.534 0.237 0.147

48




ĐK biên N L/h

5 10 20 50

S-S 2 2.459 1.111 0.765 0.667

4 2.402 1.093 0.758 0.664

6 2.411 1.096 0.759 0.664

8 2.409 1.095 0.759 0.664

10 2.409 1.095 0.759 0.664

C-F 2 5.964 3.146 2.403 2.193

4 6.641 3.373 2.493 2.242

6 6.752 3.419 2.509 2.247

8 6.803 3.444 2.517 2.249

10 6.821 3.454 2.521 2.250

12 6.831 3.461 2.526 2.250

14 6.835 3.464 2.527 2.251

16 6.839 3.466 2.527 2.251

18 6.841 3.468 2.528 2.251

20 6.842 3.469 2.528 2.251

C-C 2 1.435 0.483 0.218 0.142

4 1.515 0.516 0.229 0.145

6 1.530 0.525 0.232 0.146

8 1.534 0.528 0.234 0.146

10 1.536 0.530 0.235 0.146

12 1.357 0.530 0.235 0.146

14 1.357 0.530 0.235 0.146

49


bất đối xứng.

Kết quả ví dụ 2.2 cho thấy giá trị chuyển vị không thứ nguyên w của dầm LC

bất đối xứng khi sử dụng các hàm f(z) hợp nhất trong Nghiên cứu 1, 2, và 3 đều hội

tụ. Đối với điều kiện biên S-S, kết quả hội tụ tương đối nhanh: từ 8 – 10 vòng lặp,

đối với điều kiện biên C-C kết quả hội tụ trung bình (N=10 . 16), và hội tụ chậm nhất

đối với dầm C-F (N=16 . >20). Kết quả được thể hiện trong bảng 4.6, bảng 4.7 và

bảng 4.8.


2 [00/900] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện dưới tác dụng của tải phân

bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC1).

ĐK biên N L/h5 10 20 50

S-S 2 4.833 3.713 3.429 3.3494 4.769 3.685 3.412 3.3356 4.779 3.689 3.413 3.3368 4.776 3.688 3.413 3.33610 4.777 3.688 3.413 3.336

C-F 2 14.202 11.857 11.260 11.0924 14.992 12.223 11.510 11.3096 15.134 12.276 11.535 11.3258 15.206 12.304 11.546 11.33110 15.233 12.317 11.551 11.33312 15.251 12.325 11.554 11.33414 15.259 12.330 11.556 11.33516 15.265 12.333 11.557 11.33518 15.269 12.336 11.558 11.33520 15.271 12.337 11.559 11.335

C-C 2 1.787 0.948 0.728 0.6664 1.886 0.986 0.745 0.6766 1.908 0.996 0.748 0.6778 1.915 1.000 0.750 0.67810 1.918 1.002 0.751 0.67812 1.919 1.003 0.751 0.67814 1.920 1.004 0.751 0.67816 1.920 1.004 0.751 0.678

50




ĐK biên N L/h

5 10 20 50

S-S 2 4.801 3.705 3.427 3.349

4 4.738 3.678 3.410 3.335

6 4.748 3.681 3.412 3.336

8 4.746 3.681 3.412 3.336

10 4.746 3.681 3.412 3.336

C-F 2 14.132 11.842 11.256 11.091

4 14.903 12.203 11.505 11.308

6 15.037 12.256 11.530 11.324

8 15.107 12.283 11.541 11.330

10 15.129 12.295 11.546 11.332

12 15.145 12.303 11.549 11.333

14 15.152 12.307 11.551 11.334

16 15.157 12.310 11.552 11.335

18 15.160 12.312 11.553 11.335

20 15.162 12.313 11.554 11.335

C-C 2 1.757 0.942 0.727 0.666

4 1.849 0.979 0.743 0.676

6 1.869 0.989 0.747 0.677

8 1.875 0.992 0.748 0.678

10 1.878 0.994 0.749 0.678

12 1.879 0.995 0.750 0.678

14 1.880 0.996 0.750 0.678

16 1.880 0.996 0.750 0.678

51




ĐK biên N L/h

5 10 20 50

S-S 2 4.836 3.713 3.429 3.349

4 4.772 3.686 3.412 3.335

6 4.782 3.690 3.414 3.337

8 4.779 3.689 3.414 3.336

10 4.780 3.689 3.414 3.336

C-F 2 15.209 11.859 11.260 11.092

4 15.002 12.225 11.511 11.309

6 15.144 12.279 11.535 11.325

8 15.217 12.307 11.547 11.331

10 15.245 12.319 11.552 11.333

12 15.263 12.328 11.555 11.334

14 15.271 12.333 11.556 11.335

16 15.277 12.336 11.558 11.336

18 15.281 12.338 11.559 11.336

20 15.283 12.340 11.560 11.336

C-C 2 1.791 0.949 0.729 0.666

4 1.890 0.987 0.745 0.676

6 1.912 0.997 0.749 0.677

8 1.919 1.002 0.750 0.678

10 1.922 1.003 0.751 0.678

12 1.924 1.004 0.752 0.679

14 1.925 1.005 0.752 0.679

16 1.925 1.005 0.752 0.679

52


diện (L/h) lên chuyển vị không thứ nguyên w của dầm LC đối xứng [00/900/00]

dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với các điều kiện biên khác nhau và

so sánh với các nghiên cứu trước đó.


Kết quả bảng 4.9 thể hiện giá trị chuyển vị đứng (độ võng) không thứ nguyên w

của dầm composite lớp sợi đối xứng dưới tác dụng của tải phân bố đề q0 với ba điều

kiện biên khác nhau: S-S, C-F và C-C. Kết quả này được so sánh với nghiên cứu

trước đó dựa trên các lý thuyết CBT, FOBT và HOBT của các tác giả khác như Aguiar

và cộng sự [21], Khdeir và cộng sự [22], Murthy và cộng sự [23], Zenkour [24],

Chakraborty và cộng sự [25], và Vo và cộng sự [4] và đã cho thấy sự phù hợp của kết

quả. Bên cạnh đó, thấy rằng chuyển vị của dầm khi sử dụng hàm f(z) trong Nghiên

cứu 2 có kết quả gần sát với kết quả nghiên cứu SSBT của tác giả Vo [4], điều này

có thể giải thích vì Nghiên cứu 2 của luận văn sử dụng hàm hợp nhất dựa trên khai

triển hàm f(z) dạng lượng giác nên kết quả gần sát với phương pháp sử dụng hàm f(z)

lượng giác của tác giả Vo [4].

53

Bảng 4.9: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên chuyển vị đứng không thứ nguyên w của dầm composite loại 1 [00/900/00] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau.

Lý thuyết Tham khảo L/h5 10 20 50

a. Dầm tựa đơn (S-S)CBT Khdeir and Reddy [22] 0.646 0.646 0.646 0.646

Vo et al. [4] 0.648 0.648 0.648 0.648FOBT Aguiar et al. [21] 2.146 1.021 0.740 0.661

Khdeir and Reddy [22] 2.146 1.021 - 0.661Chakraborty et al. [25] 2.145 1.020 - 0.660Vo et al. [4] 2.148 1.023 0.742 0.663

HOBT Aguiar et al. [21] 2.426 1.105 0.762 0.665Khdeir and Reddy [22] 2.412 1.096 - 0.665Murthy et al. [23] 2.398 1.090 - 0.661Zenkour [24] 2.414 1.098 - 0.666Vo et al. [4] 2.414 1.098 0.761 0.666Nghiên cứu 1 2.412 1.096 0.759 0.664Nghiên cứu 2 2.440 1.105 0.762 0.665Nghiên cứu 3 2.409 1.095 0.759 0.664

SSBT Vo et al. [4] 2.444 1.108 0.764 0.667b. Dầm console (C-F)

CBT Khdeir and Reddy [22] 2.198 2.198 2.198 2.198Vo et al. [4] 2.203 2.203 2.203 2.203

FOBT Khdeir and Reddy [22] 6.698 3.323 - 2.243Chakraborty et al. [25] 6.693 3.321 - 2.242Vo et al. [4] 6.703 3.328 2.485 2.248

HOBT Khdeir and Reddy [22] 6.824 3.455 - 2.251Murthy et al. [23] 6.836 3.466 - 2.262Vo et al. [4] 6.830 3.461 2.530 2.257Nghiên cứu 1 6.820 3.451 2.520 2.249Nghiên cứu 2 6.842 3.469 2.538 2.250Nghiên cứu 3 6.842 3.469 2.528 2.251

SSBT Vo et al. [4] 6.842 3.478 2.536 2.258c. Dầm 2 đầu ngàm (C-C)

CBT Khdeir and Reddy [22] 0.129 0.129 - 0.129FOBT Khdeir and Reddy [22] 1.629 0.504 - 0.144

Chakraborty et al. [25] 1.629 0.504 - 0.144HOBT Khdeir and Reddy [22] 1.537 0.532 - 0.147

Nghiên cứu 1 1.535 0.530 0.234 0.146Nghiên cứu 2 1.528 0.534 0.237 0.147Nghiên cứu 3 1.357 0.530 0.235 0.146

54


diện (L/h) lên chuyển vị không thứ nguyên w của dầm LC bất đối xứng

[00/900] dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với các điều kiện biên khác



Kết quả bảng 4.10 thể hiện giá trị chuyển vị đứng (độ võng) không thứ nguyên

w của dầm composite lớp sợi bất đối xứng dưới tác dụng của tải phân bố đề q0 với

ba điều kiện biên khác nhau: S-S, C-F và C-C. Tương tự như nghiên cứu trong ví dụ

2.3, kết quả này được so sánh với nghiên cứu trước đó dựa trên các lý thuyết CBT,

FOBT và HOBT của các tác giả khác như Aguiar và cộng sự [21], Khdeir và cộng sự

[22], Murthy và cộng sự [23], Zenkour [24], Chakraborty và cộng sự [25], và Vo và

cộng sự [4] và đã cho thấy sự phù hợp của kết quả. Bên cạnh đó, giống như ví dụ 2.3

dầm đối xứng, chuyển vị của dầm khi sử dụng hàm f(z) trong Nghiên cứu 2 có kết

quả gần sát với kết quả nghiên cứu SSBT của tác giả Vo [4].

55

Bảng 4.10: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên chuyển vị đứng không thứ nguyên của dầm composite loại 2 [00/900] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau.


a. Dầm tựa đơn (S-S)CBT Khdeir and Reddy [22] 3.322 3.322 3.322 3.322

Vo et al. [4] 3.329 3.329 3.329 3.329FOBT Khdeir and Reddy [22] 5.036 3.750 - 3.339

Chakraborty et al. [25] 5.048 3.751 - 3.353Vo et al. [4] 5.043 3.757 3.436 3.346

HOBT Khdeir and Reddy [22] 4.777 3.688 - 3.336Murthy et al. [23] 4.750 3.668 - 3.318Zenkour [24] 4.788 3.697 - 3.344Vo et al. [4] 4.785 3.696 3.421 3.344Nghiên cứu 1 4.777 3.688 3.413 3.336Nghiên cứu 2 4.746 3.681 3.412 3.336Nghiên cứu 3 4.780 3.689 3.414 3.336

SSBT Vo et al. [4] 4.749 3.687 3.419 3.343b. Dầm console (C-F)

CBT Khdeir and Reddy [22] 11.293 11.293 11.293 11.293Vo et al. [4] 11.319 11.319 11.319 11.319

FOBT Khdeir and Reddy [22] 16.436 12.579 - 11.345Chakraborty et al. [25] 16.496 12.579 - 11.345Vo et al. [4] 16.461 12.604 11.640 11.370

HOBT Khdeir and Reddy [22] 15.279 12.343 - 11.337Murthy et al. [23] 15.334 12.343 - 11.337Vo et al. [4] 15.305 12.369 11.588 11.363Nghiên cứu 1 15.271 12.337 11.559 11.335Nghiên cứu 2 15.162 12.313 11.554 11.335Nghiên cứu 3 15.283 12.340 11.560 11.336

SSBT Vo et al. [4] 15.173 12.340 11.582 11.362c. Dầm 2 đầu ngàm (C-C)

CBT Khdeir and Reddy [22] 0.664 0.664 - 0.664FOBT Khdeir and Reddy [22] 2.379 1.093 - 0.681

Chakraborty et al. [25] 2.381 1.094 - 0.686HOBT Khdeir and Reddy [22] 1.922 1.005 - 0.679


56

� Ví dụ 2.5: Khảo sát sự phân bố của chuyển vị không thứ nguyên w của dầm

LC đối xứng dọc theo chiều dài của dầm với các điều kiện biên khác nhau.

Hình 4.3 thể hiện sự phân bố chuyển vị không thứ nguyên w dọc theo chiều dài

dầm composite, tỉ lệ L/h = 5 với ba điều kiện biên khác nhau: S-S, C-F, và C-C. Có

thể dễ dàng nhận thấy sự hợp lý của kết quả khảo sát: đối với dầm cùng tiết diện,

chiều dài và tải trọng tác dụng, chuyển vị lớn nhất của dầm S-S và C-C tại vị trí giữa

nhịp, trong khi đó, chuyển vị lớn nhất của dầm C-F là tại vị trí x=L. Hình dáng dầm

sau khi chịu tải trọng cũng được thể hiện hợp lý thông qua chuyển vị đứng của dầm.

Hình 4.3. Sự phân bố chuyển vị không thứ nguyên w dọc theo chiều dài dầm composite lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o], tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h=5với các điều kiện biên khác nhau.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

x/L

w

S-SC-FC-C

57

� Ví dụ 2.6: Phân tích sự ảnh hưởng của tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện

với chuyển vị w của dầm LC đối xứng.

Hình 4.4 thể hiện sự ảnh hưởng của tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h

đối với chuyển vị w dọc theo chiều dài dầm composite tựa đơn. Kết quả khảo sát cho

thấy sự hợp lý: đối với dầm composite có cùng chiều cao dầm, khi chiều dài L tăng

thì chuyển vị càng tăng.

Hình 4.4. Sự phân bố chuyển vị w dọc theo chiều dài dầm composite tựa đơn với lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o], tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h thay đổi từ 5 đến 10.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-6

x

w

L/h=10L/h=9L/h=7L/h=5

58


diện (L/h) lên ứng suất dọc trục không thứ nguyên xx� của dầm LC đối xứng

và bất đối xứng với các điều kiện biên khác nhau và so sánh với các nghiên


Kết quả được thể hiện trong Bảng 4.11, hình 4.5.

Kết quả bảng 4.11 thể hiện giá trị ứng suất dọc trục không thứ nguyên xx� của

dầm composite tựa đơn lớp sợi đối xứng và bất đối xứng dưới tác dụng của tải phân

bố đề q0. Kết quả này được so sánh với nghiên cứu trước đó dựa trên các lý thuyết

CBT, FOBT và HOBT của các tác giả khác như Zenkour [24], và Vo và cộng sự [4]

và đã cho thấy sự phù hợp của kết quả nghiên cứu. Bên cạnh đó, giống như ví dụ 2.1,

ứng suất của dầm khi sử dụng hàm f(z) trong Nghiên cứu 2 có kết quả gần sát với kết

quả nghiên cứu SSBT của tác giả Vo [4]. Mặt khác, khi tỉ lệ L/h càng tăng, giá trị ứng

suất của các Nghiên cứu 1,2, và 3 càng hội tụ.

Hình 4.5 thể hiện sự ảnh hưởng của tỉ lệ L/h đến sự phân bố ứng suất xx� của

dầm composite tựa đơn S-S đối xứng và bất đối xứng. Hình 4.5(a) cho thấy đối với

dầm L/h=5 lớp sợi đối xứng, ứng suất dọc trục phân bố dạng phi tuyến trên 2 lớp có

góc � =0, ngược lại với tỉ lệ L/h=10,20, và 50, ứng suất phân bố gần như tuyến tính.

Điều này chứng tỏ với dầm dày, hiệu ứng cắt được thể hiện rõ ràng hơn đối với dầm

dày. Hơn thế nữa, hình 4.5(a) hình 4.5(b) và cũng cho thấy, ứng suất dọc trục gần

như bằng không tại lớp sợi có � =90. Như vậy, sự góc sợi ảnh hưởng lớn đến ứng xử

của dầm composite.

59

Bảng 4.11: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên ứng suất dọc

trục không thứ nguyên xx� của dầm composite tựa đơn S-S loại 1 [00/900/00] và loại

2 [00/900] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0.

Dầm Lý thuyết Tham khảo L/h

5 10 20 50

[00/900/00] CBT Zenkour [24] 0.7776 0.7776 - -

Vo et al. [4] 0.7780 0.7780 0.7780 -

FOBT Zenkour [24] 0.7776 0.7776 - -

Vo et al. [4] 0.7780 0.7780 0.7780 -

HOBT Zenkour [24] 1.0669 0.8500 - -

Vo et al. [4] 1.0670 0.8503 0.7961 -

Nghiên cứu 1 1.0663 0.8491 0.7952 0.7803

Nghiên cứu 2 1.0830 0.8546 0.7963 0.7805

Nghiên cứu 3 1.0638 0.8485 0.7950 0.7803

SSBT Vo et al. [4] 1.0920 0.8566 0.7976 -

[00/900] CBT Zenkour [24] 0.2336 0.2336 - -

Vo et al. [4] 0.2335 0.2335 0.2335 -

FOBT Zenkour [24] 0.2336 0.2336 - -

Vo et al. [4] 0.2335 0.2335 0.2335 -

HOBT Zenkour [24] 0.2362 0.2343 - -

Vo et al. [4] 0.2361 0.2342 0.2337 -

Nghiên cứu 1 0.2360 0.2341 0.2339 0.2337

Nghiên cứu 2 0.2357 0.2342 0.2338 0.2337

Nghiên cứu 3 0.2363 0.2344 0.2339 0.2337

SSBT Vo et al. [4] 0.2357 0.2341 0.2337 -

60



Hình 4.5. Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên sự phân bố ứng suất xx� của dầm composite tựa đơn S-S, lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi

bất đối xứng [0o/90o] (b).

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�xx

z/h

L/h=5L/h=10L/h=20L/h=50

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�x

z/h

L/h=5L/h=10L/h=20L/h=50

61


diện (L/h) lên ứng suất cắt không thứ nguyên xz� của dầm LC đối xứng và

bất đối xứng với các điều kiện biên khác nhau và so sánh với các nghiên cứu

trước đó.

Kết quả được thể hiện trong Bảng 4.12, hình 4.6.

Kết quả bảng 4.12 thể hiện giá trị ứng suất cắt không thứ nguyên xz� của dầm

composite tựa đơn lớp sợi đối xứng và bất đối xứng dưới tác dụng của tải phân bố đề

q0. Kết quả này được so sánh với nghiên cứu trước đó dựa trên các lý thuyết CBT,

FOBT và HOBT của các tác giả khác như Zenkour [24], và Vo và cộng sự [4] và đã

cho thấy sự phù hợp của kết quả nghiên cứu. Bên cạnh đó, giống như ví dụ 2.1, ứng

suất của dầm khi sử dụng hàm f(z) trong Nghiên cứu 2 có kết quả gần sát với kết quả

nghiên cứu SSBT của tác giả Vo [4].

Hình 4.6 thể hiện sự ảnh hưởng của tỉ lệ L/h đến sự phân bố ứng suất xz� của

dầm composite tựa đơn S-S đối xứng và bất đối xứng. Hình 4.6(a) cho thấy đối với

dầm lớp sợi đối xứng, ứng suất cắt phân bố đối xứng với mặt phẳng x=0, ngược lại

với dầm lớp sợi bất đối xứng hình 4.6(b), ứng xuất cắt phân bố bất đối xứng. Mặt

khác, tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp, ứng suất có bước nhảy vì đặc trưng vật liệu dẫn

đến đặc tính cơ học khác nhau giữa các lớp.

62

Bảng 4.12: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên ứng suất cắt

không thứ nguyên xz� của dầm composite tựa đơn S-S loại 1 [00/900/00] và loại 2

[00/900] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0.

Dầm Lý thuyết Tham khảo L/h

5 10 20 50

[00/900/00] CBT Zenkour [24] - - - -

Vo et al. [4] - - - -

FOBT Zenkour [24] 0.2994 0.2994 - -

Vo et al. [4] 0.2925 0.2925 0.2925 -

HOBT Zenkour [24] 0.4057 0.4311 - -

Vo et al. [4] 0.4057 0.4311 0.4438 -

Nghiên cứu 1 0.4052 0.4295 0.4400 0.4440

Nghiên cứu 2 0.4221 0.4504 0.4627 0.4677

Nghiên cứu 3 0.4035 0.4275 0.4377 0.4417

SSBT Vo et al. [4] 0.4233 0.4533 0.4683 -

[00/900] CBT Zenkour [24] - - - -

Vo et al. [4] - - - -

FOBT Zenkour [24] 0.8553 0.8553 - -

Vo et al. [4] 0.8357 0.8357 0.8357 -

HOBT Zenkour [24] 0.9211 0.9572 - -

Vo et al. [4] 0.9187 0.9484 0.9425 -

Nghiên cứu 1 0.9133 0.9404 0.9491 0.9518

Nghiên cứu 2 0.9268 0.9578 0.9679 0.9711

Nghiên cứu 3 0.9120 0.9387 0.9472 0.9498

SSBT Vo et al. [4] 0.9308 0.9653 0.9624 -

63




suất xz� của dầm composite tựa đơn S-S, lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] (b).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�xz

z/h

L/h=5L/h=10L/h=20L/h=50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�xz

z/h

L/h=5L/h=10L/h=20L/h=50

64

4.3. Bài toán 3: Phân tích dao động dầm LC

Dầm composite nhiều lớp với hướng sợi đối xứng [0o/90o/0o] và hướng sợi bất đối

xứng [0o/90o]. Trong đó vật liệu có thông số như sau: 6

1 241.5 10E -

1 2/ 40E E

12 13 20.6G G E

23 20.5EG

12 0.25�

Kết quả của bài toán là tần số dao động riêng của dầm composite. Điều kiện biên

động học được xét đến là dầm tựa đơn (S-S), dầm console (C-F), và dầm 2 đầu ngàm

C-C.



Khoa học Quốc tế.

65


của dầm LC đối xứng với các điều kiện biên khác nhau.

Kết quả khảo sát trong ví dụ 3.1 cho thấy giá trị tần số dao động tự nhiên không

thứ nguyên của dầm LC đối xứng với các điều kiện biên khác nhau đều đi dần hội

tụ. Đối với điều kiện biên S-S, kết quả hội tụ rất nhanh: từ 2 vòng lặp, đối với điều

kiện biên C-F và C-C sự hội tụ tương đối chậm: >14. Kết quả được thể hiện trong

bảng 4.13.

Bảng 4.13: Bảng hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 1 [00/900/00] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện với các điều kiện biên khác nhau

ĐK biên N L/h5 10 20 50

S-S 2 9.208 13.613 16.337 17.4624 9.208 13.613 16.337 17.4626 9.208 13.613 16.337 17.4628 9.208 13.613 16.337 17.46210 9.208 13.613 16.337 17.462

C-F 2 4.349 5.581 6.107 6.2844 4.269 5.528 6.083 6.2716 4.247 5.511 6.076 6.2698 4.239 5.504 6.073 6.26810 4.235 5.500 6.071 6.26712 4.234 5.498 6.070 6.26714 4.233 5.496 6.069 6.267

C-C 2 11.871 20.381 30.489 38.0824 11.667 19.924 29.983 37.8146 11.626 19.803 29.824 37.7428 11.614 19.758 29.753 37.70910 11.609 19.738 29.716 37.69012 11.606 19.728 29.695 37.67814 11.605 19.722 29.682 37.670

66


của dầm LC bất đối xứng với các điều kiện biên khác nhau.

Kết quả ví dụ 3.2 cho thấy giá trị tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

của dầm LC bất đối xứng với các điều kiện biên khác nhau đều hội tụ. Đối với điều

kiện biên S-S, kết quả hội tụ rất nhanh: từ 2 vòng lặp, đối với điều kiện biên C-F và

C-C sự hội tụ tương đối chậm: >14. Kết quả được thể hiện trong bảng 4.14.

Bảng 4.14: Bảng hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 2 [00/900] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện với các điều kiện biên khác nhau

ĐK biên N L/h5 10 20 50

S-S 2 6.128 6.945 7.218 7.3024 6.128 6.945 7.218 7.3026 6.128 6.945 7.218 7.3028 6.128 6.945 7.218 7.30210 6.128 6.945 7.218 7.302

C-F 2 2.405 2.554 2.597 2.6104 2.390 2.547 2.592 2.6066 2.386 2.545 2.591 2.6058 2.384 2.544 2.591 2.60510 2.384 2.544 2.951 2.60512 2.383 2.543 2.590 2.60514 2.383 2.543 2.590 2.605

C-C 2 10.262 13.918 15.813 16.5184 10.090 13.751 15.709 16.4496 10.049 13.703 15.682 16.4378 10.035 13.684 15.670 16.43310 10.030 13.675 15.664 16.43012 10.026 13.669 15.661 16.42914 10.024 13.666 15.658 16.428

67


diện (L/h) lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm LC đối

xứng [00/900/00] dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với các điều kiện biên

khác nhau và so sánh với các nghiên cứu trước đó.


Kết quả bảng 4.15 thể hiện giá trị tần số dao động không thứ nguyên của dầm

composite lớp sợi đối xứng với ba điều kiện biên khác nhau: S-S, C-F, và C-C. Kết

quả này được so sánh với nghiên cứu trước đó dựa trên các lý thuyết FOBT và HOBT

của các tác giả khác như Aydogdu [3], Murthy [23], Khdeir và cộng sự [26], Mantari

[27], và Vo và cộng sự [7] và đã cho thấy sự phù hợp của kết quả nghiên cứu. Mặt

khác, khi tỉ lệ L/h càng tăng, giá trị tần số dao động tự nhiên của các Nghiên cứu 1,2,

và 3 càng hội tụ.

68

Bảng 4.15: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 1 [00/900/00] với các điều kiện biên khác nhau


a. Dầm tựa đơn (S-S)FOBT Khdeir and Reddy [26] 9.205 13.670 - -HOBT Khdeir and Reddy [26] 9.208 13.614 - -

Aydogdu [3] 9.207 - 16.337 -Vo et al. [7] 9.206 13.607 16.327 17.449Hoang [56] 9.209 13.614 16.339 17.465Mantari [27] 9.2083 13.6097 - -


Quasi-3D Hoang [56] 8.789 13.533 16.351 17.492b. Dầm console (C-F)

HOBT Murthy et al. [23] 4.230 5.491 - -Khdeir and Reddy [26] 4.234 5.495 - -Aydogdu [3] 4.233 - 6.070 -Vo et al. [7] 4.230 5.490 6.062 -Mantari [27] 4.2211 5.4899 - -Nghiên cứu 1 4.233 5.496 6.069 6.267Nghiên cứu 2 4.232 5.499 6.070 6.267Nghiên cứu 3 4.233 5.497 6.070 6.267

c. Dầm 2 đầu ngàm (C-C)HOBT Murthy et al. [23] 11.602 19.719 - -

Khdeir and Reddy [26] 11.603 19.712 - -Aydogdu [3] 11.637 - 29.926 -Vo et al. [7] 11.601 19.708 29.643 -Mantari [27] 11.4862 19.6517 - -Nghiên cứu 1 11.605 19.722 29.682 37.670Nghiên cứu 2 11.728 19.789 29.701 37.671Nghiên cứu 3 11.591 19.715 29.681 37.671

69


diện (L/h) lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm LC bất

đối xứng [00/900] dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với các điều kiện

biên khác nhau và so sánh với các nghiên cứu trước đó.


Bảng 4.16 thể hiện giá trị tần số dao động không thứ nguyên của dầm

composite tựa đơn lớp sợi bất đối xứng với ba điều kiện biên khác nhau: S-S, C-F, và

C-C. Kết quả này được so sánh với nghiên cứu trước đó dựa trên các lý thuyết FOBT

và HOBT của các tác giả khác như Aydogdu [3], Murthy [23], Khdeir và cộng sự [26],

Mantari [27], và Vo và cộng sự [7] và đã cho thấy sự phù hợp của kết quả nghiên

cứu. Mặt khác, khi tỉ lệ L/h càng tăng, giá trị tần số dao động tự nhiên của các Nghiên

cứu 1,2, và 3 càng hội tụ.

70

Bảng 4.16: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 2 [00/900] với các điều kiện biên khác nhau.


a. Dầm tựa đơn (S-S)FOBT Khdeir and Reddy [26] 5.953 6.886 - -HOBT Khdeir and Reddy [26] 6.128 6.945 - -

Aydogdu [3] 6.144 - 7.218 -Vo et al.[7] 6.058 6.909 7.204 7.296Hoang [56] 6.129 6.946 7.220 7.304Mantari [27] 6.1088 6.9133 - -Nghiên cứu 1 6.128 6.945 7.218 7.302Nghiên cứu 2 6.149 6.952 7.220 7.303Nghiên cứu 3 6.126 6.944 7.218 7.302

Quasi-3D Hoang [56] 6.042 6.988 7.281 7.368b. Dầm console (C-F)

HOBT Murthi et al. [23] 2.378 2.541 - -Khdeir and Reddy [26] 2.386 2.544 - -Aydogdu [3] 2.384 - 2.590 -Vo et al. [7] 2.381 2.541 2.589 -Mantari [27] 2.3752 2.5319 - -Nghiên cứu 1 2.383 2.543 2.590 2.605Nghiên cứu 2 2.388 2.544 2.591 2.605Nghiên cứu 3 2.382 2.543 2.591 2.605

c. Dầm 2 đầu ngàm (C-C)HOBT Murthi et al. [23] 10.011 13.657 - -

Khdeir and Reddy [26] 10.026 13.660 - -Aydogdu [3] 10.103 - 15.688 -Vo et al. [7] 10.022 13.659 15.650 -Mantari [27] 9.9737 13.6282 - -Nghiên cứu 1 10.024 13.666 15.658 16.428Nghiên cứu 2 10.141 13.728 15.679 16.432Nghiên cứu 3 10.013 13.660 15.656 16.428

71

4.4. Bài toán 4: Phân tích ứng xử dầm FG với các hàm hàm biến dạng cắt bậc

cao f(z) khác nhau

Bài toán nghiên cứu về ứng xử của dầm FG tựa đơn, với p = 1 và tỉ lệ chiều

dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h = 5. Thuộc tính vật liệu FGM bao gồm lớp Nhôm ở

mặt dưới (Al: 3( : 70 , 0.3, 2702 / ) t Al t Al t AlAl E E GPa kg m� � � � ) và lớp

nhôm ôxit ở mặt trên 2 3 2 32 3( : 380 , 0.3, b Al O b Al OAl O E E GPa � � .

2 3

33960 / ) b Al O kg m� � .

� Ví dụ 4.1: So sánh giá trị tần số dao động không thứ nguyên và chuyển vị

không thứ nguyên w của dầm FG với các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác

nhau.

Kết quả được thể hiện trong Bảng 4.17, Bảng 4.18.

Từ bảng 4.17 cho thấy rằng các giá trị tần số dao động không thứ nguyên của

dầm FG tựa đơn khi sử dụng hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) dạng đa thức của Reddy

[28], dạng lượng giác của Nguyen [1], dạng hyperbol của Soldatos [35] và hàm hợp

nhất (bậc 3, 5, 7) có giá trị giống nhau. Đối với kết quả khi sử dụng hàm biến dạng

cắt bậc cao f(z) dạng lượng giác của Levy [39] và dạng hyberbol của Akvci [41], khi

bậc của hàm hợp nhất tăng dần, kết quả dần hội tụ về kết quả của hàm gốc.

Bảng 4.18 cũng cho thấy các giá trị chuyển vị không thứ nguyên w tại giữa nhịp

của dầm FG tựa đơn khi sử dụng hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) dạng đa thức (hàm

gốc bậc 3) và hàm hợp nhất (bậc 3, 5, 7) có giá trị như nhau. Đối với kết quả khi sử

dụng hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) dạng lượng giác và dạng hyberbol, khi bậc của

hàm hợp nhất tăng dần, kết quả dần hội tụ về kết quả của hàm gốc.

72

Bảng 4.17: Bảng so sánh giá trị tần số dao động không thứ nguyên của dầm FG

tựa đơn, tỉ lệ L/h = 5 với các hàm hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác nhau (N=2).


Hàm đa thứcReddy [28] 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904

(0.0000) (0.0000) (0.0000)Hàm lượng giácLevy [39] 3.9907 3.9904 3.9906 3.9907

(0.0003) (0.0002) (0.0000)Nguyen [1] 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904

(0.0000) (0.0000) (0.0000)Hàm hyberbolSoldatos [35] 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904

(0.0000) (0.0000) (0.0000)Akavci [41] 3.9936 3.9904 3.9906 3.9906

(0.0032) (0.0030) (0.0030)Hàm hợp nhấtNghiên cứu 1 3.9904

Nghiên cứu 2 3.9906



73

Bảng 4.18: Bảng so sánh các giá trị chuyển vị không thứ nguyên w vị trí giữa nhịp

của dầm FG tựa đơn, tỉ lệ L/h = 5 chịu tải trọng phân bố đều trên chiều dài nhịp q0

với các hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) khác nhau (N=2).


Hàm đa thứcReddy [28] w 0.4034 0.4034 0.4034 0.4034

(0.0000) (0.0000) (0.0000)Hàm lượng giácLevy [39] w 0.4030 0.4034 0.4030 0.4030

(0.0004) (0.0000) (0.0000)Nguyen [1] w 0.4030 0.4034 0.4030 0.4030

(0.0004) (0.0000) (0.0000)Hàm hyberbolSoldatos [35] w 0.4030 0.4034 0.4030 0.4030

(0.0004) (0.0000) (0.0000)Akavci [41] w 0.4030 0.4034 0.4030 0.4030

(0.0004) (0.0000) (0.0000)Hàm hợp nhấtNghiên cứu 1 w 0.4034

Nghiên cứu 2 w 0.4030



74

4.5. Bài toán 5: Phân tích ứng xử tĩnh dầm FG

Bài toán nghiên cứu về ứng xử tĩnh của dầm FG phân tích dầm theo 2 loại tỉ

lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h là 4 và 16 chịu tải trọng phân bố đều q0.

Thuộc tính vật liệu FGM bao gồm lớp Nhôm ở mặt dưới (Al:

( : 70 , 0.3) t Al t AlAl E E GPa � � ) và lớp đá Zironia ở mặt trên

2 22( : 200 , 0.3) b ZrO b ZrOZrO E E GPa � � .

Kết quả của bài toán là số liệu về chuyển vị, ứng suất dọc trục, và ứng suất cắt

của dầm. Điều kiện biên động học được xét đến là dầm tựa đơn (S-S), dầm console

(C-F), và dầm 2 đầu ngàm (C-C).

Kết quả nghiên cứu được trình bày cụ thể trong các bảng biểu và hình ảnh dưới

đây. Kết quả này được so sánh với các kết quả của các tác giả khác đã được công bố

trên các báo Khoa học Quốc tế nhằm chứng minh độ tin cậy.

75

� Ví dụ 5.1: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của sự phân phối vật liệu đến chuyển vị

không thứ nguyên w của dầm FG dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều với

các điều kiện biên khác nhau và so sánh với các nghiên cứu trước đó.

Kết quả được thể hiện trong Bảng 4.19, hình 4.7, hình 4.8.

Bảng 4.19 thể hiện giá trị chuyển vị lớn nhất không thứ nguyên w của dầm FG

với ba điều kiện biên: S-S, C-F và C-C. Kết quả này được so sánh với nghiên cứu

trước đó của các tác giả Vo và cộng sự [43] và đã cho thấy sự phù hợp của kết quả

nghiên cứu. Khi hệ số phân phối vật liệu p tăng lên thì chuyển vị lớn nhất tăng. Điều

này có thể được giải thích bởi khi p tăng, vật liệu caremic giảm ảnh hưởng trong khi

vật liệu metal tăng ảnh hưởng, dẫn đến chuyển vị tăng. Ngoài ra, kết quả cũng cho

thấy đối với dầm dày (tỉ lệ L/h nhỏ) , giá trị chuyển vị lớn nhất không thứ nguyên w

có sự khác biệt rõ ràng giữa các điều kiện biên khác nhau. Đối với dầm mỏng (tỉ lệ

L/h lớn), giá trị chuyển vị lớn nhất đó rút ngắn sự khác biệt đối với các điều kiện biên

khác nhau.

Hình 4.7 thể hiện sự phân bố chuyển vị không thứ nguyên w của dầm FG tựa

đơn S-S, tỉ lệ lần lượt là L/h=4 và 16, chịu tác trọng phân bố đều q0 với hệ số phân

phối vật liệu p khác nhau. Khi dầm là metal đồng nhất chuyển vị là lớn nhất, khi dầm

là ceramic đồng nhất (p=0) chuyển vị là nhỏ nhất, khi p tăng thì chuyển vị tăng.

Hình 4.8 thể hiện sự phân bố chuyển vị w của dầm FG, L/h=4, p=1, chịu tác

trọng phân bố đều q0 với ba điều kiện biên khác nhau: S-S, C-F và C-C. Dầm console

C-F có chuyển vị lớn nhất tại x=L, dầm C-C có chuyển vị nhỏ nhất trong ba loại dầm.

Hình dáng chuyển vị đứng (độ võng) phù hợp với ứng xử thực tế của các loại dầm.

76

Bảng 4.19: Bảng giá trị chuyển vị lớn nhất không thứ nguyên w của dầm FG với

nhiều giá trị của hệ số phân phối vật liệu p với các điều kiện biên khác nhau (N=14).

L/h Tham khảo Hệ số phân phối vật liệu p0 0.2 1 2 5 10

4 Dầm tựa đơn S - S

Vo [43] 0.40452 0.46805 0.64269 0.73884 0.83544 0.90566Nghiên cứu 1 0.40452 0.46832 0.64272 0.73887 0.83547 0.90561Nghiên cứu 3 0.40336 0.46704 0.64087 0.73642 0.83219 0.90212Nghiên cứu 4 0.40322 0.46689 0.64064 0.73615 0.83186 0.90163Dầm console C - F

Vo [43] 0.37212 0.43209 0.59471 0.67937 0.75773 0.81997Nghiên cứu 1 0.37165 0.43181 0.59402 0.67854 0.75670 0.81875Nghiên cứu 3 0.37119 0.43131 0.59328 0.67752 0.75525 0.81721Nghiên cứu 4 0.37112 0.43124 0.59317 0.67737 0.77367 0.81692Dầm 2 đầu ngàm C - C

Vo [43] 0.60773 0.69410 0.94365 1.11025 1.31813 1.43793Nghiên cứu 1 0.60652 0.69336 0.94197 1.10821 1.31579 1.43561Nghiên cứu 3 0.59324 0.67878 0.92171 1.08115 1.27794 1.39460Nghiên cứu 4 0.59177 0.67726 0.91948 1.07808 1.27352 1.38907

16 Dầm tựa đơn S - S

Vo [43] 0.35341 0.41129 0.56698 0.64507 0.71305 0.77071Nghiên cứu 1 0.35341 0.41154 0.56700 0.64510 0.71308 0.77064Nghiên cứu 3 0.35334 0.41165 0.56690 0.64497 0.71290 0.77045Nghiên cứu 4 0.35334 0.41146 0.56688 0.64495 0.71288 0.77042Dầm console C – F

Vo [43] 0.35141 0.40907 0.56402 0.64141 0.70827 0.76543Nghiên cứu 1 0.35134 0.40924 0.56393 0.64131 0.70813 0.76518Nghiên cứu 3 0.35134 0.40924 0.56393 0.64130 0.70812 0.76516Nghiên cứu 4 0.35134 0.40924 0.56393 0.64129 0.70811 0.76515Dầm 2 đầu ngàm C – C

Vo [43] 0.36676 0.42611 0.58667 0.66943 0.74488 0.80586Nghiên cứu 1 0.36650 0.42608 0.58639 0.66912 0.74443 0.80520Nghiên cứu 3 0.36612 0.42566 0.58579 0.66832 0.74335 0.80406Nghiên cứu 4 0.36608 0.42562 0.58572 0.66823 0.74325 0.80390

77

(a)

(b)Hình 4.7. Sự phân bố chuyển vị không thứ nguyên w dọc chiều dài dầm FG tựa đơn,L/h=4 (a) và L/h=16 (b) dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hệ số phân phối vật liệu p thay đổi (NC4).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x/L

wo

p=0p=0.5p=1p=2p=5Full metal

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x/L

wo

p=0p=0.5p=1p=2p=5Full metal

78

Hình 4.8. Sự phân bố chuyển vị w dọc chiều dài dầm FG, L/h=4, p=1 dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC4).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x/L

wo

S-SC-FC-C

79

� Ví dụ 5.2: Khảo sát sự phân bố ứng suất dọc trục xx� và ứng suất cắt xz� của

dầm FG dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều theo chiều dày dầm.

Kết quả được thể hiện trong hình 4.9, hình 4.10, hình 4.11, hình 4.12, hình 4.13,

và hình 4.14.

Hình 4.9 thể hiện sự phân bố ứng suất dọc trục xx� của dầm FG tựa đơn S-S, tỉ

lệ L/h=4, p =1 chịu tác trọng phân bố đều q0 với các hàm biến dạng cắt bậc cao hợp

nhất f(z) khác nhau. Kết quả phản ánh dầm căng ở mặt trên ( 0)/xx� và nén ở mặt

dưới ( 0)/xx� , ứng suất phân bố phi tuyến theo chiều dày dầm. Mặt khác, kết quả

khảo sát cho thấy ứng suất của dầm khi sử dụng các hàm biến dạng cắt hợp nhất f(z)

của Nghiên cứu 1,2, và 3 đều cho kết quả như nhau.

Hình 4.10 thể hiện sự phân bố ứng suất cắt xz� của dầm FG tựa đơn S-S, tỉ lệ

L/h=4, p =1 chịu tác trọng phân bố đều q0 với các hàm biến dạng cắt bậc cao hợp

nhất f(z) khác nhau. Ứng suất cắt bằng không tại biên trên và biên dưới dầm. Mặt

khác, kết quả khảo sát cho thấy ứng suất của dầm khi sử dụng các hàm biến dạng cắt

hợp nhất f(z) của Nghiên cứu 1,2, và 3 đều cho kết quả tương đối giống nhau.

Hình 4.11 khảo sát sự phân bố ứng suất dọc trục xx� tại vị trí giữa dầm với các

điều kiện biên khác nhau. Kết quả khảo sát cho thấy sự phù hợp của nghiên cứu với

ứng xử thực tế của dầm, dầm S-S và C-C căng ở mặt trên ( 0)/xx� và nén ở mặt

dưới ( 0)/xx� , trong khi đó dầm C-F thì ngược lại. Hình 4.12 khảo sát hiệu ứng của

tỉ lệ L/h đối với sự phân bố ứng suất dọc trục, có thể dễ dàng nhận thấy, khi tỉ lệ L/h

tăng (đồng nghĩa với việc dầm càng dài) thì ứng suất càng lớn.

Hình 4.13 và hình 4.14 khảo sát sự phân bố ứng suất dọc trục xx� và ứng suất

cắt xz� khi thay đổi hệ số phân phối vật liệu p. Với p=0 (dầm đồng nhất vật liệu

ceramic), ứng suất dọc trục phân bố tuyến tính theo chiều dày dầm, ứng suất cắt đối

xứng qua mặt phẳng z=0, khi p thay đổi, ứng xuất dọc trục phân bố phi tuyến và ứng

suất cắt không còn đối xứng.

80

Hình 4.9. Sự phân bố ứng suất xx� vị trí x=0 của dầm FG tựa đơn, tỉ lệ L/h=4 (p=1) dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hàm biến dạng cắt bậc cao f (z) khác nhau.

Hình 4.10. Sự phân bố ứng suất xz� vị trí giữa nhịp của dầm FG tựa đơn, tỉ lệ L/h=4(p=1) dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hàm biến dạng cắt bậc cao f (z)khác nhau.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�x

z/h

fz[NC1]fz[NC3]fz[NC4]

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�xz

z/h

fz[NC1]fz[NC3]fz[NC4]

81

Hình 4.11. Sự phân bố ứng suất xx� vị trí giữa nhịp của dầm FG, tỉ lệ L/h = 4 dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC4).

Hình 4.12. Sự phân bố ứng suất xx� vị trí giữa nhịp của dầm FG tựa đơn, dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện thay đổi (NC4).

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�x

z/h

S-SC-FC-C

-20 -10 0 10 20 30 40-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�x

z/h

L/h=4L/h=16L/h=32

82

Hình 4.13. Sự phân bố ứng suất xx� vị trí giữa nhịp của dầm FG tựa đơn (L/h=4), dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hệ số phân phối vật liệu p thay đổi (NC4).

Hình 4.14. Sự phân bố ứng suất xz� vị trí tại gối của dầm FG tựa đơn(L/h=4), dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hệ số phân phối vật liệu p thay đổi (NC4).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�x

z/h

p=0p=0.5p=1p=2p=5

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�xz

z/h

p=0p=0.5p=1p=2p=5

83

4.6. Bài toán 6: Phân tích dao động dầm FG

Bài toán nghiên cứu về ứng dao động tự do của dầm FG. Phân tích dầm theo

2 loại tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h là 5 và 20. Thuộc tính vật liệu FGM

bao gồm:

- Nhôm ở mặt dưới:

3( : 70 , 0.3, 2702 / ) t Al t Al t AlAl E E GPa kg m� � � � )

- Lớp Nhôm ôxit ở mặt trên:

2 3 2 3 2 3

32 3( : 380 , 0.3, 3960 / ) b Al O b Al O b Al OAl O E E GPa kg m� � � � .

Kết quả của bài toán là tần số dao động riêng của dầm FG. Điều kiện biên động

học được xét đến là dầm tựa đơn (S-S), dầm console (C-F), và dầm 2 đầu ngàm C-C.



Khoa học Quốc tế.

84


của dầm FG với các điều kiện biên khác nhau và so sánh với các nghiên


Kết quả được thể hiện trong Bảng 4.20, bảng 4.21, bảng 2.22, và hình 4.15.

Bảng 4.20 thể hiện sự hội tụ của giá trị tần số dao động không thứ nguyên của

dầm FG (L/h=5) với ba điều kiện biên khác nhau: S-S, C-F, và C-C. Kết quả này

được so sánh với nghiên cứu của tác giả Nguyen [1] sự phù hợp của nghiên cứu.

Ngoài ra, kết quả khảo sát cho thấy sự hội tụ của các nghiên cứu đối với dầm S-S

(N=2) nhanh hơn sự hội tụ của dầm C-F và C-C (N >14)

Tương tự như trên, ví dụ này cũng đã khảo sát sự hội tục của giá trị tần số dao

động không thứ nguyên của dầm FG (L/h=5) – bảng 4.21 và (L/h=20) – bảng 4.22.

Khảo sát với ba điều kiện biên S-S, C-F, và C-C, trong đó sử dụng hàm biến dạng cắt

hợp nhất của Nghiên cứu 1 (bậc 3) và 4 (bậc 7). Kết quả cho thấy hai hàm biến dạng

cắt của cả 2 nghiên cứu cho tốc độ hội tụ tương đương nhau, kết quả tần số dao động

tự nhiên không thứ nguyên cũng gần giống nhau.

Hình 4.15 thể hiện tốc độ hội tụ của tần số dao động tự do không thứ nguyên

của dầm FG L/h=5, p=1. Kết quả cho thấy tốc độ hội tụ của dầm tựa đơn S-S là nhanh

nhất (N=2) trong khi dầm console C-F và dầm 2 đầu ngàm có tốc độ hội tụ chậm hơn

(N>14).

85


FG, tỉ lệ L/h = 5, p = 1, với các điều kiện biên khác nhau.

ĐK

biên

Tham khảo Số lượng vòng lặp (N)

2 4 6 8 10 12 14

S - S

Nguyen [1] - - 3.9907 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904

Nghiên cứu 1 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904

Nghiên cứu 3 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904

Nghiên cứu 4 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904

C - F

Nguyen [1] - - 1.4645 1.4638 1.4635 1.4633 1.4633

Nghiên cứu 1 1.4697 1.4655 1.4645 1.4641 1.4638 1.4637 1.4636

Nghiên cứu 3 1.4697 1.4655 1.4645 1.4641 1.4638 1.4637 1.4636

Nghiên cứu 4 1.4697 1.4655 1.4645 1.4641 1.4638 1.4637 1.4636

C - C

Nguyen [1] - - 8.0309 8.0031 7.9704 7.9572 7.9493

Nghiên cứu 1 8.1029 8.0097 7.9811 7.9680 7.9610 7.9569 7.9543

Nghiên cứu 3 8.1028 8.0096 7.9808 7.9677 7.9607 7.9565 7.9539

Nghiên cứu 4 8.1033 8.0103 7.9817 7.9688 7.9618 7.9578 7.9552

86



(NC 1 & 4).



(NC 1 & 4).

N Nghiên cứu 1 Nghiên cứu 4S - S C - F C - C S - S C - F C - C

2 3.99042 1.46970 8.10292 3.99043 1.46970 8.10326

4 3.99042 1.46553 8.00977 3.99043 1.46553 8.01026

6 3.99042 1.46451 7.98110 3.99043 1.46451 7.98174

8 3.99042 1.46407 7.96804 3.99043 1.46407 7.96878

10 3.99042 1.46383 7.96103 3.99043 1.46384 7.96185

12 3.99042 1.46368 7.95690 3.99043 1.46369 7.95779

14 3.99042 1.46359 7.95431 3.99043 1.46359 7.95524

N Nghiên cứu 1 Nghiên cứu 4S - S C - F C - C S - S C - F C - C

2 4.20505 1.50436 9.48731 4.20505 1.50437 9.48732

4 4.20505 1.50170 9.44629 4.20505 1.50171 9.44630

6 4.20505 1.50130 9.43849 4.20505 1.50130 9.43850

8 4.20505 1.50118 9.43558 4.20505 1.50118 9.43558

10 4.20505 1.50113 9.43412 4.20505 1.50113 9.43412

12 4.20505 1.50110 9.43323 4.20505 1.50110 9.43323

14 4.20505 1.50109 9.43265 4.20505 1.50109 9.43265

87

(a)

(b)

(c)Hình 4.15. Sự hội tụ của tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm FG (p=1) theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện (L/h = 5) với các điều kiện biên S-S (a), C-F (b) và C-C (c) (NC4).

2 4 6 8 10 12 143.9904

3.9904

3.9904

3.9904

3.9904

3.9904

3.9904

N

Non

dim

ensi

onal

fund

amen

tal f

requ

ency

S-S

2 4 6 8 10 12 141.463

1.464

1.465

1.466

1.467

1.468

1.469

1.47

N

Non

dim

ensi

onal

fund

amen

tal f

requ

ency

C-F

2 4 6 8 10 12 147.95

8

8.05

8.1

8.15

8.2

N

Non

dim

ensi

onal

fund

amen

tal f

requ

ency

C-C

88

� Ví dụ 6.2: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của sự phân phối vật liệu đến tần số dao

động tự nhiên không thứ nguyên của dầm FG với các điều kiện biên khác


Kết quả được thể hiện trong Bảng 4.23, bảng 4.24.

Kết quả bảng 4.23 thể hiện giá trị tần số dao động không thứ nguyên của dầm

FG (L/h=5) với ba điều kiện biên khác nhau: S-S, C-F, và C-C. Kết quả này được so

sánh với nghiên cứu trước đó dựa trên các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của các tác

giả khác như Vo [43], Nguyen [1], và Simsek [44] và đã cho thấy sự phù hợp của kết

quả nghiên cứu.

Tương tự như trên, bảng 4.24 nghiên cứu giá trị tần số dao động không thứ

nguyên của dầm FG (L/h=20) với ba điều kiện biên, kết quả so sánh với kết quả

nghiên cứu trước cũng được đánh giá phù hợp.

89

Bảng 4.23: Bảng so sánh giá trị tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của

dầm FG (L/h = 5) với nhiều giá trị của hệ số phân phối vật liệu p với các điều kiện

biên khác nhau (N=14).

Tham khảo Hệ số phân phối vật liệu p

0 0.2 1 2 5 10

Dầm tựa đơn S - S

Vo [43] 5.15275 4.80590 3.97160 3.59791 3.37429 3.26534

Nguyen [1] 5.1528 4.4102 3.9904 3.6264 3.4009 3.2815

Simsek [44] 5.15274 4.80924 3.99042 3.62643 3.40120 3.28160

Nghiên cứu 1 5.15275 4.80730 3.99042 3.62646 3.40122 3.28151

Nghiên cứu 3 5.15275 4.80730 3.99042 3.62649 3.40139 3.28161

Nghiên cứu 4 5.15277 4.80732 3.99043 3.62640 3.40090 3.28136

Dầm console C - F

Vo [43] 1.89522 1.76591 1.46333 1.33260 1.25921 1.21837

Nguyen [1] 1.8957 1.6182 1.4636 1.3328 1.2594 1.2187

Simsek [44] 1.89523 1.76637 1.46328 1.33254 1.25916 1.21834

Nghiên cứu 1 1.89568 1.76603 1.46359 1.33282 1.25948 1.21866

Nghiên cứu 3 1.89568 1.76603 1.46358 1.33283 1.25951 1.21867

Nghiên cứu 4 1.89569 1.76604 1.46359 1.33282 1.25943 1.21864

Dầm 2 đầu ngàm C – C

Vo [43] 10.06780 9.46237 7.95221 7.18011 6.49614 6.16623

Nguyen [1] 10.0726 8.7463 7.9518 7.1776 6.4929 6.1658

Simsek [44] 10.07050 9.46641 7.95034 7.17674 6.49349 6.16515

Nghiên cứu 1 10.07614 9.46767 7.95431 7.18072 6.49752 6.16753

Nghiên cứu 3 10.07555 9.46715 7.95390 7.18057 6.49810 6.16754

Nghiên cứu 4 10.07750 9.46886 7.95524 7.18114 6.49647 6.16771

90

Bảng 4.24: Bảng so sánh giá trị tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm

FG (L/h = 20) với nhiều giá trị của hệ số phân phối vật liệu p với các điều kiện biên

khác nhau (N=14).

Tham khảo Hệ số phân phối vật liệu p

0 0.2 1 2 5 10

Dầm tựa đơn S - S

Vo [43] 5.46032 5.08139 4.20387 3.83428 3.64663 3.53787

Nguyen [1] 5.4603 4.6506 4.2051 3.8361 3.6485 3.5390

Simsek [44] 5.46030 5.08286 4.20503 3.83611 3.64850 3.53896

Nghiên cứu 1 5.46032 5.08067 4.20505 3.83613 3.64849 3.53900

Nghiên cứu 3 5.46032 5.08067 4.20505 3.83614 3.64850 3.53901

Nghiên cứu 4 5.46032 5.08067 4.20505 3.83613 3.64846 3.53898

Dầm console C – F

Vo [43] 1.94957 1.81412 1.50107 1.36961 1.30337 1.26453

Nguyen [1] 1.9496 1.6602 1.5011 1.3696 1.3034 1.2646

Simsek [44] 1.94954 1.81458 1.50106 1.36957 1.30332 1.26453

Nghiên cứu 1 1.94964 1.81388 1.50109 1.36961 1.30339 1.26457

Nghiên cứu 3 1.94964 1.81388 1.50109 1.36961 1.30339 1.26457

Nghiên cứu 4 1.94963 1.81388 1.50109 1.36961 1.30339 1.26457

Dầm 2 đầu ngàm C – C

Vo [43] 12.22280 11.38380 9.43282 8.59942 8.14595 7.88616

Nguyen [1] 12.2243 10.4269 9.4319 8.5977 8.1446 7.8860

Simsek [44] 12.22380 11.38730 9.43158 8.59751 8.14460 7.88576

Nghiên cứu 1 12.22539 11.38395 9.43265 8.59852 8.14577 7.88691

Nghiên cứu 3 12.22538 11.38394 9.43265 8.59855 8.14592 7.88698

Nghiên cứu 4 12.22254 11.38397 9.43267 8.59848 8.14550 7.88678

91

� Ví dụ 6.3: Khảo sát sự phân bố của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

của dầm FG với các điều kiện biên khác nhau.

Kết quả được thể hiện trong Hình 4.16 và Hình 4.17.

Hình 4.16 thể hiện giá trị tần số dao động không thứ nguyên của dầm FG, p=1

theo sự thay đổi của tỉ lệ L/h với ba điều kiện biên khác nhau: S-S, C-F, và C-C. Kết

quả cho thấy dầm C-C có tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên lớn nhất, ngược

lại dầm C-F có tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên nhỏ nhất. Đối với cả ba

loại dầm, tần số dao động tăng khi tỉ lệ L/h tăng, đối với tỉ lệ L/h=5.15 tần số dao

động tăng rõ rệt, đối với tỉ lệ L/h>15 tần số dao động tăng nhẹ và dần thành hằng số

với các tỉ lệ L/h lớn.

Hình 4.17 thể hiện giá trị tần số dao động không thứ nguyên của dầm FG,

(L/h=5) theo sự thay đổi của hệ số phân phối vật liệu p với ba điều kiện biên khác

nhau: S-S, C-F, và C-C. Tương tự như trên, dầm C-C có tần số dao động tự nhiên

không thứ nguyên lớn nhất và dầm C-F có tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

nhỏ nhất. Đối với cả ba loại dầm, tần số dao động giảm khi tỉ lệ p tăng, đối với tỉ lệ

p=0.5 tần số dao động giảm rõ rệt, đối với tỉ lệ p > 5 tần số dao động giảm nhẹ và

dần thành hằng số với các tỉ lệ p lớn. Điều này có thể được giải thích vì khi p tăng,

thuộc tính vật liệu của dầm FG sẽ tăng hàm lượng metal, giảm hàm lượng ceramic vì

vậy độ cứng của dầm giảm, dẫn đến chu kì dao động tăng, tần số dao động giảm.

92

Hình 4.16. Sự phân bố tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm FG (p=1) theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện (L/h) với các điều kiện biên khác nhau (NC4).

Hình 4.17. Sự phân bố tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm FG (L/h=5) theo hệ số phân phối vật liệu p với các điều kiện biên khác nhau (NC4).

5 10 15 20 25 30 35 401

2

3

4

5

6

7

8

9

10

L/h

Non

dim

ensi

onal

fund

amen

tal f

requ

ency

S-SC-FC-C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

p

Non

dim

ensi

onal

fund

amen

tal f

requ

ency

S-SC-FC-C

93

CHƯƠNG 5

KẾT LUẬN

5.1. Kết luận

Kết quả các bài toán trong luận văn đã được so sánh với kết quả của các nghiên

cứu trước đó và đã cho thấy sự phù hợp và đúng đắn của kết quả, đồng nghĩa với việc

có thể sử dụng kết quả bài toán để áp dụng cho các bài toán khác có liên quan hoặc

làm tài liệu tham khảo cho các nghiên cứu kế tiếp. Những kết quả đó đã được thể hiện

cụ thể trong chương 4, được tón tắt lại như sau:

Bảng 5.1: Nội dung các bài toán số.

Bài

toán

Dầm composite nhiều lớp

(LC beam)

Dầm phân lớp chức năng

(FG beam)

1,4 Nghiên cứu ứng xử dầm LC với

các hàm biến dạng cắt bậc cao

khác nhau

Nghiên cứu ứng xử dầm FG với các

hàm biến dạng cắt bậc cao khác

nhau

2,5 Nghiên cứu ứng xử tĩnh dầm LC:

- Chuyển vị

- Ứng suất dọc trục

- Ứng suất cắt

Nghiên cứu ứng xử tĩnh dầm FG:

- Chuyển vị

- Ứng suất dọc trục

- Ứng suất cắt

3,6 Nghiên cứu dao động tự do dầm

LC:

- Tần số dao động tự nhiên

Nghiên cứu dao động tự do dầm

FG:

- Tần số dao động tự nhiên

Các yếu tố dùng để phân tích bài toán: đặc trưng vật liệu, ảnh hưởng của tỉ số

chiều dài dầm / chiều cao tiết diện (L/h) , ảnh hưởng của hệ số phân phối vật liệt (p),

ảnh hưởng của điều kiện biên, ảnh hưởng của hàm biến dạng cắt bậc cao f(z).

94

Thông qua những kết quả đã đạt được, một số kết luận được rút ra thể hiện

tính mới của luận văn như sau:

- Thông qua việc phát triển các nghiên cứu từ các tác giả khác trước đây và

triển khai ý tưởng mới từ Thầy hướng dẫn: bốn hàm biến dạng cắt bậc cao

hợp nhất được tác giả đề xuất dùng cho bốn nghiên cứu đã mang lại kết quả

tương đồng với các hàm gốc dạng lượng giác, hàm hyberbol, hàm mũ. Tuy

nhiên, thời gian giải thuật ngắn hơn, có tính ưu việt hơn. Với dầm LC, có thể

sử dụng hàm đa thức bậc 7, trong khi đó dầm FG vì có tính liên tục về vật

liệu trong dầm nên hàm đa thức bậc 5 đã cho kết quả đồng nhất với hàm gốc

dạng lượng giác, hyberbol,…

- Bằng phương pháp áp dụng lời giải Ritz và việc xấp xỉ trường chuyển vị dưới

dạng lượng giác thỏa mãn điều kiện biên động học đối với nhiều loại dầm đã

đưa ra kết quả số tương đối chính xác, phù hợp với ứng xử thực tế của dầm

khi chịu tải trọng tĩnh và khi dao động tự do. Với các dầm được chọn trong

luận văn, đối với dầm S-S cho kết quả hội tụ rất nhanh (N < 6), đối với dầm

C-F và C-C kết quả hội tụ chậm hơn (N = 10�.20) tùy thuộc giá trị cần tìm.

5.2. Hướng phát triển

Luận văn đã nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao động tự do của dầm composite với

điều kiện biên khác nhau. Ngoài những kết quả đã đạt được, luận văn cũng không

tránh khỏi những hạn chế cần được nghiên cứu, phân tích và phát triển thêm:

- Phân tích ổn định dầm composite LC và FG với các điều kiện biên khác nhau;

- Phân tích dao động dầm composite với nhiều mode dao động khác nhau;

- Mở rộng nghiên cứu ứng xử dầm bằng lý thuyết Quasi-3D;

- Nghiên cứu bài toán với các dạng tải trọng khác nhau (tải trọng điều hòa, tải

tập trung, tải trọng động,…) hoặc dạng tải trọng bất kì q(x);

- Mở rộng nghiên cứu ứng xử dầm sandwich phân lớp chức năng;

- Mở rộng sang bài toán tấm composite LC và FG;

- Nghiên cứu và phát triển hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) hợp nhất ưu việt hơn,

cho kết quả phản ánh ứng xử vật liệu đúng thực tế hơn;

- Nghiên cứu và phát triển các hàm xấp xỉ trường chuyển vị khác ưu việt hơn,

kết quả hội tụ nhanh và chính xác hơn.

95

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG ANH

[1] Trung-Kien Nguyen, T. Truong-Phong Nguyen, Thuc P.Vo, Huu-Tai Thai.

Buckling and vibration analysis of functionally graded sandwich beams by a new

higher-order shear deformation theory, Composite Part B 76 (2015), 273-285.

[2] Reddy JN. Mechenics of laminated composite plates: theory and analysis,

CRC Press; 1997.

[3] Aydogdu M. Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general

boundary conditions by Ritz method, International Journal of Mechanical Sciences 47

(2005) 1740-1755.

[4] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Static behavior of composite beams using various

refined shear deformation theories, Composite Structure 94 (2012) 2513-2522.

[5] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Vibration and buckling of composite beams using

refined shear deformation theory. International journal of Mechanical Sciences 62

(2012) 67-76.

[6] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai, Nguyen T-K, Maheri A, Lee J. Finite element

model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a

refined shear deformation theory. Eng Struct 2014;64(0):12-22.

[7] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Free vibration of axially loaded rectangular

composite beams using refined shear deformation theory. Composite Structurse 94

(2012) 3379-3387.

[8] K. P. Soldatos, I. Elishakoff. A transverse shear and normal deformable

orthotropic beam theory. Journal of Sound and Vibration (1992) 154 (3), 528-533.

[9] K. Chandrashekhara, K. M. Bangera. Free vibration of composite beams

using a refined shear flexible beam element. Composite and Structures Vol. 43, No.

4, pp. 719-727, 1992.

96

[10] H. Matsunaga. Vibration and buckling of multilayered composite beams

according to higher order deformation theories. Journal of Sound and Vibration

(2001) 246 (1), 47-62.

[11] S. R. Marur, T. Kant. Free vibration analysis of fiber reinforced composite

beams using higher order theories and finite element modelling. Journal of Sound

and Vibration (1996) 194 (3), 337-351.

[12] G. Shi, K. Y. Lam. Finite element vibration analysis of composite beams

based on higher-order beam theory. Journal of Sound and Vibration (1999) 219 (4),

707-721.

[13] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply laminated beams with

arbitrary boundary conditions. Int J Mech Sci 1994:32(12):1971-80.

[14] P. Vidal, O. Polit. A family of sinus finite elements for the analysis of

rectangular laminated beams. Composite Structures 84 (2008) 56-72.

[15] Wanji Chen, Li Li, Ma Xu. A modified couple stress model for bending

analysis of composite laminated beams with first order shear deformation. Composite

Structures 93 (2011) 2723-2732.

[16] Wu Zhen, Chen Wanji. An assessment of several displacement-based

theories for the vibration and stability analysis of laminated composite and sandwich

beams. Composite Structures 84 (2008) 337-349.

[17] Assoc. Prof. Dr. Nguyen Trung Kien. Machanics of Composite Materials.

HCMC University of Technology and Education.

[18] 1001 Crash Copyright. Worries about new composite made airplane.

www.1001crash.com (10/2011).

[19] Nguyen Ngoc Duong. Free vibration analysis of laminated composite

beams based on higher – order shear deformation theory. Hội nghị Khoa học toàn

quốc Vật liệu và Kết cấu Composite Cơ học, Công nghệ và ứng dụng, Đại học Nha

Trang, TP. Nha Trang (07/2016).

[20] Yogesh Singh. Free Vibration Analysis of the Laminated Composite Beam

with Various Boudary Conditions. A Master Thesis of Technology in Machine

97

Design and Analysis: Department of Mechanical Engineering, National Institute of

Technology Rourkela (2012).

[21] Aguiar R, Moleiro F, Soares CM. Assessment of mixed and displacement-

based models for static analysis of composite beams of different cross-sections.

Compos Struct 2012;94(2):601–16.

[22] Khdeir AA, Reddy JN. An exact solution for the bending of thin and thick

cross-ply laminated beams. Compos Struct 1997;37(2):195–203.

[23] Murthy MVVS, Mahapatra DR, Badarinarayana K, Gopalakrishnan S. A

refined higher order finite element for asymmetric composite beams. Compos Struct

2005;67(1):27–35.

[24] Zenkour AM. Transverse shear and normal deformation theory for bending

analysis of laminated and sandwich elastic beams. Mech Compos Mater Struct

1999;6:267–83.

[25] Chakraborty A, Mahapatra DR, Gopalakrishnan S. Finite element analysis

of free vibration and wave propagation in asymmetric composite beams with

structural discontinuities. Compos Struct 2002;55(1):23–36.

[26] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply laminated beams with

arbitrary boundary conditions. Int J Mech Sci 1994:32(12):1971-80.

[27] Mantari JL, Canales FG. Free vibration and buckling of laminated beams

via hybrid Ritz solution for various penalized boundary conditions. Compos Struct

(2016): 306-315.

[28] Reddy JN. A simple higher-order theory for laminated composite plates. J

Appl Mech 1984;51:745–52.

[29] Murthy MVV. An improved transverse shear deformation theory for

laminated anisotropic plates. NASA Technical Paper; 1981.

[30] Levinson M. An accurate simple theory of statics and dynamics of elastic

plates. Mech Res Commun 1980;7:343–50.

[31] Panc V. Theories of elastic plates. Prague: Academia; 1975.

98

[32] Reissner E. On transverse bending of plates including the effects of

transverse shear deformation. Int J Solids Struct 1975;25:495–502

[33] Touratier M. An efficient standard plate theory. Int J Eng Sci

1991;29(8):901–16.

[34] Karama M, Afaq KS, Mistou S. Mechanical behaviour of laminated

composite beam by new multi-layered laminated composite structures model with

transverse shear stress continuity. Int J Solids Struct 2003;40:1525–46.

[35] Soldatos KP. A transverse shear deformation theory for homogeneous

monoclinic plates. Acta Mech 1992;94:195–200.

[36] Arya H, Shimpi RP, Naik NK. A zigzag model for laminated composite

beams. Composite Structures 2002;56(1):21-4.

[37] Kaczkowski Z. Plates-statistical calculations. Warsaw: Arkady 1968.

[38] Nguyen VH, Nguyen TK, Thai HT, Vo TP. A new inverse trigonometric

shear deformation theory for isotropic and functionally graded sandwich places.

Composites Part B: Engineering 2014;66:233-46.

[39] Levy M. Mémoire sur la thé orie des plaques élastiques planes. Journal de

mathématiques pures et appliquées 1877;:219-306.

[40] Stein M. Nonlinear theory for plates and shells including the effects of

transverse shearing. AIAA Journal 1986;24(9):1537-44.

[41] Akavci SS, Tanrikulu AH. Buckling and free vibration analyses of

laminated composite beams by using two new hyperbolic shear-deformation theories.

Machanics of Composite Materials 2008;44(2):145-54.

[42] Ambartsumian SA. On the theory of bending of anisotropic plates and

shallow shells. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 1960;24(2):500-14.

[43] Vo PT, Thai HT, Nguyen TK. Static and vibration analysis of functionally

graded beams using refined shear deformation theory. Meccanica (2014) 49: 155-

168.

[44] Simsek M (2010). Fundamental frequency analysis of functionally graded

beams by using different higher-order beam theories. Nucl Eng Des 240(4):697–705

99

[45] Thai H-T, Vo TP (2012). Bending and free vibration of functionally graded

beams using various higher-order shear deformation beam theories. Int J Mech Sci

62(1):57–66

[46] Aydogdu M, Taskin V. Free vibration analysis of functionally graded

beams with simply supported edges. Mater Des 2007;28(5):1651–6.

[47] Aydogdu M. Semi-inverse method for vibration and buckling of axially

functionally graded beams. J Reinf Plast Compos 2008;27(7):683–91.

[48] Alshorbagy AE, Eltaher M, Mahmoud F. Free vibration characteristics of

a functionally graded beam by finite element method. Appl Math Modell

2011;35(1):412–25.

[49] X-F Li. A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of

functionally graded Timoshenko and Euler–Bernoulli beams. J Sound Vib

2008;318(4-5):1210–29.

[50] X.-F. Li, B.-L. Wang, J.-C. Han. A higher-order theory for static and

dynamic analyses of functionally graded beams. Archive of Applied Mechanics 80

(2010) 1197–1212.

[51] Nguyen TK, Sab K, Bonnet G. First-order shear deformation plate models

for functionally graded materials. Compos Struct 2008;83(1):25–36.

[52] Nguyen TK, Vo PT, Thai HT. Static and free vibration of axially loaded

functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory.

Composites Part B: Engineering 55 (2013) 147 – 157.

[53] Tuan N. Nguyen, Chien H. Thai, H. Nguyen-Xuan. On the general

framework of high order shear deformation theories for laminated composite plate

structures: A novel unified approach. International Journal of Mechanical Sciences

(2016).

100

TIẾNG VIỆT

[54] GS. TSKH. Nguyễn Đình Đức. Vật liệu composite – Tiềm năng và ứng dụng.

Đại học Quốc gia Hà Nội.

[55] NAACO. Vật liệu composite FRP trong xây dựng. www.slideshare.net.

[56] ThS. Hoàng Thiện Tâm, PGS. TS. Nguyễn Trung Kiên. Phân tích ứng xử

dầm Composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Luận văn Thạc sĩ, Trường

Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh (2015).

[57] ThS. Nguyễn Thế Trường Phong, TS. Nguyễn Trọng Phước. Phân tích ứng

xử phi tuyến dầm phân lớp chức năng (FGMs) trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng

điều hòa di động. Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh

(2011).

Documents

NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO DẦM …fceam.hcmute.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/fceam/LuanVanThacSi/XDD… · TÓM TẮT Nghiên cứu ứng xử tĩnh