Vibrações Notas de Aula

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARABA CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA

VIBRAES DOS SISTEMAS MECNICOS VIBRAES LIVRES SEM AMOSTECIMENTO DE SISTEMAS DE 1 GL

N O T A S D E A U L A S

Virglio Mendona da Costa e Silva

Agosto 2014

2. Vibraes Livres sem Amortecimento de Sistemas com 1 GL 2.1 Sistemas com Oscilaes Retilneas 2.1.1 Determinao da Equao Diferencial do Movimento A Equao Diferencial do Movimento EDM de sistemas vibratrios com

um Grau de Liberdade 1 GL, sem amortecimento, pode ser determinada tanto

pelo mtodo de somatrio de foras (aplicando a segunda lei do movimento de

Newton) ou pelo mtodo de energia (aplicando o princpio de conservao de

energia).

2.1.1.1 Mtodo de Somatrio de Foras (Newton)

Todo sistema que possui massa e elasticidade capaz de vibrar (oscilar).

O mais simples sistema oscilatrio o sistema massa-mola, composto de uma

massa M e uma mola de rigidez K e massa desprezvel. A Figura 2.1 mostra um

sistema sem amortecimento, de um grau de liberdade, em razo de o seu

movimento ser definido por uma coordenada apenas em X.

Quando posto em movimento, haver oscilao na frequncia natural fn,

que uma propriedade do sistema. Examinaremos neste capitulo alguns dos

conceitos bsicos associados vibrao livre de sistemas com um grau de

liberdade sem amortecimento.

O exame do movimento do sistema baseia-se, inicialmente, na segunda

lei do movimento de Newton. Conforme mostra a Figura 2.1, a deformao da

mola na posio de equilbrio esttico e a fora da mola K igual fora gravitacional W M g= atuando sobre a massa.

M

K

K

M

Peso

K Posio sem Deflexo

Sistema em Equilibrio Esttico

MX

K (+X)

Peso

X

Sistema em Movimento

Diagrama de Corpo livre

Figura 2.1 Sistema de Vibrao Livre sem Amortecimento de 1 GL

Medindo o deslocamento X da posio de equilbrio esttico, as foras que

atuam sobre a massa M so ( )K X + e a fora gravitacional W . Considerando positivo na direo de cima para baixo, todas as quantidades (fora, velocidade

e acelerao) so tambm positivas na mesma direo.

Aplicando a segunda lei do movimento de Newton (O somatrio de todas

as foras atuando em um sistema em movimento igual ao produto da massa

pela acelerao). Assim temos:

( )F = M X = W - K X + (2.1) ou

M X + K X = 0 (2.2)

onde, no sistema Internacional de Unidades:

M a massa do sistema em [Kg] K a rigidez do sistema em [N/m]

A equao diferencial acima, conhecida como a Equao Diferencial do

Movimento - EDM de um sistema de um grau de liberdade, sem amortecimento.

A primeira parcela da equao (2.2) representa a fora de inrcia do sistema,

enquanto que a segunda parcela representa a fora da mola.

2.1.1.2 Mtodo de Conservao de Energia

A energia total de um sistema conservativo constante. Logo podemos

determinar a equao diferencial do movimento aplicando o principio de

conservao de energia. Parte da energia na vibrao livre de um sistema no

amortecido cintica e parte potencial. A energia cintica T conservada na

massa em razo da sua velocidade, enquanto que a energia potencial U

conservada sob a forma de esforo na deformao elstica (no caso de um

sistema com molas linear ou torcional) ou trabalho realizado num campo de

fora como a gravidade (no caso de um pendulo simples). Sendo constante a

energia total do sistema, sua taxa de variao em relao ao tempo zero,

conforme mostra-se a seguir:

T + U = constante (2.3)

( )d T + U = 0dt

(2.4)

Nosso interesse aqui determinar a equao do movimento. Logo

teremos:

Energia cintica: 21T = M X2

(2.5)

Energia Potencial: 21U K X2

= (2.6)

Substituindo as equaes (2.5) e (2.6) na equao (2.4), tem-se:

2 2d 1 1M X + K X = 0dt 2 2

(2.7)

ou

1 1M 2 X X + K 2 X X = 02 2

(2.8)

Simplificando os termos chaga-se :

M X + K X = 0 (2.9)

Se nosso interesse determinar a frequncia natural do sistema,

podemos estabelecer de acordo com o principio de conservao de energia, que:

1 1 2 2T + U = T + U (2.10)

onde os ndices 1 e 2 representam dois instantes de tempo. Admitindo que o

ndice 1 seja o instante de tempo em que massa passa pela posio de

equilbrio esttico, temos energia potencial nula, 1U 0= . Seja 2 o tempo

correspondente ao Mximo deslocamento da massa. Nesta posio, a velocidade

da massa nula, resultando em 2T 0= . Assim temos:

1 2T + 0 = 0 + U (2.11)

Entretanto, se o sistema esta submetido a um movimento harmnico, os

valores de 1T e 2U so os mximos, da:

max maxT = U (2.12)

Facilmente, pode-se demonstrar que esta equao conduz diretamente

freqncia natural do sistema.

2.1.2 Soluo e Anlise da Equao Diferencial do Movimento

A equao (2.2) uma equao diferencial ordinria, de segunda ordem,

homognea, com coeficientes constantes. Portanto, sua soluo do tipo:

( ) s tX t = e (2.13)

Substituindo a soluo dada pele equao (2.13) na equao (2.2),

obtm-se:

( )2 s tM s + K e = 0 (2.14)

A condio para que a equao (2.14) seja igual a zero que o termo

entre parnteses seja igual a zero, ou seja:

2M s + K = 0 (2.15)

De onde se obtm:

1, 2K

s = - M

(2.16)

ou

1, 2K

s = iM

(2.17)

onde: i = 1 .

Como a equao diferencial (2.2) tem duas solues, a soluo geral a

combinao geral das duas solues, ou seja:

( ) 1 2s t s tX t = A e + B e (2.18) ou

( )K K

i t i tM MX t = A e + B e

+

(2.19)

Aplicando Euler ( i e = cos( ) i sen( ) ), pode-se escrever:

( ) ( ) ( )K KX t = A B cos( t) + A B i sen( t)M M

+ (2.20)

ou simplesmente

( ) 1 1K KX t = A cos( t) + B sen( t)M M (2.21)

onde 1A A B= + e ( )1B A B i= + so constantes que dependem das condies iniciais imposta ao sistema.

Aplicando para as condies iniciais as condies de contorno:

( ) ( )( ) ( )

X t = X 0t = 0

X t = X 0

(2.22)

Chega-se :

( ) ( ) ( )X 0K KX t = X 0 cos( t) + sen( t)M MK

M

(2.23)

A equao (3.23) a soluo da equao diferencial do movimento de um

sistema com um grau de liberdade, sem amortecimento, com vibrao livre.

2.1.3 Definio dos Parmetros a partir das Condies Iniciais

Sabemos que o sistema massa-mola em estudo quando vibrando

livremente produz um movimento harmnico no tempo, onde a resposta pode

ser representada por uma funo senoidal ou cossenoidal. O movimento

simtrico em relao posio de equilbrio da Massa M. A velocidade mxima

e a acelerao zero toda vez que a massa passar por esta posio. J nos

deslocamentos extremos, a velocidade zero e a acelerao mxima. Visto

que isso representa movimento harmnico simples, o prprio sistema massa-

mola denominado um oscilador harmnico. Neste caso a soluo dada pela

equao (2.23) pode ser escrita da forma:

( ) nX t = X cos( t ) (2.24)

onde:

X a amplitude do movimento [ m]

n a frequncia angular em [rad/s]

o ngulo de fase (ngulo entre a origem e o primeiro pico)

Igualando as equaes (3.23) e (3.24) obtm-se:

( ) ( )1

2 22

n

X 0X = X 0 +

(2.25)

( )

( )1

n

X 0 tg

X 0

=

(2.26)

nK

=

M (2.27)

Logo, podemos escrever a soluo do sistema massa-mola vibrando

livremente, equao (2.23), como:

( ) ( ) ( )n nn

X 0X t = X 0 cos( t) + sen( t)

(2.28)

ou

( ) ( ) ( )( )

12 2

2 1

n

X 0X KX t = X 0 + cos t tgM X 0 K

M

(2.29)

Como a soluo peridica, o perodo T de vibrao pode ser calculado usando a expresso:

( ) ( )X t = X t + T (2.30)

ou seja

( )n nX cos( t ) = X cos( t T ) + (2.31) ou

( )n nt T = t + 2 n pi+ (2.32)

Para n 1= (um ciclo), obtm-se:

n

2 2 T = = KM

pi pi

[s] (2.33)

Neste caso, a frequncia natural em ciclos por segundo ser:

n

1 1 Kf = = T 2 Mpi

[Hz] (2.34)

Essas quantidades so expressas em termos da deflexo esttica ,

notando-se pela Figura 2.1 que K Mg = . Considerando 2g 386 pol / s= e em

polegadas, a expresso da frequncia natural em termos de ser:

n1 g 3.127f = =

2 pi [Hz] (2.35)

ou

n

187.6f =

[c.p.m.] (2.36)

Nestas condies, a frequncia natural do sistema de um grau de

liberdade definida unicamente pela deflexo esttica . A Figura 2.2 apresenta um grfico em escala logartmica da equao (2.36). Embora os

sistemas oscilatrios possam diferir na aparncia, a presente discusso aplica-

se a todos os sistemas de um grau de liberdade, submetidos a vibrao livre

sem amortecimento.

Figura 2.2 Frequncia Natural em Funo da Deflexo Esttica

Se ao invs da soluo dada pela equao (2.24), admitirmos para

soluo uma funo do tipo:

( ) nX t = X sen( t ) + (2.37)

Chega-se a:

( ) ( ) ( )( )

12 2

2 n1 X 0 X KX t = X 0 + sen t tgM X 0K

M

+

(2.38)

Observa-se que a nica mudana no resultado passa a ser o ngulo de

fase, que neste caso ficar:

( )( )

n1 X 0 = tg

X 0

(2.39)

2.1.4 Representao Grfica do Movimento

A natureza harmnica pode ser representada em grfico, como mostra a

Figura 2.3(a). Se X

denota um vetor de magnitude X , que faz um ngulo

nt com o eixo vertical ( )X , ento a soluo, equao (2.24), pode ser vista como a projeo do vetor X

sobre o eixo ( )X . As constantes 1A e 1B da

equao (2.21) so simplesmente as componentes retangulares de X

ao longo

dos eixos ortogonais que fazem o ngulo e ( )/ 2pi em relao ao vetor X . Visto que o ngulo nt uma funo linear do tempo, ele aumenta linearmente com o tempo; assim, todo o diagrama gira em sentido anti-horrio

a uma velocidade angular n . Enquanto o diagrama da Figura 2.3(a) gira, a

projeo de X

sobre o eixo ( )X varia harmonicamente, de modo que o movimento se repete toda vez que o vetor percorre um ngulo de 2pi . A

projeo de X

, ou seja, ( )X t , mostrada em grfico como uma funo de nt na Figura 2.3(b) e como funo de t na Figura 2.3(c). O ngulo de fase tambm pode ser interpretado como ngulo entre a origem e o primeiro pico.

Figura 2.3 Representao Grfica do Movimento de um Oscilador Harmnico.

2.2 Sistemas com Oscilaes Torcionais 2.2.1 Determinao da Equao Diferencial do Movimento A Equao Diferencial do Movimento EDM de sistemas vibratrios

torcionais com um Grau de Liberdade 1 GL, sem amortecimento, pode ser

determinada tanto pelo mtodo de somatrio de momentos (aplicando a

segunda lei do movimento de Newton para sistemas com movimentos

angulares) ou pelo mtodo de energia (aplicando o princpio de conservao de

energia).

2.2.1.1 Mtodo de Somatrio de Momentos O mais simples sistema oscilatrio torcional, o pndulo torcional, o

sistema massa-mola, composto de um disco com momento de inrcia de massa

0I e uma barra de rigidez torcional TK e massa desprezvel. A Figura 2.4 mostra

um sistema torcional sem amortecimento, de um grau de liberdade, em razo de

o seu movimento ser definido por uma coordenada apenas em .


lei do movimento de Newton para sistemas com movimentos angulares.

Conforme mostra a Figura 2.4, medindo-se o deslocamento angular da posio de equilbrio esttico, o momento que atuam sobre o disco ser TK .

Considerando positivo na direo de sentido anti-horrio, todas as quantidades

(momento, velocidade angular e acelerao angular) so tambm positivas na

mesma direo.

Aplicando a segunda lei do movimento de Newton para sistemas com

movimentos angulares (O somatrio de todos os momentos atuando em um

sistema em movimento angular igual ao produto da inrcia de massa pela

acelerao angular). Assim temos:

0 TM = I = - K (2.40) ou

0 TI + K = 0 (2.41)

onde, no sistema Internacional de Unidades:

0I a momento de inrcia de massa do disco em [Kg m2]

TK a rigidez torcional da barra em [N m/rad]

Figura 2.4 Pndulo Torcional.


Movimento - EDM de um pndulo torcional de um grau de liberdade, sem

amortecimento. A primeira parcela da equao (2.41) representa a momento

correspondente a inrcia do sistema, enquanto que a segunda parcela

representa o momento de toro da barra.

A rigidez torcional da barra, TK , depende do comprimento da barra, L ,

do material da barra, representado pelo modulo de elasticidade transversal, G , e do dimetro da barra, d , como mostra o desenvolvimento a seguir. Considere uma barra de seo circular, de comprimento L , fixa em uma

extremidade e submetida a um torque tM , na extremidade livre, como mostra a

Figura 2.5.

Figura 2.5 Barra de Seo Circular cilndrica.

Da Figura 2.5(a) pode-se escrever:

'AA = r = L (2.42) ou

r =

L (2.43)

onde:

r o raio da barra, d / 2 o ngulo de toro a distoro

Desde que os dimetros, da seo transversal, permanecem dimetros,

aps a deformao, a distoro , distancia genrica , pode ser escrita, Figura 2.5(b), como:

=

L (2.44)

Consequentemente, as distores variam linearmente com o raio . E, admitida a validade da lei de Hooke, pode se dizer que as tenses de

cisalhamento na seo transversal, variam linearmente com o raio, anulando-se

no centro da barra, para 0 = .

Por simetria, a distribuio das tenses de cisalhamentos, , deve ser

simtrica em relao ao centro, tal como mostra a Figura 2.5(b).

Para haver equilbrio necessrio que a soma dos momentos desses

esforos, que atuam em toda a seo transversal, seja igual a tM , assim:

r r

t 00 0

M = ds = a ds = a J (2.45)

onde a a constante de proporcionalidade entre e , isto :

= a (2.46)

e 0J o momento de inrcia de rea, definido por:

r

20

0

J = ds (2.47)

Explicitando o valor de a na equao (2.46), e substituindo na equao (2.45),

obtm-se:

t

0

M =

J (2.48)

Na superfcie da barra, onde a tenso de cisalhamento mxima, pode-se

escrever:

t

0

M = r

J (2.49)

Sabemos, por definio (Lei de Hooke para toro), que:

= G (2.50) Assim, podemos escrever:

t

0

M r =

J G (2.51)

Substituindo o valor da distoro , obtido na equao (2.44), na equao (2.51), chega-se:

0TG JK =

L (2.52)

onde,

t TM = K (2.53)

De acordo com a Figura 2.6, o momento polar de inrcia 0J , para uma barra de seo circular dado por:

r r 42 2

00 0

dJ = ds = 2 d = 32

pi pi (2.54)

Figura 2.6 Seo Circular da Barra.

Substituindo a equao (2.54) na equao (2.52), obtm-se:

4

TG dK = 32 L

pi (2.55)


Como nos casos de sistemas com movimentos retilneos, a energia total

de um sistema conservativo com movimento angular constante. Logo

podemos determinar a equao diferencial do movimento aplicando o principio

de conservao de energia. Parte da energia na vibrao livre de um sistema

no amortecido cintica e parte potencial. A energia cintica T conservada

na inrcia de massa em razo da sua velocidade angular, enquanto que a

energia potencial U conservada sob a forma de esforo na deformao elstica

torcional. Sendo constante a energia total do sistema, sua taxa de variao em

relao ao tempo zero, conforme mostra-se a seguir:


( )d T + U = 0dt

(2.57)


teremos:

Energia cintica: 201T = I 2

(2.58)

Energia Potencial: 2T1U K 2

= (2.59)

Substituindo as equaes (2.58) e (2.59) na equao (2.57), tem-se:

2 20 T

d 1 1I + K = 0dt 2 2

(2.60)

ou

0 T1 1I 2 + K 2 = 02 2

(2.61)


0 TI + K = 0 (2.62)


Desenvolvimento anlogo ao da seo 2.1.2, pode ser feito para obteno

da soluo da equao diferencial do movimento dada pela equao (2.62). O

resultado ser idntico aos obtidos pelas equaes (2.21), (2.23) e (2.24),

bastando para isto substituir M por 0I , K por TK e, evidentemente ( )X t por ( )t , ou seja:

( ) T T1 10 0

K Kt = A cos( t) + B sen( t)

I I (2.63)

ou, aplicando para as condies iniciais as condies de contorno:

( ) ( )( ) ( )t = 0

t = 0 t = 0

(2.64)

( ) ( ) ( )T T0 0T

0

0K Kt = 0 cos( t) + sen( t)I IK

I

(2.65)

ou ainda, como sabemos que trata-se de movimento harmnico simples:

( ) nt = cos( t ) (2.66) onde:

a amplitude do movimento [rad]



( ) ( )1

2 22

n

0 = 0 +

(2.67)

( )

( )1

n

0 tg

0

=

(2.68)

Tn0

K =

I (2.69)

Logo, podemos escrever a soluo do sistema torcional massa-mola

vibrando livremente, equao (2.62), como:

( ) ( ) ( )n nn

0t = 0 cos( t) + sen( t)

(2.70)

ou

( ) ( ) ( ) ( )( )

12 2

2 1T

0 nT

0

0 0Kt = 0 + cos t tg

I 0 KI

(2.71)



( ) ( )t = t + T (2.72)

ou seja

( )n n cos( t ) = cos( t T ) + (2.73) ou

( )n nt T = t + 2 n pi+ (2.74)


n T

0

2 2 T = = KI

pi pi

[s] (2.75)


Tn

0

K1 1f = = T 2 Ipi

[Hz] (2.76)


A representao grfica do movimento idntica obtida na Figura 2.3,

bastando para isto fazer a substituio adequada das grandezas definidas na

seo 2.2.2.

2.3 Sistemas com Oscilaes Angulares

2.3.1 Determinao da Equao Diferencial do Movimento

A Equao Diferencial do Movimento EDM de sistemas vibratrios com

movimentos angulares, de um Grau de Liberdade 1 GL, sem amortecimento,

pode ser determinada tanto pelo mtodo de somatrio de momentos (aplicando

a segunda lei do movimento de Newton para sistemas com movimentos

angulares) ou pelo mtodo de energia (aplicando o princpio de conservao de

energia).

2.3.1.1 Mtodo de Somatrio de Momentos O mais simples sistema oscilatrio com movimento angular, o pndulo

simples, o sistema composto de uma massa M presa extremidade de uma corda com a outra extremidade fixa. A Figura 2.7 mostra um pndulo simples

sem amortecimento, de um grau de liberdade, em razo de o seu movimento ser

definido por uma coordenada apenas em .


lei do movimento de Newton para sistemas com movimentos angulares.

Conforme mostra a Figura 2.7, medindo-se o deslocamento angular da

posio de equilbrio esttico, o momento que atua ser ( )M g L sen . Considerando positivo na direo de sentido anti-horrio, todas as quantidades

(momento, velocidade angular e acelerao angular) so tambm positivas na

mesma direo.

Aplicando a segunda lei do movimento de Newton para sistemas com

movimentos angulares (O somatrio de todos os momentos atuando em um

sistema em movimento angular igual ao produto da inrcia de massa pela

acelerao angular). Assim temos:

( )0M = I = - M g L sen (2.77)

ou, considerando pequenas oscilaes, onde ( )sen , obtm-se:

0I + M g L = 0 (2.78)

Como o momento de inrcia da massa M com relao ao ponto O 2

0I = M L , chega-se a:

L + g = 0 (2.79)

ou

g

+ = 0L

(2.80)

L

h

Mg

Mg sen

O

X

Figura 2.7 Pndulo Simples.


Movimento - EDM de um pndulo simples de um grau de liberdade, sem

amortecimento. Pela equao observa-se que a frequncia natural depende

apenas do comprimento da corda.


Como nos caso de sistemas com movimentos retilneos, a energia total de

um sistema conservativo com movimento angular constante. Logo podemos

determinar a equao diferencial do movimento aplicando o principio de

conservao de energia. Parte da energia na vibrao livre de um sistema no

amortecido cintica e parte potencial. A energia cintica T conservada na

inrcia de massa em razo da sua velocidade angular, enquanto que a energia

potencial U conservada pelo trabalho realizado num campo de fora como a

gravidade. Sendo constante a energia total do sistema, sua taxa de variao em

relao ao tempo zero, conforme mostra-se a seguir:


( )d T + U = 0dt

(2.82)


teremos:

Energia cintica: 21T = M X2

(2.83)

Energia Potencial: ( )( )U M g h = M g L 1 - cos = (2.84)

Da Figura 2.7, observa-se que:

( )X = L sen ( ) 22 2 2X = L cos (2.85) logo,

( ) 22 21T = M L cos2

(2.86)

Substituindo as equaes (2.84) e (2.86) na equao (2.82), e, em

seguida considerando pequenas oscilaes, onde ( )sen e ( ) 2cos 1-2

,

obtm-se:

21 M L 2 + M g L = 02

(2.87)


L + g = 0 (2.88)


Desenvolvimento anlogo ao da seo 2.1.2, pode ser feito para obteno

da soluo da equao diferencial do movimento dada pela equao (2.88). O

resultado ser idntico aos obtidos pelas equaes (2.21), (2.23) e (2.24),

bastando para isto substituir M por L , K por g e, evidentemente ( )X t por ( )t , ou seja:

( ) 1 1g gt = A cos( t) + B sen( t)L L (2.89)

ou, aplicando para as condies iniciais as condies de contorno:

( ) ( )( ) ( )t = 0

t = 0 t = 0

(3.90)

( ) ( ) ( )0g gt = 0 cos( t) + sen( t)L Lg

L

(2.91)

ou ainda, como sabemos que trata-se de movimento harmnico simples:

( ) nt = cos( t ) (2.92) onde:

a amplitude do movimento [rad]



( ) ( )1

2 22

n

0 = 0 +

(2.93)

( )

( )1

n

0 tg

0

=

(2.94)

ng

=

L (2.95)

Logo, podemos escrever a soluo do sistema pndulo simples, equao

(2.88), como:

( ) ( ) ( )n nn

0t = 0 cos( t) + sen( t)

(2.96)

ou

( ) ( ) ( ) ( )( )

12 2

2 1

n

0 0gt = 0 + cos t tgL 0 g

L

(2.97)



( ) ( )t = t + T (2.98) ou seja

( )n n cos( t ) = cos( t T ) + (2.99) ou

( )n nt T = t + 2 n pi+ (2.100)


n

2 2 T = = gL

pi pi

[s] (2.101)


n

1 1 gf = = T 2 Lpi

[Hz] (2.102)


A representao grfica do movimento idntica obtida na Figura 2.3,

bastando para isto fazer a substituio adequada das grandezas definidas na

seo 2.3.2.

2.4 Equivalncia de Sistemas Na prtica muitos sistemas mecnicos de um grau de liberdade se

apresentam com mais de um elemento elstico (molas), vrias massas ou

inrcias que podem ser substitudos respectivamente por uma nica mola, mola

equivalente ou uma nica massa (ou inrcia), massa efetiva (ou inrcia

equivalente), transformando-se assim em um sistema massa-mola equivalente.

Portanto essa equivalncia pode ser de elasticidade, associao de rigidez ou

flexibilidade, de massa, massa efetiva ou de inrcia, inrcia equivalente.

2.4.1 Equivalncia de Elasticidade (Associao de Rigidez ou Flexibilidades) 2.4.1.1 Rigidez Equivalente de Molas em Srie. Considere o sistema massa-mola-mola da Figura 2.8(a), composto de

uma massa M e duas molas de rigidez 1K e 2K , de massas desprezveis,

associadas em srie. Podemos encontrar o sistema massa-mola equivalente,

Figura 2.8(b), composto da mesma massa M e uma nica mola de rigidez eK ,

de massa desprezvel. Neste caso, entende-se que dois sistemas mecnicos so

equivalentes se quando submetidos s mesmas perturbaes apresentam

respostas iguais.

Ke

M

M

K1

K2

(a)

(b)

Figura 2.8 Associao de Molas em Srie.

Aplicando-se uma fora F nas massas dos sistemas representados pelas Figuras 2.8(a) e 2.8(b), obtm-se:

Na mola de rigidez 1K :

1 1F = K (2.103)


2 2F = K (2.104)

Na mola de rigidez eK :

eF = K (2.105)

Para que os sistemas sejam equivalentes, necessrio que:

1 2 = + (2.106)

Substituindo na equao (2.106) os valores de , 1 e 2 extrados

respectivamente das equaes (2.103), (2.104) e (2.105) obtm:

e 1 2

F F F = +

K K K (2.107)

ou,

1 2e

1 2

K KK = K + K

(2.108)

2.4.1.2 Rigidez Equivalente de Molas em Paralelo.

Considere o sistema massa-mola-mola da Figura 2.9(a), composto de

uma massa M e duas molas de rigidez 1K e 2K , de massas desprezveis,

associadas em paralelo. Podemos encontrar o sistema massa-mola equivalente,

Figura 2.8(b), composto da mesma massa M e uma nica mola de rigidez eK ,

de massa desprezvel.

M

K1 K2 Ke

M

(a) (b)

Figura 2.9 Associao de Molas em Paralelo.



1 1 1F = K (2.109)


2 2 2F = K (2.110)


eF = K (2.111)

Para que os sistemas sejam equivalentes necessrio que as

deflexes , 1 e 2 sejam iguais. Neste caso a fora aplicada na massa do

sistema da Figura 2.9(a) ser distribuda para as duas molas, ou seja:

1 2F = F + F (2.112)

Substituindo na equao (112) os valores de F , 1F e 2F das equaes

(2.109), (2.110) e (2.111) obtm:

e 1 1 2 2K = K + K (2.113)

ou,

e 1 2K = K + K (2.114)

Desenvolvimento igual pode ser feito para o sistema da Figura 2.10(a).

Observe que nos sistemas em paralelos a deflexes nas molas sempre so

iguais. Assim, para o sistema da Figura 2.10(b) a rigidez equivalente

calculada tambm pela equao (2.114).

M

K1

K2

(a)

Ke

M

(b)

Figura 2.10 Associao de Molas em Paralelo.

2.4.1.3 Rigidez Equivalente de Molas Nem em Srie Nem em Paralelo.

Considere o sistema massa-mola-mola composto de uma massa M , com

centro de massa em 0, e duas molas de rigidez 1K e 2K , de massas

desprezveis, associadas como mostra a Figura 2.11(a). Podemos encontrar o

sistema massa-mola equivalente, Figura 2.11(b), composto da mesma massa M

e uma nica mola de rigidez eK de massa desprezvel. Neste caso, entende-se

que as duas molas esto submetidas a esforos diferentes e sofrero

deformaes diferentes, em decorrncia centro de massa de M estar mais

prximo da mola de rigidez 2K .

K2

M

K1

0

Ke

M1 2

(a) (b)a b a b

0

Figura 2.11 Associao de Molas Nem em Srie Nem em Paralelo.

Aplicando-se uma fora F em 0, nas massas dos sistemas representados pelas Figuras 2.11(a) e 2.11(b), obtm-se:


1 1 1F = K (2.115)


2 2 2F = K (2.116)


e 0F = K (2.117)

Neste caso a fora aplicada na massa do sistema da Figura 2.11(a) ser

distribuda para as duas molas, ou seja:

1 2F = F + F (2.118)

Aplicando o somatrio de momentos com relao ao ponto 0, tem-se:

1 2F a = F b (2.119)

Das equaes (2.118) e (2.119 ) obtm-se:

1bF = F

a + b (2.120)

e

2aF = F

a + b (2.121)

Substituindo os valores de 1F e 2F das equaes (2.120) e (2.121 ) , nas

equaes (2.115) e (2.116) e explicitando os valores das deflexes 1 e 2 ,

obtm-se:

( )1 1b F

=

a + b K (2.122)

e

( )2 2a F

=

a + b K (2.123)

Da Figura 2.12, observa-se que:

0

1 0y

2

a b

Figura 2.12 Diagrama das Deflexes.

0 1 y = + (2.124)

onde, por semelhana de tringulos, Figura 2.12:

( )y 2 1a = - a + b

(2.125)

Assim, tem-se que:

( )0 1 2 1a = + - a + b

(2.126)

Substituindo os valores de 1 e 2 na equao (2.126), chega-se a:

( )2 2

0 22 1

F a b = +

K Ka + b

(2.127)

Como, 0 e = F K , ver equao (117), chega-se que:

( )2e 2 2

2 1

a + bK =

a b +

K K

(2.128)

2.4.1.4 Rigidez Equivalente de Barras com Deformao Linear

Considere o sistema dinmico da Figura 2.13(a), composto de uma massa

M fixa a extremidade inferior de uma barra elstica de comprimento L e rea de seo transversal A , de massa desprezvel. Podemos encontrar o sistema massa-mola equivalente, Figura 2.13(b), composto da mesma massa M e uma

mola de rigidez eK de massa desprezvel.

Ke

MM

L

A

(a) (b)

Figura 2.13 Sistema Massa-Barra Elstica com Movimento Linear.


Na Barra:

Lei de Hooke F

= = E A

(2.129)

onde

a tenso na barra [N/m2]

a deformao axial da barra [adimensional]

E o modulo de elasticidade [N/m2]

Como =

L

, obtm-se:

A E F = L

(2.130)


eF = K (2.131)

Igualando as equaes (130) e (131), chega-se a:

e

A EK = L

(2.132)

2.4.1.5 Rigidez Equivalente de Vigas em Balano (Engaste-Livre) Considere o sistema dinmico da Figura 2.14(a), composto de uma massa

M fixa a extremidade livre de uma viga em balano de comprimento L e propriedades de rigidez E I , de massa desprezvel. Podemos encontrar o sistema massa-mola equivalente, Figura 2.14(b), composto da mesma massa M

e uma mola de rigidez eK de massa desprezvel.

M

L

Ke

M(a)

(b)

E I

Figura 2.14 Viga em Balano com Massa Fixa na Extremidade Livre.



eF = K (2.133)

Para viga em balano, podemos determinar a deflexo a uma distancia x

do engaste, devido aplicao da fora, atravs da equao da linha elstica.

Assim, de acordo com a Figura 2.15, pode-se escrever:

2

f2d yE I = M = F L - F xdx

(2.134)

onde, fM o momento fletor em X .

y

x

ymaxx

FL

Figura 2.15 Deformao da Viga em Balano Devido a Carga.

Integrando a equao (2.134) obtm-se a expresso para o clculo de

inclinao em qualquer ponto x da viga, ou seja:

2

1dy F xE I = F L x - + Cdx 2

(2.135)

onde, 1C uma constante de integrao.

Integrando a equao (2.135) obtm-se a expresso para o clculo da

deflexo em qualquer ponto x da viga, ou seja:

2 3

1 2F L x F xE I y = - + C x + C

2 6 (2.136)


As constantes de integrao 1C e 2C podem ser obtidas das condies de

contorno:

1

2

dy = 0 C = 0

x = 0 dxy = 0 C = 0

(2.137)

Logo as equaes (2.135) e (2.136) podem ser escritas como:

2dy F xE I = F L x - dx 2

(2.138)

2 3F L x F xE I y = - 2 6

(2.139)

Como estamos interessados em calcular a deflexo no ponto de aplicao

da fora F , temos que em x = L , maxy = . Logo, fazendo x = L na equao

(2.139), tem-se:

3F LE I =

3 (2.140)

Substituindo o valor de F , da equao (2.133), na equao (2.140), chega-se a:

e 33 E IK =

L (2.141)

onde, I o momento de inrcia de rea da seo transversal da viga.

2.4.1.6 Rigidez Equivalente de Vigas Bi-Engastadas Considere o sistema dinmico da Figura 2.16(a), composto de uma massa

M fixa no meio do vo de uma viga bi-engastada, de comprimento L , propriedades de rigidez E I , e de massa desprezvel. Podemos encontrar o sistema massa-mola equivalente, Figura 2.16(b), composto da mesma massa M

e uma mola de rigidez eK de massa desprezvel.

Ke

M

M

L

L/2

A B

(a)

(b) Figura 2.16 Viga em Bi-engastada.



eF = K (2.142)

A deflexo da viga bi-engastada da Figura 2.16(a) pode ser determinada

pelo mtodo de superposio, substituindo-se o engaste no ponto B por uma

carga 1F e um momento M . Neste caso, a viga da Figura 2.16(a) pode ser

substituda pela composio de vigas em balano mostrada na Figura 2.17.

M

L

L/2F

L

F1

L

A

A

B

B

A B

Figura 2.17 Composio de Vigas em Balano Equivalente a Viga Bi-engastada.

Assim, a deflexo no ponto A da viga da Figura 2.16(a), ser dada por:

1A AF AF AMy = y - y + y (2.143)

onde:

AFy a deflexo no ponto A devido a carga F aplicada no ponto A .

1AF

y a deflexo no ponto A devido a carga 1F aplicada no ponto B .

AMy a deflexo no ponto A devido o momento aplicado no ponto B .

Lembramos que a carga 1F e o momento M aplicados no ponto B devem

ter suas magnitudes tal que o deslocamento e a inclinao resultantes da

composio da Figura 2.17, no ponto B , sejam nulos, condies estas impostas por um engaste, ou seja:

1B BF BF BMy = y - y + y = 0 (2.144)

1BFB BF BMdydy dy dy

= - + = 0dx dx dx dx

(2.145)

onde:

BFy a deflexo no ponto B devido a carga F aplicada no ponto A .

1BF

y a deflexo no ponto B devido a carga 1F aplicada no ponto B .

BMy a deflexo no ponto B devido o momento aplicado no ponto B .

BFdydx

a inclinao no ponto B devido a carga F aplicada no ponto A .

1BFdy

dx a inclinao no ponto B devido a carga 1F aplicada no ponto B .

BMdy

dx a inclinao no ponto B devido o momento aplicado no ponto B .

Resolvendo o sistema de equaes (2.144) e (2.145) obtm-se os valores

de 1F e M em funo da carga F . Como a carga F ser aplicada no meio do vo

da viga da Figura 2.16(a), sabe-se que:

1FF = 2

(2.146)

Neste caso, como se sabe o valor de 1F , equao (146), basta substitu-lo

em uma das equaes (2.144) ou (2.145), para se obter o valor de M em funo da carga F .

Antes de resolvermos a equao (2.143), para o clculo de Ay ,

relembramos as equaes para o clculo de deflexo e inclinao de vigas em

balano.

Considere as vigas em balano das Figuras 2.18(a) e 2.18(b) submetidas

e fora e momento nas extremidades.

L

P

ML

x

y

x x

y

x

(a) (b)

Figura 2.18 Vigas em Balano Submetidos a Fora e Momento nas Extremidades.

Atravs da teoria da equao da linha elstica, ver desenvolvimento da

seo 2.4.1.5., pode-se escrever:

2 3

x

P L x P xE I y = - 2 6

(2.147)

2xdy P xE I = P L x -

dx 2 (2.148)

Se x = L temos a deflexo mxima e a inclinao mxima, na extremidade da viga:

3

LP LE I y =

3 (2.149)

2Ldy P LE I =

dx 2 (2.150)

Usando o mesmo desenvolvimento pode-se escrever para o momento M , aplicado na extremidade:

2x

M xE I y = 2

(2.151)

xdyE I = M xdx

(2.152)

Se x = L temos a deflexo mxima e a inclinao mxima, na extremidade da viga:

2

LM LE I y =

2 (2.153)

LdyE I = M Ldx

(2.154)

Com base nas equaes (2.147) at (2.154) podemos agora resolver a

equao (2.144) para o clculo de M em funo de F .

Com base nas equaes (2.149), (2.150) e Figura 2.19 tem-se:

( ) ( ) ( )3 2 3BF 1 2

L L LF F 5 F L 2 2 2y = + = + = 3 E I 2 E I 48 E I

(2.155)

y

x12

F

A BL/2 L/2

Figura 2.19 Viga em Balano Submetida a uma Fora no Meio do Vo.

Com base na equao (2.149), tem-se:

1

3 31

BFF L F L y = = 3 E I 6 E I

(2.156)


2

BMM Ly = 2 E I

(2.157)

Substituindo os valores de BFy , 1BFy e BMy , obtidos nas equaes (2.155),

(2.156) e (2.157), na equao (2.144), obtm-se:

3 3 25 F L F L M L - + = 0

48 E I 6 E I 2 E I (2.158)

ou

F L M = 8

(2.159)

Substituindo os valores de 1F , equao (2.146), e M , equao (2.159),

na equao (2.143), tem-se:

Com base na equao (2.149):

( )3 3AF

LF F L 2y = = 3 E I 24 E I

(2.160)

Com base na equao (2.147):

( ) ( )1

2 331 1

AF

L LF L F 5 F L 2 2y = - = 2 E I 6 E I 96 E I

(2.161)


( )2 3AM

LM F L2y = = 2 E I 64 E I

(2.162)

Substituindo os valores de AFy , 1AFy e AMy , obtidos nas equaes (2.160),

(2.161) e (2.162), na equao (2.143) , obtm-se:

3 3 3

AF L 5 F L F Ly = - + 24 E I 96 E I 64 E I

(2.163)

ou

3A

F 192 E I =

y L (2.164)

Como Ay = , chega-se a:

e 3192 E IK =

L (2.165)

2.4.2 Equivalncia de Massas (Massa Efetiva)

O mtodo da energia pode ser usado para um sistema multimassas ou

sistema de massas distribudas, fornecendo o movimento de cada ponto no

sistema conhecido. Assim possvel expressar o movimento de varias massas

em termos do movimento de um ponto especifico, transformando-o em um

sistema de um GL. A energia cintica pode ser escrita como:

2ef

1T = M X2

(2.166)

2.4.2.1 Massa Efetiva de uma Mola

Considere o sistema massa-mola da Figura 2.20(a), composto de uma

massa M e uma mola de rigidez K e massas mM . Podemos encontrar o

sistema massa-mola equivalente, Figura 2.20(b), composto da mesma massa

eqM e uma mola de rigidez K de massa desprezvel.

Considerando a mola como um sistema linear, podemos escrever

respectivamente para massa e velocidade do elemento da mola de comprimento

dy :

me

M dyM = L

(2.167)

e

X yX = L

(2.168)

My dyL

K

Meq

L K

(a) (b)

Figura 2.20 Massa Efetiva da Mola.

A energia cintica da mola ser:

2Lm

m

0

M dy1 X yT = 2 L L

(2.169)

ou

L22 2m m

m 30

M X M1 1T = y dy = X2 L 2 3

(2.170)

Comparando a equao (2.170), com a equao (2.166), conclui-se que a

massa efetiva e dada por:

mef

MM = 3

(2.171)

Neste caso a massa total do sistema, massa equivalente, considerando a

contribuio da massa da mola ser:

eq efM = M + M (2.172)

Assim, a frequncia natural de vibrao livre sem amortecimento de um

sistema massa-mola composto de uma massa M e uma mola de rigidez K e

massa mM , ser:

nm

1 Kf = M2 M + 3

pi (2.173)

2.4.2.2 Massa Efetiva de uma Viga Bi-apoiada

Considere o sistema dinmico da Figura 2.21(a), composto de uma massa

M fixa no meio do vo de uma viga bi-apoiada de comprimento L e

propriedades de rigidez E I , de massa vM . Podemos encontrar o sistema

massa-mola equivalente, Figura 2.14(b), composto da mesma massa eqM e uma

mola de rigidez eK de massa desprezvel.

Assim possvel expressar o movimento da massa da viga em termos do

movimento de um ponto especifico, transformando-o em um sistema de um GL.

A energia cintica pode ser escrita como:

2v ef max

1T = M y2

(2.174)

M

L

E I

y

x

x

Ke

Meq

(a)(b)

Figura 2.21 Massa Efetiva de uma Viga Bi-apoiada.



eF = K (2.175)

Para viga em bi-apoiada, podemos determinar a deflexo a uma distancia

x do engaste, devido aplicao da fora, atravs da equao da linha elstica.

Assim, pode-se escrever:

2f2d y FE I = M = x para 0 x L 2dx 2

(2. 176)

onde, fM o momento fletor em x .

Integrando a equao (2.176) obtm-se a expresso para o clculo de

inclinao em qualquer ponto x da viga, ou seja:

2

1dy F xE I = + Cdx 4

(2.177)


Integrando a equao (2.177) obtm-se a expresso para o clculo da

deflexo em qualquer ponto x da viga, ou seja:

3

1 2F xE I y = + C x + C12

(2.178)


As constantes de integrao 1C e 2C podem ser obtidas das condies de

contorno:

2x = 0 y = 0 C = 0 (2.179) 2

1L dy F L

x = = 0 C = - 2 dx 16

(2.180)

Logo as equaes (2.177) e (2.178) podem ser escritas como:

2 2dy F x F LE I = - dx 4 16

(2.181)

3 2F x F L xE I y = - 12 16

(2.182)

Como estamos interessados em calcular a deflexo no ponto de aplicao

da fora F , temos que em Lx = 2

, maxy = . Logo, da equao (2.182), tem-se:

3F LE I =

48 (2.183)

Substituindo o valor de F , da equao (2.175), na equao (2.178), chega-se a:

e 348 E IK =

L (2.184)

onde, I o momento de inrcia de rea da seo transversal da viga.

Para clculo da massa efetiva, podemos calcular com base na nas

equaes (2.182) e (2.183):

3 2

3max

1 F X F L X -

E I 12 16y =

F Ly48 E I

(2.185)

ou

3

max

X Xy = y 4 - 3 para 0 X L 2L L

(2.186)

Como feito para mola, seo 2.4.2.1, considerando a viga como um

sistema linear, pode escrever para massa de um elemento da viga de

comprimento dx :

ve

M dxM = L

(2.187)

A energia cintica da viga ser:

L 232v

V max0

M dx1 X XT = 2 y 4 - 3 2 L L L

(2.188)

ou

L 232 2v max

V0

M y1 X XT = 2 4 - 3 dx2 L L L

(2.189)

ou

2V v max1T = 0.4857 M y2

(2.190)

Comparando a equao (2.190), com a equao (2.174), conclui-se que a

massa efetiva e dada por:

ef vM = 0.4857 M (2.191)

Neste caso a massa total do sistema, massa equivalente, considerando a

contribuio da massa da mola ser:

eq efM = M + M (2.192)

Assim, a frequncia natural de vibrao livre sem amortecimento de um

sistema composto de uma massa M fixa no meio do vo de uma viga bi-apoiada

de comprimento L e propriedades de rigidez E I , de massa vM , ser:

pie

n

v

K1f = 2 M + 0.4857 M

(2.193)

Exerccio 1: Mostre que para um sistema dinmico composto de uma massa M fixa na extremidade de uma viga engaste-livre de comprimento L , propriedades

de rigidez E I , e de massa vM , a massa efetiva dada por ef vM = 0.23 M .

Exerccio 2: Muitas vezes os sistemas oscilatrios so compostos de alavancas,

engrenagens e outras ligaes que complicam aparentemente a anlise. Um

exemplo tpico desses casos est no sistema de vlvulas de motor indicado na

Figura 2.22. geralmente vantajosa a reduo de um tal sistema para outro

equivalente mais simples.

Figura 2.22 Sistema de Vlvula e Motor.

O balancim com momento de inrcia J , a vlvula com massa vm e a mola

com massa sm podem ser reduzidos a uma simples massa em A pela seguinte

formulao da equao da energia cintica.

b v sT = T + T + T (2.194)

ou

2 2 2v s

1 1T = J + m b + m b 2 3

(2.195)

Admitindo-se que a velocidade em A seja x = a , a equao acima se transforma em:

2 2v s

22

1J + m b + m b1 3T = x2 a

(2.196)

Nestas condies, a massa efetiva em A ser:

2 2v s

A 2

1J + m b + m b3m =

a

(2.197)

2.4.3 Equivalncia em Sistemas Torcionais (Rigidez e Inrcia)

2.4.3.1 Rigidez Torcional em Srie e Equivalncia de Inrcia.

Considere o sistema torcional da Figura 2.23(a), composto de um disco

com momento de inrcia de massa I e duas barra uma com rigidez torcional

T1K , com dimetro 1d e comprimento 1L e a outra com rigidez torcional T2K ,

com dimetro 2d e comprimento 2L , ambas com massas desprezveis e

associadas em sries. Podemos encontrar o sistema torcional equivalente,

Figura 2.23(b), composto de um disco com mesmo momento de inrcia de

massa I e uma nica barra de rigidez torcional TeK , com dimetro 1d e

comprimento eq1L ou 2d e comprimento eq2L , de massa desprezvel. Para o

sistema da Figura 2.23(a), tambm possvel se encontrar o sistema torcional

equivalente, Figura 2.23(c), composto de um disco com momento de inrcia de

massa eqI e uma nica barra de rigidez torcional TeK , com dimetro qualquer d

e comprimento qualquer L , de massa desprezvel.

I

Leq

I

L

Ieq

L1 L2

d1 d2 d1 ou d2 d

(a) (b) (c)

Figura 2.23 Sistema com Rigidez Torcional em srie e Equivalncia de Inrcia.

Aplicando-se um torque tM nos discos dos sistemas representados pelas

Figuras 2.23(a) e 2.23(b), obtm-se:

Na barra de rigidez T1K :

t T1 1M = K (2.198)


t T2 2M = K (2.199)

Na barra de rigidez TeK :

t TeM = K (2.200)

Para que os sistemas sejam equivalentes, necessrio que os ngulos de

toro satisfaam equao:

1 2 = + (2.201)

Substituindo na equao (2.201) os valores de , 1 e 2 extrados

respectivamente das equaes (2.198), (2.199) e (2.200) obtm:

t t t

Te T1 T2

M M M = +

K K K (2.202)

Podemos escrever cada rigidez torcional em funo do material da barra,

do dimetro e do comprimento, como mostra a equao (2.55), assim tem-se:

Para barra de rigidez T1K :

41 1

T11

G dK = 32 L

pi (2.203)


42 1

T22

G dK = 32 L

pi (2.204)

Admitindo mesmo material, 1 2G G G= = , e substituindo os valores de

rigidez torcional das equaes (2.203) e (2.204) na equao (2.202), obtm-se:

t 1 t 2 t4 4

e 1 2

M 32 L M 32 L M = +

K d G d Gpi pi (2.205)

Se admitirmos que a barra de rigidez torcional equivalente fique com o

dimetro 1d , a equao (2.205) passa a ser escrita como:

4t t 1

1 24 4e 1 2

M 32 M d = L L

K d G dpi

+

(2.206)

Na equao (2.206), o termo entre parntese conhecido como

comprimento equivalente, assim:

41

eq1 1 2 42

dL = L Ld

+ (2.207)

Neste caso, a rigidez torcional equivalente ser:

pi 41Te

eq1

G dK = 32 L

(2.208)


dimetro 2d , a equao (2.205) passa a ser escrita como:

4t t 2

1 24 4e 2 1

M 32 M d = L L

K d G dpi

+

(2.209)

Neste caso o comprimento equivalente passa a ser:

42

eq2 1 241

dL = L Ld

+ (2.210)

e a rigidez torcional equivalente ser:

pi 42Te

eq2

G dK = 32 L

(2.211)

Para estas condies frequncia natural de vibrao livre ser:

pi

pi

41

n

eq1

G d1f = 2 32 L I

(2.212)

ou

pipi

42

n

eq2

G d1f = 2 32 L I

(2.213)

onde os valores de eq1L e eq2L das equaes (2.212) e (2.213) so

respectivamente os valores obtidos das equaes (2.207) e (2.210).

Se optarmos por uma configurao como mostra a Figura 2.23(c), com a

barra de rigidez torcional com dimetro d e comprimento L , as frequncias naturais dada pelas equaes (2.212) e (2.213) passam a ser:

4

n

eq

1 G df = 2 32 L I

pi

pi (2.214)

onde eI a inrcia de massa equivalente dada por:

4eq1

eq 41

d LI = I

d L (2.215)

ou

4eq2

eq 42

d LI = I

d L (2.216)

Lembre que os valores de eq1L e eq2L das equaes (2.215) e (2.216) so

respectivamente os valores obtidos das equaes (2.207) e (2.210).

2.4.3.2 Rigidez Torcional em Paralelo e Equivalncia de Inrcia.


com momento de inrcia de massa I e duas barra uma com rigidez torcional

T1K , com dimetro 1d e comprimento 1L e a outra com rigidez torcional T2K ,

com dimetro 2d e comprimento 2L , ambas com massas desprezveis e

associadas em paralelo. Podemos encontrar o sistema torcional equivalente,

Figura 2.24(b), composto de um disco com mesmo momento de inrcia de

massa I e uma nica barra de rigidez torcional TeK , com dimetro 1d e

comprimento eq1L ou 2d e comprimento eq2L , de massa desprezvel. Para o

sistema da Figura 2.24(a), tambm possvel se encontrar o sistema torcional

equivalente, Figura 2.24(c), composto de um disco com momento de inrcia de

massa eqI e uma nica barra de rigidez torcional TeK , com dimetro qualquer d

e comprimento qualquer L , de massa desprezvel.

Leq

I

L

Ieq

L1

L2

d1

d2

d1 ou d2 d

I

(a)

(b) (c)

Figura 2.24 Sistema com Rigidez Torcional em srie e Equivalncia de Inrcia.

Aplicando-se um torque tM nos discos dos sistemas representados pelas

Figuras 2.24(a) e 2.24(b), obtm-se:


t1 T1 1M = K (2.217)


t2 T2 2M = K (2.218)

Na barra de rigidez TeK :

te TeM = K (2.219)

Como as duas barras vo ser submetidas ao mesmo ngulo de

toro, 1 2 = = , e cada barra tem rigidez torcional diferente esto s

mesmas so submetidas a momentos de toro diferentes. Neste caso, tem-se

que:

t t1 t2M = M + M (2.220)

Substituindo na equao (2.220) os valores de tM , t1M e t2M das

equaes (2.217), (2.218) e (2.219) obtm:

Te T1 T2 K = K + K (2.221)

Podemos escrever cada rigidez torcional em funo do material da barra,

do dimetro e do comprimento, como mostra a equao (2.55), assim tem-se:


41 1

T11

G dK = 32 L

pi (2.222)


42 2

T22

G dK = 32 L

pi (2.223)

Admitindo mesmo material, 1 2G G G= = , e substituindo os valores de

rigidez torcional das equaes (2.222) e (2.223) na equao (2.221), obtm-se:

4 41 2

e

1 2

d G d GK = + 32 L 32 L

pi pi (2.224)


dimetro 1d , a equao (2.224) pode ser escrita como:

4 41 2

e 41 1 2

d G d1K = 32 L d L

pi +

(2.225)

Da equao (2.225) pode-se obter o comprimento equivalente, ou seja:

eq1 42

41 1 2

1L = d1

L d L+

(2.226)

Neste caso a rigidez torcional equivalente ser:

pi 41Te

eq1

G dK = 32 L

(2.227)


dimetro 2d , a equao (2.224) pode ser escrita como:

4 42 1

e 41 2 2

d G d 1K = 32 L d L

pi +

(2.228)

Neste caso o comprimento equivalente passa a ser:

eq2 41

41 2 2

1L = d 1

L d L+

(2.229)

e a rigidez torcional equivalente ser:

pi 42Te

eq2

G dK = 32 L

(2.230)

Desenvolvimento anlogo ao da seo 2.1.3.1 pode ser feito para

sistemas torcionais em paralelos, mas muito comum nestes sistemas as

barras terem o mesmo dimetro, 1 2d = d = d . Neste caso as equaes (2.226) e

(2.229) se transformam em:

1 2eq

1 2

L LL = L + L

(2.231)

Para esta condio a frequncia natural de vibrao livre ser:

pipi

41

n

eq

G d1f = 2 32 L I

(2.232)

Se optarmos para uma configurao como mostra a Figura 2.24(c), com a

barra de rigidez torcional com dimetro d e comprimento L , a freqncia natural dada pela equao (2.232) passa a ser:

4

n

eq

1 G df = 2 32 L I

pi

pi (2.233)

onde eqI a inrcia de massa equivalente dada por:

( )1 2eq

1 2

L + L LI = I

L L (2.234)

2.4.3.3 Equivalncia de Inrcia de Sistemas Inrcia-Barra-Inrcia.


com momento de inrcia de massa 1I fixado a uma barra uma com rigidez

torcional TK , com dimetro d e comprimento L , de massa desprezvel, tendo a

outra extremidade fixa a um disco com momento de inrcia de massa 2I .

Podemos encontrar o sistema torcional equivalente, Figura 2.25(b), composto

de um disco com momento de inrcia de massa eqI e a mesma barra de rigidez

torcional TK , com dimetro d , comprimento L e massa desprezvel.

I2L

Ieq

L

d

I1

d

(a) (b)

Figura 2.25 Sistema Torcional com Duas Inrcia.

Apesar de o sistema apresentar duas inrcias, o mesmo tem apenas uma

frequncia natural de vibraes. Ou seja, trata-se de um sistema de dois graus

de liberdade, mas com os dois discos vibrando sempre na mesma frequncia.

Outra curiosidade deste sistema que apesar de uma nica barra, parte dela

funciona como mola torcional para uma das inrcias e parte para outra inrcia.

Como os movimentos so em sentidos contrrios, ver Figura 2.26, vai existir

uma seo da barra que no sofre toro, ou seja, como se a barra estivesse

engastada neste ponto, formando dois sistemas torcionais em posio oposta.

Se as inrcias fossem iguais este ponto estaria na metade da barra.

a b

n

1

2

Figura 2.26 ngulos de Toro do Sistema Torcional com Duas Inrcia.

Neste caso, possvel se determinar a inrcia equivalente partindo da

frequncia natural do sistema da Figura 2.25(a), ou seja:

Para o disco de inrcia 1I :

T1n1

1

K1f = 2 Ipi

(2.235)

Para o disco de inrcia 2I :

T2n2

2

K1f = 2 Ipi

(2.236)

Como estas frequncias so iguais, pode-se escrever:

T1 T2

1 2

K K1 1 =

2 I 2 Ipi pi (2.237)

ou,

T1 1

T2 2

K I =

K I (2.238)

Substituindo nas equaes (2.235) e (2.236) os valores de rigidez

torcional em funo do material da barra, do dimetro e do comprimento,

obtm-se:

4

n11

1 G df = 2 32 a I

pi

pi (2.239)

4

n22

1 G df = 2 32 b I

pi

pi (2.240)

Da equao (2.238), chega-se a:

4

14

2

G dI32 a

=

G d I32 b

pi

pi 1

2

Ib =

a I (2.241)

Mas, pela Figura 2.26, observa-se que:

a + b = L (2.242)

Resolvendo o sistema de equaes (2.241) e (2.242), obtm-se:

2

1 2

L Ia =

I + I (2.243)

e

1

1 2

L Ib = I + I

(2.244)

Substituindo os valores obtidos de a ou b respectivamente nas equaes (2.239) ou (2.240), obtm-se:

( )4 1 2n

1 2

G d I + I1f = 2 32 L I I

pi

pi (2.245)

ou,

4

n

e

1 G df = 2 32 L I

pi

pi (2.246)

onde,

( )1 2

e

1 2

I II = I + I

(2.247)

2.4.3.4 Equivalncia de Inrcia de Sistemas com Engrenagens.


com momento de inrcia de massa 1I fixado a uma barra uma com rigidez

torcional T1K , com dimetro 1d e comprimento 1L , tendo na outra extremidade

uma engrenagem de raio 1r e inrcia desprezvel, acoplada a uma segunda

engrenagem de raio 2r e inrcia desprezvel. A segunda engrenagem est fixa

na extremidade de uma outra barra com rigidez torcional T2K , com dimetro 2d

, comprimento 2L e massa desprezvel, tendo a outra extremidade fixa a um

disco com momento de inrcia de massa 2I . Podemos encontrar o sistema

torcional equivalente, Figura 2.27(b), e em seguida transform-lo em outro

sistema torcional equivalente, Figura 2.27(c), composto de um disco com

momento de inrcia de massa eqI e a mesma barra de rigidez torcional TeK , com

dimetro 1d , comprimento eqL e massa desprezvel.

Leq

Ieq

d1I1L1

L2

d1

I2

d2

r1(raio)

r2(raio)

n2I2

d1

I1L2

KT1 n2KT2

L1

(a)(b) (c)

Figura 2.27 Equivalncia de Inrcia de Sistemas com Engrenagens.

O Disco com momento de inrcia de massa 1I , quando submetida a um

torque que provoque um deslocamento angular 1 na engrenagem de raio 1r ,

faz com que a engrenagem de raio 2r tenha um deslocamento angular 2 . Da

cinemtica de sistemas com engrenagens, pode-se escrever:

1 1 2 2r r = (2.248)

ou,

12 1

2

r

r = (2.249)

Podemos usar o mtodo de energia para transformar o sistema torcional

de Figura 2.27(a) em no sistema torcional equivalente representado pela Figura

2.27(b). Assim, a energia cintica T e potencial U do sistema dinmico representado pela Figura 2.27(a) podero ser escritas como:

2 21 1 2 2

1 1T = I + I 2 2

(2.250)

2 2T1 1 T2 2

1 1U = K + K 2 2

(2.251)

Substituindo o valor de 2 , equao (2.249), nas equaes (2.250) e

(2.251) obtm-se:

2 2 21 1 2 1

1 1T = I + I n 2 2

(2.252)

2 2 2T1 1 T2 1

1 1U = K + K n 2 2

(2.253)

onde, 1 2n = r r .

As equaes (2.252) e (2.253) representam o sistema torcional da Figura

2.27(b), composto de um disco com momento de inrcia de massa 1I fixado a

uma barra uma com rigidez torcional T1K , com dimetro 1d e comprimento 1L

em srie com outra barra rigidez torcional 2 2n K , com dimetro d diferente de

2d e comprimento 2L , ambas com massas desprezveis, fixa na outra

extremidade um disco com momento de inrcia de massa 2 2n I .

Neste caso, podemos encontrar uma barra de rigidez torcional

equivalente s duas barras em srie e transformar o sistema da Figura 2.27(b)

em um sistema idntico ao da Figura 2.25(a), da seo 2.4.3.3. Neste caso a

rigidez equivalente ser dada por:

'

Teq T1 T2

1 1 1 = +

K K K (2.254)

ou

'

T1 T2Teq '

T1 T2

K KK = K + K

(2.255)

onde, ' 2T2 T2K = n K .

Substituindo os valores de rigidez torcional em funo do material,

dimetro da barra e comprimento da barra, tem-se:

41

1Teq 4

1 24 2

1 2

d32 LK = d 32 L1 +

32 L d n

pi

pi

pi

(2.256)

ou,

41

Teqeq

dK = 32 Lpi

(2.257)

onde:

4 4

1 2eq 1 2

2 1

d rL = L + Ld r

(2.258)

De posse do desenvolvimento da seo 2.4.3.3 conclui-se que a inrcia

equivalente do sistema torcional equivalente de um grau de liberdade da Figura

2.27(c), ser:

( )2

1 2eq 2

1 2

I n II = I + n I

(2.259)

e a freqncia natural de vibrao livre, ser dada por:

41

n

eq eq

G d1f = 2 32 L I

pi

pi (2.260)

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