NOC_2_6

Univerzitet u Tuzli Mainski fakultet kolska 2014/2015

1

NAUKA O VRSTOI II

Energetske metode Elastina stabilnost IZVIJANJE - prvi dio

Dr. Salko osi

Tuzla, april 2015


2

Castigliano-vi teoremi primjena na STATIKI NEODREENE NOSAE Deformaciona energija statiki neodreene konstrukcije (U) se izrazi u funkciji sila, U=U(F1,F2Fn) ili deformacija (pomaci ili zakretanja). Parcijalni izvodi funkcije U po prekobrojnim silama daju deformacije u njihovim pravcima koje su poznate iz uslova oslanjanja. Parcijalni izvodi po pomacima daju sile u istim pravcima. Raunanje izvoda: Savijanje:

Aksijalno naprezanje (istezanje-pritisak):


3

Primjer 1: Pomou Kastiljanove teoreme odredi reakciju RA za statiki neodreen problem prikazan na slici.


4

Primjer 2: Za dati statiki neodreen reetkasti sistem odredi sile u tapovima.


5

Za vjebu: za primjer na slici odredi ugib ispod sile F pomou:

1. Jednaine elastine linije 2. Grafo-analitike metode 3. Deformacionog rada (zanemari uticaj poprenih sila) 4. Kastiljanove teoreme


6

Komplementarna deformacijska energija Deformacijski rad Komplementarni rad

Linearno elastino tijelo: Crotti-Engesser-ov teorem

Jedna sila ima prirast, ostale konstantne Elementarni rad sile koja je imala prirast: Crotti-Engesser-ov teorem: Ako se komplementarna energija deformacije U* prikae u formi funkcije generalisanih sila, tada je parcijalni izvod U* po svakoj od sila jednak projekciji pomaka napadne take date sile na pravac date sile. Ovo vrijedi i za nelinearno elastina deformabilna tijela.


7

Pojam funkcionala:

Posmatrajmo odreeni integral : pri emu je y(x) poznata funkcija.

U zavisnosti od podintegralne funkcije y(x), vrijednost prethodnog integrala se mijenja prema tabeli:

Veliinu I ija vrijednost zavisi od podintegralne funkcije (izraza) nazivamo funkcional ili funkcionela i ista je u nekom smislu generalizacija pojma funkcije.

U optijem sluaju, pod integralom se moe nai ne samo funkcija y(x) nego i njeni izvodi, prvog i/ili vieg reda.

Ukoliko se promijeni funkcija y(x) u izrazu F, promijenie se i vrijednost odreenog integrala tj. funkcional I. U tom smislu, moe se rei da je funkcional zapravo funkcija iji je argument funkcija, tj. funkcija funkcije. Kao primjer funkcionala navedimo duinu luka krive y=f(x) izmeu zadatih taaka.

Varijacija I=promjena funkcionala uslijed promjene funkcije

( , , ')b

a

I y F x y y dx

2

2

1

( ) ( )I y x y x dx

22 22 ( 11 )

C C

dyds dx dy dy dx y x dx ds y x dx

dxI y L ds y x dx


8

Funkcional potencijalne energije elastinog sistema, , princip stacionarnosti

PE=rad koji se utroi ili oslobodi prilikom prelaska sistema iz jedne konfiguracije u drugu Osnovna konfiguracija=neoptereeno tijelo, trenutna konfiguracija=optereeno tijelo u ravnotei Castigliano: Deformabilno tijelo e pod dejstvom sistema generalisanih sila prei iz inicijalne (ne deformisane) u ravnotenu (deformisanu) konfiguraciju, opisanu funkcijama pomaka u,v,w. Od svih moguih f-ja u,v,w, koje zadovoljavaju granine uslove, ravnotenom poloaju odgovaraju one za koje

potencijal ima stacionarnu vrijednost


9

Princip minimuma potencijalne energije kod statiki neodreenog sistema: Primjer:

Castigliannov teorem:

grad U = U=0

U statiki neodreenom elastinom sistemu nepoznate reakcije imaju takve vrijednosti koje osiguravaju da deformaciona energija kao funkcija istih ima minimalno moguu vrijednost. Nelinearna konstitutivna relacija: minimum komplementarne energije U*


10

Primjer: Odredi deformaciju u pravcu CD elastinog prstena konstantnog poprenog presjeka izloenog dejstvu sile F, prema slici. Za vjebu: AB


11

Princip virtualnih radova (ili pomjeranja) je ekvivalentan prethodnom principu i moe se formulisati na slijedei nain.

U poloaju stabilne ravnotee, na kraju deformacije, kada se uspostavi ravnotea vanjskih i unutranjih sila, ukupan rad svih sila (vanjskih i

unutranjih) koji se uini na bilo kakvom virtualnom pomjeranju koje doputaju veze, bie jednak nuli.

Ovaj princip znai tvrdi da, ako je deformabilno tijelo u ravnotei, radovi vanjskih i unutranjih sila na proizvoljnom (virtualnom) pomaku koji doputaju veze su meusobno jednaki. Princip nije zavisan od materijala tijela. Do matematike formulacije dolazimo polazei od osnovne jednaine ravnotee (PDJ) i Koijevog uslova, na slijedei nain. Mnoei oba izraza virtualnim pomakom u, sabirajui izraze i integriui iste po cijeloj domeni dobija se:

Nakon parcijalne integracije drugog lana i primjene Gauss-ove teoreme o pretvaranju zapreminskog u povrinski integral (teorema divergencije) te iskoritavanja injenice da je varijacija u jednaka nuli na dijelu povrine domene na kome su zadata pomjeranja, vrijedi:

Znai suma virtualnih radova (radova na virtualnom pomjeranju) unutranjih sila jednaka je sumi radova eksternih sila (volumetrijske i povrinske). Ovo je polazna osnova za pretvaranje jednaine ravnotee (PDJ) u sistem diskretnih jednaina sa nepoznatim vornim pomacima to ini osnovu metoda konanih elemenata.

0 /

0 /

div b u

n P u

0

AV V A

u b dV u div dV u n P dA

int0

AV V

b P EXT

A

dV u b dV u PdA W W W W


12

Pojam stabilnosti Elastina stabilnost

Izvijanje tapova (stubova):

Vertikalni pomak napadne take sile:

izduenje opruge: Lo=L

Rad sile W = energija opruge U:


13

izvijanje - primjeri


14

Prvi sluaj oslanjanja, DJEL:

Documents

NOC_2_6