Notas de Aula

Notas de Aula

LEP1702 - Mtodos Ssmicos

Prof. Srgio Adriano Moura Oliveira

Jos Fernando Caparica Junior

26 de fevereiro de 2013

Sumrio

1. Notao indicial 7

1.1. Regra da Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I. Teoria da Elasticidade Linear 9

2. Deformao 13

2.1. O tensor de deformaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Deformaes dos vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2. Deformaes das arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3. Deformaes angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.4. Os elementos do tensor de deformao . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Mudana fracional de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Generalizao quanto forma do slido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Tenso 27

3.1. Componentes da tenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Condio de equilbrio de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Direes Principais de tenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Lei de Hooke 35

4.1. Meio isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Mdulo de Young e Razo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Notao compacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1. Meio isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2. Meio transversalmente isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

II. Ondas ssmicas 43

5. Equao de movimento 45

5.1. Meio no homogneo e anisotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2. Meio homogneo e anisotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3. Meio homogneo e isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4. Meio no homogneo e isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

Sumrio

6. Potenciais de Helmholtz 51

7. Equao escalar da onda 53

7.1. Deduo da equao escalar da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2. Consideraes acerca de velocidades e potenciais de Helmholtz . . . . . . . 54

7.3. Sobre a deduo da equao escalar da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.4. Soluo para onda plana transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.5. Soluo para onda plana harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.6. Relao entre ondas transientes e harmnicas . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.7. Soluo para onda plana no homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8. Ondas planas elsticas 65

8.1. Potencial escalar: onda compressional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2. Potencial vetorial: onda cisalhante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.3. Nota sobre anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9. Ondas Esfricas 69

10.Fonte pontual 75

10.1. Funo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.2. Fonte com pulso arbitrrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10.3. Caso elstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.4. Generalizao do termo de fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.Espalhamento de onda plana em uma interface plana 81

11.1. Caso acstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11.2. Caso elstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.2.1. Onda SH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11.2.2. Ondas P-SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

ndice Remissivo 105

4

Prefcio

Essa disciplina de ps graduao busca fornecer a base terica da fsica por trs da

ssmica. De uma forma geral, o curso est organizado nas seguintes partes:

Teoria da elasticidade linear

Ondas ssmicas

Espalhamento em interface plana

Atenuao e disperso de onda

Princpios de imageamento ssmico

Esse programa pode ser modicado ao longo do curso, mas serve como viso geral do

contedo proposto.

5

1. Notao indicial

Ao trabalharmos com tensores, comum o uso da chamada notao indicial, que visa

facilitar o trabalho de escrita e economizar espao. Veremos a seguir algumas denies

e exemplos da notao a ser utilizada.

A representao de um vetor qualquer feita por uma seta acima da letra que repre-

senta o vetor:

~u = vetor u

Um vetor descrito pelas coordenadas no espao em que ele est denido. Tridimen-

sionalmente isso equivale a dizer:

~u = (ux, uy, uz) = uxi+ uy j + uzk

As dimenses podem ser representadas em termos de ndices, de forma que:

u1 = uxu2 = uyu3 = uz

= ui, i = 1, 2, 3Ou seja

~u = ui

Podemos estender a ideia de ndices para matrizes. Consideremos uma matriz 3x3:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= aij , { i = 1, 2, 3j = 1, 2, 3Repare que o nmero de ndices dene o nmero de elementos da matriz, de acordo

com o nmero de dimenses em que se est trabalhando:

ui = 3 elementos

aij = 9 elementos

bijk = 27 elementos

cijkl = 81 elementos

7

1. Notao indicial

Assim, temos que o nmero elementos denido pelo nmero de ndices n da seguinteforma:

numero de elementos = 3n

para o caso de trs dimenses. Note que essa uma generalizao que engloba tambm

os vetores unidimensionais, e os escalares, que a situao em que n = 0, e portanto onmero de elementos igual a 1.

1.1. Regra da Soma

A regra da soma uma conveno de representao. Consideremos dois vetores quaisquer

~u e ~v. O produto interno dos dois vetores :

~u.~v = uxvx + uyvy + uzvz = u1v1 + u2v2 + u3v3 = uivi =

3i=1

uivi

Consideremos agora o produto de um vetor com uma matriz:

~y = A~x yi =3i=1

aijxj = aikxk

Regra da soma: termos com ndices repetidos implica em soma

8

Parte I.

Teoria da Elasticidade Linear

9

Consideremos uma barra slida xa, conforme mostra a gura 1.1.

Figura 1.1.: Esquematizao de uma barra slida sofrendo ao de uma fora distensiva

Ao aplicar uma fora barra, ocorrer uma deformao na mesma. A relao entre

deformao e intensidade da fora aplicada est ilustrada na gura 1.2. Inicialmente a

relao linear, o que signica que, ao remover a fora atuante, a deformao deixa de

existir e o corpo retorna sua forma original. A partir de um certo limite, o corpo passa

a sofrer uma deformao permanente, ou seja, aps remover a fora atuante no corpo, ele

no retornar sua forma original. H ainda um outro limite, mais adiante, que indica a

resistncia do corpo, o valor mximo de intensidade de fora que ele capaz de suportar

antes que se rompa.

Figura 1.2.: Relao entre fora e deformao

O estudo desta disciplina se limita primeira poro do grco, em que a relao entre

deformao e fora linear. Podemos nos ater apenas essa parte do grco por estarmos

lidando com fontes de energia relativamente pequenas. Uma aquisio ssmica no ir

11

deformar as camadas subjacentes, pois a fonte ssmica no fornece energia suciente para

tal. O mesmo no se pode dizer dos sismos, mas essa questo foge ao escopo da disciplina.

12

2. Deformao

1

Para compreender o que ocorre em uma deformao, consideremos um corpo bidimensio-

nal, conforme exposto na gura 2.1. Podemos ento denir dois pontos dentro do corpo,

denidos pelos vetores ~x0 e ~x1, separados por uma distncia dx. Podemos supor quequalquer mudana na posio dos dois pontos implicaria necessariamente na deformao

do corpo. No entanto essa armao falsa. O corpo pode sofrer rotao e translao

2

,

o que signica que houve mudana nas coordenadas dos pontos, mas no houve uma al-

terao na distncia dx entre eles. Por outro lado, se observarmos qualquer mudana na Note que dx =| ~x1 ~x0|distncia entre dois pontos internos, ento podemos dizer que obrigatoriamente ocorreuuma deformao, como mostra a gura 2.2.

Figura 2.1.: Esquematizao de corpo bidimensional rgido

Assim podemos denir o conceito de deformao:

Deformao: alterao no s da posio de um ponto, como tambm da distncia relativa

entre dois pontos internos

A gura 2.2 mostra esquematizao da deformao proposta por uma funo vetorial ~u,que mapeia o deslocamento de todos os pontos internos ao corpo. Essa funo tambm

1

Em ingls: Strain

2

Translao e rotao so classicadas por alguns autores como deformaes de corpo rgido, mas isso

uma babaquice sem tamanho e por isso no consideraremos esses eventos como deformaes.

13

2. Deformao

chamada de vetor de deslocamento.

Figura 2.2.: Esquematizao de corpo bidimensional rgido aps deformao descrita pela

funo vetorial ~u

Note que ~u na verdade uma matriz, pois ~u = (ux, uy, uz), onde:

ux = (x, y, z)

uy = (x, y, z)

uz = (x, y, z)

Podemos escrever

~x,0 como funo de ~x0:

~x,0 = ~x0 + ~u( ~x0) (2.1)

A equao 2.1 conhecida como Sistema Lagrangiano.

Vamos buscar ento uma forma algbrica de se quanticar uma deformao. A gura

2.3 mostra dois pontos, representados pelos vetores xi e yi, separados por uma distnciadl, que o mdulo do vetor dxi = yi xi. Ao aplicar o vetor deslocamento ~u (funovetorial, ou seja, uma matriz) aos pontos xi e yi, obtm-se os novos pontos x

i e y

i,

separados por uma distncia dl.

14

Figura 2.3.: Representao esquemtica dos vetores envolvidos em uma deformao, mos-

trando a posio relativa entre dois pontos: xi e yi

Algebricamente, a distncia dl o mdulo do vetor dxi, logo:

dl =dx21 + dx

22 + dx

23 (2.2)

que pela regra da soma, pode ser reescrito da seguinte forma:

dl2 = dxidxi (2.3)

Do ponto de vista vetorial, possvel notar pela gura 2.3 que

yi = xi + dxi ~u(yi) = ~u(xi + dxi) (2.4)e dl = ~dx+ ~u(xi + dxi) ~u(xi) (2.5)lembrando que

~dx = dxiNote, na equao 2.5, que ~u(xi + dxi) = ~u(yi), conforme mostra a equao 2.4.Podemos ento denir um vetor

~du, tal que:

~u(xi + dxi) ~u(xi) = ~du (2.6)Fazendo uma expanso em srie de Taylor, chega-se em:

~du =

(uxx

dx+uxy

dy +uxz

dz,

uyx

dx+uyy

dy +uyz

dz,

uzx

dx+uzy

dy +uzz

dz

)(2.7)

Que pode ser escrita de forma compacta:

~du = (dux, duy, duz) = (du1, du2, du3) (2.8)

15

2. Deformao

ou ainda:

dui =uixj

dxj (2.9)

Aplicando 2.6 em 2.5, temos:dl = ~dx+ ~du dl2 = (dxi + dui)2 (2.10)substituindo 2.9 em 2.10:

dl2 =(dxi +

uixj

dxj

)2(2.11)

Aplicando o quadrado:

dl2 = dx2i + 2dxidxjuixj

+uixj

uixk

dxjdxk (2.12)

Pela regra da soma, podemos escrever:

2dxidxjuixj

= dxidxj

(uixj

+ujxi

)(2.13)

Considerando que as deformaes so innitesimais, temos que:

uixj

uixk

0 (2.14)

Aplicando 2.13 e 2.14 em 2.12:

dl2 = dx2i + dxidxj(uixj

+ujxi

)(2.15)

Atravs de 2.3, temos que:

dl2 = dl2 + 2eijdxidxj (2.16)

onde

eij =1

2

(uixj

+ujxi

)(2.17)

O termo eij chamado de tensor de deformao, e conforme vimos na notao indicial, uma matriz com 9 elementos

Podemos agora escrever:

dl =dl2 + 2eijdxidxj (2.18)

Se considerarmos uma distncia inicial unitria, ou seja, dl = 1, podemos fazer aseguinte aproximao:

16

2.1. O tensor de deformaes

dl =

1 + 2eijdxidxj 1 + eijdxidxj

dl 1 = eijdxidxj

l = eijdxidxj

De onde se dene :

(dxi) = eijdxidxj (2.19)

O termo um escalar, e indica a variao na distncia entre dois pontos na direodenida pelo vetor dxi.

Matricialmente, escrito da seguinte forma:

(dxi) =[dx1 dx2 dx3

] e11 e12 e13e21 e22 e23e31 e32 e33

dx1dx2dx3

(2.20)

Veremos na prxima aula que, embora o tensor eij tenha 9 elementos, apenas 6 delesso independentes, pois a matriz simtrica.


Conforme j mencionado, o tensor de deformaes a entidade fsica que caracteriza

matematicamente a deformao de um slido elstico. Passemos ento a estudar esse

tensor, a m de entender melhor a fsica por trs dele e o signicado de cada um de seus

elementos.

Consideremos a deformao de um slido bidimensional, denido pelos vrtices PQRS,conforme mostra a gura 2.4. Aps a deformao, cada um dos vrtices passa a ocupar

uma posio diferente: o ponto P mudou para P , o ponto S mudou para S, o ponto Q,mudou para Q e o ponto R foi para R.

17

2. Deformao

Figura 2.4.: Deformao de um slido bidimensional quadrado. O estudo realizado se

limita s redondezas do ponto P

2.1.1. Deformaes dos vrtices

Consideremos que o ponto P est na posio (x, y). Ento aps a deformao temos:

P : (x, y) P : (x, y) + ~u(x, y) (2.21)Lembrando que ~u o vetor deslocamento, e que de fato temos :

~u(x, y) = (ux(x, y), uy(x, y) ) (2.22)

Ou seja,

P : (x, y) + ~u(x, y) = (x+ ux, y + uy) (2.23)

ux a componentex, e uy a compo-nente y do vetor ~uDe forma anloga, o ponto Q sofreu a seguinte modicao de posio:

Q : (x+ dx, y) Q : (x+ dx, y) + ~u(x+ dx, y) (2.24)Queremos saber o valor de ~u(x+dx, y) na vizinhana de x, ento fazemos uma expansoem sries de Taylor, desprezando os termos de segunda ordem:

~u(x+ dx, y) =

(ux +

uxx

dx, uy +uyx

dx

)(2.25)

18


aplicando em 2.24:

Q : (x+ dx, y) Q : (x+ dx, y) + ~u(x+ dx, y)

Q :(x+ dx+ ux +

uxx

dx, y + uy +uyx

dx

)(2.26)

De forma anloga podemos denir a nova posio de S:

S :(x+

uxy

dy + ux, y + dy + uy +uyy

dy

)(2.27)

O caso de R ser omitido.

2.1.2. Deformaes das arestas

Vejamos ento o que ocorre com o comprimento do lado PQ aps a deformao. Origi-nalmente temos:

PQ = dx (2.28)

Para denir o comprimento de P Q, usamos as equaes 2.23 e 2.27, de forma que:

P Q2 =((

x+ dx+ ux +uxx

dx

) (x+ ux) ,

(y + uy +

uyx

dx

) (y + uy)

)2

=

(dx+

uxx

dx

)2+

(uyx

dx

)2

= dx2 + 2dxuxx

dx+

(uxx

)2dx2 +

(uyx

)2dx2

Desprezando os termos innitesimais de ordem superior, chegamos em:

P Q2 = dx2

1 + 2uxx +(uxx

)2 0

+

(uyx

)2 0

Lembrando que es-

tamos lidando com

deformaes inni-

tesimais

P Q = dx

1 + 2

uxx dx+ dxux

x

Logo:

P Q = dx+ dxuxx(2.29)

De forma anloga, chega-se em

19

2. Deformao

P S = dy + dyuyy(2.30)

2.1.3. Deformaes angulares

Outro aspecto que nos interessa analisar so as deformaes angulares. Se observarmos

a gura 2.5, notaremos que o ngulo original de 90 que havia entre as arestas PQ e PS, alterado, tendo sofrido um decrscimo de 1 + 2, segundo a gura. Note que a gura apenas um exemplo, e que pode haver um acrscimo no ngulo, dependendo do tensor

de deslocamento.

Figura 2.5.: Deformaes angulares no slido. Os ngulos originais de 90 podem sofrer

uma reduo ou um acrscimo de acordo com os valores de 1 e 2

Vamos ento calcular os ngulos mencionados. Atravs da gura 2.5, temos que:

1 = arcsin

(uyx dx

dx+ dxuxx

)= arcsin

(uyx

1 + uxx

)

Como

uxx muito pequeno, podemos considerar que o denominador igual a 1:

1 = arcsin

(uyx

)Novamente, como estamos lidando com valores innitesimais, podemos considerar:

20


1 uyx(2.31)

De forma anloga, temos:

2 = arcsin

(uxy dy

dy + dyuyy

)de onde conclumos que:

2 uxy(2.32)

Estamos lidando com um slido bidimensional. No entanto, se estivssemos lidando

com trs dimenses poderamos ainda calcular, de forma anloga, o ngulo para o eixo

z.

2.1.4. Os elementos do tensor de deformao

Vimos na aula passada que o tensor de deformao pode ser representado por uma matriz,

como mostra 2.33.

eij :

exx exy exzeyx eyy eyzezx ezy ezz

(2.33)

onde cada elemento do tensor dado por 2.34:

eij =1

2

(uij

+uji

)(2.34)

Vamos ento analisar os elementos da diagonal principal do tensor 2.33, comeando

por exx, que substituindo na equao 2.34 ca:

exx =1

2

(uxx

+uxx

) exx = ux

x(2.35)

O que representa esse termo? Se observarmos a equao 2.29, notaremos que a ex-

presso

uxx est relacionada com a variao do comprimento da aresta PQ. Podemosescrever:

P Q PQPQ

=uxx

= exx (2.36)

Observe que o lado esquerdo da equao 2.36 representa o crescimento relativo em

relao aresta PQ, ou seja, em relao dx. Note que no se trata necessariamente deum crescimento relativo. Pode haver um decrscimo em dx, e isso caria evidenciadopelo valor negativo de

uxx . Ento, de forma mais generalista, podemos dizer que o termo

exx representa a variao relativa em relao ao eixo x.

21

2. Deformao

De forma anloga, temos que

eyy =1

2

(uyy

+uyy

) eyy = uy

y=P S PS

PS(2.37)

e

ezz =1

2

(uzz

+uzz

) ezz = uz

z(2.38)

Conforme mostra a equao 2.37, o termo eyy do tensor quem dene o crescimento(ou diminuio) relativo no eixo y. E a equao 2.38 nos mostra que ezz o equivalentepara o eixo z.

Com isso, podemos concluir que os elementos da diagonal principal do tensor eij de-nem o crescimento ou diminuio do corpo com relao aos trs eixos. Esses elementos

so chamados de componentes normais de deformao.

Vamos agora analisar os componentes fora da diagonal principal do tensor de defor-

mao. Mais uma vez, basta utilizar a equao 2.34 para chegar em:

eyx = exy =1

2

(uxy

+uyx

)(2.39)

ezx = exz =1

2

(uxz

+uzx

)(2.40)

ezy = eyz =1

2

(uyz

+uzy

)(2.41)

Note o tensor uma matriz simtrica, e que na verdade pode ser representado por

apenas 6 componentes. Observe ento a equao 2.39, e compare os termos com as

equaes 2.31 e 2.32. Perceba que eyx se refere mudana nos ngulos 1 e 2, ou seja, o termo que dene a mudana angular. Os demais termos se referem variao tambm

do ngulo 3, que em relao ao eixo z, que no foi representado na gura 2.5 paramanter a gura mais clara e didtica. Esses elementos fora da diagonal principal so

chamados de componentes de cisalhamento do tensor.

Assim, podemos concluir que um tensor denido por suas componentes normais,

cujos elementos esto dispostos na diagonal principal, e componentes de cisalhamento,

que so os elementos fora da diagonal principal do tensor.

2.2. Mudana fracional de volume

A mudana fracional no volume () denida como sendo a razo entre variao devolume e o volume original ou seja:

=dV

V

22

2.3. Rotao

=[dx (1 + exx) .dy (1 + eyy) .dz (1 + ezz)] dx.dy.dz

dx.dy.dz

eliminando o termo dx.dy.dz, e os termos de ordem superior, chegamos em:

exx + eyy + ezz (2.42)Note que a equao 2.42 nada mais que o trao

3

do tensor de deformao.

Por outro lado, note tambm que a mudana fracional de volume nada mais que o

divergente do vetor deslocamento ~u:

=uxx

+uyy

+uzz

= div ~u

2.3. Rotao

Voltemos nossa ateno novamente para a mudana angular, denida pelas componentes

cisalhantes do tensor de deformao. Se considerarmos as diferenas entre os ngulos,

poderemos observar se houve uma variao angular maior em torno de um dos eixos. A

gura 2.6 exemplica dois casos de rotao, sendo que no caso esquerda h uma rotao

por igual, sem ocorrer deformao. J o exemplo direita mostra o caso em que h a

deformao e rotao ocorrendo simultaneamente.

Figura 2.6.: Exemplos e rotao do corpo bidimensional. esquerda, um caso de sim-

ples rotao, sem haver deformao. direita temos um caso em que h a

deformao e rotao

Note que se os ngulos forem idnticos, h uma distoro por igual em relao aos

dois eixos, e portanto no h rotao. Algebricamente, a rotao i em torno de cadaeixo pode ser escrita de acordo com a equao 2.43:

3

Trao de uma matriz a soma de seus elementos da diagonal principal

23

2. Deformao

z =uyx uxy

y =uxz uzx

x =uzy uyz

rot ~u = xi+ y j + zk (2.43)

Esses elementos no esto presentes no tensor de deformao, ou seja, no podemos

extrair a informao de rotao a partir do tensor de deformao, da mesma forma que

zemos com a mudana fracional de volume. Isso ocorre porque a rotao no uma

deformao de verdade, e sim uma deformao de corpo rgido, em que as distncias

entre os vrtices no alterada aps a mudana na posio dos mesmos.

2.4. Generalizao quanto forma do slido

Utilizando os conceitos apresentados at o momento, podemos caracterizar a deformao

de um slido de qualquer forma discretizando o corpo em diversos pontos, conforme

mostra a gura 2.7.

Figura 2.7.: Exemplo de discretizao de um corpo slido de uma forma qualquer. Cada

ponto vermelho possui um tensor de deformao prprio, carregando infor-

maes sobre as tenses normais, os cisalhamentos sofridos e o a variao

fracional de volume de cada unidade innitesimal.

Aps a aplicao de foras externas ao corpo, podemos caracterizar sua deformao

atravs dos pontos discretizados, conforme mostrado a gura 2.8:

24

2.4. Generalizao quanto forma do slido

Figura 2.8.: Slido discretizado aps a deformao. A deformao total do corpo pode

ser descrita pela deformao de cada ponto discretizado (em azul), cada qual

possuindo um tensor de deformao

25

3. Tenso

1

Um corpo se deforma at um certo ponto, a partir do qual a deformao se equilibra com

as foras internas do corpo.

As foras internas do corpo devem anular as externas. A gura 3.1 ilustra a distribuio

de foras num plano innitesimal S. Podemos ento escrever:

FR =

S

F dS (3.1)

Podemos ento dizer que a tenso innitesimal que atua no ponto p :

T (~n) = lim

S0

(FRS

)(N/m2) (3.2)

Figura 3.1.: Tenso innitesimal num ponto p, denida como o limite da razo entre a

fora resultante

FR e a rea innitesimal S

Observe que a tenso no uma grandeza meramente pontual, pois depende do plano

sobre o ponto p, que denido pelo vetor ~n.

A tenso

T no necessariamente aplicada ortogonalmente ao plano, e portanto podeser decomposta em componentes normal e cisalhante, conforme ilustra a gura 3.2.

Um corpo dentro de um uido no apresenta tenses cisalhantes devido ao fato de o

uido no exercer resistncia para tenses cisalhantes

1

Em ingls: Stress

27

3. Tenso

Figura 3.2.: A tenso

T pode ser decomposta em duas componentes: normal e cisalhante

Portanto, para caracterizar a tenso em um corpo necessrio saber qual a tenso

em cada ponto e em cada plano que passa por esse ponto. Vejamos ento quais as

componentes da tenso.

3.1. Componentes da tenso

A gura 3.3 ilustra trs das nove componentes do tensor de tenses, especicamente as

componentes relativas ao plano ortogonal ao eixo z.Podemos escrever:

normais{zz =

T (k)k, yy =

T (j)j, xx =

T (i)i

cisalhantes

{zy =

T (k)j, yz =

T (j)k, xy =

T (i)j

zx =T (k)i, yx =

T (j)i, xz =

T (i)k

Podemos ento analisar para um plano qualquer, conforme ilustra a gura 3.4.

Nessa situao temos:

S = S ~n

Sx =S i

Sy =S j

Sz =S k

T (n ) = (tx, ty, tz)n = (nx, ny, nz)

(3.3)

Havendo equilbrio, a resultante das foras zero:

S T (n ) + Sx T (i ) + Sy T (j ) + Sz T (k ) = 0 (3.4)

28

3.1. Componentes da tenso

Figura 3.3.: Ilustrao das 9 componentes da tenso

~T , utilizando planos normais aoseixos x, y e z

Figura 3.4.: Tenso aplicada um plano qualquer

29

3. Tenso

que igual a:

iT (n ) S xxSx yxSy zxSz = 0jT (n ) S xySx yySy zySz = 0

kT (n ) S xzSx yzSy zzSz = 0(3.5)

Substituindo por 3.3, chegamos a:

TxS xxS nx yxS ny zxS nz = 0TyS xyS nx yyS ny zyS nz = 0TzS xzS nx yzS ny zzS nz = 0(3.6)

Que pode ser representado matricialmente:

Tx(n )Ty(n )Tz(n )

= xx yx zxxy yy yzxz yz zz

nxnynz

(3.7)

Ou pela notao indicial:

Ti = ijnj (3.8)

onde ij o tensor de tenses.

A tenso caracterizada pelas nove componentes tensoriais. No caso de um uido, a

matriz tensorial uma matriz diagonal com

xx = yy = zz = P

onde P a presso (N/m2), e o sinal negativo uma conveno, indicando que se tratada fora saindo do corpo em direo ao exterior.

3.2. Condio de equilbrio de momentos

Consideremos um elemento innitesimal tridimensional, conforme ilustra a gura 3.5.

Aplicando-se uma tenso qualquer , haver tambm uma tenso de mesmo mduloe direo, e sentido contrrio, conforme descrito pela terceira Lei de Newton (ao e

reao).

30

3.2. Condio de equilbrio de momentos

Figura 3.5.: Tenses atuando em um elemento innitesimal tridimensional. Pela Lei da

ao e reao, ao aplicar uma tenso , haver uma tenso de mesmo mduloe direo, com sentido contrrio, conforme ilustram as tenses xy e yx.Note que o cubo representado um elemento innitesimal, e que para todos

os ns estamos considerando x 0, y 0 e z 0, ou seja, estamoslidando com um ponto.

Considerando que o elemento innitesimal est em condies de equilbrio, podemos

escrever seus momentos:

1

2(y yx + y yx) xz =

1

2(xxy + xxy) yz

Ou seja,

xyz yx = xyz xy

yx = xyPodemos estender o raciocnio para as demais tenses, concluindo ento que

ij = ji (3.9)

Em outras palavras, o tensor de tenses simtrico, assim como o tensor de deforma-

es. Para o caso tridimensional, ento, temos que o tensor de tenses possui 6 elementos

independentes.

31

3. Tenso

3.3. Direes Principais de tenso

Conforme j visto, estamos sempre lidando com elementos de rea innitesimais, e mos-

tramos que o tensor de tenses depende da superfcie innitesimal que escolhermos, que

por sua vez pode ser denida atravs do seu vetor normal. At aqui, consideramos que

a tenso possui uma direo qualquer em relao ao vetor normal. Vejamos ento a

situao especial em que a direo da tenso aplicada coincide com a direo do vetor

normal, e quais suas implicaes algbricas.

Figura 3.6.: At agora consideramos que a tenso

T (n ) possui uma direo qualquerem relao normal do plano innitesimal

n , conforme mostra a gura daesquerda. No entanto, h de se considerar o caso especco em que a tenso

paralela ao vetor normal, situao ilustrada na gura da direita.

Vamos representar o vetor normal das direes principais como

np. Na situao dadireita, na gura 3.6, temos que a tenso possui mesma direo e sentido do vetor normal,

e nessas condies podemos chamar a tenso de tenso normal. Essa condio pode ser

representada por

T (n ) np, o que implica em dizer que:

T (n ) = nponde R. Podemos ento escrever:

nxnynz

n

=

xx yx zxxy yy zyxz yz zz

nxnynz

ou simplesmente

n = n

de onde pode-se escrever

( I)n = 0

32

3.3. Direes Principais de tenso

que tem soluo no trivial se, e somente se

det ( I) = 0 (3.10)O que nos permite concluir que so os autovalores de , e que np so os autovetoresde .Atravs de um teorema de lgebra linear

2

, tem-se que uma matriz simtrica possui

apenas autovalores positivos e seus autovetores podem ser escolhidos ortogonais. Consi-

derando que o tensor de tenses simtrico, podemos ento armar que:

Sempre possvel encontrar um conjunto de direes principais, denidas pelos autove-

tores do tensor de tenses, em que as tenses so puramente compressionais, ou seja, no

h componentes de cisalhamento.

Pelo mesmo princpio, pode-se encontrar um conjunto de direes principais para o

tensor de deformaes em que as deformaes so puramente compressionais. Para um

meio isotrpico, as direes principais dos tensores de deformaes e de tenses sero

coincidentes.

2

Para maiores informaes, consulte a seo 6.4 de GILBERT, S.; Introduction to Linear Algebra, 2nd

edition (1998)

33

4. Lei de Hooke

razovel imaginar que haja uma relao entre tenso e deformao, anal de contas,

intuitivo pensar que um objeto que sofra uma tenso - seja compresso ou extenso - ir

sofrer alguma forma de deformao, mesmo que pequena. Mais uma vez vamos utilizar

a ideia de um elemento innitesimal: um cubo de dimenses

1 x, y e z. A gura4.1 ilustra a representao de todos elementos do tensor de tenses: os trs normais e os

seis cisalhantes, dos quais apenas trs so independentes.

Figura 4.1.: Representao das tenses aplicadas a um cubo, mostrando as 9 componentes

do tensor de tenses.

Como vimos, as deformaes deste cubo so completamente descritas pelo tensor de

deformaes eij , que possui 6 componentes independentes:

normais {exx, eyy, ezzcisalhantes {exy, exz, eyz1

A ideia de utilizar um elemento de dimenses x, y e z para facilitar a visualizao da situao.Na realidade, estamos lidando com uma grandeza pontual, ou seja, todas as trs dimenses do cubo

tendem a zero.

35

4. Lei de Hooke

Vimos tambm que as tenses aplicadas neste cubo so completamente descritas pelo

tensor de tenses ij , que tambm possui 6 componentes independentes:

normais {xx, yy, zzcisalhantes {xy, xz, yzA relao entre os tensores de deformao e de tenso, ij eij , no regime linear dada pela Lei de Hooke. Essa lei relaciona as duas grandezas linearmente, ou seja, cada

elemento do tensor de tenses pode ser calculado a partir de cada elemento do tensor

de deformaes associado uma constante. Se considerarmos todos elementos dos dois

tensores, o equivalente a escrever:

xx = cxxxxexx + cxxxyexy + cxxxzexz + cxxyxeyx + cxxyyeyy + cxxyzeyz+cxxzxezx + cxxzyezy + cxxzzezzxy = cxyxxexx + cxyxyexy + cxyxzexz + cxyyxeyx + cxyyyeyy + cxyyzeyz+cxyzxezx + cxyzyezy + cxyzzezzxz = cxzxxexx + cxzxyexy + cxzxzexz + cxzyxeyx + cxzyyeyy + cxzyzeyz+cxzzxezx + cxzzyezy + cxzzzezzyx = cyxxxexx + cyxxyexy + cyxxzexz + cyxyxeyx + cyxyyeyy + cyxyzeyz+cyxzxezx + cyxzyezy + cyxzzezzyy = cyyxxexx + cyyxyexy + cyyxzexz + cyyyxeyx + cyyyyeyy + cyyyzeyz+cyyzxezx + cyyzyezy + cyyzzezzyz = cyzxxexx + cyzxyexy + cyzxzexz + cyzyxeyx + cyzyyeyy + cyzyzeyz+cyzzxezx + cyzzyezy + cyzzzezzzx = czxxxexx + czxxyexy + czxxzexz + czxyxeyx + czxyyeyy + czxyzeyz+czxzxezx + czxzyezy + czxzzezzzy = czyxxexx + czyxyexy + czyxzexz + czyyxeyx + czyyyeyy + czyyzeyz+czyzxezx + czyzyezy + czyzzezzzz = czzxxexx + czzxyexy + czzxzexz + czzyxeyx + czzyyeyy + czzyzeyz+czzzxezx + czzzyezy + czzzzezz

Podemos fazer uso da notao indicial e simplicar a representao dessas equaes,

que tensorialmente representada por:

ij = cijklekl (4.1)

O termo cijkl chamado de tensor de constantes elsticas2

, e possui 81 elementos.

Porm h diversas simetrias nesse tensor:

cijkl = cjikl (4.2)

cijkl = cijlk (4.3)

2

Em ingls: Stiness tensor

36

4.1. Meio isotrpico

cijkl = cklij (4.4)

E com isso o nmero de constantes elsticas independentes cai para 21. Em outras

palavras, possvel descrever o comportamento elstico de qualquer material utilizando

21 elementos do tensor de constantes elsticas. Para materiais mais simples, so neces-

srios menos elementos, enquanto para materiais mais complexos so necessrios mais

elementos. Por exemplo, um material elstico isotrpico requer apenas 2 constantes in-

dependentes, enquanto um cristal triclnico (plagioclsio, por exemplo) requer todos os

21 elementos independentes do tensor cijkl.

4.1. Meio isotrpico

Um meio isotrpico aquele em que as tenses normais geram apenas deformaes nor-

mais, e as tenses cisalhantes geram apenas deformaes cisalhantes.

O tensor de constantes elsticas para um meio isotrpico possui apenas duas compo-

nentes independentes, e podemos calcular o tensor inteiro atravs da equao:

cijkl = klij + (ikjl + jkil) (4.5)

onde ij o delta de Kronecker, dado por:

ij =

{1 se i = j0 se i 6= jEnto a Lei de Hooke para um slido isotrpico ca:

ij = ij + 2eij (4.6)

onde

= e11 + e22 + e33 (4.7)

ou seja:

xx = (exx + eyy + ezz) + 2exxyy = (exx + eyy + ezz) + 2eyyzz = (exx + eyy + ezz) + 2ezzxy = 2exyxz = 2exzyz = 2eyz

(4.8)

Os termos e so constantes elsticas independentes, e so chamados de constantesde Lam. O termo especicamente refere-se a rigidez do meio.Para um meio lquido, temos = 0, e a equao 4.6 ca:

xx = yy = zz = P = (4.9)

37

4. Lei de Hooke

onde P a presso hidrosttica. Note que representa a mudana volumtrica domeio.

Especicamente para um meio lquido, temos que:

= k = incompressibilidade (4.10)

Para o caso geral, podemos denir a incompressibilidade de forma intuitiva a partir

das tenses normais, conforme mostrado na a gura 4.2.

Figura 4.2.: Tenses normais aplicadas em um cubo innitesimal, representadas com ori-

entao para dentro do cubo, indicando a ideia de compresso do corpo.

Matematicamente essa situao descrita pela somatria das tenses normais da equa-

o 4.8:

xx + yy + zz = 2(exx + eyy + ezz) + 3(exx + eyy + ezz)

Substituindo por 4.7:

1

3

3i=1

ii =1

3(2+ 3)

ou ainda:

1

3

3i=1

ii = k

de onde dene-se o parmetro de incompressibilidade k:

k = +2

3 (4.11)

Pode-se ento escrever a compressibilidade em funo da incompressibilidade k:

38

4.2. Mdulo de Young e Razo de Poisson

=1

k(4.12)

Note que a equao 4.10, denida apenas para uidos, um caso especco da equao

4.11 para = 0.

4.2. Mdulo de Young e Razo de Poisson

Alm das constantes de Lam, e , comum o uso de outras constantes elsticas, quesejam mais intuitivas. A exemplo disso temos, alm da incompressibilidade(k), o Mdulode Young E e a Razo de Poisson . Considere a gura 4.3.

Figura 4.3.: A ao de uma tenso apenas na direo do eixo x resultar do esticamentodo corpo ao longo do eixo x, e uma reduo da seco transversal em relaoa esse mesmo eixo. Ou seja, o corpo se estica, aumentando o comprimento

e reduzindo sua espessura.

Nessas condies, temos que exx positivo e os termos eyy e ezz so negativos. Tambmsabemos que eyy = ezz. Podemos denir o Mdulo de Young (E) e a razo de Poisson() em termos das relaes:

E =xxexx(4.13)

= eyyexx

= ezzexx(4.14)

Podemos reescrever essas constantes elsticas em termos das constantes de Lam, assim

como zemos com a incompressibilidade, substituindo na lei de Hooke. Com isso obtemos

as relaes:

E = (3+ 2)

+ (4.15)

39

4. Lei de Hooke

=

2 (+ )(4.16)

4.3. Notao compacta

Como mencionado, o tensor de constantes elsticas de qualquer material pode ser re-

presentado utilizando 21 termos. Podemos ento fazer uma simplicao na notao do

tensor, e com isso representar o tensor cijkl dentro de uma matriz 66, conforme mostraa tabela 4.1.

cijkl cmni, jk, l

}{mn

1, 1 12, 2 23, 3 32, 3 43, 1 51, 2 6

Tabela 4.1.: Tabela de converso da notao compacta para o tensor de constantes

elsticas

Por exemplo,

c1233 c63c1111 c11c3132 c54

4.3.1. Meio isotrpico

Para o meio isotrpico o tensor de constantes elsticas, na sua forma compacta, tem a

seguinte forma:

cmn =

c11 c12 c12 0 0 0c12 c11 c12 0 0 0c12 c12 c11 0 0 00 0 0 c44 0 00 0 0 0 c44 00 0 0 0 0 c44

(4.17)

Por ser simtrica, muitas vezes representada como uma matriz triangular:

40

4.3. Notao compacta

cmn =

c11 c12 c12 0 0 0c11 c12 0 0 0

c11 0 0 0c44 0 0

c44 0c44

(4.18)

os parmetros c11, c12 e c44 podem ser reescritos em funo dos parmetros de Lam:

c11 = + 2c12 = c44 = (4.19)

4.3.2. Meio transversalmente isotrpico

Um meio transversalmente isotrpico um meio acamadado em que no h variao

lateral (transversal), mas que possui uma variao em profundidade. Dependendo do

comprimento de onda e da espessura de cada camada, a variao com a profundidade

pode ser considerada uma no homogeneidade ou uma anisotropia. Nessas condies, h

5 termos independentes, e o tensor de constantes elsticas tem a seguinte forma:

cmn =

c11 c12 c13 0 0 0c11 c13 0 0 0

c33 0 0 0c44 0 0

c44 0c55

(4.20)

onde

c55 =c11 c12

2(4.21)

Esse caso o mximo de anisotropia que vamos trabalhar.

41

Parte II.

Ondas ssmicas

43

5. Equao de movimento

Consideremos um corpo qualquer, conforme ilustrado na gura 5.1. Todos os pontos do

corpo esto submetidos a uma fora

~f , chamada de fora de corpo1. Atuando sobre asuperfcie do corpo esto tambm as tenses externas, representadas na gura por

~T ( ~n).

Figura 5.1.: Representao de um corpo qualquer, submetido a uma fora corporal

~f euma tenso

~T (~n), com um deslocamento ~u

Podemos escrever que o somatrio de todas as foras atuando sobre o corpo

S

~T ( ~n)dS +

V

~fdV =

~F (5.1)

No estado de equilbrio, o corpo no tem fora resultante atuando sobre ele, ou seja, o

somatrio zero: ~F = ~0 (5.2)

Lembrando que

1

Em ingls: body force. o caso da fora gravitacional, por exemplo.

45


~T ( ~n) = (Tx, Ty, Tz) (5.3)

ou ainda, na notao indicial:

Tij = ijnj (5.4)

Substituindo a equao 5.4 no primeiro termo de 5.1, temos:

S

~T ( ~n)dS =

S

ijnjdS =

S

~Gi~ndS

onde

~Gi = (xi, yi, zi). Ento pelo teorema da divergncia de Gauss podemos escre-ver:

S

~Gi~ndS =

V

~GidV =

V

div ~GidV

onde

~Gi = xix

+yiy

+ziz

=jixj

Assim podemos escrever que

S

~T ( ~n)dS =

V

jixj

dV (5.5)

Substituindo a equao 5.5 na equao 5.1, e considerando que o corpo est em equi-

lbrio, ou seja, substituindo tambm a equao 5.2 na equao 5.1, temos:

V

jixj

dV +

V

fidV = 0

e como o volume o mesmo, podemos ento escrever:

jixj

+ fi = 0 (5.6)

O conjunto de equaes diferenciais representadas por 5.6 descreve a condio de equil-

brio de um corpo elstico, em funo da distribuio de tenses aplicadas a ele. comum

encontrar na literatura uma notao ligeiramente diferente para o primeiro termo:

ijxj

ji,j

Lembrando que estamos utilizando a notao indicial, e a expresso 5.6 na verdade

refere-se a um conjunto de equaes:

46

5.1. Meio no homogneo e anisotrpico

ji,j = fi

xxx +

xyy +

xzz = fx

yxx +

yyy +

yzz = fy

zxx +

zyy +

zzz = fz(5.7)

Esse o sistema que deve ser resolvido para se encontrar o tensor de tenses de um

ponto corpo. Esse um problema conhecido como problema de valor de contorno, em

que, sabendo as tenses externas na superfcie do corpo, podemos calcular as tenses

qualquer ponto no interior do corpo.

No estudo de ondas ssmicas a situao de equilbrio no relevante, pois h uma fora

resultante proveniente de uma fonte ssmica. Vamos ento analisar a situao em que

no h equilbrio, ou seja,

~F 6= ~0. Pela conservao do momento linear, temos:

V

jixj

dV +

V

fidV =

t

V

uit

dV (5.8)

onde o vetor ui o vetor deslocamento do corpo. Considerando que os volumes soiguais

2

, podemos escrever:

jixj

+ fi = 2uit2(5.9)

A equao 5.9 a equao do movimento, e matematicamente tudo partir dela.

5.1. Meio no homogneo e anisotrpico

Vamos agora escrever a equao do movimento apenas em funo do deslocamento.

Usando a lei de Hooke, podemos escrever:

ij = cijklekl =1

2cijkl

(ukxl

+ulxk

)como ij depende apenas de i e j, temos que k e l so meros ndices, e por isso podemosescrever

ukxl

=ulxk

ou seja

ij = cijklukxl

Substituindo na equao 5.9, chegamos em:

2

Na verdade no se poderia aplicar a derivada externa do termo

t

V

uitdV , pois o volume varia

com o tempo, j que h uma deformao associada a tenso aplicada. Mas se considerarmos que a

variao de volume muito pequena, ento podemos escrever a equao 5.9 a partir da equao 5.8.

47


xj

(cijkl

ukxl

)+ fi =

2uit2(5.10)

que pode ser escrita na notao compacta:

(cijkluk,l),j + fi = ui

A equao 5.10 a equao de movimento geral, em funo do vetor deslocamento,

para um meio anisotrpico e no homogneo.

5.2. Meio homogneo e anisotrpico

Para um meio homogneo e anisotrpico, o tensor de constantes elsticas cijkl no de-pende da posio, ento podemos escrever:

cijkl2ukxlxj

+ fi = 2uit2(5.11)

5.3. Meio homogneo e isotrpico

Para um meio homogneo e isotrpico, podemos fazer algumas simplicaes baseadas

no tensor de constantes elsticas. Vamos ento analisar o primeiro termo da equao

5.11, usando a denio de cijkl para meio isotrpico, dada pela equao 4.5:

cijkl2ukxlxj

=2ukxlxj

[klij ] +2ukxlxj

[ikjl] +2ukxlxj

[jkil] (5.12)

lembrando que

ab =

{0, se a 6= b1, se a = b(5.13)

vamos desmembrar cada termo de 5.12, para entender como podemos simplicar a

equao a partir de 5.13.

O primeiro termo s existir quando k = l e i = j, pois nos demais casos, o termo multiplicado por zero. Nessas condies podemos escrever

2ukxlxj

[klij ] = 2ukxkxi(5.14)

O segundo termo s existir quando i = k e j = l, e com isso podemos escrever:

2ukxlxj

[ikjl] = 2uixjxj

= 2uix2j(5.15)

E o terceiro termo s existir quando j = k e i = l, de onde sai:

48

5.4. Meio no homogneo e isotrpico

2ukxlxj

[jkil] = 2ukxkxi(5.16)

Substituindo 5.14, 5.15 e 5.16 em 5.12, e em seguida em 5.11, obtemos:

(+ )2ukxkxi

+ 2uix2j

+ fi = 2uit2(5.17)

ou na forma vetorial

(+ ) ~u+ 2~u+ ~f = 2~u

t2(5.18)

onde ~u o gradiente do divergente e 2~u o laplaciano do vetor deslocamento,ou seja:

2~u =(2uxx2

+2uxy2

+2uxz2

)i+

(2uyx2

+2uyy2

+2uyz2

)j

+

(2uzx2

+2uzy2

+2uzz2

)k (5.19)

e

~u = 2uk

xkxi(5.20)

A equao 5.17 a equao de movimento para um meio isotrpico e homogneo. A

equao 5.18 exatamente a mesma equao, escrita na forma vetorial.

5.4. Meio no homogneo e isotrpico

Seguindo a mesma ideia da seo anterior, podemos simplicar a equao 5.10, porm

nesse caso no poderemos considerar o tensor de constantes elsticas cijkl como constante.Substituindo 4.5 no primeiro termo da equao 5.10, temos:

xj

(cijkl

ukxl

)=ukxl

(klij) +ukxl

(ikjl) +ukxl

(jkil)

49


xj

(cijkl

ukxl

)=

[(2ukxlxj

+

xj ukxl

)(klij)

]

k=l e i=j

+

[(2ukxlxj

+

xj ukxl

)(ikjl)

]

i=k e j=l

+

[(2ukxlxj

+

xj ukxl

)(jkil)

]

j=k e i=l

de onde podemos ento escrever a equao de movimento para um meio no homogneo

e isotrpico:

2uit2

= fi +

(2ukxkxi

+

xi ukxk

)+

(

2uixjxj

+

xj uixj

)+

(2ujxixj

+

xj ujxi

)(5.21)

50

6. Potenciais de Helmholtz

Vamos ver agora o que podemos extrair de informao fsica da equao 5.18. Para

simplicar, vamos desprezar as foras de corpo, obtendo assim:

(+ ) ~u+ 2~u = 2~u

t2(6.1)

Vamos ento lembrar de algumas identidades do clculo vetorial:

2~u = ~u ~u (6.2)

= 0 (6.3)

~u = 0 (6.4)Onde ~u um vetor, um escalar, 2~u o laplaciano de ~u, ~u o gradiente dodivergente de ~u, ~u o rotacional do rotacional de ~u, o rotacional dogradiente de e ~u o divergente do rotacional de ~u.Pode-se decompor qualquer campo vetorial (i.e. funo vetorial) em dois componentes:

um potencial escalar e um potencial vetor. Em outras palavras

~u = + ~ (6.5)onde o potencial escalar e ~ o potencial vetor. Podemos ainda impor que

~ = 0 (6.6)Esses so os chamados Potenciais de Helmholtz.

Vamos voltar as atenes novamente para a equao de movimento. Podemos substituir

6.2 em 6.1, para obter

(+ 2) ~u ~u = 2~u

t2(6.7)

Podemos ento aplicar os potenciais de Helmholtz ,6.5, obtendo ento

(+ 2) (+ ~

)

(+ ~

)=

2t2

+ 2 ~t2

de onde se chega em

51

6. Potenciais de Helmholtz

(+ 2) ~ = 2t2

+ 2 ~t2

ou ainda

[(+ 2)

2t2

] =

[ ~ +

~

t2

] gradiente de algo = rotacional de um campo vetorial

(6.8)

A equao 6.8 s existe quando ambos os termos so nulos, ento:

(+ 2)2 2

t2= 0

que pode ser escrita como:

2 = 122

t2(6.9)

onde

=

+ 2

(6.10)

a velocidade de propagao da onda P.

Do outro lado de 6.8, temos

~ + 2~

t2= 0

Atravs de 6.2 e 6.6, chegamos em

2~ = 122~

t2(6.11)

com

=

(6.12)

onde a velocidade de propagao da onda S.

52

7. Equao escalar da onda

7.1. Deduo da equao escalar da onda

Consideremos agora a propagao de ondas no meio uido, em que = 0. Nessa condio,a equao 6.1 se reduz a:

~u = 2~u

t2(7.1)

Lembrando que:

= k (incompressibilidade) (7.2)

~u = (variao volumtrica) (7.3)

p = k (lei de Hooke) (7.4)De 7.3 e 7.4 temos:

p = k ~u (7.5)E de 7.2 e 7.4 aplicadas em 7.1 temos:

p = 2~u

t2(7.6)

Essas duas equaes governam a relao entre presso e velocidade de partcula em

um meio uido. Podemos montar um sistema com 7.5 e 7.6:{p+ k ~u = 0p+ 2~u

t2= 0

derivando a primeira equao em funo do tempo, temos:{ pt + k ~v = 0p+ ~vt = 0derivando mais uma vez a primeira equao e aplicando o divergente na segunda

1

,

chegamos a:

1

Note que nesta passagem se assume que a densidade do meio constante

53


{1k2pt2

+ ~vt = 01 p+ ~vt = 0Subtraindo a primeira equao da segunda resulta em:

1

p 1

k

2p

t2= 0

de onde resulta

2p 1c22p

t2= 0 (7.7)

onde

c =

k

A equao 7.7 chamada de equao escalar da onda

2

, e quem descreve como uma

perturbao na presso se propaga pelo meio uido. Em teoria, essa equao seria til

para a ssmica apenas no caso de aquisies marinhas, pois deduzida para um meio

uido. No entanto essa equao est por trs de todos algoritmos de migrao, por

apresentar um menor custo computacional, se comparada com a equao elstica da

onda.

7.2. Consideraes acerca de velocidades e potenciais de

Helmholtz

Observe que a velocidade de propagao da onda no uido, c =

k , depende da incom-

pressibilidade k e da densidade . A velocidade de propagao de uma onda S num meio,

=

, depende da rigidez e da densidade . J a velocidade de propagao da onda

P:

=

+ 2

=

k + 43

depende tanto da incompressibilidade k, como da rigidez , e da densidade .

Note tambm que podemos aplicar os potenciais de Helmholtz na equao 7.5:

p = k ~u p = k (+ ~

)de onde conclui-se que

2

a equao chamada de escalar pois relaciona a propagao da onda com a presso, que uma

grandeza escalar

54

7.3. Sobre a deduo da equao escalar da onda

p = k2 (7.8)Ou seja, a presso p est associada apenas com o potencial escalar de Helmholtz.

7.3. Sobre a deduo da equao escalar da onda

Na seo 7.1 a equao escalar da onda foi deduzida a partir da equao 6.1, que a

equao de movimento para um meio homogneo e isotrpico. Mas esse fato no signica

a equao escalar da onda vlida apenas para meios homogneos e isotrpicos. Podemos

partir da equao geral de movimento 5.9 sem fonte :

jixj

= 2uit2

Para o caso acstico, ou seja, propagao em meio uido, temos:

ij = pijSubstituindo na equao anterior resulta em:

pxi

= 2uit2

ou seja:

p+ ~vt

= 0

que a equao 7.6. A outra equao utilizada na deduo a Lei de Hooke, que

utilizamos para o formar o sistema:{ pt + k ~v = 0p+ ~vt = 0Da se segue que a deduo idntica a aquela apresentada na seo 7.1.

7.4. Soluo para onda plana transiente

A equao de onda

2p 1c22p

t2= 0 (7.9)

tem como uma soluo possvel:

p(x, y, z, t) = Af

(t ~x n

c

)= Af

(t x nx + y ny + z nz

c

)(7.10)

onde

55


~x = (x, y, z)

|n| = 1

f uma funo com segunda derivada

Vamos vericar se de fato 7.10 soluo de 7.9. De 7.9 temos:

2p

x2+2p

y2+2p

z2 1c22p

t2= 0 (7.11)

Podemos representar a equao 7.10 na notao tensorial:

p(xi, t) = Af(t nkxk

c

)(7.12)

Derivando 7.12 temos:

p

xi= Ani

cf(t nkxk

c

)(7.13)

Derivando mais uma vez:

2p

x2i=Anic2

f(t nkxk

c

)(7.14)

Substituindo 7.14 em 7.11:

2p

xixi 1c22p

t2=An2i f

c2 1c2Af = 0

Af

[ninic2 1c2

]= 0

lembrando que

ni ni = n21 + n22 + n23 = |n| = 1ento temos que

ninic2 1c2

=1

c2 1c2

= 0

e portanto 7.10 soluo de 7.9.

Mas qual o signicado fsico da equao

p(x, y, z, t) = Af

(t ~x n

c

)(7.15)

que soluo da equao escalar de onda 7.9?

56

7.4. Soluo para onda plana transiente

Figura 7.1.: Representao de frentes de ondas planas, caracterizadas por planos paralelos

entre si, ortogonais ao vetor ~n, que indica a direo de propagao

Observe que o termo

~xnc a representao matemtica da razo entre deslocamento

e velocidade na direo do versor ~n, e portanto, estamos lidando com uma grandezatemporal. Ao considerarmos que esse termo constante, temos caracterizada uma frente

de onda, uma vez que esta denida pelos pontos cujo tempo de trnsito igual. Ou

seja, uma mesma frente de onda implica em

~x nc

= constante

Porm temos que c tambm constante num meio homogneo, e por isso podemosdizer:

~x n = constante

A representao desta equao vetorial em funo de seus termos

x nx + y ny + z nz = constante

essa equao a equao de um plano, ou seja, o termo

~xnc caracteriza as frentes de

ondas planas, conforme ilustra a gura 7.1. Podemos ento dizer que a equao 7.10

a soluo para a equao de onda plana. Podemos ir alm e dizer que a soluo

para a equao de onda plana transiente, pois a soluo considera que a fonte ssmica

transiente, ou seja, tem incio e m.

Em termos ssmicos, a funo f da equao 7.15 o pulso ssmico (tambm chamadode wavelet ou ondeleta), que depende da fonte. J o termo A um escalar que caracterizaa amplitude do pulso ssmico f .

57


7.5. Soluo para onda plana harmnica

Vamos considerar agora a equao

p(xj , t) = Aei(tkjxj)(7.16)

onde a frequncia angular, dada por = 2pif , e kj o vetor de onda, ou seja,

kj = ~k = (kx, ky, kz).3

Vamos ver que o vetor de onda

~k no um vetor arbitrrio, pois ele precisa obedeceruma certa relao para que a equao 7.16 seja soluo da equao de onda

2p 1c22p

t2=

2p

xjxj 1c22p

t2= 0 (7.17)

Fazendo a primeira e a segunda derivadas de 7.16, temos:

p

xj= ikjAe

i(tkjxj)(7.18)

2p

xjxj= kjkjAei(tkjxj) (7.19)

Substituindo a segunda derivada 7.19 na equao de onda 7.17, e calculando a primeira

derivada em relao ao tempo, obtemos:

kjkjAei(tkjxj) + 2

c2Aei(tkjxj) = 0

De onde conclui-se que

kjkj =2

c2 ~k ~k =

2

c2(7.20)

ou ainda: ~k = c(7.21)

A equao 7.21 chamada de relao de disperso e a condio necessria para que

a equao 7.16 seja soluo de 7.17. Em outras palavras, quando 7.21 vlida, podemos

dizer que 7.16 soluo de 7.17, e dizemos que se trata de uma onda plana harmnica.

A equao 7.16 diz que a presso em todos os pontos do espao causa um movimento

harmnico, com uma mesma frequncia e uma mesma amplitude em todos os pontos.

Assim, a diferena entre os pontos se d somente pela fase, e justamente a fase que

dene a frente de onda. Ou seja, uma frente de onda denida por pontos que possuem

a mesma fase (fase constante).

Podemos reescrever a equao 7.16 da seguinte forma

3

Cuidado para no confundir i e k com ndices. Nessa equao i denota que se trata da componentecomplexa e kj o vetor de onda.

58

7.5. Soluo para onda plana harmnica

p(xj , t) = Aexp

(i(t kjxj

)

)(7.22)

de onde podemos concluir que uma fase constante implica em

t kjxj

= constante

Ento para um determinado tempo

kjxj

= constante

kjxj = constante

lembrando que kjxj = ~k ~x = kxx+ kyy+ kzz = constante a equao de um plano,e por isso que chamamos a onda de onda plana, e nesse caso especicamente, harmnica.

Note que o vetor

~k d a direo de propagao da onda, porm ele no unitrio, comoera o vetor ~n que vimos anteriormente. No entanto fcil perceber, atravs da equao7.21, que

~n =~k~k = c~k (7.23)podemos substituir 7.23 em 7.22 para obter a soluo em funo do versor normal:

p(xj , t) = Aexp(i(t nj

c

xj

))

= Aexp(i(t njxj

c))(7.24)

ou ainda podemos denir

~q =~n

c

que chamado de vetor de vagarosidade

4

. Assim podemos reescrever 7.24 da seguinte

forma:

p(xj , t) = Aexp(i(t nj

c

xj

))

= Aexp (i(t qjxj)) (7.25)

onde qj = nj/c.

A soluo da equao de onda para ondas planas harmnicas muito til, e geralmente

a equao adotada para resolver problemas como o de espalhamento e de reexo em

interfaces. Seu uso justicado pela simplicidade da equao, e por haver uma relao

entre ondas planas harmnicas e transientes, como veremos a seguir.

4

o vetor de vagarosidade (slowness, em ingls) geralmente representado pela letra p, porm aqui foirepresentado com a letra q para evitar confuso com o termo da presso

59


7.6. Relao entre ondas transientes e harmnicas

Lembrando que a transformada de Fourier usada para mudar o domnio de uma funo,

de tempo para frequncia. Ou seja

f(t) F ()

e que essa transformada se d atravs de

F () =

+

f(t)eitdt (7.26)

E a operao inversa, para mudar do domnio da frequncia para o domnio do tempo,

utiliza-se a transformada inversa de Fourier, dada por

f(t) =1

2pi

+

F ()eitd (7.27)

Atravs do teorema do deslocamento

5

temos:

f(t t0) F ()eit0

em que t0 representa o deslocamento no tempo, ou seja, o deslocamento de fase6

. Assim

podemos escrever:

f(t njxj

c

) transiente

=1

2pi

+

F ()ei

njxjc eitd =

1

2pi

+

F ()e

i(tnjxj

c

) harmnica

d

Assim, temos que a soluo para a equao de onda plana transiente pode ser encarada

como a somatria (i.e. integral) de senos e cossenos. Ou ainda, podemos dizer que uma

onda plana transiente pode ser representada como uma srie de ondas planas harmnicas.

Essa relao pode ser observada na gura 7.2, em que diversas ondas planas harmnicas

com diferentes frequncias so somadas, formando uma onda plana transiente. Repare

que truncar os limites da integral equivale a realizar um ltro de passa banda, em que

apenas as frequncias dentro do intervalo selecionado sero utilizadas para compor o

pulso.

5

Em ingls: shift theorem. Para mais informaes, consultar anlise do sinal ssmico, do Rosa.

6

Em ingls: time shift

60

7.6. Relao entre ondas transientes e harmnicas

Figura 7.2.: Ilustrao da somatria de ondas harmnicas gerando uma onda plana

transiente

Figura 7.3.: Somatria de ondas planas harmnicas resultando em uma onda plana tran-

siente, considerando agora que h disperso, ou seja, a velocidade depende

da frequncia, e isso ca ilustrado com o deslocamento entre si das ondas

harmnicas, que resulta na alterao da forma do pulso (onda transiente)

61


Se considerarmos a disperso, ou seja, considerarmos que a velocidade funo da

frequncia, ocorre a deformao do pulso ssmico resultante, conforme mostra a gura

7.3. Perceba que o que est de fato ocorrendo um deslocamento de fase, e que se

compararmos com a situao que desconsidera a disperso (gura 7.2), nela no h

deslocamento de fase, e assim temos um pulso de fase zero.

7.7. Soluo para onda plana no homognea

Suponha que o vetor de onda

~k seja complexo, ou seja

k =

kR + i

kI (7.28)

Substituindo em 7.16,

p = A e ~kI~x ei(t ~kR~x) (7.29)Note que temos agora uma amplitude composta, que vai depender da posio no espao,

ou seja:

A (~x) = A e ~kI~x (7.30)Substituindo 7.30 em 7.29:

p = A (~x) ei(t ~kR~x) (7.31)que a soluo para onda plana no homognea. A onda plana no homognea recebe

este nome pois sua amplitude no homognea, ou seja, ela varia no espao. Perceba que

a variao na amplitude se d de forma exponencial (equao 7.30), ou seja, dependendo

do vetor ~x h um aumento ou reduo exponencial da amplitude, que varia no intervalode zero a innito. Porm uma onda com amplitude innita sicamente impossvel

(equivalente a energia innita), e por conta disso geralmente necessrio estabelecer uma

condio de contorno limitando essa amplitude. A uma onda desse tipo, com decaimento

exponencial de amplitude, d-se o nome de onda evanescente. A gura 7.4 ilustra essa

variao exponencial de amplitude, que o caso das ondas superciais, por exemplo.

Se considerarmos todos os pontos do espao que possuam a mesma amplitude, temos

A (~x) = constante

ou seja

e ~kI~x = constante ~kI~x = constante Eq. de um plano

Por outro lado, como vimos caso da onda plana harmnica, os pontos do espao com

uma mesma fase esto dispostos segundo a relao

62

7.7. Soluo para onda plana no homognea

Figura 7.4.: Ilustrao de uma onda evanescente, em que a amplitude decresce exponen-

cialmente de acordo com a profundidade.

~kR~x = constante Eq. de um plano

Perceba que a fase constante est relacionada componente real do vetor de onda,

enquanto a amplitude constante est relacionada parte imaginria.

Para que 7.31 seja soluo da equao de onda, necessrio que a relao de disperso

seja vlida. Assim, substituindo 7.28 na equao

~k ~k = 2

c2

resulta em

~kR ~kR ~kI ~kI = 0

= aR20

F

(t R0

c

)= S0f (t)

de onde conclui-se que

2

Para gerar uma onda cisalhante, seria necessrio que houvesse rotao da esfera

73

9. Ondas Esfricas

a = S0R20e

F = f (t)

A soluo para o problema ca ento:

(r, t) =R20S0r

f(t r

c

)Para haver sentido fsico, precisamos calcular o vetor deslocamento ~u, ou seja, a deri-vada de :

~u (r, t) = (r, t)

r=

R20S0r2 f (t rc) prximo

+R20S0r

f (t r

c

) distante

rNessa equao podemos ver dois termos distintos. O primeiro termo refere-se ao campo

prximo e envolve diretamente a funo f , e o segundo termo refere-se ao campo distante,envolvendo a derivada da funo f . Para regies prximas da origem (i.e. fonte pulsante), o primeiro termo que governa o valor de ~u. No entanto, conforme aumenta-se a distnciaem relao origem, o primeiro termo diminui rapidamente, e e o termo de campo

distante passa a dominar o modulo de ~u.Observe que a resoluo apresentada no restringe o tipo de variao do raio da esfera.

Essa variao pode ser crescente, decrescente ou mesmo oscilante. De fato, para uma

onda esfria harmnica, o potencial escalar de Helmholtz dado por

(r, t) =a

rexp

[i

(t r

c

)]

74

10. Fonte pontual

10.1. Funo de Green

Consideremos a equao de onda com fonte

2p 1c22p

t2= f (~x, t) (10.1)

em que o termo da fonte descrita por

f (~x, t) = (~x ~x0) (t t0)Denio de de Dirac

(x) =

{ , x = 00, x 6= 0

(x) dx = 1

Ento pode-se reescrever a equao de onda utilizando a funo de Green:

2G (~x, t | ~x0, t0) 1c22

t2G (~x, t | ~x0, t0) = (~x ~x0) (t t0) (10.2)

G (~x, t | ~x0, t0) a funo de Green no ponto ~x, t devido fonte impulsiva em ~x0, t0.Considerando simetria esfrica (i.e. meio isotrpico e homogneo) e fonte na origem:

2G (r | t, t0) 1c22

t2G (r | t, t0) = (r) (t t0) (10.3)Sabemos que G (r | t, t0) tem soluo na forma:

G (r | t, t0) =af(t t0 rc

)r

Integrando 10.3:

V2G (r | t, t0) dV

V

1

c22

t2G (r | t, t0) dV = (t t0)

pois

R (r) dr = 1

75

10. Fonte pontual

Pelo teorema da divergncia podemos reescrever o primeiro termo:

V2GdV =

V GdV =

SGdS =

S

G

rds =

G

r

r=R

4piR2

G

r= a

r2f(t t0 r

c

) acrf (t t0 r

c

)Multiplicando por 4piR2:

G

r= a4piR

2

R2f(t t0 r

c

) a4piR

cf (t t0 r

c

)Assim, temos

R2GdV

R

1

c22

t2GdV = a4pif

(t t0 r

c

) a4piR

cf (t t0 r

c

)= (t t0)

Calculando o limite para R 0, temos:

limR0[

R2GdV

R

1

c22

t2GdV

]= a4pif

(t t0 r

c

)= (t t0)

De onde conclui-se que:

f =

e

a =1

4pi

E portanto a funo de Green ca:

G (r | t, t0) =(t t0 rc

)4pir(10.4)

Esse modelo para uma fonte pontual. Desde que a rea de estudo seja sucientemente

grande para que a fonte possa ser considerada um ponto, podemos usar a equao 10.4.

10.2. Fonte com pulso arbitrrio

Vamos considerar agora que o pulso no seja mais um pulso perfeito, descrito pelo deDirac, e sim uma funo arbitrria f (t):

2p 1c22p

t2= (~x ~x0) f (t) (10.5)Pelo teorema da amostragem , podemos escrever

76

10.3. Caso elstico

f () (t ) d = f (t) (10.6)

Substituindo 10.6 em 10.5:

2p 1c22p

t2=

(~x ~x0) (t ) f () d

De onde conclui-se que a soluo de 10.5

p (~x, t) =

(t rc

)4pir

f () d =f(t rc

)4pir

A funo f (t) chamada de assinatura da fonte, e em geral desconhecida.

10.3. Caso elstico

Vamos considerar ento o caso elstico. Usando a equao 5.18

2~u

t2 (+ ) ~u 2~u = (~x ~x0) (t t0) (10.7)Onde o termo referente ao gradiente (~x ~x0) chama-se de centro de dilatao. Emtermos de potencial escalar, temos:

~uP = onde

2 122

t2= (~x ~x0) (t t0)que tem soluo:

=(t t0 r

)apir

Assim, podemos concluir que:

~uP = =[(t t0 r

)r

(t t0 r

)r2

]r4pi

onde r = r d a direo de polarizao da onda.Por outro lado, podemos considerar uma fonte puramente rotacional, na forma:

2~u

t2 (+ ) ~u 2~u =

[l (~x ~x0)

] (t t0) (10.8)

onde [l (~x ~x0)

] chamado de centro de rotao, indicando a toro exercida ao

longo de um eixo denido por l. De forma anloga ao caso anterior, podemos escrever:

77

10. Fonte pontual

~uS = ~

Sabendo que

2~ 122~

t2= l (~x ~x0) (t t0)

tem soluo

~ =l(t t0 r

)4pir

onde

r = |~x ~x0|

Assim conclumos que:

~uS =1

4pi

(t t0 r

)r

(t t0 r

)r2

r l

10.4. Generalizao do termo de fonte

Vamos considerar agora um termo mais geral para a fonte, que o caso da equao 10.9.

2 1c22

t2= g (~x, t) (10.9)

O termo de fonte g (~x, t) depende de todas coordenadas espaciais e do tempo, e umadistribuio contnua. Podemos entender essa distribuio contnua como um slido,

dentro do qual cada ponto se comporta como uma fonte pontual, como tenta ilustrar a

gura 10.1. O termo ~x representa um desses pontos da fonte, que est atuando em umdeterminado ponto ~x, a uma distncia r.

78

10.4. Generalizao do termo de fonte

Figura 10.1.: Uma fonte contnua no espao pode ser representada por um slido, e cada

ponto deste slido pode ser entendido como uma fonte independente. Nesse

exemplo, ~x representa um desses pontos.

Cada ponto dentro do slido ter uma contribuio para o campo, dada por

=g(x, y, z, t rc

)4pir

onde

r =

(x x)2 + (y y)2 + (z z)2

O campo total gerado a somatria de todas contribuies pontuais, e como se trata

de uma funo contnua, temos

total =

V

g(x, y, z, t rc

)4pir

dxdydz (10.10)

79

11. Espalhamento de onda plana em

uma interface plana

Passaremos a estudar agora o que ocorre quando uma onda plana incide sobre uma

interface que divide dois meios com propriedades fsicas diferentes. Comearemos com o

caso acstico, que mais simples, e depois passaremos ao estudo do caso elstico.

11.1. Caso acstico

Considerando o caso acstico, o meio descrito apenas pela velocidade c e pela densidade . Vamos supor dois meios sobrepostos, criando uma interface na posio z = 0, umcom velocidade de propagao de onda c1 e densidade 1, e o outro, subjacente, comvelocidade de propagao de onda c2 e densidade 2, conforme ilustra a gura 11.1. Oscampos de presso P1 e P2 devem obedecer a equao da onda, e como so dois camposseparados, necessrio denir as condies de contorno ao longo da interface.

Figura 11.1.: Representao da incidncia de uma onda plana em uma interface que di-

vide dois meios com velocidades e densidades distintos na posio z = 0.Consideramos o efeito da onda acstica sobre um volume innitesimal, dado

pela rea S e pelo comprimento l, disposto simetricamente entre os doismeios.

81

11. Espalhamento de onda plana em uma interface plana

Vamos ento estudar essas condies de contorno.

1 Condio: O campo de presso tem de ser contnuo atravs da interface

Ou seja, para z = 0,

P1 = P2 (11.1)

Para entender a imposio dessa condio, vamos analisar sicamente o seu signicado.

Uma onda plana incidente na interface entre os dois meios causar uma determinada

presso, P = forcaarea . Se considerarmos um slido innitesimal de rea S e altura l,conforme mostra a gura 11.1, temos que as foras atuando sobre esse slido so dadas

por

F1 = P14S

F2 = P24SSubtraindo uma equao da outra obtemos

4F = 4S (P2 P1) (11.2)Sabemos que fora a razo entre massa e acelerao, que nesse caso apenas no eixo

z, ento:

4F = 4S (P2 P1) = m.az (11.3)ou ainda

az =4S (P2 P1)

m(11.4)

lembrando que a massa pode ser escrita em funo da densidade

m = l.4Sao considerarmos o limite de l 0, temos que

liml0

az =

o que uma impossibilidade fsica. Observando a equao 11.4, vemos que a nica

possibilidade de a acelerao no ser innita quando P1 = P2.

2 Condio: necessrio haver continuidade na movimentao vertical.

Seja

~V = (V x, V y, V z) a velocidade de vibrao de partcula, deve ser admitida acontinuidade no movimento vertical, V z1 = V

z2 , pois se isso no ocorrer, a interface se

abrir, e deixa de ser uma interface.

Como j vimos (equao 7.6),

82

11.1. Caso acstico

~V

t=

1

P

Ento a segunda condio de contorno pode ser escrita em funo de presso:

1

1

P1z

=1

2

P2z(11.5)

A maneira clssica de se analisar o problema de espalhamento considerar que a

resposta de um ponto o resultado da somatria do campo incidente mais a somatria

do campo espalhado. A gura 11.2 mostra a disposio desses campos.

Figura 11.2.: Ilustrao do espalhamento de um campo de presso Pi incidente em doiscampos de presso: o reetido Pr e o transmitido Pt

Para resolver esse problema vamos considerar a soluo para equao de onda plana

harmnica para cada uma das onda envolvidas:

Pi = A exp[i(it ~ki ~x

)]Pr = B exp

[i(rt ~kr ~x

)]Pt = C exp

[i(tt ~kt ~x

)]Precisamos ento determinar os valores de A, B, C, i, r, t, ki, kr e kt, considerandoas condies de contorno. Para o campo P1, temos

P1 = Pi + Pr~ki = ic1~kr = rc2 satisfaz a equao da onda P1Para o campo P2 as condies so:

P2 = Pt~kt = tc2}satisfaz a equao da onda P2

83


No entanto, a frequncia de todas as ondas igual, ou seja

i = r = t

e com isso nossas equaes so simplicadas

Pi = A exp[i(t ~ki ~x

)](11.6)

Pr = B exp[i(t ~kr ~x

)](11.7)

Pt = C exp[i(t ~kt ~x

)](11.8)

Pelas condies de contorno, temos:

P1 = P2 Pi + Pr = Ptque, substituindo pelas equaes 11.6-11.8, resulta em:

A exp [i (t kxi x kyi y kzi z)] +B exp [i (t kxr x kyr y kzr z)] == C exp [i (t kxt x kyt y kzt z)]

Essa condio vlida para a interface, ou seja, z = 0:

A exp [i (kxi x+ kyi y)] +B exp [i (t kxr x+ kyr y)] = C exp [i (t kxt x+ kyt y)]

Como essa equao tem que ser satisfeita para todo x e todo y, de onde conclui-se1

que

A+B = C (11.9)

e que as componentes tangenciais tem de ser iguais:

kxi = kxr = k

xt (11.10)

e

kyi = kyr = k

yt (11.11)

e isso nos mostra que as trs ondas se encontram no mesmo plano, conforme ilustra a

gura 11.3.

1

Para vericar, considere x = 0 e y = 0

84

11.1. Caso acstico

Figura 11.3.: Representao dos vetores de frente de onda pertencentes a um mesmo

plano.

Antes de avaliar a segunda condio de contorno na interface (11.5), interessante

analisar a questo dos ngulos envolvidos no espalhamento. Como j vimos, as trs

ondas so coplanares, e por isso o problema se reduz caso bidimensional. podemos ento

representar o espalhamento em funo dos ngulos, conforme ilustra a gura 11.4.

Figura 11.4.: Espalhamento da onda incidente representado em funo dos ngulos de

incidncia i, de reexo r e de transmisso t

Os vetores de direo de cada onda podem ser escritos em funo dos ngulos:

ni = (sini,cosi)nr = (sinr, cosr)nt = (sint,cost)(11.12)

Sabemos que

85


~k =

cn (11.13)

ento:

~ki =

(

c1sini,

c1cosi

)(11.14)

~kr =

(

c1sinr,

c1cosr

)(11.15)

~kt =

(

c2sint,

c2cost

)(11.16)

A partir de 11.10, podemos escrever

c1sini =

c1sinr =

c2sint

de onde resulta que

sini = sinr

e portanto

i = r

Ou seja, os ngulos de incidncia e reexo so iguais. Perceba tambm que chegamos

Lei de Snell, usando apenas a equao da onda:

sinic1

=sintc2(11.17)

Vamos analisar agora a segunda condio 11.5. Vamos calcular as derivadas da equa-

o:

1

1

P1z

=1

2

P2z

11

z

(A exp

[i(t ~ki ~x

)]+B exp

[i(t ~kr ~x

)])=

=1

2

z

(C exp

[i(t ~kt ~x

)])

11

(ikizA exp

[i(t ~ki ~x

)]+ ikrzB exp

[i(t ~kr ~x

)])=

=1

2

(iktzC exp

[i(t ~kt ~x

)])

86

11.1. Caso acstico

Como estamos no limite de z 0, e sabemos que as componentes tangenciais soiguais (equaes 11.10 e 11.11), os exponenciais so todos iguais. Desta forma, podemos

escrever

kizA+ krzB

1=ktzC

2

ou ainda

Ac11

cosi +B

c11cosi = C

c22cost

Denindo a impedncia como:

z = c (11.18)podemos substituir na equao anterior, e montar um sistema com a equao 11.9:{

B C = ABcosiz1

+ Ccostz2 =Acosiz1

(11.19)

Ao invs de trabalharmos com valores absolutos, vamos trabalhar com razes das

amplitudes:

Rr =B

A

Rt =C

A

Rr e Rt so chamados respectivamente de coeciente de reexo e coeciente de trans-misso. Voltando ao sistema 11.19, dividindo tudo por A:{

Rr Rt = 1Rr

cosiz1

+Rtcostz2

= cosiz1(11.20)

Resolvendo o sistema obtemos:

Rr =z2cosi z1costz2cosi + z1cost(11.21)

Rt =2z2cosi

z2cosi + z1cost(11.22)

Note que no caso especco em que o ngulo de incidncia zero (i.e. zero oset),

temos:

Rr (i = 0) =z2 z1z2 + z1(11.23)

Rt (i = 0) =2z2

z2 + z1(11.24)

87


Vamos agora reescrever 11.21 e 11.22 apenas em funo do ngulo de incidncia:

Rr =mcosi

n2 sin2i

mcosi +n2 sin2i(11.25)

Rt =2n cosi

mcosi +n2 sin2i(11.26)

com

m =21e

n =c1c2

O termo n chamado de ndice de refrao.Vamos ento avaliar como as equaes 11.25 e 11.26 se comportam para diferentes

valores de m e n, a comear pela situao mais simples, em que n > 1, ou seja, c2 < c1.O comportamento de Rr em funo de i, para n > 1, ilustrado na gura 11.5.Quando i = 0, vimos que Rr assume o valor da razo entre a diferena e a somadas impedncias, e seu valor ser negativo ou positivo dependendo da relao entre as

impedncias: se z2 < z1 o valor de Rr sempre negativo, e se z2 > z1 o valor de Rrcomea positivo, mas aps um ngulo trans ele passa a ser negativo. Esse fenmenode inverso de sinal de Rr chamado de AVO crossover2

, e o ngulo trans chamadode ngulo de transparncia, e precisamente o ngulo em que Rr = 0. Ao se empilharum dado em que ocorre o AVO crossover, a amplitude do reetor ser mais fraca que as

demais, justamente por conta da inverso na polaridade do evento. esse fenmeno de

enfraquecimento da resposta de um reetor d-se o nome de dim out , e quando ocorre

devido ao AVO crossover, chamado de falso dim out .

O ngulo de transparncia pode ser determinado analiticamente para z2 > z1:

Rr = 0 mcostrans n2 sin2trans = 0

n2 sin2trans = m2cos2trans

n2 sin2trans = m2(1 sin2trans

) sin2trans +m2sin2trans = m2 n2

sintrans =m2 n2m2 1

trans = sin1m2 n2m2 1 (11.27)2

AVO: Amplitude Versus Oset

88

11.1. Caso acstico

Figura 11.5.: Coeciente de reexo em funo do ngulo de incidncia i. Note quepara i = 0 temos a situao de zero oset (equao 11.23), e que o sinalde Rr vai depender da relao entre a impedncia dos dois meios. Quandoa impedncia da camada debaixo maior que a impedncia da camada de

cima, ocorre o chamado AVO crossover, em que h a inverso de sinal de

Rr com o aumento de i. O ngulo de transparncia trans o ngulo emque Rr se anula.

O coeciente de transmisso, para n > 1, ainda mais simples (gura 11.6). Parai = 0, ele assume a forma da equao equao 11.24, e sempre positivo, decrescendomonotonicamente at se tornar nulo em 90.

Figura 11.6.: Coeciente de transmisso em funo do ngulo de incidncia i. Para i =0 temos a situao de zero oset (equao 11.24), e diferente do coecientede reexo, o coeciente de transmisso para n > 1 nunca ser negativo.

89


Vamos agora analisar o caso em que n < 1, ou seja, o caso em que c2 > c1. Observe nasequaes 11.25 e 11.26 que para n > 1 passa a existir a possibilidade de o termo dentroda raiz quadrada se tornar negativo. Em outras palavras, os coecientes de reexo e

transmisso se tornaro grandezas complexas: Rr, Rt C. Por conta deste fato, comumque os coecientes passem a ser representados por mdulo (|R|) e fase :

R = |R| ei

No entanto, note que para um ngulo de incidncia inferior a n, os coecientes soreais, e a fase = 0. Perceba que n nada mais que o seno do ngulo crtico, ou seja,sin1 (n) = crit. Para vericar, basta utilizar a Lei de Snell:

sinic1

=sintc2 sini = c1

c2sin90 sini = n

Para ngulos de incidncia superiores ao ngulo critico, temos:

Rr =mcosi i

sin2i n2

mcosi + isin2i n2(11.28)

Como agora se trata de uma funo complexa, precisaremos avaliar dois grcos, um

com a parte real e outro com a parte complexa. No entanto, o mais comum representar

Rr em funo de seu mdulo e sua fase, e isso que est mostrado na gura 11.7.O mdulo de Rr para zero oset dado pela equao 11.23, e para os demais valoresde i, at atingir o ngulo crtico crit, o mdulo cresce monotonicamente. Observe naequao 11.28 o que temos um nmero complexo dividindo seu prprio conjugado, logo,

o mdulo de Rr para ngulos i maiores que crit sempre ser3 1. Se observarmos agoraa fase, veremos que ela nula para todo ngulo inferior ao ngulo crtico, e passa a ser

monotonicamente crescente at atingir pi para i = 90.

3

Para demonstrar, utilize coordenadas polares e verique que os mdulos de um nmero complexo e

de seu conjugado so iguais

90

11.1. Caso acstico

a)

b)

Figura 11.7.: Mdulo e fase do coeciente de reexo em funo do ngulo de incidncia

i. Perceba que o mdulo (a) cresce monotonicamente at atingir o valorde 1 no ngulo crtico, e aps crit ele se mantm igual a 1. Por outro lado,note que a fase (b) nula at que se atinja o valor de ngulo crtico. Aps

crit a fase cresce monotonicamente.

Matematicamente vimos que a amplitude igual a 1 para todo ngulo maior que crit,mas qual o sentido fsico disso?

Para compreender, considere a gura 11.8, que ilustra a situao em que i crit,chamada de reexo total. Nessas condies a onda transmitida percorre a interface que

separa as duas camadas, formando um ngulo de 90 com a normal. O nome reexo

total sugere que haja apenas reexo, sem nenhuma transmisso, o que signicaria ar-

mar que o campo de onda no meio 2 nulo. No entanto, se observarmos a equao 11.26

veremos que o coeciente de transmisso zero somente quando o ngulo de incidncia

90, ou seja, a direo de propagao a paralela interface. Isso signica que o campo

de onda no meio 2 nunca zero quando h uma onda incidindo na interface: sempre

h transmisso. Essa impossibilidade de o coeciente de transmisso ser nulo vem da

condio de contorno 11.1, que imps a continuidade do campo de presso na interface

(P1 = P2 para z = 0).

91


Figura 11.8.: Reexo total, situao em que o coeciente de reexo vale 1, e a onda

transmitida percorre a interface que separa os dois meios.

Vamos ento analisar algebricamente o fenmeno da reexo total, iniciando pela Lei

de Snell:

sinic1

=sintc2

sint =c2c1sini (11.29)

Temos ento que: {se i = crit sint = 1se i > crit sint > 1Porm sint > 1 signica dizer que t complexo (t C). Podemos ento usar aidentidade trigonomtrica sin2t + cos

2t = 1, e substituir por 11.29, obtendo ento:

cost =

1(c2c1

)2sin2i

Como sabemos que a expresso dentro da raiz negativa para i > 0, podemosreescrever:

cost = i(

c2c1

)2sin2i 1 (11.30)

Vimos que o vetor de onda transmitida

~kt dada pela equao 11.16:

~kt =

c2(sint,cost)Substituindo por 11.29 e 11.30, obtemos:

~kt =

c2

c2c1sini,i

(c2c1

)2sin2i 1

92

11.1. Caso acstico

Como podemos notar,

~kt um vetor complexo, e conforme visto na seo 7.7, um vetorde onda complexo implica em uma soluo para equao de onda plana no homognea.

Em outras palavras, trata-se de uma onda evanescente.

De volta ao vetor

~kt, podemos separ-lo em componente real e imaginria:

~kt = 1 e 2 > 1. Neste caso,alm de critPP teremos tambm o ngulo crtico:

critPS = sin1(12

)

101


Figura 11.12.: Para o caso P-SV existem dois ngulos crticos: um para a onda que incide

como onda P e transmite como onda P (critPP ), e outro para a onda queincide como onda P e sofre converso para SV na transmisso.

O campo total de onda em cada um dos meios dado por:

~u1 = ~ui + ~u(1)P + ~u

(1)S (11.62)

~u2 = ~u(2)P + ~u

(2)S (11.63)

Substituindo 11.54-11.58 nas equaes 11.62 e 11.63, e substituindo nas equaes de

contorno 11.40 e 11.41, chega-se no seguinte sistema linear:

sini cos1 sin2 cos2 0 0cosi sin1 cos2 sin2 0 0

2121p cosi 11

(1 221p2

)22

22p cos2 22

(1 222p2

)0 0

11

(1 221p2

)2121p cos1 22

(1 222p2

)22

22p cos2 0 0

0 0 0 0 1 10 0 0 0 11cosi 22cos2

ArBrAtBtCrCt

=

AisiniAicosi

2Ai121p cos2

Ai11(1 221p2

)00

Perceba que o sistema pode ser separado em dois sistemas lineares independentes,

como j sugerido por 11.40 e 11.41. A componente SH independente, e para uma onda

incidente do tipo P, temos que[1 1

11cosi 22cos2

] [RPSHTPSH

]=

[00

]{RPSH = 0TPSH = 0

Ou seja, no h converso para componente SH. J as componentes P e SV possuem

uma relao descrita pelo sistema

sini cos1 sin2 cos2cosi sin1 cos2 sin2

2121p cosi 11

(1 221p2

)22

22p cos2 22

(1 222p2

)11

(1 221p2

) 2121p cos1 22 (1 222p2) 2222p cos2

RPPRPSVTPPTPSV

=

sinicosi

2121p cos2

11(1 221p2

) (11.64)

102

11.2. Caso elstico

Esse o sistema que forma o conjunto de equaes chamado de equaes de Zoeppritz,

em homenagem ao geofsico alemo Karl Bernhard Zoeppritz. Antes da publicao das

equaes de Zoeppritz, em 1919, Cargill Gilston Knott j havia formulado equaes se-

melhantes em termos de potenciais em 1899, e as duas abordagens so vlidas e utilizadas

at os dias de hoje.

Note que para i = 0 os coecientes de reexo RPP e transmisso TPP assumem amesma forma que as equaes 11.23 e 11.24, para o caso de onda acstica:

Rr (i = 0) =z2 z1z2 + z1

Rt (i = 0) =2z2

z2 + z1

E os coecientes de reexo e transmisso da onda convertida so nulos, ou seja,

RPS = TPS = 0. Note a implicao desse fato: para incidncia normal no h conversode onda P em onda SV.

Para o outro extremo, em que i = 90, os coecientes de reexo cam:

RPS = 0

|RPP | = 1

103

ndice Remissivo

AVO crossover, 88

campos prximo e distante, 74

coeciente

de reexo (onda Acstica), 87

de reexo (onda SH), 99

de transmisso (onda Acstica), 87

de transmisso (onda SH), 99

componentes de cisalhamento, 22

componentes normais de deformao, 22

compressibilidade, 38

constantes de Lam, 37

crescimento relativo, 21

deslocamento

teorema do, 60

dim out, 88

disperso

relao de, 58

fase, 58

deslocamento de, 60

velocidade de, 64

zero, 62

fonte

assinatura da, 77

fora de corpo, 45

Fourier

transformada de, 60

transformada inversa de, 60

frequncia angular, 58

Helmholtz, Potenciais de, 51, 54, 65

Potencial Escalar, 51, 55

Potencial Vetor, 51

impedncia, 87

impedncia-S, 99

incompressibilidade, 38

Kronecker, delta de, 37

Lei de Hooke, 94

Lei de Snell, 86, 98

Mdulo de Young, 39

movimento, equao do, 47

onda

acausal, 71

causal, 71

cisalhante, 66

compressional, 65

equao escalar da, 54

esfrica, 69

evanescente, 62, 64, 93

frente de, 58

plana harmnica, 5860

plana no homognea, 62, 64, 93

plana transiente, 57, 59, 60

plana vetorial, 65

quasi P, 67

quasi S, 67

supercial, 64

vetor de, 58

onda P, 66, 96

velocidade de propagao de, 52, 54

onda S, 67

componentes horizontal e vertical (SH

e SV), denio, 67

SH, 96

SV, 96

velocidade de propagao de, 52, 54

105

ndice Remissivo

ondeleta, 57

polarizao, 65

pulso ssmico, 57

Razo de Poisson, 39

reexo

total, 91

refrao, ndice de, 88

rigidez, 37

shift theorem, 60

Sistema Lagrangiano, 14

tensor de deformaes, 17

tensor de tenses, 30

time shift, 60

transparncia, ngulo de, 88

vagarosidade, 59

valor de contorno, problema de, 47

wavelet, 57

zero oset, 87, 99

106

Notao indicialRegra da Soma

Teoria da Elasticidade LinearDeformaoEm ingls: StrainO tensor de deformaesDeformaes dos vrticesDeformaes das arestasDeformaes angularesOs elementos do tensor de deformao

Mudana fracional de volumeRotaoGeneralizao quanto forma do slido

TensoEm ingls: StressComponentes da tensoCondio de equilbrio de momentosDirees Principais de tenso

Lei de HookeMeio isotrpicoMdulo de Young e Razo de PoissonNotao compactaMeio isotrpicoMeio transversalmente isotrpico

Ondas ssmicasEquao de movimentoMeio no homogneo e anisotrpicoMeio homogneo e anisotrpicoMeio homogneo e isotrpicoMeio no homogneo e isotrpico

Potenciais de HelmholtzEquao escalar da ondaDeduo da equao escalar da ondaConsideraes acerca de velocidades e potenciais de HelmholtzSobre a deduo da equao escalar da ondaSoluo para onda plana transienteSoluo para onda plana harmnicaRelao entre ondas transientes e harmnicasSoluo para onda plana no homognea

Ondas planas elsticasPotencial escalar: onda compressionalPotencial vetorial: onda cisalhanteNota sobre anisotropia

Ondas EsfricasFonte pontualFuno de GreenFonte com pulso arbitrrioCaso elsticoGeneralizao do termo de fonte

Espalhamento de onda plana em uma interface planaCaso acsticoCaso elsticoOnda SHOndas P-SV

ndice Remissivo

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